专题01 集合 集合间的关系 集合的运算(核心素养练习)(解析版)

考点01 集合的概念与运算1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。

2、了解集合之间包含关系与相等关系，能识别给定集合的子集，了解集合的全集与空集的含义。

3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定集合的补集，集合部分内容无论是全国范围内还是在江苏或者新高考地区都属于容易题，是送分题。

纵观这几年各地区的真题考查知识点主要涉及集合的运算，即子集、交集、并集和补集之间的运算，往往与不等式结合，特别要注意与不等式结合是要借助于数轴。

1、集合与函数、方程以及不等式的集合是近几年江苏高考即模拟的热点，因此要注意各个模块知识点的融汇贯通。

考题的难度一般不是太大，就需要学生要细心答题。

2、在高考复习中要注意一下几点：①把握元素与集合、集合与集合之间的关系，明确集合，对集合中的元素进行分析，能化简的一定要化简。

②复习中要准确掌握集合语言、图形语言，突出等价转化思想，同时要掌握空集与全集以及特殊集合的关系。

③注意借助于图形关系表示集合基本关系的能力，渗透数形结合的思想。

解决含义参数问题时，要注意检验结合集合元素的互异性。

五年高考真题1、（2020年新高考全国一卷）1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}【答案】C【解析】故选：C2、（2020年新课标一卷）2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A. –4B. –2C. 2D. 4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.3、（2020年新课标二卷）1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：，则.A故选：4、（2020年新课标三卷）.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B5、（2020年天津卷）.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.6、（2020年江苏卷）已知集合，则_____.【答案】【解析】∵,∴故答案为：.7、（2020年浙江卷）.已知集合P=，，则P Q=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】故选：B8、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知集合，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，则．故选C．9、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=A．(–∞，1) B．(–2，1)C．(–3，–1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，或，，则．故选A．10、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知集合，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴，∴，又，∴.故选A．11、（2019年高考天津理数）设集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.12、（2019年高考浙江）已知全集，集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴.故选A.13、(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B。

高考数学复习压轴题型专题讲解与练习专题01 集合一、单选题1．（2021·上海杨浦·高三期中）非空集合A ⊆R ，且满足如下性质：性质一：若a ，b A ∈，则a b A +∈；性质二：若a A ∈，则a A -∈.则称集合A 为一个“群”以下叙述正确的个数为（ ）①若A 为一个“群”，则A 必为无限集；②若A 为一个“群”，且a ，b A ∈，则a b A -∈；③若A ，B 都是“群”，则A B 必定是“群”；④若A ，B 都是“群”，且A B A ≠，A B B ≠，则A B 必定不是“群”；A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据性质，运用特例法逐一判断即可.【详解】①：设集合{}1,0,1A =-，显然110,101,101-+=-+=-+=，符合性质一，同时也符合性质二，因此集合{}1,0,1A =-是一个群，但是它是有限集，故本叙述不正确； ②：根据群的性质，由b A ∈可得：b A -∈，因此可得a b A -∈，故本叙述是正确； ③：设A B C =，若c C ∈，一定有,c A c B ∈∈，因为A ，B 都是“群”，所以,c A c B -∈-∈，因此c C -∈，若d C ∈，所以,d A d B ∈∈，c d C +∈，故本叙述正确；④：因为A B A ≠，A B B ≠，一定存在a A ∈且a B ∉，b A ∉且b B ∈，因此a b A +∉且a b B +∉，所以()a b A B +∉，因此本叙述正确，故选：C【点睛】关键点睛：正确理解群的性质是解题的关键.2．（2021·贵州贵阳·高三开学考试（文））“群”是代数学中一个重要的概念，它的定义是：设G 为某种元素组成的一个非空集合，若在G 内定义一个运算“*”，满足以下条件：①a ∀，b G ∈，有a b G *∈②如a ∀，b ，c G ∈，有()()a b c a b c **=**；③在G 中有一个元素e ，对a G ∀∈，都有a e e a a *=*=，称e 为G 的单位元；④a G ∀∈，在G 中存在唯一确定的b ，使a b b a e *=*=，称b 为a 的逆元．此时称（G ，*）为一个群．例如实数集R 和实数集上的加法运算“+”就构成一个群(),+R ，其单位元是0，每一个数的逆元是其相反数，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．G Q =，则(),+G 为一个群B ．G R =，则(),G ⨯为一个群C ．{}1,1G =-，则(),G ⨯为一个群D ．G ={平面向量}，则(),+G 为一个群【答案】B【分析】对于选项A,C,D 分别说明它们满足群的定义，对于选项B, 不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误.【详解】A. G Q =，两个有理数的和是有理数，有理数加法运算满足结合律，0为G 的单位元，逆元为它的相反数，满足群的定义，则(),+G 为一个群，所以该选项正确；B. G R =，1为G 的单位元，但是1a b b a ⨯=⨯=，当0a =时，不存在唯一确定的b ，所以不满足④，则(),G ⨯不为一个群，所以该选项错误；C. {}1,1G =-，满足①②，1为G 的单位元满足③，1-是-1的逆元，1是1的逆元，满足④，则(),G ⨯为一个群，所以该选项正确；D. G ={平面向量}，满足①②，0→为G 的单位元，逆元为其相反向量，则(),+G 为一个群，所以该选项正确.故选：B3．（2022·上海·高三专题练习）设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>，其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ） A ．对任意a ，1P 是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B【分析】运用集合的子集的概念，令1m P ∈，推得2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；再由1b =，5b =，求得1Q ，2Q ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，可得当1m P ∈，即210m am ++>，可得220m am ++>，即有2m P ∈，可得对任意a ，1P 是2P 的子集；故C 、D 错误当5b =时，21{|50}Q x x x R =++>=，22{|250}Q x x x R =++>=，可得1Q 是2Q 的子集；当1b =时，21{|10}Q x x x R =++>=，22{|210}{|1Q x x x x x =++>=≠-且}x R ∈，可得1Q 不是2Q 的子集，故A 错误．综上可得，对任意a ，1P 是2P 的子集，存在b ，使得1Q 是2Q 的子集．故选：B.4．（2022·浙江·高三专题练习）设3124a M a a a =+，其中1a ，2a ，3a ，4a 是1，2，3，4的一个组合，若下列四个关系：①11a =；②21a ≠；③33a =；④44a ≠有且只有一个是错误的，则满足条件的M 的最大值与最小值的差为（ ）A ．233B ．323C ．334D ．454【答案】C【分析】因为只有一个错误，故分类讨论，若①错，有两种情况，若②错则互相矛盾，若③错，有三种情况，若④错，有一种情况，分别求解M 即可得结果．【详解】若①错，则11a ≠，21a ≠，33a =，44a ≠有两种情况：12a =，24a =，33a =，41a =，3124324111a M a a a =+=⨯+= 或14a =，22a =，33a =，41a =，3124342111a M a a a =+=⨯+=； 若②错，则11a =，21a =，互相矛盾，故②对；若③错，则11a =，21a ≠，33a ≠，44a ≠有三种情况：11a =，22a =，34a =，43a =，31244101233a M a a a =+=⨯+=；11a =，23a =，34a =，42a =，312441352a M a a a =+=⨯+=； 11a =，24a =，32a =，43a =，31242141433a M a a a =+=⨯+=； 若④错，则11a =，21a ≠，33a =，44a =只有一种情况：11a =，22a =，33a =，44a =，31243111244a M a a a =+=⨯+= 所以max min 11331144M M -=-= 故选：C 5．（2021·福建·福州四中高三月考）用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -≥⎧*=⎨-<⎩，已知集合{}2|0A x x x =+=，()(){}22|10B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】根据条件可得集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，再分这两种情况分别讨论计算求解.【详解】由{}2|0A x x x =+=，可得{}1,0A =-因为22()(1)0x ax x ax +++=等价于20x ax 或210x ax ++=，且{}1,0,1A A B =-*=，所以集合B 要么是单元素集，要么是三元素集．（1）若B 是单元素集，则方程20x ax 有两个相等实数根，方程210x ax ++=无实数根，故0a =；（2）若B 是三元素集，则方程20x ax 有两个不相等实数根，方程210x ax ++=有两个相等且异于方程20x ax 的实数根，即2402a a -=⇒=±且0a ≠．综上所求0a =或2a =±，即{}0,22S =-，，故()3C S =， 故选：D ．【点睛】关键点睛：本题以A B *这一新定义为背景，考查集合中元素个数问题，考查分类讨论思想的运用，解答本题的关键是由新定义分析得出集合B 要么是单元素集，要么是三元素集，即方程方程20x ax 与方程210x ax ++=的实根的个数情况，属于中档题.6．（2020·陕西·长安一中高三月考（文））在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据“类”的定义计算后可判断①②④的正误，根据集合的包含关系可判断③的正误，从而可得正确的选项.【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误，而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈，则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确.由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈，故[][][][]0123c ∈，所以[][][][]0123Z ⊆， 故[][][][]0123Z =，故③正确.故选：C.【点睛】方法点睛：对于集合中的新定义问题，注意根据理解定义并根据定义进行相关的计算，判断两个集合相等，可以通过它们彼此包含来证明.7．（2021·全国·高三专题练习（理））在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345Z =；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】 根据“类”的定义逐一进行判断可得答案.【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确； ②[][][][][][]012345{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确； ④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.8．（2021·浙江·路桥中学模拟预测）设集合,S T 中至少两个元素，且,S T 满足：①对任意,x y S ∈，若x y ≠，则x y T +∈ ，②对任意,x y T ∈，若x y ≠，则x y S -∈，下列说法正确的是（ ）A ．若S 有2个元素，则S T 有3个元素B ．若S 有2个元素，则S T 有4个元素C ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有5个元素D ．存在3个元素的集合S ，满足S T 有4个元素【答案】A【分析】不妨设{,}S a b =，由②知集合S 中的两个元素必为相反数，设{,}S a a =-，由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，得到至少还有另外一个元素m T ∈，分集合T 有2个元素和多于2个元素分类讨论，即可求解.【详解】若S 有2个元素，不妨设{,}S a b =，以为T 中至少有两个元素，不妨设{},x y T ⊆，由②知,x y S y x S -∈-∈，因此集合S 中的两个元素必为相反数，故可设{,}S a a =-， 由①得0T ∈，由于集合T 中至少两个元素，故至少还有另外一个元素m T ∈， 当集合T 有2个元素时，由②得：m S -∈，则,{0,}m a T a =±=-或{0,}T a =.当集合T 有多于2个元素时，不妨设{0,,}T m n =，其中,,,,,m n m n m n n m S ----∈，由于,0,0m n m n ≠≠≠，所以,m m n n ≠-≠-，若m n =-，则n m =-，但此时2,2m n m m m n n n -=≠-=-≠，即集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，若m n ≠-，则集合S 中至少有,,m n m n -这三个元素，这都与集合S 中只有2个运算矛盾，综上，{0,,}S T a a =-，故A 正确；当集合S 有3个元素，不妨设{,,}S a b c =，其中a b c <<，则{,,}a b b c c a T +++⊆，所以,,,,,c a c b b a a c b c a b S ------∈，集合S 中至少两个不同正数，两个不同负数，即集合S 中至少4个元素，与{,,}S a b c =矛盾，排除C ，D.故选：A.【点睛】解题技巧：解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.9．（2021·广东番禺中学高一期中）设{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，若{}1,2A B =，则称(),A B 为一个“理想配集”．规定(),A B 与(),B A 是两个不同的“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】D【分析】对子集A 分{}1,2A =，{}1,2,3A =，{}1,2,4A =，{}1,2,3,4A =四种情况讨论，列出所有符合题意的集合B 即可求解.【详解】{}1,2,3,4I =，A 与B 是I 的子集，{}1,2A B =， 对子集A 分情况讨论：当{}1,2A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，{}1,2,4B =，{}1,2,3,4B =，有4种情况；当{}1,2,3A =时，{}1,2B =，{}1,2,4B =，有2种情况； 当{}1,2,4A =时，{}1,2B =，{}1,2,3B =，有2种情况； 当 {}1,2,3,4A =时，{}1,2B =，有1种情况； 所以共有42219+++=种， 故选：D.10．（2020·上海奉贤·高一期中）对于区间(1,10000)内任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“*”如下：当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=；当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，则在此定义下，集合(){},4M a b a b =*=中元素个数是（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个【答案】C 【分析】分别讨论a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =，再由,(1,10000)a b ∈即可求出集合M ，进而可得集合M 中的元素的个数. 【详解】因为当m ，n 都是正偶数时，n m n m *=； 当m ，n 都为正奇数时，log m m n n *=，所以当a ，b 都是正偶数时，4b a b a *==，可得2a b ==； 当a ，b 都是正奇数时，log 4a a b b *==，所以4a b =， 因为,(1,10000)a b ∈， 所以3a =，81b =；5a =，625b =； 7a =，2401b =；9a =，6561b =；所以()()()()(){}2,2,3,81,5,625,7,2401,9,6561M =， 所以集合M 中的元素有5个， 故选：C.11．（2021·全国·高三专题练习）设X 是直角坐标平面上的任意点集，定义*{(1X y =-，1)|(x x -，)}y X ∈．若*X X =，则称点集X“关于运算*对称”．给定点集{}22(,)|1A x y x y +==，{}(,)|1==-B x y y x ，(){},|1|||1=-+=C x y x y ，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【分析】令1y X -=，1x Y -=，则1y X =-，1x Y =+，从而由A ，B ，C 分别求出*A ，*B ，*C ，再根据点集X “关于运算*对称”的定义依次分析判断即可得出答案． 【详解】解：令1y X -=，1x Y -=， 则1y X =-，1x Y =+，22{(,)|1}A x y x y =+=，*{(A X∴=，22)|(1)(1)1}Y Y X ++-=，故*A A ≠；{(,)|1}B x y y x ==-，*{(,)|111B X Y X Y ∴=-=+-，即1}Y X =-，故*B B ≠；{(,)||1|||1}C x y x y =-+=，*{(,)||11||1|1C X Y Y X ∴=+-+-=，即|||1|1}Y X +-=，故*C C =；所以“关于运算 * 对称”的点集个数为1个. 故选：B.12．（2021·黑龙江·哈师大附中高一月考）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合是（ ） A ．{|0}1nn Z n n ∈≥+， B ．{|0}x x x ∈≠R ，C ．221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣D ．整数集Z【答案】B 【分析】根据给出的聚点定义逐项进行判断即可得出答案． 【详解】 A 中，集合{|0}1n n Z n n ∈≥+，中的元素除了第一项0之外，其余的都至少比0大12， 所以在102a <<的时候，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合{|0}1nn Z n n ∈≥+，的聚点；故A 不正确；B 中，集合{|0}x x x ∈≠R ，，对任意的a ，都存在(2a x =实际上任意比a 小的数都可以)，使得02a x a <=<，所以0是集合{|0}x x x ∈≠R ，的聚点；故B 正确；C 中，因为2211n n+>，所以当01a <<时，不存在满足0x a <<的x ，0∴不是集合221,0n n Z n n ⎧⎫+∈≠⎨⎬⎩⎭∣的聚点，故C 不正确；D ，对于某个1a <，比如0.5a =，此时对任意的x ∈Z ，都有00x -=或者01x -≥，也就是说不可能满足000.5x <-<，从而0不是整数集Z 的聚点．故D 不正确. 综上得以0为聚点的集合是选项B 中的集合. 故选：B ．二、多选题13．（2020·广东广雅中学高三月考）设整数4n ≥，集合{}1,2,3,,X n =.令集合{(,,),,S x y z x y z X =∈，且三条件,x y z <<,y z x <<z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中，则下列选项不正确的是（ ） A ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉，(),,x y w S ∉【答案】ACD 【分析】根据集合S 的定义可以得到,,x y z 和,,z w x 的大小关系都有3种情况，然后交叉结合，利用不等式的传递性和无矛盾性原则得到正确的选项. 【详解】因为(,,)x y z S ∈，则,,x y z 的大小关系有3种情况，同理，(,,)z w x S ∈，则,,z w x 的大小关系有3种情况，由图可知，,,,x y w z 的大小关系有4种可能，均符合(,,)y z w S ∈，(,,)x y w S ∈，所以ACD 错， 故选:ACD. 【点睛】本题考查新定义型集合，涉及不等式的基本性质，首先要理解集合S 中元素的性质，利用列举画图，根据无矛盾性原则和不等式的传递性分析是关键.14．（2021·河北·石家庄二中高三月考）若集合A 具有以下性质：（1）0A ∈，1A ∈；（2）若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈.则称集合A 是“完美集”.下列说法正确的是（ ）A ．集合{}1,0,1B =-是“完美集” B ．有理数集Q 是“完美集”C ．设集合A 是“完美集”，x 、y A ，则x y A +∈D ．设集合A 是“完美集”，若x 、y A 且0x ≠，则yA x∈ 【答案】BCD 【分析】利用第（2）条性质结合1x =，1y =-可判断A 选项的正误；利用题中性质（1）（2）可判断B 选项的正误；当y A 时，推到出y A -∈，结合性质（2）可判断C 选项的正误；推导出xy A ∈，结合性质（2）可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取1x =，1y =-，则2x y A -=∉，集合{}1,0,1B =-不是“完美集”，A 选项错误；对于B 选项，有理数集Q 满足性质（1）、（2），则有理数集Q 为“完美集”，B 选项正确； 对于C 选项，若y A ，则0y y A -=-∈，()x y x y A ∴+=--∈，C 选项正确； 对于D 选项，任取x 、y A ，若x 、y 中有0或1时，显然xy A ∈； 当x 、y 均不为0、1且当x A ∈，y A 时，1x A -∈，则()11111A x x x x -=∈--，所以()1x x A -∈，()21x x x x A ∴=-+∈，()()2222221111122A xy xy xy x y x y x y x y ∴=+=+∈+--+--，xy A ∴∈， 所以，若x 、y A 且0x ≠，则1A x∈，从而1yy A x x=⋅∈，D 选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查集合的新定义，正确理解定义“完美集”是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.15．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若非空数集M 满足任意,x y M ∈，都有x y M +∈，x y M-∈，则称M 为“优集”．已知,A B 是优集，则下列命题中正确的是（ ）A ．AB 是优集B ．A B 是优集C ．若A B 是优集，则A B ⊆或B A ⊆D ．若A B 是优集，则A B 是优集【答案】ACD 【分析】结合集合的运算，紧扣集合的新定义，逐项推理或举出反例，即可求解. 【详解】对于A 中，任取,x A B y A B ∈∈，因为集合,A B 是优集，则,x y A x y B +∈+∈，则 x y A B +∈，,x y A x y B -∈-∈，则x y A B -∈，所以A 正确；对于B 中，取{|2,},{|3,}A x x k k Z B x x m m Z ==∈==∈， 则{|2A B x x k ⋃==或3,}x k k Z =∈，令3,2x y ==，则5x y A B +=∉，所以B 不正确； 对于C 中，任取,x A y B ∈∈，可得,x y A B ∈， 因为A B 是优集，则,x y A B x y A B +∈-∈， 若x y B +∈，则()x x y y B =+-∈，此时 A B ⊆； 若x y A +∈，则()x x y y A =+-∈，此时 B A ⊆， 所以C 正确；对于D 中，A B 是优集，可得A B ⊆，则A B A =为优集； 或B A ⊆，则A B B =为优集，所以A B 是优集，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】解决以集合为背景的新定义问题要抓住两点：1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素.16．（2020·山东·高三专题练习）已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( ) A ．1M B ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断． 【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以1M 不是“互垂点集”集合；对y = 所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥， 所以2M 是“互垂点集”集合；在x y e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '， 所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点， 所以所以4M 是“互垂点集”集合， 故选：BD ． 【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．第II 卷（非选择题）三、填空题17．（2021·上海市进才中学高三期中）进才中学1996年建校至今，有一同学选取其中8个年份组成集合{}1996,1997,2000,2002,2008,2010,2011,2014A =，设i j x x A ∈、，i j ≠，若方程i j x x k -=至少有六组不同的解，则实数k 的所有可能取值是_________.【答案】{}3,6,14 【分析】根据i j x x k -=，用列举法列举出集合A 中，从小到大8个数中（设两数的差为正），相邻两数，间隔一个数，间隔二个数，间隔三个数，间隔四个数，间隔五个数，间隔六个数的两数差，从中找出差数出现次数不低于3的差数即可. 【详解】集合A 中，从小到大8个数中，设两数的差为正： 则相邻两数的差：1，3，2，6，2，1，3； 间隔一个数的两数差：4，5，8，8，3，4； 间隔二个数的两数差：6，11，10，9，6； 间隔三个数的两数差：12，13，11，12； 间隔四个数的两数差：14，14，14； 间隔五个数的两数差：15，17； 间隔六个数的两数差：18；这28个差数中，3出现3次，6出现3次，14出现3次，其余都不超过2次， 故k 取值为：3，6，14时，方程i j x x k -=至少有六组不同的解， 所以k 的可能取值为：{}3,6,14， 故答案为：{}3,6,1418．（2021·北京·高三开学考试）记正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点组成的集合为S .若集合M S ⊆，满足i X ∀，j X M ∈，k X ∃，l X M ∈使得直线i j k l X X X X ⊥，则称M 是S 的“保垂直”子集. 给出下列三个结论：①集合{}1,,,A B C C 是S 的“保垂直”子集；②集合S 的含有6个元素的子集一定是“保垂直”子集；③若M 是S 的“保垂直”子集，且M 中含有5个元素，则M 中一定有4个点共面. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】② 【分析】首先弄清楚可取其中的5，6，7，8个点时，符合M 是S 的“保垂直”子集，且正方体的两条体对角线不垂直，然后根据定义逐项判断可得答案. 【详解】对于①，当取体对角线1AC 时，找不到与之垂直的直线，①错误； 对于②，当8个点任取6个点时，如图当M 集合中的6个点是由上底面四个点和下底面两个点；或者由上底面两个点和下底面四个点构成时，必有四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 当M 集合中的6个点是由上底面三个点和下底面三个点构成时，如{}111,,,,,M B C A C A B =，则存在11,,,B A A B 四点共面，根据正方体的性质，符合M 是S 的“保垂直”子集； 如{}111,,,,,M B C A C A D =，取,B A 存在11BC A D ⊥，取,B C 存在11BC C D ⊥，取,C A 存在1AC BD ⊥，符合M 是S 的“保垂直”子集，所以②正确；对于③，举反例即可，如{}11,,,,M B C D C A =，③错误.故答案为：②.19．（2021·江苏扬州·模拟预测）对于有限数列{}n a ，定义集合()1212,110k i i i k a a a S k s s i i i k ⎧⎫+++⎪⎪==≤<<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，其中k ∈Z 且110k ≤≤，若n a n =，则()3S 的所有元素之和为___________.【答案】660【分析】可得()3S 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭，得出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，求出每个数字被选中的次数即可求解.【详解】()1231233,1103i i i a a a S s s i i i ⎧⎫++⎪⎪==≤<<≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭ 123123,1103i i i s s i i i ⎧⎫++==≤<<≤⎨⎬⎩⎭， 则()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，1,2,,10每个被选出的次数是相同的，若()110i i ≤≤被选中，则共有29C 种选法，即1,2,,10每个被选出的次数为29C ，则()3S 的所有元素之和为()()29101109812102266033C ⨯+⨯⨯⋅+++==. 故答案为：660.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是判断出()3S 中的每个元素就是从1,2,,10中挑选3个出来求平均值，再求出每个数字被选中的次数.20．（2021·北京东城·一模）设A 是非空数集，若对任意,x y A ∈，都有,x y A xy A +∈∈，则称A 具有性质P .给出以下命题：①若A 具有性质P ，则A 可以是有限集；②若12,A A 具有性质P ，且12A A ≠∅，则12A A 具有性质P ； ③若12,A A 具有性质P ，则12A A 具有性质P ；④若A 具有性质P ，且A ≠R ，则A R 不具有性质P .其中所有真命题的序号是___________.【答案】①②④【分析】举特例判断①；利用性质P 的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法，结合举反例判断④.【详解】对于①，取集合{}0,1A =具有性质P ，故A 可以是有限集，故①正确；对于②，取12,x y A A ∈，则1x A ∈，2x A ∈，1y A ∈，2y A ∈，又12,A A 具有性质P ，11,x y A xy A ∴+∈∈，22,x y A xy A +∈∈，1212,x y xy A A A A ∴+∈∈，所以12A A 具有性质P ，故②正确；对于③，取{}1|2,A x x k k Z ==∈，{}2|3,A x x k k Z ==∈，12A ∈，23A ∈，但1223A A +∉，故③错误；对于④，假设A R 具有性质P ，即对任意,x y A ∈R ，都有,x y A xy A +∈∈R R ，即对任意,x y A ∉，都有,x y A xy A +∉∉，举反例{}|2,A x x k k Z ==∈，取1A ∉，3A ∉，但134A +=∈，故假设不成立，故④正确；故答案为：①②④【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，解题的关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特殊一般思想，属于基础题.。

专题01 集合、集合间的关系、集合的运算一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）．⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn图、描述法．(4).常见的数集及其表示符号2. 集合间的基本关系A B (或B A )【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集. 3. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n ,真子集的个数为2n －1，非空真子集n2-2个. 2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z . 4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU A B A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.6.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．三、重难点题型突破考点1 集合的概念及其表示归纳总结：与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是（数轴）数集、（平面直角坐标系）点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性．例1.（1）（集合的确定性）下面给出的四类对象中，能组成集合的是()A．高一某班个子较高的同学B．比较著名的科学家C．无限接近于4的实数D．到一个定点的距离等于定长的点的全体【答案】D【解析】选项A，B，C所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合，选项D的标准唯一，故能组成集合．故选：D．（2）．（集合的确定性）（多选题）考察下列每组对象，能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村；B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点；C.不小于3的自然数；D.2018年第23届冬季奥运会金牌获得者． 【答案】BCD【解析】A 中“最美”标准不明确，不符合确定性，BCD 中的元素标准明确，均可构成集合，故选BCD 【变式训练1】（集合的互异性）在集合{1A =，21a a --，222}a a -+中，a 的值可以是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】当a ＝0时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝2，当a ＝1时，a 2﹣a ﹣1＝﹣1，a 2﹣2a +2＝1，当a ＝2时，a 2﹣a ﹣1＝1，a 2﹣2a +2＝2， 由集合中元素的互异性知：选A ．【变式训练2】（集合的互异性）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = ) A ．1- B ．0C ．1D ．0 或1【答案】B【答案】解：①若a 2﹣a ﹣1＝﹣1，则a 2﹣a ＝0，解得a ＝0或a ＝1， a ＝1时，{2，a 2﹣a ﹣1，a 2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去，∴a ＝0； ②若a 2+1＝﹣1，则a 2＝﹣2，a 无实数解；由①②知：a ＝0．故选：B ． 考点2 元素与集合的关系(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)不属于：如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . (3)常见的数集及表示符号归纳总结：(1)判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、V enn 图等来直观解决这类问题． 例2．（1）（元素与集合的关系）（多选题）下列关系中，正确的有（ ） A ．∅∪{0} B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的；选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB. （2）（元素个数问题）集合12{|3A x Z y x =∈=+，}y Z ∈的元素个数为( ) A ．4B ．5C ．10D ．12【思路分析】根据题意，集合中的元素满足x 是整数，且12x+3是整数．由此列出x 与y 对应值，即可得到题中集合元素的个数．【解析】由题意，集合{x ∈Z |y =12x+3∈Z }中的元素满足x 是整数，且y 是整数，由此可得 x ＝﹣15，﹣9，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，1，3，9；此时y 的值分别为：﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，﹣6，﹣12，12，6，4，3，3，1， 符合条件的x 共有12个，故选：D ．例3.（单元素集合）若集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ，求a 、b 的值． 【答案】解：∵集合A ＝{x |x 2+ax +b ＝x }中，仅有一个元素a ， ∴a 2+a 2+b ＝a 且△＝（a ﹣1）2﹣4b ＝0解得a ＝31，b ＝91． 故a 、b 的值分别为31，91.【变式训练1】（1）（元素与集合的关系）下列关系中，正确的个数为( )R ；②13Q ∈；③0{0}=；④0N ∉；⑤Q π∈；⑥3Z -∈．A ．6B ．5C ．4D ．3【思路分析】利用元素与集合的关系及实数集、有理数集、自然数集的性质直接求解． 【答案】解：由元素与集合的关系，得：在①中，√5∈R ，故①正确；在②中，13∈Q ，故②正确；在③中，0∈{0}，故③错误；在④中，0∈N ，故④错误；在⑤中，π∉Q ，故⑤错误；在⑥中，﹣3∈Z ，故⑥正确．故选：D ．（2）（元素个数问题）已知集合{1A =，2，3，4，5}，{(,)|B x y x A =∈，y A ∈，x y <，}x y A +∈，则集合B 中的元素个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．5【思路分析】通过集合B ，利用x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A ，求出x 的不同值，对应y 的值的个数，求出集合B 中元素的个数．【解析】因为集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{（x ，y ）|x ∈A ，y ∈A ，x ＜y ，x +y ∈A }， 当x ＝1时，y ＝2或y ＝3或y ＝4；当x ＝2时y ＝3； 所以集合B 中的元素个数为4．故选：C ．【点睛】本题考查集合的元素与集合的关系，考查基本知识的应用． 【变式训练2】（二次函数与集合）设集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R } （1）当A 中元素个数为1时，求：a 和A ；（2）当A 中元素个数至少为1时，求：a 的取值范围； （3）求：A 中各元素之和． 【思路分析】（1）推导出a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，由此能求出a 和A ．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，由此能求出a 的取值范围．（3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-；当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素．【答案】解：（1）∵集合A ＝{x |ax 2+2x +1＝0，a ∈R }，A 中元素个数为1， ∴a ＝0或⎩⎨⎧=-=∆≠0440a a ，解得a ＝0，A ＝{21-}或a ＝1，A ＝{﹣1}．（2）当A 中元素个数至少为1时，a ＝0或⎩⎨⎧≥-=∆≠0440a a ，解得a ≤1，∴a 的取值范围是（﹣∞，1]． （3）当a ＝0时，A 中元素之和为21-；当a ＜1且a ≠0时，A 中元素之和为a2-； 当a ＝1时，A 中元素之和为﹣1；当a ＞1时，A 中无元素． 考点3 集合间的基本关系 1.集合A 中含有n 个元素，则有(1)A 的子集的个数有2n 个．(2)A 的非空子集的个数有2n －1个．(3)A 的真子集的个数有2n －1个．(4)A 的非空真子集的个数有2n －2个．2.空集是任何集合的子集，因此在解A ⊆B (B ≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A ＝∅和A ≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．例4．（1）.（2020·全国高一）（空集是任何非空集合的子集）已知集合{}25A x x =-≤≤,{}121B x m x m =+≤≤-,若B A ⊆,则实数m 的取值范围是______.【答案】(],3-∞【解析】由B A ⊆可得：当B =∅,则121m m +>-，∴2m <，当B ≠∅,则m 应满足:12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,解得23m ≤≤，综上得3m ≤; ∴实数m 的取值范围是(],3-∞.故答案为:(],3-∞.（2）.（空集）如果2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围为( ) A ．04a <<B ．40<≤aC ．40≤<aD ．40≤≤a【思路分析】由A ＝∅得不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，然后利用不等式进行求解． 【答案】解：因为A ＝{x |ax 2﹣ax +1＜0}＝∅，所以不等式ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集， 当a ＝0，不等式等价为1＜0，无解，所以a ＝0成立．当a ≠0时，要使ax 2﹣ax +1＜0的解集是空集，则{a ＞0△=a 2−4a ≤0，解得0＜a ≤4．综上实数a 的取值范围0≤a ≤4．（3）（子集与真子集）已知集合1{|42k M x x ==+，}k Z ∈，1{|24k N x x ==+，}k Z ∈，则( ) A ．M N =B ．M ⊊NC ．N ⊊MD ．M∩N=∅【思路分析】将集合M ，N 中的表达式形式改为一致，由N 的元素都是M 的元素，即可得出结论． 【答案】M ＝{x |x =k4+12，k ∈Z }＝{x |x =k+24，k ∈Z }，N ＝{x |x =k2+14，k ∈Z }＝{x |x =2k+14，k ∈Z }，∵k +2（k ∈Z ）为整数，而2k +1（k ∈Z ）为奇数，∴集合M 、N 的关系为N ⊊M ．故选：C ．【变式训练1】．（1）（2019·浙江省温州中学高一月考）（子集与真子集个数问题）已知集合21,,{1}A a a =-，若0A ∈，则a =______；A 的子集有______个.【答案】0或1- 8【解析】∵集合21,,{1}A a a =-，0A ∈，∴0a =或2101a a ⎧-=⎨≠⎩，解得0a =或1a =-.A 的子集有328=个.故答案为：0或1-，8.（2）若集合2{|20}A x x x m =-+==∅，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1，)+∞【解析】∵A ＝{x |x 2﹣2x +m ＝0}＝∅，∴方程x 2﹣2x +m ＝0无解，即△＝4﹣4m ＜0， 解得：m ＞1，则实数m 的范围为（1，+∞），故选：C ．【点睛】此题考查了空集的定义，性质及运算，熟练掌握空集的意义是解本题的关键． 考点4 集合的基本运算1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B } 2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B 。

专题一 集合、集合的关系、集合的运算 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-集合元素的互异性例题8.已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，求实数a 的值。

考点二 数学抽象-子（真子）集个数例题9.已知集合M 满足：{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M 所有的可能情况．考点三 数学运算-集合运算例题10、设A ＝{x |x 2＋ax ＋12＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2b ＝0}，A ∩B ＝{2}，C ＝{2，－3}．(1)求a ，b 的值及A ，B ；(2)求(A ∪B )∩C .考点四 直观想象-补集例题11.已知全集U ＝{x |x ≤5}，集合A ＝{x |－3≤x <5}，则∁U A ＝________.二、学业质量测评一、选择题1．（2019·全国高一单元测试）已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．82．（2019·全国高一单元测试）已知M ＝{x ∈R|x }，a ＝π，有下列四个式子：(1)a ∈M ；(2){a }⊆M ；(3)a ⊆M ；(4){a }∩M ＝π.其中正确的是( )A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(1)(2)(4)3．（2019·全国高一单元测试）设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 4．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{1,2,3},{|20}A B x Z x x ==∈--<,则A B =（）A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{1,0,1,2,3}- 5．（2019·全国高一单元测试）设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集M －P ＝{x |x ∈M 且x ∉P }，则M －(M －P )等于( )A ．PB ．MC ．M ∩PD ．M ∪P6．（2017·全国高一单元测试） 设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2＞4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A.{x |x ＞2，x ∈N}B.{x |x ≤2，x ∈N}C.{0,2}D.{1,2}7．（2017·全国高一单元测试）若集合A ＝{x |kx 2＋4x ＋4＝0，x ∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对二、填空题8．（2019·北京市十一学校高一单元测试）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7,8}A B ==,则满足S A ⊆且S B φ⋂≠的集合S 的个数是__________个9．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________10．（2019·北京市十一学校高一单元测试）已知集合2{2},{|210}A B x x x a =-=++-=,且A B B =,则满足条件的实数a 组成的集合为__________11．（2018·江西高一单元测试）用列举法表示集合10|,1M m Z m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________．三、解答题12．（2019·全国高一单元测试）已知A ={a −1,2a 2+5a +1,a 2+1}, −2∈A ,求实数a 的值.13．（2017·全国高一单元测试） 已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．14．（2010·全国高一单元测试）设集合222{|40},{|2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，若A∩B=B ，求a 的取值范围．。

专题 01 集合概念与运算考点1 集合的含义与表示1．【2020 年高考全国Ⅲ卷文数1】已知集合A ={1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 11}，B ={x | 3 <x <15}，则A∩B 中元素的个数为（）⎩ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】由题意， A I B = {5, 7,11}，故 A B 中元素的个数为 3，故选 B2．【2020 年高考全国Ⅲ卷理数 1】已知集合 A = {(x , y ) | x , y ∈ N * , y ≥ x }， B = {(x , y ) | x + y = 8}，则 A B 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】C 【解析】由题意， A B 中的元素满足⎧ y ≥ x，且 x , y ∈ N * ，由 x + y = 8 ≥ 2 x ，得 x ≤ 4 ，⎨x + y = 8所以满足 x + y = 8 的有(1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4) ，故 A B 中元素的个数为 4 ．故选 C ．3．【2017 新课标 3，理 1】已知集合 A = {(x , y │) x 2 + y 2= 1}，B = {( x , y │) y = x }，则 A B 中元素的个数 为 A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B 【解析】由题意可得，圆 x 2 + y 2= 1 两个元素，故选 B ．与直线 y = x 相交于两点(1,1)， (-1, -1)，则 A B 中有4．【2018 新课标 2，理 1】已知集合 A 뫨 x ， y x 2 + y 2 ≤ 3 ， x C Z ， y C Z ，则 A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A 【解析】 x 2 + y 2 ≤ 3， x 2 ≤ 3， x C Z ， x 뫨ፑ 1，0，1，当 x 뫨ፑ 1 时，y 뫨ፑ 1，0，1； 当 x 뫨 0 时，y 뫨ፑ 1，0，1；当 x 뫨ፑ 1 时，y 뫨ፑ 1，0，1；所以共有 9 个，选 A ．5．【2013 ft 东，理 1】已知集合 A ={0，1，2}，则集合 B = {x - y | x ∈ A , y ∈ A }中元素的个数是 A ．1B ．3C ．5D ．9【答案】C 【解析】 x = 0, y = 0,1, 2, x - y = 0, -1, -2 ； x = 1, y = 0,1, 2, x - y = 1, 0, -1 ；x = 2, y = 0,1, 2, x - y = 2,1, 0 ．∴ B 中的元素为 -2, -1, 0,1, 2 共 5 个，故选 C ．6．【2013 江西，理 1】若集合 A = {x ∈ R | ax 2+ ax +1 = 0}中只有一个元素，则 a = A ．4B ．2C ．0D ．0 或 4【答案】A 【解析】当 a = 0 时，1 = 0不合，当 a ≠ 0 时， ∆ = 0，则 a = 4 ，故选 A ．7．【2012 江西，理 1】若集合 A = {-1,1}， B = {0, 2} ，则集合{z | z = x + y , x ∈ A , y ∈ B }中的元素的个数 为（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】根据题意，容易看出 x + y 只能取- 1，1，3 等 3 个数值．故共有 3 个元素，故选 C ． 8．【2011 广东，理 1】已知集合 A ={(x , y ) | x , y 为实数，且 x 2+ y 2= 1}，B ={(x , y ) | x , y 为实数，且 x + y = 1} ，则 A ⋂B 的元素个数为A．4 B．3 C．2 D．1⎧x2 +y2 = 1【答案】C【解析】由⎨⎩x +y = 1消去y ，得x2 -x = 0 ，解得x = 0 或x = 1，这时y = 1或y = 0 ，即A ⋂B = {(0,1), (1, 0)} ，有2 个元素．9．【2011福建，理1】i是虚数单位，若集合S ={－1，0，1}，则A．i ∈S B．i2 ∈S C．i3 ∈S D．2∈S i【答案】B【解析】∵ i2 =－1∈ S ，故选B．10．【2012天津，文9】集合A={x∈R x-2≤5}中的最小整数为．【答案】- 3【解析】不等式x - 2 ≤ 5 ，即- 5 ≤x - 2 ≤ 5，- 3 ≤x ≤ 7 ，所以集合A = {x - 3 ≤x ≤ 7}，所以最小的整数为- 3．考点2 集合间关系【试题分类与归纳】1．【2012新课标，文1】已知集合A={x|x2-x-2<0}，B={x|-1<x<1}，则A．A ÜB B．B ÜA C．A =B D． A B =∅【答案】B【解析】A=（－1，2），故B⊂≠A，故选B．2．【2012新课标卷1，理1】已知集合A=｛x|x2－2x＞0｝，B=｛x|－5＜x＜5｝，则()A、A∩B=∅B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B【答案】B【解析】A=(- ∞，0)∪(2，+ ∞)，∴A∪B=R，故选B．3．【2015 重庆，理1】已知集合A ={1, 2, 3}，B ={2, 3}，则A．A＝B B．A∩B =∅ C．A ÜB D．B ÜA【答案】D【解析】由于2 ∈A, 2 ∈B, 3∈A, 3∈B,1∈A,1∉B ，故A、B、C 均错，D 是正确的，选D．4．【2012福建，理1】已知集合M={1,2,3,4}，N={-2,2}，下列结论成立的是（）A．N ⊆M B． M N =M C． M N =N D．M N = {2}【答案】D【解析】由M={1，2，3，4}，N={-2，2}，可知-2∈N，但是-2∉M，则N ⊄M，故A错误．∵M N={1，2，3，4，-2}≠M，故B 错误．M∩N={2}≠N，故C 错误，D 正确．故选D 5．【2011浙江，理1】若P={x|x<1},Q={x|x>-1}，则（）A．P ⊆Q B．Q ⊆P C．C R P ⊆Q D．Q ⊆C R P【答案】D 【解析】 P = {x | x < 1} ∴ C R P = {x | x ≥ 1} ，又∵ Q = {x | x > 1} ，∴ Q ⊆ C R P ，故选 D ． 6．【2011 北京，理 1】已知集合 P ={x | x 2≤ 1}， M = {a }．若 P M = P ，则 a 的取值范围是A ．( - ∞， -1]B ．[1，+∞）C ．[ -1，1]D ．（ -∞， -1] [1，+∞）【答案】C 【解析】因为 P M = P ，所以 M ⊆ P ，即 a ∈ P ，得 a 2≤ 1，解得 -1 ≤ a ≤ 1， 所以 a 的取值范围是[-1,1]．7．【2013 新课标 1，理 1】已知集合 A ={x |x 2－2x ＞0}，B ={x |－ 5＜x ＜ 5＝，则（ ）A ．A ∩B =∅B ．A ∪B =RC ．B ⊆AD ．A ⊆B【答案】B 【解析】A=(- ∞ ，0)∪(2，+ ∞ )，∴A ∪B=R ，故选 B ．8．【2012 大纲，文 1】已知集合 A ={ x ︱ x 是平行四边形}， B ={ x ︱ x 是矩形}， C ={ x ︱ x 是正方形}，D ={ x ︱ x 是菱形}，则 A ． A ⊆ BB ．C ⊆ BC ．D ⊆ C D ． A ⊆ D【答案】B 【解析】∵正方形一定是矩形，∴ C 是 B 的子集，故选 B ．9．【2012 年湖北，文 1】已知集合 A = {x | x 2 - 3x + 2 = 0, x ∈ R } ， B = {x | 0 < x < 5, x ∈ N } A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4，则满足条件 【 答 案 】 D 【 解 析 】 求 解 一 元 二 次 方 程 ，A = {x | x 2 - 3x + 2 = 0, x ∈ R} = {1, 2} ， 易 知B = {x | 0 < x < 5, x ∈ N } = {1, 2, 3, 4}．因为 A ⊆C ⊆ B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素 1，2，且可能含有元素 3，4，原题即求集合{3, 4}的子集个数，即有 22 = 4 个．故选 D ．考点 3 集合间的基本运算【试题分类与归纳】1．【2011 课标，文 1】 已知集合 M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M ∩N ，则 P 的子集共有 （A ）2 个(B)4 个(C)6 个(D)8 个【答案】B 【解析】∵P=M ∩N={1，3}， ∴P 的子集共有 22=4，故选 B ．2．【2013 新课标 2，理 1】已知集合 M={ x ∈R| (x -1)2< 4}，N={-1，0，1，2，3}，则 M ∩N= A ．{0，1，2}B ．{-1，0，1，2}C ．{-1，0，2，3}D ．{0，1，2，3}【答案】A 【解析】M=(-1，3)，∴M ∩N={0，1，2}，故选 A ．3．【2013 新课标 2，文 1】已知集合 M=｛x|-3<x<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则 M ∩N= （ ）（A ）｛-2，-1，0，1｝ （B ）｛-3，-2，-1，0｝（C ）{-2，-1，0} （D ）{-3，-2，-1 }【答案】C 【解析】因为集合 M= {x | -3 < x < 1}，所以 M ∩N =｛0，-1，-2｝，故选 C ．4．【2013新课标I，文1】已知集合A=｛1，2，3，4｝，B={x|x=n2,n∈A}，则A∩B=()（A）｛1，4｝（B）｛2，3｝（C）{9，16}（D）｛1，2}【答案】A；【解析】依题意，B ={1, 4, 9,16}，故A B ={1, 4}．5．【2014新课标1，理1】已知集合A={x |x2-2x-3≥0}，B={x |－2≤x ＜2}，则A⋂B=A ．[-2，-1]B ．[-1，2）C ．[-1，1]D ．[1，2）【答案】A【解析】∵A= (-∞, -1] ⋃[3, +∞) ，∴A ⋂B =[-2，-1]，故选A．6．【2014新课标2，理1】设集合M=｛0，1，2｝，N={x | x2 - 3x + 2≤0}，则M ⋂N =()A．｛1｝B．｛2｝C．｛0，1｝D．｛1，2｝【答案】D【解析】∵N ={x x2 - 3x + 2 ≤ 0}={x 1 ≤x ≤ 2}，∴M N ={1, 2}，故选D．7．【2014新课标1，文1】已知集合M={x|-1<x<3}，N ={x|-2<x<1}则M N=（）A. (-2,1) B．(-1,1) C．(1,3) D．(-2,3)【答案】B【解析】M B =(-1，1)，故选B．8．【2014新课标2，文1】设集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0}，则A B=（）A. ∅B．{2} C．{0} D．{-2}【答案】B【解析】∵B ={-1, 2}，∴A B ={2}．9．【2015新课标2，理1】已知集合A =｛- 2，-1, 0，1, 2｝，B={x(x-1)(x+2<0}，则A B=（）A．A ={-1, 0} B．{0,1} C．{-1, 0,1} D．{0,1, 2}【答案】A【解析】由题意知，B = (-2,1) ，∴A ⋂B = {-1,0}，故选A．10．【2015新课标1，文1】已知集合A ={x x = 3n + 2, n ∈N}, B ={6,8,10,12,14}，则集合A B中的元素个数为( )（A）5 （B）4 （C）3 （D）2【答案】D【解析】由条件知，当n=2 时，3n+2=8，当n=4 时，3n+2=14，故A∩B={8，14}，故选D．11．【2015新课标2，文1】已知集合A ={x | -1 <x < 2}，B ={x | 0 <x < 3}，则A B=（）A．(-1,3) B．(-1, 0) C．(0, 2) D．(2,3)【答案】A【解析】由题知，A ⋃B = (-1,3) ，故选A．12．【2016新课标1，理1】设集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，则A⋂B=（A）(-3, -3) （B）(-23,3)23（C）(1, )23（D）( , 3)2【答案】D 【解析】由题知 A =（1，3），B= (3 2,+∞) ，所以 A ⋂ B = ( 3, 3) ，故选 D ． 213．【2016 新课标 2，理 2】已知集合A = {1, 2,3}，B = {x | (x +1)(x - 2) < 0, x ∈ Z }，则 A B = （ ）（A ）{1}（B ）{1，2} （C ）{0，1，2，3} （D ）{-1，0，1，2，3} 【答案】C 【解析】由题知 B ={0，1}，所以 A B = {0，1，2，3}，故选 C ．14．【2016 新课标 3，理 1】设集合 S = {x | (x - 2)(x - 3) ≥ 0},T = {x | x > 0}，则 S ⋂T =(A) [2，3] (B)（- ∞ ，2] U [3，+ ∞ ） (C) [3，+ ∞ ）(D)（0，2] U [3，+ ∞ ）【答案】D 【解析】由题知， S = (-∞,2] ⋃[3,+∞) ，∴ S ⋂T =（0，2] U [3，+ ∞ ），故选 D ．15．【2016 新课标 2，文 1】已知集合 A = {1，2，3}，B = {x | x 2 < 9} ，则 A B = （ ）（A ） { - 2，-1，0，1，2，3} （B ）{ - 2，- 1，0，1，2}（C ）{1，2，3}（D ）{1，2}【答案】D 【解析】由题知， B = (-3,3)，∴ A ⋂ B = {1,2}，故选 D ． 16．【2016 新课标 1，文 1】设集合 A = {1, 3, 5, 7}， B = {x | 2 ≤ x ≤ 5}，则 A B = （ ）（A ）{1，3}（B ）{3，5}（C ）{5，7}（D ）{1，7} 【答案】B 【解析】由题知， A ⋂ B = {3,5}，故选 B ．17．【2016 新课标 3，文 1】设集合 A = {0, 2, 4, 6,8,10}, B = {4,8} ，则ðA B =（A ） {4,8}（B ）{0，2,6}（C ）{0，2，6,10}（D ） {0，2，4，6，8,10}【答案】C 【解析】由题知， C A B = {0,2,6,10}，故选 C ． 18．【2017 新课标 1，理 1】已知集合 A ={x |x <1}，B ={x | 3x< 1}，则 A ． A B = {x | x < 0} C ． A B = {x | x > 1}B ． A B = R D ． A B = ∅【答案】A 【解析】由题知， B = (-∞,0) ，∴ A B = {x | x < 0} ，故选 A ．19．【2017 新课标 1，文 1】已知集合 A = {x |x < 2}，B = {x |3 - 2x > 0}，则（）A ．AB = ⎧x |x < 3 ⎫ B ．A B = ∅⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ C ．A B = ⎧x |x < 3 ⎫D ．A B=R ⎨ 2 ⎬⎩ ⎭ 【答案】A20．【2017 新课标 2，理 2】设集合 A = {1, 2, 4}，B = {x x 2 - 4x + m = 0}．若 A B = {1}，则B =（）A ．{1, -3}B ． {1, 0}C ． {1, 3}D ． {1, 5}【答案】C 【解析】由 A B = {1}得1∈ B ，所以 m = 3， B = {1, 3}，故选 C ． 21．【2017 新课标 2，文 1】设集合 A = {1，2，3}， B = {2，3，4}， 则 A B = （ ） A ．{1，2，3, 4}B ． {1，2，3} C ．{2，3，4}D ． {1，3，4} 【答案】A 【解析】由题意 A B = {1, 2, 3, 4}，故选 A ．22．【2017 新课标 3，文 1】已知集合 A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则 A ⋂ B 中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】由题意可得， A B = {2, 4}，故选 B ． 23．【2018 新课标 1，理 1】已知集合 A 뫨 x x 2 ፑ x ፑ 2 0 ，则(R A 뫨A ． x ፑ 1 䁧 x 䁧 2B ． x ፑ 1 ≤ x ≤ 2C ． x ㌳x 䁧ፑ 1 U x ㌳x 2D ． x ㌳x ≤ፑ 1 U x ㌳x ≤ 2【答案】B 【解析】由题知，A 뫨 x ㌳x 䁧ፑ 1 或x 2 ，∴C R A 뫨 x ㌳ ፑ 1 ≤ x ≤ 2 ，故选 B ． 24．【2018 新课标 3，理 1】已知集合 A 뫨 x ㌳x ፑ 1 ≤ 0 ，B 뫨 0 ， 1 ， 2 ，则 A fi B 뫨 A ． 0B ． 1C ． 1 ， 2D ． 0 ， 1 ， 2【答案】C 【解析】由题意知，A={ x | x ≤ 1}，所以 A fi B 뫨 {1，2}，故选 C ． 25．【2018 新课标 1，文 1】已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】根据集合交集中元素的特征，可以求 ，故选 A ． 26．【2018 新课标 2，文 1】已知集合，，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析，故选 C27．【2019 新课标 1，理 1】已知集合 M = {x -4 < x < 2}，N = {x x 2 - x - 6 < 0}，则 M ⋂ N =（）A ．{x -4 < x < 3} C ．{x -2 < x < 2}B ．{x -4 < x < -2} D ．{x 2 < x < 3}【 答案】C 【解析】由题意得， M = {x -4 < x < 2}, N = {x -2 < x < 3}，则M ⋂ N = {x -2 < x < 2}．故选 C ．28．【2019 新课标 1，文 2】已知集合U = {1, 2,3, 4,5, 6, 7}，A = {2,3, 4,5}，B = {2,3, 6, 7}，则B C U A = （ ）A ．{1, 6}B ． {1, 7}C ．{6, 7}D ． {1, 6, 7}【答案】C【解析】由已知得C U A ={1, 6, 7}，所以B ⋂C U A = {6, 7}，故选C．29．【2019新课标2，理1】设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，A ={x x2, 或x3}, B ={x x < 1}，则A ⋂B ={x x < 1}．故选A．30．【2019新课标2，文1】．已知集合A={x|x>-1}，B={x|x<2}，则A∩B=A．(–1，+∞)B．(–∞，2)C．(–1，2) D．∅【答案】C【解析】由题知，A B = (-1, 2) ，故选C．31．【2019新课标3，理1】已知集合A={-1,0,1,2}，B={x x2≤1}，则A⋂B=（）A．{-1, 0,1} B．{0,1} C．{-1,1} D．{0,1, 2}【答案】A【解析】由题意得，B ={x -1 ≤x ≤ 1}，则A ⋂B ={-1, 0,1}．故选A．32．【2019 浙江，1】已知全集U ={-1, 0,1, 2, 3}，集合 A ={0,1, 2}， B ={-1, 0,1}，则ðU A B = A．{-1} B．{0,1} C．{-1, 2, 3} D．{-1, 0,1, 3}【答案】A【解析】ðU A = {-1, 3} ，ðUA B = {-1} ．故选A．33．【2019天津，理1】设集合A={-1,1,2,3,5}, B = {2, 3, 4}, C = {x ∈R | 1 x < 3}，则( A C) B = A．{2} B．{2, 3} C．{-1, 2, 3} D．{1, 2,3, 4}【答案】D【解析】由题知，A C ={1,2}，所以{A C} B ={1,2} {2, 3, 4}={1,2, 3, 4}，故选D．34．【2011辽宁，理1】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N ðIM=∅，则M N= A．M B．N C．I D．∅【答案】A【解析】根据题意可知，N 是M 的真子集，所以M N =M ．35．【2018天津，理1】设全集为R，集合A ={x 0 <x < 2}，B = {x x ≥1}，则A I(ðR B)=A．{x 0 <x ≤1} B．{x 0 <x < 1} C．{x 1≤x < 2} D．{x 0 <x < 2}【答案】B【解析】因为B = {x x ≥1}，所以ðRB = {x | x < 1}，因为A = {x 0 <x < 2}，所以A I (ðRB) = {x | 0 <x < 1}，故选B．36．【2017ft东，理1】设函数y= 的定义学科网会员，小学初中高中试卷，课件，视频等均可以免费下载，包括特供，普通，储值，精品等等，有专门的售后。

专题01 集合的概念与运算【名师预测】江苏高考对集合知识的考查比较低，以填空题的形式进行考查，主要考查集合与集合、元素与集合间的关系以及集合的交集、并集、补集的运算，同时注重对Venn图、数轴等数形结合思想的考查。

集合的基本运算有时会以集合知识为载体，往往与函数、方程、不等式等知识结合考查，体现出小题目综合化的命题趋势。

集合的学习要有弹性，要有所取舍．比如我们不必在集合间的关系上过于深究，也不必在集合的概念等内容上过于钻研。

【知识精讲】1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4.集合关系与运算的常用结论(1)若集合A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有12n-个，非空子集有12n-个．(2)集合的传递性：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.(3)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(考虑A是空集和不是空集两种情况)(4)C U(A∩B)＝(C U A)∪(C U B)，C U(A∪B)＝(C U A)∩(C U B)．【典例精练】考点一集合的基本概念例1． A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为________．【解析】集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个．故答案为9.例2．若－1∈{a－1,2a＋1，a2－1}，则实数a的取值集合是________．【解析】若a－1＝－1，解得a＝0，此时集合中的元素为－1,1，－1，不符合元素的互异性；若2a＋1＝－1，解得a＝－1，此时集合中的元素为－2，－1，0，符合题意；若a2－1＝－1，解得a＝0，不符合题意，综上所述，a＝－1．故答案为{－1}.例3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.【解析】若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．①当a＝0时，x＝23，符合题意；②当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98. ∴a 的值为0或98故答案为0或98.例4．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________． 【解析】由题意知，若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 不符合元素的互异性，故m ≠1； 若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意． 故m ＝2. 故答案为2.【方法点睛】与集合中元素有关问题的求解策略 (1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集； (2)看这些元素满足什么限制条件；(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 考点二 集合间的基本关系例5．已知集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈，则集合B 的子集的个数是 . 【解析】∵集合{}1,2,3,4,5A =，{}(,),,,B x y x A y A x y x y A =∈∈<+∈ ∴{}(1,2),(2,3),(1,3),(1,4)B = ∴集合B 的子集个数是4216=. 故答案为16.例6．设集合{}2,4A =，{}2,2B a =，(其中0a <)，若A B =，则实数a =________. 【解析】∵集合{}2,4A =，{}2,2B a =，且A B = ∴24a = 又0a < ∴2a =- 故答案为－2.例7．已知集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆，则正实数a =________.【解析】∵集合{}1,2a A =，集合{}1,1,4B =-，且A B ⊆ ∴24a = ∴2a = 故答案为2.例8．已知集合{}15A x x =≤<，{}3B x a x a =-<≤+，若()B A B ⊆，则实数a 的取值范围为________．【解析】∵()B A B ⊆∴B A ⊆①当B =∅时，满足B A ⊆，此时3a a -≥+，即32a ≤-. ②当B ≠∅时，要使B A ⊆，则3135a a a a -<+⎧⎪-≥⎨⎪+<⎩，解得312a -<≤-由①②可知，实数a 的取值范围为(,1]-∞-． 故答案为(,1]-∞-.【方法点睛】判断集合间关系的3种方法①列举法：根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系；②结构法：从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等技巧，从元素结构上找差异进行判断； ③数轴法：在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系，运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.注意：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 考点三 集合的基本运算例9．设全集{}*5,U x x x N =<∈，集合{}1,2A =，{}2,4B =，则()U C AB = .【解析】∵集合{}{}*5,1,2,3,4U x x x N =<∈=，且集合{}1,2A =，{}2,4B = ∴{}1,2,4AB =∴{}()3U C AB =故答案为{}3.例10．已知全集{}22,3,23U a a =+-，{}21,2A a =-，{}5U C A =，则实数a ＝________. 【解析】由题意知，2235a a +-=，解得a ＝－4或a ＝2.① 当a ＝－4时，|2a －1|＝9，而9U ∉，所以a ＝－4不满足题意，舍去； ② 当a ＝2时，|2a －1|＝3，3U ∈，满足题意． 故实数a 的值为2. 故答案为2.例11．设集合{}(,)1A x y y ax ==+，集合{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =，则a b +=____.【解析】∵集合{}(,)1A x y y ax ==+，{}(,)B x y y x b ==+，且{}(2,5)A B =∴521a =+，且52b =+ ∴2a =，3b = ∴5a b += 故答案为5.例12．设A ，B 是非空集合，定义{}()()A B x x A B x A B ⊗=∈∉且．已知集合{}02A x x =<<，{}0B y y =≥，则A B ⊗=________.【解析】∵{}02A x x =<<，{}0B y y =≥ ∴{}0AB x x =≥，{}02A B x x =<<∴{}02A B x x x ⊗==≥或 故答案为{}02x x x =≥或.【方法点睛】解集合运算问题4个技巧① 看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键； ② 对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题简单明 了、易于解决；③ 数形结合：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图；④新定义型问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决.【名校新题】一、填空题1．（2019·江苏徐州第一次质量检测）已知集合{}0,1,2,3A =，{}|02B x x =<…，则A B =_________．【解析】取集合,A B 的公共部分即可，所以，{1,2}A B ⋂= 故答案为：{}1,22．（2019·苏北七市第二次质量检测）已知集合{}13A a =，，，{45}B =，．若A B ={4}，则实数a 的值为____．【解析】∵A B ⋂= {}4，∴a=4 故答案为43．（2019·江苏金陵中学高考第四次模拟）设全集U ＝{}5N x x x *<∈，，集合A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ⋃B)＝_______．【解析】集合U ＝{}5N x x x *<∈，＝{}1,2,3,4，且A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，得A ⋃B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ⋃B)＝｛3｝ 故答案为：｛3｝4．（2019·江苏南通四月质量检测）已知集合 ，B ，则A B _____．【解析】∵由题意可知A∩B 中的元素是2的整数倍，且在(-2,3)内， ∴A∩B ＝{0，2}． 故答案为：{0，2}．5．（2019·江苏徐州高考考前模拟）集合{}1,0,1A =-，{}|20B x x =-<<，则A B 中元素的个数是______．【解析】A 中仅有1B -∈，故AB 中元素的个数为1，填1 .6．（2019·江苏宿迁调研测试）已知集合[)1,4,(,)A B a ==-∞，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是 。

1.2集合间的基本关系1.子集一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集，记作 A B B A 或.读作“A 含于B ”(或“B 包含A ”).2.真子集如果集合B A ,但存在元素A x B x 且,,我们称集合A 是集合B 的真子集，记作BA或A B，读作“A 真含于B 或（B 真包含A ）”3.集合相等如果集合A 是集合B 的子集 B A ,且集合B 是集合A 的子集 A B ,此时,集合A 与集合B 中的元素是一样的,因此,集合A 与集合B 相等,记作A =B .4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为规定： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集5.集合中元素个数与子集，真子集的关系集合中元素个数子集个数真子集个数1234n例1．已知集合 |05,A x x 且 N x ，则集合A 的子集的个数为（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】D【分析】先求出集合A 中元素的个数，再利用含有n 个元素的集合的子集个数为2n ，即可求出结果.【详解】因为 |05,A x x 且 N 0,1,2,3,4x ，可知，集合A 中含有5个元素，所以集合A 的子集个数为5232 .故选：D.变式1-1．集合 1，3，7的真子集的个数是（）A ．8B ．7C ．3D ．5【答案】B【分析】根据公式，直接求真子集个数.【详解】集合 1,3,7中有3个元素，所以集合的真子集个数为3217 个.故选：B变式1-2．已知集合 0,1,2,3A ，则含有元素0的A 的子集个数是（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A 的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A 的子集有 0， 0,1， 0,2， 0,3， 0,1,2， 0,1,3， 0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A 的子集个数为8.故选：D.变式1-3．设集合 |M x x A ，且}x B ，若{1,3,5,6,7}A ，{2,3,5}B ，则集合M 的非空真子集的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．15【答案】B【分析】求得集合M ，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合{M xx A ∣且}{1,6,7}x B ，其非空真子集的个数为3226 .故选：B例2．符合 ,a b A ,,,a b c d 的集合的个数为（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】A【分析】根据元素个数求子集的个数，可得答案.【详解】由 ,a b A ,,,a b c d ，设 ,A a b B ，B ,c d ，故B 有3个.故选：A.变式2-1．已知集合M 满足 2,31,2,3,4,5M ，那么这样的集合M 的个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C.【详解】因为 2,31,2,3,4,5M ，所以集合M 可以为： 2,3,1,2,3,2,3,4,2,3,5,1,2,3,5，1,2,3,4,2,3,4,5,1,2,3,4,5共8个，故选：C.变式2-2．满足条件 1,2,3,41,2,3,4,5,6M 的集合M 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】所求集合M 的个数即为{}5,6的子集个数，求解即可.【详解】因为 1,2,3,41,2,3,4,5,6M ，所以集合M 的个数即为{}5,6的子集个数.因为集合{}5,6的子集个数为224 ，所以满足条件的集合M 的个数是4.故选:D.例3．写出集合 3,5,8的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合 3,5,8的所有子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8,3,5,8 ；集合 3,5,8的所有真子集为 ,3,5,8,3,5,3,8,5,8 .变式3-1．写出下列集合的所有子集：(1) 1；(2) 1,2；(3) 1,2,3．【答案】(1),{1} ；(2),{1},{2},{1,2} ；(3),{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}.【分析】（1）根据所给集合列出相应子集即可；（2）根据所给集合列出相应子集即可；（3）根据所给集合列出相应子集即可.（1）解：由题得所有子集有,{1} ..（2）解：由题得所有子集有,{1},{2},{1,2}. （3）解：由题得所有子集有,{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,3},{1,2,3}. 变式3-2．设集合 N|22A x x ，列出集合A 的子集.【答案】A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 【分析】先由条件确定集合A 的元素，再根据子集的定义写出其所有子集.【详解】由 N|22A x x 化简可得 0,1,2A ，所以A 的子集为 012010212012，，，，，，，，，，，， 变式3-3．求集合2{|20}A x x x 的子集和真子集.【答案】子集是 1212 ，，，，，真子集是12 ，，【分析】根据二次方程的解法可得 1,2A ，根据子集和真子集的定义求解即可【详解】集合2|201,2A x x x ，集合 12A ，的子集是 1212 ，，，，，共4个；集合 12A ，的真子集是 12 ，，，共3个.例4．已知集合21,21A a a a ，且2A ；(1)求实数a ；(2)写出A 的所有真子集.【答案】(1)3a (2) ，{2} ，{2}【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可；（2）根据真子集的定义写出A 的所有真子集即可.【详解】（1）因为2A ，所以12a 或2212a a ，当12a ，即1a 时，2212a a 不满足集合元素的互异性；当2212a a 时，解得1a （不满足集合元素互异性舍去）或3，所以当3a 时12a ，{2,2}A ，综上实数3a .（2）由（1）得{2,2}A ，所以A 的所有真子集为 ，{2} ，{2}.变式4-1．已知集合22,25A a a a ，且3A .（1）求a ；（2）写出集合A 的所有子集.【答案】（1）32a ；（2） ，72， 3 ，7,32.【解析】（1）由3A ，求得1a 或32a ，结合元素的特征，即可求解；（2）由（1）知集合7,32A，根据集合子集的概念，即可求解.【详解】（1）由题意，集合22,25A a a a ，且3A ，可得32a 或2325a a ，解得1a 或32a ，当1a 时，22325a a ，集合A 不满足互异性，所以1a 舍去；当32a 时，经检验，符合题意，故32a .（2）由（1）知集合7,32A，所以集合A 的子集是 ，72， 3 ，7,32.【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，属于基础题.变式4-2．已知集合23,25,0A a a a ，且3A .(1)求实数a 的取值的集合M ；(2)写出（1）中集合M 的所有子集.【答案】(1)31,2M；(2), 1, 3,2 31,2【分析】（1）利用3A 可求出a ，再验证合理性，进一步确定a 值；（2）利用子集的概念作答即可【详解】（1）因为3A ，且23,25,0A a a a ，所以33a 或2253a a ，解得=0a 或1a 或32a ，当=0a 时，2250a a ，集合中出现两个0，故舍去；当1a 时，}4,,{30A ，符合题意；当32a 时，9,3,02A，符合题意；∴实数a 的取值的集合31,2M（2）因为31,2M ，所以集合M 的子集有：, 1, 3,2 31,2例5．已知 ,,1,2,3,5,0,2,4,8,A B A C B C 求A ．【答案】 2或【分析】,A B A C ，则A B C ∩，可得集合A ．【详解】 1,2,3,5,0,2,4,8B C ，则 2B C ，则 2A 或A ．变式5-1．已知集合M 满足关系 ,,,,,a b M a b c d e ，写出所有的集合M ．【答案】答案见解析【分析】根据集合的包含关系，一一列举出符合要求的集合即可【详解】满足条件的集合M 可以是以下集合： ,a b ， ,,a b c ， ,.a b d ， ,,a b e ， ,,,a b c d ，,,,a b c e ， ,,,a b d e ， ,,,,a b c d e ，共8个例6．设22}-}320-20{|{|A x x x B x x ax ，，B A ．(1)写出集合A 的所有子集；(2)若B 为非空集合，求a 的值．【答案】(1) }1212{ ，，，，；(2)3【分析】（1）求解2320x x -即可得{1,2}A ；（2）由B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，分别将元素代入2-20x ax 解出a 即可.【详解】（1）由2320x x -解得1x 或2x ，则{1,2}A ，故集合A 的子集为： 121,2 ，，，；（2）B 为非空集合，B A 得{1}B 或{2}或{1,2}，由1x 或2x 代入2-20x ax 可得3a ，故a 的值为3.变式6-1．已知2560A x x x ， 6B x ax ，若B A ，求实数a 所构成的集合C ，并写出C 的所有非空真子集．【答案】答案见解析．【分析】求出集合A ，根据包含关系确定集合B ，再由非空真子集定义写出结论．【详解】由已知{2,3}A ，0a 时，B A ，B 时，{2}B 时，26a ，3a {3} B 时，36a ，2a ，综上{0,2,3}C ，C 的所有非空真子集有{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．变式6-2．已知{|15},{|1},R A x x B x a x a a (1)当N x 时，写出集合A 的所有子集，共有多少个？(2)若B A ，求实数a 的取值范围．【答案】(1)答案见解析；(2)25a .【分析】（1）由集合和子集的概念求解即可；（2）由集合间的关系列出关于a 的不等式，求解即可.（1）当N x 时，{2,3,4}A =,所以集合A 的子集有,{2},{3},{4},{2,3},{2,4},{3,4},{3,4,5} ，所以共有8个子集.（2）因为B A ，所以115a a ，解得25a ，所以实数a 的取值范围为25a ．变式6-3．已知2560A x x x ，20B x x px q ，B A ，且B 不是空集，（1）求集合B 的所有可能情况；（2）求p 、q 的值.【答案】（1） 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）1236p q 或21p q 或56p q .【解析】（1）解出集合A ，根据B A 且B 可得出所有可能的集合B ；（2）根据（1）中集合B 所有可能的情况，结合韦达定理可求得p 、q 的值.【详解】（1）25606,1A x x x ∵，B A 且B ，则 6B 或 1B 或 6,1B ；（2）若 6B ，由韦达定理可得2266p q ，解得1236p q ；若 1B ，由韦达定理可得2211p q，解得21p q ；若 6,1B ，由韦达定理可得 6161p q，解得56p q .综上所述，1236p q 或21p q 或56p q .变式6-4．已知集合 1,2,3A ．(1)若M 是A 的子集，且至少含有元素3，写出满足条件的所有集合M ；(2)若 30B x ax ，且B A ，求实数a 的取值集合．【答案】(1) 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；(2)30,1,,32.【分析】（1）根据集合包含关系和3M 可直接得到结果；（2）分别在0a 和0a 两种情况下，根据B A 构造方程可求得结果.（1）M A ∵，3M ， M 可能的集合为： 3， 1,3， 2,3， 1,2,3；（2）当0a 时，B ，满足B A ；当0a 时，3a B；若B A ，则31a 或32a 或33a ，解得：3a 或32a或1a ；综上所述：实数a 的取值集合为30,1,,32.例7．判断下列每对集合之间的关系：(1) 2,N A x x k k ， 4,N B y y m m ；(2) 1,2,3,4C ，D ={x x 是12的约数}；(3) 32,N E x x x ， 1,2,3,4,5F .【答案】(1)B A(2)C D (3)EF【分析】（1）分析A ，B 集合中元素的关系，即得解；（2）列举法表示集合D ，即得解；（3）列举法表示集合E ，即得解(1)由题意，任取4y m B ，有2(2),2y m m N ，故y A Î且6,6A B ，故B A(2)由于D ={x x 是12的约数}{1,2,3,4,6,12} 故C D(3)由于 32,N E x x x {|5,}{1,2,3,4}x x x N 故EF 变式7-1．指出下列各组集合A 与B 之间的关系：1 1,1A ，Z B ；2 1,0,1A ，210B x x ；3 1,3,5,15A ， B x x 是15的正约数 ；4*N A ，B N ．【答案】 1A B Ü； 2B A Ü； 3A B ； 4A B Ü.【分析】根据集合与集合间的关系判断即可.【详解】解： 11B ，1B ，但集合B 中的某些元素不属于集合A .所以A B Ü.2由 210B x x ，可求得 1,1B .又由 1,0,1A ，可知B A Ü.3由集合 B x x 是15的正约数 ，可求得 1,3,5,15B ，由于 1,3,5,15A ，则A B .4因为集合A 表示正整数集，集合B 表示自然数集，所以A B Ü.变式7-2．如图，试说明集合A ，B ，C 之间有什么包含关系．【答案】A B C【分析】由图可得答案.【详解】由图可得AB C 故答案为：A B C变式7-3．已知集合 31,A x x m m Z ，集合 32,B x x m m Z ，试证明A B ．【答案】证明见解析【分析】证明A B 且B A ，即得证.【详解】证明：设a A ，则存在1m Z ，使得 1131312a m m ，因为1m Z ，所以11m Z ，因此 1312a m B ，故A B ．设b B ，则存在2m Z ，使得 2232311b m m ，因为2m Z ，所以21m Z ，因此 2311b m A ，故B A ．综上，A B ．变式7-4．指出下列各组中的两个集合A 与B 的关系．（1） 05,N A a a a ， 0123,,,,5,4B ；（2）102,A ，sin 30s90,co B ；（3）{|A x x 是等腰三角形}，{|B x x 是等边三角形}；（4） 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ．【答案】（1）A B ；（2）A B ；（3）B A ；（4）A B ．【分析】（1）求出集合A 与集合B 比较即可求解；（2）求出集合B 与集合A 比较即可求解；（3）根据包含关系的定义即可判断；（4）出集合A 与集合B 中的元素即可求解；【详解】（1）因为 05,N 0,1,2,3,4A a a a ， 0123,,,,5,4B ，所以A B ；（2）因为1,1s ,2in 30cos9002B A ，所以A B ；（3）等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形，所以B 中的元素都在A 中，A 中有元素不在B 中，所以B A ；（4）因为 21,Z A x x m m ， 21,Z B x x n n ，所以集合A 与集合B 中的元素都是全体奇数，所以A B .变式7-5．已知集合{|,}2k A x x kZ ，{|,}2B x x n n Ζ.(1)分别判断元素2 ，20212与集合A ，B 的关系；(2)判断集合A 与集合B 的关系并说明理由.【答案】(1)2A ，2B ，20212A ，20212B ；(2)B A Ü，理由见解析.【分析】（1）根据集合的描述，判断是否存在,Z k n 使2 ，20212属于集合A ，B 即可.（2）法一：由（1）结论，并判断x B 是否有x A ，即知A 与B 的关系；法二：A ={x |x 是2 的整数倍}，B ={x |x 是2的奇数倍}，即知A 与B 的关系；【详解】（1）法一：令22k，得4k Z ，故2A ；令22n ，得52n Z ，故2B .同理，令202122k ，得2021k Z ，故20212A ；令202122n ，得1010n Z ，故20212B .法二：由题意得：{|,}2k A x x kZ ，(21){|,}2n B x x n Ζ又422，故2A ，2B ；20212A ，(210101)2B .（2）法一：由（1）得：2A ，2B ，故A B ；又x B ，00(21)22n x n，由0n Z ，得021k n Z ，故x A ，所以x B ，都有x A ，即B A ，又A B ，所以B A.法二：由题意得{|,}2k A x x kZ ={x |x 是2 的整数倍}，(21){|,}2n B x x n Ζ={x |x 是2的奇数倍}，因为奇数集是整数集的真子集，所以集合B 是集合A 的真子集，即B A.例8．已知集合240A x x ax ， 1,4B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【答案】{44aa ∣或5}a 【分析】根据题意分A 和A 讨论，在A 时分集合A 为单元素集和双元素集两种讨论即可.【详解】由题意知A B ∵，若A ，则2440a ，解得44a ，若A ，2160a ，解得4a 或4 ，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，此时{2}A ，不合题意，舍去，当4a 时，则方程为2440x x ，解得2x ，{2}A ，不合题意，舍去，当0 ，即2160a ，解得4a 或4a <-，则由题意知{1,4}A ，则1,4为方程240x ax 两根，根据韦达定理得145a ，综上所述a 的范围是{44aa ∣或5}a .变式8-1．已知集合 2|260,|20M x x x N x ax ，且N M ，求实数a 的值.【答案】40,,13【分析】根据题意分0a 与0a ，结合N M ，分别讨论计算，即可得到结果.【详解】因为N M ，当0a 时，N ，符合题意；当0a 时，2N a，而 23|260,22M x x x ，所以232a 或22a ，解得43a 或1a .所以a 的取值为40,,13变式8-2．已知集合22|10,|20A x x B x x ax b ，若B ，且A B ，求实数,a b 的值．【答案】11a b 或11a b 或01a b 【分析】先求得集合A ，然后根据A B 进行分类讨论，由此求得,a b 的值.【详解】210x -=，解得1x 或=1x ，所以 1,1A ，依题意B ，且A B ，22440,a b a b .①当 1B 时，1(1)21(1)a b ，∴11a b；②当 1B 时，11211a b ，∴11a b；③当 1,1B 时，11211a b ，∴01a b．综合得11a b 或11a b 或01a b ．变式8-3．若集合 2|60A x x x ，{|10}B x mx ，且B A ，求实数m 的值.【答案】13m 或12m 或0m 【分析】分0m 和0m 两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】2|603,2A x x x ，当0m 时，B A ，当0m 时，1{|10}B x mx m，因为B A ，所以13m 或12m，所以13m 或12，综上所述，13m 或12m 或0m .变式8-4．已知集合 2|560A x x x ，2|50B x x x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】6a 或254a .【分析】由题意，求得 2,3A ，再根据B A ，结合韦达定理分B 和B 两种情况讨论即可求出答案．【详解】由2|560A x x x ，则 2,3A .2|50B x x x a ∵，B 为方程250x x a 的解集.①若B ，则B A ，2B 或 3B 或 2,3B ，当 2B 时250x x a 有两个相等实根，即12122,45x x x x 不合题意，同理3B ，当 2,3B 时，235,236,a 符合题意；②若,B 则Δ2540a ，即254a ，综上所述，实数a 的取值范围为6a 或25.4a变式8-5．已知222|280,|120A x x x B x x ax a .(1)若A B ，求a 的值；(2)若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2(2)4a 或4a <-或2a .【分析】（1）先求出集合A ，再利用条件A B ，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a 值；（2）对集合B 进行分类讨论：B 和B ，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a 的范围；【详解】（1）由方程228=0x x ，解得2x 或4x 所以 2,4A ，又A B ，22120B x x ax a ，所以 2,4B ，即方程22120x ax a 的两根为12x 或24x ，利用韦达定理得到：24a ，即2a ；（2）由已知得 2,4A ，又B A ，所以B 时，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a 或4a <-；当B 时，若B 中仅有一个元素，则224(12)0a a ，即2160a ，解得4a ，当4a 时， 2B ，满足条件；当4a 时， 2B ，不满足条件；若B 中有两个元素，则B A ，利用韦达定理得到，224(2)412a a ，解得2a ，满足条件.综上，实数a 的取值范围是4a 或4a <-或2a .变式8-6．已知m 为实数，210A x x m x m ， 10B x mx ．(1)当A B 时，求m 的取值集合；(2)当B A 时，求m 的取值集合.【答案】(1)1(2)0,1 【分析】（1）分1m 、1m 两种情况讨论，求出集合A ，根据A B 可得出关于m 的等式，即可求得实数m 的值；（2）分1m 、0m 、1m 且0m 三种情况，求出集合A 、B ，根据BA 可得出关于m的等式，即可解得实数m 的值.【详解】（1）解：因为 211x m x m x x m ，所以当1m 时， 1A ，当1m 时， 1,A m ．又A B ，所以1m ，此时 1B ，满足A B ．所以当A B 时，m 的取值集合为 1．（2）解：当1m 时， 1A B ，BA 不成立；当0m 时， 1,0A ，B ，B A 成立；当1m 且0m 时，1B m ， 1,A m ，由B A ，得1 m m，所以1m ．综上，m 的取值集合为 0,1 ．变式8-7．已知集合2320A x x x ，集合 10B x mx .(1)求A ；(2)若B A ，求实数m 的取值集合.【答案】(1)1,2A (2)10,,12【分析】（1）解A 中的一元二次方程即可；（2）分B 和B ，即分0m 和0m 讨论即可.【详解】（1）2320x x ，解得1x 或2，故 1,2A .（2）①当B 时，0m 符合；②当B 即0m 时，则1B m，由B A 可得11m 或2，解得12m 或1综上m 的取值集合为10,,12.变式8-8．设集合2{|320}A x x x ， 2{|10}B x x m x m .(1)若B 中有且只有一个元素，求实数m 的值；(2)若B A 求实数m 的值.【答案】(1)1(2)m ＝1或m ＝2【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案；（2.【详解】（1）解法一：因为 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，又B 中只有一个元素，故1m .解法二：B 中有且只有一个元素，所以方程 2 10x m x m 有唯一实根，从而22(1)4(1)0m m m ，所以m ＝1.（2）由2320x x ，解得=1x 或2x ，由 210x m x m ，整理可得 10x x m ，解得=1x 或x m ，B ⊆A ，当m ＝1时，B ＝{﹣1}，满足B ⊆A ，当m ＝2时，B ＝{﹣1，﹣2}同样满足B ⊆A ，故m ＝1或m ＝2.例9．已知集合 22A x x ， 21C x a x a ，若C A ，求a 的取值范围．【分析】分C 和C 两种情况讨论，当C 时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当C 时，21a a ，解得1a ，当C 时，因为C A ，则212212a a a a，解得11a ，综上1a .变式9-1．已知R,{|17},{|23}U A x x B x a x a ，若B A ，求满足条件的a 的取值范围．【答案】,31,2 【分析】对B 分类讨论，利用集合的包含关系列不等式组，即可求解.【详解】当B 时，满足B A ，此时，有23a a ，解得：3a ；当B 时，要使B A ，只需231237a a a a，解得：12a .所以实数a 的取值范围为 ,31,2 .变式9-2．已知集合24}|A x x｛，{|23}B x a x a .若B A ，求实数a 的取值范围.【答案】4,3【分析】利用集合间的包含关系，列出不等式即可求解.【详解】因为B A ，所以分B 和B 两种情况：①当B 时，则23a a ，解得：1a ，②当B 时，则232234a a a a ，解得：413a ，综上，实数a 的取值范围为4,3．变式9-3．设集合 116,11A x x B x m x m .(1)当x Z 时，求A 的非空真子集的个数；(2)若B A ，求m 的取值范围.(2)1,4 【分析】（1）由题得 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 即可解决.（2）根据B A 得，1512m m 即可解决.【详解】（1）由题知， 25A x x ，当x Z 时， 252,1,0,1,2,3,4,5A x x 共8个元素，A 的非空真子集的个数为822254 个；（2）由题知， 116,11A x x B x m x m 显然11m m ，因为B A ，所以1512m m，解得14m ，所以实数m 的取值范围是 1,4 .变式9-4．已知集合 |4228A x k k ， |B x k x k ，(1)若A B ，求实数k 的取值范围；(2)若B A ，求实数k 的取值范围.【答案】(1)4k (2)8k 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为A B ，①当A 时：4228k k ，即3k 符合题意；②当A 时，42282842k k k k k k，34k ，综上所述：4k .（2）因为B A ，①当B 时，A ，4228k k k k ，解得0 3k k，无解，②当B 时，2842k k k k k k 或2842k k k k k k，888k k k 或，，综上所述：8k .变式9-5．已知集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}．(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(2)若A ⊆B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围；(3)若A ＝B ，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，求实数m 的取值范围．【答案】(1)(,3](2)[3,4](3)m【分析】（1）根据B ⊆A 分B 或 两种情况进行解答即可；（2）借助于子集概念得到两集合端点值的关系，求解不等式得到m 的范围；（2）借助于相等集合的概念得到两集合端点值的关系，求解等式得到m 的范围．（1）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m +1≤x ≤2m ﹣1}，由B ⊆A 得21512121m m m m或B ，即21512121m m m m或m +1＞2m ﹣1，解得2≤m ≤3或m ＜2，所以实数m 的取值范围是(,3] ；（2）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ⊆B 得62215621m m m m，解得3≤m ≤4，所以实数m 的取值范围是[3，4]；（3）集合A ＝{x |﹣2≤x ≤5}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m ﹣1}，由A ＝B 得62215m m ，无解，所以实数m ．变式9-6．设全集U R ，集合 |15A x x ，集合 |212B x a x a ，其中a R ．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B A ，求a 的取值范围【答案】(1) 2,a ；(2) ,1a ．【分析】（1）根据A B .（2）根据B A ，分B 与B 进行讨论，列出不等式，即可得到结果.（1）因为A B ，所以21121252a a a a a，即a 的取值范围是 2,a ；（2）因为B A ，若B ，则11223a a a ；若B ，则125212111312213a aa a aa a a，综上所述： ,1a ．。

专题 集合运算与关系考点精要1．集合的含义． 2．集合的表示． 3．集合间的根本关系． 4．集合的根本运算．热点分析热点是集合的根本概念、运算和工具作用，考察重点是集合与集合之间的关系．知识梳理1．集合：某些确定的对象集在一路成为集合．〔1〕集合中的对象称元素，假设a 是集合A 的元素，记作a A ∈；假设b 不是集合A 的元素，记作b A ∉．〔2〕集合中的元素必需知足：肯定性、互异性与无序性． 〔3〕表示一个集合可用列举法、描述法或图示法：列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内； 图示法：集合的表示除列举法和描述法外，还有文恩图〔文氏图〕画一条封锁的曲线，用它的内部来表示一个集合，如图： 〔4〕常常利用数集及其记法：非负整数集〔或自然数集〕，记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R ． 2．集合的包括关系：〔1〕集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，那么称A 是B 的子集，记作A ⊆B 〔或B ⊇A 〕．表示任意一个集集合相等：组成两个集合的元素完全一样．假设A ⊆B 且B ⊇A ，那么称A 等于B ，记作A =B ．假设A ⊆B 且A B ≠，那么称A 是B 的真子集，记作A B ．〔2〕简单性质：①A ⊆A ； ②Φ⊆A ； ③假设A ⊆B ，B ⊆C ，那么A ⊆C ；④假设集合A 是n 个元素的集合，那么集合A 有2n 个子集〔其中2n －1个真子集〕． 3．全集与补集：〔1〕包括了咱们所要研究的各个集合的全数元素的集合称为全集，记作S 〔或U 〕； 〔2〕假设S 是一个集合，A ⊆S ，那么S A ={|}x x S x A ∈∉且称S 中子集A 的补集； 〔3〕简单性质：①S 〔S A 〕=A ； ②S S =Φ，S Φ=S ． 4．交集与并集：〔1〕一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．交集{|}A B x x A x B ⋂=∈∈且．〔2〕一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与 B 的并集．{|}A B x x A x B ⋃=∈∈并集或． 5．集合的简单性质：〔1〕,,A A A A A B B A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂； 〔2〕,A A A B B A ⋃Φ=⋃=⋃； 〔3〕()()A B A B ⋂⊆⋃；〔4〕;A B A B A A B A B B ⊆⇔⋂=⊆⇔⋃=；〔5〕S 〔A ∩B 〕=〔S A 〕∪〔S B 〕，S 〔A ∪B 〕=〔S A 〕∩〔S B 〕． 例题精讲:例1: 设集合U ={1,2,3,4,5}，A ={2,4}，B ={3,4,5}，C ={3,4}，那么()()U A B C =_______．例2: 概念集合A 、B 的一种运算：A ＊B ＝{x ｜x ＝x 1+x 2, x 1∈A , x 2∈B }，假设A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，那么A ＊B 中的所有元素之和为________ 例3: 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式|1|1x -≤的解集为Q ．〔1〕假设3a =，求P ； 〔2〕假设Q P ⊆，求正数a 的取值范围．变式：设集合},0|{},0422|{2<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,求实数m 的取值范围. 例4〔2021北京〕设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，若是1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元〞，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素组成的所有集合中，不含“孤立元〞的集合共有 个.针对训练1．设集合21{|2},{1}2A x xB x x =-<<=≤，那么A B =A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤ C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<2．全集S ={x |4x ≤,x ∈N *}，A ={1,2,3}，A ∩S B ={2,3}，那么B = A ．{2,3}B ．{2,3}或{2,3,4}C ．{1,4}D ．{1,4}或{1}3．集合A ={3－2x ,1,3}，B ={1,x ２}，而且A ∪B =A ，那么知足条件的实数x 的个数为 A ．1 B ．2 C ．3D ．44．设M ={x | x ∈Z }，N ={x | x =2n ,n ∈Z }，P ={x | x =n ＋12}，那么以下关系正确的选项是 A ． N M ．B ． N PC ．N =M ∪PD ．N =M ∩ P5．集合A ={y | y =x 2+1}，B ={y | y =x +1}，那么 A ∩ B = A ．{〔1,2〕,〔0,1〕}B ．{0,1}C ．{1,2}D ．[1,)+∞6．设全集I 是实数集R ，{|11}M x y x x ==-++与1(,]3N =-∞-都是I 的子集〔如下图〕，那么阴影局部所表示的集合为 A ．{|1}x x <- B ．{|x x ≤ 5}-C ．{|1x -≤x ≤1}3-D ．{|1}x x >7．概念集合运算：A ∪B ={z | z = xy 〔x+y 〕, z ∈A , y ∈B }，设集合A={0,1}，B={2,3}，那么集合A ∪B 的所有元素之和为A ．0B ．6C ．12D ．188．全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U A B 等于A ．{}|24x x -<≤B ．{}|34x x x ≤≥或C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤9．集合{}|lg ,1A y y x x =∈=>R ，}{2,1,1,2B =--，那么以下结论正确的选项是A ．}{2,1AB =-- B ．()(,0)R A B =-∞C ．(0,)A B =+∞D ． }{()2,1R A B =--10．U =R ，A ={}|0x x >，B ={}|1x x ≤-，那么()()UUA B BA =A ．∅B ．{}|0x x ≤ C．{}|1x x >-D ．{}|01x x x >≤-或 11．集合{}3|0|31x M x N x x x +⎧⎫=<=-⎨⎬-⎩⎭，≤，那么集合{}|1x x ≥＝ A ．M N B ．M NC ．()U MND ．()U MN12．设集合{}1|3,|04x A x x B x x -⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，那么A B =A ．∅B ．()3,4C ．()2,1-D ．()4,+∞13．设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的概念域为N ，那么M N ⋂为A ．[0，1〕B ．〔0，1〕C ．[0，1]D ．〔-1，0]14．集合A ={x | |x |2≤, x ∈R }，B ={x | x a ≥}，且A B ，那么实数a 的取值范围是___________． 答案 ；例1: {2,5} 例2: 14 例3; 〔1〕{x / -1<x <3} 〔2〕 a >2针对训练1．A 2．D 3．C 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 9．D 10．D 11．D 12．B 13．A14．3a ≤高三链接 模拟实战1〔09北京文〕设集合21{|2},{1}2A x x B x x =-<<=≤，那么A B =——A ．{12}x x -≤<B ．1{|1}2x x -<≤C ．{|2}x x <D ．{|12}x x ≤<2〔10北京理〕 集合2{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，那么P M =——(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0≤x<3} (D) {x|0≤x ≤3}3〔05北京理〕设全集U =R ，集合M ={x | x >1，P ={x | x 2>1}，那么以下关系中正确的选项是 〔A 〕M ＝P 〔B 〕PM 〔C 〕M P 〔 D 〕U MP =∅4〔08北京文〕全集∪＝R ，集合A =|x |-2≤x ≤3|，B =|x |x 〈-1或x 〉4|，那么集合A ∩〔εv B 〕等于(A)|x |-2≤x 〈4| 〔B 〕|x |x ≤3或≥4| (C)|x |-2≤x <-1(D)|x | -1≤x ≤3|5〔11北京文〕全集U=R,集合P=｛x ︱x 2≤1｝,那么A ．(-∞, -1]B ．[1, +∞〕C ．[-1，1]D ．〔-∞，-1] ∪[1，+∞〕6〔2021年西城一模1〕集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，那么A B =〔 〕〔A 〕(2,5) 〔B 〕[2,5) 〔C 〕{2,3,4} 〔D 〕{3,4,5}7〔2021年朝阳一模1〕假设集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ，那么N M ⋂等于〔 〕 〔A 〕[)0,+∞〔B 〕(,)-∞+∞ 〔C 〕∅ 〔D 〕{(2, 4)，(1, 1)-}答案1 B 2 B 3 C 4 D 5 D 6C 7 A。

专题01 集合与常用逻辑用语（知识梳理）一、集合1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A 、B 、C 、…来表示。

2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母a 、b 、c 、…来表示。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合，应注意区别。

3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。

4、元素与集合的关系：之间只能用“∈”或“∉”符号连接。

(1)属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈；(2)不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉。

5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。

例：集合},1{a A =，则a 不能等于1。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。

例：}2,1,0{有}1,2,0{、}2,0,1{、}0,2,1{、}1,0,2{、}0,1,2{等六种表示方法。

6、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合。

(2)无限集：含有无限个元素的集合。

(3)空集：不含任何元素的集合。

7、常见的特殊集合：(1)正整数集*N 或+N ；(2)非负整数集N (即自然数集，包括零)；(3)整数集Z (包括负整数、零和正整数)；(4)有理数集Q (包括整数集Z 和分数集→正负有限小数或无限循环小数)；(5)实数集R (包括所有的有理数和无理数)；注意：①}{整数=Z (√)；}{全体整数=Z (×)；②},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈=⋅表示坐标轴上的点集；③},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈>⋅表示第一、三象限的点集；④},,0|),{(R y R x y x y x ∈∈<⋅表示第二、四象限的点集；⑤对方程组解的集合应是点集，例：⎩⎨⎧=-=+1323y x y x 解的集合)}1,2{(； 例1-1．判断下列说法是否正确，并说明理由。

专题1.1集合一、集合的概念和表示【思维导图】【考点总结】一、集合的含义1、元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2、元素与集合的关系3(1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A＝{a1，a2，a3，…，a n}．(2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．二、集合间的基本关系【思维导图】【考点总结】一、子集的相关概念(1)Venn 图①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法．②适用范围：元素个数较少的集合．③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．(2)子集、真子集、集合相等的概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )②集合相等如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .③真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集AB (或BA )④空集定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为：∅.规定：空集是任何集合的子集．二、集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，①若A ⊆B ，且B ⊆C ，则A ⊆C ；②若AB 且BC ，则AC .③若A B 且A ≠B ，则AB .三、集合的基本运算【思维导图】【考点总结】一、并集、交集1、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．2、交集(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：如图所示．二、补集及综合应用补集的概念(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U .(2)补集文字语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言【常用结论】1．三种集合运用的性质(1)并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(2)交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A B 且BC ，则AC .(4)含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．1．若全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2},{2,3,4}A B ==，则()UA B =ð（）A ．{0,1}B ．{1,2,3}C ．{0}D ．{0,1,2,5}【答案】D【解析】由题得{0,1,5}U B =ð，又{0,1,2}A =，所以(){0,1,2,5}=UA B ð.故选：D.2．设13{|}{|}34M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，都是{|01}x x ≤≤的子集，如果b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的长度，则集合M N ⋂的长度的最小值是（）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D【解析】由题意1013m m ≤≤+≤，即203m ≤≤，3014n n ≤-≤≤，即314n ≤≤，由于M 的长度是13，N 的长度是34，13133412+=，13111212-=，所以M N ⋂长度不小于112．则首先有01m n =⎧⎨=⎩或113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，当01m n =⎧⎨=⎩时，11{|}43MN x x =≤≤，M N ⋂的长度为1113412-=，当113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，23,34m n ==，则23{|}34MN x x =≤≤，M N ⋂的长度是3214312-=．故选：D ．3．已知集合{P =正奇数}和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，，，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法【答案】C【解析】若3,1a b ==，则4a b +=P ∉，2a b P -=∉，13b P a =∉，因此排除ABD ．故选：C ．4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）0是自然数；（3）{}123，，是不大于3的自然数组成的集合；（4）N,N a b ∈∈，则a b +不小于2．其中正确的命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】对于（1），集合N 中最小的数是0，故错误，对于（2），0是自然数，故正确，对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，对于（4），当1,0a b ==，则2a b +<，故错误，故选：A5．已知集合|,Z 44k M x x k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,Z 84k N x x k ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．∅B ．MC ．ND ．Z【答案】B【解析】由题意，()21|Z 8k M x x k π⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，()2,Z 8k N x x k π⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为()()21,Z k k +∈表示所有偶数，()2Z k k -∈能表示所有整数，故M N M⋂=故选：B6．以实数x x x -，，）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：当0x >时，||0,0x x x =>=-<，此时集合中共有2个元素；当0x =时，||0x x x =-==，此时集合中共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合中共有2个元素；综上所述，以实数x x x -，，2个元素.故选：C.7．已知集合(){}10A x x x =-=，{}21B x x ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0C ．{}1,1-D ．{}1【答案】A由已知得{}0,1A =，{}1,1B =-，则{}1,0,1A B =-U .故选：A.8．设集合{}2,M x x n n ==∈Z ，{}21,N x x n n ==+∈Z ，{}4,P x x n n ==∈Z ，则（）A ．M P ÜB ．P MÜC ．N P ⋂≠∅D ．MN ≠∅【答案】B【解析】因为{}2M x x n n ==∈Z ，，{}21N x x n n ==+∈Z ，，{}4P x x n n ==∈Z ，，所以M P P M N P MN ≠=∅=∅，，，Ü.故选：B9．已知集合11{|,N}{|,N}623n M x x m m N x x n ==+∈==-∈，，则,M N 的关系为（）A ．M N =B ．N M ÖC ．M N ÜD ．N M⊆【答案】C【解析】解：因为321{|,N}6m M x x m ⋅+==∈，32311{|,N}66n n N x x n --+===∈，所以M N Ü.故选：C ．10．集合{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S z z m m ==+∈之间的关系是（）A ．S 真包含于P 真包含于MB ．S P =真包含于MC ．S 真包含于P M =D ．M P =真包含于S【答案】C【解析】解：{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S y y m m ==+∈，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16M ∴=⋯---⋯，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16P =⋯---⋯，{}1,7,13,19,25,S =⋯⋯，S ∴真包含于P M =，故选：C ．11．已知6{N |N}6M x x=∈∈-，则集合M 的子集的个数是（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】解：因为6N 6x∈-，所以61,2,3,6x -=，又N x ∈，所以0,3,4,5x =，所以集合{}0,3,4,5M =，所以集合M 的子集个数为4216=个．故选：B ．12．设,A B 是两个集合，有下列四个结论：①若A B Ø，则对任意x A ∈，有x B ∉；②若A B Ø，则集合A 中的元素个数多于集合B 中的元素个数；③若A B Ø，则B A Ø；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉．其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】解：对于①，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，故①错误；②若A B Ø，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3,5,6A B ==，故②错误；③若B A Ü，则A B Ø，但B A Ø不成立，故③错误；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉，故④正确．所以正确结论的个数为1个，故选：D.13．设全集{}2,1,1,2U =--，集合{}1,2A =-，{}2320B x x x =-+=，则()U B A =ð（）A ．{}1B ．{}2-C ．{}2,1-D ．∅【答案】B 【解析】{}{}23201,2B x x x =-+==，集合{}1,2A =-，所以{}1,1,2A B ⋃=-，全集{}2,1,1,2U =--，(){}2U A B =-ð．故选：B14．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()UA B =ð（）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}3,5C ．{}2,4D ．{}2,3,4,5,6【答案】C【解析】由题意，{}U 2,4,6B =ð，故(){}U2,4A B =ð故选：C15．以下六个写法中：①{}{}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}0∅∈；④{}{}0,1,22,0,1=；⑤0∈∅；正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．16．已知集合(][),23,A =-∞-+∞，则()R Z=A ð（）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【解析】因为(][),23,A =-∞-+∞，所以()R =2,3A -ð，所以()(){}R Z 2,3Z 1,0,1,2A =-=-ð.故选：B.17．集合{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：∵{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，∴{}0,1,2,3B =，则{}0,1,2A B =，{}0,1,2,3,4,8A B =，选项A 中阴影部分表示的集合为A B ，即{}0,1,2，故A 错误；选项B 中阴影部分表示的集合由属于A 但不属于B 的元素构成，即{}R 4,8A B =ð，故B 正确；选项C 中阴影部分表示的集合由属于B 但不属于A 的元素构成，即{}R 3B A =ð，有1个元素，故C 错误；选项D 中阴影部分表示的集合由属于A B 但不属于A B 的元素构成，即{}3,4,8，故D 错误．18．如图，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，则Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{-5，0，3}B ．{-5，1，3}C ．{0，3}D ．{1，3}【答案】A 因为集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，Venn 图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5，0，3}．故选：A.19．设全集{}*5U x N x =∈≤，集合{}1,2M =，{}2,3,4N =，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{}2B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}2,3,4【答案】B 【解析】解：由Venn 图中阴影部分可知对应集合为N ()UM ð全集*{|5}{1U x N x =∈≤=，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{2N =，3，4}，U M ð={}3,4,5，N ()UM ð={}3,4．故选：B ．20．设全集U =R ，集合{}2A x x =>，{}06B x x =<≤，则集合()U A B =ð（）A ．{}02x x <<B ．{}02x x ≤<C ．{}02x x <≤D ．{}02x x ≤≤【解析】【分析】{}2A x x =>,{}2U A x x ∴=≤ð,而{}06B x x =<≤(){}02U A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：C.。

专题01 集合与运算（解析版）注意：集合易错点易错点1：对描述法表示集合的理解不透彻而出错用描述法表示集合，一定要注意两点：1、一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；2、一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么。

易错点2：混淆数集和点集的表示使用特征法表示集合时，首先要明确集合中的代表元素是什么，比如，①{y|y=x2+1};②{(x,y)|y=x2+1}，这两个集合中的代表元素的属性表达式都和y=x2+1有关，但由于代表元素符号形式不同，因而表示的集合也不一样。

①代表的数集，②代表的是点集。

易错点3：忽视集合中元素的互异性在学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题都容易出错，尽管知道集合众元素是互异的，也不会写出{3，3}这样的形式，但当字母x出现时，就会忽略x=3的情况，导致集合中出现相同元素。

易错点4：忽略空集的存在空集是一个特殊而又重要的结，它不含任何元素，记为∅。

在解隐含有空集参与的集合问题时，非常容易忽略空集的特殊性而出错。

特别是在求参数问题时，会进行分类讨论，讨论过程中非常容易忘记空集的存在，导致最终答案出错。

易错点5：利用数轴求参数时忽略端点值在求集合中参数的取值范围时，要特别注意该参数在取值范围的边界处能否取等号，最稳妥的办法就是把端点值带入原式，看是否符合题目要求。

要注意两点：1、参数值代入原集合中看是否满足集合的互异性；2、所求参数能否取到端点值。

易错点6：混淆子集和真子集而错集合之间的关系类问题涉及到参数时，需要分类讨论，分类讨论时非常容易忽略两个集合完全相等这种情况，认为子集就是真子集，最终导致参数求错或者集合的关系表达不准确。

易错点7：求参数问题时，忘记检验而出错根据条件求集合的中的参数时，一定要带入检验，看是否满足集合的“三性”中互异性，同时还要检验是否满足题干中的其他条件。

编者把十年来全国新课标卷的题，通过分组的方式来呈现给大家。

专题01集合的含义及表示【学习目标】1.了解集合的含义，会使用符号“∈”“∉”表示元素与集合之间的关系．2.能选择自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．3.理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集、解集和一些基本图形的集合等．【考点梳理】集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上.另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用.考点一：集合的有关概念1．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.2．一般地，研究对象统称为元素(element)，一些元素组成的总体叫集合(set)，也简称集.【微点拨】（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合B的元素．3．关于集合的元素的特征(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.【微点拨】集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．4．元素与集合的关系：(1)如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)A，记作a∈A∉(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)A，记作a A5．集合的分类(1)空集：不含有任何元素的集合称为空集(empty set)，记作：∅.(2)有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.(3)无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.6．常用数集及其表示非负整数集(或自然数集)，记作N正整数集，记作N*或N+整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R考点二：集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合.1. 自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法.如：大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合.2. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；3.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.【微点拨】（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．4.图示法：图示法主要包括Venn图、数轴上的区间等.为了形象直观，我们常常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，这种表示集合的方法称为韦恩（Venn）图法. 如下图，就表示集合{}1,2,3,4.1，2，3，4【典型例题】类型一：集合的概念及元素的性质例1.下列各组对象哪些能构成一个集合？(1)著名的数学家；(2)比较小的正整数的全体；(3)某校2011年在校的所有高个子同学；(4)不超过x-=在实数范围内的解；（6）2的近似值的全体.20的非负数；(5)方程290【答案】(4)、（5）【解析】从集合元素的“确定”、“互异”、“无序”三种特性判断.“著名的数学家”、“比较小的正整数”、“高个子同学”对象不确定，所以(1)、(2)、（3）不是集合，同理(6)也不是集合.(4)、（5）可构成集合，故答案是(4)、（5）.【总结】(1)判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.(2)“有限集”和“无限集”是通过集合里面元素的个数来定义的，集合里面元素的个数很多，但不一定是无限集.【变式1】判断下列语句能否确定一个集合？如果能表示一个集合，指出它是有限集还是无限集.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生的全体；(2)举办2021年全运会的城市；(3)高一数学课本中的所有难题；(4)2020年武汉在心冠病毒中遇难的人的全体；(5)大于0且小于1的所有的实数.【答案】集合：（1）、（2）、（4）、（5）；有限集：（1）、（2）、（4）．【解析】紧扣“集合”、“有限集”、“无限集”的定义解决问题.(1)你所在的班，体重超过75kg的学生是确定的，不同的，能组成一个集合，且为有限集；(2)举办2021年全运会的城市也能组成一个集合，为有限集；(3)不能构成集合.“难题”的概念是模糊的，不确定的，无明确标准，对于一道数学题是否是“难题”无法客观判断.(4) 2020年武汉在心冠病毒中遇难的人是确定的，不同的，因而能构成集合，是有限集.(5) 大于0且小于1的所有的实数也是确定的，互异的，因此这样的实数能构成一个集合，是无限集. 例2．集合A 由形如3(,)m n m Z n Z +∈∈的数构成的，判断123-是不是集合A 中的元素？【答案】是【解析】由分母有理化得，12323=+-.由题中集合A 可知2,1,m n ==均有,m Z n Z ∈∈，∴23A +∈，即123A ∈-.【总结】（1）解答本题首先要理解∈与∉的含义，然后要弄清所给集合是由一些怎样的数构成的，123-能否化成此形式，进而去判断123-是不是集合A 中的元素.（2）判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征.此类题，主要看能否将所给对象的表达式转化为集合中元素所具有的形式.【变式1】设S={x|x=m+2n,m,n Z}∈ (1)若a ∈Z ，则是否有a ∈S ？(2)对S 中任意两个元素x 1，x 2，则x 1+x 2，x 1·x 2，是否属于集合S ？ 【答案】a ∈S 是【解析】(1)若a ∈Z ，则有a ∈S ，即n=0时，x ∈Z ，∴a ∈S ； (2)∀x 1，x 2∈S ，则1112221122x =m +2n ,x =m +2n (m ,n ,m ,n Z)∈1212121212()2()(,)x x m m n n S m m Z n n Z ∴+=+++∈+∈+∈ 12112212121221x x =(m +2n )(m +2n )=m m +2n n +2(m n +m n )⋅⋅∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴m 1m 2+2n 1n 2∈Z ，m 1n 2+m 2n 1∈Z ∴x 1·x 2∈S.【变式2】定义集合运算A ⊙B ={z |z =xy （z +y ），x ∈A ，y ∈B }，设集合A ={0,1}，B ={2,3}，则集合A ⊙B =【点拨】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键，集合中元素不多时，将各个元素列举出来从而得到所求的集合．【答案】{0，6，12}【解析】当x =0，y =2时，10z =； 当x =0，y =3时，20z =；当x =1，y =2时，312(12)6z =⨯⨯+=； 当x =1，y =3时，413(13)12z =⨯⨯+=， ∴ A ⊙B ={0,6，12}，故答案为：{0，6，12}．【总结】本例题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度，弄准集合中元素的构造方式，考查列举法写集合，分类讨论思想．类型二：元素与集合的关系 例3.给出下列六个关系：（1）0∈N * （2）0∉{－1，1} （3）∅∈{0} （4）∅⊆{0} （5）{0}∈{0，1} （6）{0}⊆{0} 其中正确的关系是 ． 【答案】（2）（4）（6）【点拨】首先要熟悉集合的常用符号，空集，记作∅，N 表示自然数集，+N 或N *表示正整数集，Z 表示正整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集；然后要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质．给定一个对象a ，它与一个给定的集合A 之间的关系为a A ∈，或者a A ∉，二者必居其一．解答这类问题的关键是：弄清a 的结构，弄清A 的特征，然后才能下结论．【解析】（1）0不是正整数，故错误； （2）0不是集合{－1，1}中的元素，故正确； （3）空集是一个集合，使用的符号错误，故错误； （4）空集是任何一个集合的真子集，故正确；（5）是集合与集合的关系，应该使用符号⊆或⊇，故错误； （6）一个集合是它本身的子集，故正确．【总结】本题主要是区别0，{0}，∅和非空数集以及常用的集合之间的关系．此类问题在解答时，既要熟悉集合的常用符号，又要明确元素与集合，集合与集合的关系及符号表示，以及子集的性质，特别是{0}与∅，最容易混淆，必须在学习中引起足够的重视．【变式1】 用符号“∈”或“∉”填空（1）若A=Z ,则12- A ；-2 A . （2）若{}2B |210,x x x =--=则12- B ；-2 B .【答案】（1）∉，∈ （2）∈，∉ 类型三：集合中元素性质的应用 例 4.定义集合运算：{}|(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈.设集合{}0,1A =，{}2,3B =，则集合AB 的所有元素之和为（ ）A. 0B. 6C. 12D. 18 【答案】 D 【解析】{}|(),,A B z z xy x y x A y B ==+∈∈，∴当{}{}0,1,2,3A B ==时， {}0,6,12A B =，于是AB 的所有元素之和为0+6+12=18.【总结】这类试题通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情境下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向.常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型.【变式1】定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈，设{}1,2A =，{}0,2B =，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A. 0B. 2C. 3D. 6 【答案】D 【解析】,,z xy x A y B =∈∈，且{}1,2A =，{}0,2B =，∴z 的取值有：0，2，4故{}0,2,4A B *=，∴集合A B *的所有元素之和为：0+2+4=6.例5. 设集合A ={x R ∈|2210ax x ++=}，当集合A 为单元素集时，求实数a 的值. 【答案】0，1【解析】由集合A 中只含有一个元素可得，方程ax 2+2x+1=0有一解，由于本方程并没有注明是一个二次方程，故也可以是一次方程，应分类讨论：当a=0时，可得是一次方程，故满足题意.当a ≠0时，则为一个二次方程，所以有一根的含义是该方程有两个相等的根，即为判别式为0时的a 的值，可求得为a=1.故a 的取值为0，1.例6.已知集合2{320,}A x R ax x a R =∈-+=∈． （1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围． 【答案】（1）98a >；（2）若a =0，则有23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ ；若98a =，则有43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；（3）a =0或98a ≥ 【点拨】（1）A 为空集，表示方程2320ax x -+=无解，根据一元二次方程根的个数与Δ的关系，我们易得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案。

专题01-集合的概念与运算(解析版)(总15页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--专题01 集合的概念与运算【高频考点解读】1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.8.集合部分主要以考查集合的含义、基本关系与基本运算为主，题目简单、易做，大多都是送分题．9.近几年部分省市也力求创新，创造新情境，尽可能做到灵活多样，甚至进行一些小综合，比如新定义题目，与方程、不等式、函数、数列等内容相联系的题目出现．10.题型以选择题为主，大多都是试卷的第1题.【热点题型】题型一考查集合的基本概念例1、已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝( )A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3【提分秘籍】(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0} {x|y＝f(x)} {y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}集合的意义方程f(x)＝0 的解集不等式f(x)>0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图象上的点集【举一反三】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )A．3 B．6C．8 D．10【热点题型】题型二集合与集合的基本关系例2、已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－1＜x＜1}，则( )A．A B B．B AC．A＝B D．A∩B＝∅【解析】A＝{x|x2－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－1＜x＜1}，所以B A.【答案】B【提分秘籍】(1)判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．(2)若两个集合相等，首先分析已知元素在另一个集合中与哪一个元素相等，有几种情况等，然后列方程组求解，要注意挖掘题目中的隐含条件．(3)易错警示：①利用数形结合思想处理集合与集合之间的关系时，要注意数轴端点是实心还是空心．②题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．【举一反三】已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，则实数m的取值范围________．【解析】由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}，∵B⊆A，∴①若B＝∅，则m＋1＞2m－1，即m ＜2，此时满足B ⊆A . ②若B ≠∅，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． 【答案】 (－∞，3] 【热点题型】题型三 集合的基本运算例3、设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．【提分秘籍】(1)在进行集合运算时要尽可能地借助韦恩(Venn)图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用韦恩(Venn)图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时注意端点值的取舍．(2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析，而且经常要对集合进行讨论．【举一反三】已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝( ) A．M B．NC．I D．∅解析：∵N∩∁I M＝∅，∴N⊆M，∴M∪N＝M.答案：A【热点题型】题型四以集合为背景的新定义题例4、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4给出如下四个结论：①2011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【提分秘籍】1.对“类”的正确理解（1）由“类”的定义知，[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4，即Z中的所有元素共分为[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，5类．（2）“a，b属于同‘类’”⇒a＝5n1＋k，b＝5n2＋k⇒a－b＝5(n1－n2)；反之，a－b∈[0]⇒a－b被5除余数为0⇒a，b被5除余数相等．2.解题方法(1)紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；本题根据所给的“类”的概念，对逐个选项进行判断，从中找出正确的结论．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．【举一反三】已知集合M，若a∈M，则a＋1a－1∈M，则称a为集合M的“亮点”，若M＝{x∈Z|44－x≥1}，则集合M中的“亮点”共有( )A．2个B．3个C．1个D．0个【高考风向标】1．（2014·北京卷）已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．2.（2014·福建卷）若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4；若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6.3．（2014·广东卷）已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝( ) A．{0，1} B．{－1，0，2}C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}【答案】C【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．4．（2014·湖北卷）U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2014·辽宁卷）已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0<x<1}【答案】D【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．6．（2014·全国卷）设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )A．(0，4] B．[0，4)C．[－1，0) D．(－1，0]【答案】B【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1<x<4}，N＝{x|0≤x≤5}，所以M∩N＝{x|－1<x<4}∩{0≤x≤5}＝{x|0≤x<4}．7．（2014·新课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1] B．[－1，2)B．[－1，1] D．[1，2)【答案】A【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．8．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}【答案】D【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．9．（2014·山东卷）设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B ＝( )A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)【答案】C【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x ＜3}．故选C.10．（2014·陕西卷）设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)11．（2014·四川卷）已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝( )A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}C．{0，1} D．{－1，0}12．（2014·天津卷）已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋x n q n－1，x i∈M，i＝1，2，…，n}．(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，其中a i，b i∈M，i＝1，2，…，n.证明：若a n<b n，则s<t.＝（q－1）（1－q n－1）1－q－q n－1＝－1<0，所以s<t.13．（2014·浙江卷）设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( )A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}【答案】B【解析】∁U A＝{x∈N|2≤x<5}＝{2}，故选B.14．（2014·重庆卷）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A)∩B＝________．15．（2013·重庆卷）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}【答案】D【解析】因为A∪B＝{1，2，3}，所以∁U(A∪B)＝{4}，故选D.16．（2013·北京卷）已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( ) A．{0} B．{－1，0} C．{0，1} D．{－1，0，1}【答案】B【解析】∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.17．（2013·广东卷）设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )A．{0} B．{0，2}C．{－2，0} D．{－2，0，2}【答案】D【解析】∵M＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D.18．（2013·湖北卷）已知全集为R，集合A＝，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(∁RB)＝( )A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|0<x≤2或x≥4}【答案】C【解析】A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，∁RB＝{x|x<2或x>4}，可得答案为C.19．（2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x＋b x－c x，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x∈(－∞，1)，f(x)>0；②x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.20．（2013·江苏卷） 集合{－1，0，1}共有________个子集．【答案】8【解析】集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.21．（2013·江西卷） 已知集合M ＝{1，2，zi}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i 【答案】C【解析】zi ＝4z ＝－4i ，故选C.22．（ 2013·辽宁卷） 已知集合A ＝{}x|0<log 4x<1，B ＝{}x|x≤2，则A∩B＝( ) A ．(0，1) B ．(0，2] C ．(1，2) D ．(1，2] 【答案】D【解析】∵A＝{x|1<x<4}，B ＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，故选D.23．（2013·全国卷） 设集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a∈A，b∈B}，则M 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．624．（2013·山东卷）已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )A．1 B．3 C．5 D．925．（2013·陕西卷）设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为( ) A．[－1，1]B．(－1，1)C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【答案】D【解析】要使二次根式有意义，则M＝{x︱1－x2≥0}＝[－1，1]，故∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．26．（2013·四川卷）设集合A＝{x|x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4＝0}，则A∩B＝( )A．{－2} B．{2} C．{－2，2} D．【答案】A【解析】由已知，A＝{－2}，B＝{－2，2}，故A∩B＝{－2}．27．（2013·天津卷）已知集合A＝{x∈R||x|≤2}，B＝{x∈R|x≤1}，则A∩B＝( )A．(－∞，2] B．[1，2]C．[－2，2] D．[－2，1]【答案】D【解析】A∩B＝{x∈R|－2≤x≤2}∩{x∈R|x≤1}＝{x∈R|－2≤x≤1}．28．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1，0，1，2，3}，则M∩N＝( )A．{0，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，0，2，3} D．{0，1，2，3}【答案】A【解析】集合M＝{x|－1<x<3}，则M∩N＝{0，1，2}．29．（2013·浙江卷）设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(∁RS)∪T＝( )A．(－2，1] B．(－∞，－4]C．(－∞，1] D．[1，＋∞)30．（2013·重庆卷）对正整数n，记I n＝{1，2，…，n}，P n＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫mk⎪⎪⎪m∈I n，k∈I n)．(1)求集合P7中元素的个数；(2)若P n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使P n能分成两个不相交的稀疏集的并．【随堂巩固】1．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 是实数，且y ＝x }，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x 24＋3y24＝1，B ＝{y |y ＝x 2}，则A ∩B ＝( )． A ．[－2,2] B ．[0,2]C ．[0，＋∞)D ．{(－1,1)，(1,1)}解析 A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ≥0}，∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}＝[0,2]． 答案 B3．设集合A ＝{x |1<x <4}，集合B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，则A ∩(∁R B )＝ ( )． A ．(1,4) B ．(3,4) C ．(1,3)D ．(1,2)∪(3,4)解析 因为∁R B ＝{x |x >3或x <－1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |3<x <4}． 答案 B4．已知全集I ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A ＝{0,1,3,5,8}，集合B ＝{2,4,5,6,8}，则(∁I A )∩(∁I B )等于( )．A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}5．设集合I ＝{x |x <5，x ∈N *}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，则∁I M ＝( )．A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,3}D ．{3,4}解析 I ＝{1,2,3,4}，M ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}， ∴∁I M ＝{1,4}． 答案 A6．若集合A ＝{x ||x |>1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝2x 2，x ∈R}，则(∁R A )∩B ＝ ( )． A ．{x |－1≤x ≤1} B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析 ∁R A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}， ∴(∁R A )∩B ＝{x |0≤x ≤1}．答案 C7．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 解析 ∵3∈B ，又a 2＋4≥4，∴a ＋2＝3，∴a ＝1. 答案 18．设全集I ＝{a ，b ，c ，d }，集合A ＝{a ，b }，B ＝{b ，c ，d }，则(∁I A )∪(∁I B )＝________.解析 依题意得知，∁I A ＝{c ，d }，∁I B ＝{a }，(∁I A )∪(∁I B )＝{a ，c ，d }． 答案 {a ，c ，d }9．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a －b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合； ②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z}为闭集合； ③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合． 其中正确结论的序号是________．10．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6x ＋1≥1，x ∈R ，B ＝{x |x 2－2x －m <0}，若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，则实数m 的值为________．11．设A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系；(2)若B ⊆A ，求实数a 组成的集合C .∴C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15. 12．若集合A ＝{－1,3}，集合B ＝{x |x 2＋ax ＋b ＝0}，且A ＝B ，求实数a ，b .13．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )；(2){9}＝A ∩B .。