【精准课堂】【北师版】九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形1.3.2_正方形的性质与判定 学案及同步练习
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1 . 3.
2 正方形的性质与判定
二、预习检测
我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系。
一、旧知补标
2.温故知新：（1）怎样判定一个四边形是平行四边形？
（2）怎样判定一个四边形是矩形？
（3）怎样判定一个四边形是菱形？
议一议：怎样判定一个四边形是正方形？
三、例题变式，方法提炼（10—15分钟）
1．探索正方形的判定条件：
（1）直接用正方形的定义判，即先判定这个四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个四边形是正方形；
（2）先判定这个四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
（3）先判定这个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形。
2.方法提炼：
后两种判定均要用到矩形和菱形的判定定理。
矩形和菱形的判定定理是判定正方形的基础。
这三个方法还可写成：有一个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形。
上述三种判定条件是判定四边形是正方形的一般方法，可当作判定定理用，但由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件各不相同，所以判定一个四边形是不是正方形的具体条件也相应可作变化，在应用时要仔细辨别后才可以作出判断。
四、疑难探究，突破难点
【例1】判断下列命题是真命题还是假命题？并说明理由。
（1）四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
（2）四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
（4）对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。
总结归纳：通过辨析，掌握判定正方形的各种方法和思路，从题中所给各种不同条件出发，寻找命题成立的判定依据，以便灵活应用。
五、达标测试，当堂反馈
1．如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF=45°，试说明 EF=BE+DF。
2.画一个正方形，使它的对角线长为30，并说明画法的依据。
六、课堂小结，归纳知识
师生共同总结，归纳得出正方形的判定方法，同时展示下图，通过直观感受进一步加深理解正方形判定方法的应用。
七、补标练习：
如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使∠EAF=45°，AG⊥EF于G. 求证：AG=AB 。
1 . 3.
2 正方形的性质与判定同步练习
一、填空题：
1. 在正方形ABCD 的AB 边的延长线上取一点E ，使BE = BD ，连接DE 交BC 于F ，则∠BFD = °；
2. 已知：四边形 ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O . ①若OA = OB ，且OA ⊥OB ，则四边形ABCD 是 ，②若AB = BC ，且AC = BD ，则四边 形ABCD 是 ；
3. 正方形边长为a ，若以此正方形的对角线为一边作正方形，则所作正方形的对角线长为 . 二、选择题：
1. 四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（ ）；
A. AO = BO = CO = DO ，AC ⊥BD
B. AB ∥CD ，AC = BD
C. AD ∥BC ，∠A =∠C
D. AO = CO ，BO = CO ，AB = BC
2. 四边形ABCD 的对角线AC = BD ，且AC ⊥BD ，分别过A 、B 、C 、D 作对角线的平行线，则所构成的四边形是（ ）.
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形 三、解答题：
1. 已知：如右图，△ABC 中，∠BAC = 90°，分别以AB 、BC 为边作正方形 ABDE 和正方形BCFG ，延长DC 、GA 交于点P . 求证：PD ⊥PG .
D
C B
A
图3-19
G
E
P
F
2．如右图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． （1）求证：DE=DF ．
（2）只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形，•请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）
【综合练习】
已知：如右图，正方形ABCD 中，AE ∥BD ，BE = BD ，BE 交AD 于F . 求证：DE = DF .
【探究练习】
如右图，要把边长为1的正方形ABCD 的四个角（阴影部分）剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1，试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的59，请说明理由.
D
C
B
A
图3-20
E
F
1
1A
1A 图
3-21
参考答案
一、1. 112.5；2. 正方形，正方形；3. 2a.
二、1. A；2. D.
三、1.提示：证△ABG≌△DBC.
2．（1）提示：证△DEB≌△DFC，
（2）∠A=900167，四边形AFDE是平行四边形等（方法很多）【综合练习】提示：先证∠DBE = 30°.
【探究练习】提示：AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = 1
3（或=
2
3）.。
