2015年北京朝阳高三一模数学(理)试题及答案

2014-2015学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．无法确定3．（5分）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（）A．4+2B．8 C．4+2D．45．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．7．（5分）点O在△ABC的内部，且满足+2+4=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（）A．B．3 C．D．28．（5分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A．204 B．207 C．208 D．209二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P （1，2），则sin（π﹣α）的值是．10．（5分）双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）的离心率是；渐近线方程是11．（5分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．12．（5分）有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，…，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待秒才能确定时间．13．（5分）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成个三角形（用数字作答）．14．（5分）已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若PB=AB，二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，试判断点F在边BC 上的位置，并说明理由．17．（13分）若有穷数列a1，a2，a3，…，a m（m是正整数）满足条件：a i=a m﹣i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．（Ⅰ）若{b n}是25项的“对称数列”，且b13，b14，b15，…，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求{b n}的所有项和S；（Ⅱ）若{c n}是50项的“对称数列”，且c26，c27，c28，…，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求{c n}的前n项和S n，1≤n≤50，n∈N*．18．（13分）设函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较与α，β的大小并说明理由．2014-2015学年北京市朝阳区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设i为虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵z==，∴复数z=在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），所在的象限是第四象限，故选：D．2．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点．若AB中点M到抛物线准线的距离为6，则线段AB的长为（）A．6 B．9 C．12 D．无法确定【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标（1，0），p=2．设A（x1，y1）B（x2，y2）抛物y2=4x的准线x=﹣1，线段AB中点到抛物线的准线的距离为6，即有（x1+x2）=5，∴x1+x2=10，∴|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=10+2=12，故选：C．3．（5分）设函数f（x）=sin（2x﹣）的图象为C，下面结论中正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期是2πB．函数f（x）在区间（﹣，）上是增函数C．图象C可由函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位得到D．图象C关于点（，0）对称【解答】解：根据函数f（x）=sin（2x﹣）的周期为=π，可得A错误；在区间（﹣，）上，2x﹣∈（﹣，），故f（x）没有单调性，故B错误；把函数g（x）=sin2x的图象向右平移个单位，可得y=sin（2x﹣）的图象，故C错误；令x=，可得f（x）=sin（2x﹣）=0，图象C关于点（，0）对称，故D 正确，故选：D．4．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是（）A．4+2B．8 C．4+2D．4【解答】解：根据几何体的三视图，画出它的直观图，如图所示；由三视图知，PO⊥平面ABC，OC⊥平面PAB，且OP=OC=2，OB=OA=1；∴PA=PB==，AC=BC==，PC==2；∴S=S△CAB=2，△PABS△PAC=S△PBC=；∴三棱锥的全面积为S=S△PAB+S△CAB+S△PAC+S△PBC=4+2．故选：A．5．（5分）α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l⊄α，l⊄β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m⊂α，m⊂β，∵l∥m，l⊄α，l⊄β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n⊄α，∵l∥α，∴n∥α，∵n⊂β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C．6．（5分）在△ABC中，B=，则sinA•sinC的最大值是（）A．B．C．D．【解答】解：sinAsinC=sinAsin（π﹣A﹣B）=sinAsin（﹣A）=sinA（cosA+sinA）=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣）+∵0∴﹣＜2A﹣＜∴2A﹣=时，sinAsinC取得最大值．故选：D．7．（5分）点O在△ABC的内部，且满足+2+4=0，则△ABC的面积与△AOC的面积之比是（）A．B．3 C．D．2【解答】解：如图所示，作OD=4OC，以OA，OD为邻边作平行四边形OAED，连接AD，OE，交于点M，OE交AC于点N．∵满足+2+4=，∴+4=，∴，∴==，∴，∴，∴△ABC的面积与△AOC的面积之比是7：2．故选：A．8．（5分）设连续正整数的集合I={1，2，3，…，238}，若T是I的子集且满足条件：当x∈T时，7x∉T，则集合T中元素的个数最多是（）A．204 B．207 C．208 D．209【解答】解：集合T中不能有满足7倍关系的两个数，因此我们将I中的数分成三类：第一类：1，7，49；2，14，98；3，21，147；4，28，196；共4组；每组最多只能有两个数在集合T中，即集合T中至少需要排除4个元素：7，14，21，28；第二类，5，35；6，42；…；34，238；共26组；每组最多只能有一个数在集合T中，即集合T中至少需要排除26个元素；第三类是剩余的数，它们不是7的倍数，且它们的7倍不在集合中，所以这组数都可以在集合中，故集合T中元素的个数最多是238﹣4﹣26=208；故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（1，2），则sin（π﹣α）的值是．【解答】解：由题意可得x=1，y=2，r=，∴sinα==，∴sin（π﹣α）=sinα=．故答案为：．10．（5分）双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）的离心率是；渐近线方程是y=±x．【解答】解：双曲线C：x2﹣y2=λ（λ＞0）即为﹣=1，则有a=，b=，c=，则有e==，渐近线方程为y=±x．故答案为：，y=±x．11．（5分）设不等式组表示平面区域为D，在区域D内随机取一点P，则点P落在圆x2+y2=1内的概率为．【解答】解：画出区域D和圆，如图示：区域D的面积是4，区域D在圆中的部分面积是，∴点P落在圆内的概率是=，故答案为：．12．（5分）有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，…，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待11秒才能确定时间．【解答】解：大钟报时时最多可响12声，12点的报时，大钟会响12声，所以某人从听到第一声响开始计时，需要至少等待11秒才能听到第12声响，确定这时是12点．13．（5分）在锐角AOB的边OA上有异于顶点O的6个点，边OB上有异于顶点O的4个点，加上点O，以这11个点为顶点共可以组成120个三角形（用数字作答）．【解答】解：第一类：三角形顶点不包括O点，在OA上取两点，在OB上取一点，或者在OA上取一点，在OB上取两点，此时构成三角形的个数为+=96，第二类：三角形顶点，包括O点，在OA上取一点，在OB上取一点，此时构成三角形的个数为=24，根据分类计数原理，以这11个点为顶点共可以组成96+24=120个三角形故答案为：120．14．（5分）已知函数f（x）=（x∈R）．下列命题：①函数f（x）既有最大值又有最小值；②函数f（x）的图象是轴对称图形；③函数f（x）在区间[﹣π，π]上共有7个零点；④函数f（x）在区间（0，1）上单调递增．其中真命题是①②③．（填写出所有真命题的序号）【解答】解：考虑①：函数f（x）=≤=，当且仅当x=时取等号，故函数由最大值；取x=﹣，有f（﹣）=＜＜，当x＞10时，f（x）＞＞﹣＞f（），当x＜﹣9时，f（x）＞＞﹣＞f（），而f（x）在[﹣9，10]上存在最小值，设此最小值为m，则m≤f（﹣），所以，m亦为f（x）在定义域上的最小值．故①正确；考虑②：因为f（1﹣x）=f（x），所以x=为f（x）的对称轴，故②正确；考虑③：因为f（x）=0，即sinπx=0，故x=k，k为整数，∴区间[﹣π，π]上有﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3共7个零点，故③正确；考虑④：f（0）=f（1）=0，所以f（x）不可能单调递增；故④错误；综上①②③正确，故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势．某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20～80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]绘制频率分布直方图，如图所示．若规定年龄分布在[20，40）岁的人为“青年人”，[40，60）为“中年人”，[60，80]为“老年人”．（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20﹣80年龄段的人口分布的概率．从该城市20﹣80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图估算所调查的600人的平均年龄为：25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（岁）．（Ⅱ）由频率分布直方图知“老年人”所点频率为，∴从该城市20～80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为，依题意，X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，∴X的分布列为：EX==．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD中是正方形，侧面PAB⊥底面ABCD中，PA=AB，点E是PB的中点，点F在边BC上移动．（Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC；（Ⅱ）求证：AE⊥PF；（Ⅲ）若PB=AB，二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于，试判断点F在边BC 上的位置，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）在△PBC中，∵点E是PB中点，点F是BC中点，∴EF∥PC，又∵EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC，∴EF∥平面PAC；（Ⅱ）∵底面ABCD是正方形，∴BC⊥AB，又∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，且BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB，∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，∵PA=AB，点E是PB的中点，∴AE⊥PB，又∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC，∵PF⊂平面PBC，∴AE⊥PF；（Ⅲ）结论：点F为边BC上靠近B点的三等分点；理由如下：∵PA=AB，PB=AB，∴PA⊥AB，由（II）知，BC⊥平面PAB，又∵BC∥AD，∴AD⊥平面PAB，即AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD，AB，AP两两垂直，分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：不妨设AB=2，BF=m，则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），于是=（0，1，1），=（m，2，0），设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r），由，得，取p=2，则q=﹣m，r=m，得=（2，﹣m，m），由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD，即平面ABF的一个法向量为=（0，0，2），根据题意，==，解得m=，∵BC=AB=2，∴BF=BC，即点F为边BC上靠近B点的三等分点．17．（13分）若有穷数列a1，a2，a3，…，a m（m是正整数）满足条件：a i=a m﹣i+1（i=1，2，3，…，m），则称其为“对称数列”．例如，1，2，3，2，1和1，2，3，3，2，1都是“对称数列”．（Ⅰ）若{b n}是25项的“对称数列”，且b13，b14，b15，…，b25是首项为1，公比为2的等比数列．求{b n}的所有项和S；（Ⅱ）若{c n}是50项的“对称数列”，且c26，c27，c28，…，c50是首项为1，公差为2的等差数列．求{c n}的前n项和S n，1≤n≤50，n∈N*．【解答】解：（Ⅰ）依题意，b13=1，b14=2，…b25=．则，，…b12=b14=2．+1=214﹣3；（Ⅱ）依题意，c50=c26+24×2=49，∵{c n}是50项的“对称数列”，∴c1=c50=49，c2=c49=47，…，c25=c26=1．∴当1≤n≤25时，；当26≤n≤50时，=n2﹣50n+1250．∴．18．（13分）设函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）当a=时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，当x∈[，2e]时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f′（x）=，由f′（x）＞0可得3x2﹣10x+3＞0，解得，x或x＞3，由f′（x）＜0可得3x2﹣10x+3＜0，解得，3，函数的单增调区间（），（3，+∞），单调减区间为（）；（Ⅱ）设g（x）为f（x）的导函数，g（x）=，又因为函数f（x）的图象总在g（x）的图象的上方，所以，f（x）＞g（x），则，在x∈[，2e]时，恒成立．又因为，所以a（x2+1）﹣2x＜x2+1，所以（a﹣1）（x2+1）＜2x，∵x2+1＞0，∴，设h（x）=，则a﹣1＜h（x）min，x∈[，2e]即可．又h′（x）=，由h′（x）=＞0，注意到x∈[，2e]，解得，由h′（x）=＜0，注意到x∈[，2e]，解得：1＜x≤2e．所以函数h（x）在上是增函数，在（1，2e]上是减函数．所以h（x）的最小值为：h（），或h（2e）．∵h（）=，h（2e）=，作差可证得，∴a﹣1，所以a的取值范围：．19．（14分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．【解答】解：（I）由已知，∴a=2，b=1，∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）直线MN过定点D（0，0）．证明如下：由题意，A（2，0），直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，设AM的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0∴2x M=，∴x M=，∴y M=k（x M﹣2）=，∴M（，），∵椭圆右顶点A的两条斜率乘积为﹣的直线分别交椭圆C于M，N两点，∴设直线AN的方程为y=﹣（x﹣2），同理可得N（，），x M≠x N，即k时，k MN=，∴直线MN的方程为y﹣=（x﹣），即y=x，∴直线MN过定点D（0，0）．x M=x N，即k=时，直线MN过定点D（0，0）．综上所述，直线MN过定点D（0，0）．20．（13分）已知函数f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），x1，x2，x3∈R，且x1＜x2＜x3．（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，若方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，求实数m的值；（Ⅱ）求证：方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程f'（x）=0的两个实数根是α，β（α＜β），试比较与α，β的大小并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当x1=0，x2=1，x3=2时，方程f（x）=mx可化为x（x﹣1）（x﹣2）=mx，即x（x2﹣3x+2﹣m）=0方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根，包括两种情况：①若x=0是方程x2﹣3x+2﹣m=0的根，则m=2时，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0可化为x2（x﹣3）=0，则方程有两相等实根，一个为0，一个为3；②若方程x2﹣3x+2﹣m=0有两相等的实根，则△=9﹣4（2﹣m）=0，解得m=，此时方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0有两个相等的实根，一个，一个为0∴当m=或m=2时，方程f（x）=mx恰存在两个相等的实数根；（Ⅱ）由f（x）=（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）可得f（x）=x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3，∴f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0，∵△=4（x1+x2+x3）2﹣12（x1x2+x1x3+x2x3）=2[（x1﹣x2）2+（x2﹣x3）2+（x3﹣x1）2]，∵x1＜x2＜x3．∴△＞0，∴方程f′（x）=0有两个不相等的实数根；（Ⅲ）α＜＜β，下面证明：由f′（x）=3x2﹣2（x1+x2+x3）x+（x1x2+x1x3+x2x3）=0可得f′（）=﹣（x 1+x2+x3）（x1+x2）+x1x2+x1x3+x2x3﹣x1x2=﹣＜0即f′（）=3（﹣α）（﹣β）＜0，由α＜β可得α＜＜β，第21页（共21页）。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学试卷（理工类） 2015.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3}2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x R ∃∈，使得210x x +-<，则p ⌝：,x R ∀∈均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x ，其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③5.已知函数()sin()(00)2f x A x x R A ωϕωϕπ=+∈>><，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+6.设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)27.在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是A ．5B ．421C ．6D ．88.已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ．10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ．11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB y AD =+，则x y += ．12.若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ．13. 若函数sin ()cos a x f x x -=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .FEDCBA三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222x x x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程.16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥.19. （本小题满分14分）已知函数2()e (1)xf x ax bx -=++(其中e 是常数，0a >，b ∈R )，函数()f x 的导函数为()f x '，且(1)0f '-=．(Ⅰ)若1a =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； (Ⅱ)当15a >时，若函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e ，试求,ab 的值．20. （本小题满分14分）已知实数数列}{n a 满足：),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，b a a a ==21,，记集合{|}.n M a n *=∈N（Ⅰ）若2,1==b a ，用列举法写出集合M ；（Ⅱ）若0,0<<b a ，判断数列}{n a 是否为周期数列，并说明理由； （Ⅲ）若0,0≥≥b a ，且0≠+b a ，求集合M 的元素个数的最小值.北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期中统一考试数学答案（理工类） 2015.11一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15. （本小题满分13分）解： 2()cos2cos 222x x xf x =-cos 1x x =-- 2sin() 1.6x π=--…………………………4分（I ）ππ()2sin 1036f =-=. …………………………6分 （II ）由22262k x k ππ3ππ+≤-≤π+得 22()33k x k k 2π5ππ+≤≤π+∈Z .所以函数)(x f 的单调递减区间是[2,2]()33k k k 2π5ππ+π+∈Z . ……10分 令62x k ππ-=π+得()3x k k 2π=π+∈Z .所以函数)(x f 的对称轴方程是()3x k k 2π=π+∈Z . …………………………13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为等差数列{}n a 中，11a =,公差1d =,所以21(1)22n n n n n S na d -+=+=. 则22n b n n=+. …………………………5分（Ⅱ） 因为222(1)n b n n n n ==++ ，所以12311112()122334(1)n b b b b n n ++++=++++⨯⨯⨯+11111112(1)223341n n =-+-+-++-+ 12(1)1n =-+. 因为1011n <<+， 所以1232n b b b b ++++<. …………………………13分 17．（本小题满分13分）（I ）在ABC ∆中，因为1cos 2B =-，又(0,π)B ∈，所以2π3B =，且sin B =由正弦定理,sin a bB =可得2sin A =则1sin 2A =. 又因为2π3B =，所以6A π=.所以6C π=. …………………………6分（II ）sin sin sin()sin A C C C π⋅=-⋅1sin )sin 2C C C=-⋅112cos244C C +- 11sin(2)264C π=+-因为(0,)3C π∈，所以52(,)666C πππ+∈. 所以1sin(2)(,1]62C π+∈.则C A sin sin ⋅的取值范围是1(0,]4. …………………………13分18. （本小题满分13分）解：函数的定义域为(0,)+∞.2(1)(1)()()(1)a x a x a x x a f x x a x x x -++--'=+-+==.…………2分(Ⅰ)（1）当01a <<时，因为0x >，令()0f x '> 得1x >或0x a <<， 令()0f x '< 得1a x <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调递减区间是(,1)a . （2）当1a =时，因为0x >，所以()0f x '≥成立.函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.（3）当1a >时，因为0x >，令()0f x '> 得x a >或01x <<， 令()0f x '< 得1x a <<，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调递减区间是(1,)a .…………………………7分（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，211(1)(1)()x x x f x x x x x-+-'=-+==.令()0f x '= 得1x =或1x =-（舍）.当x 变化时，(),()f x f x '变化情况如下表：所以1x =时,函数()f x 的最小值为(1)2f =. 所以1()2f x ≥成立. …………………………13分 19. （本小题满分14分）解：因为2()e (1)xf x ax bx -=++，所以2()e ((2)1)xf x ax a b x b -'=-+-+-．因为(1)0f '-=，所以(2)10a a b b ---+-=，即231b a =+． …………2分 (Ⅰ)当1a =时，2b =．又(0)1,(0)1f f '==，所以曲线()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为11(0)y x -=-．即10x y -+=． …………………………5分(Ⅱ)由已知得231()e (1)2xa f x ax x -+=++． 所以23131()e [(2)1]22x a a f x ax a x -++'=-+-+-1e (1)[2(31)]2x x ax a -=-+--．因为0a >，131()e (1)[2(31)]e (1)()22x xa f x x ax a a x x a---'=-+--=-+-．因为15a >，所以3112a a->-．令31()e (1)()02xa f x a x x a --'=-+->得，3112a x a --<<； 令31()e (1)()02xa f x a x x a --'=-+-<得，1x <-或312a x a->． 所以函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在(,1)-∞-和31(,)2a a-+∞上单调递减．①若3112a a-≥，即1a ≥时，函数()f x 在区间[1,1]-上单调递增．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为131(1)(1)4e e 2a f a +=++=．解得28e 35a -=．显然符合题意．此时28e 35a -=， 212e 25b -=．②若3112a a -<，即115a <<时， 函数()f x 在31(1,)2a a --上单调递增，在31(,1)2a a-上单调递减．所以函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为3113222319191()e e 222a a a a a a f a ------=⋅=⋅． 又因为115a <<，所以291452a -<<，131122a -<-<． 所以13122eee a --<<．所以1322291e 4e 5e 2a a --<⋅<． 不满足函数()f x 在区间[1,1]-上的最大值为4e.综上所述，28e 35a -=， 212e 25b -=为所求． …………………………14分20. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）}0,1,2,1{-=M ． …………………………2分 （Ⅱ）因为0,0<<b a ，),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列的前11项分别为：b a b a b a a b a b b a b a b a ,,,2,,,,2,,,-----+-----． 所以101112,a a a a a b ====．又因为),2,1(||12 =-=++n a a a n n n ，所以数列中10a 至18a 依次重复1a 至9a ， 以此类推，于是，对任意正整数n ，有1109,+++==n n n n a a a a ， 所以9是数列}{n a 的周期．使1122,T T a a a a ++==成立的最小9T =． ………………………………………8分 （Ⅲ）对b a ,分情况讨论．（1）若b a <<0，则数列的前5项b a a a b b a ---2,,,,中至少有4项互不相同； （2）若0>>b a ，则数列的前4项为b a a b b a 2,,,--，当02≥-b a 时，数列的第五、六项为b a b a --,32；当02<-b a 时，数列的第五、六项为b a b 3,+-. 易知数列中至少有4项互不相同；（3）若b a =<0，或0,0=>b a ，或0,0>=b a ，则由数列的前7项可知，数列中至少有4项a a a 2,,,0-，或b b b 2,,,0-互不相同．综上，集合M 的元素个数不小于4，又由（1）可知，当2,1==b a 时，集合M 的元素个数为4，所以，求集合M 的元素个数的最小值是4．…………………………14分。

北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题 5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共 6 小题，每小题 5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C 的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合 A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．16．（本小题共13分）某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．17．（本小题共14分）如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（理工类） 2016．3（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数2i 1i+= A ．1i -? B ．1i -- ? C ．1i -+? D ．1i +2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}20N x x x =-<，则下列结论正确的是A ．M N N =B ．()UMN =∅C ．M N U =D ．()U M N ⊆ 3．>e e a b >”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42 B ．19 C ．8 D ．35．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为 A ． 3π B ． 6π C ． 233ππ或 D ． 566ππ或6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．的是 A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1 B. 结余最高的月份是7月(第4题至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A ．13B ．12C ．1D ．328．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A．0r < B．02r <<C．0r < D．0r <<第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251()x x+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）．10．已知等差数列}{n a (n *∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；2610410n a a a a +++++=______． 11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为月O 23 4 15 6 89 1711(第7题侧视俯视图2,(x t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知M 为ABC ∆所在平面内的一点，且14AM AB nAC =+．若点M 在ABC ∆的内部(不含边界)，则实数n 的取值范围是____．14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨⎩如果某学生不具有第项能力特征，，如果某学生具有第项能力特征.若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B 两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个 同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数21()sin 22xf x x ωω=+，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．16．（本小题满分13分）为了解学生暑假阅读名着的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名着本数之和为4的概率（Ⅱ）若从阅读名着不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）试判断男学生阅读名着本数的方差21s 与女学生阅读名着本数的方差22s 的大小（只需 写出结论）． 17．（本小题满分14分）如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余弦值；（Ⅲ）是否存在点P，使得直线1A C AMP ()f x =ln ,x a x a +∈R ()f x []1,2x ∈()0f x >a (13)P ，()y f x=P :C 22142x y +=1F 2F 12PF F ∆:l 20(0)y m m -+=≠C A B PA PB x M N PM PN=}{n a 31()n a n n *=-∈N 数列{}n b 为等比数列,且n n k b a =.AMPCBA 1C 1B 1（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小， （ⅰ）写出数列{}n b 的前4项； （ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．3一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当1ω=时，21()sin 22x f x x =+1sin 2x x =+sin()3x π=+． 令22,232k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ．解得22,66k x k k 5πππ-≤≤π+∈Z ．所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66k k k 5πππ-π+∈Z .……………………7分（Ⅱ）由21()sin 22xf x x ωω=+-1sin 22x x ωω=+ sin()3x ωπ=+．因为()13f π=，所以sin()133ωππ+=．则2332n ωπππ+=π+，n ∈Z ．解得162n ω=+．又因为函数()f x 的最小正周期2T ωπ=，且0ω>，所以当ω12=时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为4 ． 由题意可知，13+41()128P A ⨯⨯=⨯4分（Ⅱ）阅读名着不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为0,1,2,3,4．由题意可得44481(0)70C P X C ===； 134448168(1)7035C C P X C ====；2244483618(2)7035C C P X C ====； 314448168(3)7035C C P X C ====；4448(4)C P X C ===所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值0123427070707070EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分（Ⅲ）21s >22s ．…………………………………………………………………………13分 17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥．又因为1AC AA ⊥且1ABAA A =，所以AC ⊥平面11AA B B ．由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ．因为AP ⊂平面11AA B B ，所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示． 由已知 11111222AB AC AA A B AC =====，所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2M P ． 易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ． 设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ，由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩取2y =，得(2,2,3)=--n ．由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，所以cos ,17⋅〈〉===⋅m n m n m n．所以二面角P AM B --的余弦值为17．………………………………9分 （Ⅲ）存在点P，使得直线1A C AMP 111(,,)P x y z 1BP BB λ=[0,1]λ∈111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-1110,2,2x y z λλ==-=(0,2,2)AP λλ=-AMP0000(,,)x y z =n 000,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 00000,(2)20.x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩01y =02(1,1,)2λλ-=-n 0λ=1(2,0,2)AC =-1A C AMP 10AC ⊥n 10220AC λλ-⋅=--=n 23λ=1BB P 12BPPB =1A C AMP ()f x {}0x x >()1a x a f x x x +'=+=0a ≥()0f x '>()f x (0,)+∞0a <()0f x '=x a =-0x a <<-()0f x '<()f x x a >-()0f x '>()f x 0a ≥()f x (0,)+∞0a <()f x (0,)a -(+)a -∞，1a -≤1a ≥-()f x []1,2[]1,2min ()(1)1f x f ==()f x []1,212a <-<21a -<<-()f x [)1a -，(],2a -min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-min ()ln()0f x a a a =-+->e a >-21a -<<-2a -≥2a ≤-()f x []1,2min ()(2)2+ln 2f x f a ==min ()2+ln 20f x a =>2ln 2a >-22ln 2a -<≤-2ln 2a >-()f x []1,2000,ln )x x a x +（01a k x =+0000(ln )(1)()ay x a x x x x -+=+-(1,3)P 00003(ln )(1)(1)ax a x x x -+=+-001(ln 1)20a x x +--=1()(ln 1)2g x a x x =+--(0)x >2211(1)()()a x g x a x x x -'=-=0a <(0,1)()0g x '>()g x (1,)+∞()0g x '<()g x ()g x (1)20g =-<()0g x =0x 0a <00a >(0,1)()0g x '<()g x (1,)+∞()0g x '>()g x ()g x (1)20g =-<21+1e ea x =>221112()(1e 1)2e 0a a g x a a a----=++--=>()g x (1,)+∞2-1-21e <e ax =221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+21(1)t t a =+>()e 2tu t t=-()e 2t u t '=-1t >()e 2e 20t u t '=->->()u t (1,)+∞()(1)e 20u t u >=->2()0g x >()g x (0,1)0a >(13)，0a =()f x x =(13)，0a >(13)，0a ≤(13)，24a =22b =22c=P C 124PF PF +=12PF F∆4+=2c e a=2220,1,42y m x y -+=⎨+=⎪⎩22480x m ++-=l C l P 22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩40m -<<04m <<11(,)A x y 22(,)B xy 122x x +=-21284m x x -=112my +=222m y +=PA PB PA PB 1k 2k 12k k +=1221(1)((1)(m m x x ++-+--====2=220==120k k +=PMN PNM ∠=∠PM PN =}{n a 因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52，最小公比是4.（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.又31nn k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ，即11(241),3n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数. 显然11k =为正整数，2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅，即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11(241),3n n k n -*=⋅+∈N 为正整数.所以，所求通项公式为11(241),3n n k n -*=⋅+∈N .……………………………………………………………………………6分（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列， 且115k c a ==，22231k c a k ==-，所以公比2315k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+. 只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+.只要证11[5(31)1]3n nk m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数. 又2n ≥时，12215[(31)(31)]5(31)3n n n n n k k m m m m -----=+-+=+，即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，故2n ≥时，n k 也都是正整数.所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.…………………………………………………………………………………………13分。

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos ADB ∠=，所以sin ADB ∠= 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45==． ………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠==∠ 所以1172sin 22572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===，则(0,0,0),(,0,0)G A a，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P--．又因为AB∥EF，点E是棱PC中点，所以点F是棱PD中点．所以(E a-，(2aF-．所以3(2aAF=-，(,2aEF=．设平面AFE的法向量为(,,)x y z=n，则有0,0.AFEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn所以,.zy x⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x=，则平面AFE的一个法向量为3,33)=n．因为BG⊥平面PAD，所以3,0)GB a=是平面PAF的一个法向量．因为13cos,13393GB<GB>aGB⋅===⋅⋅nnn，所以平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值为1313．……………………13分18．（本小题满分14分）解：函数()f x定义域),0(+∞∈x，1()f x ax'=+．（Ⅰ）因为()f x在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x'≥在[1,2]x∈上恒成立，即1()0f x ax'=+≥，1ax≥-在[1,2]x∈上恒成立，则1.2a≥-………………………………………………………4分（Ⅱ）当ea=-时，() e lnf x x x=-+,e1()xf xx-+'=．（ⅰ）令0)(='xf，得1ex=．令()0f x'>,得1(0,)ex∈，所以函数)(xf在1(0,)e单调递增．令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e+∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(x x x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=． 所以6c e a ==．所以椭圆C 6…………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ====== 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++ 24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=. 综上所述，当且仅当3k =时，OAB ∆2314分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分 （Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件；所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =； （3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =； （4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N ．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---====， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212ka -=．…………………………………13分。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学〔理工类〕2015．4〔考试时间120分钟 总分值150分〕本试卷分为选择题〔共40分〕和非选择题〔共110分〕两部分第一部分〔选择题 共40分〕一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合{}21,2,A m =，{}1,B m =.假设B A ⊆，则m =A.0B. 2C. 0 或2D. 1或22.已知点0(1,)A y 0(0)y >为抛物线22y px =()0p >上一点.假设点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A.B. 2C. D. 43.在ABC ∆中，假设π3A =，cos B =6BC =,则AC =A. B.4C.4.“x ∀∈R ,210x ax ++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件5.某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入．在如下图的框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填A. 17?t ≤ B ．19?t ≥ C ．18?t ≥ D ．18?t ≤6.设123,,x x x 均为实数，且1211log (1)3x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2321log 3x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3231log 3xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭则A. 132x x x <<B. 321x x x <<C. 312x x x <<D. 213x x x <<7.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0)A ,(1,1)B ，且90BOP ∠=.设OP OA kOB =+()k ∈R ，则OP =A . 12B.C.D.28. 设集合M ={}22000000(,)20,,x y x y x y +≤∈∈Z Z ，则M 中元素的个数为 A.61 B. 65 C. 69 D.84第二部分〔非选择题 共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9.i 为虚数单位，计算12i1i-=+ ______. 10.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.假设383a a +=，31S =,则通项公式n a =______. 11.在极坐标中，设002πρθ>≤<，，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ=交点的极坐标为______. 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各有三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 . 〔用数字作答〕13. 设3z x y =+，实数x ，y 满足20,20,0,x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩其中0t >．假设z 的最大值为5，则实数t的值为______，此时z 的最小值为______.14．将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点的构成的多面体，如此下去，共进行了n (n *∈N )次.则第一次挖去的几何体的体积是______；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．〔本小题总分值13分〕已知函数2()cos cos f x x x x =+，x ∈R . 〔Ⅰ〕求()f x 的最小正周期和单调递减区间；〔Ⅱ〕设x m =()m ∈R 是函数()y f x =图象的对称轴，求sin4m 的值．如下图，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[90,100].据此解答如下问题．〔Ⅰ〕求全班人数及分数在[80,100]之间的频率；〔Ⅱ〕现从分数在[80,100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90,100]的份数为X ，求X 的分布列和数学期望．17．〔本小题总分值14分〕如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直， 已知//,AB CD AD CD ⊥，12AB AD CD ==.〔Ⅰ〕求证:BF //平面CDE ；〔Ⅱ〕求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值;(Ⅲ)线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？假设存在，求出EM EC的值；假设不存在，说明理由.0.0375 0.0125O0.025 A BF E D C已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，a ∈R ．〔Ⅰ〕 当1a =-时，求函数()f x 的最小值； 〔Ⅱ〕 当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.19.〔本小题总分值14分〕已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F ，离心率为3．过焦点F的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线 交椭圆于,M N 两点．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕求四边形AMBN 面积的最大值．假设数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为m b ()m ∈*N ，则称数列{}m b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}m b 的控制函数．设2()f m m =． 〔Ⅰ〕假设数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11=b ，求1a ； 〔Ⅱ〕假设数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，,11b a =求1a ；(Ⅲ)假设2(1,2,3)n a n n ==，是否存在{}m b 生成{}n a 的控制函数2()g n pn qn r =++〔其中常数,,p q r ∈Z 〕？使得数列{}n a 也是数列{}m b 的生成数列？假设存在，求出)(n g ；假设不存在，说明理由.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学答案〔理工类〕 2015．4一、选择题〔总分值40分〕〔注：两空的填空，第一空3分，第二空2分〕三、解答题〔总分值80分〕 15.〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由已知，函数2()cos cos f x x x x = 1(1cos2)2x =+2x=π1sin(2)62x ++.函数()f x 的最小正周期为πT =.当ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+时〔k ∈Z 〕，即π2ππ+π+63k x k ≤≤时，函数()f x 为减函数.即函数()f x 的单调减区间为π2ππ+,π+63k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . ………………….9分〔Ⅱ〕由x m =是函数()y f x =图象的对称轴，则ππ2=π62m k ++〔k ∈Z 〕，即126m k π=π+，k ∈Z .则423m k 2π=π+.则sin 4m ………………….13分16. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕由茎叶图可知，分布在[50,60)之间的频数为4，由直方图，频率为0.0125100.125⨯=，所以全班人数为4320.125=人．所以分数在[80,100]之间的人数为32(4810)10人.分数在[80,100]之间的频率为100.312532= ………………….4分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，分数在[80,100]之间的有10份，分数在[90,100]之间的人数有0.01251032=4份，由题意，X 的取值可为0,1,2,3．363101(0)6C P X C ===， 12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===， 343101(3)30C P X C ===．所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望为01236210305EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………………….13分17.〔本小题总分值14分〕解：〔Ⅰ〕因为//,AB CD AB ⊄平面,CDE CD ⊂平面CDE ，所以//AB 平面CDE ，同理，//AF 平面CDE ， 又,AB AF A =所以平面//ABF 平面CDE ，因为BF ⊂平面,ABF 所以//BF 平面CDE . ……………….4分〔Ⅱ〕因为平面ADEF 平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD =AD ，CDAD ，CD 平面ABCD ，所以CD 平面ADEF .又DE平面ADEF ，故CDED .而四边形ADEF 为正方形，所以AD DE 又AD CD ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -.设1AD =，则(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,2,0),(0,0,1)D B F C E ， 取平面CDE 的一个法向量(1,0,0)DA =， 设平面BDF 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即00x y x z+=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y z ==-， 所以(1,1,1)=--n .设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cos|cos,|DAθ=<>==n. ……………….9分所以平面BDF与平面CDE.(Ⅲ)假设M与C重合，则平面()BDM C的一个法向量(0,0,1)m，由〔Ⅱ〕知平面BDF的一个法向量(1,1,1)n，则10m n=，则此时平面BDF与平面BDM不垂直. 假设M与C不重合，如图设EMECλ=01λ，则(0,2,1)Mλλ-，设平面BDM的一个法向量000(,,)x y z=m，则DBDM⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm，即00002(1)0x yy zλλ+=⎧⎨+-=⎩，令1x=，则0021,1y zλλ=-=-，所以2(1,1,)1λλ=--m，假设平面BDF⊥平面BDM等价于0⋅=m n，即2110,1λλ+-=-所以[]10,12λ=∈.所以，EC上存在点M使平面BDF⊥平面BDM，且12EMEC=.……………….14分18. 〔本小题总分值13分〕解：〔Ⅰ〕函数()f x的定义域为{}0x x>.当1a=-时，2()ln2xf x x=-+.211(1)(1)()x x xf x xx x x-+-'=-+==.由(1)(1)x xx+->0x解得1x>；由(1)(1)x xx+-<0x解得01x<<.所以()f x在区间(0,1)单调递减, 在区间(1,)+∞单调递增.所以1x=时,函数()f x取得最小值1(1)2f=. ……………….5分〔Ⅱ〕(1)()()x x a f x x--'=,0x >. 〔1〕当0a ≤时，(0,1)x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数; (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在1x =时取得最小值1(1)2f a =--. 〔ⅰ〕当0a =时，2()2x f x x =-，由于0x >，令()0f x ，2x ，则()f x 在(0,)+∞上有一个零点；〔ⅱ〕当12a =-时，即(1)0f =时，()f x 有一个零点；〔ⅲ〕当12a <-时，即(1)0f >时，()f x 无零点.〔ⅳ〕当102a -<<时，即(1)0f <时，由于0x →〔从右侧趋近0〕时，()f x →+∞；x →+∞时，()f x →+∞， 所以()f x 有两个零点.(2)当01a <<时，(0,)x a ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数; (,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数； (1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 为增函数.所以()f x 在x a =处取极大值，()f x 在1x =处取极小值. 21()ln (1)2f a a a a a a =+-+21ln 2a a a a =--.当01a <<时，()0f a <,即在(0,1)x ∈时，()0f x <.而()f x 在(1,)x ∈+∞时为增函数，且x →+∞时，()f x →+∞，所以此时()f x 有一个零点.(3)当1a =时，2(1)()0x f x x-'=≥在()0,+∞上恒成立，所以()f x 为增函数.且0x →〔从右侧趋近0〕时，()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞. 所以()f x 有一个零点.综上所述，01a ≤≤或12a =-时()f x 有一个零点；12a <-时，()f x 无零点；102a -<<()f x 有两个零点.……………….13分19．〔本小题总分值14分〕 解：〔Ⅰ〕由题意可得2222,,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得a，b =， 故椭圆的方程为22162x y +=． …….4分〔Ⅱ〕当直线l 斜率不存在时,A B的坐标分别为，(2,，||MN =，四边形AMBN 面积为1||||42AMBN S MN AB =⋅=． 当直线l 斜率存在时，设其方程为(2)y k x =-，点11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)M x y ，33(,)N x y --，点,M N 到直线l 的距离分别为12,d d ，则四边形AMBN 面积为121||()2AMBN S AB d d =+． 由221,62(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(13)121260k x k x k +-+-=， 则21221213k x x k +=+，212212613k x x k-=+，所以||AB==． 因为121224(4)13ky y k x x k -+=+-=+， 所以AB 中点22262(,)1313k kD k k -++．当0k时，直线OD 方程为30x ky +=，由2230,1,62x ky x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得333,x ky =-232213y k =+． 所以121||()2AMBN S AB d d =+12=+====< 当0k =时，四边形AMBN 面积的最大值26243AMBNS .综上四边形AMBN 面积的最大值为 …………………………14分20．〔本小题总分值13分〕 解：〔Ⅰ〕假设11b =，因为数列{}n a 单调递增，所以211a ≤，又1a 是自然数，所以10a =或1. ………2分 〔Ⅱ〕因为数列{}n a 的每项都是自然数，假设2101a =≤，则11b ≥，与11a b =矛盾；假设12a ≥，则因{}n a 单调递增，故不存在21n a ≤，即10b =，也与11a b =矛盾. 当11=a 时，因{}n a 单调递增，故2≥n 时，1>n a ，所以11b =，符合条件， 所以，11a =. ………6分 〔Ⅲ〕假设2(1,2,)n a n n ==，则数列n a 单调递增，显然数列m b 也单调递增，由2n a m ≤，即22n m ≤，得212n m ≤，所以，m b 为不超过212m 的最大整数，当21m k k N 时，因为222211222222122k k m k k k k -<=-+<-+，所以222m b k k =-； 当2mk kN 时，22122m k =，所以，22m b k =. 综上，2222,21(2,2(mk k m k k b k mk kN )N )，即当0m且m 为奇数时，212mm b ；当0m 且m 为偶数时，22mm b . 假设数列{}n a 是数列{}m b 的生成数列，且{}m b 生成{}n a 的控制函数为()g n ， 则m b 中不超过()g n 的项数恰为n a ，即m b 中不超过()g n 的项数恰为2n ，所以221()n n b g n b +≤<，即222222n pn qn r n n ≤++<+对一切正整数n 都成立，即22(2)0(2)(2)0p n qn r p n q n r ⎧-++≥⎪⎨-+-->⎪⎩对一切正整数n 都成立，故得2p =，且0(2)0qn r q n r +≥⎧⎨-->⎩对一切正整数n 都成立，故02q ≤≤，q Z ∈.又常数r Z ∈，当0q =时，02(1)r n n ≤<≥，所以0r =，或1r =； 当1q =时，(1)n r n n -≤<≥，所以0r =，或1r =-； 当2q =时，20(1)n r n -≤<≥，所以2r =-，或1r =-；所以2()2g n n =，或221n +，或221n n +-，或22n n +，或2222n n +-，或2221n n +-(nN ). ………13分。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是 A ． 426+ B ．8 C ． 423+ D ．435．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ= ，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是 A ．124+ B ．34 C ．22D ．224+7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ．72 B ． 3 C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）． 14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题：①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄； （Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．O频率组距20 30 40 5060 8070 0.01 0.03 0.02 年龄（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥； （Ⅲ）若2PB AB =，二面角E AF B --的余弦值等于1111，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.17．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+== ，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． DPCBFAE（Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点3(1,)2，离心率为32．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值； （Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分） 二、填空题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCBACDAC（满分30分） 题号 9101112 13 14 答案2552;y x =±π1611;11120①②③（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C ===1231448(1)()()55125P X C ===2231412(2)()()55125P X C ===3303141(3)()()55125P X C ===所以，随机变量X 的分布列如下表：X 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………..13分 16. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以EF //平面PAC ．……………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥．又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB 平面ABCD =AB ， 且BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥．由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥． 又因为=PB BC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．……………..9分 （Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，2PB AB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即AD PA ⊥，AD AB ⊥ . 所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ， (0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m = .设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =， 得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A = ,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，221111||||422AP m AP m ⋅==⋅+⨯ n n ，解得23m =． 由于2BC AB ==，所以13BF BC =. 即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．……………..14分 17.（本小题满分13分）D CBFAEPxyz（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c ==所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+； 当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n .综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)x x xf x x -+'=+．由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >； 由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<． 所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3． ……………..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+， 又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立．又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<． 又210x +>，所以2211xa x -<+． 设22()1x h x x =+，则min1()a h x -<1([,2e])ex ∈即可． 又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<； 由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤． 所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减． 所以()h x 的最小值为1()eh 或(2e)h ．因为212e ()ee 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+．所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得22321314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2241a b ⎧=⎨=⎩．所以椭圆的标准方程为2214x y +=． ……………..4分 （Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ．由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=． 42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k k M k k--++． 因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k =--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-． 所以点222284(,)1414k kN k k -++． 所以，当M N x x ≠时，即12k ≠±时，2214MN k k k=-. 直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+． 整理得2214ky x k=-． 显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ． 综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况： （1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0). 所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根. ………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-，所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦. 由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根.………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下： 由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++． ()()22121212=044x x x x x x +--=-<. 即12()2x x f +'=12123()()022x x x x αβ++--<, 由αβ<，得122x x αβ+<<． ………13分。

北京市朝阳区2015届高三下学期第一次综合练习数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{1,2,},{1,}A m B m ==，若B A ⊆，则M = A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或22、已知点00(1,)(0)A y y >为抛物线22(0)y px p =>上一点，若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A ．2B ．2C ．22D ．4 3、在ABC ∆中，若6,cos ,63A B BC π===，则AC = A ．42 B ．4 C ．23 D ．4334、“2,10x R x ax ∀∈++≥成立”是“2a ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5、某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入，在如图所示的 框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场的人 次，S 表示面某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进 入商场的总人次数，则判断框内可以填A ．17?t ≤B ．19?t ≥C ．18?t ≥D ．18?t ≤ 6、设123,,x x x 均为实数，且312213223111()log (1),()log (1),()log 333x xx x x x =+=+=，则A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x << 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0),(1,1)A B ，且090BOP ∠=，设()OP OA kOB k R =+∈u u u r u u u r u u u r，则OP =u u u rA ．12BCD ．28、设集合22000000{(,)|20,,}M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则M 中元素的个数为A ．61B ．65C ．69D ．84第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、i 为虚数单位，计算121ii-=+ 10、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3833,1a a S +==，则通项公式n a =11、在极坐标系中，设0,02ρθπ>≤<，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ= 焦点的极坐标为 12、已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排除一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 （用数字作答）13、设3z x y =+，实数,x y 满足20200x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，其中0t >，若z 的最大值为5，则实数t 的值为 ，此时z 的最小值为 .14、将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再讲剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了次，则第一次挖去的几何体的体积是 ；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分）已知函数()2cos cos ,f x x x x x R =∈.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设()x m m R =∈是函数()y f x =图像的对称轴，求sin 4m 的值.17、（本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的无损，其中，频率分布直方图的分组分布为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题：（1）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率；（2）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取3份学生失分情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分12分） 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知1//,,2AB CD AD CD AB AD CD ⊥==.（1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值； （3）线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？ 若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由.18、（本小题满分12分）已知函数()2ln (1),2x f x a x a x a R =+-+∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(2,0)F F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过的直线交椭圆于M 、N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形AMBN 面积的最大值.20、（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m b m N +∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}n b 的控制函数，设()2f m m =.（1）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11b =，求1a ； （2）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11a b =，求1a ；（3）若2(1,2,3,)n a n n ==L ，是否存在{}n b 生成{}n a 的控制函数()2g n pn qn r=++（其中常数,,p q r Z ∈），使得数列{}n a 也是数列{}n b 的生成数列?若存在，求出()g n ；若不存在，说明理由.全优试卷。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<，|01x N x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，则M N = A ．{}|01x x ≤< B．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 【考点】集合的运算 【试题解析】，，所以。

【答案】A2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (-【考点】复数乘除和乘方 【试题解析】所以复平面内所对应点的坐标为：。

【答案】D3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6 【考点】算法和程序框图 【试题解析】由题知：m=1,i=1，m=2,i=2,否；m=1,i=3,否；m=0,i=4,是， 所以输出的值为：4. 【答案】B第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速km/h ） 频率统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆 【考点】频率分布表与直方图 【试题解析】以正常速度通过该处的汽车频率为：所以以正常速度通过该处的汽车约有：辆【答案】D 第4题图 5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【考点】充分条件与必要条件 【试题解析】 若函数在R 上单调递增，则恒成立，所以的最大值，即，所以“”是“”的充分不必要条件。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷（理工类） 2014.11 （考试时间120分钟满分150分） 本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．,则集合等于 A. B. C. D. 2.已知命题，；命题：.则下列判断正确的是A．是假命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是真命题 的值是A.120B.105C.15D.5 4.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是 A. B. C. D. 5.设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是 若，则有； ； 若存在实数λ，使得＝λ，则； ④若，则存在实数λ，使得＝λ.A. ①③B. ①④C.②③D. ②④ 6.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）.要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为A. 3000B.3300C.3500D.4000 7.如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数（其中）， 则估计中午12时的温度近似为（）A. 30 ℃B. 27 ℃C.25 ℃D.24 ℃ 8.设函数满足下列条件： （1）对任意实数都有； （2），，. 下列四个命题： ①；②；③；④当，时，的最大值为. 其中所有正确命题的序号是（）A. ①③B. ②④C. ②③④D. ①③④ 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知平面向量满足，，且，则向量的坐标是_______. 10.已知，，则的值是_______;的值是_______. 11.若是奇函数，则的值是_______. 12.已知等差数列中，为其前项和.若，, 则公差_______；数列的前______项和最大. 13.已知，满足条件若目标函数(其中)仅在点处取得最大值，则的取值范围是. 14.如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔和.已知从塔的底部看塔顶部的仰角是从塔的底部看塔顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔的底部看塔顶部的仰角的正切值为；塔的高为 m. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分） 已知函数（）的图象经过点. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递减区间. 16. （本小题满分13分） 如图，在△中，为钝角，．为延长线上一点，且． （Ⅰ）求的大小； （Ⅱ）求的长及△的面积． 17. （本小题满分13分） 在递减的等比数列中，设为其前项和，已知，. (Ⅰ)求，； （Ⅱ）设，试比较与的大小关系，并说明理由. 18. （本小题满分14分） 已知函数. (Ⅰ)求函数的单调区间; （Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围. 19.（本小题满分14分） 已知，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质. (Ⅰ)若，判断是否具有性质，说明理由； （Ⅱ）若函数具有性质，试求实数的取值范围. 20. （本小题满分13分） 对于项数为的有穷数列，记，即为中的最大值，则称是的“控制数列”，各项中不同数值的个数称为的“控制阶数”. (Ⅰ)若各项均为正整数的数列的控制数列为，写出所有的； （Ⅱ）若，，其中，是的控制数列，试用表示 的值； (Ⅲ)在的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和. 北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期中统一考试 数学试卷答案（理工类） 2014.11 一、选择题（满分40分） 题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A C C D B B B D 二、填空题（满分30分） 题号9 10 11 12 13 14 答案或; ; （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题（满分80分） （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由函数的图象经过点， 则. 解得. 因此. ……………………….5分 （Ⅱ） . 所以函数的最小正周期为. 由，. 可得，. 因此函数的单调递减区间为[]，.……………13分 （16）（本小题满分13分） （Ⅰ）在△中， 因为，， 由正弦定理可得， 即， 所以． 因为为钝角，所以. 所以． ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）在△中，由余弦定理可知， 即， 整理得． 在△中，由余弦定理可知， 即， 整理得．解得． 因为为钝角，所以.所以． 所以△的面积． …………………….13分 18. （本小题满分14分） (Ⅰ) 的定义域为. . （1）当时，，则，时，为增函数； （2）当时，由得，或，由于此时， 所以时,为增函数，时，为增函数； 由得，，考虑定义域，当，为减函数， 时，为减函数； （3）当时，由得，或，由于此时，所以 当时，为增函数，时，为增函数. 由得，，考虑定义域，当,为减函数， 时，为减函数. 综上，当时，函数的单调增区间为,. 当时，函数的单调增区间为，, 单调减区间为，. 当时，函数的单调增区间为， 单调减区间为，. ……………………….7分（Ⅱ）解： 当时，由(Ⅰ) 可得，在单调增，且时. 当时，即时，由(Ⅰ) 可得，在单调增，即在单调增，且时. (3)当时，即时，由(Ⅰ) 可得，在上不具有单调性，不合题意. (4)当，即时，由(Ⅰ) 可得，在为减函数，同时需注意，满足这样的条件时在单调减，所以此时或. 综上所述，或或. ……………………….14分 19.（本小题满分14分） (Ⅰ) 具有性质. 依题意，若存在，使，则时有，即，，.由于，所以.又因为区间内有且仅有一个，使成立，所以具有性质…5分 （Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根. 设，即在上有且只有一个零点. 解法一： (1)当时，即时，可得在上为增函数， 只需解得交集得. （2）当时，即时，若使函数在上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况： （ⅰ）时，在上有且只有一个零点，符合题意. (ⅱ)当即时，需解得交集得. (ⅲ)当时，即时，需解得交集得 . (3)当时，即时，可得在上为减函数 只需解得交集得. 综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或 或 ……………………14分 解法二： 依题意， （1）由得，，解得或. 同时需要考虑以下三种情况： (2) 由解得. (3)由解得不等式组无解. （4）由解得解得. 综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或 或…………………14分 20. （本小题满分13分） (Ⅰ); ; ……………………….3分 （Ⅱ）因为， 所以. 所以当时，总有. 又，. 所以. 故时，总有. 从而只需比较和的大小. 当，即，即时， 是递增数列，此时对一切均成立. 所以. 当时，即，即时， ，，. 所以 . 综上，原式 ……………………….9分 (Ⅲ). 首项为1的数列有个； 首项为2的数列有个； 首项为3的数列有个； 首项为4的数列有个； 所以，控制阶数为2的所有数列首项之和. ……………………13分 第14题图 第7题图 14 12 10 8 6 T/℃ t/h O 10 20 30 第3题图 k=k×i 否 是 输出k i>5? i=i+2 结束 k=1,i=1 开始。

2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合 A ＝{1, 2, m 2}，B ＝{1, m}．若B ⊆A ，则m ＝（ ）A 0B 2C 0 或2D 1 或22. 已知点A(1, y 0)(y 0>0)为抛物线 y 2＝2px( p >0)上一点．若点 A 到该抛物线焦点的距离为 3，则y 0＝（ ）A √2B 2C 2√2D 43. 在△ABC 中，若A =π3，cosB =√63，BC =6，则 AC =( )A 4√2B 4C 2√3D 4√334. “∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0成立”是“|a|≤2”的（ ）A 充分必要条件B 必要而不充分条件C 充分而不必要条件D 既不充分也不必要条件5. 某商场每天上午10 点开门，晚上 19 点停止进入．在如图所示的框图中，t 表示整点时刻，a(t )表示时间段[t −1, t)内进入商场人次，S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进入商场的总人次数，则判断框内可以填（ ）A t ≤17？B t ≥19？C t ≥18？D t ≤18？6. 设x 1，x 2，x 3均为实数，且 (13)x 1=log 2(x 1+1)，(13)x 2=log 3x 2，(13)x 3=log 2x 3，则( )A x 1<x 3<x 2B x 3<x 2<x 1C x 3<x 1<x 2D x 2<x 1<x 37. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(1, 0)，B(1, 1)，且∠BOP ＝90∘．设OP →=OA →+kOB →(k ∈R)，则|OP →|＝（ ）A 12B √22C √2D 28. 设集合M ＝{(x 0, y 0)|x 02+y 02≤20, x 0∈Z, y 0∈Z}，则M 中元素的个数为（ ）A 61B 65C 69D 84二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. i为虚数单位，计算1−2i1+i=________．10. 设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a3+a8=3，S3=1，则通项公式a n=________．11. 在极坐标系中，设ρ>0，0≤θ<2π，曲线ρ＝2与曲线ρsinθ＝2交点的极坐标为________．12. 已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排成一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为________（用数字作答）．13. 设z＝3x+y，实数x，y满足{2x+y≥02x−y≤00≤y≤t其中t>0，若z的最大值为5，则实数t的值为________，此时z的最小值为________．14. 将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了n(n∈N∗)次，则第一次挖去的几何体的体积是________；这n次共挖去的所有几何体的体积和是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. 已知函数f(x)＝cos2x+√3sinxcosx，x∈R．（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；（2）设x＝m(m∈R)是函数y＝f(x)图象的对称轴，求sin4m的值．16. 如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50, 60)，[60, 70)，[70, 80)，[80, 90)，[90, 100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80, 100]之间的频率；（2）现从分数在[80, 100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90, 100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．17. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知AB // CD，AD⊥CD，AB ＝AD=12CD．（1）求证：BF // 平面CDE；（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC上是否存在点M，使得平面BDM⊥平面BDF？若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由．18. 已知函数f(x)=alnx +x 22−(a +1)x .(1)若a =−1，求函数f(x)的最小值；(2)当a ≤1时，讨论f(x)零点的个数．19. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1({a >b >0})的一个焦点为F(2, 0)，离心率为 √63．过焦点F 的直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过O ，D 的直线交椭圆于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求四边形AMBN 面积的最大值．20. 若数列{a n }中不超过 f(m)的项数恰为b m (m ∈N ∗)，则称数列{b m }是数列{a n }的生成数列，称相应的函数f(m)是{a n }生成{b m }的控制函数．设f(m)＝m 2．（1）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，b 1＝1，求a 1；（2）若数列{a n }单调递增，且所有项都是自然数，a 1＝b 1，求a 1；（3）若a n ＝2n (n ＝1, 2, 3)，是否存在{b m }生成{a n }的控制函数g(n)＝pn 2+qn +r （其中常数p ，q ，r ∈Z ），使得数列{a n }也是数列{b m }的生成数列？若存在，求出g(n)；若不存在，说明理由．2015年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. C3. B4. A5. D6. A7. B8. C9. −12−32i10. n−1311. (2,π2) 12. 7213. 2,−114. 12,1−(12)n15. f(x)＝cos 2x +√3sinxcosx=1+cos2x 2+√3sin2x 2=sin(2x +π6)+12，所以函数的周期为：T=2π2=π．令：π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ(k∈Z)，解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为：[kπ+π6, kπ+2π3](k∈Z)．设x＝m(m∈R)是函数y＝f(x)图象的对称轴，则：2m+π6=kπ+π2(k∈Z)．解得：m=kπ2+π6，所以：4m＝2kπ+2π3．则：sin4m=√32．16. 由茎叶图知，分数在[50, 60)之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴ 全班人数为40.125人．∴ 分数在[80, 100]之间的频数为32−4−8−10＝10，∴ 分数在[80, 100]之间的频率为1032=0.3125；由（1）知，分数在[80, 100]之间有10份，分数在[90, 100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P(X＝0)=C63C103=16，P(X＝1)=C41C62C103=12，P(X＝2)=C42C61C103=310，P(X＝3)=C43C103=130，∴ X的分布列为数学期望E(X)＝0×16+1×12+2×310+3×130=1.2．17. 证明：∵ AF // DE，AF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，∴ AF // 平面CDE，同理：AB // 平面CDE，又AF∩AB＝A∴ 平面ABF // 平面CDE又BF⊂平面ABF，∴ BF // 平面CDE；∵ 正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，正方形ADEF与梯形ABCD交于AD，CD⊥AD，∴ CD ⊥平面ADEF ，∵ DE ⊂平面ADEF ，∴ CD ⊥ED ，∵ ADEF 为正方形，∴ AD ⊥DE ，∵ AD ⊥CD ，∴ 以D 为原点，DA ，DC ，DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立坐标系，则设AD ＝1，则D(0, 0, 0)，B(1, 1, 0)，F(1, 0, 1)，C(0, 2, 0)，E(0, 0, 1)， 取平面CDE 的一个法向量DA →=(1, 0, 0)，设平面BDF 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则{x +y =0x +z =0 ， 取n →=(1, −1, −1)，设平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的大小为θ，则cosθ＝cos <DA →，n →>=√33， ∴ 平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值为√33；若M 与C 重合，则平面BDM(C)的一个法向量为m 0→=(0, 0, 1)，由上知平面BDF 的一个法向量为n →=(1, −1, −1)，则m 0→⋅n →=−1≠0，此时平面BDM ⊥平面BDF 不成立； 若M 与C 不重合，设EMEC =λ(0≤λ≤1)，则M(0, 2λ, 1−λ)，设平面BDM 的一个法向量为m →=(a, b, c)，则{a +b =02λb +(1−λ)c =0， 取m →=(1, −1, 2λ1−λ)，∵ 平面BDM ⊥平面BDF ，∴ m →⋅n →=1+1−2λ1−λ=0，∴ λ=12∈[0, 1]，∴ 线段EC 上存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ，EM EC =12．18. 解：(1)当a=−1时，f(x)=−lnx+x22，定义域为(0, +∞)，f′(x)=−1x +x=(x+1)(x−1)x，令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得0<x<1，故f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，故当x=1时，函数f(x)取得最小值f(1)=12.(2)f(x)=alnx+x22−(a+1)x的定义域为(0, +∞)，f′(x)=(x−1)(x−a)x，①当a≤0时，f(x)在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，故当x=1时，函数f(x)取得最小值f(1)=−a−12；(i)当a=0时，令f(x)=x22−x=0解得x=2，即f(x)在(0, +∞)上只有一个零点；(ii)当a=−12时，f(1)=0，即f(x)在(0, +∞)上只有一个零点；(iii)当a<−12时，f(1)>0，故f(x)在(0, +∞)上没有零点；(iv)当−12<a<0时，f(1)<0，且limx→0+f(x)=+∞，limx→+∞f(x)=+∞，故f(x)在(0, +∞)上有两个零点；②当0<a<1时，f(x)在(a, 1)上单调递减，在(0, a)，(1, +∞)上单调递增，故f(x)极大值=f(a)=alna−12a2−a<0，而limx→+∞f(x)=+∞，故f(x)在(0, +∞)上只有一个零点；③当a=1时，f(x)在(0, +∞)上单调递增，且limx→0+f(x)=−∞，limx→+∞f(x)=+∞，故f(x)在(0, +∞)上只有一个零点.综上所述，当0≤a≤1或a=−12时，f(x)在(0, +∞)上只有一个零点，当a<−12时，f(x)在(0, +∞)上没有零点，当−12<a <0时，f(x)在(0, +∞)上有两个零点． 19. 解：(1)由已知可得：{ c =2，c a=√63，a 2=b 2+c 2，解得a 2=6，b 2=2，∴ 椭圆C 的方程为x 26+y 22=1.(2)当直线l 的斜率不存在时，A(2,√63)，B(2,−√63)， |MN|=2√6，S AMBN =12|MN||AB|=4．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程为y =k(x −2)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(x 3, y 3)，N(−x 3, −y 3)．点M ，N 到直线l 的距离分别为d 1，d 2．联立{x 26+y 22=1y =k(x −2)， 化为(1+3k 2)x 2−12k 2x +12k 2−6=0，∴ x 1+x 2=12k 21+3k 2，x 1x 2=12k 2−61+3k 2．|AB|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[(12k 21+3k 2)2−4×(12k 2−6)1+3k 2] =2√6(1+k 2)1+3k 2． y 1+y 2=k(x 1+x 2−4)=−4k 1+3k 2，∴ 线段AB 的中点D(6k 21+3k 2，−2k 1+3k 2)，∴ 直线OD 的方程为：x +3ky =0(k ≠0)．联立{x +3ky =0x 2+3y 2=6， 解得y 32=21+3k 2，x 3=−3ky 3．S 四边形AMBN =12|AB|(d 1+d 2) =12×2√6(1+k 2)1+3k 2×(33√1+k 233√1+k2) =√6√1+k 2|2kx 3−2y 3|1+3k 2=2√6√1+k 2|−3k 2y 3−y 3|1+3k 2=4√3k 2+31+3k 2=4√1+21+3k 2≤4√3，当k =0时，取得等号；综上可得：四边形AMBN 的面积的最大值为4√3．20. 若b 1＝1，因为数列{a n }单调递增，所以a 1≤12，又所有项都是自然数，所以a 1＝0或1；因为数列{a n }的每项都是自然数，若a 1＝0≤12，则b 1≥1，与a 1＝b 1矛盾；若a 1≥2，则因数列{a n }单调递增，故不存在a n ≤12，即b 1＝0，也与a 1＝b 1矛盾； 当a 1＝1时，因数列{a n }单调递增，故n ≥2时，a n >1，所以b 1＝1，符合条件； 综上，a 1＝1．若a n ＝2n (n ＝1, 2, 3)，则数列{a n }单调递增，显然数列{b n }也单调递增， 由a n ≤m 2，即2n ≤m 2，得n ≤12m 2，所以b m 为不超过12m 2的最大整数， 当m ＝2k −1(k ∈N ∗)时，因为2k 2−2k <12m 2=2k 2−2k +12<2k 2−2k +1，所以b m =2k 2−2k ； 当m ＝2k(k ∈N ∗)时，12m 2=2k 2，所以b m =2k 2， 综上，b m ={2k 2−2k,m =2k −1(k ∈N ∗)2k 2,m =2k(k ∈N ∗)， 即当m >0且m 为奇数时，b m =m 2−12；当m >0且m 为偶数时，b m =m 22．若数列{a n }是数列{b m }的生成数列，且{b m }生成{a n }的控制函数g(n)， 则b m 中不超过 g(n)的项数恰为a n ，即b m 中不超过g(n)的项数恰为2n ， 所以b 2n ≤g(n)<b 2n+1，即2n 2≤pn 2+qn +r <2n 2+2n 对一切正整数n 都成立，即{(p −2)n 2+qn +r ≥0(2−p)n 2+(2−q)n −r >0对一切正整数n 都成立， 故得p ＝2，且{qn +r ≥0(2−q)n −r >0对一切正整数n 都成立，故0≤q ≤2，q ∈Z ， 又常数r ∈Z ，当q ＝0时，0≤r <2n(n ≥1)，所以r ＝0，或r ＝1；当q ＝1时，−n ≤r <n(n ≥1)，所以r ＝0，或r ＝−1；当q ＝2时，−2n ≤r <0(n ≥1)，所以r ＝−2，或r ＝−1；所以g(n)＝2n 2，或2n 2+1，或2n 2+n −1，或2n 2+n ，或2n 2+2n −2，或2n 2+2n −1(n ∈N ∗)．。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三（上）期末数学试卷（理工类）2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设i 为虚数单位，则复数1i iz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数 4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin AC ⋅的最大值是A B ．34C D7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ． 72B ． 3C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ． 11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xx f x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值；②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点；④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ；（Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --F 在边BC 上的位置，并说明理由.D P C B F A E0.02若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”．（Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分） 设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点(1,2，离心率为2．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<． （Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值；（Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．。

北京市朝阳区2015届高三下学期第一次综合练习数学（理）试卷第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{1,2,},{1,}A m B m ==，若B A ⊆，则M = A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或22、已知点00(1,)(0)A y y >为抛物线22(0)y px p =>上一点，若点A 到该抛物线焦点的距离为3，则0y =A ．2 C ．．43、在ABC ∆中，若,cos 633A B BC π===，则AC =A ．．4 C ．．34、“2,10x Rx a x ∀∈++≥成立”是“2a ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5、某商场每天上午10点开门，晚上19点停止进入，在如图所示的 框图中，t 表示整点时刻，()a t 表示时间段[1,)t t -内进入商场的人 次，S 表示面某天某整点时刻前进入商场人次总和，为了统计某天进 入商场的总人次数，则判断框内可以填A ．17?t ≤B ．19?t ≥C ．18?t ≥D ．18?t ≤ 6、设123,,x x x 均为实数，且312213223111()log (1),()log (1),()log 333x xx x x x =+=+=，则A ．132x x x <<B ．321x x x <<C ．312x x x <<D ．213x x x << 7、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(1,0),(1,1)A B ，且090BOP ∠=，设()OP OA kOB k R =+∈，则OP =A ．12 BC．2 8、设集合22000000{(,)|20,,}M x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则M 中元素的个数为A ．61B ．65C ．69D ．84第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上.. 9、i 为虚数单位，计算121ii-=+ 10、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3833,1a a S +==，则通项公式n a =11、在极坐标系中，设0,02ρθπ>≤<，曲线2ρ=与曲线sin 2ρθ= 焦点的极坐标为 12、已知有身穿两种不同队服的球迷各三人，现将这六人排除一排照相，要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻，则不同的排法种数为 （用数字作答）13、设3z x y =+，实数,x y 满足20200x y x y y t +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩，其中0t >，若z 的最大值为5，则实数t 的值为 ，此时z 的最小值为 .14、将体积为1的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，第二次再讲剩余的每个四面体均挖去以各棱中点为顶点构成的多面体，如此下去，共进行了次，则第一次挖去的几何体的体积是 ；这n 次共挖去的所有几何体的体积和是三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、（本小题满分12分）已知函数()2cos cos ,f x x x x x R =+∈.（1）求()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设()x m m R =∈是函数()y f x =图像的对称轴，求sin 4m 的值.17、（本小题满分12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的无损，其中，频率分布直方图的分组分布为[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，据此解答如下问题：（1）求全班人数及分数在[]80,100之间的频率；（2）现从分数在[]80,100之间的试卷中任取3份学生失分情况，设抽取的试卷分数在[]90,100的份数为X ，求X 的分布列和数学期望.17、（本小题满分12分）如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知1//,,2AB CD AD CD AB AD CD ⊥==. （1）求证：//BF 平面CDE ；（2）求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值；（3）线段EC 上是否存在点M ，使得平面BDM ⊥平面BDF ？ 若存在，求出EMEC的值；若不存在，说明理由.18、（本小题满分12分）已知函数()2ln (1),2x f x a x a x a R =+-+∈. （1）当1a =-时，求函数()f x 的最小值； （2）当1a ≤时，讨论函数()f x 的零点个数.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(2,0)F F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，线段AB 中点为D ，O 为坐标原点，过的直线交椭圆于M 、N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求四边形AMBN 面积的最大值.20、（本小题满分13分）若数列{}n a 中不超过()f m 的项数恰为()m b m N +∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的生成数列，称相应的函数()f m 是{}n a 生成{}n b 的控制函数，设()2f m m =. （1）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11b =，求1a ； （2）若数列{}n a 单调递增，且所有项都是自然数，11a b =，求1a ； （3）若2(1,2,3,)n a n n ==，是否存在{}n b 生成{}n a 的控制函数()2g n pn qn r =++（其中常数,,p q r Z ∈），使得数列{}n a 也是数列{}n b 的生成数列?若存在，求出()g n ；若不存在，说明理由.。

北京市朝阳区2015学年度第二学期高三综合练习数学（理科）2015．5第一部分（选择题共40 分）一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，集合，则＝（）．B．C．D．2．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值是（）．A．7 B．10 C．66 D．1663．设为虚数单位，，“复数是纯虚数”是“”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．已知平面上三点A，B，C，满足，则=（）．A．48 B．-48 C．100 D．-1005．已知函数，若对任意的实数x，总有，则的最小值是（）．A．2 B．4 C．D．26．已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P．若，则双曲线的渐近线方程为（）．7．已知函数，若对任意，都有成立，则实数m的取值范围是（）．8．如图，将一张边长为1的正方形纸ABCD折叠，使得点B始终落在边AD上，则折起部分面积的最小值为（）．第Ⅱ卷（非选择题共110 分）二、填空题：本小题共6 小题，每小题5 分，共30 分．9．展开式中含项的系数是__________．10．已知圆C的圆心在直线x－y=0上，且圆C与两条直线x＋y=0和x＋y－12=0都相切，则圆C的标准方程是__________．11．如图，已知圆B的半径为5，直线AMN与直线ADC为圆B的两条割线，且割线AMN过圆心B．若AM=2，，则AD=__________．12．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积为__________．13．已知点在函数的图像上，则数列的通项公式为__________；设O为坐标原点，点，则，中，面积的最大值是__________．14．设集合，集合A中所有元素的个数为__________；集合A 中满足条件“”的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题共13分）在梯形ABCD中，（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求梯形ABCD的高．某学科测试中要求考生从A，B，C三道题中任选一题作答，考试结束后，统计数据显示共有600名学生参加测试，选择A，B，C三题答卷数如下表：（Ⅰ）某教师为了解参加测试的学生答卷情况，现用分层抽样的方法从600份答案中抽出若干份答卷，其中从选择A题作答的答卷中抽出了3份，则应分别从选择B，C题作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）若在（Ⅰ）问中被抽出的答卷中，A，B，C三题答卷得优的份数都是2，从被抽出的A，B，C三题答卷中再各抽出1份，求这3份答卷中恰有1份得优的概率；（Ⅲ）测试后的统计数据显示，B题的答卷得优的有100份，若以频率作为概率，在（Ⅰ）问中被抽出的选择B题作答的答卷中，记其中得优的份数为X，求X的分布列及其数学期望EX．如图，在直角梯形ABCD中，．直角梯形ABEF可以通过直角梯形ABCD以直线AB为轴旋转得到，且平面平面ABCD．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线BD和平面BCE所成角的正弦值；（Ⅲ）设H为BD的中点，M，N分别为线段FD，AD上的点（都不与点D重合）．若直线平面MNH，求MH的长．18．（本小题共13分）已知点M为椭圆的右顶点，点A，B是椭圆C上不同的两点（均异于点M），且满足直线MA与直线MB斜率之积为14．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及焦点坐标；（Ⅱ）试判断直线AB是否过定点：若是，求出定点坐标；若否，说明理由．19．（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若在区间(1,2)上存在不相等的实数成立，求的取值范围；（Ⅲ）若函数有两个不同的极值点，，求证：．20．（本小题共13分）已知数列，是正整数1，2，3，，n的一个全排列．若对每个都有或3，则称为H数列．（Ⅰ）写出满足的所有H数列；（Ⅱ）写出一个满足的数列的通项公式；（Ⅲ）在H数列中，记．若数列是公差为d的等差数列，求证：或．参考答案及评分标准高三数学（理科）一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 A B B C A C D B二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案三、解答题：15．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）在中，因为，所以．由正弦定理得：，即．（Ⅱ）在中，由余弦定理得：，整理得，解得（舍负）．过点作于，则为梯形的高．因为，，所以．在直角中，．即梯形的高为．16．（本小题共13 分）解：（Ⅰ）由题意可得：题 A B C答卷数180 300 230抽出的答卷数 3 5 2应分别从题的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）记事件：被抽出的三种答卷中分别再任取出份，这份答卷中恰有份得优，可知只能题答案为优，依题意．（Ⅲ）由题意可知，题答案得优的概率为，显然被抽出的题的答案中得优的份数的可能取值为，且．；；；；；．随机变量的分布列为：所以．17．（本小题共14分）证明：（Ⅰ）由已知得，．因为平面平面，且平面平面，所以平面，由于平面，所以．（Ⅱ）由（1）知平面所以，．由已知，所以两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系（如图）．因为，则，，，，所以，，设平面的一个法向量．所以，即．令，则．设直线与平面所成角为，因为，所以．所以直线和平面所成角的正弦值为．（Ⅲ）在为原点的空间直角坐标系中，，，，，．设，即．，则，，．若平面，则．即．．解得．则，．18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）椭圆的方程可化为，则，，．故离心率为，焦点坐标为，．（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，可设直线的方程为，，，则，．由得．判别式．所以，，因为直线与直线的斜率之积为，所以，所以．化简得，所以，化简得，即或．当时，直线方程为，过定点．代入判别式大于零中，解得．当时，直线的方程为，过定点，不符合题意．故直线过定点．19．（本小题共14分）解：（Ⅰ）当时，，．由，解得，．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的单调增区间为，单调减区间为．（Ⅱ）依题意即求使函数在上不为单调函数的的取值范围．，设，则，．因为在上为增函数．当，即当时，函数在上有且只有一个零点，设为，当时，，即，为减函数；当时，，即，为增函数，满足在上不为单调函数．当时，，，所以在上成立（因在上为增函数），所以在上成立，即在上为增函数，不合题意．同理时，可判断在为减函数，不合题意．综上．（Ⅲ）．因为函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，即方程的判别式，解得．由，解得，．此时，．随着变化，和的变化情况如下：+ +极大值极小值所以是的极大值点，是的极小值点，所以是极大值，是极小值所以因为，所以，所以．20．（本小题共13分）解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：．（Ⅱ）由（1）知数列满足，把各项分别加后，所得各数依次排在后，因为，所得数列显然满足或，，即得数列．其中，．如此下去即可得到一个满足的数列为：（其中）（写出此通项也可以（其中））（Ⅲ）由题意知，，且．有解：①，，，则，这与是矛盾的．②时，与①类似可得不成立．③时，，则不可能成立．④时，若或，则或．若或，则，类似于③可知不成立．④时，若同号，则，由上面的讨论可知不可能；若或，则或；⑤时，若异号，则，不行；若同号，则，同样由前面的讨论可知与矛盾．综上，只能为或，且（2）中的数列是的情形，将（2）中的数列倒过来就是，所以为或．。