九年级数学下册《二次函数的图像和性质》基础知识测验

2.2二次函数的图像与性质同步测试一．选择题1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣7的顶点坐标是（）A．（﹣2，7）B．（﹣2，﹣7）C．（2，﹣7）D．（2，7）2．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则（）A．a＞0，b＞0B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0 3．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后所得到的抛物线解析式是（）A．y＝（x﹣3）2﹣3B．y＝（x﹣3）2+3C．y＝（x+3）2﹣3D．y＝（x+3）2+34．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（）A．函数图象开口朝下B．当x＜0时，y随x的增大而减小C．该函数图象的对称轴在y轴左侧D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴5．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，使y≥﹣1成立的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≤﹣1C．﹣1≤x≤3D．x≤﹣1或x≥36．下列抛物线的图象，开口最大的是（）A．y＝x2B．y＝4x2C．y＝﹣2x2D．无法确定7．在平面直角坐标系中，把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣1）2﹣2B．y＝2（x+1）2﹣2C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣2D．y＝﹣2（x+1）2﹣28．点P1（﹣2，y1），P2（2，y2），P3（6，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＝y3C．y1＝y3＞y2D．y2＞y1＞y39．抛物线y＝﹣3x2﹣4的开口方向和顶点坐标分别是（）A．向上，（0，4）B．向上，（0，﹣4）C．向下，（0，﹣4）D．向下，（0，4）10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）有以下结论：①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＜0；④abc＜0．其中正确结论的个数有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题11．抛物线y＝2x2+6x的对称轴是直线．12．已知点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2）在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，则y1与y2的大小关系为y1y2（填“＞”“＜”或“＝”）．13．二次函数y＝x2﹣2x+1在2≤x≤5范围内的最小值为．14．已知二次函数y＝x2﹣2x+2，当x时，y随x的增大而增大．15．函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象如图，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象，若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是．三．解答题16．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线G：y＝a2x2﹣2a2x+4（a≠0）．（1）抛物线G的对称轴为x＝；（2）若在抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（3）若抛物线G的顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，求a的取值范围．17．如图，已知抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，且与一次函数y＝﹣x+1交于点B和点C．（1）求k的值；（2）求△ABC的面积．18．已知抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）．（1）如图，若抛物线C的顶点坐标为P（1，2），求m，n的值；（2）在（1）的条件下，设点Q（a，b）在抛物线C上，且点Q离y轴的距离不大于2，直接写出b的取值范围；（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1，将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2，若C1与C2的交点坐标为（1，3），求抛物线C的函数解析式．参考答案1．解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣7的顶点坐标是（2，﹣7）．故选：C．2．解：如图，抛物线的开口向下，则a＜0，．抛物线的对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，即b＜0．综上所述，a＜0，b＜0．故选：D．3．解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y＝（x﹣3）2+3；故选：B．4．解：二次函数y＝x2+2x+3＝（x+2）2+1，对称轴为直线x＝﹣2．A、a＝＞0，开口向上，本选项不符合题意；B、当﹣2＜x＜0时，y随x的增大而增大，本选项不符合题意；C、该函数图象的对称轴在y轴左侧，本选项符合题意；D、该函数图象与y轴的交点为（0，3），位于y轴，正半轴，本选项不符合题意；故选：C．5．解：由函数图象可知，当y≥﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+c不在y＝﹣1下方部分的自变量x满足：﹣1≤x≤3，故选：C．6．解：∵二次函数中|a|的值越小，函数图象的开口越大，又∵||＜|﹣2|＜|4|，∴抛物线y＝x2的图象开口最大，故选：A．7．解：∵把抛物线y＝2x2绕原点旋转180°，∴新抛物线解析式为：y＝﹣2x2，∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．故选：C．8．解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，∴A（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（4，y1），∵2＜4＜6，∴y2＞y1＞y3，故选：D．9．解：∵抛物线y＝﹣3x2﹣4中，a＝﹣3＜0，∴该抛物线开口向下，顶点坐标为（0，﹣4），故选：C．10．解：由图可知，当x＝1时，y＞0，∴a+b+c＞0，故①正确；当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，故②正确；抛物线开口向下，则a＜0，而对称轴在y轴右侧，则a、b异号，所以b＞0，其与y轴的交点（0，c）位于y轴的正半轴，则c＞0，∴abc＜0，故④正确；由图象可知0＜﹣＜1，∴b＜﹣2a，∴2a+b＜0，故③正确；故选：D．11．解：∵抛物线y＝2x2+6x，∴该抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝﹣，故答案为：x＝﹣．12．解：∵二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c＝﹣（x+1）2+1+c，∴该抛物线开口向下，且对称轴为直线：x＝﹣1．∵点A（﹣2，y1），B（﹣3，y2）在二次函数y＝﹣x2﹣2x+c的图象上，且﹣3＜﹣2＜﹣1，∴y1＞y2．故答案为＞．13．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∴在2≤x≤5范围内，当x＝2时，y取得最小值，此时y＝（2﹣1）2＝1，故答案为：1．14．解：∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＞1时，y随x增大而增大，故答案为：＞1．15．解：如图1所示，当m等于0时，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），∴当m＝0时，D（4，﹣5），∴此时最大值为0，最小值为﹣5；如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1，当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；综上所述：0≤m≤1，故答案为0≤m≤1．16．解：（1）抛物线G的对称轴为直线x＝﹣＝1，故答案为1；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，抛物线G上有两点（2，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是m＞2或m＜0；故答案为：m＞2或m＜0；（3）y＝a2x2﹣2a2x+4＝a2（x﹣1）﹣a2+4，∵顶点纵坐标t的取值范围为0＜t＜3，∴0＜﹣a2+4＜3，∴1＜a2＜4，∴﹣2＜a＜﹣1或1＜a＜2．17．解；（1）∵抛物线y＝x2﹣（k+1）x+1的顶点A在x轴的负半轴上，∴＝0，且﹣＜0，解得，k＝﹣3；（2）∵k＝﹣3，∴抛物线为y＝x2+2x+1，解x2+2x+1＝﹣x+1得，x1＝0，x2＝﹣3，∴B（﹣3，4），C（0，1），由直线y＝﹣x+1可知与x轴的交点D为（1，0），∵抛物线为y＝x2+2x+1＝（x+1）2，∴A（﹣1，0），∴AD＝2，∴S△ABC＝×2×4﹣＝3．18．解：（1）∵抛物线C：y＝x2+mx+n（m，n为常数）顶点坐标为P（1，2），∴﹣＝1，＝2，解得m＝﹣2，n＝3；（2）在（1）的条件下，抛物线C为：y＝x2﹣2x+3，∵点Q（a，b）在抛物线C上，且离y轴的距离不大于2，∴﹣2≤x Q≤2，由图象可知，2≤y Q≤11即2≤b≤11．（3）将抛物线C向左平移2个单位得到抛物线C1为y＝（x+2）2+m（x+2）+n；将抛物线C向右平移2个单位得到抛物线C2为y＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n；由（x+2）2+m（x+2）+n＝（x﹣2）2+m（x﹣2）+n，解得x＝﹣m，∴若C1与C2的交点坐标为（1，3），∴﹣m＝1，解得m＝﹣2，把点（1，3）代入y＝（x+2）2﹣2（x+2）+n得3＝9﹣6+n，∴n＝0，∴抛物线C的函数解析式为y＝x2﹣2x．。

九年级数学下册《二次函数y=ax2+k 的图象与性质》测试卷-北师大版（含答案）1．抛物线y ＝2x²－1在y 轴右侧的部分是_____ ___(填“上升”或“下降”)．2．二次函数y ＝3x2－3的图象开口向______，顶点坐标为________，对称轴为 ______，当x>0时，y 随x 的增大而______；当x<0时，y 随x 的增大而______．因为a ＝3>0，所以y 有最______值，当x ＝______时，y 的最______值是______．3．当m=_________时，抛物线2y (1)+9xm m m +=+开口向下，对称轴是_________．在对称轴左侧，y 的值随x 值的增大而_________；在对称轴右侧，y 的值随x 值的增大而_________．4.已知点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)均在抛物线y ＝x²－1上，下列说法中正确的是( )A ．若y 1＝y 2，则x 1＝x 2B ．若x 1＝－x 2，则y 1＝－y 2C ．若0＜x 1＜x 2，则y 1＞y 2D ．若x 1＜x 2＜0，则y 1＞y 25．对于二次函数y ＝3x²＋2，下列说法错误的是( )A ．最小值为2B ．图象与y 轴没有公共点C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小D ．其图象的对称轴是y 轴6．下列各图象中有可能是函数y ＝ax 2＋a(a≠0)的图象的是( )7．在同一坐标系中，一次函数y ＝－mx ＋n 2与二次函数y ＝x 2＋m 的图象可能是( )8．已知y ＝ax 2＋k 的图象上有三点A(－3，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)，且y 2<y 3<y 1，则a 的取值范围是( )A ．a>0B ．a<0C ．a≥0D ．a≤09．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A ．y ＝－54x 2－1B ．y ＝45x 2－1C ．y ＝－45x 2＋1D ．y ＝45x 2＋1 10．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）．11．函数y=ax2+1与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2＋14与y轴相交于点A，点B在y轴上，且在点A的上方，AB＝OA.(1)填空：点B的坐标是_______；(2)过点B的直线y＝kx＋b(其中k＜0)与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB＝PC，求线段PB的长(用含k的式子表示)，并判断点P是否在抛物线上，说明理由．13．已知抛物线y＝（m-1）x2+m2+2m-2开口向下，且经过点（0，1）．（1）求m的值；（2）求此抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）当x 为何值时，y 的值随x 值的增大而增大？14．一位篮球运动员跳起投篮，球沿抛物线21 3.55y x =-+运行，然后准确落入篮筐内．已知篮筐的中心离地面的距离为3.05 m ．（1）求球在空中运行的最大高度是多少米；（2）如果该运动员跳投时，球出手离地面的高度为2.25 m ，那么他离篮筐中心的水平距离AB 是多少？参考答案1.上升2.上 (0，－3) y 轴 增大 减小 小 0 小 －33．-2 y 轴 增大 减小4.D5.B6.B7.D8.A9.B10．C11．B12.解：(1) (0，½)(2)∵B 点坐标为(0，12)， ∴设直线的解析式为y ＝kx ＋12. 令y ＝0，得kx ＋12＝0， 解得x ＝－12k. ∴OC ＝－12k. ∵PB ＝PC ，∴点P 只能在x 轴上方．过B 作BD ⊥l 于点D ，设PB ＝PC ＝m ，则BD ＝OC ＝－12k ，CD ＝OB ＝12， ∴PD ＝PC －CD ＝m －12. 在Rt △PBD 中，由勾股定理，得PB 2＝PD 2＋BD 2，即m 2＝(m －12)2＋(－12k)2， 解得m ＝14＋14k 2. ∴PB ＝14＋14k 2. ∴P 点坐标为(－12k ，14＋14k 2)． 当x ＝－12k 时，代入抛物线的解析式可得y ＝14＋14k 2， ∴点P 在抛物线上．13．解：（1）把（0，1）代入y=（m-1）x2+m2+2m-2得，1=m2+2m-2，解得m=1或m=-3．因为开口向下，所以m=-3．（2）此抛物线的表达式为y=-4x2+1，顶点为（0，1），对称轴为y轴（直线x=0）．（3）当x≤0时，y的值随x值的增大而增大．14．解：（1）3.5 m．（2）他离篮筐中心的水平距离AB是4 m．。

北师大版数学九年级下册第2章第2节二次函数的图像与性质同步检测一、选择题1．抛物线y(x1)22的极点坐标是〔〕A．〔-1，2〕B．〔-1，-2〕C．〔1，2〕D．〔1，-2〕答案：C分析：解答：∵极点式y〔ax h〕2k，极点坐标是〔h，k〕，∴抛物线y=〔x-1〕2+2的极点坐标是〔1，2〕．应选：C．剖析：利用抛物线极点式的特色直接写出极点坐标．本题考察了求抛物线的极点坐标的方法．熟记二次函数的极点式的形式是解题的重点．2k kx2k0〕．函数y与y k〔≠〕在同向来角坐标系中的图象可能是〔x．B．C．D．答案：B分析：解答：由分析式2ykxk可得：抛物线对称轴x0；=A．由双曲线的两个分支分别位于二、四象限，可得k0k0＜，那么-＞，抛物线张口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，那么-k＜0，抛物线张口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象切合题意，故B正确；C．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k＞0，那么-k＜0，抛物线张口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D．由双曲线的两个分支分别位于一、三象限，可得k0k0＞，那么-＜，抛物线张口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．应选：B．剖析：本题能够先依据反比率函数的图象获取字母系数的正负，再与二次函数的图象对比较看一看能否一致．解决此类问题步骤一般为：〔1〕先依据图象的特色判断k的取值能否矛盾；〔2〕依据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点能否切合要求．3x2的是〔〕．在以下二次函数中，其图象对称轴为=-A．y〔x2〕2B．y2x22C．y2x22D．y〔2x2〕2答案：A2分析：解答：y〔x2〕的对称轴为x=-2，故A正确；y2x22的对称轴为x=0，故B错误；y2x22的对称轴为x=0，故C错误；〔2x2〕2的对称轴为x=2，故D错误．应选：A．剖析：依据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，挨次进行判断，选出正确的选项．本题考察的是二次函数的性质，正确求出二次函数图象的对称轴是解题的重点．4．如图是二次函数y ax2bxc的图象，以下结论：①二次三项式ax2bx c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2bx c 1的两根之和为-1；④使y≤3建立的x的取值范围是x≥0．此中正确的个数有〔〕A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：解答：∵抛物线的极点坐标为〔-1，4〕，∴二次三项式ax2bxc的最大值为4，故①正确；x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②正确；依据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2bx c1的两根之和为-2，故③错误；使y≤3建立的x的取值范围是x≥0或x≤-2，故④错误，应选：B．剖析：本题考察的是二次函数的图象、二次函数的最值、二次函数与不等式，掌握二次函数的性质、正确获取图象信息是解题的重点．①依据抛物线的极点坐标确立二次三项式ax 2bxc的最大值；②依据x2时，y＜确立4a2bc的符号；③依据抛物线的对称性=++确立一元二次方程ax2bxc1的两根之和；④依据函数图象确立使y≤3建立的x的取值范围．5．在同向来角坐标系中，函数y kx2k和y=kx+k〔k≠0〕的图象大概是〔〕．B．C．九年级下《2.2二次函数图象与性质》课时练习含答案分析D．答案：D分析：解答：A．由一次函数y kxk的图象可得：k02k的图象=+＞，此时二次函数ykx应当张口向上，错误；B．由一次函数y=kx+k图象可知，k＞0，此时二次函数y kx2k的图象极点应在y轴的负半轴，错误；C．由一次函数y=kx+k可知，y随x增大而减小时，直线与y轴交于负半轴，错误；D．正确．应选：D．剖析：先依据一次函数的图象判断k的符号，再判断二次函数图象与实质能否符合，判断正误．本题考察的是一次函数和二次函数的图象，解答此类题要娴熟掌握一次函数y=kx+b在不一样状况下所在的象限，以及二次函数的相关性质：张口方向、对称轴、极点坐标．6．如图图形中，暗影局部面积相等的是〔〕A．甲乙B．甲丙C．乙丙D．丙丁答案：B分析：解答：甲：直线y 4x4与x轴交点为〔3，0〕，与y轴的交点为〔0，4〕，那么3暗影局部的面积为1×3×4=6；2乙：暗影局部为斜边为4的等腰直角三角形，其面积为1×4×24；2丙：抛物线y2x22与x轴的两个交点为〔-3，0〕与〔3，0〕，极点坐标为〔0，-2〕，9那么暗影局部的面积为1×6×2=6；2丁：此函数是反比率函数，那么暗影局部的面积为1×6=3；2所以甲、丙的面积相等，应选：B．剖析：甲、丙：依据函数分析式求出图象与x轴，y轴的交点坐标，再计算暗影局部的面积；乙：可判断出暗影局部为斜边为4的等腰直角三角形，据此计算暗影局部的面积；丁：利用反比率函数系数k的几何意义求出暗影局部的面积．本题考察了函数图象与坐标轴交点坐标的求法以及图形面积的求法，娴熟掌握各种函数的图象特色是解决问题的重点．7．王芳将以下列图的三条水平直线m1，m2，m3的此中一条记为x轴〔向右为正方向〕，三条竖直直线m4，m5，m6的此中一条记为y轴〔向上为正方向〕，并在此坐标平面内画出了抛物线y ax26ax3，那么她所选择的x轴和y轴分别为〔〕A．m1，m4B．m2，m3C．m3，m6D．m4，m5答案：A分析：解答：∵抛物线y ax26ax 3的张口向上，a＞0，yax26ax3〔ax3〕239a，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∴应选择的y轴为直线m4；∵极点坐标为〔 3，-3-9a〕，抛物线y ax26ax 3与y轴的交点为〔0，-3〕，而-3-9a-3，∴应选择的x轴为直线m1，应选：A．剖析：依据抛物线张口向上可知a＞0，将抛物线配方为y〔ax3〕2 39a，可得抛物线的对称轴为x=3，极点纵坐标为-3-9a，由此联合图象获取答案．本题考察了二次函数的图象，理解二次函数的图象与各系数的关系是解题的重点，注意数形联合思想的运用．8．抛物线 y=ax2+bx+c张口向下，极点坐标〔3，-5〕，那么该抛物线有〔〕A．最小值-5B．最大值-5C．最小值3D．最大值3答案：B分析：解答：因为抛物线张口向下和其极点坐标为〔3，-5〕，所以该抛物线有最大值-5．应选：B．剖析：由抛物线的张口向下和其极点坐标为〔3，-5〕，依据抛物线的性质能够做出判断．9x 22x2经过平移获取y x2，平移方法是〔〕．抛物线yA．向右平移1个单位，再向上平移1个单位B．向右平移1个单位，再向下平移1个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向左平移1个单位，再向下平移1个单位答案：C分析：解答：∵y x22x2〔x1〕21的极点坐标为〔1，-1〕，平移后抛物线y x2的极点坐标为〔0，0〕，∴平移方法为：向左平移1个单位，再向上平移1个单位．应选：C．剖析：由抛物线y x22x2〔x1〕21获取极点坐标为〔1，-1〕，而平移后抛物线x2的极点坐标为〔0，0〕，依据极点坐标的变化找寻平移方法．重点是确立平移前后抛物线的极点坐标，找寻平移规律．10．假定〔2，5〕、〔4，5〕是抛物线y ax2bx c上的两个点，那么它的对称轴是〔〕A．x baB．x=1C．x=2D．x=3答案：D分析：解答：因为抛物线与x 轴订交于点〔2，5〕、〔4，5〕，依据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的均匀数就是对称轴，所以，对称轴2 4x=3；2应选：D ．剖析：因为点〔2，5〕、〔4，5〕是该抛物线上对于对称轴对称的两点，所以只需求出两对 称点横坐标的均匀数即可．本题考察了二次函数的对称性．11．假定点A 〔2，y 1〕，B 〔-3，y 2〕，C 〔-1，y 3〕三点在抛物线yx 2 4xm 的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是〔 〕A ．y 1＞y2＞y 3B ．y 2＞y 1＞y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 2 答案：C分析：解答：∵二次函数yx 24xm 中 a1 0= ＞，∴张口向上，对称轴为x=b=2，2a∵A 〔2，y 1〕中x=2，∴y 1最小，又∵B 〔-3，y 2〕，C 〔-1，y 3〕都在对称轴的左边，而在对称轴的左边， y 随x 得增大而减小，所以 y 2＞y 3．∴y 2＞y 3＞y 1． 应选：C ．剖析：第一求出二次函数 yx 24x m 的图象的对称轴，而后判断出A 〔2，y 1〕，B 〔-3，y 2〕，C 〔-1，y 3〕在抛物线上的地点，最后依据二次函数的增减性求解．解答本题的关键是〔1〕找到二次函数的对称轴；〔2〕掌握二次函数yax 2bx 〔ca 0〕的图象性质．12y x 2的自变量x 的取值范围是全体实数，那么 c 的取值范围是〔〕2x c ．假定函数x2A ．c ＞1B ．c=1C ．c ＜1D ．c ≤1 答案：A分析：解答：由题意，得△=〔 2〕2 4c ＜0，解得c＞1．应选：A．剖析：先依据分式的意义，分母不等于0，得出x22x c 0，再依据二次函数y ax2bxc〔a≠0〕的图象性质，可知当二次项系数a＞0，△＜0时，有y＞0，此时自变量x的取值范围是全体实数．要使得本题函数式子存心义，一定知足分母不等于点在于分母是对于自变量x的二次函数，要使自变量x的取值范围是全体实数，0．难一定知足△＜0．13．二次函数y x2x m〔m为常数〕的图象以下列图，当x=a时，y＜0；那么当x=a-1时，函数值〔〕．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y=m答案：C分析：解答：当x=a时，y＜0，那么a的取值范围是x1＜a＜x2，又对称轴是x=1，2所以a-1＜0，当x＜1时，y随x的增大而减小，2当x=0时，函数值是m．因此当x=a-1＜0时，函数值y必定大于m．应选：C．剖析：依据对称轴及函数值判断a的取值范围，进而得出a-1＜0，因为当x＜1时，y随2x的增大而减小，所以当x=a-1＜0时，函数值y必定大于m．本题主要考察二次函数的对称轴，以及增减性．14．直角坐标平面大将二次函数y〔2x1〕22的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，那么其极点为〔〕．〔0，0〕B．〔1，-2〕C．〔0，-1〕D ．〔-21，〕答案：C分析：解答：由题意得原抛物线的极点为〔12，-〕，∵图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，∴新抛物线的极点为〔0，-1〕．应选：C．剖析：易得原抛物线极点，把横坐标减1，纵坐标加1即可获取新的极点坐标．本题考察二次函数的平移问题；用到的知识点为：二次函数图象的平移与极点的平移一致．15．便民商铺经营一种商品，在销售过程中，发现一周收益y〔元〕与每件销售价x〔元〕之间的关系知足y〔2x20〕21558，因为某种原由，价钱只好15≤x≤22，那么一周可获取最大收益是〔〕A．20B．1508C．1558D．1585答案：C分析：解答：∵一周收益y〔元〕与每件销售价x〔元〕之间的关系知足y〔2x20〕21558，且15≤x≤22，∴当x=20时，y最大值1558．应选：C．剖析：因为该二次函数的张口方向向下，所以当x-20=0时，y取最大值．本题考察了二次函数的最值．本题要注意x的取值范围，在15≤x≤22范围内求解．二、填空题16．二次函数y〔m2〕x2的图象张口向下，那么m的取值范围是答案：m＜2分析：解答：∵二次函数y〔m2〕x2的图象张口向下，∴m-2＜0，∴m＜2，故答案为：m＜2．剖析：由图象的张口方向知m-2＜0，确立m的取值范围．考察了二次函数的性质，二次项系数决定了张口方向，大于零张口向上，小于零张口向下．17．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令好多人历历在目． 有一种焰火高升高度为h 〔m 〕与飞翔时间t 〔s 〕的关系式是h5 t 2 20t1，假定这类焰火在点燃升空后到最2高处引爆，那么从点火到引爆所需时间为 s ．答案：4分析：解答：依据题意，得焰火引爆处为抛物线的极点处，极点处的横坐标即代表从点火到引爆所需时间，那么t=201=4s ，5故答案为：4．剖析：依据关系式可知焰火的运转轨迹是一个张口向下的抛物线，焰火在升到最高时引爆，即抵达抛物线的极点时引爆，极点横坐标就是从点火到引爆所需时间．利用二次函数的性质，联合图象与实质问题的联系进行解答．18．二次函数y ax 2bxc 的图象以下列图，那么点P 〔a ，bc 〕在第象限．答案：一分析：解答：从图象得出，二次函数的对称轴在y 轴的右边，且张口向上，∴a ＞0，b＞0，所以b ＜0，2a∴ ∵二次函数的图象与 y 轴交于y 轴的负半轴， c ＜0，a ＞0，bc ＞0，那么点P 〔a ，bc 〕在第一象限．故答案为：一．剖析：只需依据二次函数的图象及性质判断出a 及bc 的符号，便可得出点P 〔a ，bc 〕所在象限．本题考察了二次函数图象的对称轴、张口方向与y 轴的交点与系数的关系． 19．二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象以下列图，给出以下说法：① ac0 2ab0 ；③ abc0x1 时，函数 y 随 x的增大而增大；⑤当 y0时，＞；② += ++=；④当 ＞ ＞ -1＜x ＜3．此中，正确的说法有〔请写出全部正确说法的序号〕．答案：②⑤分析：解答：∵抛物线的张口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，a＜0，c＞0，ac＜0，∴①错误；b由图象可知：1，2a2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c＞0，∴③错误；由图象可知：当x＞1时，函数y随x的增大而减小，∴④错误；依据图象，当-1＜x＜3时，y＞0，∴⑤正确；正确的说法有②⑤．故答案为：②⑤剖析：①由图象张口向下和与y轴的交点地点，求出a＜0，c＞0判断；②由抛物线的极点的横坐标b1判断；③把x1y的值判断；④依据图象的性质2a=代入抛物线，依据纵坐标〔局部图象的延长方向〕判断；⑤依据图象在x轴的上方时，y＞0，即可求出．注意：依据抛物线的张口方向即可获取a的正负，依据抛物线与y轴的交点的纵坐标即可求出c的值，依据极点的横坐标得出2a和b的关系式，把x=1或〔-1〕代入即可求出a+b+c和a-b+c的值．20．抛物线yax2bx c〔a＜0〕过A〔-2，0〕、O〔0，0〕、B〔-3，y1〕、C〔3，y2〕四点，那么y1与y2的大小关系是答案：y1＞y2分析：解答：∵抛物线与x轴交于A〔-2，0〕、O〔0，0〕两点，∴抛物线对称轴为x=20=-1，2∵B〔-3，y1〕、C〔3，y2〕，点B离对称轴较近，且抛物线张口向下，y1＞y2．故答案为：y1＞y2．剖析：由得抛物线与x轴交于A〔-2，0〕、O〔0，0〕两点，张口向下，对称轴为x=20=-1，2可知B、C两点在对称轴的两边，点B离对称轴较近，再依据抛物线图象进行判断．本题考查了二次函数的增减性．娴熟掌握：当二次项系数a＞0时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；a＜0时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小．三、解答题21．抛物线y1x2x4，2〔1〕用配方法确立它的极点坐标、对称轴；19〕｜直线x=-1答案：〔-，22〕x取何值时，y随x增大而减小？答案：x＞-1〔3〕x取何值时，抛物线在x轴上方？答案：-4＜x＜2分析：解答：〔112x4=122x8〕=1[(x1)29]129〕∵y x〔x2=(x1)，2222∴它的极点坐标为〔-1，9〕，对称轴为直线x1；2=-2〕∵抛物线对称轴是直线x=-1，张口向下，∴当x＞-1时，y随x增大而减小；3〕当y=0时，1(x1)29=022解得x1=2，x2=-4，而抛物线张口向下，∴当-4x2时，抛物线在x轴上方．＜＜剖析：〔1〕用配方法写成极点式，依据极点式的坐标特色求极点坐标及对称轴；〔2〕对称轴是x=-1，张口向下，依据对称轴及张口方向确立函数的增减性；〔3〕令y=0，确立函数图象与x轴的交点，联合张口方向判断x的取值范围．注意：抛物线的极点式合适与确立抛物线的张口方向，极点坐标，对称轴，最大〔小〕值，增减性等；抛物线的交点式合适于确定函数值y＞0，y=0，y＜0．22．用配方法把函数y3x 26x10化成y〔ax2k的形式，而后指出它的图象开h〕口方向，对称轴，极点坐标和最值．答案：向下｜x=-1｜〔-1，13〕｜最大值13分析：解答：∵y3x26x10〔3x1〕213，∴张口向下，对称轴x=-1，极点坐标〔-1，13〕，最大值13．剖析：这个函数的二次项系数是-3，配方法变形成y〔ax h〕2k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数-3，加前一次项系数的一半，就能够变形成极点式的形式．二次函数的极点式是：y a〔x h〕2k〔a≠0，且a，h，k是常数〕，它的对称轴是x=h，极点坐标是〔h，k〕．23．m，n是对于x的方程x22ax a60的两实根，求y〔m1〕2〔n1〕2的最小值．答案：8分析：解答：依题意△=24a4〔a≥0，6〕即a2a60，a≤-2或a≥3，由m+n=2a，mn=a+6，ym2n22〔mn〕2〔m22mn〔2m n〕2 n〕4a26a104(a3)249，∴4a=3时，y的最小值为8．故答案为：8．剖析：依据方程有两个根，利用根的鉴别式求出a的取值范围，再依据根与系数的关系求出m+n与mn的值，而后把y〔m1〕2解．本题考察了二次函数的最值问题，〔n1〕2整理成m+n与mn的形式，代入进行计算求根的鉴别式，利用根的鉴别式求出a的取值范围是解题的重点．24．把抛物线y 1x2平移获取抛物线m，抛物线m经过点A〔-6，0〕和原点O〔0，0〕，2它的极点为P，它的对称轴与抛物线y1x2交于点Q．2〔1〕求极点P 的坐标；答案：〔-3，9〕2〔2〕写出平移过程；答案：先向左平移3个单位，再向下平移9个单位2〔3〕求图中暗影局部的面积．答案：272分析：解答：〔1〕平移的抛物线分析式为y1 (x 6)x = 1 x 23x = 1 (x3)29，2222所以极点P 的坐标为〔-3，9〕；2〔2 〕把抛物线y1 x 2先向左平移3 个单位，再向下平移9个单位即可获取抛物线22y1(x3)29 ；22〔3〕图中暗影局部的面积=S OPQ13927．22剖析：〔1〕先利用交点式确立平移后的抛物线分析式， 而后配成极点式获取 P 点坐标；〔2〕利用极点的平移过程获取抛物线的平移过程；〔 3〕依据平移获取图中暗影局部的面积 S OPQ ，而后依据三角形面积公式计算．本题考察了二次函数图象与几何变换：因为抛物线平移后的形状不变，所以a 不变．求平移后的抛物线分析式往常可利用两种方法： 一是求出原抛物线上随意两点平移后的坐标， 利用待定系数法求出分析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出分析式．25．假如二次函数的二次项系数为l ，那么此二次函数可表示为yx 2pxq ，我们称[p ，2 2x 3[2 ， 3] ．q]为此函数的特色数，如函数 yx+ +的特色数是=1〕假定一个函数的特色数为[-2，1]，求此函数图象的极点坐标．答案：〔1，0〕 2〕研究以下问题：①假定一个函数的特色数为 [4，-1]，将此函数的图象先向右平移 1个单位，再向上平移 1个 单位，求获取的图象对应的函数的特色数． 答案：[2，-3]②假定一个函数的特色数为 [2，3]，问此函数的图象经过如何的平移，才能使获取的图象对应 的函数的特色数为 [3，4]？答案：向左平移1个单位，再向下平移1个单位24分析：解答：〔 1〕由题意得：y x 22x1〔x 21〕，∴此函数图象的极点坐标为〔 1，0〕；〔2〕①由题意得：yx 24x1〔x 2〕25，∴把此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移 1个单位后可得：21〕24x 22x3，y 〔x21〕51〔x∴图象对应的函数的特色数为： [2，-3]；②∵一个函数的特色数为 [2，3] ，∴函数分析式为：y x 22x 3〔x21〕2，∵一个函数的特色数为 [3， 4]，∴函数分析式为：yx 23x4(x 3 )27 ，24∴原函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位获取．24剖析：〔1〕依据题意得出函数分析式，进而得出极点坐标；〔 2〕①第一得出函数分析式，而后利用函数平移规律获取答案；②分别求出两函数分析式， 进而得出平移规律．本题主要考察了二次函数的平移以及配方法求函数分析式，利用特色数得出函数分析式是解答本题的重点．。

5.2《二次函数的图像和性质》同步练习一．选择题1．二次函数y＝x2+2x﹣5有（）A．最大值﹣5B．最小值﹣5C．最大值﹣6D．最小值﹣62．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．3．已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+1）2+2上，则下列结论正确的是（）A．2＞y1＞y2B．2＞y2＞y1C．y1＞y2＞2D．y2＞y1＞24．将抛物线y＝x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y＝（x﹣8）2+5B．y＝（x﹣4）2+5C．y＝（x﹣8）2+3D．y＝（x﹣4）2+35．已知二次函数y＝x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A．m＝﹣1B．m＝3C．m≤﹣1D．m≥﹣16．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；②4a+2b+c＜0；③一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．对于二次函数y＝﹣x2+x﹣4，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值﹣3C．图象的顶点坐标为（﹣2，﹣7）D．图象与x轴有两个交点8．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＞y2＞y1B．y3＞y1＝y2C．y1＞y2＞y3D．y1＝y2＞y39．已知抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则n的值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．410．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y＝﹣（x﹣）2﹣B．y＝﹣（x+）2﹣C．y＝﹣（x﹣）2﹣D．y＝﹣（x+）2+11．把函数y＝﹣x2的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数y＝﹣（x﹣1）2+1的图象（）A．向左平移1个单位，再向下平移1个单位B．向左平移1个单位，再向上平移1个单位C．向右平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位12．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（）A．y＝（x+2）2﹣5B．y＝（x+2）2+5C．y＝（x﹣2）2﹣5D．y＝（x﹣2）2+5 13．如图为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：①a＞0 ②2a+b＝0③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．414．函数y＝与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．15．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或317．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），且顶点在第四象限，设P＝a+b+c，则P的取值范围是（）A．﹣3＜P＜﹣1B．﹣6＜P＜0C．﹣3＜P＜0D．﹣6＜P＜﹣3二．填空题18．抛物线y＝ax2+bx+2经过点（﹣2，3），则3b﹣6a＝．19．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．20．已知点A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）都在二次函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是．21．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．22．矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是．23．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝．24．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）25．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（，0），有下列结论：①abc ＞0；②a﹣2b+4c＝0；③25a﹣10b+4c＝0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的结论是．（填写正确结论的序号）三．解答题26．画出函数y＝（x﹣2）2﹣1的图象．27．如图，抛物线y＝﹣x2+x+c经过点（﹣2，2），求c的值及函数的最大值．28．已知抛物线y＝﹣2x2﹣4x+1．（1）求这个抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）将这个抛物线平移，使顶点移到点P（2，0）的位置，写出所得新抛物线的表达式和平移的过程．29．已知点（2，8）在函数y＝ax2+b的图象上，当x＝﹣1时，y＝5．（1）求a，b的值．（2）如果点（12，m），（n，17）也在这个函数的图象上，求m与n的值．30．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．31．下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？32．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y＝x2﹣2mx+m2﹣2与直线x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．参考答案一．选择题1．解：y＝x2+2x﹣5＝（x+1）2﹣6，∵a＝1＞0，∴当x＝﹣1时，二次函数由最小值﹣6．故选：D．2．解：A、由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；B、由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；C、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；D、由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，故选：D．3．解：当x＝1时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（1+1）2+2＝﹣2；当x＝2时，y1＝﹣（x+1）2+2＝﹣（2+1）2+2＝﹣7；所以2＞y1＞y2．故选：A．4．解：y＝x2﹣6x+21＝（x2﹣12x）+21＝[（x﹣6）2﹣36]+21＝（x﹣6）2+3，故y＝（x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y＝（x﹣4）2+3．故选：D．5．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，由图象可知：﹣≤1，解得m≥﹣1．故选：D．6．解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；∵x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c＝1的两根之和为﹣2，③错误；使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误，故选：B．7．解：∵二次函数y＝﹣+x﹣4可化为y＝﹣（x﹣2）2﹣3，又∵a＝﹣＜0∴当x＝2时，二次函数y＝﹣x2+x﹣4的最大值为﹣3．故选：B．8．解：∵y＝﹣x2+2x+c，∴对称轴为x＝1，开口向下，P2（3，y2），P3（5，y3）在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∵3＜5，∴y2＞y3，根据二次函数图象的对称性可知，P1（﹣1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，故y1＝y2＞y3，故选：D．9．解：抛物线y＝﹣x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，可知函数的对称轴x＝1，∴＝1，∴b＝2；∴y＝﹣x2+2x+4，将点（﹣2，n）代入函数解析式，可得n＝﹣4；故选：B．10．解：∵抛物线的解析式为：y＝x2+5x+6，设原抛物线上有点（x0，y0），绕原点旋转180°后，变为（﹣x0，﹣y0），点（﹣x0，﹣y0）在抛物线y＝x2+5x+6上，将（﹣x0，﹣y0）代入y＝x2+5x+6得到新抛物线﹣y0＝x02﹣5x0+6，所以原抛物线的方程为y0＝﹣x02+5x0﹣6＝﹣（x0﹣）2+，∴向下平移3个单位长度的解析式为y0＝﹣（x0﹣）2+﹣3＝﹣（x0﹣）2﹣．故选：A．11．解：抛物线y＝﹣x2的顶点坐标是（0，0），抛物线线y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），所以将顶点（0，0）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到顶点（1，1），即将函数y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝﹣（x ﹣1）2+1的图象．故选：C．12．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故选：A．13．解：①图象开口向下，能得到a＜0；②对称轴在y轴右侧，x＝＝1，则有﹣＝1，即2a+b＝0；③当x＝1时，y＞0，则a+b+c＞0；④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选：C．14．解：解法一：由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．解法二：①k＞0，双曲线在一、三象限，﹣k＜0，抛物线开口向下，顶点在y轴正半轴上，选项B符合题意；②K＜0时，双曲线在二、四象限，﹣k＞0，抛物线开口向上，顶点在y轴负半轴上，选项B符合题意；故选：B．15．解：点P在抛物线上，设点P（x，ax2+bx+c），又因点P在直线y＝x上，∴x＝ax2+bx+c，∴ax2+（b﹣1）x+c＝0；由图象可知一次函数y＝x与二次函数y＝ax2+bx+c交于第一象限的P、Q两点，∴方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个正实数根．∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，又∵﹣＞0，a＞0∴﹣＝﹣+＞0∴函数y＝ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x＝﹣＞0，∴A符合条件，故选：A．16．解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，∴①若h＜1≤x≤3，x＝1时，y取得最小值5，可得：（1﹣h）2+1＝5，解得：h＝﹣1或h＝3（舍）；②若1≤x≤3＜h，当x＝3时，y取得最小值5，可得：（3﹣h）2+1＝5，解得：h＝5或h＝1（舍）；③若1≤h≤3时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，∴此种情况不符合题意，舍去．综上，h的值为﹣1或5，故选：B．17．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3），∴0＝a﹣b+c，﹣3＝c，∴b＝a﹣3，∵当x＝1时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c，∴P＝a+b+c＝a+a﹣3﹣3＝2a﹣6，∵顶点在第四象限，a＞0，∴b＝a﹣3＜0，∴a＜3，∴0＜a＜3，∴﹣6＜2a﹣6＜0，即﹣6＜P＜0．故选：B．二．填空题18．解：把点（﹣2，3）代入y＝ax2+bx+2得：4a﹣2b+2＝3，2b﹣4a＝﹣1，3b﹣6a＝﹣，故答案为：﹣．19．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．20．解：把A（4，y1），B（，y2），C（﹣2，y3）分别代入y＝（x﹣2）2﹣1得：y1＝（x﹣2）2﹣1＝3，y2＝（x﹣2）2﹣1＝5﹣4，y3＝（x﹣2）2﹣1＝15，∵5﹣4＜3＜15，所以y3＞y1＞y2．故答案为y3＞y1＞y2．21．解：设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．把P（2，2）代入，得2＝4a，解得a＝．故原来的抛物线解析式是：y＝x2．设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2．把P（2，2）代入，得2＝（2﹣b）2．解得b＝0（舍去）或b＝4．所以平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣4）2．故答案是：y＝（x﹣4）2．22．解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．23．解：y＝x2﹣4x+a＝（x﹣2）2+a﹣4，当x＝2时，函数有最小值a﹣4，∵二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，﹣2≤x≤3，y随x的增大而增大，∴a﹣4＝﹣3，∴a＝1，故答案为1．24．解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为；a1＞a2＞a3＞a425．解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，∴abc＞0，故①正确；直线x＝﹣1是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以﹣＝﹣1，可得b＝2a，a﹣2b+4c＝a﹣4a+4c＝﹣3a+4c，∵a＜0，∴﹣3a＞0，∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1．且过点（，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），当x＝﹣时，y＝0，即，整理得：25a﹣10b+4c＝0，故③正确；∵b＝2a，a+b+c＜0，∴，即3b+2c＜0，故④错误；假设结论正确可得：a﹣b+c≥m2a﹣mb+c∴am2﹣mb+b﹣a≤0，∵△＝（b）2﹣4ab；b＝2a∴△＝4a2﹣4a（b﹣a）＝0，∴关于y＝am2﹣mb+b的图象与x轴有一个交点，又∵a＜0，∴y＝am2﹣mb+b﹣a有最大值ymax＝0，所以⑤正确；故答案为：①③⑤．三．解答题26．解：列表得：x…01234…y…30﹣103…如图：27．解：把点（﹣2，2）代入y＝﹣x2+x+c中得：﹣﹣+c＝2解得c＝，所以这个二次函数的关系式为y＝﹣x2+x+．（2）∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣1）2+5，∴抛物线的开口向下，当x＝1时，函数有最大值5．28．解：（1）y＝﹣2x2﹣4x+1，＝﹣2（x2+2x+1）+2+1，＝﹣2（x+1）2+3，所以，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，3）；（2）∵新顶点P（2，0），∴y＝﹣2（x﹣2）2，∵2﹣（﹣1）＝2+1＝3，0﹣3＝﹣3，∴平移过程为：向右平移3个单位，向下平移3个单位．29．解（1）由题意可知：，解得．（2）将（12，m），（n，17）代入y＝x2+4，得：m＝144+4，17＝n2+4，解得m＝148，n＝±．30．解：（1）A（0，﹣）点A向右平移2个单位长度，得到点B（2，﹣）；（2）A与B关于对称轴x＝1对称，∴抛物线对称轴x＝1；（3）∵对称轴x＝1，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣，①a＞0时，当x＝2时，y＝﹣＜2，当y＝﹣时，x＝0或x＝2，∴函数与PQ无交点；②a＜0时，当y＝2时，ax2﹣2ax﹣＝2，x＝或x＝当≤2时，a≤﹣；∴当a≤﹣时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；31．解：（1）描点、连线得：（2）由函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＞0．32．解：（1）∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2＝（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m＝﹣1，∴抛物线F的表达式是：y＝x2+2x﹣1；（2）当x＝﹣2时，y p＝4+4m+m2﹣2＝（m+2）2﹣2，∴当m＝﹣2时，y p取得最小值，最小值是﹣2，此时抛物线F的表达式是：y＝x2+4x+2＝（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2；（3）m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4．。

二次函数图像和性质 基础练习题基础练习题1．下列函数中是二次函数的为 A ．y =3x -1B ．y =3x 2-1C ．y =（x +1）2-x 2D ．y =x 3+2x -32．抛物线y =2x 2+1的的对称轴是 A ．直线x =14B ．直线x =14-C ．x 轴D ．y 轴3．抛物线y =-（x -4）2-5的顶点坐标和开口方向分别是 A ．（4，-5），开口向上B ．（4，-5），开口向下C ．（-4，-5），开口向上D ．（-4，-5），开口向下4．抛物线y =-x 2不具有的性质是 A ．对称轴是y 轴B ．开口向下C ．当x <0时，y 随x 的增大而减小D ．顶点坐标是（0，0）5．已知点（-1，2）在二次函数y =ax 2的图象上，那么a 的值是 A ．1B ．2C ．12D ．-126．已知抛物线y =ax 2（a >0）过A （-2，y 1）、B （1，y 2）两点，则下列关系式一定正确的是 A ．y 1>0>y 2B ．y 2>0>y 1C ．y 1>y 2>0D ．y 2>y 1>07．当函数y =（x -1）2-2的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是 A ．x >0B ．x <1C ．x >1D ．x 为任意实数8．对于二次函数2(3)4y x =--的图象，给出下列结论：①开口向上；②对称轴是直线3x =-；③顶点坐标是34--（，）；④与x 轴有两个交点．其中正确的结论是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④9．一种函数21(1)53m y m x x +=-+-是二次函数，则m =__________．10．把二次函数y =x 2-4x +3化成y =a （x -h ）2+k 的形式是__________．11．将抛物线y =2（x -1）2+2向左平移3个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________． 12．如图，抛物线y =ax 2-5ax +4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C （5，4）．（1）求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的表达式．13．已知：抛物线2y x bx c =-++经过(30)B ，、(03)C ，两点，顶点为A ． 求：（1）抛物线的表达式； （2）顶点A 的坐标．14．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过A （2，0），B （0，-1）和C （4，5）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ，求点D 的坐标；（3）在同一坐标系中画出直线y =x +1，并写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．能力拓展15．在平面直角坐标系中，将抛物线y =-12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是 A ．y =-12x 2-x -32B ．y =-12x 2+x -12C ．y =-12x 2+x -32D ．y =-12x 2-x -1216．二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，那么一次函数y =bx +a 的图象大致是A ．B ．C ．D ．17．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列5个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()(0)a b m am b m +>+≠，其中正确的结论有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．二次函数y =x 2-2x -3，当m -2≤x ≤m 时函数有最大值5，则m 的值可能为__________．19．若直线y =ax -6与抛物线y =x 2-4x +3只有一个交点，则a 的值是__________．20．如图，已知二次函数y =ax 2+bx +8（a ≠0）的图象与x 轴交于点A （-2，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标； （2）求△BCD 的面积；（3）若直线CD 交x 轴与点E ，过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 与点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究抛物线最多可以向上平移多少个单位长度（直接写出结果，不写求解过程）．真题实战21．（2018·四川成都）关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是A ．图象与y 轴的交点坐标为（0，1）B ．图象的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-322．（2018·湖北黄冈）当a ≤x ≤a +1时，函数y =x 2-2x +1的最小值为1，则a 的值为A ．-1B ．2C ．0或2D ．-1或223．（2018·江苏连云港）已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）满足函数表达式h =-t 2+24t +1．则下列说法中正确的是 A ．点火后9 s 和点火后13 s 的升空高度相同 B ．点火后24 s 火箭落于地面 C ．点火后10 s 的升空高度为139 m D ．火箭升空的最大高度为145 m24．（2018·山东德州）如图，函数221y ax x =-+和y ax a =-（a 是常数，且0a ≠）在同一平面直角坐标系的图象可能是A ．B ．C ．D ．25．（2018·湖北恩施州）抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴为直线x =-1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc >0；②b 2-4ac >0；③9a -3b +c =0；④若点（-0.5，y 1），（-2，y 2）均在抛物线上，则y 1>y 2；⑤5a -2b +c <0． 其中正确的个数有A ．2B ．3C ．4D ．526．（2018·江苏淮安）将二次函数y =x 2-1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是__________．27．（2018·山东淄博）已知抛物线y =x 2+2x -3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），将这条抛物线向右平移m （m >0）个单位长度，平移后的抛物线与x 轴交于C ，D 两点（点C 在点D 的左侧），若B ，C 是线段AD 的三等分点，则m 的值为__________．参考答案1. B2. D3. B4. C5. B6. C7. B8. D9. -110. y =（x -2）2-1 11. y =2（x +2）2+2 12. （1）⎪⎭⎫⎝⎛-49,25，（2）22++=x x y （答案不唯一）。

《二次函数的图像和性质》练习题一、选择题1、下列函数是二次函数的有（ ）.;)3(;2;12222c bx ax y D x x x y C xy B x y A ++=--==-=：：：： 2. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=13. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1） 4. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1）B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）5、二次函数c bx ax y ++=2（ ） A a>0 b<0 c>0 b 2-4ac<0 B a<0 b<0 c>0 b 2-4ac>0 C a<0 b>0 c<0 b 2-4ac>0 D a<0 b>0 c>0 b 2-4ac>06．已知二次函数(2-++=m m x mx y 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定7．正比例函数y ＝kx 的图象经过二、四象限，则抛物线y ＝kx 2－2x ＋k 2的大致图象是（ ）8、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 29．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) Ａ 23(1)2y x =-- Ｂ 23(1)2y x =+- C 23(1)2y x =++ D 23(1)2y x =-+10.二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，则abc ，ac b 42-，b a +2，c b a ++这四个式子中，值为正数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个11．在同一坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可．能．是（ ）12. 若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（ ）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 13.抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x14.已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2的对称轴直线是x =2，则抛物线的顶点坐标是（ ）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)15.已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4二、填空题：1、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝231x 向左平移_ _ 个单位、再向平移 个单位得到。

中考数学真题《二次函数图象性质与应用》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（55题）一 、单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =--- 下列说法正确的是（ ） A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－32．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x 向右平移3个单位 再向上平移4个单位 得到的抛物线是（ ）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．b 恒大于0B ．a b 同号C ．a b 异号D ．以上说法都不对4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时 函数的最大值为（ ）A ．2-B ．1-C ．0D ．25．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点 下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的对称轴为直线1x =B ．抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．A B 两点之间的距离为5D ．当1x <-时 y 的值随x 值的增大而增大6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，， 其中101x << 下列四个结论：①0abc < ①0a b c ++> ①230b c +< ①不等式22cax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（ ） A ．10B ．12C ．13D ．159．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）关于直线1x =对称．下列五个结论：①0abc > ①20a b += ①420a b c ++> ①2am bm a b +>+ ①30a c +>．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量） 当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ） A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a11．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．<0abcB ．420a b c -+<C ．30a c +=D ．20am bm a ++≤（m 为实数）12．（2023·四川南充·统考中考真题）抛物线254y x kx k =-++-与x 轴的一个交点为(,0)A m 若21m -≤≤，则实数k 的取值范围是( ) A ．2114k -≤≤ B ．k ≤214-或1k ≥ C ．5k -≤≤98D ．5k ≤-或k ≥9813．（2023·安徽·统考中考真题）已知反比例函数()0ky k x=≠在第一象限内的图象与一次函数y x b =-+的图象如图所示，则函数21y x bx k =-+-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示 二次函数2(y ax bx c a b c =++、、为常数 0)a ≠的图象与x 轴交于点()()3,0,1,0A B -．有下列结论：①0abc > ①若点()12,y -和()20.5,y -均在抛物线上，则12y y < ①50a b c -+= ①40a c +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个15．（2023·四川遂宁·统考中考真题）抛物线()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示 对称轴为直线2x =-．下列说法：①0abc < ①30c a -> ①()242a ab at at b -+≥（t 为全体实数） ①若图象上存在点()11,A x y 和点()22,B x y 当123m x x m <<<+时 满足12y y =，则m 的取值范围为52m -<<-．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴的一个交点坐标为()1,0 对称轴为直线=1x - 下列四个结论：①<0abc ①420a b c -+< ①30a c += ①当31x -<<时20ax bx c ++< 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个17．（2023·浙江宁波·统考中考真题）已知二次函数2(31)3(0)y ax a x a =-++≠ 下列说法正确的是( ) A ．点(1,2)在该函数的图象上 B ．当1a =且13x -≤≤时 08y ≤≤ C ．该函数的图象与x 轴一定有交点D ．当0a >时 该函数图象的对称轴一定在直线32x =的左侧 18．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中 直线1y mx n =+与抛物线223y ax bx =+-相交于点A B ．结合图象 判断下列结论：①当23x -<<时 12y y > ①3x =是方程230ax bx +-=的一个解①若()11,t - ()24,t 是抛物线上的两点，则12t t < ①对于抛物线 223y ax bx =+- 当23x -<<时 2y 的取值范围是205y <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个19．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A B 与y 轴交于点C 对称轴为直线=1x - 若点A 的坐标为()4,0-，则下列结论正确的是（ ）A ．20a b +=B ．420a b c -+>C ．2x =是关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的一个根D ．点()11,x y ()22,x y 在抛物线上 当121x x >>-时120y y <<20．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)(,0)A B m -、 且12m << 有下列结论：①0b < ①0a b +> ①0a c <<- ①若点1225,,,33C y D y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在抛物线上，则12y y >．其中 正确的结论有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个21．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）若一个点的坐标满足(),2k k 我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x 的二次函数()()212y t x t x s =++++（,s t 为常数 1t ≠-）总有两个不同的倍值点，则s 的取值范围是（ ） A ．1s <- B ．0s < C ．01s << D ．10s -<<22．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭与x 轴的一个交点位于0合和1之间，则以下结论：①0abc > ①20b c +> ①若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y > ①若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．423．（2023·湖南·统考中考真题）已知0m n >> 若关于x 的方程2230x x m +--=的解为()1212,x x x x <．关于x 的方程2230x x n +--=的解为3434,()x x x x <．则下列结论正确的是（ ） A ．3124x x x x <<<B ．1342x x x x <<<C ．1234x x x x <<<D ．3412x x x x <<<24．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，已知开口向下的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(60)，对称轴为直线2x =．则下列结论正确的有（ ） ①0abc < ①0a b c -+>①方程20cx bx a ++=的两个根为1211,26x x ==-①抛物线上有两点()11,P x y 和()22,Q x y 若122x x <<且124x x +>，则12y y <．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个25．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数()()(0,,y a x m x m k a m k =--->是实数)，则（ ） A ．当2k =时 函数y 的最小值为a - B ．当2k =时 函数y 的最小值为2a - C ．当4k =时 函数y 的最小值为a - D ．当4k =时 函数y 的最小值为2a -26．（2023·湖南·统考中考真题）已知()()111222,,,P x y P x y 是抛物线243y ax ax =++（a 是常数 )0a ≠上的点 现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线2x =- ①点()0,3在抛物线上 ①若122x x >>-，则12y y > ①若12y y =，则122x x +=-其中 正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．（2023·山东聊城·统考中考真题）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示 图象经过点()0,2 其对称轴为直线=1x -．下列结论：①30a c +> ①若点()14,y - ()23,y 均在二次函数图象上，则12y y > ①关于x 的一元二次方程21ax bx c ++=-有两个相等的实数根 ①满足22ax bx c ++>的x 的取值范围为20x -<<．其中正确结论的个数为（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．（2023·山东·统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点” 如：(1,3),(2,6),(0,0)A B C --等都是三倍点” 在31x -<<的范围内 若二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ） A ．114c -≤< B ．43c -≤<-C ．154c -<<D ．45c -≤<29．（2023·广东·统考中考真题）如图，抛物线2y ax c =+经过正方形OABC 的三个顶点A B C 点B 在y 轴上，则ac 的值为（ ）A ．1-B ．2-C ．3-D ．4-30．（2023·湖北·统考中考真题）拋物线2(0)y ax bx c a =++<与x 轴相交于点()()3010A B -，，，．下列结论： ①0abc < ①240b ac -> ①320b c += ①若点()()122P m y Q m y -，，，在抛物线上 且12y y <，则1m ≤-．其中正确的结论有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个31．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠图像的一部分与x 轴的一个交点坐标为()3,0 对称轴为直线1x = 结合图像给出下列结论： ①0abc > ①2b a = ①30a c +=①关于x 的一元二次方程220(0)ax bx c k a +++=≠有两个不相等的实数根①若点()1,m y ()22,y m -+均在该二次函数图像上，则12y y =．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．132．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴是直线1x = 且过点()1,0- 顶点在第一象限 其部分图象如图所示 给出以下结论：①0ab < ①420a b c ++> ①30a c +>①若()11,A x y ()22,B x y （其中12x x <）是抛物线上的两点 且122x x +>，则12y y > 其中正确的选项是（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①33．（2023·山东枣庄·统考中考真题）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示 对称轴是直线1x = 下列结论：①0abc < ①方程20ax bx c ++=（0a ≠）必有一个根大于2且小于3 ①若()1230,,,2y y ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的两点 那么12y y < ①1120a c +> ①对于任意实数m 都有()m am b a b +≥+ 其中正确结论的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．234．（2023·湖北十堰·统考中考真题）已知点()11,A x y 在直线319y x =+上 点()()2233,,,B x y C x y 在抛物线241y x x =+-上 若123y y y ==且123x x x <<，则123x x x ++的取值范围是（ ）A ．123129x x x -<++<-B ．12386x x x -<++<-C ．12390x x x -<++<D ．12361x x x -<++<35．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象与x 轴的一个交点坐标为(1,0)-对称轴为直线1x = 下列论中：①0a b c -+= ①若点()()()1233,,2,,4,y y y -均在该二次函数图象上，则123y y y << ①若m 为任意实数，则24am bm c a ++≤- ①方程210ax bx c +++=的两实数根为12,x x 且12x x <，则121,3x x <->．正确结论的序号为（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①36．（2023·四川·统考中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++（a b c 是常数且a<0）过()1,0-和()0m ,两点 且34m << 下列四个结论：0abc >① 30a c +>② ③若抛物线过点()1,4，则213a -<<- ④关于x 的方程()()13a x x m +-=有实数根，则其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二 多选题37．（2023·湖南·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()3,0，则下列结论中正确的是（ ）A ．0a >B ．0c >C ．240b ac -<D ．930a b c ++=三 填空题38．（2023·内蒙古·统考中考真题）已知二次函数223(0)y ax ax a =-++> 若点(,3)P m 在该函数的图象上 且0m ≠，则m 的值为________．39．（2023·山东滨州·统考中考真题）要修一个圆形喷水池 在池中心竖直安装一根水管 水管的顶端安一个喷水头 使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高 高度为3m 水柱落地处离池中心3m 水管长度应为____________．40．（2023·湖南郴州·统考中考真题）抛物线26y x x c =-+与x 轴只有一个交点，则c =________．41．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数2y ax bx c =++的顶点在y 轴正半轴上 且其对称轴左侧的部分是上升的 那么这个二次函数的解析式可以是________．42．（2023·吉林长春·统考中考真题）2023年5月8日 C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场 穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘” 是国际民航中高级别的礼仪）．如图① 在一次“水门礼”的预演中 两辆消防车面向飞机喷射水柱 喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图① 当两辆消防车喷水口A B 的水平距离为80米时 两条水柱在物线的顶点H 处相遇 此时相遇点H 距地面20米 喷水口A B 距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米 两条水柱的形状及喷水口A ' B '到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H '距地面__________米．43．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线22(0)y ax ax b a =-+>经过()()1223,,1,A n y B n y +-两点 若,A B 分别位于抛物线对称轴的两侧 且12y y <，则n 的取值范围是___________．44．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）如图，抛物线265y x x =-+与x 轴交于点A B 与y 轴交于点C 点()2,D m 在抛物线上 点E 在直线BC 上 若2DEB DCB ∠=∠，则点E 的坐标是____________．45．（2023·湖北武汉·统考中考真题）抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数 0c <）经过(1,1),(,0),(,0)m n 三点 且3n ≥．下列四个结论：①0b <①244ac b a -<①当3n =时 若点(2,)t 在该抛物线上，则1t >①若关于x 的一元二次方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根，则103m <≤． 其中正确的是________（填写序号）．46．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()30A -,顶点为()1,M m - 且抛物线与y 轴的交点B 在()02-，和()03-，之间（不含端点），则下列结论：①当31x -≤≤时 0y ≤①当ABM 33 3a = ①当ABM 为直角三角形时 在AOB 内存在唯一点P 使得PA PO PB ++的值最小 最小值的平方为1893+其中正确的结论是___________．（填写所有正确结论的序号）四 解答题47．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数2y x bx c =++图象经过点(1,2)A -和(0,5)B -．(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．y≤-时请根据图象直接写出x的取值范围．(2)当248．（2023·浙江温州·统考中考真题）一次足球训练中小明从球门正前方8m的A处射门球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时球达到最高点此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m 现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析若射门路线的形状最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门才能让足球经过点O正上方2.25m处？49．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验 收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离x （单位：m ）以 飞行高度y （单位：m ）随飞行时间t （单位：s ）变化的数据如下表． 飞行时间/s t 0 2 4 6 8 …飞行水平距离/m x 0 10 20 30 40 …飞行高度/m y 0 22 40 54 64 …探究发现：x 与t y 与t 之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x 关于t 的函数解析式和y 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A 处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m 求飞机落到安全线时飞行的水平距离（2）在安全线上设置回收区域,125m,5m ==MN AM MN ．若飞机落到MN 内（不包括端点,M N ） 求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．50．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题 请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中 一个单位长度代表1m 长．嘉嘉在点(6,1)A 处将沙包（看成点）抛出 并运动路线为抛物线21:(3)2C y a x =-+的一部分 淇淇恰在点(0)B c ，处接住 然后跳起将沙包回传 其运动路线为抛物线221:188n C y x x c =-+++的一部分．(1)写出1C 的最高点坐标 并求a c 的值(2)若嘉嘉在x 轴上方1m 的高度上 且到点A 水平距离不超过1m 的范围内可以接到沙包 求符合条件的n 的整数值．51．（2023·河南·统考中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者 还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析 下面是他对击球线路的分析．如图，在平面直角坐标系中 点A C 在x 轴上 球网AB 与y 轴的水平距离3m OA = 2m CA = 击球点P 在y 轴上．若选择扣球 羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足一次函数关系0.4 2.8y x =-+ 若选择吊球 羽毛球的飞行高度()m y 与水平距离()m x 近似满足二次函数关系()21 3.2y a x =-+．(1)求点P 的坐标和a 的值．(2)小林分析发现 上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C 点的距离更近 请通过计算判断应选择哪种击球方式．52．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）乒乓球被誉为中国国球．2023年的世界乒乓球标赛中中国队包揽了五个项目的冠军成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图一位运动员从球台边缘正上方以击球高度OA为28.75cm的高度将乒乓球向正前方击打到对面球台乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm）乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm）．测得如下数据：(1)在平面直角坐标系xOy中描出表格中各组数值所对应的点(),x y并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象(2)①当乒乓球到达最高点时与球台之间的距离是__________cm当乒乓球落在对面球台上时到起始点的水平距离是__________cm①求满足条件的抛物线解析式(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA乒乓球的运行轨迹形状不变那么为了确保乒乓球既能过网又能落在对面球台上需要计算出OA的取值范围以利于有针对性的训练．如图①．乒乓球台长OB为274cm 球网高CD 为15.25cm ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度OA 的值约为1.27cm ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B 处时 击球高度OA 的值（乒乓球大小忽略不计）．53．（2023·浙江台州·统考中考真题）【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲 乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水 此时水面高度为30cm 开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度 获得的数据如下表： 流水时间t /min 0 10 20 30 40水面高度h /cm （观察值） 30 29 28.1 27 25.8任务1 分别计算表中每隔10min 水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“0=t 30h =”是初始状态下的准确数据 水面高度值的变化不均匀 但可以用一次函数近似地刻画水面高度h 与流水时间t 的关系．任务2 利用0=t 时 30h = 10t =时 29h =这两组数据求水面高度h 与流水时间t 的函数解析式．【反思优化】经检验 发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式 存在偏差．小组决定优化函数解析式 减少偏差．通过查阅资料后知道：t 为表中数据时 根据解析式求出所对应的函数值 计算这些函数值与对应h 的观察值之差的平方和．．．．．．记为w w 越小 偏差越小． 任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w 值．（2）请确定经过()0,30的一次函数解析式 使得w 的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后 综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度 通过刻度直接读取时间． 任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．54．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()()3,0,1,0A B -两点 交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)拋物线上是否存在一点P 使得12PBC ABC S S = 若存在 请直接写出点P 的坐标若不存在 请说明理由．55．（2023·广东深圳·统考中考真题）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构 它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架 上面覆上一层或多层保温塑料膜 这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成 其中3m AB = 4m BC = 取BC 中点O 过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E 若以O 点为原点 BC 所在直线为x 轴 OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：(1)如图，抛物线AED 的顶点()0,4E 求抛物线的解析式(2)如图，为了保证蔬菜大棚的通风性 该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT SMNR 若0.75m FL NR == 求两个正方形装置的间距GM 的长(3)如图，在某一时刻 太阳光线透过A 点恰好照射到C 点 此时大棚截面的阴影为BK 求BK 的长．参考答案一 单选题1．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）已知二次函数()2323y x =--- 下列说法正确的是（ ） A ．对称轴为2x =-B ．顶点坐标为()2,3C ．函数的最大值是－3D ．函数的最小值是－3 【答案】C【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．【详解】二次函数()2323y x =---的对称轴为2x = 顶点坐标为()2,3-①30-<①二次函数图象开口向下 函数有最大值 为=3y -①A B D 选项错误 C 选项正确故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质 熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．2．（2023·广西·统考中考真题）将抛物线2y x 向右平移3个单位 再向上平移4个单位 得到的抛物线是（ ）A ．2(3)4y x =-+B ．2(3)4y x =++C ．2(3)4y x =+-D ．2(3)4y x =--【答案】A【分析】根据“左加右减 上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 向右平移3个单位 再向上平移4个单位 得到的抛物线的函数表达式为：2(3)4y x =-+． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移 熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示 直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴，则下列说法正确的是（ ）A ．b 恒大于0B ．a b 同号C ．a b 异号D ．以上说法都不对【答案】C 【分析】先写出抛物线的对称轴方程 再列不等式 再分a<0 >0a 两种情况讨论即可．【详解】解：①直线l 为二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像的对称轴①对称轴为直线>02b x a=-当a<0时，则>0b当>0a 时，则0b <①a b 异号故选：C ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质 熟练的利用对称轴在y 轴的右侧列不等式是解本题的关键．4．（2023·辽宁大连·统考中考真题）已知抛物线221y x x =--，则当03x ≤≤时 函数的最大值为（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2【答案】D 【分析】把抛物线221y x x =--化为顶点式 得到对称轴为1x = 当1x =时 函数的最小值为2- 再分别求出0x =和3x =时的函数值 即可得到答案．【详解】解：①()222112y x x x =--=--①对称轴为1x = 当1x =时 函数的最小值为2-当0x =时 2211y x x =--=- 当3x =时 232312y =-⨯-=①当03x ≤≤时 函数的最大值为2故选：D.【点睛】此题考查了二次函数的最值 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·四川成都·统考中考真题）如图，二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点 下列说法正确的是（ ）A ．抛物线的对称轴为直线1x =B ．抛物线的顶点坐标为1,62⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．A B 两点之间的距离为5D ．当1x <-时 y 的值随x 值的增大而增大【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式 进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：①二次函数26y ax x =+-的图象与x 轴交于(3,0)A - B 两点①0936a =--①1a =①二次函数解析式为26y x x =+-212524x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 对称轴为直线12x =- 顶点坐标为125,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 故A B 选项不正确 不符合题意①10a => 抛物线开口向上 当1x <-时 y 的值随x 值的增大而减小 故D 选项不正确 不符合题意 当0y =时 260x x +-=即123,2x x =-=①()2,0B①5AB = 故C 选项正确 符合题意故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质 待定系数法求二次函数解析式 抛物线与坐标轴的交点 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．（2023·河南·统考中考真题）二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，则一次函数y x b =+的图象一定不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【分析】根据二次函数图象的开口方向 对称轴判断出a b 的正负情况 再由一次函数的性质解答．【详解】解：由图象开口向下可知a<0 由对称轴b x 02a=-> 得0b >． ①一次函数y x b =+的图象经过第一 二 三象限 不经过第四象限．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质 解答本题的关键是求出a b 的正负情况 要掌握它们的性质才能灵活解题 此题难度不大．7．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()()1020x ，，， 其中101x << 下列四个结论：①0abc < ①0a b c ++> ①230b c +< ①不等式22c ax bx c x c ++<-+的解集为02x <<．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据函数图象可得出a b c 的符号即可判断① 当1x =时 0y <即可判断① 根据对称轴为12b x a=-> 0a >可判断① 21y ax bx c =++ 22c y x c =-+数形结合即可判断①． 【详解】解：①抛物线开口向上 对称轴在y 轴右边 与y 轴交于正半轴①000a b c ><>，，①0abc < 故①正确．①当1x =时 0y <①0a b c ++< 故①错误．①抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于两点()()1020x ，，，其中101x << ①2021222b a ++<-< ①3122b a <-< 当322b a -<时 3b a >- 当2x =时 420y a bc =++=122b ac ∴=-- 1232a c a ∴-->- ①20a c ->①()234342220b c a c c a c a c +=--+=-+=--< 故①正确设21y ax bx c =++ 22c y x c =-+ 如图：由图得 12y y <时 02x << 故①正确．综上 正确的有①①① 共3个故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质 根据二次函数的图象及性质巧妙借助数学结合思想解决问题是解题的关键．8．（2023·四川自贡·统考中考真题）经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点的抛物线22122y x bx b c =-+-+（x 为自变量）与x 轴有交点，则线段AB 长为（ ）A ．10B ．12C ．13D ．15【答案】B【分析】根据题意 求得对称轴 进而得出1c b =- 求得抛物线解析式 根据抛物线与x 轴有交点得出240b ac ∆=-≥ 进而得出2b =，则1c = 求得,A B 的横坐标 即可求解． 【详解】解：①抛物线22122y x bx b c =-+-+的对称轴为直线1222b b x b a =-=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭①抛物线经过23,()41,),(A b m B b c m -+-两点 ①23412b bc b -++-= 即1c b =- ①22221122222y x bx b c x bx b b =-+-+=-+-+- ①抛物线与x 轴有交点①240b ac ∆=-≥ 即()22142202b b b ⎛⎫-⨯-⨯-+-≥ ⎪⎝⎭即2440b b -+≤ 即()220b -≤①2b = 1211c b =-=-=①23264,418118b b c -=-=-+-=+-=①()()41238412AB b c b =+---=--=故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性 与x 轴交点问题 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线2y ax bx c =++（,,a b c 为常数）关于直线1x =对称．下列五个结论：①0abc > ①20a b += ①420a b c ++> ①2am bm a b +>+ ①30a c +>．其中正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向 与y 轴交点以及对称轴的位置可判断a b c 的符号 由此可判断①正确 由抛物线的对称轴为1x = 得到12b a-= 即可判断① 可知2x =时和0x =时的y 值相等可判断①正确 由图知1x =时二次函数有最小值 可判断①错误 由抛物线的对称轴为1x =可得2b a =- 因此22y ax ax c =-+ 根据图像可判断①正确．【详解】①①抛物线的开口向上0.a ∴>①抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴上0.c ∴< 由02b a->得 0b < 0abc ∴>故①正确 ①抛物线的对称轴为1x = ∴12b a-= ∴2b a =-∴20a b += 故①正确①由抛物线的对称轴为1x = 可知2x =时和0x =时的y 值相等．由图知0x =时 0y <①2x =时 0y <．即420a b c ++<．故①错误①由图知1x =时二次函数有最小值2a b c am bm c ∴++≤++2a b am bm ∴+≤+(a b m ax b +≤+）故①错误①由抛物线的对称轴为1x =可得12b a-= 2b a ∴=-①22y ax ax c =-+当=1x -时 23y a a c a c =++=+．由图知=1x -时0,y >30.a c ∴+>故①正确．综上所述：正确的是①①① 有3个故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系 二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．10．（2023·四川泸州·统考中考真题）已知二次函数223y ax ax =-+（其中x 是自变量） 当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为（ ）A ．01a <<B ．1a <-或3a >C ．30a -<<或0<<3aD ．10a -≤<或0<<3a 【答案】D【分析】首先根据题意求出对称轴212a x a -=-= 然后分两种情况：0a >和a<0 分别根据二次函数的性质求解即可．【详解】①二次函数223y ax ax =-+①对称轴212a x a-=-= 当0a >时①当03x <<时对应的函数值y 均为正数①此时抛物线与x 轴没有交点①()22430a a ∆=--⨯<①解得0<<3a当a<0时①当03x <<时对应的函数值y 均为正数①当3x =时 9630y a a =-+≥①解得1a ≥-①10a -≤<①综上所述当03x <<时对应的函数值y 均为正数，则a 的取值范围为10a -≤<或0<<3a ．故选：D ．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质 解题的关键是分两种情况讨论．11．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线()20y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A ．<0abcB ．420a b c -+<C ．30a c +=D ．20am bm a ++≤（m 为实数）【答案】C 【分析】根据开口方向 与y 轴交于负半轴和对称轴为直线1x =可得00a c ><， 20b a =-< 由此即可判断A 根据对称性可得当2x =-时 0y > 当=1x -时 0y = 由此即可判断B C 根据抛物线开口向上 对称轴为直线1x = 可得抛物线的最小值为a c -+ 由此即可判断D ．【详解】解：①抛物线开口向上 与y 轴交于负半轴①00a c ><，①抛物线对称轴为直线1x = ①12b a-= ①20b a =-<。

专题2.8 二次函数y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇）（专项练习）-2021-2022学年九年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）专题2．8 二次函y=ax2+k(a≠0)的图像与性质（基础篇） （专项练习） 一、单选题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值1．抛物线y ＝x 2﹣3的顶点坐标、对称轴是（ ） A ．（0，3），x ＝3B ．（0，﹣3），x ＝0C ．（3，0），x ＝3D ．（3，0），x ＝02．下列各点中，在抛物线24y x =-上的是（ ） A ．()1,3B ．()1,3--C ．()1,5-D ．()1,5--3．抛物线y ＝-3x 2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（ ）． A ．向下，（0，-4） B ．向下，（0，4） C ．向上，（0，4）D ．向上，（0，-4）4．关于二次函数224y x =+，下列说法错误．．的是（ ） A ．它的图象开口方向向上 B ．它的图象顶点坐标为（0，4） C ．它的图象对称轴是y 轴D ．当0x =时，y 有最大值45．若在同一直角坐标系中，作23y x =，22y x =-，221y x =-+的图像，则它们（ ） A ．都关于y 轴对称 B ．开口方向相同C ．都经过原点D ．互相可以通过平移得到知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+2x ．点D （n ，y 1），E （3，y 2）在抛物线上，若y 1＜y 2，则n 的取值范围是（ ） A ．n ＞3或n ＜﹣1B ．n ＞3C ．n ＜1D ．n ＞3或n ＜17．已知函数y=x 2﹣2，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是（ ） A ．x ＜2B ．x ＞0C ．x ＞﹣2D ．x ＜08．下列函数中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大的是( ) A ．y x 1=-+ B ．2y x 1=-C ．1y x=D ．2y x 1=-+9．点11(0.5,)P y -，22(2.5,)Py ，33(5,)P y -均在二次函数22y x x =-+的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ）A ．321y y y >>B ．312y y y >=C ．123y y y >>D ．123y y y =>10．已知点()()()25,,521A m B m C m n --++,,,在同一个函数的图象上，这个函数可能是（ ） A ．2y x =+B ．25y x =--C ．25y x =+D ．2y x=-知识点三、二次函数()20y ax k a =+≠的图象11．2y ax k =+的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数21(1)2(1)x x y x x⎧+≥-⎪=⎨<-⎪⎩则下列图像正确的是（ ）A ．B ．C．D．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+2的大致图象可能是（）A．B．C．D．14．二次函数y＝－x2－1的图象大致是（）A．B．C．D．15．二次函数22=--的图象大致是（）y xA．B．C．D．知识点四、二次函数()20y ax k a =+≠的性质综合16．下列关于抛物线y ＝2x 2﹣3的说法，正确的是（ ） A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴是直线x ＝1C ．抛物线与x 轴有两个交点D ．抛物线y ＝2x 2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y ＝2（x ﹣2）2﹣317．二次函数22y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．当0x =时，函数的最大值是2-C ．抛物线的对称轴是直线2x =D ．抛物线与x 轴有两个交点18．关于二次函数y ＝﹣2x 2+1，以下说法正确的是（ ） A ．开口方向向上B ．顶点坐标是（﹣2，1）C ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝0时，y 有最大值﹣1219．二次函数221y x =-的图象是一条抛物线，下列说法中正确的是（ ） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点1,1C ．抛物线的对称轴是直线1x =D ．抛物线与x 轴有两个交点20．关于二次函数221y x =-+，则下列说法正确的是（ ） A ．开口方向向上 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 C ．顶点坐标是（-2，1）D ．当x =0时，y 有最小值1知识点五、二次函数()20y ax k a =+≠图形与其他函数图象的判定21．直线y=ax+c 与抛物线y=ax 2+c 的图象画在同一个直角坐标系中，可能是下面的（ ）A ．B ．C ．D ．22．函数ay x=与20()y ax a a =--≠在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．23．用min{a ，b }表示a ，b 两数中的最小数，若函数{}22min 1,1y x x =+-，则y 的图象为( )A ．B ．C ．D ．24．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．25．二次函数y ＝x 2＋1的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．26．在同一直角坐标系中2y ax b =+与()y ax b a 0,b 0=+≠≠图象大致为( )A ．B ．C ．D ．27．点()()1122,,,x y x y 均在抛物线21y x =-上，下列说法正确的是（ ）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >二、填空题知识点一、二次函数()20y ax k a =+≠的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值28．抛物线223y x =--的开口方向_______，对称轴是_____，顶点坐标是_______． 29．通过_______法画出221y x =+和221y x =-的图像：通过图像可知：221y x =+的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．221y x =-的开口方向________，对称轴_______，顶点坐标___________．30．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________________________．31．抛物线2y ax k =+的图象相当于把抛物线2y ax =的图象______（k ＞0）或______（k ＜0）平移______个单位．32．一抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．知识点二、二次函数()20y ax k a =+≠图象的增减性33．已知点P （﹣2，y 1）和点Q （﹣1，y 2）都在二次函数2y x c =-+的图象上，那么1y 与2y 的大小关系是_____．34．已知二次函数y ＝－x 2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是－5，最大值是_________. 35．当m=______时抛物线22(1)9m m y m x +=++开口向下，对称轴是________，在对称轴左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）．36．已知二次函数y ＝2x 2+bx ，当x ＞1时，y 随x 增大而增大，则b 的取值范围为______． 37．设点（﹣1，y 1），（2，y2），（3，y3）是抛物线y=﹣x 2+a 上的三点，则y 1、y2、y3的从小到大排列为__________. 三、解答题38．在同一直角坐标系中画出二次函数2113=+y x 与二次函数2113=--y x 的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点． 39．如图，已知抛物线24y x =-+．（1）该抛物线顶点坐标为________；（2）在坐标系中画出此抛物线y 的大致图像（不要求列表）；（3）该抛物线24y x =-+可由抛物线2y x =-向________平移________个单位得到；（4）当0y >时，求x 的取值范围． 40．已知二次函数2y x 4x =-+．()1求函数图象的对称轴和顶点坐标；()2求这个函数图象与x 轴的交点坐标．参考答案：1．B【分析】按照二次函数y ＝ax 2+k 顶点坐标（0，k ），对称轴y 轴即可求解． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣3，∵抛物线的顶点坐标为（0，﹣3），对称轴为y 轴； 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，以及顶点坐标和对称轴，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2．B【分析】分别把x=±1代入抛物线解析式，计算对应的函数值，然后进行判断． 【详解】解：∵当x=-1时，y=x 2-4=-3； 当x=1时，y=x 2-4=-3；∵点（-1，-3）在抛物线上，点（1，3）、（1，-5）、（-1，-5）都不在抛物线上． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足二次函数的解析式． 3．B【分析】根据二次函数的性质分析，即可得到答案． 【详解】抛物线y ＝-3x 2＋4 ∵30-<∵抛物线y ＝-3x 2＋4开口向下当0x =时，y ＝-3x 2＋4取最大值，即y ＝4 ∵顶点坐标为()0,4 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解． 4．D【分析】由抛物线的解析式可求得其开口方向、对称轴、函数的最值即可判断． 【详解】∵224y x =+，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝0，顶点为（0，4），当x ＝0时，有最小值4， 故A 、B 、C 正确，D 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a （x−h ）2＋k 中，对称轴为x ＝h ，顶点坐标为（h ，k ）． 5．A【分析】根据二次函数的图像和性质逐项分析即可．【详解】A.因为23y x =，22y x =-，221y x =-+这三个二次函数的图像对称轴为0x =，所以都关于y 轴对称，故选项A 正确，符合题意；B.抛物线23y x =，22y x =-的图象开口向上，抛物线221y x =-+的图象开口向下，故选项B 错误，不符合题意；C.抛物线22y x =-，221y x =-+的图象不经过原点，故选项C 错误，不符合题意；D.因为抛物线23y x =，22y x =-，221y x =-+的二次项系数不相等，故不能通过平移其它二次函数的图象，故D 选项错误，不符合题意； 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟记二次函数的图像和性质是解题的关键． 6．A【分析】由抛物线的对称轴找到E 点的对称点，抛物线开口向下，y 1＜y 2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y ＝﹣x 2+2x 的对称轴为x ＝1， E （3，y 2）关于对称轴对称的点（﹣1，y 2）， ∵抛物线开口向下，∵y 1＜y 2时，n ＞3或n ＜﹣1， 故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E 点关于对称轴的对称点是解题的关键． 7．D【详解】解：∵y =x 2-2，∵抛物线开口向上，对称轴为y 轴，∵当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故选D ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握y =ax 2+c 的图象的开口方向、对称轴及增减性是解题的关键．8．B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断【详解】解：A 、y x 1=-+，一次函数，k ＜0，故y 随着x 增大而减小，错误；B 、2y x 1=-（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，正确；C 、1y x=，k =1＞0，分别在一、三象限里，每个象限内y 随x 的增大而减小，错误； D 、2y x 1=-+（x ＞0），故当图像在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，错误． 故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想是解答本题的关键.9．D【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的对称性和增减性判断即可．【详解】解：∵()22211y x x x =-+=--+，∵抛物线对称轴为直线1x =，∵10a =-<，∵1x <时，y 随x 的增大而增大，∵()222.5,P y 的对称点为()20.5,y -，且50.51-<-<，∵123y y y =>．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练运用二次函数的性质进行推理是解决本题的关键．10．B【分析】由点A （-5，m ），B （5，m ）的坐标特点，于是排除选项A 、B ；再根据A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a ＜0，可得结果．【详解】解：∵A （-5，m ），B （5，m ），∵点A 与点B 关于y 轴对称；由于y =x +2不关于y 轴对称，2y x=-的图象关于原点对称，因此选项A 、D 错误； ∵n 2＞0，∵m +n 2+1＞m ；由A （-5，m ），C （-2，m +n 2+1）可知，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大， 对于二次函数只有a ＜0时，满足条件，∵B 选项正确，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．11．D【分析】根据二次函数的对称轴进行判断即可．【详解】二次函数2y ax k =+的对称轴为0x =观察四个选项可知，只有选项D 的图象符合故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性），掌握二次函数的图象与性质是解题关键．12．C【分析】根据所给解析式判断出正确函数图象，注意自变量的取值范围．【详解】A 选项错误，两个函数图象都不符合自变量的取值范围；B 选项错误，反比例函数的图象不符合自变量的取值范围；C 选项正确；D 选项错误，当=1x -时，图象不应该是一条直线．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数和反比例函数的图象，解题的关键是掌握二次函数和反比例函数的图象．13．C【分析】根据函数解析式，二次项系数交点判别式小于0，所以排除A 、B 、D ，故选C ．【详解】解：A选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，A=48b ac错误；B选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，B错误；=48b acC选项，由函数解析式，2=48-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，C正确；b acD选项，由函数解析式，2-=-<0，所以函数图像与x轴无交点，D错误．=48b ac【点睛】本题考考察的是二次函数图像的基本性质，根据解析式，判断开口方向及交点个数，判断图像的形状．14．C【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】二次函数y＝－x2－1的图象开口向下，且顶点坐标为(0，－1)，故选项C符合题意．【点睛】此题主要考查二次函数的图像判断，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质．15．D【分析】根据二次函数的图象的性质，开口方向，顶点坐标，对称轴即可判断.【详解】由题意可知：a＝－1，所以开口向下，顶点坐标为（0，－2），故答案选D.【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式来判断该函数的图象，解本题的要点在于熟知二次函数图象的基本性质.16．C【分析】根据二次函数的性质及二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律逐一判断即可得答案.【详解】∵2>0，∵抛物线y＝2x2﹣3的开口向上，故A选项错误，∵y＝2x2﹣3是二次函数的顶点式，∵对称轴是y轴，故B选项错误，∵-3<0，抛物线开口向上，∵抛物线与x轴有两个交点，故C选项正确，抛物线y＝2x2﹣3向左平移两个单位长度可得抛物线y＝2（x+2）2﹣3，故D选项错误，故选：C.【点睛】此题考查二次函数的性质及二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质及“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键.17．D【分析】根据二次函数22y x =-的图象和性质，逐一判断选项，即可.【详解】∵a=1>0，∵抛物线开口向上，故A 错误，∵当0x =时，函数的最小值是2-，∵B 错误，∵抛物线的对称轴是y 轴，∵C 错误，∵∆=224041(2)80b ac -=-⨯⨯-=>，∵抛物线与x 轴有两个交点，∵D 正确，故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的系数的几何意义，是解题的关键.18．C【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣2x 2+1，∵该函数图象开口向下，故选项A 错误；顶点坐标为（0，1），故选项B 错误；当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故选项C 正确；当x ＝0时，y 有最大值1，故选项D 错误；故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19．D【分析】根据二次函数的性质对A 、C 进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B 进行判断；利用方程2x 2-1=0解的情况对D 进行判断．【详解】A. a =2,则抛物线y =2x 2−1的开口向上，所以A 选项错误；B. 当x =1时,y =2×1−1=1,则抛物线不经过点(1,-1)，所以B 选项错误；C. 抛物线的对称轴为直线x =0，所以C 选项错误；D. 当y =0时,2x 2−1=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D 选项正确.故选D.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，结合图像是解题的关键.20．B【分析】根据二次函数的图像与性质逐项进行判断即可.【详解】因为20a =-<，所以二次函数图像开口向下，故A 选项错误；因为抛物线开口向下，对称轴为y 轴，所以当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故B 选项正确；二次函数221y x =-+的顶点为（0,1），故C 选项错误；因为二次函数开口向下，对称轴为y 轴，所以当x =0时，y 有最大值1，故D 选项错误. 故选B.【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键.21．A【详解】两图象与y 轴的交点相同,故排除了B 、D,若a>0,选A,C 中两个函数中的a 符号相反.22．B【分析】分a>0与a<0两种情况分类讨论即可确定正确的选项.【详解】解：当a>o 时，函数a y x=的图象位于一、三象限，20()y ax a a =--≠的开口向下，交y 轴的负半轴，选项B 符合；当a<o 时，函数a y x=的图象位于二、四象限，20()y ax a a =--≠的开口向上，交y 轴的正半轴，没有符合的选项.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键.23．C【分析】根据题意，把问题转化为二次函数问题．【详解】根据题意，min{x 2+1，1-x 2}表示x 2+1与1-x 2中的最小数，不论x 取何值，都有x 2+1≥1-x 2，所以y=1-x 2；可知，当x=0时，y=1；当y=0时，x=±1；则函数图象与x 轴的交点坐标为（1，0），（-1，0）；与y 轴的交点坐标为（0，1）． 故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图像的性质是解决此题的关键．24．C【详解】解：二次函数y =x 2+1中，a =1>0,图象开口向上,顶点坐标为(0,1)，符合条件的图象是C.故选C.25．B【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．【详解】解：二次函数y ＝x 2＋1中，a ＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），符合条件的图象是B ．故选B ．【点睛】此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．26．A【分析】本题由一次函数y ax b =+图象得到字母系数的正负，再与二次函数2y ax b =+的图象相比较看是否一致．【详解】解：A 、由抛物线可知，a 0<，b 0<，由直线可知，a 0<，b 0<，故本选项正确； B 、由抛物线可知，a 0<，b 0>，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； C 、由抛物线可知，a 0>，b 0<，由直线可知，a 0>，b 0>，故本选项错误； D 、由抛物线可知，a 0>，b 0>，由直线可知，a 0<，b 0>，故本选项错误． 故选A ．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象.解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象的性质．27．D【详解】解：由图象，根据二次函数的性质，有A ．若12y y =，则12x x =±，原说法错误；B ．若12x x =-，则12y y =，原说法错误；C ．若120x x <<，则12y y <，原说法错误；D ．若120x x <<，则12y y >，原说法正确．故选D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．28． 下 y 轴 （0，－3）【解析】略29． 描点 向上 y 轴 ()0,1 向上 y 轴 ()0,1-【分析】根据画二次函数的图像采用描点法，然后根据二次函数性质得出开口方向，对称轴，顶点坐标即可．【详解】解：通过描点法画出221y x =+和221y x =-的图像，通过图像可知：221y x =+的开口方向向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,1)，221y x =-的开口方向向上，对称轴y 轴，顶点坐标(0,1)-，故答案为：描点；向上；y 轴；()0,1；向上；y 轴；()0,1-．【点睛】本题考查了画函数图像的方法，二次函数的基本性质，根据题意画出相应的图像是解本题的关键．30．23y x =-【分析】根据开口方向与抛物线2y x =-的方向相反，形状相同可得1a =，再利用顶点坐标即可写出解析式．【详解】∵抛物线与2y x =-的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）∵设抛物线解析式为：2y x k =+，代入顶点坐标（0，-3）得：3k =-∵解析式为23y x =-故答案为23y x =-．【点睛】本题考查求抛物线解析式，熟记抛物线顶点式是解题的关键．31． 向上 向下 |k |【解析】略32．23(2)32y x =++ 【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)-∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++ 又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =-+相同 32a ∴= 则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++ 故答案为：23(2)32y x =++． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 33．12y y <．【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的性质解答即可．【详解】∵二次函数2y x c =-+的开口向下，对称轴为y 轴，∵当0x <时，y 随x 的增大而增大，∵21-<-，∵12y y <，故答案为：12y y <．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．34．4.【分析】根据所给二次函数的解析式结合“自变量的取值范围”进行分析解答即可.【详解】∵在24y x =-+中：23x -≤≤，∵其图象开口向下，顶点坐标为（0，4），∵其最大值为4.故答案为：4.【点睛】熟记“二次函数2(0)y ax k a =+≠的图象的顶点坐标为(0)k ，”是解答本题的关键.35． 1- y 轴 上升【分析】根据二次函数的指数是2列出方程求出m 的值，再根据抛物线开口方向向下可得10+<m ，然后求解即可．【详解】解：由题意得，222m m +=且10+<m ， 解得113m ，213m 且1m <-，∵1m =-对称轴是y 轴， ∵113130m∵在对称轴左侧部分是上升；故答案是：1-y 轴，上升．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的定义，熟记性质和概念是解题的关键．36．b ≥﹣4【分析】先表示出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数y ＝2x 2+bx 对称轴为直线x ＝﹣22⨯b ＝﹣4b ， ∵a ＝2＞0，x ＞1时，y 随x 增大而增大，∵﹣4b ≤1， 解得b ≥﹣4．故答案为：b ≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质与二次函数的对称轴，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的增减性．37．y1>y2>y3【分析】由题意可得对称轴为y 轴，则（-1，y 1）关于y 轴的对称点为（1，y 1），根据二次函数的增减性可得函数值的大小关系．【详解】∵抛物线y=-x 2+a ，∵对称轴为y 轴，∵（-1，y 1）关于对称轴y 轴对称点为（1，y 1），∵a=-1＜0，∵当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∵1＜2＜3，∵y 1＞y 2＞y 3，故答案为y 1＞y 2＞y 3．【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的增减性，利用增减性比较函数值的大小是本题的关键.38．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=--y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴， 2113=+y x 与2113=--y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=--y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）； （2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=--y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.39．解：（1）(0,4)；（2）见解析；（3）上，4；（4）22x -<<．．【分析】（1）求出对称轴得到抛物线的顶点坐标；（2）先确定抛物线与y 轴的交点为（0，4），与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），然后利用描点法画函数图像；（3）根据二次函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解；（4）结合函数图像，写出函数图像上x 轴上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）抛物线的对称轴为：x =-2b a=0 令x =0，y =4则顶点坐标为（0，4）；（2）由（1）得，抛物线与y 轴的交点为（0，4），令y =0，x =±2，则抛物线与x 轴交点为（-2，0）和（2，0），画图得：（3）由上加下减的原则可得，y =-x 2向上平移4个单位可得出y =-x 2+4；（4）根据图像得，当y >0时，x 的取值范围为：-2<x <2．【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质和抛物线的平移等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．40．（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标；（2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标．试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4，对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4，∵图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）．考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点．。

2015-2016学年九年级数学二次函数图像与性质单元测试卷班级 姓名一、选择题1．二次函数y=x 2﹣x+1的图象与x 轴的交点个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．不能确定 2．若二次函数y=ax 2﹣x+c 的图象上所有的点都在x 轴下方，则a ，c 应满足的关系是（ ） A ．B ．C ．D ．3.已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图1所示,则有( ) A. a>0,b>0 B. a>0,c>0 C. b>0,c>0 D. a 、b 、c 都小于0(1) (2) 4.若抛物线y=ax 2-6x 经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) 5.如图2所示,二次函数y=x 2-4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点, 交y 轴于点C, 则△ABC 的面积为( )A.6B.4C.3D.1 6．已知抛物线y=ax 2+bx+c 如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c ﹣8=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根7.二次函数y=4x 2-mx+5,当x<-2时,y 随x 的增大而减少;当x>-2时,y 随x 的增大而增大,则当x=1时,y 的值为( )A.-7B.1C.17D.258.若直线y=ax+b 不经过二、四象限,则抛物线y=ax 2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y 轴 B.开口向下,对称轴是y 轴 C.开口向下,对称轴平行于y 轴 D.开口向上,对称轴平行于y 轴9．如图所示，阳光中学教学楼前喷水池喷出的抛物线形水柱，其解析式为y=﹣x 2+4x+2，则水柱的最大高度是（ ）xy O xB AC yOA．2 B．4 C．6 D．2+10．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m二、填空题:11．若抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴分别交于A，B两点，则AB的长为．12．（二次函数y=﹣x2+6x﹣9的图象与x轴的交点坐标为．13．（2014秋•化德县校级期中）抛物线y=x2﹣4x+3的顶点及它与x轴的交点三点连线所围成的三角形面积是．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是x1=1.3和x2=．15.在同一坐标系内,抛物线y=ax2与直线y=2x+b相交于A、B两点,若点A 的坐标是(2,4),则点B的坐标是_________.16.将抛物线y=ax2向右平移2个单位,再向上平移3个单位,移动后的抛物线经过点(3,-1),那么移动后的抛物线的关系式为__________.17.若二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方,则m 的取值范围是_____.18.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点为P(-2,3),且过A(-3,0), 则抛物线的关系式为___________.19.当n=________,m=______时,函数y=(m+n)n x+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________.20.若抛物线y=ax2+bx+c经过(0,1)和(2,-3)两点,且开口向下,对称轴在y 轴左侧,则a的取值范围是_________.三、解答题:21．求二次函数y=x2﹣2x﹣1的顶点坐标及它与x轴的交点坐标．22．已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．2（2）设y=x2+bx+c，则当x取何值时，y＞0；（3）请说明经过怎样平移函数y=x2+bx+c的图象得到函数y=x2的图象？24．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）①求该函数的关系式；②求该函数图象与坐标轴的交点坐标；③将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．25．二次函数y=x2的图象如图所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．（1）画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式；（2）求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？26.有一条长7.2米的木料,做成如图所示的“日”字形的窗框, 问窗的高和宽各取多少米时,这个窗的面积最大?(不考虑木料加工时损耗和中间木框所占的面积)27.某公司生产的A种产品,每件成本是2元,每件售价是3元,一年的销售量是10万件.为了获得更多的利润,公司准备拿出一定资金来做广告.根据经验,每年投入的广告费为x(万元)时,产品的年销售量是原来的y倍,且y是x的二次函数,公司作了预测,知x与y之间的对应关(1)(2)如果把利润看成是销售总额减去成本和广告费,请你写出年利润S(万元) 与广告费x(万元)的函数关系式;(3)从上面的函数关系式中,你能得出什么结论?28.在直角坐标系中,抛物线y=x2-2mx+n+1的顶点A在x轴负半轴上,与y 轴交于点B,抛物线上一点C的横坐标为1,且(1)求此抛物线的函数关系式;(2)若抛物线上有一点D,使得直线DB经过第一、二、四象限,且原点O 到直线DB的距求这时点D的坐标.参考答案:一、选择题1.A2.A3.C4.B5.C6.C7.D8.A9.C 10.A二、填空题:11.4 12.（3,0）13. 1 14. -3.3 15.(0,0)16.y=-4x2+16x-13 17.m>1318.y=-3x2-12x-9 19.2;2 20.-1<a<0三、解答题:21．解：∵y=x2﹣2x﹣1=x2﹣2x+1﹣2=（x﹣1）2﹣2∴二次函数的顶点坐标是（1，﹣2）设y=0，则x2﹣2x﹣1=0∴（x﹣1）2﹣2=0（x﹣1）2=2，x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．二次函数与x轴的交点坐标为（1+，0）（1﹣，0）．22．解：（1）∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣3，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）当y=0时，x2+x﹣=0，解得：x1=﹣1+，x2=﹣1﹣，AB=|x1﹣x2|=．23．解：（1）这个代数式属于二次函数．当x=0，y=3；x=4时，y=3．说明此函数的对称轴为x=（0+4）÷2=2．那么﹣=﹣=2，b=﹣4，经过（0，3），∴c=3，二次函数解析式为y=x2﹣4x+3，当x=1时，y=0；当x=3时，y=0．（每空2分）（4分）（2）由（1）可得二次函数与x轴的交点坐标，由于本函数开口向上，可根据与x轴的交点来判断什么时候y＞0．当x＜1或x＞3时，y＞0．（6分）（3）由（1）得y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣2）2﹣1．（7分）将抛物线y=x2﹣4x+3先向左平移2个单位，再向上平移1个单位即得抛物线y=x2．（9分）24．解：（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3）令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0）当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位故A'（2，4），B'（5，﹣5）∴S △OA′B′=×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．25．解：（1）画图如图所示： 依题意得：y=（x ﹣1）2﹣2 =x 2﹣2x+1﹣2 =x 2﹣2x ﹣1∴平移后图象的解析式为：x 2﹣2x ﹣1（2）当y=0时，x 2﹣2x ﹣1=0，即（x ﹣1）2=2， ∴，即∴平移后的图象与x 轴交于两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x ＜或x ＞时， 二次函数y=（x ﹣1）2﹣2的函数值大于0．26.解:设窗框的宽为x 米,则窗框的高为7.232x-米. 则窗的面积S=x·7.232x -=231825x x -+.当x=1853222b a -=-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=1.2(米)时,S 有最大值. 此时,窗框的高为7.23 1.22-⨯ =1.8(米). 27.解:(1)设所求函数关系式为y=ax 2+bx+c,把(0,1),(1,1.5),(2,1.8)分别代入上式,得11.51.842ca b c a b c=⎧⎪=++⎨⎪=++⎩, 解得13,,1105a b c =-==,∴2131105y x x =-++ (2)S=(3-2)×10y-x=(2131105x x -++)×10-x=-x 2+5x+10.(3)∵S=-x 2+5x+10=-256524x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.∴当0≤x≤2.5时,S 随x 的增大而增大,因此当广告费在0-2.5万元之间时, 公司的年利润随广告费的增大而增大. 28.解:(1)根据题意,画出示意图如答图所示,过点C 作CE ⊥x 轴于点E.∵抛物线上一点C 的横坐标为1,且∴C(1,n-2m+2),其中n-2m+2>0,OE=1, CE=n-2m+2. ∵抛物线的顶点A 在x 轴负半轴上,∴A(m,0),其中m<0,OA=-m,AE=OE+OA=1-m.由已知得222244(1)0(1)(1)(22)(2)m n m n m ⎧∆=-+>⎪⎨-+-+=⎪⎩把(1),得n=m 2-1. (3)把(3)代入(2),得(m 2-2m+1)2+(m 2-2m+1)-90=0. ∴(m 2-2m+11)(m 2-2m-8)=0.∴m 2-2m+11=0 (4) 或m 2-2m-8=0 (5).对方程(4),∵△=(-2)2-4×11=-40<0, ∴方程m 2-2m+11=0没有实数根. 由解方程(5),得m 1=4,m 2=-2.∵m<0,∴m=-2.把m=-2代入(3),得n=3. ∴抛物线的关系式为y=x 2+4x+4.(2)∵直线DB 经过第一、二、四象限,设直线DB 交x 轴正半轴于点F,过点O 作OM ⊥DB 于点M. ∵点O 到直线DB∴. ∵抛物线y=x 2+4x+4与y 轴交于点B,∴B(0,4),∴OB=4, ∴=∵OB ⊥OF,OM ⊥BF,∴△OBM ∽△FOM.∴OB FOMB MO=, ∴48OB FO=∴OF=2BO=8,F(8,0). x∴直线BF的关系式为y=-12x+4.∵点D既在抛物线上,又在直线BF上,∴244142y x xy x⎧=++⎪⎨=-+⎪⎩,解得122192,2544x xyy⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩∵BD为直线,∴点D与点B不重合,∴点D的坐标为925,24⎛⎫-⎪⎝⎭.资料赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m =代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-．∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．关系式；（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？（说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+．)图(1)图(2)(天)图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． 故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x 的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩B A D EMF形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN x =，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； （2）如果企业同时对A B ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b=+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中． （1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=． 130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15，B 图(1)图(2)l4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。

九年级二次函数单元检测卷一、选择题（每小题3分，共45分）：1、下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y x y x y (6) y=2(x+3)2－2x 2A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个 2. y=(x －1)2＋2的对称轴是直线（ ）A ．x=－1B ．x=1C ．y=－1D ．y=1 3. 抛物线()12212++=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1） 4. 函数y=-x 2-4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1）C.（-2，-1）D.（2， 1）5．已知二次函数)2(2-++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ）A ． 0或2B ． 0C ． 2D ．无法确定 6．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ）A.一、二、三象限B.一、二象限C.三、四象限D.一、二、四象限 7．已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图5所示，有下列结论：①0abc >；②a+b+c>0③a-b+c<0（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8、已知二次函数213x y -=、2231x y -=、2323x y =，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ）A 、321y y y << B 、123y y y << C 、231y y y << D 、132y y y << 图59、与抛物线y=－12x 2+3x －5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的抛物线是（ ） (A) y = x 2+3x －5 (B) y=－12x 2x(C) y =12x 2+3x －5 (D) y=12x 210．正比例函数y ＝kx 的图象经过二、四象限，则抛物线y ＝kx 2－2x ＋k 2的大致图象是（ ）11．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2)1(-=x y B 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x y12．对于抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，13、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 1＜y 3C 、y 3＜y 1＜y 2D 、y 1＜y 3＜y 2 14．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+15．在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++（m是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ）二、填空题：（每空1分共40分）1、抛物线21(2)43y x =++可以通过将抛物线y ＝ 向 平移____ 个单位、再向 平移 个单位得到。

2019九年级数学二次函数的图象与性质基础达标测试题5（附答案）1．二次函数22y x =-的图象的顶点是（ ）A.(2, -2)B.(-1, 0)C.(1, 9)D.(0, -2)2．抛物线y=﹣3x 2+2x ﹣1与坐标轴的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．抛物线212y x =向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线关系式是（ ） A.21(8)2y x =+-9 B.21(8)2y x =-+9 C.21(8)2y x =--9 D.21(8)2y x =++9 4．与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数解析式是( )A.y ＝－45x 2－1 B.y ＝45x 2－1 C.y ＝－45x 2＋1 D.y ＝45x 2＋1 5．如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为()20y ax bx c a =++≠，则下列结论中正确的有（ ）()10a >；()20c <；()320a b -=；()40a b c ++>．A.1个B.2个C.3个D.4个6．已知抛物线y=ax 2﹣（2a+1）x+a ﹣1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，若x 1＜1，x 2＞2，则a 的取值范围是（ ）A.a ＜3B.0＜a ＜3C.a ＞﹣3D.﹣3＜a ＜07．如图，已知矩形ABCD 的长AB 为5，宽BC 为4，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ，EF 交CD 于点F ，设BE=x ，FC=y ，则点E 从点B 运动到点C 时，能表示y 关于x 的函数关系的大致图象是A ．B ．C ．D ． 8．抛物线y ＝－(x －1)2＋2的顶点坐标是（ ）A ．(－1，2)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(1，2)9．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则：①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA•OB=OC 2 ．以上说法正确的有（ ）A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③10．平面上，经过点()2,0A ，()0,1B -的抛物线有无数条，请写出其中一条确定的抛物线的解析式（不含字母系数）：________（写成一般式）．11．已知抛物线的对称轴为1x =，且经过点()0,2和()4,0，则抛物线的解析式为________．12．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，且OC ＝OB ，则b ＋c ＝________．13．在抛物线y ＝mx 2与抛物线y ＝nx 2中，若－m ＞n ＞0，则开口向上的抛物线是________，开口较大的抛物线是________．14．抛物线y=﹣x 2+4x ﹣1的顶点坐标为 ．15．函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b+c+6=0；③当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0= 准确的有 ．16．已知点P （x ，y ）在二次函数y ＝2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y 的取值范围是_____．17．填表．18．已知二次函数2y x 4x 5=-++，用配方法化成2y a(x h)k =++的形式为____． 19．已知二次函数()()2212211y k x k x =+--+． （1）若二次函数图象经过点()1,1-，则k 的值为__________；（2）若二次函数图象不经过第三象限，则k 的取值范围为__________．20．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．21．平面直角坐标系xOy 中，对称轴平行于y 轴的抛物线过点A （1，0）、B （3，0）和C （4，6）；（1）求抛物线的表达式；（2）现将此抛物线先沿x 轴方向向右平移6个单位，再沿y 轴方向平移k 个单位，若所得抛物线与x 轴交于点D 、E （点D 在点E 的左边），且使△ACD ∽△AEC （顶点A 、C 、D 依次对应顶点A 、E 、C ），试求k 的值，并注明方向．22．已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，． （1）求证：； （2）求m 、n 的值；（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值． 23．已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象经过点A 和点B(1)求该二次函数的解析式；(2)写出该抛物线的对称轴及顶点坐标．24．如图，抛物线2144y x bx =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且()2,0B .（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断ABC ∆的形状，证明你的结论；（3）点()0,M m 是y 轴上的一个动点，当AM DM +的值最小时，求m 的值.25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1,0)，B (0,2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象过点C .求抛物线的解析式．26．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E （2，m ）在抛物线上，抛物线的对称轴与x 轴交于点H ，点F 是AE 中点，连接FH ，求线段FH 的长．注：抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是x=﹣．27．已知：如图①,在Rt △ACB 中,∠C ＝90º,AC ＝6cm,BC ＝8cm,点P 由B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动,速度为2cm/s ；点Q 由A 出发沿AB 方向向点B 匀速运动,速度为1cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为t(s)（0＜t ＜4）,解答下列问题：（1）当t为何值时,PQ的垂直平分线经过点B？（2）如图②,连接CQ．设△PQC的面积为y（cm2）,求y与t之间的函数关系式；（3）如图②,是否存在某一时刻t,使线段C Q恰好把四边形ACPQ的面积分成1：2的两部分？若存在,求出此时t的值；若不存在,说明理由.参考答案1．D【解析】【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：二次函数y=x2-2的图象的顶点坐标是（0，-2）．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．2．B【解析】试题分析：△=22-4×（-3）×（-1）=-8＜0，所以抛物线与X轴没有交点，因此与坐标轴的交点个数为1个；故选B考点：抛物线与坐标轴的交点3．A【解析】抛物线y=12x2向左平移8个单位，所得抛物线解析式为y=12（x+8）2，再向下平移9个单位后，所得抛物线解析式为y=12（x+8）2－9.故选A.点睛：抛物线如果上下平移一定单位，那么直接在解析式后面加减对应单位，上加下减；抛物线若左右平移一定单位，那么首先将抛物线解析式写成顶点式，再在括号里面加减对应单位，左加右减.4．B【解析】【分析】与抛物线y＝－45x2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则只有二次项系数不同，即可得到答案.【详解】解：∵与抛物线y ＝－45x 2－1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线，则与抛物线y ＝－45x 2－1只有二次项系数互为相反数， ∴y ＝45x 2－1； 故选择：B.【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数的解析式中，二次项系数确定函数开口方向．5．D【解析】【分析】如图是y=ax 2+bx+c 的图象，根据开口方向向上知道a ＞0，又由与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上得到c ＜0，由对称轴x=−2b a=-1，可以得到2a-b=0，又当x=1时，可以判断a+b+c 的值．由此可以判定所有结论正确与否．【详解】如图，（1）∵将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0）（如虚线部分），∴y=ax 2+bx+c 的对称轴为：直线x=-1；∵开口方向向上，∴a ＞0，故①正确；（2）∵与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上∴c ＜0，故②正确；（3）∵对称轴x=−2b a=-1， ∴2a-b=0，故③正确；（4）当x=1时，y=a+b+c ＞0，故④正确．故选D ．【点睛】考查二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定．6．B【解析】由已知抛物线2(21)1y ax a x a =-++-求出对称轴212a x a+=+， 解：抛物线：2(21)1y ax a x a =-++-，对称轴212a x a +=+，由判别式得出a 的取值范围．11<x ，22x >， ∴21122a a+<<， ①2(21)4(1)0a a a ∆=+-->，18a ≥-．②由①②得0<<3a ．故选B ．7．A【解析】【分析】利用三角形相似求出y 关于x 的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解．【详解】解：∵BC=4，BE=x ，∴CE=4﹣x ．∵AE ⊥EF ，∴∠AEB+∠CEF=90°，∵∠CEF+∠CFE=90°，∴∠AEB=∠CFE ．又∵∠B=∠C=90°，∴Rt△AEB∽Rt△EFC，∴，即，整理得：y=（4x﹣x2）=﹣（x﹣2）2+∴y与x的函数关系式为：y=﹣（x﹣2）2+（0≤x≤4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2．故选：A．【点睛】点评：本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键．8．D【解析】【分析】直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．【详解】∵顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k），∴抛物线y=（x-1）2+2的顶点坐标是（1，2）．故选D．【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．9．C【解析】①∵二次函数y=ax2+bx+c(a>0)经过点M(−1,2)和点N(1,−2)，∴22a b ca b c=-+⎧⎨-=++⎩，解得b=−2.故该选项正确；②由①可得b=−2，a+c=0，即c=−a<0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴.故该选项正确；③根据抛物线图象的特点，M 、A. C 三点不可能在同一条直线上.故该选项错误； ④当a=1时，c=−1，∴该抛物线的解析式为y=x 2−2x−1当y=0时，0=x 2−2x+c ，利用根与系数的关系可得x 1⋅x 2=c ，即OA ⋅OB=|c|，当x=0时，y=c ，即OC=|c|=1=OC 2 ∴若a=1，则OA ⋅OB=OC 2， 故该选项正确. 总上所述①②④正确. 故选：C.点睛：本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的图象性质及特点、一元二次方程根与系数的关系、直线解析式的确定. 10．2312y x x =--答案不唯一 【解析】 【分析】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）．【详解】设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c把A(2,0),B(0,−1)代入得4a+2b+c=0 ，c=−1 故答案不唯一,如2312y x x =--. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是先设出解析式再代入求解. 11．219(1)44y x =--+ 【解析】 【分析】根据对称轴可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+k ，把（0，2）（4，0）两点代入求出a 、k的值即可.【详解】∵对称轴为x 1=，∴设抛物线解析式为：y=a(x-1)2+k ， ∵抛物线经过点()0,2和()4,0，∴209a k a k =+⎧⎨=+⎩，解得：1494a k ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的解析式为：y=14-（x-1）2+94，故答案为：y=14-（x-1）2+94，【点睛】本题考查求二次函数解析式，选用适当的二次函数解析式的表示形式是解题关键. 12．-1 【解析】 【分析】先确定抛物线与y 轴交点C 的坐标为（0，c ），利用OB =OC 可确定B 点坐标为（c ，0），然后根据二次函数图象上点的坐标特征把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 后经过变形即可得到b +c的值． 【详解】解：当x =0时，y =c ，则C 点坐标为（0，c ）， ∵OC =OB ，∴B 点坐标为（c ，0），把B （c ，0）代入y =x 2+bx +c 得c 2+bc +c =0，∴b +c =-1． 故答案为：-1． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点的坐标必满足函数的解析式，先求出C点的坐标，然后根据OC=OB得出B点的坐标是解决此题的关键．13．y＝nx2；y＝nx2【解析】【分析】根据y＝ax2的图像可知，a>0，可判断开口方向;y＝ax2中a的绝对值越大，开口越大即可判断.【详解】根据－m>n>0知n>0，则抛物线y＝nx2开口向上，且m n>,故开口较大的抛物线是y ＝nx2.【点睛】此题主要考查二次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键.14．（2，3）【解析】试题分析：利用配方法将抛物线的解析式y=﹣x2+4x﹣1转化为顶点式解析式y=﹣（x﹣2）2+3，然后求其顶点坐标为：（2，3）．考点：二次函数的性质15．②③④【解析】试题分析：∵函数y=x2+bx+c与x轴无交点，∴b2﹣4ac＜0；故①错误；∵当x=3时，y=9+3b+c=3，∴3b+c+6=0；②正确；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故③正确当x=1时，y=1+b+c=1，∴b+c=0；当x=3时，y=9+3b+c=3；∴3b+c=-6∴b=-3;c=3,则()23332222=+-=+cb；故④正确；考点: 二次函数图象与系数的关系16．﹣3≤y≤5【解析】【分析】先根据二次函数的性质得顶点坐标为（-1，-3），所以当-2＜x≤1时，x=-1时，y的最小值；x=1时，y的最大值，从而得到y的取值范围．【详解】抛物线的顶点坐标为（-1，-3），抛物线的对称轴为直线x=-1，当x=-1时，函数有最小值为-3，因为当-3＜x≤2时，x=-1时，y的最小值为-3；x=1时，y有最大值=2×22-3=5，所以y的取值范围为-3≤y≤5．故答案为-3≤y≤5．【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.17．答案见解析.【解析】试题分析：根据二次项系数的符号判断开口方向，利用配方法或顶点式的特点确定顶点坐标及对称轴，由开口方向及顶点坐标确定函数的最大（小）值．试题解析：解：填表如下：点睛：本题考查了二次函数的顶点式与顶点坐标，对称轴的关系．顶点式y=（x﹣h）2+k，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h．18．2y (x 2)9=--+ 【解析】 【分析】先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】y =−x 2+4x +5=−(x 2−4x +4)+4+5=−(x −2)2+9，即y =−(x −2)2+9.故答案为：y =−(x −2)2+9．【点睛】二次函数的三种形式．19．（1）2-；（2）12k >. 【解析】试题解析：(1)由于210,k +≠ 将点(−1,1)代入二次函数解析式得：()()2112211k k =++-+，解得：1222k k =-=- (2)()()2212211y k x k x =+--+的图象不经过第三象限，而二次项系数()21010a k c =+>=>，，∴抛物线开口方向向上，抛物线与y 轴的正半轴相交， ∴抛物线是对称轴在y 轴的右侧，()2210k ∴--<，1.2k ∴>故答案为：(1)2-; (2) 1.2k > 20．y =−43x²−83x +4【解析】 【分析】把三个点的坐标代入抛物线2y ax bx c =++，利用待定系数法即可求得求二次函数解析式. 【详解】∵抛物线y =ax 2+bx +c 过(−3,0),(1,0)两点,与y 轴的交点为(0,4)，∴93004a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩， 解得,43834a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以,抛物线的解析式为：y =−43x²−83x +4； 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，掌握方程组的解法等知识是解决本题的关键.21．（1）y=2x 2﹣8x+6；（2）向下平移6个单位．【解析】试题分析：（1）利用待定系数法直接求出抛物线的解析式；（2）设出D ，E 坐标，根据平移，用k 表示出平移后的抛物线解析式，利用坐标轴上点的特点得出m +n =16，mn =63﹣2k，进而利用相似三角形得出比例式建立方程即可求出k ． 试题解析：解：（1）∵抛物线过点A （1，0）、B （3，0），∴设抛物线的解析式为y =a （x ﹣1）（x ﹣3）。

二次函数图象与性质基础检测题一、选择题：1.抛物线y = 3x 2 ， y = -3x 2 ， y = 1x2 + 33共有的性质是（）A．张口向上； B ．在对称轴右边，y随x 的增大而增大C．极点坐标都是（ 0，0）D．对称轴是y 轴；2. 关于抛物线 y = - 1 (x + 5)32 + 3，以下说法正确的选项是（）（A）张口向下，极点坐标 (5 ，3)（B）张口向上，极点坐标(5 ，3)（C）张口向下，极点坐标( - 5，3)（D）张口向上，极点坐标( - 5，3)23. 抛物线 y = 3x向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是()A y = 3( x - 1) 2 - 2B y = 3( x + 1) 2 - 2C y = 3( x + 1) 2 + 2D y = 3( x - 1) 2 + 24. 如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：①y = ax 2；② y = bx 2 ；③ y = cx 2 ；④ y = dx 2 ，则 a 、b、c、d 的大小关系为（）A． a > b > c > d ； B． a > b > d > c ；C． b > a > c > d ； D．b > a > d > c 。

5．抛物线 y = 2( x + m ) 2 + n （ m，n 是常数）的极点坐标是（）A． ( m ，n) B． ( - m，n) C． ( m ，- n) D． ( - m，- n)二、填空题：2 + 2 的最小值是6.二次函数y = ( x + 1)7.二次函数 y = - 2(x + 3) 2 - 1 由 y = - 2(x - 1) 2 + 1 向_____平移_______个单位，再向 _____平移 _______个单位获得。

8.写出抛物线的一个分析式 ____________________三、解答题：9、如图是y = a( x + m ) 2 的图象(1)、求二次函数的分析式(2) 、把抛物线y 1 x 2经过如何的平移才能获得4(3)、若将 (1) 、中的抛物线绕极点选择 180 度，求旋转后的抛物线的分析式？若绕原点旋转 180 度呢？。

2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）y＝-x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（3）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.（4）在抛物线y＝-x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.如图，⊙O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=﹣x2的图象，则阴影部分的面积是_________ ．3.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．4.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的边长；(4)根据图象，求出c取何值时，S≥4cm2.掌握的三个数学答题方法树枝答题法关注数学题的解题过程2014年上海市中考状元徐瑜卿认为,数学是一门思维学科,并不是平时做题多就一定会拿高分。

很多同学虽然数学思维很好,但一下笔就丢分,这就要求我们平时练习时一定要注重解题过程。

因此,大家在学习数学时要在立足结论和答案的基础上,仔细深入地了解解题的过程,要求每一步都必须有严谨的推导依据,绝不要想当然。

这样做不仅可以培养我们的逻辑思维能力,而且对于物理、化学的学习也是非常重要的关于这点,徐瑜卿同学还总结出了一个非常实用的解题方法:树枝答题法。

这种方法是用已知条件推导出多个潜在条件,每个潜在条件继续推导出更多潜在条件,如此继续;同时由所求问题或求证的结论逆推所需条件,也是由少到多。

这就像两棵本无关系的树,枝干越伸越多,最终会交织在起,题目最终也就迎刃而解了。

她的这套解题模式针对难题尤其有效,平时多训练,熟练之后往往能一眼看穿关键,能避免走弯路其实,树枝答题法总结一下就是五个字:从条件入手。

湘教版九年级数学下册《1.2二次函数的图象与性质》同步测试题带答案知识点1二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.抛物线y=2(x+4)2的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上2.抛物线y=2(x+1)2不经过的象限是( )A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限3.(2023·湘潭韶山市质检)点A(-1，y1)，B(4，y2)是二次函数y=(x-1)2图象上的两个点，则y1y2.(填“>”“<”或“=”)4.二次函数y=(x-1)2，当x<1时，y随x的增大而.(填“增大”或“减小”)5.抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，开口向上，与y轴相交于点B，且OA=OB.求点B的坐标.知识点2二次函数y=a(x-h)2与y=ax2(a≠0)之间的关系6.二次函数y=(x-2)2向右平移1个单位后的表达式是()A.y=(x-3)2B.y=(x-1)2C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1(x+1)2向右平移m个单位长度后经过点(2，-2)，则m=. 7.若抛物线y=-128.将函数y=1x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别相2交于A，B两点(点A在点B的左边).(1)求平移后的函数表达式及顶点C的坐标;(2)求△ABC的面积.9.已知二次函数y=-2(x+b)2，当x<-3时，y随x的增大而增大;当x>-3时，y随x 的增大而减小.则当x=1时，y的值为( )A.-12B.12C.32D.-3210.抛物线y=-3(x+2)2不经过的象限是( )A.第一、二象限B.第一、四象限C.第二、三象限D.第三、四象限11.同一坐标系中，抛物线y=(x-a)2与直线y=ax+a的图象可能是( )12.关于抛物线y1=(1+x)2与y2=(1-x)2，下列说法不正确的是( )A.图象y1与y2的开口方向相同B.y1与y2的图象关于y轴对称C.图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象D.图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象13.将函数y=3(x-4)2的图象沿y轴对折后得到的抛物线是.14.已知二次函数y=2(x-h)2的图象上，当x>3时，y随x的增大而增大，则h的取值范围是.15.如图，把函数y=1x2的图象经过平移后得到新的函数m的图象，新函数m的图2象经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与函数y=1x2的2图象交于点Q，则图中阴影部分的面积为.16.已知二次函数y1的图象经过P(-2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象左右平移，当它再次经过点P且不与原图象重合时，求平移后抛物线y2的表达式.17.已知抛物线y=1x2的图象如图所示.3(1)当抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值;(2)画出平移后的图象;(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP+CP的距离最短，求出点P的坐标.参考答案知识点1二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1.抛物线y=2(x+4)2的顶点在(C)A.第一象限B.第二象限C.x轴上D.y轴上2.抛物线y=2(x+1)2不经过的象限是(C)A.第一、二象限B.第二、三象限C.第三、四象限D.第一、四象限3.(2023·湘潭韶山市质检)点A(-1，y1)，B(4，y2)是二次函数y=(x-1)2图象上的两个点，则y1<y2.(填“>”“<”或“=”)4.二次函数y=(x-1)2，当x<1时，y随x的增大而减小.(填“增大”或“减小”)5.抛物线y=a(x-2)2的顶点为A，开口向上，与y轴相交于点B，且OA=OB.求点B的坐标.【解析】∵y=a(x-2)2，∴顶点A的坐标为(2，0).∵抛物线y=a(x-2)2开口向上，与y轴相交于B点，OA=OB，∴B(0，2).知识点2二次函数y=a(x-h)2与y=ax2(a≠0)之间的关系6.二次函数y=(x-2)2向右平移1个单位后的表达式是(A)A.y=(x-3)2B.y=(x-1)2C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1(x+1)2向右平移m个单位长度后经过点(2，-2)，则m=5或1.7.若抛物线y=-128.将函数y=1x2的图象向右平移4个单位后，其顶点为C，并与直线y=x分别相2交于A，B两点(点A在点B的左边).(1)求平移后的函数表达式及顶点C的坐标;(2)求△ABC的面积.【解析】(1)将函数y =12x 2的图象向右平移4个单位后的函数为y =12(x -4)2，则顶点C 的坐标为(4，0).(2)解方程组{y =12(x -4)2,y =x ,得{x =2,y =2,或{x =8,y =8.∵点A 在点B 的左边，∴A (2，2)，B (8，8).∴S △ABC =S △OBC -S △OAC =12OC ×8-12OC ×2=12.9.已知二次函数y =-2(x +b )2，当x <-3时，y 随x 的增大而增大;当x >-3时，y 随x 的增大而减小.则当x =1时，y 的值为 (D) A .-12 B .12 C .32 D .-3210.抛物线y =-3(x +2)2不经过的象限是 (A) A .第一、二象限 B .第一、四象限 C .第二、三象限 D .第三、四象限11.同一坐标系中，抛物线y =(x -a )2与直线y =ax +a 的图象可能是 (B)12.关于抛物线y 1=(1+x )2与y 2=(1-x )2，下列说法不正确的是 (D) A.图象y 1与y 2的开口方向相同 B.y 1与y 2的图象关于y 轴对称C.图象y 2向左平移2个单位可得到y 1的图象D.图象y 1绕原点旋转180°可得到y 2的图象13.将函数y =3(x -4)2的图象沿y 轴对折后得到的抛物线是 y =3(x +4)2 . 14.已知二次函数y =2(x -h )2的图象上，当x >3时，y 随x 的增大而增大，则h 的取值范围是h≤3.15.如图，把函数y=1x2的图象经过平移后得到新的函数m的图象，新函数m的图2象经过点A(-6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与函数y=1x2的2.图象交于点Q，则图中阴影部分的面积为27216.已知二次函数y1的图象经过P(-2，2)，顶点为O(0，0)，将该图象左右平移，当它再次经过点P且不与原图象重合时，求平移后抛物线y2的表达式.【解析】设原来的抛物线表达式为y1=ax2(a≠0).把P(-2，2)代入，得2=4a，解得a=1.2故原来的抛物线表达式是y1=1x2.2设平移后的抛物线表达式为y2=1(x-b)2.2把P(-2，2)代入，得2=1(-2-b)2.2解得b=0(舍去)或b=-4.所以平移后抛物线的表达式是y2=1(x+4)2.2x2的图象如图所示.17.已知抛物线y=13(1)当抛物线向右平移m(m>0)个单位后，经过点A(0，3)，试求m的值;(2)画出平移后的图象;(3)设两条抛物线相交于点B，点A关于新抛物线对称轴的对称点为点C，试在新抛物线的对称轴上找出一点P，使BP+CP的距离最短，求出点P的坐标.【解析】(1)把抛物线y=13x2向右平移m个单位得到y=13(x-m)2.∵经过点(0，3)，∴3=13(0-m)2.解得m1=3，m2=-3(不合题意，舍去).即m的值是3.(2)抛物线y=13x2的顶点坐标是(0，0)，平移后抛物线y=13(x-3)2的顶点坐标是(3，0)，其图象如图所示:(3)略。

二次函数的图像与性质〔3〕【课堂检测】1.二次函数()252+=x y 的图像是 ，开口 ，对称轴是 ；顶点坐标是 ，说明当x= 时，y 有最 值是 . 2.二次函数()243--=x y 的图像是由抛物线 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ， 说明当x= 时，y 有最 值是 .3.将二次函数y=2x 2的图像向左平移3个单位后得到函数 的图像； 顶点坐标是 ，其对称轴是 ，说明当x 时，y 随x 的增大 而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小.4.在同一坐标系中画出以下函数的图像：①()23+-=x y ②()23--=x y观察上图:⑴函数()23+-=x y 的图像与函数()23--=x y 的图像的 一样， 一样，不同， 不同；⑵函数()23+-=x y 可以看成函数()23--=x y 的图像向 平移 个单位长度得到；它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 . ⑶函数()23--=x y 可以看成函数()23+-=x y 的图像向 平移 个单位长度得到；它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，说明当x = 时，y 有最 值是 . ⑷函数()23+-=x y 的图像与函数()23--=x y 的图像关于 成 对称.【课外作业】1.将二次函数y= -3〔x-2〕2的图像向左平移3个单位后得到函数 的 图像，它的对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x= 时，y 有最 值是 . 2.函数y=3〔x+6〕2的图象是由函数 的图象向 平移 个 单位得到的；其图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； 当x= 时，y 有最 值是 ；当x 时，y 随x 的增大而增大. 3.把抛物线y=a 〔x-4〕2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3〔x+h 〕2的图象，那么a= h= . 4.将函数y=3〔x －4〕2的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是 ； 将函数y=3〔x －4〕2的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 . 5.将抛物线y=2x 2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，再 向 平移 个单位得到函数y= 2〔x-3〕2的图象. 6.将抛物线2ax y =向右平移后所得新抛物线的顶点横坐标为3，且新抛物线经过点 〔-1，-4〕，求a 的值.。

5.2二次函数图像和性质同步测试题(满分120分；时间：120分钟)一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分，)1.抛物线y = 3(x + l)2 — 4的顶点坐标是()A.(l, 4) B・(l, -4) C.(-l, 4) D.(-l, -4)2.若在同一直角坐标系中，作y = —*2, y = _|x2+3/ y = 2x2的图象，则它们()A.都关于y轴对称B.开口方向相同C •都经过原点D •互相可以通过平移得到3.若点(2,5), (4, 5)在抛物线y = "2 + b% + c上，则它的对称轴是( )A.x = - -B.x = 1C.x = 2D.x = 3a则下列结论：©a>0：Q)b>)C.3个D.4个4.二次函数y = ax2+bx + c(a工0)的图象如图所示,0：③c>0：③b2-4ac>0,其中正确的个数是(5.如图，已知二次函数y =处2+必+ c(aH0)的图象如图所示，下列4个结论: ①a > 0；②b V 0；③bVa+c：④4a + 2b + c > 0其中正确结论的有()6. 若二次函数y = ax 2 +bx + c 的咒与y 的部分对应值如卜表:X-2 -1 0 1 2y830 -1 0A.(-l, 3)B.(0, 0)C.(l, -1)D.(2, 0)7. 把抛物线y=F 向上平移3个单位，再向右平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为()A.y=(x +3尸 + 1B.y = (x + 3)2-1C.y = (x - l)2 + 3D.y = (x + l)2 + 38. 设4(一2, y) 3(by2)，C(2, y 3)是抛物线y = (x — 1严 一 3上的三点，则y- y 2, y 3的大小关系为()A.yi >y 2>y3B.% >y 3>y 2 c.y 3 >y 2>yi o.y 3 >y ±>y 29. 在平而直角坐标系中，对于二次函数y = (x — 2)2 + l,下列说法中错误的是( )A. y 的最小值为1B. 图象顶点坐标为(2, 1),对称轴为直线x = 2C. 当XV 2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x > 2时，y 的值随x 值的增大而减小D. 它的图象可以由y = x 2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到10. 如图是二次函^y = ax 2 + bx + c(a^Q)图象的一部分，直线x =-1是对称轴，下 列结论：< 0：②若(一3, %)、(|, y 2)是抛物线上两点，则Vi > y2：③a-b+c =A ・①②③B ・①②④C ・①③④D ・②③④-9a：④将抛物线沿兀轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y = a{x2 -A・①②③B・①③④C・①②④ D •①②③④二、填空题(本题共计8小题，每题3分，共计24分，)11.把抛物线y = x2 + 4x改写成y = a(x + h)2 + k的形式为 ________ .12.函数y = x z-3x-1有最____________ 值，其值为 _______ .13.如图所示，抛物线y = ax2 +bx + c(a工0)与x轴的两个交点分别为A(-l, 0)和3(2,0),当yVO时，咒的取值范囤是___________ ・14.已知抛物线y = /—2bx的顶点在第三彖限，请写出一个符合条件的b的值为15.___________________ 二次函数的y = a/ + bx + c的对称轴在y轴的右侧，且与y轴的交点是P(0, -2), 则点4(ab, c)在第象限.16._____________ 已知二次函数的图象开口向上，且经过原点，试写出一个符合上述条件的二次函数的解析式：・(只需写岀一个)17.已知二次函数y=兀2一(九+ 4)咒+ 2加+ 3的图象如图所示，则m的取值范用是318.______________________________________________ 如图为二次函数y = "2 + b% +c(a#：0)的图象，在下列说法中：①abc< 0：② 方程ax2 + bx + c = 0的根为x± =—li x2 = 3：③a —b + c>0：④当0 VxS 引甘，0<y<3：⑤3a + c = 0,其中正确的说法有・(请写岀所有正确说法的序号)三、解答题(本题共计7小题,共计66分，)19.把下列二次函数转化^y = a(x-h)2+k的形式，并写出对称轴和顶点坐标.(1)y = %2 + 4%-2；(2)y=2x2 + 12%- 4・20.把抛物= ax2+ bx + c向左平移2个单位，同时向下平移1个单位后，恰好与抛物= 2x2 +4% + 1重合•请求出a, b, c的值.21.说明：不论咒取何值，代数式%2一5兀+7的值总大于0・并尝试求岀当咒取何值时, 代数式兀2一5兀+ 7的值最小？最小值是多少？22.在同一直角坐标系中作出二次函数y = —疋，y = -0.5%2的图象，然后回答下列问题：（1）它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）请描述一下在对称轴的左侧函数值的变化情况.23.已知：抛物线y =（加一1）咒2 +加％ +九2 一4的图彖经过原点，且开口向■4—21 1 、0 2 4 f上.(1) 确左m的值;（2）求此抛物线的顶点坐标；（3）画出抛物线的图象，结合图象回答：当x取什么值时，y随X的增大而增大? （4）结合图象回答：当％取什么值时，y <0?24.已知函数y =-：（% +2严+ 9（1） ______________________ 抛物线的开口向________ 、对称轴为直线____ 、顶点坐标（2） _____________ 当咒= _______________ 时，函数有最 _ 值，是 :（3）当x <-2时，y随X的增大而增大：当X时，y随X的增大而减小；（4）该函数图象可由y =-技2的图象经过怎样的平移得到的？25.在平而直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2 + bx + c经过4(0,-4)和3(2, 0)两点. (1)求c的值及a, b满足的关系式：(2)若抛物线在4和3两点间，从左到右上升，求a的取值范用；(3)抛物线同时经过两个不同的点M(p, TH),N(—2 — p,n).①若7?1=/1,求a的值：②若m=—2p—3, n=2p + 1,求a的值.参考答案一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)1.【答案】D【解答】解：@ y = 3(x + l)2-4,@ 顶点坐标为(一1, -4).故选D.2.【答案】A【解答】解：观察三个二次函数解析式可知，一次项系数都为0,故对称轴％ = -^= 0,对称轴为y轴，都关于y轴对称.故选4.3.【答案】D【解答】解：因为点(2, 5), (4, 5)在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，英横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴尤=字=3；故选D.4.【答案】C【解答】解：□ 抛物线开口向下，0 aVO,①错误；S抛物线的对称轴在y轴的右侧，回x = -^>0,目b>0,②正确:S 抛物线与y轴的交点在x轴上方，0 c >0,③正确：S 抛物线与x轴有2个交点，□ A = b2-4ac>0,④正确. 故选C. 5.【答案】A【解答】解：回抛物线开口向上，E a > 0,故①正确：@ 抛物线的对称轴为直线X = -三> 0,@ b V 0,故②正确：@ 当兀=一1时，y>0・圄 a — b + c>0,@ 故③正确；E x = 2时 f y < 09圄4a + 2b + c V 0,@ 结论④错误：综上，可得正确的结论有：①②③.故选6.【答案】C【解答】S 当x = 0或X = 2时，y = 0,当x = 1R4. y = -1,c = 0 ( a = 1E 4a + 2b + c = 0,解彳幷 b = —2,a +b +c = —1(c = 0@ 二次函数解析式为y = x z-2x = (x-l)z-l,S 抛物线的顶点坐标为(1, -1),7.【答案】C【解答】由"上加下减”的原则可知，把抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y = x2 + 3：由"左加右减"的原则可知，把抛物线+ 3向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y=(x- 1)2 + 3.8.【答案】B【解答】解：函数的解析式是y = (x — l)2 — 3,S 对称轴是x=l,S 点4关于对称轴对称的点4'是(4, yQ,那么点川，B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而增大，••• 1 < 2 < 4,••• yi > y3 > yz -故选B.9.【答案】C【解答】解：由二次函数解析式可知，当X = 2时，y取得最小值1,故顶点坐标为(2,1),对称轴为x = 2,且抛物线开口向上，当XV 2时，y的值随x值的增大而减小，当x>2时，y的值随x值的增大而增大，故选项4,3的说法正确，C的说法错误：根据平移的规律，y = F的图象向右平移2个单位长度得到y = (x-2尸，再向上平移1个单位长度得到y = (x-2)2 + 1,故选项D的说法正确.故选C.10.【答案】D【解答】S 开口向下，E a < 0,@ 抛物线与y轴的正半轴相交，圄 c > 0,@ ?V0,故①正确：S 对称轴为尤=一1,当久=一1时，抛物线有最大值，一3距离一1有2个单位长度，寸距离一］有专个单位长度，@ y± > y2 *故②正确：S 对称轴％ = —— = —1.2aE b = 2a 9当兀=2时，y = 0,E 4a + 2b + c = 0,B 4a + 4a + c = 0,E c =—8a,E a —b + c = —9a,故③正确：@ 抛物线过(-4, 0)(2, 0),对称轴为x = —1,@ 设抛物线的解析式为y = a(x + 1尸+ k,将抛物线沿%轴向右平移一个单位后得出平移后的解析式y = ax2 + k,圄 c =—8a,E k =—9a,@ 将抛物线沿X轴向右平移一个单位后得到的新抛物线的表达式为y = a(x2 _ 9),故④ 正确：正确结论有①②③④：二、填空题(本题共计8小题，每题3分，共计24分)11.【答案】y = (% + 2尸 _ 4【解答】解：y = %2 + 4% = %2 + 4% + 4 - 4 = (% + 2)2 - 4,故y = (x + 2)2 -4.故答案为:y = (x + 2)2—4.12.【答案】【解答】解：y=x2-3x-l = (X-^2-^fE a = 1 > 0»S 函数有最小值，当x = l时，最小值为一寮故答案为：小，一字413・【答案】% < 一1 或％ > 2【解答】解:观察图象可知，抛物线与％轴两交点为(-1, 0), (2, 0), y <0,图象在x轴的下方. 故答案为：%< 一1或x>2.14.【答案】-1 (答案不唯一)【解答】解：抛物线y =x2-2bx=(x-b)2-b2的顶点坐标为(b,-b2),S抛物线的顶点在第三象限，S卩V0,IF < 0,・•・b <0,@ b的值可以为一1.故答案为：—1(答案不唯一).15.【答案】【解答】解：回二次函数的y = a* + bx + c的对称轴在y轴的右侧，S 对称轴x = - —> 0,2a@ a > b异号，即ab < 0.@ 该抛物线与y轴的交点是P(0, -2),圄 c = —2 V 0,S 点4(血，c)位于第三象限.故答案为：三.16.【答案】y=x2(答案不唯一)【解答】0 二次函数的图象开口向上，B a > 0,B 二次函数的图象过原点，E c = 0・故解析式满足a > 0, c = 0即可，如y=/・17.【答案】15_ — < m4【解答】由图象可得出：当x = -2时y > 0.E 4+ 2(m + 4) + 2m + 3 > 0,解得：m>--,4当咒=一1时y V 0,B l + m + 4 + 2m + 3<0,解得：mV—?旨m的取值范I韦I是：——< m < —4 318.【答案】①②⑤【解答】解：回抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右边，与y轴的交点在y轴的正半轴上, S QV0, -£=1>0, c>0,即b > 0,B a be < 0,故①正确：@ 抛物线与x轴的一个交点坐标是(3, 0),对称轴为直线x = 1，S 抛物线与％轴的另一个交点坐标是(-1, 0),S 方程ax2 + bx + c = 0的根为= -1, x2 = 3,故②匸确；把％ = —1代入抛物线得：a — b+c = O,故6)错误：S y= 3时，% = 0或2,0 当一lSxV 0 或2<x < 3114. 0 <y < 3,故④错误：冒 b =—2a,E % = —1 时，y = 0即a — b+c = O,E a — (—2a) + c = 0,@ 3a + c = 0,故⑤」匸确；E正确的说法有①②⑤.故答案为①②⑤.三、解答题(本题共计7小题，每题10分，共计70分)19.【答案】解：(1) y = x2 + 4x-2=仗 + 2)2-6,@ 二次函数的对称轴为：直线％ = —2,顶点坐标为；(一2, —6).(2) y=2x2 + 12%- 4 =2(%2 + 6%) _ 4=2(%+ 3严 _ 22,S 二次函数的对称轴为：直线％ = -3,顶点坐标为；(一3, —22).【解答】解:(1) y = x z + 4x-2=(% + 2)2-6,@ 二次函数的对称轴为：直线％ = —2,顶点坐标为：(一2, —6).(2) y=2x2 + 12%- 4 =2(%2 + 6%)-4=2(尤 + 3严一22,B 二次函数的对称轴为：直线％ = —3,顶点坐标为；(一3, —22).20.【答案】解：= 2x2 + 4% + 1整理得y = 2^2 + 4% + 1 = 2(% + 1)2-1.因为抛物线y = ax2+ bx + c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y = 2x2 + 4% + 1 = 2(x + l)2- 1,所以将y = 2x2 + 4x + 1 = 2(x + l)2- 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y = ax2 + bx +tty = ax2 + bx + c = 2(% + 1 - 2) - 1 + 1 = 2(% - 1) = 2x2 - 4% + 2,所以a = 2, b = —4, c = 2・【解答】解：将y = 2^2 + 4% + 1整理得y =2X2+4X+1=2(X + 1)2-1.因为抛物线y = ax2+bx + c向左平移2个单位，再向下平移1个单位得y = 2x2 + 4% + 1 =2(x + l)2- 1,所以将y = 2” + 4x + 1 = 2(% + l)2一1向右平移2个单位，再向上平移1个单位即得y = ax2 + bx + c,i^y = ax2 + hx + c = 2(% + 1 - 2) - 1 + 1 = 2(% - 1) = 2x2一4x + 2,所以a = 2, b = —4, c = 2・21.【答案】解：原式=(尤一|)2 +扌.囹(x-|)2>o.S 原式> 0恒成立；当x = |时，原式有最小值为右【解答】解：原式=(尤一》2 +扌.a (x-|)2>o.S 原式> 0恒成立：当% = 原式有最小值为22 422.【答案】解：在同一直角坐标系中作出作出二次函数y = —以，y = -0.5%2的图彖如下所示:(1)抛物线y = 的开口方向是向下，对称轴是y轴, 顶点坐标是(0, 0)：二次函数的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0)：(2 )在对称轴的左侧函数值随X的增大而增大.【解答】解：在同一直角坐标系中作出作出二次函数y = -x2, y = -0.5%2的图象如下所示：14 / 18(1)抛物线y = -求的开口方向是向下，对称轴是y轴,顶点坐标是(0, 0)；二次函数y =-|%2的开口方向是向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0, 0)：(2)在对称轴的左侧函数值随兀的增大而增大.23.【答案】解:(1)由题意得，｛篇二翼(3)抛物线如图如图所示；由图可知，x>—1时，y随X的增大而增大:(4)由图可知，当一2VxV 0时，y < 0.【解答】解：(1)由题意得，「役一:>:I加一4 = 0(2)□ 抛物线解析式为y = x2 + 2% = (x + I)2 - 1B 顶点坐标是(-1, -1):(2)回抛物线解析式>jy = X2+2X =(X + I)2 - 1S 顶点坐标是(-1, -1):(3)抛物线如图如图所示；由图可知，x>—1时，y随x的增大而增大：(4)由图可知，当一2VxV 0时，y < 0.24.【答案】卜“ =—2,(—2, 9)-2,大,9当XV—2时，函数y随着x的增大而增大，当x>—2时，函数y随着x的增大而减小. 故答案为：V-2、> -2.函数y= -|送的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到y = -|(x + 2严 + 9.【解答】抛物线的开口方向向下，对称轴为直线％= -2,顶点坐标为(-2, 9)：故答案为，下，x=-2, (-2, 9)；当尤=一2时，函数y有最大值，是9.故答案为-2,大，9；当XV—2时，函数y随着x的增大而增大，当x>—2时，函数y随着x的增大而减小. 故答案为：V-2、>-2.函^y=-|x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移9个单位即可得到y = -^(x + 2严 + 9.25.【答案】S 抛物线卩="2 + bx + c(a > 0)经过点A(0f -4)和8(2, 0).胃［ c = _4 l4a + 2b + c = 0 'B c = -4, 2a + b=2.由 1 可得：y=ax2 + (2-2a)x-4,对称轴为兀=一午竺，2aS抛物线在^4、B两点间从左到右上升，即y随X的增大而增大:①当a >0时，开口向上，对称轴在4点左侧或经过A点，解得：a> 1：②当a V0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点,2,解得：a >—1:B 1 < a < 0>综上，若抛物线在4和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为一ISaV 0或a > 1：①若m=n,则点M(p, m) > N(-2-pn)关于直线兀=一=^对称,p-2-p = _ 2-2am=—2p— 3 >圄M(p, m)在直线y =—2x — 3上，B n=2p + 1=—2(—2 — p + 2) + l=-2(-p -2)-3,圄N(—2一p f n)在直线y=—2咒一3上，即M、N是直线y = -2x - 3与抛物线y=a/ + (2 - 2a)x一4的交点, E p和一2 — p是方程a%? + (2 —2a)x一4=-2x一3的两个根，整理得a/ + (4 - 2a)x-1=0.E p + (—2 _ p) = _ 三二E a = l.【解答】E 抛物线卩="2 +必+ c(a > 0)经过点4(0, —4)和3(2, 0).冋( c = _4l4a + 2b + c = 0 ' @ c = -4, 2a + b=2. 由 1 可得：y = ax2 + (2-2a)x-4, 对称轴为咒=一芋，2aS 抛物线在>1、3两点间从左到右上升，即y随X的增大而增大:①当a >0时，开口向上，对称轴在4点左侧或经过A点，解得：a> 1；②当a V0时，开口向下，对称轴在B点右侧或经过B点,2,解得：a > —1:圄 1 < a < 0>综上，若抛物线征4和B两点间，从左到右上升，a的取值范围为-l<a V 0或a > 1：①若m=n,则点M(p f m)9 N(-2-pn)关于直线兀二一21^■对称, 叵p_2_p = _ 2-2a2 — 2a②回m=—2p— 3,@ M(p m)在直线y =—2咒—3上，0 n=2p + 1=—2(—2 — p + 2) + 1 =—2(—p — 2) — 3,S N(-2 - p f n)在直线y=—2尤一3上，即M、N是直线y = -2x - 3与抛物线y="? + (2 - 2a)x 一4的交点, B 卩和一2 — p是方程a%? + (2 —2d)x一4=-2x 一3的两个根，整理得a/ +(4 - 2a)x-1=0.@ p + (—2 _ p) = _ 三二E a = l.。

2.2二次函数的图像与性质一、选择题1 .抛物线y =( x —2) 2+3的顶点坐标是( ).A. (2,3)B. ( — 2,3)C. (2, -3)D. (—2, -3)2 .把抛物线y =— x 2向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为().A. y=—(x —1)2+3B. y=—(x +1) 2+3 C. y=—(x — 1) 2 -3 D. y = — ( x +1) 2 —33.已知二次函数y=— x 2+ bx + c 中函数y 与自变量x 之间的部分x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 )在函数的图象上,x 2 )怎样平移得到(14.已知抛物线y = ax 2 + bx + c （ a >0）的对称轴为直线 x =1,且经过点 （ － 1， y 1 ） ， （2 ， y 2 ） ，试比较 y 1 和 y 2 的大小： y 1__________________________________________________________________ y 2 （填“>” 或“="）.15. 二次函数的一般式为 _____________ ；若抛物线的顶点坐标为（ h ， k ），则可设该抛物线的顶点式为 _____________ ；若抛物线与 x 轴交于（ x 1 ， 0）、（ x 2 ， 0），则可设该抛物线的两点式为 ___________ .16. 抛物线 y=ax 2 +bx+c 的形状与 y=2x 2-4x-1 相同，对称轴平行于 y轴，且x=2时，y 有最大值-5，该抛物线关系式为 .对应值如下表所示，点A. 4. 0< x 1<1 y 1》y 若把函数象用E ( x, 2V x B.2<3时，y1与y2的大小关系正确的是(=x 的图象用E (2 x +1)表小，…，则C. y 1 < y 2D. y 1 < y 2)表示，函数y =2 x +1的图 x 2-2 x +1)可以由 E ( x ,A.向上平移1个单位B.向下平移 1个单位C.向左平移1个单位D.向右平移 1个单位5.下列抛物线中，开口最大的是(A. B. C . y = — x 2 D.6.抛物线的顶点坐标和对称轴分别是( )A.(1 , 2),直线x = 1B.(-1, 2),直线x = 一1C.( — 4, — 5),直线x = - 4D.(4 , — 5),直线x = 47.二次函数y = x 2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是( )A. y = x2 +3 B . y = x2—3D. y =( x — 3)8.已知函数y = —3 x 2+1的图象是抛物线，若该抛物线不动，把x轴向上平移两个单位，y 轴向左平移一个单位，则该函数在新的直角坐标系内的函数关系式为（）A. y = —3（ x +1） 2 +2B. y = — 3（ x —1）2—1C. y =3（ x +1）2+2D. y =3（ x — 1）2—29.在平面直角坐标系中，函数y=—乂+1与丫= （ x -1）2的图象大致是（）10.二次函数y = ax 2 + bx + c 中，b 2=ac,且x=0 时，y=—4，则（）A. y最大值——4 B . y最小值——4C-y最大值=—3 D . y最小值——3二、填空题11.将y =2 x 2—12 x —12变为y = a （x — m ）2 + n 的形式，则m n =.12.当x = ____________时，二次函数y = x 2 +2 x —2有最小值.13.抛物线y =2 x 2 - bx +3的对称轴是直线x =1,则b的值为三、解答题17.已知反比例函数的图象经过点(一1, —2).(1)求y与x的函数关系式；(2)若点(2, n )在这个图象上，求n的值.18.如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)(2) c>1; (3) 2a-b<0; (4) a+b+c<0b19.如图，已知C. 4个 D.k函数y=-A (a, mj)、B (2a, n)是反比例函数y= 一x(k>0)与一次4-x+b图象上的两个不同的交点，分别过A B两点作x轴的垂线,垂足分别为C、D,连结OA OB若已知1&a& 2,则求S .AB的取值范围. 久20.已知反比例函数和一次函数y=-x+a-1 (a为常数)(1)当a=5时，求反比例函数与一次函数的交点坐标(5分)(2)是否存在实数a,使反比例函数与一次函数有且只有一个交点，如果存在，求出实数a,如果不存在，说明理由(5分)答案解析部分(共有20道题的解析及答案)一、选择题1、A点拨：二次函数y = a (x— h )2 + k ( a w0)的顶点坐标是(h , k ).2、C点拨：抛物线y =— x 2向右平移1个单位，得到y = —( x — 1) 2,再下平移3个单位，得到y = —( X — 1) 2 -3.3、C点拨：由题中条件可知，该抛物线的对称轴是x =2,且开口向下，.•・当0<x 1 <1,2 < x 2<3 时，y 1 < y 2.4、D点拨：根据给出的新定义，E ( x , x 2 -2 x +1)为函数y = x 2 -2 x +1 的图象，E ( x , x 2 )为函数y = x 2的图象.因为y = x 2 -2 x +1 = ( x -1) 2,因此只要把函数y = x 2的图象向右平移1个单位就得到函数y = x 2 -2 x +1的图象.5、D点拨：抛物线y = ax 2 , | a |越小，抛物线的开口越大.6、D点拨：y = x 2 -4 x +3= ( x 2 -8 x )+3= ( x -4) 2 -5. 7、D点拨：抛物线左右平移横坐标变化，而纵坐标不变，平移规律是“左加右减”.8、B点拨：平移坐标轴相当于把图象反向平移.9、D点拨：一次函数y =— x +1中，b =1>0,交于y轴的正半轴，排除A B；二次函数的顶点坐标是(1 , 0),由此可作出判断.10、C点拨：y = ax 2 + bx + c 配方为，= b 2 = ac ,.当x =0 时，y = c ,即c =-4..< c <0, b 2>0, a <0. y 有最大值是一3.二、填空题11、―90点拨：将y =2 x 2 — 12 x —12进行配方，得y =2( x —3) 2—30,所以m =3, n = —30,所以m n = — 90.12、-1点拨：当x=—=一=—1时，二次函数y = x 2 +2 x —2有最小化13、4点拨：由于一=1,解得b =4.14、〉15、解析：一般情况下，若知道抛物线上的三点坐标，可设二次函数的一般式为丫=ax 2+bx+c；若知道顶点坐标(h, k)或对称轴x=h,可设顶点式y=a(x-h)2+k;若知道抛物线与x轴的两个交点坐标，可设两点式y=a(x-x 1 )(x-x 2 ),这样将比较简便.答案：y=ax 2+bx+c y=a(x-h) 2 +k y=a(x-x 1 )(x-x 2 )16、解析：两个抛物线形状相同，二次系数相同或互为相反数.这里a=-2,又对称轴为x=2, y有最大值-5,即抛物线y=ax 2+bx+c与y=2x 2 -4x-1形状相同，a=± 2.又•••二次函数有最大值，... a=-2.y=-2(x-2) 2 -5=-2(x 2 -4x+4)-5=-2x 2+8x-13.故解析式为y=-2(x-2) 2-5.答案：y=-2(x-2) 2 -5三、解答题17、(1) (2)18、【答案】A【解析】解：观察图像：函数与x轴有两个交点，所以(1) 正确;函数与y 轴的交点的纵坐标在0到1之间，所以0<c<1,故（2） c>1错误；由 函数的对称轴X =-±A -1,而 80,所以 士Y1力尸242”10,所以 ⑶2a —b<0正确；当 工二1时，函数y 的值为T = a+i+C ,观察图像可知:。

二次函数的图象与性质（解答题专项练习卷）北师大新版数学九年级下册1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（2，4），抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于C，D两点，且BC＝BD．（1）确定直线AB的函数解析式；（2）求b的值；（3）连接OB，当抛物线y＝x2+bx+c与线段OB，AB同时有交点时，请结合函数图象说明c的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4ax+3（a≠0）．（1）抛物线的对称轴为x＝；（2）当a＞0时，若在抛物线上有两点（﹣4，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向左平移2个单位得到点B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．3．已知抛物线C1：y＝（x+2）2﹣1，抛物线C1，的顶点为A，与y轴的交点为B．（1）点A的坐标是，点B的坐标是；（2）在平面直角坐标系中画出C1的图象（不必列表）；（3）将抛物线C1向下平移3个单位，向右平移2个单位后得到抛物线C2，画出平移后的抛物线C2并写出抛物线C2的解析式．4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（，n），交y轴于点A．（1）求a，b满足的关系式；（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称，求a的取值范围．5．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“GY点”，顶点是“GY点”的二次函数为“GY函数”（1）若点（r2+1，﹣2r）是“GY点”，则r＝；（2）已知某“GY函数“的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“GY函数”的解析式；（3）对于“GY函数”y＝x2﹣4x+c，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好﹣n≤y≤﹣m，求m，n的值．6．阅读材料：二次函数的应用小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由．81×89，82×88，83×87，…，87×83，88×82，89×81．小明结合已学知识做了如下尝试：设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），根据题意，得：y＝（80+x）[80+（10﹣x）]＝（80+x）（90﹣x）＝﹣（x+80）（x﹣90）．…（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大，并求出这个最大的积；（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．701×799，702×798，703×797，…，797×703，798×702，799×701．7．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明根据已学的函数知识对函数y1＝的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…420a42b﹣4…（1）表中a＝，b＝；（2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系描点画出函数图象；并根据函数图象写出该函数的一条性质；（3）已知直线y2＝x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．8．已知抛物线y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．（1）请用含n的代数式表示c；（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值；②求证：无论k为何值时，k1•k2的值不变．9．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…a﹣2﹣4b﹣4﹣2﹣…（1）根据列表，写出表中a，b的值：a＝，b＝；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数的图象关于y轴对称；；②当x＝0时，函数有最小值，最小值为﹣6；；③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．10．已知抛物线y＝（x﹣2）（x﹣b），其中b＞2，该抛物线与y轴交于点A．（1）若点（b，0）在该抛物线上，求b的值；（2）过点A作平行于x轴的直线l，记抛物线在直线l与x轴之间的部分（含端点）为图象L．点M，N在直线l上，点P，Q在图象L上，且P在抛物线对称轴的左侧．设点P的横坐标为m，是否存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为m+1的正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，设抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点为A．直线y ＝kx（k＞0）与抛物线y＝x2﹣2bx﹣4交于A，B两点OA＝OB．（1）求k，b的值；（2）若点P在线段OB上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为C，PC的延长线交抛物线y＝x2﹣2bx﹣4于点D，求线段PD+OC的最大值．12．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．（1）a＝；（2）若抛物线的顶点为P，直线y＝9与抛物线交于两点G、H，求△PGH的面积；（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝4（x﹣1）2交于点C，D，则线段AB与线段CD的长度之比为．13．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．（1）求a、h的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．15．已知y关于x的函数y＝x2﹣2mx+2m+4，点P为抛物线顶点．（1）当P点最高时，求m的值；（2）在（1）的条件下，当a﹣3≤x≤a时，函数有最小值为9，求a的值．16．已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1和一次函数y＝ax+a﹣1．（1）求证：二次函数图象的顶点必在一次函数y＝ax+a﹣1的图象上；（2）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标（用含a的代数式表示）；（3）已知0＜a≤2，直线x＝m交二次函数的图象于点M，交一次函数的图象于点N，当﹣1≤m≤0时，求证：0≤MN≤．17．二次函数y＝（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣2m+4．（1）求该二次函数图象的对称轴；（2）若图象过点A（﹣2，n），且﹣4＜m＜3，求mn的取值范围；（3）若点P（x1，y1），Q（2，y2）在该二次函数图象上，且y1≤y2，求x1的取值范围．18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）与y轴交于点A．（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；（2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值；（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．（1）求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．（2）已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．20．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．（1）求该二次函数图象的对称轴；（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m、n的大小；（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．。

九年级中考数学第一轮复习：二次函数的图像及其性质一、选择题1. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝cx的图象可能是( )2. 若二次函数y=ax 2+bx+c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是 ( )A.x<-4或x>2B.-4≤x ≤2C.x ≤-4或x ≥2D.-4<x<23. 要将抛物线y ＝x 2＋2x ＋3平移后得到抛物线y ＝x 2，下列平移方法正确的是( ) A. 向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B. 向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C. 向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位4. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，自变量x 与函数y 的对应值如下表：x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y…4－2－24…下列说法正确的是( ) A. 抛物线的开口向下B. 当x>－3时，y 随x 的增大而增大C. 二次函数的最小值是－2D. 抛物线的对称轴是x ＝－525. 已知直线y ＝bx －c 与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一直角坐标系中的图象可能是( )6. 已知函数y ＝ax 2－2ax －1(a 是常数，a ≠0)，下列结论正确的是( ) A. 当a ＝1时，函数图象过点(－1，1) B. 当a ＝－2时，函数图象与x 轴没有交点 C. 若a ＞0，则当x ≥1时，y 随x 的增大而减小D. 若a ＜0，则当x ≤1时，y 随x 的增大而增大7. 二次函数y ＝2x 2－3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是( ) A. 抛物线开口向下 B. 抛物线经过点(2，3)C. 抛物线的对称轴是直线x ＝1D. 抛物线与x 轴有两个交点8. 若抛物线y ＝x 2－2x ＋3不动，将平面直角坐标系．．．．．．．．xOy 先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线图象的解析式应变为( )A. y ＝(x －2)2＋3B. y ＝(x －2)2＋5C. y ＝x 2－1D. y ＝x 2＋49. 设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是实数，且a<0)的图象的对称轴，( ) A. 若m>1，则(m －1)a ＋b>0 B. 若m>1，则(m －1)a ＋b<0 C. 若m<1，则(m ＋1)a ＋b>0 D. 若m<1，则(m ＋1)a ＋b<010. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(b ＞a ＞0)与x 轴最多有一个交点．现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴在y 轴左侧；②关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＋2＝0无实数根；③a －b ＋c ≥0；④a ＋b ＋c b －a的最小值为3.其中，正确结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m ＋n 的值为( ) A. 52 B. 2 C. 32 D. 1212. 如图，边长为2的等边△ABC 和边长为1的等边△A ′B ′C ′，它们的边B ′C ′，BC 位于同一条直线l 上，开始时，点C ′与B 重合，△ABC 固定不动，然后把△A ′B ′C ′自左向右沿直线l 平移，移出△ABC 外(点B ′与C 重合)停止，设△A ′B ′C ′平移的距离为x ，两个三角形重合部分的面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题13. 经过A(4，0)，B(-2，0)，C(0，3)三点的抛物线解析式是_____________.14. 已知函数y ＝－x 2－2x ，当________时，函数值y 随x 的增大而增大．15. 某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为________ m 2.16. 若方程(x －m)(x －n)＝3(m ，n 为常数，且m ＜n)的两实数根分别为a 、b(a ＜b)，则m 、n 、a 、b 的大小关系为______________．17. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a－2b＋c的值为________．18. 已知函数y=的图象如图所示，若直线y=x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为.19. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．20. 如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)和B(3，2)，不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集为____________．三、解答题21. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y ＝a(x－4)2＋h.已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.(1)当a＝－124时，①求h的值，②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为125m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B 、C)部分有两个交点，求b 的取值范围．23. 如图，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°． （1）求这条抛物线的表达式； （2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25. 已知二次函数y ＝ax 2－2ax ＋c(a>0)的图象与x 轴的负半轴和正半轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，它的顶点为P ，直线CP 与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点D ，且CP ∶PD ＝2∶3.(1)求A 、B 两点的坐标；(2)若tan ∠PDB ＝54，求这个二次函数的关系式．26. 如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点P 是直线BC 下方抛物线上的一动点，求△BCP 面积的最大值；（3）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．27. 综合与探究在平面直角坐标系中，抛物线y x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为，点M的坐标为，cos∠ABO＝；连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为；（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。