福建省漳州市第八中学2019_2020学年高二数学上学期期中试题

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m 的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P 到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题(共10小题,每小题4.0分,共40分)1.在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，，则公比q为（）A. 2B. 3C. 4D. 8【答案】A【解析】，选A.2.已知数列的前项和，则等于( )A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意得，即可得数列的通项公式.【详解】当时，，当时，由，得，验证当时，满足上式.故数列的通项公式.故选：D.【点睛】本题考查数列的求和公式和通项公式的关系，属于基础题.3.在数列中，，则等于( )A. 2 013B. 2 012C. 2 011D. 2 010【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的定义推知数列的首项是，公差是的等差数列，即可得到通项公式并解答．【详解】由，得，又，数列是首项，公差的等差数列，等差数列的通项公式，故.故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式的应用，属于基础题.4.如果a＜b＜0，那么( )．A a－b＞0 B. ac＜bc C. ＞ D. a2＜b2【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.详解】根据题意，由于a＜b＜0，则a－b<0 故A错误，对于c=0时则不等式ac＜bc不成立，故B错误对于＞符合倒数性质可知，故C成立，对于a2＜b2，a=-3,b=-2故D错误，故答案为C.考点：不等式的性质点评：主要是考查了不等式的性质的运用，属于基础题．5.不等式的解集为（）A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：，，即，或．故选D．考点：一元二次不等式的解法．6.若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为( )A. 1B. －1C. －3D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，再根据f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，求得f（x）的最小值，可得 m的最大值．【详解】解：由已知可关于x的不等式x2﹣4x﹣m≥0对任意x∈（0，1]恒成立，可得m≤x2﹣4x对一切x∈（0，1]恒成立，又f（x）＝x2﹣4x在（0，1]上为减函数，∴f（x）min＝f（1）＝﹣3，∴m≤﹣3，即 m的最大值为﹣3，故选C．【点睛】本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，函数的恒成立问题，属于中档题．7.直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题可知：直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，因此，故，又因为在椭圆中有，故，因此．考点：椭圆离心率的求法8.平面上到点距离之和为10的点的轨迹是( )A. 椭圆B. 圆C. 线段D. 轨迹不存【答案】C【解析】【分析】由点，先求出，由此能求出平面上到点距离之和为的点的轨迹．【详解】由点，得，平面上到点距离之和为的点的轨迹是线段.故选：C.【点睛】本题考查点的轨迹的求法，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用，属于基础题.9.设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线的焦点的距离是 ( )A. 6B. 4C. 8D. 12【答案】A【解析】试题分析：由抛物线知，点P到y轴的距离是4，那么P到抛物线准线距离为6，又由抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”，所以点P到该抛物线的焦点的距离是6，故选A．考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质．点评：简单题，涉及抛物线上的到焦点距离问题，一般要考虑应用抛物线定义“到准线距离与到焦点距离相等”．10.下列命题中为真命题的是（）A. 若B. 命题：若，则或的逆否命题为：若且，则C. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件D. 若命题，则【答案】B【解析】分析：对四个命题，分别进行判断，即可得出结论．详解：对于A，，利用基本不等式，可得，故不正确；对于B，命题：若，则或的逆否命题为：若且，则，正确；对于C，“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故不正确；对于D，命题命题，则，故不正确．故选B．点睛：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，属基础题．二、填空题(共10小题,每小题5.0分,共50分)11.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】【详解】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．12.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m=____.【答案】【解析】【分析】把两点坐标代入曲线方程后再解方程组可得．【详解】由题意，解得．【点睛】本题考查曲线的方程与方程的曲线的概念．点在曲线即点的坐标是曲线方程的解，若点的坐标不是曲线方程的解，则该点不在曲线上．13.已知集合，，则“”是“”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)【答案】充分不必要【解析】【分析】化简集合，化简条件，判断前者能否推出后者；后者能否推出前者，利用条件的定义判断出条件．【详解】，，若，则，即等价于“”，由“”能推出“”，但“”不能推出“”，故“”是的充分不必要条件.故答案：充分不必要.【点睛】本题考查绝对值不等式解法、利用充分必要条件的定义判断条件问题，属于基础题．14.已知直线与抛物线相切，则【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，对求导，利用切点在抛物线上，切点在切线上，导数的几何意义列方程求的值.【详解】解：直线与抛物线相切，切点为由已知，则有，解得.故答案为：15.直线与曲线相交于两点，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．【答案】【解析】【分析】首先根据题意直线：与曲线相交于两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果．【详解】曲线的渐近线方程为：，由直线与曲线相交于两点，直线的斜率或，即又直线的斜率存在，即倾斜角，故直线的倾斜角的取值范围是.故答案：.【点睛】本题考查直线与双曲线的关系，直线的斜率和渐近线的斜率的关系，属于基础题.三、解答题(共5小题,共40分)16.等比数列中，已知.（1）求数列的通项公式；（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据求得公比利用等比数列的通项公式即可求得；（2）根据的通项公式求得即得等差数列的第项和第项，解方程组求出等差数列的首项和公差，即可得到数列的通项公式.试题解析：（1）设的公比为, 由已知得，解得，所以（2）由（1）得，，则，设的公差为，则有，解得从而.考点：等差、等比数列的通项公式.17.已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，解得，故数列{an}的通项公式为an＝2－n.(2)设数列的前n项和为Sn，∵，∴Sn＝－记Tn＝，①则Tn＝，②①－②得：Tn＝1＋，∴Tn＝－，即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.18.(1)若，求函数的最小值，并求此时的值；(2)已知，且＋＝1，求的最小值．【答案】(1)4,(2)16【解析】【分析】（1）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，于是问题得解；（2）由于，利用基本不等式可得，满足等号成立的条件，问题得解.【详解】（1），，当且仅当，即时取等号.的最小值为，此时.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题考查基本不等式，关键是分析等号成立的条件，属于基础题．19.已知抛物线C的方程C：y2=2p x（p＞0）过点A（1，-2）.（I）求抛物线C的方程，并求其准线方程；（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【答案】（I）抛物线C的方程为，其准线方程为（II）符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求抛物线标准方程，一般利用待定系数法，只需一个独立条件确定p的值：（－2）2＝2p·1，所以p＝2．再由抛物线方程确定其准线方程：，（Ⅱ）由题意设：，先由直线OA与的距离等于根据两条平行线距离公式得：解得，再根据直线与抛物线C有公共点确定试题解析：解（1）将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2）2＝2p·1，所以p＝2．故所求的抛物线C的方程为其准线方程为．（2）假设存在符合题意的直线，其方程为．由得．因为直线与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8t≥0，解得．另一方面，由直线OA到的距离可得，解得．因为－1∉[－，＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线存在，其方程为．考点：抛物线方程，直线与抛物线位置关系【名师点睛】求抛物线的标准方程的方法及流程（1）方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．（2）流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．提醒：求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2=mx或x2=my（m≠0）．20.已知椭圆和点，直线经过点且与椭圆交于两点．当点恰好为线段的中点时，求的方程．【答案】【解析】【分析】运用点差法，求得直线斜率，利用点斜式即可得到直线方程．【详解】由题意得，知点椭圆内，设，则······①······②因恰为线段的中点，即，由①②作差得，，直线的方程为，即.【点睛】本题考查弦长和直线方程的求法，注意运用联立方程和点差法的运用，考查运算能力，属于中档题.。

福建省漳州市2019-2020年度高二上学期期中数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·临泽期末) 设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）下列命题中，是真命题的是（）A . ∃x0∈R，ex0≤0B . ∀x∈R，2x＞x2C . 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是 =﹣1D . 已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3. （2分） (2019高二上·四川期中) 若圆：与圆：外切，则正数的值是（）A . 2B . 3C . 4D . 64. （2分） (2020高二下·化州月考) 已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（）A .B .C .D .5. （2分）如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为（）A . 3：1B . 2：1C . 1：1D . 1：26. （2分）已知M={（x，y）|y=，y≠0}，N={（x，y）|y=x+b}且M∩N≠∅，则实数b的取值范围是（）A . [﹣3， 3]B . [﹣3.3]C . [﹣3，﹣3）D . （﹣3，3]7. （2分） (2018高二上·武邑月考) 下列四个结论中不正确的是（）A . 经过定点P1(x1 ， y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示B . 经过任意不同两点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示C . 不过原点的直线都可以用方程表示D . 经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示8. （2分） (2017高一上·深圳期末) 已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A . 4B . 3C . 2D . 19. （2分） (2020高二下·杭州期末) 若圆 x2+y2+mx-=0与直线相切，则（）A .B .C .D .10. （2分）若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为（）A . －1B . 5C . －1或5D . －3或311. （2分）设圆（x－3）2＋（y＋5）2＝r2（r>0）上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A . 3<r<5B . 4<r<6C . r>4D . r>512. （2分）(2019·定远模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中的小正方形的边长为1，则该几何体外接球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·宜昌期中) 过点（2，1）且与直线x+3y+4=0垂直的直线方程为________．14. （1分） (2016高一上·广东期末) 如图所示几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．15. （1分）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=9，过圆内一点P（2，3）作弦，则最短弦长为________16. （1分） (2017高一下·惠来期中) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=CD=1，P是AB的中点，则 =________．三、解答题 (共6题；共57分)17. （2分）根据所学知识完成填空：（1）已知| |=3，| |=2．若• =﹣3，则与夹角的大小为________．（2）已知 =（m﹣2，﹣3）， =（﹣1，m），若∥ ，则m=________．18. （10分） (2016高一上·金华期中) 若二次函数满足f（x+1）﹣f（x）=2x且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间[﹣1，1]上不等式f（x）＞2x+m恒成立，求实数m的取值范围．19. （15分）在三棱锥S﹣ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5 ．（1）证明：SC⊥BC；（2）求三棱锥的体积VS﹣ABC ．（3）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小．20. （10分） (2016高二上·嘉兴期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥面ABCD，PA=AD=2，∠ABC=60°，E为PD中点．（1）求证：PB∥平面ACE；（2）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．21. （10分） (2020高一下·牡丹江期末) 如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面 .（1）求证：平面；（2）若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积.22. （10分） (2020高二下·广东月考) 已知动圆C的圆心为点C，圆C过点且与被直线截得弦长为．不过原点O 的直线l与点C的轨迹交于两点，且．（1）求点C的轨迹方程；（2）求三角形面积的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共57分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

漳州八中2019-2020学年上学期期中考试高二数学试卷（全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟）一、选择题：（共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1. 已知曲线方程为221169x y +=，P 为曲线上任意一点，,A B 为曲线的焦点，则 A. 16PA PB += B. 8PA PB += C. 16PA PB -= D. 8PA PB -=2. 抛物线24y x =的焦点坐标是A.（0,1）B. （1,0）C. (0，116)D.（116，0）3．2017年3月2日至16日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为12,x x ，中位数分别为12,y y ，则A ．12x x >，12y y >B ．12x x >，12y y =C ．12x x <，12y y =D ．12x x <，12y y <4. 双曲线22143x y -=的渐近线方程为A.2y x =?B.34y x =?C.3y x =?D.43y x =? 5．下列对一组数据的分析，不正确的说法是A 、数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定B 、数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定C 、数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定D 、数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定6. “0>>n m ”是“方程221x y n m+=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要7. 过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若126x x +=，则AB 的值为A.10B.8C.6D.48.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是A ．恰有一个红球与恰有二个红球B ．至少有一个红球与都是白球C ．至少有一个红球与至少有一个白球D ．至少有一个红球与都是红球9..过点()2,1A -的直线与抛物线x y 42=相交于,C D 两点，若A 为CD 中点，则直线的方程是A. 02=+y xB. 042=--y xC. 032=-+y xD.053=-+y x10.古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己 知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l ）取线段2AB =，过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取12BC AB =，连接AC ；（2）以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ；（3）以A 为圆心，以AD 为半径画弧，交AB 于点E ．则点E 即为线段AB 的黄金分割点．若在线段AB 上随机取一点F ，则使得BE AF AE ≤≤的概率约为 2.236≈）A ．0.618 B. 0.472 C ．0.382 D ．0.23611.已知双曲线14222=-by x 的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A ．B ．C ．3D ．512.已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于B A ,两点．若F =1，021=⋅F F ，则C 的离心率为 A. 3 B. 13+ C. 34 D . 2二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．设命题2:,2np n N n ∃∈>,则:p ⌝为______ .14．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F ，则△21PF F 的面积为 ； 15.过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线和双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围为16.以下四个关于圆锥曲线的命题: （1）直角坐标系内,到点()1,2-和到直线2340x y +-=距离相等的点的轨迹是抛物线;（2）设,A B 为两个定点，若2PA PB -=，则动点P 的轨迹为双曲线；（3）方程22520x x -+=的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；（4）若直线4mx ny +=和22:4O x y +=没有交点,则过点(),P m n 的直线与椭圆22194x y +=的交点个数为2.其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号) 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知命题()0)2(3:<+-x x p ，命题05:>-x q ，若命题q p ∨为真命题，命题q p ∧为假命题，求实数x 的取值范围．18. （本小题满分12分）某地区有小学21所，中学14所，大学7所.现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校，对学生进行视力检查.(Ⅰ) 求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(Ⅱ) 若从抽取的6所学校中随即抽取2所学校作进一步数据分析：①列出所有可能抽取的结果；②求抽取的2所学校没有大学的概率.19.（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点为)0,1(F ，且椭圆上的点到点F 的最大距离为3，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过右焦点F 倾斜角为︒60的直线与椭圆交于M 、N 两点，求弦长MN20. (本小题满分12分)某市政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过12吨时，按4元/吨计算水费；若用水量超过12吨且不超过14吨时，超过12吨部分按6.60元/吨计算水费；若用水量超过14吨时，超过14吨部分按7.80元/吨计算水费．为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照[]0,2，(2,4]，…，(]14,16分成8组，制成了如图1所示的频率分布直方图.（图1） （图2）（Ⅰ）试估计100户居民用水价格的平均数和中位数；（Ⅱ）如图2是该市居民李某2017年1～6月份的月用水费y (元)与月份x 的散点图，其拟合的线性回归方程是233y x =+. 若李某2017年1～7月份水费总支出为294.6元，试估计李某7月份的水费．21. (本小题满分12分)已知抛物线C 的准线方程为41-=x . (Ⅰ)求抛物线C 的标准方程；(Ⅱ) 若过点)0,(t P 的直线l 与抛物线C 相交于、B A 两点，且以AB 为直径的圆过原点O ，求证t 为常数，并求出此常数。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题.14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【答案】3.【解析】【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）求出所有男生打卡天数总和再除以男生人数即平均打卡天数；（2）打卡21天的小朋友中男生2人，女生3人，任选2人交流心得，求出基本事件总数和选到男生和女生各1人所包含的基本事件个数即可求解概率.【详解】（1）男生平均打卡的天数.（2）男生打卡21天的2人记为，，女生打卡21天的3人记为，，，则从打卡21天的小朋友中任选2人的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中男生和女生各1人的情况有，，，，，，共6种.故所求概率.【点睛】此题考查求平均数和古典概率，关键在于准确求出打卡天数总和以及根据计数原理求出基本事件个数.18.求分别满足下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点坐标为和，P为椭圆上的一点，且；（2）离心率是，长轴长与短轴长之差为2.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标为和，得知，再由，根据椭圆的定义，得到，然后由求解即可..（2）根据和求解，注意两种情况.【详解】（1）因为焦点坐标为和，所以.因为，所以，即所以.故所求椭圆的标准方程为.（2）由题意可得解得，解得，.故所求椭圆标准方程为或.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知集合A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}．（1）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围；（2）对任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）[3，+∞）；（2）（-∞，4].【解析】【分析】（1）根据“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即可得出a满足的条件．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，只要，即可得出．【详解】解：（1）A={x|1-a≤x≤1+a}（a＞0），B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，即B⫋A，所以，或，所以，，或，所以a≥3．所以，实数a的取值范围是[3，+∞）．（2）要使任意x∈B，不等式x2-mx+4≥0都成立，又B={x|x2-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．由x2-mx+4≥0，得，则只要，又，当且仅当，即x=2时等号成立．实数m的取值范围（-∞，4]．【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．20.已知椭圆：的离心率为，且经过点，为椭圆的左焦点.直线：与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用离心率和过点联立方程组计算得到答案.（2）点到直线的距离，，再利用面积公式计算得到答案.【详解】（1）由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为.（2）因为为椭圆的左焦点，所以的坐标为，则点到直线的距离.联立，整理得，则，，，，从而故的面积为.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，三角形的面积，意在考查学生的计算能力.21.某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位：人）：（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人对校食堂饭菜质量都满意的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满意所包含的基本事件个数，即可得到概率.【详解】（1）由题意得该校学生总人数为人，则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率.（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为，，，；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取人，设为，.从这6人中任意选取2人的所有基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15种.设表示事件“两人都满意”，则事件包含的基本事件有，，，，，，共6种.故所求概率【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，考查概率与统计知识的综合应用.22.已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，且上的动点到的距离的最大值为4，最小值为2.（1）证明：.（2）若直线：与相交于，两点（，均不与，重合），且，试问是否经过定点？若经过，求出此定点坐标；若不经过，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据题意，可得，即可解得椭圆的标准方程，设，表示出，，利用坐标法表示，由，即可证明；（2）联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理可得根与系数的关系，由，运用坐标相乘可得，解出与的关系，进行判断即可得出结论.【详解】解：（1）证明：由题意可得，解得，则，故的方程为.设，则.∵，，∴，∵，∴.（2）解：设，，联立，得，则，即，且，，∴.∵，，∴，，即，所以或.当时，直线为，此时过定点，不合题意；当时，直线为，此时直线过定点.【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，联立方程运用韦达定理根据题意判断直线是否恒过定点问题，属于较难题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教A版必修3第三章；选修2-1第一章，第二章第一、二节.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】全称命题的否定对应特称命题，对照选项即可选出.【详解】解：全称命题“，”否定是特称命题“，”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.2.椭圆：的右焦点为，点是椭圆上的动点，则的最大值是（）A. 2B. 3C. 4D. 6【答案】D【解析】【分析】求出椭圆的，利用椭圆的性质推出结果即可.【详解】解：由题意可得，，则.所以的最大值是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为，这说明明天本地有的区域下雨C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生.【详解】解：对于A，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B，这是一个随机事件，明天本地降水概率为表示明天有的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C，正确；对于D，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误.故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题.4.若椭圆上的一点到其左焦点的距离是6，则点到其右焦点的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D【解析】【分析】根据题意，由椭圆标准方程可得的值，结合椭圆的定义，可得点到其右焦点的距离【详解】解：由椭圆的方程可知，点到两个焦点的距离之和为.因为点到其左焦点的距离是6，所以点到其右焦点的距离是.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何意义，注意利用椭圆的定义分析，是基本知识的考查.5.从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A. “至少一个红球”与“至少一个黄球”B. “至多一个红球”与“都是红球”C. “都是红球”与“都是黄球”D. “至少一个红球”与“至多一个黄球”【答案】B【解析】【分析】A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.【详解】从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.故选：B【点睛】此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.6.已知椭圆：，直线与椭圆交于，两点.若线段的中点的坐标为，则直线的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，，代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可得到直线的斜率.【详解】解：设，，则，.因为，都在椭圆上，所以，即，整理得，故直线的斜率是.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的中点弦所在直线的斜率，注意运用点差法，考查运算能力，属于中档题.7.从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数是大于20的偶数的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有16个，其中大于20的偶数有6个，即可求出两位数是大于20的偶数的概率.【详解】解：从数字0，1，2，3，4中任取两个不同的数字构成一个两位数有：10，12，13，14，20，21，23，24，30，31，32，34，40，41，42，43，共16个，其中大于20的偶数有24，30，32，34，40，42，共6个，故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.8.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是（）A. B. C. 8 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出的三边长，利用余弦定理求出，即可得值，故可得的面积，由对称性可知的面积.【详解】解：由题意可得，，则，.因为，所以，，所以，则，故的面积是，由对称性可知的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.9.从5个同类产品（其中3个正品，2个次品）中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是（）A. 2个都是正品B. 恰有1个是正品C. 至少有1个正品D. 至多有1个正品【答案】C【解析】【分析】由5个产品中3个正品2个次品的分布，5个中产品任取2个有10种取法，取2个次品只有一种取法，概率为，那么其对立事件的概率就是．从而得到结论．【详解】易得两个都是次品的概率是，故发生概率为的事件是“两个都是次品”的对立事件，即“至少有1个正品”故选：C.【点睛】本题考查古典概型，由概率求事件，因此可从最简单的情况入手，利用对立事件的概率公式求得结论．10.给出下列四个命题：①，；②当时，，；③成立的充要条件是；④“”是“”的必要不充分条件.其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】利用判定①正确；利用判别式法判定②正确；举例说明③错误；由，在求解一元二次不等式，结合充分必要条件得判定说明④正确.【详解】解：对于①，由于，所以①正确；对于②，由于，所以，所以方程有实数根，故②正确；对于③，由，得，整理得，所以，故③错误；对于④，因为，所以等价于，由，可得，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查充分必要条件的判定，属于中档题.11.不等式对恒成立的充要条件，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设，不等式对恒成立等价于，即可求出答案.【详解】解：设，不等式对恒成立等价于，因为在上的最小值为，所以.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数恒成立问题求参数取值范围，属于中档题.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则该椭圆的离心率不可能是（）A. B. C. 0.6 D.【答案】A【解析】【分析】设，由椭圆的定义得，结合得，借助椭圆的范围得，代入解不等式组即可得出结论．【详解】设．因为点在椭圆上，所以，所以．因为，所以，解得．由题意可知，即．由，可得，即显然成立．由，可得，则，解得，因为，所以，符合条件的只有A选项，故选：A．【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率的范围，属于中档题．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______.【答案】.【解析】【分析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，根据椭圆性质列出不等式组，解出即可.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查根据椭圆的标准方程，根据所在焦点求参数取值范围问题，属于基础题. 14.抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数为偶数”，则________.【答案】【解析】【分析】分别求出事件发生的概率，再根据事件A与事件B互斥，由互斥事件概率关系，即可求解.【详解】由题意可得，，事件A与事件B互斥，则.故答案为:.【点睛】本题考查互斥事件并事件发生的概率，解题的关键判断出事件间的关系，属于基础题.15.若点是椭圆：上的动点，则点到直线：的距离的最小值是______.【答案】【解析】【分析】设直线：，根据直线和椭圆相切得到，当时两直线之间的距离即为所求.【详解】设直线：，联立，整理得，则，解得.当时，直线与直线之间的距离即点到直线的最小距离是.故答案为：【点睛】本题考查了椭圆到直线的距离最值问题，计算切线是解题的关键，本题也可以利用参数方程法计算.16.已知甲袋中有个黑球和个白球，现随机地从甲袋中取出2个球，事件为“取出的2个球至少有1个白球”，事件为”取出的2个球都是黑球”，记事件的概率为，事件的概率为.当取得最小值时，的最小值是______.【分析】根据题意可知，运用基本不等式求出与的值，进而得与的值，即可得出答案.【详解】解：由题意可得，则，当且仅当时，取等号，此时的值最小.故，，从而的最小值是2，的最小值是1，故的最小值是3.故答案为：3.【点睛】本题考查概率有关问题，结合基本不等式求最值问题，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某幼儿园举办“yue”主题系列活动——“悦”动越健康亲子运动打卡活动，为了解小朋友坚持打卡的情况，对该幼儿园所有小朋友进行了调查，调查结果如下表：（1）根据上表数据，求该幼儿园男生平均打卡的天数；（2）若从打卡21天的小朋友中任选2人交流心得，求选到男生和女生各1人的概率.【答案】（1）；（2）。

福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（四）（考试时间120分钟满分150分）一.单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．在△ABC中，a2﹣b2﹣c2﹣bc=0，则A等于（）A．60°B．45°C．120° D．30°2．等差数列{a n}中，S10=120，那么a2+a9的值是（）A．12 B．24 C．16 D．483．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=2，B=，则c边长为（）A．2 B．C．D．4．若a＞b，c＞d，则下列不等关系中不一定成立的是（）A．a﹣b＞d﹣c B．a+d＞b+c C．a﹣c＞b﹣c D．a﹣c＜a﹣d5．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值是（）A．﹣6 B．5 C．38 D．﹣107．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则此三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角或等腰三角形8．若数列{a n}的通项公式是a n=（﹣1）n（3n﹣2），则a1+a2+…+a20=（）A．30 B．29 C．﹣30 D．﹣299．已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4 C．D．510．已知等差数列{a n}的公差d＜0，若a4a6=24，a2+a8=10，则该数列的前n项和S n的最大值为（）A．50 B．45 C．40 D．3511．若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A．＞B．+≤1 C．≥2 D．≤12．对于函数y=f（x）（x∈I），y=g（x）（x∈I），若对于任意x∈I，存在x0，使得f（x）≥f（x0），g（x）≥g（x0）且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”．已知函数是定义在区间上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间上的最大值为（）A．B．2 C．4 D．二.填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）13．在△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，则△ABC的面积等于．14．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前200项和为．15．记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．16．若正数a，b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是．17．已知，令T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，类比教材中求等比数列的前n项和的方法，可得3T n﹣2n a n=．三、解答题（本题共6小题，共70分）18．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．19．如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20．数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+a n=﹣n+1（n∈N*）（1）设b n=a n+n，证明：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=，a+c=4，求△ABC的面积．22．某小区要将如图所示的一块三角形边角地修建成花圃．根据建造规划，要求横穿花圃的直线灌溉水道DE恰好把花圃分成面积相等的两部分（其中D在边AB上，E在边AC上）已知AB=AC=2a，∠BAC=120°（1）设AD=x，DE=y，试求y关于x的函数y=f（x）（解析式和定义域）；（2）为使得灌溉水道DE的建设费用最少，试确定点D的具体位置．23．200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，…，100的“对称”特征，给出了计算1+2+3+…+100的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前n项和公式的过程．实事上，高斯算法的依据是：若函数f（x）（x∈D）的图象关于点P（h，k）对称，则f（x）+f（2h﹣x）=2k对x∈D恒成立．已知函数h（x）=的图象过点．（1）求a的值；（2）化简；（3）设，b n=，记数列{b n}的前n项和为T n，若T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．参考答案一.单项选择题1．C．2．B．3．B．4．B 5．A．6．A．7．D．8．A．9．C 10．B 11．D．12．B．二.填空题13．解：∵△ABC中，A=60°，AC=4，BC=2，由正弦定理得：，∴，解得sinB=1，∴B=90°，C=30°，∴△ABC的面积=．故答案为：．14．解：∵数列{a n}为等差数列，∴S5=a1+a2+a3+a4+a5=5a3=15，即a3=3，又∵a5=5，∴d==1，∴a n=5+（n﹣5）=n，又∵==﹣，∴所求值为1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故答案为：．15．解：满足约束条件的平面区域如图示：因为y=a（x+1）过定点（﹣1，0）．所以当y=a（x+1）过点B（0，4）时，得到a=4，当y=a（x+1）过点A（1，1）时，对应a=．又因为直线y=a（x+1）与平面区域D有公共点．所以≤a≤4．故答案为：[，4]16．解：∵a+b≥2，ab=a+b+3，∴ab﹣2﹣3≥0∴≥3或≤﹣1（空集）∴ab≥9故答案为：[9，+∞）17．解：∵T n=a1+2a2+22a3+…+2n﹣1a n，∴2T n=2a1+22a2+23a3+…+2n a n，两式相加，得：3T n=2a1+22（a1+a2）+23（a2+a3）+…+2n﹣1（a n﹣1+a n）+2n a n，又∵，∴3T n=2+2+2+…+2+2n a n=2n+2n a n，∴3T n﹣2n a n=2n，故答案为：2n．三、解答题18．解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，∴，解得a=3．∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．19．解：由题意可知A1B1=20，A2B2=10，A1A2=30×=10，∠B2A2A1=180°﹣120°=60°，连结A1B2，则△A1A2B2是等边三角形，∴A1B2=10，∠A2A1B2=60°．∴∠B1A1B2=105°﹣60°=45°，在△B1A1B2中，由余弦定理得B1B22=A1B12+A1B22﹣2A1B1•A1B2cos∠B1A1B2=400+200﹣400=200．∴B1B2=10．∴乙船的航行速度是海里/小时．20．（1）证明：∵S n+a n=﹣n+1，+a n﹣1=﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）+1，∴当n≥2时，S n﹣1=﹣n﹣1，两式相减得：2a n﹣a n﹣1变形得：2（a n+n）=a n﹣1+（n﹣1），又∵b n=a n+n，∴数列{b n}是公比为的等比数列；（2）解：由（1）可知S1+a1=﹣﹣+1=﹣1，即a1=﹣，又∵b1=a1+1=﹣+1=，∴b n=a n+n=，a n=﹣n+，∴S n=﹣（1+2+…+n）+（++…+）=﹣+=1﹣﹣．21．解：（I）在△ABC中，由正弦定理得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC代入（2a﹣c）cosB=bcosC整理得：2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB即：2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，在三角形中，sinA＞0，2cosB=1，∵∠B是三角形的内角，∴B=60°．（II）在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=（a+c）2﹣2ac﹣2ac•cosBac=3故．22．解：（1）∵AB=AC=2a，∠BAC=120°，∴△ABC的面积是a2，∴△ADE的面积是a2，∵AD=x，DE=y，∴①=x×AE×sin60°，∴AE=，②y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°=x2+AE2﹣x•AE=x2+（）2﹣2a2，∴y＞0，∴y=，又AE=≤2a，∴x≥a，∵D在AB上，∴x≤2a，∴y=（a≤x≤2a），（2）y=≥=a，当且仅当x2=，即x=a时“=”成立，此时AE=a，∴使AD=AE=a时，DE最短，最短为a．23．解：（1）∵函数h（x）=的图象过点，∴，解得a=4；（2）由（1）得，h（x）=，∵h（x）+h（1﹣x）==，∴=；（3）==，则b n==，∴=，由T n＜2λa n+1对一切n∈N*恒成立，得，即对一切n∈N*恒成立，∵（当且仅当n=2时等号成立），∴．故λ的取值范围是．。

学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一．选择题.本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在锐角△ABC中sinA=则A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数计算可得；【详解】解：依题意，，所以故选：C【点睛】本题考查特殊角的三角函数，属于基础题.2. 方程－5x+3=2的解是（）A. -1B. 1C.D.【答案】D【解析】根据一元一次方程的解法，解方程即可【详解】由－5x+3 = 2：解得故选：D【点睛】本题考查了求一元一次方程的解，属于简单题3. 由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；【详解】解：因为，，所以，所以，解得故选：A【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4. 中，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】解：，，，．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．5. 在数列中，=2，，则值为（）A. 96B. 98C. 100D. 102【答案】D【解析】【分析】首先求出数列通项公式，再代入计算可得；【详解】解：因为=2，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式基本量的计算，属于基础题.6. 已知，函数的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 6【解析】试题分析：由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A考点：利用基本不等式求最值；7. 在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】试题分析：由已知，解得，故选C．考点：等比数列的通项公式．8. 不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式在上恒成立的条件判断出正确选项.【详解】由于一元二次不等式的解集为，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式在上恒成立问题，属于基础题.9. 设满足约束条件，则的最大值为（）A. -8B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】试题分析：不等式表示可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7考点：线性规划10. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则此三角形解的情况是（）A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，进而判断解的情况.【详解】由正弦定理得，，且，所以角有两个，即三角形有两解．故选B．【点睛】本题主要考查由正弦定理判断三角形解的情况，属于基础题.11. 在△中，如果，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化角为边得；设利用余弦定理得解.【详解】由正弦定理可得设由余弦定理可得，c，故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题.12. 一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（）A. 63B. 108C. 75D. 83【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 在中，，，面积为，则边长=_________.【答案】4【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c【详解】∵A=60°,b=1,面积为=bcsinA=×1×c×，∴解得：c=4，【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S=bcsinA14. 已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______ ．【答案】【分析】根据等差中项的性质求出参数，即可得解；【详解】解：依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为：【点睛】本题考查等差中项的性质的应用，属于基础题.15. 不等式的解集是______【答案】【解析】【分析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.【详解】题中所给的不等式即：，，该不等式等价于：，求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.故答案为．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知数列满足，则的通项公式为__________________．【答案】【解析】【分析】由递推公式可得，即以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出的通项公式，即可得解；【详解】解：因为，，所以，即所以以为首项，为公比的等比数列，所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.三、解答题17. 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.【答案】.【解析】试题分析：利用等比数列通项公式列出关于和的不等式组，解出和，进而可求出结果.试题解析：设公比为，由已知得即两式相除得，将代入得，.18. （1）求不等式的解集：（2）（3）求函数的定义域：【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将不等式化成标准式，再对其因式分解，即可求出一元二次不等式的解集；（2）将不等式化成标准式，再对其因式分解，即可求出一元二次不等式的解集；（3）根据使式子有应用得到不等式，再解不等式即可；【详解】解：（1），等价于，即，解得或，原不等式的解集为（2），所以，解得，故原不等式的解集为（3）因为，所以，等价于，解得或所以函数定义域为【点睛】本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，属于基础题.19. 已知数列满足，且，求数列的前三项的值；【答案】，，【解析】【分析】根据递推式可得，而，令即有，可求出、、进而求的值【详解】知：令，即由知：∴，，而，，∴，，【点睛】本题考查了数列，根据数列的递推式及已知项求其它项的值，注意所得新数列的递推关系中不变，而新数列中20. 在中，，，已知，是方程的两个根，且．（1）求角的大小；（2）求的长．【答案】,【解析】试题分析：解：（1），所以（2）由题意得∴=∴考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC－ccos（A+C）=3acosB．（1）求cosB的值；（2）若，且，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理即可得出；（2）利用数量积运算、余弦定理即可得出．【详解】解：（1）在中，，可化为．由正弦定理可得：，即可得，又故．（2）由，所以即由，所以由，即可得．【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦余弦定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一．选择题.本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在锐角△ABC中sinA=则A=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角的三角函数计算可得；【详解】解：依题意，，所以故选：C【点睛】本题考查特殊角的三角函数，属于基础题.2. 方程－5x+3=2的解是（）A. -1B. 1C.D.【答案】D【解析】【分析】根据一元一次方程的解法，解方程即可【详解】由－5x+3 = 2：解得故选：D【点睛】本题考查了求一元一次方程的解，属于简单题3. 由=4，确定的等差数列，当an=28时，序号等于（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】【分析】首先求出数列的通项公式，再解方程即可；【详解】解：因为，，所以，所以，解得故选：A【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4. 中，若，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】解：，，，．故选：A．【点睛】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用，属于基础题．5. 在数列中，=2，，则值为（）A. 96B. 98C. 100D. 102【答案】D【解析】【分析】首先求出数列通项公式，再代入计算可得；【详解】解：因为=2，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以故选：D【点睛】本题考查等差数列的通项公式基本量的计算，属于基础题.6. 已知，函数的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 6【答案】A【解析】试题分析：由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A考点：利用基本不等式求最值；7. 在等比数列中，，，，则项数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】试题分析：由已知，解得，故选C．考点：等比数列的通项公式．8. 不等式的解集为，那么（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据一元二次不等式在上恒成立的条件判断出正确选项.【详解】由于一元二次不等式的解集为，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式在上恒成立问题，属于基础题.9. 设满足约束条件，则的最大值为（）A. -8B. 3C. 5D. 7【答案】D【解析】试题分析：不等式表示可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7考点：线性规划10. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则此三角形解的情况是（）A. 一解B. 两解C. 一解或两解D. 无解【答案】B【解析】【分析】由正弦定理可得，进而判断解的情况.【详解】由正弦定理得，，且，所以角有两个，即三角形有两解．故选B．【点睛】本题主要考查由正弦定理判断三角形解的情况，属于基础题.11. 在△中，如果，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理化角为边得；设利用余弦定理得解.【详解】由正弦定理可得设由余弦定理可得，c，故选：D【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，属于基础题.12. 一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（）A. 63B. 108C. 75D. 83【答案】A【解析】试题分析：因为在等比数列中，连续相同项的和依然成等比数列，即成等比数列，题中，根据等比中项性质有，则，故本题正确选项为A.考点：等比数列连续相同项和的性质及等比中项.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)13. 在中，，，面积为，则边长=_________.【答案】4【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c【详解】∵A=60°,b=1,面积为=bcsinA=×1×c×，∴解得：c=4，【点睛】在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上已知角A，所以我们需抓取S= bcsinA14. 已知等差数列的前三项为，则此数列的首项=______ ．【答案】【解析】【分析】根据等差中项的性质求出参数，即可得解；【详解】解：依题意可得，解得，故等差数列的前三项为，所以故答案为：【点睛】本题考查等差中项的性质的应用，属于基础题.15. 不等式的解集是______【答案】【解析】【分析】首先将所给的不等式转化为分式不等式，然后再转化为二次不等式求解其解集即可.【详解】题中所给的不等式即：，，该不等式等价于：，求解二次不等式可得：，则不等式的解集为.故答案为．【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，二次不等式的解法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16. 已知数列满足，则的通项公式为__________________．【答案】【解析】【分析】由递推公式可得，即以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出的通项公式，即可得解；【详解】解：因为，，所以，即所以以为首项，为公比的等比数列，所以所以故答案为：【点睛】本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.三、解答题17. 已知等比数列中，，求其第4项及前5项和.【答案】.【解析】试题分析：利用等比数列通项公式列出关于和的不等式组，解出和，进而可求出结果.试题解析：设公比为，由已知得即两式相除得，将代入得，.18. （1）求不等式的解集：（2）（3）求函数的定义域：【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将不等式化成标准式，再对其因式分解，即可求出一元二次不等式的解集；（2）将不等式化成标准式，再对其因式分解，即可求出一元二次不等式的解集；（3）根据使式子有应用得到不等式，再解不等式即可；【详解】解：（1），等价于，即，解得或，原不等式的解集为（2），所以，解得，故原不等式的解集为（3）因为，所以，等价于，解得或所以函数定义域为【点睛】本题考查一元二次不等式及分式不等式的解法，属于基础题.19. 已知数列满足，且，求数列的前三项的值；【答案】，，【解析】【分析】根据递推式可得，而，令即有，可求出、、进而求的值【详解】知：令，即由知：∴，，而，，∴，，【点睛】本题考查了数列，根据数列的递推式及已知项求其它项的值，注意所得新数列的递推关系中不变，而新数列中20. 在中，，，已知，是方程的两个根，且．（1）求角的大小；（2）求的长．【答案】,【解析】试题分析：解：（1），所以（2）由题意得∴=∴考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC－ccos（A+C）=3acosB．（1）求cosB的值；（2）若，且，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理、诱导公式、正弦定理即可得出；（2）利用数量积运算、余弦定理即可得出．【详解】解：（1）在中，，可化为．由正弦定理可得：，即可得，又故．（2）由，所以即由，所以由，即可得．【点睛】本题综合考查了三角形内角和定理、诱导公式、正弦余弦定理、数量积运算等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．。

福建省漳州市2019-2020学年高二上学期数学期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是（）A . 简单随机抽样B . 系统抽样C . 分层抽样D . 先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2. （2分） (2017高一上·山东期中) 已知函数，则（）.A . 是奇函数，且在上是增函数B . 是偶函数，且在上是增函数C . 是奇函数，且在上是减函数D . 是偶函数，且在上是减函数3. （2分）(2019·上饶模拟) 已知等差数列的首项，前项和为，若，则（）A .B .C .D .4. （2分）已知向量，且，，，则一定共线的三点是（）A . A、C、DB . A、B、DC . A、B、CD . B、C、D5. （2分）在区域D：内随机取一个点，则此点到点A(1，2)的距离大于2的概率是（）A .B .C .D .6. （2分） (2019高三上·清远期末) 从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，假设各项标准互不影响，从中任选一名学生，则该生恰有一项合格的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）左图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为A1,A2,A3,A4右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。

那么算法流程图输出的结果是（）A . 7B . 8C . 9D . 108. （2分）某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为（）A . 69B . 71C . 73D . 759. （2分）(2019·云南模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A . 3B . 4C . 5D . 610. （2分）一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（）A . 57.2，3.6B . 57.2，56.4C . 62.8，63.6D . 62.8，3.611. （2分）已知圆：，则下列命题：①圆上的点到的最短距离的最小值为；②圆上有且只有一点到点的距离与到直线的距离相等；③已知，在圆上有且只有一点，使得以为直径的圆与直线相切.真命题的个数为A .B .C .D .12. （2分）若下图程序框图在输入时运行的结果为，点为抛物线上的一个动点，设点到此抛物线的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（）A .B .C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·南充期中) 已知两点，关于坐标平面xoy对称，则________.14. （1分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1）与B（0，1），P为圆C上动点，当|PA|2+|PB|2取最大值时点P坐标是________．15. （1分）(2020·合肥模拟) 己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则 ________.16. （1分）已知函数f（x）=|2x+1+ |在[﹣，3]上单调递增，则实数a的取值范围________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分） (2016高一下·惠来期末) 已知圆C经过点A（1，3）、B（2，2），并且直线m：3x﹣2y=0平分圆C．（1）求圆C的方程；（2）若过点D（0，1），且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M、N．（Ⅰ）求实数k的取值范围；（Ⅱ）若• =12，求k的值．18. （10分）某冷饮店只出售一种饮品，该饮品每一杯的成本价为3元，售价为8元，每天售出的第20杯及之后的饮品半价出售．该店统计了近10天的饮品销量，如图所示：设x为每天饮品的销量，y为该店每天的利润．（1）求y关于x的表达式；（2）从日利润不少于96元的几天里任选2天，求选出的这2天日利润都是97元的概率．19. （10分）(2020·蚌埠模拟) 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，它的外接圆半径为，且 .（1）求角A的大小；（2）求周长的最大值.20. （10分）某种产品的广告费用支出与销售额之间有如下的对应数据：245683040605070（1）画出散点图；并说明销售额y与广告费用支出x之间是正相关还是负相关？（2）请根据上表提供的数据，求回归直线方程；（3）据此估计广告费用为10时，销售收入的值.（参考公式：，）．21. （10分） (2017高三上·福州开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠DAB=60°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：AB∥EF；（Ⅱ）若PA=PD=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．22. （10分） (2019高一下·吉林月考) 已知的三个内角 A、B、C 所对的边分别为 , , , 向量=（2，1），，且.（1）求角的大小；（2）若，试求面积的最大值及此时的形状.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、22-1、22-2、。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．2.数列，，，，，，的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．3.命题“若，则，”的否命题为（）A. 若，则，B. 若，则或C. 若，则，D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【详解】x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.设是等差数列的前项和，若，则( )A. 21B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可求出，再结合可求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，即，则.故选C.【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于基础题.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出变量满足可行域，目标函数可化为，直线在轴上的截距最小时，最小，当直线过点时满足题意.【详解】画出变量满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为，显然直线在轴上的截距最小时，最小，平移直线经过点时，最小，联立，解得，此时.故选A.【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选B．9.在△ABC中，若<cosC，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意，由余弦定理得，化简得，所以，故为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】【详解】如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B、C 两点间的距离是10海里．考点：解三角形．11.已知若x，y均为正数，则的最小值是A. B. C. 8 D. 24【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．【详解】，y均为正数，则当且仅当且即，时取等号，的最小值是8．故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．12.已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）13.若不等式的解集为R，实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】由题意，可得，即，求解即可.【详解】由题意，可得，即，解得.故答案为.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.14.数列中，，，则的通项公式为；【答案】【解析】试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则.考点：等比数列15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.则【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．【答案】2【解析】【分析】结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.【详解】将所给的数列分组，第1组为：，第2组为：，第3组为：，，则数列的前n组共有项，由于，故数列的前63组共有2016项，数列的第2017项为，数列的第2018项为.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，，．若，求的值；若的面积为，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值．由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．【详解】解：在中，，，，由正弦定理，可得：；，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当时，当时，也适合时，∴（2），∴考点：数列求通项及分组求和19.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）[2，3）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q为真命题的x的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．【详解】（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．∴p，q都为真命题时x取值范围是[2，3）；（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），则，即．【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．20.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用：万元．建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立．学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知数列是递增的等差数列，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可求出，由数列是递增的等差数列，可知，由成等比数列，可得到，即可求出，进而可求出的通项公式；（2）结合（1）可求出，，进而可求得，然后利用裂项求和法可求得的前项和.【详解】（1）因为数列是递增的等差数列，所以，，故，又成等比数列，则，即，解得.则，故.（2），则，，故，则.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式的求法，考查了裂项相消求和法的运用，属于中档题. 22.如图，在中，点在边上，为的平分线，．（1）求；（2）若,,求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，，再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线，令在中，，由正弦定理，得所以.(2) 因为，所以，又由,得，，因为，所以所以.【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）1.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的性质对四个选项逐一判断，即可得出正确选项，错误的选项可以采用特值法进行排除．【详解】A选项不正确，因为若，，则不成立；B选项不正确，若时就不成立；C选项不正确，同B，时就不成立；D选项正确，因为不等式两边加上或者减去同一个数，不等号的方向不变，故选D．【点睛】本题主要考查不等关系和不等式的基本性质，求解的关键是熟练掌握不等式的运算性质．2.数列，，，，，，的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先注意到数列的奇数项为负，偶数项为正，其次数列各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，从而易求出其通项公式．【详解】∵数列{an}各项值为，，，，，，∴各项绝对值构成一个以1为首项，以2为公差的等差数列，∴|an|＝2n﹣1又∵数列的奇数项为负，偶数项为正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故选C．【点睛】本题给出数列的前几项，猜想数列的通项，挖掘其规律是关键．解题时应注意数列的奇数项为负，偶数项为正，否则会错．3.命题“若，则，”的否命题为（）A. 若，则，B. 若，则或C. 若，则，D. 若，则或【答案】D【解析】【分析】根据否命题是对命题的条件和结论均要否定求得.【详解】否命题是对命题的条件和结论均要否定，故选D.【点睛】本题注意区分“否命题”和“命题的否定”，属于基础题.4.已知,则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先解出不等式x2﹣3x＞0，再判断命题的关系．【详解】x2﹣3x＞0得，x＜0，或x＞3；∵x＜0，或x＞3得不出x﹣4＞0，∴“x2﹣3x＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件；但x﹣4＞0能得出x＞3，∴“x2﹣3x＞0”“x﹣4＞0”必要条件．故“x2﹣3x＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．5.若的三个内角满足，则（）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【答案】C【解析】【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状.【详解】由，可得出，设，则，，则角为最大角，由余弦定理得，则角为钝角，因此，为钝角三角形，故选C.【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6.设是等差数列的前项和，若，则( )A. 21B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可求出，再结合可求出答案.【详解】因为是等差数列，所以，即，则.故选C.【点睛】本题考查了等差中项及等差数列的前项和，考查了学生的计算能力，属于基础题.7.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画出变量满足可行域，目标函数可化为，直线在轴上的截距最小时，最小，当直线过点时满足题意.【详解】画出变量满足的可行域（见下图阴影部分），目标函数可化为，显然直线在轴上的截距最小时，最小，平移直线经过点时，最小，联立，解得，此时.故选A.【点睛】本题考查了线性规划，考查了数形结合的数学思想，属于基础题.8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选B．9.在△ABC中，若<cosC，则△ABC为（）A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理化简已知不等式，求得，由此判断出三角形的形状.【详解】依题意，由余弦定理得，化简得，所以，故为钝角，所以三角形为钝角三角形.【点睛】本小题主要考查利用余弦定理判断三角形的形状，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.10.一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么、两点间的距离是（）A. 海里B. 海里C. 海里D. 海里【答案】A【解析】【详解】如图，在中，,,则；由正弦定理得，得,即B、C两点间的距离是10海里．考点：解三角形．11.已知若x，y均为正数，则的最小值是A. B. C. 8 D. 24【答案】C【解析】【分析】由已知可得，，展开整理后利用基本不等式即可求解．【详解】，y均为正数，则当且仅当且即，时取等号，的最小值是8．故选C．【点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，解题的关键是对应用条件的配凑．12.已知函数，在中，内角的对边分别是，内角满足，若，则的面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过将利用合一公式变为，代入A求得A角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值.【详解】，为三角形内角，则，，当且仅当时取等号【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）13.若不等式的解集为R，实数的取值范围是____.【答案】【解析】【分析】由题意，可得，即，求解即可.【详解】由题意，可得，即，解得.故答案为.【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查了学生的推理能力，属于基础题.14.数列中，，，则的通项公式为；【答案】【解析】试题分析：，且，是以3位首项、3为公比的等比数列，则.考点：等比数列15.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，且，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦公式将b代换，求出，再用a，b，c成等比数列表示出，分析特点，再次采用正弦定理即可求得【详解】由正弦定理可知，，易得，，又a，b，c成等比数列，所以，.则【点睛】本题主要考查正弦定理的具体用法，边化角是正弦定理使用中考察频率最高的一种形式，做题时应优先考虑16.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.记此数列为，则___________________ ．【答案】2【解析】【分析】结合数列的性质和等差数列求和公式确定的值即可.【详解】将所给的数列分组，第1组为：，第2组为：，第3组为：，，则数列的前n组共有项，由于，故数列的前63组共有2016项，数列的第2017项为，数列的第2018项为.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式的应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.在中，，．若，求的值；若的面积为，求b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】由已知及正弦定理即可计算求得的值．由已知利用三角形面积公式可求的值，根据余弦定理可得的值．【详解】解：在中，，，，由正弦定理，可得：；，，的面积为，解得：，由余弦定理可得：．【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.已知数列的前项和为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求数列通项公式主要借助于分情况求解，最后要验证结果是否能够合并；（2）整理数列的通项公式得，结合特点可采用分组求和试题解析：（1）当时，当时，也适合时，∴（2），∴考点：数列求通项及分组求和19.设命题p：实数x满足x2-2ax-3a2＜0（a＞0），命题q：实数x满足≥0．（Ⅰ）若a=1，p，q都为真命题，求x的取值范围；（Ⅱ）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）[2，3）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）把a=1代入x2-2ax-3a2＜0，化为x2-2x-3＜0，可得-1＜x＜3；求解分式不等式可得q 为真命题的x的范围，取交集得答案；（Ⅱ）求解x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得-a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，由q是p的充分不必要条件，可得[2，4）⊊（-a，3a），由此列关于a的不等式组求解．【详解】（Ⅰ）a=1，则x2-2ax-3a2＜0化为x2-2x-3＜0，即-1＜x＜3；若q为真命题，则≥0，解得2≤x＜4．∴p，q都为真命题时x取值范围是[2，3）；（Ⅱ）由x2-2ax-3a2＜0（a＞0），得a＜x＜3a，由≥0，得2≤x＜4，∵q是p的充分不必要条件，∴[2，4）⊊（a，3a），则，即．【点睛】本题考查复合命题的真假判断与应用，考查数学转化思想方法，是中档题．20.北京某附属中学为了改善学生的住宿条件，决定在学校附近修建学生宿舍，学校总务办公室用1000万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高0.02万元，已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为0.8万元．（1）若学生宿舍建筑为层楼时，该楼房综合费用为万元，综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出的表达式；（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少万元？【答案】（1）；（2）学校应把楼层建成层，此时平均综合费用为每平方米万元【解析】【分析】由已知求出第层楼房每平方米建筑费用为万元，得到第层楼房建筑费用，由楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高万元，然后利用等差数列前项和求建筑层楼时的综合费用；设楼房每平方米的平均综合费用为，则，然后利用基本不等式求最值．【详解】解：由建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为万元，且楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高万元，可得建筑第1层楼房每平方米建筑费用：万元．建筑第1层楼房建筑费用为：万元．楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：万元．建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：．；设该楼房每平方米的平均综合费用为，则：，当且仅当，即时，上式等号成立．学校应把楼层建成10层，此时平均综合费用为每平方米万元．【点睛】本题考查简单的数学建模思想方法，训练了等差数列前n项和的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．21.已知数列是递增的等差数列，其前项和为，且，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，可求出，由数列是递增的等差数列，可知，由成等比数列，可得到，即可求出，进而可求出的通项公式；（2）结合（1）可求出，，进而可求得，然后利用裂项求和法可求得的前项和.【详解】（1）因为数列是递增的等差数列，所以，，故，又成等比数列，则，即，解得.则，故.（2），则，，故，则.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式的求法，考查了裂项相消求和法的运用，属于中档题.22.如图，在中，点在边上，为的平分线，．（1）求；（2）若,,求．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）令，正弦定理，得，代入面积公式计算得到答案.（2）由题意得到，化简得到，，再利用面积公式得到答案.【详解】(1)因为的平分线，令在中，，由正弦定理，得所以.(2) 因为，所以，又由,得，，因为，所以所以.【点睛】本题考查了面积的计算，意在考查学生灵活利用正余弦定理和面积公式解决问题的能力.。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜率的定义求解即可【详解】由斜率的定义得，故答案为：直线的斜率为故选：【点睛】本题考查直线的斜率的定义，属于基础题2.在空间直角坐标系中，点与之间的距离为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可结合两点间距离公式求解【详解】由两点间距离公式得故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题3.过点且垂直于直线的直线方程为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为，再由点斜式可得，化简得故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解析式，属于基础题4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题5.与圆关于原点对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆的圆心为，圆心关于原点的对称点为，故对称的圆的方程为：故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】由线面平行的性质可判断A错；由平行的递推性判断B对；C 项可能性很多，与不一定垂直；D项可能性很多，不一定【详解】对A，线面平行只能推出线和过平面的交线平行，推不出和平面内的某一条线平行，如图：对B，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C，可随机举一反例，如图：直线与斜交；对D，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题7.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据两直线一般式对应系数关系求解即可【详解】由题可知，应满足，则两直线可化为，由平行直线间距离公式故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为，则该鳖臑的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：故选：A【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数，满足条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可将目标函数转化为，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为，要使取到最小值，则截距取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为，代入得故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，，，，得，即故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆可转化为，圆心为，，则直线方程为，圆心到直线的距离，则，，则故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题12.将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【详解】△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到见图示：AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：B．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆的半径为______________.【答案】【解析】【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由，则半径为故答案为：【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为．【答案】【解析】试题分析：由，得，即，∴．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为____________.【答案】【解析】【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得【详解】如图：不论直线怎么移动，线段的中点的始终为斜边上的中线，即，即故答案为：【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点,是侧面内一点，若平行于平面,则线段长度的取值范围是_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱中点，连接，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又平面平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，当在中点时，，此时最短，位于处时最长，，，所以线段长度的取值范围是.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知的顶点，，是的中点.（1）求直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设，由题意得∴∴.∴直线的方程为；（2）∵，，∴，∴边上的高所在直线的斜率，∴边上高所在直线方程为：，即.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体中，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要证直线平面，可在平面中找一条线与平行，连接，先证明是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线平面的两条交线即可；【详解】（1）连接，∵是正方体，，，∵，分别是，的中点，∴，.∴是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）由（1）得，∵是正方体.∴平面，∴，∴，∵是正方体，∴是正方体，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆与圆.（1）若圆与圆外切，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线与圆的相交弦长为，求实数的值.【答案】（1）5；（2）或.【解析】分析】（1）先将圆化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵，∴，，∵，∴，∴，，∵圆与圆外切，∴，∴，∴；（2）由（1）得，圆的方程为，，，由题意可得圆心到直线的距离，∴或.【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥中，，,,,是正三角形.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线平面，又平面，即可得证；（2）作点的中点，连接，，由面面垂直的和判定定理可得与平面所成角为，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵是正三角形，，∴，，∴，∴，∵，平面，∴；（2）设点是的中点，连接，，∵是正三角形，∴，，由（1）得平面，∴平面平面，∴平面，∴与平面所成角为，∵，∴,∴.【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥中，，，,，是正三角形.（1）求证：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证平面，再说明平面，即可得证；（2）设点是的中点，连接，，通过几何关系可得是二面角的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵是正三角形，，∴，，∴，∴，∵，平面，∴；（2）设点是的中点，连接，，∵是正三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴是正方形，∴，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，由（1）得平面，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.（1）当时，求点的坐标；（2）当取最大值时，求的外接圆方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由题知，可设，切线长，半径，圆心与点的长度组成直角三角形，故有，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点位置，此时圆心位置为点与点的中点坐标，半径为，结合垂直关系和直线方程可求点，进而求得的外接圆方程【详解】（1）设，∵，∴，，∵，∴，∴解得或∴或；（2）由题意可知当时，取最大值，设此时，由得∴，的外接圆圆心为，半径，∴的外接圆方程为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，圆的几何性质，勾股定理的应用，图形与方程的转化思想，属于中档题23.已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.（1）当时，求点的坐标；（2）设的外接圆为圆，当点在直线上运动时，圆是不过定点，请说明理由.【答案】（1）或；（2）是过定点，.【解析】【分析】（1）由题知，可设，切线长，半径，圆心与点的长度组成直角三角形，故有，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点的坐标；（2）可先设，则，整理得的外接圆方程为，结合代换得，要使圆恒过定点满足，即，解出对应的，即可求解【详解】（1）设，∵，∴，，∵，∴，∴解得或∴或；（2）设，则，∴的外接圆方程为，∴，令则或（舍去），∴圆过定点.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，两点间距离公式的应用，求证轨迹恒过定点问题，解题关键在于正确表示出外切圆方程，学会利用直线上的点满足的方程进行代换，将方程转化成恒成立问题，属于中档题2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知点，，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由斜率的定义求解即可【详解】由斜率的定义得，故答案为：直线的斜率为故选：2.在空间直角坐标系中，点与之间的距离为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】可结合两点间距离公式求解【详解】由两点间距离公式得故选：B【点睛】本题考查空间中两点间距离公式，属于基础题3.过点且垂直于直线的直线方程为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的位置关系和点斜式求解即可【详解】由两直线垂直斜率之积为-1可得直线斜率为，再由点斜式可得，化简得故选：A【点睛】本题考查两直线垂直的位置关系，由点斜式求直线解析式，属于基础题4.用一个平面去截如图所示的圆柱体，则所得的截面不可能是（）A. B. C. D.【答案】D对四个选项进行分析可初步判定，矩形，圆，椭圆很容易得出，只有三角形得不出，具体包括三种切割方式：横切，竖切，斜切【详解】当截面与轴截面平行时，所截截面为矩形；当截面与上下底面平行时，所截截面为圆；当截面不经过上下底面斜切时，截面为椭圆；当截面经过上下底面时（交线不是圆面的切线时），截面为上下两条边平行，中间两条腰是曲线的图形，故截面的形状不可能是三角形故选：D【点睛】本题考查圆柱体截面形状，多角度去分析是解题的关键，属于基础题5.与圆关于原点对称的圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】可先求圆心关于原点的对称点，再由半径相同写出方程即可【详解】圆的圆心为，圆心关于原点的对称点为，故对称的圆的方程为：故选：C【点睛】本题考查关于原点对称的点的求法，圆的标准方程的求法，属于基础题6.已知，是两条不同直线，，是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】【分析】由线面平行的性质可判断A错；由平行的递推性判断B对；C项可能性很多，与不一定垂直；D项可能性很多，不一定对B，根据平行的递推性，可得正确，如图：对C，可随机举一反例，如图：直线与斜交；对D，直线有可能相交，如图：故选：B【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，结合实例和图形较容易说明问题，属于基础题7.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.【答案】C根据两直线一般式对应系数关系求解即可【详解】由题可知，应满足，则两直线可化为，由平行直线间距离公式故选：C【点睛】本题考查两平行直线间的距离求法，属于基础题8.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有鳖臑下广三尺，无袤，上袤三尺，无广，高四尺.问积几何？”，鳖臑是一个四面体，每个面都是三角形，已知一个鳖臑的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为，则该鳖臑的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三视图画出图形，结合三棱锥体积公式求解即可【详解】由三视图，画出图形，如图：则该鳖臑的体积为：【点睛】本题考查由三视图求三棱锥的体积，属于基础题9.已知实数，满足条件则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可将目标函数转化为，再结合约束条件画出可行域，结合位置关系判断即可【详解】根据约束条件画出可行域，目标函数可转化为，要使取到最小值，则截距取到最大值，由图可知，相交于右上方的点时，有最值，即点为，代入得故选：C【点睛】本题考查根据线性约束条件求最值，正确画出图形，学会转化目标函数是解题的关键，属于基础题10.已知正方体中，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的大小为（）A. B. C. D.【解析】【分析】根据题意画出图形，可将异面直线转化共面的相交直线，再进行求解【详解】如图：作的中点，连接，由题设可知，则异面直线与所成角为或其补角，设正方体的边长为4，由几何关系可得，，，，得，即故选：D【点睛】本题考查异面直线的求法，属于基础题11.已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】可根据题意画出图形，求三角形面积的最值可转化为求圆上一点到直线距离的最大值，由点到直线距离公式即可求解【详解】如图所示：要求三角形面积的最大值，需先求圆上一点到直线距离的最大值，求圆心到直线距离，再加上半径即可，圆可转化为，圆心为，，则直线方程为，圆心到直线的距离，则，，则故选：C【点睛】本题考查点到直线距离公式，两点间距离公式，数形结合的思想，属于中档题12.将边长为2的正沿着高折起，使，若折起后四点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】通过底面三角形BCD求出底面圆的半径DM，判断球心到底面圆的距离OM，求出球O的半径，即可求解球O的表面积．【详解】△BCD中，BD=1，CD=1，∠BDC=120°，底面三角形的底面外接圆圆心为M，半径为：r,由余弦定理得到BC=，再由正弦定理得到见图示：AD是球的弦，DA=，将底面的圆心M平行于AD竖直向上提起，提起到AD的高度的一半，即为球心的位置O，∴OM=，在直角三角形OMD中，应用勾股定理得到OD，OD即为球的半径.∴球的半径OD=．该球的表面积为：4π×OD2=7π；故选：B．【点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分）13.圆的半径为______________.【答案】【解析】【分析】将一般式化为标准式即可求得【详解】由，则半径为故答案为：【点睛】本题考查圆的一般式和标准式的互化，熟练运用配方法是解题关键，属于基础题14.已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为．【答案】【解析】试题分析：由，得，即，∴．考点：圆锥的侧面图与体积．15.已知长为的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为____________.【答案】【解析】【分析】可采用数形结合思想进行转化，结合直角三角形斜边上的中线性质即可求得【详解】如图：不论直线怎么移动，线段的中点的始终为斜边上的中线，即，即故答案为：【点睛】本题考查圆的轨迹方程的求法，数形结合的转化思想，属于基础题16.如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点,是侧面内一点，若平行于平面,则线段长度的取值范围是_________.【答案】【解析】【详解】试题分析：如下图所示，分别取棱中点，连接，连接，因为为所在棱的中点，所以，所以，又平面平面，所以平面；因为，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面，因为是侧面内一点，且平面，则必在线段上，在直角中，，同理，在直角中，求得，所以为等腰三角形，当在中点时，，此时最短，位于处时最长，，，所以线段长度的取值范围是.考点：点、线、面的距离问题.【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.三、解答题（共5个小题，共48分）17.已知的顶点，，是的中点.（1）求直线的方程；（2）求边上的高所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，再结合中点坐标公式求解即可；（2）所求直线与直线垂直，可算出斜率，又直线过点，利用点斜式即可求解；【详解】（1）设，由题意得∴∴.∴直线的方程为；（2）∵，，∴，∴边上的高所在直线的斜率，∴边上高所在直线方程为：，即.【点睛】本题考查中点坐标公式，直线方程的求法，属于基础题18.如图，在正方体中，，分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）要证直线平面，可在平面中找一条线与平行，连接，先证明是平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可求证；（2）结合线面垂直的判定定理，证明直线平面的两条交线即可；【详解】（1）连接，∵是正方体，，，∵，分别是，的中点，∴，.∴是平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）由（1）得，∵是正方体.∴平面，∴，∴，∵是正方体，∴是正方体，∴，∴，∵平面，平面，，∴平面.【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的证明，属于基础题19.已知圆与圆.（1）若圆与圆外切，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若直线与圆的相交弦长为，求实数的值.【答案】（1）5；（2）或.【解析】分析】（1）先将圆化成标准式，利用两圆相切的性质，得圆心距等于半径之和，即，即可求解；（2）结合圆的几何性质，圆的半径，弦心距，半弦长构成直角三角形，可将弦长问题转化成圆心到直线距离问题，可进一步求解【详解】（1）∵，∴，，∵，∴，∴，，∵圆与圆外切，∴，∴，∴；（2）由（1）得，圆的方程为，，，由题意可得圆心到直线的距离，∴或.【点睛】本题考查两圆相切的几何性质，直线与圆的位置关系，属于基础题20.如图，在四棱锥中，，,,,是正三角形.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，可利用已知条件，先证直线平面，又平面，即可得证；（2）作点的中点，连接，，由面面垂直的和判定定理可得与平面所成角为，通过计算即可求得【详解】（1）证明：∵是正三角形，，∴，，∴，∴，∵，平面，∴；（2）设点是的中点，连接，，∵是正三角形，∴，，由（1）得平面，∴平面平面，∴平面，∴与平面所成角为，∵，∴,∴.【点睛】本题考查线线垂直的证明，求线面角的夹角的正弦值，属于中档题21.如图，在四棱锥中，，，,，是正三角形.（1）求证：；（2）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）通过线面垂直来证线线垂直，先证平面，再说明平面，即可得证；（2）设点是的中点，连接，，通过几何关系可得是二面角的平面角，再计算即可【详解】（1）证明：∵是正三角形，，∴，，∴，∴，∵，平面，∴；（2）设点是的中点，连接，，∵是正三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴是正方形，∴，∴平面，∴，∴是二面角的平面角，由（1）得平面，∴，∴，∴，∴.【点睛】本题考查线面平行的证明，二面角大小的求法，属于中档题22.已知圆，点是直线上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，.（1）当时，求点的坐标；（2）当取最大值时，求的外接圆方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由题知，可设，切线长，半径，圆心与点的长度组成直角三角形，故有，结合两点间距离公式和直线方程，可求得点的坐标；（2）当圆心到直线距离最短时，可确定点位置，此时圆心位置为点与点的中点坐标，半径为，结合垂直关系和直线方程可求点，进而求得的外接圆方程【详解】（1）设，∵，∴，，∵，∴，。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）（考试时间：120分钟满分：150分）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知全集，，，则__________.【答案】3【解析】【分析】先根据和确定是中元素，不是中元素，由此计算的值.【详解】因为，，所以，解得.【点睛】本题考查根据全集的概念计算参数，难度较易.全集包含了所研究问题涉及到的所有元素.2.方程组增广矩阵为____________【答案】【解析】【分析】直接利用增广矩阵的概念得到答案.【详解】的增广矩阵为故答案为：【点睛】本题考查了增广矩阵，属于简单题型.3.若，则化简后的值等于________．【答案】【解析】【分析】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，然后利用代数余子式的概念可得出的值.【详解】由题意可知，为三阶行列式中元素的代数余子式，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查代数余子式的计算，理解代数余子式的概念是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.4.幂函数经过点，则此幂函数的解析式为_______.【答案】【解析】设幂函数为，代入点，所以所以，，填。

5.若直线过点，且法向量为，则直线的点方向式方程为________．【答案】【解析】【分析】求出直线的一个方向向量，根据直线的点方式方程可得出直线的点方向式方程.【详解】由于直线过点，且法向量为，则直线的一个方向向量为，因此，直线的点方向式方程为.故答案为：.【点睛】本题考查直线的点方向式方程的求解，求出直线的方向向量是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.6.______【答案】【解析】【分析】运用等差数列的求和公式和，结合极限的运算性质可得所求值．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查数列极限的求法，注意运用等差数列的求和公式和重要数列的极限，考查运算能力，属于基础题．7.设为奇函数，且当时，，则当时，=____【答案】【解析】【分析】根据函数是奇函数，得，由，得，代入已知的函数关系中，可得解.【详解】是奇函数，，因为时，．当时，，，所以时，．故填：.【点睛】本题考查根据函数的奇偶性，求对称区间上的函数解析式，属于基础题.8.若，，，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】利用共线向量的坐标表示得出，利用正弦函数的最值可得出实数的最小值.【详解】，，，且，，则，由于，因此，实数的最小值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用共线向量的坐标表示求参数的最值，同时也考查了辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中等题.9.过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为__________．【答案】【解析】不妨设与交点为，圆心，当，关于对称时，则直线，则，设在上的切点为，则，∴，∴，故，夹角为，故答案为.10.已知、是关于的方程的两个实数根，则经过两点、的直线与圆公共点的个数是________．【答案】或【解析】【分析】列出韦达定理，求出直线的方程为，可求出直线所过定点的坐标，并判断点与圆的位置关系，从而可得出直线与圆的公共点个数.【详解】由韦达定理得，，直线的斜率为，所以，直线的方程为，即，即，即，即，令，得，所以，直线恒过定点.，则点在圆上，因此，直线与圆的公共点个数为或.故答案为：或.【点睛】本题考查直线与圆的公共点个数的判断，同时也考查了韦达定理的应用，求出直线所过定点的坐标是解题的关键，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.11.设，为不同的两点，直线，，以下命题中正确的序号为__________．(1)不论为何值，点N都不在直线上；(2)若，则过M，N的直线与直线平行；（3）若，则直线经过MN的中点；（4）若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】利用分母不等于零判断(1)，利用斜率相等判断（2）；利用中点坐标满足方程判断（3）；根据，以及M、N在直线的距离不同判断（4）.【详解】(1)因为，所以不在直线上，正确；（2）时，由可得，化为，即直线的斜率为，所以过M，N的直线与直线平行，时，过M，N的直线与直线都与轴平行，综上可得（2）正确；（3）时，化为，即直线经过MN的中点，正确；（4）可得，可得M、N在直线的同侧，进而得，M、N在直线的距离不同，直线与线段MN的延长线相交，正确.即正确命题的序号为(1)(2)(3)(4)，故答案为(1)(2)(3)(4).【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查直线的位置关系，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.12.如图，正方形边长为米，圆的半径为米，圆心是正方形的中心，点、分别在线段、上，若线段与圆有公共点，则称点在点的“盲区”中，已知点以米/秒的速度从出发向移动，同时，点以米/秒的速度从出发向移动，则在点从移动到的过程中，点在点的盲区中的时长约________秒（精确到）．【答案】【解析】【分析】以点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求出点、的坐标和直线的方程以及圆的方程，利用点到直线的距离公式，以及直线和圆相交的条件下，解不等式即可得出所求时长.【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系：可设点，，可得出直线的方程为，圆的方程为，由直线与圆有公共点，可得，化为，解得，而，因此，点在点的盲区中的时长约为秒.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，考查直线与圆的位置关系，考查坐标法与一元二次不等式的解法，属于中等题.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.函数的定义域为，值域为，则的最大值是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】如图.要使函数在定义域上，值域为，则的最大值是. 选C.14.二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是A. 系数行列式B. 比例式C. 向量不平行D. 直线，不平行【答案】D【解析】【分析】利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到为充要条件，直线分共面和异面两种情况．【详解】解：当两直线共面时，直线，不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线，不平行，二元一次方程组无解，故直线，不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．15.设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意得知与同向的单位向量和与同向的单位向量是相反向量，由此可得出、方向相反，由此可得出正确选项.【详解】由题意知，是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，这两个向量互为相反向量，所以，、方向相反.因此，使得成立的条件为.故选：A.【点睛】本题考查了相反向量的概念，同时也考查了与非零向量同向的单位向量概念的理解，考查推理能力，属于基础题.16.到两条坐标轴距离之差的绝对值为的点的轨迹是（）A. 两条直线B. 四条直线C. 四条射线D. 八条射线【答案】D【解析】【分析】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，可得出、，分析出方程所表示的射线条数，从而可得出动点轨迹对应的射线条数.【详解】设所求动点的坐标为，可得出动点的轨迹方程为，所以，或，下面来考查所代表的射线条数.①当，时，；②当，时，；③当，时，；④当，时，.可知方程代表四条射线，同理可知方程也代表四条射线.因此，到两条坐标轴的距离之差的绝对值为的点的轨迹是八条射线.故选：D.【点睛】本题考查动点轨迹形状的判断，求出动点的轨迹方程是解题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答时必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在中，已知、．（1）若点坐标为，直线，直线交边于，交边于，且与的面积之比为，求直线的方程；（2）若是一个动点，且的面积为，试求关于的函数关系式．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）作出图形，可得出，根据面积比为得出，从而得出，设点，利用向量的坐标运算求出点的坐标，并求出直线的斜率，即为直线的斜率，然后利用点斜式方程可得出直线的方程；（2）求出直线的方程和，设点到直线的距离为，利用的面积为求出的值，结合点到直线的距离公式可求出关于的函数关系式.【详解】（1），即，，且，，设点的坐标为，，，，解得，.直线的斜率为，，则直线的斜率为.因此，直线的方程为，即；（2）直线的方程为，即，，设点到直线的距离为，则的面积为，得，另一方面，由点到直线的距离公式得，，解得或.因此，关于的函数关系式为或.【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形的面积求出动点的轨迹方程，涉及两点间的距离公式、点到直线的距离公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.18.已知两点、，点是直角坐标平面上的动点，若将点的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点，且满足．（1）求动点所在曲线的方程；（2）过点作斜率为的直线交曲线于、两点，且满足，又点关于原点的对称点为点，求点、的坐标．【答案】（1）；（2），．【解析】【分析】（1）求出向量、的坐标，结合条件可得出动点的轨迹方程；（2）得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用向量的坐标运算得出的坐标，再由点关于原点的对称点为点，可求出点的坐标.【详解】（1），，，即，化简得，即，因此，曲线的方程为；（2）设点、，直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，得．由韦达定理得，，，，所以，点的坐标为，又点关于原点的对称点为点，则点的坐标为.【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，同时也考查了直线与椭圆的综合问题，涉及了利用向量的坐标运算求解点的坐标，考查运算求解能力，属于中等题.19.有一种大型商品，、两地都有出售，且价格相同，现地的居民从、两地之一购得商品后回运的运费是：地每公里的运费是地运费的倍，已知、两地相距，居民选择或地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低．（1）求地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状；（2）指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点．【答案】（1）点所在曲线的形状是圆；（2）答案不唯一，具体见解析.【解析】【分析】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，设点，然后根据题意建立、的方程，即可得出动点的轨迹方程，即可判断出点所在曲线的形状；（2）先考虑居民在地购货费用较低，得出，由此得出，可得出圆内的居民从地购货费用较低，同理得出圆外的居民从地购货费用较低．【详解】（1）以所在直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系，则、，设地的坐标为，且地到、两地购物的运费分别是、（元/公里），当地到、两地购物总费用相等时，价格地运费价格地运费，即，整理得．故地的居民选择地或地购物总费用相等时，点所在曲线的形状是圆；（2）若居民在地购货费用较低时，即：价格地运费价格地运费，得，化简得，所以，此时点在圆内，即圆内的居民从地购货费用较低.同理，圆外的居民从地购货费用较低．【点睛】本题考查轨迹方程，考查圆的方程的应用，考查学生利用数学知识解决实际问题，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.如图，由半圆和部分抛物线合成的曲线称为“羽毛球开线”，曲线与轴有两个焦点，且经过点(1)求的值；(2)设为曲线上的动点，求的最小值；(3)过且斜率为的直线与“羽毛球形线”相交于点三点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

福建省漳州市2019-2020学年高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若a＜b＜0，则下列结论不正确的是（）A . a2＜b2B . ab＜b2C .D . |a|﹣|b|=|a﹣b|2. （2分） (2015九上·沂水期末) 若且命题，命题q:，则p是q 的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）已知数列的前n项和，第k项满足，则k=（）A . 9B . 8C . 7D . 64. （2分）各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为（）A .B .C .D . 或5. （2分） (2017高一下·荔湾期末) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的范围是（）A . （1，2）B . （2，+∞）C . [3，+∞）D . （3，+∞）6. （2分） (2019高一下·吉林月考) 在中，角，，所对的边分别为，，，，则（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一上·银川期中) f（x）=ax2+ax﹣1在R上满足f（x）＜0恒成立，则a的取值范围是（）A . a≤0B . a＜﹣4C . ﹣4＜a＜0D . ﹣4＜a≤08. （2分） (2016高三上·珠海模拟) 若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A . 2B . 3C . 4D .9. （2分）在中，角是的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件10. （2分） (2016高二上·宁县期中) 已知数列，则是这个数列的（）A . 第六项B . 第七项C . 第八项D . 第九项11. （2分）(2018·河北模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A .B .C .D .12. （2分）在正项等比数列{an}中，a21+a22+……a2n=,则a1+a2+…an的值为（）A . 2nB . 2n-1C . 2n+1D . 2n+1-2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·吉林期中) 已知等差数列{an}的前三项为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项公式为________．14. （1分）(2013·浙江理) △ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，若，则sin∠BAC=________．15. （1分） (2016高一下·石门期末) 已知O是坐标原点，点A（﹣1，1），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则• 的取值范围是________．16. （1分）(2013·安徽理) 如图，互不相同的点A1 ， A2 ，…，An ，…和B1 ， B2 ，…，Bn ，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn+1An+1的面积均相等，设OAn=an ，若a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式是________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共50分)17. （5分）已知集合A={x|x2﹣5x+4≤0}，B={x|x2﹣（a+2）x+2a≤0}，若A∪B=A，求实数a的取值范围．18. （10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，证明：（1） bcosC+ccosB=a（2） = ．19. （10分） (2017高二下·湘东期末) 已知数列{an}的前n项的和为Sn ，且Sn+ an=1（n∈N*）（1）求{an}的通项公式；（2）设bn=﹣log3（1﹣Sn），设Cn= ，求数列{Cn}的前n项的和Tn．20. （10分） (2016高一下·安徽期中) 在△ABC中，角A，B，C对应边分别是a，b，c，c=2，sin2A+sin2B ﹣sin2C=sinAsinB．（1）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC面积；（2）求AB边上的中线长的取值范围．21. （5分） (2017高三上·济宁期末) 2016年双十一期间，某电子产品销售商促销某种电子产品，该产品的成本为2元/件，通过市场分析，双十一期间该电子产品销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元）之间满足关系式：y= +2x2﹣35x+170（其中2＜x＜8，a为常数），且已知当销售价格为3元/件时，该电子产品销售量为89千件．（Ⅰ）求实数a的值及双十一期间销售该电子产品获得的总利润L（x）；（Ⅱ）销售价格x为多少时，所获得的总利润L（x）最大？并求出总利润L（x）的最大值．22. （10分） (2016高二上·岳阳期中) 数列{bn}（bn＞0）的首项为1，且前n项和Sn满足Sn﹣Sn﹣1=+ （n≥2）．（1）求{bn}的通项公式；（2）若数列{ }前n项和为Tn，问Tn＞的最小正整数n是多少？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (共6题；共50分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意，数列的前几项为：；；；……则其通项公式.故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.2.已知数据的均值为2，那么数据的均值为（）A. 2B. 5C. 7D. 4【答案】C【解析】【分析】根据均值线性变换公式，求得新数据的均值.【详解】由数据的均值为，则数据的均值为.故选：C.【点睛】本小题主要考查数据均值的线性运算：若（）的均值为，则（）的均值为.属于基础题.3.已知，那么下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．详解】若，，则，则，故A不成立；不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；∵，，∴,故C不成立，，，则，成立，故D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础．4.某市的A，B，C三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4.如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C应抽取的学生数为（）A. 60B. 70C. 80D. 30【答案】C【解析】【分析】先求得学校学生占的比例，由此求得学校应抽取的学生数.【详解】学校C中的学生占的比例为，故学校C应抽取的人数为，故选：C.【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.5.已知数列的前项和为，且，则的值为（）A. -4B. -2C. -6D. -8【答案】A【解析】【分析】根据递推关系依次求得和的值.【详解】依题意，数列的前项和为，当时，，解得，当时，，解得，故选：A.【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题.6.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比数列性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.【详解】，，，，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.7.不等式的解集是，则的值为（）A. 14B. -14C. 10D. -10【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，求得的值，进而求得的值.【详解】不等式的解集是，可得是一元二次方程的两个实数根，，解得，，故选：D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，考查根与系数关系，属于基础题.8.设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.【详解】是等比数列可得（为定值）①为常数，故①正确②，故②正确③为常数，故③正确④不一定为常数，故④错误故选：C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.9.已知数列满足，若，则（）A. -1B. 2C. 3D. 2019【答案】C【解析】【分析】根据递推关系式判断出数列是周期为周期数列，由此求得的值.【详解】依题意，，则；；；所以数列以3为周期的数列，所以，所以.故选：C.【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.10.若，则时，与的大小关系为（）A.B.C.D. 随值变化而变化【答案】A【解析】【分析】利用作差比较法，计算得，由此得出正确选项.【详解】，，，且，，.故选：A.【点睛】本小题主要考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（）A. 10 小时B. 8 小时C. 12 小时D. 15 小时【答案】B【解析】【分析】由16．设mB＝1．则mA＝2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t．【详解】由题意得16．又不妨设mB＝1．则mA＝2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t＝8．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数的实际应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.正数满足,且恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】略二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有________辆.【答案】60【解析】【分析】先求得区间的频率，由此求得时速在的汽车的数量.【详解】由已知可得样本容量为200，又数据落在区间的频率为时速在的汽车大约有故答案为：60【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，属于基础题.14.已知数列满足，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】利用累乘法求得数列的通项公式.【详解】数列满足，则当时，，所有的式子相乘得，整理得（首项符合通项）.故.故答案为：【点睛】本小题主要考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.15.已知函数，则不等式的解集是___________．【答案】【解析】试题分析：函数，，由解得，由解得，故不等式的解集为.考点：分段函数解不等式.16.设正实数满足，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】设，得到，代入，利用一元二次方程有解，判别式为非负数列不等式，解不等式求得的可能取值范围，利用基本不等式确定的取值范围.【详解】设，所以，代入，得，化简得，方程有根，化简，解得或者由，所以，所以，所以.即的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查表达式最小值的求法，考查一元二次方程有实数根的条件，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷点数相同的概率；（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）列举出所有的基本事件，确定抛掷点数相同的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据（1）中列举出的基本事件，确定抛掷骰子的点数之和是的倍数的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子，基本事件：共有36个，用来表示两枚骰子向上的点数记“他们抛掷点数相同”为事件A，则A包含基本事件：（；，共6种，故.（2）记“他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数”为事件B，则B 包含基本事件有：，共12种.故.【点睛】本小题主要考查列举法计算古典概型概率问题，属于基础题.18.设等差数列的前项和为，已知.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】(1) ,(2)【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据等差数列前项和公式计算出.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得，解得，；（2）由，得.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，属于基础题.19.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【答案】(1)2,(2) 除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元.【解析】【分析】（1）利用原来的成本加上卫生综合整治后增加的成本，求得除尘后总成本的表达式，利用，，求得的值.（2）由（1）求得除尘后总成本的表达式，进而求得总利润的表达式，由此求得每吨产品利润的表达式，利用基本不等式求得每吨产品的利润的最大值，以及此时对应的日产量.【详解】（1）由题意，除尘后，当日产量时，总成本，故，解得.（2）由（1），总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元.【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.20.数列中，.（1）求；（2）求数列前项和；（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和.【答案】（1）,（2）,（3）【解析】【分析】（1）根据，求得的值.（2）利用，化简后证得是等比数列，由此求得的通项公式.（3）由（2）求得的通项公式，进而求得的通项公式，利用裂项求和法求得数列的前项和.【详解】（1），，.（2），是首项为，公比为2的等比数列..（3），，.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查裂项求和法，考查对数运算，属于基础题.21.一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌与身高进行测量，得到数据（单位：cm）作为样本如表所示：脚掌长（）2 0身高（）1 4 1（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为26.5cm，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm 以上的概率.（参考数据：，，，，）【答案】（1）,（2）脚长为26.5cm的人，身高约为185.5cm；（3）【解析】【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）将代入（1）中求得的回归直线方程，求得身高的估计值.（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由题意知，，，关于的线性回归方程为；（2）当时，，即脚长为26.5cm的人，身高约为185.5cm；（3）记身高在180cm以上的4人为A，B，C，D，其中C，D为身高190cm，从这4人中随机抽取2人的情形有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，其中有C或D的有5种，所求概率为.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查古典概型概率计算问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数的值域为，记函数.（1）求实数的值；（2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有5个不等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）1,(2) ,(3)【解析】【分析】（1）利用配方法，结合二次函数的性质求得的值.（2）将原问题转化为“存在成立”，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.（3）首先判断不是方程的根. 当时，利用换元法，将原方程转化为.通过研究的单调性和值域，结合方程根的个数，求得的取值范围，由此求得的取值范围.【详解】（1）因为，即有时，，即，解得..（2）由已知可得，由可转化为，存在成立，令，则问题转化为存在使不等式成立，记，则.（3）当，2时，，所以不是方程的根；当时，令，则当时，单调递减，且，当单调递增，且，当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，故原方程有5个不等实根可转化为即为，所以或，当，方程有3个不等根，故要使得原方程有5个不等实根，只要，即，所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据二次函数值域求参数，考查根据方程根的个数求参数的取值范围，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列的通项公式是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据数列前几项，归纳猜想出数列的通项公式.【详解】依题意，数列的前几项为：；；；……则其通项公式.故选：C.【点睛】本小题主要考查归纳推理，考查数列通项公式的猜想，属于基础题.2.已知数据的均值为2，那么数据的均值为（）A. 2B. 5C. 7D. 4【答案】C【解析】【分析】根据均值线性变换公式，求得新数据的均值.【详解】由数据的均值为，则数据的均值为.故选：C.【点睛】本小题主要考查数据均值的线性运算：若（）的均值为，则（）的均值为.属于基础题.3.已知，那么下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．详解】若，，则，则，故A不成立；不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；∵，，∴,故C不成立，，，则，成立，故D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础．4.某市的A，B，C三个学校共有学生3000名，且这三个学校学生人数之比为3:3:4.如果用分层抽样的方法从所有学生中抽取1个容量为200的样本，那么学校C应抽取的学生数为（）A. 60B. 70C. 80D. 30【答案】C【解析】【分析】先求得学校学生占的比例，由此求得学校应抽取的学生数.【详解】学校C中的学生占的比例为，故学校C应抽取的人数为，故选：C.【点睛】本小题主要考查分层抽样有关计算，属于基础题.5.已知数列的前项和为，且，则的值为（）A. -4B. -2C. -6D. -8【答案】A【解析】【分析】根据递推关系依次求得和的值.【详解】依题意，数列的前项和为，当时，，解得，当时，，解得，故选：A.【点睛】本小题主要考查根据数列递推关系式求某一项，属于基础题.6.已知各项为正数的等比数列中，，，则公比q＝A. 4B. 3C. 2D.【答案】C【解析】【分析】由，利用等比数列性质，结合各项为正数求出，从而可得结果.【详解】，，，，故选C.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，以及等比数列基本量运算，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力，属于简单题.7.不等式的解集是，则的值为（）A. 14B. -14C. 10D. -10【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，求得的值，进而求得的值.【详解】不等式的解集是，可得是一元二次方程的两个实数根，，解得，，故选：D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解集与一元二次不等式对应的一元二次方程的根的对应关系，考查根与系数关系，属于基础题.8.设是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等比数列.其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的个数.【详解】是等比数列可得（为定值）①为常数，故①正确②，故②正确③为常数，故③正确④不一定为常数，故④错误故选：C.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.9.已知数列满足，若，则（）A. -1B. 2C. 3D. 2019【答案】C【解析】【分析】根据递推关系式判断出数列是周期为周期数列，由此求得的值.【详解】依题意，，则；；；所以数列以3为周期的数列，所以，所以.故选：C.【点睛】本小题主要考查数列的周期性，属于基础题.10.若，则时，与的大小关系为（）A.B.C.D. 随值变化而变化【答案】A【解析】【分析】利用作差比较法，计算得，由此得出正确选项.【详解】，，，且，，.故选：A.【点睛】本小题主要考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.11.放射性物质的半衰期定义为每经过时间，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质，，开始记录时容器中物质的质量是物质的质量的2倍，而120小时后两种物质的质量相等，已知物质的半衰期为7.5小时，则物质的半衰期为（）A. 10 小时 B. 8 小时 C. 12 小时 D. 15 小时【答案】B【解析】【分析】由16．设mB＝1．则mA＝2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t．【详解】由题意得16．又不妨设mB＝1．则mA＝2．设物质B的半衰期为t．由题意可得：2，解得t＝8．故选：B．【点睛】本题考查了指数函数的实际应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.正数满足,且恒成立,则实数的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】略二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有________辆.【答案】60【解析】【分析】先求得区间的频率，由此求得时速在的汽车的数量.【详解】由已知可得样本容量为200，又数据落在区间的频率为时速在的汽车大约有故答案为：60【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算频数，属于基础题.14.已知数列满足，则数列的通项公式为________.【答案】【解析】【分析】利用累乘法求得数列的通项公式.【详解】数列满足，则当时，，所有的式子相乘得，整理得（首项符合通项）.故.故答案为：【点睛】本小题主要考查累乘法求数列的通项公式，属于基础题.15.已知函数，则不等式的解集是___________．【答案】【解析】试题分析：函数，，由解得，由解得，故不等式的解集为.考点：分段函数解不等式.16.设正实数满足，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】设，得到，代入，利用一元二次方程有解，判别式为非负数列不等式，解不等式求得的可能取值范围，利用基本不等式确定的取值范围.【详解】设，所以，代入，得，化简得，方程有根，化简，解得或者由，所以，所以，所以.即的最小值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查表达式最小值的求法，考查一元二次方程有实数根的条件，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共计70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.17.甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子.（1）求他们抛掷点数相同的概率；（2）求他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数的概率.【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）列举出所有的基本事件，确定抛掷点数相同的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.（2）根据（1）中列举出的基本事件，确定抛掷骰子的点数之和是的倍数的事件数，根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）甲、乙两个同学分别抛掷1枚质地均匀的骰子，基本事件：共有36个，用来表示两枚骰子向上的点数记“他们抛掷点数相同”为事件A，则A包含基本事件：（；，共6种，故.（2）记“他们抛掷骰子的点数之和是3的倍数”为事件B，则B包含基本事件有：，共12种.故.【点睛】本小题主要考查列举法计算古典概型概率问题，属于基础题.18.设等差数列的前项和为，已知.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】(1) ,(2)【解析】【分析】（1）将已知条件转化为的形式列方程组，解方程组求得的值，进而求得数列的通项公式.（2）根据等差数列前项和公式计算出.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由，得，解得，；（2）由，得.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和公式，属于基础题.19.近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本（单位：万元）与日产量（单位：吨）之间的函数关系式为，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为万元，除尘后当日产量时，总成本.（1）求的值；（2）若每吨产品出厂价为59万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？【答案】(1)2,(2) 除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元.【解析】【分析】（1）利用原来的成本加上卫生综合整治后增加的成本，求得除尘后总成本的表达式，利用，，求得的值.（2）由（1）求得除尘后总成本的表达式，进而求得总利润的表达式，由此求得每吨产品利润的表达式，利用基本不等式求得每吨产品的利润的最大值，以及此时对应的日产量.【详解】（1）由题意，除尘后，当日产量时，总成本，故，解得.（2）由（1），总利润，每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，除尘后日产量为11吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为6万元.【点睛】本小题主要考查函数在实际生活中的应用，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.20.数列中，.（1）求；（2）求数列前项和；（3）设，存在数列使得，试求数列的前项和.【答案】（1）,（2）,（3）【解析】【分析】（1）根据，求得的值.（2）利用，化简后证得是等比数列，由此求得的通项公式.（3）由（2）求得的通项公式，进而求得的通项公式，利用裂项求和法求得数列的前项和. 【详解】（1），，.（2），是首项为，公比为2的等比数列..（3），，.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查裂项求和法，考查对数运算，属于基础题.21.一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌与身高进行测量，得到数据（单位：cm ）作为样本如表所示：脚掌长（） 20身高（）141（1）在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程；（2）若某人的脚掌长为26.5cm，试估计此人的身高；（3）在样本中，从身高180cm以上的4人中随机抽取2人进行进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190cm以上的概率.（参考数据：，，，，）【答案】（1）,（2）脚长为26.5cm的人，身高约为185.5cm；（3）【解析】【分析】（1）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.（2）将代入（1）中求得的回归直线方程，求得身高的估计值.（3）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】（1）由题意知，，，关于的线性回归方程为；（2）当时，，即脚长为26.5cm的人，身高约为185.5cm；（3）记身高在180cm以上的4人为A，B，C，D，其中C，D为身高190cm，从这4人中随机抽取2人的情形有：AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，其中有C或D的有5种，所求概率为.【点睛】本小题主要考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查古典概型概率计算问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数的值域为，记函数.（1）求实数的值；（2）存在使得不等式成立，求实数的取值范围；（3）若关于的方程有5个不等的实数根，求实数的取值范围.【答案】（1）1,(2) ,(3)【解析】【分析】（1）利用配方法，结合二次函数的性质求得的值.（2）将原问题转化为“存在成立”，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.（3）首先判断不是方程的根. 当时，利用换元法，将原方程转化为.通过研究的单调性和值域，结合方程根的个数，求得的取值范围，由此求得的取值范围.【详解】（1）因为，即有时，，即，解得..（2）由已知可得，由可转化为，存在成立，令，则问题转化为存在使不等式成立，记，则.（3）当，2时，，所以不是方程的根；当时，令，则当时，单调递减，且，当单调递增，且，当时，单调递减，且，当时，单调递增，且，故原方程有5个不等实根可转化为即为，所以或，当，方程有3个不等根，故要使得原方程有5个不等实根，只要，即，所以的取值范围是.【点睛】本小题主要考查根据二次函数值域求参数，考查根据方程根的个数求参数的取值范围，考查存在性问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选A.2.双曲线的虚轴长等于（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可．【详解】双曲线，可得b=1，所以双曲线的虚轴长等于2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．3.已知直线与直线平行，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得：或，当时，与重合，不满足题意，舍去；当时，与平行，满足题意.故选：B【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型.4.观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第20项等于（）A. 2020B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数．【详解】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由，所以该数列的第20项为．故选：D．【点睛】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．5.若点在椭圆：，，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（）A. B. 3 C. 4 D. 1【答案】D【解析】根据椭圆方程算出c，从而中得到，结合椭圆的定义联解，得到，最后用直角三角形面积公式，即可算出的面积．【详解】∵椭圆C：，∴a2=4，b2=1．可得，因此中，，由勾股定理得①根据椭圆的定义，得②①②联解，可得，∴的面积．故选：D．【点睛】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题．6.已知正项等比数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为q＞0，利用通项公式即可得出．【详解】设正项等比数列的公比为q＞0．，，，，解得：，，则.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．【详解】化圆：为，可得圆的圆心坐标为，半径为7；由圆：的圆心坐标为，半径为2，∴，而，∴两圆的位置关系为内切．故选：D．【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．8.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率．【详解】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，，，所以．故选：A．【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力．9.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数（）A B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a．【详解】由题意，圆心，半径，由几何知识可得，圆心C到直线l的距离，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题．10.若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出，，，由此能求出的最大值．【详解】∵等差数列的前n项和为，，，，∴，，∴，，的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：ABC．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．12.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）A. 椭圆方程为B. 椭圆方程为C. D. 的周长为【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．【详解】由已知得，2b=2，b=1，，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A. B. 为中点 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案.【详解】如图所示：作准线于，轴于，准线于.直线的斜率为，故，，，故，.，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.准线方程为的抛物线的标准方程是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得．该抛物线的标准方程是．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．15.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的离心率______.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线C：的一条渐近线，由于一条渐近线与直线垂直，则有，，则离心率为．故答案：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．16.已知等差数列的首项为1，公差不为零，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为______.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】等差数列的首项为1，公差d不为零，若，，成等比数列，可得，即，解得（0舍去），数列前8项的和为．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为：.（2）由（1）知：，所以.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.已知为坐标原点，点和点，动点满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程.【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支；（2）或【解析】【分析】（1）由动点满足，可得到轨迹曲线为双曲线的右支；（2）由（1）可得F的坐标，然后再求出抛物线的方程，设出直线的方程为，后根据焦点弦弦长公式得到关于k的方程，解出即可．【详解】解：（1）根据双曲线的定义：点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支且，所以，，，，所以动点的轨迹方程为：.（2）因为曲线的顶点为，所以抛物线的方程为：，当直线斜率不存时，不满足题意，设直线：，由抛物线的定义知：，，，所以，将代入得：，所以，解得，所以直线的方程为：或.【点睛】本题主要考查双曲线的定义以及直线与圆锥曲线的关系，应用抛物线的定义求其弦长公式即可快速求解，属于中档题．21.已知为坐标原点，定点，定直线：，动点到直线的距离为，且满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程；（2）若直线：与曲线交于，两点，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设，P到F的距离，P到定直线l的距离为，进而求解；（2）设，，联立直线方程和椭圆方程，求出t的取值范围，进而由三角形面积公式求解；【详解】解：（1）设点，由题知：，所以，整理得点的轨迹方程为：.（2）将带入得：，所以，，得，，点到直线的距离，∴，当且仅当即时等号成立满足，面积最大值为.【点睛】（1）考查椭圆轨迹方程解析式求解；，点到直线距离，点到点的距离公式应用；（2）考查圆锥曲线与直线相交，求三角形面积最值问题，解决本题关键点在于怎么表示三角形的面积；22.已知数列的前项和为，，，.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知曲线若为椭圆，求的值；（3）若，求数列的前项和．【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）利用的递推公式证明出为非零常数，即可得出结论；（2）利用（1）中的结论求出，由与之间的关系求出，结合题意得出，可求出的值；（3）求出数列的通项公式，然后利用错位相减法求出.【详解】（1）对任意的，，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，，也适合上式，所以，.由于曲线是椭圆，则，即，，解得或；（3），，①，②①②得，因此，.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了利用椭圆方程求参数以及错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.23.已知为坐标原点，椭圆：上顶点为，右顶点为，离心率，圆：与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，，为椭圆上的三个动点，直线，，的斜率分别为.（i）若的中点为，求直线的方程；（ii）若，证明：直线过定点.【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率和直线AB与圆相切分别得到a，b的关系式，求解得椭圆的方程；（2）（i）由点差法求出直线EF的斜率，然后写出方程；（ⅱ）由直线DE、DF与椭圆的相交关系，分别求出E、F两点的横坐标，再利用，求得，另设直线的方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理表示，求得，故得结论直线EF过定点．【详解】解：（1）由题意，直线的方程为：，即为，因为圆与直线相切，所以，①设椭圆的半焦距为，因为，，所以②由①②得：，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设，，，（i）由题知：，，两式做差得：，，整理得：，所以此时直线的方程为：；（ii）设直线：，设直线：，将代入，得：，所以，，因此.又因为，且同理可得：，可得，设直线的方程为：，将代入，得：，得，所以，所以直线过定点.【点睛】本题考查了椭圆的基本的几何性质，考查了点差法，直线与椭圆的位置关系，属于难题．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°【答案】A【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.故选A.2.双曲线的虚轴长等于（）A. B. 1 C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求解双曲线的虚轴长即可．【详解】双曲线，可得b=1，所以双曲线的虚轴长等于2．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．3.已知直线与直线平行，则（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】【分析】由两直线平行，得到，求解，得出的值，再代入直线方程检验，即可得出结果.【详解】因为直线与直线平行，所以，即，解得：或，当时，与重合，不满足题意，舍去；当时，与平行，满足题意.故选：B【点睛】本题主要考查由直线平行求参数，熟记直线平行的判定条件即可，属于常考题型. 4.观察数列1，，，4，，，7，，……，则该数列的第20项等于（）A. 2020B. 20C.D.【答案】D【解析】【分析】通过观察数列得出规律，数列中的项是按正整数顺序排列，且以3为循环节，由此判断第20项是哪个数．【详解】由数列得出规律，按照1，，，…，是按正整数的顺序排列，且以3为循环节，由，所以该数列的第20项为．故选：D．【点睛】本题考查了归纳推理的应用问题，是基础题．5.若点在椭圆：，，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（）A. B. 3 C. 4 D. 1【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程算出c，从而中得到，结合椭圆的定义联解，得到，最后用直角三角形面积公式，即可算出的面积．【详解】∵椭圆C：，∴a2=4，b2=1．可得，因此中，，由勾股定理得①根据椭圆的定义，得②①②联解，可得，∴的面积．故选：D．【点睛】本题给出椭圆方程，求当焦点三角形是直角三角形时求焦点三角形的面积，着重考查了勾股定理、椭圆的定义及简单性质等知识，属于中档题．6.已知正项等比数列的前项和为，，，，则（）A. B. C. 3 D. 2【答案】C【解析】【分析】设正项等比数列的公比为q＞0，利用通项公式即可得出．【详解】设正项等比数列的公比为q＞0．，，，，解得：，，则.故选：C．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.已知圆：与圆：，则两圆的位置关系为（）A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切【答案】D【解析】【分析】化圆的一般方程为标准方程，求得圆心坐标与半径，再由两圆的圆心距与半径的关系判断．【详解】化圆：为，可得圆的圆心坐标为，半径为7；由圆：的圆心坐标为，半径为2，∴，而，∴两圆的位置关系为内切．故选：D．【点睛】本题考查两圆位置关系的判定，考查圆的一般方程化标准方程，是基础题．8.人造地球卫星的运行轨道是以地心为焦点的椭圆.设地球的半径为，卫星近地点、远地点离地面的距离分别为，，则卫星轨道的离心率等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，求出椭圆的长半轴a，半焦距c，即可确定椭圆的离心率．【详解】椭圆的离心率：，（c，半焦距；a，长半轴）所以只要求出椭圆的c和a，由题意，结合图形可知，，，所以．故选：A．【点睛】本题是基础题，考查椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关键，考查学生的作图视图能力．9.已知直线：与圆：相交于，两点，若，则实数（）A B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】【分析】利用弦长求出圆心到直线的距离，再用点到直线的距离公式即可求出a．【详解】由题意，圆心，半径，由几何知识可得，圆心C到直线l的距离，解得，故选：A．【点睛】本题主要考查利用几何法解决直线与圆的相交时的弦长问题，属于基础题．10.若等差数列的前项和为，，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出，，，由此能求出的最大值．【详解】∵等差数列的前n项和为，，，，∴，，∴，，的最大值为．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.11.若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】讨论直线过原点时和直线不过原点时，分别求出对应的直线方程即可．【详解】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或．故选：ABC．【点睛】本题考查了利用分类讨论思想求直线方程的问题，是基础题．12.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，且短轴长为2，离心率为，过焦点作轴的垂线，交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（）A. 椭圆方程为B. 椭圆方程为C. D. 的周长为【答案】ACD【解析】【分析】由已知求得b，再由离心率结合隐含条件求得a，可得椭圆方程，进一步求得通径及的周长判断得答案．【详解】由已知得，2b=2，b=1，，又，解得，∴椭圆方程为，如图：∴，的周长为．故选：ACD．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．13.已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（）A. B. 为中点 C. D.【答案】ABC【解析】【分析】如图所示：作准线于，轴于，准线于，计算得到，为中点，，，得到答案.【详解】如图所示：作准线于，轴于，准线于.直线的斜率为，故，，，故，.，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.14.准线方程为的抛物线的标准方程是___________.【答案】【解析】【分析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，并求得值，则答案可求．【详解】解：由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得．该抛物线的标准方程是．故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．15.已知双曲线：的一条渐近线与直线：垂直，则双曲线的离心率______.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，再由两直线垂直的条件，可得，b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到所求．【详解】双曲线C：的一条渐近线，由于一条渐近线与直线垂直，则有，，则离心率为．故答案：．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．16.已知等差数列的首项为1，公差不为零，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为______.【答案】.【解析】【分析】设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】等差数列的首项为1，公差d不为零，若，，成等比数列，可得，即，解得（0舍去），数列前8项的和为．故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．17.已知圆上一动点，定点，轴上一点，则的最小值等于______.【答案】【解析】【分析】根据题意画出示意图，进而数形结合求解；【详解】根据题意画出圆，以及点B（6，1）的图象如图，作B关于x轴的对称点，连接圆心与，则与圆的交点A，即为的最小值，为点（0，2）到点（6，-1）的距离减圆的半径，即，故答案为：．【点睛】考查“将军饮马”知识，数形结合的思想，画出图形，做出B点的对称点是解决本题的突破点；四、解答题：共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接利用已知条件建立等量关系式求出数列的首项和公差，进一步求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和，进一步利用放缩法的应用求出结果．【详解】解：（1）设等差数列的公差为，因为，所以，所以，所以数列的通项公式为：.（2）由（1）知：，所以.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.在平面直角坐标系中，圆的圆心在直线上，且圆经过点和点.（1）求圆的标准方程；（2）求经过点且与圆恰有1个公共点的直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由题意可知，圆心应在弦PQ的中垂线上，求出该直线方程，与圆心所在直线方程联立求解，求得圆心坐标，再利用点P在圆上，求出半径，进而求出圆的方程；（2）分直线的斜率是否存在进行讨论，设出直线的点斜式方程，由直线与圆相切可知，圆心到直线的距离等于半径，求出直线的斜率，从而求出直线的方程．【详解】解：（1）直线的斜率，中点坐标为，所以中垂线方程为，即，由得，圆心，所以，所以圆的标准方程为：.（2）当该直线斜率不存在，即直线方程为时，成立，当该直线斜率存在时，设其方程为：，即，因为该直线与圆恰有1个公共点，所以圆心到直线距离，得.所以切线方程为或.【点睛】本题考查的知识要点：圆与直线的位置关系式的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．20.已知为坐标原点，点和点，动点满足：.（1）求动点的轨迹曲线的方程并说明是何种曲线；（2）若抛物线：的焦点恰为曲线的顶点，过点的直线与抛物线交于，两点，，求直线的方程.【答案】（1）动点的轨迹方程为：，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支；（2）或【解析】。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.数列1,3,7,15,…的通项公式等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故可得，故选C.2.若，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件采用排除法即可选出答案.【详解】对于A,当时显然无意义，故不成立，错误；对于B, 时不成立，故错误；对于C,时显然不成立，故错误；因此选D.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，注意使用排除法，属于中档题.3.已知等差数列中，，，则的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64【答案】A【解析】由等差数列的性质得，，，故选A.4.不等式的解集是( )A. {x|x＜－8或x＞－3}B. {x|x≤－8或x＞－3}C. {x|－3≤x≤2}D. {x|－3＜x≤2}【答案】B【解析】【分析】先将分式不等式转化为整式不等式，再解二次不等式即可得解.【详解】解:因为,所以,所以 ,解得或,故选：B.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，主要要注意分母不为0，重点考查了二次不等式的解法及运算能力，属基础题.5.等比数列中, 则的前项和为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可知，列出方程即可求出的值，利用即可求出的值，然后利用等比数列的首项和公比，根据等比数列的前n项和的公式即可求出的前项和.【详解】，解得，又，则等比数列的前项和.故选：B.【点睛】等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．6.等差数列，，，则此数列前项和等于（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，得得a1+a20=所以S20=故选D7.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为( )A. 5B. 5C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，得，再结合三角形的性质及正弦定理可得三角形的最大边长，得解.【详解】解：由在△ABC中，B＝135°，C＝15°，则，因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大，由正弦定理可得，，故选:A.【点睛】本题考查了三角形的性质及三角形基本量的运算，重点考查了正弦定理，属基础题.8.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=( )A. 5B.C. 2D. 1【答案】B【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B.考点：本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式，考查解三角形的基础知识.9.若实数a，b满足a＋b＝2，则的最小值是( )A. 18B. 6C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】由重要不等式可得，再根据a＋b＝2，代入即可得解.【详解】解：由实数a，b满足a＋b＝2，有，当且仅当，即时取等号，故选:B.【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.10.若f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则m的取值范围是( )A. m<－2或m>2B. －2<m<2C. m≠±2D. 1<m<3【答案】A【解析】【分析】由二次函数f(x)＝－x2＋mx－1开口向下，又f(x)的函数值有正值，则图像与轴有两个交点，即，求解即可.【详解】解：因为f(x)＝－x2＋mx－1的函数值有正值，则，整理得，解得m<－2或m>2，故选：A.【点睛】本题考查了二次函数的图像，重点考查了函数的最值，属基础题.11.△ABC中, 如果, 那么△ABC是（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 钝角三角形【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由正弦定理得，所以，,所以，同理可得，所以三角形是等边三角形.考点：正弦定理在三角形中的应用.12.在中, ，那么满足条件的 ( )A. 有一个B. 有两个C. 不存在D. 不能确定【答案】C【解析】由正弦定理可得：，满足条件不存在，满足条件的不存在，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若数列满足，，则_____________；前8项的和______________.（用数字作答）【答案】 (1). 16 (2). 255【解析】【分析】利用递推式推导出数列为等比数列，利用通项公式和求和公式，代入即可求解, 属于基础题.【详解】由知是以1为首项，2为公比的等比数列，由通项公式及前项和公式知【点睛】本题考察求通项和求前n项和的问题，属于基础题.14.给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0.能得出成立的有_____．(填序号)【答案】①②④【解析】【分析】由的充要条件为，再判断的充分条件即可.【详解】因为的充要条件为，对于①，当b>0>a时，能够推出；对于②，当0>a>b时，能够推出；对于③，当a>0>b时，则，不能推出；对于④，当a>b>0时，能够推出.故答案：①②④.【点睛】本题考查了分式不等式的解法，重点考查了充分条件，属基础题.15.在△ABC中，若b＝a，B＝2A，则△ABC为______三角形．【答案】等腰直角【解析】【分析】由B＝2A，得，由正弦的二倍角公式可得，又b＝a，由正弦定理可得，再运算即可得解.【详解】解：因为在△ABC中，若b＝a，B＝2A，所以，即，由正弦定理，则又b＝a，所以，又，所以，即，即△ABC为等腰直角三角形，故答案为：等腰直角.【点睛】本题考查了利用正弦定理判断三角形的形状及正弦的二倍角公式，重点考查了运算能力，属基础题.16.函数的值域为________．【答案】(-∞，-2]【解析】令，由对勾函数可知，则的值域为。

福建省2019—2020学年高二数学上学期期中考试卷（六）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题（12*5=60分）1．函数y=x2sinx的导数为（）A．y′=2xsinx+x2cosx B．y′=2xsinx﹣x2cosxC．y′=x2sinx+2xcosx D．y′=x2sinx﹣2xcosx2．命题p：∀x∈R，x2+ax+a2≥0；命题q：∃x∈R，sinx+cosx=2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）3．“sinx=”是“x=”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．抛物线x2=4y的准线方程是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．y=1 D．y=﹣15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为3x+4y=0，则双曲线离心率e=（）A．B．C．D．6．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）7．曲线f（x）=x3+x﹣2在点P处的切线与直线x+4y+1=0垂直，则点P的坐标（）A．（1，0）B．（1，0）或（﹣1，﹣4）C．（2，8）D．（2，8）或（﹣1，﹣4）8．函数f（x）=（x﹣3）e x的单调递增区间是（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（1，4）D．（0，3）9．已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A． B．3 C．D．10．函数f（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则实数a的取值范围是（）A．a≤0 B．a＜1 C．a＜2 D．a＜11．过点（3，﹣2）且与椭圆4x2+9y2=36有相同焦点的椭圆的方程是（）A．+=1 B．+=1C．+=1 D．+=112．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二．填空题（4*5=20分）13．命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是．14．若命题“∃x∈R，x2+ax+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．15．若双曲线的渐近线方程为y=±3x，它的一个焦点是，则双曲线的方程是．16．函数f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]，表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率均为﹣1，有以下命题：①f（x）的解析式是f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；②f（x）的极值点有且只有1个；③f（x）的最大值与最小值之和为0；其中真命题的序号是．三．解答题（10+12+12+12+12+12=70分）17．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P与Q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18．（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点（﹣2，0），（2，0）的距离之和为6，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若椭圆过（2，0），离心率为，求椭圆的标准方程．19．已知函数，f（x）=x3﹣ax2﹣9x+11且f′（1）=﹣12．（I）求函数f（x）的解析式；（II）求函数f（x）的极值．20．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P（4，m）到焦点的距离为6．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若抛物线C与直线y=kx﹣2相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．21．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=x+t（t＞0）与椭圆C交于A，B两点．若原点O在以线段AB为直径的圆内，求实数t的取值范围．22．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．参考答案一．单项选择题1．A．2．B．3．C 4．D．5．A．6．D．7．B．8．A．9．A．10．A．11．C．12．D．二．填空题13．解：由命题的否定义知：要否定结论同时改变量词故答案是∃x∈R，x2＜014．解：∵命题“存在实数x，使x2+ax+1＜0”的否定是任意实数x，使x2+ax+1≥0，命题否定是假命题，∴△=a2﹣4＞0∴a＜﹣2或a＞2故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．15．解：因为双曲线的渐近线方程为y=±3x，则设双曲线的方程是，又它的一个焦点是故λ+9λ=10∴λ=1，故答案为：16．解：函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为﹣1，则有，解得a=0，b=﹣4．所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可见f（x）=x3﹣4x，因此①正确；②令f′（x）=0，得x=±．因此②不正确；所以f（x）在[﹣，]内递减，且f（x）的极大值为f（﹣）=，极小值为f（）=﹣，两端点处f（﹣2）=f（2）=0，所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=﹣，则M+m=0，因此③正确．故答案为：①③．三．解答题17．解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果P正确，且Q不正确，有；如果Q正确，且P不正确，有．所以实数a的取值范围为．18．解：（Ⅰ）∵两个焦点的坐标分别是（﹣2，0），（2，0），∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=2，∴由椭圆的定义可得：2a=6，即a=3，∴由a，b，c的关系解得b2=32﹣22=5，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）由于离心率e==，得，，当椭圆焦点在x轴上时，a=2，∴b2=1，∴所求椭圆方程为；当椭圆焦点在y轴上时，b=2，∴a2=16，∴所求椭圆方程为．19．解：（Ⅰ）由f（x）=x3﹣ax2﹣9x+11，得：f′（x）=3x2﹣2ax﹣9，又f′（1）=3×12﹣2a﹣9=﹣12，∴a=3．则f（x）=x3﹣3x2﹣9x+11；（Ⅱ）由f′（x）=3x2﹣2ax﹣9=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3）．当x＜﹣1或x＞3时，f′（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上为增函数，在（﹣1，3）上为减函数．∴函数f（x）的极大值为f（﹣1）=16，极小值为f（3）=﹣16．20．解：（Ⅰ）由题意设抛物线方程为y2=2px，其准线方程为x=﹣，∵P（4，m）到焦点的距离等于A到其准线的距离，∴4+∴p=4∴抛物线C的方程为y2=8x（Ⅱ）由消去y，得k2x2﹣（4k+8）x+4=0∵直线y=kx﹣2与抛物线相交于不同两点A、B，则有k≠0，△=64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又=2，解得k=2，或k=﹣1（舍去）∴k的值为2．21．解：（Ⅰ）依题意，可知m＞1，且，所以，所以m2=2，即椭圆C的方程为．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则原点O在以线段AB为直径的圆内，等价于（A，O，B三点不共线），也就等价于，即x1x2+y1y2＜0…①…联立，得3x2+4tx+2（t2﹣1）=0，所以△=16t2﹣24（t2﹣1）＞0，即0＜t2＜3…②且…于是代入①式得，，即适合②式…又t＞0，所以解得即求．…22．解：（Ⅰ）由已知，则f'（1）=2+1=3．故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3；（Ⅱ）．①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0所以，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max，因为g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g（x）max=2…由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得a＜﹣．。

2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）时长：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是：，．故选：D．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．【详解】解：双曲线的渐近线方程：y＝±2x．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由，得；反之，由，得或．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查三角不等式的解法，是基础题．4.等差数列的前三项依次为，，，则的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675【答案】B【解析】【分析】根据等差中项的性质计算出x值，即可得到公差，进而得到所求．【详解】解：依题意，x，1﹣x，3x，成等差数列，所以2（1﹣x）＝x+3x，解得x＝，所以数列{an}的公差d＝（1﹣x）﹣x＝，所以a2019＝a1+（2019﹣1）×d＝＝673．故选：B．【点睛】本题考查了等差中项的性质．考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．5.对于下列四个条件：①（，为常数，）；②（为常数，）；③；④的前项和（）.能确定数列是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】直接利用数列的关系式的应用判断数列为等差数列．【详解】解：①an＝kn+b（k，b为常数，n∈N*）；数列{an}的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，②an+2﹣an＝d（d为常数，n∈N*）；不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误．③an+2﹣2an+1+an＝0（n∈N*）；对于数列{an}的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确．④{an}的前n项和（n∈N*）．不符合所以，不为等差数列．故错误．故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.已知数列的通项公式，若“”的充要条件是“”，则的值等于（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】求出an＜an+1（n∈N*）成立的a的范围，再由a＜时，an＜an+1（n∈N*）恒成立，可得M的值为．【详解】解：数列{an}的通项公式，必要性：若an＜an+1（n∈N*），则＝2n+1﹣2a＞0恒成立，即a＜对任意n∈N*恒成立，则a＜；充分性：当a＜时，＝2n+1﹣2a＞0对任意n∈N*恒成立，即an＜an+1（n∈N*）．∴“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜”，∴M的值等于．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．7.如图，在四面体中，，分别是棱，的中点，，，，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点E，连结ME，NE，则ME∥AB，ME＝＝3，NE∥CD，NE＝＝2，从而∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB，CD所成角的余弦值．【详解】解：取BD中点E，连结ME，NE，∵在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB＝6，CD＝4，，∴ME∥AB，ME＝＝3，NE∥CD，NE＝＝2，∴∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），cos∠MEN＝＝＝﹣，∴异面直线AB，CD所成角的余弦值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.【详解】解：直角坐标系中，椭圆，所以，当时，，故，整理得，故选：C.【点睛】本题考查知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.在平面直角坐标系中，设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m≠±，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【详解】解：双曲线的a＝，A（﹣，0），B（，0），设P（m，n），m≠±，则﹣＝1，即n2＝4（﹣1），则tanα＝，tan（π﹣β）＝﹣tanβ＝，则﹣tanαtanβ＝＝，即tanαtanβ＝﹣，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式，考查计算能力，属于基础题．10.已知数列是等比数列，表示其前项和.若，，则的值为（）A. -2B. 2C. 4D. 2或4【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{an}的公比为q，由a3＝2，S4＝3S2，可得：q≠1，a1q2＝2，＝3×，解得：a1＝2，q＝﹣1；a1＝1，q2＝2．则a5＝2或4．故选：D．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，则取最大值时的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】首先利用等差数列的关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性的应用求出最大值．【详解】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，设首项为a1，公差为d，且a2+a3＝8，S7＝49；所以，整理得解得，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，数列{bn}满足①，当n≥2时，②，①﹣②得，所以，令，即，解得，故当n＝2时，为最大值．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用及最大项的判断，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，当时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】∠AOB＝90°，即，，然后方程联立韦达定理代入即可得出．【详解】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+2；由，得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0；，；y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4；由∠AOB＝90°，即，，即，解得 k2＝5；又k＞0，则；故选：C．【点睛】本题考查了垂直关系的处理，考查设而不求的思想方法，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应置上.13.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】若，，则，t，存在性问题中，只需要t大于等于n+最小值即可，对于n+最小值可以结合对勾函数求，但是一定要注意n只能是正整数，故可以得最小值是5，进而得t的取值范围．【详解】解：若，n2﹣nt+6≤0，则，t，所以只需要t大于等于n+最小值即可．当时，根据对勾函数的性质可知，n+≥5．所以，t≥5，故答案为：[5．+∞）．【点睛】本题考查存在性问题求参数t取值范围，是中档题．14.在正项等比数列中，已知，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质即可得出．【详解】解：正项等比数列{an}中，由，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.若数列满足;,,,且为等差数列,则________.【答案】【解析】【分析】由为等差数列,先求出通项，然后用累加法求．【详解】由题意，，为等差数列,∴公差为，∴，（），所以．此式对也适用．∴.故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用累加法求数列通项公式．在用累加法求通项公式时，要注意与求法不相同，最后要检验．16.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】首先利用椭圆的定义求出a、b、c的值，进一步求出椭圆的方程．【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB ＝BF1，设F2B＝x，则AF2＝3x，AB＝BF1＝4x，根据椭圆的定义，整理得AF1＝2x，由于△AF1B为等腰三角形，所以，利用余弦定理，整理得，解得，故，所以2a＝5x＝，解得：a＝，由于c＝2，所以b＝，所以椭圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知：在平面直角坐标系中，方程表示双曲线；：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）结合命题p是真命题，以及双曲线方程的特点进行求解即可．（2）根据条件分别求出命题为真命题的等价条件，结合必要条件的定义进行转化求解即可．【详解】解：（1）若命题为真，即方程表示双曲线，所以，解得，即.（2）若命题为真，即不等式成立，解得，因为是的必要条件，所以，故，解得.所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．比较基础．18.在数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用递推关系式构造新数列，从而可求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果．【详解】解：（1）由得，因为，所以，所以，所以是为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以，数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，于是，所以，综上，为定值2.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19.如图，已知在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在平面PBC内作PO⊥BC，O为垂足，在底面ABCD内作OE⊥BC，OE∩AD＝E，连结PE，由已知ABCD为矩形，推导出PO⊥底面ABCD，PO⊥AD，OE⊥BC，从而OE⊥AD，AD⊥平面POE，AD⊥PE，再由AD⊥OE，得∠OEP是二面角P−AD−B的平面角．由此能求出二面角P−AD−B的大小；（2）推导出BC∥平面PAD，从而点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离．在Rt△POE中作OH⊥PE，H为垂足，推导出OH⊥平面PAD，从而点O到平面PAD的距离即为OH的长，此能求出点B到平面PAD的距离．【详解】解：（1）在平面内作，为垂足，在中，，所以.在底面内作，，连结，由已知为矩形，易知也是矩形，故.又平面底面，平面底面，平面，所以底面，而底面，所以，又，，所以，而平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是二面角的平面角.因为底面，底面，所以，在中，，所以，故二面角的大小为.（2）因为，而平面，平面，所以平面，又，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离.在中作，为垂足，由（1）知平面，而平面，所以，又，平面，平面，所以平面，所以，点到平面的距离即为的长.在中，，即，综上，点到平面的距离为.【点睛】本题考查二面角的求法，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：左、右焦点分别为，，点在椭圆上.（1）若，点的坐标为，求椭圆的方程；（2）若点横坐标为，点为中点，且，求椭圆的离心率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意，然后将点坐标代入方程，可求解出a，可得椭圆方程；（2）将P点横坐标代入椭圆方程可得P的坐标，可得的中点M的坐标，再由，可得a，c的关系式，从而求解离心率．【详解】解：（1）设椭圆焦距为，则，所以.①又点在椭圆：上，所以.②联立①②解得或（舍去）.所以椭圆的方程为；（2）设椭圆焦距为，则，，代入得，不妨设点在轴上方，故点坐标为，又点为中点，故点坐标为，所以，，由得，即，化简得，将代入得，即，所以，解得，因为，所以椭圆的离心率为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆离心率的求法，属于中档题．21.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点的动直线与椭圆交于，两点.（1）求证：为定值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）将椭圆方程与直线方程联立，韦达定理表示出来，然后将的坐标表示出来，将韦达定理代入可得；（2）用（1）中的结论表示出三角形的面积，然后求最值．【详解】解：（1）当直线的斜率存在时，设其方程为，点，的坐标分别为，.联立得，其判别式，所以，，从而，，当直线斜率不存在时，.所以当时，为定值-3；（2）显然直线的斜率存在，设其方程为，由（1）知，，所以的面积.设，则，因此，当且仅当，即时，的面积取得最大值.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，方程联立韦达定理的设而不求的思想，三角形面积的求法，属于中档题22.设数列的前项和为，对任意总有，且.（1）求，；（2）求数列的通项公式；（3）若对任意，，不等式恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）；（2）（3）实数的最小值为2【解析】【分析】（1）令得，令求解数列的前两项；（2）通过数列递推关系式推出，转化求解数列的通项公式；（3）依题意知，都成立，然后通过基本不等式化简求解即可．【详解】解：（1）令得，故，于是.令得，故，，又，，故.（2）由，①可知，当时，，②①-②，得，故，于是或，若，则，，不合题意；于是，即，即数列是公差为1的等差数列.又，∴.故；（3）依题意知，都成立，由基本不等式得，当且仅当时取“”，所以的最大值为2，所以，实数的最小值为2.【点睛】本题考查数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）时长：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上.1.命题“，”的否定是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“，”的否定是：，．故选：D．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程求出渐近线方程即可．【详解】解：双曲线的渐近线方程：y＝±2x．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由，得；反之不成立．再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：由，得；反之，由，得或．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查三角不等式的解法，是基础题．4.等差数列的前三项依次为，，，则的值为（）A. 672B. 673C. 674D. 675【解析】【分析】根据等差中项的性质计算出x值，即可得到公差，进而得到所求．【详解】解：依题意，x，1﹣x，3x，成等差数列，所以2（1﹣x）＝x+3x，解得x＝，所以数列{an}的公差d＝（1﹣x）﹣x＝，所以a2019＝a1+（2019﹣1）×d＝＝673．故选：B．【点睛】本题考查了等差中项的性质．考查了等差数列的通项公式，考查分析解决问题的能力和计算能力，属于基础题．5.对于下列四个条件：①（，为常数，）；②（为常数，）；③；④的前项和（）.能确定数列是等差数列的条件的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】直接利用数列的关系式的应用判断数列为等差数列．【详解】解：①an＝kn+b（k，b为常数，n∈N*）；数列{an}的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，②an+2﹣an＝d（d为常数，n∈N*）；不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误．③an+2﹣2an+1+an＝0（n∈N*）；对于数列{an}的关系式符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确．④{an}的前n项和（n∈N*）．不符合所以，不为等差数列．故错误．【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.已知数列的通项公式，若“”的充要条件是“”，则的值等于（）A. B. 1 C. D. 2【答案】C【解析】【分析】求出an＜an+1（n∈N*）成立的a的范围，再由a＜时，an＜an+1（n∈N*）恒成立，可得M的值为．【详解】解：数列{an}的通项公式，必要性：若an＜an+1（n∈N*），则＝2n+1﹣2a＞0恒成立，即a＜对任意n∈N*恒成立，则a＜；充分性：当a＜时，＝2n+1﹣2a＞0对任意n∈N*恒成立，即an＜an+1（n∈N*）．∴“an＜an+1（n∈N*）”的充要条件是“a＜”，∴M的值等于．故选：C．【点睛】本题考查充分必要条件的判定及其应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．7.如图，在四面体中，，分别是棱，的中点，，，，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取BD中点E，连结ME，NE，则ME∥AB，ME＝＝3，NE∥CD，NE＝＝2，从而∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AB，CD所成角的余弦值．【详解】解：取BD中点E，连结ME，NE，∵在四面体ABCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，AB＝6，CD＝4，，∴ME∥AB，ME＝＝3，NE∥CD，NE＝＝2，∴∠MEN是异面直线AB，CD所成角（或所成角的补角），cos∠MEN＝＝＝﹣，∴异面直线AB，CD所成角的余弦值为．故选：C．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用椭圆的方程和椭圆的离心率的应用求出结果.【详解】解：直角坐标系中，椭圆，所以，当时，，故，整理得，故选：C.【点睛】本题考查知识要点：椭圆的标准方程的应用，椭圆的离心率的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.9.在平面直角坐标系中，设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得双曲线的顶点A，B，设P（m，n），m≠±，代入双曲线方程，结合直线的斜率公式，以及三角函数的诱导公式，计算可得所求值．【详解】解：双曲线的a＝，A（﹣，0），B（，0），设P（m，n），m≠±，则﹣＝1，即n2＝4（﹣1），则tanα＝，tan（π﹣β）＝﹣tanβ＝，则﹣tanαtanβ＝＝，即tanαtanβ＝﹣，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的标准方程及其性质、斜率的计算公式，考查计算能力，属于基础题．10.已知数列是等比数列，表示其前项和.若，，则的值为（）A. -2B. 2C. 4D. 2或4【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{an}的公比为q，由a3＝2，S4＝3S2，可得：q≠1，a1q2＝2，＝3×，解得：a1＝2，q＝﹣1；a1＝1，q2＝2．则a5＝2或4．故选：D．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，则取最大值时的值为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D【解析】【分析】首先利用等差数列的关系式求出数列的通项公式，进一步利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用数列的单调性的应用求出最大值．【详解】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，设首项为a1，公差为d，且a2+a3＝8，S7＝49；所以，整理得解得，所以an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，数列{bn}满足①，当n≥2时，②，①﹣②得，所以，令，即，解得，故当n＝2时，为最大值．故选：D．【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的递推关系式的应用及最大项的判断，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．12.在平面直角坐标系中，已知椭圆：，过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，当时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】∠AOB＝90°，即，，然后方程联立韦达定理代入即可得出．【详解】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx+2；由，得：（1+2k2）x2+8kx+6＝0；，；y1y2＝（kx1+2）（kx2+2）＝k2x1x2+2k（x1+x2）+4；由∠AOB＝90°，即，，即，解得 k2＝5；又k＞0，则；故选：C．【点睛】本题考查了垂直关系的处理，考查设而不求的思想方法，属于基础题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应置上.13.若命题“，”是真命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】若，，则，t，存在性问题中，只需要t大于等于n+最小值即可，对于n+最小值可以结合对勾函数求，但是一定要注意n只能是正整数，故可以得最小值是5，进而得t的取值范围．【详解】解：若，n2﹣nt+6≤0，则，t，所以只需要t大于等于n+最小值即可．当时，根据对勾函数的性质可知，n+≥5．所以，t≥5，故答案为：[5．+∞）．【点睛】本题考查存在性问题求参数t取值范围，是中档题．14.在正项等比数列中，已知，则的值为______.【答案】【解析】【分析】利用等比数列的性质即可得出．【详解】解：正项等比数列{an}中，由，，则．故答案为：．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.若数列满足;,,,且为等差数列,则________.【答案】【解析】【分析】由为等差数列,先求出通项，然后用累加法求．【详解】由题意，，为等差数列,∴公差为，∴，（），所以．此式对也适用．∴.故答案为：．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用累加法求数列通项公式．在用累加法求通项公式时，要注意与求法不相同，最后要检验．16.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，过的直线与椭圆交于，两点.若，，则椭圆的标准方程为______.【答案】【解析】【分析】首先利用椭圆的定义求出a、b、c的值，进一步求出椭圆的方程．【详解】解：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若AF2＝3F2B，AB＝BF1，设F2B＝x，则AF2＝3x，AB＝BF1＝4x，根据椭圆的定义，整理得AF1＝2x，由于△AF1B为等腰三角形，所以，利用余弦定理，整理得，解得，故，所以2a＝5x＝，解得：a＝，由于c＝2，所以b＝，所以椭圆的方程为．故答案为：．【点睛】本题考查的知识要点：椭圆的定义和椭圆的方程的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共70分.请在答案卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知：在平面直角坐标系中，方程表示双曲线；：实数满足不等式.（1）若命题为真，求实数的取值范围；（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）结合命题p是真命题，以及双曲线方程的特点进行求解即可．（2）根据条件分别求出命题为真命题的等价条件，结合必要条件的定义进行转化求解即可．【详解】解：（1）若命题为真，即方程表示双曲线，所以，解得，即.（2）若命题为真，即不等式成立，解得，因为是的必要条件，所以，故，解得.所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．比较基础．18.在数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用递推关系式构造新数列，从而可求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法的应用求出结果．【详解】解：（1）由得，因为，所以，所以，所以是为首项，为公比的等比数列，所以，即，所以，数列的通项公式为；（2）由（1）知，所以，于是，所以，综上，为定值2.【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．19.如图，已知在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，.（1）求二面角的大小；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在平面PBC内作PO⊥BC，O为垂足，在底面ABCD内作OE⊥BC，OE∩AD＝E，连结PE，由已知ABCD为矩形，推导出PO⊥底面ABCD，PO⊥AD，OE⊥BC，从而OE⊥AD，AD⊥平面POE，AD⊥PE，再由AD⊥OE，得∠OEP是二面角P−AD−B的平面角．由此能求出二面角P−AD−B的大小；（2）推导出BC∥平面PAD，从而点B到平面PAD的距离等于点O到平面PA的距离．在Rt△POE中作OH⊥PE，H为垂足，推导出OH⊥平面PAD，从而点O到平面PAD的距离即为OH的长，此能求出点B到平面PAD的距离．【详解】解：（1）在平面内作，为垂足，在中，，所以.在底面内作，，连结，由已知为矩形，易知也是矩形，故.又平面底面，平面底面，平面，所以底面，而底面，所以，又，，所以，而平面，平面，，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以是二面角的平面角.因为底面，底面，所以，在中，，所以，故二面角的大小为.（2）因为，而平面，平面，所以平面，又，，所以，点到平面的距离等于点到平面的距离.在中作，为垂足，由（1）知平面，而平面，所以，又，平面，平面，所以平面，所以，点到平面的距离即为的长.在中，，即，。

福建省漳州市2019-2020年度数学高二上学期文数期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二上·淮北月考) 下列命题错误的是（）A . 命题“若，则”的逆命题为“若，则”B . 对于命题，使得，则，则C . “ ”是“ ”的充分不必要条件D . 若为假命题，则均为假命题2. （2分） (2019高三上·沈阳月考) “ 为假”是“ 为假”的（）条件．A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要3. （2分）(2017·南昌模拟) 下列命题中：①“∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0”的否定；②“若x2+x﹣6≥0，则x＞2”的否命题；③命题“若x2﹣5x+6=0，则x=2”的逆否命题；其中真命题的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个4. （2分） (2016高二下·珠海期末) 已知F1、F2为椭圆(a＞b＞0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率，则椭圆的方程为（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·成安模拟) 已知抛物线C：y2=4x的焦点是F，过点F的直线与抛物线C相交于P、Q两点，且点Q在第一象限，若，则直线PQ的斜率是（）A .B . 1C .D .6. （2分）已知双曲线中心在原点且一个焦点为(， 0)，直线与其相交于两点，且的中点的横坐标为,则此双曲线的方程式为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二下·珠海期末) 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A . 4B .C . 2D .8. （2分）(2018高二下·泸县期末) 已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数,则（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx的极大值是函数g（x）=x+ 的极小值的﹣倍，并且，不等式≤1恒成立，则实数k的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2018高二上·南宁期中) 函数的单调递减区间为（）A .B .C .D .12. （2分）函数在上取得最大值时，则x的值为（）A . 0B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）有下列4个命题：①若函数f（x）定义域为R，则g（x）=f（x）﹣f（﹣x）是奇函数；②若函数f（x）是定义在R上的奇函数，∀x∈R，f（x）+f（2﹣x）=0，则f（x图象关于x=1对称；③已知x1和x2是函数定义域内的两个值（x1＜x2），若f（x1）＞f（x2），则f（x）在定义域内单调递减；④若f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+2）也是奇函数，则f（x）是以4为周期的周期函数．其中，正确命题是________ （把所有正确结论的序号都填上）．14. （1分）设曲线x2=ay在x=2处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=________．15. （1分） (2016高二上·绍兴期末) 椭圆E：内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为________．16. （1分）(2018·徐州模拟) 在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________三、解答题 (共6题；共35分)17. （5分）已知m∈R，命题P：对任意x∈[﹣1，1]，不等式m2﹣3m﹣x+1≤0恒成立；命题q：存在x∈[﹣1，1]，使得m﹣ax≤0成立．（Ⅰ）当a=1，p且q为假，p或q为真时，求m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．18. （5分） (2017高三上·唐山期末) 已知抛物线，圆 .（1）若抛物线的焦点在圆上，且为和圆的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值.19. （10分） (2015高二下·乐安期中) 已知椭圆C的焦点在x轴上，离心率等于，且过点（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于M点，若=λ1 ，=λ2 ，求证：λ1+λ2为定值．20. （5分）(2019·和平模拟) 已知函数，当时，取得极小值 .（1）求的值；（2）记，设是方程的实数根，若对于定义域中任意的， .当且时，问是否存在一个最小的正整数，使得恒成立，若存在请求出的值；若不存在请说明理由.（3）设直线，曲线 .若直线与曲线同时满足下列条件：①直线与曲线相切且至少有两个切点；②对任意都有 .则称直线与曲线的“上夹线”.试证明：直线是曲线的“上夹线”.21. （5分）(2018·荆州模拟) 已知函数 .（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）若，求证： .22. （5分）(2014·湖南理) 如图，O为坐标原点，椭圆C1： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ，离心率为e1；双曲线C2：﹣ =1的左、右焦点分别为F3 ， F4 ，离心率为e2 ，已知e1e2= ，且|F2F4|= ﹣1．（1）求C1、C2的方程；（2）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共35分)17-1、18、答案：略19、答案：略20-1、20-2、20-3、22-1、22-2、。