数论--综合-第6讲初等数论竞赛班学生版

金牌学生推荐（可参照选择）一、第零阶段：知识拓展《数学选修4-1：几何证明选讲》《数学选修4-5：不等式选讲》《数学选修4-6：初等数论初步》二、全国高中数学联赛各省赛区预赛（即省选初赛）1、《五年高考三年模拟》B版或《3年高考2年模拟》第二轮复习专用2、《高中数学联赛备考手册》华东师范大学出版社（推荐指数五颗星）3、《奥赛经典：超级训练系列》高中数学沈文选主编湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）4、单樽《解题研究》（推荐指数五颗星）5、单樽《平面几何中的小花》（个别地区竞赛会考到平几）6、《平面几何》浙江大学出版社7、奥林匹克小丛书第二版《不等式的解题方法与技巧》苏勇熊斌著三、第二阶段：全国高中数学联赛一试0、《奥林匹克数学中的真题分析》沈文选湖南师范大学出版社（推荐指数五颗星）1、《高中数学联赛考前辅导》熊斌冯志刚华东师范大学出版社2、《数学竞赛培优教程（一试）》浙江大学出版社3、命题人讲座《数列与数学归纳法》单樽4、《数列与数学归纳法》（小丛书第二版，冯志刚）5、《数列与归纳法》浙江大学出版社韦吉珠6、《解析几何的技巧》单樽（建议买华东师大出版的版本）7、《概率与期望》单樽8、《同中学生谈排列组合》苏淳9、《函数与函数方程》奥林匹克小丛书第二版10、《三角函数》奥林匹克小丛书第二版11、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）12、《圆锥曲线的几何性质》13、《解析几何》浙江大学出版社二试平几1、高中数学竞赛解题策略(几何分册)沈文选（推荐指数五颗星）2、《奥林匹克数学中的几何问题》沈文选（推荐指数五颗星）3、奥林匹克小丛书第二版《平面几何》4、浙大小红皮《平面几何》5、沈文选《三角形的五心》6、田廷彦《三角与几何》7、田廷彦《面积与面积方法》不等式8、《初等不等式的证明方法》韩神9、命题人讲座《代数不等式》计神10、《重要不等式》中科大出版社11、奥林匹克小丛书《柯西不等式与平均值不等式》数论（9,10，11选一本即可，某位大神说二试改为四道题以来没出过难题）12、奥林匹克小丛书初中版《整除，同余与不定方程》13、奥林匹克小丛书《数论》14、命题人讲座《初等数论》冯志刚组合15、奥林匹克小丛书第二版《组合数学》16、奥林匹克小丛书第二版《组合几何》17、命题人讲座刘培杰《组合问题》18、《构造法解题》余红兵19、《从特殊性看问题》中科大出版社20、《抽屉原则》常庚哲四、中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad）及以上命题人讲座《圆》田廷彦《近代欧式几何学》《近代的三角形的几何学》《不等式的秘密》范建熊、隋振林《奥赛经典：奥林匹克数学中的数论问题》沈文选《奥赛经典：数学奥林匹克高级教程》叶军《初等数论难题集》命题人讲座《图论》奥林匹克小丛书第二版《图论》《走向IMO》。

《竞赛数学中的初等数论》贾广素编著2006-8-21序 言数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO 试题中有5道与数论有关。

数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。

可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。

初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。

做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。

这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于N r q N b a ∈∃∈∀,,,，满足r bq a +=，其中b r <≤0。

除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。

相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。

希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。

编者：贾广素2006-8-21于山东济宁第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。

进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。

在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。

基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m Λ--，则此数可以简记为：021a a a A m m Λ--=（其中01≠-m a ）。

由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=----Λ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i ΛΛ且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m Λ--=。

第六讲初等数论初等数论是主要用算术方法研究整数最基本性质的一个数学分支，是数学中最古老的分支之一.近几十年来，初等数论在计算机科学、组合数学、代数编码、信号的数字处理等领域得到广泛应用.同时，初等数论在各类数学竞赛中占有重要地位，以国际数学奥林匹克为例，约有四分之一的题目是主要用初等数论知识来解的.一、基础知识1.整除理论性质1：如果a\b t b\c t那么d|c；性质2：若a\c t则对于任意整数x、y都有a\bx+cy2.质数与合数性质1：设n为大于1的正整数，p是n的大于1的约数中最小的正整数，则p为质数；性质2：如果对任意1到亦之间的质数p,都有p不整除n,那么n为质数，这里n为大于1的正整数；性质3：质数有无穷多个；性质4：质数中只有一个数是偶数，即2；3.同余定义：如果a、b除以m (正整数)所得得余数相同，那么称a、b对模m同余，记作a=b (mod in)性质X如果a三b (mod 则m\a-bt性质2：若a = b (mod m) f c = d (mod 加)贝i]a + c = b + d (mod nt)a-c 三b-d (mod /H),ac = bd (mod ni)性质3：a = b (mod m), n 为正整数，则a n = b" (mod m)4.费尔马小定理Fermat小定理：设p为质数，a为整数，则/三«(mod “).特别地，如果a不能被p整除，则三l(mod p)二、例题部分例1 (2006年希望杯初二培训题)已知一个五位数用4, 5, 6, 7, 8五个数码各一次组成，如64875 等，在这样的五位数中，能被55整除的有几个，它们分别是多少？《数理天地》2005增刊P22, 80例2 (★★, 86年全国)设a、b. c是三个互不相等的正整数，求证：在—b'c — bF, c3a-ca3三个数中，至少有一个数能被10整除；《全国初中数学竞赛试题分类集锦》代数分册，上海远东出版社，P28,三1例3 (★★, 1997年全国初中数学竞赛)已知定理“若大于3的三个质数纸b、c满足关系式2d + 5b = c, 则a+b+c是整数I)的倍数匕试问：上述定理中的整数n的最大可能性值是多少？并证明你的结论.《金牌之路竞赛辅导》初中数学，山西师范大学出版社，P21,例12例4 (★)设n是大于1的正整数，求证：川+半是个合数数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P1& 1例5 (★)能否将1, 2, 3,…，50两两配对，使得所配对的25对数之和两两不同，且都是质数? 数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P18, 3例6 (★★)设p为正整数，且2卩-1是质数，求证：p为质数；数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P18, 6例7 (★ ★★)设a>3b>6c>12d,«2-Z>2+c2-J2 =1749,求a2+b2+c2+d2的所有可能值;数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P19, 20例8 (★)设p、q都是质数，且7p+q, pq+11也都是质数，求(尸+/)(/ +//)的值数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P39, 1例9 (★★) (1)试确定所有的正整数n,使得2" -1能被7整除；(2)证明对所有的正整数n, 2"+1不能被7整除；【证明】：(1)当n是3的倍数的时候，2"-1能被7整除若〃= 3^ + 1, 2"-1 = 23*+,-1 = 2*8*-1,被7 除余1；若卄=3& + 2, 2n-l = 23*+2-l=4*8£-l,被7 除余3；(2)由上一问可知，当n = 3匕3屮3上+2时,2"—1除以7分别余0, 1, 3所以2"+1除以7分别余2, 3, 5例10 (★★)设正整数n至少有4个不同的正约数，且0 ＜/＜仏＜〃3＜〃4是n的最少的四个正约数，它们满足＜+J22+＜+＜=/?,求所有这样的n数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P20, 41例11 (★★)设p为大于5的素数，求证在数列1, 11, 111,…中有无穷多项是p的倍数证5且是素数，所以P |10_由费尔马小定理得1(/ * = 1 Qn od p) 710心「〉•1 三0(/w orf p)、即p |io-，tD- ° - 1,I为正整数•而p|10^' ° - 1 =、02・・・0丿=9 x、l 1 1…1丿Np・1) 心・1)但川9,故p •/= 1.2•…,从而问题得证l(p ・1)例12 (★★)求2000啲2被37除的余数解 20001992 = (37 X 54 + 2)叱三 2】焙伽 od37)因为37是素数且(2, 37) = 1,所以236 = 1 (mod 37)2000叱三2叱=2心炉口三(.5) X (• 5) X 4 =100 = 26 bod 37).例13 (★★★)关于x 、y. z 的方程F += /有质数解么？ 【解】原方程可整理为y 3=(z 2+x)(z 2-x),由于y 是质数，所以我们得到由①得，x = (z — l)(z + l),于是z-l = Uz = 2,从而X = 3,y'=7与y 是质数矛盾由②得，x = (y-z)(y + z),于是y-z = hy = z + l •从而x = 2z + l 代入②中的第一个方程得 F -3z-2 = 0此方程无质数解;综上，原方程无质数解.例14 (★★★)已知正整数a 、b 、Cx d 的最小公倍数为a+b+c+d,证明:abed 是3或5的倍数. 数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P19, 29例15 (★★★)求所有的正整数乐bx c,使得/+1和戻+1都是质数，且满足(a 2+l)(b 2 + \) = c 2 + \数学奥林匹克小丛书，初中卷9,《整除、同余与不定方程》华东师范大学出版社P20, 45三、习题部分1 (★, 2006年希望杯培训题)224-1能被20以内的几个质数整除，那么这几个质数是.23 F _牙=[ ①或者P +x = y ・ z 2-x = =2n = 2s X 2s X 22《数理天地》2005增刊P22, 462（★, 2006年希望杯培训题）设n是大于2的整数，若n3-n的值一定能被m整除，则m的最大值是《数理天地》2005增刊P22, 473 （★, 2006年希望杯培训题）已知正整数a除53,余数为5；除127,余数为7；除159,余数为3,那么a的值为_________《数理天地》2005增刊P22, 484 （★, 2006年希望杯培训题）由4, 5, 6, 7, 8五个数字组成的无重复数字的所有五位数之和除以90 所得的商是__________《数理天地》2005增刊P22, 4910015 （★, 2006年希望杯培训题）若x, y为质数，满足条件Ovxvy,且一是整数，那么x,y的值x + y是________《数理天地》2005增刊P22, 506 （★）自然数n>m, J@Ln2 3 4 5 6 -m2 -2n-2m = 19,求n,m 的值（n2 -2n + l）-（w2 + 2/w + l） = 19；即（料一1尸一（加 + 1）2=19则m=& n=ll。

学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。

请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。

【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。

已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。

如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。

【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。

小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习：1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?2甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?例题解析枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。

正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。

数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

【例1】 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x ，y ，z 。

由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以222x y z ++10≤。

从而13x ≤≤，03y ≤≤，03z ≤≤。

所求三位数必在以下数中：100101102103110111112120121122130200201202211212220221300301310 不难验证只有100，101两个数符合要求。

枚举法【例2】 写出12个都是合数的连续自然数。

【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。

我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。

用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。

（法二）如果设这12个数分别是a ，1a +，2a +，，11a +，如果2a -能被2到13中任意一个数整除，那么a ，1a +，2a +，，11a +，能分别被2、3、4,,13整除，所以，只要取13!a =即可得到符合条件的12个数。

第6讲 算术基本定理一、基础知识算术基本定理：任何一个正整数N ＞1，都能分解成质因数的连乘积，即⋅⋅=2121ααp p N ……n np α⋅，（n ≥1） ① 其中1p ，2p ，…，n p 为互不相等的质数，1α，2α，…，n α为正整数；如果不考虑因数的顺序，则这个分解式是唯一的。

证明：存在性：（反证法）假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，设其中最小的那个为n 。

自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。

首先，按照定义，n 大于1；其次，n 不是质数，因为质数p 可以写成质数乘积：p =p ，这与假设不相符合；因此n 只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。

设其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积。

从而n 也可以写成质数的乘积。

由此产生矛盾。

因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

唯一性:引理：若质数p | ab ，则不是 p | a ，就是p | b 。

证明：若p | a ， 则证明完毕。

若p |a ，那么两者的最大公约数为1。

根据裴蜀定理，存在(m ,n ) 使得ma + np = 1。

于是b = b (ma + np ) = abm + bnp 。

由于p | ab ，上式右边两项都可以被p 整除。

所以p | b 。

再用反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。

首先n 不是质数。

将n 用两种方法写出：n ＝p 1p 2p 3…p r ＝q 1q 2q 3…q s根据引理，质数p 1|q 1q 2q 3…q s ，所以 q 1，q 2，q 3，…，q s 中有一个能被p 1整除，不妨设为q 1。

但q 1也是质数，因此q 1 = p 1 。

所以，比n 小的正整数n '＝p 2p 3…p r 也可以写成q 2q 3…q s这与n 的最小性矛盾！因此唯一性得证。

初等数论 25课时初等数论通常被当作中学数学的一部分，可以在25个课时内完成。

以下是一个可能的课程安排：第1课：整数的定义和性质- 正整数、负整数、零- 自然数的集合和整数的集合- 整数的性质：加法封闭性、乘法封闭性、零元素、相反元素、相反性质、交换性、结合性第2课：整除和倍数- 整除的定义及性质- 倍数的定义及性质- 整除的运算性质：加法、乘法、整除关系的传递性第3课：素数和合数- 素数的定义和性质- 合数的定义和性质- 素数的性质：质因数分解、唯一性、无穷性第4课：最大公因数和最小公倍数- 最大公因数的定义和性质- 最小公倍数的定义和性质- 最大公因数和最小公倍数的关系：辗转相除法第5课：质因数分解- 质因数分解的定义和性质- 使用质因数分解求最大公因数和最小公倍数- 剩余定理：同余第6课：一次不等式- 一次不等式的定义和性质- 一次不等式的解集表示和图示解- 一元一次不等式的乘法性质和定理第7课：二次不等式- 二次不等式的定义和性质- 二次不等式的解集表示和图示解- 一元二次不等式的乘法性质和定理第8课：整数的奇偶性- 整数的奇数和偶数的定义和性质- 整数的奇数和偶数的四则运算性质- 奇偶性的应用：整数的平方的奇偶性、整数的和的奇偶性第9课：整数的余数- 整数的除法算法及余数的定义和性质- 除法算法的应用：整数的整除性质、整数的周期性第10课：循环小数与无理数- 无限小数的定义和性质- 循环小数的定义和性质- 无理数和有理数的关系第11课：初等数论的证明方法- 数学证明的基本方法和思维方式- 证明的基本结构：前提、推理、结论- 数学归纳法第12课：欧几里得算法和线性同余方程- 欧几里得算法的定义、性质和应用- 线性同余方程的定义和解法第13课：同余模运算- 同余模运算的定义和性质- 同余模运算的运算法则：加法、减法、乘法、幂运算- 同余方程的解法第14课：费马小定理和欧拉函数- 费马小定理的定义和应用- 欧拉函数的定义和性质- 欧拉函数的计算方法第15课：模逆元和扩展欧几里得算法- 模逆元的定义和性质- 模逆元的计算方法- 扩展欧几里得算法的定义、性质和应用第16-25课：综合应用和习题训练- 数论在密码学、编码、排列组合等领域的应用- 习题训练，并讲解常见问题的解法请注意，以上仅是初等数论课程的一个可能安排，具体的教学内容和进度可以根据教学目标和学生水平进行调整。

数论综合篇（4.18）姓名：一、数的整除性【数的整除性性质】性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

（也就是说：如果a和b都是c的倍数，那么a+b与a-b也是c的倍数。

）性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

【数的整除特征】①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以11123456789。

再例如：判断13574是否是11的倍数？解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。

欢迎阅读初等数论简介绪言：在各种数学竞赛中大量出现数论题，题目的内容几乎涉及到初等数论的所有专题。

1．请看下面的例子：（1） 证明：对于同样的整数x 和y ，表达式2x+3y 和9x+5y 能同时被整除。

(1894年首届匈牙利 数学竞赛第一题)（2） ①设n Z ∈，证明2131n -是168的倍数。

n ⋅？（1956（3）（4）（5）,,b g 的最大公因数和最小公倍数，试证：]()2,,,,b c a b c 年美国首届奥林匹克数学竞赛第一题）2.（1题，占（2论13在内，那么比例还会高很多。

3.请看近年来国内外重大竞赛中出现的数论题：(1)方程323652x x x y y ++=-+的整数解(,)x y 的个数是（ ）A 、 0B 、1C 、3D 、无穷多（2007全国初中联赛5）（2）已知,a b 都是正整数，试问关于x 的方程()2102x abx a b -++=是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。

（2007全国初中联赛12） （3）①是否存在正整数,m n ，使得(2)(1)m m n n +=+？②设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n ，使得()(1)m m k n n +=+？ （2007全国初中联赛14） （4）关于,x y 的方程22229x xy y ++=的整数解(,)x y 得组数为（ ） A 、2 （5关于x （6 （2009（7）n 2009n a <<=1个不同的数的算术平均数都是正数，求 (8)[]a A 、 1 （9）求满足22282p p m m ++=-的所有素数P 和正整数m 。

（2010全国初中联赛13）（10）从1,2,,2010…这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？ （2010全国初中联赛14）（11）设四位数abcd 满足3333110a b c d c d ++++=+，则这样的四位数的个数为 （2011全国初中联赛10）（12）已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1，求a+b+c 的值（2011全国初中联赛11） （13）若从1,2,3,,n …中任取5个两两互素的不同的整数12345,,,,a a a a a 其中总有一个整数是素数，求n 的最大值。

初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学的一门重要分支，主要研究整数的性质和结构。

通过对初等数论的学习，学生可以更深入地理解整数及其关系，培养数学逻辑思维和问题解决能力。

本教学大纲旨在提供一份全面的教学计划，帮助学生掌握初等数论的基本概念和方法。

二、教学目标1、理解整数的概念、性质和运算；2、掌握因数分解和质数判断的方法；3、理解最大公约数和最小公倍数的概念及其计算方法；4、掌握分数及其性质，了解分数分解的方法；5、理解代数方程及其解法，掌握二次方程的解法；6、培养学生对数学的兴趣和解决问题的能力。

三、教学内容1、整数的概念和性质a.整数的定义和分类b.整数的运算规则c.数的表示方法2、因数分解和质数判断a.因数分解的方法b.质数判断的方法3、最大公约数和最小公倍数a.最大公约数的定义和计算方法b.最小公倍数的定义和计算方法4、分数及其性质a.分数的定义和分类b.分数的运算规则c.分数的约分和通分5、二次方程及其解法a.二次方程的定义和分类b.二次方程的解法6、其他代数方程的解法介绍a.一元一次方程的解法b.一元二次方程的解法c.高次方程的解法简介7、数论在密码学中的应用介绍a. RSA算法简介b.其他密码学应用简介8、数论在其他领域的应用介绍a.数论在计算机科学中的应用b.数论在物理学中的应用等9、数论的历史和发展简介a.数论的起源和发展历程b.数论在现代数学中的应用及发展前景10、初等数论与中学数学的与区别分析。

在数学的学习中，数论是一个非常重要的分支，它研究的是数的性质和规律。

在大学数学中，初等数论是数论的基础课程，它主要包括了以下几个方面的内容：整除性理论：整除性理论是数论的基础，它主要研究的是整数之间的除法性质。

通过研究素数和分解定理，我们可以更好地理解整数的内部结构和性质。

同余理论：同余理论是数论的核心内容之一，它主要研究的是整数之间的同余关系。

通过研究同余方程和模逆元，我们可以解决许多与整数相关的问题。

初等数论初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。

准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。

它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。

纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。

第一部分：整除 初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。

整除理论首先涉及整除。

现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。

从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。

但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。

首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。

另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。

在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。

自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。

Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件： （ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）； （ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继； （ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S,如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。

其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。

数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。

主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法： （第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。

小升初培优（六）：数论综合专题回顾练习：1加工某种机器零件,要经过三道工序,第一道工序每名工人每小时可完成6个零件,第二道工序每名工人每小时可完成10个零件,第三道工序每名工人每小时可完成15个零件.要使加工生产均衡,三道工序最少共需要多少名工人?2甲、乙两数的最小公倍数是90，乙、丙两数的最小公倍数是105，甲、丙两数的最小公倍数是126，那么甲数是多少?例题解析枚举法（也称为穷举法）是把讨论的对象分成若干种情况（分类），然后对各种情况逐一讨论，最终解决整个问题。

运用枚举法有时要进行恰当的分类，分类的原则是不重不漏。

正确的分类有助于暴露问题的本质，降低问题的难度。

数论中最常用的分类方法有按模的余数分类，按奇偶性分类及按数值的大小分类等。

【例1】 求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。

【分析】三位数只有900个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。

设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为x ，y ，z 。

由于任何数除以11所得余数都不大于10，所以222x y z ++10≤。

从而13x ≤≤，03y ≤≤，03z ≤≤。

所求三位数必在以下数中：100101102103110111112120121122130200201202211212220221300301310 不难验证只有100，101两个数符合要求。

【例2】 写出12个都是合数的连续自然数。

【分析】（法一）在寻找质数的过程中，我们可以看出100以内最多可以写出7个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。

我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。

用筛选法可以求得在113与127之间共有13个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。

（法二）如果设这12个数分别是a ，1a +，2a +， ，11a +，如果2a -能被2到13中任意一个数整除，那么a ，1a +，2a +， ，11a +，能分别被2、3、4, ,13整除，所以，只要取13!a =即可得到符合条件的12个数。