高等数学BII复习题

高等数学IB复习题机车专业高等数学ib复习题12月22日考试一、填空：1.导数的增减判别的方法是，设f(x)在[a,b]内可导。

（1）当f'（x）>0时∈ （a，b），那么函数f（x）在[a，b]中是单调的。

（2）如果f'（x）<0，当x∈ （a，b），函数f（x）在[a，b]中是单调的（单调递减）。

2.顺序限制的四种操作，设置（B0）：（1）（）。

3.当x→ 0，AX2和Tan是等价的无穷小，那么a=（0.25）4.如果x0使f(x0)=0,则x0称为函数f（x）的（零点）。

5.如果已知函数在x=0时是连续的，那么a=（1）。

6.（-sinx-secx-tanx）7.将y=x2和x=Y2包围的图形绕x轴旋转，求出旋转体的体积为（）。

8.f=(x)的定义域为[1,5]，则f(1+x2)的定义域为（[-2,2]）。

9.F（x）=，然后F（F（x））=（x）10设f(x)连续可导,则?f'(2x)dx?（）12.根据定积分的定义计算积分：=（0.5b2-a2）。

13曲线围成的图形的面积为（пa2）。

一14=(1-0.25п)15.当x→∞, f（x）和是等价的无穷小量，那么（6）。

16.（（t）.17.函数在[-0.5,1]上的最大值为，最小值为（）。

18.设f（x）在（a，b）中可微，则F1（x）<0是f（x）在（a，b）中单调递减的（充分）条件。

19.设函数y=f(x)在点的某一邻域内有定义，如果,那么就称函数f(x)在点x0处（连续）。

20.y=5x3-2x+3EX的导数为（15x2-2xln2+3EX）。

21.设f(x)=x(x+1)(x+2)……(x+3)(n≥2),则f＇（0）=（n！）。

22.x=0是函数f(x)=的第（一）类间断点，且为（可去）间断点。

23.设f(x)在点x=x0处可导，则[f(x0)]@=(0)。

曲线y=arctanx在点（1,0.25）处的正态方程为（2x=y=2+0.25）。

高等数学BII样题一、判断题1、积分-=11)()()(2dx x f e e dx x f e dy xyy.( ) 2、二重积分-=Ddx x f ab dxdy byf a x f 211])([)()(，其中D ：a x ≤||，b y ≤||.( )3、若积分区域}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ，则4)1(1≤++≤Dd y x σ.( )4、积分区域D 为椭圆12222=+b y a x 所围成的闭区域，则ab dxdy Dπ=??.( )5、若极坐标下的积分区域为}20,30|),{(πθθ≤≤≤≤=r r D ，则49πθ=Drdrd .( ) 6、若积分区域D 为22(1)1x y -+=所围成的区域，则在极坐标下{(,)|01,0}2D r r πθθ=≤≤≤≤.( )7、若积分区域D 为22(2)4x y +-=所围成的区域，则在极坐标下表示为{(,)|04sin ,0}D r r θθθπ=≤≤≤≤.( )8、若积分区域D 为22199x y +=所围成的区域，则在极坐标下表示为{(,)|03,0}D r r θθπ=≤≤≤≤.( )9、一阶微分方程的通解中含有一个任意常数. ( ) 10、dx x dy y231=是可分离变量的微分方程. ( ) 11、01'=-y xy 的通解为y Cx =. ( ) 12、xe y x y x=+1'通解为x e C y x +=. ( )13、'ln '''y y xy =的通解中有两个相互独立的任意常数. ( )14、某商品的需求量Q 对价格P 的弹性ln 3P -,若该商品的最大需求量为1200，当价格为1元时，市场对该商品的需求量为400（）15、如果幂级数n n n a x ∞=∑的所有系数0n a ≠，设1limn n na a ρ+→∞=，若ρ=∞，则级数的收敛半径0R =. ( ) 16、设级数n n a x∞=∑和nn n b x∞=∑的收敛半径分别为12,R R ，且12min{,}R R R =，那么级数nn n a x∞=∑±nn n b x∞=∑的收敛区间为(,)R R -. ( )17、级数n n n a x ∞=∑，0n n n b x ∞=∑的收敛半径分别为12,R R ，则级数0nnn n nn a xb x∞=∞=∑∑的收敛半径为12R R . ( ) 18、幂级数n n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 上连续. ( )19、对幂级数nn n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 的积分，可以表达成对原级数各项积分和的形式. ( ) 20、幂级数nn n a x∞=∑的和函数()s x 在其收敛域I 的导函数，可以表达成对原级数各项求导和的形式. ( )二、选择题 1、二重积分??+=Ddxdy y x I 22，其中区域D 为圆222a y x ≤+在第二象限的部分，则=I ( )．选项A)33a π选项B)93a π选项C)3a π选项D) 02、设平面区域0,1:22≥≤+y y x D ，则积分??=Dxd σ( )．选项A)π 选项B) 31 选项C)4π 选项D) 03、设区域D 由直线3,1==x x 和0,==y x y 所围成，则在极坐标系下二重积分=??Ddxdy y x f ),(( )．选项A)20cos 3cos 1)sin ,cos (πθθθθθrdr r r f d选项B)40cos 3cos 1)sin ,cos (πθθθθθrdr r r f d选项C) ?203)sin ,cos (πθθθrdr r r f d选项D)20cos 3cos 1)sin ,cos (πθθθθθdr r r f d4、设),(y x f 是连续函数，则二次积分? =xdy y x f dx I 2040),(交换次序后为( )．选项A)14140),(dx y x f dy选项B)-24140),(y ydx y x f dy 选项C)441402),(y dx y x f dy选项D) ?141942),(y dx y x f dy5、??=Dd xy I σ2，D 是由圆周422=+y x及y 轴所围成的右半闭区域，则=I ( )．选项A)--240222y dx xy dy 选项B)-24022y dx xy dy选项C) ?-24022x dx xy dy 选项D)-222x dy xy dx6、设区域}10,10|),{(:≤≤≤≤y x y x D ，则=++Dd y y x xσ)3(323( )．选项A)316 选项B) 2 选项C) 1选项D) 317、设区域D 是由两坐标轴以及直线2=+y x 围成的闭区域，则=+Ddxdy y x )23(( )．选项A)38选项B) 35选项C) 6选项D) 3208、设D 为圆域222R y x ≤+，则??=+Ddxdy y x 22( )．选项A) 3R Rdxdy Dπ??=选项B) ??R rdr d 0220πθπ选项C) ??=RR dr r d 0322032πθπ选项D)=RR dr R d 032202πθπ9、某城市受地理限制呈直角三角形分布，斜边临一条河，由于交通关系，城市发展不均衡，这一点可从税收状况反映出来，若以两直角边为坐标轴建立直角坐标系，则位于x 轴和y 轴上的城市长度各为16km 和12km ，且税收与地理位置关系大体为(x,y)20x 10R y =+（万元/平方千米）则该市总的税收收入为（）选项A) 14080万元选项B) 12000万元选项C)24000万元选项D) 36000万元10、设D 是由x y x y =-=,及1=y 所围成的闭区域，则=??dxdy y x D2( )．选项A)74 选项B) 2选项C) 81选项D) 011、设积分区域D 为14922≤+y x ，则??=Ddxdy 4( )．选项A)π24选项B) π6 选项C) π36 选项D) π3212、微分方程2'2y xy =的通解是( ). 选项A ）x y ce = 选项B ）2x y ce = 选项C ）210x c y++= 选项D ）032=++y y x13、微分方程''2'20y y y -+=的通解为( ). 选项 A) 212x x y C e Ce -=+ 选项 B) 212x x y C e C e --=+ 选项 C) 3212x x y C e C e -=+ 选项 D 12(sin cos )x y e C x C x =+14、微分方程200''(y')1,|0,'|0x x y y y ==+===的特解为( ). 选项A) 2ln(1)y x =+ 选项B) 32y x x =- 选项C) ln(e e )ln 2x xy -=+-选项D) 41(1)2y x =+15、微分方程''2'20y y y -+=的通解为( ). 选项 A) 212x x y C e Ce -=+ 选项 B) 212x x y C e C e --=+ 选项 C) 3212x x y C e C e -=+ 选项 D 12(sin cos )x y e C x C x =+ 16、求0',|0x y x y e y +===的特解( ).选项 A) 21(1)2y x e e =+选项 B) 21(1)2x y e =+选项 C) (2)y x e e -=-- 选项 D) 1(ln 1)2y e x =+17、微分方程''2'50y y ++=的特征根为( ). 选项 A) 1,1- 选项 B) 12i -± 选项 C) 1,1-- 选项 D) 2,1-18、微分方程'cos y x =的通解为( ). 选项 A) sin y x C =+ 选项 B) cos y x C =+ 选项 C) cos y x C =-+ 选项 D)tan y x C =+19、微分方程2dx x y dy y+=的通解为( ). 选项 A) tan yCy x= 选项 B) 21()y C x y-= 选项 C) 2x Cy e = 选项 D) 1tany Cy x+=20、下列微分方程可分离变量的是( ). 选项A)xy dxdy2= 选项B) 4()20x y x y dy xe dx +++= 选项C)2x y xe e y=+? 选项D) ''2'y y xy x ++=21、微分方程xy y 2'=的通解是( ). 选项A) x y ce = 选项B) 2x y ce = 选项C) 24x y += 选项D) 032=++y y x22、微分方程dy x y dx y x )1()1(22+=+在1,1x y ==处的特解( ). 选项A) y x = 选项B) 12=+x y 选项C) 2y x = 选项D) 2 x y =参考答案：A23、以下不是级数的是 ( ). 选项A)2111n nn ∞=++∑ 选项B)2211n nn ∞=++∑ 选项C)2311n nn ∞=++∑ 选项D)102111n nn=++∑24、级数（）选项A) 收敛选项B) 发散选项C)敛散性不确定选项D) 以上都不正确 25、幂级数的收敛半径 ( ).选项A) 0 选项B) 1 选项C) 选项D) 26、级数的和是（）选项A) 1选项B)选项C)选项D)27、以下级数中收敛的是 ( ). 选项A)选项B)选项C)选项D)28、设，且正项级数收敛，则( ). 选项A)选项B) 选项C)选项D)可取任意正数11(1)nn n ∞=+∑1!nn n x∞=∑R =n +∞11(4)(5)n n n ∞=++∑14151911n n ∞=∑1n ∞=n ∞=1n n ∞=∑0a >111nn a ∞=+∑1a >01a <<1a =a29、以下级数中收敛的是 ( ). 选项A) 选项B)选项C)选项D)30以下级数中收敛的是 ( ). 选项A) 选项B)选项C)选项D)参考答案判断题1、正确2、正确3、错误4、正确5、正确6、错误7、正确8、错误9、正确10、正确11、正确12、正确13、正确14、正确15、正确16、正确17、错误 18、正确19、正确、20、正确二、选择题CDBCA CDCAD ACDCD CBABA BADBA CCACC113n n∞=∑n ∞=112nn n ∞=+∑121nn n ∞=+∑2112n n n ∞=++∑1!3n n n ∞=∑1()21nn nn ∞=+∑11ln(1)n n ∞=+∑。

高数b1大一期末试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,+∞)上是：A. 递增函数B. 递减函数C. 先递减后递增D. 先递增后递减答案：C2. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在[0,2]上是增函数，则c的取值范围是：A. c≥0B. c≤0C. c≥4D. c≤4答案：C3. 极限lim(x→0) (sinx/x)的值是：A. 0B. 1C. -1D. 不存在答案：B4. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是：A. 2B. 1C. 0D. -1答案：A5. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，若f(x)在(1,2)内有唯一的零点，则该零点是：A. 1B. 2C. 3/2D. 1/2答案：C二、填空题（每题4分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-2x+3，f(1)=____。

答案：22. 函数y=ln(x)的导数是y'=____。

答案：1/x3. 设数列{an}满足a1=1，an+1=2an，则数列{an}的通项公式为an=____。

答案：2^(n-1)4. 曲线y=x^3-3x+1在x=1处的切线方程是y=____。

答案：3x-25. 设函数f(x)=x^3-3x+1，f'(x)=____。

答案：3x^2-3三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间(1,2)内的零点。

答案：令f(x)=0，解得x=3/2，所以零点为3/2。

2. 求曲线y=x^3-3x+1在点(1,1)处的切线方程。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-3，代入x=1得到f'(1)=0。

切点为(1,1)，所以切线方程为y=1。

3. 求极限lim(x→0) (e^x-1)/x。

答案：令f(x)=(e^x-1)/x，求导得到f'(x)=e^x/x-(e^x-1)/x^2。

高数b1复习题高数B1复习题一、极限与连续性1. 求下列函数的极限：a) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)b) \(\lim_{x \to 2} (x^2 - 4)\)c) \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + 3}\)2. 判断下列函数在x=0处是否连续，并说明理由：a) \( f(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 0 \\1 & \text{if } x = 0\end{cases} \)b) \( g(x) = \begin{cases}\frac{1}{x} & \text{if } x \neq 0 \\0 & \text{if } x = 0\end{cases} \)二、导数与微分1. 计算下列函数的导数：a) \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x \)b) \( g(x) = \sin x + \ln x \)c) \( h(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \)2. 利用导数研究下列函数的单调性与极值：a) \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x \)b) \( g(x) = x^2 - 4x + 4 \)三、积分学1. 计算下列定积分的值：a) \( \int_{0}^{1} x^2 dx \)b) \( \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \)2. 利用定积分求解面积问题：a) 求由曲线 \( y = x^2 \) 与直线 \( y = 4 \) 及x轴围成的面积。

b) 求由曲线 \( y = \sqrt{x} \) 与x轴围成的面积。

四、级数1. 判断下列级数的收敛性：a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} \)2. 求下列级数的和：a) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \)b) \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \)五、多元函数微分学1. 计算下列多元函数的偏导数：a) \( f(x, y) = x^2 + xy + y^2 \)b) \( g(x, y) = \ln(x^2 + y^2) \)2. 利用多元函数的偏导数研究下列函数的极值：a) \( f(x, y) = x^2 - xy + y^2 \)b) \( g(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 2y \)六、常微分方程1. 解下列一阶微分方程：a) \( \frac{dy}{dx} = x - y \)b) \( \frac{dy}{dx} = \frac{2x}{y} \)2. 解下列二阶常系数线性微分方程：a) \( y'' - 2y' + y = 0 \)b) \( y'' + 4y' + 4y = 0 \)本复习题涵盖了高等数学B1课程的主要知识点，包括极限、连续性、导数、微分、积分、级数和微分方程等。

诚信应考 考出水平 考出风格浙江大学城市学院2006—2007学年第二学期考试试卷《 微积分（B ）II 》开课单位：计算分院 ；考试形式：闭卷；考试日期：07年7月10日；时间：120分钟一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1． 求解微分方程 20(4)2,1x y x xy y ='-==.解：222(4)2, (4)dy dy x x xy dx dx y x -==-； ()()122222121,　4(4)(4)ln ln 4, 4,　c dy x dy dxd x y x y x y x C ye x ==---=-+=±-⎰⎰⎰⎰记1cC e =±，得通解：()24y C x =-， 由01x y==，得14C =-，所以微分方程特解为()2144y x =-- 点评：此题考可分离变量微分方程掌握情况。

可分离变量微分方程的关键是将方程通过因式分解，使,x y “分家”，变成：()()f y dy g x dx =形式，然后积分。

本题还要注意1cC e =±的变化。

2.求解微分方程 22x y xy xe -'-=.解: 2()2,()x p x x q x xe -=-=,()222222222222(2)(2)22221241144x dx x dxx x x x x x x x x x x xy e xe e dx C e xe e dx C e xe dx C e e d x C e e C e Ce ----------⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+=--+⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰点评： 本题为典型的一阶线性微分方程()()y p x y q x '+=，这类方程只要记住公式：()()()p x dx p x dxy e q x e dx C -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰注意公式中三个不定积分计算后不需要另再加积分常数，因为本公式中已经有C 了。

2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。

2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。

3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。

4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。

2008-2009学年第二学期〈微积分(B)II 〉期末考试试卷(A)答案一、填空题（每小题4分，共24分） 1．设dz x z y则,2==xdy x dx yx y y ln 2222+.2． 0),(),,(),,(====），，（都是由设z y x F y x z z z x y y z y x x 所确定的函数,且F 的一阶偏导数连续, xzz y y x F F F z y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂≠'''则,0= -1 . 3．设函数),ln(),,(222z y x z y x f ++=则此函数的梯度)(f grad =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2222222222,2,2z y x z z y x y z y x x . 4． 交换二次积分的积分次序.后,⎰⎰--ydx y x f dy121),(= ⎰⎰--0121),(xdy y x f dx .5．⎰⎰∑+≥=++∑dS y x z z y x )(,0,122222则是上半球面设= 34π. 6．下列4个级数的收敛性(填收敛或发散)为(A)发散, (B)收敛, (C)收敛, (D)发散.(A)∑∞=+++13254321n n n n, (B)∑∞=++++++1)1()12)(1()9()92)(9(n n ne e e πππ , (C)∑∞=+-1)1ln()1(n n n , (D)∑∞=-+-1])1([)1(n n nn n . 评分：第4题差一个负号给3分。

第2题差一个负号给1分。

二、简单计算题（每小题6分，共36分） 7. 计算⎰⎰+Ddxdy y x)(22,其中D 是由1,0,2===x y x y 所围成的区域.解：原式=10526]31[]31[)(101640320221022=+=+=+⎰⎰⎰⎰==dx x x dx y y x dy y x dx x y y x .评分：第一个等号给4分,积分限3分(前1后2)。

高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。

A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。

答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。

答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。

答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。

故级数收一填空题1. 设 z = sin y + 2x~y ,则 dz = 2xydx + (cos y + 2x~ )dy ；2. 函数u = x- +xy 在(1,1)处的梯度为(3,1),在(1,1)处函数减少最快的方向是(-3,-1)；00 003. 设幕级数工a”x"的收敛半径是4,贝U 幕级数£G ….X 2,,+1的收敛半径是R = 2； n=0 n=04. y" + 2y' + 3y = 0 的通解为 qe" cos 迈t + c 2e^' sin 迈t 。

二计算下列各题1•极限lim 匚上是否存在？说明理由。

(x,y )T (0,0) x + y解 不存在。

因为lim 兰二2 =上兰，其值随k 变化，故极限不存在。

x + y 1 + ky=kx 丿2.求曲面z = 2x 2 +3y 3在点(一2,1, 12)处的切平面方程。

解 n = (z x ,z y -1) = (4x,12y 2,-1),在点(一2,1, 12)处，"=(―& 12,-1),切平面方程—8(% + 2) + 12(y-1) + (-l)(z-12)-0,即 8x-12y + z + 16 = 03.计算二次积分 fdyf v (x 2 + y 2)dx.(a > 0) o71 解 / = jj(x 2 + y 2)da = d0^ r 2 - rdrdO = —a^。

D* 1•已知平面薄片D 由y = x 2及直线y = x 所围成，面密度函数为/?(x,y) = x 2y ,求其质量。

=Jjp(x, y)t/cr = yd (j = f dx J 2 x 1 ydy =—D 352. 给定容积为4的开口长方形容器，问尺寸怎样时它具有最小的表面积。

解 设长，宽，高分别为贝'J 5 = xy + 2yz + 2zx ,满足兀％ = 4,_oo_ zrn4.判别级数工仝的敛散性。

浙江大学城市学院2005— 2006学年第二学期期末考试试卷《 微积分（B ）》解答一． 微分方程问题(本大题共 3 题，每题 5分，共15 分)1. 求解微分方程 xxx y dx dy sin =+. 解：()11ln ln sin sin 11sin cos dx dx x x x x x x y e e dx C e e dx C x x xdx C x C x x --⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+=-+⎣⎦⎰⎰⎰2. 求解微分方程01tan 22=--dx dyx dx y d . 解 令dy p dx =，得 tan 10p x p '--=，cos tan 1,,1sin ln 1ln sin , 1sin ,c dp dp x x p dx dx p x p x C p e x =+=++=++=±⎰⎰即 11sin p C x += 1sin 1y C x '=-，()112sin 1cos y C x dx C x x C=-=-+⎰所以通解 12cos y C x x C =-+3. 已知曲线过点)3,1(，且曲线上任一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线的斜率的二倍，求此曲线方程。

解 设曲线为()y f x =，则2yy x'=，且(1)3f = 22　,　dy y dy dx dx x y x == 2,　　ln 2ln dy dx y x C y x ==+⎰⎰ 即 2y Cx =，由(1)3f =得3C =，所以曲线方程为23y x =二.求下列各题(本大题共 3 题,每题 5 分，共 15 分)1． 设向量 k j i a32-+=，向量 k j i b 23+-=。

求（1）→⋅-b b a )32(,（2）a b a ⨯+)2(.解： (1) (23){1,11,12}{1,3,2}56a b b →-⋅=-⋅-=-;a b a⨯+)2(=2,b a ⨯而b a ⨯＝132777213i jki j k -=++-， 所以ab a⨯+)2(=2227b a ⨯=+=2． 求过点（1，3，2）且与直线⎩⎨⎧=++-=+-+,022;0332z y x z y x 平行的直线方程。

吉林大学高数B I I作业答案.2012-2013-2(一)高等数学作业答案BⅡ吉林大学公共数学教学与研究中心2013年3月收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第一次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．223limx y xyx y →→=+（ D ）． （A ）32； （B ）0； （C ）65；（D ）不存在．2．二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(22y x y x y x xyy x f 在)0,0(处（ C ）． （A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．3．设22(,)(1)(2)f x y y x x y =-+-，在下列求(1,2)x f 的方法中，不正确的一种是（ B ）．（A ）因2(,2)2(1),(,2)4(1)x f x x f x x =-=-，故1(1,2)4(1)|0x x f x ==-=； （B ）因(1,2)0f =，故(1,2)00x f '==；（C ）因2(,)2(1)(2)x f x y y x y =-+-，故12(1,2)(,)0x x x y f f x y ====；（D ）211(,2)(1,2)2(1)0(1,2)lim lim 011x x x f x f x f x x →→---===--． 4．若(,)f x y 的点00(,)x y 处的两个偏导数都存在，则（ C ）． （A ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内有界； （B ）(,)f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内连续；收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（C ）0(,)f x y 在点0x 处连续，0(,)f x y 在点0y 处连续； （D ）(,)f x y 在点00(,)x y 处连续．5．设22(,),2zz f x y y∂==∂，且(,0)1,(,0)y f x f x x ==，则(,)f x y 为（ B ）．（A ）21xy x -+； （B ）21xy y ++； （C ）221x y y -+； （D ）221x y y ++．二、填空题1．z =的定义域为2224,01y x x y ≤<+<． 2．0x y →→= 1/2 ． 3．设22),(y x y x y x f +-+=，则=')4,3(x f 2/5，=')4,3(y f 1/5 ． 4．设ln(32)u x y z =-+，则d u =3232dx dy dzx y z-+-+．5．设yz x =，则2z x y∂=∂∂()11ln y x y x -+． 三、计算题1．已知2)z f =，且当1y =时z x =，求()f t 及z 的表达式．将1,y z x ==代入，)12x f=+有)21fx =-解一：)))222423f =-+ ∴()243f t t t =-+解二：令2t =，则()22x t =- ∴()()221f t t =--∴)22211z x =--=-收集于网络，如有侵权请联系管理员删除2．讨论函数2222222,0,(,)0,0x xyx y f x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨⎪+=⎩的连续性．.解一：当(),p x y 沿y 轴(x=0)趋于0（0，0）时， 2222limlim0x y y x xyx y y →→→+==+ 当(),p x y 沿y x =，趋于0（0，0）时，222220002lim lim 12x x y x x xy x x y x→→=→+==+ ∴()00lim,x y f x y →→不存在 ∴不连续解二：当(),p x y 沿y kx =趋于0（0，0）时，()()222222200011lim lim 11x x y kx k x x xy k x y k k x →→=→+++==+++ 与k 有关，∴不连续 3．设(1)y z xy =+，求d z ．()()11211y y z y xy y y xy x--∂=⋅+⋅=+∂ 解一：取对数()ln ln 1z y xy =+()1ln 11z x xy y z y xy ∂⋅=++⋅∂+，∴()()1ln 11y z xy xy xy y xy ⎡⎤∂=+++⎢⎥∂+⎣⎦ 解二：()()()()ln 1ln 1e ,e ln 111y y xy y xy z x xy y xy y xy ++⎡⎤∂∂==⋅++⋅=+⎢⎥∂+⎣⎦ ∴()()()12d 1d 1ln 1+xy d 1y y x z y xy x xy y xy -⎡⎤=++++⎢⎥+⎣⎦4．求2e d yzt xz u t =⎰的偏导数．t220e e xz yzt u dt dt =-+⎰⎰22x z e uz x ∂=-⋅∂ 22y e z uz y∂=⋅∂收集于网络，如有侵权请联系管理员删除2222x y e e z z ux y z∂=-⋅+⋅∂5．设r =0r ≠时，有2222222r r r x y z r∂∂∂++=∂∂∂．r xx r ∂==∂ 222223xr x rr x r x r r -⋅∂-==∂，同理：2222222323,r r y r r z y r z r ∂-∂-==∂∂∴()2222222222233322r x y x r r r r x y z r r r-++∂∂∂++===∂∂∂6．证明函数(,)f x y =(0, 0)处：（1）连续；（2）偏导数存在；（3）不可微． （1）0ε∀>0=≤0ε<ε<<取δ=，则当0δ<<0ε<，∴()()000lim ,lim00,0x x y y f x y f →→→→===（或：()00lim00,0x y f →→==），(),f x y =（2）()(),00,0,0x f x f =；()()0,0,0,00y f y f == （3）()()0,00,0x y z z f x f y =-⋅-=V V V V 考察：000limlimx x y y →→→→=V V V V 当(),p x y 沿直线y kx =趋于0（0，0）有00lim limx x y k x →→=⋅→=V V V V 与k 有关∴上式不存在，不可微收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除第二次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题 1．设22()y z f x y =-，其中()f u 为可导函数，则zx∂∂=（ B ）． （A ）2222()xyf x y --；（B ）222222()()xyf x y f x y '---；（C ）22222()()yf x y f x y '---；（D ）2222222()()()f x y yf x y f x y '-----． 2．设方程(,,)0F x y y z z x ---=确定z 是x ，y 的函数，F 是可微函数，则zx∂∂=（ D ）． （A ）13F F '-'； （B ）13F F ''； （C ）x zy zF F F F --；（D ）1323F F F F ''-''-． 3．设(,),(,),(,)x x y z y y z x z z x y ===都由方程(,,)0F x y z =所确定的隐函数，则下列等式中，不正确的一个是（ C ）．（A ）1x yy x∂∂=∂∂； （B ）1x zz x∂∂=∂∂； （C ）1x y zy z x ∂∂∂=∂∂∂；（D ）1x y zy z x∂∂∂=-∂∂∂．4．设(,),(,)u u x y v v x y ==都是可微函数，C 为常数，则在下列梯度运算式中，有错误的是（ A ）．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（A ）0C ∇=； （B ）()Cu C u ∇=∇；（C ）()u v u v ∇+=∇+∇；（D ）()uv v u u v ∇=∇+∇．5．()u f r =，而r ()f r 具有二阶连续导数，则22ux∂+∂2222u uy z ∂∂+=∂∂( B )． （A ）1()()f r f r r'''+； （B ）2()()f r f r r '''+； （C ）211()()f r f r r r'''+；（D ）212()()f r f r r r'''+．二、填空题1．已知(1,2)4,d (1,2)16d 4d ,d (1,4)64d 8d f f x y f x y ==+=+，则(,(,))z f x f x y =在点（1, 2）处对x 的偏导数为 192 ．2．由方程e z xy yz zx -+=所确定的隐函数(,)z z x y =在点（1, 1）处的全微分为 d dy x +．3．r 在点（0, 0）处沿x 轴正向的方向导数为 1 ． 4．函数2222u x y z xy yz =++-+在点(1,2,3)--处的方向导数的最大值等于三、计算与解答题 1．设f 是C (2)类函数，22(e ,)xyzf x y =-，求2zx y∂∂∂．''''[1212e 2e 2xy xy zf y f x y f xf x∂=⋅⋅+⋅=+∂ ()()2''"''''''1111122122e e e e 22e 2xy xy xy xy xy z f y xf y f x f y x f x f y x y∂⎡⎤⎡⎤=+⋅⋅+⋅+⋅-+⋅⋅+⋅-⎣⎦⎣⎦∂∂ ()()'2"22""11112221e e 2e 4xy xy xy xy f xy f x y f xyf =+++-- 2．设32(32)x y z x y -=-，求d z ．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除解一：()()()()()()()d ln d 32ln 32,1d d 3x-2y ln 3232d ln 32z x y x y z x y x y x y z=-⋅-=⋅-+-⋅- ()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦解二：,32,32v z u u x y v x y ==-=- ()()3213332ln 321x yv x u x v x z z u z v v u x y x y --=⋅+⋅=⋅⋅=-⋅-+⎡⎤⎣⎦()()()321y 2232ln 321x yv u y v y z z u z v v u x y x y --=⋅+⋅=⋅⋅-=--⋅-+⎡⎤⎣⎦∴()()()32d 32ln 3213d 2dy x yz x y x y x -=--+-⎡⎤⎣⎦3．设f ，ϕ是C (2)类函数，x y z yf x y x ϕ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：（1）2220z z x y x x y ∂∂+=∂∂∂； （2）2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂． 证21z y y yf x f x y x x ϕϕϕϕ∂⎛⎫''''=⋅++⋅⋅-=+- ⎪∂⎝⎭222222311z y y y y y f f x y x x x x yx ϕϕϕϕ∂⎛⎫⎛⎫''''''''''=⋅+⋅-+-⋅-=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭2222111z x y x y f f x y y x x x x y x ϕϕϕϕ⎛⎫∂''''''''''=⋅-+⋅--=-- ⎪∂∂⎝⎭21z x xf y f x f f y y x y ϕϕ⎛⎫∂''''=+⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭222222311z x x x x x f f f f y y y y y x y x ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂'''''''''=⋅-+-⋅⋅-+⋅=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭4．设arctan yx，求22d d y x ．()''2222221122ln arctan ,221y x yyx y y x x y xx y y x -+⋅+=⋅=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭''2222x yy y x yx y x y+-=++∴ ()(),x yy x y x y y x y+''-=-+=-()()()()()()()()()()'''22"222321122x y x y y x y x y y x y y x y x y y x y x y x y x y ⎛⎫+⋅- ⎪+--+-⋅-+-⎝⎭====---- 一阶：()()22222222112,ln arctan ,221x yy x x y x F x y x y F x x y x y y x -+=+-=⋅-=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭22222211221y y y x x F y x y x y x -=⋅-=+++∴d d y Fx x y x y x Fy y x x y ++=-=-=-- 二阶：()()()()222'2'""''"11/1,y x y x y yy y y x y y y x y x y+++-++⋅=+-==--()()()()()2222332x y x y x y x y x y +-++==--5．设e sin ,e cos ,uux u v y u v ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩求,u v x y ∂∂∂∂． ()1d cos e sin cos e sin cos 1,sin d cos d d sin e cos sin u u u x u v v u v D u v v D u v x u v y y u v v u v+⎡⎤==-+==-⎣⎦-∴()()1sin cos d d d sin cos 1sin cos 1u D v vu x y D e v v eu v v ==--+-+ ∴()sin e sin cos 1u u v x v v ∂=∂-+ ()2e sin d e sin d e cos d e -cos d u u u u v x D v y v x v y+==+--∴()()()2u cos e d e sin d d e sin -cos 1u uv x v y D v D u v v -++==⎡⎤+⎣⎦∴()e sin e sin cos 1u u v vy u v v ∂+=∂-+6．设2(,,),(,e ,)0,sin y u f x y z x z y x ϕ===，其中求f ，ϕ是C (1)类函数，求d d u x． ()()22''''223,,,e ,2,e ,y z F x y z x xz Fx x Fy F ϕϕϕϕ==⋅== ∴''12''332e ,y x z Fx z Fyx Fz y Fz ϕϕϕϕ∂∂=-=--=-=--∂∂ '''''12123''332e d cos cos d y x u f f x f x x ϕϕϕϕ⎛⎫=+⋅+--⋅ ⎪⎝⎭()''''sin '12312cos 2e cos x f f x f x x ϕϕ=+⋅++解二：全微分'''123'''123d d d d 2d e d d 0d cos d y u f x f y f zx x y z y x x ϕϕϕ⎧=⋅++⎪⋅+⋅⋅+=⎨⎪=⎩ 即'''231'''231d d d d e d d 2d d cos d yu f y f z f x y z x x y x x ϕϕϕ⎧--=⎪+=-⎨⎪=⎩代入消元解得：'sin ''''12123'32cos d cos d x x e x u f f x f x ϕϕϕ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭∴…… 7．求函数ln()z x y =+的点(1, 2)处沿着抛物线24y x =的该点切线方向的方向导数．()()111,,1,21,23zx zy zx zy x y x y ====++()''1,221tan 1y y y α=====121233,,,4444ππααπββπ====11cos cos cos42παβ===223cos cos cos 4παβ===∴()()()111,21111,2cos 1,2cos 33zzx zy αβ∂=⋅+==∂l()()()221,22111,2cos 1,2cos 32323z zx zy αβ⎛⎛∂=⋅+=⋅-+-=- ∂⎝⎭⎝⎭l第三次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中，与平面24x y z ++=平行的切线( B )． （A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有三条；（D ）不存在．2．设函数(,)f x y 在点(0, 0)附近有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==，则( C )．（A ）d (0,0)3d d z x y =+；（B ）曲面(,)z f x y =在点(0,0,(0,0))f 的法向量为{3,1,1}； （C ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{1,0,3}；（D ）曲线(,),0z f x y y =⎧⎨=⎩在点(0,0,(0,0))f 的切向量为{3,0,1}．3．曲面()z x f y z =+-的任一点处的切平面 ( D )． （A ）垂直于一定直线；（B ）平等于一定平面； （C ）与一定坐标面成定角；（D ）平行于一定直线．4．设(,)u x y 在平面有界闭区域D 上是C (2)类函数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则(,)u x y 的 ( B )． （A ）最大值点和最小值点必定都在D 的内部； （B ）最大值点和最小值点必定都在D 的边界上； （C ）最大值点在D 的内部，最小值点在D 的边界上； （D ）最小值点在D 的内部，最得到值点在D 的边界上． 二、填空题1．如果曲面6xyz =在点M 处的切平面平行于平面63210x y z -++=，则切点M 的坐标是 （-1，2，-3） ．2．曲线2224914,1x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩在点(1,1,1)-处的法平面方程是 13x -10y -3z -6=0．3．22z x y =+在条件1x y +=下的极小值是12．4．函数u =在点(1,1,1)M 处沿曲面222z x y =+在该点的外法线方向的方向导数是13．三、计算题1．求曲线222226,x y z z x y ⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程． 解一：22222yy zz x yy z x ''⎧+=-⎪⎨''-+=⎪⎩①②①+②：0z '=代入(),1,1,21xy y y''=-=- ∴()1,1,0s =-v切成：112110x y z ---==，即112x y z -=-⎧⎨=⎩解二：()()2221,,6,2,2,2,2,2,4F x y z x y z Fx x Fy y Fz z n =++-====u u v取()1121,1,2,n s n n ==⨯u v v u v u u v()()222,,.2.2 1.2,2,1G x y z x y z Gx x Gy y n =+-===-=-u u v1s 切平面：()()()1111220260x y z x y z ⋅-+⋅-+-=+-=即+2s 切平面：()()()21212020x y z x y z -+---=--=即:2+2∴2602220x y z x y z ++-=⎧⎨+--=⎩ 2．过直线102227,x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求其方程．解：设切点为0000(,,)M x y z ，切平面方程为：0003270x x y y z z +--=……① 过已知直线的平面束方程为()1022270x y z x y z λ+--++-= 即：()(10)2(2)270x y z λλλ++++---=……②当①②为同一平面时有：000103,2,2x y z λλλ+=+=--=-且222000327x y z +-= 解得00000033117117x x y y z z ==-⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪==-⎩⎩或对应的切平面方程为：927091717270x y z x y z +--=+-+=3．证明曲面2/32/32/32/3(0)x y z a a ++=>上任意点处的切平面在各个坐标轴上的截距平方和等于2a ． .设000M x 0（,y ,z ）为曲面上任一点 切平面方程为：()()111333000000222()0333x x x y y y z z z ----+-+-=即：11123333000x x y y z z a --++= 令0y z ==得x 轴截距1233x n a = 同理121233332,Y z a Z z a ==∴222422223333()X Y Z x y z a a ++=++=4．求函数22(,)(2)ln f x y x y y y =++的极值．.①令222(2)02ln 10x yf x y f x y y '⎧=+=⎪⎨'=++=⎪⎩ ②得驻点10,e M ⎛⎫⎪⎝⎭③2212(2),4,2xx xy f y f xy fyy x y=+==+④M 处： AC-B 2>0，A>0，∴极小值110,f e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭5．求函数22(,)1216f x y x y x y =+-+在区域22{(,)|25}D x y x y =+≤上的最大值和最小值．2120621608fx x x fy y y =-==⎧⎧⎨⎨=+==-⎩⎩ 不在D 内，∴D 内无极值点 在边界2225x y +=上，(),251216f x y x y =-+()()22,25121625L x y x y x y λ=-+++-12201620Lx x Ly y λλ=-+=⎧⎨=+=⎩ 解得3344x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩2225x y +=()3,475f -=- 最小()3,4125f -= 最大6．求曲面1=的一个切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大．设切点为()()0000,,,,,1M x y z F x y zFn Fy ==切平面：)))0000x x y y z z ---=即：1+=令0y z ==，得x轴截距X = 0x z ==，得y轴截距Y = 0x y ==，得z轴截距Z =XYZ =()),,1f x y z xyz λ=+令000113fx yz yzx x fy xz xzy y fz xy xyz z ⎧===⎪⎪⎪=+==⎪⎪⎨⎪=+==⎪==== 19x y z ===即切点为111,,999⎛⎫⎪⎝⎭切平面为：13x y z ++=第四次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+⎰⎰，其中D 是由0y =，2y x =，1x =所围区域，则(,)f x y 等于( C )．（A ）xy ； （B ）2xy ； （C ）18xy +；（D ）1xy +．2．设D 是xOy 平面上以(1, 1), (-1, 1)和(-1, -1)为顶点的三角形区域，D 1是D 的第一象限部分，则(cos sin )d d Dxy x y x y +⎰⎰等于( A )．（A ）12cos sin d d D x y x y ⎰⎰；（B ）12d d D xy x y ⎰⎰；（C ）；14cos sin )d d D xy x y x y +⎰⎰（（D ）0．3．设平面区域22:14,(,)D x y f x y ≤+≤是在区域D 上的连续函数，则d d Df x y ⎰⎰等于 ( A )．（A ）212()d rf r r π⎰；（B ）21002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰； （C ）2212()d rf r r π⎰；（D ）2122002()d ()d rf r r rf r r π⎡⎤+⎣⎦⎰⎰． 4．设有空间区域22221:,0x y z R z Ω++≤≥及22222:x y z R Ω++≤，0x ≥，0y ≥，0z ≥，则( C )．（A ）12d 4d x V x V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ）12d 4d y V y V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（C ）12d 4d z V z V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（D ）12d 4d xyz V xyz V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．二、填空题 1．积分2220d e d y x x y -=⎰⎰()-411e 2-．2．交换积分次序：14012d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y -+=⎰⎰⎰⎰()2221d ,d y yy f x y x +-⎰⎰．3．设区域D 为||||1x y +≤，则(||||)d d Dx y x y +=⎰⎰43． 4．设区域D 为222x y R +≤，则2222d d Dx y x y a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭⎰⎰422114R a b π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 5．直角坐标中三次积分22110d (,,)d x y I x y f x y z z +-=⎰⎰⎰在柱面坐标中先z再r 后θ顺序的三次积分是()221d d cos ,sin ,d r r f r r z r z πθθθ⎰⎰⎰三、计算题1．计算|cos()|d d Dx y x y +⎰⎰，其中D 是由直线,0,2y x y x π===所围成的三角形区域．原式()()12cos d d cos d d D D x y x y x y x y =+-+⎰⎰⎰⎰()()42204d cos d d cos d yxyxx y x y x x x y y πππππ--=+-+⎰⎰⎰⎰()()422024sin d sin yxyx x y y x y πππππ--=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰4204sin sin 2d sin 2sin d 22y y x x πππππ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ =[][]240411cos 2cos 2122242y x ππππππ+++=- 2．计算sin d d Dx yx y y⎰⎰，其中D 是由2y x =和y x =所围成的区域． ①图交点，先x，②:01y x D y ⎧≤≤⎪⎨≤≤⎪⎩③21100sin sin d d d 22y y y y F f x y y y ⎛⎫==⋅- ⎪⎝⎭⎰⎰110011sin d sin d 22y y y y y =-⎰⎰ ()()111cos1cos1sin 22x =-+- ()11sin12=-3．计算22()d d Dx y x y +⎰⎰，其中{(,)|02,D x y x y =≤≤≤．①图，极坐标，方程②2cos 2:02r D θπθ≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩ ③22202cos d d I r r r πθθ=⋅⎰⎰()24422002cos d =41cos d 4r ππθθθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰3135442242244πππππ=⋅-⋅⋅⋅=-=4．计算23d xy z V Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面z xy =与平面,1y x x ==和0z =所围成的闭或区域． ①图，投影域Dxy②0:001z xy y y x ≤≤⎧⎪Ω≤≤⎨⎪≤≤⎩③1230d d d x xyI x y sy z z =⎰⎰⎰7115120001d d 728xy x x x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1112813364=⨯= 5．计算d I xyz V Ω=⎰⎰⎰，其中222{(,,)|1,0,0,0}x y z x y z x y z Ω=++≤≥≥≥．①图，已求坐标r=1②01:0202r πϕπθ⎧⎪≤≤⎪⎪Ω≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩③12220d d sin cos sin sin cos sin d I x r r r r r ππϕϕθϕθϕϕ=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰135220sin cos d sin cos d d r r ππθθθϕϕϕ=⋅⋅⋅⋅⎰⎰⎰3220011111sin dsin sin d sin 662448ππθθϕϕ=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰6．设()d F t f V Ω=⎰⎰⎰，其中2222:,()x y z t f t Ω++≤在0t =可导，且(0)0f =，求40()limt F t tπ+→． ()()2t 20d d sin d F t f r r r ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰()2t20d sin d d f r r r ππθϕϕ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰()204d tf r r r π=⋅⋅⎰()()2'4F t f t t π=⋅⋅∴()()()()()()02043000040lim lim lim lim '040t t t t F t f t t f t f t f f t t t t πππ→→→→⋅-+====- 四、证明题设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且恒大于零，证明2d ()d ()()bbaaxf x x b a f x ≥-⎰⎰． 证明：设:a x bD a y b≤≤⎧⎨≤≤⎩∵2d d 0D x y ≥⎰⎰ 即：()()()()d d 2d d D Df x f y x y x y f y f x ⎡⎤+≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰∴()()()()()211d d d d 2b bb b aaa a f x x y f y y xb a f y f x +⋅≥-⎰⎰⎰⎰∴()()()212d d 2b baaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰∴()()()21d d b baaf x x x b a f x ⋅≥-⎰⎰第五次作业学院 班级 姓名 学号一、单项选择题1．设L 是圆周222x y a +=，则22()d nL x y s +=⎰Ñ(D ) ．（A ）2n a π； （B ）12n a π+； （C ）22n a π；（D ）212n a π+．2．设L 是由(0, 0), (2, 0), (1, 1)三点连成的三角形边界曲线，则d L y s =⎰Ñ( A )．（A ）（B ）2（C ）（D ）2+．3．设∑是锥面222x y z +=在01z ≤≤的部分，则22()d x y S ∑+=⎰⎰( D )．（A ）1300d d r r πθ⎰⎰； （B ）21300d d r r πθ⎰⎰；（C 1300d d r r πθ⎰；（D 21300d d r r πθ⎰．4．设∑为2222(0)x y z a z ++=≥，1∑是∑在第一卦限中的部分，则有(C )．（A ）1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（B ）1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（C ）1d 4d z S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰；（D ）1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰．二、填空题1．设曲线L 为下半圆y =22()d L x y s +=⎰1d π1LS =⋅⎰．2．设L 为曲线||y x =-上从1x =-到1x =的一段，则d L y s =⎰．3．设Γ表示曲线弧,,,(02)2t x t y t z t π==≤≤，则222()d x y z s Γ++=⎰332ππ23+．4．设∑是柱面222(0)x y a a +=>在0z h ≤≤之间的部分，则2d x S ∑=⎰⎰3a h π．5．设∑是上半椭球面2221(0)94x y z z ++=≥，已知∑的面积为A ，则222(4936)d x y z xyz S ∑+++=⎰⎰36A ．三、计算题 1．计算L s ⎰Ñ，其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：123222123:0,0::,02L L L L L y x a L x y a aL y x x =++=≤≤+==≤≤1e d e 1ax a L s x ==-⎰⎰224a aL L as e ds e π==⎰⎰4aπ3e 1a L s x ==-⎰所以：原式=2（1-a e ）+4aπa e2．2d z s Γ⎰Ñ，其中2222,:0.x y z a x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩．（222d d d r rrx s y s z s ==⎰⎰⎰Q蜒?）2Γ222223d 1()d 31d 322π.33r r z s x y z s a s a a a π=++==⋅=⎰⎰⎰ÑÑÑ 3．计算曲面积分()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中曲面:z ∑=被柱面222x y x +=所截得部分。

06/07（二）浙江工业大学高等数学B （下）考试试卷一、填空题（本题满分30分）1. 设向量a 与b 不平行，2, a b ⋅= b b a c 3)(2-⨯=，则)(c b a += 。

2．设2sin()z x y =+，则z x∂=∂ 。

3．设ln x z y y =，则dz = 。

4. 设(,)xz f y y =，其中(,)f x y 偏导数连续，则z x∂=∂ 。

5. 在曲面222x z y =+上有一点M,在改点曲面的切平面平行于平面220x y z +-=，则点M 的坐标是 。

6. 设:||1,01D x y ≤≤≤，则3y Dx e dxdy =⎰⎰ 。

7.二次积分00()a y f dy x⎰化为极坐标下的二次积分是 。

8. 若幂级数0n nn a x ∞=∑的收敛域为(-4,4], 则幂级数20n n n a x ∞=∑的收敛域是 。

9. 微分方程2''2'xy y e +=的一个特解形式为 。

10. 微分方程22dy y x dx=的通解是 。

二、判断下列各命题（结论）是否正确（在括弧内填入√⨯或）（本题满分10分） 1. (,)f x y 在点00(,)x y 的领域内有定义，且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，则函数在此点全微分0dz =. ( )2. 若函数在(,)f x y 在点00(,)x y 可微分，则函数在此点连续且偏导数存在。

( )3. 级数1n n u∞=∑收敛的充分必要条件是lim 0n n u →∞=。

( ) 4. 正项级数1n n u∞=∑收敛的充分必要条件是数列1n n i i S u ==∑的极限存在。

( )5. 若正项级数1n n u ∞=∑满足11n nu u +<，则该级数收敛。

( )三、试解下列各题（本题满分8分）1. 判定级数21sin2n n n π∞=∑的收敛性。