2011西城区高三一模数学试卷及答案理科-北京市西城区2011年高三一模试卷数学理

北京市西城区2011年高三一模试卷 数 学（文科）2011. 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,5}A =，{4,5}B =，则()U A B ð等于 （A ）{1,2,3,4} （B ）{1,3} （C ）{2,4,5} （D ）{5}2.函数lg y x =的定义域是（A ）(]0,2 （B ）(0,2) （C ）[]0,2 （D ）[]1,23.为了得到函数x x y cos sin +=的图像，只需把x x y cos sin -=的图象上所有的点（A ）向左平移4π个单位长度 （B ）向右平移4π个单位长度 （C ）向左平移2π个单位长度 （D ）向右平移2π个单位长度4. 设2log 3a =，4log 3b =，12c =，则（A ）a c b << （B ）c a b << （C ）b c a << （D ）c b a << 5．一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是 （A ）6（B ）12（C ）24（D ）366．对于平面α和异面直线,m n ，下列命题中真命题是（A ）存在平面α，使m α⊥，α⊥n （B ）存在平面α，使α⊂m ，α⊂n （C ）存在平面α，满足m α⊥，//n α （D ）存在平面α，满足//m α，//n α 7. 右面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的 成绩，其中一个数字被污损.则甲的平均成绩超过 乙的平均成绩的概率为（A ）52 （B ）107 （C ）54 （D ）1098．某次测试成绩满分为150分，设n 名学生的得分分别为12,,,n a a a （i a ∈N ，1i n ≤≤），k b （1150k ≤≤）为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩.则 （A ）12150b b b M n +++=（B ）12150150b b b M +++= （C ）12150b b b M n +++> （D ）12150150b b b M +++>二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 若复数(1i)(1i)a ++是纯虚数，则实数a 等于______. 10.设向量(1,sin )θ=a ，b (1,cos )θ=，若35⋅=a b ，则θ2sin =______. 正(主)视图俯视图侧(左)视图11.双曲线22:12x C y -=的离心率为______；若椭圆2221(0)x y a a +=>与双曲线C 有相同的焦点，则a =______.12. 设不等式组22,22x y -≤≤⎧⎨-≤≤⎩表示的区域为W ,圆:C 22(2)4x y -+=及其内部区域记为D .若向区域W 内投入一点，则该点落在区域D 内的概率为_____.13. 阅读右侧程序框图，则输出的数据S 为_____.14. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，n S 为其前n 项和，对于1,2,3,n = ，有1135,2n n n nn n k k a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,， 当53=a 时，1a 的最小值为______；当11=a 时，1220S S S +++= ______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分。

开始是否i < 输出S结束2i S S =+1i i =+①1,1S i ==北京市西城区2011年高三一模试卷 数 学（理科） 2011. 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于 （A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x = （D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则 （A ）a b c <<（B ）b c a <<（C ）c a b <<（D ）b a c <<4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos2θ等于 （A ）31-（B ）32-（C ）32 （D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么 （A ）312,,2x x x 成等差数列 （B ）312,,2x x x 成等比数列 （C ）132,,x x x 成等差数列 （D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_____.10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知22PA =，4PC =， 圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为_____.11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. 16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .PABCO• OABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图344333如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（Ⅱ）若1FA AP λ= ,2BF FA λ= ,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.A BCD F E定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度. （Ⅰ）当(1)nn a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2 10. 2 11. 415±，3212. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分 所以10≤ac ，（当10a c ==时等号成立） ……………………12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分 X 分布列为：X 0 1 23 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=， ………………5分 所以3=DBED. 由3=AD 可知36DE =，6AF =. ………………6分则(3,0,0)A ，(3,0,6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,3,6)BF =- ，(3,0,26)EF =-， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3603260y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 令6z =，则=n (4,2,6). …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，xyBCAEzDFx M所以613cos ,133226CA CA CA ⋅〈〉===⨯n n n . …………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x -'=，（0x ≠）， ……………3分 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分 解()0g x '=，得1e a x -=，所以，在区间1(0,e)a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………10分当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e<e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-， 所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e e 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分 圆的半径为1121()2224FAx p px +=⨯--=， …………………4分 所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ= ,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 由221y y λ=-，得222221y y λ=. 又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分 代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+， 整理得122p x λ=， …………………12分代入1112px x λ-=-，得122222p p p λλλ-=-， 所以12211λλλ=-， …………………13分 因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+， 将2p x my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ= ，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分 所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112px x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯= . ………………3分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分 因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<.若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<， 当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤， 当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ………………6分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. ……………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾. 所以，321a a a >>. ………………9分 （ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾. 所以，1+>i i a a . …………11分 （ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾. 所以，1n n a a ->. ……………12分 综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ………………13分。

北京市西城区2011年高三一模试卷高三文科综合能力测试2011 4 本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷l至8页，第Ⅱ卷9至14页，共300分。

考试时间150分钟。

考生务必将答案答在答题书上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共140分)本卷共35小题，每小题4分，共计140分。

在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。

2011年1月30日，第七届亚洲冬季运动会在哈萨克斯坦的阿斯塔纳隆重召开，开幕式上用风光片展示了哈萨克斯坦南部广袤的沙漠、戈壁滩、北部辽阔的大草原……读图1，并结合材料回答1、2题。

l_亚冬会召开期间A．地球的公转速度逐渐变快B．阿斯塔纳的白昼逐渐变短C．北极圈内极夜范围逐渐变大D．北京正午太阳高度逐渐变大2．哈萨克斯坦A．东南部山地降雪量大，主要受太平洋影响B．自然带的南北差异，主要受热量因素影响C．境内河流均为注入内陆湖泊的内流河D．地貌景观的形成主要与风力作用有关读图2，回答3、4题．3．若图中甲地常年受西风控制，则该地可能位于A．大洋洲B，南美洲C．欧洲D．北美洲4若图中陆地表示亚欧大陆，则乙地所在区域A．春季升温快，水热条件好B．夏季气温高，降水量丰富C．秋季正值春小麦收获季节D．冬季寒潮使农业减产严重2009年，在南极内陆冰盖的最高点(海拔4083米)建成我国第一个南极内陆科学考察站——昆仑站。

图3为南极地区自然物质运动示意图。

据图，回答5、6题。

5南极地区水循环A．比较活跃，气候湿润B．地表径流环节缺失C．①环节使陆地的淡水得到补充D．⑤环节使地表水转化为地下水6．在昆仑站建站过程中遇到的困难主要有①低温②缺氧③紫外线照射强⑥可施工时间短④冰层厚度大⑤物资补给困难A．①②③⑤B．①③⑤⑥C。

①②⑤⑥D．①③④⑤图4为某时陆地与海上风速剖面图，据图，回答7、8题。

7．读图可知A．随高度升高，洋面风速增长迅速B．利用相同风速的风能发电，风塔装置海洋高于陆地Ｃ．20米以下的低空，洋而摩擦力小，风速远大于陆地Ｄ．20米高空，海上与陆地风速相差最大8如果在我国东部沿海大规模开发风电，将呵以A．优化能源结构B．降低建设成本Ｃ．加快产业升级D．解决人地矛盾随着海峡两岸联系的不断增强，台胞游客对大陆旅游市场的影响与日俱增。

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题（理工类）2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．若集合2{|, }M y y x x ==∈R ，{|2, }N y y x x ==+∈R ，则M N I 等于（A ）[)0,+∞（B ）(,)-∞+∞ （C ）∅ （D ）{(2, 4)，(1, 1)-}2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A ）8，8 （B ）10，6 （C ）9，7 （D ）12，4 3．极坐标方程4cos ρθ=化为直角坐标方程是（A ）22(2)4x y -+=（B ）224x y += （C ）22(2)4x y +-=（D ）22(1)(1)4x y -+-= 4．已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和．若13a =，24144a a =，则10S 的值是（A ）511（B ） 1023 （C ）1533 （D ）30695．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）π(π,π)2k k + k ∈Z （B ）π(π, ππ)2k k ++ k ∈Z（C ）(2π, π2π)k k +k ∈Z （D ）(2ππ, 2π2π)k k ++k ∈Z6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于（A（B（C（D7．如图，双曲线的中心在坐标原点O ，, A C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则BDF ∠的余弦值是侧视正视俯视xy OCBAFD（A）7 （B）7 （C ）14 （D）148．定义区间(, )a b ，[, )a b ，(, ]a b ，[, ]a b 的长度均为d b a =-，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2)[3, 5) 的长度(21)(53)3d =-+-=. 用[]x 表示不超过x 的最大整数，记{}[]x x x =-，其中x ∈R . 设()[]{}f x x x =⋅，()1g x x =-，若用123,,d d d 分别表示不等式()()f x g x >，方程()()f x g x =，不等式()()f x g x <解集区间的长度，则当02011x ≤≤时，有（A ）1231, 2, 2008d d d === （B ）1231, 1, 2009d d d === （C ）1233, 5, 2003d d d === （D ）1232, 3, 2006d d d === 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上 9．复数13i z =+，21i z =-，则12z z 等于 .10．在二项式62)的展开式中，第四项的系数是 .11．如右图，在三角形ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，F 为AB 上的点，且B 4A AF = . 若AD xAF yAE =+，则实数x = ，实数y = .12．执行右图所示的程序框图，若输入 5.2x =-，则输出y 的值为 ．13．如下图，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于点E．已知BC CD ==2AE EC =，30CBD ∠=，A BC DE · · F则CAB ∠= ，AC 的长是 ．14．对于各数互不相等的整数数组),,,,(321n i i i i (n 是不小于3的正整数)，对于任意的,{1,2,3,,}p q n ∈ ，当q p <时有q p i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组123(,,,,)n i i i i 中的逆序数为n ，则数组11(,,,)n n i i i - 中的逆序数为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知3cos 24C =-. （Ⅰ）求sin C ；（Ⅱ）当2c a =，且b =a .16．（本小题满分13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，且//AD BC ，90ABC PAD ∠=∠=︒，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若12PA AB BC AD ===. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求二面角A PD C --的余弦值.17．（本小题满分13分）在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是23． （Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X ，求X 的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？18．（本小题满分13分）已知函数2()ln 20)f x a x a x=+-> (. （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围. 19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 20．（本小题满分14分）有n 个首项都是1的等差数列，设第m 个数列的第k 项为mk a (,1,2,3,,,m k n n = ≥，公差为m d ，并且123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列．（Ⅰ）证明1122m d p d p d =+ （3m n ≤≤，12,p p 是m 的多项式），并求12p p +的值； （Ⅱ）当121, 3d d ==时，将数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d (每组数的个数构成等差数列)．设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >，求数列{2}m cm d 的前n 项和n S ． （Ⅲ）设N 是不超过20的正整数，当n N >时，对于（Ⅱ）中的n S ，求使得不等式1(6)50n n S d ->成立的所有N 的值．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学测试题理科2011.4 参考答案一、选择题:三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知可得2312sin 4C -=-.所以27sin 8C =.因为在ABC ∆中，sin 0C >，所以sin C =. …………………6分（Ⅱ）因为2c a =，所以1sin sin 28A C ==.因为ABC ∆是锐角三角形，所以cos 4C =，cos 8A =. 所以sin sin()B AC =+sin cos cos sin A C A C =+8484=+8=sin aA=，所以a =…………………………13分16．（本小题满分13分）解法一：（Ⅰ）因为 90PAD ∠=︒，所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD 底面ABCD AD =， 所以PA ⊥底面ABCD .而CD ⊂底面ABCD ，所以PA ⊥CD . 在底面ABCD 中，因为90ABC BAD ∠=∠=︒，12AB BC AD ==，所以2AC CD AD ==， 所以AC ⊥CD . 又因为PA AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ……………………………4分 （Ⅱ）在PA 上存在中点E ，使得//BE 平面PCD ，证明如下：设PD 的中点是F ， 连结BE ，EF ，FC ，则//EF AD ，且12EF AD =. 由已知90ABC BAD ∠=∠=︒，所以//BC AD . 又12BC AD =，所以//BC EF ，且BC EF =，所以四边形BEFC 为平行四边形，所以//BE CF .因为BE ⊄平面PCD ，CF ⊂平面PCD ，所以//BE 平面PCD . ……………8分（Ⅲ）设G 为AD 中点，连结CG ，则 CG ⊥AD .又因为平面ABCD ⊥平面PAD ， 所以 CG ⊥平面PAD . 过G 作GH PD ⊥于H ，连结CH ，由三垂线定理可知CH PD ⊥. 所以GHC ∠是二面角A PD C --的平面角.设2AD =，则1PA AB CG DG ====, DP =. 在PAD ∆中，GH DG PA DP =，所以GH =. 所以tan CG GHC GH ∠==，cos 6GHC ∠=. 即二面角A PD C --………………………………13分解法二：因为 90PAD ∠=︒， 所以PA AD ⊥.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且侧面PAD 底面ABCD AD =，所以 PA ⊥底面ABCD .又因为90BAD ∠=︒，所以AB ，AD ，AP 两两垂直. 分别以AB ，AD ，AP 为x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.设2AD =，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,1)P .（Ⅰ）(0,0,1)AP = ，(1,1,0)AC = ，(1,1,0)CD =-,所以 0AP CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD .[来源:学科网]又因为AP AC A = ， 所以CD ⊥平面PAC . ………………………………4分（Ⅱ）设侧棱PA 的中点是E ， 则1(0, 0, )2E ，1(1, 0, )2BE =- .设平面PCD 的一个法向量是(,,)x y z =n ，则0,0.CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 因为(1, 1, 0)CD =- ，(0, 2,1)PD =-，所以0,20.x y y z -+=⎧⎨-=⎩ 取1x =，则(1, 1, 2)=n .所以1(1, 1, 2)(1, 0, )02BE ⋅=⋅-= n ， 所以BE ⊥ n .因为BE ⊄平面PCD ，所以BE 平面PCD . ………………………………8分（Ⅲ）由已知，AB ⊥平面PAD ，所以(1, 0, 0)AB =为平面PAD 的一个法向量.由（Ⅱ）知，(1, 1, 2)=n 为平面PCD 的一个法向量. 设二面角A PD C --的大小为θ，由图可知，θ为锐角，所以cos 6AB ABθ⋅===n n . 即二面角A PD C --的余弦值为6………………………………13分 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. 依条件可知X ~B (6，23). 6621()33kkk P X k C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6k =)X所以(01112260316042405192664)729EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=4729=. 或因为X ~B (6，23)，所以2643EX =⨯=. 即X 的数学期望为4． ……………5分（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A ，则224156441212232()()()()().3333381P A C C =⨯⨯+⨯⨯+=答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为32.81………………………………10分（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B ，则2444662()5A A PB A ==.即教师乙在这场比赛中获奖的概率为25. 显然2323258081=≠，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率不相等．…………………13分18．（本小题满分13分）解: (I) 直线2y x =+的斜率为1.函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为22()a f x x x '=-+，所以22(1)111af '=-+=-，所以1a =. 所以2()ln 2f x x x =+-. 22()x f x x -'=.由()0f x '>解得2x >；由()0f x '<解得02x <<.所以()f x 的单调增区间是(2,)+∞,单调减区间是(0,2). ……………………4分 (II) 2222()a ax f x x x x -'=-+=， 由()0f x '>解得2x a >；由()0f x '<解得20x a <<.所以()f x 在区间2(, )a +∞上单调递增，在区间2(0, )a 上单调递减.所以当2x a =时，函数()f x 取得最小值，min 2()y f a=.因为对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，所以2()2(1)f a a>-即可.则22ln 22(1)a a a a+->-. 由2ln a a a >解得20a e <<. 所以a 的取值范围是2(0, )e. ………………………………8分(III)依题得2()ln 2g x x x b x =++--，则222()x x g x x+-'=. 由()0g x '>解得1x >；由()0g x '<解得01x <<.所以函数()g x 在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )+∞为增函数.又因为函数()g x 在区间1[, ]e e -上有两个零点，所以1()0,()0,(1)0. g e g e g -⎧⎪⎨⎪<⎩≥≥解得211b e e<+-≤. 所以b 的取值范围是2(1, 1]e e+-. ………………………………………13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知解得b =，1c =．故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12．……6分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠.则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．[来源:学科网]由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k --=+．⎧⎪⎨⎪⎩2221222, .a b a a b c ⋅⋅===+所以2026834k x k -=+，00212(2)34k y k x k =+=+． ……………………………10分 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±. 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+= 与直线PF 相切． 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y k k x k ==--. 所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．………14分 20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知1(1)mn m a n d =+-．212121[1(1)][1(1)](1)()n n a a n d n d n d d -=+--+-=--，同理，3232(1)()n n a a n d d -=--，4343(1)()n n a a n d d -=--，…， (1)1(1)()nn n n n n a a n d d ---=--．又因为123,,,,n n n nn a a a a 成等差数列，所以2132(1)n n n n nn n n a a a a a a --=-==- . 故21321n n d d d d d d --=-==- ，即{}n d 是公差为21d d -的等差数列． 所以，12112(1)()(2)(1)m d d m d d m d m d =+--=-+-．令122,1p m p m =-=-，则1122m d p d p d =+，此时121p p +=． …………4分 （Ⅱ）当121, 3d d ==时，*2 1 ()m d m m =-∈N ．数列{}m d 分组如下：123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d ．按分组规律，第m 组中有21m -个奇数，所以第1组到第m 组共有2135(21)m m ++++-= 个奇数． 注意到前k 个奇数的和为2135(21)k k ++++-= ，所以前2m 个奇数的和为224()m m =.即前m 组中所有数之和为4m ，所以44()m c m =．因为0m c >，所以m c m =，从而 *2(21)2()m c m m d m m =-⋅∈N ． 所以 234112325272(23)2(21)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ . 23412123252(23)2(21)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ . 故2341222222222(21)2n n n S n +-=+⋅+⋅+⋅++⋅--⋅2312(2222)2(21)2n n n +=++++---⋅12(21)22(21)221n n n +-=⨯---⋅-1(32)26n n +=--. 所以 1(23)26n n S n +=-+． …………………………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得*2 1 ()n d n n =-∈N ，1(23)26n n S n +=-+* ()n ∈N .[来源:Z#xx#] 故不等式1(6)50n n S b -> 就是1(23)250(21)n n n +->-． 考虑函数1()(23)250(21)n f n n n +=---1(23)(250)100n n +=---．当1,2,3,4,5n =时，都有()0f n <，即1(23)250(21)n n n +-<-．而(6)9(12850)1006020f =--=>，注意到当6n ≥时，()f n 单调递增，故有()0f n >.因此当6n ≥时，1(23)250(21)n n n +->-成立，即1(6)50n n S d ->成立． 所以,满足条件的所有正整数5,6,7,,20N = ． …………………………14分。

北京市西城区2011年初三一模试卷数 学1.2-的相反数为( ) A. 2B. 2-C.21D. 21-2.上海世博是我国第一次举办的综合类世界博览会。

据统计自2010年5月1日开幕至5月31月结束，累计参观人数约为8 030 000人。

将8 030 000用科学记数法表示应为( )A. 410803⨯B. 5103.80⨯C. 61003.8⨯D. 710803.0⨯3.以方程组⎩⎨⎧-=+-=12x y x y 的解为坐标点（x ，y ）在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.右图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是( ) A. 4 B. 6 C. 7 D. 85.有四张形状、大小，质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式，将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张（不放回），接着再随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是( )325-=-- 3233=+ 325a a a =- 826a a a =⋅A.21B.41 C.61 D.81 6.某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图，则这组数据的众数和中位数分别是( )A. 7，7B. 8，5.7C. 7，5.7D. 8，67.如图，在梯形ABCD 中，CD AB //，︒=∠60A ，︒=∠30B ，若6==CD AD ，则AB 的长等于( ) A. 9B. 12C. 336+D. 188.点A 在半径为3的⊙O 内，3=OA ，P 为⊙O 上一点，当OPA ∠取最大值时，P A 的长等于( ) A.23B.6C.23 D. 329.分解因式：=+-y xy y x 962_________________.10.甲、乙两盏路灯相距20米，一天晚上，当小方从路灯甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部。

已知小方的身高为1.6米，那么路灯甲的高为_____米.11.定义[a ，b ，c ]为函数c bx ax y ++=2的特征数，下面给出特征数为[m 2，m 41-，12-m ]函数的一些结论：①当21=m 时，函数图象的顶点坐标是（21，41-）；②当1-=m 时，函数在1>x 时，y 随x 增大而减小；③无论m 取何值，函数图象都经过同一个点。

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ， 则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=， 即 cos 22α=， ……… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分 因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页 共 11 页 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î， 所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分 （必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分 所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。

2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•肇庆）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤52．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10B．8，15，17C．1，，2D．2，2，3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y=﹣3x B．y=﹣x+4C．D．4．对角线相等且互相平分的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜10B．m=10C．m＞10D．m≥106．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠DBC=30°，AD=5，则BC等于（）A．5B．7.5C．D．107．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=1B．（x﹣2）2=﹣1C．（x﹣2）2=3D．（x+2）2=38．图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（）A．6.5，6.5B．6.5，7C．7，7D．7，6.59．如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA 是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（）A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积B．点M的坐标为（6，6）C．矩形ODNC的面积为6D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③PD=EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．若，则x﹣y的值为_________．12．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为_________．（不要求写出自变量S的取值范围）13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，BD=8，则AB的长为_________．14．点A（2，3）在反比例函数的图象上，当1≤x≤3时，y的取值范围是_________．15．菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为_________．16．若关于x的方程x2+mx﹣12=0的一个根是4，则m=_________，此方程的另一个根是_________．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点E 在AB边上，将△EBC沿EC所在直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，则AE的长为_________cm．点都在格点上；拼接时图形互不重叠，不留空隙），如果用这4个直角梯形拼接成一个等腰梯形，那么（1）仿照图1，在图2中画出一个拼接成的等腰梯形；（2）这个拼接成的等腰梯形的周长为_________．三、解答题（共2小题，满分16分）19．计算：（1）；（2）．20．解方程：（1）x2﹣3x=7+x；（2）2x（x﹣1）=3（1﹣x）．四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分）21．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（2）在某场比赛中，因对方球员技术犯规需要凯尔特人队选派一名队员进行罚球，你认为甲，乙两位球员谁来罚球更好？（请通过计算说明理由）23．为了增强员工的团队意识，某公司决定组织员工开展拓展活动．从公司到拓展活动地点的路程总长为126千米，活动的组织人员乘坐小轿车，其他员工乘坐旅游车同时从公司出发，前往拓展活动的目的地．为了在员工们到达之前做好活动的准备工作，小轿车决定改走高速公路，路程比原路线缩短了18千米，这样比按原路线行驶的旅游车提前24分钟到达目的地．已知小轿车的平均速度是旅游车的平均速度的1.2倍，求这两种车平均每小时分别行驶多少千米．24．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=8，DC=10，点M是AB边的中点．（1）求证：CM⊥DM；（2）求点M到CD边的距离．五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分）25．已知：如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）．（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．26．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M为EC的中点．（1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明．27．已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为_________．2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•肇庆）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤5考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。

北京市西城区2010年高三抽样测试数学试题（理科）2010．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项 1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则C U ()A B 等于A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,4,5}C ．{1,2,5}D ．{3}2. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若0b a <<，则下列不等式中正确的是A ．11a b> B ．a b > C ．2b a ab+>D ．a b ab +>4. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1A A ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A． B． C． D ．45. 数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-（1,2,n = ），则3a 等于A ．15B ．10C ．9D ．56. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥D ．11i ≥7. 设集合{129}S = ，，，，集合123{,,}A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为正（主）视图A BCA 1B 1C 1A ． 78B ．76C ．84D ．838. 如图，在等腰梯形A B C D 中，//A B C D ，且2A B A D =.设D A B θ∠=，(0,)2πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则A ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.10. 在261()x x+的展开式中，常数项是______.（结果用数值表示）11. 如图，A B C ∆是圆的内接三角形，P A 切圆于点A ，P B 交圆于点D.若60ABC ∠=，1P D =，8B D =，则P A C ∠=________,PA =________.12. 圆1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）的半径为______, 若圆C 与直线0x y m -+=相切，则m =______.13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为_____.14. 已知函数()e ln xf x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：AB①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）②、④三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）如图，在四边形A B C D 中，3A B =，2AD BC C D ===，60A = . （Ⅰ）求sin ABD ∠的值； （Ⅱ）求B C D ∆的面积.16.（本小题满分13分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.17.（本小题满分13分）如图，四棱柱1111ABC D A B C D -中，1A D ⊥平面A B C D ，底面A B C D 是边长为1的正方形，侧棱12AA =.（Ⅰ）求证：1//C D 平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BD 与平面11A C D 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角11D A C A --的余弦值.18.（本小题满分13分）ABCDD 1A 1B 1C 1ABCD已知0a ≥，函数2()f x x ax =+．设1(,)2ax ∈-∞-，记曲线()y f x =在点11(,())M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是2(,0)N x ，O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：21212x x x a=+；（Ⅱ）若对于任意的1(,)2ax ∈-∞-，都有916aO M O N ⋅> 成立，求a 的取值范围．19.（本小题满分14分）如图，椭圆22:14yC x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.（Ⅰ）若C E FD =，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =求k 的值.20.（本小题满分14分）在数列{}n a 和{}n b 中，n n a a =，(1)n b a n b =++，1,2,3,n = ，其中2a ≥且a ∈*N ，b ∈R .（Ⅰ）若11a b =，22a b <，求数列{}n b 的前n 项和； （Ⅱ）证明：当2,a b =={}n b 中的任意三项都不能构成等比数列；（Ⅲ）设123{,,,}A a a a = ，123{,,,}B b b b = ，试问在区间[1,]a 上是否存在实数b 使得C A B =≠∅ .若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 40 10. 15 11. 60 ，312.，3或1- 13.1 14. ②④注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）已知60A = ，由余弦定理得2222cos7BD AB AD AB AD A =+-⋅=， 解得BD =…………………3分由正弦定理，sin sin A DB DA B D A=∠，所以sin sin A DA B D A B D∠=. …………………5分 27==. …………………7分（Ⅱ）在B C D ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅，所以744222cos C =+-⨯⨯，1cos 8C =， …………………9分因为(0,)C ∈π，所以sin 8C =， …………………11分所以，B C D ∆的面积1sin 24S BC C D C =⋅⋅=. …………………13分16、解：（Ⅰ）设A 表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，A BCD由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25， …………………2分则2232336()()55125P A C =⨯=. …………………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为1,2,3,4. …………………6分2(1)5P X ==， …………………7分323(2)5410P X ⨯===⨯， …………………9分3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………10分 3211(4)54310P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………11分所以X 的分布列为12分2311()12342510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………13分17、（Ⅰ）证明：四棱柱1111ABC D A B C D -中，11//BB C C ，又1C C ⊄面11ABB A ，所以1//C C 平面11ABB A ， …………………2分A B C D 是正方形，所以//C D A B ，又C D ⊄面11ABB A ，所以//C D 平面11ABB A ， …………………3分 所以平面11//C D D C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . …………………4分 （Ⅱ）解：A B C D 是正方形，A D C D ⊥，因为1A D ⊥平面A B C D ， 所以1A D AD ⊥，1A D C D ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，. …………………5分在1AD A ∆中，由已知可得1A D =所以11(0,0,0),(0,(1,0,0),(D A A C -，11(1,(1,1,0)B D B -，1(2,BD =--， ………6分因为1A D ⊥平面A B C D ， 所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D A C ⊥，所以11B D ⊥平面11A C D ，…………………7分所以平面11A C D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………8分设1BD与n 所成的角为β，则113cos 4B D B D β⋅===- n n ， …………………9分 所以直线1BD 与平面11A C D 所成角的正弦值为34. …………………10分（Ⅲ）解：设平面11A C A 的法向量为(,,)a b c m =，则1110,0A C A A ⋅=⋅=m m ,所以0a b -+=，0a -=，令c =(3,3,m =， …………………12分设二面角11D A C A --的大小为α，则cos 7α⋅===m n m n所以二面角11D A C A --的余弦值为7. …………………13分18、解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +， …………………2分由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-． …………………4分令0y =，得22111211122x ax x x x x ax a+=-+=++. …………………5分1（Ⅱ）由2211111(,),(,0)2x M x x ax N x a++，得3112x O M O N x a⋅=+. …………6分所以0a =符合题意， ………………7分 当0a >时，记3111()2x g x x a=+，1(,)2a x ∈-∞-．对1()g x 求导数，得211121(43)()(2)x x a g x x a +'=+, …………………8分令1()0g x '=，得13(,)42a a x =-∈-∞-.当1(,)a x ∈-∞-时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在3(,)4a -∞-上单调递减，在3(,)42a a --上单调递增，……10分从而函数1()g x 的最小值为2327()432a g a -=. …………………11分依题意22793216aa >， …………………12分解得23a >，即a 的取值范围是2(,)3+∞. …………………13分综上，a 的取值范围是2(,)3+∞或0a =.19、解：（Ⅰ）设1122(,),(,)C x y D x y ，由2244,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得22(4)230k x kx ++-=， 222412(4)1648k k k ∆=++=+， 12224k x x k -+=+，12234x x k-=+， …………………2分由已知1(,0),(0,1)E F k-，又CE FD = ，所以11221(,)(,1)x y x y k---=- …………………4分所以121x x k--=，即211x x k+=-， …………………5分所以2214k kk-=-+，解得2k =±， …………………6分符合题意，所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=. …………………7分（Ⅱ）2121y k x =+，1211y k x =-，12:2:1k k =，所以2112(1)2(1)1y x y x -=+， …………………8分平方得22212212(1)4(1)y x y x -=+， …………………9分又221114y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22224(1)y x =-，代入上式，计算得2112(1)(1)4(1)(1)x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=，…………………12分所以231030k k -+=，解得3k =或13k =， …………………13分因为2112(1)2(1)1y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，所以3k =. …………………14分20、解：（Ⅰ）因为11a b =，所以1a a b =++，1b =-， …………………1分由22a b <，得2210a a --<，所以11a -<<+， …………………3分因为2a ≥且a ∈*N ，所以2a =， …………………4分所以 31n b n =-，{}n b 是等差数列， 所以数列{}n b 的前n 项和2131()222n n n S b b n n =+=+. …………………5分（Ⅱ）由已知3n b n =+假设3m +，3n +3t +其中,,m n t ∈*N ，且彼此不等，则2(3(3n m t +=++， …………………6分所以29292n mt ++=+++，所以233(2n m t m t n -=+-若20m t n +-=，则2330n mt -=，可得m t =，与m t ≠矛盾； ………7分若20m t n +-≠，则2m t n +-为非零整数，(2m t n +- 所以233n mt -为无理数，与233n mt -是整数矛盾. …………………9分 所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. （Ⅲ）设存在实数[1,]b a ∈，使C A B =≠∅ ，设0m C ∈，则0m A ∈，且0m B ∈，设0()t m a t =∈*N ，0(1)()m a s b s =++∈*N ， 则(1)ta a sb =++，所以1ta b s a -=+，因为,,a t s ∈*N ，且2a ≥，所以t a b -能被1a +整除. …………………10分 （1）当1t =时，因为[1,]b a ∈， [0,1]a b a -∈-，所以1a b s a -=∉+*N ； …………………11分（2）当2()t n n =∈*N 时，22212[(1)1](1)(1)1nnnn ab a b a C a b -=+--=++-++- ，由于[1,]b a ∈，所以1[0,1]b a -∈-，011b a ≤-<+，所以，当且仅当1b =时，t a b -能被1a +整除. …………………12分 （3）当21()t n n =+∈*N 时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n ab a b a C a b ++++-=+--=++++-- ，由于[1,]b a ∈，所以1[2,1]b a +∈+，所以，当且仅当11b a +=+，即b a =时，ta b -能被1a +整除. ……13分综上，在区间[1,]a 上存在实数b ，使C A B =≠∅ 成立，且当1b =时，2{,}nC y y a n ==∈*N；当b a =时，21{,}n C y y a n +==∈*N . …………14分。

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科） 2011.1本试卷满分150分 考试时间：120分钟A 卷 [选修 模块2-1] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 下列命题中的真命题是（ ）A ．10x x ∀∈+>R ，B ．21x x ∀∈-R ，≥0C ．||10x x ∃∈+<R ，D ．2x x ∃∈R ，≤02. 设抛物线的焦点为(2,0)F -，则抛物线的标准方程是（ ）A ．28y x =-B ．28x y =-C ．24y x =-D ．24x y =-3. 已知向量(1,,2)m =a ，(2,1,2)=--b ，且1cos ,3〈〉=a b ，那么实数m =（ ）A ．4-B ．4C ．14D ．14-4. “0mn <”是“方程221mx ny +=表示双曲线”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 若椭圆221y x k+=的离心率是12，则实数k 的值是（ ）A ．3或13B ．43或34C ．2或12D ．23或326. 在长方体1111ABCD A BC D -中，AB =11AA =，那么11A B CC ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．2-7. 已知三棱锥D ABC -的三个侧面与底面全等，且AB AC ==2BC =，则二面角A BC D --的大小是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒8. 已知命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，给出下列四个结论：① 命题“p q ∧”是真命题； ② 命题“p q ∧”是假命题； ③ 命题“p q ∨”是真命题； ④ 命题“p q ∨”是假命题. 其中正确的结论为（ ） A ．①、③ B ．②、③C ．①、④D ．②、④9. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点(1,0,2)A ，(0,2,1)B .点C ，D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD 的最小值是（ ）A ．5B ．5C ．2D10.设椭圆22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且121PF PF ⋅=，那么点P 到椭圆中心的距离是（ ）A ．32BC D二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 11．命题“x ∃∈R ，210x x -->”的否定是：__________________． 12．已知向量(3,4,5)=a ，(0,0,1)=b ，那么,〈〉=a b _______.13．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，焦点与椭圆221259x y +=的焦点相同， 那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为___________．14．已知椭圆2212y x +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在椭圆上，且112PF F F ⊥，则2PF =______. 15．已知平面α的一个法向量是(1,1,1)=-n ，且平面α经过点(1,2,0)A .若(,,)P x y z 是平面α上任意一点，则点P 的坐标满足的方程是________________.16．已知两点(10)A ，，(0)B b ，．如果抛物线24y x =上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形， 那么实数b =________．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-，直线20x y --=与抛物线相交于M ，N 两点.（1）求抛物线的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A BC -中，AC BC ⊥， 12AC BC AA ===.（1）求直线1AC 和11A B 所成角的大小； （2）求直线1AC 和平面11ABB A 所成角的大小.19．（本小题满分12分）已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线1C 上的动点P 满足1212PF PF F +=.（1）求曲线1C 的方程；（2）设曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，当1C 和2C 有四个不同的交点时，求实数m 的取值范围.0.04分数0.030.020.01B 卷 [学期综合] 本卷满分：50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． 1． 对甲、乙两组青年进行体检，得到如图所示的身高数据（单位：cm ）的茎叶图，那么甲组青年 的平均身高是cm ．若从乙组青年中随机选出一人，他的身高恰为175 cm 的概率为 ．2．期中考试后，学校对高二年级的数学成绩进行统计， 全年级500名同学的成绩全部介于60分与100分 之间. 将他们的成绩数据绘制成如图所示的频率分布直方图，由图中数据可知，成绩大于或等于80分的学生人数为 ．若要从全体学生中，用分层抽样的方法抽取60名同学的试卷进行分析，则从成绩在[90100]，内的学生中抽取的人数应为 ．3．阅读如图所示的程序框图，当输出结果为6时，在处理框中 ① 处的数值应该是 ．4．一个袋中装有4个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.现从袋中随机取一个球，记该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，记该球的编号 为n ，那么随机事件“m n ≤1”的概率是 ． 5．已知圆的半径是1，A 为圆周上的一个定点，在该圆周上随机 取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率是 ．6．已知n 次多项式()nin i i S x a x==∑．① 当0x x =时，求0()n S x 的值通常要逐项计算，如：计算22020100()S x a x a x a =++共需要5次运算（3次乘法，2次加法），依此算法计算0()n S x 的值共 需要 次运算．② 我国宋代数学家秦九韶在求0()n S x 的值时采用了一 种简捷的算法，实施该算法的程序框图如图所示， 依此算法计算0()n S x 的值共需要 次运算．二、解答题：本大题共2小题，共26分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 7．（本小题满分13分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，E 是SD 的中点，AD2DC SD ==.（1）证明：SB ∥平面ACE ； （2）求二面角A SB C --的余弦值； （3）设点F 在侧棱SC 上，60ABF ∠=，求SFFC. 8．（本小题满分13分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>且经过点(2,1)M ．直线1(0)2y x m m =+<与椭圆相交于A ，B 两点． （1）求椭圆的方程；（2）当1m =-时，求△MAB 的面积； （3）求△MAB 的内心的横坐标．北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷（北区）高二数学（理科）参考答案及评分标准2011.1A 卷 [选修 模块2-1]一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．D ； 2．A ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．C ； 7．C ； 8．A ； 9．B ； 10．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．x ∀∈R ，21x x --≤0； 12．45︒； 13．(4,0)±，y =；14．215．30x y z +--=； 16．5或13-．注：13题每空2分；16题少解给2分，有错解不给分．三、解答题：本大题共3小题，共36分．（如有其它方法，仿此给分） 17．（本小题满分12分）（1）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 所以 1p =，所以抛物线的方程为22y x =. ……………… 5分（2）证明：将2x y =+代入22y x =，消去x 整理得2240y y --=. ……………… 7分设11(,)M x y ，22(,)N x y .因为点M ，N 的纵坐标1y 与2y 是上述方程的两个根，所以124y y =-.由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得2212124y y x x =，所以 21212()44y y x x ==. ……………… 10分因为 12120OM ON x x y y ⋅=+=，所以 OM ON ⊥，即 OM ON ⊥. ……………… 12分18．（本小题满分12分）解：（1）因为111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥平面ABC ，又AC BC ⊥，故CA ，CB ，1CC 两两垂直.如图，以C 为原点，CA ，CB ，1CC 分别为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系. ………… 1分 则(2,0,0)A ，1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C ，1(0,2,2)B . 所以1(2,0,2)AC =-，11(2,2,0)AB =-. ………… 3分 因为 1111111111cos ,2AC A B AC A B AC A B ⋅〈〉==， ……………… 5分所以直线1AC 和11A B 所成角的大小是60︒. ……………… 6分（2）设平面11ABB A 的一个法向量是(,,)a b c =n ，则110AB ⋅=n ，10AA ⋅=n ，即 220,20,a b c -+=⎧⎨=⎩ 取1a =，得(1,1,0)=n . ………………8分设直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为θ，其中0θ︒<≤90︒. 因为 111||1sin cos 2||||AC AC AC θ⋅=〈〉==，n n n ， ………………11分所以 30θ=，即直线1AC 与平面11ABB A 所成角的大小是30. ……………… 12分19．（本小题满分12分）解：（1）依题意12PF PF +=124FF =，且12F F <所以 曲线1C 是以1(2,0)F -，2(2,0)F 为焦点，长轴长为. ……………… 2分设椭圆1C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其半焦距为(0)c c >.因为2a =24c =，2224b a c =-=，所以 曲线1C 的方程为22184x y +=. ……………… 5分（2）因为 曲线2C 的方程为(0)x y m m +=>，所以 当0,x y >≥0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m +=>；当x ≤0,0y >时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -+=>； 当0,x y <≤0时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m --=>； 当x ≥0,0y <时，曲线2C 的方程可化为(0)x y m m -=>.所以 曲线2C 是以(,0)m ，(0,)m ，(,0)m -，(0,)m -四个点为顶点的正方形. ……………… 7分因为 曲线1C 和2C 有四个不同的交点，且曲线1C 、2C 均是关于x 轴、y 轴对称的曲线， 所以 曲线 (0)x y m x m +=<≤与1C 有且仅有一个交点.所以 方程组22(0),184x y m x m x y +=<≤⎧⎪⎨+=⎪⎩有且仅有一组解，即关于x 的方程2234280x mx m -+-=在区间(0,]m 内有且仅有一个实数根0x . ……………… 9分设22()3428f x x mx m =-+-.情形 ① 22012(28)0,0,m m x m ∆⎧=16--=⎨<≤⎩解得m = ………………10分情形 ② 0,(0)0,()0,m f f m >⎧⎪>⎨⎪<⎩解得2m <<………………11分所以 实数m的取值范围是m =2m << ……………… 12分注：如果学生通过数形结合，画图得出正确结果，请相应给分.B 卷 [学期综合] 本卷满分50分一、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．1．173，15； 2．350，18； 3．10； 4．58； 5．1π； 6．(3)2n n +，2n ．注：1、2、6题每空2分．二、解答题：本大题共2小题，共26分．（如有其它方法，仿此给分） 7．（本小题满分13分）因为SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，所以DA ，DC ，DS 两两垂直.如图，以D 为原点，直线DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系. …………………1分则 (0 0 0)D ，，， 0)B ，(0,0,2)S ，(0,2,0)C ，(0,0,1)E .（1）证明：连接BD ，与AC 相交于点O ，连接EO ， 所以O . 因为 2(1)2EO =-，(2 2 2)SB =-，，， 所以 2SB EO =， 所以 SB ∥EO . 因为 EO ⊂平面ACE ，SB ⊄平面ACE ， 所以SB∥平面A. …………………4分（2）解：设111(,,)a b c =u 是平面CBS 的一个法向量，则0BC ⋅=u，0SC ⋅=u ，因为(BC =，(0,2,2)SC =-， 所以1110,220,b c ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 取11b =，则(0=u . …………………6分设222(,,)a b c =v 是平面ABS 的一个法向量，则0AB ⋅=v ，0SA ⋅=v ， 因为0 0)A ， 所以 (0,2,0)AB =，(2,0,2)SA =-，所以22220,20.b c =⎧⎪-=取21a =，则(,0,)=v . …………………8分 设二面角A SB C --的大小是θ，θ为钝角.因为cos θ⋅==u v u v ， 所以二面角A S--的余弦值是6-. …………………9分（3）证明：设(0)SF FC λλ=>. …………………10分 则 22(0,,)11F λλλ++，22(,)11BF λλ-=++， 又 (0,2,0)BA =-，,60BA BF 〈〉=， 故 cos60BF BA BF BA ⋅=，即41λ=+ 解得 1λ=. 所以1SFFC=. …………………13分高二数学（理科）第一学期期末试卷 第 11 页（共8页） 武警印刷厂印制8．（本小题满分13分）解：（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的半焦距为c ．所以 2222222314c a b b a a a -==-=， 即2a b =． …………………2分 由222,411,a b a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得 228,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆的方程为22182x y +=． …………………4分 （2）将12y x m =+代入22182x y +=， 消去y 整理得 222240x mx m ++-=．令2244(24)0m m ∆=-->，解得20m -<<．设点1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x m +=-，21224x x m =-． …………………6分当1m =-时，122x x +=，122x x =-．此时AB === …………………7分点(2,1)M 到直线220x y --=的距离为d ==， …………………8分所以 △MAB的面积是12S AB d =⋅=．…………………高二数学（理科）第一学期期末试卷 第 12 页（共8页）武警印刷厂印制 9分（3）设直线MA ，MB 的斜率分别是1k ，2k ，△MAB 内切圆的圆心是I ， 则12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)yy y x y x k k x x x x ----+--+=+=----，由（2）得 1221(1)(2)(1)(2)y x y x --+-- 122111(1)(2)(1)(2)22x m x x m x =+--++--1212(2)()4(1)x x m x x m =+-+--224(2)(2)4(1)m m m m =-+----0=，…………………12分又 0m <， 所以 AMB ∠的平分线MI 垂直于x 轴，因此 △MAB 的内心的横坐标是2．…………………13分。

北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末试卷高三数学（文科） 2011.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{1}A x x =≥-，{3}B x x =<，那么集合A B = [来源:学#科#网Z#X#X#K] （A ）{13}x x -≤< （B ）{13}x x -<< （C ）{1}x x <-（D ）{3}x x >2. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 （A ）lg y x =（B ）cos y x =（C ）||y x =（D ）sin y x =3. 若a b >，则下列不等式正确的是 （A ）11a b< （B ）33a b >（C ）22a b >（D ）a b >4. 命题“若a b >，则1a b +>”的逆否命题是 （A ）若1a b +≤，则a b > （B ）若1a b +<，则a b > （C ）若1a b +≤，则a b ≤（D ）若1a b +<，则a b <5. 设{}n a 是等差数列，若24a =，57a =，则数列{}n a 的前10项和为 （A ）12（B ）60（C ）75（D ）1206. 阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，那么输入实数x 的取值范围是 （A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞7． 如图，四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =BD CD ⊥，将四边形ABCD沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平 面A BD '⊥平面BCD ，则下列结论正确的是 （A ）A C BD '⊥ （B ）90BA C'∠=（C ）A DC '∆是正三角形（D ）四面体A BCD '-的体积为138. 设函数121()log ()2xf x x =-，2121()log ()2xf x x =-的零点分别为12,x x ，则（A ）1201x x << （B ）121x x = （C ）1212x x << （D ）122x x ≥第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. i 为虚数单位，则22(1i)=+______. 10. 已知1==a b ，12⋅=a b ，则平面向量a 与b 夹角的大小为______. 11.若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为______.12.在ABC ∆中，若3,3a b =，3B 2π∠=，则c =____. 13. 已知双曲线22221x y a b-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为______；渐近线方程为_______.14.在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Q x x y y =-+-为两点11(,)P x y ,22(,)Q x y 之间的“折线距离”.在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形； ②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形； ④到(1,0),(1,0)M N -两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线. 其中正确的命题是____________.（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin 22sin f x x x -. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A均为正方形，90BAC ∠=，D 为BC 中点.（Ⅰ）求证：1//A B 平面1ADC ； （Ⅱ）求证：11C A B C ⊥.[来源:学科网ZXXK] [来源:学|科|网]17.（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下： [来源:Z&xx&]（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率. [来源:学科网]18.（本小题满分13分）分组[来频数 频率 [10,15) 10 0.25[15,20)24n[20,25)mp[25,30)20.05 合计M1ABCDC 1 A 1B 1已知椭圆2222:1x y C a b+= （0>>b a ）的一个焦点坐标为(1,0)，且长轴长是短轴长的2.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为坐标原点，椭圆C 与直线1y kx =+相交于两个不同的点,A B ，线段AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为1-，求△OAB 的面积.19.（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+()a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求曲线()y f x =在1x =处切线的斜率； (Ⅱ)求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设2()22g x x x =-+，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]20,1x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.[来源:学.科.网Z.X.X.K]20.（本小题满分14分）[来源:Z,xx,]已知数列}{n a 的首项为1，对任意的n ∈*N ，定义n n n a a b -=+1. （Ⅰ） 若1n b n =+，求4a ；（Ⅱ） 若11(2)n n n b b b n +-=≥，且12,(0)b a b b ab ==≠.[来源:学&科&网] （ⅰ）当1,2a b ==时，求数列{}n b 的前3n 项和；（ⅱ）当1a =时，求证：数列}{n a 中任意一项的值均不会在该数列中出现无数次.北京市西城区2010 — 2011学年度第一学期期末高三数学参考答案及评分标准（文科） 2011.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.2[来二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.i - 10. 6011. 412.3 13. (2,0)±30x y ±= 14. ①③④[来源:] 注：13题第一问2分，第二问3分；14题①③④选对其中两个命题得2分，选出错误的命题即得0分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()6f π232sin 36ππ- ………………2分 321241=-⨯=. ………………4分 （Ⅱ）()f x 3sin2cos21x x =+- ………………6分2sin(2)16x π=+-. ………………8分[来源:]因为[,]62x ππ∈-，所以65626πππ≤+≤-x ， ………………10分 所以 1sin(2)126x π-≤+≤， ………………11分 所以()f x 的最大值为1 ，最小值为2-. ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连结1AC ，设1AC 交1AC 于点O ，连结OD . ………………2分 因为11ACC A 为正方形，所以O 为1AC 中点，又D 为BC 中点，所以OD 为1A BC ∆的中位线，[来源:学科网]所以1//A B OD . ………………4分 因为OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ， 所以1//A B 平面1ADC . ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，11C A CA ⊥ ………………7分因为侧面11ABB A 是正方形，1AB AA ⊥， 且90BAC ∠=， 所以AB ⊥平面11ACC A . 又11//AB A B ，所以11A B ⊥平面11ACC A . ………………9分 又因为1C A ⊂平面11ACC A ，所以111A B C A ⊥. ………………10分 所以111C A A B C ⊥平面. ………………12分 又1B C ⊂平面11A B C ，所以11C A B C ⊥. ………………13分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =. ………………2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =. ………………3分40.1040m p M ===. ………………4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯.……………6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人. ………8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人，设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况， ………………10分AB CDC 1A 1B 1O而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种， ………………12分 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93） ………………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得1,2c a b ==， ………………2分又221a b -=，所以21b =，22a =. ………………3分所以椭圆的方程为2212x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设(0,1)A ，11(,)B x y ，00(,)P x y ，联立2222,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩ 消去y 得22(12)40k x kx ++=……（*）， ………………6分解得0x =或2412k x k =-+，所以12412kx k=-+， 所以222412(,)1212k k B k k--++，2221(,)1212k P k k -++， ………………8分 因为直线OP 的斜率为1-，所以112k-=-，[来源:学科网ZXXK] 解得12k =（满足（*）式判别式大于零）. ………………10分 O 到直线1:12l y x =+5………………11分 2211(1)AB x y =+-=253………………12分 所以△OAB 的面积为12252335=. ………………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)由已知1()2(0)f x x x'=+>， ………………2分(1)213f '=+=.故曲线()y f x =在1x =处切线的斜率为3. ………………4分[来源:学§科§网](Ⅱ)11'()(0)ax f x a x x x+=+=>. ………………5分 ①当0a ≥时，由于0x >，故10ax +>，'()0f x >所以，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞. ………………6分②当0a <时，由'()0f x =，得1x a=-.在区间1(0,)a -上，()0f x '>，在区间1(,)a -+∞上()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a -，单调递减区间为1(,)a-+∞.………………8分（Ⅲ）由已知，转化为max max ()()f x g x <. ………………9分max ()2g x = ………………10分由(Ⅱ)知，当0a ≥时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，值域为R ，故不符合题意. (或者举出反例：存在33(e )e 32f a =+>，故不符合题意.) ………………11分当0a <时，()f x 在1(0,)a -上单调递增，在1(,)a -+∞上单调递减，故()f x 的极大值即为最大值，11()1ln()1ln()f a a a-=-+=----， ………13分 所以21ln()a >---， 解得31ea <-. ………………14分 [来源:学科网ZXXK]20.（本小题满分14分）(Ⅰ) 解：11a =,211123a a b =+=+=,322336a a b =+=+=4336410a a b =+=+=. ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）解：因为11n n n b b b +-=（2n ≥），所以，对任意的n ∈*N 有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====， 即数列{}n b 各项的值重复出现，周期为6. ………………5分又数列}{n b 的前6项分别为21,21,1,2,2,1，且这六个数的和为7.设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则，当2()n k k =∈*N 时，36123456()7n k S S k b b b b b b k ==+++++=，当21()n k k =+∈*N 时，363123456616263()n k k k k S S k b b b b b b b b b ++++==++++++++ 123775k b b b k =+++=+ ， ………………7分 所以，当n 为偶数时，372n S n =；当n 为奇数时，3732n n S +=. ………………8分（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：对任意的n ∈*N 有6n n b b +=，又数列}{n b 的前6项分别为111,,,1,,b b b b，且这六个数的和为222b b ++.设)0(6≥=+n a c i n n ，（其中i 为常数且}6,5,4,3,2,1{∈i ），所以1n n c c +-=66666162636465n i n i n i n i n i n i n i n i a a b b b b b b ++++++++++++++-=+++++222b b=++. 所以，数列}{6i n a +均为以222b b++为公差的等差数列. ………………10分 因为0b >时，2220b b ++>，0b <时，22220b b++≤-<， ………………12分所以{6n i a +}为公差不为零的等差数列，其中任何一项的值最多在该数列中出现一次.所以数列}{n a 中任意一项的值最多在此数列中出现6次，即任意一项的值不会在此数列中重复出现无数次. ………………14分。

2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集U=R，集合A={x|1x≥1}，则∁U A()A.(0, 1)B.(0, 1]C.(−∞, 0]∪(1, +∞)D.(−∞, 0)∪[1, +∞)2. 执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A.2B.5C.11D.233. 若实数x，y满足条件{x+y≥0x−y+3≥00≤x≤3，则z=2x−y的最大值为（）A.9B.3C.0D.−34. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A.4√3cm2B.2√3cm2C.8cm2D.4cm25. 已知函数f(x)＝sin4ωx−cos4ωx的最小正周期是π，那么正数ω＝（）A.2B.1C.12D.146. 若a=log23，b=log32，c=log46，则下列结论正确的是（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a 7. 设等比数列{a n}的各项均为正数，公比为q，前n项和为S n．若对∀n∈N∗，有S2n<3S n，则q的取值范围是（）A.(0, 1]B.(0, 2)C.[1, 2)D.(0,√2)8. 已知集合A＝{x|x＝a0+a1×3+a2×32+a3×33}，其中a k∈{0, 1, 2}(k＝0, 1, 2, 3)，且a3≠0．则A中所有元素之和等于（）A.3240B.3120C.2997D.2889二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[13, 14),[14, 15),[15, 16),[16, 17),[17, 18]，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16, 18]的学生人数是________．(x−2)6的展开式中x3的系数是________．（用数字作答）如图，AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．若OC=√3，OM=1，则MN=________．在极坐标系中，极点到直线l:ρsin(θ+π4)=√2的距离是________．已知函数f(x)={x12,0≤x≤cx2+x,−2≤x<0其中c>0．那么f(x)的零点是________；若f(x)的值域是[−14,2]，则c的取值范围是________．在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线y =√33x(x ≥0)和y =−√3x(x ≥0)上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为________；△OAB 周长的最小值是________． 三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.在△ABC 中，已知sin (A +B)=sin B +sin (A −B)． （1）求角A ；（2）若|BC →|=7，AB →⋅AC →=20，求|AB →+AC →|．乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同． （1）求甲以4比1获胜的概率；（2）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率；（3）求比赛局数的分布列．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB =∠DBF =60∘，且FA =FC ．(1)求证：AC ⊥平面BDEF ；(2)求证：FC // 平面EAD ；(3)求二面角A −FC −B 的余弦值．已知函数f(x)=e ax ⋅(ax +a +1)，其中a ≥−1．(1)当a =1时，求曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53，定点M(2, 0)，椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点．试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．对于数列A n :a 1，a 2，…，a n (a i ∈N, i =1, 2,…,n)，定义“T 变换”：T 将数列A n 变换成数列B n :b 1，b 2，…，b n ，其中b i =|a i −a i+1|(i =1, 2,…,n −1)，且b n =|a n −a 1|，这种“T 变换”记作B n =T(A n )．继续对数列B n 进行“T 变换”，得到数列C n ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（1）试问A 3:4，2，8和A 4:1，4，2，9经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（2）求A 3:a 1，a 2，a 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件；（3）证明：A 4:a 1，a 2，a 3，a 4一定能经过有限次“T 变换”后结束．参考答案与试题解析2012年北京市西城区高考数学一模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【考点】补集及其运算【解析】求出集合A的不等式的解集，然后求出集合A在R上的补集即可．【解答】解：∵全集U=R．集合A={x|1x≥1}={x|0<x≤1}，∴∁U A={x|x≤0, 或x>1}．故选C．2.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量y的值，模拟程序的运行，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：x y是否继续循环循环前25是第一圈511是第二圈1123否故输出y的值为23．故选D．3.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出不等式表示的平面区域，z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，根据图形可得结论．【解答】解：画出不等式表示的平面区域z=2x−y的几何意义是直线y=2x−z的纵截距的相反数，由{x=3x+y=0可得交点坐标为(3, −3)，根据图形可知在点(3, −3)处，z=2x−y取得最大值，最大值为9故选A．4.【答案】A【考点】简单空间图形的三视图【解析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，故左视图是长方形，长为2√3，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为√4+4−2×4×cos120∘=2√3，宽为2，∴左视图的面积是2√3×2=4√3(cm2)，故选A．5.【答案】B【考点】二倍角的三角函数【解析】利用平方差公式化简函数y＝sin4ωx−cos4ωx，再利用二倍角公式化为一个角的一个三角函数的形式，根据周期求出ω．【解答】y＝sin4ωx−cos4ωx＝sin2ωx−cos2ωx＝−cos2ωx因为T＝π，所以ω＝16.【答案】D【考点】不等式比较两数大小【解析】根据a=lg3lg2>1，b=lg2lg3<1，c=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=a，从而得出结论．【解答】解：∵a=log23=lg3lg2>1，b=log32=lg2lg3<1，c=log46=lg6lg4=lg3+lg22lg2<lg3+lg32lg2=lg3lg2，故有b<c<a，故选D．7.【答案】A【考点】数列的求和【解析】当q=1时，S2n<3S n成立容易检验，当q≠1时，由S2n<3S n恒成立可得a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q，讨论整理可求q的范围．【解答】解：当q=1时，S2n<3S n成立当q≠1时，由S2n<3S n恒成立∴a1(1−q2n)1−q <3a1(1−q n)1−q∵q>1，显然不恒成立，则q2n−3q n+2<0，解得q n<1（q n>2舍去），∵等比数列{a n}的各项均为正数，∴q>0，∴0<q<1综上可得0<q≤1故选A8.【答案】D【考点】集合的确定性、互异性、无序性数列的求和【解析】由题意可知a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，利用数列求和即可求得A中所有元素之和．【解答】由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法（均可取0，1，2），a3有2种取法，由分步计数原理可得共有3×3×3×2种方法，∴当a0取0，1，2时，a1，a2各有3种取法，a3有2种取法，共有3×3×2＝18种方法，即集合A中含有a0项的所有数的和为(0+1+2)×18；同理可得集合A中含有a1项的所有数的和为(3×0+3×1+3×2)×18；集合A中含有a2项的所有数的和为(32×0+32×1+32×2)×18；集合A中含有a3项的所有数的和为(33×1+33×2)×27；由分类计数原理得集合A中所有元素之和：S＝(0+1+2)×18+(3×0+3×1+3×2)×18+(32×0+32×1+32×2)×18+(33×1+33×2)×27＝18(3+9+27)+81×27＝702+2187＝2889．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.【答案】54【考点】分布和频率分布表频率分布直方图【解析】根据从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3及它们的面积之和为1，做出成绩在[16, 18]的频率，从而得出成绩在[16, 18]的学生人数．【解答】因从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，且它们的面积之和为1，∴最后两个小矩形的面积和为6+320×1=920，即成绩在[16, 18]的频率为920，由频率分布直方图知，成绩在[16, 18]的人数为120×920=54（人）【答案】−160【考点】二项式定理及相关概念【解析】根据题意，由二项式定理可得(x−2)6的展开式的通项，令x的系数为3，可得r＝3，将r＝3代入通项，计算可得T4＝−160x3，即可得答案．【解答】根据题意，(x−2)6的展开式的通项为T r+1＝C6r x6−r(−2)r＝(−1)r⋅2r⋅C6r x6−r，令6−r＝3可得r＝3，此时T4＝(−1)3⋅23⋅C63x3＝−160x3，即x3的系数是−160；【答案】1【考点】与圆有关的比例线段【解析】根据题设条件，先由勾股定理求出BM，再由相交弦定理求MN．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，OB⊥AC，弦BN交AC于点M．OC=√3，OM=1，∴OB=√3，BM=√3+1=2，设MN=x，∵CM⋅AM=BM⋅MN，∴(√3+1)(√3−1)=2x，∴x=1，即MN=1．故答案为：1．【答案】√2【考点】圆的极坐标方程【解析】利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，得出直线直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：直线方程ρsin(θ+π4)=√2，即为ρ(√22cosθ+√22sinθ)=√2，化为普通方程为x+y−2=0，极点的直角坐标为(0, 0)，根据点到直线的距离公式求得d=√2=√2故答案为：√2；【答案】−1和0,0<c≤4【考点】函数的值域及其求法函数的零点【解析】分x为正数和负数两种情况讨论，分别解方程即可得到么f(x)的零点．根据二次函数的图象与性质，求出当x∈[−2, 0)时，函数f(x)的值域恰好是[−14,2]，所以当0≤x≤c时，f(x)=x12的最大值不超过2，由此建立不等式，可解出实数c的取值范围．【解答】当x≥0时，令x 12=0，得x＝0；当x<0时，令x2+x＝0，得x＝−1（舍零）∴f(x)的零点是−1和0∵函数y＝x2+x在区间[−2, −12)上是减函数，在区间(−12, 0)上是增函数∴当x∈[−2, 0)时，函数f(x)最小值为f(−12)=−14，最大值是f(−2)＝2∵当0≤x≤c时，f(x)=x12是增函数且值域为[0, √c]∴当f(x)的值域是[−14,2]，√c≤2，即0<c≤4【答案】√32,2(1+√2)【考点】基本不等式在最值问题中的应用直线的点斜式方程【解析】根据题意，OA、OB的斜率之积为−1，得OA⊥OB．设A(x1, √33x1)，B(x2, −√3x2)，算出|OA|=2√33x1，|OB|=2x2，结合三角形面积为1列式，化简即得x1x2=√32．再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2，当且仅当2√33x1=2x2=√2时，△OAB周长取最小值2(1+√2)．【解答】解：∵y =√33x的斜率k1=√33，y=−√3x的斜率k2=−√3∴k1⋅k2=−1，可得OA⊥OB设A(x1, √33x 1)，B(x2, −√3x2)∴|OA|=√x12+13x12=2√33x1，|OB|=√x22+3x22=2x2，可得△OAB的面积为S=12|OA|×|OB|=12×2√33x1×2x2=1解之，得x1x2=√32∵|AB|2=|OA|2+|OB|2=43x12+4x22∴|AB|=√(43x12+4x22)≥×2√33x12=√8√33x12=√8√33×√32=2又∵|OA|+|OB|=2√33x1+2x2≥2√2√33x1×2x2=2√4√33x1x2=2√4√33×√32=2√2∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2√2=2(1+√2)当且仅当2√33x1=2x2=√2，即x1=√62，x2=√22时，△OAB周长取最小值2(1+√2)故答案为：√32，2(1+√2)三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【答案】解：（1）原式可化为：sin B=sin(A+B)−sin(A−B)=sin A cos B+cos A sin B−sin A cos B+cos A sin B=2cos A sin B，…∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【考点】求两角和与差的正弦 向量的模平面向量数量积的性质及其运算律【解析】（1）将已知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sin B 不为0，得出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数；（2）利用余弦定理列出关系式|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，将已知条件利用平面向量的数量积运算法则化简后代入求出|AB →|2+|AC →|2的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展开，将各自的值代入开方即可求出值．【解答】 解：（1）原式可化为：sin B =sin (A +B)−sin (A −B)=sin A cos B +cos A sin B −sin A cos B +cos A sin B =2cos A sin B ，… ∵ B ∈(0, π)，∴ sin B >0， ∴ cos A =12，…又A ∈(0, π)，∴ A =π3；…（2）由余弦定理，得|BC →|2=|AB →|2+|AC →|2−2|AB →|⋅|AC →|⋅cos A ，… ∵ |BC →|=7，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|⋅cos A =20， ∴ |AB →|2+|AC →|2=89，…∵ |AB →+AC →|2=|AB →|2+|AC →|2+2AB →⋅AC →=89+40=129，…∴ |AB →+AC →|=√129．… 【答案】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，…乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，… P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：【考点】离散型随机变量及其分布列 互斥事件的概率加法公式 相互独立事件的概率乘法公式【解析】（1）先由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率，甲以4比1获胜，根据独立重复试验公式公式，列出算式，得到结果．（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．B 包括乙以4:2获胜和乙以4:3获胜，根据独立重复试验公式列出算式，得到结果．（3）比赛结束时比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7，根据独立重复试验公式计算出各自的概率即可得到分布列． 【解答】解：（1）由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12． … 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P(A)=C 43(12)3(12)4−312=18． …（2）记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ．因为，乙以4比2获胜的概率为P 1=C 53(12)3(12)5−312=532，… 乙以4比3获胜的概率为P 2=C 63(12)3(12)6−312=532，…所以 P(B)=P 1+P 2=516． …（3）设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4，5，6，7．P(X =4)=2C 44(12)4=18，…P(X =5)=2C 43(12)3(12)4−312=14，…P(X =6)=2C 53(12)3⋅(12)5−3⋅12=516，…P(X =7)=2C 63(12)3(12)6−3⋅12=516． …比赛局数的分布列为：(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点． 又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ， 所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD // BC ，DE // BF ， 因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD ． 又FC ⊂平面FBC ， 所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以 O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)． 所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)． 由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【考点】直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 用空间向量求平面间的夹角【解析】（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．由FA =FC ，知AC ⊥FO ．由此能够证明AC ⊥平面BDEF ．（2）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD // BC ，DE // BF ，平面FBC // 平面EAD ．由此能够证明FC // 平面EAD ．（3）因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以FO ⊥BD ，故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘，则BD =2，所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)．求得平面BFC 的法向量为n →=(1,−√3,−1)，平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由此能求出二面角A −FC −B 的余弦值． 【解答】(1)证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点． 又 FA =FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD =O ，BD ⊂平面BDEF ， 所以 AC ⊥平面BDEF ．(2)证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， 所以AD // BC ，DE // BF ， 因为AD ∩DE =D ，BC ∩BF =B , 所以 平面FBC // 平面EAD ． 又FC ⊂平面FBC ， 所以FC // 平面EAD ;(3)解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF =60∘， 所以△DBF 为等边三角形． 因为O 为BD 中点， 所以FO ⊥BD ， 故FO ⊥平面ABCD ．由OA ，OB ，OF 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ．设AB =2．因为四边形ABCD 为菱形，∠DAB =60∘， 则BD =2，所以OB =1，OA =OF =√3．所以O(0,0,0),A(√3，0，0)，B(0,1,0)，C(−√3,0,0)，F(0,0,√3)． 所以 CF →=(√3,0,√3)，CB →=(√3,1,0)． 设平面BFC 的法向量为n →=(x, y, z)， 则有{√3x +√3z =0√3x +y =0，取x =1，得n →=(1,−√3,−1)．∵ 平面AFC 的法向量为v →=(0, 1, 0)．由二面角A −FC −B 是锐角，得 |cos <n →，v →>|=|n →⋅v→|n →||v →||=√155． 所以二面角A −FC −B 的余弦值为√155． 【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x+2)，f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)； 当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)， 单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)， 单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f ′(x)，欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x =0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．（2）对字母a 进行分类讨论，再令f ′(x)大于0，解不等式，可得函数的单调增区间，令导数小于0，可得函数的单调减区间． 【解答】解：(1)当a =1时，f(x)=e x ⋅(1x +2)， f ′(x)=e x ⋅(1x +2−1x 2)．由于f(1)=3e ，f ′(1)=2e ，所以曲线y =f(x)在点(1, f(1))处的切线方程是2ex −y +e =0． (2)f ′(x)=ae ax(x+1)[(a+1)x−1]x 2，x ≠0．①当a =−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1，所以f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，单调递增区间为(−1, 0)，(0, +∞)； 当a ≠−1时，令f ′(x)=0，解得x =−1或x =1a+1.②当−1<a <0时，f(x)的单调递减区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)， 单调递增区间为(−1, 0)，(0,1a+1)；③当a =0时，f(x)为常值函数，不存在单调区间； ④当a >0时，f(x)的单调递减区间为(−1, 0)，(0,1a+1)， 单调递增区间为(−∞, −1)，(1a+1,+∞)． 【答案】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得 ba =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．… 所以 y 1+y 2=−16m 4m +9，y 1y 2=−204m +9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x 2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92．综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程 【解析】（1）利用离心率为√53，可得b a=23，由椭圆短轴的端点是B 1，B 2，且MB 1⊥MB 2，可得△MB 1B 2是等腰直角三角形，由此可求椭圆C 的方程；（2）设线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，利用韦达定理，结合PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（1）由 59=e 2=a 2−b 2a 2=1−b 2a 2，得b a =23．…依题意△MB 1B 2是等腰直角三角形，从而b =2，故a =3．… 所以椭圆C 的方程是x 29+y 24=1．…（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，直线AB 的方程为x =my +2．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 (4m 2+9)y 2+16my −20=0．…所以 y 1+y 2=−16m 4m 2+9，y 1y 2=−204m 2+9．…若PM 平分∠APB ，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以k PA +k PB =0．… 设P(a, 0)，则有 y 1x1−a+y 2x2−a=0．将 x 1=my 1+2，x 2=my 2+2代入上式，整理得2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)(my 1+2−a)(my 2+2−a)=0，所以 2my 1y 2+(2−a)(y 1+y 2)=0．…将 y 1+y 2=−16m4m +9，y 1y 2=−204m +9代入上式，整理得 (−2a +9)⋅m =0．… 由于上式对任意实数m 都成立，所以 a =92． 综上，存在定点P(92，0)，使PM 平分∠APB ．…【答案】（1）解：数列A 3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． …数列A 4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．… （2）解：A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．… 若a 1=a 2=a 3，则经过一次“T 变换”就得到数列0，0，0，从而结束． …当数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A 3)为常数列，则A 3为常数列”． 当a 1≥a 2≥a 3时，数列T(A 3)：a 1−a 2，a 2−a 3，a 1−a 3．由数列T(A 3)为常数列得a 1−a 2=a 2−a 3=a 1−a 3，解得a 1=a 2=a 3，从而数列A 3也为常数列． 其它情形同理，得证．在数列A 3经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A 3也为常数列． …所以，数列A 3经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是a 1=a 2=a 3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n )的最大项一定不大于数列A n 的最大项，其中n ≥3”． 证明：记数列A n 中最大项为max (A n )，则0≤a i ≤max (A n )． 令B n =T(A n )，b i =a p −a q ，其中a p ≥a q ． 因为a q ≥0，所以b i ≤a p ≤max (A n )，故max (B n )≤max (A n )，证毕． … 现将数列A 4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max (B 4)≤max (A 4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max (B 4)=max (A 4)． 下面证明第二类数列A 4经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T（T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…【考点】数列的应用【解析】（1）根据新定义，可得数列A3:4，2，8不能结束，数列A4:1，4，2，9能结束，并可写出各数列；（2）A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3，先证明a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束，再证明命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”，即可得解；（3）先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”，再分类讨论：第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．【解答】（1）解：数列A3:4，2，8不能结束，各数列依次为2，6，4；4，2，2；2，0，2；2，2，0；0，2，2；2，0，2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形．…数列A4:1，4，2，9能结束，各数列依次为3，2，7，8；1，5，1，5；4，4，4，4；0，0，0，0．…（2）解：A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．…若a1=a2=a3，则经过一次“T变换”就得到数列0，0，0，从而结束．…当数列A3经过有限次“T变换”后能够结束时，先证命题“若数列T(A3)为常数列，则A3为常数列”．当a1≥a2≥a3时，数列T(A3)：a1−a2，a2−a3，a1−a3．由数列T(A3)为常数列得a1−a2=a2−a3=a1−a3，解得a1=a2=a3，从而数列A3也为常数列．其它情形同理，得证．在数列A3经过有限次“T变换”后结束时，得到数列0，0，0（常数列），由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列A3也为常数列．…所以，数列A3经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件是a1=a2=a3．（3）证明：先证明引理：“数列T(A n)的最大项一定不大于数列A n的最大项，其中n≥3”．证明：记数列A n中最大项为max(A n)，则0≤a i≤max(A n)．令B n=T(A n)，b i=a p−a q，其中a p≥a q．因为a q≥0，所以b i≤a p≤max(A n)，故max(B n)≤max(A n)，证毕．…现将数列A4分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，max(B4)≤max(A4)−1．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时max(B4)=max(A4)．下面证明第二类数列A4经过有限次“T变换”，一定可以得到第一类数列．不妨令数列A4的第一项为0，第二项a最大(a>0)．（其它情形同理）①当数列A4中只有一项为0时，若A4:0，a，b，c(a>b, a>c, bc≠0)，则T(A4)：a，a−b，|b−c|，c，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，a，b(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，0，a−b，b；T（T(A4)）：a，a−b，|a−2b|，a−b此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若A4:0，a，b，a(a>b, b≠0)，则T(A4)：a，a−b，a−b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，a，a，则T(A4)：a，0，0，a；T（T(A4)）：a，0，a，0；T（T（T(A4)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．②当数列A4中有两项为0时，若A4:0，a，0，b(a≥b>0)，则T(A4)：a，a，b，b，此数列各项均不为0，为第一类数列；若A4:0，a，b，0(a≥b>0)，则T(A)：a，a−b，b，0，T（T(A)）：b，|a−2b|，b，a，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③当数列A4中有三项为0时，只能是A4:0，a，0，0，则T(A)：a，a，0，0，T（T(A)）：0，a，0，a，T （T（T(A)））：a，a，a，a，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列A4至多经过3次“T变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束．…。

北京市西城区2011—2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学 2012.1考生须知1．本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。

考试时间120分钟。

2．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效。

3．在答题纸上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．抛物线2(1)1y x =-+的顶点坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--2．若相交两圆的半径分别为4和7，则它们的圆心距可能是A ．2B ．3C ． 6D ．113．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5tan A 的值为A 5B 25C ．12D ．24． 如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于E ，连接BD ，若∠D =30°， BD =2，则AE 的长为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．下列图形中，中心对称图形有A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现大于3点的概率为 A ．21 B ．31 C ．41 D ．617．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点（-1,0），对称轴为x =1，则下列结论中正确的是A ．0>aB ．当1>x 时，y 随x 的增大而增大C ．0<cD ．3x =是一元二次方程20ax bx c ++=的一个根8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，(0,2)B ，⊙C 的圆心为点(1,0)C -，半径为1．若D 是⊙C 上的一个动点，线段DA 与y 轴交于E 点，则△ABE 面积的最大值是 A ．2 B ． 83C ．2+D ． 2-二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠OCB ＝40°，则∠A= °．10．将抛物线2y x =先向下平移1个单位长度后，再向右平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是 ．11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4．以斜边AB 的中点D 为旋转中心，把△ABC 按逆时针方向旋转 α角（0120α︒<<︒），当点A 的对应点与点C 重合时，B ，C 两点的对应点分别记为E ，F ，EF 与AB 的交点为G ，此时 α等于 ° ，△DEG 的面积为 ．12．已知二次函数212y x x =-+，（1）它的最大值为 ；（2）若存在实数m ， n 使得当自变量x 的取值范围是m ≤x ≤n 时，函数值y 的取值范围恰好是3m ≤y ≤3n ，则m= ，n= ．13．计算：2cos30602sin 45︒+︒-︒．14．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，且点A ，B ，C ，P 均为格点.（1） 在网格中作图：以点P 为位似中心，将△ABC 的各边长放大为原来的两倍，A ，B ，C 的对应点分别为A 1 ，B 1 ，C 1；（2） 若点A 的坐标为（1,1），点B 的坐标为（3,2），则（1）中点C 1的坐标为 .15．已知抛物线245y x x =+-.（1）直接写出它与x 轴、y 轴的交点的坐标；（2）用配方法将245y x x =+-化成2()y a x h k =-+的形式．16．如图，三角形纸片ABC 中，∠BCA =90°，∠A =30°，AB =6， 在AC 上取一点 E ，沿BE 将该纸片折叠，使AB 的一部分 与BC 重合，点A 与BC 延长线上的点D 重合，求DE 的长.17．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）． 设矩形的一边AB 的长为x 米（要求AB ＜AD ），矩形 ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围； （2）要想使花圃的面积最大，AB 边的长应为多少米？18．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与BC ，AB 的交点分别为D ，E ． （1）若AD =10，4sin 5ADC ∠=，求AC 的长和tan B 的值；（2）若AD=1，ADC ∠=α，参考（1）的计算过程直接写 出tan 2α的值（用sin α和cos α的值表示）．19．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，正方形PABC 的边长为1，将其沿x 轴的正方向连续滚动，即先以顶点A 为旋转中心将正方形PABC 顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D 为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n 个正方形．设滚动过程中的点P 的坐标为(,)x y ．（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P 的坐标； （2）画出点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4），并直接写出该曲线与x 轴所围成区域的面积．20．已知函数2y x bx c =++（x ≥ 0），满足当x =1时，1y =-，且当x = 0与x =4时的函数值相等． （1） 求函数2y x bx c =++（x ≥ 0）的解析式并 画出它的图象（不要求列表）；（2）若()f x 表示自变量x 相对应的函数值，且2 (0),() 2 (0),x bx c x f x x ⎧++≥=⎨-<⎩ 又已知关于x 的 方程()f x x k =+有三个不相等的实数根，请利用图象直接写出实数k 的取值范围．21．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线与⊙O 的交点为D ，DE ⊥AC ，与AC 的延长线交于 点E ．（1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）若OE 与AD 交于点F ，4cos 5BAC ∠=，求DF AF 的值．22．阅读下列材料：题目：已知实数a ，x 满足a ＞2且x ＞2，试判断ax 与a x +的大小关系，并加以说明. 思路：可用“求差法”比较两个数的大小，列出ax 与a x +的差()y ax a x =-+再说明y 的符号即可.现给出如下利用函数解决问题的方法：简解：可将y 的代数式整理成(1)y a x a =--，要判断y 的符号可借助函数(1)y a x a =--的图象和性质解决.参考以上解题思路解决以下问题：已知a ，b ，c 都是非负数，a ＜5，且 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=． （1）分别用含a 的代数式表示4b ，4c ； （2）说明a ，b ，c 之间的大小关系．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分） 23．已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．（1）求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)； （2）若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； （3）将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．24．已知：⊙O 是△ABC 的外接圆，点M 为⊙O 上一点.（1）如图，若△ABC 为等边三角形，BM =1，CM =2， 求AM 的长；（2） 若△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC =90︒，BM a =，CM b =（其中b a >），直接写出AM 的长(用含有a ，b 的代数式表示).25． 已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy 中，A ，C 两点的坐标分别为(2,3)A ，(,3)C n -（其中n ＞0），点B 在x 轴的正半轴上．动点P 从点O 出发，在四边形OABC 的边上依次沿O —A —B —C 的顺序向点C 移动，当点P 与点C 重合时停止运动．设点P 移动的路径的长为l ，△POC 的面积为S ，S 与l 的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF 是等腰梯形．（1）结合以上信息及图2填空：图2中的m = ； （2）求B ，C 两点的坐标及图2中OF 的长；（3）在图1中，当动点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时， ① 求此抛物线W 的解析式；② 若点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，坐标平面内另有一点R ，满足以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的四边形是菱形，求点Q 的坐标．北京市西城区2011 — 2012学年度第一学期期末试卷（南区）九年级数学参考答案及评分标准2012.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）阅卷说明：第10题写成2(1)1y x=--不扣分;第11题每空各2分;第12题第（1）问2分, 第（2）问每空各1分．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．解：原式= 222⨯…………………………………………………3分= 22+．……………………………………………………………………5分14．解：（1）…………………………………………3分（2）点C1的坐标为（2，8）. ……………………………………………………5分图115．解：（1）抛物线与x 轴的交点的坐标为(5,0) (1,0)-和． …………………………2分抛物线与y 轴的交点的坐标为(05)-，． …………………………………3分 （2）245y x x =+-2(44)9x x =++-…………………………………………………………4分2(2)9x =+-． …………………………………………………………5分 16．解： 在RtΔACB 中，∠ACB =90°，AB =6， ∠A =30°，（如图2） ∴ 362121=⨯==AB BC . ………………………1分 ∵ 沿BE 将ΔABC 折叠后，点A 与BC 延长线上的点D∴ BD=AB=6，∠D =∠A =30°.……………………3分∴CD=BD -BC =6-3=3. ……………………………4分在RtΔDCE 中，∠DCE =90°，CD =3， ∠D =30°，∴3223330cos ===CD DE . ………………………………………………5分17．解：（1）∵ 四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米， ∴ CD=AB=x （米）．∵ 矩形除AD 边外的三边总长为36米，∴ 362BC x =-（米）．………………………………………………………1分 ∴ 2(362)236S x x x x =-=-+． ……………………………………………3分 自变量x 的取值范围是012x <<． …………………………………………4分 ( 说明：由0<x <36-2x 可得012x <<．)（2）∵222362(9)162S x x x =-+=--+，且9x =在012x <<的范围内 ，∴ 当9x =时，S 取最大值．即AB 边的长为9米时，花圃的面积最大．…………………………………5分18．解：（1）在Rt △ACD 中，90C ∠=︒， AD =10，4sin 5ADC ∠=，（如图3） ∴ 4sin 1085AC AD ADC =⋅∠=⨯=．……1分3cos 1065CD AD ADC =⋅∠=⨯=． ∵ DE 垂直平分AB ，∴ 10BD AD ==．……………………………2分 ∴ 16BC CD BD =+=． ……………………3分 在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，∴ 81tan 162AC B BC ===．……………………………………………………4分 （2）sin tan 21cos ααα=+．（写成1cos sin αα-也可） ……………………………………5分四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．解：（1）第三个和第四个正方形的位置 如图4所示．……………………2分 第三个正方形中的点P 的坐标为 (3,1)． …………………………3分（2）点(,)P x y 运动的曲线（0≤x ≤4）如图4所示． …………………………4分它与x 轴所围成区域的面积等于1π+． ……………………………………5分20．解：（1）∵ 函数2y x bx c =++（x ≥0）满足当x =1时，1y =-， 且当x = 0与x =4时的函数值相等，∴ 11,2.2b c b ++=-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得 4b =-，2c =．…………………………………………………………2分 ∴ 所求的函数解析式为242y x x =-+（x ≥0）． …………………………3分 它的函数图象如图5所示．……………………………………………………4分（2）k 的取值范围是22k -<≤．（如图6）……………………………………………5分 21．（1）证明：连接OD ．（如图7） ∵ AD 平分∠BAC ，∴ ∠1=∠2．…………………………………………………………………1分 ∵ OA =OD ， ∴ ∠1=∠3． ∴ ∠2=∠3．∴ OD ∥AE ．∵ DE ⊥AC ， ∴ ∠AED =90°．∴ 18090ODE AED ∠=︒-∠=︒．∴ DE ⊥OD ． ……………………………2分 ∵ OD 是⊙O 的半径，∴ 直线DE 是⊙O 的切线． ………………………………………………3分（2）解：作OG ⊥AE 于点G ．（如图7） ∴ ∠OGE =90°．∴ ∠ODE =∠DEG =∠OGE =90°． ∴ 四边形OGED 是矩形．∴ OD =GE ．……………………………………………………………………4分 在Rt △OAG 中， ∠OGA =90°，4cos 5BAC ∠=，设AG =4k ，则OA =5k ． ∴ GE =OD =5k ． ∴ AE =AG +GE =9k ． ∵ OD ∥GE ， ∴ △ODF ∽△EAF ． ∴59DF OD AF AE ==．……………………………………………………………5分 22．解：（1）∵ 2220a a b c ---=，2230a b c +-+=，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+.322,222a b c a a c b消去b 并整理，得243c a =+．………………………1分消去c 并整理，得2423b a a =--． ………………2分（2）∵ ()()()411332422--=+-=--=a a a a a b ， 将4b 看成a 的函数，由函数24(1)4b a =--的性质结合它的图象（如图8所示），以及a ，b 均为非负数得a ≥3．又 ∵ a ＜5，∴ 3≤a ＜5．……………………………………………………………………3分∵ 224()63(3)12b a a a a -=--=--，将4()b a -看成a 的函数，由函数24()(3)12b a a -=--的性质结合它的图象（如图9所示）可知，当3≤a ＜5时，4()0b a -<．∴ b ＜a ． ……………………………………………4分∵ 24()43(1)(3)c a a a a a -=-+=--，a ≥3，∴ 4()c a -≥0．∴ c ≥a ．∴ b ＜a ≤c ． ………………………………………5分阅卷说明：“b ＜a ，b ＜c ，a ≤c ”三者中，先得出其中任何一个结论即可得到第4分，全写对得到5分．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．解：（1）令0y =，得方程 2(2)20kx k x +--=．整理，得 (1)(2)0x kx +-=．解得 11x =-，22x k= ． ∴ 该抛物线与x 轴的交点坐标为(1,0)-，2(,0)k． ………………………2分 抛物线2(2)2y kx k x =+--的顶点坐标为2244(,)24k k k k k-++-． ………3分 （2）|n |的最小值为 2 ． …………………………………………………………4分 （3）平移后抛物线的顶点坐标为214(,)4k k k k+-．…………………………………5分由1,14x k k y ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩可得 114y x =-- ． ∴ 所求新函数的解析式为114y x=--． …………………………………7分 24．解：（1）因AB =AC 且∠BAC=60°，故将△ABM 绕点A 逆时针旋转60︒得△ACN ，则△ABM ≌△ACN ，（如图10）………………………………………………1分∴ ∠BAM =∠CAN ，∠ABM =∠ACN ，AM =AN ，BM =CN ．∵ 四边形ABMC 内接于⊙O ，∴ ∠ABM +∠ACM =180︒．∴ ∠ACN +∠ACM =180︒．∴ M ，C ，N 三点共线．……………………2分∵ ∠BAM =∠CAN ，∴ ∠BAM +∠MAC =∠CAN +∠MAC =60︒， 即∠MAN =60︒． ………………………………………………………………3分∵ AM =AN ，∴ △AMN 是等边三角形．……………………………………………………4分 ∴ AM =MN =MC +CN =MC +BM =2+1=3． ……………………………………5分（2）AM)b a -)b a +．……………………………………………7分 25．解：（1）图2中的m1分（2）∵ 图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形，点D 的坐标为(,12)D m ，∴ 12E D y y ==，此时原题图1中的点P 运动到与点B 重合，∴ 1131222BOC C S OB y OB ∆=⨯⨯=⨯⨯=． 解得 8OB =，点B 的坐标为(8,0)． ……………………………………2分此时作AM ⊥OB 于点M ，CN ⊥OB 于点N ．（如图12）．∵ 点C 的坐标为(,3)C n -，∴ 点C 在直线3y =-上．又由图11（原题图2）中四边形ODEF 是等腰梯形可知图12中的点C 在过点O 与AB 平行的直线l 上，∴ 点C 是直线3y =-与直线l 的交点，且ABM CON ∠=∠．又∵ 3A C y y ==，即AM= CN ，可得△ABM ≌△CON ．∴ ON=BM=6，点C 的坐标为(6,3)C -．……………………………………3分 ∵ 图12中AB ==∴ 图11中DE =，2D OF x DE =+= …………………4分（3）①当点P 恰为经过O ，B 两点的抛物线W 的顶点时，作PG ⊥OB 于点G ．（如图13）∵ O ，B 两点的坐标分别为(0,0)O ，(8,0)B ，∴ 由抛物线的对称性可知P 点的横坐标为4，即OG=BG=4．由3tan 6AM PG ABM BM BG∠===可得PG=2． ∴ 点P 的坐标为(4,2)P ．………………5分设抛物线W 的解析式为(8)y ax x =-（a ≠0）．∵ 抛物线过点(4,2)P ，∴ 4(48)2a -=． 解得 18a =-． ∴ 抛物线W 的解析式为218y x x =-+．…………………………………6分 ②如图14．i ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的边时，∵ 点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上， 点P 为抛物线W 的顶点，结合抛物线的对称性可知点Q 只有一种情况，点Q 与原点重合，其坐标为1(0,0)Q ．……………………………………………………………………7分 ii ）当BP 为以B ，P ，Q ，R 四点为顶点的菱形的对角线时，可知BP 的中点的坐标为(6,1)，BP 的中垂线的解析式为211y x =-．∴ 2Q 点的横坐标是方程212118x x x -+=-的解．将该方程整理得28880x x +-=．解得4x =-± 由点Q 在直线1y =-上方的抛物线W 上，结合图14可知2Q 点的横坐标为4．∴ 点2Q 的坐标是219)Q ． …………………………8分综上所述，符合题意的点Q 的坐标是1(0,0)Q ，219)Q ．。

北京市西城区 2009届高三4月抽样测试高三数学试卷（理科） 2009.4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5A B ==，那么集合()U A Bð等于（ ）A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,3,4}D. {2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-oi sin 60×o，则2z 等于（ ）A. 74-B.14-C. 74+D.14+3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（ ）A. 公差为2的等差数列B. 公差为lg 2的等差数列C. 公比为2的等比数列D. 公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（ ）A. -2B. 2C. -1D. 15. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（ ）A. 存在一条直线b ，//,a b b a ÌB. 存在一条直线b ，,a b b a ^^C. 存在一个平面,,//a ββαβ⊂D. 存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥ 6. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A. 22(1)(1)2x y +++=B. 22(1)(1)4x y +++=C. 22(1)(1)2x y -++=D. 22(1)(1)4x y -++= 7．设 ,a b ÎR ， 且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A. 1a >B. 1a <-C. 11a -<<D. ||1a >8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数 .设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-.则11()()38f f +等于（ ）A.34B.12 C. 1 D. 23北京市西城区 2009年抽样测试高三数学试卷（理科） 2009.4第Ⅱ卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9.222324limx x x x ®-+-的值等于___________.10. 522()x x+的展开式中2x 的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)11. 不等式|21|||x x ->的解集为_____________.12. 设O 为坐标原点，向量 (1,2)O A =. 将O A 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90得到向量 OB , 则2OA OB +的坐标为____________.13. 给出下列四个函数：① sin cos y x x =+； ② sin cos y x x =-； ③ sin cos y x x = ； ④ sin cos x y x=.其中在)2,0(π上既无最大值又无最小值的函数是_________________.（写出全部正确结论的序号）14. 已知函数()f x 由下表给出：其中(0,1,2,3,4)k a k =等于在01234,,,,a a a a a 中k 所出现的次数. 则4a =______________；0123a a a a +++=___________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生. 在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（Ⅱ）设x 为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求x 的分布列和数学期望.16.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为34p ，|OB |=2,设3,(,)24A O Bp pq q ? .（Ⅰ）用q表示点B的坐标及||OA；（Ⅱ）若4tan3q=-，求O A O B×uur uu u r的值.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，90,//,B C D A B C D?o又1,2,AB BC PC PB CD AB PC=====^.（Ⅰ）求证：P C^平面A B C D；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.18.（本小题满分14分）设a∈R，函数2()(1)2(1)ln(1)f x x a x=--+-+.（Ⅰ）若函数()f x在点(0,(0))f处的切线方程为41y x=-，求a的值；BD CP（Ⅱ）当a <1时，讨论函数()f x 的单调性.19.（本小题满分14分） 已知椭圆C 22:14yx +=，过点M (0, 3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点, 且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点). 求当||A B <实数λ的取值范围.20.（本小题满分14分）设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和.北京市西城区 2009年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科） 2009.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.1410. 10，243 11. 1{|1}3x x x ><或 12. (0,5) 13. ○2○4 14. 0,5注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A . -----------------------------1分由题意，得事件A 的概率111()9981P A =?，即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为181.---------------------------5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0, ----------------------------6分每次汇报时，男生被选为代表的概率为3193=，女生被选为代表的概率为12133-=.0202022211115(2)C ()(1)C ()(1)33339P x ==-+-=； 1112114(0)C ()(1)339P x ==-=； 所以，x 的分布列为：---------------------------10分x的数学期望541020999E x =??.---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B 的坐标为(2cos ,2sin )q q . ---------------------------1分在A O B V 中，|OB |=2，3,444B A O B p p p p q q ??--=-，由正弦定理，得||||sin sin4O B O A Bp =Ð||3sin()42O A p q =-，所以3||)4O A p q =-.---------------------------5分注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB 方程求得||2(sin cos )OA q q =+也得分.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得3||||cos )cos 4O A O BO A O B p q q q ?鬃- uur uu u ruur uu u r ， ------------------7分因为43tan ,(,)324p p q q =- ， 所以43sin ,cos 55q q ==-，----------------------------9分又333sin()sincos cos sin 444p p p q q q -=?34()(2525=--10=，---------------------------11分所以312()15O O B ?-=-uru u.---------------------------12分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在P B C V 中，1,BC PC PB ===222B C P C P B \+=，90PCB \?o，即P C B C ^， ---------------------------1分,A B P C A BB C B^=Q I ， P C \^平面A .---------------------------4分（Ⅱ）方法一：解：由（Ⅰ）知P C B C ^，又,BC CD PC CD C ^=I ，B C \^平面P，---------------------------5分如图，过C 作C M P D ^于M ，连接BM ，C M \是BM 在平面PCD 内的射影， B M P D \^，又C M P D ^C M B\ 为二面角B -PD -C 的平面角.---------------------------7分在P C D V 中, 90PCD?o, PC=1, 2C D =，PD \=又C MP D^，P D C MP C C D \? ，5PC C D C M PD×\==. ---------------8分在C M B V 中, 90BCM?o, BC=1, 5C M =tan 2BC C M BC M\?=\二面角B -PD -C的大小为ar t an 2. ---------------------------9分 方法二：解：如图，在平面ABCD 内，以C 为原点， CD 、CB 、CP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系C -xyz ， 则(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)C BD P A ,---------------------------5分过C 作C M D P ^于M ，连接BM ，设(,,)M x y z ，则(,,),(2,,),(2,MC x y z DM x y z DP =---=-=-uuu ruuu u ruuu rA BD CPM 你的首选资源互助社区M C DP^uuu r uuu r Q ，20M C DPx z \?-=uuu r uuu r ； ○1,DM DP uuu u r uuu rQ 共线，20,2x y z -\==-， ○2由○1○2，解得24,0,55x y z ===，M \点的坐标为24(,0,)55，24(,1,)55M B =--uuu r ，24(,0,)55M C =--uuu r ，440055M B D P ?+-=uuu r uuu r Q ,M B D P \^，又C M D P ^，C M B\ 为二面角B -PD -C 的平面角.---------------------------7分 24(,0,)55M C =--uuu rQ ，24(,1,)55M B =--uuu r ，2c o s 3||||M B M C C M B M B M C ×\?=×u u ur u u ur u u ur u u ur ，\二面角B -PD -C 的大小为2a r cc o s 3.--------------------------9分（Ⅲ）解：设点B 到平面PAD 的距离为h ， A B B C ^Q，AC \=P C ^Q 平面ABCD ，PC AC \^，PA \=在直角梯形ABCD 中，1,1,2AB BC C D ===，AD \=在PAD V中，AD =QPA PD ==\222A D P A P D+=，90PAD \?o，P A D\V 的面积122PAD S AD PA=?V ，---------------------------10分Q 三棱锥B -PAD 的体积B PADP ABDV V --=，13P A D S h\鬃V 13A B D S P C=鬃V ，---------------------------12分1(11)122h创 ，解得6h =，\点B 到平面PAD的距离为6.---------------------------14分 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(1,)-+ ， ---------------------------1分22()221a f x x x -¢=-+++2221x ax -+=+.---------------------------4分因为(f '=，所以2a =.---------------------------5分（Ⅱ）解：当0a <时，因为210,220x x a +>-+<，所以()0f x ¢<，故()f x 在(1,)-+ 上是减函数； ------------------------7分当a =0时，当(1,0)x ?时，22()01xf x x -¢=<+，故()f x 在(1,0)-上是减函数，当(0,)x ? 时，22()01xf x x -¢=<+，故()f x 在(0,+)¥上是减函数，因为函数()f x在(1,)-+上连续，所以()f x在(1,)-+上是减函数；---------------------------9分当0<a<1时，由222()01x af xx-+¢==+, 得x或x=-分x变化时，(),()f x f x'的变化如情况下表：所以()f x在(1,--上为减函数、在)+上为减函数；()f x在(-上为增函数.------------------------13分综上，当0a£时，()f x在(1,)-+上是减函数；当0<a<1时，()f x在(1,--上为减函数、在)+上为减函数；()f x在(-上为增函数.------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设A(x1, y1)，因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以132y =，---------------------------1分又因为点A (x 1, y 1)在椭圆C 上 所以221114y x +=，即219116x +=，解得14x =±，则点A 的坐标为3)42或3()42-，-------------------------3分所以直线l 的方程为7210y -+=或7210y +-=.--------------------------5分（Ⅱ）解：设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，33(,)P x y ，当AB 的方程为0x =时，||4AB =>与题意不符. --------------------------6分当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解， 消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0,k k ∆=-+>即25k >， 则121212122226524,,(3)(3)444k x x x x y y kx kx kkk-+=⋅=+=+++=+++，---------------------------8分因为||AB =<<，解得216813k -<<，所以258k <<.--------------------------10分因为OA OB OP λ+=，即112233(,)(,)(,)x y x y x y λ+=，所以当λ=时，由OA OB += ，得1212226240,044k x x y y kk-+==+==++， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；--------------------11分当0λ≠时，12326(4)x x kx k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+，因为点33(,)P x y 在椭圆上， 所以226[](4)kk λ-++22124[]14(4)kλ=+，-------------------------12分化简得22364kλ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(2,2)λ∈- .综上，实数λ的取值范围为(2,2)- .---------------------------14分 20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{}n c 有两个，即：（1）数列3，4，1，5，2； ---------------------------2分（2）数列3，4，2，5，1.---------------------------3分注：写出一个得2分，两个写全得3分.（Ⅱ）答：存在数列{}n c ，它的创新数列为等差数列.解：设数列{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ， 因为m e 为12,,,m c c c L 中的最大值. 所以m e m =.由题意知：k e 为12,,,k c c c L 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +L 中最大值， 所以1k k e e +£，且{1,2,,}k e m ÎL .若{}n e 为等差数列，设其公差为d ，则10k k d e e +=- ，且d ÎN ， -----------------5分当d =0时，{}n e 为常数列，又m e m =，所以数列{}n e 为,,,m m m L ，此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列；当d =1时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1,2,3,,m L ，此时数列{}n c 是1,2,3,,m L ；--------------------7分当2d ³时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-?-?-+，又13,0m e >>，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为2d ³的等差数列.综上，当数列{}n c 为：（1）首项为m 的任意符合条件的数列；（2）数列1,2,3,,m L 时，它的创新数列为等差数列.---------------------------9分注：此问仅写出结论（1）（2）者得2分. （Ⅲ）解：设{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ， 由(Ⅱ)知，m e m =， 由题意，得11e c =，所以当数列{}n c 的创新阶数为2时，{}n e 必然为111,,,,,,,c c c m m m L L （其中1c m <），---------------------10分由排列组合知识，得创新数列为,,,,,,,()k k k m m m k m <L L 的符合条件的{}n c 的个数为1111111111(1)!m k m k k m kk m m k k m k C A A A A m m km k------------鬃=?---，----------------12分所以，在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，它们的首项的和为1111(1)!(1)!m m k k m k k m m km k--==-?---邋. ---------------------------14分。

北京市西城区2011年高三一模试卷英语试题第二部分：知识运用（共两节，45分）第一节单项填空（共15小题；每小题1分，共15分）从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出可以填入空白处的最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

21. I need to get another dictionary, because ______ cover is dirty and ______ page is missing.A. a, aB. a; theC. the; aD. the, the22. --This is the most exciting movie I have ever watched.-- Where did you get that DVD? I _______ to find it since last summer.A. was tryingB. triedC. had triedD. have been trying23. ______ people’s living standards, the central government will take more measures in the comingyears.A. To raiseB. RaiseC. RaisingD. Raised24. He suddenly fell ill, ______ prevented him from attending his friend’s wedding.A. whyB. whatC. thatD. which25. -- What’s the result of the football match?-- Listen! The latest news about it ______.A. broadcastB. will broadcastC. is being broadcastD. has been broadcast26. -- What should I wear to the party?-- Well, it isn’t very formal. You ______ wear whatever you like.A. canB. mustC. shouldD. need27. There’s no snake known that will habitually attack human beings unless ______ with its life.A. threatenB. threatenedC. threateningD. having threatened28. -- Honey, what would you like to have?--I've looked through the menu, but I can't decide ______ to order.A. whenB. whereC. whatD. how29. He told me to start early, _______me that the roads would be crowded.A. remindingB. to remindC. remindedD. remind30. -- Have you got enough members?-- Carol says she will join us ______ the salary meets her expectations.A. untilB. ifC. thoughD. unless31. Even though Sara had practiced her speech repeatedly, she ______ its conclusion at the talkshow.A. forgetsB. has forgottenC. forgotD. had forgotten32. After looking at many new cars, I found ______ which I would accept just as suitable.A. itB. thisC. thatD. one33. I might be able to tell you which bus to take if I knew _____ on the map we are now.A. thatB. whereC. whatD. how34. If you had brought your swimsuit with you, we ________ swimming in the lake now.A. could goB. could have goneC. can goD. have gone35. -- What a nice jacket! It looks good on me!-- Don’t you think it is too tight ______ the shoulders?A. beyondB. betweenC. fromD. across第二节完形填空（共20小题；每小题1.5分，共30分）阅读下面短文，掌握其大意，从每题所给的A、B、C、D四个选项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。

北京市西城区2011年高三一模试卷语文2011.4第一部分（27分）一、本大题共5小题，每小题3分，共15分。

1．下列词语中，字形和加点字的读音全都正确．．．．的一项是A．报不平成人之美汲．取（jí）循规蹈矩．（jù）B．打前战一如既往着．陆（zháo）兵不血．刃（xuè）C．翻两番自顾不暇饯．行（jiàn）刎颈．之交（jǐnɡ）D．捉迷藏箭拔弩张甄．别（zhēn）稗．官野史（pí）2．下列句子中，加点的成语使用不恰当．．．的一项是A．有关领导日前表示，北京要让各功能区更加名副其实．．．．，比如中关村就不再新增普通商业项目，而要凸显其以科技为中心的定位。

B．身处当今世界，在快速发展经济、改善民生，与世界各国友好交往的基础上，适当加强武装力量，应是捍卫自身利益的不二法门．．．．。

C．面对强震时所表现出的从容不迫和有条不紊．．．．，并非一个民族与生俱来的素质，而是其在不断经受天灾的历程中代代积累而成的品质。

D．加强青少年生活自理能力的培养非常重要，如果父母对孩子力所能及的事情一味地包办代替甚至无所不至．．．．，不利于孩子的全面发展。

3．下列句子中，没有．．语病的一项是A．最近，北京的社区店除了食品、药店和日杂零售外，又出现了一些家居品牌社区店，开始为居民提供各类家居用品。

B．如果在公共领域可以没有证据地、恶意地怀疑普通公民的善行，行善者就会人人自危，社会就将面对无人行善的尴尬局面。

C．近期，全国各地频发骗取客户密码、实施网银盗窃案件。

网络金融安全遭到破坏，一时间高度引发广大网民关注。

D．国家有关部门明确规定，某些保健食品生产企业，必须建立供应商档案和原料采购登记，以确保产品源头可以追溯。

4．下列语句画线处所指的文学家，依次是①味摩诘之诗，诗中有画；观摩诘之画，画中有诗。

②奚官有知应解笑，世无坡仙谁赏音。

③老杜诗当是诗中《六经》，他人诗乃诸子之流也。

第十二章 统计综合能力测试(Ⅰ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．(2011·广东韶关模拟，文17)为了了解韶关创建卫生城市过程中在学生里的宣传情况，相关部门对某高中6名学生进行问卷调查，6人得分是：5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体．该总体的平均数为( )A ．7B ．7.5C ．8D ．8.5解析：平均数为16(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5.答案：B2．(武汉市2011届高三年级2月调研考试)某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A ．24B ．18C ．16D ．12解析：依题意得x2000＝0.19，x ＝380，因此三年级的男生与女生的人数共有2000－(373＋377)－(380＋370)＝500，用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，应在三年级抽取的人数为5002000×64＝16，选C. 答案：C3．(武汉市2011届高三年级2月调研考试)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，得到频率分布直方图，如下图所示．由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频率成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ，b 的值分别为( )A ．0.27,78B ．0.27,83C ．2.7,78D ．2.7,83解析：依题意得前4组的频率分别是0.01,0.03,0.09,0.27；前4组的频数分别是1,3,9,27.设后6组的频率所成的等差数列的公差为d ，则有0.27×6＋6×52d ＝1－(0.01＋0.03＋0.09)，d ＝－0.05，视力在4.6到5.0之间的频率为0.27×4＋4×32×(－0.05)＝0.78，即视力在4.6到5.0之间的学生人数是b ＝0.78×100＝78，a ＝0.27，选A.答案：A4．(2011年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )A ．75辆B ．120辆C ．180辆D ．270辆解析：据图可知组距为10，则车速在[40,50)、[50,60)的频率分布是0.25、0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)．答案：C5．(广西百所重点中学2011届高三阶段性检测)某校有初中学生900人，高中学生1200人，教师120人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本进行调查，如果应从高中生中抽取80人，那么n 的值是( )A ．120B ．148C ．140D ．136解析：n ＝(900＋1200＋120)×801200＝148.答案：B6．(湖北省孝感市2011届高三第一次统考)今年某市有高二学生3万人，其中女生1万人，为调查了解新课改教材使用情况，采用分层抽样的方法从高二学生中抽取一个容量为150人的样本，则样本中女生的人数为( )A ．50B ．75C ．100D ．150解析：依题意得，样本中女生的人数为150×13＝50，选A.答案：A7．(2011·邯郸市高三月考试题)统计某校1000名学生的数学测试成绩，得到样本频率分布直方图如图所示，若满分为100分，规定不低于60分为及格，则及格率是( )A ．20%B ．25%C ．6%D ．80%解析：根据频率分布直方图，得出不合适的频率为：(0.015＋0.005)×10＝0.2，故及格率为(1－0.2)×100%＝80%，选D.答案：D点评：样本数据的频率分布和频率分布直方图，是通过各小组数据在样本容量中所占比例大小来表示数据的分布规律，它可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况，并由此估计总体的分布情况．利用直方图一定要注意其纵轴的意义．在频率分布直方图中，各个小长方形的面积等于相应各组的频率．根据率计算中，一一列举计数，将统计与概率有机地结合考查，这一直是高考试题中一道亮丽的风景线．8．(2011·四川绵阳市高三一模)某班有男生30人，女生20人，从中选5名同学可组成城市绿色交通协管服务队，那么按性别分层抽样组成这个绿色服务队的概率为( )A.A 303A202A 305B.C 303C202A 505C.C 303C 202C 505D.A 303A 202C 505解析：按分层要求抽男生3人，女生2人，故P ＝C 303C 202C 505，故选C.答案：C9．(2011·河北邯郸月考试题)甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：A．甲B．乙C．丙D．丁解析：丙的平均环数最大且方差最小，因此丙的成绩好且稳定，故选丙参加．答案：C10．(2011年陕西省宝鸡中学质检一)两个志愿组织共有志愿者2400人，现用分层抽样的方法，从所有志愿者中抽取一个容量为160的样本，已知从甲志愿者组织中抽取的人数为150，那么乙志愿者组织中共有志愿者()人()A．10 B．150C．100 D．200解析：n＝2400－150160×2400＝150，故选B.答案：B11．(2011·陕西省西安铁一中高三一模试题)某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的视为“超速”，同时汽车将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以得出将被处罚的汽车共有()辆()A．30 B．40C．60 D．80解析：0.02×10×200＝40，故选B.答案：B12．(2011年福建省三明市高三一模试题)容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表则第三组的频率为()A．21 B．0.21 C．7 D．0.07解析：由10＋13＋3x＋x＋15＋13＋12＋9＝100，解得x＝7.∴3x＝21，∴P＝21100＝0.21.故选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在题中的横线上．)13．(成都市2011届高中毕业班第一次诊断性检测)已知某中学的高一年级共有学生300人，现按分层抽样的方法从该校的高一、高二、高三年级分别抽取18人、18人、24人进行学习情况调查，则该校高中三个年级共有学生____________人．解析：设该校高二有学生x人，高三有学生y人，由18300＝18x＝24y，得x＝300，y＝400，高中三个年级学生总数为300＋300＋400＝1000.答案：100014．(河北省保定市2011届高三年级第一次调研考试)根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 ml(不含80)之间，属于酒后驾车，暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80 mg/100 ml(含80)以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8月22日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28000人，下图是对这28000人血液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为____________人．解析：由直方图知，血液酒精浓度在80～90 mg/100 ml内的频率是0.1，血液酒精浓度在90～100 mg/100 ml内的频率是0.05，所以属于醉酒驾车的人数是(0.1＋0.05)×28000＝4200.答案：420015．(2011·郑州市高三月考试题)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户．为了调查社会购买力的某项指标，采用分层抽样的方法从中抽取1个容量为若干户的样本，若高收入家庭抽取了25户，则低收入家庭被抽取的户数为____________．解析：设低收入家庭被抽取的户数为x ，由每个家庭被抽取的概率相等得25125＝x95，解得x ＝19.答案：19点评：抽样方法是统计学中最基本的知识，多以选择题或填空题的形式出现，重在考查分层抽样方法的应用．16．(2011·北京市海淀区高三模拟)为了科学地比较考试的成绩，有些选拔性考试常常会将考试分数转化为标准分，转化关系式为：Z ＝x －x s(其中x 是某位学生的考试分数，x 是该次考试的平均分，s 是该次考试的标准差，Z 称为这位学生的标准分)，转化成的标准分可能出现小数和负值，因此，又常常再将Z 分数作线性变换转化成其他分数．例如某次学生选拔考试采用的是T 分数，线性变换公式是：T ＝40Z ＋60.已知在这次考试中某位考生的考试分数是85，这次考试的平均分是70，标准差是25，则该考生的T 分数为________．解析：由已知：Z ＝85－7025＝35，∴T ＝40×35＋60＝24＋60＝84，故该考生的T 分数为84.答案：84三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程) 17．(本小题满分10分)(2011·河北省邯郸市一模测试)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单位：千克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图所示)．(1)在题中表格中填写相应的频率；(2)估计数据落在[1.15,1.30)中的概率为多少；(3)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条．请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数．解析：(1)根据频率分布直方图可知，频率＝组距×(频率/组距)，故可得下表：(2)因为0.30＋0.15＋0.47. (3)因为120×1006＝2000，所以水库中鱼的总条数约为2000条．18．(本小题满分12分)(2011·北京宣武质检)某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查．设其中某项问题的选择为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息.(1)请完成统计表；(2)试估计高三年级学生“同意”的人数；(3)从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率．解析：(1)完成被调查人答卷情况统计表：(2)26×126＋35×105＝42＋36＝105(人)． (3)设“同意”的两名学生编号为1,2，“不同意”的四名学生分别编号为3,4,5,6，选出两人则有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共有15种方法．其中(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，8种满足题意，则恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率为815.19．(本小题满分12分)(2011年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习)某学校三个社团的人员分布如下表(每名同学只参加一个社团)：30人，结果围棋社被抽出12人．(1)求这三个社团共有多少人？(2)书法社从3名高中和2名初中成员中，随机选出2人参加书法展示，求这2人中初、高中学生都有的概率．解析：(1)围棋社共有60人，设三个社团共有x 人，则60x ＝1230x ＝150，故三个社团一共有150人．(2)设初中的2名同学为a 1，a 2，高中的3名同学为b 1，b 2，b 3，随机选出2人参加书法展示所有可能的结果：{a 1，a 2}，{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，b 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，b 3}，{b 1，b 2}，{b 1，b 3}，{b 2，b 3}，共10个基本事件．设事件A 表示“书法展示的同学中初、高中学生都有”，则事件A 共有{a 1，b 1}，{a 1，b 2}，{a 1，b 3}，{a 2，b 1}，{a 2，b 2}，{a 2，b 3}6个基本事件．∴P (A )＝610＝35.故参加书法展示的2人中初、高中学生都有的概率为35.20．(本小题满分12分)(2011年北京市西城区高三第一学期期末考试)对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10,15)内的人数；(3)在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25,30)内的概率．解析：(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋24＋m ＋2＝40，m ＝4. 则p ＝m M ＝440＝0.10.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a ＝2440×5＝0.12.(2)因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60.(3)这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m ＋2＝6人， 设在区间[20,25)内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25,30)内的人为b 1，b 2.则任选2人共有(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，a 4)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(a 4，b 1)，(a 4，b 2)，(b 1，b 2)，共15种情况，而两人都在[25,30)内的只有(b 1，b 2)这一种情况， 所以所求概率为1－115＝1415. 21．(本小题满分12分)(2011·北京市丰台区高三年级模拟考试)在某项调查活动中，调查部门从某单位500名职工中随机抽出100名职工，得职工年龄频率分布表．(1)频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题纸中补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这500名职工中年龄在[30,35)岁的人数；(2)在抽出的100名职工中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加社会公益活动，其中选取2名职工担任领队工作，求这2名职工中至少有一名“年龄低于30岁”的概率.解析：(1)①处填20，②处填0.350； 补全频率分布直方图如图所示：500名职工中年龄在[30,35)的人数为0.35×500＝175人，(2)用分层抽样的方法，从中选取20人，则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人．设x 为年龄低于30岁的人数．P (X ＝1)＝C 151C 51C 202＝3076＝1538.P (X ＝2)＝C 52C 202＝476＝119.∴P (x ＝1或x ＝2) ＝1538＋119＝1738. 22．(本小题满分12分)(重庆市2011届高三联合诊断性考试)一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：A 类轿车10辆．(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．分析：第(2)问中应先求出样本中有几辆舒适轿车，再用列举法列出任取两辆的所有可能结果及至少有一辆舒适型轿车的结果，最后利用等可能事件的概率公式求解．解析：(1)设该厂本月生产轿车为n 辆，由题意得，50n ＝10100＋300， 所以n ＝2000，z ＝2000－100－300－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有m 辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以4001000＝m 5，解得m ＝2也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S 1，S 2，；B 1，B 2，B 3，则从中任取2辆的所有基本事件为(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)共10个，其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为710. (3)样本的平均数为x ＝18＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9， 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为68＝0.75.。

北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科） 2010.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{1}P x x =>， 2{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q =RC ．P ⊂≠QD ．Q ⊂≠P2. 函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是A．2π B ．2,2π- C．πD ．2,π-3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．12x x >，12s s <B ．12x x =，12s s <C ．12x x =，12s s =D ．12x x <，12s s >5. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为 A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 1387 83 5 5 72 38 94 5 5 6 1 2 2 0 1 乙甲6. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327. 已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238. 如图，平面α⊥平面β，αβ= 直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l , ,M N 分别是线段,AB CD 的中点. 下列判断正确的是A ．当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行βαlBACDMN· ·第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b +=___________.10. 已知2=a ，3=b ，a 、b 的夹角为60，则2-=a b ____________.11. 极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为___________. 12. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.13. 已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为___________.14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数.如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是____________.如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知α为锐角，且tan()24πα+=.（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos2αααα-的值.16.（本小题满分13分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望.17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.18.（本小题满分14分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率.ACDEP19.（本小题满分14分）已知函数()(1)x af x e x=+，其中0a >． （Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（Ⅲ）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列{}n a ，如果满足i a i +（1,2,3,i = ）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”.（Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”； （Ⅱ）试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,,11 是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；（Ⅲ）对于有限项数列:1,2,3,,A n ，某人已经验证当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”.北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2010.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10.11. 2220x y x +-= 12. 94,513. 2- 14. 2m ≥； 11a -≤≤注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） 15、解：（Ⅰ）1tan tan()41tan πααα++=-，…………………2分所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-，所以1tan 3α=.…………………5分（Ⅱ）2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.…………………8分因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………10分又α为锐角，所以sin α=，所以sin 2cos sin cos 2αααα-=.…………………12分16、解：设事件i A （1,2,3,4i =）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知15()6P A =，24()5P A =，33()4P A =，41()3P A =， （Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123()()()()()P B P A A A P A P A P A ==…………………2分 5431(1)6546=⨯⨯-=.…………………3分 （Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123()()P C P A A A A A A =++…………………5分1121231515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=.………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为1,2,3,4.…………………7分11(1)()6P X P A ===，…………………8分 12541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，…………………9分1235431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，…………………10分1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，…………………11分…………………12分1111()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………13分17、解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==， 在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以//BE AF ， …………………2分BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD . …………………4分（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥.…………………5分如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -. 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P…………………6分(1,1,0)DB = ，(1,1,0)BC =-，所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，……………8分又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 所以BC ⊥平面PBD .…………………9分（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，…………………10分(0,2,1)PC =- ，PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-，…………………11分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB = ，(0,2,1)DQ λλ=-，由0DB ⋅= n ，0DQ ⋅=n ，得所以，02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，所以2(1,1,)1λλ--n =，…………………12分所以cos 452BC BC⋅===n n ，…………………13分 注意到(0,1)λ∈，得1λ=. …………………14分18、解：（Ⅰ）由已知2c a =225a b +=，…………………3分 又222a b c =+，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………5分 （Ⅱ）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立，22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，…………………6分222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >. …………………7分 设,E F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当EOF ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k+=-=++，…………………8分 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，…………………9分所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k⨯+-+=++，解得k =.…………………11分 （ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时，1OE k k ⋅=-，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-………①，…………12分 又221114x y +=………②， 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），………………13分 将123y =代入①，得1x =所以114y k x -==14分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为和19、解：（Ⅰ）解()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -.…………………2分 （Ⅱ）函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，…………………5分令()0f x '=，得12a x -=，22a x -=，因为0a >，所以10x <，20x >.…………………7分 当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以在区间(,2a --∞上()f x 是增函数，………8分在区间上()f x 是减函数. …………………9分 （Ⅲ）在区间(,]2a -∞-上()f x 存在最小值()2a f -. …………………10分证明：由（Ⅰ）知a -是函数()f x 的零点，因为1022a a a x a --+--=--=>， 所以10x a <-<，…………………11分由()(1)xaf x e x=+知，当x a <-时，()0f x >，…………………12分又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<， 所以函数在区间1(,]2a x -上的最小值为()2a f -，且()02af -<，………………13分所以函数在区间(,]2a -∞-上的最小值为()2af -，计算得2()2aaf e --=-.…………………14分20、解：（Ⅰ）当2n ≥时，1n n n a S S -=- …………………1分2221(1)[(1)1]33n n n n n n -=----=-，……………2分 又10a =，所以2n a n n =-()n ∈*N . ……………3分所以2i a i i +=（1,2,3,i = ）是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”. ……4分 （Ⅱ）数列1,2,3,4,5具有“变换P 性质”， …………………5分数列{}n b 为3,2,1,5,4. …………………6分数列1,2,3,,11 不具有“变换P 性质”. …………………7分因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1,2,3,,11 不具有“变换P 性质”. …………………8分（Ⅲ）设2n m j =+，121j m ≤≤+，注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-，令441h m j =+--，由于121j m ≤≤+，5m ≥，所以4412212h m j m =+--≥+≥，又22244142m h m m j m m -=--++≥--， 2242(2)60m m m --=-->，所以2h m <，即2[12,]h m ∈. ………………10分因为当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列{}n a 具有“变换P 性质”，所以1,2,,441m j +-- 可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h += 都是平方数； …………………11分另外，44m j +-，441m j +-+，…，2m j +可以按相反顺序排列，即排列为2m j +，…，441m j +-+，44m j +-，使得(44)m j +-22()(2)m j m ++=+， 22(441)(1)(2)m j m j m +-+++-=+，…， …………………12分 所以221,2,,441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++ 可以排成123,,,,,h a a a a 2,,44m j m j ++- 满足2(1,2,,)i a i i m j +=+ 都是平方数. …………………13分。

东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学 （理科） 2011.4学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ） （4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++= ，且AB AC mAP +=，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市西城区2014－2015学年度高三第一学期期末试数学理第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1,0,1{}A -=，2{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）（A ）{1,0,1}-（B ）{1,0}-（C ）{0,1}（D ）{1,1}-3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =，sin 4B =，则（ ） （A ）3A π= （B ）6A π=（C）sin A =（D ）2sin 3A =4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ） （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b（D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b8. 设D 为不等式组1,21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面x O 内一点，若对于区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0（D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i12iz -=+，则||z = _____．10．设12,F F 为双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A（B ）最长棱的棱长为3（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形7. 已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP?o ，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(4,8) （B ）(4,)+ （C ）(0,4)（D ）(8,)+侧(左)视图正(主)视图俯视图11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么x y z ++=______．12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，且2AC AE =，那么AFAB=____；A ∠= _____． 13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()cos cos 442x x xf x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.16．（本小题满分13分）现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：（2）购买基金：（Ⅰ）当4p =时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．17．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面A B C D ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1BCE ； （Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.18．（本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.19．（本小题满分14分）B CDA B 1C 1E FA 1 D 1已知椭圆C ：2211612x y +=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)Pm m >满足条件||||FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：12||||S PM S PN =.20．（本小题满分13分）设函数()(9)f x x x =-，对于任意给定的m 位自然数0121m m n a a a a -=（其中1a 是个位数字，2a 是十位数字，），定义变换A ：012()()()()m A n f a f a f a =+++. 并规定(0)0A =．记10()n A n =，21()n A n =，， 1()k k n A n -=，．（Ⅰ）若02015n =，求2015n ；（Ⅱ）当3m ≥时，证明：对于任意的*()m m ∈N 位自然数n 均有1()10m A n -<； （Ⅲ）如果*010(,3)m n m m <∈≥N ，写出m n 的所有可能取值.（只需写出结论）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．C 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1 10．221416x y -=11．17412．12 π313．9614．13注：第10，12题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：因为()cos cos 442x x xf x =+cos 22x x=+ ……………… 2分=π2sin()26x +， ……………… 4分所以 2π4π12T ==. 故函数()f x 的最小正周期为4π. ……………… 6分由题意，得πππ2π2π2262x k k -++≤≤， 解得4π2π4π4π+33k x k -≤≤， 所以函数()f x 的单调递增区间为4π2π[4π,4π+],()33k k k -∈Z . ……………… 9分（Ⅱ）解：如图过点B 作线段BC 垂直于x由题意，得33π4TAC ==，2=BC ，所以2tan 3πBC BAO AC ∠==.16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 所以p +13+q =1. ……………… 2分 又因为14p =， 所以q =512． ……………… 3分 （Ⅱ）解：记事件A 为 “甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”，事 件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， ……………… 4分则C AB AB AB =U U ，且A ，B 独立.由上表可知， 1()2P A =，()P B p =. 所以()()()()P C P AB P AB P AB =++ ……………… 5分 111(1)222p p p =?+? 1122p =+. ……………… 6分因为114()225P C p =+>，所以35p >. ……………… 7分 又因为113p q ++=，0q ≥，所以23p ≤.所以3253p ≤<. ……………… 8分（Ⅲ）解：假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额（单位：万元），所以随机变量X 的分布列为：…………… 9分则113540(2)2884EX =⨯+⨯+-⨯=. ……………10 分假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元），所以随机变量Y 的分布列为：…………… 11分则111520(1)2366EY =⨯+⨯+-⨯=. …………… 12分因为EX EY >，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大．……… 13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为1111D C B A ABCD -是棱柱，所以平面ABCD ∥平面1111A B C D .又因为平面ABCD 平面1A ECF EC =，平面1111A BC D 平面11A ECF A F =，所以1A F ∥EC . …………………2分 又因为1A F ⊄平面1BCE ，EC ⊂平面1BCE ， 所以1A F ∥平面1BCE . …………………4分 （Ⅱ）解：因为1AA ⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，所以1AA ，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系. …………………5分则1(0,0,2)A ，(1,0,0)E ，(2,1,0)C ，所以 1(1,0,2)A E =-,1(2,1,2)AC =-. 设平面1A ECF 的法向量为(,,),m x y z = 由10AE m ⋅=，10AC m ⋅=, 得20,220.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩令1z =,得(2,2,1)m =-. …………………7分 又因为平面DEC 的法向量为(0,0,1)n =， …………………8分 所以1cos ,3||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图可知，二面角1A EC D --的平面角为锐角，所以二面角1A EC D --的余弦值为13. …………………10分（Ⅲ）解：过点F 作11FM A B ⊥于点M ,因为平面11A ABB ⊥平面1111A BCD ，FM ⊂平面1111A B C D , 所以FM ⊥平面11A ABB ,所以11111113B A EF F B A E A B E V V S FM --∆==⨯⨯ …………………12分1222323FM FM ⨯=⨯⨯=. 因为当F 与点1D 重合时，FM 取到最大值2（此时点E 与点B 重合）， 所以当F 与点1D 重合时，三棱锥11B A EF -的体积的最大值为43. ………………14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得21()1e e ea bf =-=-， …………………1分 且()2f x ax b '=-，1()g x x'=， …………………3分 由已知，得11()()e ef g ''=，即2e eab -=， 解得22e a =，3e b =. …………………5分 （Ⅱ）解：若a b =，则()2f x ax a '=-，1()g x x'=， 设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -=， ① 12as a s-=， ② …………………6分 由②，得 1(21)a s s =-，其中12s ≠，代入①，得 1ln 21s s s -=-. （*） …………………7分因为 10(21)a s s =>-，且0s >， 所以 12s >. …………………8分设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2(41)(1)()(21)x x F x x x ---'=-. …………………9分 令()0F x '= ，解得1x =或14x =(舍). …………………10分当x 变化时，()F x '与()F x 的变化情况如下表所示，…………………12分所以当1x =时，()F x 取到最大值(1)0F =，且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.因此，当且仅当1x =时()0F x =. 所以方程（*）有且仅有一解1s =. 于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：因为椭圆C 的方程为 2211612x y +=，所以 4a =,b =2c =, ………………2分 则 12c e a ==，||2FA =，||4AP m =-. ………………3分 因为||21||42FA AP m ==-， 所以 8m =. ………………5分 （Ⅱ）解：若直线l 的斜率不存在， 则有 21S S =，||||PM PN =，符合题意. …………6分若直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为)2(-=x k y ，),(11y x M ，),(22y x N . 由 ⎪⎩⎪⎨⎧-==+),2(,1121622x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=， ……………… 7分可知 0>∆恒成立，且 34162221+=+k k x x ，3448162221+-=k k x x . ……………… 8分 因为 8)2(8)2(8822112211--+--=-+-=+x x k x x k x y x y k k PN PM ……………… 10分 )8)(8()8)(2()8)(2(211221----+--=x x x x k x x k)8)(8(32)(102212121--++-=x x kx x k x kx0)8)(8(323416103448162212222=--++⋅-+-⋅=x x k k k k k k k ，所以 MPF NPF ∠=∠. ……………… 12分因为PMF ∆和PNF ∆的面积分别为11||||sin 2S PF PM MPF =⋅⋅∠， 21||||sin 2S PF PN NPF =⋅⋅∠， ……………… 13分 所以12||||S PM S PN =. ……………… 14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：114082042n =+++=，2201434n =+=，3182038n =+=，418826n =+=，5141832n =+=，6181432n =+=，……所以 201532n =． ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为函数2981()(9)()24f x x x x =-=--+，所以对于非负整数x ，知()(9)20f x x x =-≤.（当4x =或5时，取到最大值）… 4分 因为 12()()()()m A n f a f a f a =+++，所以 ()20A n m ≤． ……………… 6分 令 1()1020m g m m -=-，则31(3)102030g -=-⨯>．当3m ≥时，11(1)g()1020(1)1020910200m m m g m m m m --+-=-+-+=⨯->， 所以 (1)g()0g m m +->，函数()g m ，（m ∈N ，且3m ≥）单调递增．故 g()g(3)0m >≥，即11020()m m A n ->≥．所以当3m ≥时，对于任意的m 位自然数n 均有1()10m A n -<. …………………9分 （Ⅲ）答：m n 的所有可能取值为0，8，14，16，20，22，26，28，32，36，38．…………………14分。