初三中考复习专题：定值问题

《定值问题》专题精讲1.定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值.依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.(3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.探索圆锥曲线定值问题的两种方法(1)从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.解答的关键是认真审题,理清问题与题设的关系,建立合理的方程或函数,利用等量关系统一变量,最后消元得出定值.典例1如图,倾斜角为α的直线经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线交于A,B两点.(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;(2)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明:|FP|−|FP|cos2α为定值,并求此定值.思路:理解抛物线与直线位置关系的定值问题,求|FP|−|FP|cos2α定值,属于求代数式为定值.依题意设条件,推测、分析、计算得到与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. 解析:(1)焦点F(2,0),准线l:x=−2.(2)直线AB:y=tanα(x−2),①将28yx 代入①,整理得y2tanα−8y−16tanα=0,②设方程②的两根为y 1,y 2,则12128,tan 16.y y y y α⎧⎪⎨⎪==-⎩+设AB 中点为M (x 0,y 0),则120004,2tan 2,tan y y y y x αα⎧⎪⎪⎨⎪⎪+=+⎩== AB 的垂直平分线方程是21144(2)tan tan tan y x ααα-=---. 令y =0,则246tan x α=+,有24(6,0)tan P α+ 故|FP |=|OP |−|OF |=22241624(1)4cos tan tan ααα+-=+=, 于是24||||cos 2(1cos 2)8sin FP FP ααα-=-=,故为定值. 典例2 (陕西咸阳高三二模)已知椭圆C :22221x y a b +=(a >b >0)过点3(1,)2,且其离心率为12,过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别相交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的方程;(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线MN 总相切？若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.思路:第(1)问根据所过点以及离心率,分析计算出椭圆方程;第(2)问考虑两种情况,即直线MN 的斜率存在与不存在,联立直线与椭圆方程,利用根与系数的关系分析计算即可.解析:(1)∵椭圆C 经过点3(1,)2, ∴221914a b+=. 又∵12c a =,解得a 2=4,b 2=3, ∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)当直线MN 的斜率不存在时,由对称性,设M (x 0,x 0),N (x 0,−x 0).∵M ,N 在椭圆C 上,∴2200143x x +=,∴20127x =. ∴O 到直线MN的距离为0||7d x ==,所以22127x y +=. 当直线MN 的斜率存在时,设MN 的方程为y =kx +m , 由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得222(34)84120k x kmx m +++-=. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), 则21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++. ∵OM ⊥ON ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,∴2212121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=. ∴22222224128(1)0,3434m k m k m k k -+⋅-+=++即22712(1)m k =+. ∴O 到直线MN的距离为7d ===, 故存在定圆22127x y +=与直线MN 总相切.。

专题8：定值问题一、选择题二、填空题三、解答题1. （2012江西南昌8分）如图，已知二次函数L 1：y=x 2﹣4x+3与x 轴交于A ．B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．（1）写出二次函数L 1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L 2：y=kx 2﹣4kx+3k （k≠0）．①写出二次函数L 2与二次函数L 1有关图象的两条相同的性质；②若直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF 的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线()22y x 4x 3x 21=-+=--，∴二次函数L 1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。

（2）①二次函数L 2与L 1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A （1，0），B （3，0）两点。

②线段EF 的长度不会发生变化。

∵直线y=8k 与抛物线L 2交于E 、F 两点，∴kx 2﹣4kx+3k=8k ，∵k≠0，∴x 2﹣4x+3=8。

解得：x 1=﹣1，x 2=5。

∴EF=x 2﹣x 1=6。

∴线段EF 的长度不会发生变化。

【考点】二次函数综合题，二次函数的性质。

【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。

抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。

（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。

②联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。

2. （2012江苏苏州9分）如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合.在移动过程中，边AD 始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5.⑴试求出y关于x的函数关系式，并求出y =3时相应x的值；⑵记△DGP的面积为S1，△CDG的面积为S2．试说明S1－S2是常数；⑶当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长.【答案】解：（1）∵CG∥AP，∴∠CGD=∠PAG，则tan CGD=tan PAG∠∠。

二次函数中考压轴题（定值问题）解析精选【例1】（2013•南通）如图，直线y=kx+b（b＞0）与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且kS+32=0．（1）求b的值；（2）求证：点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）求证：x1•OB+y2•OA=0．考点：二次函数综合题专题：压轴题．分析：（1）先求出直线y=kx+b与x轴正半轴交点D的坐标及与y轴交点C的坐标，得到△OCD的面积S=﹣，再根据kS+32=0，及b＞0即可求出b的值；（2）先由y=kx+8，得x=，再将x=代入y=x2，整理得y2﹣（16+8k2）y+64=0，然后由已知条件直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，知y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系得到y1•y2=64，即点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）先由勾股定理，得出OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，又易得x1•x2=﹣64，则OA2+OB2=AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB=90°．再过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，根据两角对应相等的两三角形相似证明△AEO∽△OFB，由相似三角形对应边成比例得到=，即可证明x1•OB+y2•OA=0．解答：（1）解：∵直线y=kx+b（b＞0）与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，∴令x=0，得y=b；令y=0，x=﹣，∴△OCD的面积S=（﹣）•b=﹣．∵kS+32=0，∴k（﹣）+32=0，解得b=±8，∵b＞0，∴b=8；（2）证明：由（1）知，直线的解析式为y=kx+8，即x=，将x=代入y=x2，得y=（）2，整理，得y2﹣（16+8k2）y+64=0．∵直线y=kx+8与抛物线相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，∴y1•y2=64，∴点（y1，y2）在反比例函数的图象上；（3）证明：由勾股定理，得OA2=+，OB2=+，AB2=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，由（2）得y1•y2=64，同理，将y=kx+8代入y=x2，得kx+8=x2，即x2﹣8kx﹣64=0，∴x1•x2=﹣64，∴AB2=+++﹣2x1•x2﹣2y1•y2=+++，又∵OA2+OB2=+++，∴OA2+OB2=AB2，∴△OAB是直角三角形，∠AOB=90°．如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵∠AOB=90°，∴∠AOE=90°﹣∠BOF=∠OBF，又∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴=，∵OE=﹣x1，BF=y2，∴=，∴x1•OB+y2•OA=0．点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数与二次函数的交点，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．求出△OCD的面积S是解第（1）问的关键；根据函数与方程的关系，得到y1，y2是方程y2﹣（16+8k2）y+64=0的两个根，进而得出y1•y2=64是解第（2）问的关键；根据函数与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理及其逆定理得出∠AOB=90°，是解第（3）问的关键．【例2】（2013•吉林）如图①，在平面直角坐标系中，点P（0，m2）（m＞0）在y轴正半轴上，过点P 作平行于x轴的直线，分别交抛物线C1：y=x2于点A、B，交抛物线C2：y=x2于点C、D．原点O关于直线AB的对称点为点Q，分别连接OA，OB，QC和QD．【猜想与证明】填表：m 1 2 3由上表猜想：对任意m（m＞0）均有=．请证明你的猜想．【探究与应用】（1）利用上面的结论，可得△AOB与△CQD面积比为；（2）当△AOB和△CQD中有一个是等腰直角三角形时，求△CQD与△AOB面积之差；【联想与拓展】如图②过点A作y轴的平行线交抛物线C2于点E，过点D作y轴的平行线交抛物线C1于点F．在y轴上任取一点M，连接MA、ME、MD和MF，则△MAE与△MDF面积的比值为．考点：二次函数综合题分析：猜想与证明：把P点的纵坐标分别代入C1、C2的解析式就可以AB、CD的值，就可以求出结论，从而发现规律得出对任意m（m＞0）将y=m2代入两个二次函数的解析式就可以分别表示出AB与CD的值，从而得出均有=；探究与证明：（1）由条件可以得出△AOB与△CQD高相等，就可以得出面积之比等于底之比而得出结论；（2）分两种情况讨论，当△AOB为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△AOB的面积，从而求出△CQD的面积，就可以求出其差，当△CQD为等腰直角三角形时，可以求出m的值就可以求出△CDQ的面积，进而可以求出结论；联想与拓展：由猜想与证明可以得知A、D的坐标，可以求出F、E的纵坐标，从而可以求出AE、DF的值，由三角形的面积公式分别表示出△MAE与△MDF面积，就可以求出其比值．解答：解：猜想与证明：当m=1时，1=x2，1=x2，∴x=±2，x=±3，∴AB=4，CD=6，∴；当m=2时，4=x2，4=x2，∴x=±4，x=±6，∴AB=8，CD=12，∴；当m=3时，9=x2，9=x2，∴x=±6，x=±9，∴AB=12，CD=18，∴；∴填表为m 1 2 3对任意m（m＞0）均有=．理由：将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±2m，∴A（﹣2m，m2），B（2m，m2），∴AB=4m．将y=m2（m＞0）代入y=x2，得x=±3m，∴C（﹣3m，m2），D（3m，m2），∴CD=6m．∴，∴对任意m（m＞0）均有=；探究与运用：（1）∵O、Q关于直线CD对称，∴PQ=OP．∵CD∥x轴，∴∠DPQ=∠DPO=90°．∴△AOB与△CQD的高相等．∵=，∴AB=CD．∵S△AOB=AB•PO，S△CQD=CD•PQ，∴=，（2）当△AOB为等腰直角三角形时，如图3，∴PO=PB=m2，AB=2OP∴m2=m4，∴4m2=m4，∴m1=0，m2=﹣2，m3=2．∵m＞0，∴m=2，∴OP=4，AB=8，∴PD=6，CD=12．∴S△AOB==16∴S△CQD==24，∴S△CQD﹣S△AOB=24﹣16=8．当△CQD是等腰直角三角形时，如图4，∴PQ=PO=PD=m2，CD=2QP∴m2=m4，∴9m2=m4，∴m1=0，m2=﹣3，m3=3．∵m＞0，∴m=3，∴OP=6，AB=12，∴PQ=9，CD=18．∴S△AOB==54∴S△CQD==81，∴S△CQD﹣S△AOB=81﹣54=27；联想与拓展由猜想与证明可以得知A（﹣2m，m2），D（3m，m2），∵AE∥y轴，DF∥y轴，∴E点的横坐标为﹣2m，F点的横坐标为3m，∴y=（﹣2m）2，y=（3m）2，∴y=m2，y=m2，∴E（﹣2m，m2），F（3m，m2），∴AE=m2﹣m2=m2，DF=m2﹣m2=m2．S△AEM=×m2•2m=m3，S△DFM=m2•3m=m3．∴=．故答案为：；；．点评：本题考出了对称轴为y轴的抛物线的性质的运用，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．【例3】（2013•株洲）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），然后把点（0，）代入求出a的值，再化为一般形式即可；（2）先根据m的值求出直线AB与x轴的距离，从而得到点B、C的纵坐标，然后利用抛物线解析式求出点C的横坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出点A的坐标，然后根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，再把点A的坐标代入求出h的值即可；（3）先把直线AB与x轴的距离是m2代入抛物线C1的解析式求出C的坐标，从而求出CE，再表示出点A的坐标，根据抛物线的对称性表示出ED，根据平移的性质设出抛物线C2的解析式，把点A的坐标代入求出h的值，然后表示出EF，最后根据锐角的正切值等于对边比邻边列式整理即可得证．解答：（1）解：设抛物线C1的顶点式形式y=a（x﹣1）2，（a≠0），∵抛物线过点（0，），∴a（0﹣1）2=，解得a=，∴抛物线C1的解析式为y=（x﹣1）2，一般形式为y=x2﹣x+；（2）解：当m=2时，m2=4，∵BC∥x轴，∴点B、C的纵坐标为4，∴（x﹣1）2=4，解得x1=5，x2=﹣3，∴点B（﹣3，4），C（5，4），∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣5，4），设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣5﹣1）2﹣h=4，解得h=5；（3）证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，∴点B、C的纵坐标为m2，∴（x﹣1）2=m2，解得x1=1+2m，x2=1﹣2m，∴点C的坐标为（1+2m，m2），又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，∴CE=1+2m﹣1=2m，∵点A、C关于y轴对称，∴点A的坐标为（﹣1﹣2m，m2），∴AE=ED=1﹣（﹣1﹣2m）=2+2m，设抛物线C2的解析式为y=（x﹣1）2﹣h，则（﹣1﹣2m﹣1）2﹣h=m2，解得h=2m+1，∴EF=h+m2=m2+2m+1，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=﹣=﹣=﹣=，∴tan∠EDF﹣tan∠ECP=．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与结合变换，关于y轴对称的点的坐标特征，抛物线上点的坐标特征，锐角的正切的定义，（3）用m表示出相应的线段是解题的关键，也是本题的难点．【例4】如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2﹣1），则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例5】. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB=35，sin∠OAB=55.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为QMNS∆，△QNR的面积QNRS∆，求QMNS∆∶QNRS∆的值.解：（1）如图，过点B作BD OA⊥于点D．在Rt ABD△中，35AB=5sin OAB∠=5sin3535BD AB OAB∴=∠==．又由勾股定理，得2222(35)36AD AB BD=-=-=．1064OD OA AD∴=-=-=．yFP3BECD AP2P1O点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为(43)，．∴点B 关于x 轴对称的点C 的坐标为(43)-，． ··················································· 2分 设经过(00)(43)(100)O C A -，，，，，三点的抛物线的函数表达式为2(0)y ax bx a =+≠．由11643810010054a ab a b b ⎧=⎪+=-⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩，．∴经过O C A ，，三点的抛物线的函数表达式为21584y x x =-． ····························· 2分 （2）假设在（1）中的抛物线上存在点P ，使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形．①点(43)C -，不是抛物线21584y x =-的顶点，∴过点C 作直线OA 的平行线与抛物线交于点1P ．则直线1CP 的函数表达式为3y =-． 对于21584y x x =-，令34y x =-⇒=或6x =． 1143x y =⎧∴⎨=-⎩，；2263x y =⎧⎨=-⎩，． 而点(43)C -，，1(63)P ∴-，． 在四边形1P AOC 中，1CP OA ∥，显然1CP OA ≠．∴点1(63)P -，是符合要求的点． ······································································· 1分 ②若2AP CO ∥．设直线CO 的函数表达式为1y k x =．将点(43)C -，代入，得143k =-．134k ∴=-． ∴直线CO 的函数表达式为34y x =-．于是可设直线2AP 的函数表达式为134y x b =-+． 将点(100)A ，代入，得131004b -⨯+=．1152b ∴=． ∴直线2AP 的函数表达式为31542y x =-+．由223154246001584y x x x y x x ⎧=-+⎪⎪⇒--=⎨⎪=-⎪⎩，即(10)(6)0x x -+=． 11100x y =⎧∴⎨=⎩，；22612x y =-⎧⎨=⎩，； 而点(100)A ，，2(612)P ∴-，． 过点2P 作2P E x ⊥轴于点E ，则212P E =． 在2Rt AP E △中，由勾股定理，得222222121620AP P E AE =+=+=．而5CO OB ==．∴在四边形2P OCA 中，2AP CO ∥，但2AP CO ≠．∴点2(612)P -，是符合要求的点． ······································································ 1分③若3OP CA ∥．设直线CA 的函数表达式为22y k x b =+．将点(100)(43)A C -，，，代入，得22222211002435k b k k b b ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨+=-⎩⎪=-⎩，．∴直线CA 的函数表达式为152y x =-． ∴直线3OP 的函数表达式为12y x =．由22121401584y x x x y x x ⎧=⎪⎪⇒-=⎨⎪=-⎪⎩，即(14)0x x -=． 1100x y =⎧∴⎨=⎩，；22147x y =⎧⎨=⎩，．而点(00)O ，，3(147)P ∴，． 过点3P 作3P F x ⊥轴于点F ，则37P F =． 在3Rt OP F △中，由勾股定理，得22223371475OP P F OF =+=+=而35CA AB ==∴在四边形3P OCA 中，3OP CA ∥，但3OP CA ≠．∴点3(147)P ，是符合要求的点． ········································································ 1分 综上可知，在（1）中的抛物线上存在点123(63)(612)(147)P P P --，，，，，， 使以P O C A ，，，为顶点的四边形为梯形． ······················································· 1分 （3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．①当抛物线开口向上时，则此抛物线与y 轴的负半轴交于点N ． 可设抛物线的函数表达式为(2)(5)(0)y a x k x k a =+->．即22310y ax akx ak =--2234924a x k ak ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．如图，过点M 作MG x ⊥轴于点G ．3(20)(50)02Q k R k G k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，，，22349(010)24N ak M k ak ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，3||2||7||2QO k QR k OG k ∴===，，，22749||||10||24QG k ON ak MG ak ===，，．23117103522QNR S QR ON k ak ak ∴==⨯⨯=△．QNM QNO QMG ONMG S S S S =+-△△△梯形111()222QO ON ON GM OG QG GM =++- 2222114931749210102242224k ak ak ak k k ak ⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ 3314949212015372884ak ak ⎛⎫=++⨯-⨯= ⎪⎝⎭． 3321::(35)3:204QNM QNR S S ak ak ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△． ················································· 2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与y 轴的正半轴交于点N ．同理，可得:3:20QNM QNR S S =△△． ································································· 1分yQ OGRMN综上可知，:QNM QNRS S△△的值为3:20．【例6】、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数54y x m=+ (m为常数)的图象与x轴交于点A(3-，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线2y ax bx c=++ (a b c，，为常数，且a≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F ．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于111M()x y，，222M()x y，两点，试探究2112P PM MM M⋅是否为定值，并写出探究过程．考点：二次函数综合题。

中考定值问题分类解析在中考中，定值问题一直是一类热门专题。

对考察学生的分析问题、解决问题的能力，在变化中寻找不变的结论和关系的探索能力，要求都比较高。

而且对数学思想方法的考察也比较深入。

定值问题的思考切入点多种多样，解决这类问题的方法也是灵活多变。

本文从定值结论的不同来分类，解析以下这类这类问题的解决策略。

一：线段定值1．如图，点A在函数y＝（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y＝图象于点B，C，直线BC与坐标轴的交点为D，E．（1）试问：当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，△ABC的面积是否发生变化？若不变，请求出△ABC的面积，若变化，请说明理由．（2）试说明：当点A在函数y＝（x＞0）图象上运动时，线段BD与CE 的长始终相等．【解析】此题后两问都是定值问题。

但解决的策略不同。

第二问是通过含参计算，最后消掉参数，从而得到结论与参数无关，是个定值。

这是定值问题中常用的一种方法。

第三问是通过全等证明，其实也可以用含参计算的方法证明【解答】解：（1）∵点C在y＝的图象上，且C点横坐标为1，∴C（1，1），∵AC∥y轴，AB∥x轴，∴A点横坐标为1，∵A点在函数y＝（x＞0）图象上，∴A（1，4），∴B点纵坐标为4，∵点B在y＝的图象上，∴B点坐标为（，4）；（2）设A（a，），则C（a，），B（，），∴AB＝a﹣＝a，AC＝﹣＝，∴S＝AB•AC＝××＝，△ABC即△ABC的面积不发生变化，其面积为；（3）如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，∵AB∥x轴，∴△ABC∽△EFC，∴＝，即＝，∴EF＝a，由（2）可知BG＝a，∴BG＝EF，∵AE∥y轴，∴∠BDG＝∠FCE，在△DBG和△CFE中∴△DBG≌△CEF（AAS），∴BD＝EF．2．如图，已知抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），与y轴交于点C，点D是抛物线在第一象限的点．（1）当△ABD的面积为4时，①求点D的坐标；②联结OD，点M是抛物线上的点，且∠MDO＝∠BOD，求点M的坐标；（2）直线BD、AD分别与y轴交于点E、F，那么OE+OF的值是否变化，请说明理由．【解析】这个问题中求线段和为定值，也是采用含参计算，最终消参的方法【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+4（a≠0）与x轴交于点A和点B（2，0），∴A（﹣2，0），4a+4＝0，∴a＝﹣1，AB＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4，①设D（m，﹣m2+4），∵△ABD的面积为4，∴4＝×4（﹣m2+4）∴m＝±，∵点D在第一象限，∴m＝，∴D（，2），②如图1，点M在OD上方时，∵∠MDO＝∠BOD，∴DM∥AB，∴M（﹣，2），当M在OD下方时，设DM交x轴于G，设G（n，0），∴OG＝n，∵D（，2），∴DG＝，∵∠MDO＝∠BOD，∴OG＝DG，∴，∴n＝，∴G（，0），∵D（，2），∴直线DG的解析式为y＝﹣2x+6①，∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+4②，联立①②得，x＝，y＝2，此时交点刚好是D点，所以在OD下方不存在点M．（2）OE+OF的值不发生变化，理由：如图2，过点D作DH⊥AB于H，∴OF∥DH，∴，设D（b，﹣b2+4），∴AH＝b+2，DH＝﹣b2+4，∵OA＝2，∴，∴OF＝，同理：OE＝2（2+b），∴OE+OF＝2（2﹣b）+2（2+b）＝8．3．如图，已知二次函数L1：y＝x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．（1）写出A、B两点的坐标；（2）二次函数L2：y＝kx2﹣4kx+3k（k≠0），顶点为P．①直接写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；③若直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否会发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【解析】消参法【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，∴x1＝1，x2＝3；即：A（1，0），B（3，0）；（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：（Ⅰ）对称轴都为直线x＝2或顶点的横坐标为2；（Ⅱ）都经过A（1，0），B（3，0）两点；②存在实数k，使△ABP为等边三角形．∵y＝kx2﹣4kx+3k＝k（x﹣2）2﹣k，∴顶点P（2，﹣k）．∵A（1，0），B（3，0），∴AB＝2要使△ABP为等边三角形，必满足|﹣k|＝，∴k＝±；③线段EF的长度不会发生变化．∵直线y＝8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k＝8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3＝8，∴x1＝﹣1，x2＝5，∴EF＝x2﹣x1＝6，∴线段EF的长度不会发生变化．二、周长定值1．如图，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，sin∠B＝，E点为BC边上的一个动点（不与B、C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．【解析】第二问，设BE=x，利用相似把各条线段用x表示，这是利用了函数的思想。

专题44 动态几何之定值（恒等）问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。

本专题原创编写动态几何之定值（恒等）问题模拟题。

在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。

在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。

1.如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ACB=∠DEF=900，∠A=∠F=450，DF=4，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB。

求证：点E到AC的距离为常数2。

【答案】解：如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH即为点E到AC的距离。

∵在Rt△DEF 中，∠DEF=900，∠F=450，DF=4， ∴4DE 222==。

∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=450。

∴22EH 22==。

∴点E 到AC 的距离为常数2。

【考点】平移问题，作辅助线，等腰直角三角形的性质，平行的性质。

2. 对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为即：当n 为非负整数时，如果如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，… 试解决下列问题：（1）填空：①= （为圆周率）； ②如果的取值范围为 ；（2）①当；②举例说明不恒成立；（3）求满足的值；（4）设n 为常数，且为正整数，函数范围内取值时，函数值y 为整数的个数记为的个数记为b .求证： 【答案】（1）①3 ② ,><x .,2121n x n x n >=<+<≤-则><ππx x 则实数,312>=-<><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时><+>>=<+<y x y x x x x 的所有非负实数34>=<1412+<≤+-=n x n x x x y 在的自变量k n k a 的所有整数满足>=<;.2n b a ==9447<≤x（2）①证明略 ②举反例：不一定成立.（3）（4）证明略。

初中定值问题的思路1. 哎呀呀，初中定值问题啊，咱得先搞清楚啥是定值呀！就像你一直喜欢的那个玩具，不管啥时候它都是你的最爱，这就是一种定值嘛！比如三角形的内角和永远是 180 度，这就是个定值呀！2. 嘿，想解决初中定值问题，那就要学会找规律呀！就像你找宝藏一样，顺着线索一点点去发现。

比如找一组数的规律，发现它们之间的固定关系，那就是定值啦！3. 哇塞，遇到初中定值问题可别慌呀！要像个小侦探一样去仔细观察。

比如在图形中，某些边的长度总是固定的，这不就是定值嘛！4. 呀，解决定值问题要抓住关键呀！这就好比你抓娃娃，得瞄准了那个最好抓的。

比如在一个代数式中，某个不变的系数就是关键的定值呀！5. 嘿哟，初中定值问题有时候藏得很深哦！但咱不能怕呀，要勇敢地去挖掘。

就像你挖沙子找贝壳，总能找到那些隐藏的宝贝，定值也是这样被发现的哟！比如在一些复杂的几何图形中，隐藏着固定的角度或长度呢！6. 哎呀，面对初中定值问题可要有耐心呀！不能一下子没找到就放弃。

像你搭积木，一点点搭才能搭出漂亮的城堡，找定值也得慢慢来呀！比如在一系列数据中耐心找规律，定值就会出现啦！7. 哇哦，初中定值问题其实也挺有趣的呀！就像玩游戏一样，充满挑战。

比如在函数图像中，某些特定点的值就是定值呀，多有意思！8. 嘿呀，要搞定初中定值问题，思维得活跃起来呀！不能死板。

就像你跳舞的时候要灵活，不能僵硬。

比如根据条件去推测可能的定值，多灵活呀！9. 呀，初中定值问题可是很考验人的哦！但咱不怕，咱有智慧。

比如在复杂的运算中找到那个始终不变的量，那不就是定值嘛！10. 哈哈，初中定值问题没那么难啦！只要用心去想，就一定能找到答案。

就像你解开一道谜题，会很有成就感的哟！比如在几何变换中，某些不变的性质就是定值呀！我的观点结论就是：初中定值问题并不可怕，只要掌握了方法，带着兴趣和耐心去探索，就一定能解决！。

中考专题复习——函数中的定值问题 姓名________前言：定值问题是近年来中考题经常出现在热点问题，代数中的定值问题通常需要用到设参数法，在计算过程中，参数往往可以消去，从而得到常数值，所以经常会碰到带参数的函数或解带参数的方程。

例题：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A 、C 分别在x 、y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(4,2).点M 是矩形BC 边上的一个动点(M 不与B 、C 重合)，反比例函数y =k x (k >0,x >0)的图象经过点M且与边AB 交于点N ，连接MN ．在点M 的运动过程中，试证明：MB NB 是一个定值．解：设a AN =，所以N 的坐标为（4，a ）所以反比例函数的解析式为：xa y 4= 又因为M 的纵坐标为2，所以：xa 42=，可得a x 2= 所以M 的坐标为（a 2，2，所以2224=--=aa NB MB练习1：关于x 的一元二次方程032)1(32=-+--m x m mx （3>m ）的两个实数根分别为x 1，x 2，且x 1<x 2 求证：方程有一根为定值；练习2：已知抛物线4222-+-=a ax x y ，抛物线的顶点为M ．（1）求点M 的坐标；（2）设抛物线与x 轴交于A(x 1,0)，B(x 2,0)两点，且x 2>x 1，判断AB 的长是否为定值，并证明；设参数消参法练习3：已知抛物线a bx ax y 32-+=（0>a ）与x 轴交于A(−1,0)、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求点B 的坐标； （2）P 是第四象限内抛物线上的一个动点．直线PA 、PB 分别交y 轴于点M 、N ，求证：CMCN 为定值．练习4：已知点A 是二次函数12)2(22+++-=m x m x y 图象的顶点．（1）请判断该二次函数图象与x 轴的交点个数； （2）以A 为一个顶点作该抛物线的内接正ABC ∆(B 、C 两点在抛物线上)，请问：ABC ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；练习5：已知二次函数c bx x y ++-=22（b ，c 为常数)的图象经过点(2,−1)，其对称轴为直线x =1．(1)求该二次函数的表达式；(2)点P(0,n)在y 轴上，若1-<n ，过点P 作x 轴的平行线与该二次函数的图象交于E ，F 两点，当n 取某一范围内的任意实数时，|FP −EP|的值始终是一个定值d ，求此时定值d ．练习6：已知抛物线8422-+-=m mx x y 的顶点为A ．（1）求证：该抛物线与x 轴总有两个交点．（2）以A 为一个顶点作抛物线的内接正三角形AMN （M 、N 两点在抛物线上）请问：AMN ∆的面积是与m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．练习7：如图，二次函数)32(22m mx x a y -+=（其中a ，m 是常数a <0，m >0)的图象与x 轴分别交于A 、B(点A 位于点B 的右侧)，与y 轴交于点C(0,3)，点D 在二次函数的图象上，CD // AB ，连结AD.过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，AB 平分∠DAE ．（1）求a 与m 的关系式；（2）求证：ADAE 为定值；练习8：如图，抛物线c bx x y ++-=2交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为(−3,0)，与y 轴交于点C(0,3)．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点P 为x 轴上方抛物线上任意一点，点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点，直线AP 、BP 分别交抛物线的对称轴于点E 、F.请问DF DE +是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．练习9：已知抛物线1)12(22-+++=m x m x y ．（1）若该抛物线经过点P(1,4)，试求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）求此抛物线的顶点坐标(用含m 的代数式表示)，并证明：不论m 为何值，该抛物线的顶点都在同一条直线l 上．（3）直线l 截抛物线所得的线段长是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．练习10：如图，已知二次函数42++=bx ax y 的图象与x 轴交于A(−2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为D ，点P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PN ⊥x 轴于N ，交直线BC 于M ． （1）求二次函数表达式及顶点D 的坐标；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点H ，连接AP 交对称轴于E ，连接BP 并延长交对称轴于F ，试证明HE +HF 的值为定值，并求出这个定值．练习11：已知抛物线a ax ax y 322-+=（a 是常数）与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左边)，与y 轴交于点C.顶点D 不在第二象限，记△ABC 的面积为S 1，△ACD 的面积为S 2．（1）当S 1=3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断21S S 是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；。

中考压轴冲刺二 动态几何定值问题本类问题主要有三种：1、线段（和差）为定值问题；2、角度（和差）为定值问题；3、面积（和差）为定值问题。

解答本类问题的方法，1 、先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置；2、找出定值的表达式，然后写出证明.类型一 【线段及线段的和差为定值】例1、已知：△ABC 是等腰直角三角形，△BAC ＝90°，将△ABC 绕点C 顺时针方向旋转得到△A ′B ′C ，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A ′D △AC ，垂足为D ，A ′D 与B ′C 交于点E ．（1）如图1，当△CA ′D ＝15°时，作△A ′EC 的平分线EF 交BC 于点F ．△写出旋转角α的度数；△求证：EA ′+EC ＝EF ；（2）如图2，在（1）的条件下，设P 是直线A ′D 上的一个动点，连接P A ，PF ，若AB ，求线段P A +PF 的最小值．（结果保留根号）类型二 【线段的积或商为定值】例2、如图△，矩形ABCD 中，2,5,1AB BC BP ===，090MPN ∠=，将MPN ∠绕点P 从PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边AB （或AD ）于点E ，PN 交边AD （或CD ）于点F .当PN 旋转至PC 处时，MPN ∠的旋转随即停止.（1）特殊情形：如图△，发现当PM 过点A 时，PN 也恰好过点D ，此时ABP ∆是否与PCD ∆相似？并说明理由；（2）类比探究：如图△，在旋转过程中，PE PF的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；（3）拓展延伸：设AE t =时，EPF ∆的面积为S ，试用含t 的代数式表示S ；△在旋转过程中，若1t =时，求对应的EPF ∆的面积；△在旋转过程中，当EPF ∆的面积为4.2时，求对应的t 的值.类型三 【角及角的和差定值】例3、如图，在△ABC 中，△ABC ＞60°，△BAC ＜60°，以AB 为边作等边△ABD （点C 、D 在边AB 的同侧），连接CD ．（1）若△ABC =90°，△BAC =30°，求△BDC 的度数；（2）当△BAC =2△BDC 时，请判断△ABC 的形状并说明理由；（3）当△BCD 等于多少度时，△BAC =2△BDC 恒成立．类型四 【三角形的周长为定值】例4、如图，现有一张边长为的正方形ABCD ，点P 为正方形 AD 边上的一点（不与点 A 、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交DC 于H ，折痕为 EF ，连接 BP ，BH .（1）求证：EPB EBP ∠=∠；（2）求证：APB BPH ∠=∠；（3）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？不变化，求出周长，若变化，说明理由； （4）设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数关系式.类型五【三角形的面积及和差为定值】例5、综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和EFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形EFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是．（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形QMRN为菱形，请你证明这个结论．（3）雄鹰小组还发现在问题（2）中的四边形QMRN中△MQN与旋转角△AOE存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，并说明理由．实践探究：（4）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化．若矩形纸片的长为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角△AOE为多少度时，四边形QMRN的面积最大？最大面积是多少？（直接写出答案）练习：1．已知在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=10，△BAD=120°，E为线段BC上的一个动点（不与B，C重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，（1）如图1，当AE△BC时，求线段BE、CG的长度．（2）如图2，点E在线段BC上运动时，连接DE，DF，△BEF与△CEG的周长之和是否是一个定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．（3）如图2，设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式．2．如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF△BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．3．如图，四边形ABCD中，AD△BC，△ABC=90°．(1)直接填空：△BAD=______°.(2)点P在CD上，连结AP，AM平分△DAP，AN平分△P AB，AM、AN分别与射线BP交于点M、N．设△DAM=α°．△求△BAN 的度数(用含α的代数式表示)．△若AN △BM ，试探究△AMB 的度数是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请用α的代数式表示它．4．将在同一平面内如图放置的两块三角板绕公共顶点A 旋转，连接BC ，DE ．探究S △ABC 与S △ADC 的比是否为定值．（1）两块三角板是完全相同的等腰直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图△）（2）一块是等腰直角三角板，另一块是含有30°角的直角三角板时，S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，求出此定值，如果不是，说明理由．（图△）（3）两块三角板中，△BAE +△CAD ＝180°，AB ＝a ，AE ＝b ，AC ＝m ，AD ＝n （a ，b ，m ，n 为常数），S △ABC ：S △ADE 是否为定值？如果是，用含a ，b ，m ，n 的式子表示此定值（直接写出结论，不写推理过程），如果不是，说明理由．（图△）5．（解决问题）如图1，在中，，于点．点是边上任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．ABC ∆10AB AC ==CG AB ⊥G P BC P PE AB ⊥PF AC ⊥E F（1）若，，则的面积是______，______．（2）猜想线段，，的数量关系，并说明理由．（3）（变式探究）如图2，在中，若，点是内任意一点，且，，，垂足分别为点，点，点，求的值．（4）（拓展延伸）如图3，将长方形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任意一点，过点作，，垂足分别为点，点．若，，直接写出的值．6．如图，已知锐角△ABC 中，AB 、AC 边的中垂线交于点O3PE =5PF =ABP ∆CG =PE PF CG ABC ∆10AB AC BC ===P ABC ∆PE BC ⊥PF AC ⊥PG AB ⊥E F G PE PF PG ++ABCD EF D B C C 'P EF P PG BE ⊥PH BC ⊥G H 8AD =3CF =PG PH+（1）若△A=α（0°＜α＜90°），求△BOC；（2）试判断△ABO+△ACB是否为定值；若是，求出定值，若不是，请说明理由．7．△O的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦，CD在弧AB上滑动（点C和A、点D与B不重合），且CE△CD交AB于E，DF△CD交AB于F．（1）求证：AE＝BF（2）在动弦CD滑动过程中，四边形CDFE的面积是否为定值，若是定值，请给出证明，并求这个定值，若不是，请说明理由.8．在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，且OA=6，OB=8，点D是AB的中点．（1）直接写出点D的坐标及AB的长；（2）若直角△NDM绕点D旋转，射线DP分别交x轴、y轴于点P、N，射线DM交x轴于点M，连接MN．△当点P和点N分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴时，若△PDM△△MON，求点N的坐标；△在直角△NDM绕点D旋转的过程中，△DMN的大小是否会发生变化？请说明理由．9．如图，在菱形ABCD中，△ABC＝60°，AB＝2．过点A作对角线BD的平行线与边CD的延长线相交于点E．P为边BD上的一个动点（不与端点B，D重合），连接P A，PE，AC．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求四边形ABDE的周长和面积；（3）记△ABP的周长和面积分别为C1和S1，△PDE的周长和面积分别为C2和S2，在点P的运动过程中，试探究下列两个式子的值或范围：△C1+C2，△S1+S2，如果是定值的，请直接写出这个定值；如果不是定值的，请直接写出它的取值范围．10．如图，抛物线的顶点坐标为C（0，8），并且经过A（8，0），点P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作直线y=8的垂线，垂足为点F，点D，E的坐标分别为（0，6），（4，0），连接PD，PE，DE．（1）求抛物线的解析式；（2）猜想并探究：对于任意一点P，PD与PF的差是否为固定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由；（3）求：△当△PDE的周长最小时的点P坐标；△使△PDE的面积为整数的点P的个数．。

动点与定值问题初三一、动点与定值问题解析动点与定值问题是一种常见的数学问题，主要考察学生的空间思维能力和代数运算能力。

这类问题通常涉及到几何图形中的动点和定点，通过给定的条件和关系，求出动点的轨迹或定值。

解决动点与定值问题的关键在于理解问题的几何背景和代数关系。

首先，要明确动点和定点的位置关系，以及它们之间的距离、角度等关系。

其次，要运用代数方法，将几何关系转化为代数方程或不等式，通过求解方程或不等式得到答案。

二、例题讲解例题1：在直角坐标系中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(2,0)，点C的坐标为(4,3)。

若点P是x轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求点P的坐标。

分析：首先，我们可以通过平移的方式找到点P的位置。

由于点A和点B关于x轴对称，我们可以将点A关于x轴的对称点设为点P，这样△PAB的周长最小。

解：设点P的坐标为(x,0)。

由于点A和点B关于x轴对称，因此，我们有：AP = BP根据点到点的距离公式，我们可以得到：AP = √(x^2 + 1)BP = √((x-2)^2 + 1)因为AP=BP，所以：x^2 + 1 = (x-2)^2 + 1解这个方程，我们得到：x = 1所以，当△PAB的周长最小时，点P的坐标为(1,0)。

例题2：在矩形ABCD中，AB=2, BC=4, 点E是BC的中点。

将△ABE沿AE折起，使得AB=BE=2, 求二面角B-AE-D的平面角的余弦值。

分析：首先，我们需要找到二面角B-AE-D的平面角所在的三角形。

通过观察和计算，我们可以发现平面角所在的三角形是△BAE。

因此，我们需要求出△BAE 的三边长度，然后利用余弦定理求出余弦值。

解：由于AB=BE=2，AE=2√2（根据勾股定理）。

我们可以得到△BAE的三边长度分别为2、2√2、4。

根据余弦定理，我们可以得到：cos∠BAE = (AB^2 + AE^2 - BE^2) / (2 ×AB ×AE)= (4 + 8 - 4) / (2 ×2 ×2√2)= √2/2所以，二面角B-AE-D的平面角的余弦值为√2/2。

中考数学专题复习 定值问题1、如图,二次函数y=))(3(12m x m x m +-(其中m 是常数,且m>0)的图象与x 轴分别交于点A. B(点A 位于点B 的左侧),与y 轴交于C(0,−3),点D 在二次函数的图象上,CD ∥AB ，连接AD ，过点A 作射线AE 交二次函数的图象于点E ，AB 平分∠DAE.试说明AE AD 为定值2、如图,抛物线8812+-=x y 交坐标轴于C,D 两点，P 是抛物线上点A. C 间的一个动点(含端点),过点P 作PD ⊥OA 于点D,点E(8,2),F(0,6)，连接PE 、PF 、EF. 小明探究点P 的位置发现：当点P 与点A 或点C 重合时，PD 与PF 的和为定值，进而猜想：对于任意一点P ，PD 与PF 的和为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由。

3．若抛物线L:c bx ax y ++=2(a,b,c 是常数,a ≠0)与直线l:y=ax+b 满足22b a +=2a(2c −b)，则称此直线l 与该抛物线L 具有“支干”关系。

此时，直线l 叫做抛物线L 的“支线”，抛物线L 叫做直线l 的“干线”。

(1)若直线y=x −2与抛物线c bx ax y ++=2具有“支干”关系，求“干线”的解析式；(2)若抛物线c bx x y ++=2“支线”与x c y 4-=的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；(3)已知“干线”c bx ax y ++=2与它的“支线”交于点P,与它的“支线”的平行线l ′:y=ax+4a+b 交于点A,B,记△ABP 得面积为S,试问：aS 的值是否为定值?若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。

4.抛物线2232m mx x y --=(m>0)与x 轴交于A. B 两点，A 点在B 点左边，与y 轴交于C 点，顶点为M.(1)当m=1时，求点A. B. M 坐标；(2)如图(1)的条件下,若P 为抛物线上一个动点,以AP 为斜边的等腰直角的直角顶点Q 在对称轴上,(A 、P 、Q 按顺时针方向排列)，求P 点坐标。

平面几何的定值问题【阅读与思考】所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）.几何定值问题的基本特点是：题设条件中都包含着变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”，有的是明显的，有的是隐含的，在运动变化中始终没有发生变化的元素，也就是我们要探求的定值. 解答定值问题的一般步骤是： 1. 探求定值； 2. 给出证明.【例题与求解】【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧AD⌒上任意一点. 求证：PA PC PB为定值. 解题思路：线段的和差倍分考虑截长补短，利用圆的基本性质，证明三角形全等.P AB CD【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A . 到CD 的距离保持不变 B . 位置不变C . 等分DB⌒ D . 随C 点的移动而移动 （济南市中考试题）解题思路：添出圆中相关辅助线，运用圆的基本性质，用排除法得出结论.A【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足. 求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角.（加拿大数学奥林匹克试题）解题思路：不管ST 滑到什么位置，∠SOT 的度数是定值. 从探寻∠SPM 与∠SOT 的关系入手.B【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°. 点C 是AB⌒上异于A ，B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E . 连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形；（2）当点C 在AB ⌒上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：CD 2+3CH 2是定值. （广州市中考试题）解题思路：延长OG 交CD 于N ，利用题中的三等分点、平行四边形和三角形中位线的性质，实现把线段ON 转化成线段CH 的倍分关系，再以Rt △OND 为基础，通过勾股定理，使问题得以解决.BOACE HGD 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点. 若点A 的坐标为（-2，0），AE =8. （1）求点C 的坐标；（2）连接MG ，BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P . 动点F 在⊙M 的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. （深圳市中考试题）解题思路：对于（3）从动点F 达到的特殊位置时入手探求定值.【例6】 如图，已知等边△ABC 内接于半径为1的圆O ，P 是⊙O 上的任意一点. 求证：P A 2+PB 2+PC 2为定值.解题思路：当点P 与C 点重合时，P A 2+PB 2+PC 2=2BC 2为定值，就一般情形证明.A【能力训练】A 级1. 如图，点A ，B 是双曲线xy 3=上的两点，分别经过A ，B 两点向x 轴，y 轴作垂线段. 若S 阴影=1，则=+21S S _______.（牡丹江市中考试题）AABCDEF（第3题图） （第4题图）2. 从等边三角形内一点向三边作垂线段，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是__________.（全国初中数学联赛试题）3. 如图，OA ，OB 是⊙O 任意两条半径，过B 作BE ⊥OA 于E ，又作OP ⊥AB 于P ，则定值OP 2+EP 2为_________.4. 如图，在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，F 是DC 的中点，AF 的延长线交BC 的延长线于点E ，则直线BF 与直线DE 所夹的锐角的度数为（ ）A . 30°B . 40°C . 50°D . 60°（武汉市竞赛试题）5. 如图，在⊙O 中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作A A '⊥AB ，AB B B ⊥'，且A A '=AP ，B B '=BP . 连接B A ''，当点P 从点A 移动到点B 时，B A ''的中点的位置（ ）A ．在平分AB 的某直线上移动 B . 在垂直AB 的某直线上移动C . 在弧AMB 上移动D . 保持固定不移动AB'B（第5题图） （第6题图）6. 如图，A ，B 是函数xky图象上的两点，点C ，D ，E ，F 分别在坐标轴上，且分别与点A ，B ，O 构成正方形和长方形. 若正方形OCAD 的面积为6，则长方形OEBF 的面积是（ ） A . 3 B . 6 C . 9 D . 12（海南省竞赛试题））7. （1）经过⊙O 内或⊙O 外一点P 作两条直线交⊙O 于A ，B 和C ，D 四点，得到如图①~⑥所表示的六种不同情况. 在六种不同情况下，P A ，PB ，PC ，PD 四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来. 请你首先写出这个式子，然后只就如图②所示的圆内两条弦相交的一般情况给出它的证明.⑥⑤④③②①)P (B )PB（2）已知⊙O 的半径为一定值r ，若点P 是不在⊙O 上的一个定点，请你过点P 任作一直线交⊙O 于不重合的两点E ，F . PE ·PF 的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来.（济南市中考试题）8. 在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点O 在原点，现将正方形OABC 绕O 点顺时针旋转，当A 点第一次落在直线x y =上时停止旋转. 旋转过程中，AB 边交直线x y =于点M ，BC 边交x 轴于点N .（1）求OA 在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN 与AC 平行时，求正方形OABC 旋转度数；（3）设△MBN 的周长为P ，在正方形OABC 旋转的过程中，P 值是否有变化？请证明你的结论.（济宁市中考试题）9. 如图，AB 是半圆的直径，AC ⊥AB ，AC =AB . 在半圆上任取一点D ，作DE ⊥CD ，交直线AB 于点E ，BF ⊥AB ，交线段AD 的延长线于点F .（1）设弧AD 是x °的弧，若要点E 在线段BA 的延长线上，则x 的取值范围是_______.（2）不论点D 取在半圆的什么位置，图中除AB ＝AC 外，还有两条线段一定相等. 指出这两条相等的线段，并予证明.（江苏省竞赛试题）（第9题图） （第10题图） （第11题图）10. 如图，内接于⊙O 的四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于点K ，设⊙O的半径为R . 求证：（1）2222DK CK BK AK +++是定值；（2）2222DA CD BC AB +++是定值.PD CB A A11. 如图，设P 是正方形ABCD 外接圆劣弧弧AB 上的一点，求证：DPCP BPAP ++的值为定值.（克罗地亚数学奥林匹克试题）B 级1.等腰△ABC 的底边BC 为定长2，H 为△ABC 的垂心. 当顶点A 在保持△ABC 为等腰三角形的情况下 改变位置时，面积S △ABC ·S △HBC 的值保持不变，则S △ABC ·S △HBC =________.2. 已知A ，B ，C ，D ，E 是反比例函数xy 16=（x ＞0）图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是__________（用含π的代数式表示）.（福州市中考试题） 折叠，使点A ，B 落在六边形ABCDEF 的内部，记∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝α，则下列结论一定正确的是（ ）A . ∠1＋∠2＝900°－2αB . ∠1＋∠2＝1080°－2αC . ∠1＋∠2＝720°－αD . ∠1＋∠2＝360°－21α （武汉市竞赛试题）（第3题图） （第4题图）4. 如图，正△ABO 的高等于⊙O 的半径，⊙O 在AB 上滚动，切点为T ，⊙O 交AO ，BO 于M ，N ，则12GF ED CHBAA . 在0°到30°变化B . 在30°到60°变化C . 保持30°不变D . 保持60°不变5. 如图，AB 是⊙O 的直径，且AB =10，弦MN 的长为8. 若MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A ，B 到MN 的距离分别为h 1，h 2，则∣h 1-h 2∣等于（ ）A . 5B . 6C . 7D . 8（黄石市中考试题）（第5题图）6. 如图，已知△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（m ＞0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B ，D . （1）求点A 的坐标（用m 表示） （2）求抛物线的解析式；（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F . 试证明：FC （AC +EC ）为定值.（株洲市中考试题）7. 如图，已知等边△ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A ，B 的点M . 设直线AC 与BM 相交于K ，直线CB 与AM 相交于点N . 证明线段AK 和BN 的乘积与M 点的选择无关.（湖北省选拔赛试题）（第7题图） （第8题图）B NKMB AC HCBA距离变小，这时乘积S △ABC ·S △HBC 的值变小、变大，还是不变？证明你的结论.（全国初中数学联赛试题）9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线10941812--=x x y 与x 轴的交点为点A ，与y 轴的交点为点B . 过点B 作x 轴的平行线BC ，交抛物线于点C ，连接AC . 现有两动点P ，Q 分别从O ，C 两点同时出发，点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动，点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动. 点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动. 线段OC ，PQ 相交于点D ，过点D 作DE ∥OA ，交CA 于E ，射线QE 交x 轴于点F . 设动点P ，Q 移动的时间为t （单位：秒）. （1）求A ，B ，C 三点的坐标和抛物线的顶点坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCA 为平行四边形？请写出计算过程； （3）当290<<t 时，△PQF 的面积是否总是定值？若是，求出此值；若不是，请说明理由； （4）当t 为何值时，△PQF 为等腰三角形，请写出解答过程. （黄冈市中考试题）（第9题图） （第10题图）10. 已知抛物线C 1：12121+-=x x y ，点F （1,1）. （1）求抛物线C 1的顶点坐标；（2）若抛物线C 1与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线C 1于点B ，求证：211=+BFAF . （3）抛物线C 1上任意一点P （x P ，y P ）（0＜x P ＜1），连接PF ，并延长交抛物线C 1于点 Q （x Q ，y Q ），试判断211=+QFPF 是否成立？请说明理由.11. 已知A ，B 是平面上的两个顶点，C 是位于AB 一侧的一个动点，分别以AC ，BC 为边在△ABC 外作正方形ACDE 和正方形BCFG . 求证：不论C 在直线AB 同一侧的任何位置，EG 的中点P 的位置不变.（四川省竞赛试题）平面几何的定值问题例 1 延长PC 至E ，使CE ＝AP ，连结BE ，则△BCE ≌△BAP ，及△PBE 为等腰直角三角形，故2PA PC CE PC PEPB PB PB++=== 例2 B 提示：连结AC ，BC ，可以证明P 为APB 的中点． 例3 ∵SP ⊥OP ，OM ⊥ST ，∴S ，M ，O ，P 四点共圆，于是∠SPM ＝∠SOM ＝12∠SOT 为定角． 例4 (1)连结OC 交DE 于M ，则OM ＝CM ， EM ＝DM ，而DG ＝ HE ，则HM ＝GM 故四边形OGCH 是平行四边形． (2)DG 不变．DE ＝OC ＝OA ＝3 . DG ＝13DE ＝13×3＝1． (3)设CD ＝x ，延长OG 交CD 于N ，则CN＝DN ＝12 x ，229CE x =- ， 2214DN x = . ∴22394ON x =-，而ON ＝32CH ，∴22143CH x =-．故CD 2＋3CH 2＝x 2＋3(4－13x 2)＝x 2＋12－x 2为定值． 例5 ⑴C (0，4) ⑵先求得AM＝CM ＝5，连接MC 交AE 于N ，由△AO G ∽△ANM ，得OG AO MN AN =，O G ＝32，38OG OM OC OB ==，又∠BOC ＝∠G OM ，∴△G OM ∽△COB ，∠G MO ＝∠CBO ，得M G ∥BC ．⑶连结DM ，则DM ⊥PD ，DO ⊥PM ，DO 2＝OM •OP ，OP＝163．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，从特殊位置探求OF PF的值．当F 与点A 重合时，2316523OF AO PF AP ===-；当点F 与点B 重合时，8316583OF OB PF PB ===+；当点F 不与点A ，B 重合时，连接OF 、PF 、MF ，∴DM 2＝MO •MP ，∴FM 2＝MO •MP ，即FM MPOM FM=，又∠OMP ＝∠FMP ，∴△MFO ∽△MPF ，35OF MO PF MF ==，故OF PF 的比值不变，比值为35． 例6 ∠BPC ＝120°，在△BPC 中，由余弦定理得BC 2＝PB 2＋PC 2－2PB •PC ＝BC 2，又由上托勒密定理得BC •PA ＋PC •AB ，而AB ＝BC ＝AC ，∴PA ＝PB ＋PC ，从而PA 2＋PB 2＋PC 2＝(PB ＋PC )2＋PB 2＋PC 2＝2 (PB 2＋PC 2＋PB •PC )＝2BC 2＝2×23＝6．故PA 2＋PB 2＋PC 2为定值．A 级 1．4 提示：∵S 1＋S 阴＝ S 2＋S 阴＝xy ＝3，∴S 1＋S 2＝2xy －2S 阴＝6－2＝4．2．273提示：1＋3＋5＝9是等边三角形的高． 3．r 2 提示：先考查OB 与OA 垂直的情形．4．D 提示：延长BF 交DE 于点M ，连接BD ，则△BCD 为等边三角形，BF 平分∠CBD ．∵F 为CD 中点，且AD ∥CE ，∴△ADF 与△ECF 关于点F 中心对称．∴CE ＝AD ＝CD ，∴∠CEM=30°，∠DMF=60°，5．D 提示：A ′B′的中点均在⊙O 的上半圆的中点处． 6．B 提示：S 正方形OCAD ＝OD •OC ＝A A x y k =＝6，∴S OEBF ＝OE •OF ＝xB •y B k =＝6． 7．⑴略⑵当点P 在⊙O 内时，过P 作直径CD ，则PE •PF ＝PD •PC ＝r 2－OP 2为定值；当点P 在⊙O 外时，PE •PF 为定值22OP r -．结论：过不在圆上的一个定点任作一条直线与圆相交，则这点到直线与圆相交点的两条线段长的积为定值． 8．⑴2π⑵22. 5° ⑶P 值无变化．理由如下：如图，延长BA 交y 轴于E 点，可证明△OAE ≌△OCN ，得OE ＝ON ，AE ＝CN ，又∠MOE ＝∠MON ＝45°，OM ＝ON ，∴△OME ≌△OMN ，得MN ＝ME ＝AM ＋AE ＝AM ＋CN ．∴P ＝MN ＋BN ＋BM ＝AM ＋CM ＋CN ＋BN ＋BM ＝AB ＋AC ＝4．9．⑴0＜x ＜90 ⑵BE ＝BF 提示：连接BD ，可证明△BDF ∽△ADB ，△BDE ∽△ADC ． 10．⑴作OP ⊥BD 于P ，OQ ⊥AC 于Q ，连接AO ，则AO 2＝()()221122BK DK CK AK ⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，又AK •CK ＝BK •DK ，得AK 2＋BK 2＋CK 2＋DK 2＝4R 2为定值． ⑵作直径DE ，连接AE ，BE ，CE ，AB 2＋CD 2＝4R 2，AD 2＋BC 2＝4R 2，故AB 2＋BC 2＋CD 2＋DA 2＝8K 2为定值． 11．设正方形的边长为a ，根据托勒密定理，对于四边形APBC 和四边形APBD ，有CP •a ＝AP •a ＋BP 2a ，DP •a ＝BP •a ＋AP 2a ，两式相加并整理得(CP ＋DP )a ＝(AP ＋BP )(a 2a )，从而21AP BPCP DP++为定值．B 级1．1 提示：不妨设∠A 为锐角，AD ，BE ，CF 为△ABC 的三条高，H 为垂心，由AB ＝AC 知∠HBD ＝∠HCD ＝∠HAE ，∠HDC ＝∠CDA ＝90°，故R t △CHD ∽R t △ACD ．∴AD DC DC HD =，即AD •HD ＝DC 2＝14BC 2＝1．∴S △ABC •S △HBC ＝2111224BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1．当∠A ≥90°时，结论成立．2．13π－26 提示：∵A ，B ，C ，DE 是反比例函数y ＝16x(x ＞0)图象上五个整数点，由图象可知，这些点的横坐标分别为1，2，4，8，16．∴五个正方形的边长分别为1，3，4，2，1．∴这五人橄榄形的面积总和是2221111112211122222444424242πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝5π－10＋8π－16＝13π－26． 3．B 提示：如图，设FA 的延长线与CB 的延长线交于点P ，G A ′的延长线与HB ′的延长线交于点P ′．由对称性可知∠1＝2∠APP ′，∠2＝2∠BPP ′．∴∠1＋∠2＝2∠APB ．∵∠APB ＝540°－α，∴∠1＋∠2＝1080°－2α． 4．D 5．B 提示：如图，设AB 与MN 交于点C ，过点O 作OD ⊥MN 于D ，连接FO 并延长交EB 于G ．由垂径定理，得OD 2254-＝3．由△AFO ≌△B G O ，得AF ＝B G ，即h 1＝B G ．由AF ⊥MN ，BE ⊥MN ，得△FOD ∽△F G E ．∴12OD FO GE FG ==．∴E G ＝2OD＝6，∴12h h AF BE -=-＝E G ＝6． 6．⑴A (3－m ，0) ⑵y ＝x 2－2x ＋1⑶过点Q 作QM ⊥AC 于M ，过点Q 作QN ⊥BC 于N ，设Q 点的坐标为(x ，x 2－2x ＋1)，则QM ＝CN ＝(x －1)2，MC ＝QN＝3－x ．∵QM ∥CE ，∴PQM ∽△PEC ．∴QM PM EC PC =，即()2112x x EC --=，得EC ＝2(x －1)．∵QN ∥CF ，∴△BQN ∽△BFC ．∴QN BN FC BC =，即()24134x x FC ---=，得FC ＝41x +．又AC ＝4，∴FC (AC ＋EC )＝ ()44211x x +-⎡⎤⎣⎦+＝8为定值． 7．提示：易证△ABK ∽△BNA ，故AK •BN ＝AB 2为定值，即AK 与BN 的乘积与M 点的选择无关． 8．提示：S △ABC •S △HBC ＝116BC 4，由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积S △ABC •S △HBC 保持不变． 9．⑴A (18，0)，B (0，－10)，顶点坐标为(4，－989) ⑵若四边形PQCA 为平行四边形，由于QC ∥PA ，故只要QC ＝PA 即可，而PA ＝18－4t ，CQ ＝t ，故18－4t ＝t ，得t ＝185． ⑶设点P 运动t s ，则OP ＝4t ，CQ ＝t ，0＜t ＜4. 5．说明P 在线段OA 上，且不与点O ，A 重合．由于QC ∥OP 知△QDC ∽△PDO ，故144QD QC t DP OP t ===．同理QC ∥AF ，故14QC CE AF EA ==，即14t AF =，∴AF ＝4t ＝OP ．∴PF ＝PA ＋AF ＝PA ＋OP ＝18．又点Q 到直线PF 的距离d ＝10，∴S △PQF ＝12•PF •d ＝12×18×10＝90．于是S △PQF 的面积总为定值90． ⑷由前面知道，P (4t ，0)，F (18＋4t ，0)，Q (8－t ，－10)，0≤t ≤4. 5．构造直角三角形后易得PQ 2＝(4t －8＋t )2＋102＝，FQ 2＝(18＋4t －8＋t )2＋102＝(5t ＋10)2＋100．①若FP ＝FQ ，即182＝(5t ＋10)2＋100，故25(t ＋2)2＝224，(t ＋2)2＝24425．∵2≤t ＋2≤6. 5，∴t ＋224441425=．∴t ＝ 4142． ②若QP ＝QF ，即(5t －8)2＋100＝(5t ＋10)2＋100，即(5t －8)2＝(5t ＋10)2，无0≤t ≤4. 5的t 满足． ③若PQ ＝PF ，即(5t －8)2＋100＝182，∴(5t －8)2＝22422415，又0≤5t ≤22. 5，∴－8≤5t －8≤14. 5，14. 52＝22984124⎛⎫= ⎪⎝⎭＜224．故没有t (0≤t ≤4. 5)满足此方程．综上所述，当t ＝4142时，△PQ R 为等腰三角形． 10．⑴C 1的顶点坐标为(1，12). ⑵略 ⑶作PM ⊥AB 于M ，作QN ⊥AB 交AB 延长线于N ，∴PM ＝1－y P ，FM ＝1－x P ．在R t △PMF 中，PF 2＝(1－y P )2＋(1－x P )2＝1－2y P ＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2，又∵点P 在抛物线上，∴y P ＝12x P 2－x P ＋1，∴PF 2＝1－x P 2＋2x P －2＋y P 2＋1－2x P ＋x P 2＝y P 2，∴PF ＝y P ，同理，QF ＝y Q ，易证△PMF ∽△QNF ，则PM QN PF QF =，∴11Q P y y PF QF --=，即11PF QF PF QF --=，∴11PF QF+＝2． 11．先从特殊情况出发．当△ABC 是等腰直角三角形时，点P 与点C 重合，此时点P 的位置在AB 的中垂线上，且到AB 的距离为12AB ，如图①所示．下面就一般情况来证明上面的结论(结论②所示)．过C ，E ，G 分别作直线AB的垂线CH，EM，G N，垂足分别是H，M，N．容易证明△AEM≌△ACH，△B G N≌△BCH．从而有AM＝CH＝BN，EM＝AH，G N＝BH．这样，线段AB的中点O也是线段MN的中点，连接OP，则OP是梯形EMN G的中位线，从而OP⊥AB，OP＝12(EM＋G N)＝12(AH＋BH)＝12AB．∴无论点C在AB同一侧的位置如何，E G中点P的位置不变．。

九年级数学平面几何中的定值问题例题讲解知识点，重点，难点所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的某种几何量却始终保持不变（或几何元素间的某种几何性质或位置关系不变）。

平面几何定值一般可分为两类：一类是定量问题（如定长度、定角、定比、平方和或倒数和为定值等）；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等），它们有共同的基本特点，即给定条件中一般由固定条件和变动条件两部分组成。

一般来说，求解定值问题的方法有：图形分析法。

画出符合条件的图形后，分析图中几何元素的数量关系及位置关系，直接寻求出定值并证明。

特殊位置法。

不论图形如何变动，定值这一共性始终不变，因此可选择图形的特殊位置（如极限位置、临界位置）加以探求。

参数计算法。

图形运动中，选取其中的变量（如线段长、角度、面积等）作为参数，将要求的定值用参数表出，然后消去参数即得定值。

例题精讲例1：如图，已知⊙O 及弦AB ，P 为⊙O 上任一点，PA 、PB 分别交AB 中垂线于E 、F ，求证：OE ·OF 为定值。

分析 若在⊙O 上的点P 运动到特殊位置点Q ，则点E ，点F 都和Q 点重合，于是得到OE ·OF =OQ 2，由此可推想，该定值可能为⊙O 半径的平方。

证明 因为OE 是弦AB 的中垂线，所以 AQ BQ=，所以∠AOE=∠BOE ， 所以 1.2mAOE AB ∠=又因为 1,2m PAB BP ∠= 1,2m PBA AP ∠=∠EPB =∠PAB ＋∠ABP ，所以∠AOE = ∠EPB ，所以A 、O 、F 、P 四点共圆，所以∠OFB =∠OAE .又因为∠FOB =∠AOE ，所以△FOB ∽△OAE ，所以,OF OB OA OE =即OE ·OF ＝OA ·OB .因为OA =OB ，所以OE ·OF =OA 2（定值）。

专题二十四 几何定值问题知识聚焦所谓定值问题，是指按照一定条件构成的几何图形，当某些几何元素按一定的规律在确定的范围内变化时，与它有关的元素的量保持不变（或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变）．几何定值问题的基本特点：题设条件中都包含变动元素和固定元素，变动元素是指可变化运动的元素，固定元素也就是“不变量”．固定元素有的是明显的，有的是隐含的，那些隐含在运动变化中，且始终没有发生变化的元素，也就是我们要探究的定值，解答定值问题的一般步骤： 1．探求定值； 2．给出证明． 例题导航【例1】如图，⊙O 的直径,15cm AB =有一条定长为cm 9的动弦CD 在上滑动（点C 与点A 、点D 与点B 不重合），且CD CE ⊥交AB 于点CD DF E ⊥,交AB 于点F ．(1)求证：;BF AE =(2)在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDFE 的面积是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由．点拨：(1)要证,BF AE =就要从点0向CD 作垂线，然后利用垂径定理和平行线的性质可知)2(;BF AE =要求四边形CDFE 的面积就要分析这个四边形是什么形状，从图中可以看出是梯形，那就要利用梯形的计算公式计算，即（上底十下底）×高÷2，从图中给出的数量关系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面积是定值．解答：(1)过点0作CD OG ⊥于点G.根据垂径定理可知=∴=OE DF GO CE DG CG ,////.Θ.,.BF AE OB OA OF =∴=Θ(2)四边形CDFE 的面积是定值．理由：连接OD ，则cnL CD DG 5.421==在△CGD 中，=∠OGD ,90ο根据勾股定理，得).(65.45.722cm OG =-=DG OD 、Θ是定值，OG ∴是定值．////GO CE ΘDF ，G 为CD 的中点，O ∴为EF 的中点．OG ∴为梯形CDFE 的中位线．=⨯==+∴622GO DF CE Θ).(12cm 梯形的高为,9cm 也是定值，∴梯形的面积是定值，且为).(5429122cm =÷⨯点评：本题综合考查了垂径定理、平行线的性质及勾股定理和梯形的面积公式等知识点，【例2】 如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是四边形ABCD 的两条对角线，H G F E 、、、分别是四边形ABCD 的四边上的动点，但E 、F 、G 、H 不与A 、B 、C 、 D 重合，且.////,////HE AC GF HG BD EF(1)若对角线a BD AC ==（定值），求证：四边形EFGH 的周长是定值； (2)若,,n BD m AC ==且n m 、为定值，但=/m ,n 则四边形EFGH 的周长是定值吗？请指出，并说明理由．点拨：(1)首先通过////,////AC GF HG BD EF HE 可以证明四边形EFGH 为平行四边形，设=HG ,,,,q BH P AH y GF x ===然后利用平行线分线段成比例可以得到,,ACHEAB BH BD HG AB AH ==即=+q P P ,,a y q P q a x =+然后即可求出,y x +也就求出了四边形EFGH 的周长，最后就证明了四边形EFGH 的周长是定值；(2)利用(1)中的结论，根据,m AC =,n BD =求出,y x +然后利用图形的性质讨论即可得到结论，解答：(1),////,////HE AC GF HG BD EF ⋅Θ∴四边形EFGH 是平行四边形．设==GF x HG ,=∴=⋅==AB AH a BD BD H G q BH P AH y ,,//,,&Θ,BD HG即=∴=⋅=+AB BH a AC AC HE a x q P P ,,//Θ,AC HE即.)(a qP q P a y x a y q P q =++=+∴⋅=+ 故四边形EFGH 的周长.2)(2a y x =+= (2)四边形E'FGH 的周长不是定值．理由：,,n BD m AC ==Θ由(1)可知=+=nx q P q m y ,n m qPn qpm q P Pn qm y x q P P 、Θ⋅+⋅+=++=+∴+1,为定值，H 是AB上的动点，q p 是变量，而y x +随qp的变化而变化，y x +∴不能确定，即四边形EFGH 的周长不是定值．点评：此题比较复杂，要分类讨论，主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致答案错误．【例3】(1)如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，OE OD CA BC AB 、,==为⊙O 的半径，BC OD ⊥于点F ，AC OE ⊥于点G ，求证：阴影部分四边形OF CG 的面积是△ABC 面积的;31(2)如图②，若DOE ∠保持ο120角度不变，求证：当DOE ∠绕着点0旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形（阴影部分）面积始终是△ABC 面积的⋅31点拨：(1)本题要依靠辅助线的帮助,连接OA 、OC ，证明OGA Rt OGC Rt OFC Rt ∆≅∆≅∆求得,31ABC OAC s S ∆∆=易证;31ABC OFCG s S ∆=四边形(2)本题有多种解法．连接OA 、OB 和OC ，证明,BOA COB AOC ∆≅∆≅∆找出AOC ∠以及DOE ∠之间的关系即可，解答：(1)如图③，连接,.、BC OD OC OA ⊥Θ=∠==∴⊥OFC AC CG BC CF AC OE ,21,21,.,.90CG CF AC BC OGC o =∴==∠Θ在Rt△OFC和Rt△CGC中，≅∆∴⎩⎨⎧==OFC Rt OC OC CG OF ,,Rt△CGC.同理可得.OGA Rt OGC Rt ∆≅∆ =∆≅∆≅∆∴OFCG S OGA Rt OGC Rt OFC Rt 四边形,=∴==∆∆OFCG OAC OFC S S S S S 四边形易证,31.2△ABC △OAC △ABC 31S(2)证法一：如图④，连接OA 、OB 、OC ，则由已知条件易证得=∠∆≅∆≅∆1,BOA COB AOC .2∠设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G ，=∠+∠=∠=∠+∠=∠45,12043DOE AOC ο.53,120∠=∠∴ο在△OAG 和△OCF 中，,OGC OCF OGC OAG S S S s ∆∆∆∆+=+∴即=OFCG S 四边形⋅=∆∆ABC CAC S S 31证法二：设OD 交BC 于点F ，OE 交AC 于点G.如图⑤，作,,AC OK BC OH ⊥⊥垂足分别为H 、K.在四边形HOKC 中，,90o OKC OHC =∠=∠,120,60o o HOK C =∠∴=∠即.12021o =∠+∠又=∠=∠∴=∠+∠=∠AC GOF o ΘΘ.31,12032∴∆≅∆∴=∴..,OFH OGK OK OH BC 易得⋅==∆ABC OHCK OFCF s S S 31四边形四边形点评：本题涉及三角形的外接圆知识及全等三角形的判定，难度较大． 【例4】如图①，直线221+-=x y 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，C 为直线AB 上第二象限内一点，且,8=∆AOC S 双曲线xky =经过点C ． (1)求k 的值以及双曲线的解析式；(2)如图②，过点C 作y CM ⊥轴于点M ，反向延长CM 至点H ，使,CH CM =过点H 作x HN ⊥轴于点N ，交双曲线xky =于点D ，求四边形OCHD 的面积； (3)如图③，点G 和点A 关于y 轴对称，P 为第二象限内双曲线上的一个动点，过点P 作x PQ ⊥轴于点Q ，交线段BG 于点E ，交射线BC 于点F ，试判断线段QF QE +是否为定值．若为定值，证明并求出定值；若不是定值，请说明理由．点拨：(1)由直线的解析式求出点A 的坐标，即求出OA 的值，作x CR ⊥轴于点R,由△AOC 的面积求出CR 的值，进而求出点C 的纵坐标，代入直线解析式求出点C 的横坐标，就可以求出是的值，从而求出双曲线的解析式；(2)由点C 的坐标可以求出CM 、CH 的值和OM 的值，就可以求出MCO S ∆,DNO HCO S S ∆∆== 再求出矩形的面积，进而可以求出四边形OCHD 的面积；(3)由条件求出点G 的坐标和点B 的坐标，从而求出直线GB 的解析式，设出点P 的坐标，表示出QE 、QF 的值就可以得出QF QE +的值的情况，从而得出结论．解答：(1)Θ直线221+-=x y 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴当0=x 时，;2=y 当0=y 时，.4=x .4).2,0(),0,4(=∴∴OA B A 过点C 作x CR ⊥轴于点R ，且.4.8421,8=∴=⨯∴=∆CR CR S AOC =∴-∴-=∴+-=∴4).4,4(.4.2214C x x ∴-=∴⋅-.164k k双曲线的解析式为⋅-=xy 16y CM C ⊥-),4,4()2(Θ轴，==∴CH CM =⨯⨯===∴=∆∆∆4421.4,4DNO HCO MCO S S S OM .16.32.16.8=∴=∴=∴∆OCHD HNOM HN S S S 四边形矩形(3) QE+QF 是定值．Θ点G 和点A 关于y 轴对称，).0,4(-∴G 设直线GB 的解析式为+=kx y ,b 则有⎩⎨⎧==+-,2,04b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=+==∴,2.22121,b x y k 设),,(b a P 则有,221,221+-=+=a QF a QE QF QE QF QE +∴=+∴.4是定值． 点评：本题是一道反比例函数的综合试题，考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、直线的解析式，三角形的面积及矩形的面积，直线的解析式的运用及线段和的定值问题等多个知识点．【例5】 如图①，四边形OABC 是矩形，点A 、 C 的坐标分别为(3，0)、(0，1)，点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线=y b x +-21交折线OAB 于点E. (1)记△ODE 的面积为S ，求S 与b 的函数解析式；(2)当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形,1111C B A O 则四边形1111C B A O 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．点拨：(1)要表示出△ODE 的面积，要分两种情况讨论，①如果点E 在OA 边上，那么只要求出这个三角形的底边OE 的长（点E 横坐标）和高（点 D 纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E 在AB 边上，那么这时△ODE 的面积可用长方形 OABC 的面积减去△OCD、△OAE、△BDE 的面积；(2)重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形其中一边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA 边上的线段长度是否变化．解答：(1)Θ四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(3，0)、(0，1)，).1,3(B ∴当直线经过点A(3，0)时，;23=b 当直线经过点)1,3(B 时，当直线经过点=b;25时，)1,0(C 若直线与折①.1=b 线OAB 的交点在OA 上，则如图②，此,231≤<b 时②若直线与折线OAB 的交点在BA 上，则;122121).0,2(b b CO OE S b E =⨯⨯=⋅=∴如图③，此时<<b 23,25 (2)不变．如图④，设=∴--s b D b E ),1,22(),23,3(--=++-∆∆∆b S s s S DBE OAE OCD OABC 2(21[3)(矩形bb b b 25)]25)(25(21)23(3211)2=--+-⨯+⨯⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅<<-≤<=∴-)2523(25),231(.22b b b b b s b与CB 相交于点M ，11A O 与OA 相交于点N ，则矩形11B C 与矩形1111C B A O OABC 的重叠部分的面积即为四边形DNEM 的面积．由题意知，四边形∴,//,//ME DN NE DM DNEM 为平行四边形，根据轴对称知，又=∠MED .NED ∠ 为菱形，过点=∠∴∠=∠MED NED MDE ,ΘD 作垂足为H.设菱形DNEM的边长,OA DH ⊥为由题意知，,a 则在,1),0,2(),1,22(=∴-DH b E b D ,2,2)22(2a NE HE HN b b HE -=-=∴=--=中，由勾股定理知DHN Rt ∆当+-=22)2(a a ∴⋅=⋅=∴⋅=∴4545,12DH NE S a DNEM 四边形点E 在线段OA 上时，四边形与矩形1111C B A O OABC 的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为⋅45. 点评：本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养同学们的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度． 培优训练能力达标1．如图，在矩形ABCD 中，P 、R 分别是BC 和DC 上的点，E 、F 分别是AP 和RP 的中点，当点P 在BC 上从点B 向点C 移动，而点R 不动时，下列结论正确的是 ( )A.线段EF 的长逐渐增大 B ．线段EF 的长逐渐减小 C ．线段EF 的长始终不变 D ．线段EF 的长与点P 的位置有关2．如图，的半径等于等边三角形ABC 的高，该⊙O 圆沿底边AB 滚动，切点为与AC 、BC 分,T ⊙O 别交于点M 、N.对于所有的圆的位置而言，的度数是( )A ．从到ο30变动ο60B ．从ο60到ο90变动C ．保持.30ο不变D ．保持o 60不变3．如图，在00中，P 是直径AB 上一动点，在AB 同侧作,,AB B B AB A A ⊥'⊥' 且,AP A A =',BP B B ='连接.B A ''当点P 从点A 移到点B 时，B A ''的中点的位置 ( )A.在平分AB 的某直线上移动 B ．在垂直AB 的某直线上移动 C ．在上移动D ．保持不变4．如图，△ABD 内接于⊙AB O ,为直径，弦⊥CE AB 于点F ，C 是的中点，连接BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE 、BC 于点P 、Q ．下列结论：;①DBC ABC ∠=∠;②PE PD =③ P 是△A CQ 的外心；ACABBG -④是定值．其中，正确的是( ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．①②③④5．如图，OA 、OB 是00的任意两条半径，过点B 作OA BE ⊥于点E ，过点0作AB OP ⊥于点P ，则定值=+22EP OP .6．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点0，0是正方形O C B A '''的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2，那么正方形O C B A '''绕点0无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值，请你写出这个定值，并证明你的结论．7．如图，等边三角形ABC 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC 与BM 相交于点K ，直线CB 与AM 相交于点N.求证：线段AK 和BN 的乘积与点M 的选择无关．8．如图，扇形OAB 的半径,3=OA 圆心角=∠AOB C o ,90是上异于A 、B 的动点，过点C 作⊥DC OA 于点D ，作OB CE ⊥于点E ，连接DE ，点G 、H 在线段DE 上，且.HE GH DG ==(1)求证：四边形OGCH 是平行四边形；(2)当点C 在上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；(3)求证：223CH CD +是定值.拓展提升9．如图，AB 为半圆0的直径，AB OC ⊥交⊙O 于点C ，P 为BC 延长线上一动点，D 为AP 的中点，,PA DE ⊥交半径OC 于点E ，连接CD 、P-.下列结论：=∠=⊥OEA DE DC AE PE ③②①;;CE PC APB 2④;+∠为定值．其中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C.3D ．410.如图，在边长一定的正方形ABCD 中，Q 为CD 上的一个动点，AQ 交BD 于点M ，过点M 作AQ MN ⊥交BC 于点N ，过点P 作BD NP ⊥于点P ，连接NQ.下列结论：==MP MN AM ②①;BMBN AB NQ DQ BN BD +=+⋅④;③;21为定值，其中，一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④11．（2013．南宁）如图，抛物线)0(2=/+=a c ax y 经过C(2，0)、D(O ，-1)两点，并与直线kx y =交于A 、B 两点，直线Z 过点E(O ，-2)且平行于x 轴，过A 、B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为M 、N.(1)求此抛物线的解析式；(2)求证：;AM AO =(3)探究：①当0=k 时，直线kx y =与x 轴重合，求出此时BN AM 11+的值； ②试说明无论k 取何值，BNAM 11+的值都等于同一个常数．12．(2012．德州)如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．(1)求证：;BPH APB ∠=∠(2)当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3)设AP 为x ，四边形EFGP 的面积为S ，求出S 与x 的函数解析式，S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．13．如图，⊙0的半径为1，点P 是⊙0上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是上任一点（与点A 、B 不重合），AB DE ⊥于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作OD ，分别过点A 、B 作OD 的切线，两条切线相交于点C ．(1)求弦AB 的长；(2)判断ACB ∠是否为定值？若是，求出ACB ∠；若不是，请说明理由；(3)记△ABC 的面积为S ，若,342=DE S 求△ABC 的周长．魔法赛场【例】 如图①，在平面直角坐标系中，△ABC 的边AB 在x 轴上，且,OB OA > 以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(0，2)，B A AB 、,5=两点的横坐标B A x x 、是关于x 的方程++-x m x )2(201=-n 的两根．(1)求n m 、的值；(2)若ACB ∠的平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l对应的函数解析式；(3)过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ，则CNCM 11+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.点拨：(1)利用直角三角形的性质可知AOC ∆∽,COB ∆则,2BO AO CO ⋅=即),5(4AO AO -⋅=解得4=AO 或,1=AO 即.1,4=-=B A x x 再利用根与系数的关系代入两根之和与两根之积的式子中求解可知n m 、的值；(2)过点D 作,//BC DE 交AC 于点E ，易知,AC DF ⊥且=∠=∠FDC ECD ,45o 可证明,~ACB AED ∆∆利用成比例线段求得,32=OD 即),0,32(-D 利用待定系数法即求出直线l 对应的函数解析式；(3)过点D 作AC DE ⊥于点E,CN DF ⊥于点F ．CD Θ为ACB ∠的平分线，.DF DE =∴由,~MNC MDE ∆∆有=NC DE ,MNMD 由⋅∆∆,~MNC DNF 有,MN DN MC DF =得到+NC DE ,1=+=MNDN MN MD MC DF 即⋅==+1053111CE CN CM 解答：(1)Θ以AB 为直径的圆过点C ，.90o ACB =∠∴而点C 的坐标为(0，2)，由⊥CO AB 易知即),5(4AO AO -⋅=解得4=AO 或>=OA AO Θ.1,4,=∴AO OB 即.1,4=-=B x xA 由根与系数的关系，得到⎩⎨⎧-=⋅+=+,1,2n x x m x x B A B A 解得⎩⎨⎧-=-=.3,5n m (2)如图②，过点D 作,//BC DE 交AC 于点E ，易知,AC DE ⊥且.45O EDC ECD =∠=∠在△ABC 中，易得,//,5,52BC DE BC AC Θ==⋅=∴=⋅=∴DE AE DB AD EC DF EC AE DB AD ,Θ易证~AED ∆.5.2,===∴AB CB AC FD AE MCB Θ设,x BD =则,52,2=+=+==x x AD BD AB x AD 解得,35=x 则,32=OD 即),0,32(-D 易求得直线l 对应的函数解析式为.23+=x y CN CM 11)3(+的值是定值．过点D 作AC DE ⊥于点E ，CN DF ⊥于点F ．Θ CD 为ACB ∠的平分线，.DF DE =∴由,~MNC MDE ∆∆有=NC DE ⋅MNMD 由,~MNC DNF ∆∆ 有,1=+=MN DN MN MD MC DF 即⋅=+CECN CM 111由(2)知=∴⋅-∴===CE DE BC AB AD BC DE 352,5,32⋅=+⋅105311..352CNCM 点评：本题主要考查了函数和几何图形的综合运用，解题的关键是会灵活地运用函数图象的性质和交点的意义求出相应线段的长度，再结合具体图形的性质求解．思考题(2013．日照)如图①，抛物线c bx ax y ++=2经过点),2,0(、)0,(、)0,(21-C x B x A 其顶点为D ．以AB 为直径的⊙M 交y 轴于点,、F E 过点E 作⊙M 的切线交x 轴于点.8||,30.21=-=∠x x ONE N o(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；(2)连接AD 、BD ，在(1)中的抛物线上是否存在一点P ，使得△ABP 与△ADB 相似（除去全等这一情况）?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；(3)如图②，点Q 为上的动点(Q 不与E 、F 重合），连接AQ 交y 轴于点H ，则AQ AH ⋅是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.。

二次函数压轴之定值、定点问题1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，11AF AE为定值，请直接写出该定值．2．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A．（1）求抛物线解析式；（2）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由．3.如图1，已知二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴的负半轴交于点C ．（1）求这个函数的解析式；（2）如图2，点T 是抛物线上一点，且点T 与点C 关于抛物线的对称轴对称，过点T 的直线TS 与抛物线有唯一的公共点，直线MN ∥TS 交抛物线于M ，N 两点，连AM 交y 轴正半轴于G ，连AN 交y 轴负半轴于H ，求OH ﹣OG4．如图1，已知抛物线的解析式为21362y x =--，直线y ＝kx ﹣4k 与x 轴交于M ，与抛物线相交于点A ，B （A 在B 的左侧）．（1）当k ＝1时，直接写出A ，B ，M 三点的横坐标：x A ＝，x B ＝，x M ＝；（2）作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥x 轴于Q ，当k 变化时，MP •MQ 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；5．如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE 的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（2）如图2，AC与BE交于点F．请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；6.已知顶点为A的抛物线y＝a（x﹣2）2（a≠0）交y轴于点B（0，2），且与直线l交于不同的两点M、N（M、N不与点A重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）若∠MAN＝90°，试说明：直线l必过定点；7.如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q（1，3）的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数的图象相交于M，N两点．证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形．8.已知，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，点P是抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当点P位于第二象限时，过P点作直线AP，BP分别交y轴于E，F两点，请问CECF的值是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．9.已知点P（0，﹣4）为平面直角坐标系内一点，直线l绕原点O旋转，交经过点（0，﹣2）的抛物线y＝14x2+c于M、N两点．（1）请求出该抛物线的解析式；（2）在直线l绕原点O旋转的过程中，请你研究一下（PM+MO）（PN﹣NO）是否定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．10.如图，抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C,A（﹣2，0），B（0，2）；(1)求抛物线的解析式；(2)在（1）的条件下，设对称轴直线x＝﹣12与x轴交于M，点P为抛物线上对称轴左侧一点，直线PM交抛物线于另一点Q，点P关于抛物线对称轴对称点H，直线HQ交抛物线对称轴于G点，在点P运动过程中GM长是否为一定值，若为定值，请求出其值，若不为定值，请求出其变化范围．11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点D为（1，﹣1），且经过点B（3，3）．（1）求这个抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，过点D且平行于x轴的直线l，与直线OB相交于点A，过点B作直线l 的垂线，垂足为C．若点Q是抛物线上BD之间的动点（不与B、D重合），连接DQ并延长交BC于点E．如图2，连接BQ并延长交CD于点F，在点Q运动的过程中，FC（AC+EC）的值是否发生变化？若不变求出该定值，若变化说明理由．12.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与坐标轴分别交于点A（﹣3，0），B（1，0）和点C．（1）求出a与c的数量关系式；（2）如图，若抛物线y=-x2-2x+3与直线y＝（2k1﹣2）x交于E，F两点，与直线y＝（2k2﹣2）x交于M，N两点，且k1k2＝﹣1，点P，Q分别是EF、MN的中点，求证：直线PQ必定经过一个定点，并求出该定点坐标．13.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过点（4，5）．（1）若a+b＝﹣3，求抛物线y＝ax2+bx+5的解析式；（2）在（1）的条件下，经过点A(2,54)的任意直线y＝mx+n（m≠0）与（1）中的抛物线交于B，C两点，那么11AB AC的值是定值吗？如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值，请说明理由．14.如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝OC，其对称轴为直线x＝1．（1）直接写出抛物线C的解析式；（2）如图2，将抛物线C平移得到抛物线C1，使C1的顶点在原点，过点P（t，﹣1）的两条直线PM，PN，它们与y轴不平行，都与抛物线C1只有一个公共点分别为点M和点N，求证：直线MN必过定点．参考答案1.解：(1)OB=OC,C(0,c)则B(-c,0)，代入抛物线解析式得c 2-bc+c=0，c-b+1=0，即当x=-1时，y =1-b+c=0，故抛物线过点(-1，0)，故A(-1，0)，B(3，0)，C(0,-3)抛物线的解析式为y =x 2-2x -3(2)过点M 作MG||x 轴交AC 于点G ，作FP||x 轴交AM 于点P ，作CQ||x 轴，易知∆COA~∆CMG ，∆ACQ~∆AGM ，GM CG OA AC =GM AG CQ AC =，GM GM CG AG 1OA CQ AC AC+=+=即得111OA CQ GM+=，而AM 平分∠BAC ，故AC=CQ ，故111OA AC GM +=；同时CG AC GM AE =，AF GM AC CQ=即可得111AE AF GM +=，OA=1，AC=10，故11101AE AF 10+=+2.解：(1)y =-x 2-3x +4(2)存在t 的值使得OP 与OQ 的积为定值,t=-4设E(m ,-m 2-3m+4)，F(n,-n 2-3n+4)，设BE 的解析式为y =k (x -1)，将E 点坐标代入得k =-m -4，同理k =-n -4,则OP=m+4，OQ=-n-4，故OP ∙OQ=(m+4)(-n-4)=-mn-4(m+n)-16，直线CE 的解析式为y =k 1(x-t )-1，与抛物线y =-x 2-3x +4联立得x 2+(k 1+3)x-k 1t -5=0，m+n=-k 1-3,mn =-k 1t -5,OP ∙OQ=k 1t+4k 1+1=4k 1(t+4)+1，当t=-4时，OP ∙OQ 为定值，故当t=-4时,OP ∙OQ=13.解：(1)y =x 2-2x-3(3)易知T(2，-3),设直线TS 的解析式为y=m(x-2)-3，与抛物线y =x 2-2x-3联立得x 2-(m +2)x +2m =0，有两个相等实根，m 2+4m+4-8m=0，故m=2，即TS 解析式为y =2x -7,设MN 的解析式为y =2x+h ,与抛物线联立得x 17+h ，x 27+h 故7+h ，7+h )，N(2-7+h 7+h )，直线AM 解析式为y 1=k 1x+b 1，得b 1737hh +++737hh +++，同理可得773hh ++-，OH-OG=24.解：6，6,4；(2)MP ∙MQ 的值不变.y =21362x -与y =kx -4k 联立得x 2+6kx +9-24k =0,x A +x B =6k ，x A ∙x B =9-24k ,M(4，0)，MP ∙MQ=(4-x P )(4-x Q )=16-4(x A +x B )+x A x B =16+24k+9-24k=255.解：(1)易得抛物线的解析式为y =12x 2-x ，圆的直径为BE ，故∠BDE=90°，且∠BED=∠BAD=45°，作MN ⟂OA 交BC 、OA 于点M 、N ，易知∆BDM ≅∆DEN ，设DM=NE=m ，则CM=ON=m ，而OE=2，故m=1，此时D(1，3)(2)不变，CF ∙AD=16，∠DBF=∠BAD=45°，故∆ADB~∆CBF ，故CF ∙AD=AB ∙CB=166.解：(1)y =12(x -2)2(2)设直线MN 的解析式为y=kx+b ，与抛物线联立得x 2-(4+2k )x +4-2b=0，x M +x N =4+2k,x M ∙x N =4-2b ，作ME 、NF 垂直于x 轴，易知∆AME~∆NAF ，AE ME NF AF =，即有AE ∙AF=ME ∙NF ，ME=kx 1+b ，NF=kx 2+b ，AE=2-x 1,AF=x 2-2，(2-x 1)(x 2-2)=(kx 1+b)(kx 2+b)，即有4+2(x 1+x 2)-x 1x 2=k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2，整理得2k+b =0或2k +b -2=0,即当x =2时，y =2,所以直线l 必过定点(2,2)7.解：(1)y =-x 2+2x +3，P(1,4)(2)联立y=kx-k +3和抛物线y =-x 2+2x +3得x 2+(k-2)x-k=0,x 1+x 2=k-2,x 1x 2=-k,过点M 、N 作对称轴的垂线ME 、NF ，tan ∠PME=PE ME =221111114(23)(1)111x x x x x x --++-==---，同理tan ∠PFN=211x -，(1-x)(x2-1)=1，故tan ∠PME=tan ∠FPN,∠PME=∠FPN ，故∠MPN=90°，所以无论k 为何值，∆PMN 恒为直角三角形.8.解:(1)y =-x 2+2x +3(2)CE CF 的值为定值13，设P(t,-t 2+2t+3)，直线AP 的解析式为y =(3-t)x +3-t ，直线BP 的解析式为y =(-t-1)x +3t+3,故CE=-t ，CF=-3t ，故CE CF =139.(1)y =2124x -(2)(PM+MO)(PN-ON)为定值，设直线l 的解析式为y=kx ，与抛物线联立得x 2-4kx -8=0，设M(x 1，y 1)，N(x 2,y 2)则有x 1x 2=-8，，y 1=kx 1，故PM=|x 1OM=|x 1，同理PN=|x 2,ON=|x 2，故+|x 1)(|x 2-|x 2)=16，故(PM+MO)(PN-ON)为定值16.10.解：(1)y=-x 2-x +2(2)连接MH ，易知AMP=CMH ，设PQ 的解析式为y=kx+b 1，MH 的解析式为y=-kx+b 2,分别代入(-12，0)得b 1=12k ，b 2=12-k ，故PM 的解析式为y=kx+12k ，MH 的解析式为y=-kx-12k 与抛物线联立得x=(1)92k -+±,所以Q((1)92k -++,292k -±),同理可得H(192k -,292k --)，易知QH 的解析式为y=-x +992-当x=-12时，y=92，所以G(-12,92)，所以点P 运动过程中GM 长为定值9211.解：(1)y =x 2-2x(2)FC(AC+EC)为定值，设Q(m ,m 2-2m )，易得BF 的解析式为y=(m -1)x -3m ，故点F(311m m -+，-1)，D(1，-1)，DE 的解析式为y=(m-1)x-m ，E(3，2m-3)，FC=3-311m m -+=41m +，AC+EC=4+2m-3+1=2m+2，所以FC(AC+EC)=41m +(2m+2)=812.解：(1)c =-3a (2)联立y =-x 2-2x +3与y ＝(2k 1﹣2)x 得x 2+2k 1x -3=0所以x 1+x 2=-2k 1，y 1+y 2=-4k 12+4k 1，故P(-k 1，-2k 12+2k 1)，同理可得Q(-k 2，-2k 22+2k 2)，设直线PQ 的解析式为y=kx+b,将P 、Q 两点代入得y =(2k 1+2k 2-2)x -2,所以直线PQ 过定点(0,-2)13.解：(1)y=x 2-4x +5(3)将坐标系向右平移2个单位，向上平移1个单位，此时抛物线的解析式为y=x2，点A(0，14),设B(m,m 2),C(n,n 2)，则AB=m 2+14,AC=n 2+14，故11AB AC +=AB AC AB AC +⋅=22221211()()416m n mn m n +++++，同时BC 的解析式y=kx +14，与抛物线联立得x 2-kx -14=0，m+n=k,mn =-14，故11AB AC +=414.解：(1)y =x 2-2x -3(2)平移后的抛物线的解析式为y =x 2,设M(m,m 2),N(n,n 2)，直线PM 的解析式设为y=k 1(x-m)+m 2，PN 的解析式为y=k 2(x-n)+n 2，与抛物线联立得x2-k1x+k1m-m2=0，此时∆=0，即有k 1=2m ，PM 的解析式为y=2m(x-m)+m 2=2mx-m 2同理可得PN 的解析式为y=2n(x-n)+n 2=2nx-n 2，可得P(2m n +，mn ),mn =-1,MN 的解析式为y=(m+n)x +1,故MN 过定点(0，1)。

中考压轴题十大类型之定值问题1.（湖南株洲）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0)y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O ，两直角边与该抛物线交于A 、B 两点，请解答以下问题：（1）若测得OA OB ==1），求a 的值；（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转到如图2所示位置时，过B 作BF x ⊥轴于点F ，测得1OF =，写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．．； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．2.（天津）已知抛物线1C ：21112y x x =-+，点F (1，1)． （Ⅰ）求抛物线1C 的顶点坐标；（Ⅱ）①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ，连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF +=；②抛物线1C 上任意一点P （P P x y ，）（01P x <<），连接PF ，并延长交抛物线1C 于点Q （Q Q x y ，），试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； （Ⅲ）将抛物线1C 作适当的平移，得抛物线2C ：221()2y x h =-，若2x m <≤时，2y x ≤恒成立，求m 的最大值．3.（湖南株洲）如图，已知△ABC 为直角三角形，，，点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．（1）求点的坐标（用表示）； （2）求抛物线的解析式；（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结并延长交于点，试证明：为定值．4.（山东济南）已知：抛物线(a ≠0)，顶点C90ACB ∠=︒AC BC =A C x B 3m 0m >AB y D P B D A m Q P B PQ BC E BQ AC F ()FC AC EC +2y ax bx c =++(1，)，与x 轴交于A 、B 两点，． （1）求这条抛物线的解析式；（2）如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点（P 与A 、B 两点不重合），过点P 作PM ⊥AE 于M ，PN ⊥DB 于N ，请判断是否为定值? 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG ⊥EP ，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G （F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合），请判断是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．测试提高1.（福建莆田）已知菱形ABCD 的边长为1．∠ADC =60°，等边△AEF 两边分别交边DC 、CB 于点E 、F ．（1）特殊发现：如图1，若点E 、F 分别是边DC 、CB 的中点．求证：菱形ABCD 对角线AC 、BD 交点O 即为等边△AEF 的外心；（2）若点E 、F 始终分别在边DC 、CB 上移动．记等边△AEF 的外心为点P ． ①猜想验证：如图2，猜想△AEF 的外心P 落在哪一直线上，并加以证明；②拓展运用：如图3，当△AEF 面积最小时，过点P 任作一直线分别交边DA 于点M ，交边DC 的延长线于点N ，试判断11DM DN+是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请说明理由．2.（广东省深ABC 的斜边长为5，斜边上的高为2，AB 与x 轴重合（其中OA ＜OB ），直角顶点C 落在y 轴正半轴上（如图1）．（1）求线段OA 、OB 的长和经过点A 、B 、C 的抛物线的关系式． （2）如图2，点D 的坐标为（2，0），点P （m ，n ）是该抛物线上的一个动点（其中m ＞0，n ＞0），连接DP 交BC 于点E ．①当△BDE 是等腰三角形时，直接写出．．．．此时点E 的坐标． ②又连接CD 、CP （如图3），△CDP 是否有最大面积？若有，求出△CDP 的最大面积和此时点P 的坐标；若没有，请说明理由．3-(10)A -，PM PNBE AD+PA EFPB EG=OF E DC B A3.如图6，已知△ABC 中，AB =AC ，tan B =2，AD ⊥BC 于点D ，点G 是△ABC 的重心. 将△ABC 绕着重心G 旋转，得到△111C B A ，并且点1B 在直线AD 上，联结1CC ，那么tan ∠11B CC 的值等于▲ ．4.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b＞0；②b ＞a ＞c ；③若-1＜m ＜n ＜1，则m +n ＜ba；④3|a |+|c |＜2|b |。

（一）定值问题1、如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）2. 以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△A EF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？2、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD上滑动，且E、F不与B．C．D重合．（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．（二）由运动产生的线段和差问题（最值问题）1、如图所示，已知A 11(,y )2，B 2(2,y )为反比例函数1y x图像上的两点，动点P (x,0)在x 正半轴上运动，当线段AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是【 】A. 1(,0)2B. (1,0)C. 3(,0)2D. 5(,0)22、如图，抛物线l 交x 轴于点A （﹣3，0）、B （1，0），交y 轴于点C （0，﹣3）．将抛物线l 沿y 轴翻折得抛物线l 1．（1）求l 1的解析式；（2）在l 1的对称轴上找出点P ，使点P 到点A 的对称点A 1及C 两点的距离差最大，并说出理由；3、如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．4、如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （4，0），B （2，3），C （0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MA+MB 的值最小，并求出点M 的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。