高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第19课时 向量减法运算及其几何意义 含解析

课时提升卷(十七)向量减法运算及其几何意义（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分，共30分)1.(2013·淄博高一检测)化简+--= ( )A. B. C. D.02.如图，在四边形ABCD中，设=a，=b，=c，则等于( )A.a-b+cB.b-(a+c)C.a+b+cD.b-a+c3.已知非零向量a与b同向，则a-b( )A.必定与a同向B.必定与b同向C.必定与a是平行向量D.与b不可能是平行向量4.若||=8，||=5，则||的取值范围是( )A.[3，8]B.(3，8)C.[3，13]D.(3，13)5.平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是( )A.梯形B.平行四边形C.矩形D.菱形二、填空题(每小题8分，共24分)6.四边形ABCD是边长为1的正方形，则|-|= .7.在△ABC中，向量可表示为(填所有正确表示方法的序号).①-；②-；③+；④-.8.已知如图，在正六边形ABCDEF中，与-+相等的向量有.①；②；③；④-+；⑤+；⑥-；⑦+.三、解答题(9题～10题各14分，11题18分)9.如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示.(2)用b，c表示.(3)用a，b，e表示.(4)用d，c表示.10.已知|a|=6，|b|=8，且|a+b|=|a-b|，求|a-b|.11.(能力挑战题)三个大小相同的力a，b，c作用在同一物体P上，使物体P沿a方向做匀速运动，设=a，=b，=c，判断△ABC的形状.答案解析1.【解析】选D.+--=( -)+(+)=+=0.2.【解析】选A.=-=+-=a+c-b=a-b+c.3.【解题指南】根据a与b模的大小关系分类讨论.【解析】选C.向量a与b同向，当|a|>|b|时，a-b与a和b同向；当|a|<|b|时，a-b与a和b反向；当|a|=|b|时，a-b=0.综上可知：a-b 必定与a是平行向量.4.【解析】选C.当与不共线时，有=-(如图所示)，由三角形三边的不等关系可知8-5<||<8+5，即3<||<13，当与共线反向时，||=13；当与共线同向时，||=3，所以3≤||≤13.5.【解析】选B.因为+=+，所以-=-，即=.又A，B，C，D四点不共线，所以||=||，且BA∥CD，故四边形ABCD为平行四边形.6.【解析】|-|=||==.答案：7.【解析】①-=；②-=；③+=；④-=+=.答案：②③④8.【解析】因为四边形ACDF是平行四边形，所以-+=+=，-+=++=，+=+=，-=，因为四边形ABDE是平行四边形，所以+=，综上知与-+相等的向量是①④.答案：①④【拓展提升】向量加减法的四点化简技巧(1)加法：首尾连(如++=)，起点到终点.(2)减法：共起点(如-=)，连终点，指被减.(3)化减法为加法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(如-=+=).(4)凑零法：相反向量和为0(如+=0).9.【解题指南】利用向量加法、减法及共线向量解题.【解析】因为=a，=b，=c，=d，=e，所以(1)=++=d+e+a.(2)=-=--=-b-c.(3)=++=a+b+e.(4)=-=-(+)=-c-d.10.【解析】设=a，=b，以AB，AD为邻边作□ABCD(如图所示)，则=a+b，=a-b，因为|a+b|=|a-b|，所以||=||.又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，所以AD⊥AB，在Rt△DAB中，||=6，||=8，由勾股定理得||===10，所以|a-b|=|a+b|=10.【举一反三】若本题条件“|a+b|=|a-b|”改为：“|a|=|b|=|a+b|=6”，则应如何求|a-b|？【解析】设=a，=b，=a+b，由|a|=|b|=|a+b|可知，平行四边形OACB是菱形(如图)，且△OBC，△OAC为边长为6的等边三角形，连接AB，所以a-b=-=，所以|a-b|=||，设OC∩BA=M，在Rt△OMB中，|BM|=6×sin60°=3，所以||=6，即|a-b|=6.11.【解题指南】将物理问题转化为向量问题，通过向量模及向量之间的相互关系作出几何图形，从而判断三角形的形状.【解析】由题意得：|a|=|b|=|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a+b+c=0.所以a+c=-b.如图，作平行四边形APCD为菱形.=a+c=-b，所以∠APC=120°，同理：∠APB=∠BPC=120°，又因为|a|=|b|=|c|，所以△ABC为等边三角形.关闭Word文档返回原板块。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算2．2.1～2.2.2向量加法、减法运算及其几何意义1．理解向量的和，掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，向量加法的运算律及向量减法的三角形法则．2．理解向量模的性质．基础梳理一、向量加法运算1．向量加法的定义：我们把求两个向量a，b和的运算，叫做向量的加法，记作：a＋b.(1)两个向量的和仍然是一个向量；(2)零向量与任一向量a有a＋0＝0＋a＝a.2．向量加法的三角形法则：向量AB→与BC →相加时，AB →的终点作为BC →的起点，这时起点A 到终点C 的向量AC →就是这两个向量的和向量，即AB→＋BC →＝AC →.这种求向量和的方法叫三角形法则． 向量加法的三角形法则：“首尾相接，首尾相连” . 3．向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适用)： 以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC→就是向量的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图：特殊情况：4．运算律．(1)向量加法的交换律：a ＋b ＝b ＋a .(2)向量加法的结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．练习：三角形法则、平行四边形法则是否对所有向量a ，b 求和都适用？答案：三角形法则适合所有向量，平行四边形法则对于两个向量共线时不适用．思考应用1．由物理上学习的位移的合成，你能否把三角形法则推广到n 多边形的情况？解析：三角形法则可以推广到n 个向量相加的情况：AB →＋BC →＋CD→＋DE →＝AE →(注意字母必须首尾顺次连接首尾)，位移的合成可以看成是向量加法三角形法则的物理模型．二、向量减法运算1．减法的三角形法则作法：在平面内取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则BA→＝a －b . 即a －b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量． 向量减法的三角形法则：“起点相同，指向被减向量”．2．|a ＋b |、|a －b |、|a |＋|b |、|a |－|b |之间的关系．对于任意的两个向量a 与b ，有||||a －||b ≤||a ±b ≤||a ＋||b ．注意：当a，b共线时(包括同向和反向)上式等号成立．思考应用2．前面讨论的是向量运算，我们还学过那些运算？体会它们的异同．解析：我们学过实数间的运算、集合间的运算、函数间的运算，今天又学到了向量间的运算．对于两个向量，通过三角形法则或平行四边形法则，有唯一的和向量与之对应．一般的，对于两个对象，通过一个法则都有唯一确定的对象与之对应，这就是运算．运算可以帮助我们解决很多的问题．自测自评1．下列等式正确的个数是(C)①a＋0＝a；②b＋a＝a＋b；③－(－a)＝a；④a＋(－a)＝0；⑤a＋(－b)＝a－b.A．2个B．3个C．4个D．5个2．如右图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(C)→＝DC→A.ABB.AD→＋AB →＝AC → C.BA→＋BC →＝AC → D.AD→＋CB →＝0 解析：∵BA→＋BC →＝BD →， ∴C 中的结论错误．故选C .3．化简OP→－QP →＋PS →＋SP →的结果等于(B ) A .QP→ B .OQ → C .SP → D .SQ → 4．a 、b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则(A ) A ．a 与b 方向相同 B ．a ＝b C ．a ＝－b D ．a 与b 方向相反基础提升1．化简PM→－PN →＋MN →所得结果是(C ) A.MP→ B.NP → C ．0 D .MN → 2．已知MA →＝(－2，4)，MB →＝(2，6)，则12AB →的坐标是(D )A ．(0，5)B ．(0，1)C ．(2，5)D ．(2，1)解析：AB→＝MB →－MA →＝(2，6)－(－2，4)＝(4，2)， ∴12AB →＝(2，1)．故选D . 3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向(A ) A ．与向量a 方向相同 B ．与向量a 方向相反 C ．与向量b 方向相同 D ．与向量b 方向相反4．若O 是△ABC 内的一点，且OA →＋OB →＋OC →＝0.则O 是△ABC 的(B )A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心解析：OA→＋OB →＋OC →＝0，∵OA →＋OB →是以OA →，OB →为邻边作平行四边形的对角线且过AB 的中点，设点D ，则OA→＋OB →＝2OD →，∴2OD→＋OC →＝0.∵D 为AB 的中点，同理E ，F 为AC ，BC 中点，∴满足条件的点O 为△ABC 三边中线交点，故为重心．5．向量(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于(C ) A .BC→ B .AB → C .AC → D .AM → 解析：(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(MB →＋BO →)＋OM→＝AC →＋MO →＋OM →＝AC →.故选C . 巩固提高6．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________．答案：37．如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，求OD →.解析：∵BA→＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →， ∴OD→－OC →＝OA →－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →， ∴OD→＝a －b ＋c . 8．若在正六边形ABCDEF 中，O 为其中心，则FA →＋AB →＋2BO →＋ED→等于(B ) A.FE→ B.AC → C.DC → D.FC → 解析：FA→＋AB →＋2BO →＋ED →＝FE →＋ED →＝FD →＝AC →. 9．已知：△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE 綊12BC .证明：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，故AD→＝12AB →，AE →＝12AC→.DE →＝AE →－AD →＝12(AC →－AB →)＝12BC →.所以DE 綊12BC .掌握两个向量的减法运算可以转化为加法来进行．1．记住常用关系、常用数据：如△ABC 中AB→＋BC →＋CA →＝0；以向量a ，b 为邻边的平行四边形中，a ±b 表示的是两条对角线所在的向量．2．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．。

第二章平面向量2.2 平面向量的线性运算 2.2.2 向量减法运算及其几何意义课后篇巩固探究1.四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故四边形是平行四边形.根据向量加法和减法的几何意义可知,该平行四边形的对角线相等,故为矩形.2.已知ABCDEF 是一个正六边形,O 是它的中心,其中OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则EF ⃗⃗⃗⃗ =( )A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b-c.3.下列不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( ) A.QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ⃗⃗⃗⃗⃗ B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗ ) C.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )+(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗项中,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选D.4.如图,点D,E,F 分别是△ABC 的边AB,BC,CA 的中点,则 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =0B.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗ =0D.BD ⃗⃗⃗⃗⃗ −BE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FC⃗⃗⃗⃗ =0AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF⃗⃗⃗⃗⃗ +FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以A 项正确.5.平面上有三点A,B,C,设m=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若m,n 的长度恰好相等,则有( )A.A,B,C 三点必在同一条直线上B.△ABC 必为等腰三角形,且∠B 为顶角C.△ABC 必为直角三角形,且∠B=90°D.△ABC 必为等腰直角三角形,因为m,n 的长度相等,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,即|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD⃗⃗⃗⃗⃗ |, 所以ABCD 是矩形,故△ABC 是直角三角形,且∠B=90°.6.若四边形ABCD 为正方形,且边长为2,则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2.7.如图,已知O 为平行四边形ABCD 内一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c,则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 则OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+c-b.8.如图,在正六边形ABCDEF 中,与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有 . ①CF ⃗⃗⃗⃗ ;②AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;③BE⃗⃗⃗⃗⃗ ; ④DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑤CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⑥CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ;⑦AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE⃗⃗⃗⃗⃗ .ACDF 是平行四边形,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ −FE ⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗ =CF ⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为四边形ABDE 是平行四边形, 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .综上知与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是①④.9.已知向量a,b 满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|的值为 .,在平面内任取一点A,作AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,以AD,AB 为邻边作▱ABCD, 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BD⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b. 由题意,知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1.过点B 作BE ⊥AD 于点E,过点C 作CF ⊥AB 交AB 的延长线于点F. 因为AB=BD=2,所以AE=ED=12AD=12.在Rt △ABE 中,cos ∠EAB=AEAB=14.易知∠CBF=∠EAB,所以cos ∠CBF=14. 所以BF=BC·cos∠CBF=1×14=14.所以CF=√154. 所以AF=AB+BF=2+14=94.在Rt △AFC 中,AC=√AF 2+CF 2=√8116+1516=√6,所以|a+b|=√6.√6 10.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC,BD 交于点O,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,cos ∠DAB=12,求|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |与|CD⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DO ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴四边形ABCD 为平行四边形. 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴▱ABCD 为菱形.∵cos ∠DAB=12,∠DAB ∈(0,π),∴∠DAB=π3,∴△ABD 为正三角形.∴|DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3, |CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1. 11.如图,在▱ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b.(1)当a,b 满足什么条件时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直? (2)a+b 与a-b 有可能为相等向量吗?为什么?AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-b.若a+b 与a-b 所在的直线互相垂直,则AC ⊥BD. 因为当|a|=|b|时,四边形ABCD 为菱形,此时AC ⊥BD, 故当a,b 满足|a|=|b|时,a+b 与a-b 所在的直线互相垂直. (2)不可能.因为▱ABCD 的两对角线不可能平行,所以a+b 与a-b 不可能为共线向量,更不可能为相等向量.。

2.2 第2课时 向量减法、数乘运算及其几何意义一、选择题1．化简OP →－QP →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →[答案] B[解析] 原式＝(OP →＋PQ →)＋(PS →＋SP →) ＝OQ →＋0＝OQ →.2．已知△ABC 的三个顶点A 、B 、C 及平面内一点P 满足P A →＋PB →＝PC →，下列结论中正确的是( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上 C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在△ABC 的外部 [答案] D[解析] 由P A →＋PB →＝PC →可得P A →＝PC →－PB →＝BC →，∴四边形PBCA 为平行四边形． 可知点P 在△ABC 的外部．选D.3．如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＝DC →B.AD →＋AB →＝AC →C.AB →－AD →＝BD →D.AD →＋CB →＝0 [答案] C[解析] A 显然正确．由平行四边形法则知B 正确．C 中AB →－AD →＝DB →，故C 错误．D 中AD →＋CB →＝AD →＋DA →＝0.4．(07·湖南)若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.EF →＝OF →＋OE →B.EF →＝OF →－OE →C.EF →＝－OF →＋OE →D.EF →＝－OF →－OE → [答案] B[解析] 由向量的减法的定义求解．5．在平面上有A ，B ，C 三点，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若m 与n 的长度恰好相等，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在一条直线上 B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角D ．△ABC 必为等腰直角三角形 [答案] C[解析] 以BA →，BC →为邻边作平行四边形ABCD ，则m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →，由m ，n 的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形．∴选C.6．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ的值等于( ) A.rRB ．－rRC ．－RrD.R r[答案] C[解析] ∵b ＝λa ，∴|b |＝|λ|·|a | 又∵a 与b 反向，∴λ＝－R r.7．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →[答案] A[解析] ∵OB →＋OC →＝2OD →， ∴2OA →＋2OD →＝0，∴AO →＝OD →.8．已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 [答案] B[解析] 由CB →＝λP A →＋PB →得CB →－PB →＝λP A →，∴CP →＝λP A →.则CP →与P A →为共线向量，又CP →与P A →有一个公共点P ，∴C 、P 、A 三点共线，即点P 在直线AC 上．故选B.9．G 为△ABC 内一点，且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，则G 为△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心[答案] D[解析] 由于GA →＋GB →＋GC →＝0，所以GA →＝－(GB →＋GC →)，即GA →是与GB →＋GC →方向相反，长度相等的向量．如图，以GB →，GC →为相邻的两边作▱BGCD ，则GD →＝GB →＋GC →，所以GD →＝－GA →，在▱BGCD 中，设BC 与GD 交于点E ，则BE →＝EC →，GE →＝ED →，故AE 是△ABC 中BC 边上的中线且|GA →|＝2|GE →|.从而点G 是△ABC 的重心．选D.10．(2010·河北唐山)已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则( )A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、B 、P 三点共线 C ．A 、C 、P 三点共线D ．B 、C 、P 三点共线[答案] B[解析] ∵AC →＝PC →－P A →，∴原条件式变形为： PB →＝－2P A →，∴PB →∥P A →，∴A 、B 、P 三点共线． 二、填空题11．已知x 、y 是实数，向量a ，b 不共线，若(x ＋y －1)a ＋(x －y )b ＝0，则x ＝________，y ＝________.[答案] 12 12[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x －y ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝12y ＝12.12．若|a |＝5，b 与a 的方向相反，且|b |＝7，则a ＝________b . [答案] －57[解析] ∵|a |＝5，|b |＝7，∴|a ||b |＝57，又方向相反，∴a ＝－57b .13．(2010·浙江宁波十校)在平行四边形ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示)．[答案] －23e 1＋512e 2[解析] ∵NC →＝14AC →＝14e 2，∴CN →＝－14e 2，∵BM →＝12MC →，BM →＋MC →＝BC →＝AC →－AB →＝e 2－e 1，∴MC →＝23(e 2－e 1)，∴MN →＝MC →＋CN →＝23(e 2－e 1)－14e 2＝－23e 1＋512e 2.三、解答题14．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M 、N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，试用a 、b 表示BC →和MN →.[解析] 连结CN ，∵N 是AB 的中点，AB ＝2CD ， ∴AN 綊DC ，∴四边形ANCD 是平行四边形，∴CN →＝－AD →＝－b ，又CN →＋NB →＋BC →＝0， ∴BC →＝－NB →－CN →＝－12a ＋b .MN →＝MC →＋CN →＝14a －b .15．若a 、b 都是非零向量，在什么条件下向量a ＋b 与a －b 共线？[解析] 因a 、b 都是非零向量，向量a ＋b 与a －b 中至少有一个不为零向量，不妨设a ＋b ≠0.则由a ＋b 与a －b 共线，知存在实数λ使a －b ＝λ(a ＋b )，∴(1－λ)a ＝(1＋λ)b ， ∵a ≠0且b ≠0，∴λ≠±1， 从而b ＝1－λ1＋λa ，从而a ∥b .由上可知，当a ∥b 时，a ＋b 与a －b 共线．16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AC 、AB 边上的点，CD DA ＝AE EB ＝12，记BC →＝a ，CA →＝b ，求证：DE →＝13(b －a )．[解析] 因为AE →＝13AB →＝13(CB →－CA →)＝13(－a －b )，AD →＝23AC →＝－23b ，所以DE →＝AE →－AD →＝－13a －13b ＋23b ＝13(b －a )． 17．点E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的中点，设BC →＝a ，DA →＝b ，试用a ，b 表示EF →.[解析] 如图所示，取AB 中点P ，连结EP ，FP ，在△ABC 中，EP 是与BC 平行的中位线，∴PE →＝12BC →＝12a .在△ABD 中，FP 是与AD 平行的中位线， ∴PF →＝12AD →＝－12b .在△EFP 中，EF →＝EP →＋PF →＝－PE →＋PF → ＝－12a －12b ＝－12(a ＋b )．18．已知▱ABCD 的边BC 、CD 的中点分别是M 、N ，设AM →＝a ，AN →＝b ，试用a 、b 表示AB →、BC →.[分析] ∵M 、N 分别为▱ABCD 的边BC 、CD 的中点，故以AB →、AD →作为基向量较易表示出AM →、AN →，然后，解方程组即可求出AB →、AD →.[解析] 在▱ABCD 中，M 、N 分别是边BC 、CD 的中点， ∴DN →＝12AB →，BM →＝12BC →.∴AN →＝AD →＋DN →＝BC →＋12AB →，AM →＝AB →＋12BC →，∴⎩⎨⎧BC →＋12AB →＝b AB →＋12BC →＝a ，解得AB →＝43a －23b ，BC →＝43b －23a .。

§2.2.2 向量减法运算及其几何意义 【知识梳理、双基再现】1、相反向量：规定与a __________________________的向量，叫做a 的相反向量，记作_____________，向量a 与a -互为相反向量，于是___________________________。

任一向量与其相反向量的和是___________，即+-=-+()_______________,()__a a a a 2、向量的减法 我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即+ab 是互为相反的向量，那么a =______________，b =_________________，+a b =________________________。

3、向量减法的几何意义： 已知a ，b ，在平面内任取一点O ，作==,OA a OB b ，则__________=-a b ，即-a b 可以表示为从向量_________________的终点指向向量_____________的终点的向量，如果向量a 的终点，到b 的终点作向量那么得向量是__________________【小试身手、轻松过关】1、在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是（ ）A ．-=AC AB BC B ．-=AD BD ABC ．-=BD AC BC D ．-=BD CD BC2、下列各式中结果为O 的有（ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②③3、下列四式中可以化简为AB 的是（ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA ．①④B ．①②C ．②③D ．③④4、在下面各式中，不能化简为AD 的是（ ）A ．++()AB CD BC B ．+++()()AD MB BC CMC ．+-MB AD BM D ．-+OC OA CD【基础训练、锋芒初显】5、在△ABC 中，向量BC 可表示为（ ）①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④6、已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =（ ）A ．a b +B ．b a -C ．-c bD ．-b c7、当C 是线段AB 的中点，则AC BC +=（ ）A ．AB B ．BAC ．ACD ．O8、在平行四边形ABCD 中，BC CD AD +-等于（ ）A ．BAB ．BDC ．ACD ．AB 【举一反三、能力拓展】9、化简：AB DA BD BC CA ++--=_______________。

数学·必修4(人教A 版)2.2 平面向量的线性运算2．2.1 向量加法、减法运算及其几何意义基础提升1．化简PM→－PN →＋MN →所得结果是( ) A.MP→ B.NP → C ．0 D.MN →答案：C2．在△ABC 中，|AB →|＝|BC →|＝|CA →|＝1，则|AB→－AC →|的值为( )A ．0B ．1 C. 3 D ．2答案：B3．已知向量a ∥b ，且|a |>|b |>0，则向量a ＋b 的方向( )A ．与向量a 方向相同B ．与向量a 方向相反C ．与向量b 方向相同D ．与向量b 方向相反答案：A4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD→＝λAO →，则λ＝________.答案：25．向量(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →等于( ) A.BC→ B.AB → C.AC → D.AM →解析：(AB→＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝(AB →＋BC →)＋(MB →＋BO →)＋OM→＝AC →＋MO →＋OM →＝AC →.故选C.答案：C巩固提高6．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝120°，则|a ＋b |＝________.答案：37．如图，已知O 为平行四边行ABCD 内一点，OA→＝a ，OB →＝b ，OC→＝c ，求OD →.解析：∵BA→＝CD →，BA →＝OA →－OB →，CD →＝OD →－OC →，∴OD →－OC →＝OA→－OB →，OD →＝OA →－OB →＋OC →，∴OD →＝a －b ＋c .8．在正六边形ABCDEF 中，AE →＝m ，AD →＝n ，则BA→＝__________.解析：在正六边形ABCDEF 中，BA →＝DE →＝AE →－AD →＝m －n . 答案：m －n9．已知：△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点．求证：DE 綊12BC .证明：因为D 、E 分别为AB 、AC 的中点，故AD →＝12AB →，AE →＝12AC →. DE →＝AE →－AD →＝12(AC →－AB →)＝12BC →. 所以DE 綊12BC .。

A 级 基础巩固一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.MP → B.NP → C ．0D.MN →解析：PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝0. 答案：C2．下列四个式子中不能化简为AD →的是( ) A ．(AB →＋CD →)＋BC → B ．(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →) C.OC →－OA →＋CD →D.MB →＋AD →－BM →解析：对于A ，(AB →＋CD →)＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →；对于B ，(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝(AD →＋MB →)＋BM →＝AD →＋(MB →＋BM →)＝AD →＋0＝AD →； 对于C ，OC →－OA →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →；对于D ，MB →＋AD →－BM →＝(MB →－BM →)＋AD →＝2MB →＋AD →. 答案：D3．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →等于( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )C ．a ＋b ＋cD ．b －a ＋c解析：DC →＝AC →－AD →＝AB →＋BC →－AD →＝a ＋c －b ＝a －b ＋c . 答案：A4．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( ) A ．1B ．2C.32D. 3解析：作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3. 答案：D5.如图所示，已知D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0解析：因为D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点， 所以AD →＝DB →，CF →＝ED →，FC →＝DE →，FE →＝DB →， 所以AD →＋BE →＋CF →＝DB →＋BE →＋ED →＝0，故A 成立．BD →－CF →＋DF →＝BD →＋DF →－CF →＝BF →＋FC →＝BC →≠0，故B 不成立． AD →＋CE →－CF →＝AD →＋FE →＝AD →＋DB →＝AB →≠0，故C 不成立．BD →－BE →－FC →＝ED →－DE →＝ED →＋ED →≠0，故D 不成立． 答案：A 二、填空题6．化简(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝________．解析：(AB →＋PC →)＋(BA →－QC →)＝(AB →＋BA →)＋(PC →＋CQ →)＝0＋PQ →＝PQ →. 答案：PQ →7．设|a |＝8，|b |＝12，则|a ＋b |的最大值与最小值分别为________．解析：当a 与b 共线同向时，|a ＋b |max ＝20；当a 与b 共线反向时，|a ＋b |min ＝4. 答案：20，48．如图所示，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 则OD →＝________(用a ，b ，c 表示)．解析：在平行四边形ABCD 中，因为OA →＝a ，OB →＝b ， 所以BA →＝OA →－OB →＝a －b ， 所以CD →＝BA →＝a －b ， 所以OD →＝OC →＋CD →＝a －b ＋c . 答案：a －b ＋c 三、解答题9．如图所示，已知a ，b ，求作a －b .解：10．如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，CD →＝d ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)AD →－AB →；(4)AB →＋CF →；(5)BF →－BD →.解：(1)AC →＝OC →－OA →＝c －a .(2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d . (3)AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(4)AB →＋CF →＝OB →－OA →－OC →＋OF →＝b －a －c ＋f . (5)BF →－BD →＝DF →＝OF →－OD →＝f －d .B 级 能力提升1．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则有( ) A.AD →＝0B.AB →＝0或AD →＝0C ．四边形ABCD 是矩形 D ．四边形ABCD 是菱形解析：AB →＋AD →与AB →－AD →分别是平行四边形ABCD 的两条对角线，且|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，所以四边形ABCD 是矩形．答案：C2．对于非零向量a ，b ，当且仅当________时，有|a －b |＝||a |－|b ||.解析：当a ，b 不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a －b |＞||a |－|b ||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a －b |＝||a |－|b ||.答案：a 与b 同向3．如图所示，▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b .(1)用a 、b 表示AC →、DB →.(2)当a 、b 满足什么条件时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直？ (3)当a 、b 满足什么条件时，|a ＋b |＝|a －b |? (4)a ＋b 与a －b 有可能为相等向量吗？为什么？ 解：(1)AC →＝AD →＋AB →＝b ＋a ，DB →＝AB →－AD →＝a －b . (2)由(1)知a ＋b ＝AC →，a －b ＝DB →. 因为a ＋b 与a －b 所在直线垂直，所以AC ⊥BD .又因为四边形ABCD 为平行四边形， 所以四边形ABCD 为菱形，所以|a |＝|b |.所以当|a |＝|b |时，a ＋b 与a －b 所在直线互相垂直． (3)假设|a ＋b |＝|a －b |， 即|AC →|＝|BD →|.因为四边形ABCD 为平行四边形，所以四边形ABCD是矩形，所以a⊥b，所以当a与b垂直时，|a＋b|＝|a－b|.(4)不可能．因为▱ABCD的两条对角线不可能平行，所以a＋b与a－b不可能为共线向量，也就不可能为相等向量了．。

课后训练1．在△ABC 中，BC uuu r ＝a ，CA u u u r ＝b ，则AB u u u r等于( )A ．a ＋bB ．－a －bC ．a －bD ．b －a2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则( )A ．AD u u u r ＋BE u u u r ＋CF uuur ＝0B ．BD u u u r －CF uuu r ＋DF u u u r＝0C ．AD u u u r ＋CE u u ur －CF uuu r ＝0D ．BD u u u r －BE u u u r －FC uuur ＝03．如图，已知ABCDEF 是一正六边形，O 是它的中心，其中OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC u u u r＝c ，则EF u u u r等于( )A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．b －c4．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC uuu r ＝AB u u u r，则点P 与△ABC 的关系为( )A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部 C ．P 在AB 所在直线上D ．P 是AC 边上的一个三等分点5．平面内有三点A 、B 、C ，设m ＝AB u u u r ＋BC uuu r ，n ＝AB u u u r －BC uuur ，若|m |＝|n |，则有( )A ．A 、B 、C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠B ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形6．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC u u u r ＝c ，OD u u u r＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形的形状是__________．答案：平行四边形 解析：∵a ＋c ＝b ＋d ，∴OA u u u r ＋OC u u u r ＝OB uuu r ＋OD u u u r ，∴OA u u u r －OB uuu r ＝OD u u u r －OC u u u r ，∴BA u u u r ＝CD uuur ，四边形ABCD 为平行四边形．7．已知OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，若|OA u u u r |＝12，|OB uuu r|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |的值为__________．8．已知a 与b 均为非零向量，若|a －b |＝||a |－|b ||，则a 与b 方向__________． 9．如图，解答下列各题：(1)用a ，d ，e 表示DB u u u r；(2)用b ，c 表示DB u u u r；(3)用a ，b ，e 表示EC uuu r；(4)用d ，c 表示EC uuu r．10．如图，已知正方形ABCD 的边长等于1，AB u u u r＝a ，BC uuu r ＝b ，AC u u u r ＝c ，试作向量并分别求模．(1)a ＋b ＋c ； (2)a －b ＋c ．参考答案1答案：B 解析：AB u u u r ＝－BA u u u r＝－(BC uuu r ＋CA u u u r )＝－a －b ．2答案：A 解析：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点，∴BE u u u r ＝DF u u u r ，CF uuu r ＝FA u u u r，∴AD u u u r ＋BE u u u r ＋CF uuu r ＝AD u u u r ＋DF u u u r ＋FA u u u r＝0．3答案：D 解析：EF u u u r ＝OA u u ur ＝CB u u u r ＝OB uuu r －OC u u u r ＝b －c ．4答案：D 解析：∵PA u u u r ＋PB u u u r ＋PC uuu r ＝AB u u u r ＝PB u u u r －PA u u u r，∴2PA u u u r＝－PC uuu r ，即CP u u u r ＝2PA ，故P 是AC 边的一个三等分点．5答案：C 解析：如图，作AD u u u r =BC uuu r ，则ABCD 为平行四边形，从而m =AB u u u r +BC uuur =AC u u u r ，n =AB u u u r －BC uuu r =AB u u u r －AD u u u r =DB u u u r．∵|m |=|n |，∴|AC u u u r |=|DB u u u r |．四边形ABCD 是矩形，∴△ABC 为直角三角形，且∠B =90°．7答案：13 解析：OA ，OB ，AB 构成了一个直角三角形，则|a －b |=13． 8答案：相同 解析：当a 与b 不共线时，如图1，a －b ＝BC uuu r ，|BC uuu r |＞||AC u u u r |－|AB u u u r||可得|a －b |＞||a |－|b ||；图1当a 与b 反向时，如图2，知a －b ＝CB u u u r ，|CB u u u r |＞||AB u u u r|－|AC u u u r ||，∴|a －b |＞||a |－|b ||．图2当a 与b 同向时，如图3，a －b ＝CB u u u r ，|CB u u u r |＝||AB u u u r|－|AC u u u r ||，∴|a －b |＝||a |－|b ||．图39答案：解：∵AB u u u r＝a ，BC uuu r ＝b ，CD uuu r ＝c ， DE u u u r ＝d ，EA u u u r＝e ，∴(1)DB u u u r ＝DE u u u r ＋EA u u u r ＋AB u u u r＝d ＋e ＋a ．(2)DB u u u r ＝CB u u ur －CD uuu r ＝－BC uuu r －CD uuu r ＝－b －c ．(3)EC uuu r ＝EA u u u r ＋AB u u u r ＋BC uuur ＝a ＋b ＋e ．(4)EC uuu r ＝－CE u u u r ＝－(CD uuu r ＋DE u u u r)＝－c －d ．10答案：解：(1)由已知得a ＋b ＝AB u u u r ＋BC uuur ＝AC u u u r ，又|AC u u u r |＝2，∴延长AC 到E ，使|CE u u u r |＝|AC u u u r|．则a ＋b ＋c ＝AE u u u r ，且|AE u u u r|＝(2)作BF u u u r ＝AC u u ur ，连接CF ，则DB u u u r ＋BF u u u r ＝DF u u u r ，则DB u u u r ＝AB u u u r －AD u u u r ＝a －BC uuu r ＝a －b ，∴a －b ＋c ＝DB u u u r ＋BF u u u r＝DF u u u r ，且|DF u u u r|＝2．。

课后集训基础达标1.化简下列各式，结果为零向量的个数是（）①AB+BC+CA②AB-AC+BD-CD③OA-OD+AD④NQ+QP+MN-MPA.1B.2C.3D.4解析：①AB+BC+CA=AC+CA=0 ②AB-AC+BD-CD=CB+BD+DC=CB +BC=0.③OA-OD+AD=DA+AD=0④NQ+QP+MN-MP=NP+PN=0.∴应选D. 答案：D2.如右下图在平行四边形ABCD中，若|AB+AD|=|AB-AD|，则必有（）A.=0B.=0或=0C.ABCD为矩形D.ABCD为正方形解析：由于+=，-=.由条件得：|AC|=||.∵两条对角线相等的平行四边形是矩形.∴应选C.答案：C3.下列各式中，恒成立的是( )A.=B.a-a=0C.-=D.++=0答案：D4.下列四个式子中，不能化简为的是（）A.（+）+B.(+)+(+CM)C.-+D.+-BM解析：A.（+CD）+BC=（+BC）+CD=AC+CD=.B.（AD+MB）+（BC+CM）=AD+MB+BC+CM=AD+MC+CM=AD.C.-+=+=.D.MB+AD-BM=2MB+AD.故应选D. 答案：D 5.已知向量AB 是单位向量，点M 是AB 中点，点P 为平面上任意一点，则PA -PB 等于（ ）A.BM -AMB.AM -BMC.AM +BMD.AB 解析：在△PMA 中，PA =PM +MA ，PB =PM +MB ,∴PA -PB =（PM +MA ）-（PM +MB ）=MA -MB =BM -AM .故应选A.答案：A6.如右图，已知AB =a , AC =b ,| AB |=12,|AC |=5,∠BAC=90°,则|a -b |=_____________, tan ∠ACB=____________.解析：由于a -b =,∴|a -b |=||=13,tan ∠ACB=512. 答案：13 512 综合运用7.下列等式：①0-a =-a ;②-(-a )=a ;③a +(-a )=0;④a +0=a ;⑤a -b =a +(-b );⑥a +(-a )=0.正确的个数是（ ）A.3B.4C.5D.6解析：⑥错误，应为0.答案：C8.对于任意向量a 、b ，恒有（ ）A.|a +b |=|a |+|b |B.|a -b |=|a |-|b |C.|a -b |≤|a |+|b |D.|a -b |≤|a |-|b |解析：由向量加减法的三角形法则可得.答案：C9.若O 是△ABC 内一点，++=0，则O 是△ABC 的（ ）A.内心B.外心C.垂心D.重心解析：如右图所示，由OA+OB=OD知四边形ADBO为平行四边形，故OE=ED.由已知OA+OB+OC=0，故OA+OB=CO，即OD=CO，故C、O、E三点共线，且CO=2OE，即O分CE为2∶1.所以O为△ABC的重心.答案：D拓展探究10.证明：对于任意向量a，b都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,并指出等号成立的条件.思路分析：这是一个涉及两个向量的重要不等式，证明的关键在于正确分类，逐一解决.证明:（1）当a,b共线时，①a,b(a,b非零)同向时，则|a-b|=||a|-|b||＜|a|+|b|; ②只有当a，b中至少有一个零时，|a-b|=||a|-|b||=|a|+|b|; ③当a，b（a,b非零）反向时，|a-b|=|a|+|b|＞||a|-|b||.（2）当a，b不共线时，如右上图，在△ABC中，AC=a,AB=b,则BC=AC-AB=a-b.根据三角形中任意两边之差总小于第三边，两边之和总大于第三边可得：||a|-|b||＜|a-b|＜|a|+|b|.综合（1）（2）可得：对任意向量a,b都有||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.只有当a,b同向或a,b中至少一个为0时，||a|-|b||≤|a-b|中的等号成立；只有当a，b反向或a,b中至少一个为0时，|a-b|≤|a|+|b|中的等号成立.备选习题11.设a,b都是非零向量，（1）若向量a与b反向，则a-b与a的方向_________，且|a-b|_________|a|+|b|;（2）若a与b同向，且|a|＞|b|则a-b与a的方向_________且|a-b|_________|a|-|b|.答案：(1)相同= （2）相同=12.（1）当非零向量满足______________条件时，能使a+b平分a与b的夹角；满足______________条件时，能使|a+b|=|a-b|.（2）已知|OA|=|a|,|OB|=b且|a|=|b|=8,∠AOB=60°,则|a+b|=，|a-b|=,a与a+b所在直线的夹角.解析：（1）作OA=a,OB=b,以OA、OB为邻边作平行四边形，则a+b=OC,只有当OACB为菱形时，a+b才平分a与b的夹角.只有当平行四边形为矩形时，才能使其两条对角线相等，即|a+b|=|a-b|.（2）作以OA、OB为邻边的平行四边形，则OC=OA+OB=a+b,∴|a+b|=2|OD|=2×8×cos30°=38；由减法法则知BA=a-b,∵|a|=|b|=8,∠AOB=60°.∴|a-b|=8，且a+b所在的直线平分a与b的夹角，∴a与a+b所在直线的夹角为30°.88 30°答案：（1）|a|=|b| a⊥b（2）313.如下图，已知a、b、c分别作出a+b,a+c,a-c,b-c.解：如右图，作OA=a,OB=b, OC=c分别以OA、OB为邻边作平行四边形OADB，则OD=a+b.再分别以OA、OC为邻边作平行四边形OAEC，则OE=a+c.连结AC，则CA=a-c.再连结BC，则CB=b-c.14.如下图，已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c，求OD.解：与a、b、c之间难以建立直接的关系，挖掘隐含条件=寻找、a与以及b、c与的关系可间接获解.∵AO+OD=, BO+OC=BC=，∴AO+OD=BO+OC，∴OD =-AO +BO +OC =OA -OB +OC =a -b +c .15.一条渔船距对岸4 km ，以2 km/h 的速度垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船实际航程为8 km,则河水的流速为_________.解析：如右图设AB 表示船垂直于对岸的速度，则由AB +BC =AC 知AC 就是渔船实际航行的速度，航行时间为4÷2=2 h ， 在Rt △ABC 中，|AB |=2 km/h,|AC |=8÷2=4 km/h ，∴|BC |=32km/h.答案: 32km/h16.如右图所示，5 N 的重物在两根细绳的支持下处于平衡状态，如果两细绳与水平线的夹角分别是30°和60°，那么两细绳各受力的多少？解：将重力沿两根细绳方向分解，则依题意知，两根细绳的夹角为90°，∴|1OF |=|OF |cos60°=5×21=2.5(N),|2OF |=||cos30°=5×35.223 (N). ∴两根细绳上承受的拉力大小分别是2.5 N 和35.2N.。

2020年高中数学 人教A 版 必修4 同步作业本《向量减法运算及其几何意义》一、选择题1.下列等式不正确的是( )A ．a －0a＝B ．a －b=－(b －a)C.＋≠0AB → BA → D.=＋＋AC → DC → AB → BD →2.在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，则－等于( )AD → AC → A. B. C. D.CB → BC → CD → DC →3.在四边形ABCD 中，给出下列四个结论，其中一定正确的是( )A.＋=B.＋=C.＋=D.－=AB → BC → CA → BC → CD → BD → AB → AD → AC → AB → AD → BD →4.在边长为1的正三角形ABC 中，|－|的值为( )AB → BC → A ．1 B ．2 C. D.3235.已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足＋=，则下列结论中正确的是PA → PB → PC → ( )A ．P 在△ABC 的内部B ．P 在△ABC 的边AB 上C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 在△ABC 的外部6.给出下列各式：①＋＋； ②－＋－； ③－＋； ④－＋＋.AB → CA → BC → AB → CD → BD → AC → AD → OD → OA → NQ → MP → QP → MN → 对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．17.平面内有三点A ，B ，C ，设m=＋，n=－，若|m|=|n|，则有( )AB → BC → AB → BC → A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC=90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形二、填空题8.化简(＋)＋(－)=________.AB → PC → BA → QC → 9.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O 点，则－－＋＋=________.BA → BC → OA → OD → DA →10.若菱形ABCD 的边长为2，则|－＋|=________.AB → CB → CD → 11.已知如图，在正六边形ABCDEF 中，与－＋相等的向量有________．OA → OC → CD →①；②；③；④－＋；⑤＋；⑥－；⑦＋.CF → AD → BE → DE → FE → CD → CE → BC → CA → CD → AB → AE → 12.已知||=6，||=9，则|－|的取值范围是________．AB → CD → AB → CD → 三、解答题13.如图，已知a ，b ，求作a －b.14.如图所示，已知=a ，=b ，=c ，=d ，=e ，=f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：OA → OB → OC → OD → OE → OF →(1)－；(2)＋；(3)－.AD → AB → AB → CF → EF → CF →15.如图所示，已知正方形ABCD 的边长等于1，=a ，=b ，=c ，试作出下列向量，并分别AB → BC → AC → 求出其长度：(1)a ＋b ＋c ；(2)a －b ＋c.16.三个大小相同的力a ，b ，c 作用在同一物体P 上，使物体P 沿a 方向做匀速运动，设=a ，=b ，=c ，试判断△ABC 的形状．PA → PB → PC →答案解析1.答案为：C.解析：根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为与是一对相反向量，相反AB → BA → 向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．2.答案为：C.解析：在△ABC 中，D 是BC 边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得－=.AD → AC → CD → 3.答案为：B.解析：由向量加减法法则知＋=，＋=，－=.故选B.AB → BC → AC → BC → CD → BD → AB → AD → DB → 4.答案为：D.解析：作菱形ABCD ，则|－|=|－|=||=.AB → BC → AB → AD → DB → 35.答案为：D.解析：由＋=，可得=－=，所以四边形PBCA 为平行四边形．PA → PB → PC → PA → PC → PB → BC → 可知点P 在△ABC 的外部，故选D.6.答案为：A.解析：①＋＋=＋=0；AB → CA → BC → AC → CA → ②－＋－=＋－(＋)=－=0；AB → CD → BD → AC → AB → BD → AC → CD → AD → AD → ③－＋=＋＋=＋=0；AD → OD → OA → AD → DO → OA → AO → OA → ④－＋＋=＋＋－=＋=0.NQ → MP → QP → MN → NQ → QP → MN → MP → NP → PN → 7.答案为：C.解析：如图，作=，则ABCD 为平行四边形，从而m=＋=，n=－=－=.AD → BC → AB → BC → AC → AB → BC → AB → AD → DB → ∵|m|=|n|，∴||=||.∴四边形ABCD 是矩形，AC → DB → ∴△ABC 为直角三角形，且∠ABC=90°.8.答案为：；PQ → 解析：(＋)＋(－)=(＋)＋(＋)=0=.AB → PC → BA → QC → AB → BA → PC → CQ → ＋PQ → PQ →9.答案为：；CA → 解析：－－＋＋=(－)－(－)＋=－＋=.BA → BC → OA → OD → DA → BA → BC → OA → OD → DA → CA → DA → DA → CA → 10.答案为：2；解析：因为菱形ABCD 的边长为2，所以|－＋|=|＋＋|=|＋|=||=2.AB → CB → CD → AB → BC → CD → AC → CD → AD → 11.答案为：①④；解析：连接AC 、CF 、CE 、BD 、AE(图略)．因为四边形ACDF 是平形四边形，所以－＋=＋=，－＋=＋＋=，OA → OC → CD → CA → CD → CF → DE → FE → CD → CD → DE → EF → CF → ＋=＋=，－=.CE → BC → BC → CE → BE → CA → CD → DA → 因为四边形ABDE 是平行四边形，所以＋=，AB → AE → AD → 综上知与－＋相等的向量是①④.OA → OC → CD → 12.答案为：[3,15]；解析：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||=9，||=6，∴3≤|－AB → CD → AB → CD → AB → CD → CD → AB → AB → CD →|≤15.当与同向时，|－|=3；当与反向时，|－|=15.CD → AB → AB → CD → CD → AB → AB → CD → ∴|－|的取值范围为[3,15]．AB → CD → 13.解：14.解：(1)∵=b ，=d ，∴－==－=d －b.OB → OD → AD → AB → BD → OD → OB → (2)∵=a ，=b ，=c ，=f ，∴＋=(－)＋(－)=b ＋f －a －c.OA → OB → OC → OF → AB → CF → OB → OA → OF → OC → (3)－=＋==－=c －e.EF → CF → EF → FC → EC → OC → OE →15.解：(1)由已知得a ＋b=＋==c ，所以延长AC 到E ，使||=||，AB → BC → AC → CE → AC → 则a ＋b ＋c=，且||=2.所以|a ＋b ＋c|=2.AE → AE → 22(2)作=，连接CF ，则＋=，BF → AC → DB → BF → DF → 而=－=a －b ，所以a －b ＋c=＋=，DB → AB → AD → DB → BF → DF → 且||=2，所以|a －b ＋c|=2.DF → 16.解：由题意得：|a|=|b|=|c|，由于合力作用后做匀速运动，故合力为0，即a ＋b ＋c=0.所以a ＋c=－b.如图，作平行四边形APCD 为菱形．=a ＋c=－b ，所以∠APC=120°，PD → 同理：∠APB=∠BPC=120°，又因为|a|=|b|=|c|，所以△ABC 为等边三角形．。

更上一层楼基础•巩固1.AC可以写成：①AO+OC；②AO-OC；③OA-OC；④OC-OA，其中正确的是( )A.①②B.②③C.③④D.①④思路分析：利用向量加法、减法的运算法则进行计算.答案：D2.下列命题中，真命题的个数为( )①如果a与b的方向相同或相反，那么与a共线的向量的方向必与a、b之一的方向相同②△ABC中，必有AB+BC+CA=0③若AB+BC+CA=0，则A、B、C为一个三角形的三个顶点④若a、b均为非零向量，则|a+b|与|a|+|b|一定相等A.0B.1C.2D.3思路分析：①若与a共线的为0，则它不一定与a、b方向相同；②正确；③有可能A、B、C三点共线；④一般来说，|a+b|≤|a|+|b|.答案：B3.如图2-2-29，在四边形ABCD中，设AB=a，AD=b，BC=c，则DC等于( )A.a-b+cB.a+b+cC.b-(a+c)D.b-a+c图2-2-29思路分析：AC=a+c，又AD+DC=AC，即b+DC=a+c,∴DC=a+c-b.答案：A4.如图2-2-30，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OA=a，OB=b，OC=c，则EF等于( )图2-2-30A.a+bB.b-aC.c-bD.b-c思路分析：=CB=OB-OC=b-c.答案：D 5.化简：(CD AB -)-(BD AC -)=_________. 思路分析：(AB -CD )-(AC -BD )=AB +BD -(CD +AC )=AB +BD -(AC +CD )=AD -AD =0.答案：0综合•应用6.如图2-2-31所示，用两根绳子把重10 kg 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW=150°，∠BCW=120°，则A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)分别是__________.图2-2-31答案：35 kg 、5 kg7.如图2-2-32所示，在矩形ABCD 中，O 是对角线AC 与BD 的交点.若AB =a ，BC =b ，OB =c ，试证明a -(b +c )=-OD .图2-2-32证明：∵b +c =OB +BC =OC =AO ，∴a -(b +c )=AB -AO =OB .又∵OB =-OD ，∴a -(b +c)=OD -.回顾•展望8.如图2-2-33所示，已知在矩形ABCD 中，|AD |=34.设AB =a ，BC =b ，BD =c ，求|a +b +c |.图2-2-33解：由a +b =，∴a +b +c =+BD .如图所示，把向量平移，使起点与点C 重合，终点为点E ， 所以a +b +c =AC +CE =.由题意可知||=2||=38.。

第 19 课时向量减法运算及其几何意义课时目标1.理解向量减法的定义，掌握相反向量观点．2．掌握向量减法运算的几何意义，能作出两个向量的差向量．识记加强1．定义： a－ b＝ a＋ (－ b)即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．→→→. 2．几何意义：以 A 为起点，作向量 AB＝ a，AD ＝ b，则 DB ＝ a－ b.如下图课时作业一、选择题1．以下运算中正确的选项是()→→→→→→A.OA－ OB＝ ABB.AB－ CD＝ DB→→→→→C.OA－ OB＝ BAD.AB－ AB＝ 0答案： C分析：依据向量减法的几何意义，→→→知OA －OB＝ BA，因此 C 正确， A 错误； B 明显错误；→→0，而不是 0.关于 D ，AB－ AB应当等于→→→→→→) 2．在四边形 ABCD 中， AB＝DC， |AB＋ AD|＝ |AB－ AD|，则四边形 ABCD 必为 (A ．梯形B．矩形C．菱形D．正方形答案： B分析：矩形的对角线相等．3．已知→→→) |AB|＝ 8， |AC|＝ 5，则 |BC|的取值范围为 (A ． [3,8]B． (3,8)C．[3,13] D． (3,13)答案： C→→ →→→→→ →→分析：因 BC＝AC－ AB，当 AB， AC同向时， |BC|＝ 8－ 5＝ 3；当 AB，AC 反向时， BC＝ 8→→→＋5＝ 13；而当 AB， AC不平行时， 3＜ |BC|＜13.4．以下说法正确的选项是()A ．两个方向同样的向量之差等于0B．两个相等向量之差等于0C．两个相反向量之差等于0D．两个平行向量之差等于0答案： B分析：依据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于0，其余选项都是不正5．化简以下各式： → → → (1)AB ＋BC ＋CA ； → → → → (2)AB －AC ＋BD － CD ； → → → (3)OA － OD ＋ AD ； → → → → (4)NQ ＋ QP ＋ MN － MP则等于 0 的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ． 4答案： D→ → → 分析： 关于 (1) ： AB ＋ CA ＝ 0； ＋ BC→ → → → → → → → 关于 (2)： AB － AC ＋ BD －CD ＝ (AB ＋BD) －(AC ＋CD)＝0；→ → → → → → → → 关于 (3)： OA －OD ＋ AD ＝ (OA ＋ AD)－ OD ＝ OD － OD ＝0；→ → → → → → → → 关于 (4)： NQ ＋QP ＋ MN － MP ＝ (MN ＋ NQ ＋ QP)－MP ＝ 0.6．边长为 1 的正三角形 → →ABC 中， |AB － BC|的值为 ()A ．1B ．23C. 2D. 3答案： D→ → → → → →→分析： 延伸 CB 至 D ，使 BC ＝BD ＝ 1.则－ BC ＝BD ，故 |AB － BC|＝ |AB ＋ BD |＝ |AD|.二、填空题7．小王从宿舍要到东边 100 米的教室去， 但他先到宿舍西边 50 米的收发室拿了一个包 裹，这时他需要向 ________边走 ________米才能到教室．答案： 东 150分析： 以向东为正方向，则 100－ (－ 50)＝150，因此他要向东走150 米才能到教室． 8．关于向量 a ， b 当且仅当 ________时，有 |a － b|＝ ||a|－ |b||.答案： a 与 b 同向分析： 当 a ，b 不一样向时，依据向量减法的几何意义，知必定有|a － b|>||a|－ |b||，因此只 有两向量共线且同向时，才有|a － b|＝ ||a|－ |b||.→→ → → 用 a ，b ，c 表示为 ________．9．如图，在四边形 ABCD 中，设 AB ＝ a ，AD ＝ b ，BC ＝ c ，则DC答案： a － b ＋ c → → → → → → 分析： DC ＝ AC － AD ＝ AB ＋ BC － AD ＝ a ＋ c － b.三、解答题10.如下图四边形ABCD 为平行四边形，设 → →AB ＝ a ， AD ＝ b. (1)求当 a 与 b 知足什么条件时， |a ＋ b|＝ |a － b|；(2)求当 a 与 b 知足什么条件时，四边形 ABCD 为菱形，正方形．解： (1)∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴ → → → → → →|a ＋ b|＝ |AB ＋AD |＝ |AC|， |a －b|＝ |AB －AD |＝ |DB |，又 |a ＋ b|＝ |a － b|，∴ →→|AC|＝ |DB |.∴ ?ABCD 的对角线长相等，∴ ?ABCD 为矩形，∴当 a 与 b 垂直时， |a ＋ b|＝ |a － b|.(2)欲使 ABCD 为菱形，需 |a|＝ |b|，当 |a|＝ |b|，且 a 与 b 垂直时，平行四边形为正方形．11．如图，已知正方形 ABCD 的边长等于 → → →1，AB ＝ a ，BC ＝ b ，AC ＝ c ，试作向量并分别 求模．(1)a ＋ b ＋ c ；(2)a － b ＋ c.→ → →解： (1)如图，由已知得 a ＋ b ＝AB ＋BC ＝ AC ，→ → →又 AC ＝ c ，∴延伸 AC 到 E ，使 |CE|＝|AC|.→ → 2.则 a ＋b ＋ c ＝ AE ，且 |AE|＝ 2→ → → → →，(2)作 BF ＝ AC ，连结 CF ，则 DB ＋ BF ＝ DF → → → →而 DB ＝ AB － AD ＝ a － BC ＝ a － b，→ → →→∴ a － b ＋ c ＝ DB ＋ BF ＝ DF 且|DF |＝ 2.能力提高→12．以下各式中不可以化简为 AD 的是 ()→ → →A ． (AB －DC ) －CB→ → →B.AD － ( CD ＋DC )→→→→C．－ (CD ＋ MC )－ (DA ＋ DM )→→→D．－ BM－DA ＋ MB答案： D→→→→→→→→→→→→→分析：由于 ( AB－ DC )－ CB＝ AB ＋ CD＋ BC＝ AB＋ BD ＝ AD； AD － (CD ＋ DC )＝ AD － 0→→→→→→→→→→→→→→＝AD ；－ (CD＋ MC )－ (DA ＋ DM )＝－ MD － DA － DM ＝ DM ＋ AD－DM ＝ AD ；－ BM－ DA ＋→ →→→→→MB＝ MB ＋AD＋ MB＝AD ＋2MB.13．研究不等式||a|－ |b||≤ |a－b|≤ |a|＋ |b|的等号建立的条件．解：若向量 a、b 起码有一个零向量，不等式两头的等号都建立．若向量 a、 b 皆为非零向量，则当向量 a、 b 反向时，不等式 ||a|－ |b||≤ |a－ b|≤ |a|＋ |b|的右端等号建立；当向量 a、 b 同向时，不等式||a|－ |b||≤ |a－ b|≤ |a|＋ |b|的左端等号建立．。

基础达标1．化简以下各式：①AB →＋BC →＋CA →；②AB →－AC →＋BD →－CD →；③OA →－OD →＋AD →；④NQ →＋QP →＋MN →－MP →，结果为零向量的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4解析 四个向量化简后均为0.答案 D2．在平行四边形ABCD 中，|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则必有( )．A.AD →＝0B ．AB →＝0或AD →＝0C ．▱ABCD 是矩形 D ．▱ABCD 是正方形 解析 由|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|得|AC →|＝|DB →|，故▱ABCD 为矩形．答案 C3．已知六边形ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中a ＝OF →，b ＝OA →，c ＝OB →，则EF →等于( )．A ．a ＋bB ．b －aC ．c －bD ．a ＋c解析 由正六边形性质知：EF →＝OA →＝b ，b ＝a ＋c .答案 D4．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 与BD 交于O点，则BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝________.解析 BA →－BC →－OA →＋OD →＋DA →＝(BA →－BC →)－(OA →－OD →)＋DA →＝CA →－DA →＋DA →＝CA →.答案 CA →5．设平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，若a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 的形状是________．解析 ∵a ＋c ＝b ＋d ，∴OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，四边形ABCD 为平行四边形．答案 平行四边形6．已知OA →＝a ，OB →＝b ，若|OA →|＝12，|OB →|＝5，且∠AOB ＝90°，则|a －b |＝________.解析 ∵|OA →|＝12，|OB →|＝5，∠AOB ＝90°，∴|OA →|2＋|OB →|2＝|AB →|2，∴|AB →|＝13.∵OA →＝a ，OB →＝b ，∴a －b ＝OA →－OB →＝BA →，∴|a －b |＝|BA →|＝13.答案 137．如图，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f →，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示以下向量：(1)AC →；(2)AD →；(3)DF →＋FE →＋ED →.解 (1)AC →＝OC →－OA →＝c －a .(2)AD →＝AO →＋OD →＝－OA →＋OD →＝－a ＋d .(3)DF →＋FE →＋ED →＝DO →＋OF →＋FO →＋OE →＋EO →＋OD →＝0.能力提升8．在边长为1的正三角形ABC 中，|AB →－BC →|的值为( )．A ．1B ．2 C.32D ． 3 解析 作菱形ABCD ，则|AB →－BC →|＝|AB →－AD →|＝|DB →|＝ 3.答案 D9．设平面向量a 1，a 2，a 3满足a 1－a 2＋a 3＝0， 如果平面向量b 1，b 2，b 3满足|b i |＝2|a i |，且a i 顺时针旋转30°后与b i 同向，其中i ＝1,2,3，则b 1－b 2＋b 3＝________.解析 将a i 顺时针旋转30°后得a i ′，则a 1′－a 2′＋a 3′＝0.又∵b i 与a i ′同向，且|b i |＝2|a i |，∴b 1－b 2＋b 3＝0.答案 010．如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：OH →＝OA → ＋OB →＋OC →.证明 作直径BD ，连接DA 、DC ，则OB →＝－OD →，DA ⊥AB ，AH ⊥BC ，CH ⊥AB ，CD ⊥BC .∴CH ∥DA ，AH ∥DC ，故四边形AHCD 是平行四边形．∴AH →＝DC →，又DC →＝OC →－OD →＝OC →＋OB →，∴OH →＝OA →＋AH →＝OA →＋DC →＝OA →＋OB →＋OC →.。