2015高中数学 第1部分 2.5第2课时 数列求和课时跟踪检测 新人教A版必修5

人教A版高中数学选择性必修第一册全册学案第一章空间向量与立体几何........................................................................................................ - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其线性运算...................................................................................... - 2 -1.1.2空间向量的数量积运算.................................................................................... - 16 -1.2空间向量基本定理....................................................................................................... - 29 -1.3空间向量及其运算的坐标表示................................................................................... - 38 -1.3.1空间直角坐标系................................................................................................ - 38 -1.3.2空间运算的坐标表示........................................................................................ - 46 -1.4空间向量的应用 .......................................................................................................... - 59 -1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系........................................................ - 59 -第1课时空间向量与平行关系........................................................................ - 59 -第2课时空间向量与垂直关系........................................................................ - 69 -1.4.2用空量研究距离、夹角问题............................................................................ - 79 -章末总结 ............................................................................................................................... - 97 - 第二章直线和圆的方程............................................................................................................ - 113 -2.1直线的倾斜角与斜率................................................................................................. - 113 -2.1.1倾斜角与斜率 ................................................................................................. - 113 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定.......................................................................... - 121 -2.2直线的方程 ................................................................................................................ - 131 -2.2.1直线点斜式方程.............................................................................................. - 131 -2.2.2直线的两点式方程.......................................................................................... - 137 -2.2.3直线的一般式方程.......................................................................................... - 145 -2.3直线的交点坐标与距离公式..................................................................................... - 154 -2.3.1两条直线的交点坐标...................................................................................... - 154 -2.3.2两点间的距离公式.......................................................................................... - 154 -2.3.3点到直线的距离公式...................................................................................... - 163 -2.3.4两条平行直线间的距离.................................................................................. - 163 -2.4圆的方程 .................................................................................................................... - 171 -2.4.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 171 -2.4.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 180 -2.5直线与圆、圆与圆的位置关系................................................................................. - 188 -2.5.1直线与圆的位置关系...................................................................................... - 188 -2.5.2圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 199 -章末复习 ............................................................................................................................. - 208 - 第三章圆锥曲线的方程............................................................................................................ - 222 -3.1椭圆 ............................................................................................................................ - 222 -3.1.1椭圆及其标准方程.......................................................................................... - 222 -3.1.2椭圆的简单几何性质...................................................................................... - 234 -第1课时椭圆的简单几何性质...................................................................... - 234 -第2课时椭圆的标准方程及性质的应用...................................................... - 244 -3.2双曲线 ........................................................................................................................ - 256 -3.2.1双曲线及其标准方程...................................................................................... - 256 -3.2.2双曲线的简单几何性质.................................................................................. - 267 -3.3抛物线 ........................................................................................................................ - 281 -3.3.1抛物线及其标准方程...................................................................................... - 281 -3.3.2抛物线的简单几何性质.................................................................................. - 291 -章末复习 ............................................................................................................................. - 303 - 全书复习 ..................................................................................................................................... - 316 -第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其线性运算学习目标核心素养1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点) 1.通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养.2.借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.国庆期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？图1图2如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那么他实际发生的位移是什么？又如何表示呢？1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a ，b ，c ，…表示；若向量a 的起点是A ，终点是B ，也可记作：AB →，其模记为|a |或|AB →|.2．几类常见的空间向量名称方向 模 记法 零向量任意 0 0 单位向量任意 1 相反向量相反 相等 a 的相反向量：－a AB →的相反向量：BA → 相等向量 相同 相等 a ＝b3.(1)向量的加法、减法空间向量的运算 加法 OB →＝OA →＋OC →＝a ＋b减法 CA →＝OA →－OC →＝a －b 加法运算律 ①交换律：a ＋b ＝b ＋a②结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )①定义：实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0；λa 的长度是a 的长度的|λ|倍．②运算律a ．结合律：λ(μa )＝μ(λa )＝(λμ)a .b ．分配律：(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ，λ(a ＋b )＝λa ＋λb .思考：向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？[提示] 没有关系．4.共线向量(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量． (2)方向向量：在直线l 上取非零向量a ，与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量．规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a ，都有0∥a .(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使a ＝λb .(4)如图，O 是直线l 上一点，在直线l 上取非零向量a ，则对于直线l 上任意一点P ，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得OP →＝λa .5．共面向量(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a ，b 不共线，则向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .(3)空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件：存在有序实数对(x ，y ), 使AP →＝xAB →＋yAC →或对空间任意一点O ，有OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →.思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则点P 与点A ，B ，C 是否共面？[提示] (1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由OP →＝13OA →＋13OB →＋13OC →得OP →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)即AP →＝13AB →＋13AC →，因此点P 与点A ，B ，C 共面．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间向量a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ．( ) (2)相等向量一定是共线向量．( ) (3)三个空间向量一定是共面向量．( ) (4)零向量没有方向．( )[提示] (1)× 若b ＝0时，a 与c 不一定平行．(2)√ 相等向量一定共线，但共线不一定相等．(3)× 空间两个向量一定是共面向量，但三个空间向量可能是共面的，也可以是不共面的．(4)× 零向量有方向，它的方向是任意的．2．如图所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1所有的棱中，可作为直线A 1B 1的方向向量的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [共四条AB ，A 1B 1，CD ，C 1D 1.]3．点C 在线段AB 上，且|AB |＝5，|BC |＝3，AB →＝λBC →，则λ＝________. －53 [因为C 在线段AB 上，所以AB →与BC →方向相反，又因|AB |＝5，|BC |＝3，故λ＝－53.]4．在三棱锥A -BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．0 [延长DE 交边BC 于点F ，连接AF ，则有AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD→＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝0.]空间向量的有关概念①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |；③在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AC →＝A 1C 1→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCD -A ′B ′C ′D ′中，顶点连接的向量中，与向量AA ′→相等的向量有________；与向量A ′B ′→相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④ (2)BB ′→，CC ′→，DD ′→ B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→ [(1)对于①，向量a 与b 的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知|a |＝|b |，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，AC →＝A 1C 1→，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．(2)根据相等向量的定义知，与向量AA ′→相等的向量有BB ′→，CC ′→，DD ′→.与向量A ′B ′→相反的向量有B ′A ′→，BA →，CD →，C ′D ′→.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两个向量模相等,方向相反,则它们为相反向量. [跟进训练]1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；②平行且模相等的两个向量是相等向量；③若a ≠b ，则|a |≠|b |；④两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3B [根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，①正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，②不正确；当a ＝－b 时，也有|a |＝|b |，③不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，④不正确．综上可知只有①正确，故选B.]空间向量的线性运算 1111为向量AC 1→的有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1→；②(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→；③(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→；④(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(2)已知正四棱锥P -ABCD ，O 是正方形ABCD 的中心，Q 是CD 的中点，求下列各式中x ，y ，z 的值．①OQ →＝PQ →＋yPC →＋zP A →；②P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.[思路探究] (1)合理根据向量的三角形和平行四边形法则，以及在平行六面体中，体对角线向量等于从同一起点出发的三条棱向量的和．如AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→.(2)根据数乘向量及三角形或平行四边形法则求解．(1)D [对于①，(AB →＋BC →)＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→；对于②，(AA 1→＋A 1D 1→)＋D 1C 1→＝AD 1→＋D 1C 1→＝AC 1→；对于③，(AB →＋BB 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→；对于④，(AA 1→＋A 1B 1→)＋B 1C 1→＝AB 1→＋B 1C 1→＝AC 1→.](2)[解] ①如图，∵OQ →＝PQ →－PO →＝PQ →－12(P A →＋PC →)＝PQ →－12PC →－12P A →，∴y ＝z ＝－12.②∵O 为AC 的中点，Q 为CD 的中点，∴P A →＋PC →＝2PO →，PC →＋PD →＝2PQ →，∴P A →＝2PO →－PC →，PC →＝2PQ →－PD →，∴P A →＝2PO →－2PQ →＋PD →，∴x ＝2，y ＝－2.1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． [跟进训练] 2．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A ．32DB → B ．3MG →C ．3GM →D ．2MG →B [MG →－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.]共线问题【例3】 (1)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB ＝e 1＋k e 2，BC ＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________.(2)如图所示，已知四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点，判断CE →与MN →是否共线．[思路探究] (1)根据向量共线的充要条件求解．(2)根据数乘向量及三角形法则，把MN →表示成λCE →的形式，再根据向量共线的充要条件求解．(1)1 [AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e 1＋k e 2)＋(5e 1＋4e 2)＋(e 1＋2e 2)＝7e 1＋(k ＋6)e 2. 设AD →＝λAB →，则7e 1＋(k ＋6)e 2＝λ(e 1＋k e 2)，所以⎩⎨⎧ λ＝7λk ＝k ＋6，解得k ＝1.] (2)[解] 法一：因为M ，N 分别是AC ，BF 的中点，且四边形ABCD ，四边形ABEF 都是平行四边形，所以MN →＝MA →＋AF →＋FN →＝12CA →＋AF →＋12FB →.又因为MN →＝MC →＋CE →＋EB →＋BN →＝－12CA →＋CE →－AF →－12FB →，以上两式相加得CE →＝2MN →，所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．法二：因为四边形ABEF 为平行四边形，所以连接AE 时，AE 必过点N . ∴CE →＝AE →－AC →＝2AN →－2AM →＝2(AN →－AM →)＝2MN →.所以CE →∥MN →，即CE →与MN →共线．证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线．(1)存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．(2)对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )．(3)对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED 1→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．[证明] 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 因为A 1E →＝2ED 1→，A 1F →＝23FC →， 所以A 1E →＝23A 1D 1→，A 1F →＝25A 1C →， 所以A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA 1→)＝25(AB →＋AD →－AA 1→)＝25a ＋25b －25c ，所以EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23b －c .又EB →＝EA 1→＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ， 所以EF →＝25EB →，所以E ，F ，B 三点共线.向量共面问题1．什么样的向量算是共面向量？[提示] 能够平移到同一个平面内的向量称为共面向量． 2．能说明P ，A ，B ，C 四点共面的结论有哪些？ [提示] (1)存在有序实数对(x ，y )，使得AP →＝xAB →＋yAC →.(2)空间一点P 在平面ABC 内的充要条件是存在有序实数组(x ，y ，z )使得OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)．(3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如P A →∥BC →.3．已知向量a ，b ，c 不共面，且p ＝3a ＋2b ＋c ，m ＝a －b ＋c ，n ＝a ＋b －c ，试判断p ，m ，n 是否共面．[提示] 设p ＝x m ＋y n ，即3a ＋2b ＋c ＝x (a －b ＋c )＋ y (a ＋b －c )＝(x ＋y )a ＋(－x ＋y )b ＋(x －y )c .因为a ，b ，c 不共面，所以⎩⎨⎧x ＋y ＝3，－x ＋y ＝2，x －y ＝1，而此方程组无解，所以p 不能用m ，n 表示，即p ，m ，n 不共面．【例4】 已知A ，B ，C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若点M 满足OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断M 是否在平面ABC 内．[思路探究] (1)根据向量共面的充要条件，即判断是否MA →＝xMB →＋yMC →；(2)根据(1)的结论，也可以利用OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →中x ＋y ＋z 是否等于1.[解] (1)∵OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， ∴MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴向量MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知向量MA →，MB →，MC →共面，而它们有共同的起点M ，且A ，B ，C 三点不共线，∴M ，A ，B ，C 共面，即M 在平面ABC 内．1．[变条件]若把本例中条件“OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC →”改为“OA →＋2OB →＝6OP →－3OC →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．[解] ∵3OP →－3OC →＝OA →＋2OB →－3OP →＝(OA →－OP →)＋(2OB →－2OP →)，∴3CP →＝P A →＋2PB →，即P A →＝－2PB →－3PC →.根据共面向量定理的推论知：点P 与点A ，B ，C 共面．2．[变条件]若把本例条件变成“OP →＋OC →＝4OA →－OB →”，点P 是否与点A 、B 、C 共面．[解] 设OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →(x ，y ∈R )，则 OA →＋xAB →＋yAC →＋OC →＝4OA →－OB →，∴OA →＋x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)＋OC →＝4OA →－OB →， ∴(1－x －y －4)OA →＋(1＋x )OB →＋(1＋y )OC →＝0，由题意知OA →，OB →，OC →均为非零向量，所以x ，y 满足：⎩⎨⎧1－x －y －4＝0，1＋x ＝0，1＋y ＝0，显然此方程组无解，故点P 与点A ，B ，C 不共面．3．[变解法]上面两个母题探究，还可以用什么方法判断？ [解] (1)由题意知，OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC . ∵16＋13＋12＝1，∴点P 与点A 、B 、C 共面． (2)∵OP →＝4OA →－OB →－OC →，而4－1－1＝2≠1. ∴点P 与点A 、B 、C 不共面．解决向量共面的策略(1)若已知点P 在平面ABC 内，则有AP →＝xAB →＋yAC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.(2)证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.1．一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的． (2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．2.OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．3．证明(或判断)A ，B ，C 三点共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明A ，B ，C 三点共线．4．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．5．直线的方向向量是指与直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无穷多个，它们的方向相同或相反．6．向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是在a 与b 不共线的前提下才成立的，若a 与b 共线，则不成立．1．下列条件中使M 与A ，B ，C 一定共面的是( ) A ．OM →＝2OA →－OB →－OC → B ．OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C ．MA →＋MB →＋MC →＝0 D ．OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0C [由MA →＋MB →＋MC →＝0得MA →＝－MB →－MC →，故M ，A ，B ，C 共面．] 2．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋mAB→－nAA 1→，则m ，n 的值分别为( )A ．12，－12 B ．－12，－12 C ．－12，12D ．12，12A [由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD 1→)＝AD →＋12AB →＋12AA 1→，所以m ＝12，n ＝－12，故答案为A.]3．化简：12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c －3(a －2b ＋c )＝________. 56a ＋92b －76c [原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c －3a ＋6b －3c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋103－3a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52＋6b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋103－3c ＝56a ＋92b －76c .] 4．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a ，b 满足|a |＞|b |且a ，b 同向，则a ＞b ； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为________．④ [对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．]5．设两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，求k 的值． [解] ∵两非零向量e 1，e 2不共线，且k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，∴k e 1＋e 2＝t (e 1＋k e 2)，则(k －t )e 1＋(1－tk )e 2＝0.∵非零向量e 1，e 2不共线，∴k －t ＝0,1－kt ＝0，解得k ＝±1.1.1.2 空间向量的数量积运算学习 目 标核心 素 养1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点)3.掌握投影向量的概念．(重点)4.能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)1.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养.2.借助投影向量概念的学习，培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养.3.借助利用空间向量数量积证明垂直关系、求夹角和距离运算，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.已知两个非零向量a 与b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a 与b 的夹角．如果a 与b 的夹角为90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，把a ·b ＝|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)类比探究一下：两个空间向量的夹角以及它们的数量积能否像平面向量那样来定义呢？1．空间向量的夹角 (1)夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉．(2)夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量垂直，记作a ⊥b .2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b .即a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a ，b 为非零向量) ①a ⊥b ⇔a ·b ＝0.②a ·a ＝|a ||a |cos 〈a ，a 〉＝|a |2. ③cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |. (3)数量积的运算律(2)若a ·b >0，则〈a ，b 〉一定是锐角吗？[提示] (1)若a ·b ＝0，则不一定有a ⊥b ，也可能a ＝0或b ＝0.(2)当〈a ，b 〉＝0时，也有a ·b >0，故当a ·b >0时，〈a ·b 〉不一定是锐角． 3．投影向量 (1)投影向量在空间，向量a 向向量b 投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，c ＝|a |cos 〈a ，b 〉b|b |，则向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量，同理向量b 在向量a 上的投影向量是|b |cos 〈a ，b 〉a|a |.(2)向量a 在平面β上的投影向量向量a 向平面β投影，就是分别由向量a 的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A ′，B ′，得到向量A ′B ′→，则向量A ′B ′→称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a，A ′B ′→的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．[提醒] (1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零； (2)向量数量积的运算不满足消去律、作商和乘法的结合律 ，即a ·b ＝a ·c ⇒b ＝c ，a ·b ＝k ⇒b ＝k a ，(a ·b )·c ＝a ·(b·c )都不成立．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于非零向量a ，b ，〈a ，b 〉与〈a ，－b 〉相等． ( ) (2)对于任意向量a ，b ，c ，都有(a ·b )c ＝a (b ·c )． ( ) (3)若a ·b ＝b ·c ，且b ≠0，则a ＝c ． ( ) (4)(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2． ( )[提示] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材P 8练习T 1改编)在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A ．38B ．14C ．34D ．18B [令底面边长为1，则高也为1，AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝B C →＋CC 1→，∴AB 1→·BC 1→＝(AB →＋BB 1→)·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋BB 1→·CC 1→＝1×1×cos 120°＋12＝12，又|AB 1→|＝|BC 1→|＝ 2.∴cos 〈AB 1，BC 1〉＝122×2＝14.故选B.]3．已知a ＝3p －2q ，b ＝p ＋q ，p 和q 是相互垂直的单位向量，则a·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 A [由题意知，p·q ＝0，p 2＝q 2＝1.所以a ·b ＝(3p －2q )·(p ＋q )＝3p 2＋p ·q －2q 2＝3－2＝1.]4．设a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则向量a ＋b ＋c 的模是________．17＋63 [因为|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·b ＋a ·c ＋b ·c )＝1＋4＋9＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋1×3×12＋2×3×32＝17＋63，所以|a ＋b ＋c |＝17＋6 3.]空间向量数量积的运算【例1】 (1)如图，三棱锥A -BCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝2，∠BAD ＝90°，∠BAC＝60°，则AB →·CD →等于( )A ．－2B ．2C ．－2 3D ．2 3(2)在四面体OABC 中，棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝2，OC ＝3，G 为△ABC 的重心，求OG →·(OA →＋OB →＋OC →)的值．(1)A [∵CD →＝AD →－AC →，∴AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0－2×2×cos 60°＝－2.](2)[解] OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →) ＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13OB →＋13OC →＋13OA →.∴OG →·(OA →＋OB →＋OC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OB →＋13OC →＋13OA →·(OA →＋OB →＋OC →)＝13OB →2＋13OC →2＋13OA →2 ＝13×22＋13×32＋13×12＝143.在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积. (3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模. (4)代入公式a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解.[跟进训练]1．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点，求下列向量的数量积：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→.[解] 如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝BC →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝b ·12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋AA 1→)＝c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.利用数量积证明空间垂直关系＝OC ，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是MN 的中点，求证：OG ⊥BC .[思路探究] 首先把向量OG →和BC →均用OA →、OB →、OC →表示出来，通过证明OG →·BC →＝0来证得OG ⊥BC .[证明] 连接ON ，设∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝θ，又设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |. 又OG →＝12(OM →＋ON →) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12OA →＋12(OB →＋OC →) ＝14(a ＋b ＋c )，BC →＝c －b . ∴OG →·BC →＝14(a ＋b ＋c )·(c －b ) ＝14(a ·c －a ·b ＋b ·c －b 2＋c 2－b ·c ) ＝14(|a |2·cos θ－|a |2·cos θ－|a |2＋|a |2)＝0. ∴OG →⊥BC →，即OG ⊥BC .用向量法证明垂直关系的步骤 (1)把几何问题转化为向量问题； (2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证明数量积为0； (4)将向量问题回归到几何问题．[跟进训练]2.如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD ，PD ⊥底面ABCD .证明：P A ⊥BD .[证明] 由底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝2AD 知，DA ⊥BD ，则BD →·DA →＝0.由PD ⊥底面ABCD 知，PD ⊥BD ，则BD →·PD →＝0.又P A →＝PD →＋DA →，∴P A →·BD →＝(PD →＋DA →)·BD →＝PD →·BD →＋DA →·BD →＝0，即P A ⊥BD .夹角问题夹角〈a ，b 〉为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．以上都不对(2)如图，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，求异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值．[思路探究] (1)根据题意，构造△ABC ，使AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，根据△ABC 三边之长，利用余弦定理求出向量a 与b 之间的夹角即可．(2)求异面直线OA 与BC 所成的角，首先来求OA →与BC →的夹角，但要注意异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，而向量夹角的取值范围为[0，π]，注意角度的转化．(1)D [∵a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4， ∴以这三个向量首尾相连组成△ABC ；令AB →＝c ，AC →＝b ，BC →＝a ，则△ABC 三边之长分别为BC ＝2，CA ＝3，AB ＝4； 由余弦定理，得：cos ∠BCA ＝BC 2＋CA 2－AB 22BC ·CA ＝22＋32－422×2×3＝－14， 又向量BC →和CA →是首尾相连，∴这两个向量的夹角是180°－∠BCA ， ∴cos 〈a ，b 〉＝14，即向量a 与b 之间的夹角〈a ，b 〉不是特殊角．](2)[解] ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120° ＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225，∴异面直线OA 与BC 的夹角的余弦值为3－225.利用向量数量积求夹角问题的思路(1)求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；②先求a ·b ，再利用公式cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |求出cos 〈a ，b 〉的值，最后确定〈a ，b 〉的值．(2)求两条异面直线所成的角，步骤如下：①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量(即直线的方向向量)； ②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题； ③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而求出异面直线所成的角的大小．[跟进训练]3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，求BC 1→与AC →夹角的大小．[解] 不妨设正方体的棱长为1，则BC 1→·AC →＝(BC →＋CC 1→)·(AB →＋BC →) ＝(AD →＋AA 1→)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA 1→·AB →＋AA 1→·AD → ＝0＋AD 2→＋0＋0＝AD 2→＝1， 又∵|BC 1→|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC 1→·AC →|BC 1→||AC →|＝12×2＝12.∵〈BC 1→，AC →〉∈[0，π]，∴〈BC 1→，AC →〉＝π3. 即BC 1→与AC →夹角的大小为π3.距离问题1．用数量积解决的距离问题一般有哪几种？ [提示] 线段长度即点点距、点线距、点面距． 2．求模的大小常用哪些公式？[提示] 由公式|a |＝a ·a 可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.3.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在平面α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，试求A ，D 两点间的距离．[提示] ∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →，∴|AD →|2＝(AB →＋BC →＋CD →)2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CD →|2＋2AB →·BC →＋2AB →·CD ＋2BC →·CD →＝12＋2(2·2·cos 90°＋2·2·cos 120°＋2·2·cos 90°)＝8，∴|AD →|＝22，即A ，D 两点间的距离为2 2.【例4】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB ＝AC ＝1，∠ACD ＝90°，沿着它的对角线AC 将△ACD 折起，使AB 与CD 成60°角，求此时B ，D 间的距离．[思路探究] BD →＝BA →＋AC →＋CD →―→|BD →|2 注意对〈BA →，CD →〉的讨论，再求出B ，D 间距离．[解] ∵∠ACD ＝90°，∴AC →·CD ＝0，同理可得AC →·BA →＝0.∵AB 与CD 成60°角，∴〈BA →，CD →〉＝60°或〈BA →，CD →〉＝120°.又BD →＝BA →＋AC →＋CD →，∴|BD →|2＝|BA →|2＋|AC →|2＋|CD →|2＋2BA →·AC →＋2BA →·CD →＋2AC →·CD →＝3＋2×1×1×cos 〈BA →，CD →〉．∴当〈BA →，CD →〉＝60°时，|BD →|2＝4，此时B ，D 间的距离为2；当〈BA →，CD →〉＝120°时，|BD →|2＝2，此时B ，D 间的距离为 2.求两点间的距离或线段长的方法(1)将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．(2)因为a ·a ＝|a |2，所以|a |＝a·a ，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2.(3)可用|a ·e |＝|a ||cos θ|(e 为单位向量，θ为a ，e 的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．[跟进训练]4.如图所示，在平面角为120°的二面角α-AB -β中，AC ⊂α，BD ⊂β，且AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，垂足分别为A ，B .已知AC ＝AB ＝BD ＝6，求线段CD 的长．[解] ∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0.∵二面角α-AB -β的平面角为120°，∴〈CA →，BD →〉＝180°－120°＝60°. ∴CD →2＝(CA →＋AB →＋BD →)2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2BD →·AB →＝3×62＋2×62×cos 60°＝144，∴CD ＝12.1．空间两向量的数量积与平面向量的数量积类似，由于数量积不满足结合律，因此在进行数量积运算时，一次、二次式与实数运算相同，运算公式也相同，三次及以上必须按式中的运算顺序依次进行运算．2．空间向量数量积运算的两种方法(1)利用定义：利用a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉并结合运算律进行计算．(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．3．在几何体中求空间向量数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积． (3)代入a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求解．4．空间向量中求两向量夹角与平面向量中的求法完全相同，都是应用公式cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |，解题的关键就是求a ·b 和|a |、|b |.求模时注意|a |2＝a ·a 的应用．1.如图，空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于1，E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则FG →·AB →＝( )A ．34B ．14C ．12D ．32B [由题意可得FG →＝12AC →，∴FG →·AB →＝12×1×1×cos 60°＝14.]2．已知两异面直线的方向向量分别为a ，b ，且|a |＝|b |＝1，a·b ＝－12，则两直线的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°B [设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝－12，所以θ＝120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.]3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________. 0 [原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →) ＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0.]4.如图所示，在一个直二面角α-AB -β的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．229 [∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →＝AB →－AC →＋BD →， ∴CD →2＝(AB →－AC →＋BD →)2＝AB →2＋AC →2＋BD →2－2AB →·AC →＋2AB →·BD →－2AC →·BD →＝16＋36＋64＝116， ∴|CD →|＝229.]5.如图，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点M ，N 分别是边AB ，CD 的中点．(1)求证：MN 为AB 和CD 的公垂线； (2)求MN 的长；(3)求异面直线AN 与MC 所成角的余弦值． [解] 设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意，可知|p |＝|q|＝|r|＝a ，且p ，q ，r 三向量两两夹角均为60°. (1)证明：MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB → ＝12(q ＋r －p )， ∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p ＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0 ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . ∴MN 为AB 与CD 的公垂线． (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )，∴|MN →|2＝(MN →)2＝14(q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －q·p －r ·p )]＝14(a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22]＝14×2a 2＝a 22.∴|MN →|＝22a ， ∴MN 的长度为22a .(3)设向量AN →与MC →的夹角为θ，∵AN →＝12(AC →＋AD →)＝12(q ＋r )，MC →＝AC →－AM →＝q －12p ， ∴AN →·MC →＝12(q ＋r )·⎝ ⎛⎭⎪⎫q －12p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫q 2－12q ·p ＋r·q －12r ·p ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 2·cos 60°＋a 2cos 60°－12a 2·cos 60° ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 24＋a 22－a 24＝a 22. 又∵|AN →|＝|MC →|＝32a ，∴AN →·MC →＝|AN →|·|MC →|·cos θ＝32a·32a ·cos θ＝a 22. ∴cos θ＝23.∴向量AN →与MC →的夹角的余弦值为23. 从而异面直线AN 与MC 所成角的余弦值为23.1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解．(难点)3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法．(重点)1.通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养.2.借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b .(2)共面向量定理的推论：空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得MP →＝xMA →＋yMB →，或对于空间任意一定点O ，有OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)．今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理．1．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .。

课时跟踪检测(三十二) 数 列 求 和1．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7＝7，S 15＝75，则数列{S n n }的前20项和为________．2．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是{a n }的前n 项和，则S 2 014＝________.3．已知函数f (n )＝n 2cos n π，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝________.4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝________.5．已知数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝(－1)n ＋12(n ∈N *)，a 1＝－12，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 2 013＝________.6.(创新题)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.7．已知数列{a n }满足a 1＝a ＋2(a ≥0)，a n ＋1＝ a n ＋a 2，n ∈N *. (1)若a ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝|a n ＋1－a n |，数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <a 1.8．(2014·镇江模拟)已知函数f (x )＝x 2x ＋m的图像经过点(4,8)． (1)求该函数的解析式；(2)数列{a n }中，若a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a n ＝f (S n )(n ≥2)，证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{a n }的通项公式；3．已知数列{a n }是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为q (q ＞1)的等比数列．(1)若a 5＝b 5，q ＝3，求数列{a n ·b n }的前n 项和；(2)若存在正整数k (k ≥2)，使得a k ＝b k ，试比较a n 与b n 的大小，并说明理由．。

2．5.2圆与圆的位置关系1．圆C 1：x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋4y －1＝0的位置关系为()A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离答案C解析由已知，得C 1(－2，－4)，r 1＝5，C 2(－2，－2)，r 2＝3，则d ＝|C 1C 2|＝2， 所以d ＝|r 1－r 2|，所以两圆内切．2．圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为()A ．(1,0)和(0,1)B ．(1,0)和(0，－1)C ．(－1,0)和(0，－1)D ．(－1,0)和(0,1)答案C解析由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1)．3．已知圆C 1：x 2＋y 2－m ＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0，若圆C 1与圆C 2有公共点，则实数m 的取值范围是()A ．m ＜1B ．m ＞121C ．1≤m ≤121D ．1＜m ＜121答案C解析圆C 1的方程可化为x 2＋y 2＝m (m >0)，则圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝m ； 圆C 2的方程可化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝36，则圆心为C 2(－3,4)，半径r 2＝6.∵圆C 1与圆C 2有公共点，∴|r 1－r 2|≤|C 1C 2|≤r 1＋r 2， 即|m －6|≤(－3－0)2＋(4－0)2≤m ＋6， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|m －6|≤5，m ＋6≥5，解得1≤m ≤121.4．(多选)设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．内切B．相交C．外离D．外切答案CD解析两圆的圆心距为d＝(1－0)2＋(－3－0)2＝10，两圆的半径之和为r＋4，因为10<r＋4，所以两圆不可能外切或外离，故选CD.5．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为() A．4条B．3条C．2条D．1条答案C解析圆O1为(x－3)2＋(y＋8)2＝121，O1(3，－8)，r＝11，圆O2为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，O2(－2,4)，R＝8，∴|O1O2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13，∴r－R＜|O1O2|＜R＋r，∴两圆相交．∴公切线有2条．6．若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是_____________．答案a2＋b2>3＋2 2解析由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a，0)，2和(0，b)，1.因为两圆外离，所以a2＋b2>2＋1，即a2＋b2>3＋2 2.7．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是_______．答案x＋3y＝0解析圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.8．经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________．答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34， 故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0. 9．已知圆O 1：x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心O 2(2,1)．若圆O 2与圆O 1交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．解设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0，作O 1H ⊥AB ，H 为垂足，则AH ＝12AB ＝2， 所以O 1H ＝r 21－AH 2＝4－2＝ 2.由圆心O 1(0，－1)到直线4x ＋4y ＋r 22－8＝0的距离为 |r 22－12|42＝2，得r 22＝4或r 22＝20， 故圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.10．已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)求m ＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．解两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ， 圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时，(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ， 解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，∴公共弦长为2(11)2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|4×1＋3×3－23|42＋322＝27.11．已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9答案D 解析设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.12．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|等于()A ．4B ．42C ．8D ．8 2答案C解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等．设两圆的圆心坐标分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，∴|C1C2|＝(a－b)2＋(a－b)2＝32×2＝8.13．如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是() A．(－22，0)∪(0,22) B．(－22，22)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－1,1)答案A解析∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交．|OC|＝a2＋1，由2－1<|OC|<2＋1，得1<a2＋1<3，∴0<|a|<22，∴－22<a<0或0<a<2 2.14．若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长为________．答案4解析连接OO1，记AB与OO1的交点为C，如图所示，在Rt△OO1A中，|OA|＝5，|O1A|＝25，∴|OO1|＝5，∴|AC|＝5×255＝2，∴|AB|＝4.15．过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________．答案x2＋y2－3x＋y－1＝0解析设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13， 所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.16．已知动点P 与两个定点O (0,0)，A (3,0)的距离的比为12. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知圆Q 的圆心为Q (t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，若圆Q 与曲线C 有公共点，求实数t 的取值范围．解(1)设P (x ，y )，则||AP ＝2||OP ，即||AP |2＝4OP |2，所以(x －3)2＋y 2＝4(x 2＋y 2)，整理得(x ＋1)2＋y 2＝4.所以动点P 的轨迹C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)因为点Q 的坐标为(t ，t )(t >0)，且圆Q 与x 轴相切，所以圆Q 的半径为t ，所以，圆Q 的方程为(x －t )2＋(y －t )2＝t 2.因为圆Q 与圆C 有公共点，又圆Q 与圆C 的两圆心距为 ||CQ ＝()t ＋12＋()t －02＝2t 2＋2t ＋1，所以||2－t ≤||CQ ≤2＋t ，即(2－t )2≤2t 2＋2t ＋1≤(2＋t )2，解得－3＋23≤t ≤3.所以，实数t 的取值范围是[]－3＋23，3.。

课时跟踪检测（三十六） 数列求和1．(河北“五个一名校联盟”模拟)已知数列{a n }满足：a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2,n ∈N *),a 1＝1,a 2＝2,S n 为数列{a n }的前n 项和,则S 2 018＝( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选A ∵a n ＋1＝a n －a n －1,a 1＝1,a 2＝2,∴a 3＝1,a 4＝－1,a 5＝－2,a 6＝－1,a 7＝1,a 8＝2,…,故数列{a n }是周期为6的周期数列,且每连续6项的和为0,故S 2 018＝336×0＋a 2 017＋a 2 018＝a 1＋a 2＝3。

故选A 。

2．在数列{a n }中,若a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1,则数列{a n }的前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80D ．82解析：选B 由已知a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1,得a n ＋2＋(－1)n ＋1a n ＋1＝2n ＋1,得a n ＋2＋a n ＝(－1)n (2n －1)＋(2n ＋1),取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10,结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78。

故选B 。

3．(开封调研)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *),则S 2 018等于( ) A ．22 018－1B ．3×21 009－3 C ．3×21 009－1D ．3×21 008－2解析：选B ∵a 1＝1,a 2＝2a 1＝2,又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n ＝2n ＋12n ＝2,∴a n ＋2a n＝2。

∴a 1,a 3,a 5,…成等比数列；a 2,a 4,a 6,…成等比数列,∴S 2 018＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 017＋a 2 018＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018)＝1－21 0091－2＋21－21 0091－2＝3×21 009－3。

课时跟踪检测(三十三) 数 列 求 和1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.1582．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R )，且S 25＝100，则a 12＋a 14等于( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．不确定3．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n4．若数列{a n }为等比数列，且a 1＝1，q ＝2，则T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1的结果可化为( )A ．1－14nB ．1－12nC.23⎝⎛⎭⎫1－14nD.23⎝⎛⎭⎫1－12n 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.1011006．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(当n 为奇数时)，－n 2(当n 为偶数时)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．10 2007．在等差数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 2＋a 8＝18－a 5，则S 9＝________.8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和S n ＝________.10．在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n . 11．已知等差数列{a n }满足：a 5＝9，a 2＋a 6＝14. (1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ＋qa n (q >0)，求数列{b n }的前n 项和S n . 12．若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >52成立的最小的正整数n .1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n >3)D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n >3) 2．若数列{a n }满足a 1＝2且a n ＋a n －1＝2n ＋2n －1，S n 为数列{a n }的前n 项和，则log 2(S 2 012＋2)＝________.3．已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .[答 题 栏]答 案课时跟踪检测(三十三)A 级1．选C 设数列{a n }的公比为q .由题意可知q ≠1，且9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，由求和公式可得S 5＝3116.2．选B 由数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a 、b ∈R)，可知数列{a n }是等差数列，由S 25＝(a 1＋a 25)×252＝100，解得a 1＋a 25＝8，所以a 1＋a 25＝a 12＋a 14＝8.3．选A 该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n . 4．选C a n ＝2n －1，设b n ＝1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫122n －1， 则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫122n －1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝23⎝⎛⎭⎫1－14n . 5．选A 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×(5－1)2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 6．选B 由题意，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100.7．解析：由等差数列的性质及a 2＋a 8＝18－a 5， 得2a 5＝18－a 5，则a 5＝6， 故S 9＝(a 1＋a 9)×92＝9a 5＝54.答案：548．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－2.9．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n－1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ， 所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.答案：nn ＋110．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝32，a 1q 4＝32，解得a 1＝2，q ＝2， 故a n ＝2·2n －1＝2n .(2)∵S n 表示数列{a n }的前n 项和， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(2＋2·22＋…＋n ·2n )－(1＋2＋…＋n )]＝2(2＋2·22＋…＋n ·2n )－n (n ＋1)，设T n ＝2＋2·22＋…＋n ·2n ，① 则2T n ＝22＋2·23＋…＋n ·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)2n ＋1＋2，∴S 1＋2S 2＋…＋nS n ＝2[(n －1)2n ＋1＋2]－n (n ＋1)＝(n －1)2n ＋2＋4－n (n ＋1)．11．解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由a 5＝9，a 2＋a 6＝14，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝9，2a 1＋6d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以{a n }的通项a n ＝2n －1.(2)由a n ＝2n －1得b n ＝2n －1＋q 2n －1.当q >0且q ≠1时，S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(q 1＋q 3＋q 5＋…＋q 2n －1)＝n 2＋q (1－q 2n )1－q 2；当q ＝1时，b n ＝2n ，则S n ＝n (n ＋1)． 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)，q ＝1，n 2＋q (1－q 2n )1－q 2，q >0，q ≠1.12．解： (1) 证明由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得： a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，故数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a n ＝3⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＝3－3n ＋1>52，∴n >5， ∴最小的正整数n 为6.B 级1．选C ∵由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2. ∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7， ∴n ≤3时，a n <0，n >3时，a n >0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n >3).2．解析：因为a 1＋a 2＝22＋2，a 3＋a 4＝24＋23，a 5＋a 6＝26＋25，….所以S 2 012＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2 011＋a 2 012＝21＋22＋23＋24＋…＋22 011＋22 012 ＝2(1－22 012)1－2＝22 013－2.故log 2(S 2 012＋2)＝log 222 013＝2 013.答案：2 0133．解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8. ∴a 2＋a 4＝20.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.∴S n ＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2.。

课时跟踪检测（三十四） 数列求和一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝25，则S 7＝( ) A ．41 B ．48 C ．49D ．56解析：选C 设S n ＝An 2＋Bn ，由题知，⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝9A ＋3B ＝9，S 5＝25A ＋5B ＝25，解得A ＝1，B ＝0，∴S 7＝49. 2．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n 解析：选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n－1.3．(2017·江西新余三校联考)数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n(2n －1)，则该数列的前100项之和为( )A ．－200B ．－100C ．200D ．100解析：选D 根据题意有S 100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50＝100，故选D.4．(2017·余杭模拟)若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项和为______________．解析：S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1＋n 2－2.答案：2n ＋1＋n 2－25．(2017·广西高三适应性测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1－1的前n 项和T n ＝________.解析：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－n －12，n ≥2＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2，∴a n ＝2n －1.∴1a n ＋1－1＝12n ＋12－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4. 答案：n4n ＋4二保高考，全练题型做到高考达标1．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得91－q 31－q＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q ＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.2．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n 3D.4n－13解析：选B 由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4， ∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列． ∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n－1.3．(2017·绍兴模拟)已知数列5,6,1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A ．5B ．6C ．7D ．16解析：选C 根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1，－5，－6，－1,5,6，发现从第7项起，数列重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝( ) A.2 017×2 0182B.2 018×2 0192C.2 017×2 0172D.2 018×2 0182解析：选B a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋12π＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2，n 为奇数，n 2，n 为偶数，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 018＝－12＋22－32＋42－…－2 0172＋2 0182＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(2 0182－2 0172)＝1＋2＋3＋4＋…＋2 018＝2 018×2 0192.5．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，数列{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．2B ．2nC ．2n ＋1－2D ．2n －1－2解析：选 C ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n 1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ，∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.故选C.6．(2017·嘉兴模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1()n ∈N *，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 100a 101的值为____________．解析：因为()1－a n ＋1(1＋a n )＝1， 所以a n －a n ＋1＝a n a n ＋1.所以有1a n ＋1－1a n＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公差为1，首项为1的等差数列，所以1a n ＝n .所以a n ＝1n.因为a n －a n ＋1＝a n a n ＋1，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a 100a 101＝a 1－a 2＋a 2－a 3＋…＋a 100－a 101＝a 1－a 101＝1－1101＝100101.答案：1001017．(2016·浙江高考)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *，则a 1＝________，S 5＝________.解析：∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝2S n ＋1， ∴S n ＋1＝3S n ＋1，∴S n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫S n ＋12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是公比为3的等比数列，∴S 2＋12S 1＋12＝3.又S 2＝4，∴S 1＝1，∴a 1＝1， ∴S 5＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 1＋12×34＝32×34＝2432，∴S 5＝121. 答案：1 1218．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n(n ∈N *)，则S 2 017＝________. 解析：∵数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n ，① ∴n ＝1时，a 2＝2，n ≥2时，a n ·a n －1＝2n －1，②∵①÷②得a n ＋1a n －1＝2， ∴数列{a n }的奇数项、偶数项分别成等比数列， ∴S 2 017＝1－21 0091－2＋2×1－21 0081－2＝21 010－3.答案：21 010－39．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式； (2)设数列{c n }满足c n ＝32S n，求{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{b n }的公差为d ，∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2， ∴q 2＋3d ＝18,6＋d ＝q 2，联立方程可求得q ＝3，d ＝3， ∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得：S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.10．(2017·广州综合测试)已知数列{a n}是等比数列，a2＝4，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2log2a n－1，求数列{a n b n}的前n项和T n.解：(1)设数列{a n}的公比为q，因为a2＝4，所以a3＝4q，a4＝4q2.因为a3＋2是a2和a4的等差中项，所以2(a3＋2)＝a2＋a4.即2(4q＋2)＝4＋4q2，化简得q2－2q＝0.因为公比q≠0，所以q＝2.所以a n＝a2q n－2＝4×2n－2＝2n(n∈N*)．(2)因为a n＝2n，所以b n＝2log2a n－1＝2n－1，所以a n b n＝(2n－1)2n，则T n＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－1)2n，①2T n＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋1.②由①－②得，－T n＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－(2n－1)2n＋1＝2＋2×41－2n－11－2－(2n－1)2n＋1＝－6－(2n－3)2n＋1，所以T n＝6＋(2n－3)2n＋1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·云南师大附中检测)已知数列{a n}中，a1＝2，a2n＝a n＋1，a2n＋1＝n－a n，则{a n}的前100项和为________．解析：由a1＝2，a2n＝a n＋1，a2n＋1＝n－a n，得a2n＋a2n＋1＝n＋1，∴a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a98＋a99)＝2＋2＋3＋…＋50＝1 276，∵a100＝1＋a50＝1＋(1＋a25)＝2＋(12－a12)＝14－(1＋a6)＝13－(1＋a3)＝12－(1－a1)＝13，∴a1＋a2＋…＋a100＝1 276＋13＝1 289.答案：1 2892．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2－a n，n∈N*，设函数f(x)＝log 12x.数列{b n}满足b n＝f(a n)，记{b n}的前n项和为T n.(1)求a n及T n；(2)记c n ＝a n ·b n ，求c n 的最大值． 解：(1)S n ＝2－a n ，∴a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2－a n －(2－a n －1)＝a n －1－a n ， ∴a n ＝12a n －1(n ≥2)，则数列{a n }是公比q ＝12，a 1＝1的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1；∴b n ＝f (a n )＝n －1， ∴T n ＝n 0＋n －12＝n 2－n2.(2)c n ＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，由c n ＋1－c n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n [n －2(n －1)]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n(2－n )，当n ＝1时，c 2>c 1；当n ＝2时，c 3＝c 2；当n ≥3时，c n ＋1<c n ， ∴(c n )max ＝c 2＝c 3＝12.。

高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第一课时等比数列的前n项和练习（含解析）新人教A版必修51.等比数列{a n}的各项都是正数,若a1=81,a5=16,则它的前5项和是( B )(A)179 (B)211 (C)248 (D)275解析:由16=81×q4,q>0得q=,所以S5==211.故选B.2.在等比数列{a n}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( A )(A)(B)-(C)±(D)±3解析:依题意得,a4+a8=4,a4a8=3,故a4>0,a8>0,因此a6>0(注:在一个实数等比数列中,奇数项的符号相同,偶数项的符号相同),a6==.故选A.3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于( C )(A)(B)-(C)(D)-解析:设等比数列{a n}的公比为q,由S3=a2+10a1得a1+a2+a3=a2+10a1,即a3=9a1,所以q2=9,又a5=a1q4=9,所以a1=.故选C.4.等比数列{a n}中,a3=3S2+2,a4=3S3+2,则公比q等于( C )(A)2 (B)(C)4 (D)解析:因为a3=3S2+2,a4=3S3+2,所以a4-a3=3(S3-S2)=3a3,即a4=4a3,所以q==4,故选C.5.等比数列{a n}的前n项和S n=3n-a,则实数a的值为( B )(A)0 (B)1 (C)3 (D)不存在解析:法一当n≥2时,a n=S n-S n-1=3n-3n-1=2·3n-1,==3.又a1=S1=3-a,a2=2×3=6,则=.因为{a n}是等比数列,所以=3,得a=1.故选B.法二由等比数列前n项和公式知,3n系数1与-a互为相反数,即-a=-1,则a=1.故选B.6.在14与之间插入n个数组成等比数列,若各项和为,则数列的项数为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:设公比为q,由等比数列的前n项和公式及通项公式得解之,得则数列的项数为5.故选B.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其大意为“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛,每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地.”则该人最后一天走的路程为( C )(A)24里(B)12里(C)6里(D)3里解析:记每天走的路程里数为{a n},易知{a n}是公比q=的等比数列,S6=378,S6==378,所以a1=192,所以a6=192×=6,故选C.8.设S n为等比数列{a n}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n= .解析:由3S1,2S2,S3成等差数列知,4S2=3S1+S3,可得a3=3a2,所以公比q=3,故等比数列通项a n=a1q n-1=3n-1.答案:3n-19.在等比数列{a n}中,已知a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则该数列的前15项和S15= .解析:记b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,b5=a13+a14+a15,依题意{b n}构成等比数列,其首项b1=1,公比为q==-2,则{b n}的前5项和即为{a n}的前15项和S15==11.答案:1110.在等比数列{a n}中,公比q=,且log2a1+log2a2+…+log2a10=55,则a1+a2+…+a10= .解析:据题意知log2(·q1+2+…+9)=log2(·q45)=55,即=2100.又a n>0,所以a1=210,所以S10=211-2.答案:211-211.已知等比数列前20项和是21,前30项和是49,则前10项和是.解析:由S10,S20-S10,S30-S20成等比数列,所以(S20-S10)2=S10·(S30-S20),即(21-S10)2=S10(49-21).所以S10=7或S10=63.答案:7或6312.已知数列{a n} 的前n项和为S n,a1=1,S n=2a n+1,求S n的值.解:因为S n=2a n+1,所以n≥2时,S n-1=2a n.因为a n=S n-S n-1=2a n+1-2a n,所以3a n=2a n+1,所以=.又因为S1=2a2,所以a2=,所以=,所以{a n}从第二项起是以为公比的等比数列.所以S n=a1+a2+a3+…+a n=1+=()n-1.13.知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{b n}满足b1=4,b4=20,且{b n-a n}为等比数列.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和.解:(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意得d===3,所以a n=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,…).设等比数列{b n-a n}的公比为q,由题意得q3===8,解得q=2.所以b n-a n=(b1-a1)q n-1=2n-1.从而b n=3n+2n-1(n=1,2,…).(2)由(1)知b n=3n+2n-1(n=1,2,…).数列{3n}的前n项和为n(n+1),数列{2n-1}的前n项和为=2n-1.所以数列{b n}的前n项和为n(n+1)+2n-1.14.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)求证是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)求证++…+<.证明:(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3(a n+).又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.所以a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=(1-)<.所以++…+<.15.数列{a n}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+a n=3n-1,则+++…+等于( B )(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1 (D)(3n-1)解析:因为a1+a2+…+a n=3n-1,n∈N*,n≥2时,a1+a2+…+a n-1=3n-1-1,所以当n≥2时,a n=3n-3n-1=2·3n-1,又n=1时,a1=2适合上式,所以a n=2·3n-1,故数列{}是首项为4,公比为9的等比数列.因此++…+==(9n-1).故选B.16.已知S n是等比数列{a n}的前n项和,若存在m∈N*,满足=9,=,则数列{a n}的公比为( B )(A)-2 (B)2 (C)-3 (D)3解析:设公比为q,若q=1,则=2,与题中条件矛盾,故q≠1.因为==q m+1=9,所以q m=8.所以==q m=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.故选B.17.设各项都是正数的等比数列{a n},S n为前n项和且S10=10,S30=70,那么S40= .解析:依题意,知数列{a n}的公比q≠-1,数列S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30成等比数列,因此有(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(70-S20),故S20=-20或S20=30;又S20>0,因此S20=30,S20-S10=20,S30-S20=40,故S40-S30=80,S40=150.答案:15018.已知等差数列{a n}的首项a1=1,公差d>0,且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{b n}的第2项,第3项,第4项.(1)求数列{a n}与{b n}的通项公式;(2)设数列{c n}对于任意n∈N*均有+++…+=a n+1成立,求c1+c2+c3+…+c2 015+c2 016的值. 解:(1)依题意得b2=a2=a1+d,b3=a5=a1+4d,b4=a14=a1+13d,由等比中项得(1+4d)2=(1+d)(1+13d),解得d=2或d=0(舍去),因此a n=1+2(n-1)=2n-1,b2=3,b3=9,b4=27,故数列{b n}是首项为1,公比为3的等比数列.因此b n=3n-1.(2)因为+++…+=a n+1,所以当n≥2时,+++…+=a n,两式作差得=a n+1-a n=d,又d=2,故c n=2×3n-1,又=a2,所以c1=3,因此数列c n=。

课时跟踪检测(九) 等比数列的前n 项和1．已知等比数列{a n }的公比为2，前4项和是1，则该数列的前8项和为( ) A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 解析：选 B 由题意得a 11－241－2＝1，解得a 1＝115，所以该数列的前8项和为115×1－281－2＝17.2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和．若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0 D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝3，S 4＝15，则S 3＝( ) A ．7 B ．－9 C ．7或－9 D ．638解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q .由题意，得S 2＝a 1＋a 2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(1＋q 2)S 2＝3(1＋q 2)＝15，解得q ＝－2或2，当q ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝3，解得a 1＝1，所以S 3＝7；当q ＝－2时，S 2＝a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝3，解得a 1＝－3，所以S 3＝－9.故选C. 4．已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12＝( )A ．40B ．60C ．32D ．50解析：选B 由等比数列的性质可知，数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，即数列4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，因此S 9－S 6＝16，S 6＝12，S 12－S 9＝32，S 12＝32＋16＋12＝60.5．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1a n<1.若a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，则S 4＝( ) A ．63或120 B ．256 C ．120D ．63解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 5＝16.又a n ＋1a n<1，所以数列{a n }为递减数列，故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4.设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14，因为数列为正项等比数列，所以q ＝12，从而a 1＝64，所以S 4＝64×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝120.选C.6．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．解析：令X ＝a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，Y ＝a 2＋a 4＋…＋a 100，则S 100＝X ＋Y .由等比数列前n项和性质知：Y X ＝q ＝13，所以Y ＝20，即S 100＝X ＋Y ＝80.答案：807．在14与78之间插入n 个数，组成等比数列，若所有项的和为778，则此数列的项数为________．解析：设此数列的公比为q ，则⎩⎨⎧78＝14q n ＋1，778＝14－78q1－q⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．答案：5 8．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.解析： 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160.所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 答案：29．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解：(1)设q (q ＞0)为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，所以{a n }的通项公式为a n ＝2·2n －1＝2n.(2)由(1)及已知得a n ＋b n ＝2n＋(2n －1)， 所以S n ＝21－2n1－2＋n ×1＋n n －12×2＝2n ＋1＋n 2－2.10．在等比数列{a n }中，a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n －1－a 2n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n . 解：(1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝2a 1，a 4＋2a 7＝34，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2，a 1q 3＋2a 1q 6＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，则a n ＝a 1qn －1＝2n －3.(2)b n ＝a 2n －1－a 2n ＝22n －32－22n －3＝－22n －4，故数列{b n }是首项为－14，公比为4的等比数列，故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝－141－42n 1－4＝112(1－42n)．1．已知公比q ≠1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝3a 3，则S 5＝( ) A ．1 B ．5 C.3148D ．1116解析：选 D 由题意得a 11－q 31－q ＝3a 1q 2，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)，所以S 5＝a 11－q 51－q＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1251－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1116.2．已知数列{a n }满足a 1≠0，a n ＋1＝2a n ，S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝1272a 2，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选 B 由于a n ＋1＝2a n ，故数列{a n }是公比为2的等比数列．由S n ＝1272a 2，得a 11－2n1－2＝1272×2a 1，解得n ＝7.故选B. 3．已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)，且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝( )A ．1－4nB ．4n－1 C.1－4n3D ．4n－13解析：选B 因为q ＝a n －a n －1＝－4，b 1＝a 2＝－3， 所以b n ＝b 1qn －1＝－3×(－4)n －1，所以|b n |＝|－3×(－4)n －1|＝3×4n －1，即{|b n |}是首项为3，公比为4的等比数列， 所以|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝31－4n1－4＝4n－1，故选B.4．设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1) 的前n 项积，若T 2 015＝T 2 021，求log 3a 2 019log 3a 2 021的值．解：∵T 2 015＝T 2 021，∴a 2 016·a 2 017·a 2 018·a 2 019·a 2 020·a 2 021＝1，∴a 2 016·a 2 021＝1，a 2 018·a 2019＝1.5．如图，一个小球从10 m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的13.(1)小球第10次落地时，经过的路程是多少米？ (2)小球第几次落地时，经过的路程为53027m?解：(1)设小球从第n －1次落地到第n 次落地时经过的路程为a n m ，则a 1＝10，a 2＝10×13×2，a 3＝10×132×2，….而且，当n ≥2时，我们可以得到递推关系a n ＋1＝13a n ，a 2＝203.这是一个首项为203，公比为13的等比数列．因此a n ＝a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －2＝203n －1(n ≥2)，且a 1＝10.所以小球第10次落地时，经过的路程为S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10＝10＋20⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫139＝20－1039(m)．(2)设小球第n 次落地时，经过的路程为53027 m ，由于S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝10＋20⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 ＝20－103n －1，因此20－103n －1＝53027，解得n ＝4.所以当小球第4次落地时，经过的路程为53027m.。

[课时作业] [A 组 基础巩固]1．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n解析：S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q ＝3－2a n .答案：D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2－a 5＝0，则S 4S 2＝( )A ．5B ．8C ．－8D ．15解析：∵8a 2－a 5＝0，∴8a 1q ＝a 1q 4，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴S 4S 2＝1－q 41－q 2＝1＋q 2＝5.答案：A3．已知在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512D ．510解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18，a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q ＝2或q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2.∴a 1＝2，∴S 8＝2(1－28)1－2＝29－2＝510.答案：D4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334D.172解析：由a 2a 4＝1⇒a 1＝1q 2，又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，联立得：⎝⎛⎭⎫1q ＋3⎝⎛⎭⎫1q －2＝0，∴q ＝12，a 1＝4， S 5＝4⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝314.答案：B5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和，若S n ＝126，则n ＝________. 解析：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴S n ＝2(1－2n )1－2＝126，∴2n ＝64，∴n ＝6.答案：66．等比数列{a n }的公比q >0，已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________. 解析：由a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，得q n ＋1＋q n ＝6q n －1，即q 2＋q －6＝0，q >0，解得q ＝2， 又∵a 2＝1，∴a 1＝12，∴S 4＝12·(1－24)1－2＝152.答案：1527．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________. 解析：设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，依题意得a 2＝a 1·q ＝q ，a 3＝a 1q 2＝q 2，S 1＝a 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2，又3S 1,2S 2，S 3成等差数列，所以4S 2＝3S 1＋S 3，即4(1＋q )＝3＋1＋q ＋q 2，所以q ＝3(q ＝0舍去)．所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －18．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.证明：设{a n }的公比为q ，由已知得a 1>0，q >0. ∵S n ＋1＝a 1＋qS n ，S n ＋2＝a 1＋qS n ＋1，∴S n S n ＋2－S 2n ＋1＝S n (a 1＋qS n ＋1)－(a 1＋qS n )S n ＋1＝S n a 1＋qS n S n ＋1－a 1S n ＋1－qS n S n ＋1＝a 1(S n －S n ＋1)＝－a 1a n ＋1<0， ∴S n ·S n ＋2<S 2n ＋1.根据对数函数的单调性可以得到log 0.5(S n S n ＋2)>log 0.5S 2n ＋1， 即log 0.5S n ＋log 0.5S n ＋2>2log 0.5S n ＋1.9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式． 解析：由题设知a 1≠0，S n ＝a 1·(1－q n )1－q，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1·(1－q 4)1－q＝5×a 1·(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2， 通项公式a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，代入①得a 1＝12；通项公式a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.[B 组 能力提升]1．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 10＝35，则S 10＝( ) A.1 0232B.1 0242C ．235D.1 0222解析：由题意知log 2(a 1·a 2·…·a 10)＝35， ∴a 1·a 2·a 3·…·a 10＝235. ∴a 1·(a 1q )·(a 1q 2)·…·(a 1q 9)＝235.∴a 101q1＋2＋3＋…＋9＝235.∴a 101·245＝235，即a 101＝1210， ∴a 1＝12.∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1 0232.答案：A2．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0解析：因为{a n }是等差数列，a 3，a 4，a 8成等比数列， 所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )⇒a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.答案：B3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 解析：由题意可知q ＝2， 设该数列为a 1，a 2，a 3，…，a 2n ， 则a n ＋a n ＋1＝24，又a 1＝1， ∴q n －1＋q n ＝24，即2n －1＋2n ＝24， 解得n ＝4，∴项数为8项． 答案：84．(2019·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________．解析：设{a n }的公比为q ， 于是a 1(1＋q 2)＝10，① a 1(q ＋q 3)＝5，②联立①②得a 1＝8，q ＝12，∴a n ＝24－n ，∴a 1a 2…a n ＝23＋2＋1＋…＋(4－n )＝2－12n n 2＋72n n ＝2－12 (n －72 )2＋498≤26＝64.∴a 1a 2…a n的最大值为64. 答案：645．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝5，S 6＝36， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，6a 1＋6×52d ＝36， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋52d ＝6，∴a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2a n ＝22n －1， ∴T n ＝21＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝2(4n －1)3.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)，数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n＋1)在直线x －y ＋2＝0上．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .解析：(1)由S n ＝2a n －2得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)， 两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即a na n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝S 1＝2a 1－2，∴a 1＝2，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＝2n .∵点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， ∴b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， ∴{b n }是等差数列． 又b 1＝1，∴b n ＝2n －1.(2)∵T n ＝1×2＋3×22＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)·2n ，① ∴2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)2n ＋1.② ①－②，得－T n ＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)·2n ＋1 ＝2＋2·22－2n ·21－2－(2n －1)2n ＋1＝2＋4·2n －8－(2n －1)2n ＋1＝(3－2n )·2n ＋1－6. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.。

单元综合检测(二)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列的前4项为2,0,2,0，则归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数0，n 为偶数C ．a n ＝2sinn π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析：对于C ，当n ＝3时，sin 3π2＝－1，则a 3＝－2，与题意不符． 答案：C2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15、 答案：A3．若数列{a n }的通项公式是a n ＝2(n ＋1)＋3，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为3的等差数列 C ．是公差为5的等差数列 D ．不是等差数列解析：由题意可得，a n ＝2n ＋5＝7＋2(n －1)，即此数列是公差为2的等差数列． 答案：A4．在等比数列{a n }中，a 2a 3a 4＝8，a 7＝8，则a 1＝( ) A ．1 B ．±1 C ．2D ．±2 解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 3a 4＝a 33＝8，所以a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2q 4＝8，所以q 2＝2，a 1＝a 3q 2＝1，故选A 、答案：A5．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33D ．34解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝263，d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32、答案：B6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：该数列为等差数列，且S 7＝28，a 2＋a 5＋a 8＝15，即7a 1＋21d ＝28,3a 1＋12d ＝15，解得a 1＝1，d ＝1，a 9＝a 1＋8d ＝9、 答案：B7．等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 7＋S 5＝10，a 3＝5，则S 7＝( ) A ．25 B ．49 C ．－15D ．40解析：因为等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 7＋S 5＝10，a 3＝5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋7×62d ＋5a 1＋5×42d ＝10，a 1＋2d ＝5，解得a 1＝1357，d ＝－507，所以S 7＝7a 1＋7×62d ＝7×1357＋7×62×⎝⎛⎭⎫－507＝－15、答案：C8．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128解析：设等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C 、 答案：C9．已知a ，b ，c 是三个不同的实数，若a ，b ，c 成等差数列，且b ，a ，c 成等比数列，则a ∶b ∶c 为( ) A ．2∶1∶4 B ．(－2)∶1∶4 C ．1∶2∶4D ．1∶(－2)∶4解析：由a ，b ，c 成等差数列，设a ＝m －d ，b ＝m ，c ＝m ＋d ，d ≠0， 因为b ，a ，c 成等比数列，所以a 2＝bc ，即(m －d )2＝m (m ＋d )， 化简，得d ＝3m ，则a ＝－2m ，b ＝m ，c ＝4m ， 所以a ∶b ∶c ＝(－2)∶1∶4、 答案：B10．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，m ，b 和b ，n ，c 分别成两个等差数列，则a m ＋cn 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：由题意得b 2＝ac,2m ＝a ＋b,2n ＝b ＋c ， 则a m ＋c n ＝an ＋cmmn ＝a ·b ＋c 2＋c ·a ＋b 2a ＋b 2·b ＋c2 ＝ab ＋ac ＋ac ＋bcab ＋ac ＋b 2＋bc2＝2、答案：C11．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为a n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2 017＝( ) A 、2 0172 018B ．2 0162 017C 、2 0152 016D 、2 0172 016解析：分别令x ＝0和y ＝0，得到直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴的交点，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，⎝⎛⎭⎫2n ，0，则a n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，然后分别代入1,2，…，2 017，则有a 1＋a2＋…＋a 2 017＝1－12＋12－13＋…＋12 017－12 018＝1－12 018＝2 0172 018、答案：A12．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *)，则a n 为( ) A ．2n －1 B ．n C ．2n －1D 、⎝⎛⎭⎫32n －1解析：由f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)，得S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，即a n a n －1＝32、当n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，解得a 1＝1，所以数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，则a n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1、 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2、由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6、 答案：614．若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________、解析：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q 、由题意得－1＋3d ＝－q 3＝8⇒d ＝3，q ＝－2⇒a 2b 2＝－1＋3－1×(－2)＝1、答案：115．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)，记S n 为{a n }的前n 项和，则S 2 018＝________、 解析：因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝(－1)n (a n ＋1)， 所以a 2＝－(1＋1)＝－2，a 3＝－2＋1＝－1，a 4＝－(－1＋1)＝0，a 5＝0＋1＝1，a 6＝－(1＋1)＝－2，a 7＝－2＋1＝－1，…，所以{a n }是以4为周期的周期数列，因为2 018＝504×4＋2，所以S 2 018＝504×(1－2－1＋0)＋1－2＝－1 009、 答案：－1 00916．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________、 解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n ， 所以S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2、答案：2n ＋1－2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8、(2)求a 1＋a 10、解析：(1)由等比数列的性质知，a 4a 7＝a 5a 6＝－8，与a 4＋a 7＝2联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2. (2)当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝a 7a 4＝－12，a 1＝a 4q 3＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7;当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝a 7a 4＝－2，a 1＝a 4q 3＝1，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7、综上，a 1＋a 10＝－7、18．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ;(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n 、 解析：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21， S n ＝19n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋20n 、(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21，则 T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12、 19．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，a 2＝8，a 3＝24，{a n ＋1－2a n }为等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求S n 、解析：(1)因为a 2－2a 1＝4，a 3－2a 2＝8， 所以a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，所以a n ＝n ×2n 、 (2)由(1)可得a n ＝n ×2n ，所以S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① 2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，② 由①－②及整理得S n ＝(n －1)×2n ＋1＋2、20．(12分)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2、(2)若d ＜0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |、 解析：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0， 故d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *、 (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d ＜0， 由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ，当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110、综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.21．(12分)已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110、 (1)求a 及k 的值;(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n 、解析：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k 、由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10、 (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2、22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S 1＝1，S 2＝4，且当n ≥3时，S n －1＋32是S n 与S n －2的等差中项．数列{b n }为等比数列，且b 2＝1a 2＋1，b 3＝1a 3＋2、 (1)求数列{a n }、{b n }的通项公式; (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n 、解析：(1)因为当n ≥3时，S n －1＋32是S n 与S n －2的等差中项，所以2⎝⎛⎭⎫S n －1＋32＝S n ＋S n －2， 即S n ＋S n －2＝2S n －1＋3，也就是(S n －S n －1)－(S n －1－S n －2)＝3，即a n －a n －1＝3(n ≥3)．而a 1＝S 1＝1，a 2＝S 2－S 1＝3，显然a 2－a 1＝2≠3，所以数列{a n }从第2项起构成等差数列，公差d ＝3、故当n ≥2时，a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3＋(n －2)×3＝3n －3、故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，3n －3，n ≥2.等比数列{b n }中，b 2＝1a 2＋1＝14，b 3＝1a 3＋2＝18、故其公比q ＝b 3b 2＝12、所以其通项b n ＝b 2·q n －2＝14×⎝⎛⎭⎫12n －2＝12n 、(2)令c n ＝a n ·b n ，由(1)知，c n＝a n·b n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，3n －32n，n ≥2.当n ＝1时，T 1＝c 1＝12、当n ≥2时，T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＋c n ＝12＋3×2－322＋3×3－323＋…＋3(n －1)－32n －1＋3n －32n ，①12T n ＝122＋3×2－323＋…＋3(n －2)－32n －1＋3(n －1)－32n ＋3n －32n ＋1，② ①－②，得12T n ＝12＋222＋⎝⎛⎭⎫323＋…＋32n －1＋32n －3n －32n ＋1＝12＋12＋323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －21－12－3n －32n ＋1 ＝1＋34⎝⎛⎭⎫1－12n －2－3n －32n ＋1＝74－3n ＋32n ＋1， 所以T n ＝72－3n ＋32n 、显然，当n ＝1时，也成立．故T n ＝72－3n ＋32n 、。

课时跟踪检测(十三) 数列求和(习题课)一、选择题1．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．292．数列{(－1)nn }的前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．－1 006 C ．2 012D ．－2 0123．数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为( ) A ．11 B ．99 C ．120D ．1214．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n 的前n 项和为( )A.2n 2n ＋1B.2n n ＋1C.n ＋2n ＋1D.n 2n ＋15．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝{1a n a n ＋1}前n项的和为( )A ．4(1－1n ＋1) B ．4(12－1n ＋1)C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1二、填空题6．数列{a n }中，S n ＝3n＋m ，当m ＝________时，数列{a n }是等比数列．7．设数列{a n }的通项为a n ＝2n －7(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 8．数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 三、解答题9．设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＝n 2＋n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证T n ＜1.答 案课时跟踪检测(十三)1．选C 设{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 2＝2a 1a 1q 3＋2a 1q 6＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，q ＝12.∴S 5＝16[1－125]1－12＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝31，故选C. 2．选A S 2 012＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋(－2 011＋2 012)＝1 006. 3．选C ∵a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝(2－1)＋(3－2)＋…＋ (n ＋1－n ) ＝n ＋1－1，令n ＋1－1＝10，得n ＝120. 4．选B 该数列的通项为a n ＝2nn ＋，分裂为两项差的形式为a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，令n ＝1,2,3，…， 则S n ＝21－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1，∴S n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 5．选A ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ＋1＝n n ＋2n ＋1＝n2， ∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋＝4(1n －1n ＋1)．∴S n ＝4(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1)＝4(1－1n ＋1)． 6．解析：因为a 1＝S 1＝3＋m ，a 2＝S 2－S 1＝32－3＝6，a 3＝S 3－S 2＝33－32＝18，又由a 1·a 3＝a 22，得m ＝－1.答案：－17．解析：∵a n ＝2n －7，∴a 1＝－5，a 2＝－3，a 3＝－1，a 4＝1，a 5＝3，…，a 15＝23， ∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝(5＋3＋1)＋(1＋3＋5＋…＋23)＝9＋＋2＝153.答案：1538．解析：数列的通项公式a n ＝10n＋(2n －1)．所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋...＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋ (10))＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝－10n1－10＋n＋2n －2＝109(10n －1)＋n 2. 答案：109(10n －1)＋n 29．解：(1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2.所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)．(2)易知b n ＝2n －1， 则S n ＝－2n1－2＋n ×1＋n n －2×2＝2n ＋1＋n 2－2.10．解：(1)∵S n ＝n 2＋n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．(2)证明：∵S n ＝n 2＋n ＝n (n ＋1)， ∴1S n ＝1nn ＋＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1. ∵n ∈N *，∴1n ＋1＞0，即T n ＜1.。

第二章 2.5 第2课时一、选择题1．数列112，314，518，7116，…的前n 项和S n 为( )A ．n 2＋1－12nB ．n 2＋1－12n －1C ．n 2＋2－12nD ．n 2＋2－12n －1[答案] A[解析] 由题设知，数列的通项为a n ＝2n －1＋12n ，显然数列的各项为等差数列{2n －1}和等比数列{12n }相应项的和，从而S n ＝[1＋3＋…＋(2n －1)]＋(12＋14＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数n 为( ) A ．11 B ．99 C ．120 D ．121[答案] C [解析] 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1＝10，解得n ＝120.3．已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] B[解析] a 1＝S 1＝4＋a ， a 2＝S 2－S 1＝42＋a －4－a ＝12， a 3＝S 3－S 2＝43＋a －42－a ＝48， 由已知得a 22＝a 1a 3， ∴144＝48(4＋a )， ∴a ＝－1.4．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400[答案] B[解析] S 100＝1－5＋9－13＋…＋(4×99－3)－(4×100－3)＝50×(－4)＝－200. 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋1)，则S 5等于( )A ．1B ．56C ．16D ．130[答案] B[解析] a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S 5＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋15－16＝1－16＝56.6．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B ．12(9n －1)C ．9n －1D ．14(3n －1)[答案] B[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1， ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)， 两式相减得a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1， 又a 1＝2满足上式， ∴a n ＝2·3n －1.∴a 2n ＝4·32n －2＝4·9n －1， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝4(1＋9＋92＋…＋9n －1) ＝4(1－9n )1－9＝12(9n －1)．二、填空题7．数列22，422，623， (2)2n ，…前n 项的和为________．[答案] 4－n ＋22n －1[解析] 设S n ＝22＋422＋623＋ (2)2n① 12S n ＝222＋423＋624＋ (2)2n ＋1②①－②得(1－12)S n ＝22＋222＋223＋224＋…＋22n －2n 2n ＋1＝2－12n －1－2n 2n ＋1.∴S n ＝4－n ＋22n －1.8．已知数列a 1＋2，a 2＋4，…，a k ＋2k ，…，a 10＋20共有10项，其和为240，则a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝________.[答案] 130[解析] 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a k ＋…＋a 10＝240－(2＋4＋…＋2k ＋…＋20)＝240－110＝130.三、解答题9．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n－1的前n 项和．[解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)， 则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2，当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1， ① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，②①－②得：S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n ＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1) ＝1－(2n －1)a n ＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n ＋2(a －a n )1－a.又1－a ≠0，所以S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.10．(2014·全国大纲文，17)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2. 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1.所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑k ＝1n(a k ＋1－a k )＝∑k ＝1n(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.一、选择题1．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝7n ＋1n ＋3，则a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝( )A ．315B ．325C ．6D ．7[答案] A [解析] ∵a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝(a 2＋a 22)＋(a 5＋a 17)(b 8＋b 16)＋(b 10＋b 12)＝2a 12＋2a 112b 12＋2b 11 ＝a 11＋a 12b 11＋b 12＝a 1＋a 22b 1＋b 22，又∵S 22T 22＝(a 1＋a 22)×22(b 1＋b 22)×22＝a 1＋a 22b 1＋b 22，∴a 1＋a 22b 1＋b 22＝7×22＋122＋3＝315.∴a 2＋a 5＋a 17＋a 22b 8＋b 10＋b 12＋b 16＝315. 2．数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为( ) A ．3690 B ．3660 C ．1845 D ．1830[答案] D[解析] 不妨令a 1＝1，则a 2＝2，a 3＝a 5＝a 7＝…＝1，a 4＝6，a 6＝10，…，所以当n 为奇数时，a n ＝1；当n 为偶数时，各项构成以2为首项，4为公差的等差数列，所以前60项的和为30＋2×30＋30×(30－1)2×4＝1830.3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2sin(n π2＋π4)，设其前n 项和为S n ，则S 12的值为( ) A ．0 B ． 2 C ．－ 2 D ．1 [答案] A[解析] a 1＝2sin(π2＋π4)＝1，a 2＝2sin(π＋π4)＝－1，a 3＝2sin(3π2＋π4)＝－1， a 4＝2sin(2π＋π4)＝1，同理，a 5＝1，a 6＝－1， a 7＝－1，a 8＝1，a 9＝1，a 10＝－1，a 11＝－1，a 12＝1， ∴S 12＝0.4．已知等差数列{a n }满足a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，则当n ≥1时，2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝( )A ．22n －23B ．22n ＋1－23C ．2n －23D ．2n ＋1－23[答案] B[解析] 由a 5＋a 2n －5＝2n (n ≥3)，得2a n ＝2n ， ∴a n ＝n .∴2a 1＋2a 3＋…＋2a 2n －1＝2＋23＋25＋…＋22n －1 ＝2(1－4n )1－4＝22n ＋1－23.二、填空题5．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．[答案] 3 2[解析] f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝22，f (x )＋f (1－x )＝12x ＋2＋121－x ＋2＝22(2x ＋2)＋2x 2(2＋2x )＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (5)＋f (6) ＝12[(f (－5)＋f (6))＋(f (－4)＋f (5))＋…＋(f (6) ]＋f (－5))＝12×12×(f (0)＋f (1))＝3 2.6．求和1＋(1＋3)＋(1＋3＋32)＋(1＋3＋32＋32)＋…＋(1＋3＋…＋3n －1)＝________. [答案] 34(3n －1)－n2[解析] a 1＝1，a 2＝1＋3，a 3＝1＋3＋32，……a n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝12(3n －1)，∴原式＝12(31－1)＋12(32－1)＋……＋12(3n －1)＝12[(3＋32＋…＋3n )－n ]＝34(3n －1)－n2.三、解答题7．(2013·浙江理，18)在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.[解析] (1)由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，a 1＝10， 即d 2－3d －4＝0. 故d ＝1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11.则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n .当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ， n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.8．已知数列{a n }和{b n }中，数列{a n }的前n 项和为S n .若点(n ，S n )在函数y ＝－x 2＋4x 的图象上，点(n ，b n )在函数y ＝2x 的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . [解析] (1)由已知得S n ＝－n 2＋4n ， ∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5， 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，符合上式． ∴a n ＝－2n ＋5.(2)由已知得b n ＝2n ，a n b n ＝(－2n ＋5)·2n .T n ＝3×21＋1×22＋(－1)×23＋…＋(－2n ＋5)×2n ，2T n＝3×22＋1×23＋…＋(－2n＋7)×2n＋(－2n＋5)×2n＋1. 两式相减得T n＝－6＋(23＋24＋…＋2n＋1)＋(－2n＋5)×2n＋1＝23(1－2n－1)1－2＋(－2n＋5)×2n＋1－6＝(7－2n)·2n＋1－14.。

课时跟踪检测（十三） 数列求和 （习题课）层级一学业水平达标1.已知a n = （— 1）n ，数列 ®｝的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是（ ）A . 1,1B .— 1, - 1C . 1,0D . — 1,0解析：选 D S 9=— 1+ 1— 1 +1 — 1+ 1— 1 + 1— 1 = — 1,S 10= S 9+ a 10= — 1 + 1 = 0.A . 11…S n a 1 + a 2 + ■…+ a n=(2 — 1) + ( 3- 2) + …+ (市—n) =n + 1 — 1,令 n + 1 — 1 = 10,得 n = 120. 3.已知数列｛a n ｝ , a 1 = 2, an + 1— 2an =0, bn =log 2a n ，则数列｛bn ｝的前 10 项和等于( )A . 130B . 120C . 55解析：选C 在数列｛a n ｝中，a 1= 2, a n +1 — 2a “= 0,即 ------- =2,所以数列｛a “｝是以2为a n首项，2为公比的等比数列.所以 a n = 2 x 2n —1= 2n .所以 b n = log 22n = n.则数列｛b n ｝的前10项和为1 + 2 +…+ 10= 55.故选C.4.在数列｛a n ｝中，已知 S n = 1 — 5+ 9 — 13+ 17 — 21 +…+ (— 1)n 1(4n — 3)，贝V S 15 + S 22—S 31的值()A . 13B .— 76C . 46D . 76解析：选 B •/ S 15= (— 4) X 7+ (—1)14(4X 15— 3) = 29. S 22= ( — 4) X 11=— 44. S 31= ( — 4)X 15+ (— 1)30(4X 31 — 3) = 61.解析：选C ■a nn + n +1n + 1n，C . 120D . 1212.数列｛a n ｝的通项公式是 a n = 1n + n +1 ，若前n 项和为10,则项数为B . 99 D . 50…S15 + S22—S31= 29 —44 —61 = —76.7. ___________________________________________________ 等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 6= 3,则S 6 = _____________________________________________ '解析：6= 3,故q z 1,S 3工 6•a1 1 — qx1 —q3= 1+ q 3= 3,1 — q a 1 1 — q M即 q 3= 2.答案：78. ________________________________________________ 对于数列｛a n ｝，定义数列｛a n +1— a n ｝为数列｛a n ｝的“差数列”，若 a 1= 2, ｛a “｝的“差 数列”的通项公式为 2n,则数列｛a n ｝的前n 项和S n = _____________________________________________ .解析：T a n +1— a n = 2n, • a n = (a n — a n —1) + (a n —1 — a n —2) + …+ (a 2 — a“ + a 125.数列 1,1+ 2,1 + 2+ 2，…100A . 2 — 1011 + 2+ 22+…+ 2n —1，…的前99项和为（）99B . 2—101C . 2100 - 99D . 299- 991 — 2n解析：选A 由数列可知a n = " 2+ 2»T 2叶1 = 口 = 2n - 1,所以，前99项的和2 1 ?99为 S 99 = (2 — 1) + (22— 1) + …+ (299 — 1) = 2+ 22+ …+ 299 — 99 = ——— — 99= 2100 — 101.1 — 26.已知等比数列｛a n ｝的公比q z 1,且a 1= 1,3a 3= 2a 2+ a 4,则数列“ar5n + 1的前4项和解析：•••等比数列｛a n ｝中，a 1= 1,3a 3= 2a ?+ a 4,「・ 3q 2= 2q + q 3.又•/ q z 1q = 2,「.2n — 1,•••数1a n a n +1答案: 85128 1 — q6 =a 1 — q1 — 23 71 — 22= 3.11 a n a n +1 是首项为2,公比为1的等比数列,前n -1，即* a n a n +1 的前4项和为85128.=2n —1 + 2n —2+ …+ 22+ 2 + 2=答案：2n +1— 2+ 2= 2n — 2+ 2 = 2n .Sn =2—= 2n +1—2.9. 已知｛a n ｝是递增的等差数列，a i = 2, a 2= a 4 + 8.(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 若b n = a n + 2a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d , d>0.由题意得(2 + d)2= 2+ 3d + 8,解得d = 2. 故 a n = a i + (n — 1) d = 2+ (n — 1) 2= 2n.2 n(2) •/ b n = a n + 2a n = 2n + 2 , S n = b 1+ b 2 + …+ b n=(2 + 22)+ (4 + 24) + …+ (2n + 22n ) =(2 + 4+ …+2n)+ (22+ 24+ …+ 22n )(1 — 4n )—(2 + 2n 十 4 —n(n + 1) + 3.10.在等差数列｛a n ｝中，a 3 — 4, a ? — 8. (1) 求数列｛a n ｝的通项公式a n ；⑵令b n = 2^,求数列｛b n ｝的前n 项和T n .解：(1)因为 d — a7一a3 — 1,所以 a n — a 3+ (n — 3)d — n + 1.7 — 3a nn + 1(2) b n —2n -1 — 2旷1 ,T n— b+ b2 + …+ b n — 2+ 3 + 步+ …+ 2—1.①1 2 3 n n +1 -2T n —2 +戸+…十尹+ 2T ，②1 1 1 1 n +1由①一②得 2T n — 2+ 2 + ¥+•••+ 厂—~2^ 1 1 1n +1—1+1+ 尹…+ 盯 +1—T"4n +1 — 4 —3— n++3，所以 T n — 6— n^.层级二应试能力达标1.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1— 1, S n— 2an +1,则S n—()1n +1歹+ 1 —它1 -1解析：选 B 因为 a n +1= S n +1— S n ，所以由 S n = 2a “ + 1,得 S n = 2(S n +1 — Si),整理得 3S n3n— 1.起到第5年年末该厂的总产值是( A . 11X (1.15— 1)a 亿元 C . 11X (1.14— 1)a 亿元)B . 10X (1.15— 1)a 亿元 D . 10X (1.14— 1)a 亿元解析：选A 由题意可知，今年年末的总产值为1.1a ，从今年起每年年末的总产值构5成一个等比数列，首项为 1.1a ，公比为1.1.所以其前5项和为S 5=1.1a 1 — 1.1= 11X (1.151 — 1.1—1)a 亿元，故选A.4•设数列｛a n ｝是以2为首项，1为公差的等差数列，｛b n ｝是以1为首项，2为公比的等 比数列，贝U ab 1 + ab 2+・・・+ ab^等于()A . 1 033 C . 2057解析：选A 由已知可得a n = n + 1, b n = 2n —1,于是 ab n = g + 1,因此 ab + ab ?+…+ ab 1°= (6+ 1)+ (b ?+ 1)+ …+ (6° + 1)=切+ b ?+…+10= 2° +2.已知数列｛a n ｝ 1 1 2— —+ — 2，3+3，1 2 3 1 2 3 4 4+ 4+ 4, 5 + 2 + 5+ 4 …,那么数列{b n }="a n a n +1项的和为( ) A . 41-出 B . 4g n + 1 丿 1 C .1—n+i 1 1 D.2 —芮解析：选An n + 11+ 2+ 3 +••• + n 2 n an = ~ = 2， n + 1亠=4a n a n + 1 n(n + 1)『11111••• S n =41 —1+ 2-1+ 3-4+…「•b n =-• +1—丄、n n +1=4 1-n +l .3.某厂去年的总产值是 a 亿元, 假设今后五年的年产值平均增长率是 10%，则从今年=2S n +1,所以= £所以数列S n 2｛S n ｝是以S n B . 1 034 D . 2 0581 —210 21+ - + 29+ 10= + 10= 1 033.1 —2S n = 1+ 3+ 5+…+3+ 2—1，①n15. (2017全国卷n )等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 3= 3, S 4= 10,则S =k = 1S k解析：设等差数列｛a n ｝的首项为a 1，公差为d ,31 + 2d = 3,依题意有£ 4a 1+ 6d = 10,2= 21 —丄n(n + 1)\P n +1 丿答案：6.已知等比数列｛a n ｝及等差数列｛b n ｝,其中b 1= 0,公差d M 0•将这两个数列的对应项相 加，得一新数列1,1,2,…，则这个新数列的前10项和为 ________ .解析：设数列｛an ｝的公比为q ,则｛a n ｝的前三项分别为1, q, q 2, ｛bn ｝的前三项分别为0,q= 2,于是新数列的前 10项和为（a 1 +d =— 1.1 — 2b 1)+ (a 2 + b 2)+ …+ (a 10 + do) = (a 1 + a 2+ …+ a 1o )+ (b 1 + b 2 + …+ 6。

课时跟踪检测（五） 数列的概念与简单表示法层级一 学业水平达标1．有下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集)上的函数； ②数列的项数一定是无限的； ③数列的通项公式的形式是唯一的；④数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…不存在通项公式． 其中正确的是( )A ．①B ．①②C ．③④D ．②④解析：选A 结合数列的定义与函数的概念可知，①正确；有穷数列的项数就是有限的，因此②错误；数列的通项公式的形式不一定唯一，③错误；数列1,3,2,6,3,9,4,12,5,15，…存在通项公式，④错误．故选A.2．下列说法正确的是( )A ．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B ．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋1n 是递增数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋－1nn是摆动数列 解析：选D 数列是有序的，而数集是无序的，所以A ，B 不正确；选项C 中的数列是递减数列；选项D 中的数列是摆动数列．3．数列{a n }中，a n ＝3n －1，则a 2等于( )A ．2B ．3C ．9D ．32解析：选B 因为a n ＝3n －1，所以a 2＝32－1＝3.4．数列0，33，22，155，63，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝ n －2n B ．a n ＝ n －1n C ．a n ＝n －1n ＋1D ．a n ＝ n －2n ＋2解析：选C 已知数列可化为：0，13，24，35，46，…，故a n ＝ n －1n ＋1. 5．已知数列12，23，34，…，nn ＋1，则0.96是该数列的( )A ．第20项B ．第22项C ．第24项D ．第26项解析：选C 由nn ＋1＝0.96，解得n ＝24.6．已知数列2，5，22，11，…，则25是该数列的第________项． 解析：∵a 1＝2，a 2＝5，a 3＝8，a 4＝11， ∴a n ＝3n －1.由3n －1＝25⇒3n －1＝20⇒n ＝7， ∴25是该数列的第7项． 答案：77．数列a ，b ，a ，b ，…的一个通项公式是________． 解析：a ＝a ＋b 2＋a －b2，b ＝a ＋b 2－a －b2，故a n ＝a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2. 答案：a ＋b2＋(－1)n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 28．已知数列{a n }的通项公式a n ＝19－2n ，则使a n >0成立的最大正整数n 的值为________． 解析：由a n ＝19－2n >0，得n <192.∵n ∈N *，∴n ≤9. 答案：99．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式： (1)34，23，712，________，512，13，…； (2)53，________，1715，2624，3735，…； (3)2,1，________，12，…；(4)32，94，________，6516，…. 解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号1 2 3 4 5 6 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 912 812 712 ________ 512 412于是应填612，而分子恰为10减序号，故应填12，通项公式为a n ＝10－n 12.(2)53＝4＋14－1， 1715＝16＋116－1， 2624＝25＋125－1， 3735＝36＋136－1. 只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填108， 通项公式为a n ＝n ＋12＋1n ＋12－1.(3)因为2＝21，1＝22，12＝24，所以数列缺少部分为23，数列的通项公式为a n ＝2n .(4)先将原数列变形为112，214，________，4116，…，所以应填318，数列的通项公式为a n ＝n ＋12n .10．数列{a n }中，a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，写出这个数列的前4项，并根据前4项观察规律，写出该数列的一个通项公式．解：∵a 1＝a ，a n ＋1＝2a n1＋a n，∴a 2＝2a 1＋a ，a 3＝2a 21＋a 2＝2×2a 1＋a 1＋2a 1＋a ＝4a 1＋3a ，同理：a 4＝8a1＋7a，观察规律：a n ＝2n －1·a1＋2n －1－1a.层级二 应试能力达标1．已知数列{a n }的通项公式a n ＝nn ＋1，则a n ·a n ＋1·a n ＋2等于( ) A.n n ＋2B.nn ＋3C.n ＋1n ＋2D.n ＋1n ＋3解析：选B a n ·a n ＋1·a n ＋2＝nn ＋1·n ＋1n ＋2·n ＋2n ＋3＝n n ＋3.故选B. 2．数列1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n ＋1n 2＋n (n ∈N *) B ．a n ＝(－1)n －12n －1n 2＋3n (n ∈N *) C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N *) D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N *) 解析：选D A 项中a 1＝32，B 项中a 1＝14，C 项中a 1＝13，D 项中a 1＝1，因此首先排除A 、B 、C ，故选D.3．图中由火柴棒拼成的一列图形中，第n 个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第n 个图形中，火柴棒的根数为( ) A ．3n －1 B ．3n C ．3n ＋1D ．3(n ＋1)解析：选C 通过观察，第1个图形中，火柴棒有4根；第2个图形中，火柴棒有4＋3根；第3个图形中，火柴棒有4＋3＋3＝4＋3×2根；第4个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＝4＋3×3根；第5个图形中，火柴棒有4＋3＋3＋3＋3＝4＋3×4根，…，可以发现，从第二项起，每一项与前一项的差都等于3，即a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，…，a n －a n －1＝3(n ≥2)，把上面的式子累加，则可得第n 个图形中，a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1(根)．4．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列解析：选A a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1，∴当n 越大，2n ＋1越小，则a n 越大，故该数列是递增数列．5．数列1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…其通项公式为________． 解析：1＝12， 1＋2＋1＝4＝22， 1＋2＋3＋2＋1＝9＝32， 1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42， …观察归纳出通项公式为a n ＝n 2. 答案：a n ＝n 26．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列的通项公式为a n ＝________.解析：因为OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…，OA n ＝n ，…，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3，…，a n ＝n .答案：n7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝p n＋q (p ，q ∈R)，且a 1＝－12，a 2＝－34.(1)求{a n }的通项公式； (2)－255256是{a n }中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？ 解：(1)∵a n ＝p n＋q ，又a 1＝－12，a 2＝－34，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＋q ＝－12，p 2＋q ＝－34，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝－1，因此{a n }的通项公式是a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1.(2)令a n ＝－255256，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12n－1＝－255256，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝1256，解得n ＝8.故－255256是{a n }中的第8项．(3)由于a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，且⎝ ⎛⎭⎪⎫12n随n 的增大而减小，因此a n 的值随n 的增大而减小，故{a n }是递减数列．8．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9n 2－9n ＋29n 2－1. (1)求这个数列的第10项；(2)98101是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由． 解：(1)设a n ＝f (n )＝9n 2－9n ＋29n 2－1 ＝3n －13n －23n －13n ＋1＝3n －23n ＋1.令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝2831.(2)令3n －23n ＋1＝98101，得9n ＝300.此方程无正整数解，所以98101不是该数列中的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，又n ∈N *，∴0<1－33n ＋1<1，∴0<a n <1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内． (4)令13<a n ＝3n －23n ＋1<23，∴⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1<9n －6，9n －6<6n ＋2，∴⎩⎪⎨⎪⎧n >76，n <83.∴当且仅当n ＝2时，上式成立，故在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有数列中的项，且只有一项为a 2＝47.。