小学三年级奥数数阵图一知识点与习题

小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

\1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

:解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

66666小学奥数专题之数阵图练习题例(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

三秋第16讲 数阵图（一）一、教学目标将一些数按照一定的规律排列而成的图形，通常叫做数阵图．向四周呈放射状的数阵就是放射式数阵．首尾相接的是封闭状数阵．填数阵图的方法是将题目所给的若干个数进行分析，找出规律，正确填充．填放射式数阵的关键是确定公共部分的数．填封闭状数阵的关键是确定首尾相连即相交部分的数． 二、例题精选【例1】 将10—18这九个数分别填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都相等。

你有几种填法呢？（至少填出两种）【巩固1】在空格内填入1、2、3、4、5各数，使每条线上三个数的和都相等，你能写出几种呢？【例2】 把2、3、4、5、6五个数填入下面的圆圈里，使横行、竖行三个数相加的和都是13．【巩固2】将7~1这七个数填入左下图中，使每条直线上的三个数的和为10。

【例3】 一天喜羊羊在回羊村的路上遇到了灰太狼，灰太狼有意刁难他，挡住他的去路对他说：“只要你用16这六个数字填在图中的圆圈内，使每条线上的三个数之和等于12，我就让你过去。

”喜羊羊想了想，不慌不忙的就填了出来。

你知道喜羊羊是怎么解决的吗？【巩固3】从1、2、3、4、5、6中选取适合的数填在圆圈里，使每个圆上四个数的和都等于15．【例4】将1~9这九个数分别填入下左图中，使每个三角形的顶点上的三个数的和相等。

【巩固4】将1，2，3，5，6，7这六个数填入下左表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

【例5】在下左图中，三个圆圈两两相交成7块小区域，分别填上1~7这七个自然数，在一些小区域中已填好数字，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是15。

375【例6】在下左列表格中填上0~8这9个数字，使得各行各列的和都恰好等于表格边上的数。

（每个数字只能用1次）21312121014。

课题之马矢奏春创作数阵图教学目标1：理解两种类型数阵图概念；2：能依照题中具体要求填数阵图重点填图三步调：1、算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2、通过重叠数的值（或和）找出重叠数3、把数阵图填写完整难点通过找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变更多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用一生的精力来研究它的变更，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数依照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

一、辐射型数阵图先从几个简单的例子开始。

把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

1.2 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

练一练：将1～9这九个数分别填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等。

还有其他填法吗？例2将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。

如果把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例1，重叠数可能等于几？怎样填？练一练：将 10～20填入左下图的○内，使得每条边上的三个数字之和都相等。

二、封闭性数阵例3将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20。

例4 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

将2～9这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18。

附加：把1～7分别填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13。

1.了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2010年，学而思杯，3年级，第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图 【难度】2星 【题型】填空【解析】 为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）h gf ed c baa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8， 又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7.说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

课题数阵图教授教养目的1：懂得两种类型数阵图概念;2：能按照题中具体请求填数阵图重点填图三步调：1.算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2.经由过程重叠数的值（或和）找出重叠数3.把数阵图填写完全难点经由过程找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在平庸的数学王国中,有一类异常有味的数学问题,它变更多端,惹人入胜,奥妙无限.它就是数阵,一座真正的数字迷宫,它对爱好探讨数字纪律的人有着极大的吸引力,以至有些人留连个中,用平生的精神来研讨它的变更,就连大数学家欧拉对它都有着浓重的兴致.那么,到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：上面两个图就是数阵图.精确地说,数阵图是将一些数按照必定请求分列而成的某种图形,有时简称数阵.一.辐射型数阵图先从几个简略的例子开端.把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5),使两条直线上的三个数之和相等.1.2 把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.练一练：将1～9这九个数分离填入右上图中的○里(个中9已填好),使每条直线上的三个数之和都相等.还有其他填法吗？例2将1～7这七个天然数填入左下图的七个○内,使得每条边上的三个数之和都等于10.假如把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”,其他不变,那么模仿例1,重叠数可能等于几？如何填？练一练：将 10～20填入左下图的○内,使得每条边上的三个数字之和都相等.二、关闭性数阵例3将1～8这八个数分离填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21.练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20.例4 将1～6这六个天然数分离填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.将2～9这八个数分离填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18.附加：把1～7分离填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13.你学会了吗1.将3～9这七个数分离填入下图的○里,使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入图的○里,使每条直线上的三个数之和相等,并且尽可能大.3.把5.6.7.8.9.10.11.12.12.14填入下图,使每个大圆圈中六个数的和是554.将1～8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15.功课：1.将1～9这九个数分离填入右图的小方格里,使横行和竖列上五个数之和相等.(有若干种填法？)2.把1～6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等.3.将4.5.6.7.8.9六个数填鄙人图,使每条边上得三个数之和都相等,并且和为最大,和为最小呢？4.把1——7这7个数,分离填入途中,使直线和大圆上的数之和相等生涯趣题：小猫要把15条鱼分成数目不相等的4堆,问最多的一堆中最多可放几条鱼？。

小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【例 2】 将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图（1）【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是 。

CBA【例 4】 将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是 ．789fedcba 789【例 5】 将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】 如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A 与B 的和是________。

BA【例 7】 把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22 的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？111098765432【例 8】 下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】 如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】 将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是 。

例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分 【解析】 2 【答案】2【例 3】 如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3） （1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】 请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C ）+（A+F+G ）+（A+D+E ）+（B+D+F ）+（C+E+G ）=5k ，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k ，2（A+B+C+D+E+F+G ）+A=5k ，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k ，56+A=5k.，因为56+A 为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】 在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求,排成各种各样的图形,这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多,这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数,计算这些关键点与相关点的数量关系,得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用,很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】 把1～8的数填到下图中,使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】学而思杯,3年级,第6题 【解析】例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图87654321【答案】87654321【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内,使四边形每条边上的三个数之和都等于14,且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便,先在各圆圈内填上字母,如下图（2）.由条件得出以下四个算式：（2）hg f edcbaa+b+c=14（1）c+d+e=14 （2）e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3）,得：a+b+c+e+f+g=28,（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28,d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8,由（2）+（4）,同样可得b+f=8,又1,2,3,4,5,6,7,8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上,d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.又由对称性,不妨设b=2,f=6,d=3,h=5.a,c,e,g可取到1,4,7,8若a=1,则c=14-（1+2）=11,不在1,4,7,8中,不行.若c=1,则a=14-（1+2）=11,不行.若e=1,则c=14-（1+3）=10,不行.若g=1,则a=8,c=4,e=7.说明：例题为封闭型数阵,由它的分析思考过程可以看出,确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.【答案】【例 3】 在如图6所示的○内填入不同的数,使得三条边上的三个数的和都是12,若A 、B 、C 的和为18,则三个顶点上的三个数的和是 。

第六讲 数字谜（二）—数阵图本讲通过对简单数阵的学习，让学生在数与数之间的变化中，感受到数字的奇妙，体会到数学思维 的乐趣知识点：1．封闭型数阵图；2．辐射型数阵图； 3．复合型数阵图．教学目标将 1、2、3、4、5、6 这六个数填在图中的空灯里，使 每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于 14．分析：将三个大圆上的所有数字相加，中间三个灯笼上的数字被加了 2 遍， 其余三个灯笼上的数字只加了一遍，所以，中间三个数的和为（1＋2＋3 ＋4＋5＋6）－14＝7，三个数相加等于 7 的情况只有 1＋2＋4，所以中间的三个灯笼上的数为 1，2，4，这 6 个数中四个数相加等于 14 的组合有 (6521)(6431)(5432)，就可以填出：想 挑 战 吗 ︕在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人 有着极大的吸引力，以至有些人留恋其中，用毕生的精力来研究它的变化， 就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣．到底什么是数阵呢？ 下面我们一起来研究吧．到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图：左图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是， 7 每个圆周上的四个数字之和都等于 13．右图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15．上面两个图就是数阵图．准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的 某种图形，有时简称数阵．2 61 43 58 1 6 3 5 7 4 9 2（一）辐射型数阵图把 1～5 这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．分析：在图中我们可以看出，中间圆圈里的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”．也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次， 即重叠了一次，其余各数均被加了一次．我们可以得出： (1＋2＋3＋4＋5)＋重叠数＝每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15＋重叠数)÷2．因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5．若“重叠数”＝1，则两条直线上三数之和为(15＋1)÷2＝8．填法见左下图； 若“重叠数”＝3，则两条直线上三数之和为 (15＋3)÷2＝9．填法见下中图； 若“重叠数”＝5，则两条直线上三数之和为 (15＋5)÷2＝10．填法见右下图．[巩固]把 1～5 这五个数填入下图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等．12 5 345专题精讲有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析， 进行试验填数求解．231 451 23 452 15 43例1分析：与例题不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数．所以， 必须先求出这个“和”．两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍， 所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1＋2＋3＋4＋5)＋5]÷2＝10．因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于 10－5＝5．非“重叠数”的和也可以这样求，因为 1～4 的和我们可以求，每条直线上两端的数的和是：（1＋2＋3＋4）÷2＝5．在剩下的四个数 1，2，3，4 中，只有 1＋4＝2＋3＝5．故有右上图的填法．[注意] 求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的．把 1～7 这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等．分析：解这道题的关键是首先求出中心数．1～7 七个数的和是 28，而计算三条线段中数的和时，中心圆的数要多加两次．因此可得如下关系式：28＋(中心数)×2＝每条线段上三个数的和×3．即：(28＋中心数×2)÷3＝每条线段上三个数的和．用试验的方法，将 1～7 这七个数作中心数分别代入上述关系式中．可求出中心数及每条直线上三个数的和．经试验，若中心数取 2、3、5、6，此题无解；中心数取 1、4、7 时该题数阵图成立．（1）(28＋1×2)÷2＝10，中间圆圈内填 1，各线段其他两数和为 10－1＝9． （2）(28＋4×2)÷3＝12，中间圆圈内填 4，各线段其他两数和为 12－4＝8． （3）(28＋7×2)÷3＝14，中间圆圈内填 7，各线段其他两数和为 14—7＝7． 三种基本解法详见下图．将 10～20填入左下图的○内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等．分析：中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10＋11＋…＋ 20)＋15×4]÷5＝45．15例2 6 31 4 2572 64751334 75621例3201610 191411 1513 121718剩下的十个数中，两两之和等于(45－15＝)30 的有 10，20；11，19；12，18；13，17；14，16． 也可以这样求：五条边上两个数的和都是相等的，（10＋11＋…＋20）÷5＝30，所以两两之和等于30． 于是得到右图的填法．[拓展]把 10～20 这 11 个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都相等．请你把各种填法都写出来(中心圆圈内的数相同就视为一种填法)．(1993 年武汉市小学数学竞赛试题)分析：审题可知中心处的数是五条线段的端点，求和时用了 5 次，因此，确定中心圆圈里的数是关键 （方法一）①列出中心数与每条线段上三数和的关系式：(165＋中心数×4)÷5②用试验方法求出中心数及每条线段上三数和．中心数分别为 10、15、20．每条线段上三数和分别为 4l 、45、49．分别以 10、15、20 为中心数的数阵图，相对应的每条线段上两数和分别为：3l 、30、29． 和为 29 的两数可有：10＋19、1118、12＋17、13＋16、14＋15； 和为 30 的两数可有：10＋20、11＋19、12＋18、13＋17、14＋16； 和为 31 的两数可有：11＋20、12＋19、13＋18、14＋17、15＋16． ③填图．如下图的(1)、(2)、(3)．（方法二）设中心的圆圈内的数字是 a ，每条线段的圆圈内的三个数字和是 k ，则：10＋11＋12＋13＋ 14＋15＋16＋17＋18＋19＋20＋4×a＝5k ，即 165＋4×a＝5k ．推出中心处的 a 等于 10，15，20，k 分别等于 41，45，49．当 a ＝10 时，k ＝41，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 31，即 11＋20，12＋19，13＋18，14＋ 17，15＋16，从而填出数阵图当 a ＝15 时，k ＝45，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 30，即 10＋20、11＋19、12＋18、13＋ 17、14＋16，从而填出数阵图当 a ＝20 时，k ＝49，每条线段上另外两个圆圈内的两数之和是 29，即 10＋19、11＋18、12＋17、13＋ 16、14＋15，从而填出数阵图[小结]以上例题中数阵图都是辐射型数阵图．一般地，有 m 条边，每边有 n 个数的形如下图的图形称为辐射型 m －n 图．192012 18111310 14 15171620 1610 19141115 1312171819 1510 181411 20 13121617辐射型数阵图只有一个重叠数，重叠次数是“直线条数”－1，即 m －1．对于辐射型数阵图，有： 已知各数之和＋重叠数×重叠次数＝直线上各数之和×直线条数．由此得到：(1)若已知每条直线上各数之和，则重叠数等于 (直线上各数之和×直线条数－已知各数之和)÷重叠次数 ． 如 例 1 、 例 3． (2)若已知重叠数，则直线上各数之和等于(已知各数之和＋重叠数×重叠次数)÷直线条数．如例 2． (3)若重叠数与每条直线上的各数之和都不知道，则要从重叠数的可能取值分析讨论，如例 3．（二）封闭型数阵图将 1～6 这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等．分析：我们不知道每边的三数之和等于几．因为三个重叠数都重叠了一次，由(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和＝每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于[(1＋2＋…＋6)＋重叠数之和]÷3＝(21＋重叠数之和)÷3＝7＋重叠数之和÷3．因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是 3 的倍数．考虑到重叠数是 1～6 中的数，所以三个重叠数之和只能是 6，9，12 或 15，对应的每条边上的三数之和就是 9，10，11 或 12． 与例题的方法类似，可得下图的四种填法：每边三数之和＝9 每边三数之和＝10 每边三数之和＝11 每边三数之和＝12[小结]像例题中这样各条边是互相连接的数阵图，叫做封闭型数阵图．思考这类问题，主要是要弄清关键数字．抓住关系式，进行分析，确定顶点上的数以及每条边上的数的和，再用试验的 方法，求出解．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为“封闭型数阵图”．填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图．例4 16 5243164325253 416432516例5 将2～9 这八个数分别填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18．分析：四个角上的数是重叠数，重叠次数都是 1 次．所以四个重叠数之和等于18×4－(2＋3＋…＋9)＝28．而在已知的八个数中，四数之和为 28 的只有：4＋7＋8＋9＝28 或 5＋6＋8＋9＝28．又由于 18－9－8＝1，1 不是已知的八个数之一，所以，8 和9 只能填对角处．由此得到左下图所示的重叠数的两种填法：“试填”的结果，只有右上图的填法符合题意．[巩固]把 1～8 这八个数分别填入下图中的八个○内，使每条边上三个○内数的和都相等．分析：这道题的关键是确定正方形四个顶点上的数及正方形每边上数的和．1～8 的和是 36，36 加上四个顶点上的数其和是 4 的倍数．36 是 4 的倍数，只要考虑从 1～8 里选 4 个数，使其和是 4 的倍数，可得四个不同的和 12、16、20、24．再求出每边四个数的和分别是：(36＋12)÷4＝12 (36＋16)÷4＝13 (36＋20)÷4＝14 (36＋24)÷4＝15 又因为 1＋2＋3＋6＝12，1＋2＋4＋5＝12．经试验，四个顶点数只能填 l、2、3、6．然后用凑数法使每边和是 12．采用同样的方法，可填出每边和是 13、14、15 的情况．下面给出一种解法，如右上图．其他解法请同学们自己完成．用1～9 这九个数字填入下图中，使得每条边上的四个数的和都等于 A，问A 可以等于哪些数?给出你的填法．分析：解这道题的关键是确定三边之和与三顶点之和的关系，再运用试验法求解．4 98 75 98 64 5 96 28 3 715684372例6因为每条边上的四数之和都等于 A ，则三边之和为 3×A．因 1 到 9 这九个数的和是 45，而在 3×A 中，三个顶点上的数都被计算了两次，于是顶点上的数之和应为 3×A－45．这个和是 3 的倍数，它最小是 1＋2＋3＝6，最大是 7＋8＋9＝24，从而 A 可以取 17、18、19、20、21、22、23．但是，当 A 为 18 或 22 时，都得不出一个合乎题目要求的解答，所以 A 只能为 17、19、20、23 这五个数．图(1)、(2)、 (3)、(4)、(5)给出了这五种填法．（1）（2）（3）（4）（5）将 l 、2、3、4、5、6 六个数字填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上四个数字的和都是 l6．分析：观察发现，中间的两个圆圈最特殊，它们同时在两个圆上，我们要以此入手，填出这个数阵． 这六个数的和是 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21．题中要使每个大圆上的数字和是 16，那么两个大圆上的数字总和是 16×2＝32，两个大圆圈上数字的总和比六个数的和多 32－21＝11，怎么会多 11 呢？因为两个大圆上有两个数被算了两次，也就是多算了一次，即（）＋（）＝11，所以，被算了两次的数是 5 和 6． 先填上被多算的数 5 和 6，再通过计算填入其余各数：16－5－6＝5，2＋3＝5，1＋4＝5，填法如下：[小结]刚刚学习的这几个数阵图都是封闭型数阵图．一般地，在 m 边形中，每条边上有 n 个数的形如下图的图形称为封闭型 m －n 图．与“辐射型 m －n 图只有一个重叠数，重叠次数是 m －1”不同的是，封闭型 m －n 图有 m7A=23 5 63184 2 93 A=21 7 85 1 642 91A=20 876354291A=19 896 245371 A=17 8 96 4275 3例7 251364个重叠数，重叠次数都是 1 次．对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以： 已知各数之和＋重叠数之和＝每边各数之和×边数． 由这个关系式，就可以分析解决封闭型数阵图的问题．（三）复合型数阵如图 “好、助、手、伙、伴、参、谋”这 7 个汉字分别代表 1 至 7 这 7 个数字．已知 3 条直线上的 3 个数相加、2 个圆周上的 3 个数相加，所得的 5 个和相同．那么，“好”字代表多少?分析：通过读题可以知道三条直线的三个数之和相等，两个圆圈的三个数之和相等，而且五个和都相等．所以计算 5 个和的和，这个和一定是 5 的倍数，其中“好”字计算了三遍，其它数只是被计算了 2 遍，因此这个和等于（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）×2＋“好”＝56＋“好”，我们这个“好”只能是 4 才 能保证这个和是 5 的倍数．所以“好”＝4．将自然数 l ～7 填入右图的七个○中，使得横、竖、斜的每条直线上的三个数之和都相等．分析：三角形顶上的数重叠 3 次，其他数都重叠 2 次．所以有： (1＋2＋…＋7)×2＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5，56＋顶上的数＝每条线上的三个数之和×5．由上式等号左端是 5 的倍数，推知“顶上的数”＝4．所以每条线上的三个数之和为(56＋4)÷5＝12．经试验可得如下填法(填法不唯一)：有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”．我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字．例8 谋伴参伙好 助手例9 47 2 3 1 65请问如何才能将 26，27，28，36，37，38，46，47，48 这九个数分别填入图中的圆圈中，使得通过中心圆圈的每条直线上的三个数之和都是 111．分析：我们已知九个数的和是 26＋27＋28＋36＋37＋38＋46＋47＋48＝333．题中要使每条线上三个数的和是 111，那么四条线上数的总和是 l11×4＝444．四条线上数的总和比九个数的和多 444—333＝111．中心圆圈里的这个数是重叠数，重叠了四次，即多算了 3 次，即重叠数×3＝111．因为只有 37×3＝111，所以中心圆圈里填 37．先填上中心圆圈里的数 37，再通过计算分别填人其余各数：111－37＝74，26 ＋48＝74，27＋47＝74，28＋46＝74，36＋38＝74．填法如右图：数阵图是一类非常有趣的数学问题，同学们，你们在这座数学迷宫中感受到它的奇妙了吗？在春季我们还会有类似问题的学习哦，敬请期待吧！1. 将 1～7 这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于 12．分析：1+2+3+4+5+6+7+2×中间数＝28+2×中间数＝12×3，中间数为 4，填法如右上图．例10专题展望练习六32741652628 36 27 37473846482. 将 1～7 这七个自然数填入下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于 10．分析： (1＋2＋…＋7)＋重叠数×2＝10×3．由此得出重叠数为 [10×3－(1＋2＋…＋7)]÷2＝1．剩下的六个数中，两两之和等于 9 的有 2，7；3，6；4，5．可得右上图的填法．3. 把 1、2、3、4、5、6 六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相加的和都等于 9．分析：三边的和为 9×3＝27．但是 1～6 六个数的和等于 21，三行数的和比题中六个数的和多 27—21 ＝6，原因在于三个顶点的数字都要用 2 次，说明三个顶点数之和是 6． 1+2+3=6，所以把 1、2、3 分别填入三个顶点中，再根据每行和都等于 9 的要求填上其他各数．如右上图．4. 请分别将 1，2，4，6 这 4 个数填在下图的各空白区域内，使得每个圆圈里 4 个数的和都等于 15．分析：5＋7＝12，3＋7＝10，3＋5＝8，三个圆中已有数的和与 15 的差分别是 3、5、7，只有 1 能和其他三个数的和分别是 3、5、7，所以中间数一定是 1，由和为 15，其它三个数即可得，见右上图．5. 在图中 x ，y ，z 三个小圆圈内各填上一个数，使得每条直线上三个数的和都等于大三角形三个顶点上三个数的和．分析：如图，把三条直线上的三个和相加，相当于把 4 算了三遍，1，5，6 算了一遍， 三个顶点上的数各算了一遍．根据题意，这三个和应该是相等的，并且和三个顶点上的和也相等．那么 4×3＋1＋5＋6＋三个顶点和＝三个顶点和×3；和是(4×3＋1＋5 ＋6)÷2＝12．所以，图中 x 处的数是 l2－4－5＝3；图中 y 处的数是 l2－4－1＝7；图中 z 处的数是 l2－4－6＝2．721 4 3561 6 5 2435732573416x 5 4 6 1zy推理小故事图像从不闪动一个星期日的中午，绿庄公寓里 008 号房间的单身职员，到距离很近的售货摊上买东西，只离开房间五六分钟，没有锁门，5 万元现金被盗．报案后，刑警问他:“公寓里有谁知道你出去买东西?”“10号房间的北村知道，我出去时他还托我买呢．”刑警马上到 10 号房间查看．一进门，就见北村一边在吃方便面一边看漫画．“8 号房间的失盗者出去买东西时，你在哪儿?干什么了?”“我一直在看漫画呀．”“你没听见那个房间里有异常动静吗?”“没有，那时正好一架直升飞机在这座公寓的上空盘旋，噪音很大，一点点动静也觉察不到．”据公寓管理人员说，中午并没有外人进公寓．肯定是内部人员干的．“别的房间里有人在吗?”“今天星期日，别人出去玩了，只6号房间里一个叫寺内的青年人在．”刑警又来到 6 号房间，见寺内正穿一身睡衣躺在床上，边吃花生米边看电视．那是台新型彩电．“哎呀，好漂亮的彩电啊!图像一点不闪动吗?”“从来没有过，这是我三天前才买来的新产品．”“听到 8 号房间里有可疑动静吗?”“没有，一点没察觉到，因电视里有我喜欢的歌手在演唱，我看得入了迷，再加上那架讨厌的直升飞机在盘旋……”“你说谎．直升飞机盘旋时你并没看电视，而是溜进8号房间找钱吧．”刑警凭什么识破了寺内的手段呢?答案见第七讲．第五讲“巧断小偷”答案：小偷在甲、乙、丙、丁四人中，并且只有一人说的话是真话，其余三人说的是假话．也就是“一真三假”，这也是我们判断是非的准则．假如乙是小偷，那么其余三人均不是小偷．而甲说乙是小偷，所以甲讲了真话；既然乙是小偷，那么丁就不是小偷，可见丁说：“反正我没偷．”这句也是真话．于是，便有甲、乙两人说了真话，这与“一真三假”的准则相矛盾，所以乙不是小偷．同理可推斯出甲、丙都不是小偷，小偷自然就是丁了．不过，我们还可验证一下．当丁是小偷时，甲、乙、丙三人便不是小偷．丁说：“反正我没偷．”这便是一句假话；乙不是小偷，故甲说：“手表是乙偷的．”也是假话；丙不是小偷，则乙说：“手表是丙偷的．”还是假话；既然乙说的是假话，所以丙说：“乙在撒谎．”就是真话，这不是正符合“一真三假”的准则吗?同学们，你答对了吗？。

数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。

重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。

试一试：练习与思考第1 题。

例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。

简单数阵图一、辐射型数阵图
从一个中心出发，向外作若干条射线，在每条射线上安放同样多个数，使其和是一个不变的数。

突破关键：确定中心数，多算的次数，公共的和。

先求重叠数。

数总和 + 中心数×重复次数＝公共的和×线数
重叠部分 = 线总和 - 数总和 / 线总和 = 公共的和×线数
数和：指所有要填的数字加起来的和
中心数：指中间那数字，即重复计算那数字（重叠数）
重复次数：中心数多算的次数，一般比线数少1
公共的和：指每条直线上几个数的和
线数：指算公共和的线条数
二、封闭型数阵图
多边形的每条边放同样多的数，使它们的和都等于一个不变的数。

突破关键：确定顶点上的数字，公共的和。

数和+重叠数的和＝公共的和×边数
数和：指所有要填的数字加起来的和
公共的和：指每条直线上几个数的和
重叠数和：指数阵图顶角重复算的数全加起来的和
边数：指封闭图形的边数。

学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课T (同步知识主题) C （专题方法主题）T （学法与能力主题）类型授课日期时段教学内容第十讲：数阵图．把1～6这六个数字分别填入图10 - l的六个圈内．使得每个正方形顶点上的数的和都为13．从l到6这六个数的和是21．而两个正方形8个顶点上的数之和是26(=13×2)，比六个数的总和大5．这是因为中间两个圈内的数，都被算了两次，所以，多出来的5就是中间两个圈内的数的和．每个正方形，去掉这中间的两个数，剩下的两个数，和都是8（=13 -5）．解在1到6六个数中，两个数的和为8，只可能足2+6、3+5．所以中间两个圈内填1与4．得到如幽10 - 2的填法．将3、4、6这二个数填入图10-3的三个圆圈内，使得每条边上的三个数的和等于11．．将2到7这六个数，填入图10- 4的圈中，使得每条线上的三个数的和相等．由2+7= 4+5=3+6=9．得到如图10-5的解将l到7这七个数填入图10-6，使得每条线上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．．将1到9这九个数填入图10-7，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等．l+2+…+9=45去掉中心的数后，每条线上两个数的和相等．4条线上8个数的和是每条线上的和乘以4．所以中心的数只能是1、5、9，去掉中心后的8个数的和分别是44、40、36，每条线上两个数的和分别是11、10、9．即有三种情况：（1）中心填1时，2与9、4与7、8与3、5与6两两搭配填入同一条线的两个圈内即可．（2）中心填5时，1与9、2与8、3与7、4与6搭配．（3）中心填9时，1与8、2与7、3与6、4与5搭配这样得到如图10-8所示的三个解将1~8填入图10-9，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等．．将1到5这五个数填入图10 - 10，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等．设中心的数是a．因为竖线上的三个数的和等于圆周上的四个数的和，所以a等于它左、右两个数的和．同理，a等于它上、下两个数的和．从而a是最大的数5．其余四个数，2与3搭配．1与4搭配，写在同一条线上，得到的解如图10-11所示．在图10 – 12中填上7、8、10、1 2，使得每个圆内的四个数的和相等．．将l~6这六个数填入图10-13的六个圆圈内，使得每条边上的三个数的和相等．如果1与6都不在顶点处，那么在图10 -14中，a+l+c=b+6+c．所以a+1=6+b但6比a大，b比1大，所以a+l与6+b不可能相等．1与6至少有一个在顶点处．设1在顶点．2、3、4、5、6中取4个数，分成和相等的2组，只有3种可能：2+6=3+5．3+6=4+5．2+5=3+4前两种可得图10-15的(1)，(2)．第3种不可能，因为另一行3个数的和至少是2+3+6．超过1+2+5．同样，6在顶点时，可以得到图10 - 15的(3)，(4)因此，本题的答案是图10-15的(1)～(4)．用7减去1在顶点的图10 - 15(1)、(2)的每一个数，便得到（3）、（4）．反过来也是这样．将l到16填入图10 -16，使得每条线段上四个数的和相等，两个八边形八个顶点上的数的和也相等．将1~16填入图10 - 17的正方形，使每行、每列、每条对角线的和都相等．本题也就是造一个四阶幻方四阶幻方的造法很多，解也不唯一．下面介绍一种最简的做法，可以称为调整法．先将1~16依照次序先左后右，先上后下逐一填入图10 - 18(1)中得四阶幻方中每行和、每列和、每条对角线的和都是(1+2+…+16)÷4= (1+16)×16÷2÷4=34现在图10 - 18(1)的两条对角线的和都已经是34，合乎要求所以对角线上的数不要再动．先来调整行，将第一行的2、3分别与第四行的14，1 5对调，第二行的5、8分别与第三行的9、12对调，得图10 - 18(2)，这个图中，不但每条对角线的和是34，每一行的和也都是34．再调整列．将图10 - 18(2)第一列的9、5分别与第四列的12、8对调，第二列的14、2分别与15、3对调，得图10 -18(3)，这个图就是一个合乎要求的幻方．比较例6所得的幻方与巩固练习5的答案．有何联系？可能与必然上节末，说到一个游戏“数独”数独怎么填呢？比如先看第一行，在上节末的图中，有6个空格，应填1、2、4、7、8、9这6个数字，每个空格填的数有6种可能，难以确定．如果看第二列，只有2个空格，心填2、7，每个空格有2种可能，但还不能惟一确定．可能性太多，需要逐个枚举讨论，比较麻烦．所以应先考虑可能较小的方格，最好能发现一些方格，只有一种填法，也就是说这些方格填什么数是必然的．将这些方格先填好，对填其他方格会有帮助．同时考虑几个方面的要求，可以得到必然的填法，比如中间的3×3的正方形，只有3个空格，应填2、6、8．再结合第四行已经有8，第六行也已经有8，所以8必须填在中央．接下去，因为第四行已经有6，所以6必须填在第六行，2填在第四行．现在再看第四行，只剩2个空格，应填9与3．第九列有9，所以第四行的9只能（必然）在第三列，3在第九列．同样，右中3×3的正方形中，9必然在第六行，第六行第一列必填2．左中3×3的正方形中，5必在第一列，7在笫三列．第八列3必填在第九行，9必填在第二行．右上3×3的正方形中，7必填在第七列．右下3×3的正方形中，5必在第八行第七列，2必在第八行，1在第九列第七行，6在第七行第七列．右中3×3的正方形中，6在第九列，2在第七列，左下3×3的正方形中，2、3、8、6的填法郡是必然的．左上3×3的正方形中．按行依次填2、1、4、7、6．右上3×3的正方形中，填4、8．中上3×3的正方形中填8、9、6、2、7、4．中下3×3的正方形中填9、3、6、4、1、7．填法都是必然的，最后结果如图．当然，上面填数的顺序可以变更但应尽量先填只有一种可能的方格，而不要先填邮些难以确定的方格．1．如果图中每行、每列、每条对角线的和都相等，那么填入的数a、b、c、d有什么关系？2．将1到8这八个数填入下图，使得每条线上的三个数的和相等．3．将1到9这九个数填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．4．将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等．5．将5到12填入下图，使得每条边上的四个数的和相等．6．将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等．7．将1到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等．8．将l到10填入下图，使每条线段上的四个数的和相等，每个三角形三个顶点上的数的和也相等．（三角形顶点上的数的和不必与线段上的数的和相等）9．将1到8填入圈内，使得每个圆上的五个数的和相等．10．将l到8填入圈内，使每一圆周上的四个数、每条线上的四个数的和相等．11．在下面由圆分割出的9个区域中，填入1到9这九个数，使得每个圆内的数的和都等于11．12．将1到12填入下图，使每条边上的五个数的和相等．你做对了吗？答案：巩固练习6 图中的4条对角线是四阶幻方的4行，另有4组共线的点，如l、12、8、13等是幻方的4列，外面八边形的4个相邻顶点上的数16、1、6、11是幻方的一条对角线，另4个相邻顶点上的数10，7，4，13是幻方的另一条对角线。

课题之羊若含玉创作数阵图教授教养目的1：懂得两种类型数阵图概念；2：能依照题中具体要求填数阵图重点填图三步调：1、算出1个（或几个）重叠数的值（或和）2、通过重叠数的值（或和）找出重叠数3、把数阵图填写完整难点通过找到重叠数填数阵图专题1：数阵图在神奇的数学王国中，有一类异常有趣的数学问题，它变更多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字纪律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用一生的精神来研究它的变更，就连大数学家欧拉对它都有着浓重的兴趣.那么，到底什么是数阵呢？我们先不雅察下面两个图：上面两个图就是数阵图.准确地说，数阵图是将一些数依照一定要求分列而成的某种图形，有时简称数阵.一、辐射型数阵图先从几个简略的例子开端.把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等.1.2 把1～5这五个数分离填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.练一练：将1～9这九个数分离填入右上图中的○里(其中9已填好)，使每条直线上的三个数之和都相等.还有其他填法吗？例2将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10.如果把例2中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么模仿例1，重叠数可能等于几？怎样填？练一练：将 10～20填入左下图的○内，使得每条边上的三个数字之和都相等.二、关闭性数阵例3将1～8这八个数分离填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21.练一练：把1～8填入下页左上图的八个○里，使每个圆圈上的五个数之和都等于20.例4 将1～6这六个自然数分离填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.将2～9这八个数分离填入右图的○里，使每条边上的三个数之和都等于18.附加：把1～7分离填入左下图中的七个空块里，使每个圆圈里的四个数之和都等于13.你学会了吗1.将3～9这七个数分离填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和等于20.2.将1～11这十一个数分离填入图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大.3、把5、6、7、8、9、10、11、12、12、14填入下图，使每个大圆圈中六个数的和是554.将1～8填入左下图的八个○中，使得每条边上的三个数之和都等于15.作业：1、将1～9这九个数分离填入右图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等.(有若干种填法？)2、把1～6这六个数填入右上图的○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等.3、将4、5、6、7、8、9六个数填在下图，使每条边上得三个数之和都相等，并且和为最大，和为最小呢？4、把1——7这7个数，分离填入途中，使直线和大圆上的数之和相等生活趣题：小猫要把15条鱼分成数量不相等的4堆，问最多的一堆中最多可放几条鱼？。