安徽省名校联盟(芜湖一中等)2013届高三第一次联考数学(理)试题

2012.9线性回归方程为7、已知（xa）8展开式中常数项为 5670,其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是xB. 48C.空或 48D. 1 或 28urn uuu 爲 3<38.在厶ABC 中，BAgBC = 3 , S y ABC [ --------- , ------- ]，则/ B 的取值范围是2 29. 双曲线x 2-y 2=8的左右焦点分别为 F 1, F 2,点= 在其右支上，且满'"…儿I -I I ・P 尼丄则X 2012的值是 A.8040 2B.80484 2C.8048D.8040“皖南八校” 2013届高三第一次联考数学（理科）一、选择题（50分） 1、 已知复数 A 、2 2、 若 f （x ） z = 2+ i 的实数部为a ，虚训为b ,贝U a - b = B 、一 1 是R 上周期为 C 、1 D 、37的奇函数，且满足 f ( 3)= 1 , f ( 2)= 2, B 、1 C、 A 、m < 5 B 、m < 6C m < 7D 、m W 84、已知等差数列｛a n ｝满足q 4 , a 4 a 6 = 16,则它的前A 、 138B 、 95C 23D 135 5、已知直线m, i 和平面，， 则丄的充分条件是A . m 丄 l , m //a, l II 3B . m 丄 l , aA3 =ml? aC . m / l , m 丄 a, 1 丄 3D . m // l , 1 丄 3, m? a6、已知一组观测值具有线性相关关系, 若对 D 、一 3 62,则条件①可为10项和S o则 f （— 2）- f （8）= A 、一 1 3、 若右边的程序框图输出的 l 斤始）bx a ，求得 b=0. 5, x =5. 4, y =6. 2,A y =0. 5x+3. 5B. y =0. 5x+8. 9C. y = 3. 5x+0. 5D. y =8.9x + 3.5A 、2810.将4个相同的小球放人编号为 1,2,3的3个盒子中(可以有空盒)，当某个盒子中球的个数等于该盒子的编号时称为一个和谐盒，则恰有两个和谐盒的概率为A 、1681D 242B 、一C 一D 、81 15 15第II 卷(非选择题共100分)二、填空题： 本大题共 5小题•每小题5分，共25分。

安徽省示范高中2013届高三第一次联考英语试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2. 答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3. 答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的题题．．．．．．．．．．．无效，在试．．．．．题卷、草稿纸上答题无效。

．．．．．．．．．．．．4. 考试结束，务必将试题卷和答题卡一并交上。

第I卷第一部分：听力（共两节，满分30分）回答听力部分时，先将答案划在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What does the man think of the new cell phone?A．It doesn’t work well. B. It needs some repairing. C. It needs a new battery. 2．What is the time now?A．It’s 10: 30 B．It's 10：25 C．It's 10：153．What are the speakers doing?A. Having dinner. B．Shopping for food. C．Making a shopping list. 4．How is the woman going to the airport?A．By car. B．By bus. C．By plane.5. What will the woman do tonight?A．Operate on a patient,B．Go to the concert with the man.C．Listen to the music.第二节（共15小题；每题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话。

安徽省联盟（安徽第一卷）2013届高三第一次联考理综试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分300分，考试时间150分钟。

考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。

第1I卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷选择题（共1 20分）本卷共20小题，每小题6分，共120分。

在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

以下数据可供解题时参考：H一1 C一12 0—16 Fe一56一、选择题（本大题共20小题，每小题6分，共120分，每小题只有一个正确答案）1．在下列叙述中与蛋白质的功能无关的是A．动物细胞之间的信息传递B．遗传信息从DNA传递到DNAC．性激素进入受体细胞的过程D．吞噬细胞清除内吞的病菌2．将一盆栽植物连同花盆一起置于密闭的玻璃钟罩内（内有充足的二氧化碳且浓度恒定，温度等条件适宜），测得光照强度与钟罩内氧气的增加量关系如下图所示。

有关该图的分析中正确的是A．a点表示植物的光合作用速率与呼吸作用速率相同B．光照强度为a时叶肉细胞内光合速率大于呼吸速率C．bc段限制植物光合速率的因素不可能是光合色素和酶的含量D．某光照强度下测得的氧气增加量就是该植物光合作用净产氧量3．下列有关细胞分裂、分化、凋亡、癌变的叙述，错误的是A．基因型为MMNn的体细胞在有丝分裂后期，细胞每一极的基因组成均为MMNnB．由卵细胞直接发育成雄峰的过程中发生了细胞分化，体现了体细胞的全能性C．被病原体感染的细胞的清除属于细胞凋亡，与之有关的细胞器是溶酶体D．原癌基因的激活和抑癌基因的失活，都有可能导致癌细胞的产生4．下列关于鸭跖草进化的说法，正确的是 A ．若鸭跖草种群数量增加，则种群内基因频率改变的偶然性也增加 B ．若鸭跖草种群中RR 个体的百分比增加，则R 基因频率也增加 C ．持续选择条件下，决定某不良性状的基因频率可能降为0 D ．只有自然环境的选择作用才能决定鸭跖草的进化方向5．在豌豆种子萌发及幼苗的生长发育过程中受到多种激素调节，下列叙述正确的是 A ．细胞分裂素在幼苗生长中起促进作用 B ．生长素对幼苗的生长和发育没有影响 C ．赤霉素在种子萌发过程中起抑制作用 D ．脱落酸在种子萌发的过程中逐渐增多6．分析右图肝细胞与甲、乙、丙三种细胞外液的物质交换关系，叙述错误的是 A ．肝细胞、甲、乙三部位O 2浓度大小关系为乙>甲>肝细胞 B ．乙中的葡萄糖通过甲进入肝细胞需穿过3个磷脂双分子层 C ．甲、乙、丙维持稳定的调节机制是神经一体液一免疫调节 D ．NaHCO 3与乙中产生的乳酸反应，使乙pH 稳定在7.35-7.457．羰基硫（OCS ）是一种有臭鸡蛋气味的无色气体，分子结构与CO 2相似，高温下分解为CO 和s 。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求. （1）设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z i z z 22=+⋅，则z =(A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i （2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是(A)61 (B)2425 (C)43 (D)1211 （3）在下列命题中，不是公理的是(A)平行于同一个平面的两个平面平行(B)过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面(C)如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 （4）“0a ≤”是“函数()(1)f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法一定正确的是(A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样(C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D)该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 （6）已知一元二次不等式()0f x >的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则(10)0xf >的解集为 (A){}1lg 2x x x <->-或 (B){}1lg 2x x -<<- (C){}lg 2x x >- (D){}lg 2x x <-（7）在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为(A)()0cos 2θρρθ=∈=R 和 (B)()cos 22θρρθπ=∈=R 和 (C)()cos 12θρρθπ=∈=R 和 (D)()cos 12θρρθπ=∈=R 和（8）函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ，上可找到(2)n n ≥个不同的数11n x x x ,⋯,，，使得nn x x f x x f x x f )(...)()(2211===，则n 的取值范围是 (A){3，4} (B){2，3，4} (C){3，4，5} (D){2，3}（9）在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=,则点集{|,||||1,,}P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R所表示的区域面积是(A)22 (B)32 (C)24 (D)34 （10）若函数32()f x ax ax bx c =+++有极值点12,x x ，且11()f x x =，则关于x 的方程()23()2()0f x af x b ++=的不同实根个数是(A)3 (B)4 (C)5 (D)6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上. （11）若83)(xa x +的展开式中4x 的系数为7，则实数a =____. （12）设ABC 的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，若+=2,3sin 5sin b c a A B =，则角C =_____.（13）已知直线y a =交抛物线2y x =于,A B 两点，若该抛物线上存在点C,使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为_____.（14）如图，互不相同的点12,,,n A A A ⋯,⋯和12,,,n B B B ⋯,⋯分别在角O 的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等，设n n OA a =，若1212a a ==，，则数列{}n a 的通项公式是_______.（15）如图，正方体1111ABCD A BC D -棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号). ①当0<CQ <21时，S 为四边形②当CQ =21时，S 为等腰梯形③当CQ =43时，S 与11C D 的交点R 满足1C R =31④当43<CQ <1时，S 为六边形⑤当CQ =1时，S 的面积为26Q1A BC三、解答题：本大题共6小题，共75分。

安徽省联盟（安徽第一卷）2013届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的座位号、姓名。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考场座位号、姓名”与考生本人考场座位号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选出其他答案标号。

第II卷用0．5毫米的黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第I卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i是虚数单位，若1122,,zz a z az=+=若为纯虚数，则实数a=A．2B．2-C．2或—2D．02．已知集合{||2|},P x x a y=-<=函数Q，若Q P⊆，则a的取值范围是A．{|01}a a<≤B．{|1}a a≥C．{|1}a a>D．{|0}a a>3．在△ABC中，AB、AC边的长分别是2和1，∠A=60°，若AD平分∠BAC交BC于D，则A D B D ⋅=A．23B．—23C．49D．124．已知(,)A AA x y是单位圆上（圆心在坐标原点O）任意一点，且射线OA绕O点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于点(,),B B A B B x y x y -则的最大值为ABC ．1D ．125．已知抛物线28y x =的焦点F 与双曲线22221x y a b -=的一个焦点相同，且F 到双曲线的右顶点的距离等于1，则双曲线的离心率的取值范围是A ．（1，2）B ．（1，3）C ．(2,)+∞D ．（2，3）6．已知曲线C的参数方程是(2sin x y ααα⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），直线l 的参数方程为(1x t t y kt =⎧⎨=+⎩为参数），则直线l 与曲线C 的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定 7．一个几何体的三视图如图所示， 则该几何体的表面积是A ．6B ．92C．92- D．92+8．已知,a b R ∈，下列四个条件中，使1a b>成立的必要不充分条件是 A ．1a b >- B ．1a b >+C ．||||a b >D ．ln ln a b > 9．如图，在平面直角坐标系中，AC 平行于x 轴，四边形ABCD 是边长为1的正方形，记四边形位于直线(0)x t t =>左侧图形的面积为f （t ），则f （t ）的大致图象是10．己知等差数列{}n a 的公差d ≠0，且1313,,a a a 成等比数列，若a 1=1，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则2163n n S a ++的最小值为A ．4B ． 3C ．2D ．92第II 卷（非选择题，共100分）二、填空题；本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(卷)第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013，理1)设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数．若·i+2=2z z z，则z＝( )．A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i2．(2013，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A．16B．2524C．34D．11123．(2013，理3)在下列命题中，不是．．公理的是( )．A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在此平面D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线4．(2013，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)单调递增”的( )．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2013，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数6．(2013，理6)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为112x x x⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f(10x)＞0的解集为( )．A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}B．{x|－1＜x＜－lg 2}C．{x|x＞－lg 2}D．{x|x＜－lg 2}7．(2013，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝18．(2013，理8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()L ，则n 的取值围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}9．(2013，理9)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R u u u r u u u r u u u r所表示的区域的面积是( )．A． B．C． D．10．(2013，理10)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．(2013，理11)若8x ⎛+ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 12．(2013，理12)设△ABC 的角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sinB ，则角C ＝__________.13．(2013，理13)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值围为__________．14．(2013，理14)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．15．(2013，理15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域．16．(2013，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cos ωx·πsin4xω⎛⎫+⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．17．(2013，理17)(本小题满分12分)设函数f(x)＝ax－(1＋a2)x2，其中a＞0，区间I＝{x|f(x)＞0}．(1)求I的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k∈(0,1)，当1－k≤a≤1＋k时，求I长度的最小值．18．(2013，理18)(本小题满分12分)设椭圆E：2222=11x ya a+-的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(2013，理19)(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.20．(2013，理20)(本小题满分13分)设函数f n(x)＝23222123nx x xxn-+++++L(x∈R，n∈N*)．证明：(1)对每个n∈N*，存在唯一的x n∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n(x n)＝0；(2)对任意p∈N*，由(1)中x n构成的数列{x n}满足0＜x n－x n＋p＜1n.21．(2013，理21)(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由老师和老师负责．已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)．假设老师和老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到．记该系收到老师或老师所发活动通知信息的学生人数为X.(1)求该系学生甲收到老师或老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P(X＝m)取得最大值的整数m.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由·i+2=2z z z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)， 即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2， a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i. 2．答案：D解析：开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4； 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s =.3．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理． 4．答案：C解析：函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)单调递增时，a ≤0，故选C. 5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-)＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C.6．答案：D解析：由题意知－1＜10x ＜12，所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．答案：B 解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()()L 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()----L ，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.9．答案：D解析：以OA u u u r ，OB uuu r为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x轴对称，由已知|OA u u u r |＝|OB uuu r |＝OA u u u r ·OB uuu r＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A1)，点B1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OP uuu r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r 得(x ，y )＝λ，1)＋μ1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，可得11,x y ⎧≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为10．答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：12解析：∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =.13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，20x )(20x ≠a )，A(a )，Ba )，则CA u u u r ＝(0x ，20a x -)，CB u u u r ＝0x ，20a x -)．∵CA ⊥CB ，∴CA u u u r ·CB u u u r＝0，即－(a －20x )＋(a －20x )2＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1.14．答案：n a = 解析：设11OA B S ∆＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1nOA OA ===∴1n a a =，∴n a =.15．答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误； 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC 1EP，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝sin ωx ·cos ωx＋2ωx(sin 2ωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1. (2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减．综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221ax a=+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+). 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122k k k --+. 18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +. (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c+， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c-， 故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c--． 当x ＝0时，y ＝00cy c x -， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝00y c x -. 由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F P F Q k k ⋅＝0000y y x c c x ⋅+-＝－1. 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19． (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD ，所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l .由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF .由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD .因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°.根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒. 由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1，因此1)OC h ==. 在Rt△OCF 中，cos ∠COF＝OF OC ==， 故cos ∠COD＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1＝21=17--.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n x x n-++L ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)单调递增． 由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n +++L ＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334k k n n n k k f k ==⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑· 2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-， 所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0. (2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0. 由f n ＋1(x )在(0，＋∞)单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n .对任意p ∈N *， 由于f n (x n )＝222102n n n n x x x n-++++=L ，① f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n p n p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+)L L ＋.② ①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝222211k k k k n p n p n n p n n p n p k k n k n x x x x k k k +++++==+=+-+≤∑∑∑21111(1)n p n p k n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+. 因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n . 21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k nk n k n --=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“老师和老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到老师和老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到老师或仅收到老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n k n k n kn k ------=. 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n kn k k n k k k n n------=. 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m k kn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时， k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t . 故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值； 当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k ≤2(1)22k k n +-+＜t . 因为1≤k ＜n ，所以2(1)22k k n +-+－k ＝2211110222kn k k k k k n n n --(+)---≥=≥+++. 而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++， 故2k －k ＋12n ＋2＜n .显然2(1)22k k n +-+＜2k . 因此k ≤2(1)22k k n +-+＜t .。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 (1) 设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若z i z z 22=+⋅，则z=(A)1+i (B)1-i (C)-1+i (D)-1-i(2)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果中 (A)61 (B)2425 (C)43 (D)1211(3)在下列命题中, 不是公理的是 (A)平行于同一个平面的两个平面平行(B)过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面(C)如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所以点都在此平面内 (D)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线(4)”a ≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条(D)既不充分也不必要条件(5)某班级有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93,下列说法正确的是 (A)这种抽样方法是一种分层抽样 (B)这种抽样方法是一种系统抽样 (C)这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 (D) 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数(6)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为}211|{>-<x x x 或,则f(10x)>0的解集为 (A){x|x<-1或x>-lg2} (B) {x|<-1<x<-lg2} (C) {x| x>-lg2}(D) {x| x<-lg2}(7)在极坐标系中圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 (A) θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 (B) θ=2π(ρ∈R)和ρcos θ=2 (C) θ=2π(ρ∈R)和ρcos θ=1 (D) θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1(8)函数y=f(x)的图象如图所示, 在区间[a,b]上可找到n(n ≥2)个不同的数x 1,x 2,…, x n ,使得nn x x f x x f x x f )(...)()(2211===,则n 的取值范围是 (A){3,4}(B){2,3,4}(C){3,4,5}(D){2,3}(9)在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点A,B 满足2||||=⋅==,则点集},,1||||,|{R P ∈≤++=μλμλμλ所表示的区域面积是(A)22 (B)32 (C)24(D)34(10)若函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c 有极值点x 1,x 2,且f(x 1)=x 1,则关于x 的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡上 (11)若83)(xa x +的展开式中x 4的系数为7,则实数a=____ (12)设⊿ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别为a,b,c,若b+c=2a,3sinA=5sinB,则角C=_____13)已知直线y=a 交抛物线y=x 2于A,B 两点,若该抛物线上存在点C,使得∠ACB 为直角,则a 的取值范围为_____(14)如图,互不相同的点A 1,A 2,…,A n ,…和B 1,B 2,…,B n ,…分别在角O 的两条边上,所有A n B n 相互平行,且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等,设OA n =a n ,若a 1=1,a 2=2,则数列{a n }的通项公式是_______(15)如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段CC 1上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S,则下列命题正确的是_____(写出所有正确的命题的编号)①当0<CQ<21时,S 为四边形 ②当CQ=21时,S 为等腰梯形 ③当CQ=43时,S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R=31④当43<CQ<1时,S 为六边形 ⑤当CQ=1时,S 的面积为26 三、解答题：本大题共6小题，共75分。

2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第a 卷（非选择题）两部分。

第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂．黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答第B 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 是虚数单位，则20132 ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设函数()(1)(1)f x x x x =-+，则满足'()af x dx ⎰＝0的实数a 的有（ ）A. 3个B.2个C.1个D.0个3.如图所示程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A. 3 B. 11 C. 38 D. 1234.为了调查学生每天零花钱的数量（钱数取整数元），以便引导学生树立正确的消费观．样本容量1000的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在［6,14)内的频数为（ ） A. 780 B. 680 C. 648 D. 460 5、“n ＝10”j “3nx x”的展开式中有常数项的（ ） A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6、设D 是不等式组101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩表示的平面区域，则D 中的点P （x,y ）到直线2x y +＝1距离的最小值是（ ） A 、355 B 、455 C 、5 D 、655学科网学科网 7.设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2=4x 的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60°，则△OAF 的面积为（ ） A.32B.2C. 3D. 1 8、三个实数a ，b ，c 成等比数列，且a ＋b ＋c ＝3，则b 的取值范围是（ ） A 、[1,0)- B 、(0,1] C 、[1,0)-∪(0,3] D 、[3,0)-∪(0,1] 9.如图，L ，M ，N 分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN 与平面PQR 的位置关系是A.垂直B.相交不垂直C. 平行D.重合10、在棱长分别为1，2，3的长方体上随机选取两个相异顶点，若每个顶点被选的概率相同，则选到两个顶点的距离大于3的概率为（ ） A 、47 B 、37 C 、27 D 、3142013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位1． 11.极坐标方程2sin 23cos ρθθ=+表示的图形的面积是＿＿＿＿12.设向量a =(x,3),b =(2，1)，若对任意的正数m, n ，向量ma + nb 始终具有固定的方向，则x=＿＿＿13、一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为14、设△ABC 的内角A 、B,C 的对边分别为a 、b 、c ， 且满足acosB －bcosA ＝35c ，则tan tanAB的值是＿＿＿＿15．如图所示，△ABC 是一个边长为3的正三角形，若在每一边的两个三等分点中，各随机．．．选取．．一点连成三角形．下列命题正确的是 ．（写出所有正确命题的编号） ①依此方法可能连成的三角形一共有8个；②这些可能连成的三角形中，恰有2个是锐角三角形；③这些可能连成的三角形中，恰有3个是直角三角形； ④这些可能连成的三角形中，恰有3个是钝角三角形； ⑤这些可能连成的三角形中，恰有2个是正三角形．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内． 16.（本小题满分12分） 设函数f (x) ＝2233sin(2)sin cos 333x x x π++-。

安徽省示范高中 2013届高三第一次联考数学（理）试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第II 卷时，必须使用0．5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰：作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用 0．5毫米的黑色墨水签字笔描清楚：必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。

4．考试结束．务必将试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U=R ，集合{||11},{|2,1},()xU A x x B y y x A C B =-≤==<⋂集合则=A ．{|02}x x <<B ．∅C ．{0，2}D ．{|02}x x x ≤≥或2．函数()lg f x x=的定义域是 A ．（0，2） B ．（0，1）∪（1，2）C ．(0,2]D ．（0，1）∪(0,2]3．若函数211(),(())ln 1x x f x f f e x x ⎧+≤=⎨>⎩则=A ．0B ．1C ．2D ．2ln(1)e +4．设01,a a >≠且则“函数()x f x a =在R 上是增函数”是“函数()ag x x =在R 上是增函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数2||()2x f x x =-的图像为6．设121333211(),(),(),,,333a b c a b c ===则的大小关系是A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>7．若函数32121212()1,()[()()]0f x x x mx x x R x x f x f x =+++∈-->对任意满足，则实数m 的取值范围是A ．1(,)3-∞B ．1(,)3+∞C ．1(,]3-∞D ．1[,)3+∞8．已知集合{0,1,2,3},{(,)|,,,}A B x y x A y A x y x y A ==∈∈≠+∈集合，则B 中所含元素的个数为 A ．3B ．6C ．8D ．109．若函数2()2f x x x m =++的最小值为0，则1()f x dx ⎰=A ．2B ．13C ．73D ．8310．若曲线1122(,)y x a a --=在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为9，则a=A ．8B ．16C ．32D ．64第Ⅱ卷（非选择题，共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试卷上作答无效。

2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）试题参考答案1.D 解析：因为13i36i iz -+=+=+，所以z =6i -. 2.B 解析：集合A={|02},{|02}x x B x x ≤≤=<<，所以“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件. 3.B 解析：设首项为1a ，公差为d ，由题得111510104,560401a d a a d d +==⎧⎧⇒⎨⎨+=-=-⎩⎩99894(1)02S ⋅=⋅+-=. 4.A解析：sin )ρθθ+化为普通方程为：220,x y +=圆心为(22半径1,r =化为极坐标为(1,)4π.5.C 解析：由三视图知原几何体为四个面均为直角三角形的三棱锥， 所以最大面的面积为2ABD S ∆=.6.C解析：3||cos 4π⋅=-a 7.D 解析：根据已知条件可得36369n n C C n =⇒=+=，所以(n x +的展开式的通项为39921991()2r r rr r r r T C x C x--+==，令39622r r -=⇒=，所以6x 的系数为2291()92C =. 8.D 解析:作出可行域如图所示，由图知z x y =-在点12133m m A+-（,）处取最小值-2，所以121=2833m m m +---=，解得 .10.B 解析：随机连接正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的任意两个顶点的直线共有828C =条，其中与AC 1成异面直线且所成角为90°的直线有6条（每个面各有1条），所以所求概率为63=2814. 11.4 解析：第一次循环63,22n i ===，第二次循环3354,3n i =⨯-==，第三次循环422n ==，4,i =满足条件输出4.12.[)5,+∞ 解析 因为|2||3|23(2)(3)5x x x x x x -++=-++≥-++=，所以由题意知5a ≥. 13.72 解析：因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+），由=x x A B ，得17x y +=． ①因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（），由22=A B s s ，得228+8=1x y --（）（）． ② 由①②解得72xy =． 14.32 解析：由()0f x =，解得4x =，即(4,0)A ,过点A 的直线l 与f(x)的图像交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是,B C 的中点，所以2OB OC OA += ，所以22()222432OB OC OA OA OA OA +⋅=⋅==⨯= .15.①③⑤ 解析：对于①，因为()()1xf x x e '=+，易知()10f '-=，所以函数()f x 存在平行于x 轴的切线，故①正确；对于②,因为()()1x f x x e '=+，所以(),1x ∈-∞-时，()f x 单调递减，()1,x ∈-+∞时，()f x 单调递增，故②错误；对于③，()()102x xf x f x xe e '==+，…，xx n n e n xe x f x f )1()()('1++==-，()()201220132014x x f x f x xe e '==+，故③正确；对于④，()()1221f x x f x x+<+等价于()()1122f x x f x x -<-，构建函数()()h x f x x =-，则()()11xh x x e '=+-，所以()h x 不单调，故④错误；对于⑤，()()2112x f x x f x <等价于()()1212f x f x x x <，构建函数()()x f x u x e x==，易知函数在R 上为增函数，又因为21x x >，所以⑤正确.16.解析：（Ⅰ）由题设可知：sin sin sin cos cos sin sin()sin ,B C A C A C A C B =+=+= ∵sin 0,B ≠∴sin 1,C =;2C π=.................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：222,c a b =+∴12,a b +=∵222,a b a b ab +≥+≥∴12,≤即236(2,ab ≤∴2118(236(32S ab =≤=-，即S的最大值为36(3-......................12分 17.解析：（Ⅰ）设“从第一小组选出的2人选读《中国青年》”为事件A ，“从第二小组选出的2人选读《中国青年》”为事件B .由于事 件A 、B 相互独立，且25262()3C P A C ==, 24262()5C P B C ==.………………………………4分 所以选出的4人均选读《中国青年》的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…………………………… 6分（Ⅱ）设X 可能的取值为0,1,2,3.则4(0)15P X ==,21112524542222666622(1)45C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=,15226611(3)45C P X C C ==⋅=， 2(2)1(0)(1)(3)9P X P X P X P X ==-=-=-==…………………… 9分X∴数学期望012311545945EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分 18.解析：（Ⅰ）∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，∴//,DE AB 在CDE ∆中，//,2,DE GF DE GF =∴//,,AB GF AB GF =又AB ⊂平面,ABC GF ⊄平面,ABC ∴//FG 平面;ABC ......................4分 （Ⅱ）连接AG ，∵,AC AD =G 为CD 的中点，∴,AG CD ⊥ 又DE ⊥平面ACD ，∴平面ACD ⊥平面,CDE∵平面ACD 平面,CDE CD =AG ⊂平面,ACD ∴AG ⊥平面,CDE 又由（Ⅰ）可知：//,AG BF ∴BF ⊥平面.CDE .....................................8分 （Ⅲ）延长EB 与DA 交于,H 连接,CH 则CH 为所求二面角的棱； 又由已知可得//,BF CH∴CH ⊥平面,CDE 即ECD ∠为平面ACD 与平面BCE 所成二面角的平面角，且.4ECD π∠=……………13分 （此大题建系解答亦可）19.解析：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 由已知得：5,1,a c a c +=-=.∴3,2,a c ==∴2225,b a c =-=∴椭圆C 的标准方程为221;95x y +=.........................................4分 （Ⅱ）∵2·,1cos PM PN MPN-∠＝ ∴||||cos ||||2,PM PN MPN PM PN ⋅⋅∠=⋅-………………① 在PMN ∆中，4,MN =由余弦定理得：222||||||2||||cos,MN PM PN PM PN MPN =+-⋅⋅∠……………②联立①②得：22224||||2(||||2),(||||)=12PM PN PM PN PM PN =+-⋅--即，∴点P 在以,M N 为焦点，实轴长为2213x y -=右支上，....................10分 又由（Ⅰ）可知：点P 在椭圆22195x y +=上，且在第一象限， 所以由方程组22221,95 1.3xy x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴点P 的坐标为...............................................................................................12分 20.解析：（Ⅰ）由题意：12,n n b b +=2,==∴24;n n a a +=....................4分 （Ⅱ）∵24,n n a a -=∴22222221231222222,22,n n n n n n a a a a a a -----=⋅==⋅=⋅==⋅ ∴22222222121212122222(2)25254,n n n n n n n n c a a a a a a ------=+=⋅+⋅=+⋅=⋅=⋅{}1=4nn n c c c -∴≥∴（n 2）,是首项为5，以4为公比的等比数列；....................8分 DABCEF H G（Ⅲ）由（Ⅱ）得2222211221111,,22n n n n a a a a ---==⋅⋅于是 1221321242111111111n n n a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 24222422121111111111222222n n a a --⎛⎫⎛⎫=+++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2224222213111312211.22222122n n n n ----⎛⎫--⎛⎫=++++== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ....................13分 21.解析：（Ⅰ）2)1(ln )()1)(ln ()(++-+++='x x a x x x x a x x f -----------------------2分由题意知21)1(='f ，2142)1(=+∴a ， 11=+∴a ，0=∴a . -------------3分 （Ⅱ）1ln )(+=x xx x f ,[1,)x ∀∈+∞，()(1)f x m x ≤-，即1ln ()x m x x≤-设1()ln ()g x x m x x=--，即[1,),()0x g x ∀∈+∞≤.22211()(1)mx x mg x m x x x -+-'=-+=-------------------------------------5分①若0,()0m g x '≤>，0)1()(=≥g x g ，这与题设0)(≤x g 矛盾.-----------------6分②若0m >，方程20mx x m -+-=的判别式214m ∆=-当0≤∆，即12m ≥时，0)(≤'x g ，)(x g ∴在[1,)+∞上单调递减，0)1()(=≤∴g x g ，即不等式成立.当102m <<时,方程20m x x m -+-=,其根10x =>,21x =>，当2[1,),()0x x g x '∈>,)(x g 单调递增，()(1)0g x g ≥=，与题设矛盾. 综上所述，12m ≥ .------------------------------------------------------------------------9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知,当1>x 时, 21=m 时,11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立.不妨令*21,21k x k N k +=∈-，所以221121214ln 212212141k k k kk k k k ++-⎛⎫<-= ⎪--+-⎝⎭， ()()*21[ln 21ln 21],441k k k k N k +--<∈-----------------------11分 ()()()()()22211ln 3ln1441112ln 5ln 344211ln 21ln 21,441n n n n ⎧-<⎪⨯-⎪⎪-<⎪⨯-⎨⎪⎪⎪+--<⎪⨯-⎩ 累加可得*211ln(21)().441n i i n n N i =+<∈-∑，即*21().41ni i n N i =<∈-∑-------13分。

2013年安徽高考理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z ＝( )． A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．A ．16B ．2524C ．34D ．11123．在下列命题中，不是．．公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则f (10x)＞0的解集为( )． A ．{x|x ＜－1或x ＞－lg 2} B ．{x|－1＜x ＜－lg 2} C ．{x|x ＞－lg 2} D ．{x|x ＜－lg 2} 7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．A ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2B ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝18．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是( )．A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R所表示的区域的面积是( )．A． B．．．10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11．若8x ⎛+ ⎝的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝__________. 12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.13．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．14．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．15．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当0＜CQ ＜12时，S 为四边形 ②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13④当34＜CQ ＜1时，S 为六边形⑤当CQ ＝1时，S 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·πsin 4x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭(ω＞0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．18．(本小题满分12分)设椭圆E：2222=11x ya a+-的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P ⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．19．(本小题满分13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD 是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.20．(本小题满分13分)设函数f n (x )＝23222123n x x x x n-+++++ (x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0＜x n －x n ＋p ＜1n.21．(本小题满分13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(安徽卷)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由·i+2=2z z z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)， 即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ， 所以2a ＝2， a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i. 2．答案：D解析：开始2＜8，110+22s ==，n ＝2＋2＝4； 返回，4＜8，113244s =+=，n ＝4＋2＝6；返回，6＜8，31114612s =+=，n ＝6＋2＝8；返回，8＜8不成立，输出1112s =.3．答案：A解析：由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理． 4．答案：C解析：函数f (x )的图象有以下三种情形：a ＝0 a ＞0 a ＜0由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a ≤0，故选C. 5．答案：C解析：五名男生成绩的平均数为15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为15(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 五名男生成绩的方差为21s ＝22222869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-) ＝8，五名女生成绩的方差为22s＝22288913939165(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C.6．答案：D解析：由题意知－1＜10x＜12， 所以x ＜1lg2＝－lg 2，故选D. 7．答案：B解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．答案：B 解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()() 可化为1212000===000n n f x f x f x x x x ()-()-()---- ，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.9．答案：D解析：以OA ，OB为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA ·OB＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A1)，点B1)，点D 0)．现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ1)＋μ1)，即,.x y λμλμ+)=-=⎪⎩由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ， 可得,11,x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为10．答案：A解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，x 1＜x 2 x 2＜x 1由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为3.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．答案：12解析：∵8x ⎛ ⎝的通项为1838C ()r r r rx a x -- 883388=C C r r r rr rr ra xxa x----=，∴8－r －3r＝4，解得r ＝3. ∴338C 7a =，得12a =.12．答案：2π3解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②∴由①②可得，53a b =，73c b =， ∴22222257133cos 2223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =.13．答案：[1，＋∞)解析：如图，设C (x 0，20x )(20x ≠a )，A(a )，Ba )，则CA ＝(0x ，20a x -)，CB ＝0x ，20a x -)．∵CA ⊥CB ，∴CA ·CB＝0，即－(a －20x )＋(a －20x )2＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴20x ＝a －1≥0，∴a ≥1. 14．答案：n a 解析：设11OA B S ∆＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2， ∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭. ∴1122A B B A S 梯形＝311OA B S ∆＝3S .∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，且△OA 1B 1∽△OA n B n ，∴1n OA OA ===∴1n a a =，∴n a =. 15．答案：①②③⑤解析：当CQ ＝12时，D 1Q 2＝211D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜12时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；图(1)如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即114314C R=，C 1R ＝13，故③正确；图(2)如图(3)所示，当34＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误； 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，图(3)可知AC 1EP APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．16．解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω⎛⎫+⎪⎝⎭＝ωx ·cos ωx ＋2ωxωx ＋cos 2ωx )π2sin 24x ω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，从而有2π=π2ω，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭若0≤x ≤π2，则ππ5π2444x ≤+≤.当πππ2442x ≤+≤，即π08x ≤≤时，f (x )单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82x ≤≤时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．17．解：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，221a x a=+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +. (2)设d (a )＝21a a +，则d ′(a )＝22211a a -(+). 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k kk -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)， 故d (1－k )＜d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值2122kk k--+. 18．解：(1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14， 解得a 2＝58. 故椭圆E 的方程为2288=153x y +. (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c =由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率1F P k ＝00y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝00y x c -，故直线F 2P 的方程为y ＝00()y x c x c --．当x ＝0时，y ＝00cy c x -，即点Q 坐标为0(0,)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0y c x -.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以11F P F Q k k ⋅＝0000y yx c c x ⋅+-＝－1. 化简得22200(21)y x a =--．①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19． (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l . 因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内， 所以AB ∥面PCD .又因为AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行． (2)解：设CD 的中点为F .连接OF ，PF . 由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面， 所以OP ⊥CD .又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF .又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD .从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角． 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan∠OPF ＝h. 根据题设有∠OCP ＝22.5°，得tan tan 22.5OP hOC OCP ==∠︒.由1＝tan 45°＝22tan 22.51tan 22.5︒-︒和tan 22.5°＞0，可解得tan 22.5°＝2－1， 因此1)OC h ==. 在Rt △OCF 中，cos∠COF＝OF OC ==， 故cos ∠COD ＝cos(2∠COF)＝2cos 2∠COF －1＝21=17--.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x ＞0时，f ′n (x )＝11+2n x x n-++ ＞0，故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝22211123n+++ ＞0，故f n (1)≥0. 又2222221121131 ()3334334kk n n n k k f k ==⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭=-++≤-+=-+ ⎪⎝⎭∑∑·2112213312023313n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⋅< ⎪⎝⎭-，所以存在唯一的x n ∈2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，满足f n (x n )＝0.(2)当x ＞0时，f n ＋1(x )＝f n (x )＋121n x n +(+)＞f n (x )，故f n ＋1(x n )＞f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x )在(0，＋∞)内单调递增知，x n ＋1＜x n ，故{x n }为单调递减数列，从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p ＜x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝222102nn n n x x x n -++++= ，①f n ＋p (x n ＋p )＝2122221+021n n n pn p n p n p n p n p x x x x x n n n p ++++++-++++++=(+)(+) ＋.②①式减去②式并移项，利用0＜x n ＋p ＜x n ≤1， 得x n －x n ＋p ＝222211k kkkn pn pnn p n n p n p k k n k n x x x x k k k+++++==+=+-+≤∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+. 因此，对任意p ∈N *，都有0＜x n －x n ＋p ＜1n.21．解：(1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝11C C k n k n k n--=，故P (A )＝P (B )＝1k n -，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn kP n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k ＜n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n .当X ＝m 时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －k .由乘法计数原理知：事件{X ＝m }所含基本事件数为2C C C C C C k k m m k k m k m k n kn k n k n k ------=. 此时P (X ＝m )＝22C C C C C (C )C k k m m k m k m kn k n k kn k k kn n------=. 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+-- ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2(1)22k k n +-+. 假如k ≤2(1)22k k n +-+＜t 成立，则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时，k ≤2(1)22k k n +-+2(1)212k k n +<+-+≤t .故P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n +-+和m ＝2(1)212k k n ++-+处达最大值；当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时，P (X ＝m )在m ＝2(1)22k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)下面证明k≤2(1)22kkn+-+＜t.因为1≤k＜n，所以2(1)22kkn+-+－k＝221111222kn k k k k kn n n--(+)---≥=≥+++.而22(1)12<022k n kk nn n+(-+)--=-++，故2k－k＋12n＋2＜n.显然2(1)22kkn+-+＜2k.因此k≤2(1)22kkn+-+＜t.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A与B互斥，那么如果事件A与B相互独立，那么第Ⅰ卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则=（A）（B）（C）（D）（2）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A）（B）（C）（D）版权所有：( )（3）在下列命题中，不是公理的是（A）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线（4）“是函数在区间内单调递增”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A）这种抽样方法是一种分层抽样（B）这种抽样方法是一种系统抽样（C）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差（D）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数（6）已知一元二次不等式的解集为，则的解集为（A）（B）（C）（D）（7）在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（A）（B）（C）（D）（8）函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数使得则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（9）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点满足则点集所表示的区域的面积是（A）（B）（C）（D）（10）若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是（A）3 （B）4（C）5 （D）62013普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅱ卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

2013安徽省省级示范高中名校高三联考数学（理科）试题参考答案1.C 解析：22,22ii==∴⎪⎝⎭2013201210062i i====,所以其对应点位于第三象限.2.C 解析：()()0,af x dx f a'==⎰得0a=或1或1,-又由积分性质知>0a,故1a=,选C.3.D 解析：第一步：2=1+2=3<12a，第二步：2321112a=+=<，第三步：211212312a=+=>，输出123．4.B 解析：由图及频率分布直方图的意义知4×（0.02+0.03+0.03+0.08+x）=1，解得x=0.09，∴样本数据落在[6，14）内的频数为1000×4×（0. 08+0.09）=680．5.A 解析：13513621C()()C,n rr n r r rr n nT x x x---+=⋅=令350,n r-=得3,5r n=∴当n为5的倍数时展开式中都有常数项，故选A．6.A解析：画图确定可行域，从而确定(1,0)-到直线12xy+=7.C 解析：过A 作AD x⊥轴于D，令FD m=，则2,22,2,FA mm m m=+==所以112OAFAD S∆==⋅⋅=.8.D 解析：设公比为q，显然0q≠，13++=(+1+q)=3b=.11++qa b c bqq⇒11>0+2,0<1<0+-2,-3<0.q b q bq q≥∴≤≤∴≤当时，q；当时，q故选D9.C 解析：如图，分别取另三条棱的中点,,A B C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为ＰＱ∥ＡＬ，ＰＲ∥AM，且ＰＱ与ＰＲ相交，AL与AM相交，所以平面PQR//平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.10.B 解析：从8个顶点中任取两点有2828C=种取法，其线段长分别有1，2，312条棱线，长度都3≤；②其中4条，边长(1, 2)对角线3=<；故长度3>的有2812412--=，故两点距离大于3的概率123287P ==. 11.4π 解析：2222sin cos2x y y ρρθθ=+⇒+=+ 22((1)4,x y ⇒-+-=面积为4.π12.6 解析：当a 与b 共线时，向量m n a +b 始终具有固定的方向，所以 6.x =13.16π 解析： 该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为()22324221642πππ⋅⨯⋅+⋅=. 14.4 解析：333cos cos sin cos -sin cos =sin =sin(+)5553tan =sin cos +sin cos 2sin cos =8sin cos =4.5tan a B b A c A B B A C A B A A B B A A B B A B-=⇒⇒⇒（） 15.①②⑤ 解析：如图编号，边长为3，则选取三角形的边长为1,或2三种之一；①每边各选1点，三角形共1112228C CC ⨯⨯=个；②锐角三角形只有△DHF 和△IGE 两个；③直角三角形有6个（满足1：2）；④没有钝角三角形；⑤两个正三角形△DHF 和△IGE（边长为；故选①②⑤. 16.解析：（Ⅰ）1()sin 2222f x x x x =+-1sin 222x x =26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. ……………… 3分 令()262x k k πππ+=+∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 故()f x 的图象的对称轴方程为()26k x k ππ=+∈Z . ……………… 5分 （II ）将函数()f x 的图象向右平移3π个长度单位,得到函数()2236g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象,即()2g x x =.………7分 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,22,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,得1cos2,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. ……………… 8分所以2x ⎡∈⎢⎣,即函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是⎡⎢⎣. ……………… 12分 17.解析：（Ⅰ）依题意可知：X 的最小值为4.当4X =时，整个比赛只需比赛4场就结束，这意味着甲连胜4场或乙连胜4场，于是由互斥事件的概率计算公式可得()4441142()28P X C ===.……………… 5分 （Ⅱ）4,5,6,7.X =当5X =时，意味着甲在第5场获胜，前4场中有3场获胜，或乙在第5场获胜，前4场中有3场获胜，显然这两种情况是互斥的，所以()33434111152()();2224P X C -⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦ 依此可得：()()3353533636111562()(),22216111572()();22216P X C P X C --⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦⎡⎤==⋅=⎢⎥⎣⎦ ∴X 的分布列为：∴数学期望4567.84161616EX =⋅+⋅+⋅+⋅=……………… 12分 18.解析：（Ⅰ）1111410,2,,.233AA FC C F CF AC CC CF S ===∴==直角梯形 由已知可得ABC ∆的高为3且等于四棱锥ACF A B 1-的高. 39103310311=⨯⨯=∴-ACF A B V ，即多面体1ABCFA 的体积为.3910………… 5分 （Ⅱ）将侧面11B BCC 展开到侧面11ACC A 得到矩形11A ABB ,连结B A 1,交C C 1于点F ,此时点F 使得BF F A +1最小.此时FC 平行且等于A A 1的一半,F ∴为C C 1的中点. ……7分以1,AC AA分别为y轴，z轴，过点A且与AC垂直的直线为x轴建立空间直角坐标系，则1(0,0,0),(0,0,2),(0,2,1),A B A F显然平面1AA F的法向量为1(1,0,0);n =设平面1A FB的法向量为2(,,),n x y z=∵11(3,1,2),(0,2,1),AB A F=-=-∴20,20,y zy z+-=-=⎪⎩令1,y=得2(3,1,2),n=设二面角1A A F B--为,θ则12126cos||||n nn nθ⋅==⋅……………… 13分19.解析（Ⅰ）因为D d+=，所以()()a c a c++-=，解得a=，因为222a b c=+，3c=，所以3b=，所以椭圆的方程为221189x y+=.……………… 5分（Ⅱ）由椭圆的中心对称性得，OA OB=，依题意得，OM ON⊥，四边形2OMF N为平行四边形，所以22AF BF⊥，所以△2ABF是直角三角形，所以226AB OF==.所以线段AB的长是定值6.……………… 12分20.解析：（Ⅰ）设公差为d,0d≠.由已知得121114614(2)(6)a da d a a d+=⎧⎨+=+⎩，解得10d d==或(舍去),所以12a=，故1na n=+………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =+，所以[][]22log (1)=log n n b a n =-……………… 6分 []x 表示不超过x 的最大整数，当122t t n +≤<时，[]2log n t =[][][][][]22222222log 1log 2log 3log 4log 5...log (21)log 2n n n S ⎡⎤⎡⎤=++++++-+⎣⎦⎣⎦[][][][]231232222222222log 1(log 2log 3)(log 2...log 7)(log 2...log 15)...⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 11122222(log 2log (21)...log (21))log 2n n n n n ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦234122223242...(1)2 n n S n n -+⨯+⨯+⨯++-⨯+= ①23412222232...(2)2(1)2 2n n n S n n n -+⨯+⨯++-⨯+-⨯+= ②①-②得：234122222..222 .n n n n S n n -=-++++++-⨯-2(12)(21)12n n n -=-⨯+-(2)22n n n =-⨯-- 2(2)22 n n S n n ∴=-⨯++.……………… 13分21.解析：（Ⅰ）1()(0)mx f x x x-'=>. 当m=0时，()ln f x x =在()0,+∞上单调递增；当m <0时，1()0mx f x x-'=>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增； 当m >0时，令1()>0mx f x x -'=得10x m <<，所以()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， 令1()0mx f x x -'=<得，1x m >，所以()f x 在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. ……………4分 （Ⅱ）当m ≤0时，()f x 在()0,+∞上单调递增，且()f x -∞<<+∞，所以()0f x ≤在()0,+∞上不恒成立；当m >0时，由（Ⅰ）得max 1()ln 10f x f m m m ⎛⎫==--+≤⎪⎝⎭， 令()ln 1g m m m =--+，()111m g m m m-'=-=，所以()0,1m ∈，()0g m '<，()1,m ∈+∞，()0g m '>，()min (1)0g m g ==，所以m=1.综上，m 的取值范围是m=1. ……………… 8分 （Ⅲ）()()lnln ln 1111b f b f a b a a b b a b a a a--=-=⋅----，因为0b a >>，所以1b a>， 由（Ⅱ）得， ()1,x ∈+∞时，ln <1x x -，令b t a=，则ln <1t t -， 又1t >，所以ln <11t t -， 因为10a >，所以()()1111<1<11b ln f b f a a b a a b a a a -⋅-----，即.……………… 13分。