江苏省镇江句容市2017届中考数学一轮复习 矩形、菱形、正方形学案 精

A B C DEA′第28课时：矩形、菱形、正方形【知识梳理】1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件（1）矩形：①有一个角是 的平行四边形是矩形．②对角线 的平行四边形是矩形．③有三个角是 的四边形是矩形．（2）菱形：①一组 的平行四边形是菱形．②对角线 的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．（3）正方形：①有一个角是 的菱形是正方形．②对角线 的菱形是正方形．③有一组 的矩形是正方形．④对角线 的矩形是正方形．矩形 4．面积计算：（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形：1212S l l =⋅（12l l 、是对角线）；（3）正方形：S=边长2【课前预习】1、如图，将矩形ABCD 沿BE 折叠，若∠CBA′=30°则∠BEA′= ．2、如图，菱形ABCD 的边长为10cm ，D E⊥AB，3sin 5A =，则这个菱形的面积= m 2． 3、如图，矩形内有两个相邻的正方形面积分别为25和4，那么阴影部分面积为 . 4、正方形的对角线长为a ，则它的对角线的交点到各边的距离为（ ） A 、22 a B 、24 a C 、a2D 、2 2 a 【例题讲解】例1 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 边上的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形. （若四边形ABCD 是矩形，则四边形EFGH 有什么变化？若四边形ABCD 是菱形呢……你能说明中点四边形的形状是由什么决定的么？） 正平行四边形矩形菱形方形B例2 如图，在平行四边形ABCD 中，∠D AB ＝60°，AB ＝2AD ，点 E 、F 分别是CD 的中点，过点A 作AG∥BD，交CB 的延长线于点G ． （1）求证：四边形DEBF 是菱形；（2）请判断四边形AGBD 是什么特殊四边形？并加以证明．例3 如图，点G 是正方形ABCD 对角线CA 的延长线上任意一点，以线段AG 为边作一个正方形AEFG ，线段EB 和GD 相交于点H ． （1）求证：EB=GD ；（2）判断EB 与GD 的位置关系，并说明理由； （3）若AB=2，AG=2，求EB 的长．例4 如图，△ABC 中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)AB 、AC 为对称轴，画出△ABD、△ACD 的轴对称图形，D 为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G点，证明四边形AEGF 是正方形；设AD=x ，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值．【巩固练习】 1、如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ． D ．2、如图，正方形ABCD 内有两条相交线段MN 、EF ，M 、N 、E 、F 分别在边AB 、CD 、AD 、BC 上．小明认为：若MN = EF ，则MN⊥EF；小亮认为: 若MN⊥EF，则MN = EF ．你认为（ ）A ．仅小明对B ．仅小亮对C ．两人都对D ．两人都不对 3、如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 ．4、四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 （只填一个你认为正确的即可）．6、在□ABC D 中，BC AE ⊥于E ，CD AF ⊥于F ，BD 与AE 、AF 分别相交于G 、H ．（1）求证：△ABE∽△ADF；（2）若AH AG =，求证：四边形ABCD 是菱形．【课后作业】 班级 姓名OD CA BA DC B GEH F一、必做题1、如图，在△ABC 中，点E ，D ，F 分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE//CA ， DF//BA ．下列四个判断中，不正确．．．的是（ ） A. 四边形AEDF 是平行四边形B. 如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF 是矩形C. 如果AD 平分∠BAC，那么四边形AEDF 是菱形D. 如果AD⊥BC 是AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是正方形 2、下列命题正确的是（ ）A ．对角线互相平分的四边形是菱形；B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 3、如图，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形4、如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD ED B ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AE ABE ED∠=5、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，E 为垂足，连DF ，∠CDF 等于 °.6、如图，矩形ABCD 中，AB=3,BC=5过对角线交点O 作OE⊥AC 交AD 于E 则AE 的长是 .7、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是 .8、如图，在菱形ABCD 中，∠A=110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP⊥CD 于点P ，则∠FPC= .9、如图，平行四边形 ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由．10、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于O ，∠ACB=30°，AB=2． （1）求AC 的长；（2）求∠AOB 的度数；（3）以O B 、OC 为邻边作菱形OBEC ，求菱形OBEC 的面积．二、选做题第3题图第5题图 第6题图第8题图CD C 'A B E第4题图11、如图，l m ∥，矩形ABCD 的顶点B 在直线m 上，则α∠= 度．12、如图．边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A 顺时针旋转45°，则这两个正方形重叠部分的面积是 ．13、将五个边长都为2cm 的正方形按如图所示摆放，点A 、B 、C 、D 分别是正方形的中心，则途中四块阴影部分的面积和为__________cm 2．14、如图，正方形ABCD 的边长为1cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是 cm 2．15、如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF ． （1）求证：∠ADP＝∠EPB；（2）求∠CBE 的度数； （3）当APAB的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由．16、学校植物园沿路护栏纹饰部分设计成若干个全等菱形图案，每增加一个菱形图案，纹饰长度就增加dcm，如图所示．已知每个菱形图案的边长，其一个内角为60°．（1）若d ＝26（2）当d ＝20时，若保持（1）中纹饰长度不变，则需要多少个这样的菱形图案？第11题图 第13题图 DA B C ml α 65°C 'B第12题图 第14题图。

课题：三角形、四边形中的相关证明及计算班级：姓名：_________【学习目标】1．巩固全等三角形的判定及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定及性质等知识点；2．理解并灵活运用判定与性质解题。

【学习重难点】判定方法与性质的灵活运用，解题格式的规范；【近五年中考原题回顾】21．（ 6分）（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB 的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．21．（6分）（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=C F．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．20．（6分）（2014•镇江）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC、BD相交于点O，点E在AO 上，且O E=OC.（1）求证：∠1=∠2；（2）连结BE、DE，判断四边形BCDE的形状，并说明理由.21．（6分）（2015•镇江）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，分别延长OA ，OC 到点E ，F ，使AE=CF ，依次连接B ，F ，D ，E 各点．（1）求证：△BAE ≌△BCF ；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= °时，四边形BFDE 是正方形．22．（6分）（2016•镇江）如图，AD 、BC 相交于点O ，AD=BC ，∠C=∠D=90°．（1）求证：△ACB ≌△BDA ；（2）若∠ABC=35°，则∠CAO=______°．命题总结：纵观近五年中考原题，三角形、四边形的计算与证明出现在20-22题中，分2问，共6分。

第1问考查全等三角形的判定方法，第2问借助第1问的结论，运用全等三角形实现边角的转化，再加入一些条件来考查特殊四边形的判定或进行角度的计算。

整式一：学习目标：1、掌握整式的有关运算，提高运算能力，能够代入求值。

2、了解整式的有关概念，会对多项式进行因式分解。

二：学习过程：【预习导航】1. 代数式的分类：2. 代数式的有关概念(1)代数式: 用 (加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连结而成的式子叫代数式。

单独的一个数或者一个字母也是代数式．1.整式有关概念（1）单项式：只含有的积的代数式叫做单项式。

（2）多项式：几个的和，叫做多项式。

____________ 叫做常数项2.同类项、合并同类项（1）同类项：________________________________ 叫做同类项；（3）合并同类项法则：。

（4）去括号法则：括号前是“＋”号，________________________________ 括号前是“－”号，________________________________3.整式的运算（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。

（2）整式的乘除法：①幂的运算：单项式乘以多项式：。

单项式乘以多项式：。

③乘法公式：平方差： 。

完全平方公式： 。

4．分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 练习1. 单项式31-πx 2y 的系数是 ，次数是 .2.计算：2(2)a a -÷= ．()23x x -= 3.下列计算正确的是（ ）A ．5510x x x +=B ．5510·x x x =C ．5510()x x =D ．20210x x x ÷=4.by x 2223与87y x a -是同类项，则a-b= 5. 用代数式表示： “a ，b 两数的平方和” ；“x 与y 的倒数的和”________.6．若0a >且2x a =，3y a =，则+x y a = ， x y a -= ，2x y a -= 。

7.分解因式：269a a -+= ，229x y - = ， 228a -= ，26x x --= 。

整式班级： 姓名： 执教人签名：【复习目标】1.理解用字母表示数的意义.2.会分析简单问题的数量关系，并用代数式表示.3.会求代数式的值，并会根据特定问题，选择所需公式并会带入具体的值求解.【重、难点】能准确化简代数式，并求值。

【课前自习】1.用代数式表示：⑴a 的一半与b 的31的差 ； ⑵a 的相反数与-1的差 ； ⑶a 的3倍与b 的差的平方是 ；⑷a,b 两数和的平方是 ；2.当2=x 时，代数式-12-x 的值是 ； 若代数式73+x 的值为—2，则x= .3.若3-=b a ，则a b -的值是 .4. a,b 两数平方的和，用代数式表示为 ，当a=—1，b=2时，此代数式的值为 .5.单项式2372y x -的系数是 ，次数是 . 多项式5372xy y x +-的次数是 . 7.若单项式b y x 2223与87y x a -是同类项，则b a -= . 8.若412++mx x 是一个完全平方式，则m= . 9.计算或化简：⑴2)2()2)(2(++-+m m m ； ⑵)32()3()2(47232b a ab b a ÷-∙-.【中考知识要点梳理】1.代数式的分类：式整式有理式 式代数式 式式2.单项式：由数与字母的 组成的代数式叫做单项式；⑴单独一个数或 也是单项式.⑵单项式中的 叫做这个单项式的系数；⑶单项式中的所有字母的 叫做这个单项式的次数.3.多项式：几个单项式的 叫做多项式.⑴在多项式中，每个单项式叫 做多项式的 ,其中次数最高的项的 叫做这个多项式的次数.⑵不含字母的项叫做 .4.幂的运算法则：=∙n m a a ；=÷n m aa ；()=n m a ；()=nab 。

5.乘法公式： 平方差公式：()()=-+b a b a ；完全平方公式：()=±2b a .【典型例题】例1、若代数式1062+-x x 可化为b a x --2)(，则a = , b = . 例2、有一数列,,,,321n a a a a 从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若,21=a 则2011a 是 .例3、如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，…，按照这样的规律摆下去，第n （n 是正整数）个图形需要棋子的个数 .（用含n 的代数式表示）.第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形例4 、观察下面的一列单项式： ,16,8,4,2,5432x x x x x ---根据其中的规律，得出的第10个单项式是（ ）A.1092x -B.1092xC.992x -D.992x例5、 先化简，再求值：⑴()()()222223x x x x --+-+，其中31-=x ;⑵已知代数式的6432+-x x 值为9，则6342+-x x 的值是?【当堂检测】1.设,3,2b a ==用含b a ,的式子表示54.0，则54.0= .2.－ лa 2b 312的系数是_________，是_________次单项式。

多边形与平行四边形班级 姓名 日期【复习目标】1.理解多边形的内角和公式及外角和；2.掌握平行四边形的性质和判定。

平行四边形性质和判定的灵活运用【重点难点】 直线与圆的位置关系及应用【课前热身】1．一个正多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的内角和是_________.2.在等腰△ABC 中，∠C=90°，BC=2cm ，如果以AC 的中点O 为旋转中心，将这个三角形旋转 180°，点B 落在点B ’处，那么点B 与点B ’相距 cm 。

3.平行四边形ABCD 中，若∠A＋∠C＝130 o，则∠D 的度数是 . 4.ABCD 中，∠B=30°，AB ＝4 cm ，BC=8 cm ，则四边形ABCD 的面积是_____. 5.平行四边形ABCD 的周长是18，三角形ABC 的周长是14，则对角线AC 的长是 .6.如图，在ABCD 中，DB ＝DC ，∠Ｃ＝70°，AE ⊥BD 于E ，则∠DAE ＝ 度．7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 ．第5题 第6题8.如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 、BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延2【考点链接】1.n 边形的内角和： ，n 边形的外角和 。

2.把一个平面图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相 ，那么这个图形叫做 图形，这个点是它的 。

3.成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过 ，并且被 。

4.平行四边形的性质平行四边形对边______ ，对角______；对角线______ 。

平行四边形是___________图形.平行四边形的面积= 。

5．平行四边形的判定（1）边：_________________________________________________________.（2）角： ________________________________________________________．（3）对角线：_____________________________________________________．【例题教学】例1. 已知，如图，AB ∥CD ，AB=CD ，点E 、F 在BD 上． BE=DF ，连接AF 、EC ， 求证：四边形AECF 是平行四边形．例2．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，连结BE 、CE ，90BEC ∠=︒。

分式班级：姓名：执教人签名：【学习目标】1、掌握分式的概念及其运算2、系统理解掌握本节知识，形成知识体系。

3、培养学生数学综合能力【学习重难点】1．系统理解掌握本节知识。

2．培养学生数学能力和综合运用能力。

【预习导航】【例题教学】例22222444431669(1):1.x x x x x x x x -++⋅--÷-+-计算例112的值求己知例例4【课堂检测】 1．若分式32x x +-有意义，则x ≠_______． 2．已知113x y -=，则分式2322x xy y x xy y+---的值等于_______． 3．若分式211x x -+的值为0，则实数x 的值为_______．4．已知a 2－2a －1＝0，则a 2＋21a＝_______．5化简并求值：22112x yx y x y x y ⎛⎫-+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x 、y 满足2x -＋(2x －y －3)2＝0．【课后巩固】1．若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则2a bc b+-的值是 ( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－32．如果把分式2yx y+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值 ( ) D 化简： (1)2111a -⎛⎫-÷(2)22211x x x x++-÷-的根． 6 拓展延伸.观察下列各式：4216151651301-=⨯=312132161-=⨯=5141541201-=⨯=由此可推断 =_______________。

(2)请猜想能表上面的特点的一般规律，用含字m 的等式表示出来，并证明(m 表示整数)（3）请用（2）中的规律计算)2008)(2006(1)6)(4(1)4)(2(1)2(1)2(+++++++++++x x x x x x x x课后反思231341651)1(222+-++--+-x x x x x x。

一次方程（组）及其应用【学习目标】1.进一步复习理解一次方程(组)的相关概念,并会解一次方程(组)。

2.能用一次方程(组)解决实际问题。

【重点难点】重点：解一次方程(组).难点：用一次方程(组)解决实际问题.【预习导航】 1.一元一次方程:只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程。

2. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1。

3．二元一次方程：含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程。

4. 二元一次方程组：由2个或2个以上的 组成的方程组叫二元一次方程组。

5. 解二元一次方程组的方法： 二元一次方程组 方程。

消元是解二元一次方程组的基本思想方法，方法有 消元法和 消元法两种。

练习1．方程358x +=的解是 . 方程组221x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是 . 2．如果1x =-是方程234x m -=的根，则m 的值是 .3. 在方程y x 2153-=中，（1）用含x 的代数式表示为y ＝ ；（2）写出方程所有正整数解 .4.已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解，则a b -＝ ；5.三元一次方程组456x y y z z x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的解是 .6. 一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元．若设这件衣服的成本是x 元，根据题意，可得到的方程是 .7.某班有40名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去370元，其中甲种票每张10元，乙种票每张8元，试求购买了甲种票和乙种票各多少张．【典例分析】消元例1.解方程（组）（1）21101136x x ++-=. （2）{4519323a b a b +=--= (3) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-=++1132322z y x z y x z y x例2.已知方程组15mx ny nx my -=⎧⎨+=⎩（1）（2），由于甲看错了方程①中的 m 得到方程组的解为⎩⎨⎧==32y x ， 乙看错了方程②中的n 得到方程组的解为54x y =⎧⎨=⎩。

课题：二次函数 (2)班级： 姓名： 执教人签名： 【学习目标】 1． 灵活运用性质解题2． 熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 【学习重难点】二次函数的概念、图象和性质等基础知识以及对学生应用二次函数解决实际问题的灵活运用. 【考点链接】1．(2012四川乐山)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)的图象的顶点在第一象限，且过点(－1,0)．设t ＝a ＋b ＋1，则t 值的变化范围是( )A ．0＜t ＜1B ．0＜t ＜2C ．1＜t ＜2D ．－1＜t ＜12．(2012山东菏泽)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，那么一次函数y ＝bx ＋c 和反比例函数y ＝ax在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )'3．(2012上海)将抛物线y ＝x 2＋x 向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式是________． 4．(2012山东枣庄)二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．当y ＜0时，自变量x 的取值范围是______________．(第4题图)5．(2012广东珠海)如图，二次函数y＝(x－2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.(第5题图)(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足kx＋b≥(x－2)2＋m的x的取值范围．【例题教学】例1：一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍(本题中0＜x≤11)．(1)用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为__________元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为__________元；(2)求今年这种玩具的每件利润y(元)与x之间的函数关系式；(3)设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？例2：如图，已知二次函数L1：y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C. (1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L2：y＝kx2－4kx＋3k(k≠0)．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②若直线y＝8k与抛物线L2交于E，F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由【课堂检测】1．抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为( )A．(3，－4) B．(3,4)C．(－3，－4) D．(－3,4)2．由二次函数y＝2(x－3)2＋1，可知( )A．其图象的开口向下B．其图象的对称轴为直线x＝－3C．其最小值为1D．当x＜3时，y随x的增大而增大3．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )A．k＜4 B．k≤4C ．k ＜4且k ≠3 D．k ≤4且k ≠34．如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是( )(第4题图)A ．m ＝n ，k ＞hB ．m ＝n ，k ＜hC ．m ＞n ，k ＝hD ．m ＜n ，k ＝h5．如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1,0)，B (1，－2)，该图象与x 轴的另一交点为C ，则AC 长为__________．(第7题图)(第5题图)6．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是①抛物线与x 轴的一个交点为(3,0)；②函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为6； ③抛物线的对称轴是直线x ＝12；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．7．抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若将其向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后的解析式为__________．【课后巩固】1.如图,已知边长为4的正方形ABCD,P 是BC 边上一动点(与B 、C 不重合)，连结AP,作PE ⊥AP 交∠BCD 的外角平分线于E,设BP=x ，△PCE 面积为y ，则y 与x 的函数关系式是（ ）A.1-2x y =B.22-21x x y =C.221-2x x y =D.x y 2=2.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P 在第一象限,圆P 与x 轴交于O,A 两点,点A 的坐标为（6,0），若圆P 的半径为13，则点P 的坐标为 __________3.我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润P ＝－1100(x －60)2＋41(万元)．当地政府拟在“十二·五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润Q ＝－99100(100－x )2＋2945(100－x )＋160(万元)．(1)若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少；(2)若按规划实施，求5年所获利润(扣除修路后)的最大值是多少； (3)根据(1)、(2)，该方案是否具有实施价值？课后反思。

一元一次不等式(组）的解法班级： 姓名： 执教人签名： 【学习目标】1.掌握不等式的基本性质，会运用不等式（组）的基本性质解一元一次不等式(组)。

2.能运用数形结合和类比的思想方法解决实际问题 【学习重难点】重点：会解一元一次不等式（组）。

难点：经历由具体实例建立不等式模型的过程，掌握运用数形结合和类比的思想方法，解决实际问题。

【预习导航】1．回忆不等式及其解集的概念。

2.不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a -c -b c ；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a cb）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的最高次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；4.解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1.5.两个一元一次不等式组成的不等式组解集的情况：（已知a b <）x a x b <⎧⎨<⎩的解集是 ；x ax b >⎧⎨>⎩的解集是 ； x a x b >⎧⎨<⎩的解集是 ；x ax b<⎧⎨>⎩的解集是 。

练习:1．a 的3倍与2的差不小于5，用不等式表示为 . 2．代数式113m --值为正数，m 的范围是 . 3．已知a b <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．33a b +>+ B ．22a b >C ．a b -<-D 、0a b -<4. ）A ．13x -≤<B ． 13x -<≤C ．1x ≥-D ． 3x <5．不等式组21511x x +<⎧⎨+≥-⎩的解集为 ，其中整数解为 。

6. 一次函数y kx b =+（k b ，是常 数，0k ≠）的图象如图所示，则不等式0kx b +>的解集是 。

【例题教学】例 1.解一元一次不等式(组)，并把它的解集在数轴上表示出来1＋3x ＞5－22-x x 2(x 1)414x x 13+-≤⎧⎪+⎨≥-⎪⎩例 2.已知不等式组1x x a ⎧⎨⎩（1） 如果这个不等式组无解，则a 的取值范围是___________. （2） 如果这个不等式组有解，则a 的取值范围是___________. （3） 如果这个不等式组只有3个正整数解,则a 的取值范围是_________【课堂检测】1.若a ＜b ，m 为实数，用不等号填空：①a m 2 b m 2；②m ＞m ，则ma mb 。

菱形班级 姓名 日期 【复习目标】掌握菱形的性质与判定。

【重点难点】重点：掌握菱形的性质与判定； 难点：菱形性质与判定的综合应用。

【课前热身】1、菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 ，菱形的面积为 。

2、已知菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，则较短对角线BD 的是 。

第3题3、如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO=55°，则∠ADO= 。

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是 ,菱形ABCD 的面积 ． 5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _____________________________（只填一个你认为正确的即可）． 6、如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是 ．7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，连接AF ，AC ．第4题第5题第6题（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．【知识梳理】1、菱形的定义：有__________相等叫做菱形2、菱形的性质：（1）具有的一切性质；（2）菱形的四条边，对角线不仅，而且每条对角线一组对角；（3）菱形既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴，对称中心是；（4）菱形的面积等于。

3、菱形的判定：(1) 的平行四边形是菱形。

(2) 的四边形是菱形。

(3) 的是菱形。

【例题教学】例1 、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．例2、如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90．（1）尺规作图：作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将Rt △ABC 沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE,DF ，再展回到原图形，得到四边形AEDF ． ①试判断四边形AEDF 的形状，并证明；②若AC=8，CD =4，求四边形AEDF 的周长和BD 的长．【课堂检测】1、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为40，则OH 的长等于2、如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM=CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ． 若 ∠DAC=28°，则∠OBC 的度数为BCA第1题第2题第3题第4题第3题 第4题3、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于4、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是。

平行与垂直【知识梳理】1相交线：三线八角(如图)（1）同位角有：∠1与__ __，∠2与∠6，∠4与∠8，∠3与∠7.（2）内错角有：∠2与__ __，∠3与∠5.（3）同旁内角有：∠3与∠8，∠2与__ __．（4）对顶角：∠1与∠3为对顶角，∠2与__ __为对顶角，∠5与∠7为对顶角，∠6与__ __为对顶角．2垂线及其性质（1）．定义： ________（2）基本事实：经过直线上或直线外一点，有条直线与已知直线垂直．（3）性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， _____最短．（4）线段垂直平分线：①定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离__ ．②逆定理：到一条线段的两端点的距离相等的点在线段的上．3平行线的判定及性质（1）定义： ________（2）性质：①两直线平行______________②两直线平行______________③两直线平行______________（3）判定：① ________，两直线平行．② ________，两直线平行．③ ________，两直线平行．④平行于同一条直线的两条直线平行．【典例分析】1.如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD.若∠ECA为α°，则∠GFB为__ .(用关于α的代数式表示)2．如图，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，∠1＝65°，求∠2的度数．3．如图，已知，l 1∥l 2，C 1在l 1上，并且C 1A ⊥l 2，A 为垂足，C 2，C 3是l 1上任意两点，点B 在l 2上．设△ABC 1的面积为S 1，△ABC 2的面积为S 2，△ABC 3的面积为S 3，小颖认为S 1＝S 2＝S 3，请帮小颖说明理由．4．如图，AB ∥CD ，分别探讨下面四个图形中∠APC 与∠PAB ，∠PCD 的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．5.在△ABC 中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，D 在BC 上，E 在AB 上，使得△ADE 为等腰直角三角形，∠ADE=90°，则BE 的长为（ ）A ．．C ．12【课堂检测】1.如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是（）A.70°B.60°C. 50°D.40°2.如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1＝56°，则∠2的度数为（）A. 56°B. 44°C. 34°D. 28°3.如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°第3题图第4题图第5题图4. 如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P= °．5．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于M，N两点，将一个含有45°角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠EMB=75°，则∠PNM等于度．6.如图，四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD=BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”为结论构造命题.（1）以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；（2）写出按题意构成的所有命题中的假命题，并举出反例加以说明.（命题请写成“如果…，那么….”的形式）【课后练习】1.如图，直线a∥b，∠1＝125°，则∠2的度数为________.2.如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°，则∠2＝_______.3.如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形纸片的一组对边与直角三角形纸片的四条直角边相交成∠1、∠2.则∠2-∠1＝______.第3题图第4题图4将一幅三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是______.5如图，AB∥CD，∠1＝62°，FG平分∠EFD，则∠2＝_____°.第5题图第6题图6.如图，直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠Ｃ＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠Ｂ＝_______.7.如图，AF，BD，CE，AC，DF均是直线，∠EQF＝∠APB，∠C＝∠D.求证：∠A＝∠F.学后/教后思：。

特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形专题培优、能力提升复习讲义中考考点梳理一、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab二、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：第一步：先证明它是平行四边形；第二步：再证明它是菱形（或矩形）；第三步：最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积： 设正方形边长为a ，对角线长为b ，S 正方形=222b a 中考典例精选考点典例一、矩形的性质与判定【例1】如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,若AB ＝AO ， 求∠ABD 的度数.图6A B 【答案】∠ABD =60°.【解析】考点：矩形的性质；等边三角形的判定及性质.【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键．【举一反三】1.已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【答案】详见解析.【解析】试题分析：由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到△BEF≌△CFD，利用全等三角形对应边相等即可得证．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2. 如图，将矩形ABCD 沿GH 对折，点C 落在Q 处，点D 落在E 处，EQ 与BC 相交于F ．若AD=8cm ，AB=6cm ，AE=4cm ．则△EBF 的周长是 cm ．【答案】8.【解析】试题分析：BE=AB-AE=2.设AH=x ，则DH=AD ﹣AH=8﹣x ，在Rt △AEH 中，∠EAH=90°，AE=4，AH=x ，EH=DH=8﹣x ，∴EH 2=AE 2+AH 2，即（8﹣x ）2=42+x 2，解得：x=3．∴AH=3，EH=5.∴C △AEH =12.∵∠BFE+∠BEF=90°，∠BEF+∠AEH=90°，∴∠BFE=∠AEH ．又∵∠EAH=∠FBE=90°，∴△EBF ∽△HAE ，∴32==∆∆AH BE C C HAE EFB ． ∴C △EBF =23=C △HAE =8．考点：1折叠问题；2勾股定理；3相似三角形.考点典例二、菱形的性质与判定【例2】如图，在▱ABCD中，已知AD＞AB．（1）实践与操作：作∠BAD的平分线交BC于点E，在AD上截取AF=AB，连接EF；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）猜想并证明：猜想四边形ABEF的形状，并给予证明．【答案】(1)详见解析；（2）四边形ABEF是菱形，理由详见解析.【解析】（2）四边形ABEF是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB，由（1）得：AF=AB，∴BE=AF，又∵BE ∥AF ，∴四边形ABEF 是平行四边形，∵AF=AB ，∴四边形ABEF 是菱形．考点：角平分线的画法；平行四边形的性质；菱形的判定.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．在利用菱形计算或证明时，应充分利用菱形的性质，如“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直且平分，并且每一组对角线平分一组对角”等.对于菱形的判定，若可证出四边形为平行四边形，则可证一组邻边相等或对角线互相垂直；若相等的边较多，则可证四条边都相等.【举一反三】1. 如图，四边形ABCD 是菱形，8=AC ，6=DB ，AB DH ⊥于H ，则DH 等于A ．524 B ．512 C ．5 D ．4【答案】A.【解析】 考点：菱形的性质.2. 如图，菱形ABCD 的边AB=8，∠B=60°，P 是AB 上一点，BP=3，Q 是CD 边上一动点，将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点为A ′，当CA ′的长度最小时，CQ 的长为（ ）A. 5B. 7C. 8D. 213 CD H【答案】B．【解析】考点：菱形的性质；轴对称（折叠）；等边三角形的判定和性质；最值问题．考点典例三、正方形的性质与判定【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB＝∠CDB；(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．【答案】证明见解析.【解析】考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、矩形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形，具有矩形和菱形的所有性质.证明一个四边形是正方形，可以先判定为矩形，再证邻边相等或对角线互相垂直；或先判定为菱形，再证有一个角是直角或对角线相等.【举一反三】1.如图，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8，BG=DH=6，连接GH，则线段GH的长为（）A．B．2 C．D．10﹣5【答案】B.【解析】考点：正方形的性质；全等三角形的判定及性质；勾股定理.考点典例四、特殊平行四边形综合题【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE ⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BECD是菱形，（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．理由见解析.【解析】（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：考点：正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 【举一反三】如图，正方形ABCD 的边长为1,AC 、BD 是对角线，将△DCB 绕点D 顺时针旋转450得到△DGH ， HG 交AB 于点E ，连接DE 交AC 于点F ，连接FG ，则下列结论：①四边形AEGF 是菱形 ②△AED ≌△GED③∠DFG ＝112.5︒ ④BC ＋FG ＝1.5其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）图5F EH G BA【答案】①②③. 【解析】试题分析：由旋转的性质可得HD=BD=2 ∴HA=12-考点：旋转的性质；全等三角形的判定及性质；菱形的判定.课后巩固、提高自测小练习一、选择题1．关于ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC ABCD是菱形B．若AC⊥BD ABCD是正方形C．若AC=BD，则ABCD是矩形D．若AB=AD ABCD是正方形【答案】C.【解析】试题分析：根据矩形的判定可得A、C项应是矩形；根据菱形的判定可得B、D项应是菱形,故答案选C.考点：矩形、菱形的判定.2. 下列说法正确的是（）A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形【答案】D.【解析】考点：1菱形的判定；2矩形的性质；3平行四边形的判定.3．如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C.【解析】试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．此时，EP+FP的值最小，值为EF′．∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．考点：1轴对称；2菱形.4.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是（ ）A ．AB =AD B ．AC ⊥BD C ．AC =BD D ．∠BAC =∠DAC 【答案】C ． 【解析】考点：菱形的判定；平行四边形的性质．5. 如图，正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CE =2DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG =GC ；③EG =DE +BG ；④AG ∥CF ；⑤S △FGC =3.6．其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】D ． 【解析】试题分析：∵正方形ABCD 的边长为6，CE =2DE ，∴DE =2，EC =4，∵把△ADE 沿AE 折叠使△ADE 落在△AFE 的位置，∴AF =AD =6，EF =ED =2，∠AFE =∠D =90°，∠FAE =∠DAE ，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，∵AB =AF ，AG =AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ），∴GB =GF ，∠BAG =∠FAG ，∴∠GAE =∠FAE +∠FAG =12∠BAD =45°，所以①正确； 设BG =x ，则GF =x ，C =BC ﹣BG =6﹣x ，在Rt △CGE 中，GE =x +2，EC =4，CG =6﹣x ，∵222CG CE GE +=，∴222(6)4(2)x x-+=+，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3，∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC．∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴EH EFGC EG=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：EH EFGC EG==25，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=12×3×4﹣12×4×（25×3）=3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选D．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．6.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（）A．1次B．2次C．3次D．4次【答案】B．【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．7.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D．【解析】考点：菱形的性质；平行四边形的性质．8.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（）A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60°D．∠ACB=60°【答案】B．【解析】试题分析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，∴AB//CD，∴四边形ABCD为平行四边形，当AC=BC时，平行四边形ACED是菱形．故选B．考点：菱形的判定；平移的性质．二、填空题1.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是（只填写序号）【答案】①②③④.【解析】考点：1菱形的性质和判定；2轴对称；3平行线的性质.2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．【答案】22.5°．【解析】试题分析：已知四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可得AC=BD，OA=OC，OB=OD，即可得OA=OB═OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ODA，∠OAB=∠OBA，即可得∠AOE=∠OAC+∠OCA=2∠OAC，再由∠EAC=2∠CAD，可得∠EAO=∠AOE，因AE⊥BD，可得∠AEO=90°，所以∠AOE=45°，所以∠OAB=∠OBA=67.5°，即∠BAE=∠OAB ﹣∠OAE=22.5°．考点：矩形的性质；等腰三角形的性质．3. 如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM、PN分别与OA、OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分别交AB、BC于E、F两点，连接EF交OB于点G，则下列结论中正确的是．（1）EF=OE；（2）S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=；（5）OG•BD=AE2+CF2．【答案】（1），（2），（3），（5）．【解析】1（2）∵S四边形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，4∴S四边形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正确；（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=2OA；故正确；（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE：OB=OG：OE，∴OG•OB=OE2，∵OB=12BD，OE=22EF，∴OG•BD=EF2，∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，∴EF2=AE2+CF2，∴OG•BD=AE2+CF2．故正确．考点：四边形综合题．4.如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6，那么，菱形ABCD的面积为．【答案】24． 【解析】试题分析：根据菱形面积等于两条对角线的长度的乘积的一半即可得，菱形的面积=21×6×8=24. 考点：菱形的性质．5．将矩形ABCD 纸片按如图所示的方式折叠，EF ，EG 为折痕，试问∠AEF +∠BEG = ．【答案】90°． 【解析】考点：翻折变换（折叠问题）．6. 如图，四边形OABC 为矩形，点A ，C 分别在x 轴和y 轴上，连接AC ，点B 的坐标为（4，3），∠CAO 的平分线与y 轴相交于点D ，则点D 的坐标为 ．【答案】（0，43）．【解析】考点：矩形的性质；坐标与图形性质．三、解答题1.如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：C P=AQ；（2）若BP=1，PQ=22，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质．2.如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，面积相等．【解析】试题分析：（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．3.如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：A E=EF．【答案】证明见解析．【解析】试题分析：先取AB的中点H，连接EH，根据∠AE F=90°和ABCD是正方形，得出∠1=∠2，再根据E是BC 的中点，H是AB的中点，得出BH=BE，AH=CE，最后根据CF是∠DCG的角平分线，得出∠AHE=∠ECF=135°，从而证出△AHE≌△ECF，即可得出AE=EF．试题解析：取AB的中点H，连接EH．∵∠AEF=90°，∴∠2+∠AEB=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠AEB=90°，∴∠1=∠2，∵E是BC的中点，H是AB的中点，∴BH=BE，AH=CE，∴∠BHE=45°，∵CF是∠DCG的角平分线，∴∠FCG=45°，∴∠AHE=∠ECF=135°，在△AHE和△ECF中，∵∠1=∠2，AH=EC，∠AHE=∠ECF，∴△AHE≌△ECF（ASA），∴AE=EF．考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．4. 如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：（1）∠CEB=∠CBE；（2）四边形BCED是菱形．【答案】详见解析.【解析】∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．考点：全等三角形的性质；菱形的判定．。

菱形班级 姓名 日期 【复习目标】掌握菱形的性质与判定。

【重点难点】重点：掌握菱形的性质与判定； 难点：菱形性质与判定的综合应用。

【课前热身】1、菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 ，菱形的面积为 。

2、已知菱形ABCD 的边长为2，∠A=60°，则较短对角线BD 的是 。

第3题3、如图，菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO=55°，则∠ADO= 。

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，若菱形ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y 轴上，则点C 的坐标是 ,菱形ABCD 的面积 ． 5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是 _____________________________（只填一个你认为正确的即可）． 6、如图，四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． 请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是 ．7、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 、E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ，连接AF ，AC ． 第4题第5题第6题（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．【知识梳理】1、菱形的定义：有__________相等叫做菱形2、菱形的性质：（1）具有的一切性质；（2）菱形的四条边，对角线不仅，而且每条对角线一组对角；（3）菱形既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴，对称中心是；（4）菱形的面积等于。

3、菱形的判定：(1) 的平行四边形是菱形。

(2) 的四边形是菱形。

(3) 的是菱形。

【例题教学】例1 、如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．例2、如图所示，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90．（1）尺规作图：作∠BAC 的平分线AM 交BC 于点D （只保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作图形中，将Rt △ABC 沿某条直线折叠，使点A 与点D 重合，折痕EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，连接DE,DF ，再展回到原图形，得到四边形AEDF ． ①试判断四边形AEDF 的形状，并证明；②若AC=8，CD =4，求四边形AEDF 的周长和BD 的长．【课堂检测】1、如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为40，则OH 的长等于2、如图，在菱形ABCD 中，M ，N 分别在AB ，CD 上，且AM=CN ，MN 与AC 交于点O ，连接BO ． 若 ∠DAC=28°，则∠OBC 的度数为BCA第1题第2题第3题第4题第3题 第4题3、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于4、如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是。

平行与垂直【考点目标】掌握平行线的性质与判定，作已知直线的垂线，能运用辅助平行线解题。

【重点难点】平行线的综合运用。

【课前练习】1.如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是（）A.70°B.60°C. 50°D.40°2.如图，直角三角板的直角顶点落在直尺边上，若∠1＝56°，则∠2的度数为（）A. 56°B. 44°C. 34°D. 28°3.如图，直线a∥b，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°第3题图第4题图第5题图4. 如图，直线a∥b，∠1=45°，∠2=30°，则∠P= °．5．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝65°，求∠2的度数．【例题讲解】例1. 如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A ．同位角相等，两直线平行B ．内错角相等，两直线平行C ．两直线平行，同位角相等D ．两直线平行，内错角相等例2.已知：如图，CD ⊥AB 于D ，E 是BC 上一点，EF ⊥AB 于F ．∠l=∠2．求证：∠AGD=∠ACB ．【课堂练习】1. 如图，桌面上的木条b ，c 固定，木条a 在桌面上绕点O 旋转n °（0 ＜ n ＜ 90）后与b 平行，则n =（ ）A ．20B ．30C ．70D ．802.如图，AB ∥CD ，∠1＝62°，FG 平分∠EFD ，则∠2＝_____°.3．如图，已知:∠AOB 的两边OA 、OB 均为平面反光镜,∠AOB=40°,在OB•上有一点P,从P 点射出一束光线经OA 上的Q 点反射后,反射光线QR 恰好与OB 平行,则∠QPB =________b a4．如图，已知，l1∥l2，C1在l1上，并且C1A⊥l2，A为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上．设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由．5．如图，直线a∥b，BC平分∠ABD，D E⊥BC，若∠1=70°，求∠2的度数．【课后练习】1.如图，直线a∥b，∠1＝125°，则∠2的度数为________.2.如图，点D、E分别在AB、BC上，DE∥AC,AF∥BC,∠1=70°，则∠2＝_______.3.如图，已知矩形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若矩形纸片的一组对边与直角三角形纸片的四条直角边相交成∠1、∠2.则∠2-∠1＝______.第3题图第4题图4将一幅三角尺按如图所示的方式放置，使含30°角的三角尺的短直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数是______.5. 如图，AB∥EF∥DC，EG∥BD，则图中与∠1相等的角共有____________第5题第6题6.如图，直线m∥n,Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠Ｃ＝90°.若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠Ｂ＝_______.7.如图，AF，BD，CE，AC，DF均是直线，∠EQF＝∠APB，∠C＝∠D.求证：∠A＝∠F.8. 如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则满足条件的点P有多少个？。

课题：三角形、四边形中的相关证明及计算班级：姓名：_________【学习目标】1．巩固全等三角形的判定及性质，平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定及性质等知识点；2．理解并灵活运用判定与性质解题。

【学习重难点】判定方法与性质的灵活运用，解题格式的规范；【近五年中考原题回顾】21．（6分）（2012•镇江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E 是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠GDF＝∠ADF．(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DF的位置关系并说明理由．21．（6分）（2013•镇江）如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF．（1）求证：△ABE≌△DCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形．20．（6分）（2015•镇江）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE=CF，依次连接B，F，D，E各点．（1）求证：△BAE≌△BCF；（2）若∠ABC=50°，则当∠EBA= °时，四边形BFDE是正方形．21．（6分）（2016•镇江）如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）若∠ABC=35°，则∠CAO=______°．命题总结：纵观近五年中考原题，三角形、四边形的计算与证明出现在20-22题中，分2问，共6分。

第1问考查全等三角形的判定方法，第2问借助第1问的结论，运用全等三角形实现边角的转化，再加入一些条件来考查特殊四边形的判定或进行角度的计算。

所给的图形涉及旋转、折叠、平移等全等变换，题目难度偏易．命题预测：预计2017 仍会以保持上述结论。

【例题教学】例1．如图，在ABC∆中，90=∠ABC，60=∠BAC。

ACD∆是等边三角形，E是AC的中点。