北师大版九年级数学下册第二章 二次函数周周测1(2.1)

北师大版九年级下册数学第二章 二次函数测试卷[范围：第二章 时间：120分钟 分值：120分]一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．下列函数中，是二次函数的是( ) A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝x 2＋1D ．y ＝3x 2－x2．抛物线y ＝x 2－2x 的对称轴是( ) A ．直线x ＝1 B ．直线x ＝－1 C ．直线x ＝2D ．直线x ＝－23．已知点(－7，y 1)，(－3，y 2)，(4，y 3)都在二次函数y ＝3(x ＋1)2的图象上，则( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 2<y 3<y 1C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 34．已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A ．－2B ．－4C ．2D ．45．如图1是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象，对于下列说法：①ac ＞0；②2a ＋b ＞0；③4ac ＜b 2；④a ＋b ＋c ＜0；⑤当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．其中正确的是( )图1A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．③④⑤6．已知一次函数y ＝－kx ＋k 的图象如图2所示，则二次函数y ＝－kx 2－2x ＋k 的图象大致是( )图2图3二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．请写出一个图象开口向下，以y 轴为对称轴，且经过点(1，－1)的二次函数的表达式：________． 8.将抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的函数表达式为y＝x 2－2x －3，则b ＝________，c ＝________．9．将抛物线y ＝2x 2－4x ＋5沿x 轴翻折后所得新抛物线的表达式为____________．10．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m 的图象与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两个实数根是__________．11．为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为100 m ，则池底的最大面积是________m 2.12．已知二次函数y ＝(x －h )2－3(h 为常数)，在自变量x 的值满足2≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为1，则h 的值为________．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．已知抛物线过点(－1，0)，(5，0)和(0，－52)．(1)求抛物线的表达式；(2)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，求旋转后所得新抛物线的表达式．14．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：(1)(2)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．15．在图4①②所示的抛物线中，抛物线与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线l 是它的对称轴．仅用无刻度的直尺按要求完成下列作图：(保留作图痕迹，不要求写作法)(1)在图①中直线l 上作点P ，使线段P A ＋PC 最短； (2)在图②中作线段CD ，使线段CD ∥AB .图416．已知二次函数y＝(k－1)x2＋x＋1.(1)若函数图象与x轴有交点，求k的取值范围；(2)若函数图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；(3)请直接写出当函数图象与x轴只有一个交点时k的值．17．如图5，抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A(1，0)，与y轴交于点B.(1)求抛物线的表达式；(2)P是y轴正半轴上一点，且△P AB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标．图5四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．某商店以8元/个的价格购进1600个文具盒进行销售，为了得到日销售量y(个)与销售价格x(元/个)之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：(1)(2)该商店应该如何确定这批文具盒的销售价格，才能使日销售利润最大？(3)根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，判断一个月能否销售完这批文具盒，并说明理由．19．如图6，二次函数y1＝(x＋2)2＋m的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于点A(－1，0)和点B，且与y 轴交于点C，点B和点C关于抛物线的对称轴对称．(1)求二次函数与一次函数的表达式；(2)根据图象，写出满足y1>y2的x的取值范围．图620．如图7，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6(a ≠0)相交于A (12，52)和B (4，m )，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C .(1)求抛物线的表达式．(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图7五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图8①，四边形ABCD 是矩形，AB ＝20，BC ＝10，以CD 为斜边向矩形外部作等腰直角三角形GDC ，∠G ＝90°，点M 在线段AB 上，且AM ＝12，点P 沿折线ADG 运动，点Q 沿折线BCG 运动(点P ，Q 均不与点G 重合)，在运动过程中始终保持线段PQ ∥AB .设PQ 与AB 之间的距离为x .(1)如图②，当点P 在线段AD 上时，若四边形AMQP 的面积为48，求x 的值； (2)在运动过程中，求四边形AMQP 的最大面积．图822．如图9，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)求二次函数的表达式；(2)若P为二次函数图象上的一点，F为二次函数图象的对称轴上一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；(3)连接BC，E是二次函数在第四象限内图象上的一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．图9六、(本大题共12分)23．如图10①，已知直线l：y＝－x＋2与y轴交于点A，抛物线ρ：y＝a(x－h)2＋k过点A，其顶点B在直线l上且点B的横坐标为1.(1)求抛物线ρ的表达式．(2)如图②，将抛物线ρ沿直线l平移使顶点B落在直线上的点D(点D在点B的右边)处，得到抛物线ρ′，且抛物线ρ′与原抛物线ρ交于点C，连接AC，DC.△ACD能否是直角三角形？若能，求此时抛物线ρ′的表达式及点C的坐标；若不能，请说明理由．图10参考答案1．D 2．A 3．B 4.B 5.C 6.B 7．y ＝－x 2(答案不唯一) 8．2 09．y ＝－2x 2＋4x －5 10．x 1＝1，x 2＝2 11．625 12．0或613．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝a(x ＋1)(x －5)． ∵抛物线过点(0，－52)，∴－52＝a(0＋1)(0－5)，解得a ＝12，∴抛物线的表达式为y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52.(2)将抛物线的表达式化为顶点式为y ＝12(x －2)2－92.∵将抛物线绕它的顶点旋转180°，∴新抛物线的表达式中的二次项系数为－12，顶点不变，∴旋转后所得新抛物线的表达式为y ＝－12(x －2)2－92＝－12x 2＋2x －132.14．解：(1)y ＝12x 2＋x －4.(2)x<－1.(3)∵方程12x 2＋x －4＝k 有两个不相等的实数根，即方程12x 2＋x －4－k ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝12－4×12×(－4－k)＝1＋2(4＋k)＝9＋2k>0，∴k>－92.15．解：(1)如图①，点P 就是所求作的点．(2)如图②，CD 就是所求作的线段．16．解：(1)∵二次函数y ＝(k －1)x 2＋x ＋1的图象与x 轴有交点，∴Δ＝b 2－4ac ＝12－4(k －1)＝－4k ＋5≥0， ∴k ≤54.又∵k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤54且k ≠1.(2)∵二次函数y ＝(k －1)x 2＋x ＋1的图象与x 轴有两个不同的交点， ∴Δ＝b 2－4ac ＝－4k ＋5>0， ∴k<54.又∵k ≠1，∴k 的取值范围是k<54且k ≠1.(3)k ＝54.17．解：(1)∵抛物线y ＝－x 2＋5x ＋n 经过点A(1，0)， ∴0＝－12＋5×1＋n ， ∴n ＝－4，∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋5x －4. (2)∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋5x －4， 令x ＝0，则y ＝－4，∴点B 的坐标为(0，－4)，∴AB ＝17. ①当PB ＝AB ＝17时， OP ＝PB －OB ＝17－4， ∴P(0，17－4)．②当PA ＝AB 时，点P ，B 关于x 轴对称， ∴P(0，4)．综上可知，点P 的坐标为(0，17－4)或(0，4)．18．解：(1)由表格可猜测y 是x 的一次函数，设y 关于x 的函数表达式为y ＝kx ＋b. ∵当x ＝18时，y ＝30；当x ＝16时，y ＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧18k ＋b ＝30，16k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－5，b ＝120， ∴y ＝－5x ＋120.经验证，表中其他各组对应值也符合所求关系式， ∴y 关于x 的函数表达式为y ＝－5x ＋120. (2)设日销售利润为W 元，依题意得W ＝(x －8)(－5x ＋120)＝－5x 2＋160x －960＝－5(x －16)2＋320，∴当x ＝16时，W 取得最大值，为320，∴当销售价格为16元/个时，可使日销售利润最大，最大为320元．(3)一个月不能销售完这批文具盒．理由如下：由题意知根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，则日销售量为－5×16＋120＝40(个)，销售天数为1600÷40＝40(天)，∴一个月不能销售完这批文具盒．19．解：(1)由二次函数图象过点A(－1，0)，得(－1＋2)2＋m ＝0，∴m ＝－1，∴二次函数的表达式为y 1＝(x ＋2)2－1＝x 2＋4x ＋3，∴C(0，3)，抛物线的对称轴为直线x ＝－2.∵点B 和点C 关于抛物线的对称轴对称，∴B(－4，3)．∵一次函数y 2＝kx ＋b 的图象过点A ，B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝0，－4k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝－1，∴一次函数的表达式为y 2＝－x －1.(2)x 的取值范围是x<－4或x>－1.20．解：(1)∵点B(4，m)在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝6，∴B(4，6)．∵点A(12，52)和B(4，6)在抛物线上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8， ∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)存在．设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)，∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498. ∵12<n<4，∴当n ＝94时，线段PC 的长最大且最大值为498. 21．解：(1)由题意得PQ ＝20，AM ＝12，PA ＝x ，∴S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）·PA 2＝（20＋12）x 2＝48，解得x ＝3. (2)①当点P 在AD 上，即0<x ≤10时，S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）x 2＝（20＋12）x 2＝16x. ∵16>0，∴S 四边形AMQP 随着x 的增大而增大，∴当x ＝10时，S 四边形AMQP 取得最大值，最大值为160.②如图，当点P 在DG 上，即10<x<20时，S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）x 2. ∵PQ ∥AB ，∴∠GPQ ＝∠GDC ，∠GQP ＝∠GCD ，∴△GPQ ∽△GDC.过点G 作GE ⊥AB 于点E ，交PQ 于点H ，交CD 于点F ，则GH ⊥PQ ，GF ⊥CD.由题意易得GF ＝DF ＝10，EF ＝BC ＝10.∵△GPQ ∽△GDC ，∴PQ DC ＝GH GF， 即PQ 20＝10－（x －10）10， ∴PQ ＝40－2x ，∴S 四边形AMQP ＝（PQ ＋AM ）x 2＝（40－2x ＋12）2x ＝－x 2＋26x ＝－(x －13)2＋169. ∵－1<0，∴当x ＝13时，S 四边形AMQP 取得最大值，最大值为169.∵160<169，∴在运动过程中，四边形AMQP 的最大面积为169.22．解：(1)由二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象过点A(1，0)，B(3，0)，得y ＝(x －1)(x －3)＝x 2－4x ＋3. 故二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)①当AB 为平行四边形的边时，如图①.则PF ＝AB ＝2，∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，∴点P 的横坐标为0或4.当x ＝0时，y ＝3，此时点P 的坐标为(0，3)；当x ＝4时，y ＝3，此时点P 的坐标为(4，3)．∴点P 的坐标为(0，3)或(4，3)．②当AB 是平行四边形的对角线时，如图②.∵AB 的中点坐标为(2，0)，点F 的横坐标为2，由平行四边形对角线的性质可知点P 的横坐标为2，当x ＝2时，y ＝－1.∴点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，当以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形时，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．(3)如图③，易知直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3，∴设点E 的坐标为(x ，x 2－4x ＋3)，则点D 的坐标为(x ，－x ＋3)，其中1<x<3，∴S 四边形AEBD ＝12AB(y D －y E )＝－x ＋3－x 2＋4x －3＝－x 2＋3x. ∵－1＜0，故S 四边形AEBD 有最大值，当x ＝32时，其最大值为94，此时点E 的坐标为(32，－34)． 23．解：(1)∵点A ，B 在直线l 上且点B 的横坐标为1，∴A(0，2)，B(1，1)．∵点B(1，1)是抛物线的顶点，∴抛物线ρ：y ＝a(x －1)2＋1.∵点A(0，2)在抛物线ρ上，∴2＝a(0－1)2＋1，解得a ＝1，∴抛物线ρ的表达式为y ＝(x －1)2＋1＝x 2－2x ＋2.(2)能．由题意知，若△ACD 为直角三角形，则∠CAD ＝90°或∠ACD ＝90°.①当∠CAD ＝90°时，易得直线AC 的表达式为y ＝x ＋2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－2x ＋2，y ＝x ＋2，消去y ，得x 2－2x ＋2＝x ＋2，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝3，∴C(3，5)．∵点D 在直线l 上，设点D 的横坐标为n ，则点D 的纵坐标为2－n ，∴抛物线的表达式为y ＝a(x －n)2＋2－n.∵a ＝1且抛物线过点C(3，5)，∴5＝(3－n)2＋2－n ，解得n 1＝1(舍去)，n 2＝6，∴抛物线ρ′的表达式为y ＝(x －6)2－4＝x 2－12x ＋32.②当∠ACD ＝90°时，如图，过点C 作y 轴的垂线，垂足为E ，过点D 作DF ⊥EC ，垂足为F. ∵点D 在直线l 上，设点D 的横坐标为n′，则点D 的纵坐标为2－n′.∵a ＝1，∴抛物线ρ′的表达式为y ＝(x －n′)2＋2－n′.∵点C 是两抛物线的交点，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（x －1）2＋1，y ＝（x －n′）2＋2－n′， 消去y ，得(x －1)2＋1＝(x －n′)2＋2－n′，解得x ＝n′2， ∴点C 的坐标为(n′2，n′24－n′＋2)． ∵∠ACD ＝∠CFD ＝90°，∴∠ACE ＋∠DCF ＝90°，∠DCF ＋∠CDF ＝90°，∴∠ACE ＝∠CDF.又∵∠AEC ＝∠CFD ＝90°，∴△AEC ∽△CFD ，∴AE CF ＝CE DF， ∴AE n′2＝n′2n′24， ∴AE ＝1，∴点C 的纵坐标为3，∴n′24－n′＋2＝3，解得n′1＝2－2 2(舍去)，n′2＝2＋2 2， ∴n′2＝1＋2，2－n′＝－2 2. ∴C(1＋2，3)，抛物线ρ′的表达式为y ＝(x －2－2 2)2－2 2.。

九年级下册第二章《二次函数》练习题(满分：100分时间：100分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．下列函数中，不是二次函数的是()A．y＝1－2x2B．y＝2(x－1)2＋4 C．12(x－1)(x＋4) D．y＝(x－2)2－x2答案：D2．抛物线y＝x2+3与y轴的交点坐标为（）A．（3，0）B．（0，3）C．（0，3）D．（3，0）答案：B3．把二次函数y＝－14x2－x＋3用配方法化成y＝a(x－h)2＋k的形式()A．y＝－14(x－2)2＋2 B．y＝14(x－2)2＋4C．y＝－14(x＋2)2＋4 D．y＝21122x＋3答案：C4．将抛物线y＝3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为() A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1 C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1 答案：C5．对抛物线y＝－x2＋2x－3而言，下列结论正确的是()A．与x轴有两个交点B．开口向上C．与y轴的交点坐标是(0,3) D．顶点坐标是(1，－2)答案：D6．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是()A．－8 B．8 C．±8 D．6答案：B6题图8题图9题图7．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＝y2＞y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＝y2答案：A8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是()A．有最小值－5、最大值0 B．有最小值－3、最大值 6C．有最小值0、最大值 6 D．有最小值2、最大值 6答案：B9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是()。

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】第二章单元检测卷一、选择题（每小题3分；共33分）1.二次函数，当y<0时，自变量x的取值范围是（）A. -1＜x＜3B. x＜-1C. x＞3D. x＜-1或x＞32.如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a≠0）的顶点（﹣1，m）（m＞0），则下列结论中，正确的是（）A. a+b=kB. 2a+b=0C. b＜k＜0D. k＜a ＜03.将抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标为（）A. （5，4）B. （1，4）C. （1，1）D. （5，1）4.已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值y＜0，那么下列结论中正确的是（）A. m﹣1的函数值小于0B. m﹣1的函数值大于0C. m﹣1的函数值等于0D. m﹣1的函数值与0的大小关系不确定5.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2﹣2x﹣3，则b、c的值为（）A. b=2，c=2B. b=2，c=0C. b=﹣2，c=﹣1D. b=﹣3，c=26.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是( )A. （－2，3）B. （2，3）C. （－2，－3）D. （2，－3）7.在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为（）A. y=（x+2）2+2B. y=（x-2）2-2C. y=（x-2）2+2D. y=（x+2）2-28.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图③所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，则下列结论中正确的个数有（）①4a+b=0；②9a+3b+c＜0；③若点A（﹣3，y1），点B（﹣，y2），点C（5，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；④若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y=-n2+15n-36，那么该企业一年中应停产的月份是（）A. 1月，2月B. 1月，2月，3月C. 3月，12月D. 1月，2月，3月，12月10.将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A. y=（x+1）2﹣13B. y=（x﹣5）2﹣3C. y=（x﹣5）2﹣13D. y=（x+1）2﹣311.如图所示，抛物线的对称轴是直线，且图像经过点（3，0），则的值为（）A. 0B. －1 C. 1 D. 2二、填空题（共10题；共30分）12.已知二次函数y=﹣x2﹣2x+1，当x________时，y随x的增大而增大．13.（2014•扬州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为________．14.农机厂第一个月水泵的产量为50（台），第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的关系表示为________ ．15.如果抛物线y=ax2﹣2ax+1经过点A（﹣1，7）、B（x，7），那么x=________．16.根据下表判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是________ x 0.4 0.5 0.6 0.7ax2+bx+c ﹣0.64 ﹣0.25 0.16 0.5917.如图是一次函数y=kx+b的图象的大致位置，试判断关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0的根的判别式△________ 0（填：“＞”或“=”或“＜”）．18.如图，抛物线与轴的一个交点A在点（－2，0）和（1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则的取值范围是________．19.形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为________．20.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：则当2＜y＜5时，x的取值范围是________x …﹣1 0 1 2 3 …y … 10 5 2 1 2 …21.若二次函数y=2x2﹣x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是________ .三、解答题（共4题；共37分）22.使得函数值为0的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数y=x﹣1，令y=0可得x=1，我们说1是函数y=x﹣1的零点．已知函数y=x2﹣2mx﹣2（m+3）（m为常数）（1）当m=0时，求该函数的零点．（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点．23.如图，王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线y=﹣x2+x，其中y（m）是球飞行的高度，x（m）是球飞行的水平距离．（1）飞行的水平距离是多少时，球最高？（2）球从飞出到落地的水平距离是多少？24.已知二次函数图象顶点坐标（﹣3，）且图象过点（2，），求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标．25.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=﹣x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第二象限抛物线上的一个动点，连接AD、BD、CD，当S△ACD= S四边形ACBD 时，求D点坐标；（3）在（2）的条件下，连接BC，过点D作DE⊥BC，交CB的延长线于点E，点P是第三象限抛物线上的一个动点，点P关于点B的对称点为点Q，连接QE，延长QE与抛物线在A、D之间的部分交于一点F，当∠DEF+∠BPC=∠DBE时，求EF的长．参考答案一、选择题A C DB B A BCD D B二、填空题12.＜﹣2 13. 0 14.15. 3 16. 0.5＜x＜0.6 17.＞18. - ≤a≤- 19. y=﹣2x2﹣520. 0＜x＜1或3＜x＜4 21. m≥﹣三、解答题22. 1）解：当m=0时，令y=0，则x2﹣6=0，解得x=±，所以，m=0时，该函数的零点为±；（2）证明：令y=0，则x2﹣2mx﹣2（m+3）=0，△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×2（m+3），=4m2+8m+24，=4（m+1）2+20，∵无论m为何值时，4（m+1）2≥0，∴△=4（m+1）2+20＞0，∴关于x的方程总有不相等的两个实数根，即，无论m取何值，该函数总有两个零点．23.解：（1）∵y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+，∴当x=4时，y有最大值为．所以当球水平飞行距离为4米时，球的高度达到最大，最大高度为米；（2）令y=0，则﹣x2+x=0，解得x1=0，x2=8．所以这次击球，球飞行的最大水平距离是8米．24.解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，把h=﹣3，k= ，和点（2，）代入y=a（x﹣h）2+k，得a（2+3）2+ = ，解得a= ，所以二次函数的解析式为y= （x+3）2+ ，当x=0时，y= ×9+ = ，所以函数图象与y轴的交点坐标（0，）25.（1）解：∵令x=0得：y=﹣3，∴C（0，﹣3）．令y=0得：﹣x﹣3=0，解得x=﹣3，∴A（﹣3，0）．将A、C两点的坐标代入抛物线的解析式的：，解得：．∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3（2）解：如图1所示：令y=0得：x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1．∴AB=4．∵S△ACD= S四边形ACBD，∴S△ADC：S△DCB=3：5．∴AE：EB=3：5．∴AE=4×= ．∴点E的坐标为（﹣，0）．设EC的解析式为y=kx+b，将点C和点E的坐标代入得：，解得：k=﹣2，b=﹣3．∴直线CE的解析式为y=﹣2x﹣3．将y=﹣2x﹣3与y=x2+2x﹣3联立，解得：x=﹣4或x=0（舍去），将x=﹣4代入y=﹣2x﹣3得：y=5．∴点D的坐标为（﹣4，5）（3）解：如图2所示：过点D作DN⊥x轴，垂足为N，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．设直线BC的解析式为y=kx+b，将点C和点B的坐标代入得：，解得：k=3，b=﹣3．∴直线BC的解析式为y=3x﹣3．设直线DE的解析式为y=﹣x+n，将点D的坐标代入得：﹣×（﹣4）+n=5，解得n=5﹣= ．∴直线DE的解析式为y=﹣x+ ．将y=3x﹣3与y=﹣x+ 联立解得：x=2，y=3．∴点E坐标为（2，3）．依据两点间的距离公式可知：BC=CE= ．∵点P与点Q关于点B对称，∴PB=BQ．在△PCB和△QEB中，∴△PCB≌△QEB．∴∠BPC=∠Q．又∵∠DEF+∠BPC=∠DBE，∠DEF=∠QEG，∠EGB=∠Q+∠QEG∴∠DBE=∠DGB．又∵∠DBE+∠BDE=90°，∴∠DGB+∠BDG=90°，即∠PBD=90°．∵D（﹣4，5），B（1，0），∴DM=NB．∴∠DBN=45°．∴∠PBM=45°．∴PM=MB设点P的坐标为（a，a2+2a﹣3），则BM=1﹣a，PM=﹣a2﹣2a+3．∴1﹣a=﹣a2﹣2a+3，解得：a=﹣2或a=1（舍去）．∴点P的坐标为（﹣2，3）．∴PC∥x轴．∵∠Q=∠BPC，∴EQ∥PC．∴点E与点F的纵坐标相同．将y=3代入抛物线的解析式得：x2+2x﹣3=3，解得：x=﹣1﹣或x=﹣1+ （舍去）．∴点F的坐标为（﹣1 ，3）．∴EF=2﹣（﹣1﹣）=3+初中奥数题试题一一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( )A．a，b都是0 B．a，b之一是0C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( )A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞05．大于－π并且不是自然数的整数有 ( )A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。

北师大版数学九年级下册第二章全章测试题一、选择题(3分×10＝30分)1．(2021，益阳)抛物线y＝2(x－3)2＋1的顶点坐标是( )A．(3，1) B．(3，－1) C．(－3，1) D．(－3，－1)2．若二次函数y＝x2＋bx＋4配方后为y＝(x－2)2＋k，则b、k的值分别为( )A．0，5 B．0，1 C．－4，5 D．－4，03．(2021，衢州)抛物线y＝x2＋bx＋c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y＝(x－1)2－4，则b，c的值分别为( )A．b＝2，c＝－6 B．b＝2，c＝0C．b＝－6，c＝8 D．b＝－6，c＝24．已知二次函数y＝－12x2－7x＋152，若自变量x分别取x1、x2、x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1、y2、y3的大小关系正确的是( )A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y15．已知抛物线y＝x2－2x＋m＋1与x轴有两个不同的交点，则函数y＝mx的大致图象是( )6．某市烟花厂为该市4.18烟花三月经贸旅游特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－52t2＋20t＋1.若这种礼炮点火开空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( ) A．3s B．4s C．5s D．6s7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝12x2经过平移得到抛物线y＝12x2－2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A．2 B．4 C．8 D．168．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则下列叙述正确的是( )A．abc＜0B．－3a＋c＜0C．b2－4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞310．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为()二、填空题(3分×10＝30分)11．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为____________12．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)、(3，0)两点，则它的对称轴为____________________．13．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有_____________(填写所有正确选项的序号)．14．二次函数y＝x2－(m－4)x－m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称，则其顶点坐标为___________．15．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险．16．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是_____，最大值是____．17．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．18．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：(1)开口向下；(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小，这样的二次函数的解析式可以是__________________________________________.19．2021年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－29x2＋89x＋109，则羽毛球飞出的水平距离为__________米．20．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1、M2、M3、…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1、A2、A3…A n、….则顶点M2021的坐标为______________．三、解答题(共60分)21．(7分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求b、c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象．22．(8分)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA.(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．24．(8分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？25．(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm.点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．26．(9分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种工具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．(12分)如图，已知抛物线y＝38x2－34x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案:一、1---10 ADBAA BBBDB 二、11. y＝a(1＋x)212. 直线x＝213. ①③14. (0，－4)15. 会16. －5 417. －118. 答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x －3等．19. 520. (4027，4027)三21. 解：(1)b＝－4，c＝3(2) (2，－1)，x＝2(3)画图略22. 解：(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0，1)(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以(－6)2－4m＝0，m＝9.综上可知，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.23. 解：(1)4(2)①c＝4；②∵y＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，∴m的取值范围为1＜m＜324. 解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600；当x＝140，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．25. 解：(1)y＝－x2＋9x(0＜x≤4)(2)y＝－(x－92)2＋814，∵当0＜x≤92时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.26. 解：(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10(x－20)(x－50)＝－10x2＋700x－10000 (2)∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250，∴当x＝35时，w取到最大值2250.即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元(3)∵w＝－10(x－35)2＋2250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A，20＜x≤30，此时w随x的增大而增大，∴x＝30时，w取到最大值2000.∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元；对于方案B ，则有⎩⎨⎧250－10（x －25）≥10，x －20≥25.解得45≤x ≤49.此时w 随x 的增大而减小．故当x ＝45时，w 取到最大值1250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1250元．两者比较，还是方案A 的最大利润更高．27. 解：(1)∵y ＝38x 2－34x －3，∴当y ＝0时，38x 2－34x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.当x ＝0，y ＝－3.∴A 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－3) (2)∵y＝38x 2－34x －3，∴对称轴为直线x ＝342×38＝1.∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x ＝1对称，∵C 点坐标为(0，－3)，∴M 点坐标为(2，－3)；②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3.当y ＝3时，38x 2－34x －3＝3，解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17，∴M 点坐标为(1＋17，3)或(1－17，3)．综上所述，所求M 点坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)(3)结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1.由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合，∴P 1(－2，0)．∵P 1A ＝6，BC ＝2，∴P 1A≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形；②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2.∵A 点坐标为(4，0)，B 点坐标为(2，－3)，∴直线AB的解析式为y＝32x－6，∴可设直线CP2的解析式为y＝32x＋n，将C点坐标(0，－3)代入，得n＝－3，∴直线CP2的解析式为y＝32x－3.∵点P2在抛物线y＝38x2－34x－3上，∴38x2－34x－3＝32x－3，化简得：x2－6x＝0，解得x1＝0(舍去)，x2＝6，∴点P2横坐标为6，代入直线CP2解析式求得纵坐标为6，∴P2(6，6)．∵AB∥CP2，AB≠CP2，∴四边形ABCP2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P的坐标为(－2，0)或(6，6)．。

2.2 二次函数的图像与性质一、选择题1. 抛物线y ＝( x －2) 2 +3的顶点坐标是（）．A．(2,3) B．(－2,3) C．(2，－3) D．(－2，－3)2. 把抛物线y ＝－x 2 向右平移1个单位，然后向下平移3个单位，则平移后抛物线的表达式为（）．A．y ＝－( x －1) 2 +3 B．y ＝－( x +1) 2 +3 C．y ＝－( x －1) 2 －3 D．y ＝－( x +1) 2 －33. 已知二次函数y ＝－x 2 + bx + c 中函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示，点A ( x 1 ，y 1 )，B ( x 2 ，y 2 )在函数的图象上，当0＜x 1 ＜1，2＜x 2 ＜3时，y 1 与y 2 的大小关系正确的是（）．A．y 1 ≥y 2 B．y 1 2 1 2 ．y 1 ≤y 24. 若把函数y ＝x 的图象用E ( x ，x )表示，函数y ＝2 x +1的图象用E ( x, 2 x +1)表示，…，则E ( x ，x 2 －2 x +1)可以由E ( x ，x 2 )怎样平移得到（）．A．向上平移1个单位B．向下平移1个单位C．向左平移1个单位D．向右平移1个单位5. 下列抛物线中，开口最大的是（）A． B． C．y ＝－x 2 D．6. 抛物线的顶点坐标和对称轴分别是（）A．(1，2)，直线x ＝1B．(－1，2)，直线x ＝－1C．(－4，－5)，直线x ＝－4D．(4，－5)，直线x ＝47. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数关系式是（）A．y ＝x 2 +3 B．y ＝x 2 －3C．y ＝( x +3) 2 D．y ＝( x －3) 28. 已知函数y ＝－3 x 2 +1的图象是抛物线，若该抛物线不动，把x 轴向上平移两个单位，y 轴向左平移一个单位，则该函数在新的直角坐标系内的函数关系式为（）A．y ＝－3( x +1) 2 +2 B．y ＝－3( x －1) 2 －1C．y ＝3( x +1) 2 +2 D．y ＝3( x －1) 2 －29. 在平面直角坐标系中，函数y ＝－x +1与y ＝( x －1) 2 的图象大致是（）10. 二次函数y ＝ax 2 + bx + c 中，b 2 ＝ac ，且x ＝0时，y ＝－4，则（）A．y 最大值＝－4 B．y 最小值＝－4C．y 最大值＝－3 D．y 最小值＝－3二、填空题11. 将y ＝2 x 2 －12 x －12变为y ＝a ( x －m ) 2 + n 的形式，则m n ＝__________.12. 当x ＝__________时，二次函数y ＝x 2 +2 x －2有最小值．13. 抛物线y ＝2 x 2 －bx +3的对称轴是直线x ＝1，则b 的值为__________．14. 已知抛物线y ＝ax 2 + bx + c ( a ＞0)的对称轴为直线x ＝1，且经过点(－1，y 1 )，(2，y 2 )，试比较y 1 和y 2 的大小：y 1 __________ y 2 (填“＞”“＜”或“＝”)．15. 二次函数的一般式为____________；若抛物线的顶点坐标为（h，k），则可设该抛物线的顶点式为____________；若抛物线与x轴交于（x 1 ，0）、（x 2 ，0），则可设该抛物线的两点式为____________.16. 抛物线y=ax 2 +bx+c的形状与y=2x 2 -4x-1相同，对称轴平行于y轴，且x=2时，y有最大值-5，该抛物线关系式为____________.三、解答题17. 已知反比例函数的图象经过点(－1,－2).（1）求y 与x 的函数关系式;（2）若点(2, n )在这个图象上,求n 的值.18.如图所示的二次函数的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）；（2）c>1；（3）2a－b<0；（4）a+b+c<0。

北师大版九年级数学下册 第二章 达标检测题(时间：120分钟 满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．关于函数y ＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是（ C ）A .y 是x 的二次函数B ．二次项系数是－10C ．一次项是100D ．常数项是20 0002．对于二次函数y ＝x 2＋bx ＋c ，若b ＋c ＝0，则二次函数的图象一定过点（ D ）A .(－1，－1)B ．(1，－1)C ．(－1，1)D ．(1，1)3．将抛物线y ＝x 2－4x －4向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到抛物线的函数表达式为（ D ）A .y ＝(x ＋1)2－13B ．y ＝(x －5)2－3C ．y ＝(x －5)2－13D ．y ＝(x ＋1)2－34．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的关系为y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在的高度最高的是( B )A ．第8秒B ．第10秒C ．第12秒D ．第15秒5．对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是（ B ） A.当x >0时，y 随x 的增大而增大 B ．当x ＝2时，y 有最大值－3C ．图象的顶点坐标为(－2，－7)D ．图象与x 轴有两个交点6．(苏州中考)若二次函数y ＝x 2＋bx 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y 轴的直线，则关于x 的方程x 2＋bx ＝5的解为( D )A ．x 1＝0，x 2＝4B ．x 1＝1，x 2＝5C ．x 1＝1，x 2＝－5D ．x 1＝－1，x 2＝57．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是（ D ）8．若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象经过第一、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2－ax（ B ）A.有最大值a 4 B ．有最大值－a 4C ．有最小值a 4D ．有最小值－a 49．已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点A ，与x 轴正半轴交于B ，C 两点，且BC ＝2，S △ABC ＝3，则b 的值为（ B ）A.－5 B ．4或－4 C ．4 D ．－410．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点为(－1，3)，与x 轴的交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则以下结论中正确的个数为（ C ）①若点P (－3，m )，Q (3，n )在抛物线上，则m <n ；②c ＝a ＋3；③a ＋b ＋c <0；④方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．已知二次函数的图象经过(0，3)，(4，3)两点，则该二次函数图象的对称轴为直线x ＝2 .12．在同一直角坐标系下，抛物线y1＝ax2＋bx与直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式ax2＋bx>2x的解集是0<x<2 .13．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y＝－x2＋4x－3 .14．(河南中考)已知点A(4，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3)都在二次函数y＝(x－2)2－1的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y3>y1>y2 .15．已知二次函数y＝－x2＋2bx＋c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b 的取值范围是b≤1 .16．已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是k≤4 .17．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6 m，底部宽度OM为12 m．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C，D两点在抛物线上，A，B两点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是15 m .18．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2) ．三、解答题(共66分)19．(8分)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点．(1)观察图象写出A，B，C三点坐标；(2)求出此二次函数的表达式．解：(1)A(－1，0)，B(0，－3)，C(4，5)．(2)设y ＝ax 2＋bx －3，将A (－1，0)，C (4，5)代入得⎩⎨⎧a －b －3＝0，16a ＋4b －3＝5，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2， ∴二次函数表达式为y ＝x 2－2x －3.20．(10分)(福建中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m .(1)如果二次函数的图象与x 轴有两个交点，求m 的取值范围；(2)如图，二次函数的图象过点A (3，0)，与y 轴交于点B ，直线AB 与这个二次函数图象的对称轴交于点P ，求点P 的坐标．解：(1)由题意得：4＋4m >0，∴m >－1.(2)将A (3，0)代入得：－9＋6＋m ＝0，∴m ＝3，∴B (0，3)，对称轴为直线x ＝1，在Rt △AOB 中，OB ＝OA ＝3，∴∠BAO ＝45°，∵AH ＝2，∴PH ＝2，∴P 的坐标为(1，2)．21.(10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝－12x 2＋2x ＋6的图象交x 轴于点A ，B (点A 在点B 的左侧)．(1)求点A ，B 的坐标，并根据该函数图象写出y ≥0时x 的取值范围；(2)把点B 向上平移m 个单位长度得点B 1.若点B 1向左平移n 个单位长度，将与该二次函数图象上的点B 2重合；若点B 1向左平移(n ＋6)个单位长度，将与该二次函数图象上的点B 3重合．已知m >0，n >0，求m ，n 的值．解：(1)令y ＝0，则－12x 2＋2x ＋6＝0，解得x 1＝－2，x 2＝6， ∴A (－2，0)，B (6，0)．由函数图象得当y ≥0时，－2≤x ≤6. (2)由题意得B 1(6－n ，m )，B 2(－n ，m )．函数图象的对称轴为直线x ＝－2＋62＝2. ∵点B 1，B 2在二次函数图象上且纵坐标相同，∴6－n ＋（－n ）2＝2，∴n ＝1. ∴m ＝－12×(－1)2＋2×(－1)＋6＝72， ∴m ，n 的值分别为72，1.22．(12分)(抚顺中考)一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的销售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：售价x(元/千克)…50607080…销售量y(千克)…100908070…(1)求y(2)该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润W(元)最大？此时的最大利润为多少元？解：(1)y与x的函数关系式为y＝－x＋150(20≤x≤90)．(2)根据题意得(－x＋150)(x－20)＝4 000，解得x1＝70，x2＝100>90(不合题意，舍去)．故该批发商若想获得4 000元的利润，应将售价定为70元．(3)W与x的函数关系式为W＝(－x＋150)(x－20)＝－x2＋170x－3 000＝－(x－85)2＋4 225，∵－1<0，∴当x＝85时，W值最大，W最大值是4 225，∴该产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润最大，此时的最大利润为4 225元．23．(12分)如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y＝a(x－6)2＋h.已知球网O点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.(1)当h＝2.6时，①求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)．②球能否越过球网？球会不会出边界？请说明理由．(2)若球一定能越过球网，又不会出边界，求h的取值范围．解：(1)①当h＝2.6时，有y＝a(x－6)2＋2.6.其图象过点(0，2)，得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60.所以y＝－160(x－6)2＋2.6.②当h＝2.6时，由(1)知y＝－160(x－6)2＋2.6.由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45>2.43，所以球能越过球网；由－160(x－6)2＋2.6＝0，x>0，得x＝6＋156>18.或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2>0，所以球落地时会出界．(2)根据题设知y＝a(x－6)2＋h.由图象经过点(0，2)，得36a＋h＝2，①由球能越过球网，得9a＋h>2.43，②由球不出边界，得144a＋h≤0.③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥83.24.(14分)如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象与x 轴交于点B (－2，0)，点C (8，0)，与y 轴交于点A .(1)求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的表达式；(2)连接AC ，AB ，若点N 在线段BC 上运动(不与点B ，C 重合)，过点N 作NM ∥AC ，交AB 于点M ，当△AMN 面积最大时，求点N 的坐标；(3)连接OM ，在(2)的结论下，求OM 与AC 的数量关系．解：(1)将点B ，C 的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋4，得⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋4＝0，64a ＋8b ＋4＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－14，b ＝32. ∴二次函数的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4. (2)设点N 的坐标为(n ，0)(－2<n <8)，则BN ＝n ＋2，CN ＝8－n . ∵B (－2，0)，C (8，0)，∴BC ＝10.在y ＝－14x 2＋32x ＋4中， 令x ＝0，则y ＝4.∴点A (0，4)，OA ＝4.∴S △ABN ＝12BN ·OA ＝12(n ＋2)×4＝2(n ＋2)． ∵MN ∥AC ，∴AM AB ＝NC BC ＝8－n 10，∴S △AMN S △ABN ＝AM AB＝8－n 10， ∴S △AMN ＝8－n 10S △ABN ＝15(8－n )(n ＋2)＝－15(n －3)2＋5. ∵－15<0，∴当△AMN 的面积最大时，n ＝3，即N (3，0)． (3)当N (3，0)时，N 为BC 边的中点．∵MN ∥AC ，∴M 为AB 边中点，∴OM ＝12AB . ∵AB ＝OA 2＋OB 2＝25，AC ＝OC 2＋OA 2＝45，∴AB ＝12AC ，∴OM ＝14AC .。

北师大九年级数学下册第二章二次函数单元检测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（）A.y=1x2+x B.y=ax2+bx+cC.y=x2−(x+7)2D.y=(x+1)(2x−1)2. 已知二次函数y=x2+(m−1)x+1，当x>1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（）A.m=−1B.m=3C.m≤−1D.m≥−13. 已知α，β是关于x的方程(x−a)(x−b)−1=0的两实根，实数a、b、α、β的大小关系可能是（）A.α<a<b<βB.a<α<β<bC.a<α<b<βD.α<a<β<b4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①a<0，②b<0，③c>0，④4a+2b+c=0，⑤b+2a=0，⑥b2−4ac>0其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个5. 关于抛物线y=(x−1)2+2，下列结论中不正确是（）A.对称轴为直线x=1B.当x<1时，y随x的增大而减小C.与x轴没有交点D.与y轴交于点(0, 2)6. 将抛物线y=2x2向上平移5个单位，再向右平移3个单位，所得到的新抛物线的解析式为（）A.y=2(x−5)2+3B.y=2(x+5)2+3C.y=2(x−3)2+5D.y=2(x+3)2+57. 若二次函数y=x2−6x+c的图象过A(−1, y1)，B(2, y2)，C(5, y3)，则y1，y2，y3的大小关系是（）A.y1>y2>y3B.y1>y3>y2C.y2>y1>y3D.y3>y1>y28. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么点(ac ,bc)在平面直角坐标系中的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在“①a<0，②b>0，③c<0，④b2−4ac>0”中正确的判断是（）A.①②③④B.④C.①②③D.①④10. 如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B(0, −2)．它与反比例函数y=−8x的图象交于点A(m, 4)，则这个二次函数的解析式为（）A.y=x2−x−2B.y=x2−x+2C.y=x2+x−2D.y=x2+x+2二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 将抛物线y=12x2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的解析式为________．12. 一个边长为2cm的正方形，若边长增加xcm，面积增加ycm，则y与x之间的函数关系式为________．13. 二次函数y=x2+kx+1与y=x2+x+k有相同的最小值，则k=________．14. 一男生在校运动会比赛中推铅球，铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式为y=−112x2+23x+53，则铅球被推出的水平距离为________m．15. 小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：若输入的数据是x时，输出的数据是y，y是x的二次函数，则y与x的函数表达式为________．16. 抛物线y=x2−2x−3配方后得________，它的顶点坐标是________．17. 正方形的边长是4，如果边长增加x，面积就增加y，那么y与x之间的函数关系式为________．18. 已知老王一个月销售某种服装x（件）与获得利润y（元）满足关系式：y=−x2+1200x−120000，则当一个月卖出________件衣服时，获得最大利润________元．19. 二次函数y=−(x−1)2+2，向左平移3个单位，再向下平移7个单位得到函数：________．20. 小强从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，观察得出了下面几条信息：(1)a<0；(2)b<0；(3)a+b+c>0；(4)a−b+c>0；(5)2a+b>0；(6)4ac−b2<0你认为其中正确信息的个数有________．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分，）21. 二次函数y=−x2+(3m+1)x−4m+1的图象交x轴于A，B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C(0, −3)．(1)求m的值；(2)若抛物线的顶点为P，求以A，B，C，P为顶点的四边形的面积．22. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A(1, 0)和点B，与y轴交于点C(0, 6)，对称轴为直线x=2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．23. 已知：二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(2, 5)，C(0, −3)．(1)求此二次函数的解析式；(2)求出该抛物线与x轴的交点坐标；(3)直接写出当−3≤x≤1时，y的取值范围．24. 如图，已知A(2, 2)，B(3, 0)．动点P(m, 0)在线段OB上移动，过点P作直线l与x轴垂直．(1)设△OAB中位于直线l左侧部分的面积为S，写出S与m之间的函数关系式；(2)试问是否存在点P，使直线l平分△OAB的面积？若有，求出点P的坐标；若无，请说明理由．25. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C(0, 3)，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0)．点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形ABPC的最大面积．26. 湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本=放养总费用+收购成本）．（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m(kg)，销售单价为y元/kg．根据以往经验可知：m与t 的函数关系为m ={20000(0≤t ≤50)100t +15000(50<t ≤100) ；y 与t 的函数关系如图所示． ①分别求出当0≤t ≤50和50<t ≤100时，y 与t 的函数关系式；②设将这批淡水鱼放养t 天后一次性出售所得利润为W 元，求当t 为何值时，W 最大？并求出最大值．（利润=销售总额-总成本）学答案1. D2. D3. A4. D5. D6. C7. B8. C9. D10. A(x+1)2+211. y=1212. y=x2+4x13. 1或−514. 1015. y =x 2+116. y =(x −1)2−4(1, −4) 17. y =x 2+8x 18. 600240000 19. y =−(x +2)2−5 20. ①③⑤⑥21. 解：(1)把点C(0, −3)代入y =−x 2+(3m +1)x −4m +1得， −4m +1=−3，解得：m =1；(2)抛物线解析式为：y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1， ∴P(2, 1)，令y =0，则−x 2+4x −3=0， 解得：x 1=3，x 2=1， ∴A(1, 0)、B(3, 0)，∴S 四边形ACBP =S △ABP +S △ABC =12×2×1+12×2×3=4． 22. 解：设二次函数解析式为y =a(x −2)2+k ， 把A(1, 0)，C(0, 6)代入得：{a +k =04a +k =6，解得：{a =2k =−2，则二次函数解析式为y =2(x −2)2−2=2x 2−8x +6，二次函数图象的最低点，即顶点坐标为(2, −2)．23. 解：(1)将A(2, 5)，C(0, −3)代入二次函数解析式得：{4+2b +c =5c =−3，解得：{b =2c =−3，则二次函数解析式为y =x 2+2x −3；(2)二次函数y =x 2+2x −3， 令y =0，得到x 2+2x −3=0，即(x −1)(x +3)=0， 解得：x =1或x =−3，则该抛物线与x 轴的交点坐标为(1, 0)，(−3, 0)；(3)作出函数图象，如图所示：根据图象得：当−3≤x ≤1时，y 的取值范围为−4≤y ≤0． 24. 在这样的P 点，使l 平分△OAB 的面积，点P 的坐标为(√3, 0)． 25. 解：(1)将B 、C 两点的坐标代入得{9+3b +c =0c =3，解得{b =2c =3．所以二次函数的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)如图，，存在点P ，使四边形POP′C 为菱形． 设P 点坐标为(x, −x 2+2x +3)， PP′交CO 于E若四边形POPC 是菱形，则有PC =PO ． 连接PP 则PE ⊥CO 于E ． ∴OE =CE =32， ∴y =32．∴−x 2+2x +3=32 解得x 1=2+√102，x 2=2−√102（不合题意，舍去）∴P 点的坐标为(2+√102,32)．(3)如图1，，过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P(x, −x 2+2x +3)易得，直线BC 的解析式为y =−x +3．则Q 点的坐标为(x, −x +3)．PQ =−x 2+3x ．S 四边形ABPC =S △ABC +S △BPQ +S △CPQ =12AB ⋅OC +12QP ⋅BF +12QP ⋅OF =12×4×3+12(−x 2+3x)×3 =−32(x −32)2+758， 当x =32时，四边形ABPC 的面积最大此时P 点的坐标为(32,154)，四边形ABPC 面积的最大值为758．26. 由题意，得：{10a +b =30.420a +b =30.8， 解得{a =0.04b =30， 答：a 的值为0.04，b 的值为30；①当0≤t ≤50时，设y 与t 的函数解析式为y =k 1t +n 1，将(0, 15)、(50, 25)代入，得：{n 1=1550k 1+n 1=25， 解得：{k 1=15n 1=15， ∴y 与t 的函数解析式为y =15t +15；当50<t ≤100时，设y 与t 的函数解析式为y =k 2t +n 2，将点(50, 25)、(100, 20)代入，得：{50k 2+n 2=25100k 2+n 2=20， 解得：{k 2=−110n 2=30， ∴y 与t 的函数解析式为y =−110t +30；②由题意，当0≤t ≤50时，W=20000(1t+15)−(400t+300000)=3600t，5∴3600>0，∴当t=50时，W最大值=180000（元）；t+30)−(400t+300000)当50<t≤100时，W=(100t+15000)(−110=−10t2+1100t+150000=−10(t−55)2+180250，∴−10<0，∴当t=55时，W最大值=180250（元），综上所述，放养55天时，W最大，最大值为180250元．。

【九年级】九年级数学下第二章二次函数单元测试题（北师大有答案）第二章二次函数一、选择题1.二次函数y=x2+4x?5的图象的对称轴为（）a.x=?4b.x=4c.x=?2d.x=22.二次函数y=（x?1）2?2的顶点座标就是（）a.（1，?2）b.（?1，2）c.（?1，?2）d.（1，2）3.必须获得函数y=2x2-1的图象，应当将函数y=2x2的图象（）a.沿x轴向左平移1个单位b.沿x轴向右平移1个单位c.沿y轴向上位移1个单位d.沿y轴向上位移1个单位4.若a（?3，y1），b（?1，y2），c（2，y3）为二次函数y=x2?2x?3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）a.y1＜y2＜y3b.y2＜y1＜y3c.y3＜y2＜y1d.y3＜y1＜y25.已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过( )a.一、二、三象限b.二、三、四象限c.一、三、四象限d.一、二、三、四象限6.方程ax2+bx+c=0的两个根是－3和1，那么二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线（）a.x＝－3b.x＝－2c.x＝－1d.x＝17.若将函数y=2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）a.y=2（x?1）2?3b.y=2（x?1）2+3c.y=2（x+1）2?3d.y=2（x+1）2+38.二次函数y=3（x?h）2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（）a.h＞0，k＞0b.h＞0，k＜0c.h＜0，k＞0d.h＜0，k＜09.y=x2＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）a.a=5b.a≥5c.a＝3d.a≥310.抛物线y=?3x2+2x?1与坐标轴的交点个数为（）a.0个b.1个c.2个d.3个11.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac?b2=4a；④（a+c）2?b2＜0．其中正确的个数是（）a.1个b.2个c.3个d.4个二、填空题12.抛物线y=?2（x?3）2+4的顶点座标就是________．13.若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=x2?4x+3的图象关于y轴对称，则函数y=ax2+bx+c的解析式为________．14.二次函数y=（x?2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的减小而增大，则m的值域范围就是________．15.抛物线y=?x2?2x+3与x轴交点为________．16.）若二次函数y=x2+2x+m的图象与x轴没公共点，则m的值域范围就是________17.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是________．18.若将抛物线y=x2-4x-3的图像向右位移3个单位，则税金抛物线的解析式就是________．19.二次函数y=（a?1）x2?x+a2?1的图象经过原点，则a的值为________．三、答疑题20.已知是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．21.未知二次函数y=ax2+bx+3的图象过点（?1，8）、（1，0），谋这个二次函数的表达式．22.已知二次函数y=?x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴存有两个交点，谋m的值域范围；（2）如图，二次函数的图象过点a（3，0），与y轴交于点b，直线ab与这个二次函数图象的对称轴交于点p，求点p的坐标．（3）根据图象轻易写下并使一次函数值大于二次函数值的x的值域范围．23.如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点a和点b，与y轴交于点c，且点a的坐标为（?1，0）（1）谋抛物线的解析式，以及b、c两点的座标；（2）求过o，b，c三点的圆的面积．（结果保留π）参考答案一、选择题cadcdcdbbbd二、填空题12.（3，4）13.y=x2+4x+314.m≥115.（?3，0），（1，0）16.m＞117.x＜?1或x＞518.y=x2-10x+18．19.?1三、答疑题20.解：∵是x的二次函数，∴，Champsaurm=3或m=?1，∴此二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．21.求解：把（?1，8）、（1，0）代入y=ax2+bx+3得，Champsaur，所以二次函数的解析式为y=x2?4x+322.（1）解：∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0∴m＞?1（2）求解：∵二次函数的图象过点a（3，0），∴0=?9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为：y=?x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴b（0，3），设立直线ab的解析式为：y=kx+b，∴，解得：，∴直线ab的解析式为：y=?x+3，∵抛物线y=?x2+2x+3，的对称轴为：x=1，∴把x=1代入y=?x+3得y=2，∴p（1，2）（3）求解：根据函数图象所述：x＜0或x＞323.（1）解：由题意得：解得：，∴抛物线解析式为：y=x2?4x?5，当x=0时，x2?4x?5=0，（x+1）（x?5）=0，x1=?1，x2=5，∴a（?1，0），b（5，0），当x=0时，y=?5，∴c（0，?5），∴抛物线解析式为y=x2?4x?5，b点坐标为（5，0），c点坐标为（0，?5）（2）求解：相连接bc，则△obc就是直角三角形，∴过o、b、c三点的圆的直径就是线段bc的长度，在rt△obc中，ob=oc=5，∴bc=5，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π。

一、选择题1．若二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，与y 轴交于正半轴，则下列说法中正确的是（ ）A ．该函数图象的对称轴是直线2x =B ．该函数图象与y 轴有可能交于点()0,2C ．若点()11,A c y -，()2,B c y 是该函数图象上的两点，则12y y <D ．该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧2．抛物线222=++y x x 与y 轴的交点坐标为（ ）A ．（1，0）B ．（0，1）C ．（0，0）D ．（0，2） 3．抛物线221y x =--的顶点坐标是（ ）A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(0,1)-D ．(0,1) 4．小凯在画一个开口向上的二次函数图象时，列出如下表格：x… -1 0 1 2 … y … 1 2 1 1 …A ．(-1，1)B ．(0，2)C ．(1，1)D ．(2，1) 5．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①a ＞0；②b ＞0； ③方程ax 2+bx +c ＝0的两个根是x 1＝﹣1，x 2＝3；④当y ＞0时，x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；其中结论正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象经过点（－1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0abc >；②420a b c -+<；③20a b -<；④284b a ac +>．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．当函数21(1)23ay a x x +=-++ 是二次函数时，a 的取值为（ ） A ．1a = B ．1a =±C ．1a ≠D ．1a =- 8．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，若方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，下列结论中：①0bc >；②4b a =；③0a b c -+>；④540b c +=．其中所有正确的结论有（ ）A ．①②B ．③④C ．②③④D ．②③ 9．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从点A 出发，沿A B C →→的路线运动，当点E 到达点C 时停止运动．若FE AE ⊥，交CD 于点F 设点E 运动的路程为x ，FC y =，已知y 关于x 的图象如图2所示，则m 的值为（ ）A 2B ．2C ．1D ．2310．对于抛物线22()1y x =-+，下列说法错误的是（ ）A ．抛物线的开口向上B ．抛物线与x 轴有两个交点C ．抛物线的对称轴是2x =D ．抛物线的顶点坐标是(2,1)11．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出下列四个结论：①240b ac -<；②0a b c ++<；③2a b >；④0abc >，其中正确的结论是（ ）． A ．①②B ．②④C ．③④D ．②③④ 12．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m > 二、填空题 13．如图，二次函数2y ax bx c =++与反比例函数k y x=的图象相交于点()()()1231,1,3,A y B y C y -、、三个点，则不等式2kax bx c x ++>的解是____．14．用一根长为24cm 的绳子围成一个矩形，则围成矩形的最大面积是_____cm 2． 15．若A （m-2，n ），B （m+2，n ）为抛物线2()2020y x h =--+上两点，则n=_______．16．抛物线y ＝a （x ﹣2）（x ﹣2a ）（a 是不等于0的整数）顶点的纵坐标是一个正整数，则a 等于_____．17．在平面直角坐标系中，把抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后，再向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为__________．18．如图，矩形OABC 中，3OA =，5AB =，抛物线2y x bx c =++的顶点为P ，且经过点(),M m n 和()4,N m n +，其中点M ，N 位于矩形OABC 的内部（不含边界），则MNP ∆的面积是___________，b c +的取值范围是___________．19．如图，已知点()6,0A ，O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数1y 和过P 、A 两点的二次函数2y 的图像开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当5OD AD ==时，这两个二次函数的最大值之和等于________．20．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表：该二次函数图象向左平移____________个单位，图象经过原点．x… ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 …三、解答题21．某旅馆有客房120间，经市场调查发现，客房每天的出租数量y （间）与每间房的日租金x （元）的关系如图所示，为保证旅馆的收益，每天出租的房间数不少于90间． （1）结合图象，求出客房每天的出租的房间数y （间）与每间房的日租金x （元）之间的函数关系式和自变量的取值范围；（2）设客房的日租金总收入为W （元），不考虑其它因素，旅馆将每间客房的日租金定为多少元时，客房的日租金总收入最高？最高总收入为多少？22．如图，抛物线2y x bx c =+-与x 轴交于A (-1，0)，B (3，0)两点，直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求抛物线及直线AC 的函数表达式；（2）点M 是线段AC 上的点（不与A ，C 重合）过M 作MF //y 轴交抛物线于F ，若点M 的横坐标为m ，请用含m 的代数式表示MF 的长．23．已知抛物线23(0)y ax bx a =+-≠经过(1,0)(3,0)A B -，两点，C 点是抛物线与y 轴交点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得ACM △的周长最短？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图（1），已知抛物线C 1：y ＝﹣x 2+2x +3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ，抛物线C 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E （4，0），与y 轴交于点D （0，﹣2）．（1）求抛物线C 2的解析式；（2）点P （m ，0）为线段AB 上一动点（不与A 、B 重合），过点P 作y 轴的平行线交抛物线C 1于点M ，交抛物线C 2于点N ．①请用含m 的代数式分别表示点M 、N 的坐标；②设四边形OMEN 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当S 的最大值以及此时m 的值；③在点P 移动的过程中，若CM ＝DN ≠0，则m 的值为 ．（3）如图（2），点Q （0，n ）为y 轴上一动点（0＜n ＜4），过点Q 作x 轴的平行线依次交两条抛物线于点R 、S 、T 、U ，则TU ﹣RS ＝ ．25．已知直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A 和B ，且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．（1）抛物线与x 轴的另一个交点C 的坐标为 ；（2）试确定抛物线的解析式；（3）在同一平面直角坐标系中分别画出两个函数的图象（请用2B 铅笔或黑色水笔加黑加粗），观察图象，写出二次函数值小于一次函数值的自变量x 的取值范围 ．26．如图，已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C 且AB ＝6，抛物线的对称轴为直线x ＝1（1）抛物线的解析式；（2）x 轴上A 点的左侧有一点E ，满足S △ECO ＝4S △ACO ，求直线EC 的解析式．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次函数的对称轴公式可判断A ，根据函数图像与x 轴的交点求出c 的取值范围，可判断B ，根据c 的取值范围，结合函数的增减性可判断C ，根据函数的开口方向，对称轴，以及与y 轴交于正半轴可判断D ．【详解】解：在二次函数22y x x c =-+中，对称轴为直线x =221--⨯=1，开口向上， ∵二次函数22y x x c =-+的图象与x 轴有两个交点，则对应方程220x x c -+=中，△=()224c --＞0， ∴c ＜1，∵与y 轴交于正半轴，∴c ＞0，即0＜c ＜1，∴该函数图象与y 轴不可能交于点()0,2，∴-1＜c -1＜0， ∵函数开口向上，∴当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∴点()11,A c y -，()2,B c y 都在对称轴左侧，∴12y y >，∵对称轴为直线x =221--⨯=1，与y 轴交于正半轴，开口向上， ∴该函数图象与x 轴的交点一定位于y 轴的右侧，故选D ．【点睛】 本题考查了二次函数的对称轴，增减性，图像性质，解题的关键是掌握二次函数的性质，结合图像回答问题．2．D解析：D【分析】令x=0，则y=2，抛物线与y 轴的交点为 (0，2)【详解】令x=0，则y=2，∴抛物线与y 轴的交点为(0，2)，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，会求函数图象与坐标轴的交点是解题的关键；3．C解析：C【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．【详解】解：∵y=-2x 2-1，∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．4．A解析：A【分析】观察图表数据，根据二次函数的对称性即可判断出计算错误的一组数据，然后再利用二次函数的增减性得出结论．【详解】解：观察y值发现y =1时x有三个不同的值，因此这三个值中必有一对计算错误.由二次函数的对称性：如果（-1，1），（1，1）是图象的两个对称点，那么根据描点得到这个函数图象的开口应该是向下的．同理若（-1，1），（2，1）是两个对称点，那么该函数图象的开口也是向下的，所以（1，1），（2，1）是图象的两个对称点，因此该图像的对称轴为直线03 2x=，根据二次函数的增减性，当开口向上时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，所以1x=-时，y 一定是大于1的，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象，找出图表数据特点，根据函数的对称性解答即可，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．5．B解析：B【分析】根据抛物线与系数的关系判断即可．【详解】解：抛物线开口向下，a<0，故①错误；对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0,故②正确；抛物线与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，根据对称性，另一个交点为（3,0），故③正确；根据图象可知，x的取值范围是﹣1＜x＜3时；抛物线在x轴上方，故④正确；故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．6．D解析：D【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①∵a ＜0，2b a-＜0， ∴b ＜0．∵抛物线交y 轴与正半轴，∴c ＞0．∴abc ＞0，故①正确．②根据图象知，当x=-2时，y ＜0，即4a-2b+c ＜0；故②正确；③∵该函数图象的开口向下，∴a ＜0； 又∵对称轴-1＜x=2b a-＜0， ∴2a-b ＜0，故③正确； ④∵y=244ac b a-＞2，a ＜0， ∴4ac-b 2＜8a ，即b 2+8a ＞4ac ，故④正确．综上所述，正确的结论有①②③④．故答案为：D ．【点睛】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握，掌握相关性质是解题的关键．7．D解析：D【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可．【详解】∵函数21(1)23a y a x x +=-++ 是二次函数，∴a-1≠0，2a 1+=2，∴a≠1，21a =，∴1a =-，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 8．C解析：C【分析】由方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-方程变为2450ax ax a +-=，比较系数得4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确，②4b a =正确，③80a b c a -+=->③正确，④54b c +换成a 计算即可确定④正确．【详解】解：二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象开口向下，0a <，∵方程20ax bx c ++=的两个根为11x =，25x =-，∴()()150a x x -+=，∴2450ax ax a +-=，比较系数得：4=5b a c a =-，，①()245200bc a a a =⋅-=-<，故①不正确， ②4b a =正确，③4580a b c a a a a -+=--=->，③正确，④()54=544520200b c a a a a +⨯+⨯-=-=，④正确．故选择：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，掌握一元二次方程的根与系数关系，二次函数的性质，解题关键是找出b,c 与a 的关系．9．D解析：D【分析】分别求出点E 在AB 、BC 段运动时函数的表达式，即可求解．【详解】解：由图2可知，AB=6，BC=10-6=4，①当点E 在AB 上运动时，y=FC=BE=AB-AE=6-x ，即y=6-x （0≤x≤6），图象为一次函数；②当点E 在BC 上运动时，如下图，则BE=x-AB=x-6，EC=BC-BE=4-（x-6）=10-x ， FC=y ，AB=6，∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠FEC=∠EAB ，∴∠CFE=∠AEB ，∴△ABE ∽△ECF ，∴BE AB CF CE=，即6610x y x -=-， 整理得：()2181061063y x x x =-+-<≤，图象为二次函数， ∵106-<， 故()2218121086363y x x x =-+-=--+有最大值，最大值为23， 即23m =， 故选：D ．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、一次函数、相似三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．10．B解析：B【分析】根据抛物线的性质逐条判断即可．【详解】解：抛物线22()1y x =-+是二次函数的顶点式，由此可知，抛物线开口向上，对称轴是2x =，顶点坐标是(2,1)，故A 、C 、D 正确，不符合题意；∵抛物线顶点在第一象限，开口向上，∴抛物线与x 轴没有交点，故B 错误，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，解题关键是熟知抛物线顶点式的意义，根据顶点位置和开口确定与x 轴是否有交点． 11．B解析：B【分析】根据抛物线与x 轴交点可判断①；根据x=1时，y ＜0，可判断②；对称轴x=-1可判断③；根据抛物线开口方向、对称轴、与y 轴交点可判断④．【详解】解：①由抛物线图象与x 轴有两个交点可知240b ac ->，故①错误；②由图象知，当x=1时，y=a+b+c ＜0，故②正确；③抛物线对称轴x=-1，即-2b a=-1＜0，即b=2a ＜0，即③错误；④由抛物线图象得：开口向下，即a ＜0；c ＞0，b ＜0，∴abc ＞0，故④正确； 所以正确的有：②④，故选：B ．【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，掌握二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定是解题的关键． 12．D解析：D【分析】 作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =， ∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m ⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=，解得：134m =，134m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题13．或【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分找出x 的范围即可【详解】解：不等式的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分∴不等式的解为或故答案为：或【点睛】本 解析：10x -<<或13x <<【分析】不等式的解集对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，找出x 的范围即可．【详解】 解：不等式2k ax bx c x++>的解对应图象上面为二次函数图象比反比例函数图象高的部分，∴不等式2k ax bx c x++>的解为10x -<<或13x <<， 故答案为：10x -<<或13x <<．【点睛】本题考查利用函数图象解不等式，即比较图象的高低．14．36【分析】设围成矩形的长为xcm 则宽为＝（12﹣x ）cm 设围成矩形的面积为Scm2根据矩形的面积公式列出S 关于x 的二次函数将其写成顶点式根据二次函数的性质可得答案【详解】解：设围成矩形的长为xcm解析：36【分析】设围成矩形的长为xcm ，则宽为2422x -＝（12﹣x ） cm ，设围成矩形的面积为Scm 2，根据矩形的面积公式列出S 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．【详解】解：设围成矩形的长为xcm ，则宽为2422x - ＝（12﹣x ） cm ， 设围成矩形的面积为Scm 2，由题意得：S ＝x （12﹣x ）＝﹣x 2+12x＝﹣（x ﹣6）2+36，∵二次项系数为负，抛物线开口向下，∴当x ＝6cm 时，S 有最大值，最大值为36cm 2．故答案为：36．【点睛】本题考查了二次函数在几何图形问题中的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 15．2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线的对称轴为再利用m-2+m+2=2h 解得m=h 则可得A （h−2n ）B （h ＋2n ）将B （h ＋2n ）代入函数关系式即可求出结果【详解】解：∵A （m-2n解析：2016【分析】根据二次函数的图象与性质可得抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，再利用m-2+m+2=2h ，解得m=h ，则可得A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），将B （h ＋2，n ）代入函数关系式即可求出结果．【详解】解：∵A （m-2，n ），B （m+2，n ）是抛物线2()2020y x h =--+上两点， ∴抛物线2()2020y x h =--+的对称轴为x h =，∴m-2+m+2=2h ，解得m=h ，∴A （h−2，n ），B （h ＋2，n ），当x ＝h ＋2时，n ＝−（h ＋2−h ）2＋2020＝2016，故答案为：2016．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数图象上的点的坐标特征并灵活运用所学知识解决问题．16．-1【分析】令y=0时则有则有进而可得对称轴为直线然后可求抛物线顶点纵坐标为由此可得当a 不为±1时纵坐标不为整数进而可求解a 的值【详解】解：由题意得：令y=0时则有解得：∴抛物线与x 轴交点的坐标为由解析：-1【分析】令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则有122,2x x a==，进而可得对称轴为直线11x a =+，然后可求抛物线顶点纵坐标为12a a--+，由此可得当a 不为±1时，纵坐标不为整数，进而可求解a 的值．【详解】解：由题意得：令y=0时，则有()220a x x a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 解得：122,2x x a==， ∴抛物线与x 轴交点的坐标为()2,0,2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由抛物线的对称性可得对称轴为直线11x a =+， ∴把11x a =+代入抛物线解析式得顶点纵坐标为12y a a=--+， ∵顶点的纵坐标是一个正整数且a 是不等于0的整数，∴1a =±，当1a =时，y=0（不符合题意，舍去）；当1a =-时，y=4，（符合题意）∴1a =-；故答案为-1．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．【分析】先求出抛物线绕其顶点旋转后解析式再根据平移规律即可求解【详解】解：抛物线先绕其顶点旋转后解析式为将抛物线向右平移个单位向下平移个单位后的抛物线解析式为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线图象与 解析：2(2)1=---y x【分析】先求出抛物线22y x =+绕其顶点旋转180︒后解析式，再根据平移规律即可求解．【详解】解：抛物线22y x =+先绕其顶点旋转180︒后解析式为22y x =-+，将抛物线22y x =-+向右平移2个单位，向下平移3个单位后的抛物线解析式为()212y x =---．故答案为：2(2)1=---y x【点睛】本题考查了抛物线图象与几何变换，熟知二次函数图象旋转与平移规律是解题关键． 18．【分析】根据题意先把抛物线的一次项系数和常数项用含的式子表示出来从而表示出点P 的坐标再利用两点间的距离求出MN 的长和点P 到MN 的距离即可求出三角形的面积；再根据点MN 在矩形内部求出的范围进而可求的范 解析：42b c -<+<【分析】根据题意，先把抛物线的一次项系数和常数项用含,m n 的式子表示出来，从而表示出点P 的坐标，再利用两点间的距离求出MN 的长，和点P 到MN 的距离，即可求出三角形的面积；再根据点M ，N 在矩形内部求出,m n 的范围，进而可求b c +的范围【详解】点M 和点N 的纵坐标均为n 可知，M 与N 关于对称轴对称，点M （m 、n ）点N （4m +、n ）∴MN 的距离为：44m m +-=∴点P 的横坐标为：2m +抛物线2y x bx c =++的对称轴为：2b x =- 22b m ∴-=+ 24b m ∴=--将点 M （m 、n ）代入2y x bx c =++得：2m bm c n ++=，则24c m m n =++①，点P 为抛物线的顶点，则点P 的纵坐标为：22244416164444ac b c m m c m m a ----==---，将①式代入得P 点的坐标为（2m +、4n -）∴点P 到MN 的距离为：()44n n --=14482PMN S ∴=⨯⨯=△ 2224424b c m m m n m m n +=--+++=++-②点M 在矩形的内部，045m m >⎧∴⎨+<⎩01m ∴<<点N 在矩形的内部03n ∴<<代入②式有：42b c -<+<故答案为：①8；②42b c -<+<【点睛】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像上点的特征，解题关键是用含,m n 式子表示出点P 的坐标，结合题意求出,m n 的范围19．4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F 过D 作DE ⊥OA 于E 过C 作CM ⊥OA 于M 则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和BF ∥DE ∥CM 求出AE=OE=3DE=4设P （2x0）根据二次函数的对称性得出OF=P解析：4【分析】过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，则BF+CM 是这两个二次函数的最大值之和，BF ∥DE ∥CM ，求出AE=OE=3，DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，推出△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，得出BF OF DE OE =，CM AM DE AE=，代入求出BF 和CM ，相加即可求出答案． 【详解】解：过B 作BF ⊥OA 于F ，过D 作DE ⊥OA 于E ，过C 作CM ⊥OA 于M ，∵BF ⊥OA ，DE ⊥OA ，CM ⊥OA ，∴BF ∥DE ∥CM ，∵OD=AD=5，DE ⊥OA ，∴OE=EA=12OA=3， 由勾股定理得：DE=4．设P （2x ，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x ，∵BF ∥DE ∥CM ，∴△OBF ∽△ODE ，△ACM ∽△ADE ，∴BF OF DE OE =，CM AM DE AE=， ∵AM=PM=12（OA-OP ）=12（6-2x ）=3-x ， 即43BF x =，343CM x -=， 解得：BF=43x ，CM=4-43x ， ∴BF+CM=4．故答案为4．【点睛】 此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质，以及相似三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．20．3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（30）可得结论【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝＝∵抛物线与x 轴一个交点为（−20）∴抛物线与x 轴另一个交点为（30）∴该二次解析：3【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），可得结论．【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x ＝012+＝12， ∵抛物线与x 轴一个交点为（−2，0），∴抛物线与x 轴另一个交点为（3，0），∴该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移2个单位，图象经过原点．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换−平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决． 三、解答题21．（1）32165y x =-+，160210x ≤≤；（2）每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元【分析】（1）首先假设出一次函数解析式，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数，再利用配方法求出二次函数的最值即可．【详解】解：(1)设客房每天的出租数量y （间)与每间房的日租金x （元)之间的函数关系式(0)y kx b k =+≠．把(160,120)，(170,114)代入得160120170114k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得35216k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴ 32165y x =-+， 由题意得：321690532161205x ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ ∴160210x ≤≤∴自变量x 的取值范围是160210x ≤≤（2）由题意得：()2332161801944055W y x x x x ⎛⎫=⋅=-+⋅=--+ ⎪⎝⎭∵305-＜，160210x ≤≤ ∴当180x =时，19440w =最大．答：每间客房的日租金定为180元时，客房日租金的总收入最高为19440元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，得出客房日租金的总收入为W=每间客房的日租金×每天客房出租数是解题关键． 22．（1）223y x x =--，1y x =--；（2）22MF m m =-++【分析】（1）把点A 和点B 的坐标代入抛物线解析式求出b 和c 的值即可求出抛物线解析式；再把点C 的横坐标代入已求出的抛物线解析式可求出其纵坐标，进而可求出直线AC 的表达式；（2）已知点M 的横坐标为m ，点M 又在直线AB 上，所以可求出其纵坐标，而点F 在抛物线上，所以可求出其纵坐标，进而可用m 的代数式表示MF 的长．【详解】解：（1）把A （-1，0）、B （3，0）代入y=x 2+bx-c 得：01093b c b c--⎧⎨+-⎩＝＝， 解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴解析式为：y=x 2-2x-3，把x=2代入y=x 2-2x-3得y=-3，∴C （2，-3），设直线AC 的解析式为y=kx+n ，把A （-1，0）、C （2，-3）代入得023k n k n -+=⎧⎨+=-⎩， 解得：11k n =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为1y x =--；（2）∵点M 在直线AC 上，∴M 的坐标为（m ，-m-1）；∵点F 在抛物线y=x 2-2x-3上，∴F 点的坐标为（m ，m 2-2m-3），∴MF=（-m-1）-（ m 2-2m-3）=-m 2+m+2．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、待定系数法求一次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中用m 表示出点M 、F 的坐标是解题的关键．23．（1）223y x x =--；（2）在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【分析】（1）利用待定系数法即可得出结论；（2）点确定出点M 时直线BC 与直线l 的交点，利用待定系数法求出直线BC 解析式即可得出结论；【详解】解：（1）把(1,0)A -，(3,0)B 代入23y ax bx =+-得，309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩， 解得，12a b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线的解析式为223y x x =--； （2）抛物线223y x x =--的对称轴为212x -=-=， 点M 在对称轴1x =上，且ACM ∆的周长最短，MC MA ∴+最小，点A 、点B 关于直线1x =对称，∴连接BC 交直线1x =于点M ，此时MC MA +最小，设直线BC 的关系式为y kx b =+，(3,0)B ，(0,3)C -，∴303k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得，13k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 的关系式为3y x =-，当1x =时，132y =-=-，∴点(1,2)M -，∴在抛物线的对称轴上存在一点M ，使得ACM ∆的周长最短，此时(1,2)M -．【点睛】此题时二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，解题关键时掌握待定系数法，和判断出点M 的位置，24．（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）①M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，12m 2﹣32m ﹣2）；②S AMBN ＝﹣3m 2+7m +10（﹣1＜m ＜3），当m ＝76时，S AMBN 有最大值，最大值＝16912；③1或73；（3）1． 【分析】（1）令抛物线l 1：y=0，可求得点A 和点B 的坐标，然后设设抛物线l 2的解析式为y=a （x+1）（x-4），将点D 的坐标代入可求得a 的值，从而得到抛物线的解析式． （2）①利用待定系数法可得，M （m ，-m 2+2M+3），N （M ，12m 2-32m-2）． ②由点A 和点B 的坐标可求得AB 的长，依据S AMBN =12AB•MN 列出S 与x 的函数关系，从而可得到当S 有最大值时，m 的值，于是可得结论．③CM 与DN 不平行时，可证明四边形CDNM 为等腰梯形，然后可证明GM=HN ，列出关于m 的方程，于是可求得点P 的坐标；当CM ∥DN 时，四边形CDNM 为平行四边形．故此DC=MN=5，从而得到关于m 的方程，从而可得结论．（3）设S ，T 的横坐标分别为x 1，x 2，设R ，U 的横坐标分别为x 3，x 4．利用根与系数的关系解决问题即可．【详解】解：（1）∵令﹣x 2+2x +3＝0，解得：x 1＝﹣1，x 2＝3，∴A （﹣1，0），B （3，0），设抛物线l 2的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣4），∵将D （0，﹣2）代入得：﹣4a ＝﹣2，∴a ＝12， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2﹣32x ﹣2． （2）①由题意P （m ，0），可得M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，12m 2﹣32m ﹣2）． ②如图1所示：∵A （﹣1，0），B （3，0），∴AB ＝4，∵P （m ，0），M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，12m 2﹣32m ﹣2）， ∵MN ⊥AB ，∴S AMBN ＝12AB •MN ＝﹣3m 2+7m +10（﹣1＜m ＜3）， ∴当m ＝76时，S AMBN 有最大值，最大值＝16912． ③如图2所示：作CG ⊥MN 于G ，DH ⊥MN 于H ，如果CM 与DN 不平行．∵DC ∥MN ，CM ＝DN ，∴四边形CDNM 为等腰梯形．∴∠DNH ＝∠CMG ．在△CGM 和△DNH 中，DNH CMG DHN CGM DN CM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGM ≌△DNH （AAS ），∴MG ＝HN ．∴PM ﹣PN ＝1．∵P （m ，0），则M （m ，﹣m 2+2m +3），N （m ，12m 2﹣32m ﹣2）． ∴（﹣m 2+2m +3）+（12m 2﹣32m ﹣2）＝1，解得：m 1＝0（舍去），m 2＝1． 当CM ∥DN 时，如图3所示：∵DC∥MN，CM∥DN，∴四边形CDNM为平行四边形．∴DC＝MN＝5∴﹣m2+2m+3﹣（12m2﹣32m﹣2）＝5，∴m1＝0（舍去），m2＝73，综上所述，m的值为1或73．故答案为：1或73．（3）设S，T的横坐标分别为x1，x2，设R，U的横坐标分别为x3，x4．则TU＝x4﹣x2，RS＝x1﹣x3，∴TU﹣RS＝（x4﹣x2）﹣（x1﹣x3）＝（x3+x4）﹣（x1+x2），由﹣x2+2x+3＝n，可得，x2﹣2x﹣3+n＝0，∴x1+x2＝2，由12x2﹣32x﹣2＝n，可得x2﹣3x﹣4﹣2n＝0，∴x3+x4＝3，∴TU﹣RS＝（x3+x4）﹣（x1+x2）＝3﹣2＝1，故答案为：1．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，全等三角形的判定和性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会利用参数，构建一元二次方程解决问题，属于中考压轴题．25．（1）（﹣1，0）；（2）y ＝x 2+4x +3；（3）﹣3＜x ＜0．【分析】（1）先求出点B ，点A 坐标，由对称性可求点C 坐标；（2）利用待定系数法可求解析式；（3）由图象可求解．【详解】解：（1）∵直线y ＝x +3分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，∴点A （﹣3，0），点B （0，3），∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2．抛物线与x 轴的另一个交点为C ，∴点C （﹣1，0），故答案为（﹣1，0）；（2）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点A （﹣3，0），B （0，3），点C （﹣1，0），∴30930c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=-+⎩，解得：143a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：y ＝x 2+4x +3；（3）如图所示：当﹣3＜x ＜0时，二次函数值小于一次函数值，故答案为：﹣3＜x ＜0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求解析式，求出抛物线的解析式是本题的关键．26．（1）2142y x x =-++；（2）142y x =+． 【分析】（1）已知了抛物线的对称轴以及AB 的长，即可得到A 、B 的坐标，代入抛物线的解析式中求得待定系数的值，即可得出抛物线的解析式；（2）由于△ECO 和△ACO 的高都为OC ，根据等高三角形的面积比等于底边比可知：OE ：OA ＝4：1，据此可求出E 点坐标，然后根据E 、C 坐标可用待定系数法求出直线EC 的解析式．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，12a =-， ∴12b a-=， ∴1b =，∵AB ＝6， ∴A （−2，0），B （4，0），将B （4，0），1b =代入解析式212y x bx c =-++得4c =， ∴抛物线的解析式为：2142y x x =-++； （2）S △ECO ＝12EO•OC ，S △ACO ＝12AO•OC ， ∵S △ECO ＝4S △ACO ，且OA=2，∴EO ＝4AO ＝8，∵点E 在A 点的左侧，∴E （−8，0），由抛物线的解析式得：C （0，4），设直线EC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，将E （−8，0），C （0，4），代入得：804k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得124k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线EC 的解析式为142y x =+． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质并能准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．。

九年级数学下册第二章《二次函数》测试题-北师大版（含答案） 班级 座号 姓名 成绩一、选择题（本大题8小题，每小题3分，共24分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．1．已知函数4)3(2++=x m y 是二次函数，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞-3B ．m ＜-3C ．m ≠-3D ．任意实数 2．已知直线2+=kx y 过一、二、三象限，则直线2+=kx y 与抛物线322+-=x x y 的交点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个 3．已知抛物线的解析式为21(2)36y x =-+-，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．(2,3) B ．(2,3)-C ．(2,3)-D ．(2,3)-- 4．已知抛物线与二次函数23y x =-的图像相同，开口方向相同，且顶点坐标为(1,3)-，它对应的函数表达式为（ ）A ．23(1)3y x =--+B ．23(1)3y x =-+C ．23(1)3y x =+-D ．23(1)3y x =-++ 5．二次函数2y x bx c =-++的图象如图所示：若点A （11,x y ），B （22,x y ）在此函数图象上，1x ＜2x ＜1，1y 与2y 的大小关系是（ ） A ．1y ≤2y B ．1y ＜2yC ．1y ≥2yD ．1y ＞2y 6．若抛物线c bx x y ++=2与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为直线x =2，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（ ）A ．（2，4）B ．（-2，4）C ．（-2，-4）D ．（2，-4） 7．二次函数222=++y x x 与坐标轴的交点个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 第5题图8. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系式为58531012++-=x x y ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）A ．6米B ．8米C ．10米D ．2米 二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填在该题的横线上．9．已知函数()2113my m x x +=-+，当m =__________时，它是二次函数． 10．抛物线22x y -=沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”）11．把二次函数2x y =的图象向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，经过这两次平移后所得到的抛物线的解析式为 .12．已知二次函数32-+=bx ax y ，当x =1与x =2020时，函数值相等．则当x =2021时，函数值等于 ．13．二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象如图所示，则其对称轴方程是 ，方程x 2+bx +c ＝0的解是 ．14．用一根长为20cm 的铁丝围成一个矩形，该矩形面积的最大值是 cm 2． 15. 如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，下列结论：①0ac >，②20a b +>，③24ac b <，④0a b c ++<，⑤当0x >时， y 随x 的增大而减小；其中正确的个数有 个.三、解答题(本大题4小题，16、17题每小题10分，18、19题每小题14分，共48分．)解答过程应写出文字说明、推理过程及演算步骤．16.已知二次函数为m x x y +-=2.（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m 为何值时，顶点在x 轴上方．第题图 第15题图 第8题图17. 如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()() 1,0,3,0A B -两点.（1）求该抛物线的解析式；（2）设抛物线上有一个动点P ，当点P 满足8PAB S ∆=时，请求出此时点P 的坐标．18.某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y （件）与售价x （元/件）满足如图所示的函数关系（其中40≤x ≤70，且x 为整数）．（1）请求出y 与x 的函数关系式；（2）当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？19. 如图，抛物线12-+=bx x y 与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ，顶点为D ，对称轴为直线3-=x ，连接AC ，BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC 的面积；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点E ，使得△CDE 为等腰三角形？如果存在，请求出点E 的坐标，如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：1．C 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．B 8.B二、填空题：9．m = -1 10．上升 11．1)3(2--=x y 12．-3 13．x ＝﹣1，x 1＝﹣3，x 2＝1 14．25 15. ③三、解答题： 16.（1）抛物线开口方向向上；对称轴为直线21=x ；顶点坐标为（414,21-m ） （2）41>m 17. （1）解析式是223y x x =--；()2设点P 的坐标为(),x y ，∵8PAB S ∆=， ∴182AB y ⋅=， ∵314AB =+=， ∴4y =， ∴4y =±，把4y =代入解析式，得2423x x =--， 解得：122x =±， 把4y =-代入解析式，得2423x x -=--， 解得：1x =， ∴点P 的坐标为()122,4+或()122,4-或()1,4-． 18. （1）设线段AB 的表达式为：y=kx +b （40≤x ≤60），将点（40，300）、（60，100）代入上式解得：⎩⎨⎧=-=70010b k ， ∴函数的表达式为：y =-10x +700（40≤x ≤60），设线段BC 的表达式为：y =mx +n （60＜x ≤70）， 将点（60，100）、（70，150）代入上式解得：5200m n =⎧⎨=-⎩， ∴函数的表达式为：y =5x -200（60＜x ≤70），∴y 与x 的函数关系式为：⎩⎨⎧≤<-<≤+-=)7060(2005)6040(70010x x x x y ； （2）设获得的利润为w 元，①当40≤x ≤60时，w =（x -30）（-10x +700）=-102)50(-x +4000，∵-10＜0， ∴当x =50时，w 有值最大，最大值为4000元；②当60＜x ≤70时，w =（x -30）（5x -200）-150（x -60）=52)50(-x +2500，∵5＞0， ∴当60＜x ≤70时，w 随x 的增大而增大，∴当x =70时，w 有最大，最大值为：52)5070(-+2500=4500（元），综上，当售价为70元时，该商家获得的利润最大，最大利润为4500元． 19. （1）1322-+=x x y ；（2）△ABC 的面积=14122⨯⨯=； （3）点E 存在，理由如下：设E （3,t -），D (3,4)--△CDE 为等腰三角形，分三种情况：①CD=CE ， ∴2222(3)3(3)(1)t +=++， ∴t =2或t = -4∴E （3,2-）或E （3,4--）（舍去）；②CD=DE ， ∴3+9=2)4(+t ， ∴432-=t 或432--=t ， ∴E （3,234--）或E （3,234---）；③CE=DE ， ∴22)4()1(3+=++t t ， ∴t = -2， ∴E （3,2--）；综上所述：得△CDE 为等腰三角形时，E 点坐标为E （3,2-）或E （3,234--）或E （3,234---）或E （3,2--）．。

第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y 是关于x 的二次函数的是( ) A ．y ＝ax 2＋bx ＋c B ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x2 D ．y ＝(x －1)2－x 22．对于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A ．开口向下 B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．已知二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( ) A ．10 B ．4 C ．5 D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的部分对应值如下：则一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( ) A ．1.2＜x ＜1.3 B ．1.3＜x ＜1.4 C ．1.4＜x ＜1.5 D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z－3A．②④B．①④C．①③D．②③8．如图2－Z－4，正三角形ABC的边长为4，P为BC边上的任意一点(不与点B，C 重合)，且∠APD＝60°，PD交AB于点D.设BP＝x，BD＝y，则y关于x的函数图象大致是()图2－Z－4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E为拱桥底部的两点，且DE ∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，已知点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ .若设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答下列问题：(1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C. 6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .故选C.9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－3 10．[答案] (－1，0) 11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线开口向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H ， ∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6， 由题可知：OH ＝5，CH ＝4， ∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ， ∵顶点为C (0，9)， ∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19，∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)， ∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)． 故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC . ∵C ，D 两点的纵坐标相同， ∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4. ∵CD ＝2－0＝2， ∴S △BCD ＝12×2×4＝4.15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000. ∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元． (3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600， －10(x －50)2＝－250， x －50＝±5， x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10. ①当P A AB ＝AQOA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQAB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似．(2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ， ∴AP AB ＝PDOB ， 即10－3t 10＝PD6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2， ∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)． 把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x －4x ＋3，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， ∴点C 的坐标为(0，3)，∴BC ＝32＋32＝3 2，AC ＝32＋12＝10.∵点A ，B 关于对称轴直线x ＝2对称， ∴P A ＝PB ，∴P A ＋PC ＝PB ＋PC ，此时PB ＋PC ＝BC ，∴当点P 在对称轴上运动时，P A ＋PC 的最小值等于BC ， ∴△APC 的周长的最小值＝AC ＋P A ＋PC ＝BC ＋AC ＝3 2＋10. (3)(2，－1)。

（第5题）(第3题) 第二章 二次函数自我检测题（满分85分）一、选择题（每题5分，共25分） 1．抛物线342-=x y 的顶点坐标是( )A ．（3，0）B ．(－3，0)C ．(0，3)D ．（0，－3）2．若直线3y x m =+经过第一、三、四象限，则抛物线2()1y x m =-+的顶点必在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．你知道吗？平时我们跳大绳时，绳甩到最高处时的形状可近似地看做抛物线。

如图所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4m ，距地面均为1m ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m ，2.5m 处。

绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶。

已知学生丙的身高是1.5m ，则学生丁的身高为(建立的平面直角坐标系如图所示) （ ）A ．1.5mB ．1.625mC ．1.66mD ．1.67m4．在同一直角坐标系中，一次函数y =ax +c 和二次函数y =ax 2+c 的图象大致为( )5．已知抛物线和直线l 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是抛物线上的点，P 3（x 3，y 3）是直线l 上的点，且-1＜x 1＜x 2，x 3＜-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A. y 1＜y 2＜y 3B. y 3＜y 1＜y 2C. y 3＜y 2＜y 1D. y 2＜y 1＜y 3二、填空题(每题5分，共25分)6．已知抛物线y=ax 2+b x +c 经过(－1，2)和(3，2)两点，则4a +2b+3的值为 ．7．若将二次函数y =x 2-2x +3配方为y =(x -h )2+k 的形式，则y = .8．在距离地面2米高的某处把一物体以初速度0v （米/秒）竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度s （米）与抛出时间t （秒）满足：2021gt t v s -= (其中g 是常数,通常取10米/秒2),若100=v 米/秒,则该物体在运动过程中最高点距离地面_______米.9．已知抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是2=x ，且经过点)4,1(和点)0,5(，则该抛物线的解析式为________。

第15周第二章二次函数（一）（内容：§2.1 —§2.2）（时间：120分钟满分：150分）A卷（100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（2020秋•湖里区校级月考）下列函数是二次函数的是（）A．y＝x B．y=1x C．y＝x2D．y＝12．（2020•北海模拟）下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3x﹣1B．y=1x2C．y＝3x2+x﹣1D．y＝2x2+1x3．（2019秋•绿园区期末）抛物线y＝2（x﹣3）2+2的顶点坐标是（）A．（﹣3，2）B．（3，2）C．（﹣3，﹣2）D．（3，﹣2）4．（2019秋•淮安区期末）下列函数中属于二次函数的是（）A．y=12x B．y＝2x2﹣1C．y=√x2+3D．y＝x2+1x+15．（2019秋•莫旗期末）下列函数是二次函数的是（）A．y＝2x﹣3B．y=1 x2C．y＝（x﹣1）（x+3）D．y=√32+36．（2020•闽侯县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．7．（2020秋•江岸区校级月考）如果函数y=(m−2)x m2−2+2x−7是二次函数，则m的取值范围是（）A．m＝±2B．m＝2C．m＝﹣2D．m为全体实数8．（2019秋•金湖县期末）已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1图象经过原点，则a的取值为（）A．a＝±1B．a＝1C．a＝﹣1D．无法确定9．（2020•虹口区一模）已知抛物线y＝x2经过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，在下列关系式中，正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞010．（2020•嘉定区二模）下列关于二次函数y＝x2﹣3的图象与性质的描述，不正确的是（）A．该函数图象的开口向上B．函数值y随着自变量x的值的增大而增大C．该函数图象关于y轴对称D．该函数图象可由函数y＝x2的图象平移得到二．填空题（每小题3分，共15分）11．（2020秋•沙坪坝区校级月考）若函数y=(a+1)x|a2+1|是关于x的二次函数，则a的值为．12．（2020•龙泉驿区模拟）若抛物线y＝x2+（m﹣2）x+3的对称轴是y轴，则m＝．13．（2020•金山区一模）已知抛物线y＝（1+a）x2的开口向上，则a的取值范围是．14．（2020•虹口区一模）如果函数y＝（m+1）x m2−m+2是二次函数，那么m＝．15．（2019秋•澧县期末）如果函数y=(k−3)x k2−3k+2+7x+2是关于x的二次函数，那么k的值是．三．解答题（共55分）16．（每小题6分•共12分）（1）（2020•拱墅区模拟）在同一直角坐标系中画出二次函数y=13x2+1与二次函数y=−13x2﹣1的图形．（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．（2）（2020•亭湖区校级月考）已知函数y＝（1+m）x m2+1是关于x的二次函数，求m的值．17．（每小题8分•共16分）（1）（2019春•西湖区校级月考）已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？（2）（2020•射阳县校级月考）当m为何值时，y＝（m+1）x m2−3m−2+3x﹣2是二次函数？18．（8分）（2019秋•平谷区期末）二次函数y＝x2+bx上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：x…﹣1−120123…y (35)40﹣10m…（1）直接写出此二次函数的对称轴；（2）求b的值；（3）直接写出表中的m值，m＝；（3）在平面直角坐标系xOy中，画出此二次函数的图象．19．（9分）（2020•浙江自主招生）证明：无论a取任何实数值时，抛物线y=x2+(a+1)x+12a+14是通过一个定点，而且这些抛物线的顶点都在一条确定的抛物线上．20．（10分）（2019秋•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2+2mx+m﹣1沿x轴翻折得到抛物线C2．（1）求抛物线C2的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m＝1时，求抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）整点的个数；②如果抛物线C1和C2围成的封闭区域内（包括边界）恰有7个整点，求出m的取值范围．B卷（50分）一．填空题（每小题4分，共20分）16．（2020•利辛县模拟）如果函数y＝（m﹣1）x2+x（m是常数）是二次函数，那么m的取值范围是．17．（2020•浙江自主招生）设y1与y2都是x的二次函数（y1有最小值），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x ＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为．18．（2019秋•赫山区期末）将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位后所得到的抛物线为 ．19．（2020•龙岩模拟）关于x 的方程x 2﹣4x ﹣t ＝0在﹣1≤x ≤4范围内有两个不等实数根，则实数t 的取值范围是 ．20．（2020•周村区一模）如图，过函数y ＝ax 2（a ＞0）图象上的点B ，分别向两条坐标轴引垂线，垂足分别为A ，C ．线段AC 与抛物线的交点为D ，则AD AC 的值为 ．二．解答题（共30分）26．（8分）27．（10分）28．（12分）28．（2019秋•合肥月考）已知函数 y ＝（m ﹣1）x m 2+1+3x 为二次函数，求m 的值．29．（2019秋•新昌县校级月考）已知函数y ＝（m 2+m ）x m2−2m+2．（1）当函数是二次函数时，求m 的值； ；（2）当函数是一次函数时，求m 的值． ． 30．（2020•海淀区校级模拟）已知抛物线y ＝﹣2x 2+（m ﹣2）x +（n ﹣2020）（m ，n 为常数）．（1）若抛物线的的对称轴为直线x ＝1，且经过点（0，﹣1），求m ，n 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求n 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数a ，b （a ＜b ），当a ≤x ≤b 时，恰好有1b≤y ≤1a ，请直接写出a ，b 的值．。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c （a ≠0）上两点，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是（ ） A ．若x 1+x 2＜4，则y 1＜y 2 B ．若x 1+x 2＞4，则y 1＜y 2 C ．若a （x 1+x 2﹣4）＞0，则y 1＞y 2 D ．若a （x 1+x 2﹣4）＜0，则y 1＞y 22、已知二次函数2y ax bx c =++，当11x -≤≤时，总有11y -≤≤，有如下几个结论：①当0b c ==时，1a ≤； ②当1a =时，c 的最大值为0；③当2x =时，y 可以取到的最大值为7． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③3、抛物线2(1)2y x =+-的顶点坐标是（ ） A ．（－1，2）B ．（－1，－2）C ．（1，－2）D ．（1，2）4、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y 5、已知抛物线()20y ax bx c a =++<经过()1,A x m ，()21,B x m -，()2,C x p ，()11,D x q -，若12x x <时，则m ，p ，q 的大小关系是（ ） A ．m p q <<B ．m p q <=C ．p q m =<D ．p q m <<6、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．等边三角形B ．双曲线C ．抛物线D ．平行四边形7、已知二次函数()20y axbx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b c -+<C ．420a b c -+>D ．2b a >8、已知二次函数2y ax bx c =++中的y 与x 的部分对应值如下表所示．根据表中的信息，给出下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线1x =； ②抛物线的顶点坐标是(13),； ③当3x =时，y 的值为3-；④若点1(2)A y -,，点2(3)B y -,两个点都在抛物线上，则12y y >． 其中正确结论的个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（ ） A ．21元B ．22元C ．23元D ．24元10、在平面直角坐标系中，已知点,M N 的坐标分别为()()1,3,3,3-，若抛物线2222y x mx m m =-+-+与线段MN 只有一个公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．10m -<7172m+< B ．10m -<或m >C ．0m <7172m+< D ．71712m+- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、抛物线222=++y x x 的顶点坐标是________．2、小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h （m ）与足球被踢出后经过的时间t （s ）之间的关系为h ＝﹣5t 2＋12t ，则足球距地面的最大高度是______m ．3、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数y bx a =+的图象不经过______．4、抛物线y＝x2﹣6x+1的顶点纵坐标是 _____．5、将抛物线2y x向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为____________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝kx（k≠0）相交于点M（1，1），N（3，3），且这条抛物线的对称轴为x＝1．（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k的值．（2）设P为直线y＝kx下方的抛物线上一点，求△PMN面积的最大值及此时P点的坐标．2、如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB12∠BCO时，求点P的横坐标．3、小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围． 4、跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1 m ，并且相距4 m ，现以两人的站立点所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.50 m 的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手1 m 时，绳子刚好经过她的头顶．（1）求绳子所对应的抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）； （2）身高1.70m 的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？（3）身高1.64m 的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手s m ，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出s 的取值范围．5、为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形小花园ABCD ，小花园一边靠墙，另三边用总长40m 的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB 边的长为x m ，面积为ym 2．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？-参考答案-一、单选题 1、C 【分析】先求出抛物线的对称轴为2x =，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c ， ∴抛物线的对称轴为：422ax a=-=-， 当点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）恰好关于2x =对称时，有1222x x +=， ∴124x x +=，即1240x x +-=，∵x 1＜x 2， ∴122x x <<；∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A 、B ； 当0a >时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向下， 此时距离2x =越远，y 值越小； ∵a （x 1+x 2﹣4）＞0， ∴1240x x +->，∴点P 2（x 2，y 2）距离直线2x =较远， ∴12y y >；当0a <时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向上， 此时距离2x =越远，y 值越大； ∵a （x 1+x 2﹣4）＞0， ∴1240x x +-<，∴点P 1（x 1，y 1）距离直线2x =较远， ∴12y y >；故C 符合题意；D 不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析． 2、B 【分析】①当0b c ==时，根据不等式的性质求解即可证明；②当1a =时，二次函数的对称轴为：2b x =-，分三种情况讨论：当12b -<-时；当112b -≤-≤时；当12b ->时；分别利用二次函数的的最值问题讨论证明即可得；③当1x =-，1x =，0x =，2x =时，分别求出相应的y 的值，然后将2x =时，y 的值变形为：()()4233y a bc a b c a b c c =++=+++-+-，将各个不等式代入即可得证． 【详解】解：①当0b c ==时，2y ax =，∴211ax -≤≤， ∵11x -≤≤， ∴201x ≤≤，∴ 11a -≤≤，即1a ≤，正确；②当1a =时，二次函数的对称轴为：212b b x =-=-⨯， 当12b -<-时，即2b >时， 函数在1x =-处取得最小值，即 11bc -+=-，20c b =-+>，函数在1x =处取得最大值，即 11b c ++=， 2c b =-<-，二者矛盾，∴这种情况不存在；当112b -≤-≤时，即22b -≤≤时，204b ≤≤，函数在2b x =-处取得最小值，即2122b b b c ⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2104bc =-+≤，∴0c ≤，当12b -=时，即2b =-时，22y x x =-，1x =时，1y =-； 1x =-时，3y =，不符合题意，舍去； 当12b -=-时，即2b =时，22y x x =+，1x =时，3y =；1x =-时，1y =-，不符合题意，舍去； ∴0c <，当12b ->时，即2b <-时， 函数在1x =处取得最小值，即 11bc ++=-， 20c b =-->，函数在1x =-处取得最大值，即 11b c -+=，2c b =<-，二者矛盾， ∴这种情况不存在；∴综上可得：0c <；故②错误；③当1x =-时，y a b c =-+，且11a b c -≤-+≤； 当1x =时，y a b c =++，且11a b c -≤++≤； 当0x =时，y c =，且11c -≤≤；当2x =时，()()4233y a b c a b c a b c c =++=+++-+-，()333a b c -≤++≤，11a b c -≤++≤，333c -≤≤，∴7427a b c -≤++≤，∴当2x =时，y 可以取到的最大值为7；③正确； 故选：B ． 【点睛】题目主要考查二次函数的基本性质及不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 3、B根据二次函数顶点式的特征计算即可；【详解】∵抛物线2(1)2y x =+-，∴顶点坐标为（－1，－2）；故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键．4、C【分析】根据二次函数的定义依次判断．【详解】解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意； B 、211y x x =++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．5、C由()1,A x m ，()21,B x m -纵坐标相同可以看出AB 关于对称轴对称，即对称轴为1212x x x +-=，再结合C 、D 坐标可得C 、D 关于对称轴对称，再根据12x x <，比较m 和p 的大小即可．【详解】∵()1,A x m ，()21,B x m - ∴对称轴为1212x x x +-=∴()2,C x p ，()11,D x q -关于对称轴对称，即p q =∵12x x < ∴12122212222x x x x x x +-+<<= ∴()2,C x p 在对称轴右边当()1,A x m 也在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵12x x <，∴p q m =<当()21,B x m -在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵221x x -<，∴p q m =<∴p q m =<故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据AB 纵坐标相同可以看出A 、B 关于对称轴对称．6、B【分析】根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形”及“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，结合二次函数的图象及反比例函数的图象，进而问题可求解．【详解】解：A 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B 、双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；C 、抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D 、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象是解题的关键．7、D【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可判断选项A ；由x =-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B ；由x =-2时对应的函数值小于0，可判断选项C ；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b ＞2a ，可判断选项D ．【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a ＜0，∵-2b a＜0， ∴b ＜0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 错误；∵x =-1时，对应的函数值大于0，∴a -b +c ＞0，故选项B 错误；∵x =-2时对应的函数值小于0，∴4a -2b +c ＜0，故选项C 错误；∵对称轴大于-1，且小于0，∴0＞-2b a＞-1，即0＞b ＞2a ，故选项D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意x =1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．8、C【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得：513a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩∴241a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴22241y ax bx c x x =++=-++∴抛物线的对称轴是直线12b x a=-=，故①正确； 当1x =时，抛物线取最大值3y =∴抛物线的顶点坐标是(13),，即②正确；当3x =时，y 的值为2234315-⨯+⨯+=-，故③错误；∵0a <，抛物线的对称轴是直线1x =∴1x <时，y 随x 的增大而增大∵23->-∴12y y >，即④正确故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．9、B【分析】设每天的销售利润为w 元，每件的定价为x 元，则每件的利润为()15x -元，平均每天售出()25842582x x -+⨯=-+件， 根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即可求解．【详解】解：设每天的销售利润为w 元，每件的定价为x 元，则每件的利润为()15x -元，平均每天售出()25842582x x -+⨯=-+件， 根据题意得： ()()()221525828887022298y x x x x x =--+=-+-=--+ ，∵20-<∴当22x = 时，w 最大，即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．10、A【分析】将函数解析式化为顶点式形式，得到图形的顶点坐标，图象与2y x 相似，确定当m 变化时，抛物线顶点在直线y=-x +2上移动，根据m 的变化依次分析抛物线与MN 的交点个数，由此得到答案．【详解】解：∵22222()2y x mx m m x m m =-+-+=--+，∴图象的顶点坐标为：（m ，-m +2），此函数图象二次项系数为1，与2y x 相似，当m 变化时，抛物线顶点在直线y=-x +2上移动，m 从负增大时，无交点，当m =-1时，点M 在抛物线右边，抛物线与MN 有1个交点，当m =0，顶点为（0,2）时，抛物线与MN 相交，有2个交点，m 继续增大，抛物线与MN 有2个交点，直到N 经过抛物线右边，当m 继续增大，保持1个交点，当N 经过抛物线左边时，有1个交点，此后无交点，将N （3,3）代入解析式：23(3)2m m =--+，解得m =∴m 的取值范围是10m -<7172m +<， 故选：A ．【点睛】此题考查了抛物线的解析式化为顶点式，二次函数的性质，抛物线移动的规律，根据抛物线的移动确定与MN 的交点个数是解题的关键．二、填空题1、(1,1)-【分析】利用配方法把函数解析式化为顶点式，求出顶点坐标即可．【详解】解：∵222=++y x x ＝（x ＋1）2+1，∴顶点坐标是(1,1)-；故答案为：(1,1)-．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，化一般式为顶点式是解题的关键，注意数形结合思想的应用． 2、365【分析】a =-5开口方向向下，最大值为顶点y 值，由公式可得答案．【详解】解：∵h =-5t 2+12t ，∴a =-5，b =12，c =0，∴足球距地面的最大高度是：24(5)0124(5)⨯-⨯-⨯-=7.2m ， 故答案为：7.2．【点睛】本题考察了二次函数的图象和性质，利用二次函数求最值，一是可以通过配方，化为顶点式；二是根据二次函数图象与系数的关系，利用244ac b a - 求出顶点纵坐标．3、第四象限【分析】由二次函数的图象可判断出a 、b 的符号，再进行判断一次函数的图象所在的象限，即可求解．【详解】解：∵二次函数图象开口向上，∴0a >， ∴对称轴02b x a=-<， ∴0b >，∴一次函数y bx a =+与y 轴的交点在x 轴的上方，且0b >，经过一、三象限，∴一次函数y bx a =+的图象经过第一、二、三象限，∴不经过第四象限，故答案为：第四象限．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象的性质，掌握二次函数及一次函数图象的性质是解题关键．4、（3，-8）【分析】根据题意将抛物线y ＝x 2﹣6x +1配方成顶点式求解即可．【详解】解：∵抛物线y ＝x 2﹣6x +1，∴y ＝x 2﹣6x +1()22699138x x x =-+-+=--，∴顶点坐标为：（3，-8）．故答案为：（3，-8）．【点睛】此题考查了二次函数的顶点式表达式，二次函数的顶点坐标，解题的关键是熟练掌握二次函数一般式表达式配方成顶点式表达式的方法．5、23y x =-##【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线2y x 向下平移3个单位长度，所得到的抛物线解析式为23y x =- 故答案为：23y x =-【点睛】本题考查了抛物线的平移，掌握平移规律是解题的关键．三、解答题1、（1）212y x x =-，1k =；（2）12PMN S ∆=，3(2,)2P 【分析】（1）根据抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝kx （k ≠0）相交于点M （1，1），N （3，3），且这条抛物线的对称轴为x ＝1，利用待定系数法求出原来的原来的抛物线，然后根据平移后的抛物线经过原点，且对称轴不变进行求解即可；（2）过P 作PQ ∥y 轴，交MN 于Q ，设Q （t ，t ），则P （t ，21322x x -+），则PQ ＝213222t t -+-，求得S ＝﹣12（t ﹣2）2+12，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）由题意得121933b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩， 解得12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩， ∴抛物线为21322y x x =-+， ∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，∴平移后的抛物线为y =12y 2−y将M （1，1）代入y ＝kx 得k ＝1；（2）过P 作PQ ∥y 轴，交MN 于Q ，设Q （t ，t ），则P （t ，21322x x -+），则PQ ＝t ﹣（21322t t -+）＝213222t t -+-， ∴S ＝12PQ ×（3﹣1）＝PQ ＝﹣12t 2+2t ﹣32＝﹣12（t ﹣2）2+12， ∴当t ＝2时，△PMN 的面积最大，此时P （2，32），S △PMN ＝12．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数图像的平移，熟知相关知识是解题的关键．2、（1）2315684y x x =-+；（2）143x =或34633x = 【分析】（1）由题意代入A （2，0），B （8，0）两点求出a 、b 的值，即可得出抛物线的解析式；（2）根据题意分点P 在BC 下方的抛物线上和点P 在BC 上方的抛物线上两种情况，结合全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质进行分析即可得出答案.【详解】解：（1）由题意代入A （2，0），B （8，0）两点，可得：042606486a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得：38154a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以抛物线的解析式为：2315684y x x =-+； （2）当点P 在BC 下方的抛物线上时，此时∠PCB 12=∠BCO 即CP 平分∠BCO ，如图，作CP 平分∠BCO ，交x 轴于点D ，过D 作DE BC ⊥垂足为E ，∵CP 平分∠BCO ，DE BC ⊥，∴OD DE =，DCO DCE ∠=∠，∵OD DE =，DCO DCE ∠=∠，90COD CED ︒∠=∠=,∴,6,DOC DEC CO CE ≅==∴10,4BC BE BC CE ===-=,设OD DE m ==，8BD m =-,勾股定理可得：222DE B D E B +=,即2224(8)m m +=-,解得：3m =,即3OD DE ==，D 的坐标为（3，0），设CD 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入C 、D 可得：603b k b=⎧⎨=+⎩，解得：26k b =-⎧⎨=⎩，所以CD 的解析式为：26y x =-+， ∵P 为直线CD 与抛物线的交点，∴联立可得：231526684x x x -+=-+， 解得：0x =（舍去）或143x =，即P 的横坐标为143x =， 当点P 在BC 上方的抛物线上时，此时∠PCB 12=∠BCO ，如图， 作∠PCB 12=∠BCO 交抛物线于点P ，延长DE 交CP 于点F ，过E 作EH ⊥x 轴交于点H ，∵∠PCB 12=∠BCO ，DCB DCO ∠=∠， ∴,PCB DCB ∠=∠∵,,PCB DCB CE CE DEC FEC ∠=∠=∠=∠,∴,DEC FEC DE DF ≅=,∵,90CBO EBH COB EHB ︒∠=∠∠=∠=,∴EHB COB ∽, ∴4,1068BE EH BH EH BH BC CO BO ====, 可得121624,,555EH BH OH BO BH ===-=,∴2412(,)55E , 设F 为(,)m n ，由DE DF =可得324012,2525m n ++==，解得：3324,55m n ==， 即F 为3324(,)55， 设CF 的解析式为：(0)y kx b k =+≠，代入C 、F 可得：6243355b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：2116k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以CD 的解析式为：2611y x =-+， ∵P 为直线CF 与抛物线的交点， ∴联立可得：22315661184x x x -+=-+， 解得：0x =（舍去）或34633x =，即P 的横坐标为34633x =， 综上所述P 的横坐标为143x =或34633x =. 【点睛】 本题考查二次函数的综合问题，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质和角平分线性质是解题的关键.3、（1）y =-（x +1）2+4；（2）n <-5．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x =-1，顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y =a （x +1）2+4，然后把（1，0）代入求出a 即可；（2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4），∴抛物线的对称轴为直线x =202-+=-1，顶点坐标为（-1，4），设抛物线解析式为y =a （x +1）2+4，把（1，0）代入得a （1+1）2+4=0，解得a =-1，∴抛物线解析式为y =-（x +1）2+4；（2）∵二次函数的图象与直线y n =有两个交点，∴-（x +1）2+4=n ，即2230x x n --+-=，∴△=2(2)4(3)0n -+->，解得n <4，∴n 的取值范围为n <4，∵AB =，，解得n <-5，综上n 的取值范围为n <-5．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．4、（1）212163yx x ；（2）不能，理由见解析；（3）1.6 2.4.s 【分析】（1）设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++（a ≠0），把小涵拿绳子的手的坐标是（0，1），小军拿绳子的手的坐标4,1， 以及小丽头顶坐标（1，1.5）代入，得到三元一次方程组，解方程组便可；（2）利用二次函数的性质求解函数的最大值，再与1.70比较即可得到答案；（3）由y ＝1.64时求出其自变量的值，便可确定s 的取值范围．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：2y ax bx c =++（a ≠0），∴抛物线经过点0,1,1,1.5,4,1,∴11.5,1641c a b c a b c 解得，162,31a bc ∴绳子对应的抛物线的解析式为：212163y x x ； （2）身高1.70m 的小兵，不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶，理由如下：212163y x x ， 当232126x 时，21222211 1.7,633y 最大值 ∴绳子能碰到小兵的头，小兵不能站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶；（3）当y ＝ 1.64时，2121 1.6463x x ， 即24 3.840,x x 解得，40.6440.8=,22x122.4, 1.6,x x∴1.6 2.4.s【点睛】本题考查的是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的性质求解最大值，利用二次函数的图象解不等式，解题的关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题．5、（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵AB =x m ，∴BC =(40-2x )m ，∴花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ，∵40-2x ≤25，x +x <40，∴x ≥7.5，x <20，∴7.5≤x <20，∴y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）；（2）∵ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)∴ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．。

第二章二次函数单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下例函数中是二次函数的有（）①；②；③；④．A.个B.个C.个D.个2. 抛物线与的图象，开口较大的是（）A. B. C.同样大 D.无法确定3. 抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.5. 下列关于二次函数的图象与轴交点的判断，正确的是A.只有一个交点，且它位于轴的右侧B.只有一个交点，且它位于轴的左侧C.有两个交点，且它们位于轴的两侧D.有两个交点，且它们位于轴的右侧6. 若将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断中①；②；③；④；⑤正确的个数是（）A. B. C. D.8. 点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点（在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④9. 已知两点、均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中，某二次函数图像的顶点为，此函数图像与轴交于，两点（点在点左侧），且．若此函致图像经过，，，四点，则实数，，，中为负数的是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，顶点恰好在直线上，则的值为________．12. 二次函数有最大值，则的值是________．13. 若二次函数的最低点的纵坐标是，则的值是________．14. 二次函数的图象如图所示，则它的解析式为________，如果另一个函数图象与该图象关于轴对称，那么它的解析式是________．15. 用厘米的铁丝，折成一个长方形框架，设长方形的一边长为厘米，则另一边长为________，长方形的面积________．16. 将二次函数化成的形式为________．17. 如图是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面时，水面宽．如图所示建立在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是________．18. 某商人将进价为每件元的某种商品按每件元出售，每天可销出件，经试验，把这种商品每件每提价元，每天的销售量就会减少件，则每天所得的利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式为：________．19. 如图，用长米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，可以设为米，也可以选择________为米，相应地面积的解析式为________或________20. 用“描点法”画二次函数＝的图象时，列出了如下表格：……＝……那么该二次函数在＝时，＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知抛物线（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，利用函数图象求的取值范围．22. 已知一抛物线与轴轴的交点分别是、且经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．23. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求这个二次函数的解析式；该男同学把铅球推出去多远？24. 抛物线和反比例函数的图象如图所示利用图象解答：（1）方程的解（2）取何值时．25. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；（4）若方程没有实数根，求取值范围．26. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过元，也不得低于元．经调查发现：日均销售量（棵）与销售单价（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价元时，日均销售棵；每棵售价元时，日均销售棵．（1）求日均销售量与销售单价的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用元，求销售利润（元）与销售单价之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：②；③是二次函数，故选：．2.【答案】A【解答】解：抛物线与的图象中，，∵，∴抛物线的开口小于的开口，故选．3.【答案】B【解答】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为．故选.4.【答案】B【解答】解：∵二次项系数，∴开口方向向下，∵一次项系数，∴对称轴为轴，∵常数项，∴图象与轴交于.故选．5.【答案】D【解答】解：当时，.∵，∴，∴有两个不同的实数根，即函数与轴有两个交点.设两根分别为，则，，∴函数与轴的两个交点位于轴右侧.故选.6.【答案】B【解答】∵将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，∴平移后的二次函数的解析式为：＝，∴平移后的二次函数的顶点坐标为，7.【答案】A【解答】解：①、图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，，，∴，故①错误；②、∵对称轴是，∴，∴，∴，故②错误；③、当时，，∴，故③正确．④、时，，∴，∵，∴，故④错误；⑤、时，，∴，∵，∴，故⑤错误；故选：．8.【答案】A【解答】解：∵点，的坐标分别为和，∴线段与轴的交点坐标为，又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，∴，（顶点在轴上时取“”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段上运动，∴当时，随的增大而增大，因此，当时，随的增大而增大，故②正确；若点的横坐标最大值为，则此时对称轴为直线，根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误；根据顶点坐标公式，，令，则，，根据顶点坐标公式，，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，解得，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选.9.【答案】B【解答】解：∵点是该抛物线的顶点，，∴抛物线开口向下，当两点、都在对称轴左侧，则；当两点、在对称轴两侧，则点离对称轴要近，所以，∴．故选．10.【答案】C【解答】解：设二次函数解析式为，函数图象与轴交于，两点，对称轴为直线，且，点，的坐标分别为：，，将点的坐标代入二次函数解析式并解得：，二次函数的解析式为，将，，，代入上式逐次验证，当时，，即.故选.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴将的图象向右平移个单位，向上平移个单位后顶点坐标为．根据题意，得，解得．故答案是：．12.【答案】【解答】解：∵二次函数有最大值，∴，，即，整理得：，即，解得：，（不合题意舍去），则的值是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为，把代入得，，整理得，解得，，．函数有最低点，舍去，故答案为．14.【答案】,【解答】解：设抛物线的解析式为，由图可知，二次函数的图象经过点，∴，解得∴；∵另一个函数的图象与该函数的图象关于轴对称，∴这个函数的关系式是．故答案为：，．15.【答案】,【解答】解：∵长方形的一边长为厘米，周长为厘米，∴另一边长为，∴长方形的面积．故填空答案：，．16.【答案】【解答】解：，所以．故答案为：．17.【答案】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系如下，设抛物线解析式为，由图象可知该图象经过点，故，解得．则抛物线的解析式是．18.【答案】【解答】解：每件可获得的利润为元，可售出的数量为，∴，故答案为．19.【答案】或,,【解答】解：若设为，则，面积；若设为，则，面积．20.【答案】【解答】由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为＝，∴当＝时的函数值等于当＝时的函数值，∵当＝时，＝，∴当＝时，＝．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．【解答】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．22.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．23.【答案】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．【解答】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．24.【答案】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．【解答】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．25.【答案】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．【解答】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．26.【答案】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．。

第二章二次函数一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分；在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题意)1．下列函数中，y是关于x的二次函数的是()A．y＝ax2＋bx＋c B．y＝x(x－1)C．y＝1x2D．y＝(x－1)2－x22．对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是()A．开口向下B．对称轴是直线x＝－1C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点3．已知二次函数y＝x2－6x＋m的最小值是－3，那么m的值等于() A．10 B．4 C．5 D．64．如图2－Z－1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()图2－Z－1A．x＜－2 B．－2＜x＜4C．x＞0 D．x＞45．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下：A．1.2＜x＜1.3 B．1.3＜x＜1.4C．1.4＜x＜1.5 D．1.5＜x＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，则一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b＋c >0；④若点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2为函数图象上的两点，则y 1＜y 2.其中正确的是( )图2－Z －3A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③8．如图2－Z －4，正三角形ABC 的边长为4，P 为BC 边上的任意一点(不与点B ，C 重合)，且∠APD ＝60°，PD 交AB 于点D .设BP ＝x ，BD ＝y ，则y 关于x 的函数图象大致是( )图2－Z －4图2－Z－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)9．将抛物线y＝－2x2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的函数表达式是______________．10．已知抛物线y＝x2－2x－3，若点P(3，0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是________．11．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是抛物线y＝(x＋3)2－2上的两点，则y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”)12．如图2－Z－6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为4 m，AB＝12 m，D，E 为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为5 m，则DE的长为________m.图2－Z－613．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数在y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________．图2－Z－7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z－8，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y轴的交点为D，求△BCD的面积．图2－Z－815．(12分)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z－9所示．(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围)；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z－916．(12分)如图2－Z－10，在直角坐标系中，已知点A(8，0)，B(0，6)，点P由点B出发沿BA方向向点A做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由点A出发沿AO(O为坐标原点)方向向点O做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ.若设运动时间为t(0＜t＜103)秒，解答下列问题：(1)当t为何值时，△APQ与△ABO相似？(2)设△AQP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值．图2－Z－1017．(14分)如图2－Z－11，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，AB＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P为对称轴上一动点，求△APC的周长的最小值；(3)设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为________．图2－Z－11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x是二次函数；C.y ＝1x 2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．故选B.2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.故选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象开口向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，故选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5. 故选C.6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②因为对称轴为直线x ＝－1，所以－b 2a ＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．因为抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c ＝0，所以③错误．④点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．故选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y＝－14x2＋x.故选C.9．[答案] y＝－2(x＋1)2－310．[答案] (－1，0)11．[答案] ＞[解析] 由y＝(x＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x＝－3.∵抛物线开口向上，而点A(4，y1)到对称轴的距离比点B(－4，y2)到对称轴的距离远，∴y1＞y2.12．[答案] 18[解析] 如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C.设AB与y轴交于点H，∵AB＝12，∴AH＝BH＝6，由题可知：OH＝5，CH＝4，∴OC＝5＋4＝9，∴B(6，5)，C(0，9)．设该抛物线的表达式为y＝ax2＋k，∵顶点为C(0，9)，∴y＝ax2＋9.把B(6，5)代入，得5＝36a＋9，解得a＝－1 9，∴抛物线的表达式为y＝－19x2＋9.当y＝0时，0＝－19x2＋9，解得x＝±9，∴E (9，0)，D (－9，0)，∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)．故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2.(2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．连接BD ，CD ，BC .∵C ，D 两点的纵坐标相同，∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4.∵CD ＝2－0＝2，∴S △BCD ＝12×2×4＝4. 15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)根据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，根据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎨⎧k ＝－10，b ＝700. 故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，则w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．(3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600，－10(x －50)2＝－250，x －50＝±5，x 1＝55，x 2＝45.如图所示，由图象得当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10.①当P A AB ＝AQ OA 时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011；②当AP OA ＝AQ AB 时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023.综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似． (2)如图所示，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ，∴AP AB ＝PD OB ，即10－3t 10＝PD 6，∴PD ＝6－95t .由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2，∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)．∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5，∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5.17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)．把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3，∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)连接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，连接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3，点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)，∴点C的坐标为(0，3)，∴BC＝32＋32＝3 2，AC＝32＋12＝10.∵点A，B关于对称轴直线x＝2对称，∴P A＝PB，∴P A＋PC＝PB＋PC，此时PB＋PC＝BC，∴当点P在对称轴上运动时，P A＋PC的最小值等于BC，∴△APC的周长的最小值＝AC＋P A＋PC＝BC＋AC＝3 2＋10.(3)(2，－1)。

第17周第二章二次函数（三）（内容：§2.1 —§2.5）（时间：120分钟满分：150分）A卷（100分）一．选择题（每小题3分，共30分）1．（2019秋•醴陵市期末）已知原点是抛物线y＝（m+1）x2的最高点，则m的范围是（）A．m＜﹣1B．m＜1C．m＞﹣1D．m＞﹣22．（2019秋•越城区期末）函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．（2019秋•襄汾县期末）已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（）A．4B．8C．﹣4D．164．（2020•长丰县一模）抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）5．（2019秋•商河县期末）下列二次函数的图象与x轴有两个不同的交点的是（）A．y＝x2B．y＝x2+4C．y＝3x2﹣2x+5D．y＝3x2+5x﹣1 6．（2019秋•沭阳县期末）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y=18x2B．y=√x2−1C．y=1x2D．y＝ax2+bx+c7．（2020•浙江自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴交于点（1，0），则化简二次根式√(a+c)2+√(b−c)2的结果是（）A．a+b B．﹣a﹣b C．a+3b D．﹣a﹣3b8．（2020•巩义市一模）如图，⊙O被抛物线y=12x2所截的弦长AB＝4，则⊙O的半径为（）A．2B．2√2C．√5D．49．（2019秋•安居区期末）将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2 10．（2020•红花岗区一模）如图，一次函数y1＝kx+b与二次函数y2＝ax2交于A（﹣1，1）和B（2，4）两点，则当y1＜y2时x的取值范围是（）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2二．填空题（每小题3分，共15分）11．（2019秋•吴兴区期末）若抛物线y＝x2﹣4x+c的顶点在x轴上，则c的值是．12．（2020•谷城县模拟）抛物线y＝x2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是．13．（2019•滨湖区模拟）二次函数y＝﹣x2﹣2x图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=12x+b与该新图象有两个公共点，则b的取值范围为．14．（2020•三水区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．15．（2020•杨浦区一模）如果抛物线y＝﹣x2+3x﹣1+m经过原点，那么m＝．三．解答题（共55分）16．（每小题6分•共12分）（1）（2019•资中县一模）下表给出一个二次函数的一些取值情况：x…01234…y…30﹣103…（1）请在直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（2）根据图象说明：当x取何值时，y的值大于0？（2）（2020•宿州模拟）对于二次函数y＝mx2+（5m+3）x+4m（m为常数且m≠0）有以下三种说法：①不论m为何值，函数图象一定过定点（﹣1，﹣3）；②当m＝﹣1时，函数图象与坐标轴有3个交点；③当m＜0，x≥−6726时，函数y随x的增大而减小；判断真假，并说明理由．17．（每小题8分•共16分）（1）（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣6mx+9m+1（m≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B点（点A在点B的左侧），且AB＝4，求m的值．（3）已知四个点C（2，2）、D（2，0）、E（5，﹣2）、F（5，6），若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点，请直接写出m的取值范围．（2）（2020•浙江自主招生）对于给定的抛物线y＝x2+ax+b，使实数p、q适合于ap＝2（b+q）（1）证明：抛物线y＝x2+px+q通过定点；（2）证明：下列两个二次方程，x2+ax+b＝0与x2+px+q＝0中至少有一个方程有实数解．18．（8分）（2019秋•江夏区月考）如图，A（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点在一次函数y2＝﹣x+m与二次函数y1＝ax2+bx﹣3图象上．（1）求m的值和二次函数的解析式．（2）请直接写出使y2＞y1时，自变量x的取值范围．（3）说出所求的抛物线y1＝ax2+bx﹣3可由抛物线y＝x2如何平移得到？19．（9分）（2019秋•庆云县期中）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12米，BC＝24米，动点P从点A开始沿边AB向B以2米/秒的速度运动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC向C以4米/秒的速度运动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动时间为x秒，四边形APQC的面积为y平方米．（1）求y与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围；（2）求当x为多少时，y有最小值，最小值是多少？20．（10分）（2020春•海伦市校级期末）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．B卷（50分）一．填空题（每小题4分，共20分）21．（2020•浙江自主招生）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，min{a，b}＝b；当a＜b时，min{a，b}＝a．如：min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．22．（2019•南昌一模）将函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为．23．（2019秋•伊通县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，点P，点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为（4，0），则点Q的坐标为．24．（2019秋•正宁县校级月考）若函数y＝（m+2）x m2+m是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为．25．（2020•界首市一模）写出经过点（0，0），（﹣2，0）的一个二次函数的解析式（写一个即可）二．解答题（共30分）26．（8分）（2020•房山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．（1）将y＝x2﹣2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）与y轴的交点坐标是，与x轴的交点坐标是；（3）在坐标系中利用描点法画出此抛物线．x……y……（4）不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集是．27．（10分）（2019秋•勃利县期末）如图，抛物线y1＝a（x﹣1）2+4与x轴交于A（﹣1，0）．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）一次函数y2＝x+1的图象与抛物线相交于A，C两点，过点C作CB垂直于x轴于点B，求△ABC 的面积．28．（12分）（2020•相山区二模）已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？。

A ．y 轴B ．直线 x ＝C ．直线 x ＝2D ．直线 x ＝ 4．一次函数 y ＝ax ＋b 和反比例函数 y ＝ 在同一平面直角坐标系中的图象如图 8－Z －1第二章 二次函数 .一、选择题(本大题共 7 小题，共 28 分).1．已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值 2D ．最大值 2..2．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的 x 与 y 的部分对应值如下表..：xy－15 01 1－1 2－131则该二次函数图象的对称轴为().52323．若二次函数 y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1 的图象过原点，则 m 的值为()A ．±1B ．0C ．1D ．－1图 8－Z －1cx所示，则二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为()图 8－Z －25．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x ，该药品原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )为直线 x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点 B ⎝－2，y 1⎭， C ⎝－2，y 2⎭为函数图象上的两点，则 y 1＜y 2.其中正确的是(物线的表达式为 y ＝－ x 2＋b ，则隧道底部宽 AB 为________m.C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)图 8－Z －36．如图 8－Z －3 是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴⎛ 5 ⎫⎛ 1 ⎫A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③)图 8－Z －47．如图 8－Z －4，△Rt OAB 的顶点 A (－2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 △Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90°△，得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题(本大题共 5 小题，共 25 分)8．函数 y ＝(x －2)(3－x )取得最大值时，x ＝________．9．将抛物线 y ＝2(x －1)2＋2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图 8－Z －5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－Z －7 所示的平面直角坐标系，若抛1 2图8－Z－5图8－Z－6 11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．图8－Z－7三、解答题(共47分)13．(14分)如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD 的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图8－Z－814．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点P△，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点P运动到什么位置时△，PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．图8－Z－9)＝ .故选 D.轴为直线 x ＝－1，则－ ＝－1，即 2a －b ＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点 A (－3，以③错误；④点 B ⎝－2，y 1⎭在对称轴左侧 1.5 个单位长度处，点 C ⎝－2，y 2⎭在对称轴右侧7．C8. 10．8 [解析] 由题意可知抛物线 y ＝－ x 2＋b 的顶点坐标为(0，8)，∴b ＝8，∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ x 2＋8.当 y ＝0 时，0＝－ x 2＋8，解得 x ＝4 或－4，∴x ＝－ >0，详解详析1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线 x ＝ 0＋3 2(或1＋2 32 23．D 4.C 5.C6．B [解析]①由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b 2－4ac ＞0，所以①正确；②因为对称b2a0)，对称轴为直线 x ＝－1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)，于是有 a ＋b ＋c ＝0，所⎛ 5 ⎫ ⎛ 1 ⎫0.5 个单位长度处，找出相应的点，显然 y 1＜y 2，所以④正确．故选 B.5 29．y ＝2(x ＋2)2－2(或 y ＝2x 2＋8x ＋6)1 21 2 1 2∴水面宽 AB ＝4＋4＝8(m)．故答案为 8.11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a >0.又对称轴在 y 轴的右侧，b2a∴b <0，①错误．当 x ＝－1 时，抛物线在 x 轴上方，∴y ＝a －b ＋c >0，②错误．设平移后的抛物线顶点为 E ，与 x 轴右边的交点为 D ，则阴影部分的面积与平行四边形 CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－2，∴S ＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶∴BC ＝ ×12－x ＝6－x .∴y ＝ x (6－x )＝－ x 2＋3x ，即 y ＝－ x 2＋3x .(2)y ＝－ x 2＋3x ＝－ (x －3)2＋4.5， ∵a ＝－ ＜0，∴ ＝－2.⎩点坐标公式，得 y C ＝－2，4ac －b 2 4a∵c ＝－1，解得 b 2＝4a ，④正确．故填③④.12．(1＋ 7，3)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB ＝x ，12∵E ，F ，G ，H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 12 21 21 12 2 12∴y 有最大值，当 x ＝3 时，y 有最大值，为 4.5. 14．解：(1)由题意可得：⎧⎪300－10x （0≤x ≤30）， y ＝⎨⎪300－20x （－20≤x <0）.(2)由题意可得：⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x <0），化简得：⎧－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩－20x 2－100x ＋6000（－20≤x <0），⎪⎩ －20（x ＋ ）2＋6125（－20≤x <0）. 即 6000＝－20(x ＋ )2＋6125，6000＝－10(x －5)2＋6250，⎧⎪－10（x －5）2＋6250（0≤x ≤30），即 w ＝⎨ 5 2由题意可知 x 应取整数，所以当 x ＝－2 或 x ＝－3 时，w ＜6125＜6250，故当销售价格为每件 65 元时，月利润最大，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥6000，如图，令 w ＝6000，52解得 x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10，∴－5≤x ≤10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元)，才能使每月利润不少于 6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，⎧a －b ＋c ＝0，⎧a ＝1，把 A ，B ，C 三点的坐标分别代入可得⎨16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎨b ＝－3，⎩c ＝－4，⎩c ＝－4，∴这个二次函数的表达式为 y ＝x 2－3x －4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点 P ，连接 OP ，CP ，如图①，∴PO ＝PC ，此时点 P 即为满足条件的点．∵C (0，－4)， ∴D (0，－2)，∴点 P 的纵坐标为－2.当 y ＝－2 时，即 x 2－3x －4＝－2，(不合题意，舍去)，x 2＝∴存在满足条件的点 P ，其坐标为( ，－2)．3－ 17 3＋ 17解得 x 1＝ 2 2.3＋ 17 2(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P (t ，t 2－3t －4)．过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ，交直线 BC 于点 F ，如图②， ∵B (4，0)，C (0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝x －4， ∴F (t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ，1 1 1 1 1 ∴S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝2PF · OE ＋2PF · BE ＝2PF ·(OE ＋BE )＝2PF · OB ＝2(－t 2＋4t )×4＝－2(t －2)2＋8，∴当 t ＝2 时，△S PBC 最大，且最大值为 8，此时 t 2－3t －4＝－6，∴当点 P 的坐标为(2，－6)时△， PBC 的面积最大，最大面积为 8.。