3.1.1 导数与函数的单调性 课件(北师大选修2-2)

[精解详析]
ln x 由于f(x)＝ x ，
1 x－ln x 1－ln x x· 所以f′(x)＝ ＝ ， x2 x2 由于0<x<2，所以ln x<ln 2<1， 1－ln x 故f′(x)＝ >0， x2 即函数在区间(0,2)上是增加的．
[一点通]
利用导数判断或证明一个函数在给定区间
上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0) 在给定区间上恒成立．一般步骤为： ①求导f′(x)；
(3)由不等式恒成立求参数范围；
(4)验证等号是否成立．
7．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则m的 取值范围是________．
解析：因为f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数， f′(x)＝3x2＋2x＋m，由题意可知f(x)在R上只能增 1 加，所以Δ＝4－12m≤0，所以m≥ . 3 1 答案：[ ，＋∞) 3
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3．判断y＝ax3－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax2，又x2≥0. (1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.
[例2]
求下列函数的单调区间：
(1)y＝2x－ln x； x (2)y＝ ＋cos x； 2 (3)y＝x3－x.
(2)已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往
转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0在给定区 间恒成立，从中求出参数范围，但应注意能否取到等号需 要单独验证．
[思路点拨]
先确定函数的定义域，再对函数求导，
然后求解不等式f′(x)>0，f′(x)<0，并与定义域求交集从 而得到相应的单调区间．
[精解详析]
(1)函数的定义域为(0，＋∞)，
1 其导函数为y′＝2－x. 1 1 令2－x>0，解得x> ； 2 1 1 令2－x<0，解得0<x< . 2
1 1 因此， 2，＋∞ 为该函数的单调增区间， 0，2 为该函
3 2
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·x)′＝(1＋x)·x>0. e e
答案：B
1 2.证明函数f(x)＝x＋x在(0,1]上是减少的．
2 1 x －1 证明：∵f′(x)＝1－ 2＝ 2 ， x x
又∵x∈(0,1]，∴x2－1≤0(只有x＝1时等号成立)， 1 ∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋x在(0,1]上为减少的．
如下关系： 导函数的正负 函数在(a，b)上的单调性 增加 减少 常数函数
f′(x)＞0
f′(x)＜0
f′(x)＝0
(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点
使f′(x)＝0，而其余点恒有f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)仍 为增加的(或减少的)，例如函数y＝x3，x∈R，则f′(x)＝ 3x2，尽管当x＝0时，f′(x)＝0，但该函数y＝x3在R上仍 为增加的．
答案：B
6．求下列函数的单调区间： (1)y＝x3－2x2＋x； 1 2 (2)y＝ x ＋aln x. 2
解：(1)y′＝3x2－4x＋1. 1 令3x －4x＋1>0，解得x>1或x< ， 3
2
因此，y＝x3－2x2＋x的单调递增区间为(1，＋∞)，
1 －∞， . 3
1 再令3x －4x＋1<0，解得 <x<1. 3
②判断f′(x)的符号；
③给出单调性结论．
1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是 A．y＝sin x C．y＝x3－x B．y＝x·x e
(
)
D．y＝ln x－x
解析：(sin x)′＝cos x， (x·x)′＝ex＋x·x＝(1＋x)·x， e e e 1 (x －x)′＝3x －1，(ln x－x)′＝x－1，
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第 三 章 §1
1.1
把握热 点考向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
1．1 导数与函数的单调性
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2x，
1 (4)y4＝2x，(5)y5＝log2x，(6)y6＝log 1 2
x.
问题1：求上面六个函数的导数．
(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在
该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充 要条件．
[例1]
ln x 证明函数f(x)＝ x 在区间(0,2)上是增加的．
[思路点拨]
要证函数f(x)在(0,2)上为增加的，只要
证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可．
2
因此，y＝x －2x
3
2
1 ＋x的单调递减区间为3，1.
x2＋a a (2)函数的定义域为(0，＋∞)，y′＝x＋ x ＝ x ，当a≥0时 1 2 y′>0，∴y＝ x ＋aln x的增区间为(0，＋∞)，无减区间．当 2 a<0时，由y′>0得x> －a，由y′<0得0<x< －a， 1 2 ∴y＝ x ＋aln x的增区间为( －a，＋∞)，减区间为(0， －a). 2
ax＋1 8．已知函数f(x)＝ 在(－2，＋∞)内是减少的，求实 x＋2 数a的取值范围． ax＋1′x＋2－ax＋1· x＋2′ 解：f′(x)＝ x＋22
2a－1 ＝ ，由函数f(x)在(－2，＋∞)内是减少的知 x＋22 f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立， 2a－1 即 ≤0在(－2，＋∞)内恒成立， x＋22
数的单调减区间．
1 (2)函数的定义域为R，y′＝ －sin x. 2 1 令 －sin x<0， 2 π 5π 解得2kπ＋ <x<2kπ＋ (k∈Z)； 6 6 1 7π π 令 －sin x>0，解得2kπ－ <x<2kπ＋ (k∈Z)． 2 6 6
π 5π 因此函数递减区间为 2kπ＋ 6，2kπ＋ 6 (k∈Z)，递增区间 7π π 为2kπ－ 6 ，2kπ＋6 (k∈Z)．
提示：(1)y′1＝2，(2)y′2＝－1，(3)y′3＝2xln 2，
1 (4)y′4＝2xln
1 ＝－2xln 2， 2
1 1 1 (5)y′5＝ ，(6)y′6＝ ＝－ . xln 2 1 xln 2 xln 2
问题2：试判断所求导数的符号．
提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．
1 因此a≤ . 2 1 x＋1 2 1 1 又当a＝ 时，f(x)＝ ＝ 为常数函数， 2 x＋2 2
1 所以不符合题意，所以a的取值范围是－∞，2.
(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定 函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨 论导数的符号来确定函数的单调区间．
(3)函数的定义域为R，y′＝3x2－1. 3 3 令3x －1<0，解得－ <x< ； 3 3
2
3 3 令3x －1>0，解得x<－ 或x> . 3 3
2
因此－
3 3 ， 为函数的单调递减区间， 3 3
3 3 ， ，＋∞为函数的单调递增区间． 3 3
1 2 5．(2012· 辽宁高考)函数y＝ x －ln x的单调递减区间为 2 ( A．(－1,1] C．[1，＋∞) B．(0,1] D．(0，＋∞) )
1 2 解析：函数y＝ x －ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x 2 1 x－1x＋1 －x＝ ，令y′≤0，则可得0<x≤1. x
－∞，－
[一点通]
利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上
是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0.但要特别注意的是， 不能忽略函数的定义域，应首先求出函数的定义域，在 定义域内解不等式．另外，如果函数的单调区间不止一 个时，应用“及”“和”等连接，而不能写成并集的形式．
4．函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像如右 图，则函数f(x)的 递增区间为________． 解析：当－1≤x≤0或x≥2时f′(x)≥0，可得递增区间为[－ 1,0]和[2，＋∞)． 答案：[－1,0]和[2，＋∞)
1 解得a≥ . 3 1 当a＝ 时，f′(x)＝x2－2x＋1＝0， 3 有且只有f′(1)＝0. 1 所以，实数a的取值范围为[ ，＋∞)． 3
[一点通] 已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]的单调性，求参数 的取值范围的步骤：
(1)求导数y＝f′(x)；
(2)转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在x∈[a，b]上恒成立问题；
问题3：试判断上面六个函数的单调性． 提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义 域上是减少的． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
提示：当f′(x)>0时，f(x)为增加的，当f′(x)<0时，f(x)
为减少的．
函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有
[例3]
若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增加的，
求实数a的取值范围．
[精解详析] 因为f′(x)＝3ax2－2x＋1，
由题意f(x)在R上是增加的， 知f′(x)≥0对x∈R恒成立， 即3ax2－2x＋1≥0在R上恒成立． 当a＝0时，显然不成立，
a>0， 所以 Δ＝4－12a≤0，