2013届高考数学一轮复习 第10讲 空间中的平行关系精品学案

课时6 空间中的平行关系（课前自学案）重点处理的问题（预习存在的问题）：一、高考考纲要求1.了解直线和平面的位置关系；2.掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．3.了解平面和平面的位置关系；4.掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．二、基础知识梳理1.线面平行的判定定理：①文字语言表述：平面外一条直线，则该直线与此平面平行。

②符号语言表述：；错误！未找到引用源。

③作用：线线平行⇒线面平行2.面面平行的判定定理：①文字语言表述：一个平面内的与另一个平面平行，则这两个平面平行。

②符号语言表述：；错误！未找到引用源。

③作用：线面平行⇒面面平行3.线面平行的性质定理：①文字语言表述：一条直线与一个平面平行，则；②符号语言表述：；③作用：线面平行⇒线线平行4.面面平行的性质定理：①文字语言表述：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则；②符号语言表述：；错误！未找到引用源。

③作用：面面平行错误！未找到引用源。

线线平行5.面面平行性质的推论：①文字语言表述：两个平面平行，则；②符号语言表述：；错误！未找到引用源。

③作用：面面平行⇒线面平行三、课前自测1. 判断正错（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；（3）平行于同一平面的两直线平行。

（4）一条直线与一平面平行，它就和这个平面内任一直线平行。

（5）与两相交平面的交线平行的直线，必平行于这两个相交平面。

（6）若两平行线中的一条平行于某个平面，则另一条也平行与这个平面 2．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题 ①若m ⊂α，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若α∩β=n ，m∥n，则m∥α且m∥β； 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3课时6空间中的平行关系(课内探究案)典型例题【例1】如图所示，四面体ABCD 被一平面所截， 截面EFGH 为平行四边形.求证：GH CD //.跟进练习1 三棱柱111ABC A B C -中，过11AC 与点B 的平面α 交平面ABC 于直线L,试判定L 与11AC 的关系，并给出证明. 备课札记 学习笔记B FG HE A DCPDC BA考点二：线面平行问题【例2】如图在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，N M ,分别是PC AB ,的中点，求证：MN // 平面PAD .跟进练习2正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1、BC 1上分别有两点E 、F ， 且B 1E =C 1F .求证：EF ∥平面ABCD .考点三：面面平行问题【典例3】 在正方体1111D C B A ABCD -中，P N M ,,分别为11111,,D C C B CC 的中点.求证：平面MNP // 平面BD A 1.备课札记 学习笔记D D AA C CB B1111A B 1D 1 C 1 A 1 D C BC 1B 1ACBA【变式3】如图所示，三棱柱111C B A ABC -，D 是BC 的中点，1D 是11C B 的中点，E 为1AC 的中点，求证：平面11BD A // 平面D AC 1.课堂检测1．下列命题中，可以判断平面α∥β的是（ ）①α，β分别过两条平行直线；②a ，b 为异面直线，α过a 平行b ，β过b 平行a.A ①B ②C ①②D 无 2. 设m ，n 是平面α 内的两条不同直线，1l ，2l 是平面β 内的两条相交直线，则α// β的一个充分而不必要条件是（ ）A.m // β 且1l //α B. m // 1l 且n // 2lC. m // β 且n // βD. m // β且n // l 23. 如图，S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SM AM =NDBN。

课题：《空间中的平行关系》复习课一、教学目标：1、知识与技能目标：通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。

2、过程与方法目标：通过背定理、小组互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。

3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。

二、教学重点与难点：重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。

难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。

三、教学方法：合作探究教学法、引导式教学法四、学情分析：1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。

五、教学过程：4. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD的中点，F是线段CD上任意一点(不包括端点)，平面PBF与平面ACE交于直线GH. 求证：PB∥GH..AB DEBC EF =证明：BE//面α6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?检测题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的中点。

课题：《空间中的平行关系》复习课一、教学目标：1、知识与技能目标：通过复习三个平行的关系，使学生在《立体几何》的证明中能够正确运用定理证明三个平行，从而使学生重新认识学习立体几何的目的，明确立体几何研究的内容；使学生初步建立空间观念，会看空间图形的直观图；使学生知道立体几何研究问题的一般思想方法。

2、过程与方法目标：通过背定理、小组互相讨论等环节，使学生形成自主学习、语言表达等能力，以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助图形，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的学习方式，完善思维结构，发展空间想象能力。

3、情感、态度、与价值观目标：在教学过程中培养学生创新意识和数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣并注意在小组合作学习中培养学生的合作精神。

二、教学重点与难点：重点：培养空间想象能力，明确证明空间中的平行关系的一般思想方法，并会应用。

难点：在证明的过程中做辅助线或辅助平面。

三、教学方法：合作探究教学法、引导式教学法四、学情分析：1、由于这是复习课，学生已经系统学习了立体几何的知识，本节课就是让学生更深入地对空间中几何图形的平行位置和数量关系进行推理和计算；2、学生在学习过程中将会遇到一些问题：不能很好地使用直观图来表示立体图形、不能准确的做出辅助线、证明过程书写不规范等等。

五、教学过程：4. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱PD的中点，F是线段CD上任意一点(不包括端点)，平面PBF与平面ACE交于直线GH. 求证：PB∥GH..AB DEBC EF =证明：BE//面α6.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO?检测题：如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E是侧棱PA上的中点。

授课时间 年 月 日 第 周 星期 编号 课题 空间中的平行关系课型复习学习目标掌握空间中的各种平行关系会应用平行的判定定理和性质定理解题,培养学生的空间想象能力学习重点 平行中的四个定理 学习难点 利用平行定理求综合问题导学设计一.学情调查，情景导入1、直线与直线平行定义：2、直线与平面平行定义：3、直线与平面平行的判定定理：4、直线与平面平行的性质定理：5、直线与平面所成的角：6、平面与平面平行的判定定理：7、平面与平面平行的性质定理：8、二面角：二.问题展示，合作探究探究类型一：共线、共点和共面问题例1、如图所示，平面ABD 平面BCD ＝直线BD ，M 、N 、P 、Q 分别为线段AB 、BC 、CD 、DA 上的点，四边形MNPQ 是以PN 、QM 为腰的梯形。

试证明三直线BD 、MQ 、NP 共点。

探究类型二：直线与平面平行的判定和性质例2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE 。

探究类型三：平面与平面平行的判定和性质例3、P 是△ABC 所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC 、△PCA 、△PAB 的重心。

求证：平面A′B′C′∥平面ABC 。

三. 达标训练，巩固提升1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A. α内的所有直线均与直线a 异面B. α内不存在与直线a 平行的直线C. 直线a 与平面α有公共点D. α内的直线均与a 平行 2．a 、b 是两条异面直线，A 是不在a 、b 上的点，则下列结论成立的是 A.过A 有且只有一个平面平行于a 、b B.过A 至少有一个平面平行于a 、b C.过A 有无数个平面平行于a 、bD.过A 且平行a 、b 的平面可能不存在3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）A.异面B.相交C.平行D.不能确定4．如图，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB//面MNP 的图形的序号是__________.（写出所有符合要求的图形的序号）QPMNFEDC B A5．平面α//平面β，βα⊂⊂b a ,，则直线a 、b 的位置关系是（ ） A 、平行 B 、相交 C 、异面 D 、平行或异面 6．在正方体ABCD －1111D C B A 中，M 、N 、P 分别是11111,,D C C B CC 的中点，则平面MNP 与平面BD A 1的位置关系__________.7．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝_______.8．如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线只和这个平面内的( ) A ．一条直线不相交 B ．两条相交直线不相交 C ．无数条直线不相交 D ．任意一条直线都不相交 四．知识梳理，归纳总结这一节课我们学到了什么？五、预习指导，新课链接空间中的垂直关系。

1.5空间中的平行关系（优质课）教案教学目标：了解直线和平面的三种位置关系； 理解并掌握直线与平面平行的判定定理； 理解并掌握直线与平面平行的性质定理； 理解并掌握平面与平面平行的性质定理．教学过程：一、直线与平面的位置关系//a α二、直线和平面平行1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．推理模式：////a b a a b ααα⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线面平行．3、该定理可简记为“线线平行，则线面平行．” 3. 性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．推理模式 ////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭特别说明：1、定理中的三个条件缺一不可．2、该定理的作用：证明线线平行．3、该定理可简记为“线面平行，则线线平行．” 三、平面和平面的位置关系四、平面与平面平行 1.两平面互相平行的定义如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行． 2.两平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．推理模式：．简言之：线面平行面面平行推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行． 3.两个平面平行的性质如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．推理模式：////a a b b αβγαγβ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭．简言之：面面平行⇒线线平行特别说明：平面与平面平行的其它性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面． （2）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．（3）经过平面外一点，有且仅有一个平面和已知平面平行．,//,////a a b b a b A αβαβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭⇒a（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．类型一线面平行例1：b是平面α外的一条直线，可以推出b∥α的条件是()A．b与α内的一条直线不相交B．b与α内的两条直线不相交C．b与α内的无数条直线不相交D．b与α内的任何一条直线都不相交解析：∵b∥α，∴b与α无公共点，从而b与α内任何一条直线无公共点．答案：D练习1：(2014·甘肃天水一中高一期末测试)直线在平面外是指()A．直线与平面没有公共点B．直线与平面相交C．直线与平面平行D．直线与平面最多有一个公共点答案：D练习2：点M、N是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1A与A1B1的中点，P是正方形ABCD的中心，则MN与平面PCB1的位置关系是()A．平行B．相交C．MN⊂平面PCB1D．以上三种情形都有可能答案：A如图，∵M、N分别为A1A和A1B1中点，∴MN∥AB1，又∵P是正方形ABCD的中心，∴P、A、C三点共线，∴AB1⊂平面PB1C，∵MN⊄平面PB1C，∴MN∥平面PB1C.练习3：在正方体ABCD－A1B1C1D1中和平面C1DB平行的侧面对角线有________条．答案：3例2：(2014江西丰城三中高一期末测试)如图，已知E、F分别是三棱锥A－BCD的侧棱AB、AD的中点，求证：EF∥平面BCD.解析：找到平面BCD中与EF平行的直线，即可由定理证明结论．答案：证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF∥BD.又∵EF⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.练习1：((2014·山东济南一中月考)如图所示，已知P是▱ABCD所在平面外的一点，M是PB的中点，求证：PD∥平面MAC.答案：连接BD交AC于点O，连接OM.根据题意，得O是BD的中点，M是PB的中点．∴在△BPD中，OM是中位线，∴OM∥PD.又∵OM⊂平面MAC，PD⊄平面MAC.∴PD∥平面MAC.练习2：(2014·陕西宝鸡园丁中学高一期末测试)如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 对角线的交点，求证：C 1O ∥平面AB 1D 1.答案：连接A 1C 1交B 1D 1于点O 1， ∵AO ∥C 1O 1，AO =C 1O∴四边形AOC 1O 1是平行四边形， ∴C 1O ∥AO 1.又∵C 1O ⊄平面AB 1D 1， AO 1⊂平面AB 1D 1， ∴C 1O ∥平面AB 1D 1.例3：已知直线a ∥平面α，a ∥平面β，α∩β＝b ，求证a ∥b .解析：若直接证明两条直线a 与b 平行，则相当困难，注意到线面平行的条件，联想到性质定理，则可想到用构造法作辅助平面来帮助证明．答案：在平面α上任取一点A ，在β上任取一点B ，且A 、B 都不在直线b 上．∵a ∥α，a ∥β，∴A ∉a ，B ∉a ，∴由a 与A ，a 与B 可分别确定平面γ1，γ2， 设γ1∩α＝c ，γ2∩β＝d ， 则a ∥c ，且a ∥d ，∴c ∥d . 又d ⊂β，且c ⊄β，∴c ∥β. 又c ⊂α且α∩β＝b ，∴c ∥b . 而a ∥c ，∴a ∥b .练习1：三个平面α、β、γ两两相交，有三条交线l 1、l 2、l 3，如果l 1∥l 2.求证：l 3与l 1、l 2平行． 答案：如图，α∩β＝l 1，β∩γ＝l 2，α∩γ＝l 3，l 1∥l 2.⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫l 1∥l 2l 2⊂γl 1⊄γ⇒l 1∥γ l 1⊂α α∩γ＝l 3⎭⎪⎬⎪⎫⇒l 1∥l 3 l 1∥l 2⇒l 3∥l 1∥l 2.练习2:如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，N 是PB 的中点，过A 、N 、D 三点的平面交PC 于点M ，求证：AD ∥MN .答案：∵ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，又BC ⊂平面PBC ， AD ⊄平面PBC ，∴AD ∥平面PBC ，又AD ⊂平面ADMN ，平面PBC ∩平面ADMN ＝MN ，∴AD ∥MN .类型二 平面与平面平行例3：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、A 1B 1、A 1C 1的中点，求证：平面EFA 1∥平面BCHG .解析：运用平面平行的判定．答案：∵E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.练习1：如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.答案：∵AB A1B1，C1D1A1B1，∴AB C1D1.∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴AD1∥BC1.又AD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.练习2：已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E. 答案：如图，取BB 1的中点G，连接EG、GC1，则有EG A1B1.又A1B1C1D1，∴EG C1D1.∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1E GC1.又BG C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，∴BF∥平面B1D1E.又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.练习3：在正方体EFGH－E1F1G1H1中，平面E1FG1与平面EGH1，平面FHG1与平面F1H1G，平面F1H1H与平面FHE1，平面E1HG1与平面EH1G中互相平行的对数为()A．0 B．1C．2 D．3答案：本题考查面面平行的判定．∵EG∥E1G1，FG1∥EH1，EG∩EH1＝E，E1G1∩FG1＝G1，∴平面EGH1∥平面E1FG1，经验证其他3对均不平行，故选B.例4：将已知：平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在这两个平面之间的线段， 且点E 、G 分别为AB 、CD 的中点，AB 不平行于CD ，如图所示． 求证：EG ∥α，EG ∥β.解析：由平面平行的性质除法得到结论．答案：如图所示，过点A 作AH ∥CD ，交平面β于点H ，设F 是AH 的中点，连接HD ，则AH 綊CD ， ∴四边形ACDH 为平行四边形． 连接EF 、FG 和BH ，∵E 、F 分别是AB 、AH 的中点，∴EF ∥BH . ∵EF ⊄平面β，且BH ⊂平面β，∴EF ∥β.又F 、G 分别是AH ，CD 的中点，且AC ∥HD ， ∴FG ∥HD .又∵FG ⊄平面β，HD ⊂平面β，∴FG ∥β. ∵EF ∩FG ＝F ，∴平面EFG ∥β， 又α∥β，∴平面EFG ∥α.∵EG ⊂平面EFC ，∴EG ∥α，EG ∥β. 练习1：知平面α、β、γ，α∥β∥γ，异面直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于A 、B 、C 和D 、E 、F .求证：AB BC ＝DE EF.答案：连接DC ，设DC 与平面β相交于G ，则平面ACD 与平面α、β分别交于AD 、BG ， 平面DCF 与平面β、γ分别相交于直线GE 、CF ， ∵α∥β，β∥γ，∴BG ∥AD ，GE ∥CF ， ∴AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF ，∴AB BC ＝DE EF. 练习2：若平面α∥平面β，直线a ⊂α，直线b ⊂β，那么a 、b 的位置关系是( )A ．无公共点B ．平行C ．既不平行也不相交D ．相交 答案：A1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a 、b 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αD ．若a ∥b ，a ∥α，则b ⊂α或b ∥α 答案：D2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出四个命题：①OM ∥平面PCD ；②OM ∥平面PBC ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA . 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：B3．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为( )A ．都平行B ．都相交且交于同一点C ．都相交但不一定交于同一点D ．都平行或都交于同一点 答案：D4．如图，在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND，则MN 与平面BDC 的位置关系是________．答案： 平行5．在下列条件中，可判断平面α与平面β平行的是（ ）A 、,αβ都垂直于γB 、α内存在不共线的三点到β的距离相等C 、,l m 是α内两条直线，且//,//l m ββD 、,l m 是两条异面直线，且//,//,//,//l m l m ααββ答案：D6. 有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a ，α∩β＝b ，且a ∥b (α、β、γ分别表示平面，a 、b 表示直线)，则γ∥β； ③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β. 其中正确的有________．(填序号) 答案： ③_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．(2014·江西丰城三中高一期末测试)已知直线a 、b 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．若a ∥α，b ⊂α，则a ∥bB ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bC ．若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥αD ．若a ∥b ，a ∥α，则b ⊂α或b ∥α答案： D 若a ∥α，b ⊂α，则a ∥b 或a 与b 是异面直线；若a ∥α，b ∥α，则a 与b 相交、平行或异面；若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α或a ⊂α，故选D.2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出四个命题：①OM ∥平面PCD ；②OM ∥平面PBC ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA . 其中正确命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4答案：B由已知OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面P AD.故正确的只有①③，选B. 3．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或都交于同一点答案：D4.．若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，那么a、b的位置关系是()A．无公共点B．平行C．既不平行也不相交D．相交答案：A5．若两直线a、b相交，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．答案：相交或平行能力提升6．若平面α∥β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条直线与a平行C．存在无数条直线与a平行D．存在惟一一条与a平行的直线答案：D7.已知a是一条直线，过a作平面β，使β∥平面α，这样的β()A．只能作一个B．至少有一个C．不存在D．至多有一个答案：D8.已知α∥β，O是两平面外一点，过O作三条直线和平面α交于不在同一直线上的A、B、C三点，和平面β交于A′、B′、C′三点，则△ABC与△A′B′C′的关系是________，若AB＝a，A′B′＝b，B′C′＝c，则BC的长是________．答案：相似ac b9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC 的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________________时，有MN∥平面B1BDD1.答案：M在线段FH上移动10.正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面AA1C1C和平面BB1D1D的交线与棱CC1的位置关系是________，截面BA1C1和直线AC的位置关系是________．答案：平行平行11.在正方体ABCD－A1B1C1D1，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点，如图所示．(1)求证：E、F、B、D四点共面；(2)求证：平面AMN∥平面EFBD.答案：(1)分别连接BD、ED、FB，由正方体性质知，B1D1∥BD.∵E、F分别是C1D1和B1C1的中点，∴EF 12B1D1，EF12BD.∴E、F、B、D四点共面．(2)连接A1C1交MN于P点，交EF于点Q，分别连接PA、QO.∵M、N分别为A1B1、A1D1的中点，∴MN∥EF，EF⊂面EFBD，∴MN∥面EFBD.∵PQ AO，∴四边形PAOQ为平行四边形，∴PA∥QO.而QO⊂面EFBD，∵PA∥面EFBD，且PA∩MN＝P，PA、MN⊂面AMN，∴平面AMN∥面EFBD.。

空间里的平行关系数学教案第一章：引言1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念引导学生观察和识别日常生活中的平行关系1.2 教学内容平面及其特性平行关系的定义与性质1.3 教学活动引入平面图形，引导学生观察和描述平面的特性通过实际生活中的例子，让学生识别和解释平行关系1.4 教学评估观察学生对平面概念的理解程度评估学生对平行关系识别和解释的能力第二章：平行线的性质2.1 教学目标让学生掌握平行线的定义和性质培养学生运用平行线解决实际问题的能力2.2 教学内容平行线的定义与判定平行线的性质与推论2.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行线的定义和性质让学生通过实际问题，运用平行线的性质解决问题2.4 教学评估检查学生对平行线定义和性质的理解程度评估学生运用平行线解决实际问题的能力第三章：平行公理3.1 教学目标让学生理解和掌握平行公理的概念培养学生运用平行公理解决几何问题的能力3.2 教学内容平行公理的定义与证明平行公理的应用与推论3.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行公理的概念和证明让学生通过实际问题，运用平行公理解决问题3.4 教学评估检查学生对平行公理的理解程度评估学生运用平行公理解决几何问题的能力第四章：平行线的判定4.1 教学目标让学生掌握平行线的判定方法培养学生运用平行线判定解决几何问题的能力4.2 教学内容平行线判定定理与推论平行线判定在实际问题中的应用4.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行线判定定理和方法让学生通过实际问题，运用平行线判定解决问题4.4 教学评估检查学生对平行线判定定理和方法的理解程度评估学生运用平行线判定解决几何问题的能力第五章：平行关系在实际问题中的应用5.1 教学目标让学生理解平行关系在实际问题中的应用培养学生运用平行关系解决实际问题的能力5.2 教学内容平行关系在实际问题中的例子平行关系在解决几何问题中的应用5.3 教学活动通过实际例子，引导学生理解和识别平行关系在实际问题中的应用让学生通过解决几何问题，运用平行关系解决问题5.4 教学评估检查学生对平行关系在实际问题中的应用的理解程度评估学生运用平行关系解决实际问题的能力第六章：平行四边形的性质6.1 教学目标让学生掌握平行四边形的定义和性质培养学生运用平行四边形性质解决几何问题的能力6.2 教学内容平行四边形的定义与判定平行四边形的性质与推论6.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行四边形的定义和性质让学生通过实际问题，运用平行四边形的性质解决问题6.4 教学评估检查学生对平行四边形定义和性质的理解程度评估学生运用平行四边形解决几何问题的能力第七章：平行四边形的判定7.1 教学目标让学生掌握平行四边形的判定方法培养学生运用平行四边形判定解决几何问题的能力7.2 教学内容平行四边形判定定理与推论平行四边形判定在实际问题中的应用7.3 教学活动通过图形和实例，引导学生理解和记忆平行四边形判定定理和方法让学生通过实际问题，运用平行四边形判定解决问题7.4 教学评估检查学生对平行四边形判定定理和方法的理解程度评估学生运用平行四边形判定解决几何问题的能力第八章：平行关系与坐标系8.1 教学目标让学生理解在坐标系中平行关系的表示和应用培养学生运用坐标系解决与平行关系相关的几何问题8.2 教学内容坐标系中平行线的表示和性质坐标系中平行公理和判定定理的应用8.3 教学活动通过坐标系图形和实例，引导学生理解和记忆平行线在坐标系中的表示和性质让学生通过实际问题，运用坐标系中平行关系解决问题8.4 教学评估检查学生对坐标系中平行关系表示和性质的理解程度评估学生运用坐标系解决与平行关系相关的几何问题的能力第九章：平行关系在几何证明中的应用9.1 教学目标让学生理解平行关系在几何证明中的应用培养学生运用平行关系进行几何证明的能力9.2 教学内容平行关系在几何证明中的重要性运用平行关系进行几何证明的步骤和方法9.3 教学活动通过几何证明实例，引导学生理解和识别平行关系在几何证明中的应用让学生通过解决几何证明问题，运用平行关系进行证明9.4 教学评估检查学生对平行关系在几何证明中应用的理解程度评估学生运用平行关系进行几何证明的能力10.1 教学目标培养学生运用平行关系解决更复杂几何问题的能力10.2 教学内容平行关系在更复杂几何问题中的应用10.3 教学活动让学生通过解决更复杂的几何问题，运用平行关系解决问题10.4 教学评估检查学生对平行关系知识的掌握程度和运用能力评估学生解决更复杂几何问题的能力重点和难点解析重点环节一：第一章引言中的平面概念理解和日常生活中的平行关系识别。

高中空间中的平行关系教案在高中数学的立体几何部分，平行关系的探究是基础而重要的一环。

它不仅关系到学生对空间直观的理解，也是后续学习的重要基础。

今天，我们就来设计一份高中空间中的平行关系教案范本，以帮助教师更好地展开教学活动。

#### 教学目标1. 理解并掌握直线与平面、平面与平面之间平行关系的定义及性质。

2. 能够运用公理、定理判断和证明空间中的平行关系。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

#### 教学内容- 直线与平面平行的判定及其性质。

- 平面与平面平行的判定及其性质。

- 平行关系的证明方法。

#### 教学过程**导入新课：**开始上课时，通过提问学生日常生活中关于平行现象的实例，如铁轨、桥梁等，引出平行线和平行面的概念。

**讲解新知：**- 首先，明确直线与平面平行的定义，即直线与平面不相交的情况。

- 其次，介绍直线与平面平行的判定方法，例如利用已知的平行线或使用反证法。

- 然后，阐述平面与平面平行的定义，即两个平面不相交的状态。

- 接着，讨论平面与平面平行的判定方法，包括利用公共线的性质等。

**课堂练习：**- 提供若干个直线与平面平行的判断题供学生练习，加深对知识点的理解。

- 设计一道平面与平面平行的题目，让学生尝试证明两平面的平行关系。

**小组合作：**- 分组进行讨论，每组给出一个生活中的例子，说明其中包含的平行关系，并尝试用所学的知识解释其原因。

**总结提升：**- 归纳本节课所学的平行关系的特点和证明方法。

- 强调空间想象力和逻辑推理能力在解决平行关系问题中的重要性。

#### 作业布置- 要求学生独立完成几个直线与平面、平面与平面平行的问题，作为课后练习。

- 鼓励学生在生活中寻找平行关系的实例，并尝试给出数学上的解释。

#### 教学反思- 分析学生在课堂上的表现，了解他们对平行关系的理解程度。

- 思考如何进一步提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

- 根据学生的反馈调整教学方法，确保每个学生都能掌握平行关系的相关知识。

1.2.2空间中的平行关系——线线平行学案
学习目标：1.平行公理
2.等角定理
3.空间四边形
重点：平行公理与等角定理的应用 难点：平行公理与等角定理的应用
一、自主学习、要点解读 一、平行公理
内容： . 基本性质4： . 性质解读：
1．平行线的传递性；
2．无论在平面内，还是在空间中都适用。

例1 如图，在正方体ABCD 1111A B C D 中，E 、F 分别是11B C 、11C D 的中点。

（1）求证：四边形BEFD 是梯形；
（2）求截面BEFD 将正方体所分割的两部分体积比。

二、等角定理
内容： .
定理解读：
1．对定理中的条件“方向相同”是指从角的顶点出发的两条射线的方向分别相同。

2．若将其改为“方向相反”，则这两个角也相等；若将其改为“一边方向相同，而另一边方向相反”，则这两个角互补。

3．等角定理在平面或空间中都适用。

4．等角定理的作用是证明空间两个角相等。

例2 如图，已知1E 、E 分别是正方体ABCD 1111A B C D 的棱11A D 、AD 的中点
求证：BEC ∠与111B E C ∠相等？．
三、空间四边形
顺次连结不共面的四点所构成的图形叫做空间四边形。

概念解读：
1．连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线。

2．空间四边形的对角线是异面直线。

例 3 如图，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形。

2013年高考数学一轮复习精品教学案9.4 空间中的平行关系【考纲解读】1．理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理．◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内．◆公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．◆公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．◆定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理．理解以下判定定理：◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行．◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行．理解以下性质定理，并能够证明：◆如果一条直线与一个平面平行，经过该直线的任一个平面与此平面相交，那么这条直线就和交线平行．◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行．3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.立体几何是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现，难度不大，主要考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判定与证明，考查表面积与体积的求解，考查三视图等知识，在考查立体几何基础知识的同时，又考查数形结合思想、转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查立体几何的基础知识，命题形式相对会较稳定.【要点梳理】1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。

《空间中的平行关系复习课》教学设计一．概述：本节课是在学生学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定定理及其性质定理之后进行的，它蕴含丰富的数学思想，即“空间问题转化为平面问题”，“线线平行与线面平行、面面平行间互相转化”等数学思想．学好本节知识可帮助学生形成严谨、务实、求真的探索精神，为立体几何的学习和提高打下扎实的基础。

二．教学目标分析：知识与技能：使学生掌握线线平行与线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理的本质，充分理解它们之间的内在联系和本质特征，真正掌握将空间问题平面化的技巧。

过程与方法：培养学生的几何识图能力，使他们在读图的同时也能结合所学的定理进行综合应用，在探索解法的过程中掌握定理的本质。

情感、态度与价值观：在体验数学美的过程中激发学生学习兴趣，从而培养学生勤于思考、善于总结的良好品质。

三．学习者特征分析：学生已有的认知基础是已经学过的空间点、直线、平面之间的位置关系和线线平行、线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理等知识，也做了一定量的练习，这对本节知识的学习奠定了一定的基础。

学生学习的困难在于对学过的知识未进行梳理、生搬硬套，从而找不到正确的解题突破口。

教学重点：掌握线线平行与线面平行、面面平行的判定定理及其性质定理的区别和联系；教学难点：在于如何利用所学知识将空间问题平面化。

四．教学策略选择与设计：本节课综合运用讲授式、启发式、自主学习、协作学习等各种策略，指导学生进行自主探索学习。

通过质疑、小组交流等环节完成教学，激发学生的学习兴趣和进一步深入学习的欲望，启迪学生的思维，鼓励学生自己总结，使自身的认知结构得到得到提高和发展。

五、教学资源与工具设计：使用多媒体课件进行教学六．教学过程：七、教学反思：。

一、教学内容：空间平行关系的判定与性质，包括：1、线线平行；2、线面平行；3、面面平行。

二、学习目标1、掌握空间平行关系的判定与性质定理并会应用；2、通过对定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力和运用图形进行交流的能力；3、通过操作确认、直观感知，培养几何直观能力；4、通过典型例子的分析和探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴含其中的思想方法。

三、知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。

（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。

3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。

（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。

空间位置关系—平行(教案)A一、知识梳理：（必修2教材第48页-第61页）1、空间的直线与平面的位置关系：2.直线与平面平行的判定定理:符号表示:证明线面平行的方法:3.直线与平面平行的性质定理:符号表示:证明线线平行的方法:4.空间两个平面的位置关系::符号表示:证明面面平行的方法:6.两个平面平行的性质定理:符号表示:二、题型探究探究一：直线与平面的位置关系：例1：空间四边形ABCD中,M,N分别是三角形ABC与ACD的重心,求证:MN∥面BCD .例2：已知平面=a，b//，b//，求证：b//a。

探究二：平面与平面的位置关系：例3:(1)如果两条直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;(2)如果两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;(3)如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这两个平面平行.其中正确命题是(B)A.(1)(2)B.(2)(4)C.(1)(3)D.(2)(3)例4:已知正方体ABCD-A1B1C1D1 ,求证:平面AB1D1//平面C1BD三、方法提升1、在直线与平面平行的判定定理中,要注意易忽视的条件“线在面外”，否则可能与平面平行，也可能在平面内；利用判定定理证线面平行，关键是找面内与已知直线平行的直线，可先直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线。

2、在平面与平面的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两字不能忽略，否则两个平面可能相交；若两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要做出来。

在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．3、用类比的思想去认识面的垂直与平行关系，注意垂直与平行间的联系。

空间里的平行关系数学教案设计一、教学目标：1. 让学生理解平行线的概念，能够识别和判断空间中的平行关系。

2. 培养学生运用平行线的性质解决实际问题的能力。

3. 提高学生的空间想象力，培养学生的观察能力和思维能力。

二、教学内容：1. 平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。

2. 平行线的性质：平行线上的任意一对对应角相等，同位角相等，内错角相等。

3. 平行线的判定：如果两条直线上的对应角相等，这两条直线平行。

4. 空间中的平行关系：判断空间中的直线是否平行，运用平行线的性质解决问题。

三、教学重点与难点：重点：平行线的定义、性质和判定。

难点：空间中的平行关系的判断。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究平行线的性质和判定。

2. 运用多媒体演示，帮助学生直观理解平行关系。

3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。

五、教学过程：1. 导入：通过生活中的实例，引导学生认识平行关系，激发学生的学习兴趣。

2. 新课导入：介绍平行线的定义，引导学生理解平行线的概念。

3. 案例分析：分析实际问题，运用平行线的性质解决问题。

4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固平行线的性质和判定。

六、教学评价：1. 评价学生对平行线概念的理解程度。

2. 评价学生运用平行线性质解决实际问题的能力。

3. 评价学生的空间想象力和观察能力。

七、教学资源：1. 多媒体教学课件。

2. 练习题和答案。

3. 教学模型和教具。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍平行线的定义和性质。

2. 第二课时：讲解平行线的判定和实际应用。

3. 第三课时：练习和巩固平行线的知识。

九、教学反馈：1. 课后收集学生的练习作业，了解学生的掌握情况。

2. 在下一节课开始时，进行简短的测验，检查学生对平行线知识的掌握。

3. 及时与学生沟通，了解他们在学习过程中的困难和问题，给予个别指导。

十、教学改进：1. 根据学生的反馈和教学评价，调整教学方法和内容，以提高教学效果。

高考数学（理科）一轮复习空间的平行关系学案带答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案43 空间的平行关系导学目标：1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的平行关系．自主梳理．直线a和平面α的位置关系有________、________、__________，其中________与________统称直线在平面外．2．直线和平面平行的判定：定义：直线和平面没有____________，则称直线和平面平行．判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒________；其他判定方法：α∥β，a⊂α⇒________.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒________.4．两个平面的位置关系有________、________.5．两个平面平行的判定：定义：两个平面没有________，称这两个平面平行；判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α；推论：a∩b＝P，a，b⊂α，a′∩b′＝P′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒________.6．两个平面平行的性质定理：α∥β，a⊂α⇒________；α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒________.7．与垂直相关的平行的判定：a⊥α，b⊥α⇒________；a⊥α，a⊥β⇒________.自我检测．平面α∥平面β的一个充分条件是A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βc．存在两条平行直线a，b，a⊂α，a∥β，b⊂β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α2．一条直线l上有相异三个点A、B、c到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是A．l∥αB．l⊥αc．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α3．下列各命题中：①平行于同一直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；④垂直于同一直线的两个平面平行．不正确的命题个数是A．1B．2c．3D．44．经过平面外的两点作该平面的平行平面，可以作A．0个B．1个c．0个或1个D．1个或2个5．在四面体ABcD中，m、N分别是△AcD、△BcD的重心，则四面体的四个面中与mN平行的是________________.探究点一线面平行的判定例1 已知有公共边AB的两个全等的矩形ABcD和ABEF 不在同一平面内，P、Q分别是对角线AE、BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面cBE.变式迁移1 在四棱锥P—ABcD中，四边形ABcD是平行四边形，m、N分别是AB、Pc的中点，求证：mN∥平面PAD.探究点二面面平行的判定例2 在正方体ABcD—A1B1c1D1中，m、N、P分别是c1c、B1c1、c1D1的中点，求证：平面mNP∥平面A1BD.变式迁移2 已知P为△ABc所在平面外一点，G1、G2、G3分别是△PAB、△PcB、△PAc的重心．求证：平面G1G2G3∥平面ABc；求S△G1G2G3∶S△ABc.探究点三平行中的探索性问题例3 如图所示，在四棱锥P—ABcD中，cD∥AB，AD⊥AB，AD＝Dc＝12AB，Bc⊥Pc.求证：PA⊥Bc；试在线段PB上找一点m，使cm∥平面PAD，并说明理由．变式迁移3如图所示，在正方体ABcD—A1B1c1D1中，o为底面ABcD 的中心，P是DD1的中点，设Q是cc1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAo?转化与化归思想综合应用例一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中m、N 分别是AB、Sc的中点，P是SD上的一动点．求证：BP⊥Ac；当点P落在什么位置时，AP∥平面Smc?求三棱锥B—Nmc的体积．多角度审题第问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABcD，第问是一个开放型问题，可有两种思维方式：一是猜想P是SD的中点，二是从结论“AP平行于平面Smc”出发找P满足的条件．【答题模板】证明连接BD，∵ABcD为正方形，∴BD⊥Ac，又SD⊥底面ABcD，∴SD⊥Ac，∵BD∩SD＝D，∴Ac⊥平面SDB，∵BP⊂平面SDB，∴Ac⊥BP，即BP⊥Ac.[4分]解取SD的中点P，连接PN，AP，mN.则PN∥Dc且PN＝12Dc.[6分]∵底面ABcD为正方形，∴Am∥Dc且Am＝12Dc，∴四边形AmNP为平行四边形，∴AP∥mN.又AP⊄平面Smc，mN⊂平面Smc，∴AP∥平面Smc.[8分]解VB—Nmc＝VN—mBc＝13S△mBc•12SD＝13•12•Bc•mB•12SD＝16×1×12×12×2＝112.[12分]【突破思维障碍】．本题综合考查三视图、体积计算及线面平行、垂直等位置关系，首先要根据三视图想象直观图，尤其是其中的平行、垂直及长度关系，第问的关键是根据三视图得到SD⊥平面ABcD，第问是一个开放型问题，开放型问题能充分考查学生的思维能力和创新精神，近年来在高考试题中频繁出现这类题目．结合空间平行关系，利用平行的性质，设计开放型试题是新课标高考命题的一个动向．2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．.直线与平面平行的重要判定方法：定义法；判定定理；面与面平行的性质定理．2.平面与平面平行的重要判定方法：定义法；判定定理；利用结论：a⊥α，a⊥β⇒α∥β.3.线线平行、线面平行、面面平行间的相互转化：一、选择题.下列命题中真命题的个数为①直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．A.1B．2c．3D．42.已知直线a、b、c和平面m，则直线a∥直线b的一个必要不充分的条件是A.a⊥m且b⊥mB．a∥m且b∥mc.a∥c且b∥cD．a，b与m所成的角相等3.在空间中，下列命题正确的是A.若a∥α，b∥a，则b∥αB.若a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αc.若α∥β，b∥α，则b∥βD.若α∥β，a⊂α，则a∥β4.设l1、l2是两条直线，α、β是两个平面，A为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是①若l1⊂α，l2∩α＝A，则l1与l2必为异面直线；②若l1∥α，l2∥l1，则l2∥α；③若l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1⊂α，则l1⊥β.A.0B．1c．2D．35.若直线a，b为异面直线，则分别经过直线a，b的平面中，相互平行的有A.1对B．2对c.无数对D．1或2对二、填空题6.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，m、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面mNP的图形的序号是________．,7.过三棱柱ABc—A1B1c1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的有______条．8.如图所示，ABcD—A1B1c1D1是棱长为a的正方体，m，N 分别是下底面的棱A1B1，B1c1的中点，P是上底面的棱AD 上的一点，AP＝a3，过P，m，N的平面交上底面于PQ，Q在cD上，则PQ＝________.三、解答题9．如图所示，在三棱柱ABc—A1B1c1中，m、N分别是Bc 和A1B1的中点．求证：mN∥平面AA1c1c.10．如图所示，在正方体ABcD－A1B1c1D1中，E是棱DD1的中点．在棱c1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．11．如图，四边形ABcD为矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝Bc ＝2，BF⊥平面AcE，且点F在cE上．求证：AE⊥BE；求三棱锥D—AEc的体积；设点m在线段AB上，且满足Am＝2mB，试在线段cE上确定一点N，使得mN∥平面DAE.学案43 空间的平行关系自主梳理．平行相交在平面内平行相交 2.公共点a ∥αa∥β 3.a∥l 4.平行相交 5.公共点α∥β 6.a∥βa∥b 7.a∥b α∥β自我检测．D 2.D 3.A 4.c5．面ABc和面ABD课堂活动区例1 解题导引证明线面平行问题一般可考虑证线线平行或证面面平行，要充分利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化．证明如图所示，作Pm∥AB交BE于m，作QN∥AB交Bc于N，连接mN.∵矩形ABcD和矩形ABEF全等且有公共边AB，∴AE＝BD.又∵AP＝DQ，∴PE＝QB，又∵Pm∥AB∥QN，∴PmAB＝EPEA，QNDc＝BQBD，∴PmAB＝QNDc.∴Pm綊QN，∴四边形PQNm为平行四边形，∴PQ∥mN又mN⊂平面BcE，PQ⊄平面BcE，∴PQ∥平面BcE.变式迁移1 证明取PD中点F，连接AF、NF、Nm.∵m、N分别为AB、Pc的中点，∴NF綊12cD，Am綊12cD，∴Am綊NF.∴四边形AmNF为平行四边形，∴mN∥AF.又AF⊂平面PAD，mN⊄平面PAD，∴mN∥平面PAD.例2 解题导引面面平行的常用判断方法有：面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；利用垂直于同一条直线的两个平面平行；关键是利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．证明方法一如图所示，连接B1D1、B1c.∵P、N分别是D1c1、B1c1的中点，∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，∴PN∥BD.又PN⊄面A1BD，∴PN∥平面A1BD.同理mN∥平面A1BD.又PN∩mN＝N，∴平面mNP∥平面A1BD.方法二如图所示，连接Ac1、Ac.∵ABcD—A1B1c1D1为正方体，∴Ac⊥BD.又cc1⊥面ABcD，BD⊂面ABcD，∴cc1⊥BD，∴BD⊥面Acc1，又∵Ac1⊂面Acc1，∴Ac1⊥BD.同理可证Ac1⊥A1B，∴Ac1⊥平面A1BD.同理可证Ac1⊥平面PmN，∴平面PmN∥平面A1BD.变式迁移2证明如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、Bc、Ac交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1∶PD＝2∶3，PG2∶PE＝2∶3，∴G1G2∥DE.又G1G2不在平面ABc内，DE在平面ABc内，∴G1G2∥平面ABc.同理G2G3∥平面ABc.又因为G1G2∩G2G3＝G2，∴平面G1G2G3∥平面ABc.解由知PG1PD＝PG2PE＝23，∴G1G2＝23DE.又DE＝12Ac，∴G1G2＝13Ac.同理G2G3＝13AB，G1G3＝13Bc.∴△G1G2G3∽△cAB，其相似比为1∶3，∴S△G1G2G3∶S△ABc＝1∶9.例3 解题导引近几年探索性问题在高考中时有出现，解答此类问题时先以特殊位置尝试探究，找到符合要求的点后再给出严格证明．证明连接Ac，过点c作cE⊥AB，垂足为E.在四边形ABcD中，AD⊥AB，cD∥AB，AD＝Dc，∴四边形ADcE为正方形．∴∠AcD＝∠AcE＝45°.∵AE＝cD＝12AB，∴BE＝AE＝cE.∴∠BcE＝45°.∴∠AcB＝∠AcE＋∠BcE＝45°＋45°＝90°.∴Ac⊥Bc.又∵Bc⊥Pc，Ac⊂平面PAc，Pc⊂平面PAc，Ac∩Pc＝c，∴Bc⊥平面PAc.∵PA⊂平面PAc，∴PA⊥Bc.解当m为PB的中点时，cm∥平面PAD.取AP的中点F，连接cm，Fm，DF.则Fm綊12AB.∵cD∥AB，cD＝12AB，∴Fm綊cD.∴四边形cDFm为平行四边形．∴cm∥DF.∵DF⊂平面PAD，cm⊄平面PAD，∴cm∥平面PAD.变式迁移3 解当Q为cc1的中点时，平面D1BQ∥平面PAo.∵Q为cc1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA.∵P、o为DD1、DB的中点，∴D1B∥Po.又Po∩PA＝P，D1B∩QB＝B，D1B∥平面PAo，QB∥平面PAo，∴平面D1BQ∥平面PAo.课后练习区．A [①、②、③错，④对．]2．D [注意命题之间的相互推出关系；易知选项D中，若两直线平行，则其与m所成的角相等，反之却不一定成立，故a、b与m所成的角相等是两直线平行的必要不充分条件．] 3．D [A不正确，由直线与平面平行的判定定理的条件知缺少条件b⊄α；B不正确，由两个平面平行的判定定理的条件，因a、b未必相交，而可能为两条平行直线，则α、β未必平行；c不正确，因有可能b⊂β；D正确，由两个平面平行的定义及直线与平面平行的定义知正确．]4．A [①错，l1⊂α，l2∩α＝A，l1与l2可能相交．②错，l2有可能在平面α内．③错，α有可能与β相交．④错，l1有可能与平面β相交或平行或在平面内．]5．A[如图，a，b为异面直线，过b上一点作a′∥a，直线a′，b确定一个平面β，过a上一点作b′∥b，b与b′确定一个平面α，则α∥β.因为α，β是惟一的，所以相互平行的平面仅有一对．]6．①③解析①∵面AB∥面mNP，∴AB∥面mNP，②过N作AB的平行线交于底面正方形的中心o，No⊄面mNP，∴AB与面mNP不平行．③易知AB∥mP，∴AB∥面mNP；④过点P作Pc∥AB，∵Pc⊄面mNP，∴AB与面mNP不平行．7.6解析如图，EF∥E1F1∥AB，EE1∥FF1∥BB1，F1E∥A1D，E1F∥B1D，∴EF、E1F1、EE1、FF1、F1E、E1F都平行于平面ABB1A1，共6条．8.223a解析如图所示，连接Ac，易知mN∥平面ABcD，又∵PQ为平面ABcD与平面mNQP的交线，∴mN∥PQ.又∵mN∥Ac，∴PQ∥Ac，又∵AP＝a3，∴DPAD＝DQcD＝PQAc＝23，∴PQ＝23Ac＝223a.9．证明设A1c1中点为F，连接NF，Fc，∵N为A1B1中点，∴NF∥B1c1，且NF＝12B1c1，又由棱柱性质知B1c1綊Bc，又m是Bc的中点，∴NF綊mc，∴四边形NFcm为平行四边形．∴mN∥cF，又cF⊂平面AA1c1c，mN⊄平面AA1c1c，∴mN∥平面AA1c1c.0．解在棱c1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.证明如下：如图所示，分别取c1D1和cD的中点F，G，连接B1F，EG，BG，cD1，FG.因为A1D1∥B1c1∥Bc，且A1D1＝Bc，所以四边形A1BcD1是平行四边形，因此D1c∥A1B.又E，G分别为D1D，cD的中点，所以EG∥D1c，从而EG∥A1B.这说明A1，B，G，E四点共面，所以BG⊂平面A1BE.因为四边形c1cDD1与B1Bcc1都是正方形，F，G分别为c1D1和cD的中点，所以FG∥c1c∥B1B，且FG＝c1c＝B1B，因此四边形B1BGF是平行四边形，所以B1F∥BG.而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.1．证明由AD⊥平面ABE及AD∥Bc，得Bc⊥平面ABE，Bc⊥AE，而BF⊥平面AcE，所以BF⊥AE，又Bc∩BF＝B，所以AE⊥平面BcE，又BE⊂平面BcE，故AE⊥BE.解在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，则EH⊥平面AcD.由已知及得EH＝12AB＝2，S△ADc＝22.故VD—AEc＝VE—ADc＝13×22×2＝43.解在△ABE中，过点m作mG∥AE交BE于点G，在△BEc中过点G作GN∥Bc交Ec于点N，连接mN，则由cNcE＝BGBE＝mBAB＝13，得cN＝13cE.由mG∥AE，AE⊂平面ADE，mG⊄平面ADE，则mG∥平面ADE.再由GN∥Bc，Bc∥AD，AD⊂平面ADE，GN⊄平面ADE，得GN∥平面ADE，所以平面mGN∥平面ADE.又mN⊂平面mGN，则mN∥平面ADE.故当点N为线段cE上靠近点c的一个三等分点时，mN∥平面ADE.。