2018年上海市七宝中学高考模拟考试试卷数学

2018学年七宝中学高三年级第一学期期末考试卷2019.1一、填空题1.设{}2018,A x x x R =≤∈，{}B x y x R ==∈，则A B ⋂= .2.已知定义在[]1,1-上的函数()f x 值域为[]2,0-，则函数(y =的值域为 .3.若行列式13201x a --的展开式的绝对值小于6的解集为()1,2-，则实数a 等于 . 4.在()0,2π内使33sin cos x x >成立的x 的取值范围是 . 5.在等差数列{}n a 中，78S =，则4a = .6.已知()122x f x +=-，那么()12f -的值是 .7.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念且已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为 .8.若(),P x y 是双曲线22184x y -=上的动点，则x y -最小值是 .9.设点P 到平面a点Q 在平面a 上，使得直线PQ 与平面a 所成角不小于30°且不大于60°.则这样的PQ 所构成的区域体积为 .10.已知AB. P 为单位圆上的点，若()f BP BA λλ=-uu r uu r的最小值为m （其中R λ∈），当点P 在单位圆上运动时，则m 的最大值为 . 11.已知函数(),f a x x x =+随着a ,x 在定义域内变化时，该函数的最大值为 .12.已知定义在R +上的函数()331log 03log 13949x x f x x x x ⎧-<≤⎪=-<≤⎨⎪>⎩，设,,a b c 为三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为 .二、选择题13.设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，其中a R ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集 B . 对任意a ，1P 不是2P 的子集C .存在a ，使得1P 不是2P 的子集D . 存在a ，使得2P 是1P 的子集14.如果在ABC V 中，,,a b c 为其三边长，若22tan tan a A b B =，则ABC V 的形状为（ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形15.抛物线22y x =有一动弦AB ，重点为M ，弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ） A .118 B . 54 C . 32D .1 16.已知正数数列{}n a 满足121n n a a +≥+，且12n n a +<对*n N ∈恒成立，则1a 的范围为（ ） A . []1,3 B . ()1,3 C . (]0,3 D . ()0,4 三、解答题17.在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 的中点.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.18.设S ，T 是R 的两个非空子集，如果函数()y f x =满足：①(){}T f x x S =∈；②对任意12,x x ，当12x x <时，恒有()()12f x f x <，那么称函数()y f x =为集合S 到集合T 的“保序同构函数”.（1）试判断下列函数()111f x x x =--，()tan 2f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是否是集合{}01A x x =<<到集合R 的保序同构函数；请说明理由.（2）若()21xf x x =+是集合[]0,s 到集合[]0,t 是保序同构函数，求s 和t 的最大值. 19.如图1，已知一个长方形展览大厅为20m ，宽为16 m ，展厅入口位于其长边的中间位置，为其正中央由一个圆心为C 的圆盘形站台，现欲在展厅一角B 点处安装一个监控摄像头对展台与入口进行监控（如图中阴影所示），要求B 与圆C 在同一水平面上. （1）若圆盘半径为25m ，求监控摄像头最小水平摄像视角的正切值；（2）若监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值.（注：水平摄像视角指镜头中心点与水平观察物体边缘的视线的夹角）20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>左右焦点分别为1F ,2F ，过1F 任作一条与坐标轴都不垂直的直线，与C 交于A ，B 两点，且2ABF V 的周长为8，当直线AB 的斜率为34时，2AF 与x 轴垂直.（1）求椭圆C 的方程；（2）若A 是该椭圆上位于第一象限的一点，过A 作圆222x y b +=的切线，切点为P ，求1AF AP -的值；（3）设()()0,P m m b ≠±为定点，直线I 过点P 与x 轴交于点Q ，且与椭圆交于C ，D 两点，设QC PC λ=uuu r uu u r ，QD PD μ=uuu r uu u r，求λμ+的值.21.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1，q 为非零正常数，已知对任意整数n ,m ，当n >m 时，m n m n m S S q S --=⋅恒成立. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭时递增数列；（3）是否存在正常数c 使得(){}lg n c S -为等差数列？若存在，求出常数c 的值；若不存在，说明理由. 参考答案 一、填空题1. ∅2. []2,0-3. 44. 3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭5. 876. 2x =7.138. 2 9.10. 3211. 142 12. ()81,144二、选择题13.A 14.D 15.A 16.C 三、解答题 17.（1）3π（2）是 18.（1）是；是 （2）1s =，12t =19.（1）1+（2）4 20.（1）22143x y += （2）2 （3）263m -- 21.（1）()1*n n a q n N -=∈ （2）略 （3）()10,11c q q=∈-。

上海市七宝中学2018-2019学年高一上学期10月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 不等式的解集为________；2. 已知集合，，则_________.3. 设，则是成立的________条件；4. 不等式的解集为________；5. 已知集合，，若，则实数a的取值范围是____________.6. 已知，若，则或”是_______命题（填“真”或“假”）.7. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是__________8. 已知，，若，则实数的取值范围是________；9. 已知关于的不等式有解，则实数的取值范围是________；10. 已知关于的方程的两个根，，且在区间上恰好有两个正整数解，则实数的取值范围是________.11. 定义区间，，，的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如的长度，设，，其中表示不超过的最大整数，．若用表示不等式解集区间的长度，则当时，________；12. 对于集合，定义函数，对于两个集合，，定义集合．已知，，用表示有限集合中的元素个数，则对于任意集合，的最小值为________；二、单选题13. 已知为非零实数，且，则下列命题成立的是A．B．C．D．14. 设集合A=若A B,则实数a,b必满足A．B．C．D．15. 已知函数，且，，集合，则下列结论中正确的是（）A．任意，都有B．任意，都有C．存在，都有D．存在，都有16. 设，，.记集合，，若、分别表示集合，的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．，B．，C．，D．，三、解答题17. 已知关于的不等式：．（1）当时，求此不等式的解集；（2）当时，求此不等式的解集．18. 命题甲：关于的方程有两个相异负根；命题乙：不等式对恒成立．（1）若这两个命题至少有一个成立，求实数的取值范围；（2）若这两个命题有且仅有一个成立，求实数的取值范围．19. 若存在满足下列三个条件的集合，，，则称偶数为“萌数”：①集合，，为集合的个非空子集，，，两两之间的交集为空集，且；②集合中的所有数均为奇数，集合中的所有数均为偶数，所有的倍数都在集合中；③集合，，所有元素的和分别为，，，且．注：．（1）判断：是否为“萌数”？若为“萌数”，写出符合条件的集合，，，若不是“萌数”，说明理由．（2）证明：“”是“偶数为萌数”成立的必要条件．20. 已知集合，．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围；21. 已知是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.（1）判断是否正确，说明理由；（2）证明：“”是“”的充分条件；（3）证明：若，则.。

2018年高考数学真题试卷（上海卷）一、填空题1.（2018•上海）行列式4125的值为 。

【答案】18 【解析】【解答】4125=45-21=18 【分析】a cb d=ad-bc 交叉相乘再相减。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷） 2.（2018•上海）双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

【答案】12y x =±【解析】【解答】2214x y -=，a=2，b=1。

故渐近线方程为12y x =± 【分析】渐近线方程公式。

注意易错点焦点在x 轴上，渐近线直线方程为22221x y b a -=时，by x a=±。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）3.（2018•上海）在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示） 【答案】21【解析】【解答】（1+x ）7中有T r+1=7r r C x ，故当r=2时，27C =762⨯=21 【分析】注意二项式系数，与各项系数之间差别。

考点公式()na b +第r+1项为T r+1=r n r rn C a b-。

【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）4.（2018•上海）设常数a R ∈，函数2()log ()f x x a =+，若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

【答案】7【解析】【解答】f x （）的反函数的图像经过点31（，），故()f x 过点3（1，），则()13f =，()2log 1a +=3，1+a=23所以a=23-1，故a=7. 【分析】原函数()f x 与反函数图像关于y=x 对称，如：原函数上任意点()00,x y ，则反函数上点为()00,y x【题型】填空题 【考查类型】中考真题 【试题级别】高三 【试题地区】上海【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）5.（2018•上海）已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

上海市七宝中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设集合,,则( )A BCD2． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．13． 已知全集U R =，{|239}x A x =<≤，1{|2}2B y y =<≤，则有（ ） A ．A ØB B ．A B B =C ．()R A B ≠∅ðD ．()R A B R =ð4． 已知集合23111{1,(),,}122i A i i i i -=-+-+（其中为虚数单位），2{1}B x x =<，则A B =（ ） A ．{1}- B ．{1} C ．{1,}2- D ．{}25． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{>--=x x x B ，则=)(B C A R （ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．]2,1( D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.6． 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) ABC D7． 已知实数[]4,0x ∈-，[]0,3y ∈，则点(,)P x y 落在区域00240x y y x y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪--≤⎩内的概率为（ ）A ．56B ．12C ．512D ．712【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查基本运算能力． 8． 已知()(2)(0)x b g x ax a e a x =-->，若存在0(1,)x ∈+∞，使得00()'()0g x g x +=，则ba的 取值范围是（ ）A ．(1,)-+∞B ．(1,0)- C. (2,)-+∞ D ．(2,0)- 9． 已知是虚数单位，,a b R ∈，则“1a b ==-”是“2()2a bi i +=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．若{}n a 为等差数列，n S 为其前项和，若10a >，0d <，48S S =，则0n S >成立的最大自 然数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14 11．12,e e 是平面内不共线的两向量，已知12AB e ke =-，123CD e e =-，若,,A B D 三点共线，则的值是（ ）A ．1B ．2C ．-1D ．-212．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A．15 B． C．15 D．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.14．已知圆22240C x y x y m +-++=：，则其圆心坐标是_________，m 的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 15．将曲线1:C 2sin(),04y x πωω=+>向右平移6π个单位后得到曲线2C ，若1C 与2C 关于x 轴对称，则ω的最小值为_________.16．如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，PA PB ⊥，PA PC ⊥，PBC △为等边三角形，则PC 与平面ABC 所成角的正弦值为______________.【命题意图】本题考查空间直线与平面所成角的概念与计算方法，意在考查学生空间想象能力和计算能力．三、解答题（本大共6小题，共70分。

2018年1月七宝中学高三期末试卷一、填空题（54分）1、行列式321654321--中，元素5-的代数余子式的值是_____ 2、函数x x x f 4cos 34sin 2)(-=的最小正周期是_____3、已知9,,,,1--b x a 成等比数列，则实数x 的值是_____4、已知集合}4,3,2,1,0,2{-=U ，},9|{2Z x x x A ∈-<-=，则集合A C U 用列举法表示为__________ 5、已知R c b a ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“c b c a b a +>+⇐>”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是)(x f =_________6、已知复数i ai a z ])1[(++=（i 是虚数单位）是虚数，且1||=z ，则实数a 的值是______7、已知向量))(0,2(R t a t ∈= ，)2,1(=b ，若)//()3(b a b a x ++，则实数x =______8、若A B C ∆的三个内角︒=45A ，︒=75B ，︒=60C ，且面积326+=S ，则该三角形的外接圆半径是______9、设n n n x a x a x a a x x x ++++=++++++ 221021)1()1()1(，其中*∈N n ，且2≥n ，若1022210=++++n a a a a ，则n =_____ 10、已知函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤--=222)(cos 2ππx x x f x ，则满足不等式⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥2)(πx f x f 的x 的取值范围是_________ 11、设βα、分别是函数)(x f 和)(x g 的零点，若存在βα、，使得1||≤-βα，)(x f 和)(x g “零点相关”。

若函数210)(1-+=-x x f x 和)4lg()(2+--=k kx x x g “零点相关”，则实数k 的取值范围是________二、选择题（20分）13、已知b a 、分别表示直线，α表示平面，若α≠⊂b ，则“b a //”是“α//a ”的（ ） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既非充分又非必要条件14、下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A 、x x y y 2log 222log ==和B 、)sin(arcsin )arcsin(sin x y x y ==和C 、)arccos(cos x y x y ==和D 、})1,0{(})1,0{(2∈=∈=x x y x x y 和15、如图，点C 是半径为1的扇形圆弧⋂AB 上一点，0=⋅→--→--OB OA ，1==→--→--OB OA ，若→--→--→--+=OB y OA x OC ，则y x +2的最小值是（ ）A 、5-B 、1C 、2D 、516、已知函数82)5(3)(3-+-=x x x f ，}{n a 是公差不为0的等差数列，4034)()()(201721=+++a f a f a f ，则)(1009a f 的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、5三、解答题（76分）17、如图，圆柱的底面圆O 在圆锥的底面上，上底面圆O '的圆周将圆锥的侧面积分成相等的两部分，已知圆锥的底面半径为2，高为4（1）求圆锥的侧面展开图所对的圆心角的弧度数（2）求圆锥的体积18、已知22cos cos sin )(++=x b x x a x f ，其中b a 、是常数（1）若3=a ，23=b ，求函数)(x f 的最大值及相应的x 的值 （2）若b a 2=，且集合φ≠+>}2)(|{a x f x ，求实数b 的取值范围19、设)0,1()0,1(21F F 、-分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，过1F 且斜率不为零的直线l 与椭圆C 交于B A 、两点，2ABF ∆的周长为24（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在直线l ，使得2ABF ∆为等腰直角三角形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由20、已知函数x x f 2)(=，若点),(00y x P 在)(x f y =的图像上运动，则点)12,1(00++x y Q 在)(x g y =的图象上运动（1）求)()()(x f x f x F -+=的最小值，及相应的x 值（2）求函数)(x g y =的解析式，指出其定义域D ，判断并证明)()()(x g x f x G +=在D 上的单调性（3）在函数)(x f y =和)(x g y =的图象上是否分别存在点B A 、关于直线1-=x y 对称，若存在，求出点B A 、的坐标；若不存在，请说明理由21、几位大学生响应国家的创业号召，开发了C B A 、、三款软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这三款软件的激活码分别为下面数学问题的三个答案：已知数列 ,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1，其中第一项是02，接下来的两项是1022，，再接下来的三项是210222，，，以此类推，试根据下列条件求出三款软件的激活码 （1）A 款应用软件的激活码是该数列中第四个三位数的项数的平方（2）B 款应用软件的激活码是该数列中第一个四位数及其前所有项的和（3）C 款应用软件的激活码是满足如下条件的最小整数0N ：①10000 N ；②该数列的前0N 项和为2的整数幂。

上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计） 【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示） 【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间 是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以 【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可） 【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（ ） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（ ） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个 【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060， 设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3． 【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。

上海市2018-2019学年度七宝中学高三第二学期数学开学考试卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 函数f(x)=sin2x +√3cos2x 的最小正周期为( )A. π4B. π2C. πD. 2π【答案】C【解析】解：∵f(x)=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π3)， ∴最小正周期T =2π2=π．故选：C ．由已知利用两角和的正弦函数公式化简函数解析式可得f(x)=2sin(2x +π3)，利用三角函数的周期公式即可求值得解．本题主要考查了两角和的正弦函数公式，三角函数的周期公式的应用，属于基础题．2. 二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件是( )A. 系数行列式D ≠0B. 比例式a 1a 2≠b1b 2 C. 向量(a 2a 1),(b 2b1)不平行 D. 直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行【答案】D【解析】解：当两直当两直线共面时，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解当两直线异面，直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行，二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1无解，故直线a 1x +b 1y =c 1，a 2x +b 2y =c 2不平行是二元一次方程组{a 2x +b 2y =c 2a 1x+b 1y=c 1存在唯一解的必要非充分条件．故选：D ．利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，即可得到A ，B ，C 为充要条件，对于选项的，直线分共面和异面两种情况．本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是利用二元一次方程组存在唯一解时，系数行列式不等于0，以及空间两直线的位置关系，属于基础题．3. 某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)，而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：( )A. 110B. 120C. 140D. 1120【答案】B【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A 1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤： ①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A 33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A 66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙(包括两端的位置)中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A 72种方法．根据分步计数原理(乘法原理)，共有A 33⋅A 66⋅A 72种方法． ∴一班有3位同学恰好被排在一起(指演讲序号相连)， 而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：P =A 33⋅A 66⋅A 72A 1010=120．故选：B ．由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有A 1010；满足条件的事件要得到需要分为三步，根据分步计数原理得到结果，再根据古典概型公式得到结果． 本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．4. 对于函数f(x)，若存在区间A =[m,n]，使得{y|y =f(x),x ∈A}=A ，则称函数f(x)为“可等域函数”，区间A 为函数f(x)的一个“可等域区间”.给出下列4个函数：①f(x)=sin(π2x)；②f(x)=2x 2−1； ③f(x)=|1−2x |； ④f(x)=log 2(2x −2)．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ②③④【答案】B【解析】解：①函数f(x)=sin(π2x)的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A =[0,1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A =[−1,0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A=[−1,1]时，f(x)∈[−1,1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A=[−1,1]一个．③A=[0,1]为函数f(x)=|2x−1|的“可等域区间”，当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，函数单调递增，f(0)=1−1=0，f(1)=2−1=1满足条件，∴m，n取值唯一.故满足条件．④∵f(x)=log2(2x−2)单调递增，且函数的定义域为(1,+∞)，若存在“可等域区间”，则满足{log2(2n−2)=nlog2(2m−2)=m，即{2n−2=2n2m−2=2m，∴m，n是方程2x−2x+2=0的两个根，设f(x)=2x−2x+2，f′(x)=2x ln2−2，当x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)单调递增，∴f(x)=2x−2x+2=0不可能存在两个解，故f(x)=log2(2x−2)不存在“可等域区间”．故选：B．根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．本题主要考查与函数有关的新定义问题，根据“可等域区间”的定义，建立条件关系是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知复数z满足z(1+i)=2(i是虚数单位)，则|z|=______．【答案】√2【解析】解：∵z(1+i)=2，∴z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2(1−i)2=1−i，则|z|=√2．故答案为：√2．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．6.已知集合A={x||x−1|<2,x∈R}，B={x|2x≥1,x∈R}，则A∩B=______．【答案】[0,3)【解析】解：A={x||x−1|<2,x∈R}={x|−1<x<3}，B={x|2x≥1,x∈R}={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x<3}=[0,3)故答案为：[0,3)求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．7.已知f(x)=x+12x，其反函数为f−1(x)，则f−1(0)=______．【答案】−1【解析】解：f(x)=x+12x，∴f−1(x)=12x−1，∴f−1(0)=−1故答案为：−1先求出反函数，再代值计算即可．本题考查了反函数的求法及函数值的计算，属于简单题．8. 已知a ，b >0，2a =3b =m ，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =______ 【答案】√6【解析】解：∵a ，b >0，2a =3b =m ≠1， ∴a =lgmlg2，b =lgm lg3．∵a 、ab 、b 成等差数列，∴2ab =a +b ，∴2×lgm lg2×lgm lg3=lgm lg2+lgmlg3.∴lgm =12(lg2+lg3)=12lg6=lg √6． 则m =√6．故答案为：√6．a ，b >0，2a =3b =m ≠1，利用对数换底公式化为a =lgmlg2，b =lgm lg3.根据a 、ab 、b 成等差数列，可得2ab =a +b ，代入利用对数运算性质即可得出．本题考查了对数换底公式、等差数列、指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 若二项式(x +ax )6展开式的常项数为20，则a =______． 【答案】1【解析】解：二项式(x +ax )6展开式的通项公式：T r+1=∁6r x 6−r(ax)r =a r ∁6r x 6−2r ， 令6−2r =0，解得r =3．∴常项数为20=a 3∁63，则a =1． 故答案为：1．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10. 实数x ，y 满足不等式组{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3，那么目标函数z =2x +4y 的最小值是______．【答案】−6【解析】解：约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3对应的平面区域如下图示：当直线z =2x +4y 过(3,−3)时，Z 取得最小值−6． 故答案为：−6．本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件{x −y +5≥0x +y ≥0x ≤3画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组(方程组)寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11.长方体ABCD−A1B1C1D1内接于球O，且AB=BC=2，AA1=2√2，则A、B两点之间的球面距离为______．【答案】2π3【解析】解：由AB=BC=2，AA1=2√2，得AC1=BD1=4，∴△ABO为正三角形，∠AOB=π3，∴A，B两点间的球面距离为2×π3=2π3，故答案为：2π3．利用长方体外接球直径为其体对角线长求得外接球半径，及AB所对球心角，得解．此题考查了长方体外接球问题，难度不大．12.已知F1，F2分别是椭圆x216+y212=1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则|PF1−PF2|PF1的取值范围是______．【答案】[0,2]【解析】解：|PF1−PF2|PF1=|PF1−(8−PF1)|PF1=|PF1−(8−PF1)PF1|=|2−8PF1|，因为2≤PF1≤6且函数y=2−8x在x∈[2,6]上单调递增，所以−2≤2−8PF1≤23，故|2−8PF1|∈[0,2]．故答案为：[0,2]．利用椭圆的定义，化简|PF 1−PF 2|PF 1，再利用函数的单调性，即可求出|PF 1−PF 2|PF 1的取值范围．本题考查椭圆的定义，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，若a 1=0，a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)，则满足a i +a 2i ≥100的i 的最小值为 ______． 【答案】128【解析】解：∵a i =k 2(i ∈N ∗,2k ≤i <2k+1,k =1,2，3，…)， ∴a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100， 故k ≥7；故i 的最小值为27=128， 故答案为：128．由题意可得a i +a 2i =k 2+(k +1)2≥100，从而解得． 本题考查了数列，注意i 与2i 的关系对k 的影响即可．14. 若边长为6的等边三角形ABC ，M 是其外接圆上任一点，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为______．【答案】18+12√3【解析】解：∵△ABC 是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2√3，以外接圆圆心O 为原点建立平面直角坐标系，设A(2√3,0)，B(−√3,3)． 设M(2√3cosθ,2√3sinθ)， 则AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3√3,3)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√3cosθ−2√3,2√3sinθ)． ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−18cosθ+6√3sinθ+18=12√3sin(θ−π3)+18．∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值是18+12√3． 故答案为18+12√3．求出外接圆圆心，建立平面直角坐标系，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示成θ的三角函数，求出最.大值 本题考查了三角函数的恒等变换，平面向量的数量积运算，数形结合的解题思想，属于中档题．15. 已知函数f(x)={x 2−3tx +18,x ≤3(t −13)√x −3,x >3，记a n =f(n)(n ∈N ∗)，若{a n }是递减数列，则实数t 的取值范围是______． 【答案】(53,4)【解析】解：要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t >53；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t <13． 又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)=27−9t >f(4)=(t −13)⋅√4−3，解得t <4．故t 的取值范围是(53,4)． 故答案为：(53,4)．要使函数f(x)=x 2−3tx +18在x ≤3(x ∈N ∗)时单调递减，则3t2>52，解得t ，解得t ；要使函数f(x)=(t −13)√x −3在x >3单调递减，则必须满足t −13<0，解得t ；又函数f(x)在x ∈N ∗时单调递减，则f(3)>f(4)，解得t.联立解得即可．本题考查了利用函数的单调性研究数列的单调性、二次函数的单调性、一次函数的单调性，属于难题．16. 设整数n ≥3，集合P ={1,2，…，n}，A ，B 是P 的两个非空子集.则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A,B)的个数为：______． 【答案】(n −2)⋅2n−1+1【解析】解：设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3， 则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，故A 的个数为：C k−10+C k−11+⋯+C k−1k−1=2k−1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，n 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n−k 1+C n−k 2+⋯+C n−k n−k =2n−k −1，从而集合对(A,B)的个数为2k−1⋅(2n−k −1)=2n−1−2k−1，∴a n =∑k =1n −1(2n−1−2k−1)=(n −1)⋅2n−1−1−2n−11−2=(n −2)⋅2n−1+1．故答案为：(n −2)⋅2n−1+1．设A 中的最大数为k ，其中1≤k ≤n −1，整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k −1，可在A 中，B 中必不含元素1，2，…，k ；元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中.由此能求出a n ．本题考查数列的第3项的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱AA 1=2，E 为棱CC 1的中点．(1)求异面直线AE 与BC 1所成角的大小； (2)求三棱锥B 1−ADE 的体积．【答案】解：(1)取BC 的中点，连接EF 、AF ， 因为EF//BC 1，所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE 与BC 1所成角， 又AE =√AC 2+CE 2=3，EF =√2，AF =√5， 所以cos∠AEF =AE 2+EF 2−AF 22×AE×EF=√22， 又0<∠AEF <π，所以异面直线AE 与BC 1所成角的大小为π4， 故答案为π4(2)取BB 1的中点H ，连接EH ，则EH//AD ，则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=13×12×1×2×2=23，故答案为：23．【解析】(1)由异面直线所成角的求法得：∠AEF(或其补角)为所求，又AE=√AC2+CE2=3，EF=√2，AF=√5，即cos∠AEF=AE2+EF2−AF22×AE×EF =√22，即异面直线AE与BC1所成角的大小为π4，(2)利用等体积法求三棱锥的体积得：则V B1−ADE =V E−ADB1=V H−ADB1=V D−AB1H=1 3×12×1×2×2=23，得解．本题考查了异面直线所成角的求法及利用等体积法求三棱锥的体积，属中档题．18.已知向量m⃗⃗⃗ =(sinx,−1)，n⃗=(√3cosx,−12)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2．(Ⅰ)求f(x)的最大值，并求取最大值时x的取值集合；(Ⅱ)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B为锐角，且f(B)=1，求1tanA +1tanC的值．【答案】解：(Ⅰ)f(x)=m⃗⃗⃗ 2+m⃗⃗⃗ ⋅n⃗−2=(m⃗⃗⃗ +n⃗ )⋅m⃗⃗⃗ −2=(sinx+√3cosx,−32)⋅(sinx,−1)−2=sin2x+√3sinxcosx−12=1−cos2x2+√32sin2x−12=√32sin2x−12cos2x=sin(2x−π6)．故f(x)max=1，此时2x−π6=2kπ+π2,k∈Z，得x=kπ+π3,k∈Z．所以取得最大值的x的集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}.(Ⅱ)由f(B)=sin(2B−π6)=1，又∵0<B<π2，∴−π6<2B−π6<56π．∴2B−π6=π2，∴B=π3．由a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴sin2B=sinAsinC．∴1+1=cosA+cosC=sinCcosA+cosCsinA=sin(A+C)sin2B =1sinB=√32=2√33．【解析】(Ⅰ)把给出的向量的坐标代入函数解析式，化简整理后得到f(x)=sin(2x−π6)，直接由2x−π6=2kπ+π2,k∈Z即可得到使函数取得最大值1的x的取值集合；(Ⅱ)由B为锐角，利用f(B)=1求出B的值，把要求的式子切化弦，由a，b，c成等比数列得到sin2B=sinAsinC，代入化简后即可得到结论．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了正弦定理，解答此题的关键是“降幂化积”，“角边互化”.是解决此类问题常用到的办法，此题是中档题．19. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，其中所有奇数项之和为S n ′，所有偶数项之和为S n ″.(1)若{a n }是等差数列，项数n 为偶数，首项a 1=1，公差d =32，且S n ″−S n ′=15，求S n ；(2)若数列{a n }的首项a 1=1，满足2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)，其中实常数t ∈(35,3)，且S n ′−S n ″=52，请写出满足上述条件常数t 的两个不同的值和它们所对应的数列．【答案】解：(1)若数列{a n }项数n 为偶数，由已知，得，解得n =20，Sn =1×20+20×192×32=305．(2)在2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)中，令n =1，得a2=3(t−1)2t，∵2tS n+1−3(t −1)S n =2t(n ∈N ∗)①可得2tS n −3(t −1)S n−1=2t(n ∈N ∗,n >1)② ①减去②得：a n+1a n=3(t−1)2t，且a 2a 1=3(t−1)2t，∵t ∈(35,3)， ∴0<|3(t−1)2t |<1，.(当t =1时，数列为1，0，0…，显然不合题意)所以，{a n }是首项a 1=1，公比q =3(t−1)2t的等比数列，且公比0<|q|<1，设项数n =3，，∴1−q +q2=52∴q2−q −32=0，解得q =1−√72或q =1+√72(舍)，由1−√72=3(t−1)2t解得，t =√7−2∈(35,3)，所以，当t =√7−2时，对应的数列为1，1−√72，(1−√72)2． 设数列{a n }为无穷数列， 由题意，得，S″=q1−q 2，，∴11+q =52， ∴q =−35，由3(t−1)2t=−35解得t =57∈(35,3)，∴当t =57时，对应的数列为：1，−35，(−35)2，…(−35)n−1….【解析】(1){a n }是等差数列，则S″−S′=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)…(a 2n −a 2n−1)=d +d +⋯d =d ×n2求出n ，再利用等差数列前n 项和公式计算． (2)根据S n 与a n 的固有关系a n ={sn −sn −1 n ≥2s1 n=1，得出a n+1a n=3(t−1)2t，借助于等比数列性质解决．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组求和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．20. 抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 为圆C ：x 2+y 2−4x +3=0的圆心．(1)求抛物线的方程与其准线方程；(2)直线l 与圆C 相切，交抛物线于A ，B 两点；①若线段AB 中点的纵坐标为4√3，求直线l 的方程；②求FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．【答案】解：(1)由圆C ：x 2+y 2−4x +3=0配方可得：(x −2)2+y 2=1，可得圆心C(2,0)．∴抛物线的焦点F(2,0)． ∴p2=2，解得p =4．∴抛物线的准线方程为：x =−2．(2)设直线l 的方程为：my +t =x ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2). ∵直线l 与圆C 相切， ∴√1+m 2=1，化为：(t −2)2=m 2+1≥1．∴t ≥3，或t ≤1．联立{y 2=8x my+t=x，化为：y 2−8my −8t =0，△=64m 2+32t >0.∴t >−2m 2． ∴t ≥3，或−2m 2<t ≤1． ∴y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−8t ． ①∵线段AB 中点的纵坐标为4√3， ∴4m =4√3， ∴m =√3，∴(t −2)2=m 2+1=4， 解得t =0或t =4，故直线l 的方程为x −√3y =0或x −√3y −4=0②FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=(my 1+t −2)(my 2+t −2)+y 1y 2=(m 2+1)y 1y 2+m(t −2)(y 1+y 2)+(t −2)2=−8t(m 2+1)+8m 2(t −2)+(t −2)2=−8t(t −2)2+8[(t −2)2−1](t −2)+(t −2)2=−15t 2+52t −44，=−15(t −2615)2+1615∈(−∞,−7]． ∴FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是(−∞,−7]．【解析】(1)由圆C：x2+y2−4x+3=0配方可得：(x−2)2+y2=1，可得圆心C(2,0).可得抛物线的焦点F(2,0).因此p2=2，解得p，即可得出．(2)设直线l的方程为：my+t=x，A(x1,y1)，B(x2,y2).由直线l与圆C相切，可得：(t−2)2=m2+1≥1.t≥3，或t≤1.联立，化为：y2−8my−8t=0，△>0.进而得到t≥3，或−2m2<t≤，根与系数的关系可得y1+y2=8m，y1y2=−8t，①根据中点坐标公式即可求出m的值，可得直线方程，②利用数量积运算性质，再利用二次函数的单调性即可得出．本题考查了抛物线与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线与抛物线相交问题、向量数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域 D上是“k−利普希兹条件函数”．(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(2)判断函数f(x)=log2x是否是“2−利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3)若y=f(x)(x∈R)是周期为2的“1−利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f(x1)−f(x2)|≤1．【答案】解：(1)若函数f(x)=√x，(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x1，x2(x1≠x2)，均有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，不妨设x1>x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立．∵1≤x2<x1≤4，∴14<√x+√x<12，∴k的最小值为12．(2)f(x)=log2x的定义域为(0,+∞)，令x1=12，x2=14，则f(12)−f(14)=log212−log214=−1−(−2)=1，而2|x1−x2|=12，∴f(x1)−f(x2)>2|x1−x2|，∴函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”．证明：(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0,2]内f(a)=M，f(b)=m，则|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b)≤|a−b|．若|a−b|≤1，显然有|f(x1)−f(x2)|≤|a−b|≤1．若|a−b|>1，不妨设a>b，则0<b+2−a<1，∴|f(x1)−f(x2)|≤M−m=f(a)−f(b+2)≤|a−b−2|<1．综上，|f(x1)−f(x2)|≤1．【解析】(1)根据新函数的定义求出k关于x1，x2的不等式，根据x1，x2的范围即可得出k的最小值；(2)令x1=12，x2=14即可举出反例，得出结论；(3)设f(x)的最大值为M，最小值为m，在一个周期内f(a)=M，f(b)=m，根据|a−b|与1的大小关系和“1−利普希兹条件函数”的性质得出结论．本题考查了抽象函数的性质与应用，属于中档题．。

2018-2019学年上海市闵行区七宝中学高三（下）开学数学试卷（3月份）一、填空题1．已知复数z满足z（1+i）＝2（i是虚数单位），则|z|＝．2．已知集合A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}，B＝{x|2x≥1，x∈R}，则A∩B＝．3．已知f（x）＝，其反函数为f﹣1（x），则f﹣1（0）＝．4．已知a，b＞0，2a＝3b＝m，且a、ab、b成等差数列，则m＝5．若二项式（x+）6展开式的常项数为20，则a＝．6．实数x，y满足不等式组，那么目标函数z＝2x+4y的最小值是．7．长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，且AB＝BC＝2，AA1＝2，则A、B两点之间的球面距离为．8．已知F1，F2分别是椭圆+＝1的左、右焦点，点P是椭圆上的任意一点，则的取值范围是．9．已知数列{a n}中，若a1＝0，a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），则满足a i+a2i ≥100的i的最小值为．10．若边长为6的等边三角形ABC，M是其外接圆上任一点，则的最大值为．11．已知函数f（x）＝，记a n＝f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．12．设整数n≥3，集合P＝{1，2，…，n}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：．二、选择题13．函数的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π14．二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行15．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：（）A．B．C．D．16．对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”．给出下列4个函数：①f（x）＝sin（x）；②f（x）＝2x2﹣1；③f（x）＝|1﹣2x|；④f（x）＝log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（）A．①②③B．②③C．①③D．②③④三、解答题17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱AA1＝2，E为棱CC1的中点．（1）求异面直线AE与BC1所成角的大小；（2）求三棱锥B1﹣ADE的体积．18．已知向量，，函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并求取最大值时x的取值集合；（Ⅱ）已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，且a，b，c成等比数列，角B 为锐角，且f（B）＝1，求的值．19．记数列{a n}的前n项和为S n，其中所有奇数项之和为S n′，所有偶数项之和为S n″．（1）若{a n}是等差数列，项数n为偶数，首项a1＝1，公差d＝，且S n″﹣S n′＝15，求S n；（2）若数列{a n}的首项a1＝1，满足2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*），其中实常数t∈（，3），且S n′﹣S n″＝，请写出满足上述条件常数t的两个不同的值和它们所对应的数列．20．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F为圆C：x2+y2﹣4x+3＝0的圆心．（1）求抛物线的方程与其准线方程；（2）直线l与圆C相切，交抛物线于A，B两点；①若线段AB中点的纵坐标为4，求直线l的方程；②求的取值范围．21．若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）＝log2x是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y＝f（x）（x∈R）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．参考答案一、填空题1．【解答】解：∵z（1+i）＝2，∴，则|z|＝．故答案为：．2．【解答】解：A＝{x||x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|2x≥1，x∈R}＝{x|x≥0}，则A∩B＝{x|0≤x＜3}＝[0，3）故答案为：[0，3）3．【解答】解：f（x）＝，∴f﹣1（x）＝，∴f﹣1（0）＝﹣1故答案为：﹣14．【解答】解：∵a，b＞0，2a＝3b＝m≠1，∴a＝，b＝．∵a、ab、b成等差数列，∴2ab＝a+b，∴2××＝+．∴lgm＝＝＝lg．则m＝．故答案为：．5．【解答】解：二项式（x+）6展开式的通项公式：T r+1＝x6﹣r＝a r x6﹣2r，令6﹣2r＝0，解得r＝3．∴常项数为20＝a3，则a＝1．故答案为：1．6．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z＝2x+4y过（3，﹣3）时，Z取得最小值﹣6．故答案为：﹣6．7．【解答】解：由AB＝BC＝2，AA1＝2，得AC1＝BD1＝4，∴△ABO为正三角形，∠AOB＝，∴A，B两点间的球面距离为2×＝，故答案为：．8．【解答】解：，因为2≤PF1≤6且函数在x∈[2，6]上单调递增，所以，故．故答案为：[0，2]．9．【解答】解：∵a i＝k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k＝1，2，3，…），∴a i+a2i＝k2+（k+1）2≥100，故k≥7；故i的最小值为27＝128，故答案为：128．10．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴三角形的外接圆半径为2，以外接圆圆心O为原点建立平面直角坐标系，设A（2，0），B（﹣，3）．设M（2cosθ，2sinθ），则，．∴＝﹣18cosθ+6sinθ+18＝12sin（θ﹣）+18．∴的最大值是18+12．故答案为18+12．11．【解答】解：要使函数f（x）＝x2﹣3tx+18在x≤3（x∈N*）时单调递减，则＞，解得t；要使函数f（x）＝在x＞3单调递减，则必须满足t﹣13＜0，解得t＜13．又函数f（x）在x∈N*时单调递减，则f（3）＝27﹣9t＞f（4）＝（t﹣13）•，解得t ＜4．故t的取值范围是．故答案为：．12．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，故A的个数为：++…+＝2k﹣1，B中必不含元素1，2，…，k，另元素k+1，k+2，…，n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：++…+＝2n﹣k﹣1，从而集合对（A，B）的个数为2k﹣1•（2n﹣k﹣1）＝2n﹣1﹣2k﹣1，∴a n＝（2n﹣1﹣2k﹣1）＝（n﹣1）•2n﹣1﹣＝（n﹣2）•2n﹣1+1．故答案为：（n﹣2）•2n﹣1+1．二、选择题13．【解答】解：∵＝2sin（2x+），∴最小正周期T＝＝π．故选：C．14．【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．15．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的所有事件是10位同学参赛演讲的顺序共有：A1010；满足条件的事件要得到“一班有3位同学恰好被排在一起而二班的2位同学没有被排在一起的演讲的顺序”可通过如下步骤：①将一班的3位同学“捆绑”在一起，有A33种方法；②将一班的“一梱”看作一个对象与其它班的5位同学共6个对象排成一列，有A66种方法；③在以上6个对象所排成一列的7个间隙（包括两端的位置）中选2个位置，将二班的2位同学插入，有A72种方法．根据分步计数原理（乘法原理），共有A33•A66•A72种方法．∴一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为：．故选：B．16．【解答】解：①函数f（x）＝sin（x）的周期是4，正弦函数的性质我们易得，A＝[0，1]为函数的一个“可等域区间”，同时当A＝[﹣1，0]时也是函数的一个“可等域区间”，∴不满足唯一性．②当A＝[﹣1，1]时，f（x）∈[﹣1，1]，满足条件，且由二次函数的图象可知，满足条件的集合只有A＝[﹣1，1]一个．③A＝[0，1]为函数f（x）＝|2x﹣1|的“可等域区间”，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，函数单调递增，f（0）＝1﹣1＝0，f（1）＝2﹣1＝1满足条件，∴m，n取值唯一．故满足条件．④∵f（x）＝log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2＝0的两个根，设f（x）＝2x﹣2x+2，f′（x）＝2x ln2﹣2，当x ＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）＝2x﹣2x+2＝0不可能存在两个解，故f（x）＝log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．故选：B．三、解答题17．【解答】解：（1）取BC的中点，连接EF、AF，因为EF∥BC1，所以∠AEF（或其补角）为异面直线AE与BC1所成角，又AE＝＝3，EF＝，AF＝，所以cos∠AEF＝＝，又0＜∠AEF＜π，所以异面直线AE与BC1所成角的大小为，故答案为（2）取BB1的中点H，连接EH，则EH∥AD，则V＝V＝V＝V＝＝，故答案为：．18．【解答】解：（Ⅰ）＝＝﹣2＝＝＝．故f（x）max＝1，此时，得．所以取得最大值的x的集合为{x|}．（Ⅱ）由f（B）＝，又∵0＜B＜，∴．∴，∴．由a，b，c成等比数列，则b2＝ac，∴sin2B＝sin A sin C．∴＝＝．19．【解答】解：（1）若数列{a n}项数n为偶数，由已知，得S″﹣S'＝15＝，解得n ＝20，Sn＝1×20+＝305．（2）在2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）中，令n＝1，得a2＝，∵2tS n+1﹣3（t﹣1）S n＝2t（n∈N*）①可得2tS n﹣3（t﹣1）S n﹣1＝2t（n∈N*，n＞1）②①减去②得：＝，且，∵t∈（，3），∴0＜||＜1，．（当t＝1时，数列为1，0，0…，显然不合题意）所以，{a n}是首项a1＝1，公比q＝的等比数列，且公比0＜|q|＜1，设项数n＝3，∵S'﹣S″＝，∴∴，解得或（舍），由解得，∈（，3），所以，当t＝﹣2时，对应的数列为1，，．设数列{a n}为无穷数列，由题意，得S'＝，S″＝，∵S'﹣S″＝，∴＝，∴q＝﹣，由＝﹣解得∈（，3），∴当t＝时，对应的数列为：1，﹣，，……．20．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣4x+3＝0配方可得：（x﹣2）2+y2＝1，可得圆心C（2，0）．∴抛物线的焦点F（2，0）．∴＝2，解得p＝4．∴抛物线的准线方程为：x＝﹣2．（2）设直线l的方程为：my+t＝x，A（x1，y1），B（x2，y2）．∵直线l与圆C相切，∴＝1，化为：（t﹣2）2＝m2+1≥1．∴t≥3，或t≤1．联立，化为：y2﹣8my﹣8t＝0，△＝64m2+32t＞0．∴t＞﹣2m2．∴t≥3，或﹣2m2＜t≤1．∴y1+y2＝8m，y1y2＝﹣8t．①∵线段AB中点的纵坐标为4，∴4m＝4，∴m＝，∴（t﹣2）2＝m2+1＝4，解得t＝0或t＝4，故直线l的方程为x﹣y＝0或x﹣y﹣4＝0②•＝（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2＝（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）+y1y2＝（m2+1）y1y2+m（t﹣2）（y1+y2）+（t﹣2）2＝﹣8t（m2+1）+8m2（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣8t（t﹣2）2+8[（t﹣2）2﹣1]（t﹣2）+（t﹣2）2＝﹣15t2+52t﹣44，＝﹣15（t﹣）2+∈（﹣∞，﹣7]．∴的取值范围是（﹣∞，﹣7]．21．【解答】解：（1）若函数f（x）＝，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥＝恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）＝log2x的定义域为（0，+∞），令x1＝，x2＝，则f（）﹣f（）＝log2﹣log2＝﹣1﹣（﹣2）＝1，而2|x1﹣x2|＝，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）＝log2x不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）＝M，f（b）＝m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m＝f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．。

2016学年七宝中学高三第二学期综合测试卷一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，共70分）1. 假设集合{}{}|1,|21x A x x B x =<=>，那么A B = .2. 若a 为实数，那么()12a i i ia ⎛⎫++=⎪⎝⎭，那么1ai += .()12cos sin 2xf x x =的最小正周期为 .23001x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥-⎩的封锁图形绕y 轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为 .5．多项式()7111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 .{}n a 知足423a a a =+，那么limnn n na S →∞=.7.A 盒中有3张足球票和3张篮球票，B 盒中有2张足球票和4张篮球票，甲盒A 中任意抽取一张票，乙从B 盒中任取抽取一张票，那么两人至少抽到一张足球票的概率为 .9310x x m m +⋅+-=有唯一解，那么实数m 的取值范围是 .12,F F ，斜率为1的直线l 过椭圆的右核心()21,0F ，且与椭圆在第一象限交于点P ，1215PF F ∠=那么椭圆的长轴长为 .()()1f x x ax x R =-+∈存在反函数，那么a 的取值范围是 .()()22,f x x g x x ax==-，关于不相等的实数12,x x ，设()()()()12121212,f x f x g x g x m n x x x x --==--，都有现有如下命题：①关于不相等的实数12,x x ，都有0m >；②关于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有0n >；③对 于任意实数a 及不相等的实数12,x x ，都有m n =；④存在实数a ，锐任意不相等的实数12,x x ，都有m n =，其中所有的真命题是 .ABC ∆中，内角A B C <<，记{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，那么sin sin min ,sin sin B C A B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的取值范围为 .二、选择题：12:10,310l mx y l x y +-=-+=“3m ”是“直线1l 与直线2l 的夹角为60”的A. 必要不充分条件B. 充分没必要要条件()2ax cf x x b +=+的图象如下图，那么以下结论成立的是A. 0,0,0a b c ><<B. 0,0,0a b c >><C. 0,0,0a b c <>>D. 0,0,0a b c ><>15．在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,OA OB 与x 轴正半轴的夹角别离为6π和23π，向量OC 知足320OA OB OC ++=，那么OC 与x 轴正半轴夹角的取值范围是A. 0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B. 5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭16．已知函数()3log ,032sin ,3182x x f x x x π⎧<<⎪=⎨⎛⎫<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，集合(){}|,A x f x k n N ==∈，假设不相等的实数,a b A ∈且都有a b Z +∈，那么知足条件的,a b （不考虑,a b 的顺序）的组数为A. 36B. 58C. 62D. 74三、解答题：17.（此题总分值14分）某小区打造休闲场地，将一块直角三角形空地ABC 用一条长为16m 的道路MN 分成两部份（点M 在边AB 上）.别离种植花卉和铺设草坪，其中花卉面积为1S ，草坪面积为2S ，且12S S ≤，已知32,24,90AB m AC m A ==∠=，求1S 的最大值（此题中道路都指线段）.18.（此题总分值14分）如图，把长为6，宽为3的矩形折成正三棱柱111ABC A B C -，三棱柱的高度为3，矩形的对角线和三棱柱的侧棱11,BB CC 的交点记为E,F.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求三棱柱中异面直线AE 与1A F 所成角的大小.19.（此题总分值14分）函数()f x 对任意的x R ∈知足:()()()(),2f x f x f x f x -=-+=，当()0,1x ∈时，()2.1x f x x =+（1）求出函数在R 上零点；（2）求知足不等式()()sin cosf fθθ>-的实数θ的范围.20.（此题总分值16分）已知双曲线()222210,0x ya ba b-=>>的左右极点别离为(),,2,0A B A-.直线:1l x =和两条渐近线交于点,E F ，点E 在第一象限且EF =，P 是双曲线上的任意一点.（1）求双曲线的标准方程；（2）是不是存在点P 使得OEP ∆为直角三角形？假设存在，求出点P 的个数； （3）直线,PA PB 与直线l 别离交于点,M N ，证明：以MN 为直径的圆必过定点.21.（此题总分值16分）已知n 位数知足以下条件：①各个数字只能从集合{}1,2,3,4当选取；②假设其中有数字4，那么在4的前面不含2.将如此的n 位数的个数记为.n a（1）求23,a a ；（2）探讨1n a +与n a 之间的关系，求出数列{}n a的通项公式；（3）关于每一个正整数k ，在1a 与1k a +之间插入12k -个13取得一个新数列{}n b，设n S 是数列{}n b 的前n 项和，试探讨2017n S =可否成立？写出你探讨取得的结论并给出证明.。

2018届上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试题2017.11一. 填空题1. 计算：2222123lim()n n n n n n→∞+++⋅⋅⋅+= 2. 对于任意0a >，1a ≠，函数21x y a -=-的图像总过一个定点，这个点的坐标是3. 函数()sin(2)cos23f x x x π=-的最小正周期是4. 已知集合1{|0}3x A x x -=<-，{||1|1}B x x =-<的文氏图如图所示，图中阴影部分表示集合A 、B 的某种运算结果（用P 表示），则集合P =5. 设函数2()lg(1)f x x =-，则函数1()2x y f -=的定义域是6. 已知函数()f x 和()g x 的定义如下表：201620172018()201720182016x f x 201620172018()201620182017x g x则方程[()]1f g x x =-的解集是7. 已知函数||()2x f x =([,])x m n ∈的值域是[1,8]，其中,m n ∈Z ，则满足条件的有序实数 对(,)m n 共有 对8. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24S =，39S =，当n ∈*N 时，数列{}n b 满足 312123112n n n b b b b a a a a +++⋅⋅⋅+=-，若110n b <，则n 的最小值为9. 已知,0a b >，23a b m ==，且a 、ab 、b 成等差数列，则m =10. 若函数2()sin3131x f x x =+-+([2018,2018])x ∈-的值域为[,]a b ，则a b +=11. 关于x 的不等式23344a x x b ≤-+≤()a b <的解集为[,]a b ，则a b +=12. 定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足对任意x ∈R ，(2)2()f x f x =成立，当[1,2)x ∈时， ()2f x x =-，则在[1,2018]内，函数1()()3F x f x x =-的所有零点之和为二. 选择题13. 下列图形表示数集D 到C 的对应法则，其中表示定义域是D ，值域是C 的函数的是（）A. B. C. D.14. 若一段圆弧的长等于该圆内接正方形边长，则这段弧所对圆心角的弧度数为（ ）A. 2πB. 4π C. D. 15. 若()f x 为奇函数，且0x 是()2x y f x =-的一个零点，则下列函数中，0x -一定是其零 点的函数是（ ）A. 2()1x y f x -=⋅--B. 2()1x y f x =⋅+C. ()2x y f x =--D. ()2x y f x -=-16. 已知数列{}n a 中，n a =()n ∈*N ，将数列{}n a 中的整数项按原来的顺序组成 数列{}n b ，则2018b =（ ）A. 5035B. 5039C. 5043D. 5047三. 解答题17. 在一个平面内，一质点O 受三个力1F 、2F 、3F 的作用保持平衡，其中3F 与2F 的夹角 为α，3F 与1F 的夹角为β.（1）若120α︒=，150β︒=，3||10F =牛，求力1F 、2F 的大小；（2）若123||:||:||1:F F F =，求α与β满足的关系.18. 在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)和定直线1x =-的距离相等.（1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+(0)k ≠与曲线C 有唯一的公共点P ，与直线1x =-相交于点Q ， 若0PM QM ⋅=，求证：点M 的轨迹恒过定点(1,0).19. 已知对于任意a ∈R ，函数()2sin(2)6f x x πω=+(0)ω>与y t =(22)t -<<的图像在[,]a a π+上都有三个不同交点.（1）写出()y f x =的解析式，并求函数的最大值及此时的x 的取值；（2）若函数()y f x =在12[,]x x 和34[,]x x 上单调递增，在23[,]x x 上单调递减，且4321322()3x x x x x x -=-=-，求1x 的所有可能值.20. 如果存在常数a ，使得数列{}n a 满足：若x 是数列{}n a 中的一项，则a x -也是数列{}n a 中的一项，称数列{}n a 为“兑换数列”，常数a 是它的“兑换系数”.（1）若数列2、3、6、m (6)m >是“兑换系数”为a 的“兑换数列”，求m 和a 的值；（2）已知有穷等差数列{}n b 的项数是0n 0(3)n ≥，所有项之和是B ，求证：数列{}n b 是“兑换数列”，并用0n 和B 表示它的“兑换系数”；（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{}n c ，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由.21. 已知函数2()log f x x =.（1）若函数()y g x =是函数(21)y f x =+的反函数，解方程1(2)3()3g x f x -=+；（2）当(3,33]x m m ∈+()m ∈N 时，定义()(3)h x f x m =-，设()n a nh n =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，求123456,,,,,a a a a a a 及3n S ；（3）对于任意,,[,)a b c M ∈+∞，其中a b c ≥≥，当,,a b c 能作为一个三角形的三边长时， (),(),()f a f b f c 也总能作为一个三角形的三边长，试探究M 的最小值.参考答案一. 填空题 1. 12 2. (2,0) 3. 2π 4. [2,3) 5. (1,3)-6. {2017}7. 78. 89.10. 0 11. 4 12. 3070.5二. 选择题13. C 14. D 15. B 16. C三. 解答题17.（1）1||F =，2||5F =；（2）απ=-，βπ=-32αβπ+=. 18.（1）24y x =；（2）略.19.（1）T π=，()2sin(2)6f x x π=+，最大值2，6x k ππ=+，k ∈Z ； （2）16x k ππ=-+，k ∈Z .20.（1）7m =，9a =；（2）证明略，02B n ；（3）不可能； 21.（1）2log 7x =；（2）123245620,2,3log 3,0,5,6log 3a a a a a a ======232(33log 3)()2n n n S n +=+-；（3）最小值为2.。

上海市七宝中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 已知是虚数单位，若复数)(3i a i +-（R a ∈）的实部与虚部相等，则=a （ ）A ．1-B ．2-C ．D ． 2． 已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x B x x R =≤∈，则集合U A C B 为（ ）A.]1,1[-B.]1,0[C.]1,0(D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力. 3． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能4． 过点),2(a M -，)4,(a N 的直线的斜率为21-，则=||MN （ ） A ．10 B ．180 C ．36 D ．565． 设n S 是等差数列{}n a 的前项和，若5359a a =，则95S S =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣27． 已知函数22()32f x x ax a =+-，其中(0,3]a ∈，()0f x ≤对任意的[]1,1x ∈-都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T ，则T =（ ） A ．20152B ．20153C ．201523D ．2015228． 正方体1111D ABC A B C D - 中，,E F 分别为1,AB B C 的中点，则EF 与平面ABCD 所成角的正 切值为（ ）A ．B 2 C. 12 D 29．已知，则tan2α=（ ）A．B．C．D．10．在ABC ∆中，若60A ∠=，45B ∠=，BC =AC =（ ）A ．B ． C. D11．已知双曲线的方程为﹣=1，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．或 D ．或12．若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A ．（﹣∞，）B ．（﹣，+∞）C ．（0，+∞）D ．（﹣∞，﹣）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设x R ∈，记不超过x 的最大整数为[]x ，令{}[]x x x =-.现有下列四个命题: ①对任意的x ，都有1[]x x x -<≤恒成立； ②若(1,3)x ∈，则方程{}22sincos []1x x +=的实数解为6π-；③若3n n a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（n N *∈），则数列{}n a 的前3n 项之和为23122n n -；④当0100x ≤≤时，函数{}22()sin []sin 1f x x x =+-的零点个数为m ，函数{}()[]13xg x x x =⋅--的 零点个数为n ，则100m n +=.其中的真命题有_____________.（写出所有真命题的编号）【命题意图】本题涉及函数、函数的零点、数列的推导与归纳，同时又是新定义题，应熟悉理解新定义，将问题转化为已知去解决，属于中档题。

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.若椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：椭圆C的方程为，若曲线C的焦点在x轴上，，故椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质即可得到曲线C的焦点在x轴上则再根据充要条件的定义即可判断．本题考查充要条件的判断与应用，椭圆的简单性质，基本知识的考查．2.方程的解的个数有A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：由于，所以，由此得到方程无解．故选：A．利用反三角函数，判断等式两侧表达式的范围，即可推出结果．本题考查反三角函数的应用，基本知识的考查．3.已知实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设为圆上的任意一点，则P到直线的距离，P到原点的距离，．设圆与直线相切，则，解得，的最小值为，最大值为，，．故选：B．构造直线，过圆上一点P作直线的垂线PM，则，求出的范围即可得出答案．本题考查了直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．4.实数a，b满足，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：实数a，b满足，，可得，，令，，可得，它的可行域如图：A在与的交点，，，是双曲线关于对称，显然在A处取得最大值：，在B处取得最小值：．则的取值范围是：．故选：B．求出a，b的范围，利用换元法画出可行域，利用目标函数的几何意义求解范围即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，利用换元法同时考查转化思想，数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.若，则______．【答案】2【解析】解：，．故答案为：2．利用对数的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查对数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.已知直线l垂直于直角坐标系中的y轴，则l的倾斜角为______．【答案】0【解析】解：由直线倾斜角的定义可得，垂直于直角坐标系中的y轴的直线l的倾斜角为0．故答案为：0．直接由直线的倾斜角的定义得答案．本题考查直线倾斜角的定义，是基础题．7.在复平面内，点对应的复数z，则______．【答案】【解析】解：在复平面内，点对应的复数z，则．故答案为：．求出复数，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．8.若角的终边经过点，则的值为______【答案】【解析】解：角的终边经过点，可得．则．故答案为：．利用角的终边经过点，求出，然后求解即可．本题考查三角函数的定义，反三角函数的化简求值，是基本知识的考查．9.若不等式的解集为，则实数t等于______【答案】1【解析】解：因为不等式的解集为，即是方程的根，所以，不等式化为，解得．所以．故答案为：1．由题目给出的绝对值不等式的解解为，可知为不等式所对应方程的两个根，求出a，然后求解实数t即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，若该题采用去绝对值的办法，去绝对值后需要分类讨论，解法变得复杂，该题属基本知识的考查．10.由参数方程为参数，，所表示的曲线的右焦点的坐标为______【答案】【解析】解：根据题意，参数方程变形为普通方程为，为双曲线，其中，，且其焦点在x轴上，则所表示的曲线的右焦点的坐标为；故答案为：．根据题意，将参数方程变形为普通方程，分析其表示的曲线为双曲线，由双曲线的几何性质分析可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，关键是将参数方程变形为普通方程．11.直角坐标系xOy内有点，，，，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为______．【答案】【解析】解：直角坐标系xOy中，点，，，，如图所示，由图形知四边形ABCD是矩形，将矩形ABCD绕直线旋转一周，所得几何体为底面半径为1，高为2的圆柱，该圆柱的体积为．故答案为：．由题意知四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕直线旋转一周得圆柱，求出圆柱的体积即可．本题考查了矩形旋转后是圆柱体的应用问题，是基础题．12.A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，则四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为______．【答案】【解析】解：A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为．故答案为：．基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，由此能求出四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.已知平面直角坐标系中的两点，，O原点，有，设：，，是平面曲线上任意三点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由，得．该曲线表示以为圆心，以为半径的圆．如图，圆内接三角形面积最大时三角形为正三角形，且最大面积为．．故答案为：．化圆的方程为标准方程，求出圆的半径，结合已知及圆内接正三角形面积最大求解．本题考查曲线与方程，明确圆内接正三角形面积最大是关键，是中档题．14.设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则______．【答案】2【解析】解：点D，E分别为边AC，BC的中点，，，，故答案为：2．根据向量的几何意义即可求出．本题考查了平面向量加法的几何意义，是基础题．15.设函数，数列的首项，且，若数列不是单调递增数列，则的取值范围______．【答案】【解析】解：；假设，则．若，则，由此可证得是单调递增数列，这矛盾．所以．故答案为：．通过数列与函数的关系式，结合不等式，转化求解的取值范围．本题考查数列与函数的综合应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．16.给定曲线，为参数，则这些曲线在直线上所截得得弦长的最大值是______．【答案】【解析】解：将代入曲线方程得，．令，则，，弦长．故弦长的最大值是，故答案为：．联立直线与曲线方程可求交点的横坐标，，要使曲线族在直线上所截得的弦长的最大，则只要最大即可，即t最大即可，根据函数的性质即可求出．本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为，试用r表示圆柱的表面积S；若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离．【答案】解：连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为，，所以：，---2分，---4分，---6分，，---10分---14分【解析】利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S．利用圆柱的体积，求出底面半径，通过，求解点C到平面OEF的距离．本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，考查了直角三角形的解法，是基础题．18.已知向量和向量，且．求函数的最小正周期和最大值；已知的三个内角分别为A，B，C，若有，，，求AC的长度．【答案】解：，，化为．函数的周期为，最大值为2．得，即，由正弦定理得，又，，则．【解析】利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质即可得出；利用正弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、正弦定理，属于中档题．19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为为常数元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，近似地满足，其中为常数，已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍问研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；研发启动后第几年的投入资金的最多．【答案】解：由题意知，．所以解得所以．令，得，解得，即，所以．所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．由知第n年的投入资金，当且仅当，即等号，此时．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【解析】由题意知，，代入求出p，q的值，即可得到函数的解析式，再代值计算即可求出n的值，利用作差法，求出第n年的投入资金，利用基本不等式即可求出答案．本题考查了函数模型在实际生活中的应用，以及基本不等式的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．20.平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，过F的直线l交曲线于B，C两点．若l垂直于x轴，且线段BC的长为1，求曲线方程；若l的斜率为k，求；设抛物线上异于B，C的点A满足若的重心在x轴上，求得重心的坐标．【答案】解：联立方程，所以BC长，从而的方程为分设，，l：．由、，得到分，所以分若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为．以下设l：，，．设线段BC中点，则，，所以直线AD的斜率，分此时，从而直线AD：与x轴的交点即为的重心．综合有，的重心为或者分【解析】若l垂直于x轴，联立直线与抛物线方程，通过线段BC的长为1，求曲线方程即可；若l的斜率为k，设，，写出l：通过联立直线与抛物线方程，结合韦达定理转化求解；若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为设l：，，设线段BC中点，求出D的坐标，AD的斜率，求出直线系方程，得到定点坐标即为的重心．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.设函数在上有定义，实数a，b满足若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质p．当，且在区间上具有性质p时，求常数C的取值范围；已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质p；若对于满足的任意实数a，b；在区间上具有性质p，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．【答案】解：当时，在上存在最小值；当时，在上存在最小值；当时，在上单调递增，所以不存在最小值．所以．因为时，，所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到另一方面，在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P．首先证明对于任意，．当时，由可知介于和之间若，则在区间上存在最小值，矛盾．利用归纳法和上面结论可得：对于任意k，，当时，．其次证明当且时，；当且时，．任取，设正整数k满足，则．若存在使得，则，即由于当时，，所以在区间有最小值，矛盾．类似可证，当且时，．最后证明：当时，．当时，成立当时，由可知，存在使得，所以．当时，有：若，则，所以在上存在最小值，故不具有性质p，故不成立．若，则假设，则在上存在最小值，故不具有性质p，故假设不成立．所以当时，对于任意都成立．又，故当、，所以，即．所以当时，则存在正整数m使得，则所以当时，，同理可证得当时，．所以当时，必然存在正整数n，使得，所以；当时，显然成立；所以综上所述：当时，．【解析】分别讨论图象的对称轴与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出C的取值范围；由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，又在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P；首先证明对于任意，；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，．本题考查了函数与方程的综合运用，需要对题目的条件充分理解和利用，证明用到了数学归纳法，属于难题．。