2014数学(理)一轮训练“计划书”：第6讲《函数的性质2奇偶性、周期性、对称性》

第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案 第6讲：《函数的奇偶性与周期性》教案一、教学目标1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．二、知识梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f(x)的定义域为A.假如关于任意的x ∈A ，都有__________，则称f(x)为奇函数；假如关于任意的x ∈A 都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T ，使得关于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T )＝______，则称f(x)为______函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质： ①f(x ＋T )＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T 2)．②假如T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT )＝f(x)．③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x 都有f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f x 或f(x ＋a)＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．三、题型突破题型一 函数奇偶性的判定例1 判定下列函数的奇偶性． (1)1()(1)1x f x x x -=++； (2)11()()212x f x x =+-； (3) 22()log (1)f x x x =++；(4) 22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 变式迁移1 判定下列函数的奇偶性．(1) 23()f x x x =-；(2) 22()11f x x x =-+-；(3) 24()33x f x x -=+-. 题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范畴是________．变式迁移2 已知函数3()f x x x =+，对任意的[]2,2m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范畴为________． 题型三 函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[－8,8]上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝________.四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]1．已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +的值为________．2．已知定义域为{}0x x ≠的函数()f x 为偶函数，且()f x 在区间(),0-∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x x <的解集为________________． 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当1≤x ≤2时，()2f x x =-，则(6.5)f = ________.4．设()f x 为定义在R 上的奇函数．当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -＝________.5．设函数()f x 满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则(1)f -与(2)f 大小关系为____________________．6．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)1f >，23(2)1m f m -=+，则m 的取值范畴为________________． 8．函数3()812f x x x =+-在区间[]3,3-上的最大值与最小值之和是 ．二、解答题(共42分)9．(14分)已知()f x 是定义在[－6,6]上的奇函数，且()f x 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，()f x ≤(5)f ＝3，(6)f ＝2，求()f x 的表达式．10．(14分)设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤，(1)证明()f x 是偶函数；(2)画出那个函数的图象；(3)指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数依旧减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)已知函数2()a f x x x=+ (x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范畴．五、参考答案二、知识梳理1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a三、题型突破例1 解题导引 判定函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判定．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)为偶函数．(3)差不多函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x 1＋x≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12) ＝－x(2x 1－2x ＋12)＝x(2x 2x －1－12) ＝x(12x －1＋12)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x ＋x2＋1)＝log21x ＋x2＋1＝－log2(x ＋x2＋1)＝－f(x)，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称， 又f(x)＝4－x2x ，f(－x)＝－4－x2x ，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 偶函数满足f(x)＝f(|x|)，依照那个结论，有f(2x －1)< f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔ f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13，解那个不等式即得x 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f(x)在R 上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0，等价于f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx ＋x －2， 现在，只需⎩⎪⎨⎪⎧ h －2<0h 2<0即可，解得x ∈(－2，23)． 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，依照函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，因此函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，因此f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.四、针对训练 1.13 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13. 2．(－3,0)∪(3，＋∞) 解析 由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f x x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5[来源:学,科,网Z,X,X,K]解析 由f(x ＋2)＝－1f x ，得f(x ＋4)＝－1f x ＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x ≤2时，f(x)＝x －2，∴f(1.5)＝－0.5.综上知，f(6.5)＝－0.5.4．－3解析 因为奇函数f(x)在x ＝0有定义，因此f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.因此f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.5．f(－1)>f(2)解析 由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．6．132 解析 由()(2)13f x f x +=，得(4)(2)13f x f x ++=，因此(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数且周期为4，因此1313(99)(4243)(3)(1)2f f f f =⨯+===． 7．(－1，23)解析 ∵f(x ＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m<23.8．16解析 设在区间[]3,3-上()x f 的最大值为M,最小值为m ，再设()()()x g x f x g ,8-=的最大值为M-8,最小值为m-8,又()312x x x g -=是奇函数，因此在区间[]3,3-上()(),0min max =+x g x g 即()()16m 08-m 8=+=+-M M ，.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f(x)＝a(x －5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f(x)＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－13x(0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.∴f(x)＝－13x(－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)[来源:ZXX K]当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f(－x)＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋52－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x<3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f(x)＝x2－2x －1＝(x －1)2－2，[来源:学+科+网Z+X+X +K]当x<0时，f(x)＝x2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x<0. 依照二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2； 故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f(x)＝x2＋a x (x ≠0，常数a ∈R)，若x ＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－a x2 ＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a 的取值范畴为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。

学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f (x )的定义域为A .如果对于任意的x ∈A ，都有__________，则称f (x )为奇函数；如果对于任意的x ∈A 都有__________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝______，则称f (x )为______函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值为________． 2．如果定义域为[3－a,5]的函数f (x )为奇函数，那么实数a 的值为________．3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)＝________.4．设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.5．若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围为___________．探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三 函数性质的综合应用 例3 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则下列说法中正确的是________(填序号)．①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数； ②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数； ③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数； ④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数．转化与化归思想例 (14分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[8分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．[10分]∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[11分] 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D . ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.[13分]∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[14分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a .课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为________． 2．已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为________________． 3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.4．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.5．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系为____________________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围为________________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(14分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案 自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f (x ) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f (x ) 周期 最小正周期 (2)③2a自我检测 1．2解析 因为f (x )为偶函数，所以奇次项系数为0， 即m －2＝0，所以m ＝2. 2．8 3．1解析 f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.4．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f (x )＝x 2－1x是奇函数，故a ＝－1.5．a ≤－2或a ≥2解析 由f (x )是R 上的偶函数知，f (x )在[0，＋∞)上是减函数． 因为f (a )≤f (2)等价于f (|a |)≤f (2)． 所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2. 课堂活动区例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数；f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．(3)基本函数法：把f (x )变形为g (x )与h (x )的和、差、积、商的形式，通过g (x )与h (x )的奇偶性判定出f (x )的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x1＋x≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )定义域不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x 1－2x ＋12)＝x (2x 2x－1－12) ＝x (12x －1＋12)＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x ，f (－x )＝－4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12，xx －12，即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12，xx －12－1，由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是 {x |12<x <1＋174或1－174<x <0}． 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h －h 即可，解得x ∈(－2，23)．例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 ②解析 ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )． ∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴． 又f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x )＝f (x )，∴2是函数f (x )的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．课后练习区 1.13解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(－3,0)∪(3，＋∞)解析 由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为下图，故f xx<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5解析 由f (x ＋2)＝－1f x ，得f (x ＋4)＝－1f x ＋＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.综上知，f (6.5)＝－0.5. 4．－3解析 因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.所以f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝3， 从而f (－1)＝－f (1)＝－3. 5．f (－1)>f (2)解析 由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)． 6．1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.7．(－1，23)解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)． ∵f (x )为奇函数，且f (1)>1，∴f (－1)＝－f (1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1.解得：－1<m <23.8．2解析 由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴f (－x －1)＝－f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (－x －1)，用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)． ∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4. ∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f (x )＝a (x －5)2＋3，∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f (x )＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1. 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f (x )＝－13x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f (－x )＝－13(－x )＝13x .又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－13x .∴f (x )＝－13x (－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f (－x )＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3. 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x <3，………………………………………分－x －2＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2， x ≥0，x ＋2－2， x <0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………………………………………………………………(7分) (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x )在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2；故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分) 又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a的取值范围为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。

专题06函数的奇偶性与周期性（教学案） 高考数学（理）一轮复习精品资料1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．高频考点一判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x ； (2)f(x)＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x ， x<0，－x2＋x ，x>0.解(1)定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x ＝－(x3－x) ＝－f(x)， ∴函数为奇函数．(2)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．【感悟提升】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【变式探究】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A ．f(x)g(x)是偶函数B ．|f(x)|g(x)是奇函数C ．f(x)|g(x)|是奇函数D ．|f(x)g(x)|是奇函数(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是()A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数答案(1)C(2)B高频考点二函数的周期性例2、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f2.5解析(1)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f＝1×20166＝336.又f ＋…＋f 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1，则T ＝2a ， ③若f(x ＋a)＝－1，则T ＝2a(a>0)．【变式探究】设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝__________________________________________.答案12解析∵f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sinx －sinx ＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 高频考点三函数性质的综合应用例3、(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A ．4B ．3C ．2D ．1(2)＝xln(x ＋a ＋x2)为偶函数，则a ＝________. 答案(1)B(2)1【变式探究】(1)已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为()A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)(2)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间上是增函数，则() A ．f(－25)<f ∵f(x)是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a<4，故选A.(2)∵f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，∴f(x －8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)， f 是定义在R 上的奇函数， 且满足f(x －4)＝－f(x)， 得f 在区间上是增函数， f(x)在R 上是奇函数， ∴f(x)在区间上是增函数， ∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x ＝0处有意义，则f(0)＝0.【举一反三】(1)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案(1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析(1)函数f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e3x e3x ＋e6x ＝2ax ＝lne2ax ，即1＋e3xe3x ＋e6x ＝e2ax ，整理得e3x ＋1＝e2ax ＋3x(e3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x(x<0)， ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ，x>0，0，x ＝0，－x2－4x ，x<0.①当x>0时，由f(x)>x 得x2－4x>x ，解得x>5； ②当x ＝0时，f(x)>x 无解；③当x<0时，由f(x)>x 得－x2－4x>x ，解得－5<x<0.综上得不等式f(x)>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．1.【2019年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.【答案】-22.【2019高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则f (6)=（） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2019高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()A ．y =．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y =sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【2019高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．xe x y +=B ．x x y 1+=C ．x xy 212+=D ．21x y += 【答案】A ．【2019高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） （A ）y cos x =（B ）y sin x =（C ）y ln x =（D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.【2019高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x +为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x +-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数 C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为上不是单调函数，且函数值f (x )∈； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为 B ．C ．D ．答案D4．已知减函数f(x)的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A ．m －n<0B ．m －n>0C ．m ＋n<0D ．m ＋n>0答案A解析设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R 上的减函数， ∴f(－x)是R 上的增函数，－f(－x)是R 上的减函数．∴当m<n 时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m －n<0一定成立，故选A. 5．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝f （x ）x 在区间(0，＋∞)上一定()A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案A解析∵f(x)＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a>0.∴g(x)＝f （x ）x ＝x ＋ax －2a 在(0，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．6．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________． 答案(0，110)解析因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在解析f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x≥a，e a －x ，x<a ，当x≥a 时，f(x)单调递增，当x<a 时，f(x)单调递减，又f(x)在，单调递减区间为，解析(1)∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 （x≥0），－x 2－2x ＋3 （x<0），其图像如图所示，所以函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和；单调递减区间为和时，u 为增函数；x∈(2，5)时，u 为减函数．又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同增异减，故f(x)的单调递增区间为(2，5)；单调递减区间为(－1，2]． 10．已知函数f(x)＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a 的取值范围．答案(1)a>1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x|x>0且x≠1}；0<a<1时，{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}(2)lg a2(3)(2，＋∞)解析(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．第- 11 -页共11页。

【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的奇偶性、单调性、周期性二. 教学重、难点：了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。

【典型例题】[例1] 定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R y x ∈、恒有)()()(y f x f xy f +=，且)(x f 不恒为0。

（1）求)1(f 和)1(-f 的值；（2）试判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；（3）若0≥x 时)(x f 为增函数，求满足不等式0)2()1(≤--+x f x f 的x 的取值集合。

解析：（1）令1==y x ，得)1()1()1(f f f += ∴ 0)1(=f 令1-==y x ，得)1()1()1(-+-=f f f ∴ 0)1(=-f（2）令1-=y ，由)()()(y f x f xy f +=，得)1()()(-+=-f x f x f 又0)1(=-f ∴ )()(x f x f =-又 ∵ )(x f 不恒为0 ∴ )(x f 为偶函数 （3）由0)2()1(≤--+x f x f知)2()1(x f x f -≤+ 又由（2）知|)(|)(x f x f = ∴ )2()1(x f x f -≤+ 又 ∵ )(x f 在),0[+∞上为增函数∴ x x -≤+21 故x 的取值集合为}21|{≤x x[例2] 设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(==f f 。

（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论。

解析：（1）由)2()2(x f x f +=-，得函数)(x f y =的对称轴为2=x ∴ )5()1(f f =-而)1()1(0)5(-≠⇒≠f f f ，即)(x f 不是偶函数又 ∵ )(x f 在[0，7]上只有0)3()1(==f f ∴ 0)0(≠f 从而知函数)(x f y =不是奇函数 故函数)(x f y =是非奇非偶函数（2）⎩⎨⎧+=-+=-)7()7()2()2(x f x f x f x f )14()4()14()()4()(x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒)10()(+=⇒x f x f从而知函数)(x f y =的周期为T=10 又0)1()3(==f f∴ 0)9()7()13()11(=-=-==f f f f故)(x f 在[0，10]和]0,10[-上均有2个根，从而可知函数)(x f y =在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在]0,2000[-上有400个根，在]2000,2005[--上没有根。

第6讲函数的奇偶性与周期性1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x 轴上是关于坐标原点对称的．( √ )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) 解析 (1)正确．根据函数奇偶性的定义，f (x )，f (－x )必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．(2)错误．若函数f (x )在点x ＝0处没有定义，如f (x )＝1x，则f (0)不存在．(3)正确．函数y ＝f (x ＋a )关于直线x ＝0对称，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． (4)正确．函数y ＝f (x ＋b )关于点(0,0)中心对称，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．2．下列函数为偶函数的是( D ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x解析 易判断A ，B 项中的函数为非奇非偶函数；对于C 项，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x－2－x )＝－f (x )为奇函数；对于D 项，f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )为偶函数，故选D ．3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A ．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．8D ．－8解析 由f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)，又函数为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故选A ． 5．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝！！！ －32 ###.解析 函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，故ln e －3x＋1e 3x ＋1＝2ax ，即ln e －3x＝2ax ，则－3x ＝2ax ，∴a ＝－32.一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】 判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x ≥0，得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )． 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．二 函数奇偶性的应用函数奇偶性问题的解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( C )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析 (1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C ．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin (－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5， 又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴5＋f [lg(lg 2)]＝8，∴f [lg(lg 2)]＝3.三 函数的周期性函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【例3】 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝( B )A ．335B ．338C ．337D ．2 015解析 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋336×1＝338.四 函数性质的综合应用函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析 (1)由f (a －3)＋f (9－a 2)<0，得f (a －3)<－f (9－a 2)．又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)<f (a 2－9)．∵f (x )是定义域为(－1,1)的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.(2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c ，故选C ．1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( A )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，故选A ．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( D )A ．－6B ．6C ．4D ．－4解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.3．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1，＋∞)解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，＋∞)上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在(－∞，0]上是减函数，所以f (a )<f (a －1)等价于|a |<|a －1|，解得a <12，故选B ．4．若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在其定义域上为奇函数，则实数k ＝__±1__.解析 根据奇函数的定义，当函数在x ＝0有定义时，可知f (0)＝k －11＋k＝0，解得k ＝1，当函数在x ＝0没有定义时，求得1＋k ＝0，解得k ＝－1．经验证，k ＝1或－1时，函数f (x )都是奇函数，故k ＝±1．易错点 不会判断函数的周期性错因分析：对于定义域内的每一个x ，都满足条件f (a ＋x )＝±f (b ＋x )或f (x ＋a )＝±kf (x )的函数就是周期函数，简记为“x 同向走就有周期性”． 【例1】 f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则x ∈(3,4)时，f (x )＝__________.解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )， 可知f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4)． 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵f (x )是偶函数，∴x ∈(－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵当x ∈(3,4)时，x －4∈(－1,0)，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋(x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3【跟踪训练1】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1．5)＝__2.5__.解析 由已知得f (x ＋4)＝f (x )，即周期是4，于是f (1．5)＝f (－1．5)＝f (－1．5＋4)＝f (2.5)＝2.5.课时达标 第6讲[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析 B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 项错；C 项，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 项错；D 项，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 项错．只有A 项，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( C ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (x )·g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数解析 令h (x )＝f (x )·g (x )，∵函数f (x )是奇函数，函数g (x )是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数，故选C ．4．(2018·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析 因为当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg 2.5．(2018·河南南阳模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )的图象如图．当x ∈[－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈[0,1)时，xf (x )>0无解；当x ∈[1,3]时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析 因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是！！！ ⎝⎛⎭⎪⎫－13，43###. 解析 因为偶函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，得f (|2x －1|)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，∴|2x －1|<53， 即－53<2x －1<53，即－13<x <43.8．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，且f (2 017)＝2 018，则f (－2 017)＝__2_016__. 解析 f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，令g (x )＝ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2 017，f (2 017)＝g (2 017)＋2 017＝2 018，g (2 017)＝1，故f (－2 017)＝g (－2 017)＋2 017＝－g (2 017)＋2 017＝－1＋2 017＝2 016.9．设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x 的取值范围是__(－∞，2)∪(3，＋∞)__.解析 函数f (x )＝x 1＋|x |为奇函数，当x >0时，f (x )＝1－11＋x，可得f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质，可得f (x )在R 上单调递增，则由f (x 2－2x )>f (3x －6)，可得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3.三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧ a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式；(2)解不等式f (x 2－1)>－2.解析 (1)当x <0时，－x >0，所以f (x )＝f (－x )＝log 12 (－x )，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1， 综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x ＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

A [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身 1．[2013·东北师大附中模拟] 奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上f (x )的函数解析式是( )A ．f (x )＝－x (1－x )B ．f (x )＝x (1＋x )C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)2．函数f (x )＝a 2x －1ax (a >0，a ≠1)的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称3．[2013·哈尔滨师大附中月考] 设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．[2013·上海卷] 已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝________．能力提升5．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－134＝( ) A.32 B ．－32 C.12 D ．－126．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，若f (1)＝1，则f (3)－f (4)＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．27．[2013·保定摸底] 若函数f (x )＝|x －2|＋a 4－x2的图象关于原点对称，则f a2＝( ) A.33 B ．－33C ．1D ．－1 8．已知定义在R 上的奇函数f (x )是一个减函数，且x 1＋x 2＜0，x 2＋x 3＜0，x 3＋x 1＜0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上都有可能 9．[2013·银川一中月考] 已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋1)＋f (x )＝3，当x ∈[0，1]时，f (x )＝2－x ，则f (－2 005.5)＝________．10．[2013·青岛二中月考] 已知函数f (x )＝x 2－m 是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________．11．[2013·南京三模] 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2＋ax ，x <0是奇函数，则满足f (x )>a 的x的取值范围是________．12．(13分)[2013·衡水中学一调] 已知函数f (x )＝x m－2x 且f (4)＝72.(1)求m 的值；(2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．难点突破13．(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1bx ＋c(a ，b ，c ∈Z )是奇函数，又f (1)＝2，f (2)<3，求a ，b ，c 的值．B [第6讲 函数的奇偶性与周期性](时间：35分钟 分值：80分)基础热身1．[2013·佛山质检] 下列函数中既是奇函数，又在区间(－1，1)上是增函数的为( )A ．y ＝|x |B ．y ＝sin xC ．y ＝e x ＋e －xD ．y ＝－x 32．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( )A ．－13 B.13 C.12 D ．－123．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1（x >0），－x 2－x －1（x <0），则f (x )为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．不能确定奇偶性4．[2013·浙江卷] 设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．能力提升5．[2013·郑州模拟] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，0，x ＝0，g （x ），x >0，且f (x )为奇函数，则g (3)＝( )A ．8 B.18 C ．－8 D ．－186．已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，如果x 1<0，x 2>0，且|x 1|<|x 2|，则有( )A ．f (－x 1)＋f (－x 2)>0B ．f (x 1)＋f (x 2)<0C ．f (－x 1)－f (－x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<07．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)的值为( )A ．1B ．2C ．－2D ．－18．[2013·忻州一中月考] 命题p ：∀x ∈R ，使得3x>x ；命题q ：若函数y ＝f (x －1)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1，0)成中心对称．以下说法正确的是( ) A ．p ∨q 真 B ．p ∧q 真 C ．綈p 真 D ．綈q 假9．[2013·山东师大附中期中] 函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (2 013)＝________． 10．[2013·枣庄二模] 已知定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，给出三个结论：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称；③f (x )是偶函数．其中正确结论的个数为________．11．设定义在[－2，2]上的奇函数f (x )在[0，2]上单调递减，若f (3－m )≤f (2m 2)，则实数m 的取值范围是________．12．(13分)[2013·吉林一模] 已知函数f (x )＝lg 1＋x1－x.(1)求证：对于f (x )的定义域内的任意两个实数a ，b ，都有f (a )＋f (b )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab ；(2)判断f (x )的奇偶性，并予以证明．难点突破 13．(12分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．课时作业(六)A【基础热身】1．B [解析] 当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，由于函数f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．2．A [解析] 因为f (－x )＝a －x －1a－x ＝－(a x －a －x)＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．故选A.3．A [解析] 依题意当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－(2x 2＋x )，所以f (1)＝－3.故选A.4．3 [解析] 考查函数的奇偶性和转化思想，解此题的关键是利用y ＝f (x )为奇函数． 已知函数y ＝f (x )为奇函数，由已知得g (1)＝f (1)＋2＝1， ∴f (1)＝－1，则f (－1)＝－f (1)＝1，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝1＋2＝3. 【能力提升】5．A [解析] 依题意f －134＝f －54＝f 34＝32.故选A.6．A [解析] 由f (x ＋2)＝－f (x )得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，根据f (x )为R 上的奇函数，得f (0)＝0，所以f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，f (4)＝f (0)＝0，所以f (3)－f (4)＝－1.故选A.7．A [解析] 函数f (x )定义域为{x |－2<x <2}，依题意函数f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，得a ＝－2，所以f a 2＝f (－1)＝|－1－2|－24－1＝33.故选A.8．A [解析] 由x 1＋x 2＜0，得x 1＜－x 2.又f (x )为减函数，所以f (x 1)＞f (－x 2)，又f (x )为R 上的奇函数，所以f (x 1)＞－f (x 2)． 所以f (x 1)＋f (x 2)＞0.同理f (x 2)＋f (x 3)＞0，f (x 1)＋f (x 3)＞0， 所以f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＞0.故选A. 9．1.5 [解析] 由f (x ＋1)＋f (x )＝3得f (x )＋f (x －1)＝3，两式相减得f (x ＋1)＝f (x －1)，所以f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为2的周期函数，所以f (－2 005.5)＝f (－1.5)＝f (－2＋0.5)＝f (0.5)＝1.5.10．－1 [解析] 由已知必有m 2－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，∴m ＝3或m ＝－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －1，x ∈[－6，6]，∴f (x )在x ＝0处无意义，故舍去；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3，此时x ∈[－2，2]，∴f (m )＝f (－1)＝(－1)3＝－1.11．(－1－3，＋∞) [解析] 由函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，－x >0，f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x ＝－f (x )＝x 2－ax ，所以a ＝－2.当x ≥0时，f (x )>a 即x 2－2x >－2恒有x 2－2x ＋2>0；当x <0时，f (x )>a 即－x 2－2x >－2⇒x 2＋2x －2<0，解得－1－3<x <0.综上，满足f (x )>a 的x 的取值范围是(－1－3，＋∞)．12．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m－24＝72，所以m ＝1.(2)因为f (x )的定义域为{x |x ≠0}，又f (－x )＝－x －2－x ＝－x －2x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(3)设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－x 2－2x 2＝(x 1－x 2)1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，1＋2x 1x 2>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．(或用求导数的方法) 【难点突破】13．解：由f (x )是奇函数，知f (－x )＝－f (x )，从而a （－x ）2＋1b （－x ）＋c ＝－ax 2＋1bx ＋c，即－bx ＋c ＝－(bx ＋c )，c ＝－c ，∴c ＝0.又由f (1)＝2，知a ·12＋1b ·1＋c ＝2，得a ＋1＝2b ①，而由f (2)<3，知a ·22＋1b ·2＋c <3，得4a ＋12b<3②，由①②可解得－1<a <2.又a ∈Z ，∴a ＝0或a ＝1.若a ＝0，则b ＝12∉Z ，应舍去；若a ＝1，则b ＝1∈Z .∴a ＝b ＝1，c ＝0.课时作业(六)B【基础热身】1．B [解析] 由题中选项可知，y ＝|x |，y ＝e x ＋e －x为偶函数，排除A ，C ；而y ＝－x 3在R 上递减，故选B.2．B [解析] 因为函数f (x )＝ax 2＋bx 在[a －1，2a ]上为偶函数，所以b ＝0，且a －1＋2a ＝0，即b ＝0，a ＝13.所以a ＋b ＝13.3．A [解析] 若x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－(－x )＋1＝x 2＋x ＋1＝－f (x )．若x >0，则－x <0，所以f (－x )＝－(－x )2－(－x )－1＝－x 2＋x －1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．4.32[解析] 函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋1，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.【能力提升】5．D [解析] 因为f (x )为奇函数，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x，即g (x )＝－2－x ，所以g (3)＝－2－3＝－18.故选D.6．D [解析] 因为x 1<0，x 2>0，|x 1|<|x 2|，所以0<－x 1<x 2.又f (x )是(0，＋∞)上的增函数，所以f (－x 1)<f (x 2)．又f (x )为定义在R 上的偶函数，所以f (x 1)<f (x 2)，所以f (x 1)－f (x 2)<0.选D.7．A [解析] 由已知f (x )是偶函数且是周期为2的周期函数，则f (－2 012)＝f (2 012)＝f (0)＝log 21＝0，f (2 011)＝f (1)＝log 22＝1，所以f (－2 012)＋f (2 011)＝0＋1＝1，故选择A.8．A [解析] 命题p 是真命题．对于命题q ，函数y ＝f (x －1)为奇函数，将其图象向左平移1个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，该图象的对称中心为(－1，0)，而得不到对称中心为(1，0)，所以命题q 为假命题，所以p ∨q 是真命题．故选A.9．－13 [解析] 因为f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，f (2 013)＝f (1)＝－1f （3）＝－13.10．A [解析] 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，得f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，可得3是函数f (x )的一个周期，故结论①正确；由于函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，其图象关于坐标原点对称，把这个函数图象向左平移34个单位即得函数y ＝f (x )的图象，此时坐标原点移到点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0对称，结论②正确；由于函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34为奇函数，故－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －34，以x ＋34代换x 得－f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －32，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－x －32，以x －32代换x 得f (x )＝f (－x )，故f (x )是偶函数，结论③正确． 11．{1} [解析] 因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且在[0，2]上单调递减，所以f (x )在[－2，2]上单调递减，所以f (3－m )≤f (2m 2)等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2≤3－m ≤2，－2≤2m 2≤2，3－m ≥2m 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤5，－1≤m ≤1，－32≤m ≤1，即m ＝1，所以m 的取值范围是{1}． 12．解：函数的定义域为{x |－1<x <1}＝(－1，1)．(1)证明：∀a ，b ∈(－1，1)，f (a )＋f (b )＝lg 1＋a 1－a ＋lg 1＋b 1－b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ），f a ＋b 1＋ab ＝lg 1＋a ＋b 1＋ab 1－a ＋b 1＋ab＝lg 1＋ab ＋a ＋b 1＋ab －a －b ＝lg （1＋a ）（1＋b ）（1－a ）（1－b ）， 所以f (a )＋f (b )＝f a ＋b1＋ab.(2)∀x ∈(－1，1)，f (－x )＋f (x )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1＋x 1－x ＝lg （1－x ）（1＋x ）（1＋x ）（1－x ）＝lg1＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 【难点突破】13．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， 所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， 所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3， 又f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．(*) 方法一：因为f (x )为偶函数，所以f (|(3x ＋1)(2x －6)|)≤f (64)． 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 所以0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x ⎪⎪⎪－73≤x <－13，或－13<x <3，或3<x ≤5.方法二：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以(*)等价于不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）>0，（3x ＋1）（2x －6）≤64，或⎩⎪⎨⎪⎧（3x ＋1）（2x －6）<0，－（3x ＋1）（2x －6）≤64， ⎩⎪⎨⎪⎧x >3或x <－13，－73≤x ≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－13<x <3，x ∈R .所以3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.所以x 的取值范围为x 错误!－错误!≤x <－错误!，或－错误!<x <3，或3<x ≤5.。

山东省聊城四中2014届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性和周期性学案积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会中都看到某种忧患。

一、高考目标：掌握函数的奇偶性，理解函数的周期性并会用函数的周期性解决简单的三角函数问题，会利用函数的奇偶性，周期性解决实际问题。

二、知识再现：（1）奇函数：对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有_____________________， 则称)(x f 为奇函数。

（2）偶函数：对于函数)(x f 的定义域内的任意一个x ，都有_____________________， 则称)(x f 为偶函数。

（3）奇偶函数的性质①具有奇偶性的函数，其定义域关于_____________对称。

②奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于_____________对称。

③若奇函数的定义域包含数0，则)0(f =__________。

④奇函数的反函数也为________函数。

⑤奇函数在对称区间上的单调性____________；⑥偶函数在对称区间上的单调性____________；三、考点剖析例1.判断下列函数的奇偶性：(1) )1(||)(2+=x x x f ； (2) xx x f 1)(+=； (3) 11)(-+-=x x x f ； (4) 11)(22-+-=x x x f ；(5) x xx x f -+-=11)1()(；(6)⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=)0(1)0(0)0(1)(x x x x x x f 。

变式训练：设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对于任意实数x ，恒有)()2(x f x f -=+，当]2,0[∈x 时，22)(x x x f -=。

（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式；（3）计算)2008()2()1()0(f f f f ++++ 。

四、达标训练1．下面四个结论中，正确命题的个数是（ ）（1）偶函数的图像一定与y 轴相交 （2）奇函数的图像一定过原点 （3）偶函数的图像关于y 轴对称 （4）既是奇函数又是偶函数的图像一定是)(0)0(R x f ∈=A 1B 2C 3D 42．已知函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，那么cx bx ax x g ++=23)(是（ ）A 奇函数B 偶函数C 既奇又偶函数D 非奇非偶函数3．（07.云南模拟）函数)(2121)(R x x f x ∈+-=是（ ） A 奇函数 B 偶函数 C 既奇又偶函数 D 非奇非偶函数4．（06.山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()2(x f x f -=+，则=)6(f （ ）A 1-B 0C 1D 25．（06.广东）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A )(,3R x x y ∈-=B )(,sin R x x y ∈=C )(,R x x y ∈=D )(,)21(R x y x∈= 6．函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在),0(+∞上是减函数，那么下列式子正确的是（ ） A )1()43(2+->-a a f f B )1()43(2+-≥-a a f f C )1()43(2+-<-a a f f D )1()43(2+-≤-a a f f 7．定义在),(+∞-∞上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间),0[+∞上的图像与)(x f 的图像重合，设0>>b a ，给出下列不等式，其中正确的是（ ）（1）)()()()(b g a g a f b f -->--；（2）)()()()(b g a g a f b f --<--；（3）)()()()(a g b g b f a f -->--；（4）)()()()(a g b g b f a f --<--A （1）（4）B （2）（3）C （1）（3）D （2）（4）8．（06.上海）已知函数)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f ＝____________。

第6讲函数的奇偶性与周期性1．偶函数、奇函数的概念一般地，如果对函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．3．函数奇偶性的常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的__最小__正周期．5．函数周期性的常用结论对f (x )定义域内任一自变量x 的值： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 6．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两条对称轴x ＝a ，x ＝b (a <b )，则函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f (x )(x ∈D )在定义域内有两个对称中心A (a,0)，B (b,0)(a <b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝2(b －a )．(3)如果函数f (x )，x ∈D 在定义域内有一条对称轴x ＝a 和一个对称中心B (b,0)(a ≠b )，那么函数f (x )是周期函数，且周期T ＝4|b －a |.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x 轴上是关于坐标原点对称的．( √ )(2)若函数f (x )为奇函数，则一定有f (0)＝0.( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) 解析 (1)正确．根据函数奇偶性的定义，f (x )，f (－x )必须同时有意义，故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．(2)错误．若函数f (x )在点x ＝0处没有定义，如f (x )＝1x，则f (0)不存在．(3)正确．函数y ＝f (x ＋a )关于直线x ＝0对称，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称． (4)正确．函数y ＝f (x ＋b )关于点(0,0)中心对称，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．2．下列函数为偶函数的是( D ) A ．f (x )＝x －1 B ．f (x )＝x 2＋x C ．f (x )＝2x－2－xD ．f (x )＝2x ＋2－x解析 易判断A ，B 项中的函数为非奇非偶函数；对于C 项，f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x－2－x )＝－f (x )为奇函数；对于D 项，f (－x )＝2－x ＋2x＝f (x )为偶函数，故选D ．3．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝( A )A ．－2B ．0C ．1D ．2解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2，故选A ．4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)＝( A )A ．－2B ．2C ．8D ．－8解析 由f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4， ∴f (2 015)＝f (503×4＋3)＝f (3)＝f (－1)，又函数为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2，故选A ． 5．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝！！！ －32 ###.解析 函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 为偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，故ln e －3x＋1e 3x ＋1＝2ax ，即ln e －3x＝2ax ，则－3x ＝2ax ，∴a ＝－32.一 函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f (－x )与f (x )的关系作出判断．(2)分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x <0来寻找等式f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．【例1】 判断下列各函数的奇偶性． (1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝lg (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≠0，1－x1＋x ≥0，得定义域为(－1,1]，关于原点不对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg (1－x 2)－x .又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg (1－x 2)－x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )． 综上可知，对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立， ∴函数f (x )为奇函数．二 函数奇偶性的应用函数奇偶性问题的解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象并判断另一区间上的单调性．【例2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( C )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f [lg(log 210)]＝5，则f [lg(lg 2)]＝( C )A ．－5B ．－1C ．3D ．4解析 (1)用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C ．(2)∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，① ∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin (－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③ 又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)，∴f [lg(log 210)]＝f [－lg(lg 2)]＝5， 又由③式知f [－lg(lg 2)]＋f [lg(lg 2)]＝8， ∴5＋f [lg(lg 2)]＝8，∴f [lg(lg 2)]＝3.三 函数的周期性函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．【例3】 定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝( B )A ．335B ．338C ．337D ．2 015解析 由f (x ＋6)＝f (x )可知，函数f (x )的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋336×1＝338.四 函数性质的综合应用函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【例4】 (1)已知定义域为(－1,1)的奇函数f (x )是减函数，且f (a －3)＋f (9－a 2)<0，则实数a 的取值范围是( A )A ．(22，3)B ．(3，10)C ．(22，4)D ．(－2,3)(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．若a ＝g (－log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( C )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析 (1)由f (a －3)＋f (9－a 2)<0，得f (a －3)<－f (9－a 2)．又奇函数满足f (－x )＝－f (x )，得f (a －3)<f (a 2－9)．∵f (x )是定义域为(－1,1)的减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a －3<1，－1<a 2－9<1，a －3>a 2－9，解得22<a <3.(2)由f (x )为奇函数，知g (x )＝xf (x )为偶函数．因为f (x )在R 上单调递增，f (0)＝0，所以当x >0时，f (x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )>0.又a ＝g (－log 25.1)＝g (log 25.1)，b ＝g (20.8)，c ＝g (3)，20.8<2＝log 24<log 25.1<log 28＝3，所以b <a <c ，故选C ．1．(2017·北京卷)已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( A )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数解析 因为f (x )＝3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，且定义域为R ，所以f (－x )＝3－x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＝－f (x )，即函数f (x )是奇函数．又y ＝3x 在R 上是增函数，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，所以f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数，故选A ．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝( D )A ．－6B ．6C ．4D ．－4解析 因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4.3．已知定义在R 上的偶函数f (x )，在x ≥0时，f (x )＝e x＋ln(x ＋1)，若f (a )<f (a －1)，则a 的取值范围是( B )A ．(－∞，1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1D ．(1，＋∞)解析 根据题中所给的函数解析式，可知函数在[0，＋∞)上是增函数，根据偶函数图象的对称性，可知函数在(－∞，0]上是减函数，所以f (a )<f (a －1)等价于|a |<|a －1|，解得a <12，故选B ．4．若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x 在其定义域上为奇函数，则实数k ＝__±1__.解析 根据奇函数的定义，当函数在x ＝0有定义时，可知f (0)＝k －11＋k＝0，解得k ＝1，当函数在x ＝0没有定义时，求得1＋k ＝0，解得k ＝－1．经验证，k ＝1或－1时，函数f (x )都是奇函数，故k ＝±1．易错点 不会判断函数的周期性错因分析：对于定义域内的每一个x ，都满足条件f (a ＋x )＝±f (b ＋x )或f (x ＋a )＝±kf (x )的函数就是周期函数，简记为“x 同向走就有周期性”． 【例1】 f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 恒有f (x ＋1)＝f (x －1)，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－x ，则x ∈(3,4)时，f (x )＝__________.解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)得f (x ＋2)＝f (x )， 可知f (x )是周期为2的周期函数， ∴f (x )＝f (x －4)． 设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵f (x )是偶函数，∴x ∈(－1,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋x.∵当x ∈(3,4)时，x －4∈(－1,0)，∴f (x )＝f (x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋(x －4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3【跟踪训练1】 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (1．5)＝__2.5__.解析 由已知得f (x ＋4)＝f (x )，即周期是4，于是f (1．5)＝f (－1．5)＝f (－1．5＋4)＝f (2.5)＝2.5.课时达标 第6讲[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题，有一定难度．一、选择题1．下列函数是奇函数的是( A ) A ．f (x )＝x |x | B ．f (x )＝lg x C ．f (x )＝2x＋2－xD ．f (x )＝x 3－1解析 B 项，f (x )＝lg x 的定义域是x >0，所以不是奇函数，所以B 项错；C 项，f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，f (x )是偶函数，所以C 项错；D 项，f (x )＝x 3－1不过原点，所以f (x )是非奇非偶函数，所以D 项错．只有A 项，满足定义域关于原点对称，并且f (－x )＝－f (x )，是奇函数．2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( A ) A ．17 B ．－1 C ．1D ．7解析 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，得b ＝0，所以a ＋b ＝17，故选A ．3．若函数f (x )(x ∈R )是奇函数，函数g (x )(x ∈R )是偶函数，则( C ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (x )·g (x )是奇函数D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数解析 令h (x )＝f (x )·g (x )，∵函数f (x )是奇函数，函数g (x )是偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－h (x )，∴h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数，故选C ．4．(2018·重庆模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝( D )A ．1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2解析 因为当x >0时，f (x )＝lg x ，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫1100＝lg 1100＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＝f (－2)＝－f (2)＝－lg 2.5．(2018·河南南阳模拟)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( C )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)解析 f (x )的图象如图．当x ∈[－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)； 当x ∈[0,1)时，xf (x )>0无解；当x ∈[1,3]时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)． 故x ∈(－1,0)∪(1,3)．6．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A ．[－2,1] B ．[－5,0] C ．[－5,1]D ．[－2,0]解析 因为f (x )是偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1时恒成立，则|ax ＋1|≤2－x ，即x －2≤ax ＋1≤2－x .由ax ＋1≤2－x ，得ax ≤1－x ，a ≤1x －1，而1x －1在x ＝1时取得最小值0，故a ≤0.同理，x －2≤ax ＋1时，a ≥－2，所以a 的取值范围是[－2,0]．二、填空题7．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立，则x 的取值范围是！！！ ⎝⎛⎭⎪⎫－13，43###. 解析 因为偶函数f (x )在区间(0，＋∞)上单调递减，所以由f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，得f (|2x －1|)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，∴|2x －1|<53， 即－53<2x －1<53，即－13<x <43.8．已知f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，且f (2 017)＝2 018，则f (－2 017)＝__2_016__. 解析 f (x )＝ax 3＋bx ＋2 017，令g (x )＝ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数，f (x )＝g (x )＋2 017，f (2 017)＝g (2 017)＋2 017＝2 018，g (2 017)＝1，故f (－2 017)＝g (－2 017)＋2 017＝－g (2 017)＋2 017＝－1＋2 017＝2 016.9．设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x 2－2x )>f (3x －6)成立的x 的取值范围是__(－∞，2)∪(3，＋∞)__.解析 函数f (x )＝x 1＋|x |为奇函数，当x >0时，f (x )＝1－11＋x，可得f (x )在(0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质，可得f (x )在R 上单调递增，则由f (x 2－2x )>f (3x －6)，可得x 2－2x >3x －6，解得x <2或x >3.三、解答题10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x ， 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12 x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2. 解析 (1)当x <0时，－x >0， 所以f (x )＝f (－x )＝log 12(－x )，故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式． 解析 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． 由f (x )是奇函数，得f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.。

函数的性质与应用奇偶性周期性与增减性函数的性质与应用：奇偶性、周期性与增减性函数是数学中的重要概念之一，它描述了一种依据某种规律将一个集合的元素映射到另一个集合的关系。

函数的性质对于研究和应用数学都至关重要。

本文将探讨函数的奇偶性、周期性与增减性，以及它们在数学和实际应用中的作用。

一、奇偶性奇偶性是函数的一种重要性质。

对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于任意实数x，都有f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；如果对于任意实数x，都有f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。

同时，如果一个函数既不具备偶性也不具备奇性，则称其为非奇非偶函数。

奇函数和偶函数有着一些特殊的性质。

例如，对于偶函数，它的图像关于y轴对称；对于奇函数，它的图像关于原点对称。

这些对称性质使得我们能够更简单地分析函数的图像和性质。

此外，奇偶函数还有一些重要的性质，如偶函数的任意两个区间上的函数值都是相等的，奇函数的积分在对称区间上等于0等。

奇偶性函数在应用中也有广泛的运用。

例如，电信号的调制过程中，偶函数和奇函数可以用于分离信号的正负部分，实现信号的传递和处理；在物理学中，奇偶性函数用于描述各种对称性和守恒量，如角动量、电荷守恒等。

二、周期性周期性是函数的另一种重要的性质。

对于定义在实数集上的函数f(x)，如果存在一个正实数T，使得对于任意实数x，都有f(x+T) = f(x)，则称该函数为周期函数。

周期函数的图像在平面上呈现出重复的规律性，其有限区间内的变化趋势相同。

周期性函数在数学和自然科学中都有着广泛的应用。

例如，三角函数在调控周期性现象方面起到了关键作用。

正弦函数、余弦函数等周期函数广泛应用于波动、振动、电磁波传播等领域。

此外，周期性还可以用于描述周期性统计现象，如天气数据的季节性变化、经济指标的周期性波动等。

三、增减性增减性是函数的另一个重要的性质。

对于定义在实数集上的函数f(x)，如果对于区间[a,b]中的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)，则称该函数在区间[a,b]上是递增函数；如果对于区间[a,b]中的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)，则称该函数在区间[a,b]上是递减函数。

2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座：函数的奇偶性与周期性(人教A版)2014届数学一轮知识点讲座：函数的奇偶性与周期性一、考纲目标1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性；二、知识梳理（一）函数的奇偶性1.定义：如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数；2.性质及一些结论：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称；（3）()⇔=f x f xf x为偶函数()(||)（4）若奇函数()f=因此，f x的定义域包含0，则(0)0“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；（5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意1．奇偶性辨析例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是A．1 B.2 C.3 D.4分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零例2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|x|(x2＋1)；(2)f(x)＝x＋1x ；(3)f(x)＝x －2＋2－x ；(4)f(x)＝1－x 2＋x 2－1；(5)f(x)＝(x －1)1＋x 1－x . 解析 (1)此函数的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x 2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数．(2)此函数的定义域为x>0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数．(5)定义域：⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x≠01＋x 1－x≥0⇒－1≤x<1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数．2.奇偶性的应用例 3.已知函数()f x 对一切,x y R ∈，都有()()()f x y f x f y +=+，（1）求证：()f x 是奇函数；（2）若(3)f a -=，用表示(12)f解：（1）显然()f x 的定义域是，它关于原点对称.在()()()f x y f x f y +=+中，令y x =-，得(0)()()f f x f x =+-，令0x y ==，得(0)(0)(0)f f f =+， ∴(0)0f =，∴()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， ∴()f x 是奇函数（2）由(3)f a -=，()()()f x y f x f y +=+及()f x 是奇函数， 得(12)2(6)4(3)4(3)4f f f f a ===--=-例4.（1）已知()f x 是上的奇函数，且当(0,)x ∈+∞时，()(1f x x =+，则()f x的解析式为(10()(10x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩（2）已知()f x 是偶函数，x R ∈，当0x >时，()f x 为增函数，若120,0x x <>，且12||||x x <，则 （） 12()()f x f x ->- 12()()f x f x -<- C 12()()f x f x ->- 12()()f x f x -<- 例5设为实数，函数2()||1f x x x a =+-+，x R ∈（1）讨论()f x 的奇偶性； （2）求 ()f x 的最小值解：（1）当0a =时， 2()()||1()f x x x f x -=-+-+=，此时()f x 为偶函数；当0a ≠时，2()1f a a =+，2()2||1f a a a -=++，∴()(),()(),f a f a f a f a -≠-≠-此时函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数（2）①当x a ≤时，函数2213()1()24f x x x a x a =-++=-++， 若12a ≤，则函数()f x 在(,]a -∞上单调递减，∴函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为2()1f a a =+； 若12a >，函数()f x 在(,]a -∞上的最小值为13()24f a =+，且1()()2f f a ≤②当x a ≥时，函数2213()1()24f x xx a x a =+-+=+-+， 若12a ≤-，则函数()f x 在[,)a +∞上的最小值为13()24f a -=-，且1()()2f f a -≤； 若12a >-，则函数()f x 在[,)a +∞上单调递增，∴函数()f x 在[,)a +∞上的最小值2()1f a a =+ 综上，当12a ≤-时，函数()f x 的最小值是34a -，当1122a -<≤时，函数()f x 的最小值是21a +， 当12a >，函数()f x 的最小值是34a + 3.函数周期性的应用例6．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f(x ＋2)＝－f(x)．当x ∈[0,2]时，f(x)＝2x －x 2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)． 解 (1)证明：∵f(x ＋2)＝－f(x)，∴f(x ＋4)＝－f(x ＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x －x 2，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x －x 2，∴f(x)＝x 2＋2x.又当x ∈[2,4]时，x －4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x ＋8.从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(2)＝0，f(1)＝1，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 008)＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0.∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)＝0.4.单调性与奇偶性的交叉应用例7.已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b2x＋1＋a是奇函数．①求a、b的值；②若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．解：①∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0， 即b －1a ＋2＝0，∴b ＝1，∴f(x)＝1－2x a ＋2x ＋1， 又由f(1)＝－f(－1)知1－2a ＋4＝－1－12a ＋1，解得a ＝2.②由①知f(x)＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1， 易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又∵f(x)是奇函数，从而不等式f(t 2－2t)＋f(2t 2－k)<0等价于f(t 2－2t)<－f(2t 2－k)＝f(k －2t 2)，∵f(x)为减函数，∴由上式得t 2－2t>k －2t 2， 即对任意的t ∈R 恒有：3t 2－2t －k>0，从而Δ＝4＋12k<0，∴k<－13.一、选择题1．(2012·高考陕西卷)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()A．y＝x＋1B．y＝－x3C．y＝1x D．y＝x|x|解析：选 D.由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x＞0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.2．已知y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象的对称轴是()A．x＝1 B．x＝－1C．x＝12D．x＝－12解析：选A.∵y＝f(x＋1)是偶函数，∴f(1＋x)＝f(1－x)，故f(x)关于直线x＝1对称．3．函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为()A．3 B．0C．－1 D．－2解析：选B.f(a)＝a3＋sin a＋1，①f(－a)＝(－a)3＋sin(－a)＋1＝－a3－sin a＋1，②①＋②得f(a)＋f(－a)＝2，∴f(－a)＝2－f(a)＝2－2＝0.4．函数f (x )＝1－21＋2x (x ∈R)( ) A ．既不是奇函数又不是偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数但不是奇函数D ．是奇函数但不是偶函数解析：选D.∵f (x )＝1－21＋2x ＝2x －12x ＋1， ∴f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )．又其定义域为R ，∴f (x )是奇函数．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈(0,1]时单调递增，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＜f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52＜f (－5) C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＜f (－5) D ．f (－5)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52 解析：选 B.∵f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以2为周期的函数，又f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12， f (－5)＝f (5)＝f (4＋1)＝f (1)，∵函数f (x )在(0,1]上单调递增，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＜f (1)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫52＜f (－5)． 二、填空题6．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R)是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.答案：－17．函数f (x )在R 上为奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________.解析：∵f (x )为奇函数，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，∴当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)，即x ＜0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.答案：－－x －18．(2013·大连质检)设f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋3)·f (x )＝－1，f (－4)＝2，则f (2014)＝________.解析：由已知f (x ＋3)＝－1f x， ∴f (x ＋6)＝－1f x ＋3＝f (x )，∴f (x )的周期为6.∴f (2014)＝f (335×6＋4)＝f (4)＝－f (－4)＝－2.答案：－2三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2x ＋3 x >0，0 x ＝0，－x 2－2x －3 x <0.解：(1)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－1)＝f (1)＝0.∴f (－1)＝f (1)且f (－1)＝－f (1)，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)①当x ＝0时，－x ＝0，f (x )＝f (0)＝0，f (－x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )．②当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )．③当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由①②③可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．解：∵f (x )的定义域为[－2,2]，∴有⎩⎨⎧－2≤1－m ≤2－2≤1－m 2≤2， 解得－1≤m ≤ 3.①又f (x )为奇函数，且在[－2,0]上递减，∴在[－2,2]上递减，∴f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)⇒1－m >m 2－1，即－2<m <1.② 综合①②可知，－1≤m <1.一、选择题1．(2012·高考天津卷)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 解析：选B.由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选择B.2．(2011·高考山东卷)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为()A．6 B．7C．8 D．9解析：选B.令f(x)＝x3－x＝0，即x(x＋1)(x－1)＝0，所以x＝0,1，－1，因为0≤x＜2，所以此时函数的零点有两个，即与x轴的交点个数为2.因为f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，所以2≤x＜4,4≤x＜6上也分别有两个零点，由f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，知x＝6也是函数的零点，所以函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.二、填空题3．若f(x)＝12x－1＋a是奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即12－x－1＋a＝－12x－1－a，得：2a＝1，a＝12.答案：1 24．(2013·长春质检)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定：其中正确命题的序号为________．①f(4)＝0；②f(x)是以4为周期的函数；③f(x)的图象关于x＝1对称；④f(x)的图象关于x＝2对称．解析：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(x＋2)＝－(－f(x＋2＋2))＝f(x ＋4)，即f(x)的周期为4，②正确．∵f(x)为奇函数，∴f(4)＝f(0)＝0，即①正确．又∵f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴③正确，又∵f(1)＝－f(3)，当f(1)≠0时，显然f(x)的图象不关于x＝2对称，∴④错误．答案：①②③三、解答题5．已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)试判断f(x)的奇偶性；(2)若－12≤a≤12，求f(x)的最小值．解：(1)当a＝0时，函数f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此时，f(x)为偶函数．当a≠0时，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此时，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)当x ≤a 时，f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －122＋a ＋34， ∵a ≤12，故函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而函数f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1.当x ≥a 时，函数f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋122－a ＋34， ∵a ≥－12，故函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增， 从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1.综上得，当－12≤a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1.。

第四节函数的奇偶性及周期性[知识能否忆起]一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义图象特点 偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．[小题能否全取]1．(2012·某某高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e xD ．y ＝ln x 2＋1解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln －x2＋1＝ln x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数．2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.3．(教材习题改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )为奇函数且f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (0)＝0，T ＝4. ∴f (8)＝f (0)＝0.4．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析：法一：∵f (－x )＝f (x )对于x ∈R 恒成立，∴|－x ＋a |＝|x ＋a |对于x ∈R 恒成立，两边平方整理得ax ＝0，对于x ∈R 恒成立，故a ＝0.法二：由f (－1)＝f (1)， 得|a －1|＝|a ＋1|，故a ＝0. 答案：05．(2011·某某高考)设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 解析：观察可知，y ＝x 3cos x 为奇函数，且f (a )＝a 3cos a ＋1＝11，故a 3cos a ＝10.则f (－a )＝－a 3cos a ＋1＝－10＋1＝－9.答案：－91.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件； (2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然； (3)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f (x ＋T )＝f (x )，由函数周期性的定义可知T 是函数的一个周期；应注意nT (n ∈Z 且n ≠0)也是函数的周期．函数奇偶性的判断典题导入[例1] (2012·某某质检)设Q 为有理数集，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，－1，x ∈∁R Q ，g (x )＝e x－1e x＋1，则函数h (x )＝f (x )·g (x )( ) A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数 C ．既是奇函数也是偶函数 D ．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答] ∵当x ∈Q 时，－x ∈Q ，∴f (－x )＝f (x )＝1；当x ∈∁R Q 时，－x ∈∁R Q ，∴f (－x )＝f (x )＝－1.综上，对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故函数f (x )为偶函数．∵g (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1－e x 1＋e x ＝－e x－11＋e x ＝－g (x )，∴函数g (x )为奇函数．∴h (－x )＝f (－x )·g (－x )＝f (x )·[－g (x )]＝－f (x )g (x )＝－h (x )，∴函数h (x )＝f (x )·g (x )是奇函数．∴h (1)＝f (1)·g (1)＝e －1e ＋1，h (－1)＝f (－1)·g (－1)＝1×e －1－1e －1＋1＝1－e 1＋e，h (－1)≠h (1)，∴函数h (x )不是偶函数．[答案] A由题悟法利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件； (2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是否对定义域内的每一个x 恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意] 判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．以题试法1．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3x－3－x ；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2，x >0，0，x ＝0，－x 2－2，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数． (2)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x－3x ＝－(3x －3－x)＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(3)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3－3＝4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(4)f (x )的定义域为R ，关于原点对称，当x >0时，f (－x )＝－(－x )2－2＝－(x 2＋2)＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝(－x )2＋2＝－(－x 2－2)＝－f (x )； 当x ＝0时，f (0)＝0，也满足f (－x )＝－f (x )． 故该函数为奇函数．函数奇偶性的应用典题导入[例2] (1)(2012·某某高考)已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.(2)(2012·某某调研)设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式f x ＋f －xx>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)[自主解答] (1)∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，∴当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. (2)∵f (x )为偶函数， ∴f x ＋f －x x ＝2f xx>0.∴xf (x )>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧x <0，f x <0.又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数， 故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)． [答案] (1)－1 (2)B本例(2)的条件不变，若n ≥2且n ∈N *，试比较f (－n )，f (1－n )，f (n －1)，f (n ＋1)的大小．解：∵f (x )为偶函数，所以f (－n )＝f (n )，f (1－n )＝f (n －1)．又∵函数y ＝f (x )在(0，＋∞)为减函数，且0<n －1<n <n ＋1， ∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)．∴f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)＝f (1－n )．由题悟法函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性构造关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式． (2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f (x )±f (－x )＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．以题试法2．(1)(2012·某某模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.(2)已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－a 2)>f (2a )，则实数a 的取值X 围是________．解析：(1)当x <0时，则－x >0，所以f (x )＝x 2＋x ，f (－x )＝ax 2－bx ，而f (－x )＝－f (x )，即－x 2－x ＝ax 2－bx ，所以a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.(2)因为f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又因为f (x )是R 上的奇函数，所以函数f (x )是R 上的增函数，要使f (3－a 2)>f (2a )，只需3－a 2>2a ，解得－3<a <1.答案：(1)0 (2)(－3,1)函数的周期性及其应用典题导入[例3](2012·某某高考)设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.[自主解答] 依题意得，f (2＋x )＝f (x )，f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋1＝32. [答案] 32由题悟法1．周期性常用的结论：对f (x )定义域内任一自变量的值x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f x，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．以题试法3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． 解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数． (2)∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. 又∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝sin xC ．y ＝xD ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x答案：A2．(2012·考感统考)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝( ) A ．－12B ．－14C.14D.12解析：选A 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12. 3．(2012·海淀区期末)已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选 C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．4．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，x 2＋x ，x ≤0，则f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数解析：选D f (－x )＝|－x ＋a |－|－x －a |＝|x －a |－|x ＋a |＝－f (x )，故f (x )为奇函数．画出h (x )的图象可观察到它关于原点对称或当x >0时，－x <0，则h (－x )＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－h (x )，当x <0时－x >0，则h (－x )＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－h (x )．x ＝0时，h (0)＝0，故h (x )为奇函数．5．(2013·某某月考)已知函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋m (m 为常数)，则f (－1)的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选A 函数f (x )为定义在R 上的奇函数， 则f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1.则f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝21＋2×1－1＝3，f (－1)＝－f (1)＝－3. 6．若函数f (x )＝x2x ＋1x －a为奇函数，则a ＝( )A.12B.23 C.34D ．1 解析：选A ∵f (x )＝x2x ＋1x －a是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)， ∴－1－2＋1－1－a＝－12＋11－a，∴a ＋1＝3(1－a )，解得a ＝12.7．(2013·某某模拟)已知f (x )是偶函数，当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，f (x )＝________.解析：x >0，－x <0，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故x >0时，f (x )＝x 2－x . 答案：x 2－x8.(2012·“江南十校”联考)定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析：依题意，画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象，如图所示，注意到y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 的交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23和⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，－23，结合图象可知，f (x )>x 的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎪⎫0，23.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2 011)＝________.解析：f (2 011)＝f (3×670＋1) ＝f (1)＝－f (－1) ＝－log 2(3＋1)＝－2. 答案：－210．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在[2，＋∞)上的单调性． 解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )，函数是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R)，取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0；f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，即f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． 故函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数． (2)若f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 22＋1x2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2.由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2. 故x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上是单调递增函数． 11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)某某数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，某某数a 的取值X 围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值X 围是(1,3]．12．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式． 解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，得f (x ＋1)＝f (1－x )， 即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )． 故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x ，又f (0)＝0，故x ∈[－1,0]时， f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]，x ＋4∈[－1,0]，f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x － 4.1．设f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |－3<x <0，或x >3}B ．{x |x <－3，或0<x <3}C ．{x |x <－3，或x >3}D ．{x |－3<x <0，或0<x <3}解析：选D 由x ·f (x )<0， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f x >0或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f x <0，而f (－3)＝0，f (3)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，f x >f －3或⎩⎪⎨⎪⎧ x >0，f x <f 3，所以x ·f (x )<0的解集是{x |－3<x <0，或0<x <3}．2．(2012·某某高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析：因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1,3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，故b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.答案：－103．(2012·某某模拟)已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )， (1)求f (1)；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，f (1)＝0. (2)f (－x )＋f (3－x )≥－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12， f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0＝f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 2≥f (1)， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2·3－x 2≥f (1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ －x >0，3－x >0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.故不等式的解集为[－1,0)．1．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .于是解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)． 答案：f (1)>g (0)>g (－1)2．关于y ＝f (x )，给出下列五个命题：①若f (－1＋x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )是周期函数；②若f (1－x )＝－f (1＋x )，则y ＝f (x )为奇函数；③若函数y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则y ＝f (x )为偶函数；④函数y ＝f (1＋x )与函数y ＝f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称；⑤若f (1－x )＝f (1＋x )，则y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．填写所有正确命题的序号________．解析：由f (－1＋x )＝f (1＋x )可知，函数周期为2，①正确；由f (1－x )＝－f (1＋x )可知，y ＝f (x )的对称中心为(1,0)，②错；y ＝f (x －1)向左平移1个单位得y ＝f (x )，故y ＝f (x )关于y 轴对称，③正确；两个函数对称时，令1＋x ＝1－x 得x ＝0，故应关于y 轴对称，④错；由f (1－x )＝f (1＋x )得y ＝f (x )关于x ＝1对称，⑤错，故正确的应是①③.答案：①③3．已知f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，如果f (ax ＋1)≤f (x －2)在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立，某某数a 的取值X 围． 解：由于f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，则在(－∞，0]上为减函数，由f (ax ＋1)≤f (x －2)，则|ax ＋1|≤|x －2|，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，故|x －2|＝2－x ， 即x －2≤ax ＋1≤2－x .故x －3≤ax ≤1－x,1－3x ≤a ≤1x －1，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上恒成立． 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1min ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x max ＝－2，故－2≤a ≤0.。