高中数学竞赛培训 函数的基本性质(二)函数的周期性 Word版 含答案

函数的周期性和对称性一、 函数的轴对称：定理1：如果函数()x f y =满足()()x b f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线2ba x +=对称. 推论1：如果函数()x f y =满足()()x a f x a f -=+，则函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.推论2：如果函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称.特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.二、 函数的点对称：定理2：如果函数()x f y =满足()()b x a f x a f 2=-++，则函数()x f y =的图象关于点()b a ,对称.推论3：如果函数()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则函数()x f y =的图象关于点()0,a 对称.推论4：如果函数()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称.三、函数周期性的性质：定理3：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f -=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期. 定理4：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f --=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -2为周期.定理5：若函数()x f 在R 上满足()x a f x a f -=+)(，且()x b f x b f --=+)(（其中b a ≠），则函数()x f y =以()b a -4为周期.1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

函数的周期专题六性1．周期函数的定义对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )；如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．2．函数周期性常用的结论结论1：若f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )的一个周期为2a ；结论2：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论3：若f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a ；结论4：若f (x )＝f (x ＋a )＋f (x －a )(a ≠0)，则f (x )的一个周期为6a ；结论5：若f (x ＋a )＝1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论6：若f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )的一个周期为2a ；结论7：若函数f (x )关于直线x ＝a 与x ＝b 对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论8：若函数f (x )关于点(a ，0)对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为2|b －a |．结论9：若函数f (x )关于直线x ＝a 对称，又关于点(b ，0)对称，则f (x )的一个周期为4|b －a |．结论7—结论9的记忆：两次对称成周期，两轴两心二倍差，一轴一心四倍差．总规律：在函数的奇偶性、对称性、周期性中，知二断一．即这三条性质中，只要已知两条，则第三条一定成立．考点一已知函数的周期性(显性的)，求函数值【方法总结】利用函数的周期性，可将其他区间上的求值等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例1](1)若f (x )是R 上周期为2的函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝__________．答案－1解析由f (x ＋2)＝f (x )可得f (3)－f (4)＝f (1)－f (2)＝1－2＝－1．(2)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )x 2－2，－2≤x ≤0，，0<x <1，则＝________．答案14解析由题意可得－2＝14，＝14．(3)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＋a ，－1≤x <0，|25－x|，0≤x <1，其中a ∈R ．若5(2f -＝9(2f ，则f (5a )的值是________．答案－25解析：由题意可得5()2f -＝＝－12＋a，9()2f ＝|25－12|＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25．【高中数学函数专题】(4)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)cosπx2，0<x≤2，x＋12|，－2<x≤0，则f(f(15))的值为________．答案22解析由函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，可知函数f(x)的周期是4，所以f(15)＝f(－1)＝|－1＋12|＝12，所以f(f(15))＝cosπ4＝22．(5)定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，当x∈(－3，0]时，f(x)＝－x－1，当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)的值等于()A．403B．405C．806D．809答案B解析定义在R上的函数f(x)，满足f(x＋5)＝f(x)，即函数f(x)的周期为5.又当x∈(0，2]时，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.当x∈(－3,0]时，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1．故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405．【对点训练】1．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________．1．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x．又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0．又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个．2．设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f(x)1≤x<0，0≤x≤1，其中a，b∈R．若＝a＋3b的值为________．2．答案－10解析因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以f f(－1)＝f(1)，故＝，从而12b＋212＋1＝－12a＋1，即3a＋2b＝－2，①．由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋22，即b＝－2a，②．由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10．3．已知函数f(x)(1－x)，0≤x≤1，－1，1<x≤2，如果对任意的n∈N*，定义f n(x)＝{[()]}n ff f f x⋅⋅⋅个，那么f2019(2)的值为()A．0B．1C．2D．33．答案C解析∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，f4(2)＝f(2)＝1，∴f n(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C．4．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2022)＝__________．4．答案337解析由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，由已知条件可得f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2022)＝337×1＝337．5．已知函数f(x)的定义域为R．当x<0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x>12时，f(6)＝()A．－2B．－1C．0D．25．答案D解析当x>12时，由可得当x>0时，f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2，故选D．6．对任意的实数x都有f(x＋2)－f(x)＝2f(1)，若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，且f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝()A．0B．2C．3D．46．答案B解析∵y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，则函数y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即函数f(x)是偶函数．令x＝－1，则f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)，即f(1)－f(1)＝2f(1)＝0，即f(1)＝0．则f(x＋2)－f(x)＝2f(1)＝0，即f(x＋2)＝f(x)，即函数的周期是2，又f(0)＝2，则f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(0)＝0＋2＝2，故选B．考点二已知函数的周期性(隐性1)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性1)，可利用周期性的性质结论1到结论6，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例2](1)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)，－1＜x≤0，1，0＜x≤1，则下列函数值为1的是()A．f(2.5)B．f(f(2.5))C．f(f(1.5))D．f(2)答案D解析由f(x＋1)＝－f(x)知f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，于是f(x)是以2为周期的周期函数，从而f(2.5)＝f(0.5)＝－1，f(f(2.5))＝f(－1)＝f(1)＝－1，f(f(1.5))＝f(f(－0.5))＝f(1)＝－1，f(2)＝f(0)＝1，故选D．(2)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2018)的值为()A．2018B．－2018C．0D．4答案C解析依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2018)＝f(4×504＋2)＝f(2)＝0．(3)已知f(x)是定义在R上的函数，并且f(x＋2)＝1f(x)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(2022)＝__________．答案2解析由f(x＋2)＝1f(x)得f(x＋4)＝1f(x＋2)＝f(x)，所以T＝4，f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝2．(4)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋2)＝1－f(x)，则f(2020)＝________．答案－2－3解析由f(x＋2)＝1－f(x)，得f(x＋4)＝1－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－3．(5)已知定义在R 上的函数满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1．则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)的值为________．答案1348解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4．又x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，∴f (1)＝1，f (2)＝3，f (3)＝－1f (1)＝－1，f (4)＝－1f (2)＝－13．∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (504×4＋1)＋f (504×4＋2)＝＋3－11＋3＝1348．【对点训练】7．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则5(2f 的值为()A ．12B ．14C ．－14D ．－127．答案A解析由f (x ＋1)＝－f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，则5()2f ＝2×12×＝12，故选A ．8．已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈(0，2)时，f (x )＝2x 2，则f (7)＝()A ．－2B ．2C ．－98D ．988．答案A解析由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (7)＝－f (5)＝f (3)＝－f (1)＝－2．故选A ．9．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2019)＝()A ．5B ．12C ．2D ．－29．答案D解析由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2．10．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＋f (x )＝0，y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，且f (2)＝4，则f (2014)＝()A ．0B ．－4C ．－8D ．－1610．答案B解析由题意可知，函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f [(x ＋6)＋6]＝－f (x ＋6)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝12．把y ＝f (x －1)的图象向左平移1个单位得y ＝f (x －1＋1)＝f (x )的图象，关于点(0，0)对称，因此函数f (x )为奇函数，∴f (2014)＝f (167×12＋10)＝f (10)＝f (10－12)＝f (－2)＝－f (2)＝－4．故选B ．11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2018)＝()A ．－2－3B ．－2＋3C ．2－3D ．2＋311．答案A解析由f (x ＋2)＝1－f (x )得f (x ＋4)＝f (x )．所以函数f (x )的周期为4，所以f (2018)＝f (2)．又f (4)＝f (2＋2)＝1－f (2)＝2－3，所以－f (2)＝12－3＝2＋3，即f (2)＝－2－3，故选A ．12．已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则________．12．答案52解析∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴2≤x ≤3时，f (x )＝x ，∴＝52，∴＝52．考点三已知函数的周期性(隐性2)，求函数值【方法总结】已知函数的周期性(隐性2)，可利用周期性的性质结论7到结论9，先明确了周期再将其他区间上的求值转化到已知区间上，进而解决问题．【例题选讲】[例3](1)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝()A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3答案B解析由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2)．∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4．所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3．(2)函数f (x )的定义域为R ，且满足：f (x )是偶函数，f (x －1)是奇函数，若f (0.5)＝9，则f (8.5)等于()A ．－9B ．9C ．－3D ．0答案B解析因为f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，即f (－x )＝－f (x －2)．又因为f (x )是偶函数，所以f (x )＝－f (x －2)＝f (x －4)，故f (x )的周期为4，所以f (0.5)＝f (8.5)＝9．故选B ．(3)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为()A ．2B ．1C ．－1D ．－2解析：设g (x )＝f (x ＋1)，∵f (x ＋1)为偶函数，则g (－x )＝g (x )，即f (－x ＋1)＝f (x ＋1)．∵f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A ．(4)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2，4)时，f (x )＝|x －3|，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝________．答案解析因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0．(5)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有33()()22f x f x +=--成立．若f (1)＝2，则f (2)＋f (3)＝________．答案－2解析由33()()22f x f x +=--，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f 32＋－f 32－＝－f (－x )＝f (x )，所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期．因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2．(6)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f(50)等于()A．－50B．0C．2D．50答案C解析∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴－f(x －1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数且定义域为R得f(0)＝0，又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0．又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2，故选C．【对点训练】13．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)是偶函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝x(3－2x)，则()A．12B．－12C．－1D．113．答案C解析∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵函数y＝f(x＋1)是定义在R上的偶函数，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)＝－f(x－1)，f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期是4，∴f－12＝－＝－12·(3－1)＝－1，故选C．14．已知偶函数f(x)的定义域为R，若f(x－1)为奇函数，且f(2)＝3，则f(5)＋f(6)的值为() A．－3B．－2C．2D．314．答案D解析因为f(x－1)是奇函数，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，即f(－x)＝－f(x－2)．又因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝－f(x－2)＝f(x－4)，故f(x)的周期为4，所以f(5)＋f(6)＝f(1)＋f(2)＝0＋3＝3．选D．15．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________．15．答案3解析解析：因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)．又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3．16．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0，3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．16．答案2解析根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)，又由函数为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，则有f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)，则f(x)的最小正周期是12，故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．17．已知f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(1)＝a，则f(2)＋f(3)＋f(4)＝() A．0B．－a C．a D．3a17．答案B解析因为函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)关于直线x＝1对称，所以f(2)＝f(0)，f(3)＝f(－1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，又由f(1＋x)＝f(1－x)可得f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因此，函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(4)＝f(0)，又f(1)＝a，因此f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(0)＋f(－1)＋f(0)＝－f(1)＝－a．故选B．18．函数y＝f(x)满足对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________．18．答案4解析∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，∴f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，∴f(2016)＋f(2018)＝f(2016)＋f(2016＋2)＝f(2016)－f(2016)＝0，∴f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4．。

基本知识方法1.周期函数的定义：对于 f (X)定义域内的每一个X ,都存在非零常数T ,使得f(x TH f (X)恒成立，则称函数f (X)具有周期性，T叫做f(x)的一个周期，则kT( k∙ Z,k=O)也是f (X)的周期，所有周期中的最小正数叫 f (X)的最小正周期2. 几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数y = f X满足对定义域内任一实数X (其中a为常数)，①fx=fχ∙a ,贝U y=fx是以T = a为周期的周期函数；②f X ∙ a = -f X ,则f X是以T ≡2a为周期的周期函数；1③f X ∙ a,贝U f X是以T =2a为周期的周期函数；f(X)④f X a = f X -a ,则f X是以T =2a为周期的周期函数;⑤f (X a) J - f (X),贝U f X是以T =2a为周期的周期函数1+ f(x)⑥f(Xa^-Fff，则fx是以T s为周期的周期函数⑦f(X ∙ a) = 1 f (X),贝y f X是以T =4a为周期的周期函数.1-f(χ)1 .已知定义在R上的奇函数f (X)满足f(X • 2) = -f (X),贝U f⑹的值为A. -1B. 0C. 1D. 2 22(1)设f(x)的最小正周期T =2且f (X)为偶函数，它在区间1.0, 1上的图象如右图所示的线段AB,则在区间∣1,2 ］上,f (X)=-----------函数的周期性2已知函数f(χ)是周期为2的函数，当-1：：：x：：：1时，f(x) = χ2∙1 , 当19 ：：：X ：：： 21时，f (X)的解析式是___________________3 f X是定义在R上的以2为周期的函数，对k∙ Z ,用I k表示区间2k-1,2k∙11, 已知当X I0时，f X = X2,求f X在I k上的解析式。

3. 1定义在R上的函数f X满足f X A f X 2 ,当X 3,5】时，fπλ(πλf (x )= 2 - X -4 ,贝U A. f sin —JC f cos—; B- f (Sin1 )> f (COSI)；I 6丿V 6 JC2兀、f2兀、C. f . cos一< f . Sin 一: D- f (COS2)A f (sιn2 )I 3 丿I 3 J2 设f (X)是定义在R上以6为周期的函数，f (X)在(0,3)内单调递减，且y = f (X)的图像关于直线X = 3对称，则下面正确的结论是A. f (1.5) ：：f(3.5) ：：f (6.5)B. f (3.5) ：：f(1.5) ：：f(6.5)C. f (6.5) ：： f(3.5) ：：： f (1.5)D. f(3.5) ：：： f (6.5) ：： f (1.5)4.已知函数f(x)是定义在(-∞,+ ∞)上的奇函数，若对于任意的实数X≥0,都有f(x+2)=f(x), 且当x∈［0,2)时，•'；•二’‘工,'— 1 ',贝U f(-2013)+f(2014) 的值为5. 已知是'上最小正周期为2的周期函数，且当' -时，' ,则函数的图象在区间［0,6］上与轴的交点的个数为________________则"沁=6. 已知f(X)为偶函数，且f(2+X)=f(2-X) ,当-2≤X≤ 0 时，一 -；若•「，… 一,7. 已知定义在R 上的奇函数f 迥，满足/(j →) = -ΛJ ),且在区间上是增函数，则()o A: B ： C ：' ■D ：；：廷:密:Y 曲氏A. B.2 + M C. 2 - 2√2D. 29定义在R 上的函数f X ，对任意χ. R ，有f χ . y . f x _y =2f χ f y ，且fOF ,1求证：fO=1 ；2判断f X 的奇偶性；3若存在非零常数c ,使 2,①证明对任意x∙ R 都有f χ ∙ c = -f χ成立;②函数f X 是不是周期函数，为什么？8.已知函数定义在R 上，对任意实数X 有f{τ) I 2v2,若函数 "=1'的图象关于直线对称,,则」(则"沁=8.已知f (X)是定义在R 上的奇函数，满足f (X • 2) = - f (X),且χ∙ [0, 2时， f(x)= 2x- X . 1求证：f (X)是周期函数；2当χ∙ [2, 4]时，求f(x)的表达式；3 计算 f (1) +f (2) +f ( 3) +……+f (2013)9. ( 05朝阳模拟)已知函数f (X)的图象关于点-3,0对称，且满足f(x)--f(χP), I 4丿2课后作业：1. ( 2013榆林质检)若已知f(x)是R 上的奇函数，且满足f(χ∙4)=f(x),当X 0时，f(x)=2χ2 ,贝U f(7)等于 A -2B. 2C.-98D. 982. 设函数f X ( X ∙ R )是以3为周期的奇函数，且 f 11, f 2 = a ,则A. a 2B. a —2C. a 1D. a -13.函数f(x)既是定义域为 R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (X)在∣-1,0 1上是减函数，那么 f (X)在∣2,3 1上是A.增函数B.减函数C.先增后减函数D.先减后增函数,记 f n (X )= f{ f [ f f (X )]},则 f 2007 (X) X 1 n 个 fI 3 I5.已知定义在R 上的函数f (X)满足f(X ^-f x - ,且 f -2=3，则 f (2014)=6.设偶函数 f (x)对任意X R , 1,且当X t 3,-2]时, f(x)f (X )=2x , A.--7则 f (113.5)= B. - C.-7D.- 57.设函数 f (X)是定义在R 上的奇函数，对于任意的1 - f(X ) χ∙ R ,都有 f(x T)= 1 f(X),当 O ：： X ≤ 1 时，f (X) =2x ,则 f(11∙5A.1 -1B. 1C.-2又f (-1) =1 , f(0) 一2 ,求f (1) f(2) f (3)…f (2006)的值高考真题：1. f (x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0在区间0,6内解的个数的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 52.定义在R 上的函数f(x)满足f (x ∙6) = f(x),当-3 ≤ X ” T 时，2f(x) =p x 2 ,当-1 ≤ X ：：3时，f (X) =X ,则 f(1) f(2) f(3) —f (2012)=A. 335B. 338C. 1678D. 20123•已知函数f (x)为R 上的奇函数，且满足 f(χ∙2)=-f(x)， 当 0 ≤ X <1 时，f(x) X ,贝U f (7.5)等于 A 0.5B. -0.5C. 1.5D. -1.514.函数f X 对于任意实数X 满足条件f X • 2,若f 1 - -5 ,f(X )则 f f 5= ___________7.设f(x)是定义在R 上的奇函数，且 目=f (X)的图象关于直线对称，则 f (1) f (2)f(3) f(4) f(5)=8.设函数 f (x)在上满足 f (2 -x) = f (2 ∙ x), f (7 -x) = f (7 ∙ x),且在闭区 间 0,7 1 上，只有 f(1)= f(3) =0 .(I )试判断函数 y = f (X)的奇偶性；(∏)试求方程f(X) =0在闭区间∣-2005,20051上的根的个数，并证明你的结论.5.已知 f (x)是周期为2的奇函数，当0：：：x”：1时，f(x) 3 5=f( ), c= f(),则2 2 设 a = f (6),b5 A. a ：：： ：：：C. C ：：： b ：：： a =Ig X.D. c ：： a b 6.定义在R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数，若f (X)的最小正周期是二，且当 χ∙ [0, 2] ^, f (X H SinX ,则 f5T 的值为A. -12B.丄2C. 一 3D. 23。

7月21日 函数的奇偶性与周期性（2）高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆已知函数)(x f 满足0)1()1(=-++x f x f ，且)()(x f x f =-，当21≤≤x 时，12)(-=x x f ，则)2017(f =A ．−1B ．0C ．1D ．2【参考答案】C【解题必备】1．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k ∈Z 且0k ≠)也是函数的周期.2．利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.1．已知函数()f x 满足()()22f x f x +=-，()2y f x =-关于y 轴对称，当()0,2x ∈时，()22l o g f x x =，则下列结论中正确的是A ．()()()4.57 6.5f f f <<B ．()()()7 4.5 6.5f f f <<C ．()()()7 6.5 4.5f f f <<D ．()()()4.5 6.57f f f <<2．定义在()(),00,-∞+∞上的函数)(x f ，总有)()()(n f m f mn f =，且0)(>x f ，当1>x 时，1)(>x f ． （1）求)1(),1(-f f 的值；（2）判断函数的奇偶性,并证明.【名师点睛】利用周期性与对称性比较函数值的大小，一般是将要比较大小的函数值利用周期性与对称性转化为已知区间上的函数值，再利用函数的单调性即可比较大小．2．【解析】（1）令1==n m ，则有)1()1()1(f f f =，又0)(>x f ，所以(1)0f >，所以(1)1f =．令1-==n m ，则有)1()1()1(--=f f f ， 又1)1(=f ，()0(1)0f x f >⇒->，所以1)1(=-f ．学*科网（2）函数()f x 为偶函数，证明如下：令,1m x n ==-，则有)()1()()(x f f x f x f =-=-，又()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，所以()f x 为偶函数．。

函数周期性1.设偶函数)(x f 对任意R x ∈，都有)(1)3(x f x f -=+，且当[]2,3--∈x 时，x x f 2)(=,则)5.113(f 的值为( ) A.72- B.72 C.51- D.51 2.已知)(x f 是周期为4的偶函数，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，求)5.1(),5.6(-f f ，)5.5(f 3.是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且,则方程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54. 已知定义域为R 的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则( )A.f(6)＞f(7)B.f(6)＞f(9)C.f(7)＞f(9)D.f(7)＞f(10)5.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x +2)＝-f (x )，则f (6)的值为( )(A)-1 (B)0 (C)1 (D)26.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－)(1x f ，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝( )A ．4.5B ．－4.5C ．0.5D ．－0.57.已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋2)＝f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数8．已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝)(1)(1x f x f -+，则f (2011)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.139.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则（ ）A 、(25)(11)(80)f f f -<<B 、(80)(11)(25)f f f <<-C 、(11)(80)(25)f f f <<-D 、(25)(80)(11)f f f -<<10.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++= 。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精练）【A组在基础中考查功底】．．．．【答案】A【分析】首先判断函数的奇偶性，再代入计算)π和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的值即可得到正确答案【详解】因为()()2cos cos sin f x x x x x f x -=+=，且函数定义域为R ，关于原点对称，所以是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除【分析】利用函数的奇偶性和对称性，得到函数的单调区间，利用单调性解函数不等式.【详解】因为()1f x -为偶函数，所以()1f x -的图像关于y 轴对称，则()f x 的图像关于直线=1x -对称．因为()f x 在[)1,-+∞上单调递增，所以()f x 在(],1-∞-上单调递减．因为()()127(5)xf f f -<-=，所以7125x -<-<，解得3x <．故选：A.11．（2023秋·吉林长春·高三长春市第二中学校考期末）设()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()2f x f x +=-，又当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则()25.5f 的值为______.【答案】1【分析】由已知可得函数的周期为4，然后根据函数解析式结合周期性奇偶性可求得结果.【详解】因为()()2f x f x +=-，所以()()42f x f x +=-+，所以()()4f x f x +=，所以()y f x =的周期为4，因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，所以()()25.546 1.5f f =⨯+()1.5f =()0.52f =-+()0.5f =--()0.5f =20.51=⨯=，故答案为：112．（2023·全国·高三对口高考）已知函数()y f x =，x ∈R ，()y f x =是奇函数，且当0x ≥【B 组在综合中考查能力】A ．()sin 2e e x xx xf x -=-C ．()cos 2e ex xx xf x -=-的取值范围是（1)=12．（2023·河北·高三学业考试）已知二次函数()f x 满足()()12f x f x x +-=且()01f =．(1)求()f x 的解析式；(2)若方程()f x ax =，[]2,3x ∈时有唯一一个零点，且不是重根，求a 的取值范围；(3)当[]1,1x ∈-时，不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的范围．【答案】(1)()21f x x x =-+【C 组在创新中考查思维】一、单选题1．（2023·辽宁·校联考二模）设函数()f x 在(),-∞+∞上满足()()22f x f x -=+，()()55f x f x -=+，且在闭区间[]0,5上只有()()130f f ==，则方程()0f x =在闭区间[]2020,2020-上的根的个数（）．A ．1348B ．1347C ．1346D ．13455．（2023·全国·模拟预测）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且满足在。

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解（1）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域； （2）一些单调性的判断规则：①若)(x f 与)(x g 在定义域内都是增函数（减函数），那么)()(x g x f +在其公共定义域内是增函数（减函数）即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：（1）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 为 . 奇函数的图象关于 对称。

（2）对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，则称)(x f 为 . 偶函数的图象关于 对称。

（3）通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

3．奇偶函数图象的对称性（1）若)(x a f y +=是偶函数，则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；（2）若)(x b f y +=是偶函数，则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；4．若函数满足()()x f a x f =+，则函数的周期为T=a 。

二、例题讲解1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．||2x y = B ．3y x = C ．12+-=x y D ．y ＝cosx 【答案】C 【解析】试题分析：偶函数需满足()()f x f x -=，由此验证可知A,C,D 都是偶函数，但要满足在区间(0，＋∞)上单调递减，验证可知只有C 符合. 考点：偶函数的判断，函数的单调性.2．2()24f x x x =-+的单调减区间是 .【答案】(,1)-∞ 【解析】试题分析：将函数进行配方得22()24(1)3f x x x x =-+=-+，又称轴为1x =，函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(,1)-∞． 考点：二次函数的单调性．3．函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．（－∞，－3）B ．（－∞，－1）C ．(1，+∞)D ．(－3，－1) 【答案】A 【解析】试题分析：由2230x x +->，得3x <-或1x >，∴()f x 的定义域为(,3)(1,)-∞-+∞．22log (23)y x x =+-可看作由2log y u =和223u x x =+-复合而成的，223u x x =+-＝2(1)4x +-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，又2log y u =在定义域内单调递增，∴22log (23)y x x =+-在(,3)-∞-上递减，在(1,)+∞上递增，所以22log (23)y x x =+-的单调递减区间是(,3)-∞-，故选A ．考点：复合函数的单调性．4．已知5)2(22+-+=x a x y 在区间(4,)+∞上是增函数，则a 的范围是（ ）A.2a ≤-B.2a ≥-C.6-≥aD.6-≤a 【答案】B 【解析】试题分析：函数5)2(22+-+=x a x y 的图像是开口向上以2x a =-为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,)+∞上是增函数，所以24a -≤，解得2a ≥-，故A 正确。

【考点剖析】一．最新考试说明：1．理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2．理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性．3．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值．二．命题方向预测：1．利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热点．2．函数的奇偶性是高考考查的热点．3．函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．3．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题．三．课本结论总结：1．奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反． 注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称．确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等．2．若奇函数定义域中有0，则必有(0)0f =．即0()f x ∈的定义域时，(0)0f =是()f x 为奇函数的必要非充分条件． 对于偶函数而言有：()()(||)f x f x f x -==．3．确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等．4．若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示为()()()()()1122f x f x f x f x f x =+-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和．5．既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）．6．复合函数的单调性特点是：“同增异减”；复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．复合函数要考虑定义域的变化（即复合有意义）．7．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=x （y 轴）对称．推广一：如果函数()x f y =对于一切x ∈R ，都有()()f a x f b x +=-成立，那么()x f y =的图像关于直线2a b x +=（由“x 和的一半()()2a x b x x ++-=确定”）对称．推广二：函数()x a f y +=，()y f b x =-的图像关于直线2b ax -=（由a x b x +=-确定）对称． 8．函数()x f y =与函数()x f y -=的图像关于直线0=y （x 轴）对称．推广：函数()x f y =与函数()y A f x =-的图像关于直线2A y =对称（由“y 和的一半[()][()]2f x A f x y +-=确定”）．9．函数()x f y =与函数()y f x =--的图像关于坐标原点中心对称．推广：函数()x f y =与函数()y m f n x =--的图像关于点(,)22n m 中心对称．10．函数xy a =与函数()log 0,1a y x a a =>≠的图像关于直线y x =对称．推广：曲线(,)0f x y =关于直线y x b =+的对称曲线是(,)0f y b x b -+=；曲线(,)0f x y =关于直线y x b =-+的对称曲线是(,)0f y b x b -+-+=．11．曲线(,)0f x y =绕原点逆时针旋转90，所得曲线是(,)0f y x -=（逆时针横变再交换）．特别：()y f x =绕原点逆时针旋转90，得()x f y -=，若()y f x =有反函数1()y fx -=，则得1()y f x -=-．曲线(,)0f x y =绕原点顺时针旋转90，所得曲线是(,)0f y x -=（顺时针纵变再交换）．特别：()y f x =绕原点顺时针旋转90，得()x f y =-，若()y f x =有反函数1()y fx -=，则得1()y f x -=-．12．类比“三角函数图像”得：若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为2||T a b =-．若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为2||T a b =-．如果函数()y f x =的图像有下一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-．如果()y f x =是R 上的周期函数，且一个周期为T ，那么()()()f x nT f x n ±=∈Z ．特别：若()()(0)f x a f x a +=-≠恒成立，则2T a =．若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =．若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =． 如果()y f x =是周期函数，那么()y f x =的定义域“无界”．四、名师二级结论：一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数1y=x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．一条规律函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．两个应用1．已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．2．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．三种方法判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法．判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法．在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变通形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔()()f x f x -＝±1，f(x)≠0． 四条性质1．若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0．2．设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性． 4．若f (x )是偶函数，则有f (-x )＝f (x )＝f (|x |)．五、课本经典习题：(1)新课标人教A 版必修一第36页练习第1（3）题判断下列函数的奇偶性：21x f x x ．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式．变式题：关于函数21lg 0x f x x x ，有下列命题：①其图象关于y 轴对称；②当0x 时，f x 是增函数；当0x时，f x 是减函数；③f x 的最小值是lg2；④f x 在区间),2(),0,1(+∞-上是增函数；⑤f x 无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是．解： 21lg0x f x x x为偶函数，故①正确；令21x u xx，则当0x 时，1u x xx在)1,0(上递减，在),1[+∞上递增，∴②⑤错误，③④正确，故选①③④．(2)新课标人教A 版必修一第44页复习参考题A 组第八题设221()1x f x x +=-，求证：（1）()()f x f x -=；（2）1()()f f x x=-．【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展．改编：设定在R 上的函数()f x 满足：1(tan )cos2f x x=，则 111(2)(3)(2012)()()()232012f f f f f f +++++++=． 解：由2222221cos sin 1tan (tan )cos 2cos sin 1tan x x x f x x x x x ++===--．得221()1x f x x +=- ．由所求式子特征考查： 22221111()()0111x x f x f x x x +++=+=--．111(2)(3)(2012)()()()0232012f f f f f f ∴+++++++=． (3)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第3题对于函数()()221xf x a a R =-∈+． （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使()f x 为奇函数？【经典理由】典型的函数性质应用题，可以进行改编、变式或拓展．改编 对于函数221xf x a x R ．（1）用定义证明：()f x 在R 上是单调减函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 值；（3）在（2）的条件下，解不等式f （2t+1）+f （t-5）≤0．证明：（1）设1x ＜2x ，则f （1x ）-f （2x ）=1221x +-2221x +=211222(21)(21)x x x x -++． ∵22x-12x＞0，121x +＞0，221x+＞0．即f （1x ）-f （2x ）＞0．∴f （x ）在R 上是单调减函数 （2）∵()f x 是奇函数，∴f （0）=0⇒a=-1．（3）由（1）（2）可得()f x 在R 上是单调减函数且是奇函数，∴f （2t+1）+f （t-5）≤0．转化为f （2t+1）≤-f （t-5）=f （-t+5），⇒2t+1≥-t+5⇒t ≥43，故所求不等式f （2t+1）+f （t-5）≤0的解集为：{t|t ≥43}． (4)新课标人教A 版必修一第83页复习参考题B 组第4题设(),()22x x x xe e e ef xg x ---+==，求证： （1）[][]22()()1g x f x -=；（2）(2)2()()f x f x g x =•；（3）[][]22(2)()()g x g x f x =+． 【经典理由】典型的证明函数性质题，可以进行改编、变式或拓展．改编1：设(),()22x x x x e e e e f x g x ---+==，给出如下结论：①对任意x R ∈，有[][]22()()1g x f x -=；②存在实数0x ，使得000(2)2()()f x f x g x >；③不存在实数0x ，使得[][]2200(2)()()g x g x f x <+；④对任意x R ∈，有()()()()0f x g x f x g x --+=；其中所有正确结论的序号是解：对于①：[][]2222()()()()22x x x x e e e e g x f x --+--=-222222144x x x xe e e e --++-+=-= 对于②：222()()2(2)222x x x x x xe e e e e ef xg x f x ----+-=⋅⋅==，即0x R ∀∈恒有000(2)2()()f x f x g x =；对于③：[][]222222()()()()(2)222x x x x x xe e e e e e g xf xg x ---+-+-=+==，故不存在x ，使 [][]22000(2)()()g x g x f x <+对于④：()()()()2222x x x x x x x xe e e e e e e ef xg x f x g x -----+-+--+=⋅+⋅ 2222044x x x xe e e e ----=+=，故正确的有①③④改编2：已知函数()xe x F =满足()()()x h x g x F +=，且()x g ，()x h 分别是R 上的偶函数和奇函数，若[]2,1∈∀x 使得不等式()()02≥-x ah x g 恒成立，则实数a 的取值范围是．解：()()()xe x h x g x F =+=，得()()()xex h x g x F -=-+-=-，即()()()xe x h x g x F -=-=-，解得()2x x e e x g -+=，()2xx e e x h --=，()()02≥-x ah x g 即得02222≥--+--x x x x e e a e e ，参数分离得()x x xx x x x x x x x x e e e e e e e e e e e e a -------+-=-+-=-+≤22222，因为222≥-+---xx x x ee e e （当且仅当x x xx e e e e ---=-2，即2=--x x e e 时取等号，x 的解满足[]2,1），所以22≤a ．六．考点交汇展示：(1)函数的奇偶性与函数的零点交汇例1．【2021高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x =（B ）y sin x =（C ）y ln x =（D ）21y x =+【答案】A(2) 函数的周期性与函数的零点交汇例2．【2021高考江苏卷第13题】已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是．【答案】1(0,)2【考点】函数的零点，周期函数的性质，函数图象的交点问题．(3) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题例3．【2021高考江苏第19题】已知函数()xxf x e e -=+，其中e 是自然对数的底数．（1）证明：()f x 是R 上的偶函数；（2）若关于x 的不等式()1xmf x em -≤+-在(0,)+∞上恒成立，求实数m 的取值范围；（3）已知正数a 满足：存在0(1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立，试比较1a e -与1e a -的大小，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）13m ≤-；（3）当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【解析】试题分析：（1）判断函数的奇偶性，一般根据奇偶性的定义判断，本题中首先有函数的定义域为R ，关于原点是对称的，其次计算()f x -，得到()()f x f x -=，故它是偶函数；（2）不等式恒成立问题，由于本题中()2x xf x e e-=+≥，即()10f x ->，因此采用分离参数法求参数取值范围，原不等式可化为（2）由()1xmf x em -≤+-得(()1)1x m f x e --≤-，由于当0x >时，1x e >，因此()2x x f x e e -=+>，即()110f x ->>，所以11()11x x x x e e m f x e e -----≤=-+-211x x x e e e -=+-，令211xx xe y e e-=+-，设1x t e =-，则0t <，21(1)11t t t y t t -+==+-，∵0t <，∴12t t +≤-（1t =-时等号成立），即1213y ≤--=-，103y -≤<，所以13m ≤-． （3）由题意，不等式3()(3)f x a x x <-+在[1,)+∞上有解，由3()(3)f x a x x <-+得330x x ax ax e e --++<，记3()3x x h x ax ax e e -=-++，2'()3(1)x x h x a x e e -=-+-，显然'(1)0h =，当1x >时，'()0h x >（因为0a >），故函数()h x 在[1,)+∞上增函数，()(1)h x h =最小，于是()0h x <在[1,)+∞上有解，等价于1(1)30h a a e e =-++<，即11()12a e e >+>．考察函数()(1)ln (1),(1)g x e x x x =---≥，1'()1e g x x-=-，当1x e =-时，'()0g x =，当11x e <<-时，'()0g x >，当1x e >-时'()0g x <，即()g x 在[1,1]e -上是增函数，在(1,)e -+∞上是减函数，又(1)0g =，()0g e =，11()12e e +>，所以当11()2e x e e+<<时，()0g x >，即(1)ln 1e x x ->-，11e x x e -->，当x e >时，()0g x <，即(1)ln 1e x x -<-，11e x x e --<，因此当11()2e a e e+<<时，11a e e a --<，当a e =时，11a e e a --=，当a e >时，11a e e a -->．【考点】（1）偶函数的判断；（2）不等式恒成立问题与函数的交汇；（3）导数与函数的单调性，比较大小．【考点分类】热点一 函数的单调性1．【2021高考湖南，理5】设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是（ ）A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数【答案】A.考点：函数的单调性．2．【2021辽宁高考理第3题】已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】试题分析：132122110221,log 0,log log 31,33a b c -<=<==<==>所以c a b >>，故选C ． 考点：指数函数、对数函数以及幂函数的单调性的应用．3．【2021陕西高考理第7题】下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x= （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =【答案】D考点：函数求值；函数的单调性． 4．【2021天津高考理第4题】函数212log 4f xx 的单调递增区间是（ ）（A ）0,（B ）,0（C ）2,（D ）,2【答案】D ．【解析】函数()()212log 4f x x =-的定义域为()(),22,-∞-+∞，由于外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，只要求()24u x x =-的单调递减区间，结合函数()()212log 4f x x =-的定义域，得()()212log 4f x x =-单调递增区间为(),2-∞-，故选D ．考点：复合函数的单调性（单调区间）．【方法规律】1．对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解．(2)可导函数则可以利用导数解之．但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．2．求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．3．函数单调性的应用：f (x )在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则f (x 1)<f (x 2)⇔f (x 1)－f (x 2)<0，若函数是增函数，则f (x 1)< f (x 2)⇔x 1<x 2，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的范围内进行．【易错点睛】误区1． 用定义证明函数的单调性时，错用“自己证明自己”而致错（循环论证）． 【例1】（2021广州综合测试）证明：函数f(x)x [0，＋∞)上是增函数．【错证】设0≤x 1＜x 2，则f(x 1)－f(x 2)12x x 12x x <，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，即f(x 1)＜f(x 2)，故函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数．【剖析】该证法犯了逻辑上的循环论证的错误，本来要证明f(x)在[0，＋∞)上是增函数，可在由x 1＜x 212x x <时，就用到了f(x)在[0，＋∞)上是增函数的结论，犯下了“自己证明自己”的错误．误区2．求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错【例2】（2021浙江宁波十校联考）求y 2412x x --【错解】令t ＝x 2－4x －12，则t ＝x 2－4x －12在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y t 是增函数，所以y 2412x x --(－∞，2]与[2，＋∞)，其中在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增．【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域{x|x≤－2或x≥6}．【正解】由x 2－4x －12≥0，得x≤－2或x≥6，令t ＝x 2－4x －12，则t ＝(x －2)2－16在(－∞，2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数．又y t 是增函数，所以y 2412x x --(－∞，－2]与[6，＋∞)，其中在(－∞，－2]上递减，在[6，＋∞)上递增．【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识． 误区3． 忽视隐含条件致误【例3】已知f(x)＝(31)(4),1,1a a x a x log x x -+<⎧⎨≥⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )()1101? 0? 13311()[)[)77A B C D ．，．，．，．， 【错解】误选B 项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，要知道函数在R 上为减函数，还需使得f(x)＝(3a －1)x ＋4a 在x ＜1上的最小值不小于f(x)＝log a x 在x≥1上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误．【正解】据题意使原函数在定义域R 上为减函数，只需满足：31001(31)(14)1a a a a a log -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩11a<73⇒≤．故选C ．【点评】一般地，若函数f(x)在区间[a ，b)上为增函数，在区间[b ，c]上为增函数，则不一定说明函数f(x)在[a ，c]为增函数，如图（1），由图像可知函数f(x)在[a ，c]上整体不呈上升趋势，故此时不能说f(x)在[a ，c]上为增函数，若图象满足如图（2），即可说明函数在[a ，c]上为增函数，即只需f(x)在[a ，b)上的最大值不大于f(x)在[b ，c]上的最小值即可，同理减函数的情况依据上述思路也可推得相应结论．需注意以下两点：(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数1f(x)=x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数，但不能说1f(x)=x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，因为当x 1＝－1，x 2＝1时，有f(x 1)＝－1＜f(x 2)＝1不满足减函数的定义．(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“∪”将它们连接起来，例如：函数 y ＝x 3－3x 的单调增区间有两个：(－∞，－1)和(1，＋∞)不能写成(－∞，－1)∪(1，＋∞)．热点二 函数的奇偶性1．【2021高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】．A 21x y +=x x y 212+=x x y 1+=xe x y +=图（2）图（1）考点:函数的奇偶性．2．【2021高考湖南卷第3题】已知)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且1)()(23++=-x x x g x f ，则=+)1()1(g f ( )A ． 3-B ． 1-C ． 1D ． 3【答案】C【解析】分别令1x =和1x =-可得()()113f g -=和()()111f g ---=，因为函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以()()()()11,11f f g g -=-=-，即()()111f g ---=()()111f g ⇒+=，则()()()()()()1131211111f g f f g g -==⎧⎧⎪⎪⇒⎨⎨+==-⎪⎪⎩⎩()()111f g ⇒+=，故选C ． 考点:奇偶性．3．【2021全国1高考理第3题】设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．)()(x g x f 是偶函数B ．)(|)(|x g x f 是奇函数C ．|)(|)(x g x f 是奇函数D ．|)()(|x g x f 是奇函数【答案】C考点:函数的奇偶性．4．【2021高考新课标1，理13】若函数f(x)=2ln()x x a x ++为偶函数，则a= 【答案】1【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1. 考点:函数的奇偶性【方法规律】1．判断函数奇偶性的方法 (1)定义法一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断．利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)图象法奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y 轴成轴对称．因此要证函数的图象关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y 轴对称，只需证明此函数是偶函数即可．反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性． (3)组合函数奇偶性的判定方法①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数．②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函数． ③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”． (4)分段函数的奇偶性判定分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结论． 2．函数奇偶性的应用技巧(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程，从而可得f (x )的解析式．(2)已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数常常采用待定系数法，利用f (x )±f (－x )＝0得到关于x 的恒等式，由对应项系数相等可得字母的值． (3)奇偶性与单调性的综合问题要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．【易错点睛】函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求f (x )和f (－x )必须同时存在，所以函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提．如果某一个函数的定义域不关于原点对称，它一定是非奇非偶函数．误区．不明分段函数奇偶性概念致错【例1】（2021北京东城期末）判断2223,0f(x)=3,023,0x x x x x x x ⎧++<⎪=⎨⎪-+->⎩的奇偶性．【错解】当x ＞0时，－x ＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f(x)．当x ＜0时，－x ＞0，f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f(x)．所以f(x)是奇函数． 【剖析】漏x ＝0情况．【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f(－x)＝－f(x)成立，但当x ＝0时，f(0)＝3≠－f(0)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．热点三 函数的周期性1．【2021四川高考理第12题】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =． 【答案】1【解析】试题分析：311()()421224f f =-=-⨯+=． 考点:周期函数及分段函数．2．设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()2f x x =-,则()1=f -．【答案】-1考点:周期函数及分段函数．【方法规律】1．(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f xTf x ，那么函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫f (x )的周期．如果所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫f (x )的最小正周期．(2)周期函数不一定有最小正周期，若T ≠0是f (x )的周期，则kT (k ∈Z )(k ≠0)也一定是f (x )的周期，周期函数的定义域无上、下界． 2．函数周期性的相关结论．设a 是非零常数，若对f (x )定义域内的任意x ，恒有下列条件之一成立：①f (x ＋a )＝－f (x )；②1f(x+a)=()f x ；③1f(x+a)=-()f x ；④f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，2|a |是它的一个周期．(以上各式中分母均不为零)． 【解题技巧】 求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y ＝A sin(ωx ＋φ)，用公式2T=||πω计算．递推法：若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝f (x )，所以周期T ＝2a ．换元法：若f (x ＋a )＝f (x －a )，令x －a ＝t ，x ＝t ＋a ，则f (t )＝f (t ＋2a )，所以周期T ＝2a ．热点四 函数性质的综合应用1．【2021高考天津，理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===，则,,a b c 的大小关系为( )（A ）a b c <<（B ）a c b <<（C ）c a b <<（D ）c b a <<【答案】C考点:1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.2.【2021高考福建卷第7题】已知函数()⎩⎨⎧≤>+=0,cos 0,12x x x x x f 则下列结论正确的是（ ）A.()x f 是偶函数 B ． ()x f 是增函数 C ．()x f 是周期函数 D ．()x f 的值域为[)+∞-,1【答案】D【解析】试题分析：由于分段函数的左右两边的函数图象不关于y 轴对称，所以A 不正确．由于图象左边不单调，所以B 不正确．由于图象x>0部分的图象不是没有周期性，所以C 不正确．故选D ．考点：1．分段函数．2．函数的性质．3．【2021全国2高考理第15题】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =．若()10f x ->，则x的取值范围是__________．【答案】(1,3)-【解析】因为()f x 是偶函数，所以不等式(1)0(|1|)(2)f x f x f ->⇔->，又因为()f x 在[0,)+∞上单调递减，所以|1|2x -<，解得13x -<<．考点:1.抽象函数的奇偶性与单调性；2.绝对值不等式的解法．4. 【2021高考上海理科第18题】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）.A.[-1,2]B.[-1，0]C.[1，2]D.[0,2]【答案】D考点:1.函数的单调性；2.函数的最值．【方法规律】1．解这类综合题的一般方法在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助．（1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；（2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以下结论(其中a ≠0)：若f (x )有对称轴x ＝a ，且是偶函数，则f (x )的周期为2a ； 若f (x )有对称轴x ＝a ，且是奇函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是偶函数，则f (x )的周期为4a ； 若f (x )有对称中心(a ，0)，且是奇函数，则f (x )的周期为2a ．【易错点睛】误区1．函数的性质挖掘不全致误【例1】奇函数f(x)定义在R 上，且对常数T ＞0，恒有f(x ＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数至少有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【错解】由f(x)是R 上的奇函数，得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由f(x ＋T)＝f(x)得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．即在区间[0，2T]上，方程f(x)＝0根的个数最小值为3个．【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即()()f x f x -=-……①()()f x f x T =+……②解时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动．【正解】由方程①得f(0)＝0⇒x 1＝0．再由方程②得f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0⇒x 2＝T ，x 3＝2T ．又∵f(x-)=f(x+)22T T ，令x ＝0得f(-)=f()22T T ．又4f(-)=-f(),f()=0,x .2222T T T T=再由②得f(+T)=02T ⇒53x 2T =，故方程f(x)＝0至少有5个实数根．故选C ． 误区2．忽视隐含条件的挖掘致误【例2】（2021江苏模拟）设f(x)是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，1,10()=2,011ax x f x bx x x +-≤<⎧⎪+⎨≤≤⎪+⎩其中a ，b ∈R ．若13f()=f()22，则a ＋3b 的值为________． 【错解】因为f (x )的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为 211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,3a+2b=-223b +-∴． 【剖析】(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a 、b 的值．【正解】因为f(x)的周期为2，所以331f()=f(-2)=f(-)222，即11f()=f(-)22．又因为 211142f(-)=-a+1,f()=1222312bb ++=+，所以14a+1=,23b +-．整理，得2a=-(b+1)3．① 又因为f(－1)＝f(1)，所以2-a+1=2b +，即b ＝－2a ．② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4．所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10．【热点预测】1．【广州市珠海区2021届高三8月摸底考试5】下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A ．3()f x x =B ．()sin f x x =C ．()1f x x=D ．()||f x x x =- 【答案】D2．【北京市重点中学2021届高三8月开学测试3】已知函数()()()210cos 0x x f x x x ⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩ ，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[1,)-+∞【答案】D ．【解析】试题分析：A ：当0x >时，0x -<，∴2()1f x x =+，()cos()cos f x x x -=-=，∴()()f x f x ≠-，∴A 错误；B ：当0x ≤时，()cos f x x =在(,0)-∞上不是一直单调递增的，∴B 错误；C ：当0x >时，2()1f x x =+不是周期函数，∴C 错误；D ：当0x >时，2()1(1,)f x x =+∈+∞，当0x ≤时，()cos [1,1]f x x =∈-，∴函数的值域为[1,)-+∞，∴D 正确．3．【河南省安阳一中2021届高三第一次月考2】函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】试题分析：首先由2,,2042>-<⇔>-x or x x 得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令42-=x u ，则u y 21log =在（０，＋∞）是减函数，又因为42-=x u 在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．4．已知)2()(),1()1(+-=-=+x f x f x f x f ，方程0)(=x f 在［0，1］内有且只有一个根21=x ，则0)(=x f 在区间[]2013,0内根的个数为（ ）A ．2011B ．1006C ．2021D ．1007【答案】C5．【2021年浙江省嘉兴市2021届高三3月教学测试（一）】若()()()4f x x a x a x =+-+-的图像是中心对称图形，则a =( )A ．4B ．43-C ．2D ．23- 【答案】B【解析】试题分析：)2424)(243()24(-++-+++=++a x a x a x a x f ，因为2424)(-++-+=a x a x x g 为偶函数，所以当且仅当0243=+a ，即34-=a 时，)24(++a x f 为奇函数，图像关于原点对称．故选B ．6．【2021年浙江省嘉兴市2021届高三3月教学测试（一）】若函数()()f x x R ∈是奇函数，函数()()g x x R ∈是偶函数，则一定成立的是( )A ．函数()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B ．函数()g f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数C ．函数()f f x ⎡⎤⎣⎦是奇函数D ．函数()g g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数 【答案】C【解析】试题分析：由题得，函数()(),f x g x 满足()()()(),f x f x g x g x -=--=，则有()()f g x f g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()g f x g f x g f x -=-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()()f f x f f x f f x -=-=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，()()g g x g g x -=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以根据奇偶函数的判断可得只有选项C 是正确的，故选C7．【北京市顺义区2021届高三第一次统考（理）】已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是 （ ）（A ）()0,1 （B ）()1,+∞ （ C ）51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦（ D ）5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：由已知，得函数()y f x =在R 上单调递增，故满足101341a a a ->⎧⎪>⎨⎪-≤⎩，解得a 的取值范围是51,3⎛⎤⎥⎝⎦．8. 【广东省揭阳市2021届高三3月高考第一次模拟考试】下列函数是偶函数，且在[]0,1上单调递增的是（）A ．sin 2y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．212cos 2y x =- C ．2y x =- D ．()sin y x π=+【答案】D在区间[]0,1上单调递增，合乎题意，故选D ．9. 已知)(x f 是定义域为实数集R 的偶函数，01≥∀x ，02≥∀x ，若21x x ≠，则0)()(1212<--x x x f x f ．如果43)31(=f ，3)log (481>x f ，那么x 的取值范围为（） （A ）)21,0(（B ）)2,21( （C ）1(,1](2,)2⋃+∞（D ）11(0,)(,2)82⋃ 【答案】B10．【上海市松江区2021届高三上学期期末考试数学（理）试题】已知实数0,0a b >>，对于定义在R 上的函数)(x f ，有下述命题：①“)(x f 是奇函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于点(,0)A a 对称”； ②“)(x f 是偶函数”的充要条件是“函数()f x a -的图像关于直线x a =对称”； ③“2a 是()f x 的一个周期”的充要条件是“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”； ④“函数()y f x a =-与()y f b x =-的图像关于y 轴对称”的充要条件是“a b =” 其中正确命题的序号是 A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【答案】A【解析】试题分析：本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数()f x 是奇函数的充要条件是函数()f x 的图象关于原点对称，而()f x 的图象关于原点对称与函数()f x a -的图象关于点(,0)A a 对称是等价的，故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选A 了，对于③，我们知道函数()f x 满足“对任意的R x ∈，都有()()f x a f x -=-”时，()f x 是周期为2a 的周期函数，但反过来一一定成立，如()f x 满足“对任意的R x ∈，都有1()()f x f x a =-”时，()f x 也是周期为2a 的周期函数，③错误，而函数()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象是关于直线x a =对称，而还是y 轴，故④错误．11．【湖北省部分重点中学2021-2021学年度上学期高三起点考试12】已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是__________．【答案】(- 1 ， 3 )．12．【2021南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为．【答案】15【解析】试题分析：根据题意可分别在同一坐标平面内作出函数()y f x =和函数()y g x =的图象，如下图所示，可见它们在区间[]510-，内公共点的个数为15个．13．设函数⎩⎨⎧≤<-≤≤--=201021)(x x x x f ，若函数]2,2[,)()(-∈-=x ax x f x g 为偶函数，则实数a 的值为． 【答案】1214．函数()x f 的定义域为A ，若A x x ∈21,且()()21x f x f =时总有21x x =，则称()x f 为单函数．例如，函数()()R ∈+=x x x f 1是单函数．下列命题:①函数()()R ∈-=x x x x f 22是单函数； ②函数()⎩⎨⎧<-≥=2,2,2,log 2x x x x x f 是单函数； ③若()x f 为单函数，A x x ∈21,且21x x ≠，则()()21x f x f ≠；④函数()x f 在定义域内某个区间D 上具有单调性，则()x f 一定是单函数．其中的真命题是(写出所有真命题的编号)．。

函数周期性分类解析一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数4、 y=f(x)满足f(x+a)=()x f 1(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

5、若函数y=f(x)满足f(x+a)= ()x f 1-(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。

6、1()()1()f x f x a f x -+=+，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数.7、1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()x f 是以4T a =为周期的周期函数.8、 若函数y=f(x)满足f(x+a)= )(1)(1x f x f -+(x ∈R ，a>0),则f(x)为周期函数且4a 是它的一个周期。

9、 若函数y=f(x)的图像关于直线x=a,x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数且2（b-a ）是它的一个周期。

10、函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称，则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；11、函数()y f x =()x R ∈的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称，则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数； 12、若偶函数y=f(x)的图像关于直线x=a 对称，则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。