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九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系1》课件 新人教版

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新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(共30张PPT)

新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》优质课课件(共30张PPT)

①本题中的a 是一次项系数，而不是二次项系数。
②使用根与系数关系来方程的系数时，要注意它
的重要条件 0 ，一定要检验。
总
（2）、在
结
c ． , x 1 x2 a
0 （1）、理解两根存在的前提是
b x1 x2 a
中,
是知三求二。
（3）、渗透数学转换 思想。
巩固练习
1、求下列方程两根的和与积：（教科书第43 页第7题） 两根的和 两根的积 3 2 （1） x 2 3x 2 0 1 －1 （2） 5x 2 x 5 0 5 （3） x 2 x 5x 6 －6 4 13 1 （4） 7 x 2 5 x 8 7 7
例1（教材中的例4） 根据一元二 次方程的根与系数的关系，求下 2 x x 15 x x 6 x 6 x 15 0 （ 1） 列方程两根的和与积： 7
1 2
1 2
（ 2）
（ 3）
3x 7 x 9 0
2
x1 x 2
5 4
3
x1 x2 3
1 4
5x 1 4 x
索发现——知识应用”的教学策略， 鼓励学生动脑、动口、动手，参与
教学活动，感悟知识的形成过程，
说教法学法
3、学 法
为了体现课标中“以学生为主体”的
教育理念，所以让学生采用了自主学习、
探究学习、合作学习的学习方式，帮助学
生思考，从而使学生长知识、长智慧，学
得生动、活泼，肯学、学会、会学。
说教法学法
交流展示
（1）得出 x1 x2 b 、 x1 x2 c
（2）获取知识过程，情感体验
学习主题
二次项系数不为1的一元二次方程根 与系数的探索

人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数的关系课件

人教版九年级数学上册：一元二次方程的根与系数的关系课件

x1,2 b
b2 4ac 2a
思考三：如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
3. x1 x2 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ;
x2 x1 x1x2
x1x2
4.( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1;
5. x1 x2 ( x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ;
6. (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2.
1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q.
重要结论
2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
15
b
c
x1 x2 a , x1x2 a .
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：
两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个
根的积等于常数项与二次项系数的比．
7
例题：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2 的和与积：
(1) x2－6x－15＝0； (1) x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
，c= .
4.若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=
；
若两根互为倒数，则q=

新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件

新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件

观察上面的表格，你能得到什么结论？
(1)关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0(p，q 为常数，p2－4q≥0)的两根
x1，x2 与系数 p，q 之间有什么关系？ (2)关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根 x1，x2 与系数 a，b，
c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？
解下列方程，并填写表格：
(2)形如 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先将二次项系数 化为 1，再利用上面的结论．
即：对于方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)a，x1·x2＝ca (可以利用求根公式给出证明)
例 1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积：
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．
重点 根与系数的关系及其推导 难点 正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是 指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．
73 )
例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符 合条件的方程．(你有几种方法？)
例4 已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的 值．
变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数，求k； 变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数，求k.
三、课堂小结 1．根与系数的关系． 2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别 式大于等于零． 四、作业布置 1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积． (1)x2－5x－3＝0 (2)9x＋2＝x2 (3)6x2－3x＋2＝0 (4)3x2＋x＋1＝0 2．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1，求另一根及m的值． 3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b的值.

《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件1人教版

《一元二次方程的根与系数的关系》ppt课件1人教版

归纳：
如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实
b c 数根是x ，x 那么x +x = 例应3用：一已元知二方次程方程的根与系1数关系的时两2，个实数根 1 2
a a 解：设方程
的两个根
，x1·x2=
口答下列方程的两根之和与两根之积。
两个根的；
口答下列方程的两根之和与两根之积。
了新解人一 教元版二九次年方级程数的学根上与册如系2数果1 一关元系一二，次能元方进程行二简单次应用方；程x2+px+q=0的两个根是x1，x2
分别是 x1 、 x2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x2 。
求证： x1
x2
b a
x1
•
x2
c a
推导:
x1 x2 b
b2 4ac b 2a
b2 4ac 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
x1 x2 x1x2 2 2
返回
例2： 已知方程5x2 kx 6 0 的一个根
是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2 kx 6 0 的两个根
分别是 x1 、x2
所以：x1 • x2 2
即：
x2
3 5
由于 x1 x2 2
得：k=-7
，其中
x2
6 5
( 3) 5
x1
X1×X2=k+2 2= 4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8
即(X1+ X2)2 -2X1X2=4 当k=4时， △＜0
K2- 2(k+2）=4

人教版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件

人教版初中数学九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件

注意“－
”不要漏
二、利用两根和的关系可以解决代数值的值，解题步骤： （1）算：计算出两根的和与积； （2）变：将所求的代数式表示成两根的和与积的形式； （3）代：带入数值。
两个根的和x1+x2等于一次项系数b除以二次项系数a的相反数
两根之积x1·x2等于常数项c除以二次项系数a 数学语言：
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那
么
x1
x2
b a
（δ=b2-4ac≥0）
c x1 x2 a
x²+bx+c=0 两根之和x1+x2= -b x1·x2=c
方法二：利用根与系数的关系。 解：设另一个解为 x2 ，
由根与系数的关系得 2 x2 m ，2x2 8 解得 x2 4, m 2
【例题讲解1】设x1，x2是方程2x2 5x 6 0 的两根，不解方程
求下列各式的值。
x12 x22
11 x1 x2
解∵
x1
x2
5 2
5 2
，x1x2
6 2
一、一元二次方程的根与系数的关系
韦达定理：如果一元二次方程 ax²+bx+c=0(a≠0)
（δ=b²-4ac≥0）的两个根分别是x1、 x2，那么
用根与系数的关系时要注意
b x1 x2 a
x1
x2
c a
（1）δ=b²-4ac≥0
（2）要将方程化为一般式；
（3）在使用 x1
写。
x2
b a
时，
3
∴
x12
x22
x1
x2 2
2x1x2
5 2

初中数学人教版九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件(1)

初中数学人教版九年级上册《一元二次方程的根与系数的关系》课件(1)
与一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根 x1，x2 有关的几个代数式的变
形：
1 1 x1 x2
1.
; 2. x12 x22 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 ;
x1 x2
x1 x2
2
2
2
x1 x2
(
x

x
)

2
x
x
x

x
1
2
1
2
1
2
3.


;
x2 x1
解：(3)方程化为 x2－x－1＝0，
x1＋x2＝－(－1)＝1，x1x2＝－1.
(4)方程化为 2x2－4x＋1＝0，
−4
x1＋x2＝－ ＝2，
2
1
x1x2 ＝ .
人教版 九年级数学上
21.2.4
一元二次方程
的根与系数的
关系
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
b b 2 4ac
x1,2
2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0).
(1) x2－6x－15＝0；
(2) 3x2＋7x－9＝0；
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
7
－9
(2) x1＋x2＝－ ，x1 x2＝
＝－3.
3
3
(3)方程化为4x2－5x＋1＝0，
5 5
1
x1＋x2＝－ = ， x1 x2＝ .

新人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》公开课课件

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课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？ 你还有哪些疑问？
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
我们愈是学习，愈觉得自己的贫乏。 —— 雪莱
2
3.方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件时,方程
的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程
的一根为零？ 解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10,m1,且0 ∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0,
问题2：对于一元二次方程的一般式是否也 具备这个特征？
方程
两个根
两根 之和
两根 之积
a与 b 之间 关系
a与 c 之间 关系
c a
x1 x2 x1 x2
x 2 3x 4 0
4 1 3 x 2 5x 6 0 2
2 x 3x 1 0
2
3 5
3 2
4 6
2 2
b b 4ac 2 4a 4ac 2 4a
2 2


c a
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是
b x1 x2 a
x1
、 x2 ，那么：
c x1 x2 a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的根与 系数的关系
R· 九年级上册

一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册

一元二次方程的根与系数的关系 课件 (共20张PPT) 2024-205学年数学人教版九年级上册

；
情景导入
法国数学家弗朗索瓦·韦达于1615年在《论方程的识别与订正》一
书中建立了方程根与系数的关系.今天我们就跟随数学家韦达的脚
步一起来探究一下：一元二次方程的根与系数的关系.
复习回顾
大家知道方程的求根公式
x
b
b 2 4ac
.
2a
不仅表示可以由方程
的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系.那么，
x1 x 2
解：在方程 x 2－x－1＝0 中，a＝1，b＝－1，c＝－1.
b
c
∴x 1＋x 2＝－ ＝1，x 1x 2＝ ＝－1.
a
a
1
1 1 x 1＋x 2
(1) ＋ ＝
＝
＝－1.
x1 x2
x 1x 2
－1
(2)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝12－2×(－1)＝1＋2＝3.
2
3 5
(2) (1－a)(1－b)＝1－a－b＋ab＝1－(a＋b)＋ab＝1－ － ＝－3.
2 2
课堂练习
1．已知方程 2－5x＝x2 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x2 的值为
( D )
A．5
B．－5
C．2
D．－2
课堂练习
2．若关于x的方程 x2－4x＋m＝0 有一个根为－1，则另一个根为
解：在方程 x 2＋5x－p2＝0 中，a＝1，b＝5，c＝－p2.
b
c
∴x 1＋x 2＝－ ＝－5，x 1x 2＝ ＝－p2.
a
a
∵x 1＋x 2＝x 1x 2，∴－5＝－p2.
解得 p＝± 5.
课堂练习
5．已知 m，n分别为一元二次方程 x2＋2x－2 021＝0 的两个实数

《一元二次方程的根与系数的关系》人教版数学ppt课件1

《一元二次方程的根与系数的关系》人教版数学ppt课件1

x1 x2
3 2 x1 x2
1 2
第二十一章 一元二次方程
想一想 解：这里 a = 3 , b = 7, c =方-9. 程的两根x1和x2与系数a,b,c有什么关系？
探究新知
新知一 探索一元二次方程的根与系数的关系
猜一猜（1）若一元二次方程的两根为x1，x2，则有 x-x1=0，且x-x2=0，那么方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为 已知数)的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形
32
1
2
2
2
13; 4
21 1 x1 x2
3
1 3 .
x1 x2 x1x2
22
练一练
设x1，x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则：
(1) x1+x2= 4 ， (2)x1·x2= 1 ，
(3) x12 x22
14 ，
(4) (x1 x2)2 12 .
归纳 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将 所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再
解：这里 a = 1 , b = – 6 , c = – 15 . Δ = b2 - 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15 ) = 96 > 0.
∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1， x2，那么
x1 + x2 = –( – 6 ) =6， x1 x2 = – 15 .
课堂练习
（解3：）方15程x.可–已1化=为知4x24x.2一– 5x元+1 =二0， 次方程x2+px+q=0的两根分别为-2
已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值.

人教版九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》PPT

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b a
时， 注意“－ ”不要漏写。
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
例2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值.
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k x2 =－3 解这方程组，得 k =－2
(2)
2x2 -
3x
+
1 2
=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
x1+x2=2
3
x1+x2= 2
x1x2=-1
1
x1x2= 4
x1+x2=3 x1+x2=0
x1x2=0
x1x2=
-Hale Waihona Puke 4 3思考：一元二次方程x2-4x+3=0的两根 分别是长方形的长和宽，不解方程求出 这个长方形的周长和面积。
x2
x1 x x 周长：2（ 1+ 2）=8 面积：x1 •x2 =3
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2=
-b a
c , x1x2 = a
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－
x2
x1 x x 周长：2（ 1+ 2） 面积：x1•x2
设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
b b2 4ac x1
2a
x2 b b2 4ac 2a

人教版数学九年级上册《一元二次方程根与系数的关系》ppt课件

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➢ 课前热身
1.下列说法中不正确的是
()
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.方程x2+2x-7=0的两实数根之和为2
B.方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5
C.方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18
D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为3/5
2 . 若 x1,x2 是 一 元 二 次 方 程 2x2-3x+1=0 的 两 个 根 ， 则
是
( B)
A.5
B.-1
C.5或-1 D.-5或1
3.方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为
A.-18 B.18 C.-3
(A ) D.3
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
基 础
3
一个根是___2，m =__-_3_。（还有其他解法吗？）
练 习
2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则
p=-6，q=8.
【程例求2下】列各已式知的：值方：程(121)x(x2 1-2xx2)21；的(2两) x根13 x为2 xx1，1 xx23 2，. 不解方
x
3 1
x
2
x
1
x
3 2
40
(1)(x1-x2)2=24.
(2)
.
1.利用韦达定理求一元二次方程的两根之和与两根 之积. (1)容易忘记除以二次项系数； (2)求两根之和时易弄错符号.
2.已知两根，求作一元二次方程时，也容易弄错一次 项系数的符号.
3.应用韦达定理时，注意不要忽略题中的隐含条件， 比如隐含的二次方程必有实数根的条件.
➢ 课时训练

人教版数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系课件

人教版数学九年级上册一元二次方程根与系数的关系课件

两个负根
{△＞0 X1X2＜0
{ { △≥0 X1X2＞0
△≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
X1+X2＜0
A、y2＋3y-5=0
B、 y2－3y-5=0
C、y2＋3y＋5=0
D、 y2－3y＋5=0
分析:设原方程两根为x1, x2 则: x 1 x2 3 ,x 1 x2 5
新方程的两根之和为 (x1)(x2)3
新方程的两根之积为(x1)(x2)5
注意
求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积.
x-x1)(x-x2)=0(两根x1，x2)
x2+px+q=0
x1+x2=-p x1x2=q
根据求根公式可知，
x1
b
b2 4ac 2a
由此可知
x2
b
b2 4ac 2abຫໍສະໝຸດ x1x2a
x1 x2
c a
根与系数 的关系
试一试
例4
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的 和与积：
(1)x26x1 50;
(2)3x27x90;
(3)5x14x2
归纳
任何一个一元二次方程的根与系数的关系 为：两个根的和等于一次项系数与二次项 系数的比的相反数，两个根的积等于常数
项与二次项系数的比.
要点 已知两根求作新的方程 以 x1 , x2 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x2 (x 1 x 2)x x 1 x 2 0
数学 九年级 上册 R
第 二十一 章 一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.4 一元二次方程的跟与系数的关系

人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件(共24张PPT)

人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.4一元二次方程的根与系数的关系》课件(共24张PPT)

课堂练习
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
(1)x2－3x＝15；
(2) 3x2＋2＝1－4x；
(3) 5x2－1＝4x2＋x；
(4) 2x2－x＋2＝3x＋1.
解：(1)方程化为 x2－3x－15＝0， x1＋x2＝－(－3)＝3，x1x2＝－15.
2.不解方程，求下列方程两个根的和与积.
3.已知 x1，x2 是方程 x2+3x-1=0 的两个根，求以x1-1和x2-1为根的一元二 次方程.
解：根据题意，得 x1+x2=-3，x1x2=-1， 所以 x1-1+x2-1=-5， (x1-1)(x2-1)=x1x2- (x1+x2)+1=-1+3+1=3， 所以以 x1-1 和 x2-1 为根的一个一元次方程可以是 x2+5x+3=0(答案不唯一).
回顾旧知
1.写出一元二次方程的一般式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2.一元二次方程的求根公式：
x1,2 b
b2 4ac 2a
3.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根.
(1) x2－6x－15＝0； (2) 3x2＋7x－9＝0；
(3) 5x－1＝4x2.
解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.
(2)
x1＋x2＝－
7 3
，x1
x2＝－39
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2
1 2
B. －1
C.
5 D.
5 5
二
已知两根求作新的方程
以 x1 , x2 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1 x2 0
2
题4. 点p(m,n)既在反比例函数
图象上, 又在一次函数
2 n m
2 y ( x 0) 的 x
y x 2 的图象上,
2
2
x1 x2 0
4.x1 x2 0
1 x1 x 2 3
在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式；
b ⑵在使用X1+X2=－ 时， a
注意“－ ”不要漏写。
练习1 已知关于x的方程 x (m 1) x 2m 1 0 当m= －1 时,此方程的两根互为相反数.
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程 2 的两根则: a a 2 0 求得 a1 2, a2 1 ∴两数为2,－１
四
求方程中的待定系数
2
题7 如果－1是方程 2 x
xm0
-3 。 的一个根，则另一个根是___ｍ=____
（还有其他解法吗？)
题8 已知方程 x 2 kx k 2 0 的两个实数根 2 是 x1, x2 且 x12 x2 4 求k的值。 解：由根与系数的关系得
2
当m= 分析:1. 2.
1
时,此方程的两根互为倒数.
x1 x2 2m 1 1
x1 x2 m 1 0
应用：一求值
题３ 则：
x1 x2
2 1 2 2
2
4
x1 x2
2
1
x x ( x1 x2 ) 2 x1 x2 ＝ 14
( x1 x2 ) ( x1 x2 ) 4 x1 x2 ＝ 12
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
练习: 1.以2和 －３为根的一元二次方程 （二次项系数为１）为：x
2
x6 0
三
已知两个数的和与积，求两数
题6 已知两个数的和是1，积是-2，则两 2和-1 。 个数是 解法(一):设两数分别为x,y则: 解得: { x=2 或 y=－1 ｘ＝－1 { y=2
{
x y 1
x y 2
22.2.4
一元二次方程的
根与系数的关系
基本知识
题1 口答
１．下列方程的两根和与两根积各是多少？
⑴.X －3X+1=0
⑶.2X +3X=0
1.x1 x 2 3 2 2.x1 x 2 3 3 3.x1 x 2 2
2
2
⑵.3X －2X=2
⑷.3X =1 x1 x2 1
2 x1 x 2 3
4. x1 x2
( x1 x2 )
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2
2
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
练习2 (1)设 为 A. 1
x x 1 0 的两个实数根 1 1 x1 , x 2 则: x x 的值为( A )
(5 3 b) x 2ax (5 3 b) 0
2
有两个相等的实数根,又方程
2x (10sin A) x 5 sin A 0
2
的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积.
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
作业:试卷《课后练习》
题9 方程
mx2 2mx m 1 0(m 0)
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知,
{
△= 4m 2 4m(m 1) 0
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
一正根，一负根
两个正根
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
y －3y-5=0 y2－3y＋5=0
2
分析:设原方程两根为
新方程的两根之和为 ( x1 ) ( x2 ) 3 新方程的两根之积为( x1 ) ( x2 )
x1 , x 2 则: x1 x2 3, x1 x2 5
5
求作新的一元二次方程时: 1.先求原方程的两根和与两根积. 2.利用新方程的两根与原方程的两根之 间的关系,求新方程的两根和与两根积. (或由已知求新方程的两根和与两根积) 3.利用新方程的两根和与两根积, 求作新的一元二次方程.
2
另外几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x 2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
X1+X2=-k， X1×X2=k+2
又 K 2X12+ X2 2 = 4
解得：k=4 或k=－2 ∵ △= K2-4k-8 当k=4时， △＜0
即( X 1+ X 2
)2 -2X
1X2=4
2(k+2）=4
当k=-2时，△＞0
∴ k=-2
K2-2k-8=0
五
综合
题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= 5 3 ,若关于x的方程
即
2
则以m,n为根的一元二次方程为(二次项系数为1):
解:由已知得,
{n m 2
{
m· n=－2 m+n=－2
∴所求一元二次方程为:
x 2x 2 0
题5
以方程X +3X-5=0的两个根的相反数为根的方程 是（ B ） A、y ＋3y-5=0 C、y2＋3y＋5=0
2
2
B、 D、