第六讲 有限元

有限元方法的基本原理
有限元方法是一种数值分析方法，用于求解复杂结构的力学问题。

其基本原理如下：
1. 将结构离散化：首先将结构分割成许多小的单元（有限元），每个单元可视作一个简单的结构部件。

这样可以将原始连续结构的复杂问题简化为每个小单元的简单问题。

2. 定义弯曲关系：对每个单元建立力学模型，包括定义材料的弹性模量、泊松比、截面积等力学性质参数。

3. 建立单元的位移方程：利用有限元方法，采用适当的形函数，建立每个单元的位移方程，一般为不定位移分析。

4. 组装全局方程：将所有单元的位移方程组装成整个结构的全局方程。

5. 求解方程组：通过数值方法（如高斯消元法、迭代法等），求解结构的位移和应力等力学量。

6. 分析结果：根据结构的位移和应力等力学量，可对结构的强度、刚度、振动等进行分析和评价。

有限元方法的基本原理是将复杂结构的力学问题通过离散化处理，化为易于计算的小单元问题，再通过数值方法求解整个结构的力学行为。

有限元的基本原理
有限元方法是一种数值计算方法，常用于求解工程问题中的连续介质力学问题。

其基本原理是将复杂的连续介质分割成有限数量的简单几何形状的子域，称为有限元，然后利用数学方法和计算机技术对每个有限元进行离散化处理。

基于有限元原理，我们可以得到以下步骤：
1. 离散化：将连续的物理问题离散化为有限个由节点和单元组成的网格，在每个单元上选择适当的方程形式。

2. 建立本构方程：根据材料的力学性质，建立适当的本构关系表达式，将其转化为数学方程。

3. 单元形函数：在每个有限元上选择适当的单元形函数，将物理问题转换为离散问题。

4. 求解：对离散化后的方程进行求解，得到节点的未知位移。

5. 后处理：根据得到的位移信息，计算相应的应力和应变，以及其他感兴趣的物理量。

有限元方法的精度和收敛性与网格的划分有关，更精细的网格可以得到更准确的结果，但也会增加计算量。

因此，有限元方法是一个权衡计算效率和精度的方法。

有限元方法广泛应用于结构力学、流体力学、电磁场等领域的
建模和仿真中，可以有效地分析和解决各种工程问题。

其应用范围涉及机械、航空航天、汽车、建筑、电子等多个工程领域，为工程设计和优化提供了有力的工具。

第六章 非第二章至第五章的讨论以最小势能原理为基础，要求在单元内假设的位移场（试探函数）满足协调条件（在不同的单元内可以假设不同的的位移场）。

满足协调条件的单元，它们的收敛性等问题已在第四章中做了研究。

等参数单元就是目前处理二阶问题时应用最广的一种协调单元。

此外，还有一些单元，它们不满足协调条件，但仍可以收敛到真实解，这类单元称为非协调单元，可以看成是对等参数单元的一种改进，目的在于：在计算量增加不多的情况下，使单元的实际精度有所改善。

对于四阶问题（例如板、壳），协调条件要求单元之间位移和位移的一阶导数（转角）连续。

在第七章中将会看到，实现上述协调条件不是件容易的事，而且为此要增加相当大的计算量，因而人们在自编程序中常常对非协调单元感兴趣。

本章只讨论二阶问题，主要包括：非协调元的构造和分析方法，非协调元的理论基础（显然不能再利用最小势能原理），收敛判别方法。

这些结论对四阶问题同样适用。

从关于非协调元的讨论中，读者可以看到，有限元方法有了坚实的数学基础以后，在构造方法时思路可以开阔很多。

§6-1Wilson 非协调元Wilson 非协调元可以看成是由等参数单元演变来的单元，现以二维情况为例。

１、母体单元 形函数 母体单元ê：边长为２的正方形 自然坐标：ξ、η取四个角点为节点，在单元内的序号为１~4。

形函数２、实际单元 e可看成母体单元ê经变换F 得到利用上面定义的形函数，坐标的变换可写成其中（x i , y i ）为实际单元中节点的坐标。

至此，还看不出Wilson 非协调单元与上一章介绍的等参数单元之间的差别。

３、单元内假设位移场图６－１图６－２）　（4~1)1)(1(41),(=++=i N i i i ηηξξηξe eF →ˆ：　∑∑====4141i i i i iiy N y x Nx )1()1(),()1()1(),(242341222141ηαξαηξηαξαηξ-+-+=-+-+=∑∑==i i ii i iv Nv u Nu (6-1-1)同四节点等参元相比，单元内假定的位移场多了四项：它们有如下特性：（１） 不影响节点处的位移值，故称αl 为非节点自由度或单元的“内自由度”。

有限元基本原理
有限元基本原理是一种数值分析方法，用于解决连续介质力学问题。

它将连续物体离散化为有限数量的小单元，通过对这些小单元的力学行为进行建模和分析，来推导出整体结构的力学特性。

有限元分析的步骤如下：
1. 离散化：将结构或物体分割成有限数量的小单元，例如三角形或四边形。

这些小单元被称为有限元素。

2. 建立数学模型：在每个有限元素内，选择适当的数学表达式来描述变形和应力分布。

这些表达式通常基于线性弹性理论或非线性材料模型。

3. 形成刚度矩阵：通过将每个有限元素的刚度矩阵组合起来，形成整体系统的刚度矩阵。

刚度矩阵描述了结构在受力作用下的刚度和变形响应。

4. 施加边界条件：给定结构的边界条件，例如约束和载荷。

这些条件可用于限制结构的自由度和模拟外部加载。

5. 求解方程：将边界条件应用到刚度矩阵上，并求解得到结构的位移和应力分布。

6. 分析结果：利用位移和应力分布，评估结构的强度、刚度、变形等力学特性。

这些结果可以帮助设计师优化结构并预测其
行为。

有限元基本原理的核心思想是将复杂的力学问题转化为小单元内的简单数学表达式，并通过组合这些单元的行为来推导整体结构的力学性能。

这种方法具有广泛的应用领域，包括结构分析、流体力学、热传导等。

有限元基本原理与概念有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续体力学中的边界值问题。

它是通过将连续体划分为有限数量的离散单元，然后在每个单元内进行力学行为的近似计算来实现的。

有限元基本原理和概念是进行有限元分析的关键。

有限元方法的基本原理包括以下几个方面：1.连续体离散化：连续体被分割为许多有限数量的小单元，例如三角形或四边形，这些小单元被称为有限元。

离散化的目的是将大问题转化为小问题，简化求解过程。

2.描述形函数：在每个有限元内，通过选择适当的形函数来描述位移、应力和应变之间的关系。

它们通常是基于其中一种插值函数，用于近似描述连续体内的位移场。

3.线性方程系统：通过应力和位移之间的平衡关系，可以得到与每个有限元相关的线性方程系统。

该方程系统可以通过组装所有单元的贡献来得到，其中每个单元内的节点位移被认为是未知数。

4.边界条件：为了解决线性方程系统，必须定义适当的边界条件。

这些条件通常包括位移或力的给定值，并且用于将无法由方程系统唯一解决的自由度限制为已知值。

5.求解方程系统：通过解决线性方程系统，可以得到每个节点的位移。

这可以使用各种求解线性方程系统的方法，如直接法（例如高斯消元法）或迭代法（例如共轭梯度法）来实现。

有限元方法的基本概念包括以下几个方面：1.单元：连续体被划分为有限数量的单元，在每个单元内进行近似计算。

常见的单元类型包括一维线元、二维三角形和四边形元，以及三维四面体和六面体元。

2.节点：单元的连接点被称为节点，每个节点在有限元分析中是一个自由度。

节点的数量与单元的选择密切相关，节点的位置和数量会影响结果的精确度。

3.局部坐标系：为了描述单元内的位移和应力，通常引入局部坐标系。

在局部坐标系中，单元的尺寸和形状可以更容易地进行描述和计算。

4.材料特性：有限元分析中需要定义材料的特性参数，例如弹性模量、泊松比、屈服强度等。

这些参数用于描述材料的力学行为和应力-应变关系。

5.后处理：通过有限元分析所得到的结果通常以节点或单元的形式给出，这些结果还需要进行后处理以得到更有意义的结果，如应变、应力分布或变形情况。

有限元方法基本原理有限元方法被广泛应用于工程领域中对复杂结构力学问题的求解。

其基本原理是将一个复杂的实体分割成连续的小元素，并在每个小元素内近似描述结构的力学行为。

然后根据各个小元素的相互连接关系，通过求解各个小元素的力学方程，得到整个结构体系的力学响应。

在有限元方法中，划分成小元素的实体被称为有限元。

每个有限元内会选择一个适当的数学函数形式来近似描述该元素内的过程变量（如位移、应力等）。

通常，利用多项式函数或三角函数来近似描述是较为常见的选择。

有限元法的基本思想是利用小元素内的力学方程来建立元素间的联系。

这一联系通过引入节点来实现。

节点是在有限元网格上选取的特殊位置，在节点处的位移和应力是所有相邻元素的位移和应力的加权平均。

在整体结构体系上，所有节点只有两种运动自由度（如平面问题为两个：水平和垂直方向），我们将节点处对应的变量称为自由度。

有限元分析的过程可以分为网格划分、单元插值、力学方程建立和边界条件处理四个主要步骤。

首先，将整个结构体系划分成小的有限元。

然后，在每个有限元内部选择一个插值函数，并利用插值函数得到相应的位移和应力的近似解。

接下来，根据物体在各个小元素上的力学原则，建立每个小元素的力学方程。

最后，在整个结构体系上，应用边界条件将自由度限制在给定的边界条件下。

通过求解各个小元素的力学方程，可以得到整个结构体系的应力、应变和位移分布。

这些分析结果可以用来评估结构的强度、刚度和稳定性等重要参数。

有限元方法的优点在于它能够处理复杂的几何形状和边界条件，并提供了精确的力学响应。

因此，它被广泛用于各个工程领域中的结构设计和分析中。