高中数学选修2-2 同步练习 专题1.2 导数的计算(解析版)

课堂探究探究一 导数公式与导数运算法则的简单应用1．应用导数的定义求导，是求导数的基本方法，但运算较烦琐，而利用导数公式求导数，可以简化求导过程，降低运算难度，是常用的求导方法．2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函数解析式进行化简整理，这样能够简化运算过程．【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x x ； (2)y ＝x 4－2x；(3)y ＝sin x ＋3x ； (4)y ＝cos x ·ln x ； (5)y ＝(x －1)(x －2)(x －3)； (6)y ＝x －3x ＋2. 思路分析：分析每个函数的结构特点，紧扣求导运算法则和基本初等函数的导数公式求导，必要时应对函数解析式进行恒等变形．解：(1)y ′＝(x x )′＝(32x )′＝32·12x ＝32x ； (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫x 4－2x ′＝4x 3＋2x2； (3)y ′＝(sin x ＋3x )′＝cos x ＋3x ln 3；(4)y ′＝(cos x ·ln x )′＝－sin x ·ln x ＋cos x ·1x ＝cos x x－sin x ·ln x ； (5)方法1：y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝[(x －1)(x －2)]′(x －3)＋(x －1)(x －2)(x －3)′＝[(x －1)′(x －2)＋(x －1)(x －2)′](x －3)＋(x －1)(x －2)＝(x －2＋x －1)(x －3)＋(x －1)(x －2)＝3x 2－12x ＋11.方法2：由于(x －1)(x －2)(x －3)＝(x 2－3x ＋2)(x －3)＝x 3－6x 2＋11x －6，所以y ′＝[(x －1)(x －2)(x －3)]′＝(x 3－6x 2＋11x －6)′＝3x 2－12x ＋11.(6)方法1：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x ＋2′＝(x －3)′(x ＋2)－(x －3)(x ＋2)′(x ＋2)2＝x ＋2－(x －3)(x ＋2)2＝5(x ＋2)2； 方法2：由于y ＝x －3x ＋2＝1－5x ＋2， 于是y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5x ＋2′＝－－5(x ＋2)′(x ＋2)2＝5(x ＋2)2. 探究二 利用导数公式和运算法则求复杂函,数的导数1．对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，然后再套用公式求导．【典型例题2】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x； (2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin x 44＋⎝⎛⎭⎫cos x 44； (3)y ＝cos 2x sin x ＋cos x； (4)y ＝x ln x . 思路分析：对于较为复杂，不宜直接套用导数公式和导数运算法则的函数，可先对函数进行适当的变形与化简，然后，再运用相关的公式和法则求导．解：(1)y ＝x 5＋x 7＋x 9x ＝x 2＋x 3＋x 4，∴y ′＝4x 3＋3x 2＋2x .(2)y ＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫34＋14cos x ′＝－14sin x . (3)y ＝cos 2xsin x ＋cos x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x ＝cos x －sin x ，∴y ′＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x .(4)y ＝x ln x ＝12x ln x ， ∴y ′＝12(x )′·ln x ＋12x ·(ln x )′＝12ln x ＋12. 探究三 复合函数的求导1．复合函数的求导法则如下：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′(其中y x ′表示y 对x 的导数)．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．2．复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．(4)复合函数的求导过程熟练后，中间步骤可以省略不写．【典型例题3】 求下列函数的导数：(1)y ＝(3x －1)2； (2)y ＝ln(5x ＋2)；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫122x ＋1； (4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x .思路分析：抓住构成复合函数的基本初等函数是求复合函数导数的关键，解题时可先把复合函数分拆成基本初等函数，再运用复合函数求导法则．解：(1)设y ＝u 2，u ＝3x －1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝2u ·3＝6(3x －1)＝18x －6；(2)设y ＝ln u ，u ＝5x ＋2，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝1u ·5＝55x ＋2； (3)设y ＝⎝⎛⎭⎫12u ，u ＝2x ＋1.则y ′＝y ′u ·u ′x ＝⎝⎛⎭⎫12u ln 12·2＝－⎝⎛⎭⎫122x ·ln 2；(4)设y ＝sin u ，u ＝2x －π3，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3； (5)y ＝cos 2x ＝cos 2x ＋12，设y ＝12cos u ＋12，u ＝2x ，则y ′＝y ′u ·u ′x ＝－12sin u ·2＝－sin 2x .探究四 导数运算的综合问题从导数运算的特点及规律出发，可以将导数运算与其他数学问题有机地联系起来，从而获得问题的简单、巧妙的解法．【典型例题4】 用导数的方法求和：1＋2x ＋3x 2＋4x 3＋…＋2 014x 2 013(x ≠0，x ≠1)． 思路分析：从幂函数的求导法则入手，结合所求和式的特点求解．解：设f (x )＝1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013，g (x )＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x 2 014，则f (x )＝g ′(x )．而由等式数列求和公式可得g (x )＝x (1－x 2 014)1－x ＝x －x 2 0151－x， 于是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2 0151－x ′＝(1－2 015x 2 014)(1－x )＋(x －x 2 015)(1－x )2＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2， 即1＋2x ＋3x 2＋…＋2 014x 2 013＝1＋2 014x 2 015－2 015x 2 014(1－x )2.。

高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版）1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α[答案] A[解析] ∵f (x )＝sin π3－cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A.2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.nn －1 D ．n ＋1n[答案] A[解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和为：S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝nn ＋1，故选A.3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )[答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B.4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e[答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1e，故选C.5．曲线y ＝x sin x 在点⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为( ) A.π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)2 [答案] A [解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝⎛⎭⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的顶点为O (0,0)，A (π，0)，C (π，－π)，∴三角形面积为π22.6．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A [解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 本题考查导数的基本运算及导数的几何意义．令f (x )＝ax －ln(x ＋1)，∴f ′(x )＝a －1x ＋1.∴f (0)＝0，且f ′(0)＝2.联立解得a ＝3，故选D.8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] C [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期， ∴f 2017(x )＝f 1(x )＝cos x .故选C.9．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________________.[答案] y ＝2x [解析] 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝e x －1＋x .又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝e xe＋x ，所以当x >0时， f ′(x )＝e x －1＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .10．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________.[答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋5π6. 若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则f (0)＋f ′(0)＝0，即0＝2sin ⎝⎛⎭⎫φ＋5π6，∴φ＋5π6＝k π(k ∈Z )．又∵φ∈(0，π)，∴φ＝π6. 11．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.[答案] 12ln2[解析] ∵y ＝ln(x ＋a )，∴y ′＝1x ＋a ，设切点为(x 0，y 0)，则y 0＝2x 0－1，y 0＝ln(x 0＋a )，且1x 0＋a ＝2，解之得a ＝12ln2.12．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.[答案] (1,1)[解析] 设f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ，所以f ′(0)＝1，因此曲线f (x )＝e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即y ＝x ＋1；设g (x )＝1x (x ＞0)，则g ′(x )＝－1x 2，由题意可得g ′(x P )＝－1，解得x P ＝1，所以P (1,1)．故本题正确答案为(1,1)．13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.[答案] 212[解析] f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)＋[(0－a 1)(0－a 2)…(0－a 8)]′·0＝a 1a 2…a 8. 因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212. 14．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x .(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 15．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.[解析] ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )． 故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1. ∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92.∴函数y ＝f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.16．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R )，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.[解析] f ′(x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x ＋b )2＋c －b 2， 且f ′(1)＝1＋2b ＋c ＝0.①(1)若－b ≤－1，即b ≥1，则f ′(x )在[－1,3]上是增函数，所以f ′(x )min ＝f ′(－1)＝－1， 即1－2b ＋c ＝－1.②由①②解得b ＝14，不满足b ≥1，故舍去．(2)若－1<－b <3，即－3<b <1，则f ′(x )min ＝f ′(－b )＝－1，即b 2－2b 2＋c ＝－1.③ 由①③解得b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.(3)若－b ≥3，即b ≤－3，则f ′(x )在[－1,3]上是减函数， 所以f ′(x )min ＝f ′(3)＝－1，即9＋6b ＋c ＝－1.④由①④解得b ＝－94，不满足b ≤－3，故舍去．综上可知，b ＝－2，c ＝3或b ＝0，c ＝－1.高中数学选修2-2导数--导数的运算1．若f (x )＝sin π3－cos x ，则f ′(α)等于( )A ．Sin αB ．Cos αC ．sin π3＋cos αD ．cos π3＋sin α2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f (n )}(n ∈N *)的前n 项和( )A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.nn －1D ．n ＋1n 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( )A ．e －1B ．－1C ．－e －1D ．－e5．曲线y ＝x sin x 在点⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为（） A.π22B ．π2C ．2π2D ．12(2＋π)26．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A7．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．38．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2017(x )等于( )A ．Sin xB ．－sin xC ．Cos xD ．－cos x9．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1,2)处的切线方程是________________.10．设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0＜φ＜π)，若f (x )＋f ′(x )是奇函数，则φ＝________. 11．已知直线y ＝2x －1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为________.12．设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________.13．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝______. 14．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x.15．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f (x )的解析式.16．已知f (x )＝13x 3＋bx 2＋cx (b ，c ∈R)，f ′(1)＝0，x ∈[－1,3]时，曲线y ＝f (x )的切线斜率的最小值为－1，求b ，c 的值.。

教材习题点拨教材问题解答(探究1)在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝2x，y＝3x,y＝4x的图象，并根据导数定义,求它们的导数．(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？(2)这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？(3)函数y＝kx(k≠0）增（减)的快慢与什么有关？答：函数y＝2x，y＝3x，y＝4x的图象如图所示，导数分别为y′＝2，y′＝3,y′＝4。

（1)从图象上看，函数y＝2x，y＝3x,y＝4x的导数分别表示这些直线的斜率．(2)在这三个函数中，y＝4x增加得最快，y＝2x增加得最慢．（3）函数y＝kx(k＞0)增加的快慢与k有关系，即与函数的导数有关系,k越大，函数增加得越快，k越小，函数增加得越慢．函数y＝kx（k＜0)减少的快慢与|k｜有关系，即与函数导数的绝对值有关系，|k｜越大，函数减少得越快，|k｜越小，函数减少得越慢．（探究2)画出函数y＝错误!的图象，根据图象,描述它的变化情况，并求出曲线在点（1，1)处的切线方程．答：函数y＝错误!的图象如图所示．结合函数图象及其导数y′＝－错误!发现,当x＜0时,随着x的增加，函数y＝错误!减少得越来越快；当x＞0时,随着x的增加，函数减少得越来越慢．点(1，1）处切线和斜率就是导数y′｜x=1＝－错误!＝－1，故斜率为－1,过点(1，1)的切线方程为y＝－x＋2。

练习1．解:f′（x)＝2x－7，所以,f′（2)＝－3，f′（6)＝5.2．解：(1）y′＝1x ln 2；(2）y′＝2e x；（3)y′＝10x4－6x；(4)y′＝－3sin x－4cos x;（5)y′＝－错误!sin错误!;（6）y′＝错误!.点拨：运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则求解．习题1.2A组1．解：错误!＝错误!＝2πr＋πΔr，所以S′（r）＝错误!(2πr＋πΔr)＝2πr.2．解：h′（t）＝－9。

8t＋6。

5。

3．解：r′（V)＝13错误!。

2019-2020学年高二数学选修2-2《1.2导数的计算》测试卷一．选择题（共10小题）1．设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R，有f（﹣x）+f（x）＝x2，且x∈（0，+∞）时，f′（x）＞x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥2﹣2a，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，1]C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝2x+cos x，则＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．已知f（x）＝x cos x，则f'（0）＝（）A．﹣1B．0C．1D．24．已知函数f（x）＝x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣25．函数f（x）＝e x+x sin x﹣7x在x＝0处的导数等于（）A．﹣4B．﹣5C．﹣6D．﹣76．已知函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）的对称中心为M（x0，y0），记函数f（x）的导函数为f′（x），f′（x）的导函数为f″（x），则有f″（x0）＝0．若函数f（x）＝x3﹣3x2，则可求得＝（）A．4025B．﹣4025C．8050D．﹣80507．函数f（x）＝e x（sin x+cos x）在区间[0，]上的值域为（）A．[，e]B．（，e）C．[1，e]D．（1，e）8．下列结论正确的是（）A．B．C．（5x）′＝5x D．（5x）′＝5x ln59．若y＝，则y′＝（）A．B．C．D．10．设，则f′（2）＝（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．已知f（x）＝13﹣8x+x2导数为f′（x），且f′（x0）＝4，则x0＝12．已知函数f（x）＝x•lnx，则f'（1）＝．13．已知f（x）＝x2+3xf′（2），则1+f′（1）＝．14．设函数f（x）＝sin x+cos x，f′（x）是f（x）的导数，若f（x）＝2f′（x）．则＝．15．已知函数f（x）＝sin，则f′（1）＝．16．已知函数f（x）＝x+sin x，则f'（x）＝．17．已知函数f（x）＝axlnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）＝3，则a的值为．18．（e x lnx）′；（）′＝．19．已知f（x）＝x（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）（x+5）+6，则f′（0）＝．20．已知f（x）＝sin x（cos x﹣1），则＝．三．解答题（共5小题）21．求下列函数的导数．（1）；（2）y＝（2x2﹣1）（3x+1）；。

1.2导数的计算(包括1.2.1几个常用函数的导数,1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则)姓名:___________班级:______________________一、选择题 1.已知()3232f x ax x =++,若()14f '-=,则a 的值等于()A.193B.103C.163D.1332.函数32x y x =⋅的导函数是( )A.232x y x '=⋅B.322x y x '=⋅C.2322ln 2x x y x '=⋅+D.23322ln 2x x y x x '=⋅+⋅3.已知()()e 21x f x xf '=+,则()0f '等于( )A.12e +B.12e -C.2e -D.2e4.设()ln f x x x =,若()02f x '=,则0x 等于( )A.2eB.eC.ln 22 D.ln 2 5.曲线3123y x =-在点51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭处切线的斜率为( )B.1C.1-D.6.曲线()32153f x x x =-+在1x =处的切线倾斜角是( ) A.π6 B.π3C.π4D.3π47.曲线21x y x =-上一点()1,1处的切线方程为( ) A.20x y --= B.20x y +-=C.450x y +-=D.450x y --=8.点P 在曲线:1C y x =+上移动,若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α,则α的取值范围是( ) A.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B.π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ C.π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ D.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题9.若曲线()2ln 1y ax x =-+在点()1,a 处的切线平行于x 轴,则a =__________.10.在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度(m)h 与起跳后的时间(s)t 存在函数关系()24.9 6.510h t t t =-++,则瞬时速度为0m /s 的时刻是_________s . 11.已知函数()()21ln ,2f x xg x x a ==+(a 为常数),直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切,且l 与函数()f x 的图象的切点的横坐标为1,则a 的值为_______.三、解答题12.求下列函数的导数.(1)e x y x =;(2)()()22131y x x =-+;(3) ()sin 1cos .2x y x =+-13.已知函数()f x =()ln g x a x =,a ∈R ,若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交,且在交点处有相同的切线,求a 的值及该切线的方程.14.已知曲线()3:C f x x x =-.(1)试求曲线C 在点()()1,1f 处的切线方程;(2)试求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.参考答案1.B【解析】由题意知()236f x ax x '=+,所以()1364f a '-=-=,解得103a =. 考点:导函数的应用.2.D【解析】()()()333222x x x y x x x ''''=⋅=⋅+⋅＝23322ln 2x x x x ⋅+⋅,故选D.考点:导数的计算.3.B【解析】由题意得()()e 21x f x f ''=+,所以()()1e 21f f ''=+,所以()1e f '=-, 所以()()00e 2e 12e f '=+⋅-=-.故选B.考点:函数的导数.4.B【解析】()()000ln ,()ln 1,ln 12,e f x x x f x x f x x x ''=∴=+∴=+=∴=,故选B. 考点:导数.5.B【解析】由题意得()()211f x x f ''=⇒=,即切线的斜率为1k =,故选B.考点:利用导数研究曲线在某点的切线的斜率.6.D【解析】()()()32215,2,113f x x x f x x x f ''=-+∴=-∴=-,所以切线的斜率为1-,倾斜角为3π4.故选D. 考点:函数导数的几何意义及运算.7.B 【解析】对21x y x =-求导得,()2121y x '=--,把1x =代入()2121y x '=--得,1y '=-,即切线的斜率为1-,又切点为()1,1,所以切线方程为()1111y x x -=--=-+,即20x y +-=,故选B.考点:利用导数求切线方程.8.A【解析】y x ⎡'=∈⎣,即切线的斜率范围是⎡⎣,那么倾斜角的范围是π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭,故选A.考点:导数的几何意义. 9.14【解析】由题意得121y ax x '=-+,因为曲线在点()1,a 处的切线平行于x 轴,所以1202a -=,解得14a =. 考点:导数几何意义的应用. 10.6598【解析】由导数的物理背景知,路程对于时间求导可得瞬时速度与时间的关系.()9.8 6.5h t t '=-+,则瞬时速度为0m /s 时有,09.8 6.5t =-+,可得6598t =.故答案为6598. 考点:导数的运算及应用. 11.12- 【解析】因为()10,f =()()1,11,f x f x''==所以:01, 1.l y x y x -=-=- 再由2112x x a -=+的判别式为零得()111410.22a a ∆=-⨯⨯+=⇒=- 考点:导数几何意义.12.(1)()2e 1x x y x -'=(2)21843y x x '=+-1(3)cos(1)sin .22x y x '=++ 【解析】(1)()()222e e e 1e e e x x x x x x x x x x y x x x x '''-⋅-⎛⎫⋅-'==== ⎪⎝⎭. (2)因为()()23221316231y x x x x x =-+=+--,所以()()()()()32322623162311843y x x x x x x x x ''''''=+--=+--=+-.(3)函数sin(1)y x =+看作sin y u =和1u x =+的复合函数,()()sin 1cos cos(1)x u x y y u u x u x '''''=⋅=⋅+==+,同样的可以求出cos 2x y =的导数1sin 22x y '=-,所以题中函数的导数为1cos(1)sin .22x y x '=++ 考点:求函数的导数. 13.e 2a =,22e e 0x y -+= 【解析】()f x '=()()0a g x x x'=>,设两曲线交点的横坐标为0x ,由已知得00ln ,,a x a x =⎨=⎪⎩解得e 2a =,20e x =. 所以两曲线交点坐标为()2e ,e ,切线的斜率为()21e2e k f '==, 所以切线方程为()21e e 2ey x -=-,即22e e 0x y -+=. 考点:利用导数求曲线上某点处的切线方程,导数的计算.14.(1)220x y --=(2)50x y --=或50x y -+=【解析】(1)∵()3f x x x =-,∴()10f =,求导数得()231f x x '=-, ∴切线的斜率为()12k f '==,∴所求切线方程为()21y x =-,即220x y --=.(2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为()00,x y ,则切线的斜率为()20031k f x x '==-.又∵所求切线与直线53y x =+平行,∴20315x -=,解得0x =代入曲线方程()3f x x x =-得切点为或(,∴所求切线方程为(5y x =或(5y x =,即50x y --=或50x y -+=.考点:导数的计算,导数的几何意义.。

课时作业2 导数的计算一、选择题1．若对任意x 属于R ，f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则f (x )是( )A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2C ．f (x )＝4x 3－5D ．f (x )＝x 4＋2设f (x )＝x 4＋b ，∵f (1)＝－1，∴b ＝－2，∴f (x )＝x 4－2.故应选B.B2．函数y ＝12(e x ＋e －x )的导数是( ) A.12(e x －e －x ) B.12(e x ＋e －x ) C ．e x －e －x D ．e x ＋e －xy ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x －e －x )． 故应选A.A3．若函数y ＝x 2＋a 2x (a ＞0)的导数为0，则实数x 是( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2，由x 2－a 2＝0得x ＝±a .故应选B.B4．函数f (x )＝2a 3＋5a 2x 2－x 6的导数为( )A ．6a 2＋10ax 2－x 6B ．2a 3＋10a 2x －6x 5C ．10a 2x －6x 5D ．5a 2x －6x 5f ′(x )＝(2a 3＋5a 2x 2－x 6)′＝10a 2x －6x 5.故应选C.C5．下列函数在x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos xB ．y ＝x sin xC ．y ＝1x ＋2xD ．y ＝1cos x∵y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(2x )′＝－1x 2＋2， ∴当x ＝0时，函数无定义，且y ′不存在，故该函数在x ＝0处没有切线．故应选C.C6．若曲线y ＝x n 在x ＝2处的导数为12，则n ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4y ′＝(x n )′＝n ·x n －1.由n ·2n －1＝12得n ＝3.故应选C.C7．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1f (x )＝(x －1)3＋3(x －1)，∵f ′(x )＝3(x －1)2＋3，∴f ′(1)＝3.故应选A.A8．设函数y ＝f (x )是线性函数，已知f (0)＝1，f (1)＝－3，则f ′(x )＝( )A ．4xB ．－4C ．－2D ．6由f (x )是线性函数，可设f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，且a ≠0)，由f (0)＝1，f (1)＝－3，解得a ＝－4，b ＝1，∴f (x )＝－4x ＋1，∴f ′(x )＝－4.故应选B.B二、填空题9．曲线y ＝4x 3在点Q (16,8)处的切线的斜率是________．∵y ＝x 34 ，∴y ′＝34x 34 -1 ＝34x -14 ， ∴y ′| x =16＝38.3810．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线方程是________．令f (x )＝x 3＋x ＋1，由导数的几何意义知在点(1,3)处的切线斜率k ＝f ′(1)＝3×12＋1＝4.所以由点斜式得切线方程为y －3＝4(x －1)，即4x －y －1＝0.4x －y －1＝1011．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为________．y ′＝3x 2，所以k ＝y ′⎪⎪x ＝1＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －1)，即y ＝3x －2.由⎩⎨⎧ y ＝3x －2x ＝2，解得⎩⎨⎧ x ＝2y ＝4，所以S ＝12×43×4＝83. 83 12．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. y ′＝3x 2，所以切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )，即y ＝3a 2x －2a 3.可求得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，与直线x ＝a 的交点为(a ，a 3)，所以三角形面积为S ＝12×a 3×a 3＝16，解得a ＝±1. ±1三、解答题13．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a ，b ，c 的值．∵曲线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点P (1,1)，∴a ＋b ＋c ＝1. ① ∵y ′＝2ax ＋b ，∴y ′|x =2＝4a ＋b ，∴4a ＋b ＝1. ②又曲线过点Q (2，－1)，∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ③ 联立①②③解得a ＝3，b ＝－11，c ＝9.14．(1)求曲线y ＝2x x 2＋1在点(1,1)处的切线方程； (2)运动曲线方程为S ＝t －1t 2＋2t 2，求t ＝3时的速度． (1)∵y ′＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2 ＝2－2x 2(x 2＋1)2，y ′| x =1＝2－24＝0， 即曲线在点(1,1)处的切线斜率k ＝0，因此曲线y ＝2x x 2＋1在(1,1)处的切线方程为y ＝1.(2)S ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t －1t 2′＋(2t 2)′ ＝t 2－2t (t －1)t 4＋4t＝－1t 2＋2t 3＋4t . S ′| t =3＝－19＋227＋12＝112627. 15．已知函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 为偶函数，它的图象过点A (0，－1)，且在x ＝1处的切线方程为2x ＋y －2＝0，求函数y ＝f (x )的表达式．∵f (x )是偶函数，f (－x )＝f (x )，∴b ＝d ＝0，f (x )＝ax 4＋cx 2＋e ，又∵图象过点A (0，－1)，∴e ＝－1，∴f (x )＝ax 4＋cx 2－1，f ′(x )＝4ax 3＋2cx ，当x ＝1时，f ′(1)＝4a ＋2c ＝－2， ①对于2x ＋y －2＝0，当x ＝1时，y ＝0.∴点(1,0)在f (x )图象上，∴a ＋c －1＝0. ②由①②解得a ＝－2，c ＝3，因此f (x )＝－2x 4＋3x 2－1.16．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x－x 1)，即y ＝2x 1x －x 21. ①对C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴⎩⎨⎧ 2x 1＝－2(x 2－2)－x 21＝x 22－4，解得⎩⎨⎧ x 1＝0x 2＝2或⎩⎨⎧ x 1＝2x 2＝0，∴直线方程为y ＝0或y ＝4x －4.。

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．若f (x )＝cos π4，则f ′(x )为( )A ．－sin π4B ．sin π4C ．0D ．－cos π4[答案] C[解析] f (x )＝cos π4＝22，∴f ′(x )＝0.2．函数f (x )＝x a ，a ∈Q ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．5 D ．－5[答案] A[解析] f ′(x )＝α·x α－1，∴f ′(－1)＝α·(－1)α－1＝－4，∴α＝4. 3．给出下列命题： ①y ＝ln2，则y ′＝12②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2x ·ln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C[解析] 由求导公式知②③④正确．4．设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.5．设函数f (x )＝cos x 则⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′等于( ) A ．0 B ．1C ．－1D ．以上均不正确[答案] A[解析] ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝cos π2＝0， ∴⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫π2′＝0′＝0，故选A. 6．设函数f (x )＝sin x ，则f ′(0)等于( ) A ．1 B ．－1C ．0D ．以上均不正确[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝(sin x )′＝cos x ， ∴f ′(0)＝cos0＝1.故选A.7．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．12[答案] D[解析] ∵y ′＝1x ，∴y ′|x ＝2＝12，故图象在x ＝2处的切线斜率为12.8．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A.12 B ．－12C ．1eD ．－1e[答案] C[解析] ∵y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e . 二、填空题9．函数f (x )＝sin x 在x ＝π3处的切线方程为________．[答案] x －2y ＋3－π3＝010．(2015·新课标Ⅱ文，16)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.[答案] 8[解析] 由y ′＝1＋1x 可得曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2，故切线方程为y＝2x －1，与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1联立得ax 2＋ax ＋2＝0，显然a ≠0，所以由Δ＝a 2－8a ＝0⇒a ＝8.11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是____________________________． [答案] y ＝x －1[解析] ∵曲线y ＝ln x 与x 轴的交点为(1,0) ∴y ′|x ＝1＝1，切线的斜率为1， 所求切线方程为：y ＝x －1. 三、解答题12．(1)y ＝e x 在点A (0,1)处的切线方程； (2)y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线方程． [解析] (1)∵(e x )′＝e x ，∴y ＝e x 在点(0,1)处的切线的斜率为1.∴切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. (2)∵(ln x )′＝1x，∴y ＝ln x 在点A (1,0)处的切线的斜率为1. ∴切线方程为y ＝1×(x －1)，即x －y －1＝0.一、选择题1．物体运动的图象(时间x ，位移y )如图所示，则其导函数图象为( )[答案] D[解析] 由图象可知，物体在OA ，AB ，BC 三段都做匀速运动，位移是时间的一次函数，因此其导函数为常数函数，并且直线OA ，直线AB 的斜率为正且k OA >k AB ，直线BC 的斜率为负，故选D.2．下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.3．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，则f 2015(x )的值是( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x [答案] D[解析] 依题意：f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝－sin x ，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，按以上规律可知：f2015(x)＝f3(x)＝－cos x，故选D.4．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为() A．1 B．2C．－1 D．－2[答案] B[解析]y′＝1x＋a，设切点为(m，n)，则切线斜率为1m＋a＝1，即m＋a＝1，n＝ln(m＋a)＝ln1＝0.又(m，n)在直线y＝x＋1上，∴m＝－1，从而a＝2.故选B.二、填空题5．过原点作曲线y＝e x的切线，则切点坐标为________，切线方程为________．[答案](1，e)y＝e x[解析]设切点为(x0，e x0)，又y′＝(e x)′＝e x，∴切线的斜率为k＝y′|x＝x0＝e x0，∴切线方程为y－e x0＝e x0(x－x0)．又切线过原点，∴－e x0＝－x0·e x0，即(x0－1)·e x0＝0，∴x0＝1，∴切点为(1，e)，斜率为e，∴切线方程为y＝e x.6．函数y＝log2x图象上一点A(a，log2a)处的切线与直线(2ln2)x＋y－3＝0垂直，则a ＝________.[答案] 2[解析]y＝log2x在点A(a，log2a)处的切线斜率为k 1＝y ′|x ＝a ＝1x ln2|x ＝a ＝1a ln2. 已知直线斜率k 2＝－2ln2.∵两直线垂直，∴k 1k 2＝－2a＝－1，∴a ＝2.7．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．三、解答题8．设点P 是y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最短距离．[解析] 根据题意得，平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x 相切的切点为P ，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图，即求在曲线y ＝e x 上斜率为1的切线，由导数的几何意义可求解．令P (x 0，y 0)，∵y ′＝(e x )′＝e x ， ∴由题意得e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最短距离为22. 9．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为 k 1＝y ′|x ＝x 0＝cos x 0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．。

选修2-2 1.2 第1课时 几个常用的函数的导数一、选择题1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －1，则y ′＝－x －2[答案] D2．若函数f (x )＝x ，则f ′(1)等于( ) A ．0 B ．－12C ．2D.12[答案] D[解析] f ′(x )＝(x )′＝12x ，所以f ′(1)＝12×1＝12，故应选D.3．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝0[答案] A[解析] ∵f (x )＝14x 2，∴f ′(2)＝li m Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx＝li m Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14Δx ＝1.∴切线方程为y －1＝x －2.即x －y －1＝0. 4．已知f (x )＝x 3，则f ′(2)＝( ) A ．0 B ．3x 2C ．8D ．12[答案] D[解析] f ′(2)＝lim Δx →0 (2＋Δx )3－23Δx＝lim Δx →0 6Δx 2＋12Δx Δx ＝lim Δx →0 (6Δx ＋12)＝12，故选D. 5．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3D ．－3[答案] A[解析] 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 6．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[答案] D[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－x －1∴Δy Δx ＝(1＋Δx )3＋(1＋Δx )2－(1＋Δx )－1Δx ＝4＋4Δx ＋(Δx )2，∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0[4＋4·Δx ＋(Δx )2]＝4. 故应选D.7．曲线y ＝x 2在点P 处切线斜率为k ，当k ＝2时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1) C ．(1,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18[答案] C[解析] 设点P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵y ＝x 2，∴y ′＝2x .∴k ＝＝2x 0＝2，∴x 0＝1，∴y 0＝x 20＝1，即P (1,1)，故应选C. 8．已知f (x )＝f ′(1)x 2，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3[答案] A[解析] ∵f (x )＝f ′(1)x 2，∴f ′(x )＝2f ′(1)x ，∴f ′(0)＝2f ′(1)×0＝0.故应选A.9．曲线y＝3x上的点P(0,0)的切线方程为( )A．y＝－x B．x＝0 C．y＝0 D．不存在[答案] B[解析] ∵y＝3 x∴Δy＝3x＋Δx－3x＝x＋Δx－x(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2＝Δx(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴ΔyΔx＝1(3x＋Δx)2＋3x(x＋Δx)＋(3x)2∴曲线在P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.10．质点作直线运动的方程是s＝4t，则质点在t＝3时的速度是( )A.14433B.14334C.12334D.13443[答案] A[解析] Δs＝4t＋Δt－4t＝t＋Δt－t4t＋Δt＋4t＝t＋Δt－t(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)＝Δt(4t＋Δt＋4t)(t＋Δt＋t)∴li m Δt →0 Δs Δt＝124t ·2t ＝144t 3， ∴s ′(3)＝14433 .故应选A.二、填空题11．若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则y ′＝1可以解释为________． [答案] 某物体做瞬时速度为1的匀速运动[解析] 由导数的物理意义可知：y ′＝1可以表示某物体做瞬时速度为1的匀速运动． 12．若曲线y ＝x 2的某一切线与直线y ＝4x ＋6平行，则切点坐标是________． [答案] (2,4)[解析] 设切点坐标为(x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以切线的斜率k ＝2x 0，又切线与y ＝4x ＋6平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，故切点为(2,4)．13．过抛物线y ＝15x 2上点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，45的切线的斜率为______________． [答案] 45[解析] ∵y ＝15x 2，∴y ′＝25x∴k ＝25×2＝45.14．(2010·江苏，8)函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．[答案] 21[解析] ∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a 2k )的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.三、解答题15．过点P (－2,0)作曲线y ＝x 的切线，求切线方程． [解析] 因为点P 不在曲线y ＝x 上， 故设切点为Q (x 0，x 0)，∵y ′＝12x ，∴过点Q 的切线斜率为：12x 0＝x 0x 0＋2，∴x 0＝2，∴切线方程为：y －2＝122(x －2)，即：x －22y ＋2＝0.16．质点的运动方程为s ＝1t 2，求质点在第几秒的速度为－264.[解析] ∵s ＝1t2，∴Δs ＝1(t ＋Δt )2－1t2＝t 2－(t ＋Δt )2t (t ＋Δt )＝－2t Δt －(Δt )2t (t ＋Δt )∴li m Δt →0 Δs Δt ＝－2t t 2·t 2＝－2t 3.∴－2t 3＝－264，∴t ＝4. 即质点在第4秒的速度为－264.17．已知曲线y ＝1x.(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程； (3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1x2.(1)显然P (1,1)是曲线上的点．所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1x在P (1,1)点导数．即k ＝f ′(1)＝－1.所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2.(2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1x上．则可设过该点的切线的切点为A ⎝⎛⎭⎪⎫a ，1a ，那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1a2.则切线方程为y －1a ＝－1a2(x －a )．①将Q (1,0)坐标代入方程：0－1a ＝－1a2(1－a )．解得a ＝12，代回方程①整理可得：切线方程为y ＝－4x ＋4.(3)设切点坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，1a ，则切线斜率为k ＝－1a 2＝－13，解得a ＝±3，那么A ⎝⎛⎭⎪⎫3，33，A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3－3.代入点斜式方程得y －33＝－13(x －3)或y ＋33＝－13(x ＋3)．整理得切线方程为y ＝－13x ＋233或y ＝－13x －233.18．求曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．[解析] 两曲线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴y ′＝－1x2，∴k 1＝－1，k 2＝2x |x ＝1＝2，∴两切线方程为x ＋y －2＝0,2x －y －1＝0，所围成的图形如上图所示． ∴S ＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝34.。

1．2.2 导数的运算法则能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．基础梳理1．若c 为常数，则(cu ) ′＝cu ′.(3x 2)′＝6x ．2．法则1：[u (x )±v (x )]′＝u ′(x )±v ′(x )．(x 3＋x 2)′＝3x 2＋2x ．3．法则2：[u (x )v (x )]′＝u ′(x )v (x )＋u (x )v ′(x )．(x e x )′＝e x ＋x e x ．4．法则3：⎣⎢⎡⎦⎥⎤u （x ）v （x ）′＝u ′（x ）v （x ）－u （x ）v ′（x ）v 2（x ）[v (x )≠0]． ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x x ′＝x e x －e xx 2． 想一想：已知h (x )＝2sin x ，f (x )＝x 2，g (x )＝3x. 则(1)h ′(x )＝________；(2)[f (x )＋g (x )]′＝________；(3)[h (x )－2f (x )]′＝__________；(4)[h (x )·f (x )]′＝________________；(5)[f (x )÷h (x )]′________________．答案：(1)h ′(x )＝2cos x ；(2)[f (x )＋g (x )]′＝2x －3x 2； (3)[h (x )－2f (x )]′＝(2sin x －2x 2)′＝2cos x －4x ；(4)[h (x )·f (x )]′＝(2sin x ·x 2)′＝2(sin x )′·x 2＋2sin x ·(x 2)′＝2x 2cos x ＋4x sin x ；(5)[f (x )÷h (x )]′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22sin x ′＝（x 2）′·2sin x －（2sin x ）′·x 24sin 2 x ＝4x sin x －2x 2cos x 4sin 2 x. 自测自评1．函数y ＝e x ln x 的导数是(C )A.e xxB ．e x ln xC ．e x ln x ＋e x x D.e x ln x x 2．(2013·江西卷)若曲线y ＝x α＋1(α∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则α＝_____________.解析：y ′＝αx α－1，则k ＝α，故切线方程y ＝αx 过点(1，2)解得α＝2.答案：2 3．函数y ＝x 2－sin x 2cos x 2的导数是____________．解析：因为y ＝x 2－sin x 2cos x 2＝x 2－12sin x ，所以y ′＝2x －12cos x . 答案：y ′＝2x －12cos x基础巩固1．下列求导运算正确的是(B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x ·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x2. 对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，则(A )A ．f (x )＝x 4－2B ．f (x )＝x 4＋2C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝－x 43．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是(C)A ．－9B ．－3C ．9D ．15解析：∵y ′＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3，切线方程为y －12＝3(x －1)，即y ＝3x ＋9，令x ＝0，得y ＝9.故选C.4．(2014·高考广东卷)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．解析：因为y ＝－5e x ＋3，所以y ′＝－5e x ，所以，所求切线的斜率为k ＝－5e 0＝－5，故所求切线方程为y －(－2)＝－5x ，即5x ＋y ＋2＝0.答案：5x ＋y ＋2＝0 能力提升5．下列求导式正确的是(C )①(2x 3－cos x )′＝6x 2＋sin x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x ′＝1x 2； ③[(3＋x 2)(2－x 3)]′＝2x (2－x 3)＋3x 2(3＋x 2)；④⎝⎛⎭⎪⎫1＋cos x x 2′＝2x （1＋cos x ）＋x 2sin x x 4； ⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3sin x ′＝3x 2sin x －x 3cos x sin 2x ； ⑥(tan x )′＝1cos 2x. A ．①②③⑤ B ．②④⑤⑥C ．①②⑤⑥D ．①②③④⑤⑥6．某市在一次降雨过程中，降雨量y (mm)与时间t (min)的函数关系可近似地表示为y ＝f (t )＝10t ，则在时刻t ＝40 min 的降雨强度为(D )A ．20 mmB ．400 mmC.12 mmD.14mm 解析：降雨强度是降雨量对时间的导数，因为f ′(t )＝(10t 12)′＝102t ，所以f ′(40)＝10240＝14.7．已知f (x )＝x 2，g (x )＝ln x ，若f ′(x )－g ′(x )＝1，则x ＝________．解析：f ′(x )－g ′(x )＝2x －1x ＝1，即2x 2－x －1＝0.解得x ＝－12或x ＝1，又x >0，∴x ＝1.答案：18．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________． 解析：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3cos x －sin x ，令x ＝π3， 则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π3＝－2sin π3＝－3， 所以f (x )＝－3sin x ＋cos x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π6＝－3sin π6＋cos π6＝0. 答案：09．已知曲线y ＝x 3－3x ，过点(0，16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．解析：设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率k ＝y ′x ＝x 1＝3x 21－3，∴切线方程为y ＝(3x 21－3)x ＋16.又切点在切线上，∴y 1＝(3x 21－3)x 1＋16.∴x 31－3x 1＝(3x 21－3)x 1＋16，解得x 1＝－2.∴切线方程为y ＝9x ＋16，即9x －y ＋16＝0.10．证明：过曲线y ＝1x上的任何一点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是一个常数．证明：由y ＝1x ，得y ′＝－1x 2. ∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴过点P (x 0，y 0)的切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝y 0＋1x 0＝2x 0； 令y ＝0，得x ＝2x 0.∴过点P (x 0，y 0)(x 0>0)的切线与两坐标轴围成的三角形的面积S ＝12×2x 0×2x 0＝2是一个常数．。

绝密★启用前1.2导数的计算 一、选择题1．【题文】已知y =y '=（） AB ．CD ．2．【题文】曲线()sin cos f x x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为（） A ．10x y -+= B ．10x y --= C ． 10x y +-= D ．10x y ++=3．【题文】若曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程是10x y -+=，则（） A ．1,1a b == B ．1,1a b =-= C ．1,1a b ==-D ．1,1a b =-=-4．【题文】已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则的值为（） A ． B ． C ． D ．5．【题文】函数()f x 的导函数为()f x '，满足关系式()()232ln f x x xf x '=++， 则()2f '的值等于（） A ． B ．2- C ．94 D ．94-6．【题文】函数()()22ln 0,f x x x bx a b a =+-+>∈R 在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（）A ．． C ．7．【题文】已知点P 在曲线4e 1xy =+上，其中是自然对数的底数，曲线在点P 处的切线的倾斜角为3π4，则点P 的纵坐标为（） A.4e e 1+ B.4e 1+ C.12D.8．【题文】设函数()()2f x g x x =+，曲线()y g x =在点()()1,1g 处的切线方程为21y x =+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（） A ． B ．14- C ． D ．12-二、填空题9.【题文】已知函数()31f x ax x =++的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则a =_______________.10．【题文】若曲线()sin 1f x x x =⋅+在π2x =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则实数等于_______．11．【题文】直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,3A ，则的值为 ____________．三、解答题12.【题文】求下列各函数的导数.（1）sin cos y x x x =+；（2）235y x x =-+.13．【题文】已知抛物线2y x =，求过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭且与抛物线相切的直线方程．14．【题文】已知函数()316f x x x =+-.（1）求曲线()y f x =在点()2,6-处的切线的方程； （2）求满足斜率为的曲线的切线方程；（3）直线为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线的方程．1.2导数的计算 参考答案与解析一、选择题 1． 【答案】D【解析】常函数的导数为，所以y =0y '=.故选D. 考点：求导数. 【题型】选择题 【难度】较易 2． 【答案】A【解析】()cos sin f x x x '=-，所以()01f '=，切线方程为()()01010y f x x y -=⨯-⇒-+=，故选A.考点：导数几何意义及运算. 【题型】选择题 【难度】较易 3． 【答案】A【解析】因为2y x ax b =++，所以2y x a '=+，所以0x =时，y a '=，所以曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为y b ax -=，又因为曲线2y x ax b =++在点()0,b 处的切线方程为10x y -+=，所以1,1a b ==，故选A. 考点：利用导数研究曲线在某点处的切线方程． 【题型】选择题 【难度】一般 4． 【答案】B【解析】()()()()1ln ,13,1ln13,3,f x a x f a a '=+'=∴+=∴=故选B ．考点：导数的运算求参数. 【题型】选择题 【难度】一般 5． 【答案】D【解析】因为()()1232f x x f x ''=++，所以()()124322f f ''=++，解得 ()924f '=-，故选D ．考点:：导数的运算． 【题型】选择题 【难度】一般 6． 【答案】A【解析】由题意得，()22f x x b x'=+-，∴在点()(),b f b 处的切线斜率是 ()2k f b b b '==+，∵0b >，∴2b b +≥2b b=时取等号，∴在点()(),b f b处的切线斜率的最小值是A ． 考点：利用导数研究曲线上某点的切线方程． 【题型】选择题 【难度】一般 7． 【答案】D【解析】设()00,P x y ，4e 1x y =+，()24e e 1x x y -'∴=+，()24e e1x x x x y =-'∴=+．点P 处切线的斜率3πtan 14k ==-，由导数的几何意义可得0x x y k ='=，即()24e 1e1x x -=-+，解得0e 1x =，00442e 111x y ∴===++．故选D ． 考点：导数的几何意义．【题型】选择题 【难度】一般 8． 【答案】A【解析】由题意可知，()()() 12 2g f x g x x '''==+，，所以()()1124f g ''=+=，所以切线斜率为．考点：导数的几何意义． 【题型】选择题 【难度】一般二、填空题 9. 【答案】 【解析】()()()231,131,12f x ax f a f a ''=+∴=+=+，2731,112a a a +-∴+=∴=-. 考点：导数的几何意义. 【题型】填空题 【难度】一般 10． 【答案】【解析】由已知得()s i n c o s f x x x x'=+，则ππππs i n c o s 12222f ⎛⎫'=+= ⎪⎝⎭，所以12a-=-，解得2a =． 考点：导数的几何意义． 【题型】填空题 【难度】一般 11． 【答案】3【解析】由题意得，23y x a '=+，所以3k a =+①.因为切点为()1,3A ，所以31k =+②，31a b =++③，由①②③解得1,3a b =-=. 考点：导数的几何意义． 【题型】填空题 【难度】一般三、解答题 12.【答案】（1）cos y x x '=（2）61y x '=- 【解析】（1）sin cos ,sin cos sin cos y x x x y x x x x x x '=+∴=+-=. （2）235,61y x x y x '=-+∴=-.考点：函数导数的计算. 【题型】解答题 【难度】较易 13．【答案】210x y --=和440x y ++=【解析】设直线的斜率为，直线与抛物线相切的切点坐标为()00,x y ，则直线方程为122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∵2y x '=，∴02k x =，又点()002,x x 在切线上， ∴20001222x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴01x =或02x =-，则2k =或 4.k =-∴直线方程为1222y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭或1242y x ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即为210x y --=和440x y ++=．考点：导数的概念，导数的几何意义，利用导数求曲线上某点处的切线方程． 【题型】解答题 【难度】一般 14．【答案】（1）13320x y --=（2）4180x y --=和4140x y --=（3）130x y -= 【解析】（1）由已知得()231f x x '=+，因为切点为()2,6-，所以切线的斜率()213k f '==，则切线方程为()6132y x +=-，即13320x y --=.（2）设切点坐标为()00,x y ，由已知得()04f x '=，即20314x +=，01x =±，切点为()1,14-时，切线方程为()1441y x +=-，即4180x y --=； 切点为()1,18--时，切线方程为()1841y x +=+，即4140x y --=.（3）设切点坐标为()00,x y ，由已知得直线的斜率为()20031f x x '=+，且300016y x x =+-，则切线方程为()()000y y f x x x '-=-，即()()()3200001631y x x x x x -+-=+-，将()0,0代入得002,26x y =-=-，则直线的方程为()26132y x +=+，即130x y -=.考点：导数的几何意义，函数图象上某点处的切线． 【题型】解答题 【难度】一般。

1.2 导数的运算1、设函数()32sin tan 3f x x θθ=+,其中50,12θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则导数'(1)f 的取值范围是( )A.[]2,2-B. C.⎤⎦D.⎤⎦2、P 为曲线ln y x =上一动点,Q 为直线1y x =+上一动点,则min PQ =( )A.0D.23、设曲线y =在点处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( )A.2B.4C.-D.4、函数1(),(),(),()2267x x f x g x h x x d x x ====-中,递增速度最快的是( )A.()f xB.()g xC.()h xD.()d x5、已知1()f x x=,则'(3)f =( ) A.13-B.19-C.19D.136、设()3232f x ax x =++,若()'14f -=,则a 的值等于( ) A.193 B. 163 C. 133D.1037、已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'(1)ln f x xf x =+,则'(1)f =( ) A.e - B.-1C.1D.e8、设曲线11x y x +=-在点()3,2处的切线与直线10ax y ++=垂直,则a =( ) A.2B.-2C.12-D.129、已知在实数集R 上的可导函数()f x ,满足(2)f x +是奇函数,且12()f x '>,则不等式()112f x x >-的解集是（ ） A.(),1-∞ B.()2,+∞ C.()0,2 D.(),2-∞10、已知'()f x 是函数()f x 的导函数，且对任意的实数x 都有'()e (23)()x f x x f x =++，(0)1f =，则不等式()5e x f x <的解集为（ ）A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(,4)(1,)-∞-+∞D ．(,1)(4,)-∞-+∞11、给出下列结论: ①(sin )'cos x x =; ②(sin )'cos 33ππ=;③若21()f x x =,则2'(3)27f =-; ④(2e )'2e x x =; ⑤41(log )'ln 4x x =. 其中正确的有___________个.12、已知2(),()f x x g x x ==,且满足'()'()3f x g x +=,则x 的值为_________.13、定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意的实数x 都有()()f x f x '>且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为 ______.14、已知函数()f x (R)x ∈满足(1)1f =，且()f x 的导数1'()2f x <，则不等式221()22x f x <+的解集为______． 15、求下列函数的导数. (1)2(23)(32)y x x =+-; (2)cos sin y x x x =-; (3)sin cos 22x xy x =-;(4)y =.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：由已知,得2'()sin f x x x θθ=⋅+⋅,所以'(1)sin 2sin()3f θθθπ==+,又50,12θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以3334θπππ≤+≤,2sin()23θπ≤+≤,'(1)2f ≤.2答案及解析： 答案：C解析：如图,当直线l 与ln y x =的图象相切且与直线1y x =+平行时,切点P 到直线1y x =+的距离即为所求PQ 的最小值.1(ln )'x x =,令11x=,得1x =,故点P 的坐标为(1,0),所以min PQ ==故选C.3答案及解析： 答案：D解析：∵12y x ==,∴121'2y x -==,∴切线的斜率2'|x k y ===,由已知,得a -=-即a =,故选D.4答案及解析： 答案：A解析：若()(0)F x kx k =≠,则000()()()'()limlim lim x x x y F x x F x k x x F x k x x x∆→∆→∆→∆+∆-+∆====∆∆∆,所以111'(),'(),'(),'()2267f xg xh x d x ====-,所以()f x 的递增速度最快,故选A.5答案及解析： 答案：B 解析：∵1()f x x =,∴21'()f x x =-,∴211'(3)39f =-=-,故选B.6答案及解析： 答案：D解析：先求出导函数,再代值算出a . ()2'36f x ax x =+,∴ ()'1364f a -=-=, ∴ 103a =故选D.7答案及解析： 答案：B解析：1'()2'(1)f x f x=+,令1x =,得'(1)2'(1)1f f =+,解得'(1)1f =-,故选B.8答案及解析： 答案：B 解析：9答案及解析： 答案：D解析：令()()112F x f x x =-+,则()()1''2F x f x =-,因()12'f x >,故()10'2f x <<,所以()'0F x <,函数()()112F x f x x =-+是单调递减函数,又因为()2f x +是奇函数,所以()20f =且()()22110F f =-+=,所以原不等式可化为()()2F x F >,由函数的单调性可知2x <,应选D.10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：4解析：因为(sin )'cos x x =,所以①正确;sin 3π==而0=,所以②错误;2321'()()'()'2f x x x x --===-,则2'(3)27f =-,所以③正确;因为(2e )'2e x x =,所以④正确;因为41(log )'ln 4x x =,所以⑤正确.故正确的有4个.12答案及解析： 答案：1解析：因为'()2,'()1f x x g x ==,所以213x +=,解得1x =.13答案及解析： 答案：()0,+∞ 解析：14答案及解析： 答案：(,1)(1,)-∞-⋃+∞ 解析： 令1()()22x g x f x =--，则1()()02g x f x ''=-<，(1)0g =， ()g x ∴在R 上为减函数，不等式等价于2()0(1)g x g <=，则21x >，得1x >或1x <-. 故答案为(,1)(1,)-∞-⋃+∞15答案及解析：答案：(1)22'(23)'(32)(23)(32)'y x x x x =+-++-24(32)3(23)x x x =-++ 2212869x x x =-++ 21889x x =-+(2)∵cos sin y x x x =-,∴'(cos )'(sin )'cos sin cos sin y x x x x x x x x x =-=--=-. (3)∵1sin cos sin 222x x y x x x =-=-,∴111'(sin )''(sin )'1cos 222y x x x x x =-=-=-.(4)∵21y x==-, ∴222'()'1(1)y x x ==--. 解析：。

第一章 导数及其应用1.2 导数的计算一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若()2cos 2f x x x =+，则函数()f x 的导函数()f 'x = A ．2sin 2x -B ．sin 2x x -C ．sin 2cos2x x x +D ．cos22sin 2x x x -2．已知e e ()x f x x -=+的导函数为()f 'x ，则1()f '=A ．1e e -B ．1e e+ C ．11e+D ．03．已知函数3()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)--B ．(1,1)--C ．(2,8)--或(2,8)D ．(1,1)--或(1,1)4．下列函数求导运算正确的个数为①333l ()og e x x'=；②21()g ln o 2l x x '⋅=；③(e e )x x'=；④1()ln 'x x=；⑤e e e ()x x x x x '=+． A ．1 B ．2 C ．3D ．45．已知1()1xf x x=+，则(1)f '等于 A ．2 B ．12- C ．14-D ．146．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '= A ．e - B ．1- C ．1D ．e7．已知曲线32()2f x x ax =-+在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为34π，则实数a = A ．2- B ．1- C ．2D ．38．若2()24ln f x x x x =--，则不等式()0f x '>的解集为 A ．(0,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(2,)+∞D ．(1,0)-9．函数c (s )e o x x f x =+的图象在0x =处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 A ．2 B ．4 C ．12D ．32二、填空题：请将答案填在题中横线上．10．若函数2()sin f x x x =，则()f x '=________________．11．设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =________________．12．若函数()ln 2f x x x =+在点00,()()x f x 处的切线的斜率为3，则0()f x =________________． 13．曲线2ln y x =在点2(e ,4)处的切线l 与坐标轴所围成的三角形的面积为________________． 14．设曲线1()n y x n +*=∈N 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，令lg n n a x =，则1299a a a ++⋅⋅⋅+=________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的导数：（1）2311()y x x x x=++； （2）cos xy x=；（3）3e 2e x x xy =-+；（4）2sin cos 22x x y x =-．16．设函数()bf x ax x=-，曲线()y f x =在点(2,)(2)f 处的切线方程为74120x y --=． （1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值。

1.2 导数的计算1、设曲线1*(=)n y xn +∈N 在点()1,1处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12...nx x x ⋅⋅⋅的值为( )A. 1nB. 11n +C. 1n n +D. 12、曲线y lnx =在点M 处的切线过原点,则该切线的斜率为( ) A. 1 B. e C. 1- D.1e3、给出下列结论: ①()=cosx sinx '; ②'=cos 33sinππ⎛⎫⎪⎝⎭; ③若21y=x ,则1y x'=; ④'⎛= ⎝. 其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3 4、曲线xy e =在点()22,e 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.294e B. 22eC. 2eD. 22e5、已知函数,则( )A.B. C.D.6、设()3232f x ax x =++,若()'14f -=,则a 的值等于( ) A.193 B. 163 C. 133D.1037、若曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=,则( ) A. 1,1a b == B. 1,1a b =-= C. 1,1a b ==- D. 1,1a b =-=-8、已知函数()f x 的定义域为()0,+∞,且满足()()0f x x f x '+⋅> (()'f x 是()f x 的导函数),则不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为( ) A. ()1,2-B. ()1,2C. ()1,+∞D. (),2-∞9、已知()()23'1f x x xf =+,则()'2f = ( )A.1B.2C.4D.8 10、定义在R 上的函数() f x 的导函数为()'f x ,若对任意实数 x 有()()'f x f x >,且()2017f x +为奇函数,则不等式()20170x f x e +<的解集是( )A. (),0-∞B. ()0,+∞C. 1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11、已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a =__________12、已知函数()sin f x a x =且()'2f π=,则a 的值为__________ 13、若()()3log 21f x x =-,则()'2f =________. 14、已知()()'1ln f f x x x x=+,则()1f '= .15、已知抛物线2y ax bx c =++过点()1,1?,且在点()2,1-处与直线3y x =-相切,求a ,b ,c 的值.答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：由题意得1n nx n =+ 则12n 12311x x ...x = (23411)n n n n n -⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯=++,故选B.2答案及解析： 答案：D 解析：设()00,M x lnx , 由y lnx =得1,y x'=所以切线斜率00|1x x k y x =='=, 所以切线方程为()0001.y lnx x x x -=- 由题意得()0001001lnx x x -=-=-,即01lnx =, 所以0x e =. 所以11k=x e0=故选D.3答案及解析： 答案：B解析：因为()=-cosx sinx ',所以①错误;32sin π=,而'02⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,所以②错误; 2321'()2x x x --⎛⎝⎭'=⎫= ⎪-,所以③错误; 1232'(12)x x --'⎛===- ⎝,故选B.4答案及解析： 答案：D 解析：∵'xy e =,∴切线的斜率2k e =,∴切线方程为22y e x e =-,它与两坐标轴的交点坐标分别为()()20,,1,0e -,∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为22e .5答案及解析： 答案： D解析： ∵,∴,∴.6答案及解析： 答案：D解析：先求出导函数,再代值算出a . ()2'36f x ax x =+,∴ ()'1364f a -=-=, ∴ 103a =故选D.7答案及解析： 答案：A解析：∵0'2|x y x a a ==+=,∵曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程10x y -+=的斜率为1,∴1a =,又切点在切线10x y -+=上,∴010b -+=∴1b =.故选A.8答案及解析： 答案：B解析：设()()g x xf x =,则()()()''g x f x x f x =+⋅, ∵()()0f x x f x '+⋅>()'0g x ∴>即()g x 在()0,+∞为增函数,则不等式()()()2111x f x f x --<+等价为()()()()()211111x x f x x f x -+-<++, 即()()()()221111x f x x f x --<++, 即()()211g x g x -<+, ∵()g x 在()0,+∞为增函数,22101011x x x x ⎧->⎪∴+>⎨⎪-<+⎩,即1,1112x x x x ><-⎧⎪>-⎨⎪-<<⎩,即12x <<,故不等式的解集为()1,2, 故选: B .根据条件构造函数()()g x xf x =,求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行转化求解即可.本题主要考查不等式的求解,根据条件构造函数,利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键9答案及解析： 答案：A解析：()()'23'1f x x f =+令1x =,得()()'123'1f f =+,()11f =-()'23f x x ∴=-. ()21f ∴'=故选A10答案及解析： 答案：B 解析：11答案及解析： 答案：8解析：∵()1'1f x x=+, ∴()'12f =,∴切线方程为()121y x -=-, 即21y x =-.由()221,{21,y x y ax a x =-=+++得220ax ax ++=。

选修2-2 1.2.2 第1课时 基本初等函数的导数公式及导数运算法则一、选择题1．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎪⎫－1，－73处切线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．60° [答案] B[解析] y ′|x ＝－1＝1，∴倾斜角为45°.2．设f (x )＝13x 2－1x x ，则f ′(1)等于( ) A ．－16B.56 C ．－76D.76[答案] B3．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝x 4＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.4．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( )A.193 B.163 C.103 D.133 [答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163. ∴选B.5．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.6．(2010·新课标全国卷文，4)曲线y ＝x 3－2x ＋1在点(1,0)处的切线方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－x －1C ．y ＝2x －2D ．y ＝－2x －2 [答案] A[解析] 本题考查了导数的几何意义，切线方程的求法，在解题时应首先验证点是否在曲线上，然后通过求导得出切线的斜率，题目定位于简单题．由题可知，点(1,0)在曲线y ＝x 3－2x ＋1上，求导可得y ′＝3x 2－2，所以在点(1,0)处的切线的斜率k ＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得过点(1,0)的曲线y ＝x 3－2x ＋1的切线方程为y ＝x －1，故选A.7．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( )A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C [解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.8．曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线与x 轴、直线x ＝π所围成的三角形的面积为 ( )A.π22B ．π2C ．2π2D.12(2＋π)2 [答案] A[解析] 曲线y ＝x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2处的切线方程为y ＝－x ，所围成的三角形的面积为π22. 9．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2011(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] D [解析] f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝(－cos x )′＝sin x ，∴4为最小正周期，∴f 2011(x )＝f 3(x )＝－cos x .故选D.10．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )－g (x )为常数C ．f (x )＝g (x )＝0D ．f (x )＋g (x )为常数 [答案] B[解析] 令F (x )＝f (x )－g (x )，则F ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )＝0，∴F (x )为常数．二、填空题11．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，则a ＝________，b ＝________. [答案] 0 －1[解析] f ′(x )＝2ax －b cos x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －b cos0＝12π3a －b cos π3＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－1a ＝0. 12．设f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，则不等式f ′(x )＜0的解集为________． [答案] (－1,3) [解析] f ′(x )＝3x 2－6x －9，由f ′(x )＜0得3x 2－6x －9＜0，∴x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3.13．曲线y ＝cos x 在点P ⎝⎛⎭⎪⎫π3，12处的切线的斜率为______． [答案] －32 [解析] ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴切线斜率k ＝y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32. 14．已知函数f (x )＝ax ＋b e x图象上在点P (－1,2)处的切线与直线y ＝－3x 平行，则函数f (x )的解析式是____________．[答案] f (x )＝－52x －12e x ＋1[解析] 由题意可知，f ′(x )|x ＝－1＝－3，∴a ＋b e －1＝－3，又f (－1)＝2，∴－a ＋b e －1＝2，解之得a ＝－52，b ＝－12e ， 故f (x )＝－52x －12e x ＋1. 三、解答题15．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x. [解析] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x2， ∴y ′＝3x 2－2x3；(3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4 ＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x ； (4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2. 16．已知两条曲线y ＝sin x 、y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析] 由于y ＝sin x 、y ＝cos x ，设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)， ∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．17．已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－(x －2)2.直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程．[解析] 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)． 对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21.① 对于C 2：y ′＝－2(x －2)，与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)， 即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.② ∵两切线重合，∴2x 1＝－2(x 2－2)且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0.∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.18．求满足下列条件的函数f (x )：(1)f (x )是三次函数，且f (0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0；(2)f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1.[解析] (1)设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c由f (0)＝3，可知d ＝3，由f ′(0)＝0可知c ＝0，由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0可建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3a ＋2b ＝－3f ′(2)＝12a ＋4b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 所以f (x )＝x 3－3x 2＋3.(2)由f ′(x )是一次函数可知f (x )是二次函数，则可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )和f ′(x )代入方程，得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1整理得(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c ＝1若想对任意x 方程都成立，则需 ⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。