第13讲长方体和正方体(一)

周期问题一、知识要点周期问题是指事物在运动变化的发展过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期。

在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期现象有关的问题。

这些数学问题只要我们发展某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键。

二、精讲精练【例题1】流水线上生产小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此涂下去，到2001个小球该涂什么颜色？【思路导航】根据题意可知，小木球涂色的次序是5红、4黄、3绿、2黑、1白，即5＋4＋3＋2＋1=15个球为一个周期，不断循环。

因为2001÷15=133……6，也就是经过133个周期还余6个，每个周期中第6个是黄的，所以第2001个球涂黄色。

练习1：1.跑道上的彩旗按“三面红、两面绿、一面黄”的规律插下去，第50面该插什么颜色？2.有一串珠子，按4个红的，3个白的，2个黑的顺序重复排列，第160个是什么颜色？3.1/7=0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？- 1 -【例题2】有47盏灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着。

最后一盏灯是什么颜色的？三种颜色的灯各占总数的几分之几？【思路导航】（1）我们把二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯这9盏灯看作一组，47÷9=5（组）……2（盏），余下的两盏是第6组的前两盏灯，是红灯，所以最后一盏灯是红灯；（2）由于47÷9=5（组）……2（盏），所以红灯共有2×5＋2=12（盏），占总数的12/47；蓝灯共有4×5=20（盏），占总数的20/47；黄灯共有3×5=15（盏），占总数的15/47。

练习2：1.有68面彩旗，按二面红的、一面绿的、三面黄的排列着，这些彩旗中，红旗占黄旗的几分之几？2.黑珠和白珠共2000颗，按规律排列着：○●○○○●○○○●○○……，第2000颗珠子是什么颜色的？其中，黑珠共有多少颗？3.在100米长的跑道两侧每隔2米站着一个同学。

正方体、长方体（一）姓名1、一个正方体木块的表面积是24平方厘米，将它锯成两个同样大小的长方体，求每个长方体木块的表面积？2、一个正方体表面积是12平方厘米，用4个这样的正方体拼成一个长方体，求长方体的表面积？3、用6个大小完全一样的正方体拼成一个大长方体，它的表面积比留个正方体的表面积减少了56平方厘米，每个小正方体的表面积？4、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积是多少？5、有一个正方体木块，把他分成两个长方体后，表面积增加了24平方厘米，这个正方体木块原来的表面积是多少？6、一根长2米的长方体木料沿横截面锯成3段之后，表面积增加了0.48平方米，原来这根木料的体积是多少立方米？7、把三个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是多少平方厘米？8、把一个长方体木块，长4分米，宽3分米，高6分米，现在把它锯成两个长方体，表面积最多增加多少平方分米？9、有三块完全一样的长方体积木，它们的长是8厘米，宽是4厘米，高2厘米，现在把三块积木搭成一个大的长方体，怎么样搭表面积最大？最大的表面积是多少平方厘米？10、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？11、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方厘米？12、一个正方体木块，表面积是96平方厘米。

把它锯成体积相等的8个小正方体小木块，每个小木块的表面积是多少平方厘米？13、把8个同样大小的小正方体拼成一个大正方体。

已知小正方体的表面积是150平方厘米，大正方体的表面积是多少平方厘米？14、一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？15、一个长方体的体积是385立方厘米，并且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积16、有一个棱长是1米的正方体木块，如果把它锯成体积相等的8个小正方体，那么表面积增加了多少平方米？17、一个长方体，若高截去2分米，则成为一个正方体，表面积比原来减少32平方分米，原来长方体的体积是多少立方分米？割圆术数学意义：“割圆术”，则是以“圆内接正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”。

第十三讲立体图形认知前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲有什么可抢的啊，不都一样吗！我的只有1面有草莓果酱！我的3面都有草莓果酱哦！我的2面有草莓果酱呢！为什么我的没有果酱呢？哈哈哈……你不是说都一样的嘛！我来给大家分草莓果酱蛋糕啦！这个大蛋糕的6个面都涂了草莓果酱。

现在切好啦，你们来拿吧！我要 这块！小高萱萱卡莉娅阿呆阿瓜卡莉娅阿呆墨莫阿呆阿呆小高萱萱我要 这块！【图中的蛋糕必须是正方体，切完之后也必须是小正方体．并且每块蛋糕的颜色都不要变化．把里面的人物换成相应红字标明的人物，把打“×”的去掉．】本讲我们介绍了一些平面图形，下面我们来学习立体图形．立体图形包括有长方体、正方体、球体、圆柱体等，我们一起来认识一下吧！例题1观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱？【提示】按顺序数一数．练习1观察下面的立体图形，它们分别有几个顶点？几个面？几条棱？立方体，又叫正方体，它由6个完全相同的正方形表面围成．一个正方体，不论怎么翻转，它与翻转前的样子看上去都是一样的．当然，如果正方体的表面涂了不同的颜色或是画了不同的花纹，那么翻转之后就会有所变化，能够判断出一个正方体翻转后的状态是非常重要的．一个正方体往一个方向翻滚几次之后会回到原来的状态呢？试试看！例题2图1 图2 图3 图4图1 图2 图3图4一个正方体木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母．其中A与D 相对，B与E相对，C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内．然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动，当木块滚到第17格时，木块朝上的面上写的是哪个字母？【提示】这个正方体木块沿着一个方向滚动几下能还原呢？练习2一个正方体木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母．其中A与D相对，B与E相对，C与F相对．现在将木块标有字母A的那个面朝上，标有字母D的那个面朝下放在第1个方格内，然后让木块按照箭头指向，沿着图中方格滚动．当木块滚回原地时，木块朝上的面上写的是哪个字母？正方体有6个面，任意一个面都有4个面与它相邻，有1个面与它相对．当把多个完全相同的正方体堆叠在一起，我们要注意正方体上的每个面的相邻面都有哪些．例题3在正方体的六个面上分别涂上“红”、“黄”、“白”、“黑”、“蓝”、“绿”六种颜色．现有涂色方式完全一样的四个正方体，如下图拼成一个长方体．问涂“红”、“黄”、“白”的三个面各与涂什么颜色的面相对？【提示】正方体的每个面都会有4个邻面和1个对面，要找到1个面的对面，先把它的邻面找全吧．练习3一个正方体的六个面上分别写着A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母．根据下列摆放的三种情况，哪两个字母是相对的？先把一个大正方体的6个面染色，再切成若干个小正方体，那么不同位置的小立方体染色面数不同．我们可以把这些小立方体进行分类：没有染色的、1面染色的、2面染色的、3面染色的等，然后再分别进行计数．例题4一个棱长为4厘米立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体．那么在这些小立方体中： （1） 只有3面涂上红色的有几块？ （2） 只有2面涂上红色的有几块？ （3） 只有1面涂上红色的有几块？ （4） 没有涂色的有几块？【提示】在角上的小正方体有几面涂红色？在棱上的小正方体有几面涂红色？在面上的小正方体有几面涂红色？没有涂色的小正方体在哪里？练习4一个棱长为5厘米立方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体．那么在这些小立方体中：（1）只有3面涂上红色的有几块？（2）只有2面涂上红色的有几块？（3）只有1面涂上红色的有几块？（4）没有涂色的有几块？例题5一个长、宽、高分别为6厘米、5厘米、4厘米的长方体，将其六个面都涂满红漆，然后把它锯成棱长为1厘米的小立方体．那么在这些小立方体中：（1）只有3面涂上红色的有几块？（2）只有2面涂上红色的有几块？（3）只有1面涂上红色的有几块？（4）没有涂色的有几块？【提示】每条棱、每个面上的小正方体的个数是不同的．例题6现有五个完全相同的正方体摆成一排，它们的6个面上分别标着数量是1、2、3、4、5、6的圆点。

第十三讲长方体和正方体的表面积和体积知识点睛：我们已经学过周长和面积，今天我们将学习两个新的概念：体积和表面积。

体积，顾名思义，体积就是身体本身所占空间的大小，以前学过的面积就是占地的大小。

而表面积和面积更是有密切联系。

所以今天学习的体积和表面积是在面积上的一个延伸，上升到了一个空间的概念。

体积基本公式：正方体体积=边长×边长×边长长方体体积=长×宽×高表面积基本公式：正方体表面积=边长×边长×6长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2从公式也不难看出，体积和表面积与以前学过的面积有着密切的关系例题精讲例题1：学校要挖一个长方形状沙坑，长4米，宽2米，深0.4米，需多少立方米的黄沙才能填满？练习：1、一个游泳池长28米，宽15米，深1．8米。

最多能蓄水多少立方米？2、一块正方体的石头，棱长是5分米，每立方米的石头大约重2.7千克，这块石头重有多少千克？例题2：两个相同的正方体木块，拼成一个长方体，棱长之和减少了24厘米，这两个正方体木块原棱长和是多少？练习：1、一个由两个正方体拼成的长方体，长方体的棱长和64厘米，求长方体的宽是多少厘米？2、一个长方体的底面是正方形，棱长和是120厘米，宽是5厘米，求它的高是多少厘米？3、用丝带捆扎一个长40厘米，宽15厘米，高20厘米的礼品盒（如下图），已知结头长15厘米，捆扎这个礼品盒至少需准备多长的丝带才合适？例题3：一张长方形铁皮，长25分米，宽20分米。

在这张长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是5分米的正方形，然后折成一个长方体铁盒，这个铁盒的体积是多少？练习：1、一块长方形的铁皮,长30厘米,宽25厘米,如果从四个角各切掉边长5厘米的正方形,然后做成盒子,这个盒子的容积有多少毫升?2、一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在它的四个角上分别剪去面积相等的四个小正方形后，正好可以制成一个高为5厘米的铁盒。

对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．cba H GF ED CB A①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．)②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体；长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．板块一 长方体与正方体的表面积【例 1】 右图中共有多少个面？多少条棱？左面【考点】长方体与正方体 【难度】1星 【题型】解答【解析】 如右图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形．前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面．所以共有1112218+++++=(个)面．前后方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱66618++=(条)．【答案】8个面，18条棱【巩固】右图中共有多少个面？多少条棱？例题精讲长方体与正方体（一）【考点】长方体与正方体【难度】1星【题型】解答【解析】9个面，21条棱．【答案】9个面，21条棱【例2】如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【答案】600【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【答案】15000【例3】如右图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了多少?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原来正方体的表面积为5⨯5⨯6=150．现在立体图形的表面积减少了前后两个面中的部分面，它们的面积为(3⨯2)⨯2=12，所以减少的面积就是12．【答案】12【例4】如图，有一个边长是5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5，3，2的长方体，那么它的表面积减少了百分之几?【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【关键词】奥林匹克，初赛，10题【解析】原来正方体的表面积为5 ×5×6=150，现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面，它们的面积为(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面积减少了百分之八．【答案】百分之八【例5】右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【答案】120【例6】如图，有一个边长为20厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为2454平方厘米，那么挖掉的小立方体的边长是多少厘米？【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答【解析】大立方体的表面积是20⨯20⨯6=2400平方厘米．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了3个面，但里面又多出3个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了2个面，但里面多出4个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了1个面，但里面多出5个面．所以，最后的情况是挖掉了三个小正方体，反而多出了6个面，可以计算出每个面的面积：(2454-2400)÷6=9平方厘米，说明小正方体的棱长是3厘米．【答案】3【例7】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯12⨯4=1(平方厘米)，1 4⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【答案】1 294【例8】从一个棱长为10厘米的正方形木块中挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【关键词】小学生数学报【解析】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【答案】按图1所示沿一条棱挖，为592平方厘米；按图2所示在某一面上挖，为632平方厘米；按图3所示在某面上斜着挖，为648平方厘米；按图4所示挖通两个对面，为672平方厘米．图1 图2 图3 图4【例9】一个正方体木块，棱长是15．从它的八个顶点处各截去棱长分别是1、2、3、4、5、6、7、8的小正方体．这个木块剩下部分的表面积最少是多少？【考点】长方体与正方体 【难度】4星 【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】 截去一个小正方体，表面积不变，只有在截去的小正方体的面相重合时，表面积才会减少，所以要使木块剩下部分的表面积尽可能小，应该在同一条棱的两端各截去棱长7与8的小正方体(如图所示)，这时剩下部分的表面积比原正方体的表面积减少最多．剩下部分的表面积最小是： 15⨯15⨯6-7⨯7⨯2=1252．想想为什么不是15⨯15⨯6-7⨯7-8⨯8 ？【答案】1252【例 10】 从一个长8厘米、宽7厘米、高6厘米的长方体中截下一个最大的正方体(如下图)，剩下部分的表面积之和是 平方厘米．68766【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【解析】 可以将这个图形看作一个八棱柱，表面积和为：87662616661787292⨯-⨯⨯+⨯+++++++=（）（）(平方厘米)．也可以这样想：由于截去后原来的长方体的表面少了3个66⨯的正方形，而新图形凹进去的部分恰好是3个66⨯的正方形，所以新图形的表面积与原图形的表面积相等，为()8786762292⨯+⨯+⨯⨯=(平方厘米)．【答案】292【巩固】一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形，现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>,容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米（如图），第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求.剩下的体积应是()33321151212961107⨯⨯-++=（平方厘米）.【答案】1107【例 11】 一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．【答案】18【巩固】如右图，一个正方体形状的木块，棱长l米，沿水平方向将它锯成3片，每片又锯成4长条，每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体60块．那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米?【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积．现在一共切了(3-1)+(4-1)+(5-1)=9刀，而原正方体一个面的面积1⨯l=1(平方米)，所以表面积增加了9⨯2⨯1=18(平方米)．原来正方体的表面积为6⨯1=6(平方米)，所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24(平方米)．【答案】24【巩固】一个表面积为2cm．56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空【关键词】走美杯，六年级，初赛【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2563168(cm)⨯=．【答案】168【例12】右图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它沿虚线切成8个正方体，这些小正方体中没有被涂上红色的所有表面的面积和是多少平方厘米？【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】解答【解析】 10⨯10⨯6=600(平方厘米)．【答案】600【例 13】 有n 个同样大小的正方体，将它们堆成一个长方体，这个长方体的底面就是原正方体的底面．如果这个长方体的表面积是3096平方厘米，当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后，新的长方体的表面积比原长方体的表面积减少144平方厘米，那么n 为多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 由于堆成的长方体的底面就是原来正方体的底面，说明这个长方体是由这些正方体一字排开组成的，从这个长方体的顶部拿去一个正方体，减少的面积相当于侧面的四个正方形的面积，所以正方体每个面的面积是144436÷=(平方厘米)．所堆成的长方体的表面积，包含底面的2个正方形和侧面的4n 个正方形，所以(3096362)14421n =-⨯÷=．【答案】21【例 14】 边长分别是3、5、8的三个正方体拼在一起，在各种拼法中，表面积最小多少？【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 三个正方体两两拼接时，最多重合3个正方形面，其中边长为3的正方体与其它两个正方体重合的面积不超过边长为3的正方形，边长为5和边长为8的正方体的重合面面积不超过边长为5的正方形，三个正方形表面积和为6⨯3⨯3+6⨯5⨯5+6⨯8⨯8-2⨯2⨯3⨯3-2⨯5⨯5=502.【答案】502【例 15】 如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】解答【解析】 当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【答案】54【例 16】 由六个棱长为1的小正方体拼成如图所示立体，它的表面积是 ．【考点】长方体与正方体 【难度】3星 【题型】填空【关键词】走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】 三视图法：表面积为：()454226++⨯=【答案】26【例 17】 将15个棱长为1的正方体堆放在桌子上，喷上红色后再将它们分开。

人教版小学数学五年级下册第三单元《长方体和正方体》教材分析1.通过观察、操作，学生能够认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图。

2.学生能够理解体积（包括容积）的含义，并能够使用常用的度量单位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升）建立1立方米、1立方分米、1立方厘米以及1升、1毫升的表象，并能够进行简单的换算。

3.学生能够掌握长方体、正方体的体积和表面积的计算方法，并能够解决一些简单的实际问题。

4.学生能够探索某些实物体积的测量方法。

长方体和正方体的认识本小节介绍了长方体和正方体的特征和形状，学生需要理解长方体各部分的名称，面、棱、顶点，并能够形成长方体和正方体的概念。

长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，而正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形，所有的棱长度相等。

长方体和正方体的体积和表面积计算本小节介绍了长方体和正方体的体积和表面积的计算方法，学生需要掌握体积计算公式的推导和体积单位间的进率及名数的换算。

同时，学生需要理解表面积的含义，并能够计算出长方体和正方体的表面积。

容积和容积单位本小节介绍了容积和容积单位的概念，学生需要理解容积的含义，并能够使用常用的容积单位（升、毫升）进行换算。

不规则物体的体积本小节介绍了如何测量不规则物体的体积，学生需要探索并掌握测量不规则物体体积的方法。

总体来说，本单元的教学目标是让学生通过观察、操作，认识长方体和正方体的特征以及它们的展开图，理解体积（包括容积）的含义，掌握长方体、正方体的体积和表面积的计算方法，并能够解决一些简单的实际问题。

同时，学生需要探索某些实物体积的测量方法。

同。

第二个价值是通过操作让学生深入理解长、宽、高的概念。

建议在活动中引导学生思考：为什么要把12条棱分成三组？为什么这三组棱分别叫长、宽、高？通过思考和操作，学生会逐渐理解长、宽、高的概念和它们之间的关系。

练五是应用题，要求学生根据长方体的特征计算面积、体积等。

应用题专项复习（长方体、正方体）1、 一个长方体沙坑，长4米，宽2米，深0.5米，如果每立方米黄沙重1.4吨，这黄沙重多 少吨？2、 一个长方体铁皮水箱，长18分米，宽10分米，已知这个水箱最多可装水 1620升，这个 水箱有多深？3、 一个盛药水的长方体塑料箱，里面长是 0.6米，宽0.25米，深0.5米，如果把这一整箱 药水装入每瓶可装400毫升的小瓶中，这箱药水最少装多少瓶？4、一个正方体钢坯棱长6分米，把它锻造成横截面是边长 钢材长多少米？5、 一个长方体油桶，底面积是18平方分米，它可装43.2油桶的高是多少分米？6、 在一只长25厘米，宽20厘米的玻璃缸中，有一块棱长15厘米，如果把这块铁块从缸中取出来，缸中的水深多少厘米？7、 一个长方体油箱，底面是一个正方形，从里面量边长是 6分米。

里面已盛油144升，已知里面油的深度是油箱深度的一半，这个油箱深多少分米？8、 一个房间内共铺设了 1200块长40厘米，宽20厘米，厚2厘米的木地板，这个房间共占 地多少平方米？铺这个房间共要木材多少立方米？9、 一段长方体钢材，长1.6米，横截面是边长4厘米的正方形。

每立方厘米刚重 7.8克， 这块方钢重多少？10、 用铁皮做一个无盖的长方体油桶，长和宽都是4分米，高6分米，用铁皮多少平方分米？桶内放汽油，每升油重0.82千克，这个油桶可装汽油多少千克？11、 一块棱长是0.6米的正方体的钢坯，锻成横截面是 0.09平方米的长方体钢材，锻成的 钢材有多长？（用方程解答）12、 一个长方体玻璃缸，从里面量长 40厘米，宽25厘米，缸内水深12厘米。

把一块石头 浸入水中后，水面升到16厘米，求石块的体积。

2、 把一个体积为80立方厘米的铁块浸在底面积为 20平方厘米的长方体容器中，水面高度为 10厘米，如果把铁块捞出后，水面高多少？3、 要制作12节长方体的铁皮烟囱，每节长 2米，宽4分米，高3分米，至少要用多少平 方米的铁皮？4、 小敏房间的地面是长方形。

五年级奥数讲义第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

长方体正方体教案（推荐15篇）长方体正方体教案第1篇教学目标：1、通过观察、分类、操作、讨论等活动，进一步认识长方体、正方体，了解长方体、正方体各部分名称。

2、经历观察、操作和归纳过程，发现长方体和正方体的特点，能运用长方体和正方体的特点解决一些简单问题。

3、通过具体的操作活动，发展空间观念。

教学过程：一、铺旧迎新同学们，我们在一年级已经初步认识了长方体，谁来说一说你心中的长方体是什么样子的。

是不是任意的6个长方形就能围成一个长方体呢？这节课我们就一起走进长方体的世界进一步认识和了解它。

(板书课题)齐读一遍二、合作交流,自主探究活动一：长方体和正方体各部分名称1、寻找生活中的长方体请同学们打开课本13页，观察后找出在主题图中哪些物体的形状是长方体或正方体(楼房的形状是长方体，地砖的形状是长方体，魔方的形状是正方体）在生活中许多物体的形状是长方体，如：药盒、烟盒、冰箱、微波炉2、明确长方体和正方体各部分名称面：长方体中每一个长方形叫做长方体的面（分别指出六个面）棱：两个面相交的线叫做棱（分别指出12条棱）顶点：三条棱相交的点叫做顶点（分别指出8个顶点）长方体是由面、棱、顶点三部分组成的，你能依照长方体的面、棱、顶点找出正方体的顶点、棱、面吗？活动二：长方体和正方体的特点师：下面请大家以小组为单位，结合手中长方体、正方体的实物从面、棱、顶点三个角度来研究长方体、正方体各有哪些特征？1、学生研究，教师指导研究。

完成14页长方体的特点表格中的各项内容。

2、学生交流展示师：谁愿意来汇报一下你们组发现了长方体的哪些特征？面： 6个每个面都是长方形（也可能有两个相对的面是正方形）相对的面面积相等（把药盒的相对面剪下来，重合在一起进行比较。

通过测量出长和宽然后计算的。

）棱： 12条可分为3组相对的四条棱长度相等（测量）顶点：8个3、对比正方体与长方体的异同点，完成14页表格中正方体特点部分。

活动三：辨认长方体的长、宽、高及正方体的棱长1、师：观察老师手中的长方体的框架，去掉长方体的一条棱，你还能想像出长方体的形状吗？预设：生：能！师：再去一条棱呢？生：也能！师：如果让你再去掉一些棱，至少要剩下哪几条棱才能保证我们可以想像出原长方体的形状和大小？生：留下连接在同一顶点的三条棱。

长方体与正方体的表面积与体积内容大纲1.知识梳理2.经典精讲3.综合练习4.拓展提高5.巩固练习知识梳理1、长方体和正方体的认识（1）、长方体的特征：有6个面，都是长方形，（有时相对的两个面是正方形），相对的面形状相同，面积（大小）相等；有12条棱，相对的棱长度相等；8个顶点。

（2）、正方体的特征：有6个面，都是正方形，6个面的面积相等；12条棱的长度相等；8个顶点。

说明：正方体是特殊的长方体（3）、长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4 正方体的棱长总和= 棱长×122、长方体和正方体的表面积（1）、长方体的表面积计算公式：S=2(ab+ah+bh)，其中S为长方体的表面积，a为长，b 为宽，h为高。

（2）正方体的表面积计算公式：S=6×a×a=6a2，其中S为正方体的表面积，a为棱长。

3、长方体和正方体的体积或容积（1）体积：物体所占空间的大小，是物体的体积。

容积：容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。

（2）长方体体积的计算公式：长方体体积=长×宽×高=底面积×高；用字母表示是：V=abh（3）正方体体积的计算公式：正方体体积=棱长×棱长×棱长；用字母表示是：V=3 a注意：长方体与正方体表面积与体积的变化关系把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。

长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。

但要从容器里面量长、宽、高。

所以，对于同一个物体，体积大于容积。

注意：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大几倍，体积就会扩大倍数的立方倍。

如长、宽、高各扩大2倍，体积就会扩大到原来的8倍。

4、体积与容积单位换算常见的体积单位有：3cm ；3dm ；3m 等。

常见的容积单位有：L 、mL 等体积单位的换算有：3311000m dm =；3311000dm cm =；相邻体积单位间的进率是1000.容积单位的换算有：11000L mL =体积与容积间的单位换算：311000m L =；311dm L =；311000dm mL =；311cm mL =转换依据：（1）高级单位化为低级单位：乘以进率； （2）低级单位化为高级单位：除以进率。

长方体和正方体的认识教学目标1.了解长方体和正方体的定义；2.准确识别长方体和正方体的形状；3.掌握计算长方体和正方体的表面积和体积公式；4.能够进行实际问题的应用练习。

教学内容1.长方体的定义和识别；2.长方体的表面积和体积计算；3.正方体的定义和识别；4.正方体的表面积和体积计算；5.长方体和正方体的区别和联系；6.实际问题的应用。

教学重点1.长方体和正方体的定义和识别；2.长方体和正方体表面积和体积的计算公式；3.长方体和正方体的区别和联系。

教学难点1.长方体和正方体的表面积和体积计算公式的掌握；2.长方体和正方体的实际问题应用。

教学方法1.讲授法；2.实践演练法；3.分组讨论法。

教学过程时间教学步骤教学内容10分导入：出示长方体和正方体让学生自由观察两种图形，了解它们的特点钟的图片10分钟第一步：讲解长方体的定义通过幻灯片展示，引导学生理解长方体10分钟第二步：讲解长方体的识别通过幻灯片展示，让学生能够准确识别长方体15分钟第三步：讲解长方体的表面积和体积计算通过幻灯片展示，讲解长方体表面积和体积的计算公式，并进行实例演示10分钟第四步：讲解正方体的定义通过幻灯片展示，引导学生理解正方体10分钟第五步：讲解正方体的识别通过幻灯片展示，让学生能够准确识别正方体15分钟第六步：讲解正方体的表面积和体积计算通过幻灯片展示，讲解正方体表面积和体积的计算公式，并进行实例演示10分钟第七步：讨论长方体和正方体的区别和联系将学生分组讨论，让学生发现长方体和正方体的异同15分钟第八步：实际问题的应用将学生自由组织，进行实际问题的应用练习教学评估1.黑板书写；2.分组讨论；3.实际问题的应用练习。

教学反思1.对比两种相似的图形，让学生更容易理解它们的特点；2.借助幻灯片，使学生更直观地认识长方体和正方体；3.结合实际问题，让学生消化和运用所学知识。

第13讲：立体几何压轴小题方法总结1.如图，已知正三棱柱的底面边长为2cm，高为5cm，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________cm.2.如图，有一圆柱形无盖水杯，其轴截面ABCD是边长为2的正方形，P是BC的中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一粒米，则这只蚂蚁取得米粒所经过的最短路程是（）A.√5B.π+1C.√π2+1D.√π2+93.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√2，BC=AA1=1，点M为AB1的中点，点P为对角线AC1上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P、Q可以重合），则MP+PQ的最小值为( )A.√22B.√32C.34D.14.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界）.若B1P//平面A1BM，则C1P的最小值是（）A.√305B.2√305C.2√75D.4√755.点P在正方体ABCD−A1B1C1D1的侧面BCC1B1及其边界上运动，并保持AP⊥BD1，若正方体边长为2，则|PB|的取值范围是________6.如图，正方体ABCD−A′B′C′D′的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A.若点M，N分别是线段A′A，A′D′的中点，则MN//BC′B.点C到平面ABC′D′的距离为√2C.直线BC与平面ABC′D′所成的角等于π4D.三棱柱AA′D′−BB′C′的外接球的表面积为3π7.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60∘，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是（）A.在棱AD上存在点M，使AD⊥平面PMBB.异面直线AD与PB所成的角为90∘C.二面角P−BC−A的大小为45∘D.BD⊥平面PAC8.在三棱锥D−ABC中，已知AB=BC=2，AC=2√3，DB=4，平面BCD⊥平面ABC，且DB⊥AB，则（）A.DB⊥ACB.平面DAB⊥平面ABCC.三棱锥D−ABC的体积为4√3D.三棱锥D−ABC的外接球的表面积为16π39.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，D1C1的中点，则过B，E，F 三点的平面截该正方体，所得截面的周长为（）A.5√2B.6√2C.√2+2√13D.√2+4√1310.正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，M，N，P分别是棱A1D1，A1A，D1C1的中点，则过M，N，P三点的平面截正方体所得截面的面积为（）A.2√3B.4√3C.6√3D.12√311.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠AB=60∘，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折到△AB1M的位置，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，在翻折过程中，则下列结论中正确的是( )A.始终有AM⊥B1CB.线段CN的长为定值C.直线AB1和CN所成的角始终为π6D.当三棱锥B1−AMD的体积最大时，三棱锥B1−AMD的外接球的表面积是8π12.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是( )A.点C1，D1到平面PMN的距离相等B.PN与QM为异面直线C.∠PNM=90∘D.平面PMN截该正方体的截面为正六边形13.已知正方体ABCD−EFGH棱长为2，M棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（）A.存在点P，使得|AP|+|PM|=4B.存在唯一点P，使得AP⊥PMC.当AM ⊥BP ，此时点P 的轨迹长度为√2D.当P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P −ABM 的外接球体积为9π214.如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是A 1D 上的一个动点，下列结论中正确的是（ ）A.BP 的最小值为√62B.PA +PC 的最小值为√2−√2C.当P 在直线A 1D 上运动时，三棱锥A −B 1PC 的体积不变D.以点B 为球心，√22为半径的球面与面AB 1C 的交线长为√63π15.如图，在梭长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱B 1C 1，BB 1的中点，G 为面对角线A 1D 上的一个动点，则（ ）A.三棱锥B 1−EFG 的体积为定值B.线段A 1D 上存在点G ，使A 1C ⊥平面EFGC.线段A1D上存在点G，使平面EFG//平面ACD1D.设直线FG与平面ADD1A1所成角为θ，则sinθ的最大值为2√2316.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，对于下列结论：（1）AC⊥BD；（2）△ADC是正三角形；（3）AB与CD成60∘角；（4）AB与平面BCD成60∘角.则其中正确结论的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个课堂总结作业1.正三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均为2，MAA1中点，N为BC的中点，则在棱柱的表面上从点M到点N的最短距离是（）A.√10B.√11C.√4+√3D.√4+√22.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则（）A.A1D⊥AFB.三棱锥A−BCF外接球的表面积为9πC.点C到平面AEF的距离为23D.平面AEF截正方体所得的截面面积为923.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=4，BC=2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则下列说法正确的是（）A.A、M、N、B四点共面B.平面ADM⊥平面CDD1C1C.直线BN与B1M所成角的为60∘D.BN//平面ADM。

五年级奥数举一反三-第13讲--长方体和正方体(一)work Information Technology Company.2020YEAR第13讲长方体和正方体（一）一、知识要点在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。

解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：1.必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；2.依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；3.求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。

二、精讲精练【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米（单位：厘米）【思路导航】（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。

因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。

想一想：你还能用别的方法来计算它的体积吗？练习1：1.一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？2.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

3.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗（单位：厘米）【思路导航】（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。

长方体和正方体一【例题1】一个零件形状大小如下图：算一算，它的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？（单位：厘米）练习1：1.把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。

2.有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？【例题2】有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？（单位：厘米）【例题3】一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。

原正方体的表面积是多少平方厘米？练习3：1.把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。

如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？1 / 6 - 1 -2.一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？3.把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？【例题4】把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。

已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。

练习4：1.一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？2.一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。

3.有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？用图画出来。

【例题5】一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。

这个长方体的体积和表面积各是多少？练习5：1.有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？2.一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。

第13讲长方体的再认识（核心考点讲与练）一．长方体的元素1.长方体的元素长方体有六个面，八个顶点，十二条棱．2.长方体的元素特征（1）长方体的每个面都是长方形．（2）长方体的十二条棱可以分为三组，每组中的四条棱的长度相等．（3）长方体的六个面可以分为三组，每组中的两个面的形状和大小相同．3.正方体是特殊的长方体二．长方体直观图的画法1.长方体的直观图画法：斜二侧画法水平放置的长方体直观图通常画法的基本步骤：第一步：画平行四边形ABCD，使AB等于长方体的长，AD等于长方体宽的二分之一，45∠=︒．（如图1所示）DAB第二步：过AB分别画AB的垂线AE、BF，过C、D分别画CD的垂线CG、DH，使它们的长度都等于长方体的高．（如图2所示）第三步：顺次联结E、F、G、H．（如图3所示）第四步：将被遮住的线段改用虚线（隐藏线）表示．（如图4所示）图4表示的长方体通常表示为ABCD-EFGH．它的六个面通常表示为：平面ABCD、平面ABFE、平面BCGF等．它的十二条棱通常分别表示为：棱AB、棱AE、棱EF等．三．长方体中棱与棱位置关系的认识1.长方体中棱与棱的位置关系如图所示的长方体ABCD-EFGH中：棱EH与棱EF所在的直线在同一平面内，它们有唯一的公共点，我们称这两条棱相交．棱EF与棱AB所在的直线在同一平面内，但它们没有公共点，我们称这两条棱平行．棱EH与棱AB所在的直线既不平行，也不相交，我们称这两条棱异面．空间两条直线有三种位置关系：相交、平行、异面．四．长方体中棱与平面位置关系的认识1.长方体中棱与平面的位置关系如图1，直线PQ垂直于平面ABCD，记作：直线PQ⊥平面ABCD，读作：直线PQ垂直于平面ABCD．如图2，直线PQ平行于平面ABCD，记作：直线PQ // 平面ABCD，读作：直线PQ平行于平面ABCD．如图4所示的长方体ABCD-EFGH中：棱EF与面BCGF，棱FG与面ABFE，棱BF与面ABCD都给我们以直线与平面垂直的形象．棱EF与面ABCD，棱BF与面ADHE，都给我们以直线与平面平行的形象．2.检验直线与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、“三角尺法”、“合页型折纸”法．3.检验直线与平面是否平行的方法“铅垂线”法、“长方形纸片”法．五．长方体中平面与平面位置关系的认识1.长方体中平面与平面的位置关系如下左图，平面α垂直于平面β，记作平面α⊥平面β，读作平面α垂直于平面β．如上右图，平面α平行于平面β，记作平面α//平面β，读作平面α平行于平面β．如图所示的长方体ABCD -EFGH 中：面EFGH ，面ABFE 与面BCGF 三个面中，任意两个都给我们以平面与平面垂直的形象．面ABCD 与面EFGH ，面BCGF 与面ADHE ，面ABFE 与面DCGH ，都给我们以平面与平面平行的形象．2.检验平面与平面是否垂直的方法“铅垂线”法、 “合页型折纸”法、“三角尺”法．3.检验平面与平面是否平行的方法“长方形纸片”法．例题1 （杨浦）在一个正方体中，异面的棱的对数为（ ）（A ）4对； （B ）12对； （C ）24对； （D ）48对．【变式1】（松江2018期末17）如图，在长方体EFGH ABCD -中，与棱BF 异面的棱有（ ）(A)1条； (B)2条； (C)3条； (D)4条.【变式2】（宝山2018期末14）如图，在长方体ABCD -EFGH 中，与棱AB 异面的棱是 .HG F E DCB A HG F E DC B A【变式3】（青浦2017期末17）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，与棱EF 、棱FG 都异面的棱是 ．例题2 （金山2018期末4）下列哪种方法不能检验直线与平面是否垂直（ ）．（A ）铅垂线； （B ）三角尺； （C ）长方形纸片； （D ）合页型折纸例题3（杨浦）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，可以把平面ABFE 与平面BCGF 组成的图形看作直立于面ABCD 上的合页形折纸，从而说明棱 垂直于平面ABCD ．【变式1】（黄浦2018期末15）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，可以把平面ABFE 与平面EFGH组成的图形看作直立于面BCGF 上的合页形折纸，从而说明棱 垂直于平面BCGF ．【变式2】（松江2017期末10）如图在长方体ABCD-EFGH 中，与棱EF 垂直的面是 .【变式3】（金山2018期末16）如图，在长方体EFGH ABCD 中，与平面ABCD 垂直的平面有 个.HG F EDC BA HG F EDC B A HG F EDC B A例题4 （普陀）将两个边长为 2cm 的正方体拼成一个长方体，表面积减少了________2cm .【变式1】（普陀2017期末6）一个长方体所有棱长的和为36cm ，如果长比高多1cm ，宽比高少1cm ，那么这个长方体的高是（ ）．（A ）1cm ；（B ）2cm ； （C ）3cm ； （D ）4cm ．例题5 （普陀）如图1所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面A 垂直的面用图中字母表示出来是 .【变式1】（黄浦2017期末18）下面四个图分别由六个相同的正方形拼接而成，其中不能折成正方体的是（ ）．例题6 （杨浦）如图，在长方体ABCD －EFGH 中，与AE 平行的棱是 ．【变式1】（宝山2018期末20） 关于长方体中，下列说法不正确的是（ ）A 、棱与棱不是相交就是平行；B 、任何一条棱，都有两个面与它平行；C 、任何一个面都与四条棱平行；；D 、任何一条棱都垂直于两个面.【变式2】（金山2018期末6）在长方体中，下列说法错误的是 （ ）A.与一条棱平行的平面有2个；HG F EDC BAB.与一条棱垂直的平面有2个；C.如果两条棱都与同一个平面平行，那么这两条棱平行；D.如果两条棱都与同一个平面垂直，那么这两条棱平行.【变式3】（虹口2017期末13）如图，在长方体ABCD-EFGH 中，与面ABFE 平行的平面是________________．【变式4】（奉贤2018期末18）如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与平面ADD 1A 1平行的棱有条．【变式5】（崇明2017期末13）如图，在长方体ABCD EFGH -中，既与棱EF 平行，又与棱BC 垂直的平面是 ．例题7 （普陀2018期末16）如果长方体的顶点数记作V ，棱数记作E ，面数记作F ，那么V E F -+的值等于 .【变式1】（浦东2018期末17）如果一根24米的铁丝剪开后刚好能搭成一个长方体框架模型，这个长方体的长、宽、高的长度均为整数米，且互不相等，那么这个长方体的体积是 立方米．【变式2】（松江2018期末13）某长方体中，一个公共顶点的三条棱长度之比为5:8:10，长方体中最小的一个面的面积是1202cm ，则最大的一个面的面积是 2cm .【变式3】（松江2017期末14）有12个棱长为1cm 的完全相同的小正方体，用它们拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是 平方厘米．例题8 （虹口2017期末25）（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1的直观图，并标出顶点的字母；（2）联结AC 、A 1 C 1，在长方体ABCD -A 1 B 1 C 1 D 1中，与平面A A 1 C 1 C 平行的棱为HG F EDC B A A 1D 1B 1C 1DC B A HG F EDC B A__________．【变式1】（金山2018期末20）补画长方体．【变式2】（宝山2018期末27）（1）如下图，在已知图形基础上，补画长方体的直观图（不写画法步骤）；（2）在这个长方体中，从同一顶点出发的三个面的面积之比是5:7:2，其中最大的比最小的面积大60cm 2，求这个长方体的表面积.【变式3】（浦东四署2019期末24）用斜二侧画法画长方体直观图：（1）补全长方体1111ABCD A B C D ；（2）量得11B C 的长度是 cm ，所表示的实际长度是 cm ； （3）与棱AB 平行的平面是 .A 1B 1C 1DC BA【变式4】（1）补全右面的图形，使之成为长方体ABCD -EFGH 的直观图，并标出顶点的字母；（2）图中与棱AB 平行的棱有 ；（3）检验棱AB 与面CDHG 平行的方法有【变式5】（青浦2017期末27）如图，是一个长方体的一部分，虚线表示被遮住的线段，按要求完成下列问题．（1）补画出这个长方体．【画图时，请使用2B 铅笔，不写画法】（2）在补画出的长方体中，若长是宽的2倍，高比宽多4厘米，用96厘米长的铁丝制作这个长方体框架．问：这个长方体框架的长、宽、高应分别是多少？（3）如果给出一个与（2）中所作的长方体形状、大小相同的木块，并在这个木块上切下一个棱长是1厘米的正方体，求剩余木块的表面积（要求：切下的正方体木块中至少有一个面是原来长方体木块表面的一部分）．C 1B 1A 1C A GCBA一．选择题（共4小题）1．（2021春•普陀区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，下列棱中与棱BC异面的是（）A．棱AB B．棱CG C．棱EF D．棱EH2．（2021春•奉贤区期末）下列说法中，（1）联结两点的线段叫做两点之间的距离；（2）用度量法和叠合法都可以比较两个角的大小；（3）铅垂线、三角尺、合页型折纸都可以检验直线和平面垂直；（4）六个面、十二条棱和八个顶点组成的图形都是长方体；你认为正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2020春•普陀区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面ADHE平行的面是（）A．面ABFE B．面ABCD C．面EFGH D．面BCGF4．（2017春•浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD所在的直线既不相交也不平行的棱共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条二．填空题（共12小题）5．（2021春•嘉定区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AB、棱CG都是异面的棱是．6．（2016春•松江区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，棱EH与棱AB的位置关系是．7．（2021春•普陀区期末）如图，有两个形状大小完全相同的长方体木块，其长、宽、高分别是4厘米、3厘米、2厘米，现将这两个木块拼成一个新的长方体，如果新的长方体中有两个面恰好是正方形，那么新的长方体的棱长的和是厘米．8．（2021春•奉贤区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AD异面的棱有条．9．（2021春•嘉定区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，既与棱AB平行，又与棱CG垂直的平面是．10．（2021春•杨浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与面ADHE与面ABFE都垂直的面是．11．（2018春•浦东新区期末）在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AB和棱AD都异面的棱是．12．（2021春•杨浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与对角线BH异面的棱有．13．（2018春•浦东新区期末）如果一根24米的铁丝剪开后刚好能搭成一个长方体框架模型，这个长方体的长、宽、高的长度均为整数米，且互不相等，那么这个长方体的体积是立方米．14．（2018春•黄浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与棱AB平行的面是．15．（2019春•崇明区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，可以把平面ABFE与平面BCGF组成的图形看作直立于面ABCD上的合页形折纸，从而说明棱垂直于平面ABCD．16．（2015春•浦东新区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与AE平行的棱是．三．解答题（共7小题）17．（2021春•嘉定区期末）补画图形，使之成为长方体的直观图（虚线表示被遮住的线段；只要在已有图形基础上画出长方体，不必写画法步骤，写出结论）．18．（2021春•浦东新区期末）（1）补全下面图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图；（2）写出既与棱AB异面又与棱DD1平行的棱：；（3）长方体ABCD﹣A1B1C1D1的长、宽、高的比是3：2：1，它的所有棱长和是24厘米，那么这个长方体的体积是立方厘米．19．（2021春•奉贤区期末）用斜二测画法画长方体直观图：（1）补全长方体ABCD﹣A1B1C1D1；（2）量得B1C1的长度是cm，所表示的实际长度是cm．（3）与平面A1ABB1，平行的平面是．20．（2021春•浦东新区期末）（1）补全如图的图形，使之成为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的直观图；（2）与棱AB平行的平面是．（3）若这个长方体框架的长、宽、高分别是4分米、3分米和5分米，则需要多少分米的铁丝才能搭成这样的框架？（接缝处忽略不计）21．（2021春•松江区期末）如图．（1）用斜二测画法补全长方体ABCD﹣EFGH的直观图；（被遮住的棱用虚线表示，不必写画法）（2）长方体中与棱FG平行的平面有；（3）联结HF、DB，与平面HFBD垂直的面有．22．（2016春•松江区期末）小李准备用纸板作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：（1）制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小李画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）；（2）制作时，需要裁剪一块有一边长为12的长方形硬纸板，小李经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2）请你求出长方体的长a、宽b、高c．23．（2013春•普陀区期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．（1）现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求两种纸盒生产个数．（2）工厂共有78名工人，每个工人一天能生产70张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？（3）如果有长方形纸板340张，正方形纸板162张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论．。

第13讲从整体看问题（一）例题1、两只同样的墨水瓶，一只墨水瓶中装了100毫升红墨水，另一个墨水瓶中装了20毫升蓝墨水。

用一根吸管，先从红墨水瓶中吸出1毫升墨水，滴入蓝墨水瓶中后摇匀，再从蓝墨水瓶吸出1毫升墨水，滴入红墨水中。

问红墨水瓶中的蓝墨水和蓝墨水瓶中的红黑水哪个多？（答案：一样）2、甲、乙两队学生从相距19千米的两地出发，相向而行，有个学生骑自行车以每10分钟2.5千米在两队学生之间往返联络（停息时间不计）。

骑自行车的学生与甲、乙两队学生同时出发，如果甲队学生每小时行4.8千米，乙队学生每小时行4.7千米，当两队相遇时，骑自行车的学生共行了多少千米？（答案：30）3、有三堆棋子，每堆分别有1998，998、98粒。

现在对这三堆棋子进行如下的“操作”：每次允许由每堆中拿掉一个或相同个数的棋子；或由任意一堆中取出一半棋子（如果这堆棋子数是偶数）放入另一堆中。

如果按上述方式进行“操作”，能否把三堆棋子都取光？如果行，请设计一种取棋子的方案；如果不行，请说明理由。

（答案：不行）4、如图，一个周长为10厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一条直径上。

求小圆的周长之和。

（答案：10）★5、如图，第一行有6个数，第一列有5个数，其他位置上的每个数都是它所在行的第一列上的数与所在列的第一行上数的积，比如表中“*”位上的数是12⨯11=132，“△”位上的数是14⨯3=42，求图中4096）（二）课堂练习1、有两只桶和一只空杯子。

甲桶装的是牛奶，乙桶装的是酒精（未满），现在从甲桶取一满杯牛奶倒入乙桶，然后从乙桶取一满杯混合液倒入甲桶，这时，是甲桶中的酒精多，还是乙桶中的牛奶多，为什么？（答案：一样）2、王明回家，距离家门300米，妹妹和小狗一起向他奔来，王明和妹妹的速度都是每分钟50米，小狗的速度是每分钟200米，小狗遇到王明后用同样的速度不停往返于王明与妹妹之间。

当王明与妹妹相距10米时，小狗一共跑了多少米？（答案：580）3、有一个在草坪上散步，从A 点出发，面向正东向前直行走3米，向左转120，然后再向前直行走3米，向左转120 ······这个人这样走过1992米后，离出发点A 的距离是多少米？（答案：3）4、如图，求图中所有长方形的面积总和（单位：厘米）（答案：3245）2★5、这是一个挖地雷的游戏，如图在64个方格中一共有10个地雷，每个方格中至多有一个地雷。

长方体和正方体的体积(一)教材第16、第17页的内容。

1.使学生理解并掌握长方体和正方体的体积计算公式。

会正确地计算长方体和正方体的体积。

2.使学生通过拼摆,能够找出规律,总结出长方体和正方体的体积公式。

3.使学生初步学会运用长方体和正方体的体积公式解决有关的简单实际问题。

4.提高学生的空间想象能力。

1.理解长方体和正方体体积公式的推导过程。

2.运用公式计算长方体和正方体的体积。

若干个1立方厘米的小正方体木块。

课件出示下面两个图形,请学生说出哪个体积大,大多少。

通过观察学生能说出左边的长方体体积大,但比右边正方体体积大多少,学生不确定。

提问:要想知道长方体的体积比正方体的体积大多少,必须知道什么条件?(必须知道长方体和正方体的体积分别是多少)怎样计算长方体和正方体的体积呢?这节课我们共同来探究这个问题。

板书:长方体和正方体的体积(一)1.观察操作,探索长方体的体积公式。

让学生以小组为单位,用若干个1立方厘米的正方体摆出4个不同的长方体,并填写下表。

长/cm宽/cm高/cm小正方体的个数体积/cm3长方体①长方体②长方体③长方体④(1)分组实验操作,并记录。

(2)做完后,请各组汇报。

甲组:我们小组用12个1立方厘米的小正方体摆了一个长方体,每排摆了4个,也就是长4cm,摆了3排,宽就是3cm,高是1cm,这个长方体的体积是12cm3。

乙组:我们组用4个1立方厘米的小正方体摆了一个长方体,它的长是4cm,宽是1cm,高也是1cm,这个长方体的体积是4cm3。

丙组:我们组摆的长方体的长是8cm,宽是3cm,高是1cm,共用了24个1立方厘米的小正方体,体积是24cm3。

……随着同学们的叙述,教师板书:长/cm宽/cm高/cm小正方体的个数体积/cm3431121241144831242422288321664322424…………………………(3)观察,思考,讨论。

①你是怎样得出长方体的长、宽、高的?学生边操作边说明:用4个1立方厘米的正方体摆一排,每个正方体的棱长是1厘米,每排摆4个,那么长就是4厘米,照这样摆两排,每个正方体的棱长是1厘米,宽就是2厘米,像这样摆3层,每个正方体的棱长是1厘米,高就是3厘米。