八下 4.5因式分解 公式法2

初中数学因式分解的几种经典方法息县六中陈岳因式分解是初中一个重点，它牵涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要学会一些基本的因式分解的方法。

下面列举了九种方法，希望对大家的学习能有所帮助。

【1】提取公因式这种方法比较常规、简单，必须掌握。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等2x-3x=0例一：2解：x(2x-3)=0x=0,2x=3/21这是一类利用因式分解的方程。

总结：要发现一个规律就是：当一个方程有一个解x=a时，该式分解后必有一个(x-a)因式这对我们后面的学习有帮助。

【2】公式法将式子利用公式来分解，也是比较简单的方法。

常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意：使用公式法前，建议先提取公因式。

例二：2x-4分解因式分析：此题较为简单，可以看出4=2 2，适用平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 2解：原式=(x+2)(x-2)【3】十字相乘法是做竞赛题的基本方法，做平时的题目掌握了这个也会很轻松。

注意：它不难。

这种方法的关键是把二次项系数a 分解成两个因数21.a a 的积21.a a ，把常数项c分解成两个因数21.c c 的积21.c c ，并使1221c a c a 正好是一次项b ，那么可以直接写成结果例三： 把22x -7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数)：2＝1×2＝2×1；分解常数项：3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1╳2 31×3+2×1 =51 3╳2 11×1+2×3 =71 -1╳2 -31×(-3)+2×(-1) =-51 -3╳2 -11×(-1)+2×(-3) =-7经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7.解 原式=(x-3)(2x-1).总结：对于二次三项式2ax +bx+c(a≠0)，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即a=21.a a ，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=21.c c ，把2121,,,c c a a ，排列如下：╳按斜线交叉相乘，再相加，得到1221c a c a +，若它正好等于二次三项式2ax +bx +c 的一次项系数b ，即1221c a c a +=b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式1a x+c1与22c x a +之积，即2ax +bx+c=(1a x+1c )(2a x+2c ).这种方法要多实验，多做，多练。

八 年级数学 科辅导讲义(第11讲)学生姓名： _________ 授课教师： ____________ 授课时间： _________专 题 因式分解-公式法 目标利用公式分解因式 重难点 利用公式分解因式 常考点利用公式分解因式第一部分：知识点回顾把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。

平方差公式 a 2 -b 2= (a + b)(a 一 b)a 3土b' = (a ±/?)•(/ + ab-^-b 2)|第二部分：例题解析|一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以直接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：(1) X 2-9；(2) 9X 2-6X +1O二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

例2、分解因式：(1) xY^x'y”； (2) 4x 3y+4x 2y 2+xy\三、系数变换后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解因式，往往需要调整系数，转换为符合公 式的形式，然后再利用公式法分解. 例3、分解因式：(l)4x 2-25y 2;(2) 4x 2-12xy 2+9y 1.四、指数变换后用公式:通过指数的变换将多项式转换为平方差或完全平方式的形式，然后利公式法分解因式，应注意分解到每个因式都不能再分解为止. 例4、分解因式：(l)x 4-81y 4;(2) 16x 1-72x 2y 2+81y ,.五、重新排列后用公式:当所给的多项式不能直接看出是否可用公式法分解时，可以将所给多项式交换位完全平方公式a 2±2ah + h 2= {a ±h)2立方和、立方差公式置，重新排列，然后再利用公式。

例5、分解因式：(1) -x"+(2x~3)2; (2) (x+y)'+4-4 (x+y).六、整理后用公式:当所给的多项式不能直接利用公式法分解时，可以先将其中的项去括号整理，然后再利用公式法分解。

因式分解方法大全（二）因式分解四个注意：因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。

多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。

用一句话来概括：“先看有无公因式，再看能否套公式。

十字相乘试一试，分组分解要合适。

”⑸拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解。

要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)⑹配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法。

属于拆项、补项法的一种特殊情况。

也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形。

例如：x²+3x-40⑺应用因式定理对于多项式f(x)=0，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a．例如：f(x)=x x²+5x+6，f(-2)=0，则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式。

(事实上，x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)注意：1、对于系数全部是整数的多项式，若X=q/p （p,q 为互质整数时）该多项式值为零，则q 为常数项约数，p 最高次项系数约数；2、对于多项式f(a)=0,b 为最高次项系数，c 为常数项，则有a 为c/b 约数⑻换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法。

注意:换元后勿忘还元.例如在分解(x²+x+1)( x²+x+2)-12时，⑼求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x1，x2，x3，……xn，则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x -xn) ．⑽图象法令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图像与X 轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x -xn)． 与方法⑼相比，能避开解方程的繁琐，但是不够准确。

北师大版八年级数学（下）第四章因式分解第5节公式法（二）二．完全平方：例1：下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．m2﹣m﹣1 B．﹣2m+m2+1 C．1﹣2m﹣m2D．m2﹣2m﹣1 解：﹣2m+m2+1＝（m﹣1）2，故选：B．练习：下列各式中不能用完全平方公式分解因式的是（）A．x2+2x+1 B．x2﹣2xy+y2C．﹣x2﹣2x+1 D．x2﹣x+0.25 解：A、x2+2x+1＝（x+1）2，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；B、x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；C、﹣x2﹣2x+1，不能用完全平方公式分解因式，符合题意；D、x2﹣x+0.25＝（x﹣）2，能用完全平方公式分解因式，不符合题意；故选：C．作业：1.在多项式①x2+2xy﹣y2；②﹣x2﹣y2+2xy；③x2+xy+y2；④4x2+1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有（）A．①②B．②③C．①④D．②④解：①不能用完全平方公式分解因式，②﹣x2﹣y2+2xy＝﹣（x2+y2﹣2xy）＝﹣（x﹣y）2，③不能用完全平方公式分解因式，④4x2+1+4x＝（2x+1）2，∴能用完全平方公式分解因式的有：②④；故选：D．例2：（1）分解因式：m2﹣8m+16＝．解：m2﹣8m+16＝（m﹣4）2．故答案为：（m﹣4）2．（2）分解因式：9x2﹣12xy+4y2＝．解：9x2﹣12xy+4y2＝（3x﹣2y）2．故答案为：（3x﹣2y）2练习：（1）写分解因式a2﹣8ab+16b2的结果．解：原式＝（a﹣4b）2，故答案为：（a﹣4b）2．（2）因式分解：25x2﹣20xy+4y2＝．解：原式＝（5x﹣2y）2．故答案为：（5x﹣2y）2．作业：2.（1）因式分解：m2﹣2mn+n2＝解：m2﹣2mn+n2＝（m﹣n）2．故答案为：（m﹣n）2．（2）因式分解：9a2﹣12a+4＝．解：9a2﹣12a+4＝（3a﹣2）2．例3：（1）因式分解：﹣x2﹣y2+2xy＝．解：原式＝﹣（x2+y2﹣2xy）＝﹣（x﹣y）2．故答案为：﹣（x﹣y）2．（2）分解因式（a﹣b）（a﹣9b）+4ab的结果是．解：（a﹣b）（a﹣9b）+4ab＝a2﹣9ab﹣ab+9b2+4ab＝a2﹣6ab+9b2＝（a﹣3b）2．故答案为：（a﹣3b）2．练习：（1）因式分解：﹣m2n2﹣16+8mn＝．解：原式＝﹣（m2n2﹣8mn+16）＝﹣（mn﹣4）2，故答案为：﹣（mn﹣4）2（2）因式分解：x（x+4）+4＝．解：原式＝x2+4x+4＝（x+2）2．故答案为：（x+2）2．作业：3. （1）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．解：﹣x2﹣4y2+4xy，＝﹣（x2+4y2﹣4xy）＝﹣（x﹣2y）2．（2）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是．解：（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．例4：如果代数式4x2+kx+25能够分解成（2x﹣5）2的形式，那么k的值是（）A．10 B．﹣20 C．±10 D．±20解：∵4x2+kx+25＝（2x﹣5）2＝4x2﹣20x+25，∴k＝﹣20，故选：B．练习：已知x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（）A．﹣8 B．±4 C．8 D．±8解：∵x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，∴k＝±8，故选：D．作业：4．关于x的二次三项式x2﹣ax+36能用完全平方公式分解因式，则a的值是（）A．﹣6 B．±6 C．12 D．±12解：依题意，得ax＝±2×6x，解得：a＝±12．故选：D．例5：已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝．解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，故答案为：9000练习：若2a＝3b﹣1，则4a2﹣12ab+9b2﹣1的值为．解：∵2a＝3b﹣1，∴2a﹣3b＝﹣1，∴4a2﹣12ab+9b2﹣1＝（2a﹣3b）2﹣1＝（﹣1）2﹣1＝0．故答案是：0．。

因式分解公式
因式分解公式是数学中的一种基本技术，它可以把复杂的根式分解成若干个单项式的乘积。

因式分解公式可以帮助我们理解复杂的方程，它可以把复杂的运算一步步拆分，使其变得更加容易理解，从而提高学习效率。

因式分解公式的基本原理是：如果一个根式由若干个因子所组成，那么这个因子也可以拆分成一个乘积，也就是说，可以把一个根式拆分为若干个简单的乘积，这叫因式分解公式。

比如：把根式x^2+5x+6分解开来，我们可以按照公式：
x^2+5x+6=(x+3)(x+2)来进行分解，可以看到，这是一个简单的因数
分解，即将复杂的根式拆分成了两个简单的乘积，可以很容易证明这一结果的正确性。

因式分解公式由一下几个步骤来完成：
1.定因数有几个
2.定因数的系数
3.出因数的值
4.后用乘法的关系组合因数
使用因式分解公式可以帮助我们更加快速有效地完成复杂的运算，比如，一个多项式分解需要不断做除法，而使用因式分解公式则可以一步到位。

因式分解公式在学习数学中有着重要的作用，它是我们理解数学的基石。

它可以帮助我们破解数学的难题，使我们的数学学习变得更
加高效。

因式分解公式既可以用于数学学习，也可以用于实际的生活当中。

它可以帮助我们解决复杂的问题，比如计算投资收益、计算报酬率等等。

因式分解公式是一种非常有用的技术，它可以帮助我们理解复杂的数学概念，而且也可以帮助我们解决实际生活中的问题。

数学爱好者都应该要掌握这种技术，以便于解决各种复杂的数学问题，发挥它的重要作用。

八年级数学因式分解的方法（二）——公式法湘教版【本讲教育信息】一. 教学内容：因式分解的方法（二）——公式法二. 教学目标：1. 知识与技能（1）理解运用公式法的概念。

（2）能根据公式的不同特点，正确地选用公式进行因式分解。

2. 过程与方法（1）了解各公式的结构特点，进而记忆公式。

（2）结合公式的背景，体会公式的实际意义。

3. 情感、态度与价值观通过主动探索与相互间的交流，获得新的知识体系，激发学生的学习兴趣，体会数学的应用价值。

三. 教学重点、难点：重点：利用公式法分解因式。

难点：灵活选择恰当的方法，进行因式分解。

四. 知识要点归纳：1. 运用公式法（1）概念：把乘法公式反过来用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

（2）说明：运用公式来分解因式，关键是掌握每个公式的特点（如：项数、符号、系数和指数各有什么特点），公式中的字母不仅可以表示数，也可以表示单项式、多项式。

2. 因式分解公式（）平方差公式：122a b a b a b -=+-()()公式的特点：左边为二项式，是两个数的完全平方的差，右边是这两个数的和与差的积，运用这个公式可以把形式是平方差的二项式分解因式。

（）完全平方公式：222222222a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-()()公式的特点：左边为三项式，其中首末两项是两个数的平方和的形式，中间一项是这两个数的积的2倍（加上相应的符号），右边是这两个数之和（或差）的平方，运用完全平方公式可将符合公式左边特点的三项式分解因式。

说明：公式中的a 、b 既可以表示数，又可以表示单项式或多项式。

五. 方法技巧规律总结：1. 平方差公式，完全平方公式中，公式中的字母a 、b 既可以用数或字母代替，也可以用单项式或多项式代替。

2. 如果一个多项式的各项含有公因式，就先提公因式，然后再进一步分解，直至不能再分解为止。

3. 有些计算题，虽然属于单纯的数字计算，但是按一般步骤进行，不仅计算麻烦，且易出错，若能利用因式分解的方法，先因式分解，再计算，就可以大大地简化运算过程。

第2讲 因式分解（2）
因式分解的方法：
用顺口溜的形式总结：首先提公因式，然后选用公式；两项平方又异号，平方差式直接套；两项平方积2倍，完全平方公式对；若遇二次三项式，十字相乘试一试；四项以上常分组，可按系数和字母；相同因式写成幂，彻底分解得第一。

三.简便运算的运用
例1.（1） （2）
（3）
代数式的化简运用
例2.已知，求多项式的值。

例3.已知，试求代数式的值。

例4.已知三项式有一个因式为，求m的值，并将这个三项式因式分解。

整除问题以及证明的应用
例5.试说明两个连续奇数的平方差是8的倍数。

例6.已知a、b、c是三角形ABC的三边长。

试说明
例7.当x、y是何实数时，多项式取最小值？最小值是多少？例8.已知
、
、
是△ABC的三边，且满足
，求证：△ABC为等边三角形。

例9.（1）计算：
（2）计算：
例10.问题二如果二次三项式
（
为整数）在整数范围内可以分解因式，那么
可以取那些值？
求值：
1. 若是一个完全平方式，求m的值.
2. 若，求的值.
3. 若，求的值.
阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：（1）上述分解因式的方法是______________，共应用了______________次.
（2）若分解，则需应用上述方法____________次，结果是______________.
（3）分解因式：（n为正整数）.。

初中因式分解常用公式初中数学中，因式分解是一个重要的概念和技巧。

通过因式分解，我们可以将一个复杂的代数式转化为更简单的乘积形式，从而便于我们进行进一步的计算和研究。

在因式分解中，有一些常用的公式和技巧，它们可以帮助我们更快地完成因式分解的过程。

下面，我将介绍几个常用的因式分解公式。

一、二次差平方公式二次差平方公式是因式分解中的一个重要公式，它可以帮助我们将一个二次多项式分解为两个一次因式的乘积形式。

二次差平方公式的表达式为：$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。

例如，对于一个二次多项式$x^2 - 4$，我们可以利用二次差平方公式将其因式分解为$(x + 2)(x - 2)$。

二、平方差公式平方差公式是因式分解中的另一个常用公式，它可以帮助我们将一个二次多项式分解为两个平方和的乘积形式。

平方差公式的表达式为：$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$。

例如，对于一个二次多项式$x^2 + 4x + 4$，我们可以利用平方差公式将其因式分解为$(x + 2)^2$。

三、一元三次多项式因式分解公式对于一个一元三次多项式$ax^3 + bx^2 + cx + d$，我们可以利用一元三次多项式因式分解公式将其分解为两个一次因式和一个二次因式的乘积形式。

一元三次多项式因式分解公式的表达式为：$ax^3 + bx^2 + cx + d = (x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)$。

其中，$r_1$、$r_2$、$r_3$为一元三次多项式的三个根。

四、差的立方公式差的立方公式是因式分解中的另一个常用公式，它可以帮助我们将一个立方多项式分解为两个一次因式和一个二次因式的乘积形式。

差的立方公式的表达式为：$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$。

例如，对于一个立方多项式$x^3 - 8$，我们可以利用差的立方公式将其因式分解为$(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$。

因式分公式法因式分解是数学中一个非常重要的概念，而公式法则是因式分解的重要方法之一。

咱们先来说说什么是因式分解。

就好比把一个大蛋糕切成几块小蛋糕，因式分解就是把一个多项式变成几个整式乘积的形式。

那公式法呢，就像是我们手里的切蛋糕神器，能让这个切蛋糕的过程变得又快又准。

平方差公式（a+b）(a - b) = a² - b²，这就像是一把神奇的刀，能把符合条件的多项式轻松切开。

比如说，4x² - 9 这个式子，咱们一看，哟呵，这不就是 a² - b²的形式嘛！其中 a = 2x，b = 3，所以 4x² - 9 就可以分解为(2x + 3)(2x - 3)。

再来说说完全平方公式(a ± b)² = a² ± 2ab + b²。

这个公式就像是给我们一个做蛋糕的模具，只要多项式符合这个形状，就能完美地分解出来。

比如 9x² + 12x + 4 ，我们能看出来这是 (3x)² + 2×(3x)×2 + 2²，完全符合 (a + b)²的形式，所以它可以因式分解为 (3x + 2)²。

我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小同学怎么都搞不明白。

我就给他举了个例子，说假如你有 16 个苹果，要把它们分成两堆，一堆有 x 个，另一堆有 y 个，那怎么分呢？这其实就和因式分解差不多，要找到合适的 x 和 y ，让它们乘起来等于 16 。

这个小同学听了之后，眼睛突然一亮，好像有点开窍了。

后来经过反复练习，他终于掌握了公式法因式分解，那高兴劲儿，就像自己解开了一个超级大谜团！在实际应用中，公式法因式分解可是大有用处的。

比如在解方程的时候，通过因式分解能让复杂的方程变得简单易懂。

而且，这也是进一步学习数学的基础，像高中数学里的函数、不等式等知识，都离不开因式分解这个小帮手。