2010年浙江省高中数学竞赛试卷

绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k（C ）?6>k（D ）?7>k3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S （A ）11 （B ）5（C ）-8（D ）-114．设20π<<x ，则“1sin 2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z 2||=- （B ）222y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤6．设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,（C ）若m l m l //,,//则αα⊂（D ）若m l m l //,//,//则αα7．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2（B ）-1（C ）1（D ）28．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。

试题共四套：数学类、工科类、经管类、文专类2010浙江省大学生高等数学（微积分）竞赛试题（数学类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()22222exp 21R x xy y dxdy ρρ⎡⎤-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰． 其中01ρ≤< 3．请用,a b 描述圆 222x y y +≤ 落在椭圆 22221x y a b+= 内的充分必要条件，并求此时椭圆的最小面积。

4．已知分段光滑的简单闭曲线Γ（约当曲线）落在平面π：10ax by cz +++=上，设Γ在π上围成的面积为A ,求()()()bz cy dx cx az dy ay bx dz ax by czΓ-+-+-++⎰其中n Γ与的方向成右手系。

5．设f 连续，满足()()() 22 02exp xf x x x t f t dt =--⎰且()11/f e =,求()()1n f 的值。

二、（满分20）定义数列{}n a 如下：{},,max ,211011dx x a a a n n ⎰-==,4,3,2=n ，求n n a ∞→lim 。

三、（满分20分）设函数)(2R C f ∈，且0)(lim =∞→x f x ，1)(≤''x f ，证明：0)(lim ='∞→x f x 。

四、（满分20分）设非负函数f 在［0，1］上满足)()()(,,y f x f y x f y x +≥+∀且1)1(=f ，证明：（1）]1,0[,2)(∈≤x x x f （2）21)(1≤⎰dx x f 五、（满分20分）设全体正整数集合为+N ，若集合+⊂N G 对加法封闭（即G y x G y x ∈+⇒∈∀,），且G 内所有元素的最大公约数为1，证明：存在正整数N ，当正整数n >N 时，G n ∈（工科类）一、计算题（每小题14分，满分70分）1．求极限1lim 2n →+∞+⎦2．计算()() +22 122dxx x x ∞-∞+-+⎰3．设ABC ∆为锐角三角形,求sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++---的最大值和最小值。

2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a .解：令t x =sin ，则原函数化为t a att g )3()(2-+-=，即a att g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ； 对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d dd ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而 βαα+-=-=9log3,69log，求得 3,33==βα， 333+=+βα.5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-.解：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211m ax 1()32822g y aaa a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4.解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α.解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OEO B E B O B .4105542sin sin 111===∠=EB O B EO B α.8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEP1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分） )21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤8≤， 38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b a z ba z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分） 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤za ，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=，1221221212123666y y y yyy y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(300--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=.定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤ 7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,33A B 或33A B -++时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,33A B 或33A B -时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n nn .求证:nn n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n nn a a a a 知111121+-=+nnn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以211,111n nn n n nna a a a a a a ++==----即 1111n n n nn a a a a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 21 1133222211111111++---++---+---=n n nn a a a a a a a a a a a a11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于nn n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n nnn a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 kk k k a a 21123131<-<++-.当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知)1(1≥-n a a nn均为整数，从而由 kk k a a 21131<-++ 有131211-≤-++kk k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k kkk k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。

2011-2009年浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案2011年浙江省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈，则1sin 21sin 2θθ-+可化简为（ ）A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ 2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ ）A. 2B. 22C. 2±D. 22± 3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ ）26464243A ．64B ．32C ．16D ．88. 在平面区域{}(,)||1,||1x y x y ≤≤上恒有22ax by -≤，则动点(,)P a b 所形成平面区域的面积为（ ）A. 4B.8C. 16D. 329. 已知函数()sin(2)6f x x m π=--在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则m 的取值范围为（ ）A. 1, 12⎛⎫ ⎪⎝⎭B 1, 12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1, 12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1, 12⎛⎤⎥⎝⎦10. 已知[1,1]a ∈-，则2(4)420xa x a +-+->的解为（ ）A. 3x >或2x <B. 2x >或1x <C. 3x >或1x <D. 13x <<二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分） 11. 函数()2sin 3cos 2xf x x=-的最小正周期为__________。

绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k kn k n n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3V h S S =其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k（C ）?6>k（D ）?7>k3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S （A ）11 （B ）5（C ）-8（D ）-114．设20π<<x ，则“1sin 2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z 2||=- （B ）222y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤6．设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,（C ）若m l m l //,,//则αα⊂（D ）若m l m l //,//,//则αα7．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2（B ）-1（C ）1（D ）28．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。

2010年浙江省高中数学竞赛试卷一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ） A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(4422sin cos sin cos x x x x =++。

2．若2:(0,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解答为 B 。

p 成立3x ⇔≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。

3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或C. {6,3}x x x <->或D. {6,3}x x x <->-或 解答：D 。

画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。

已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）A ．132k r -±==．32k r ±==C ．k r ==．k r ==解答．C. PQ QR PR ==，==。

5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若BB 1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是( C ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°解答：C 。

2010年浙江省普通高中会考数学模拟试卷考生须知:1．全卷分试卷Ⅰ、Ⅱ。

试卷共6页，有四大题，42小题，其中第二大题为选做题，其余为选做题，其余为必做题，满分为100分.考试时间120分钟.2．本卷答案必须做在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上，做在试卷上无效。

3．请用铅笔将答卷Ⅰ上的准考证号和学科名称所对应的括号或方框涂黑，请用钢笔或圆珠笔将姓名、准考证号分别填写在答卷Ⅰ、Ⅱ的相应位置上。

4．参考公式球的表面积公式：24R S π= 球的体积公式：334R V π=（其中R 表示球的半径）试 卷 Ⅰ一、选择题（本题有26小题，1-20每小题2分，21-26每小题3分，共58分。

选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选均不得分） 1． 函数13log y x =的定义域是A ．RB ．()0,+∞C ．()1,+∞D ．()2,+∞2．函数()sin 24y x π=+的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π3．若()90,180α∈︒︒，且tan α=-43，则sin α=A ．35B ．35-C ．45D ．45-4．双曲线221259xy-=的渐近线方程是A ．259y x=±B ．53y x=±C ．259yx=±D ．35yx=±5．已知过点(),2A m -和()4,B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m = A ．8-B ．0C ．2D ．106．已知等差数列{}n a 中，7816a a +=，41a =，则11=a A ．15B ．30C ．31D ．647．下列函数在定义域中是减函数的是CBPD AEx 2)x (f A =、 2x )x (f B =、 x l o g )x (f C 21=、 3x )x (f D =、8．已知4sin25α=，3cos25α=-，则角α所在的象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．若()f x =()22,22,xx f x x -<+⎧⎨≥⎩，则()0f 的值是A ．1B ．12C ．14D ．1810．若b a > ，则下列不等式中一定成立的是 A ．11a b< B ．1b a< C ．22a b >D ．()lg 0a b ->11．若222x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[]2,6B ．[]2,5C ．[]3,6D ．[]3,512．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚都是正面朝上的概率为41)(A 31)(B 21)(C 43)(D13．已知点A(－2，0)、B(0，2)，点C 是圆x 2＋y 2＝1上的任意一点，则点C 到线段AB 的最小距离为A 2－1B 2C 223 D 2＋114．若2lg lg =+b a ，则ab 的值等于 A ．2 B ．21 C ．100 D ．1015．如图，正四棱锥P ABC D -的所有棱长相等，E 为PC 的 中点，则异面直线BE 与P A 所成角的余弦值是 A ．12B2C．3D 316．圆心坐标)2,2(，半径等于2的圆的方程是2)2y ()2x (A 22=-+-、 2)2y ()2x (B 22=+++、2)2y ()2x (C 22=-+-、 2)2y ()2x (D 22=+++、17．已知正方体的8个顶点在球面上，过球心的截面与正方体表面以及球面的交线，不可能的是下列图形中的A．B．C．D．18．直角边之和为12的直角三角形面积的最大值等于A16B 18C 20 D不能确定19．|→a|＝3，|→b|＝3，→a与→b夹角为6π，则|→a＋→b|为A 3 B3 C 21 D2120．直线y＝mx＋1 与直线y＝21x－n关于直线y＝x对称时，则有A m＝2，n＝21B m＝21，n＝2 C m＝21，n＝－2 D m＝2，n＝－2121．已知双曲线12222=-bxay的一条渐近线方程为xy34=，则双曲线的离心率为A．54Ｂ．53Ｃ．43Ｄ．3222．已知直线cba,,及平面βα,，下列命题中的假命题的是A．若cbca//,//，则ba// B．若αα⊥⊥ba,，则ba// C．若βα//,//aa，则βα// D．若βα⊥⊥aa,，则βα// 23．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如右图)，则这个几何体的表面积为A．π+12 B．π7 C．π8 D．π2022. 圆心在抛物线)0(22>=yxy上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（）A．041222=---+yxyx B．01222=+-++yxyxC. 01222=+--+yxyx D．041222=+--+yxyx25．关于平面向量cba．有下列三个命题：①若a b b c⋅=⋅，则cb=；② 若)6,2(),1(-==b k a ，b a //，则3k =-；③ 非零向量a 和b -==，则a 与b a +的夹角为︒60． 其中真命题有 A ．①②B ．②C ．③D ．①②③26．13)(2++=ax ax x f ，若)(x f >'()f x 对一切R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．134<a B ．0≥a C ．1340<<a D ．1340<≤a二、选择题（本题分A 、B 两组，任选其中一组完成。

函数值域与最值1、 (2010年江西省预赛试题)函数21)(2+-=x x x f 的值域是2、 (2010年安徽省预赛试题)函数242)(xx x x f --=的值域是3、 (2010年山西省预赛试题)若],0[π∈x ，函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 4、 (2010年辽宁省预赛试题)函数|cos |3|sin |2)(x x x f +=的值域是5、 (2010年全国联赛一试试题)函数xx x f 3245)(---=的值域是6、(2010年河北省预赛试题)已知关于x 的不等式kx x ≥-+2有实数解，则实数k 的取值范围是7、(2010年江西省预赛试题)设多项式)(x f 满足：对R x ∈∀，都有xxx f x f 42)1()1(2-=-++，则)(x f 的最小值是8、(2010年四川省预赛试题)已知函数424)42()(24224+++-++=xxx k k xx f 的最小值是0，则非零实数k 的值是9、(2010年全国联赛一试试题)已知函数xx a y sin )3cos(2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是10、(2010年全国联赛一试试题)函数)1,0(23)(2≠>-+=a a aax f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 11、(2010年福建省预赛试题)已知函数|2|)(a x x x f -=，试求)(x f 在区间]1,0[上的最大值)(a g12、(2010年辽宁省预赛试题)已知131≤≤a ，若12)(2+-=x axx f 在]3,1[上的最大值为)(a M ，最小值为)(a N ，令)()()(a N a M a g -=函数性质与导数的应用1、(2010年河北省预赛试题)函数)1(+=x f y 的反函数是)1(1+=-x fy，且4007)1(=f ，则=)1998(f2、(2010年山西省预赛试题) 函数2)(2-=axx f ，若2))2((-=f f ，则=a3、(2010年辽宁省预赛试题)不等式xx 256log )1(log >+的整数解的个数为4、(2010年吉林省预赛试题)已知1)1,1(=f ，),(),(**N n m N n m f ∈∈，且对任意*,Nn m ∈都有：①2),()1,(+=+n m f n m f ；②)1,(2)1,1(m f m f =+，则)2008,2010(f 的值为5、(2010年山东省预赛试题)若函数xe ex xf -=ln)(，则=∑=)2011(20101k ke f6、(2010年山东省预赛试题)函数432)(23+++=x xx x f 的图像的对称中心为7、(2010年山东省预赛试题)已知函数)0(4321)(2>--=a x axx f ，若在任何长度为2的闭区间上总存在两点21,x x ，使41|)()(|21≥-x f x f 成立，则a 的最小值为8、(2010年福建省预赛试题)函数)(cossin)(*22N k x x x f kk∈+=的最小值为9、(2010年河南省预赛试题)设11)(+-=x x x f ，记)()(1x f x f =，若))(()(1x f f x f n n =+，则=)(2010x f10、(2010年湖北省预赛试题)对于一切]21,2[-∈x ，不等式0123≥++-x xax恒成立，则实数a 的取值范围为11、(2010年甘肃省预赛试题)设0>a ，函数|2|)(a x x f +=和||)(a x x g -=的图像交于C点且它们分别与y 轴交于A 和B 点，若三角形ABC 的面积是1，则=a 12、(2010年甘肃省预赛试题)函数RR f →:对于一切Rz y x ∈,,满足不等式13、(2010年黑龙江省预赛试题)设)(x f 是连续的偶函数，且当0>x 时是严格单调函数，则满足)43()(++=x x f x f 的所有x 之和为14、(2010年贵州省预赛试题)已知函数2232)(aax xx f --=，且方程8|)(|=x f 有三个不同的实根，则实数=a 15、(2010年安徽省预赛试题)函数=y 的图像与xey =的图像关于直线1=+y x 对称16、(2010年浙江省预赛试题)设442)1()1()(x x x xk x f --+-=，如果对任何]1,0[∈x ，都有)(≥x f ，则k 的最小值为17、(2010年湖南省预赛试题)设函数xx x x f 2cos )24(sinsin 4)(2++⋅=π，若2|)(|<-m x f 成立的充分条件是326ππ≤≤x ，则实数m 的取值范围是18、(2010年新疆维吾尔自治区预赛试题)已知函数221)(xxx f +=，若)1011()1001(...)31()21(),101(...)2()1(f f f f n f f f m ++++=+++=，则=+n m19、(2010年河北省预赛试题)已知函数)1)(1ln(1221)(2≥+++-=m x x mxx f（1）若曲线)(:x f y C=在点)1,0(P 处的切线l 与C 有且只有一个公共点，求m 的值；（2）求证：函数)(x f 存在单调递减区间],[b a ，并求出单调递减区间的长度a b t -=的取值范围。

绝密★考试结束前2010年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共5页，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分（共50分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式如果事件,A B 互斥 ，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,...,)k k n kn n P k C p p k n -=-= 台体的体积公式121()3V h S S =+其中1S ,2S 分别表示台体的上、下面积，h 表示台体的高柱体体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设}4|{},4|{2<=<=x x Q x x P（A ）Q P ⊆ （B ）P Q ⊆（C ）Q C P R ⊆（D ）P C Q R ⊆2．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为 （A ）?4>k （B ）?5>k（C ）?6>k（D ）?7>k3．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，0852=+a a ，则=25S S （A ）11 （B ）5（C ）-8（D ）-114．设20π<<x ，则“1sin 2<x x ”是“1sin <x x ”的（A ）充分而不必不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是（A ）y z z 2||=- （B ）222y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤6．设m l ,是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 （A ）若αα⊥⊂⊥l m m l 则,, （B ）若αα⊥⊥m m l l 则,//,（C ）若m l m l //,,//则αα⊂（D ）若m l m l //,//,//则αα7．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≥-+,01,032,033my x y x y x 且y x +的最大值为9，则实数=m（A ）-2（B ）-1（C ）1（D ）28．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点。

2010年浙江省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．(5分）(2010•浙江）设P=｛x|x＜4｝，Q=｛x｜x2＜4｝,则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆C R Q D．Q⊆C R P【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】此题只要求出x2＜4的解集｛x｜﹣2＜x＜2｝，画数轴即可求出【解答】解：P={x|x＜4}，Q=｛x｜x2＜4｝=｛x|﹣2＜x＜2｝，如图所示，可知Q⊆P，故B正确．【点评】此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念,主要考查了集合的基本运算,属容易题．2．(5分）（2010•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4? B．k＞5？C．k＞6? D．k＞7？【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．【解答】解:程序在运行过程中各变量值变化如下表:K S 是否继续循环循环前1 1/第一圈2 4 是第二圈3 11 是第三圈4 26 是第四圈5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点,应高度重视．程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．3．(5分)（2010•浙江）设S n为等比数列｛a n}的前n项和，8a2+a5=0，则=()A．﹣11 B．﹣8 C．5 D．11【考点】等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先由等比数列的通项公式求得公比q，再利用等比数列的前n项和公式求之即可．【解答】解：设公比为q，由8a2+a5=0，得8a2+a2q3=0,解得q=﹣2，所以==﹣11．故选A．【点评】本题主要考查等比数列的通项公式与前n项和公式．4．（5分）（2010•浙江)设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的(）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】不等关系与不等式;必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．【专题】三角函数的图像与性质；简易逻辑．【分析】由x的范围得到sinx的范围，则由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．【解答】解:∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1,故xsin2x＜xsinx,若“xsinx＜1"，则“xsin2x＜1"若“xsin2x＜1”,则xsinx＜，＞1．此时xsinx＜1可能不成立．例如x→，sinx→1，xsinx＞1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分条故选B．【点评】本题考查了充分条件、必要条件的判定方法，判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要，谁小谁充分"的原则，判断命题p与命题q的关系．是基础题．5．(5分)（2010•浙江)对任意复数z=x+yi(x，y∈R），i为虚数单位，则下列结论正确的是() A． B．z2=x2﹣y2 C． D．｜z｜≤|x|+|y|【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】求出复数的共轭复数，求它们和的模判断①的正误；求z2=x2﹣y2+2xyi,显然B错误;，不是2x，故C错；｜z｜=≤|x|+|y|，正确．【解答】解:可对选项逐个检查，A选项,，故A错,B选项，z2=x2﹣y2+2xyi，故B错，C选项，,故C错,故选D．【点评】本题主要考查了复数的四则运算、共轭复数及其几何意义，属中档题6．（5分）(2010•浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面,则下列命题正确的是（）A．若l⊥m,m⊂α,则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α,m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m【考点】直线与平面平行的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据题意，依次分析选项：A,根据线面垂直的判定定理判断．C：根据线面平行的判定定理判断．D：由线线的位置关系判断．B：由线面垂直的性质定理判断;综合可得答案．【解答】解：A，根据线面垂直的判定定理,要垂直平面内两条相交直线才行，不正确;C:l∥α，m⊂α,则l∥m或两线异面，故不正确．D：平行于同一平面的两直线可能平行,异面,相交，不正确．B：由线面垂直的性质可知：平行线中的一条垂直于这个平面则另一条也垂直这个平面．故正确．故选B【点评】本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理,也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题7．（5分)(2010•浙江）若实数x,y满足不等式组且x+y的最大值为9,则实数m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值,只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时,从而得到m值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域,设z=x+y，将最大值转化为y轴上的截距,当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A(4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得m=1，故选C．【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．8．（5分)（2010•浙江）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P,满足｜PF2｜=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为()A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案选C,【解答】解:依题意｜PF2｜=｜F1F2｜，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1｜=2=4b根据双曲定义可知4b﹣2c=2a,整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得= ∴双曲线渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0故选C【点评】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查,属中档题9．(5分)（2010•浙江）设函数f（x）=4sin(2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（）A．［﹣4,﹣2] B．[﹣2,0]C．［0，2]D．[2，4］【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】将函数f(x）的零点转化为函数g（x）=4sin（2x+1)与h(x）=x的交点，在同一坐标系中画出g(x)=4sin(2x+1)与h（x)=x的图象，数形结合对各个区间进行讨论,即可得到答案【解答】解：在同一坐标系中画出g（x）=4sin(2x+1）与h(x）=x的图象如下图示：由图可知g（x）=4sin（2x+1）与h（x)=x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，由图可知函数f(x)=4sin(2x+1）﹣x在区间［﹣4，﹣2］上没有零点故选A．【点评】本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点,突出了对转化思想和数形结合思想的考查,对能力要求较高，属较难题．函数F(x)=f（x)﹣g（x)有两个零点，即函数f（x)的图象与函数g(x）的图形有两个交点．10．（5分）（2010•浙江）设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P中函数f（x）的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（) A．4 B．6 C．8 D．10【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】把P中a和b的值代入f（x)=log2（x+a)+b中，所得函数f（x）的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数，即可得到选项．【解答】解：将数据代入验证知当a=，b=0；a=,b=1；a=1，b=1a=0,b=0a=0，b=1a=1,b=﹣1时满足题意,故选B．【点评】本题主要考查了函数的概念、定义域、值域、图象和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求,体现了对能力的考查,属中档题二、填空题（共7小题,每小题4分，满分28分）11．(4分）（2010•浙江)函数的最小正周期是π．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】本题考查的知识点是正（余）弦型函数的最小正周期的求法，由函数化简函数的解析式后可得到：f(x)=，然后可利用T=求出函数的最小正周期．【解答】解：===∵ω=2故最小正周期为T=π,故答案为：π．【点评】函数y=Asin（ωx+φ)（A＞0,ω＞0）中，最大值或最小值由A确定,由周期由ω决定,即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数,再根据最大值为｜A｜,最小值为﹣｜A｜，周期T=进行求解．、12．(4分)(2010•浙江）若某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是144 cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】立体几何．【分析】由三视图可知几何体是一个四棱台和一个长方体，求解其体积相加即可．【解答】解：图为一四棱台和长方体的组合体的三视图,由公式计算得体积为=144．故答案为：144．【点评】本题主要考查了对三视图所表达示的空间几何体的识别以及几何体体积的计算，属容易题13．（4分）（2010•浙江）设抛物线y2=2px(p＞0）的焦点为F,点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为．【考点】抛物线的定义；抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标,进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p,则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线准线的距离．【解答】解:依题意可知F坐标为（，0)∴B的坐标为（,1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=﹣所以点B到抛物线准线的距离为+=，故答案为【点评】本题主要考查抛物线的定义及几何性质,属容易题14．(4分)(2010•浙江）设n≥2，n∈N,（2x+）n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k｜（0≤k≤n）的最小值记为T n,则T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣,…，T n…,其中T n=．【考点】归纳推理；进行简单的合情推理．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题主要考查了合情推理,利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题．根据已知中T2=0，T3=﹣，T4=0，T5=﹣，及,（2x+)n﹣（3x+）n=a0+a1x+a2x2+…+a n x n，将|a k|(0≤k≤n)的最小值记为T n,我们易得，当n的取值为偶数时的规律，再进一步分析，n为奇数时，Tn 的值与n的关系，综合便可给出Tn的表达式．【解答】解：根据Tn的定义，列出Tn的前几项:T0=0T1==T2=0T3=﹣T4=0T5=﹣T6=0…由此规律，我们可以推断:T n=故答案：【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．15．（4分）（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是．【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由题设知（5a1+10d)（6a1+15d）+15=0,即2a12+9a1d+10d2+1=0,由此导出d2≥8,从而能够得到d的取值范围．【解答】解：因为S5S6+15=0，所以（5a1+10d）(6a1+15d）+15=0，整理得2a12+9a1d+10d2+1=0,此方程可看作关于a1的一元二次方程,它一定有根，故有△=（9d）2﹣4×2×（10d2+1）=d2﹣8≥0,整理得d2≥8,解得d≥2，或d≤﹣2则d的取值范围是．故答案案为:．【点评】本题考查等差数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意通项公式的合理运用．16．(4分）(2010•浙江）已知平面向量满足,且与的夹角为120°，则||的取值范围是（0,］．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】画出满足条件的图形，分别用、表示向量与，由与的夹角为120°，易得B=60°,再于，利用正弦定理,易得｜｜的取值范围．【解答】解:令用=、=，如下图所示:则由=,又∵与的夹角为120°,∴∠ABC=60°又由AC=由正弦定理得：||=≤∴|｜∈（0,］故｜｜的取值范围是（0，］故答案：（0，］【点评】本题主要考查了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考查了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题．17．(4分）(2010•浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量"、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人．则不同的安排方式共有264种（用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】排列组合．【分析】法一：先安排上午的测试方法，有A44种,再安排下午的测试方式，由于上午的测试结果对下午有影响，故需要选定一位同学进行分类讨论，得出下午的测试种数，再利用分步原理计算出结果法二：假定没有限制条件，无论是上午或者下午5个项目都可以选．组合总数为：4×5×4×4=320．再考虑限制条件：上午不测“握力"项目,下午不测“台阶”项目．在总组合为320种的组合中,上午为握力的种类有32种；同样下午为台阶的组合有32种．最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的，如A同学的一种组合，上午握力,下午台阶(这种是被去掉了2次)，A同学上午台阶，下午握力(也被去掉了2次)，这样的情况还要考虑B．C．D三位,所以要回加2×4=8．进而可得答案．【解答】解:解法一：先安排4位同学参加上午的“身高与体重"、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶"测试,共有A44种不同安排方式;接下来安排下午的“身高与体重”、“立定跳远"、“肺活量”、“握力"测试，假设A、B、C同学上午分别安排的是“身高与体重”、“立定跳远"、“肺活量"测试，若D同学选择“握力”测试，安排A、B、C同学分别交叉测试,有2种;若D同学选择“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”测试中的1种，有A31种方式,安排A、B、C同学进行测试有3种;根据计数原理共有安排方式的种数为A44（2+A31×3）=264,故答案为264解法二:假定没有这个限制条件：上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目．无论是上午或者下午5个项目都可以选．上午每人有五种选法，下午每人仅有四种选法,上午的测试种数是4×5=20，下午的测试种数是4×4=16故我们可以很轻松的得出组合的总数：4×5×4×4=320．再考虑这个限制条件:上午不测“握力”项目,下午不测“台阶"项目．在总组合为320种的组合中,上午为握力的种类有多少种,很好算的，总数的，32种；同样下午为台阶的组合为多少的，也是总数的，32种．所以320﹣32﹣32=256种．但是最后还要考虑那去掉的64种中重复去掉的,好像A同学的一种组合，上午握力，下午台阶（这种是被去掉了2次），A同学上午台阶，下午握力（也被去掉了2次）,这样的情况还要B．C．D三位，所以要回加2×4=8．所以最后的计算结果是4×5×4×4﹣32﹣32+8=264．答案：264．【点评】本题主要考查了排列与组合的相关知识点,突出对分类讨论思想和数学思维能力的考查，属较难题．三、解答题(共5小题,满分72分)18．(14分）(2010•浙江)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C=．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）注意角的范围，利用二倍角公式求得sinC的值．（2）利用正弦定理先求出边长c，由二倍角公式求cosC，用余弦定理解方程求边长b．【解答】解:（Ⅰ）解:因为cos2C=1﹣2sin2C=,及0＜C＜π所以sinC=．(Ⅱ)解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理=，解得c=4．由cos2C=2cos2C﹣1=，及0＜C＜π得cosC=±．由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得b2±b﹣12=0,解得b= 或b=2．所以b=或b=2,c=4．【点评】本题主要考查三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力,属于中档题．19．（14分）（2010•浙江）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落A或B或C．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A,B，C,则分别设为l,2，3等奖．（I)已知获得l，2,3等奖的折扣率分别为50％,70％,90％．记随变量ξ为获得k(k=1,2，3）等奖的折扣率,求随机变量ξ的分布列及期望Εξ；（II）若有3人次（投入l球为l人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布与n次独立重复试验的模型．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）解：由题意知随变量ξ为获得k等奖的折扣，则ξ的可能取值是50％,70%，90％,结合变量对应的事件和等可能事件的概率公式写出变量的分布列,做出期望．（2）根据第一问可以得到获得一等奖或二等奖的概率，根据小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．可以把获得一等奖或二等奖的人次看做符合二项分布,根据二项分布的概率公式得到结果．【解答】解：（Ⅰ）解：随变量量ξ为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣，则ξ的可能取值是50％,70%，90％P(ξ=50％）=，P（ξ=70%)=，P（ξ=90％)=∴ξ的分布列为ξ50％70% 90％P∴Εξ=×50％+×70%+90％=．(Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，获得1等奖或2等奖的概率为+=．由题意得η～（3,)则P（η=2）=C32（)2（1﹣）=．【点评】本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望、二项分布等概念,同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识，是一个综合题．20．（15分）（2010•浙江）如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在线段AB，AD上，AE=EB=AF=FD=4．沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF．（Ⅰ)求二面角A′﹣FD﹣C的余弦值;（Ⅱ）点M,N分别在线段FD，BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A′重合,求线段FM的长．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用;立体几何．【分析】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识，空间向量的应用，同事考查空间想象能力和运算求解能力．（1）取线段EF的中点H，连接A′H,因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，又因为平面A′EF⊥平面BEF．则我们可以以A的原点，以AE，AF，及平面ABCD的法向量为坐标轴,建立空间直角坐标系A﹣xyz,则锐二面角A′﹣FD﹣C的余弦值等于平面A′FD的法向量，与平面BEF的一个法向量夹角余弦值的绝对值．(2）设FM=x，则M(4+x,0，0），因为翻折后，C与A重合,所以CM=A′M,根据空间两点之间距离公式,构造关于x的方程,解方程即可得到FM的长．【解答】解:（Ⅰ）取线段EF的中点H，连接A′H,因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF，又因为平面A′EF⊥平面BEF．如图建立空间直角坐标系A﹣xyz则A′(2,2，),C(10，8,0)，F（4，0，0），D（10，0，0）．故=（﹣2，2,2)，=(6，0，0）．设=（x，y，z）为平面A′FD的一个法向量，﹣2x+2y+2z=0所以6x=0．取，则．又平面BEF的一个法向量,故．所以二面角的余弦值为(Ⅱ）设FM=x，则M(4+x，0，0），因为翻折后，C与A重合，所以CM=A′M，故，，得，经检验,此时点N在线段BC上,所以．方法二：（Ⅰ）解：取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH．因为A′E=A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF又因为平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF,又AF⊂平面BEF，故A′H⊥AF，又因为G、H是AF、EF的中点,易知GH∥AB,所以GH⊥AF,于是AF⊥面A′GH,所以∠A′GH为二面角A′﹣DH﹣C的平面角,在Rt△A′GH中，A′H=,GH=2，A'G=所以．故二面角A′﹣DF﹣C的余弦值为．（Ⅱ)解:设FM=x,因为翻折后，C与A′重合，所以CM=A′M,而CM2=DC2+DM2=82+(6﹣x)2,A′M2=A′H2+MH2=A′H2+MG2+GH2=+（2+x）2+22，故得，经检验，此时点N在线段BC上，所以．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值;空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；21．（15分)（2010•浙江）已知m＞1，直线l:x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2,△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O 在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的应用;直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．（2）设A（x1,y1)，B（x2，y2）．直线与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0求得m的范围，且根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，根据，=2，可知G（,），h(,)，表示出｜GH｜2,设M是GH的中点,则可表示出M的坐标，进而根据2|MO|＜|GH｜整理可得x1x2+y1y2＜0把x1x2和y1y2的表达式代入求得m的范围,最后综合可得答案．【解答】解：（Ⅰ)解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（,0）,所以=，得m2=2,又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．(Ⅱ)解：设A(x1,y1）,B（x2，y2）．由,消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1)=﹣m2+8＞0,知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1(﹣c，0)，F2(c,0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H(，)｜GH｜2=+设M是GH的中点,则M(，），由题意可知2|MO｜＜｜GH｜即4［()2+(）2]＜+即x1x2+y1y2＜0而x1x2+y1y2=(my1+）（my2+)+y1y2=(m2+1)()所以（）＜0,即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1,2）．【点评】本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆,点与圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．22．（14分）（2010•浙江）已知a是给定的实常数,设函数f（x）=（x﹣a)2（x+b）e x，b∈R，x=a是f（x）的一个极大值点，（Ⅰ）求b的取值范围;(Ⅱ）设x1,x2,x3是f（x)的3个极值点,问是否存在实数b，可找到x4∈R，使得x1，x2，x3，x4的某种排列x i1，x i2，x i3,x i4（其中｛i1，i2,i3,i4}={1，2,3，4｝）依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的x4;若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值．【专题】导数的综合应用．【分析】先求出函数f(x)的导函数f′（x）=e x（x﹣a)［x2+(3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a],令g（x）=x2+(3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a，讨论g(x）=0的两个实根x1,x2是否为a,从而确定x=a是否是f （x）的一个极大值点,建立不等关系即可求出b的范围．【解答】解:（1）f′（x）=e x（x﹣a）［x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a]，令g（x）=x2+（3﹣a+b)x+2b﹣ab﹣a，则△=（3﹣a+b)2﹣4(2b﹣ab﹣a)=(a+b﹣1）2+8＞0，于是,假设x1，x2是g(x）=0的两个实根，且x1＜x2．①当x1=a或x2=a时，则x=a不是f（x）的极值点，此时不合题意．②当x1≠a且x2≠a时，由于x=a是f(x）的极大值点，故x1＜a＜x2．即g（a）＜0，即a2+（3﹣a+b）a+2b﹣ab﹣a＜0，所以b＜﹣a,所以b的取值范围是:（﹣∞，﹣a）．（2）由（1）可知，假设存在b及x4满足题意，则①当x2﹣a=a﹣x1时，则x4=2x2﹣a或x4=2x1﹣a,于是2a=x1+x2=a﹣b﹣3，即b=﹣a﹣3．此时x4=2x2﹣a=a﹣b﹣3+﹣a=a+2，或x4=2x1﹣a=a﹣b﹣3﹣﹣a=a﹣2，②当x2﹣a≠a﹣x1时,则x2﹣a=2(a﹣x1）或a﹣x1=2（x2﹣a），（ⅰ）若x2﹣a=2(a﹣x4)，则x4=，于是3a=2x1+x2=,即=﹣3(a+b+3），于是a+b﹣1=,此时x4===﹣b﹣3=a+．（ⅱ）若a﹣x1=2（x2﹣a），则x4=，于是3a=2x2+x1=,即=3（a+b+3）,于是a+b﹣1=．此时x2===﹣b﹣3=a+．综上所述，存在b满足题意．当b=﹣a﹣3时，x4=a±2；当b=﹣a﹣时，x4=a+;当b=﹣a﹣时，x4=a+．【点评】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．11。

（1）设2(|1),{|4}P x x Q x x =<=<，则P ∩Q=（A ）}21|{<<-x x （B ）}13|{<<-x x （C ）}41|{<<x x （D ）}12|{<<-x x（2）已知函数()()log 1,()1,a f x x f a a =+==若则（A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3 （3）设i 为虚数单位，则51i i -=+ （A ）23i -- （B ）23i -+ （C ）23i - （D ）23i +（4）某程度框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为（A ）?4>x （C ）?6>x （B ）?5>x （D ）?7>x（5）设1S 为等比数列{}n a 的前n 项和，122280S a a S -==，则（A ）－11 （B ）－8 （C ）5（D ）11 （6）设20π<<x 则“x sin 2 x <1”是“x sin x <1”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件 （7）若实数x 、y 满足不等式组330,230,10,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则x +y 的最大值为（A ）9 （B ）157 （C ）1 （D ）715（8）若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是（A ）33523cm （B ）33203cm （C ）32243cm （D ）31603cm （9）已知x 是函数1()21x f x x =+-的一个零点，若102(1,),(,)a x x x x ∈∈+∞，（A ）12()0,()0f x f x << （B ）12()0,()0f x f x <> （C ）12()0,()0f x f x >< （D ）12()0,()0f x f x >>（10）设O 为坐标原点，F 1，F 2是双曲线22x a －22y b ＝１（a ＞0，b ＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P ，满足∠F 1P F 2=60°，OP ，则该双曲线的渐近线方程为（A ）x=0 （B ±y =0 （C ） x=0 （D ） x ±y =0（11）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 ， ．（12）函数f （x ）=sin 2 （2x －4π）的最小正周期（13）已知平面向量α，β，α＝1, β=2，α⊥（α－2β），则2αβ+的值是 ．（14）在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n +1列的数是 ． （15）若正实数x ,y 满足2x +y +6=xy ，则xy 的最小值（16）某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六份递增x %,八月份销售额比七月份递增x ％,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值（17）在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点， P ，Q ，M ，N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点．在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中任取一点记为F ．设G 为满足向量OG OE OF =+ 的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 ．（18）（本题满分13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足S （a 2＋b 2－c 2）． （Ⅰ）求角C 的大小;（Ⅱ）求sin A ＋sin B 的最大值．（19）14分）设a 1，d 为实数，首项为a 1，z 差为d 的等差数{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0．（Ⅰ）若S 5＝5．求S 6及a 1;（Ⅱ）求d 的取值范围．（20）14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝120°，E 为线段AB 的中线，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE ，使平面A ′DE ⊥平面BCD ，F 为线段A ′C 的中点． （Ⅰ）求证：BF ∥平面A ′DE ;（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．（21）（本题满分15分）已知函数f（x）＝（x－a）（a－b）（a，b ∈R，a<b）．（Ⅰ）当a＝1，b＝2时，求曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程;（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个极值点，x3是f（x）的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2．证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4．（22）（15分）已知m是非零实数，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的m＝0上．焦点F在直线l：x－my－22（Ⅰ）若m＝2，求抛物线C的方程;（Ⅱ）设直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1，B1，△AA1F，△BB1F的重心分别为G，H．求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外．。

2006～2011浙江省高中数学竞赛试题选(高二部分)1.(2011年,3)设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件2.(2010年,2)若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3. (2011年,6)设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 4.(2010年,9)下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为（）A ．32πB ．23πC ．43πD ．34π 5.(2011年,14)直三棱柱111ABC A B C -，底面ABC ∆是正三角形，P ，E 分别为1BB ，1CC 上的动点（含端点），D 为BC 边上的中点，且PD PE ⊥。

则直线,AP PE 的夹角为______。

6.(2010年,5)在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若1，则CA 1与C 1B 所成的角的大小是（ ）A ．60° B ．75° C ．90° D ．105°7.(2008年,6)圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM ⊥MP ，则P 点形成的轨迹的长度为（ ）A.B.2C. 3D.32正视图：半径为1 的半圆以及高为1的矩形 侧视图：半径为1 的1/4圆以及高为1的矩形 俯视图：半径为1 的圆8.(2009年,9)已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（ ）A ． 1B ．21 C ． 31 D ． 61 9.(2009年,16)在边长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别为1AA ，1CC 上的点，且F C AE 1=，则四边形1EBFD 的面积最小值为 。

2010年浙江省大学生高等数学(微积分)竞赛试题
（经管类）
计算题（每小题14分满分70分）
1． 计算
n n →∞
2． 计算2(1sin cos )
cos x e x x dx
x +∫
3． 设为锐角(含直角)三角形，求ABC ∆sin sin sin cos cos cos A B C A B C
++−−−的最大值和最小值。

4． 设[]x 为小于等于的最大整数，
x {(,)|13,24}D x y x y =≤≤≤≤，求[]D
x y dxdy +∫∫。

5． 设连续，满足f 20()()x
x t f x x e f t d −′=+∫t ，求(0)f ′。

（本题满分20分）如图设有一个等边三角形，内部放满排半径相同的圆，彼此相切，
记n A 为等边三角形的面积，为n 排圆的面积之和，求n A lim
n n A A
→∞。

（本题满分20分）设()()x
f x e P x =，其中为5次多项式，证明
()P x （1）必有极值点；
()f x （2）必有奇数个极值点。

()f x
（本题满分20分）证明：
22
22
1
0,
t x
x
x e dt e
x
+∞−−∀><
∫。

（本题满分20分）定义数列{如下：}n a 11101,max{,},2,3,4,2
n n a a a x dx n −===∫L ，求。

lim n n a →∞。

浙江省高中数学竞赛试卷详解一、试卷概述本次浙江省高中数学竞赛旨在考查学生对数学基础知识的掌握程度，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

试卷总分为150分，考试时间为3小时。

二、试题特点1、注重基础：试卷中大部分题目涉及的都是高中数学的基础知识，如代数、几何、概率等。

2、突出能力：部分题目难度较大，需要学生具备一定的数学思维能力、空间想象能力和问题解决能力。

3、实际：试卷中的部分题目与实际问题相结合，考查学生的数学应用能力。

三、详细解析1、选择题部分选择题共10题，每题3分，总计30分。

其中，前8题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第9、10题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。

例1：设a、b为实数，且满足a + b = 2，则a2 + ab + b2的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5解析：本题考查代数式的求值，需要学生运用基本不等式进行计算。

根据题意，我们有a+b=2，需要求a2+ab+b2的最小值。

利用基本不等式，可以得到a2+ab+b2⩾(a+b)2−ab=4−ab。

又因为ab⩽(2a+b21，所以a2+ab+b2⩾4−1=3。

因此，本题答案为B. 3。

2、填空题部分填空题共5题，每题4分，总计20分。

其中，前3题为基础题，考察学生对数学基础知识的掌握程度；第4、5题为难题，需要学生灵活运用数学知识解决实际问题。

例2：设函数f(x) = x2 + ax + b(a、b为实数)，且f(f(f(x))) = x3 + ax2 + bx + 2b。

若f(1) = 1，f(2) = 4，则f(3)的值为（）。

A. 7B. 8C. 9D. 10解析：本题考查函数的求值，需要学生运用函数关系式进行计算。

根据题意，我们有f(1)=1和f(2)=4两个条件。

首先代入函数关系式得到：1+a+b=1①,4+2a+b=4②；然后我们求解这两个方程得到a=0,b=0；最后代入到原函数关系式中得到原函数为f(x)=x2从而计算得到f(3)=9；因此本题答案为C. 9。