亳州一中南校高二(理科)数学综合试卷二

2017-2018学年安徽省亳州市度第一学期期末高二质量检测数学（理）试题一、单选题1．椭圆22143x y+=的焦距为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】在椭圆22143x y+=中，224,3a b==，所以21,1c c==，故焦距22c=，选B.2．已知是等差数列的第项，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由等差数列5,8,11,17，知，首项公差，所以通项公式为，令，选D.3．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b==-，且k a b +与2a b-互相垂直，则实数k的值是（）A. 1B.15C.35D.75【答案】D【解析】试题分析：由向量()1,1,0a =，()1,0,2b=-，得()1,,2ka b k k+=-，()23,2,2a b-=-；由,a b互相垂直，得()()()()()·23,2,2?1,,2=31240ka b a b k k k k+-=--⨯-+-=，解得75k=．故选D．【考点】空间向量垂直的充要条件．4．已知实数,x y满足20{0x yxy+-≤≥≥，则2z x y=+的最大值为（）A. 4B. 3C. 0D. 2【解析】由已知不等式组，画出可行域如图所示，阴影部分AOB ∆，其中()()2,0,0,2A B ，令0z =有20x y +=表示经过原点的直线，由2z x y =+有1122y x z =-+，当直线的纵截距有最大值时， z 就有最大值，所以直线经过点B 时，纵截距有最大值， z 的最大值为0224z =+⨯=，选A.5．在ABC ∆中，已知45,B c b ===，则C =（ ） A. 60 B. 30 C. 60或120 D. 120 【答案】C【解析】根据正弦定理sin sin b c B C = ，代入数值：sin C =，解得：sin C =，又因为c b > ，所以060C =或0120C =，故选C. 6．“3101x +≥-”是“()()210x x +-≥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由3101x +≥-有201x x +≥-，等价于()()120x x -+≥且10,1x x -≠≠ ，所以原不等式的解为2x ≤-或1x >，而()()210x x +-≥的解为2x ≤-或1x ≥，所以()()()()3310210,2101011x x x x x x +≥⇒+-≥+-≥≠>+≥-- 故3101x +≥-是()()210x x +-≥的充分不必要条件，选A.点睛：本题主要考查分式不等式的解集以及充分必要条件，属于易错题。

安徽省亳州市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若X是离散型随机变量，则()E X E X-=éùëû（）A．()E X B．()2E X C．0D．()2[]E X2．函数()f x的定义域为开区间(),a b，导函数()f x¢在(),a b内的图象如图所示，则函数()f x在开区间(),a b内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．某市旅游局对全市各旅游景区的环境进行综合治理，投入不同数额的经费（x千万元），得到各旅游景区收益的增加值（y万元），对应数据如下表所示：二、多选题50,60[60,70评估得分[)评定类型不合格合格贷款金额（万元）0200(1)任抽一家企业，求抽到的等级是优秀或良好(2)对照上表给出的标准，这些企业进行了合格企业、良好企业的数量成等差数列．元，求整改后不合格企业占企业总数【点睛】方法点睛：求解直线过定点即先通过特殊情况确定定点，再转化特殊求解”：即设出定点坐标，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程所求点；（3）求证直线过定点，18．(1)0.45(2)10%2b a c =+，又0.251a b c +++=，可得0.25,0.5b a c =+=，列出分布列，可求得()450400E a x =-，又数学期望不低于410，列出不等式，即可解得不合格企业占企业总数百分比的最大值．【详解】（1）设任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好、优秀的概率分别是1234,,,P P P P ，则根据频率分布直方图可知，12340.015100.15,0.04100.4,0.02100.2,0.025100.25P P P P =´==´==´==´=．故任抽一家企业，等级是优秀或良好的概率约为340.20.250.45P P +=+=．（2）设整改后，任意抽取一家企业，抽到不合格、合格、良好的概率分别为,,a b c ，因为不合格企业、合格企业、良好企业的数量成等差数列，所以,,a b c 也成等差数列，即2b a c =+，又因为0.251a b c +++=，所以0.25,0.5b a c =+=，设整改后一家企业获得的低息贷款为随机变量x ，则其分布列是。

亳州市第一中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（）A．B．C．D．2．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．33．已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（）A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x4．已知函数f（x）的图象如图，则它的一个可能的解析式为（）A．y=2B．y=log3（x+1）C．y=4﹣D．y=5．已知函数f（x）=2x，则f′（x）=（）A．2x B．2x ln2 C．2x+ln2 D．6．函数y=a x+2（a＞0且a≠1）图象一定过点（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，0）D．（3，0）7． 若f （x ）为定义在区间G 上的任意两点x 1，x 2和任意实数λ（0，1），总有f （λx 1+（1﹣λ）x 2）≤λf （x 1）+（1﹣λ）f （x 2），则称这个函数为“上进”函数，下列函数是“上进”函数的个数是（ ）①f （x ）=，②f （x ）=，③f （x ）=，④f （x ）=．A ．4B ．3C ．2D ．18． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）A ．12 B ．34 C. 2D ．34-9． 如图，1111D C B A ABCD -为正方体，下面结论：① //BD 平面11D CB ；② BD AC ⊥1；③ ⊥1AC 平面11D CB .其中正确结论的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．10．设函数f （x ）=则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）11．定义运算，例如．若已知，则=（ ）A ．B ．C ．D ．12．为了得到函数y=cos （2x+1）的图象，只需将函数y=cos2x 的图象上所有的点（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度二、填空题13．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点在抛物线y 2=48x 的准线上，则双曲线的方程是 ．14．已知f （x ），g （x ）都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①f （x ）=a x g （x ）（a ＞0，a ≠1）； ②g （x ）≠0；③f （x ）g'（x ）＞f'（x ）g （x ）；若，则a= ．15．满足tan （x+）≥﹣的x 的集合是 ．16．设是空间中给定的个不同的点，则使成立的点的个数有_________个．17．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：（1）f （2x ）=2f （x ）；（2）当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|，则集合S={x|f （x ）=f （34）}中的最小元素是 ．18．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．三、解答题19．（本小题满分12分）已知函数2()(21)ln f x x a x a x =-++（a R ∈）.（I ）若12a >，求)(x f y =的单调区间； （II ）函数()(1)g x a x =-，若0[1,]x e ∃∈使得00()()f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围.20．如图，在几何体SABCD 中，AD ⊥平面SCD ，BC ⊥平面SCD ，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，∠SDC=120°． （1）求SC 与平面SAB 所成角的正弦值；（2）求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值．21．（14分）已知函数1()ln ,()e x x f x mx a x m g x -=--=，其中m ，a 均为实数．（1）求()g x 的极值； 3分（2）设1,0m a =<，若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠，212111()()()()f x f xg x g x -<-恒成立，求a 的最小值； 5分（3）设2a =，若对任意给定的0(0,e]x ∈，在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠，使得120()()()f t f t g x == 成立，求m 的取值范围． 6分22．已知等差数列满足：=2，且，成等比数列。

2023-2024学年安徽省亳州二中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知函数f(x)=sinx +f′(0)e 2x ，则f(0)=( )A. 1B. −12C. 2D. −12.设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n >N 0时，a n >0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.曲线f(x)=e x lnx +2在点(x 0,2)的切线在x 轴上的截距为( )A. 2e −1B. 1−2eC. −1−2eD. 1+2e4.已知三个正数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则它们的公比为( )A. ±3或±13B. 3或13C. ±3D. 9或195.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一球，定义数列{a n }：a n ={−1,第n 次摸取红球1,第n 次摸取白球如果S n为数列{a n}的前n 项和，那么S7=3的概率为( )A. C 57(13)2×(23)5 B. C 57(23)2×(13)5C. C 37(23)2×(13)5D. C 37(13)2×(23)56.某大楼安装了6个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮1种固定的颜色，且闪亮的颜色各不相同，记这6个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A. 7205秒B. 7200秒C. 7915秒D. 7190秒7.若函数y =f(x)(x ∈R)满足：对∀a ，b ，c ∈D ，f(a)，f(b)，f(c)均可作为一个三角形的边长，就称函数y =f(x)是区间D 上的“W 函数”.则下列四个函数：①y =xlnx ，x ∈[2,e 2]；②y =lnx ，x ∈[e 2,e 3]；③y =lnxx，x ∈[e,e 2]；④y =x e x ，x ∈[12,2]中，“W 函数”有( )个．A. 1B. 2C. 3D. 48.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“─”和阴爻“--”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A =“取出的重卦中至少有2个阴爻”，事件B=“取出的重卦中恰有3个阳爻”.则P(B|A)=( )．A. 516B. 1132C. 2132D. 2057二、多选题：本题共3小题，共18分。

2023-2024学年安徽省亳州市高二下册期中数学试题一、单选题1．若集合{}220A x x x =--<，{}24B x x =<，则A B = （）A ．AB ．BC ．()1,0-D ．()0,2【正确答案】A【分析】分别求出集合A 和B 求的解集，交集运算即可.【详解】集合{}{}22012A x x x x x =--<=-<<，{}22B x x =-<<，所以A B A = ．故选：A ．2．已知等差数列{}n a 满足23672a a a a +++=，则45a a +=（）A ．12B ．1C ．32D ．2【正确答案】B【分析】直接由等差数列项数的性质得到273645a a a a a a +=+=+即可求解.【详解】由等差数列可知：273645a a a a a a +=+=+，所以()4522a a +=，451a a +=.故选：B.3．下列函数是奇函数的是()A ．22x x y -=+B ．32y x =C ．lg()y x =-D ．y x x=【正确答案】D【分析】根据函数的奇偶性的定义逐项判断即可.【详解】()22x x y f x -==+，定义域为R 关于原点对称，且()()22x xf x f x --=+=，故该函数为偶函数，故A 不符题意；()32y f x x ===[0，∞)不关于原点对称，∴该函数为非奇非偶函数，故B 不符题意；()lg()y f x x ==-，定义域由－x ＞0得(－∞，0)不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故C不符题意；()y f x x x ==，定义域为R 关于原点对称，且()()f x x x f x -=-=-，故该函数为奇函数，故D符合题意﹒故选：D.4．已知，0.60.6a =，0.10.3b -=，0.50.6c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a<<D ．a c b<<【正确答案】D【分析】由指数函数单调性及中间值比大小.【详解】因为0.6x y =单调递减，所以0.60.5000.60.60.61a c <=<=<=，0.100.30.31b -=>=，所以a cb <<.故选：D5．《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程为2000里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行155里，之后每天比前一天多行12里，驽马第一天行100里，之后每天比前一天少行2里，若良马和驽马第n 天相遇，则n 的最小整数值为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【正确答案】D【分析】设驽马、良马第n 天分别行n a 、n b 里，分析可知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，结合等差数列的求和公式可得出关于n 的不等式，即可得解.【详解】设驽马、良马第n 天分别行n a 、n b 里，则数列{}n a 是以100为首项，以2-为公差的等差数列，数列{}n b 是以155为首项，以12为公差的等差数列，由题意可得()()()2121211001555250200022n n n n n n n n -⋅--+++=+≥，整理可得2504000n n +-≥，解得25n ≤--25n ≥，而7258<<，故n 的最小整数值为8.故选：D.6．已知函数f （x ）=m +log 2x 2的定义域是[1，2]，且f （x ）≤4，则实数m 的取值范围是（）A ．（-∞，2]B ．（-∞，2）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）【正确答案】A【分析】根据函数f （x ）的定义域，得到函数f （x ）在[]1,2上的单调性，进而求得其值域求解.【详解】解：因为函数f （x ）=m +log 2x 2的定义域是[1，2]，所以函数f （x ）=m +log 2x 222log m x =+，且函数f （x ）在[]1,2上递增，所以函数f （x ）的值域为[],2m m +，因为f （x ）≤4，所以24m +≤，解得2m ≤，故选：A7．当1a >时，在同一平面直角坐标系中，1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭与()log ay x =-的图象是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】B【分析】由定义域和1a >，使用排除法可得.【详解】()log a y x =-的定义域为(,0)-∞，故AD 错误；BC 中，又因为1a >，所以101a<<，故C 错误，B 正确.故选：B8．已知偶函数f (x )在区间[)0+，∞单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 取值范围是（）A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,23【正确答案】A【分析】由偶函数性质得函数在(,0]-∞上的单调性，然后由单调性解不等式．【详解】因为偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，故x 越靠近y 轴，函数值越小，因为()121(3f x f -<），所以1213x -<，解得.1233x <<故选：A ．9．若不等式2(1)10x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则a 的最小值为（）A ．0B．-C．2-D ．5-【正确答案】D【分析】根据二次函数的性质，根据对称轴的位置分类讨论可得..【详解】记22()(1)11f x x a x x ax a =+-+=++-，要使不等式()2110x a x +-+≥对一切(1,2]x ∈都成立，则：12(1)20a f ⎧-≤⎪⎨⎪=≥⎩或2122()1024a a a f a ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=--+≥⎪⎩或22(2)50a f a ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩解得2a ≥-或42a -<<-或54a -≤≤-，即5a ≥-.故选：D10．下列结论中正确的是（）A ．若ac bc >，则a b >B ．222a b ab +≤C ．函数1(1)1y x x x =+>-最小值为3D ．若6a b +=，则28a b+的最小值为3【正确答案】C【分析】根据不等式的性质、基本不等式确定正确选项.【详解】A 选项，若,0ac bc c ><，则a b <，A 选项错误.B 选项，根据基本不等式可知222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，B 选项错误.C 选项，1,10x x >->，11111311x x x x +=-++≥+=--，当且仅当11,21x x x -==-时等号成立，C 选项正确.D 选项，当2,8a b =-=时，6a b +=，2828028a b +=+=-，D 选项错误.故选：C11．已知{}n a 是等比数列，则“13a a <”是“{}n a 是单调递增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：因为13a a <，所以211a a q <，即()2110-<a q，当11,2aq ==-，满足13a a <，但{}n a 不单调，故不充分；当{}n a 是单调递增数列时，则13a a <，故必要；故选：B12．函数()()252,2()213,2a x x f x x a x a x ⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，若对任意1212,()x x x x ∈≠R ，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(－∞，1]B ．(1，5)C ．[1，5)D ．[1，4]【正确答案】D【分析】由函数的单调性可求解．【详解】因为对任意1212,()x x x x ∈≠R ，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，所以()f x 是减函数，则44(1)32(5)25012a a a a a -++≥--⎧⎪-<⎨⎪+≥⎩，解得14a ≤≤．故选：D ．二、填空题13．若()()2,01,0xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()1.5f =__________.【正确答案】2【分析】由分段函数的定义即可求解.【详解】解：因为()()2,01,0x x f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，所以()()()121.50.50.522f f f -==-==，故答案为.214．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且735S =，1013a =，则7a =______．【正确答案】9【分析】利用等差数列下标和的性质可求解.【详解】由177477352a a S a +=⨯==，得45a =．因为1013a =，所以410792a aa +==．故915．若函数y ＝log a (2－ax )在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是________．【正确答案】(1，2)【分析】分类讨论得到当1a >时符合题意，再令20ax ->在[0，1]上恒成立解出a 的取值范围即可.【详解】令log ,2a y t t ax ==-，当01a <<时，log a y t =为减函数，2t ax =-为减函数，不合题意；当1a >时，log a y t =为增函数，2t ax =-为减函数，符合题意，需要20ax ->在[0，1]上恒成立，当0x =时，20>成立，当01x <≤时，2a x <恒成立，即min22a x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，综上12a <<.故(1，2).16．已知函数()321212x f x x x -⎛⎫=≠ ⎪-⎝⎭，则122018201920192019f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为______．【正确答案】3027【分析】由题意可得()(1)3f x f x +-=，利用倒序相加法，从而即可得到答案.【详解】 32()21x f x x -=-，所以323(1)2323163()(1)3212(1)1212121x x x x x f x f x x x x x x ------+-=+=+==------，设1220192019S f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20182019f ⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭①则2018201720192019S f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭12019f⎛⎫+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭②①+②得120182201820183605420192019S f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+=⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，3027S ∴=.故答案为.3027三、解答题17．已知集合{}2320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；【正确答案】(1)9(,)8+∞(2)①当0a =时，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；②当98a =时43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭【分析】（1）方程2320ax x -+=无根时，集合A 是空集;（2）对a 分类讨论，保证方程2320ax x -+=只有一个根.【详解】（1）当0a =时，方程2320ax x -+=化为320x -+=，有一个根23，不符合题意；当0a ≠时，若方程2320ax x -+=无根，则09420a a ≠⎧⎨-⨯<⎩即98a >综上，a 的取值范围为98a >（2）当0a =时，方程2320ax x -+=化为320x -+=，有一个根23，23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；当0a ≠时，若方程2320ax x -+=只有一个根，则09420a a ≠⎧⎨-⨯=⎩即98a =此时方程2320ax x -+=化为293208x x -+=，有二重根43，43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭18．已知函数()3333x xx x f x ---=+．(1)判断函数()f x 的奇偶性；(2)判断函数()f x 的单调性，并给出证明．【正确答案】(1)奇函数，证明见解析.(2)()f x 在R 上单调递增，证明见解析.【分析】（1）利用奇偶性的定义进行证明；（2）利用单调性的定义进行证明.【详解】（1）()3333x x x x f x ---=+的定义域为R.因为()()3333x xx xf x f x ----==-+，所以()f x 为奇函数.（2）()f x 在R 上单调递增，下面进行证明：()22333191333191x x x x x x x x f x -----===+++.任取12x x <，则()()12f x f x -121291919191x x x x --=-++()()()()()()121212919191919191x x x x x x -+-+-=++()()()12122999191x x x x -=++.因为9x y =在R 上单调递增，且12x x <，所以1299x x <，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <.所以()f x 在R 上单调递增.19．在等差数列{}n a 中，已知12318a a a ++=且45654a a a =++．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设14n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【正确答案】(1)42n a n =-(2)21n n S n =+【分析】（1）由等差数列基本量的计算即可求解；（2）由裂项相消求和法即可求解.【详解】（1）解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则13318a d +=,131254a d +=，解得12a =,4d =∴24(1)42n a n n =+-=-,*n ∈N ；（2）解：()()()()14411114242212122121n n n b a a n n n n n n +⎛⎫====- ⎪⋅-+-+-+⎝⎭，111111111111233557212122121n n S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ .20．已知函数()()log 2a f x x a =+（0a >且1a ≠）的图象过点()3,2．(1)求a 的值；(2)若函数()()1,2,2x x g x f x x +<⎧=⎨≥⎩，求()2g x ≥的解集．【正确答案】(1)3a =(2)[)[)1,23,+∞ 【分析】（1）将坐标代入解析式可得；（2）根据自变量范围分段解不等式即可.【详解】（1）由题意得()()3log 322a f a =+=，得()()223310a a a a --=-+=，解得3a =或1-（舍去），故3a =．（2）由题意得()()31,2log 6,2x x g x x x +<⎧=⎨+≥⎩．当2x <时，()12g x x =+≥，解得12x ≤<；当2x ≥时，()()3log 62g x x =+≥，解得3x ≥．故()2g x ≥的解集为[)[)1,23,+∞ ．21．已知函数()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+.(1)当0x <时，求()f x 解析式；(2)若(1)(21)0f a f a -++<，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)2()2f x x x =-+(2)(),2-∞-【分析】（1）根据奇函数性质()()f x f x =--求解即可；（2）先判断函数()f x 在R 上的增减性，再由奇函数性质得到()(1)21f a f a -<--，根据单调性解抽象不等式即可.【详解】（1）因为函数()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时，2()2f x x x =+，所以当0x <时，0x ->，所以22()2()()2f x x x x x -=-+-=-，因为()()f x f x =--，所以2()2f x x x =-+，故当0x <时，2()2f x x x =-+.（2）由（1）知，()()()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩，当0x ≥时，2()2f x x x =+，易知此时函数单调递增，由奇函数性质得，当0x <时，()f x 也单调递增，所以函数()f x 是R 上的增函数，因为(1)(21)0f a f a -++<，所以()(1)(21)21f a f a f a -<-+=--，即()(1)21f a f a -<--，又因为函数()f x 是R 上的增函数，所以121a a -<--，解得2a <-.故实数a 的取值范围为.(),2-∞-22．已知函数()()2213f x x a x =+--.(1)当2a =，[]2,3x ∈-时，求函数()f x 的值域；(2)若函数()f x 在[]1,3上的最大值为1，求实数a 的值．【正确答案】(1)21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)13a =-【分析】（1）求得()232124f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，利用二次函数的基本性质可求得函数()f x 在[]2,3-上的值域；（2）分1212a-≤、12132a -<<、1232a -≥三种情况讨论，分析函数()f x 在[]1,3上的单调性，结合()max 1f x =可求得实数a 的值.【详解】（1）解：当2a =时，()223213324f x x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，故当[]2,3x ∈-时，()min 32124f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()max 315f x f ==，此时，函数()f x 在[]2,3-上的值域为21,154-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）解：函数()f x 的图象开口向上，对称轴为直线122ax -=.①当1212a -≤时，即当12a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,3上单调递增，此时()()max 3631f x f a ==+=，解得13a =-，合乎题意；②当12132a -<<时，即当5122a -<<-时，函数()f x 在121,2a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在12,32a -⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以，()()(){}max 3163,22max 1,35323,22a a f x f f a a ⎧+-≤<-⎪⎪==⎨⎪--<<-⎪⎩.若3122a -≤<-，由()max 631f x a =+=，可得13a =-，不合乎题意；若5322a -<<-，由()max 231f x a =-=，可得2a =，不合乎题意；③当1232a -≥时，即当52a ≤-时，函数()f x 在[]1,3上单调递减，此时()()max 1231f x f a ==-=，解得2a =，不合乎题意.综上所述，13a =-.。

高二数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若命题“p q ∧”为假，且“q ⌝”为假，则（ ） A ．“q p ∨”为假 B ．p 假C ．p 真 D ．不能判断q 的真假2．设()f x 在x 处可导，则()()0lim2h f x h f x h h→+--等于（ ）A.()2f x 'B.()3f x 'C.()f x 'D.()4f x '3．函数3()f x x =,0()6f x '=,则0x =A.2B.2-C.2±D.1±4．已知M(－2,0)，N(2,0)，动点1P 满足|PM|－|PN|＝4，则动点P 的轨迹是（ ） A ．双曲线 B ．双曲线左边一支C ．一条射线 D ．双曲线右边一支. 5．若抛物线2y ax =的准线的方程是2y =，则实数a 的值是（ ） A.18 B.18- C.8 D.8-6．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A 、55 B 、12 C 、255D 、237．设)(x f '是函数)(x f 的导函数，)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若椭圆22221x y a b+=过抛物线x y 82=的焦点， 且与双曲线122=-y x 有相同的焦点，则该椭圆的方程是（ ）A.12422=+y xB.1322=+y xC. 14222=+y x D ．1322=+y x 9有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线方程是 （ ）112322=-y x 10．已知3()f x x ax =-在[)1,+∞上是单调增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．]3,(-∞B ．)3,1(C ．)3,(-∞D ．),3[+∞二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上.） 11．设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，若α是β的充分条件，则m 的取值范围是。

安徽省亳州一中南校2014-2015学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A 版一、选择题（本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为 （ ） A ．52 B ．51 C ． 50 D ．492.已知0a b >> ，则下列不等式一定成立的是 （ ） A. 2a ab < B.11a b > C. a b < D. 11()()22a b < 3.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2sin c a C =，则角A 为 （ ） A. 030或060 B. 045或060 C. 0120或060 D. 030或0150 4.数列Λ,1614,813,412,211前n 项的和为 （ ） A ．2212n n n ++B ．12212+++-nn n C ．2212n n n ++-D ． 22121nn n -+-+5．关于x 的不等式20()x ax a a R -+>∈在R 上恒成立的充分不必要条件是 （ ）A ．04a a <>或B ．02a <<C ．04a <<D ．08a <<6. 等比数列{}n a 的各项均为正数，若299a a ⋅=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A.12B. 10C. 8D. 32log 5+ 7. 设12a a a ++、、为钝角三角形的边，则a 的取值范围是 （ ）A. 03a <<B. 34a <<C. 13a << D . 46a <<8. 若不等式组 表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是( ) A.5<a B.7≥a C.75<≤a D.75≥<a a 或 9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若67S S <，78S S =，89S S >则下列说法错误的是（ ）A. 0d <B. 80a =C. 106S S >D. 7S 和8S 均为n S 的最大值x-y 50y 0x 2a+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩10. 设()()1111...1232f n n N n n n n=++++∈+++，那么()()+1-f n f n =（ ） A.121n + B. 122n + C. 11+2122n n ++ D. 112122n n -++ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上.） 11.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若53a =，则9___S =12. 若方程x x a a 22220-+-=lg()有一个正根和一个负根，则实数a 的取值范围是___ 13.小明在玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子…第n 次走n 米放2n颗石子，当小明一共走了36米时，他投放石子的总数是______. 14.在ABC ∆中，若6A π=，且2,1AB BC ==，则ABC ∆的面积为__________.15.有以下五个命题：（1）设数列{}n a 满足111,21n n a a a +==+，则数列{}n a 的通项公式为21nn a =-（2）若,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边长，2220a b c +->，则ABC ∆一定是锐角三角形（3）若,A B 是三角形ABC ∆的两个内角，且sin sin A B <,则BC AC < （4）若关于x 的不等式0ax b -<的解集为(1,)+∞，则关于x 的不等式02bx ax +<+的解集为(2,1)--（5）函数4sin (0)sin y x x xπ=+<<的最小值为4 其中真命题为_________(所有正确的都选上)三、解答题（本大题共6个小题，总分75分。

安徽省亳州市高二下学期数学期末考试试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·沈阳模拟) 已知，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·阜新月考) 已知集合A={x|x2-1=0}，则下列式子中：①1∈A；②{-1}∈A；③∅⊆A；④{1，-1}⊆A．正确的个数是（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个3. （2分）等于（）A . 2sin4﹣4cos4B . ﹣2sin4﹣4cos4C . ﹣2sin4D . 4cos4﹣2sin44. （2分）从1、2、3、4、5、6这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为（）A . 300B . 216C . 180D . 1625. （2分）如下图，边长为2的正方形中有一阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为 .则阴影区域的面积为（）A .B .C .D . 无法计算6. （2分）(2017·赣州模拟) 已知双曲线的离心率为，则抛物线x2=4y的焦点到双曲线的渐近线的距离是（）A .B .C .D .7. （2分）某算法的程序框图如图所示，如果输出的结果是26，则判断框内应为（）A . K>2B . K>3C . K>4D . K>58. （2分） (2018高二上·武邑月考) 一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（）A .B .C .D .9. （2分）已知奇函数f（x）在[－1，0]上为单调递减函数，又，为锐角三角形两内角，下列结论正确的是（）A . f（cos）> f（cos）B . f（sin）> f（sin）C . f（sin）> f（cos）D . f（sin）<f（cos）10. （2分） (2019高二下·上海月考) 在四边形（）A .B .C .D .11. （2分） (2017高二上·成都期中) 己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A . 2B . 3C .D .12. （2分）已知函数 f(x)=x2-2x+1+alnx 有两个极值点 x1,x2 ，且x1<x2 ，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·徐水模拟) 已知向量| |=2，与（﹣）的夹角为30°，则| |最大值为________．14. （1分）示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标和，已知，是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的解析式是________．15. （2分）动直线l：（3λ+1）x+（1﹣λ）y+6﹣6λ=0过定点P，则点P的坐标为________ 若直线l与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是________16. （1分） (2019高三上·广州月考) 己知直线l与正方体的所有面所成的角都相等，且平面，则与平面所成角的正切值是________.三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分） (2015高一下·万全期中) 已知{an}是公差为1的等差数列，a1 ， a5 ， a25成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=3 +an，求数列{bn}的前n项和Tn．18. （5分） (2017高二上·右玉期末) 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．19. （10分） (2017高二下·池州期末) 为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本．（1）根据所给样本数据画出2×2列联表；（2）请问能有多大把握认为药物有效？20. （5分） (2018高二上·佛山期末) 已知椭圆的两个焦点分别为，，且经过点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）的顶点都在椭圆上，其中关于原点对称，试问能否为正三角形？并说明理由.21. （15分）(2017·扬州模拟) 已知函数f（x）=lnx+a（x2﹣3x+2），其中a为参数．（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22. （5分）在直角坐标系中xOy，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中圆C的方程为ρ=4cosθ，设圆C与直线l交于A、B两点；若点P的坐标为（1，0）．求：|PA|+|PB|．23. （10分）(2020·化州模拟) 已知函数 .（1）若，解不等式；（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分) 17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、23-2、。

2014-2015学年亳州一中南校高二入学考试数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是( )A.52a a ><或B.2335a a <<<<或C.25a <<D.34a <<2.设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）A ．()()f x f x -是奇函数B .()()f x f x -是奇函数C ．()()f x f x --是偶函数D . ()()f x f x +-是偶函数3.已知函数()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则()=]2[f f （ ） A . 0 B . 1 C . 2 D . 3 4.已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥，则x 等于（ ）A ．3B ．3-C ．31D ．31-5.已知等差数列}{n a 中，882=+a a ，则该数列前9项和9S 等于（ ）A ． 18B ． 27C ． 36D ． 456.若l 、m 、n 是互不相同的空间直线，α、β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是( )A ．若//,,l n αβαβ⊂⊂，则//l nB ．若,l αβα⊥⊂，则l β⊥C. 若,//l l αβ⊥，则αβ⊥ D ．若,l n m n ⊥⊥，则//l m 7.对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是( )①若M N =则log log a a M N =；②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =；④若M N =则22log log a a M N =。

A.①②③④ B.①③ C.②④ D.② 8.过点(1, 3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ） A ．210x y +-= B ．250x y +-= C ．250x y +-= D ．270x y -+=9.函数1()()sin 2x f x x π=-在区间[0,2]上的零点个数为（ ）A .1个B .2个C .3个 D.4个 10.执行如图所示的程序框图后，输出的值为4， 则P 的取值范围是 （ ）A.715816P <≤B.1516P >C. 715816P ≤<D.3748P <≤二、填空题（每题5分，共25分。

亳州2023-2024学年度第一学期开学质量检测高二数学试题（答案在最后）考试时间：120分钟试卷满分：150分命题：高二数学组一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，则2i1i =+（）A.1i -+B.1i+ C.12i-+ D.12i+【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法公式，分子分母同乘1i -可得答案.【详解】()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i -==-=+++-.故选：B.2.在ABC 中，已知D 为BC 上一点，且满足3BD DC = ，则AD =（）A.3144AB AC +B.1344AB AC +C.1233AB AC +D.2133AB AC +【答案】B 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】在ABC 中，3BD DC =，所以3313()4444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ .故选：B3.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A.若,m n n α⊂∥，则m ∥αB.若,,αβαβ∥∥∥m n ，则m n ∥C.若,m n αα⊥⊂，则m n ⊥D.若,m αβα⊥⊂，则m β⊥【答案】C 【解析】【分析】根据线面，面面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质分析判断即可.【详解】对于A ，当,m n n α⊂∥时，m 可能与α平行，m 可能在α内，所以A 错误，对于B ，当,,αβαβ∥∥∥m n 时，,m n 可能平行，可能异面，所以B 错误，对于C ，当,m n αα⊥⊂时，由线面垂直的性质可得m n ⊥，所以C 正确，对于D ，当,m αβα⊥⊂时，m 与β可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，所以D 错误，故选：C4.设e →为单位向量，||2a →=，当,a e 的夹角为π3时，a →在e →上的投影向量为（）A .12- B.e→C.12e →D.2e →【答案】B 【解析】【分析】根据投影向量的定义即可求得答案.【详解】由题意，a →在e →上的投影向量为π||cos 3||a e e a e e e →⋅⋅=⋅=，故选：B ．5.已知函数()π2sin 23h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()()124h x h x =-，其中1x ，[]2π,πx ∈-，则12x x -的最大值是（）A.π2B.πC.5π4D.3π2【答案】D 【解析】【分析】确定()h x 的最大值和最小值，根据()()124h x h x =-可得()()122,2h x h x ==-或()()122,2h x h x =-=，求出12,x x ，从而可求出12x x -的最大值.【详解】由()π2sin 23h x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得max min ()2,()2h x h x ==-，因为()()124h x h x =-，所以()()122,2h x h x ==-或()()122,2h x h x =-=，由()π2sin 223h x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，得ππ22π,Z 32x k k +=+∈，即ππ,Z 12x k k =+∈，因为[]π,πx ∈-，所以()h x 取得最大值时，x 的取值为π12或11π12-，由()π2sin 223h x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，得ππ22π,Z 32x k k +=-+∈，即5ππ,Z 12x k k =-+∈，因为[]π,πx ∈-，所以()h x 取得最小值时，x 的取值为5π12-或7π12，所以12x x -的最大值为7π11π18π3π1212122⎛⎫--== ⎪⎝⎭故选：D6.定义行列式a bad bc cd =-．若函数()11222sin cos f x x x =-在π,6m ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上恰有3个零点，则m 的取值范围是（）A.13π7π,62⎛⎫⎪⎝⎭ B.13π7π,62⎛⎤⎥⎝⎦C.17π23π,66⎛⎤⎥⎝⎦D.17π23π,66⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】先根据新定义和辅助角公式表示出()f x ，然后作出()f x 的图像，利用图像解决零点问题.【详解】由题意，11π1()cos sin cos 22262f x x x x ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，当π,6x m ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，ππ0,66x m ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，设ππ0,66t x m ⎡⎫=+∈+⎪⎢⎣⎭，故()f x 有3个零点等价于1cos 2t =在π0,6t m ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭有3个根，令1πcos ,0,6y t t m ⎡⎫=∈+⎪⎢⎣⎭，作出1cos y t =，212y =的图像如下：π6t ≥时，令1cos 2t =，如图所示，可解得四个交点,,,A B C D 的横坐标为：π5π7π11π,,,3333，由题意，π0,6t m ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭区间中只能恰好含有π5π7π,,333中这3个值，故7ππ11π363m <+≤，解得13π7π,62m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：B7.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30 和45 ，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15 ，则鹳雀楼的高度约为（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A 【解析】【分析】求出AC ，30CMA ∠=︒，45CAM ∠=︒，在ACM △中，由正弦定理求出2MC =，从而得到MN 的长度.【详解】在Rt ABC △中，37sin sin 30AB AC ACB ==∠o，180105ACM ACB MCN ∠=︒-∠-∠=︒，153045CAM ∠=︒+︒=︒，在ACM △中，18030CMA MAC ACM ∠=︒-∠-∠=︒，由sin 30sin 45AC MC =︒︒，237sin 45sin 45sin 30sin 30AC MC =⋅︒=⋅︒=︒︒，在Rt MNC △中，sin 4574MN MC =⋅=o .故选：A8.如图，在三棱锥M ABC -中，ABC ，ACM △均为等腰直角三角形，CB CA ==4CM =,若二面角M AC B --的大小为3π4，则三棱锥M ABC -的外接球的表面积为（）A.80πB.64πC.48πD.1123π【答案】C 【解析】【分析】取AC ，AB 的中点D ，得MDE ∠为二面角M AC B --的平面角，过M 作MF ⊥平面ABC ，则F 在ED 的延长线上，求出EF ，过E 作垂直于平面ABC 的直线l ，则三棱锥的外接球球心O 在l 上，过O 作OG MF ⊥，则四边形GFEO 为矩形，设OE x =，利用222222OE AE AO R OG MG +===+可得答案.【详解】由题意知4CB CA ==，AB ∴=CM =，ACM △为等腰直角三角形，AM CM ∴==，分别取AC ，AB 的中点D ，E ，连接MD ，DE ，MD AC ⊥，//DE BC ，90ACB ∠= ，所以DEAC ⊥，则MDE ∠为二面角M AC B --的平面角即3π4MDE ∠=，过M 作MF ⊥平面ABC ，则F 在ED 的延长线上，∴π4MDF ∠=，2MD =，MF FD ==，2DE =，所以2EF =，过E 作垂直于平面ABC 的直线l ，则三棱锥的外接球球心O 在l 上，过O 作OG MF ⊥，则四边形GFEO 为矩形，设OE x =，利用222222OE AE AO R OG MG +===+，((222222+=++-x x ，解得2x =，得212R=，∴外接球的表面积24π48πS R ==.故选：C.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是过E 作垂直于平面ABC 的直线l ，则三棱锥的外接球球心O 在l 上，过O 作OG MF ⊥，则四边形GFEO 为矩形，本题考查学生的空间想象能力、运算能力.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c是三个平面向量，则下列叙述错误的是（）A.若||0a = ，则0a = B.若ab ac ⋅=⋅ ，且0a ≠ ，则b c=C.若//a b r r ，//b c，则// a cD.若a b ⊥，则||||a b a b +=- 【答案】BC 【解析】【分析】根据平面向量垂直和平行的性质及零向量的性质求解即可.【详解】||0a = ，即0a =，故A 正确；若a b a c ⋅=⋅ ，且0a ≠ ，当a b ⊥ ，a c ⊥ 时，则b 与c不一定相等，故B 错误；若//a b r r，//b c，当0b = 时，a 与c不一定平行，故C 错误；若a b ⊥ ，则0a b ⋅= ，所以||b a +== ，||a b -== ，故||||a b a b +=- ，故D 正确.故选：BC.10.已知函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（）A.函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数B.函数()f x 在,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD.将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，得到函数sin()y x ϕ=+的图象【答案】BC 【解析】【分析】根据函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，由3,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈求得函数的解析式，再逐项判断.【详解】因为函数()sin(3)22f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，所以3,42k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即,4k k Z πϕπ=-∈，又因为22ππϕ-<<，则4πϕ=-，所以()sin(34f x x π=-，A.函数si 121n(3)sin 423f x x x πππ⎛⎫⎛⎫++=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，故错误；B.因为,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则30,44x ππ⎡⎤-∈⎢⎣⎦，又sin y x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上递增，所以函数()f x 在,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故正确；C.23T π=因为()()122f x f x -=，则()()12,f x f x 分别为函数的最大值和最小值，则12x x -的最小值为23T π=，故正确；D.将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，得到函数sin(9)4y x π=-的图象，故错误；故选：BC11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台12O O ，在轴截面ABCD 中，24cm AD CD AB ===，则下列说法正确的是（）A.该圆台的高为315cm .B.该圆台的体积为315πcm 3.C.圆台的轴截面面积为2315cm D.一只小虫从点C 沿着该圆台的侧面爬行到AD 100482cm -.【答案】BCD 【解析】【分析】根据勾股定理、圆台体积公式、等腰梯形的面积公式，结合侧面展开图进行求解即可.【详解】如图所示圆台的轴截面，A ：过点A 作AE CD ⊥，因此有22212421615cm 2O O AE AD DE -⎛⎫==-=-= ⎪⎝⎭，所以A 选项错误.B ：由圆台体积公式求得该圆台的体积为(31715π4ππ4ππ15cm 33=+⋅=所以B 选项正确.C ：由梯形面积公式可得圆台的轴截面面积为()2425315cm 2+==，所以C 选项正确；D ：把圆台补成圆锥，圆锥的顶点为O ，圆锥的侧面展开图如下图所示：因为24cm CD AB ==，所以28OD OC AD ===，162OP OA AP OA AD =+=+=，于是有2π2π82DOF ⋅∠==，因此π4DOC ∠=，由余弦定理可知：26436286100482cm 2PC =+-⨯⨯⨯=-因此D 选项正确.故选：BCD【点睛】关键点题：本题的关键是把圆台补成圆锥.12.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且():():()9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）A.sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==B.ABC 是钝角三角形C.ABC 的最大内角是最小内角的2倍D.若6c =，则ABC 外接圆半径为877【答案】ACD 【解析】【分析】根据():():()9:10:11a b a c b c +++=，得到4,5,6a x b x c x ===，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可.【详解】对A ，因为在ABC 中，所以91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得456a x b x c x =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以根据正弦定理知sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，故A 正确；对B ，易知角C 为最大角，则2221625361cos 02458x x x C x x +-==>⋅⋅，()0,,0,2C C ππ⎛⎫∈∴∈ ⎪⎝⎭ ，所以角C 为锐角，故ABC 是锐角三角形，故B 错误；易角A 为最小角，则2223625163cos 2654x x x A x x +-==⋅⋅，所以21cos22cos 18A A =-=，即cos 2cos A C =，又π,0,2A C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,πA ∈，所以2A C =，故C 正确；设外接圆的半径为R，则由正弦定理得2sin 8c R C ==，解得877R =，故D 正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13.已知38sin cos α⋅α=，且42ππα<<，则cos sin αα-=___________.【答案】12-【解析】【分析】由42ππα<<可知，sin cos αα>，再根据()2cos sin 12sin cos αααα-=-，即可求出cos sin αα-的值．【详解】因为42ππα<<，所以sin cos αα>，而()231cos sin 12sin cos 1284αααα-=-=-⨯=，所以1cos sin 2αα-=-．故答案为：12-．14.在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1,1AB AD AA ===，则异面直线1A D 与1AB 所成角的余弦值为________；【答案】10【解析】【分析】由11//B C A D 可得1AB C ∠或其补角即为异面直线1A D 与1AB 所成角即可求解.【详解】因为11//A B DC ，11=A B DC ，所以四边形11A B CD 是平行四边形，所以11//B C A D ，所以1AB C ∠或其补角即为异面直线1A D 与1AB 所成角，因为12,1,1AB AD AA ===，所以1AB AC ==，1B C =所以12cos 10AB C ∠==，故答案为：10.15.已知向量a ，b 满足1a b == ，且12a b ⋅= ，则向量a ，b 的夹角为______，a b -=r r ______．【答案】①.π3##60︒②.1【解析】【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式及数量积的运算律求解作答.【详解】设,a b 的夹角为θ，则1cos 2a b a b θ⋅== ，而0πθ≤≤，因此π3θ=，所以1a b -== ．故答案为：π3；116.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足222c a b ab --=，点D 在边AB 上，且CD 平分ACB ∠，若1CD =，则ABC 面积的最小值为________.【解析】【分析】由余弦定理可得2π3C =，再根据ABC ACD BCD S S S =+△△△可得ab a b =+，再结合基本不等式与三角形面积公式求解即可.【详解】由222c a b ab --=得222a b c ab +-=-，故2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又0πC <<，故2π3C =.因为CD 平分ACB ∠，且1CD =，由ABC ACD BCD S S S =+△△△可得12π1π1πsin sin sin 232323ab b CD a CD =⨯+⨯，即ab a b =+.又a b +≥，故ab ≥4ab ≥，当且仅当2a b ==时取等号.故12πsin 42344ABC S ab ab ==≥⨯= ，即ABC .四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数()()2561i z m m m =+-+-，R m ∈．（1）若z 是纯虚数，求m 的值；（2）若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围．【答案】（1）6m =-；（2）()6,1-【解析】【分析】（1）由实部为0且虚部不为0列式求解；（2）由实部与虚部均小于0得到不等式组，求出m 的取值范围．【小问1详解】()()2561i z m m m =+-+-是纯虚数，故256010m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得6m =-【小问2详解】因为z 在复平面内对应的点在第三象限，所以256010m m m ⎧+-<⎨-<⎩，解得61-<<m ，故m 的取值范围为()6,1-．18.已知312tan ,cos()413ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求22cos sin 124ααπα--+的值；（2）求cos β的值．【答案】（1）17（2）3365-【解析】【分析】（1）根据余弦二倍角公式、正弦两角和公式以及同角的三角函数关系求解即可.（2）根据()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦求解即可.【小问1详解】 3tan 4α=，∴22cos sin 1cos sin 1tan 12cos sin 1tan 7)4αααααπαααα----===+++【小问2详解】αQ ，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，312tan ,cos()413ααβ=+=-4cos 5α∴=，3sin 5α=，5sin()13αβ+=，则()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦cos()cos sin()sin αβααβα=+++12453135135=-⨯+⨯3365=-19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠= ，M ，N 分别为,PB AD 的中点．（1）证明：//MN 平面PCD ；（2）若2PA AB ==，求点N 到平面PBC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）7.【解析】【分析】（1）取PC 中点Q ，连接,MQ DQ ，证明四边形DQMN 是平行四边形，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）根据等体积法即A PBC P ABC V V --=，即可求得答案.【小问1详解】在四棱锥P ABCD -中，取PC 中点Q ，连接,MQ DQ ，如图，由于四边形ABCD 是菱形，,M N 分别为,PB AD 的中点，则////MQ BC ND ，12MQ BC ND ==，于是四边形DQMN 是平行四边形，有//MN DQ ，而DQ ⊂平面PCD ，MN ⊄平面PCD ，所以//MN 平面PCD .【小问2详解】由（1）知，//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，则//AD 平面PBC ，于是点N 到平面PBC 的距离等于点A 到平面PBC 的距离，设为d ，由PA ⊥平面ABCD ，,AB AC ⊂平面ABCD ，得,PA AB PA AC ⊥⊥，而四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠= ，2PA AB ==，则ABC 为正三角形，所以2AC AB ==，则PB PC ==，PBC 底边BC 上的高h ==，于是PBC 的面积PBC S =△132222ABC S =⨯⨯⨯=△，由A PBC P ABC V V --=，得1133PBC ABC S d S PA ⋅=⋅ ，2d =，解得d=2217，所以点N 到平面PBC 的距离是7.20.已知)()2,2cos ,2cos ,1a x x b x == ，函数()f x a b =⋅ ．（1）求()f x 图象的对称中心及其单调递增区间；（2）若函数()π4x g x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算()()()()1232023g g g g +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（1）ππ,1212k ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z ，πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦.(k ∈Z)（2）2022【解析】【分析】（1）利用向量的数量积运算以及三角恒等变形求得函数解析式，利用正弦函数的性质求得对称中心以及单调递增区间；（2）利用函数的周期性求解可得答案.【小问1详解】由已知得()2cos 2cos f x a b x x x=⋅=+2cos21x x ++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令π2π,6x k k +=∈Z ，解得ππ,Z 212k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心坐标为ππ,1212k ⎛⎫-⎪⎝⎭，Z k ∈，令πππ2π22π,262k x k k -≤+≤+∈Z ，解得ππππ36k x k -≤≤+，Z k ∈，所以单调递增区间为πππ,k 36π⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k (Z k ∈）；【小问2详解】()π2si ππ416n 2x g x f x ⎛⎫== ⎪⎝⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎭，该函数周期为2π4π2T ==，所以()11g =+，()20g =，()31g =+，()42g =，()51g =，因为函数周期为4，且()()()()12344g g g g +++=，所以()()()()()()()1234567+++=++g g g g g g g ()()()820172018+=⋅⋅⋅=+g g g ()()20192020g g ++，而()()()()()()202120222023505415054250543g g g g g g ++=⨯++⨯++⨯+()()()123g g g =++，所以()()()()1232023g g g g +++⋅⋅⋅+450522022=⨯+=.21.中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥成为“阳马”.在如图所示的阳马P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD，PA AD ==1AB =，以AC 的中点O 为球心，AC 为直径的球面交PD 于M （异于点D ），交PC 于N （异于点C ）.（1）证明：AM PC ⊥；（2）求直线AN 与平面ACM 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1510.【解析】【分析】（1）由题易知CD ⊥平面PAD ，可得CD AM ⊥，又AM MC ⊥，即证出AM ⊥平面PCD ，从而AM PC ⊥；（2）方法一：利用几何法，由等积法求出点N 到平面ACM 的距离h ，即可由sin h ANθ=求出；方法二：利用向量法，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，求出平面ACM 的法向量，再根据线面角的向量公式即可求出．【详解】（1）∵AC 是球O 的直径，∴AM MC⊥又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂面ABCD ，∴PA CD⊥∵矩形ABCD ，∴CD AD ⊥，∵AD PA A ⋂=，∴CD ⊥平面PAD∵AM ⊂平面PAD ，∴CD AM⊥∵CD MC C =∩，∴AM ⊥平面PCD∵PC ⊂平面PCD ，∴AM PC ⊥.（2）解法一：由第一问可知AM PD ⊥，又∵PA AD =，则M 是PD 的中点，∴1AM MD ==，∵CD PD ⊥，∴MC ==∵AN PC ⊥，AM PC ⊥，AN AM A = ，∴PC ⊥面AMN ，∴NM PC⊥∵AN PC ⊥，∴在Rt PAC △中，22223·,·2CN AC AC CN PC PA PN PC PN PA ==∴== ，∴35CN PC =，∵NC =AN =，55NM =，∴310CMN S =△∵AM ⊥面PCD ，∴在三棱锥N AMC -中，N AMC A CMNV V --=∵AM ⊥面PCD ，∴AM MC ⊥，∴22AMC S =△设N 到平面ACM 的距离为h ，则1133AMC CMN h S AM S ⨯⨯=⨯⨯△△，∴10h =记AN 与平面ACM 所成角为θ，则sin 10h AN θ==.解法二：∵底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，∴PA ，AB ，AD 两两互相垂直；∴如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立直角坐标系.则()0,0,0A ，()C ，(P ，()D ∴(PC = ，(AP = ，由第一问可知AM PD ⊥，又∵PA AD =，则M 是PD的中点，∴0,,22M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴()AC =，0,,22AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ACM 的法向量为(),,n x y z =r .由00AC n AM n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得)1,1n =- .设(),PN PC λλ==，∴()AN AP PN λ=+= ∵AN PC ⊥，∴2220AN PC λλλ⋅=+-+=，解得2=5λ，∴2,,555AN ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，记AN 与平面ACM 所成角为θ，则sin cos ,10AN n θ== ，∴直线AN 与平面ACM 所成角的正弦值为1510.22.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin b C c B a +=，sin sin sin a b c A B C ++=++．（1）求b ；（2）求AC 边上中线长的取值范围．【答案】（1）6（2）(3,3+.【解析】【分析】（1）由已知条件cos sin b C c B a +=，利用正弦定理边化角化简可得角B ，sin sin sin a b c A B C++++利用正弦定理化简求得2R ，又2sin b R B =，可得结果；（2）根据余弦定理结合基本不等式可得((0,182ac ⎤∈+⎦，设AC 边上的中点为D ，因为1122BD BA BC =+ ，利用向量数量积运算可得AC 边上中线的取值范围.【小问1详解】因为cos sin b C c B a +=，由正弦定理可得()sin cos sin sin sin sin sin cos cos sin B C C B A B C B C B C +==+=+，整理得sin sin cos sin C B B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得sin cos B B =，即tan 1B =，且()0,πB ∈，则π4B =，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 的外接圆半径，可得2sin ,2sin a R A b R B ==，2sin c R C =，又因2sin 2sin 2sin 2sin sin sin sin sin sin a b c R A R B R C R A B C A B C++++===++++所以2sin 62b R B ===.【小问2详解】在ABC 中，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，即2236a c =+，则22362a c ac +=+≥，当且仅当a c =时，等号成立，可得(182ac ≤=+，即((0,182ac ⎤∈+⎦设AC 边上的中点为D ，因为1122BD BA BC =+ ，则22221111122424BD BA BC BA BA BC BC ⎛⎫=+=+⋅+ ⎪⎝⎭uu u r uu r uu u r uu r uu r uu u r uu u r ()()(22111cos 3699,271842442a c ac B ac ac =++=++=+∈+，即(3,3BD ∈+，所以AC边上中线长的取值范围为(3,3+.。

2023-2024学年安徽省亳州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知点(,)A m n 在焦点为F 的抛物线24x y =上，若||3AF =，则2m =（）A ．4B ．8C ．12D ．16【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可.【详解】抛物线24x y =的准线方程为1y =-，由||3(1)32AF n n =⇒--=⇒=，点(,)A m n 在物线24x y =上，所以24428m n ==⨯=，故选：B2．中国空间站（China ce Station ）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022年10月31日15：37分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“T ”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有（）A ．450种B ．72种C ．90种D ．360种【正确答案】A【分析】利用分组和分配的求法求得6名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.【详解】由题知，6名航天员安排三舱，三舱中每个舱至少一人至多三人，可分两种情况考虑：第一种：分人数为123--的三组，共有12336533C C C A 360⋅=种；第二种：分人数为222--的三组，共有2223642333C C C A 90A ⋅=种；所以不同的安排方法共有36090450+=种.故选：A.3．已知函数2()3x f x a +=-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，设抛物线28y x =上任意一点M 到准线l 的距离为d ，则||d MA +的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】C【分析】先求出定点()2,2A -，由抛物线的定义得d MA MF MA +=+，因为两点之间线段最短，所以最小值为AF .【详解】解：因为()22f -=，所以函数()23x f x a +=-+的图像恒过定点()2,2A -又因为点M 在抛物线28y x =上，抛物线焦点()2,0A ，所以点M 到准线l 的距离为d MF =所以d MA MF MA+=+由两点之间线段最短，所以最小值为AF =故选C .本题考查了指数函数的定点，抛物线的定义，属于中档题.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，分别取棱1AA ，11A D 的中点E ，F ，点G 为EF 上一个动点，则点G 到平面1ACD 的距离为（）A ．2B ．2C ．1D ．3【正确答案】D【分析】将点G 到平面1ACD 的距离转化为点F 到平面1ACD 的距离，建立空间直角坐标系求解.【详解】如图所示，因为点E ，F 分别是1AA ，11A D 的中点，所以1//EF AD ，又因为1AD ⊂平面1ACD ，EF ⊄平面1ACD ，所以//EF 平面1ACD ，点G 到平面1ACD 的距离即为点E 或F 到平面1ACD 的距离.设F 到平面1ACD 的距离为d ，建立如图所示的空间直角坐标系，()2,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,2D ，()2,2,0AC =- ，()12,0,2AD =-，设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =r ，则有10AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，可求得平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，()1,0,2AF =- ，所以33n AF d n ⋅==.故选：D.5．直角坐标平面内，与点()1,1A -的距离为2，且与点()2,5B 的距离为3的直线的条数为（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【正确答案】C【分析】将问题转化为求以点()1,1A -为圆心，以2为半径的圆和以点()2,5B 为圆心，以3为半径的圆的公切线的条数求解.，【详解】到点()1,1A -距离为2的直线可看作以A 为圆心2为半径的圆的切线，同理到点()2,5B 距离为3的直线可看作以B 为圆心3为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又22(12)(15)523AB =--+-==+，故两圆外切，所以公切线有3条，故选：C.6．在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，下列说法错误的是（）A ．常数项为160-B ．第4项的系数最大C ．第4项的二项式系数最大D ．所有项的系数和为1【正确答案】B【分析】由二项式定理可得展开式通项；令260r -=即可求得常数项，知A 正确；若系数最大，则需0,2,4,6r =，由此可确定系数最大项，知B 错误；由展开式共有7项可知C 正确；令1x =即可得到D 正确.【详解】612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()6261661C 22C rr rr r r r T x xx --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭；对于A ，令260r -=，解得：3r =，∴常数项为()3362C 820160-=-⨯=-，A 正确；对于B ，由通项公式知：若要系数最大，r 所有可能的取值为0,2,4,6，则61T x -=，222364C 60T x x --==，()4422562C 240T x x =-=，()6667264T x x =-=，∴展开式第5项的系数最大，B 错误；对于C ，展开式共有7项，则第4项的二项式系数最大，C 正确；对于D ，令1x =，则所有项的系数和为()6121-=，D 正确.故选：B.7．已知()202322023012202312x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，下列命题中，不正确的是（）A ．展开式中所有项的二项式系数的和为20232B ．展开式中所有偶数项系数的和为2023312+C ．展开式中所有奇数项系数的和为2023312-D ．123202323202312222a a a a +++⋅⋅⋅+=-【正确答案】B【分析】根据二项式系数的和即可判断A ；分别令1,1x x ==-，即可判断BC ；令10.2x x ==即可判断D.【详解】对于A ，二项式()202312x -展开式中所有项的二项式系数的和为20232，A 正确；对于B ，令1x =，012320231a a a a a ++++⋅⋅⋅+=-，令=1x -，则2023012320233a a a a a -+-+⋅⋅⋅-=，两式相减得展开式中所有偶数项系数的和为2023312+-，B 不正确；对于C ，由选项B 知，两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为2023312-，C 正确；对于D ，令0x =，则01a =，令12x =，则1232023023202302222a a a a a ++++⋅⋅⋅+=，所以123202323202312222a a a a +++⋅⋅⋅+=-，D 正确.故选：B.8．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM -P ABC 的外接球的表面积是（）A ．92πB ．C ．18πD ．40π【正确答案】C【分析】首先确定三角形ABC 为等腰三角形，进一步确定球的球心，再求出球的半径，最后确定球的表面积．【详解】解：如图所示：三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面2ABC AP AB ==，，M 是线段BC 上一动点，线段PM则：当AM BC ⊥时，线段PM 达到最小值，由于：PA ⊥平面ABC ，所以：222PA AM PM +=，解得：1AM =，所以：BM =，则：60BAM ∠=︒，由于：120BAC ∠=︒，所以：60MAC ∠=︒则：ABC 为等腰三角形．所以：BC =，在ABC 中，设外接圆的直径为24120r sin ==︒，则：2r =，所以：外接球的半径R =，则：94182S ππ=⋅⋅=，故选C ．本题考查的知识要点：三棱锥的外接球的球心的确定及球的表面积公式的应用．二、多选题9．下列命题正确的有（）A ．两平行线34503450x y x y ++=+-=、间的距离为2B ．过点()1,1且在两坐标轴上截距相等的直线有两条C ．直线3450x y ++=的方向向量可以是(3,4)n =D ．直线240ax y ++=与直线()120x a y +-+=平行，则1a =-或2【正确答案】AB【分析】计算平行直线的距离得到A 正确，截距相等的直线有y x =和2y x =-+，B 正确，直线的一个方向向量是(4,3)n =-，C 错误，当2a =时，两直线重合，D 错误，得到答案.【详解】两平行线3450,3450x y x y ++=+-=间的距离为2d ==，A 正确；过点()1,1且在两坐标轴上截距相等的直线有y x =和2y x =-+，B 正确；直线3450x y ++=的一个方向向量是(4,3)n =-，C 错误；当2a =时，两直线重合，D 错误.故选：AB.10．已知过点()4,2P 的直线l 与圆()()22:334C x y -+-=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则（）A ．AB 的最大值为4B ．AB 的最小值为2C ．点O 到直线l的距离的最大值为D ．POC △【正确答案】AC【分析】求得圆C 的圆心坐标为(3,3)C ，半径为=2r ，结合圆的性质和圆的弦长公式，三角形面积公式，即可求解.【详解】解：由题意，圆22:(3)(3)4C x y -+-=的圆心坐标为(3,3)C ，半径为=2r ，又由点()4,2P 在圆C 内部，因为过点()4,2P 的直线l 与圆22:(3)(3)4C x y -+-=交于,A B 两点，所以AB 的最大值为24r =，所以A 正确；因为PC ==当直线l 与PC 垂直时，此时弦AB 取得最小值，最小值为AB =，所以B 错误；当直线l 与OP 垂直时，点O 到直线l 的距离有最大值，且最大值为OP ==C 正确；由30231,13043OC PC k k --====---，可得1P OC C k k ⋅=-，即OC PC ⊥，所以POC △的面积为11322OC PC ⋅=⨯=，所以D 错误.故选：AC.11．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，过F 的直线与抛物线交于,A B 两点，M 为,A B 的中点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是（）A ．以AB 为直径的圆与2x =-相离；B ．当2AF FB =，9AB =；C ．AB 最小值为8；D ．M 的坐标可为(6,4)【正确答案】BCD【分析】由题意可得=4p ，有抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断A ；将直线与抛物线联立，由根与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断BD ，由抛物线的通径可判断C【详解】因为抛物线()220y px p =>的焦点F 到准线的距离为4，所以=4p ，所以抛物线28y x =，抛物线的准线方程为2x =-，焦点为()2,0F ，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，对于A ：由抛物线的定义易知：()0122222x x x AF BF AB +=+++=+=，所以以AB 为直径的圆与2x =-相切，故A 错误；对于B ：由()2=8=2y x y k x -⎧⎪⎨⎪⎩得()22224840k x k x k -++=，则212224884k x x k k ++==+，如图，过点,A B 分别作准线得垂线，垂足分别为11,A B ,过B 作1BD AA ⊥,垂足为D ，由2AF FB =得22AF FB t ==，则11111,2,2A D BB FB t AA AF t AD AA A D t t t ======-=-=，BD ==，所以AB k t==所以12284449AB x x k =++=++=，故B 正确；对于C ：当AB 为抛物线的通径时，min 8AB =，故C 正确；对于D ：令1228412x x k +=+=，解得1k =±，所以当1k =±时，12062x x x +==，()()()12121202244222k x k x k x x ky y y k -+-+-+====，当=1k 时，则有04y =，即()6,4M ，故D 正确，故选：BCD12．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(,0)x ya b b a b-=>>的左、右焦点，过1F 作C 的一条渐近线的垂线l ，垂足为H ，且l 与双曲线右支相交于点P ，若12F H HP =，且25PF =，则下列说法正确的是（）A ．点2F 到直线l 的距离为aB ．双曲线C 的标准方程为22149x y -=C ．双曲线C 的离心率为2D ．12PF F 的面积为18【正确答案】BCD 【分析】取渐近线为by x a=-，则1F 到渐近线的距离为b ，作2F G l ⊥于点G ，易得22||2F G OH a ==；联立22222||PG GF PF +=与122PF PF a -=即可求出双曲线C 的标准方程与离心率；再利用121212PF F S PF F G =△即可求出12PF F △的面积.【详解】根据题意，设()1,0F c -，()2,0F c ，取双曲线C 的一条渐近线为b y x a=-，则1F 到渐近线by x a=-的距离为b ，∴1F H b =，||OH a =，作2F G l ⊥于点G ，如图所示，∵2OH F G ∥，O 为线段12F F 的中点，∴22||2F G OH a ==，H 为线段1FG 的中点，∴2F 到直线l 的距离为2a ，故A 错误；∵12F H HP = ，∴1||||F H GH GP b ===，∵25PF =，∴1253PF a b =+=，在2Rt PGF 中，22222||PG GF PF +=，即22425b a +=，则22254253a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得a ＝2或52-（舍去），∴b ＝3，c =，则双曲线C 的标准方程为22149x y -=，离心率2e =，故B ，C 正确；∵139PF b ==，224F G a ==，∴12121182PF F S PF F G ==△，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题13．已知A (4，1，3)，B (2，3，1)，C (3，7，－5)，点P (x ，－1，3)在平面ABC 内，则x ＝________．【正确答案】11【分析】根据题意判断存在实数k 1，k 2，使12AP k AB k AC =+，再进行空间向量的坐标运算构建方程，解出参数即可.【详解】解析：因为点P 在平面ABC 内，所以存在实数k 1，k 2，使12AP k AB k AC =+，即(x －4，－2，0)＝k 1(－2，2，－2)＋k 2(－1，6，－8)，所以12121242226028x k k k k k k-=--⎧⎪-=+⎨⎪=--⎩，解得124111k k x =-⎧⎪=⎨⎪=⎩.故11．14．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EFBD 的长为_______.【正确答案】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设(0,,2)(11)D t t -≤≤，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值，即可得到方程，解得t ，从而得解．【详解】解：如图以E 为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()310,0,0,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()31,,2,0,1,222EF BD t ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以214102cos 4||||5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++，即22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以22202222BD =++= 故2215．已知圆C 经过()1,3A ，()1,1B -两点，且圆心在直线y x =上，直线l 经过点()2,2-，且l 与圆C 相交所得弦长为23l 的方程为______.【正确答案】20x -=或4320x y +-=【分析】由已知求出圆C 的标准方程，利用直线与圆的位置关系结合勾股定理，可得圆C 的圆心到直线l 的距离1d =，分类讨论直线l 的斜率存在和不存在两种情况，利用点线距公式列方程求出直线的斜率，可得直线l 的方程．【详解】设圆C 的圆心坐标为(),a a ，()()()()22221311a a a a -+-++-解得1a =，所以2r =，所以圆C 的标准方程为()()22114x y -+-=.设圆C 的圆心()1,1到直线l 的距离为d ，则2222d +=，解得1d =①若直线l 的斜率不存在，则1d =，符合题意，此时直线的方程为20x -=.②若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()22y k x +=-，即220kx y k ---=1，解得43k =-.此时直线l 的方程为4320x y +-=故20x -=或4320x y +-=16．过双曲线22115y x -=的右支上一点P ，分别向圆()221:44C x y ++=和圆()222:41C x y -+=作切线，切点分别为M ，N ，则22PM PN -的最小值为__________.【正确答案】13.【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为()()12123PC PC PC PC +--的最小值的求解问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.【详解】由22115y x -=，得211516c =+=，所以双曲线的焦点坐标为()4,0±，由圆的方程知：圆1C 圆心的坐标为()14,0C -，半径12r =，圆2C 的圆心坐标为()24,0C ，半径21r =，,PM PN 分别为两圆切线，22221114PM PC r PC ∴=-=-，22222221PN PC r PC =-=-，()()222212121233PM PN PC PC PC PC PC PC ∴-=--=+--，P 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为12,C C ，122PC PC ∴-=，又12128PC PC C C +≥=（当P 为双曲线右顶点时取等号），()()221212328313PM PN PC PC PCPC ∴-=+--≥⨯-=，即22PM PN -最小值为13.故答案为.13本题考查双曲线中的最值问题的求解问题，涉及到双曲线定义的应用、圆的切线长的求解等知识；关键是能够将问题转化为双曲线上的点到焦点的距离之和的最值的求解问题.四、解答题17．三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【正确答案】（1）4320（2）14400（3）14400【分析】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列；（2）先排五个男生，再将三个女生插进去；（3）两端先排女生，其余位置随便排.【详解】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列，故有3636A A ⋅4320=种；（2）先排五个男生，再将三个女生插进去，故有535614400A A =种；（3）两端先排女生，其余位置随便排，故有265614400A A =种.本题考查了捆绑法、插空法，考查了有限制条件的排列，属于基础题.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，且圆心C 在直线l 上．(1)若圆心C 的坐标为(3,2)，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程．(2)若圆C 上存在点M ，使2MA MO =，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．【正确答案】(1)3y =或34120x y +-=；(2)120,5⎡⎤⎢⎣⎦【分析】（1）根据圆心与半径得到圆C 的方程，设出切线方程为3y kx =+，利用圆心到切线的距离1，解出k 的值即可得切线方程；（2）由2MA MO =，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M 的轨迹为以()0,1-为圆心，2为半径的圆，可记为圆D ，易知圆C 与圆D 相交或相切，由此得到关于圆心距CD 的不等关系式，求其解集，即可得到a 的范围.【详解】（1）因为圆心的坐标()3,2，半径为1，圆的方程：()()22321x y -+-=，由题意易知切线斜率存在，设切线的方程为3y kx =+，即30kx y -+=，∴切线到圆心的距离1d =，∴1d ==，∴31k +=229611k k k ++=+，∴2860k k +=，∴0k =或34k =-，∴切线为3y =或334y x =-+，即切线的方程为3y =或34120x y +-=．（2）因为圆心C 在直线:24l y x =-上，故(),24C a a -，设点(),M x y ，由2MA MO ==，化简得：()2214x y ++=，∴点M 的轨迹方程以()0,1-为圆心，半径为2的圆，记为圆D ，∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相切或相交，∴2121CD -≤≤+，即13≤≤，解得1205a ≤≤，故120,5a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90BAD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD AB BC ===，M 、N 分别为PC ，PB 的中点.（1）求证：PB DM ⊥；（2）求CD 与平面ADMN 所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）5【分析】（1）根据AN PB ⊥，AD PB ⊥可证PB ⊥平面ADMN ，进一步可证PB DM ⊥；（2）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等.在Rt BGN ∆中可求得结果.【详解】（1）因为N 是PB 的中点，PA PB =，所以AN PB ⊥，因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥，从而PB ⊥平面ADMN .因为DM ⊂平面ADMN ，所以PB DM ⊥.（2）取AD 的中点G ，连结BG 、NG ，则//BG CD ，如图：所以BG 与平面ADMN 所成的角和CD 与平面ADMN 所成的角相等.因为PB ⊥平面ADMN ，所以BGN ∠是BG 与平面ADMN 所成的角.在Rt BGN ∆中，sin 5BN BGN BG ∠==.故CD 与平面ADMN 所成的角正弦值是5.本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了求直线与平面所成的角，属于基础题.20．如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，∠BAD =∠ABC =90°，E 是PD 的中点.(1)证明：直线CE ∥平面PAB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）取PA 的中点为F ，连接EF ，BF ，证得CE //BF ，进而线面平行得判定定理即可得出结论；（2）法一：取AD 的中点O 连接PO ，CO ，证得PCO ∠为直线PC 与平面ABCD 所成角，解三角形求出3PCO π∠=，作NQ AB ⊥于Q ，连接MQ 证得MQN ∠为二面角M AB D --的平面角，求出MQN ∠的余弦值即可.法二：建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：(0,2)m =，()0,0,1n = ，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角M AB D --的余弦值为5．【详解】（1）证明：取PA 的中点F ，连结,,EF BF E 是PD 的中点，//EF AD ∴，11,,90,//,//,,22EF AD AB BC AD BAD ABC BC AD EF BC EF BC ∠∠=====∴= ∴四边形BCEF 是平行四边形，//,CE BF BF ∴⊂ 平面,PAB CE ⊄平面PAB ，∴直线CE //平面PAB .（2）法一：四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，1,90,2AB BC AD BAD ABC E ∠∠==== 是PD 的中点.取AD 的中点,O M 在底面ABCD 上的射影N 在OC 上，设2AD =，则1,60AB BC OP PCO ∠==== ，直线BM 与底面ABCD 所成角为45，可得：,,1BN MN CN BC ===，可得：22113BN BN +=，BN MN =作NQ AB ⊥于Q ，连接,MQ AB MN ⊥，所以MQN ∠就是二面角M AB D --的平面角，2MQ ，二面角M AB D --的余弦值为：=法二：由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则则()000A ，，，()100B ，，，()110C ，，，(013P ，，，(103PC =，uu u r ,()100AB =，，uu u v则()(1,13BM x y z PM x y z =-=-，，，，uuu v uuu v因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()001n =，，r是底面ABCD 的法向量，所以cos ,sin45BM n =()222z221x y z =-++即()22210x y z -+-=又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则uuu v uu u vx ,1,33y z λ==由①，②得=1+2=1x y z ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩（舍去）或=12=1x y z ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪⎩所以122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，从而122AM ⎛=- ⎝⎭设()000,,=m x y z 是平面ABM的法向量，则(0000220·0·00x y m AM m AB x ⎧+=⎧=⎪⎨⎨==⎩⎪⎩即所以可取(0,2)m =.于是·cos ,m n m n m n==因此二面角M-AB-D的余弦值为5.21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为2，离心率12e =.(1)求C 的方程；(2)过点()1,0F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若2AF FB =，求l 的方程.【正确答案】(1)22143x y +=20y -=20y +-=【分析】（1）根据焦距得到1c =，根据离心率得到2a =，计算得到b =.（2）设点和直线，联立方程得到根与系数的关系，根据向量运算得到1212322x x y y =-⎧⎨=-⎩，解方程组得到答案.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，焦距为2，得22c =，1c =，离心率12e =，12c e a ==，解得2a =，b ==C 的方程为22143x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，显然直线的斜率存在，设斜率为k ，则直线l 的方程为()1y k x =-.由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22223484120k x k x k +-+-=，2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩()1,0F ，2AF FB =，()()11221,21,x y x y --=-，()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，即1212322x x y y =-⎧⎨=-⎩，21221283432k x x k x x ⎧+=⎪+⎨⎪=-⎩，解得222212833416334k x k k x k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，故2221222281641233434334k k k x x k k k⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪++=⎝-+⎭⎝⎭，解得2k =±，直线l的方程为)1y x =-，即直线l20y -=20y +=.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>与直线x =有且只有一个交点，点1B ，1F 分别为椭圆的上顶点和右焦点，且112B F =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 不经过点1B 且与椭圆交于M ，N 两点，当直线1B M ，1B N直线l 过定点.【正确答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意求出,a b 即可；（2）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为：y kx t =+，联立方程，利用韦达定理求得12x x ，12x x +，再根据斜率公式及已知求出,k t 直接的关系，即可得出结论.【详解】（1）由题意，2a a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得2a =，b =，所以椭圆方程为22142x y +=；（2）显然(10B ，设()11,M x y ，()22,N x y ，①当直线的斜率不存在时，()11,M x y ，()11,N x y -，∴1111B M B N k k +=，从而2x =-与椭圆只有一个交点，不合题意；②当直线l 的斜率存在时，不妨设l的方程为：(y kx t t =+≠，联立直线与椭圆的方程得()222214240k x ktx t +++-=，由根与系数的关系得，21222421t x x k -=+，122421kt x x k -+=+，∴(11121212122B M B N kx t kx t x x k k k t x x x x +-+++=+=+=即(22242122421ktk k t t k -++=-+整理得2k t =+，所以直线l的方程为()22y kx k x k =+-+-，故直线过定点(2,-，综上，直线过定点(2,-.。