安徽省亳州市涡阳一中2018届高三数学最后一卷试题理(含解析)

2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 已知是虚数单位，若，则的虚部是（）A. B.C. D.3. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.4. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上有叙述为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），如图是源于其思想的一个程序框图，如果输出的是，则输入的是（）A. B.C. D.5. 已知，分别满足，，则的值为（）A. B.C. D.6. 某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.7. 中，，，的对边分别为，，．已知，，则的值为________8. 某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为，则的数学期望为（）A. B.C. D.9. 已知函数单调递增，函数的图象关于点对称，实数，满足不等式，则的最小值为（）A. B.C. D.10. 一个正四面体的四个面上分别标有数字，，，．掷这个四面体四次，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中，是互质的正整数，则的值为（）A. B.C. D.11. 已知抛物线，过定点，且作直线交抛物线于，两点，且直线不垂直轴，在，两点处分别作该抛物线的切线，，设，的交点为，直线的斜率为，线段的中点为，则下列四个结论：①；②当直线绕着点旋转时，点的轨迹为抛物线；③当时，直线经过抛物线的焦点；④当，时，直线垂直轴．其中正确的个数有（）A.个 B.个C. 个D. 个12. 设函数 在 上存在导函数 ，对任意的 有 ，且当 时， ．若 ， 的零点有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平行四边形 中， ， ，，则________．14.的展开式中含 的项的系数是________．15. 棱长为 的正方体 如图所示， ， 分别为直线 ， 上的动点，则线段 长度的最小值为________．16. 如图所示，已知直线 的方程为， ， 是相外切的等圆，且分别与坐标轴及线段 相切， ，则两圆半径 ________（用常数 ， ， 表示）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列 的前 项和为 ，已知 ． （1）求 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求 前 项和 ．18. 底面 为正方形的四棱锥 ，且 底面 ，过 的平面与侧面 的交线为 ，且满足 ．（1）证明： 平面 ；（2）当 四边形时，求二面角 的余弦值．19. 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队．在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：（1）求 ， ， ， ， 的值，据此能否有 的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为： ， ， ， ，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为： ， ， ， ．则： 当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率； 如果你是教练员，应用概率统计有关知识．该如何使用乙球员？ 附表及公式：．20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为 ，，且，与该椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆标准方程；（2）过点 的直线与 相切，且与椭圆相交于 ， 两点，求证： ；（3）过点 的直线 与 相切，且与椭圆相交于 ， 两点，试探究 的数量关系．21. 已知函数．（1）讨论函数 的零点个数；（2）已知，证明：当时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．（1）求曲线和直线的直角坐标方程，并求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标，（2）求曲线的极坐标方程，并设，为曲线上的两个动点，且，求的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数．当时，求不等式的解集；若的解集包含，求实数的取值范围．参考答案与试题解析2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合，，从而求出，由此能求出．【解答】∵集合，，∴，∴．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知可得，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵，∴，∴的虚部为．3.【答案】C【考点】余弦函数的图象【解析】利用余弦函数的单调性建立不等式关系求解即可．【解答】函数在上单调递增，则，．解得：，．∵，∴当，可得．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】第一次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；…第次执行循环体后，，，不满足退出循环的条件；第次执行循环体后，，，满足退出循环的条件；故输出∴，5.【答案】D【考点】函数与方程的综合运用【解析】对等式两边取自然对数，再由，求导，判断单调性，运用对数的运算性质，可得所求值．【解答】，可得，，可得，即有，可得，由的导数为，可得在递增，可得，即为，即，可得，可得，6.【答案】C【考点】由三视图求面积、体积【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：．7.【答案】【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用二倍角和正弦定理，化简可得答案．【解答】∵由，得，即，∴得，∴则（舍），或，∵∴，∵，由正弦定理可得：，∴，推导可得：，即，∴. 8.【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意知随机变量的可能取值是，，，，，计算对应的概率值，求出的数学期望值．【解答】由题意知，随机变量的可能取值是，，，，，且，，，，；∴的数学期望为．9.【答案】A【考点】抽象函数及其应用简单线性规划【解析】根据题意，分析可得函数为奇函数，结合函数的单调性分析可得，变形可得：，即或，由二元一次不等式的几何意义分析其可行域，又由，设，其几何意义为可行域中任意一点到点距离的平方，求出的最小值，计算即可得答案．【解答】根据题意，因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即函数是定义在上的奇函数，则，又由函数单调递增，则，变形可得：，即或，所以可得其可行域，如图所示：，设，其几何意义为可行域中任意一点到点距离的平方，分析可得：的最小值为，则的最小值为；故选：．10.【答案】B【考点】模拟方法估计概率【解析】当时，的概率，当时，的概率，当时，的概率，当时，的概率，从而求出的概率，由此能求出的值．【解答】正四面体的四个面上分别标有数字，，，．掷这个四面体四次，令第次得到的数为，存在正整数使得的概率，∴当时，的概率，当时，的概率，当时，的概率，当时，的概率，∴得的概率，其中，是互质的正整数，∴，，则．11.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设点坐标，根据导数的几何意义，即可求得直线的方程，代入即可求得，即可求得直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得，．即可判断①④正确．【解答】设，则直线的方程：，直线过点，所以，解得，所以直线，，由，所以，所以，即，，，所以，则，∴．故垂直轴，故①④正确，12.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】令，，由，可得函数为奇函数．利用导数可得函数在上是增函数，，即，解得，再令，分离参数，可得，，利用导数，求出当时，，即可判断函数零点的个数．【解答】当时，令时，，函数单调递增，令时，，函数单调递减，∴，（1）当时，，函数单调递减，∵，∴直线与有两个交点，∴的零点有个，故选：．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【答案】【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】推导出，，，由此能求出．【解答】∵平行四边形中，，，，如图，∴，∴，∴，∴，∴．14.【答案】【考点】二项式定理及相关概念【解析】利用二项式定理把展开，可得的展开式中含的项的系数．【解答】∵，故它的展开式中含的项的系数是，15.【答案】【考点】棱柱的结构特征【解析】线段长度的最小值是异面直线与间的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长度的最小值．【解答】∵棱长为的正方体如图所示，，分别为直线，上的动点，∴线段长度的最小值是异面直线与间的距离，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，∴线段长度的最小值：．16.【答案】【考点】直线与圆的位置关系【解析】由题意画出图形，得，，设，，列关于，，，，，的方程组，整体求解得答案．【解答】如图，由已知得，，，设，，则，②+③得：④．把①代入④，得，∴．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】，∴，．故．，当时，，令，∴，，∴，故，又满足上式，∴．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1），相减可得，．即可得出．（2），当时，，令，利用错位相减法即可得出．【解答】，∴，．故．，当时，，令，∴，，∴，故，又满足上式，∴．18.【答案】∵底面为正方形，且底面，∴，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，，．∵底面，底面，∴．∵四边形为正方形，∴，∴平面，∴平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，而，．由，得，取得，得为平面的一个法向量．设二面角的大小为，由四边形，得，∴，∴，∴二面角的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）推导出从而平面，进而，再由，得．连接交于点，连．则，由此能证明平面．（2）推导出，，两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【解答】∵底面为正方形，且底面，∴，，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，，则，，，，，．∵底面，底面，∴．∵四边形为正方形，∴，∴平面，∴平面的一个法向量为．设平面的一个法向量为，而，．由，得，取得，得为平面的一个法向量．设二面角的大小为，由四边形，得，∴，∴，∴二面角的余弦值为．19.【答案】，，，，，，∴有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，则；．因为：：：，所以，应该多让乙球员担任守门员，来扩大赢球场次．【考点】条件概率与独立事件【解析】（1）分别求出，，，，的值，求出的值，利用临界值表可得出结论；（2）根据条件概率公式分别计算出乙球员在担任“前锋”，“中锋”，“后卫”，“守门员”时输球的概率，最后相加得到已乙球员参加比赛时，球队输球的概率；利用乙球员担任前锋时输球的概率除以球队输球的概率即可得出答案；分别计算出乙队员在担任“前锋”，“中锋”，“后卫”，“守门员”时输球的概率，以输球概率最小时，乙球员担任的角色，作为教练员使用乙队员的依据．【解答】，，，，，，∴有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，则；．因为：：：，所以，应该多让乙球员担任守门员，来扩大赢球场次．20.【答案】∵与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为或，若公共点为时，则，又，解得，与矛盾，故公共点为．∴，又，∴，．．反之，当时，联立，解得满足条件．∴椭圆标准方程为．证明：∵，设过的直线，联立，得．设，，则，又，∴．由与相切得：，，∴，∴．即：．猜：．证明如下：由（2）得．∵，∴．【考点】椭圆的性质【解析】（1）由与椭圆有且只有一个公共点，可得公共点为或，若公共点为时，得出矛盾，故公共点为．因此，又，．即可得出．（2），设过的直线，联立，得．设，，又，利用数量积运算性质与根及其系数的关系可得：．由与相切得：，解得，即可得出．（3）猜：．分析如下：利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．【解答】∵与椭圆有且只有一个公共点，∴公共点为或，若公共点为时，则，又，解得，与矛盾，故公共点为．∴，又，∴，．．反之，当时，联立，解得满足条件．∴椭圆标准方程为．证明：∵，设过的直线，联立，得．设，，则，又，∴．由与相切得：，，∴，∴．即：．猜：．证明如下：由（2）得．∵，∴．21.【答案】．令，∴．令，则函数与的零点个数情况一致．时，．∴在上单调递增．又，∴有个零点．时，在上单调递增，上单调递减．∴．① 即时，，无零点．② 即时，个零点．③ 即时，，又．又，，令，∴在上单调递增，∴，∴两个零点．综上：当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点．证明（2）要证，只需证．令，只需证：．令，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴且．令，，∴在上单调递增，∴，∴，故．【考点】函数零点的判定定理利用导数研究函数的单调性【解析】（1）．令，问题转化为求函数令，零点的个数问题，先求导，再分类讨论，根据函数零点存在定理即可求出，（2）利用分析法，和构造函数法，借用导数，即可证明．【解答】．令，∴．令，则函数与的零点个数情况一致．时，．∴在上单调递增．又，∴有个零点．时，在上单调递增，上单调递减．∴．① 即时，，无零点．② 即时，个零点．③ 即时，，又．又，，令，∴在上单调递增，∴，∴两个零点．综上：当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点．证明（2）要证，只需证．令，只需证：．令，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴且．令，，∴在上单调递增，∴，∴，故．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的直角坐标方程为，∵直线的极坐标方程为．∴直线的普通方程为：，则曲线上点到直线的距离：，当时，最大，此时，．曲线的极坐标方程为，即．设，则．∴的取值范围是．【考点】简单曲线的极坐标方程【解析】（1）曲线的参数方程消去参数，能求出曲线的直角坐标方程；由直线的极坐标方程能求出直线的普通方程，由此能求出曲线上点到直线的距离最大的点的坐标．（2）曲线的极坐标方程转化为．设，能求出的取值范围．【解答】∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的直角坐标方程为，∵直线的极坐标方程为．∴直线的普通方程为：，则曲线上点到直线的距离：，当时，最大，此时，．曲线的极坐标方程为，即．设，则．∴的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】解：当时，，即．①当时，不等式化为，解得．②当时，不等式化为，解得．③当时，不等式化为，解得．综上，不等式的解集为或．的解集包含在上恒成立在上恒成立．①当时，恒成立恒成立恒成立，解得．②当时，恒成立恒成立恒成立，解得．所以，实数的取值范围为．【考点】绝对值不等式的解法【解析】分段去绝对值，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）的解集包含在上恒成立在上恒成立．当时，恒成立，解得．当时，恒成立解得．【解答】解：当时，，即．①当时，不等式化为，解得．②当时，不等式化为，解得．③当时，不等式化为，解得．综上，不等式的解集为或．的解集包含在上恒成立在上恒成立．①当时，恒成立恒成立恒成立，解得．②当时，恒成立恒成立恒成立，解得．所以，实数的取值范围为．。

2018年安徽省合肥一中高考数学最后一卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x||x−3|<2x}，B={x|−4<x<3}，则(∁R A)∩B=()A.(−4, 1]B.[−3, 3)C.[−3, 1]D.(−4, 3)【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】求出集合A，B，从而求出C U A={x|x≤1}，由此能求出(C R A)∩B．【解答】∵集合A={x||x−3|<2x}={x|x>1}，B={x|−4<x<3}，∴C U A={x|x≤1}，∴(C R A)∩B={x|−4<x≤1}=(−4, 1]．2. 已知i是虚数单位，若z=2+i，则zz的虚部是（）A.4 5iB.45C.−45i D.−45【答案】B【考点】复数的运算【解析】由已知可得z，代入zz，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=2+i，∴zz =2+i2−i=(2+i)2(2−i)(2+i)=35+45i，∴zz 的虚部为45．3. 已知w>0，函数f(x)=cos(wx+π3)在(π3,π2)上单调递增，则w的取值范围是（）A.(23,103) B.[23,103] C.[2,103] D.[2,53]【答案】C【考点】余弦函数的单调性【解析】利用余弦函数的单调性建立不等式关系求解即可．【解答】解：函数f(x)=cos(wx+π3)在(π3,π2)上单调递增，则{π3ω+π3≥2kπ−ππ2ω+π3≤2kπ，k ∈Z ．解得：{ω≥6k −4ω≤4k −23，k ∈Z ． ∵ ω>0，∴ 当k =1，可得2≤ω≤103．故选C .4. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上有叙述为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），如图是源于其思想的一个程序框图，如果输出的S 是60，则输入的x 是（ ）A.4B.3C.2D.1 【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】第一次执行循环体后，n =1，S =x ，不满足退出循环的条件； 第二次执行循环体后，i =2，S =2x ，不满足退出循环的条件； 第三次执行循环体后，i =3，S =3x ，不满足退出循环的条件； 第四次执行循环体后，i =4，S =4x ，不满足退出循环的条件； …第29次执行循环体后，i =29，S =29x ，不满足退出循环的条件； 第30次执行循环体后，i =30，S =30x ，满足退出循环的条件； 故输出S =30x =60 ∴ x =2，5. 已知α，β分别满足α⋅e α=e 2，β(lnβ−2)=e 4，则αβ的值为（ ） A.e B.e 2 C.e 3 D.e 4 【答案】 D【考点】函数与方程的综合运用【解析】对等式两边取自然对数，再由f(x)=x+lnx，求导，判断单调性，运用对数的运算性质，可得所求值．【解答】α⋅eα=e2，可得α+lnα=2，β(lnβ−2)=e4，可得lnβ+ln(lnβ−2)=4，即有lnβ−2+ln(lnβ−2)=2，可得α+lnα=lnβ−2+ln(lnβ−2)，由f(x)=x+lnx的导数为1+1x>0，可得f(x)在x>0递增，可得α=lnβ−2，即为2−lnα=lnβ−2，即lnα+lnβ=4，可得ln(αβ)=4，可得αβ=e4，6. 某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A.2+3√22B.72+3√22C.3+2√2D.2+√2【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】由题意可知几何体的直观图如图：左侧是放倒的三棱柱，右侧是三棱锥，俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为1，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为：1×√2+2×12×1×1+1×1+12×1×1+12×1×√2+1 2×1×√2+12×1×1=3+2√2．7. △ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c．已知c2=2b2−2a2，2sin2A+B2=1+ cos2C，则sin(B−A)的值为________【答案】√34【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】利用二倍角和正弦定理，化简可得答案．【解答】∵由2sin2A+B2=1+cos2C，得cos2C=2sin2A+B2−1=1−cos(A+B)−1=−cos(π−C)=cosC，即2cos2C−cosC−1=0，∴得(cosC−1)(2cosC+1)=0，∴则cosC=1（舍），或cosC=−12，∵0<C<π∴C=2π3，∵c2=2b2−2a2，由正弦定理可得：2(sin2B−sin2A)=sin2C=34，∴sin2B−sin2A=38，推导可得：sin(B+A)sin(B−A)=38，即sinCsin(B−A)=38，∴sin(B−A)=√34.8. 某班级有男生32人，女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为ξ，则ξ的数学期望为（）A.16 13B.2013C.3213D.4013【答案】C【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】由题意知随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，计算对应的概率值，求出ξ的数学期望值．【解答】由题意知，随机变量ξ的可能取值是0，1，2，3，4，且P(ξ=0)=C 320∗C204C 524=C 204C 524，P(ξ=1)=C 321∗C203C 524，P(ξ=2)=C 322∗C202C 524，P(ξ=3)=C 323∗C201C 524，P(ξ=4)=C 324∗C200C 524=C 324C 524；∴ ξ的数学期望为 E(ξ)=0×C 204C 524+1×C 321∗C203C 524+2×C 322∗C202C 524+3×C 323∗C201C 524+4×C 324C 524 =1C 524(32×20×19×3+32×31×19×10+32×31×30×10+32×31×29×5) =3213．9. 已知函数y =f(x)单调递增，函数y =f(x −2)的图象关于点(2, 0)对称，实数x ，y 满足不等式f(x 2−2x)+f(−2y −y 2)≤0，则z =x 2+y 2−6x +4y +14的最小值为（ ） A.32B.23C.3√22D.√22【答案】 A【考点】抽象函数及其应用 简单线性规划 【解析】根据题意，分析可得函数f(x)为奇函数，结合函数的单调性分析可得f(x 2−2x)≤f(2y +y 2)⇒x 2−2x ≤y 2+2y ，变形可得：(x +y)(x −y −2)≤0，即{x +y ≤0x −y −2≥0 或{x +y ≥0x −y −2≤0 ，由二元一次不等式的几何意义分析其可行域，又由z =x 2+y 2−6x +4y +14=(x −3)2+(y +2)2+1，设m =(x −3)2+(y +2)2，其几何意义为可行域中任意一点到点(3, −2)距离的平方，求出m 的最小值，计算即可得答案． 【解答】根据题意，因为函数y =f(x −2)的图象关于点(2, 0) 对称，所以函数y =f(x)的图象关于点(0, 0)对称， 即函数f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(x 2−2x)+f(−2y −y 2)≤0⇒f(x 2−2x)≤−f(−2y −y 2) ⇒f(x 2−2x)≤f(2y +y 2)，又由函数y =f(x)单调递增，则f(x 2−2x)≤f(2y +y 2) ⇒x 2−2x ≤y 2+2y ，变形可得：(x +y)(x −y −2)≤0， 即{x +y ≤0x −y −2≥0 或{x +y ≥0x −y −2≤0， 所以可得其可行域，如图所示：z =x 2+y 2−6x +4y +14=(x −3)2+(y +2)2+1，设m =(x −3)2+(y +2)2，其几何意义为可行域中任意一点到点(3, −2)距离的平方，分析可得：m的最小值为(√1+1)2=12，则z=x2+y2−6x+4y+14的最小值为12+1=32；故选：A．10. 一个正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．掷这个四面体四次，令第i次得到的数为a i，若存在正整数k使得∑=i=1k ai 4的概率p=mn，其中m，n是互质的正整数，则log5m−log4n的值为（）A.1B.−1C.2D.−2【答案】B【考点】模拟方法估计概率【解析】当k=1时，∑=i=1k ai 4的概率p1=14，当k=2时，∑=i=1k ai4的概率p2=34×4=316，当k=3时，∑=i=1k ai 4的概率p=34×4×4=364，当k=4时，∑=i=1k ai4的概率p=14×4×4×4=1256，从而求出∑=i=1k ai4的概率p=mn=125256，由此能求出log5m−log4n的值．【解答】正四面体的四个面上分别标有数字1，2，3，4．掷这个四面体四次，令第i次得到的数为a i，存在正整数k使得∑=i=1k ai 4的概率p=mn，∴当k=1时，∑=i=1k ai 4的概率p1=14，当k=2时，∑=i=1k ai 4的概率p2=34×4=316，当k=3时，∑=i=1k ai 4的概率p=34×4×4=364，当k=4时，∑=i=1k ai 4的概率p=14×4×4×4=1256，∴得∑=i=1k ai 4的概率p=mn=14+316+664+1256=125256，其中m，n是互质的正整数，∴m=125，n=256，则log5m−log4n=log5125−log4256=3−4=−1．11. 已知抛物线y2=2px(p>0)，过定点M(m, 0)(m>0，且m≠p2)作直线AB交抛物线于A，B两点，且直线AB不垂直x轴，在A，B两点处分别作该抛物线的切线l1，l2，设l1，l2的交点为Q，直线AB的斜率为k，线段AB的中点为P，则下列四个结论：①x A⋅x B=m2；②当直线AB绕着M点旋转时，点Q的轨迹为抛物线；③当m=p8,k>0时，直线PQ经过抛物线的焦点；④当m=8p，k<0时，直线PQ垂直y轴．其中正确的个数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设Q点坐标，根据导数的几何意义，即可求得直线AB的方程，代入即可求得x0=−m，即可求得直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及中点坐标公式，即可求得x A x B=m2，y P=y0．即可判断①④正确．【解答】设Q(x0, y0)，则直线AB的方程：y0y=p(x0+x)，直线AB过点M(m, 0)，所以y0×0=p(x0+m)，解得x0=−m，所以直线AB:y0y=p(x0+x)，x=y0y p−x0，由y2=2px(p>0)，所以y2=2p(y0y p−x0)=2y0y−2px0，所以y2−2y0y+2px0=0，即y2−2y0y−2pm=0，y A+y B=2y0，y A y B=−2pm，所以x A x B=(y A y B)24p2=(−2mp)24p2=m2，则y P=y A+y B2=y0，∴y P=y0．故PQ垂直y轴，故①④正确，12. 设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对任意的x∈R有f(x)+f(−x)=2x2，且当x∈[0, +∞)时，f′(x)>2x．若f(2e−a)−f(a)<4e(e−a)，g(x)=e x−ax的零点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】令ℎ(x)=f(x)−x2，ℎ(−x)=f(−x)−x2，由ℎ(−x)+ℎ(x)=0，可得函数ℎ(x)为奇函数．利用导数可得函数ℎ(x)在R 上是增函数，f(2e −a)−f(a)<4e(e −a)，即ℎ(2e −a)<ℎg(a)，解得a ≥e ，再令g(x)=e x−ax =0，分离参数，可得a =e x x，φ(x)=e x x，利用导数，求出当x >0时，φ(x)min =φ(1)=e ，即可判断函数零点的个数． 【解答】当x >0时，令x >1时，φ′(x)>0，函数φ(x)单调递增， 令0<x <1时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减， ∴ φ(x)min =φ(1)=e ，（1）当x <0时，φ′(x)<0，函数φ(x)单调递减， ∵ a ≥e ， ∴ 直线y =a 与y =e x x有两个交点，∴ g(x)=e x −ax 的零点有2个， 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，|DA →+DC →|=4，则BA →∗AD →=________． 【答案】 −9【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】推导出BD =4，AB ⊥BD ，cos <BA →,AD →>=−cos∠BAD =−35，由此能求出BA →∗AD →．【解答】∵ 平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，|DA →+DC →|=4，如图， ∴ BD =4，∴ AB 2+DB 2=AD 2，∴ AB ⊥BD ， ∴ cos <BA →,AD →>=−cos∠BAD =−35，∴ BA →∗AD →=|BA →|⋅|AD →|⋅cos <BA →,AD →>=3×5×(−35)=−9．(2x 2−1)(1x −2x)7的展开式中含x 7的项的系数是________． 【答案】 1024 【考点】二项式定理的应用 【解析】利用二项式定理把(1x −2x)7展开，可得(2x 2−1)(1x −2x)7的展开式中含x 7的项的系数． 【解答】∵ (2x 2−1)(1x −2x)7=(2x 2−1)(1x 7−14⋅1x 5+841x 3−280⋅1x +560x −672x 3+448x 5−128x 7)，故它的展开式中含x 7的项的系数是2×448+128=1024，棱长为1的正方体ABCD −EFGH 如图所示，M ，N 分别为直线AF ，BG 上的动点，则线段MN 长度的最小值为________．【答案】√33【考点】棱柱的结构特征 【解析】线段MN 长度的最小值是异面直线AF 与BG 间的距离，以H 为原点，HE 为x 轴，HG 为y 轴，HD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段MN 长度的最小值． 【解答】∵ 棱长为1的正方体ABCD −EFGH 如图所示，M ，N 分别为直线AF ，BG 上的动点， ∴ 线段MN 长度的最小值是异面直线AF 与BG 间的距离，以H 为原点，HE 为x 轴，HG 为y 轴，HD 为z 轴，建立空间直角坐标系， A(1, 0, 1)，F(1, 1, 0)，B(1, 1, 1)，G(0, 1, 0)， AF →=(0, 1, −1)，AB →=(0, 1, 0)， ∴ 线段MN 长度的最小值：d =|AB →|sin <AB →,AF →>=|AB →|√1−[cos <AB →,AF →>]2=1×√1−(1×√2)2=√22．如图所示，已知直线AB 的方程为x a +yb =1，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆，且分别与坐标轴及线段AB 相切，|AB|=c ，则两圆半径r =________（用常数a ，b ，c 表示）【答案】 ac +bc −c 22(a +b)【考点】直线与圆的位置关系 【解析】由题意画出图形，得cos∠OAB =ac ，sin∠OAB =bc ，设AF =x ，BE =y ，列关于a ，b ，c ，r ，x ，y 的方程组，整体求解得答案． 【解答】 如图，由已知得，cos∠OAB =ac ，sin∠OAB =bc ， 设AF =x ，BE =y ， 则{x +y +2r =cr +2r ∗ac+x =a r +2r ∗bc +y =b， ②+③得：2r +2r(ac +bc )+x +y =a +b ④． 把①代入④，得2r(ac +b c )+c =a +b ， ∴ r =ac+bc−c 22(a+b)．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n =n 2+n +2． （1）求{a n }的通项公式；（2）若数列{b n }满足b n =a n ∗2a n ，求{b n}前n 项和T n ．【答案】S n =n 2+n +2,S n−1=(n −1)2+(n −1)+2(n ≥2)， ∴ a n =S n −S n−1=2n(n ≥2)，a 1=S 1=4． 故a n ={4(n =1)2n(n ≥2,n ∈N ∗) ． b n =a n ∗2a n={2n ∗2a n =2n ∗4n (n ≥2,n ∈N ∗)4∗24=64(n =1)， 当n ≥2时，T n =b 1+b 2+⋯+b n =64+2(2×42+3×43+⋯+n ×4n )， 令P n =2×42+3×43+⋯+n ×4n ，∴ 4P n =2×43+3×44+⋯+(n −1)×4n +n ×4n+1， −3P n =2×42+43+44−n ×4n+1=32+43(4n−2−1)4−1−n ×4n+1，∴ P n =−323−4n+1−439+n×4n+13，故T n =64+3P n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ≥2,n ∈N ∗)，又T 1=64满足上式， ∴ T n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ∈N ∗)．【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）S n =n 2+n +2,S n−1=(n −1)2+(n −1)+2(n ≥2)，相减可得a n =S n −S n−1=2n(n ≥2)，a 1=S 1．即可得出． （2）b n =a n ∗2a n={2n ∗2a n =2n ∗4n (n ≥2,n ∈N ∗)4∗24=64(n =1)，当n ≥2时，T n =b 1+b 2+⋯+b n =64+2(2×42+3×43+⋯+n ×4n )，令P n =2×42+3×43+⋯+n ×4n ，利用错位相减法即可得出． 【解答】S n =n 2+n +2,S n−1=(n −1)2+(n −1)+2(n ≥2)， ∴ a n =S n −S n−1=2n(n ≥2)，a 1=S 1=4． 故a n ={4(n =1)2n(n ≥2,n ∈N ∗) ． b n =a n ∗2a n={2n ∗2a n =2n ∗4n (n ≥2,n ∈N ∗)4∗24=64(n =1)， 当n ≥2时，T n =b 1+b 2+⋯+b n =64+2(2×42+3×43+⋯+n ×4n )， 令P n =2×42+3×43+⋯+n ×4n ，∴ 4P n =2×43+3×44+⋯+(n −1)×4n +n ×4n+1， −3P n =2×42+43+44−n ×4n+1=32+43(4n−2−1)4−1−n ×4n+1，∴ P n =−323−4n+1−439+n×4n+13，故T n =64+3P n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ≥2,n ∈N ∗)，又T 1=64满足上式， ∴ T n =(6n−2)∗4n+1+5129(n ∈N ∗)．底面OABC 为正方形的四棱锥P −OABC ，且PO ⊥底面OABC ，过OA 的平面与侧面PBC 的交线为DE ，且满足S △PDE :S △PBC =1:4． （1）证明：PA // 平面OBD ；（2）当S 2四边形OABC =3S 2△POB 时，求二面角B −OE −C 的余弦值．【答案】∵ 底面OABC 为正方形，且PO ⊥底面OABC ，∴ PO ，OA ，OC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 设OA =OC =2a ，OP =2b ，则O(0, 0, 0)，C(0, 2a, 0)，B(2a, 2a, 0)，F(a, a, 0)，P(0, 0, 2b)，E(a, a, b)． ∵ PO ⊥底面OABC ，CF ⊂底面OABC ，∴ CF ⊥PO ．∵ 四边形OABC 为正方形，∴ AC ⊥OB ，∴ CF ⊥平面OBE ， ∴ 平面OBE 的一个法向量为CF →=(a, −a, 0)． 设平面OEC 的一个法向量为m →=(x, y, z)， 而OC →=(0, 2a, 0)，OE →=(a, a, b)．由{m →∗OC →=0m →∗OE →=0，得{0∗x +2a ∗y +0∗z =0ax +ay +bz =0 ， 取得z =−a ，得m →=(b, 0, −a)为平面OCE 的一个法向量． 设二面角B −OE −C 的大小为θ， 由S2四边形OABC=2S 2△POB ，得PO =√63OA ，∴ ba=√63，∴ cosθ=|OF →∗m →||OF →|∗|m →|=√a 2+a 2∗√a 2+b 2=√55， ∴ 二面角B −OE −C 的余弦值为√55．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）推导出OA // BC 从而OA // 平面PBC ，进而DE // OA ，再由OA // BC ，得DE // BC ．连接AC 交OB 于F 点，连DF ．则DF // PA ，由此能证明PA // 平面OBD ． （2）推导出PO ，OA ，OC 两两垂直，建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出二面角B −OE −C 的余弦值． 【解答】∵ 底面OABC 为正方形，且PO ⊥底面OABC ，∴ PO ，OA ，OC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ， 设OA =OC =2a ，OP =2b ，则O(0, 0, 0)，C(0, 2a, 0)，B(2a, 2a, 0)，F(a, a, 0)，P(0, 0, 2b)，E(a, a, b)． ∵ PO ⊥底面OABC ，CF ⊂底面OABC ，∴ CF ⊥PO ．∵ 四边形OABC 为正方形，∴ AC ⊥OB ，∴ CF ⊥平面OBE ， ∴ 平面OBE 的一个法向量为CF →=(a, −a, 0)． 设平面OEC 的一个法向量为m →=(x, y, z)， 而OC →=(0, 2a, 0)，OE →=(a, a, b)．由{m →∗OC →=0m →∗OE →=0，得{0∗x +2a ∗y +0∗z =0ax +ay +bz =0 ， 取得z =−a ，得m →=(b, 0, −a)为平面OCE 的一个法向量． 设二面角B −OE −C 的大小为θ， 由S2四边形OABC=2S 2△POB ，得PO =√63OA ，∴ ba=√63，∴ cosθ=|OF →∗m →||OF →|∗|m →|=√a 2+a 2∗√a 2+b 2=√55， ∴ 二面角B −OE −C 的余弦值为√55．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队．在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：（1）求b，c，d，e，n的值，据此能否有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：0.2，0.5，0.2，0.1，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：0.4，0.2，0.6，0.2．则：1)当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；2)当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；3)如果你是教练员，应用概率统计有关知识．该如何使用乙球员？附表及公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】b=8，c=8，d=20，e=20，n=50，K2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20≈5.556>5.024，∴有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；1)设A1表示“乙球员担当前锋”；A2表示“乙球员担当中锋”；A3表示“乙球员担当后卫”；A4表示“乙球员担当守门员”；B表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)+P(A4)P(B|A4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32；2)P(A1|B)=P(A1B)P(B)=0.2×0.40.32=0.25．3)因为P(A1|B)：P(A2|B)：P(A3|B)：P(A4|B)=0.08:0.10:0.12:0.02，所以，应该多让乙球员担任守门员，来扩大赢球场次．【考点】条件概率与独立事件【解析】（1）分别求出b，c，d，e，n的值，求出K2的值，利用临界值表可得出结论；（2）1)根据条件概率公式分别计算出乙球员在担任“前锋”，“中锋”，“后卫”，“守门员”时输球的概率，最后相加得到已乙球员参加比赛时，球队输球的概率；2)利用乙球员担任前锋时输球的概率P(A 1|B)除以球队输球的概率P(B)即可得出答案；3)分别计算出乙队员在担任“前锋”，“中锋”，“后卫”，“守门员”时输球的概率，以输球概率最小时，乙球员担任的角色，作为教练员使用乙队员的依据． 【解答】b =8，c =8，d =20，e =20，n =50，K 2=50×(22×12−8×8)230×20×30×20≈5.556>5.024，∴有97.5%的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；1)设A 1表示“乙球员担当前锋”；A 2表示“乙球员担当中锋”；A 3表示“乙球员担当后卫”；A 4表示“乙球员担当守门员”；B 表示“球队输掉某场比赛”，则P(B)=P(A 1)P(B|A 1)+P(A 2)P(B|A 2)+P(A 3)P(B|A 3)+P(A 4)P(B|A 4)=0.2×0.4+0.5×0.2+0.2×0.6+0.1×0.2=0.32； 2)P(A 1|B)=P(A 1B)P(B)=0.2×0.40.32=0.25．3)因为P(A 1|B)：P(A 2|B)：P(A 3|B)：P(A 4|B)=0.08:0.10:0.12:0.02，所以，应该多让乙球员担任守门员，来扩大赢球场次． 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >1)的离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2c ，⊙F 2:(x −c)2+y 2=1与该椭圆有且只有一个公共点． （1）求椭圆标准方程；（2）过点P(4c, 0)的直线与⊙F 2相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，求证：F 2A ⊥F 2B ；（3）过点P(4c, 0)的直线l 与⊙F 1:(x +1)2+y 2=r 2(r >1)相切，且与椭圆相交于A ，B 两点，试探究k F 2A ,k F 2B 的数量关系． 【答案】∵ ⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴ 公共点为(a, 0)或(−a, 0)，若公共点为(−a, 0)时，则a +c =1，又ca =12，解得a =23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a, 0)．∴ a −c =r =1，又e =ca =12，∴ a =2，c =1．b 2=a 2−c 2=3． 反之，当c =1时，联立{(x −1)2+y 2=1x 24+y 23=1，解得{x =2y =0满足条件．∴ 椭圆标准方程为x 24+y 23=1．证明：∵ P(4, 0)，设过P(4, 0)的直线l:x =my +4， 联立{x =my +4x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+24my +36=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−24m4+3m 2,y 1y 2=364+3m 2，又F 2(1, 0)， ∴ F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=36(1+m 2)4+3m 2−72m 24+3m 2+9=72−9m 24+3m 2．由l:x =my +4与⊙F 2:(x −1)2+y 2=1相切得：2=1，m 2=8， ∴ F 2A →⋅F 2B →=0，∴ F 2A →⊥F 2B →．即：F 2A ⊥F 2B ． 猜：k F 2A +k F 2B =0．证明如下： 由（2）得k F 2A +k F 2B =y 1x1−1+y 2x 2−1=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9．∵ 2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ×364+3m 2−72m4+3m 2=0，∴ k F 2A +k F 2B =0． 【考点】 椭圆的离心率 【解析】（1）由⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，可得公共点为(a, 0)或(−a, 0)，若公共点为(−a, 0)时，得出矛盾，故公共点为(a, 0)．因此a −c =r =1，又e =ca =12，b 2=a 2−c 2．即可得出．（2）P(4, 0)，设过P(4, 0)的直线l:x =my +4，联立{x =my +4x 24+y 23=1 ，得(4+3m 2)y 2+24my +36=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，又F 2(1, 0)，利用数量积运算性质与根及其系数的关系可得：F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9．由l:x =my +4与⊙F 2:(x −1)2+y 2=1相切得：2=1，解得m 2=8，即可得出F 2A →⋅F 2B →=0．（3）猜：k F 2A +k F 2B =0．分析如下：利用斜率计算公式、根与系数的关系即可得出．【解答】∵ ⊙F 2与椭圆有且只有一个公共点，∴ 公共点为(a, 0)或(−a, 0)，若公共点为(−a, 0)时，则a +c =1，又ca =12，解得a =23<1，与a >1矛盾，故公共点为(a, 0)．∴ a −c =r =1，又e =ca =12，∴ a =2，c =1．b 2=a 2−c 2=3． 反之，当c =1时，联立{(x −1)2+y 2=1x 24+y 23=1，解得{x =2y =0满足条件．∴ 椭圆标准方程为x 24+y 23=1．证明：∵ P(4, 0)，设过P(4, 0)的直线l:x =my +4， 联立{x =my +4x 24+y 23=1，得(4+3m 2)y 2+24my +36=0．设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则y 1+y 2=−24m4+3m 2,y 1y 2=364+3m 2，又F 2(1, 0)， ∴ F 2A →⋅F 2B →=(x 1−1)(x 2−1)+y 1y 2=(1+m 2)y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=36(1+m 2)4+3m 2−72m 24+3m 2+9=72−9m 24+3m 2．由l:x =my +4与⊙F 2:(x −1)2+y 2=1相切得：2=1，m 2=8， ∴ F 2A →⋅F 2B →=0，∴ F 2A →⊥F 2B →．即：F 2A ⊥F 2B ． 猜：k F 2A +k F 2B =0．证明如下： 由（2）得k F 2A +k F 2B =y 1x1−1+y 2x 2−1=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9．∵ 2my 1y 2+3(y 1+y 2)=2m ×364+3m 2−72m4+3m 2=0， ∴ k F 2A +k F 2B =0．已知函数f(x)=√xax ．（1）讨论函数f(x)的零点个数；（2）已知g(x)=(2−x)e √x ，证明：当x ∈(0, 1)时，g(x)−f(x)−ax −2>0． 【答案】√xf(x)=lnx −a √x ⋅x ．令x 32=t ，∴ x =t 23(t >0)．令ℎ(t)=lnt −32at ，则函数y =ℎ(t)与y =f(x)的零点个数情况一致 .ℎ(t)=1t−32a ．(i)a ≤0时，ℎ′(t)>0．∴ ℎ(t)在(0, +∞)上单调递增． 又ℎ(1)=−32a ≥0,ℎ(ea+1a)=a +1a−32aea+1a≤a +1a−32a ⋅1e 2=(1−32e 2)a +1a<0，∴ 有1个零点．(ii)a >0时，ℎ(t)在(0,23a )上单调递增，(23a ,+∞)上单调递减． ∴ ℎ(t)max =ℎ(23a )=ln 23a −1．①ln 23a <1即a >23e 时，ℎ(23a )<0，无零点． ②ln 23a =1即a =23e 时，ℎ(23a )=0,1个零点．③ln 23a >1即0<a <23e 时，ℎ(23a )>0，又23a >e >1,ℎ(1)=−32a <0．又23a −49a 2=23a (1−23a )<23a (1−e)<0，ℎ(49a 2)=ln(23a )2−32a ⋅49a 2=21n 23a −23a ， 令φ(a)=21n 23a −23a ,φ′(a)=2⋅3a 2(−23⋅1a 2)+23a 2=2−6a 3a 2>0，∴ φ(a)在(0,23e )上单调递增，∴ φ(a)<φ(23e )=2−e <0， ∴ 两个零点．综上：当a≤0或a=23e 时，1个零点；当0<a<23e时，2个零点；当a>23e时，0个零点．证明要证g(x)−f(x)−ax−2>0，只需证√x+2<(2−x)e√x．令√x=m∈(0,1)，只需证：21nmm+2<(2−m2)e m．令l(m)=(2−m2)e m，l′(m)=(−m2−2m+2)e m，∴l(m)在(0,√3−1)上单调递增，在(√3−1,1)上单调递减，∴l(m)>l(1)=e且l(m)>l(0)=2．令t(m)=lnmm ，t′(m)=1−lnmm2>0，∴t(m)在(0, 1)上单调递增，∴t(m)<t(2)=0，∴21nmm+2<2，故g(x)−f(x)−ax−2>0．【考点】利用导数研究函数的单调性函数零点的判定定理【解析】（1）√xf(x)=lnx−a√x⋅x．令x32=t，问题转化为求函数令ℎ(t)=lnt−32at，零点的个数问题，先求导，再分类讨论，根据函数零点存在定理即可求出，（2）利用分析法，和构造函数法，借用导数，即可证明．【解答】√xf(x)=lnx−a√x⋅x．令x32=t，∴x=t23(t>0)．令ℎ(t)=lnt−32at，则函数y=ℎ(t)与y=f(x)的零点个数情况一致.ℎ(t)=1t −32a．(i)a≤0时，ℎ′(t)>0．∴ℎ(t)在(0, +∞)上单调递增．又ℎ(1)=−32a≥0,ℎ(e a+1a)=a+1a−32ae a+1a≤a+1a−32a⋅1e2=(1−32e2)a+1a<0，∴有1个零点．(ii)a>0时，ℎ(t)在(0,23a )上单调递增，(23a,+∞)上单调递减．∴ℎ(t)max=ℎ(23a )=ln23a−1．①ln23a <1即a>23e时，ℎ(23a)<0，无零点．②ln 23a =1即a =23e 时，ℎ(23a )=0,1个零点．③ln 23a >1即0<a <23e 时，ℎ(23a )>0，又23a >e >1,ℎ(1)=−32a <0．又23a −49a 2=23a (1−23a )<23a (1−e)<0，ℎ(49a 2)=ln(23a )2−32a ⋅49a 2=21n 23a −23a ， 令φ(a)=21n 23a −23a ,φ′(a)=2⋅3a 2(−23⋅1a2)+23a2=2−6a 3a 2>0，∴ φ(a)在(0,23e)上单调递增，∴ φ(a)<φ(23e )=2−e <0， ∴ 两个零点．综上：当a ≤0或a =23e 时，1个零点；当0<a <23e 时，2个零点；当a >23e 时，0个零点． 证明要证g(x)−f(x)−ax −2>0， 只需证√x+2<(2−x)e √x ．令√x =m ∈(0,1)， 只需证：21nm m+2<(2−m 2)e m ．令l(m)=(2−m 2)e m ，l ′(m)=(−m 2−2m +2)e m ，∴ l(m)在(0,√3−1)上单调递增，在(√3−1,1)上单调递减， ∴ l(m)>l(1)=e 且l(m)>l(0)=2． 令t(m)=lnm m，t ′(m)=1−lnm m 2>0，∴ t(m)在(0, 1)上单调递增， ∴ t(m)<t(2)=0， ∴21nm m+2<2，故g(x)−f(x)−ax −2>0．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =sinθ（θ为参数），直线l 的极坐标方程为ρ=2cosθ−2sinθ．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程，并求出曲线C 上到直线l 的距离最大的点的坐标，（2）求曲线C 的极坐标方程，并设A ，B 为曲线C 上的两个动点，且OA ∗OB →=0，求|AB →|2的取值范围． 【答案】∵ 曲线C 的参数方程为{x =2cosθy =sinθ（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为:x24+y2=1，∵直线l的极坐标方程为ρ=2cosθ−2sinθ．∴直线l的普通方程为：x−2y−2=0，则曲线C上点到直线l的距离：d=√5=√5=√5√2sin(θ−π4)+1brack，当θ=3π4时，d最大，此时，P(−√2,√22)．曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=43sin2θ+1．设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)，则|AB|2=ρ12+ρ22=43sin2θ+1+43cos2θ+1=2094sin22θ+4∈[165,5]．∴|AB→|2的取值范围是[165, 5]．【考点】圆的极坐标方程【解析】（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的直角坐标方程；由直线l的极坐标方程能求出直线l的普通方程，由此能求出曲线C上点到直线l的距离最大的点的坐标．（2）曲线C的极坐标方程转化为ρ2=4cos2θ+4sin2θ=43sin2θ+1．设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)，能求出|AB→|2的取值范围．【解答】∵曲线C的参数方程为{x=2cosθy=sinθ（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为:x24+y2=1，∵直线l的极坐标方程为ρ=2cosθ−2sinθ．∴直线l的普通方程为：x−2y−2=0，则曲线C上点到直线l的距离：d=√5=√5=√5√2sin(θ−π4)+1brack，当θ=3π4时，d最大，此时，P(−√2,√22)．曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=4，即ρ2=4cos2θ+4sin2θ=43sin2θ+1．设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π2)，则|AB|2=ρ12+ρ22=43sin2θ+1+43cos2θ+1=2094sin22θ+4∈[165,5]．∴|AB→|2的取值范围是[16, 5]．5[选修4-5：不等式选讲]已知函数g(x)=|2x+1|−|x−m|．(1)当m=3时，求不等式g(x)>4的解集；(2)若g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]，求实数m的取值范围．【答案】解：(1)当m=3时，g(x)>4，即|2x+1|−|x−3|>4．①当x≥3时，不等式化为2x+1−x+3>4，解得x≥3．≤x<3时，不等式化为2x+1+x−3>4，②当−12解得2<x<3．③当x<−1时，不等式化为−2x−1+x−3>4，2解得x<−8．综上，不等式的解集为{x|x<−8或x>2}．(2)g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]⇔g(x)≥|x−4|在[3, 5]上恒成立⇔|2x+1|−|x−m|≥|x−4|在[3, 5]上恒成立．①当3≤x≤4时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔2x+1≥|x−m|+4−x恒成立⇔3−3x≤x−m≤3x−3恒成立，解得−3≤m≤9．②当4<x≤5时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔|2x+1|≥|x−m|+x−4恒成立⇔−x−5≤x−m≤x+5恒成立，解得−5≤m≤11．所以，实数m的取值范围为{m|−3≤m≤9}．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(1)分段去绝对值，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]⇔g(x)≥|x−4|在[3, 5]上恒成立⇔|2x+1|−|x−m|≥|x−4|在[3, 5]上恒成立．1)当3≤x≤4时，⇔3−3x≤x−m≤3x−3恒成立，解得m．2)当4<x≤5时，⇔|2x+1|≥|x−m|+x−4恒成立解得−m．【解答】解：(1)当m=3时，g(x)>4，即|2x+1|−|x−3|>4．①当x≥3时，不等式化为2x+1−x+3>4，解得x≥3．≤x<3时，不等式化为2x+1+x−3>4，②当−12解得2<x<3．③当x<−1时，不等式化为−2x−1+x−3>4，2解得x<−8．综上，不等式的解集为{x|x<−8或x>2}．(2)g(x)≥|x−4|的解集包含[3, 5]⇔g(x)≥|x−4|在[3, 5]上恒成立⇔|2x+1|−|x−m|≥|x−4|在[3, 5]上恒成立．①当3≤x≤4时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔2x+1≥|x−m|+4−x恒成立⇔3−3x≤x−m≤3x−3恒成立，解得−3≤m≤9．②当4<x≤5时，g(x)≥|x−4|恒成立⇔|2x+1|≥|x−m|+x−4恒成立⇔−x−5≤x−m≤x+5恒成立，解得−5≤m≤11．所以，实数m的取值范围为{m|−3≤m≤9}．。

注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ∈R ，i a 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】 则10a -=，即1a =，故选C ．2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（ ） A ．5 B C ．D ．2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ． 3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是（） A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛 D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788688889193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x x <甲乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D ． 4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（）A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB = ，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-，所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选D ．5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若OMN △的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=【答案】A【解析】由c a =225c a =，∴2225a b a +=，故224b a=．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ． 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）此卷只装订不密封班级姓名准考证号 考场号 座位号A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π【答案】D【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD=，2AB =．由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E，且122r CD ==， 设外接球的球心为O，如图所示，由题得222914R=+=， 所以该几何体的外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=，故选D ． 7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行；③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ． 8．已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则15f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8【答案】B【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x =+，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ． 9．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．αβ∥，且l α∥，l β∥B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥C ．α与β相交，且交线垂直于l D ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D 【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥，又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥， 由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．10．已知三棱柱111ABC A BC -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．52B ．52C ．26D ．26【答案】C【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得222+AB BC AC =，∴AB BC ⊥．设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，在1Rt A AC △中，有()222132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．∴11AB CS =△1252ABB S =△． 设点B 到平面11ABC 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=，得112512332d ⨯=⨯⨯，∴2d =，又113BC =，∴直线1BC 与平面11ABC所成角正弦值为126d BC =C ． 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △的面积为22-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]12， B．C．⎤⎦D ．[]14， 【答案】D【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △∴()12a c b -=，∴2a c -=()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤≤211144PF PF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤． 即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12ln 3e 3+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．[]2e ，【答案】A【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立， 即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立，令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x =-='，求得1x a=， （1）当11a≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln313a +≤≤；（2）当13a ≥，即103a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减，因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln30g a =-≥，所以ln323a ≤≤，综合可得，a 无解，（3）当113a <<，即113a <<时，在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤⎥⎝⎦，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1g a =，()33ln3g a =-，()()312ln3g g a -=-，①若2ln 30a ->，即1a <<，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln3g a =-，此时，由11ln0a -≥，()33ln32g a =-≤，求得12ln3e 3a +≤≤，综上可得1a <； ②若2ln 30a -≤，即11ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤，综合可得1ea ≤≤综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤或1a <或1e a ≤≤，即12ln3e 3a +≤≤．故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018安徽数学<理科）试题 第Ⅰ卷<选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选题中，只有一项是符合题目要求的.fB1ZBk3ZyS <1）设i 是虚数单位，复数iai-+21为纯虚数，则实数a 为 (A>2(B> -2(C> 21-(D>21<2）双曲线8222=-y x 的实轴长是 (A>2(B> 22(C> 4(D> 24<3）设)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≤x 时，x x x f -=22)(,则=)1(f(A>-3 (B>-1 (C> 1(D>3<4）设变量x,y 满足|x|+|y|≤1，则x+2y 的最大值和最小值分别为 (A> 1,-1(B> 2,-2(C>1,-2(D>2,-1<5）在极坐标系中，点)3,2(π到圆θρcos 2=的圆心的距离为 (A> 2(B> 942π+(C>912π+(D>3<6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(A>48(B> 17832+(C>17848+(D>80<7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 (A> 所有不能被2整除的整数都是偶数 (B> 所有不能被2整除的整数都不是偶数 (C>存在一个不能被2整除的整数是偶数(D> 存在一个能被2整除的整数不是偶数<8）设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8}，则满足A S ⊆且φ≠B S I 的集合S 的个数是(A>57 (B> 56 (C> 49(D>8<9）已知函数)2sin()(ϕ+=x x f ，其中ϕ为实数，若|)6(|)(πf x f ≤对Rx ∈恒成立，且)()2(ππf f >，则)(x f 的单调递增区间是(A> )(6,3Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B>)(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (C>)(32,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ (D>)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ <10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是(A> m=1,n=1(B> m=1,n=2(C> m=2,n=1(D> m=3,n=1fB1ZBk3ZyS 第Ⅱ卷<非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试最后一卷理 科 数 学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ∈R ，ia 的值为（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】则10a -=，即1a =，故选C ． 2．设()()()2i 3i 35i x y +-=++（i 为虚数单位），其中x ，y 是实数，则i x y +等于（） A ．5 BC ．D ．2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=-=+⎧⎨⎩，解得34x y =-=⎧⎨⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．选A ．3．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是（ ）A ．x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 【答案】D【解析】由茎叶图可知，甲的平均数是727879858692826+++++=，乙的平均数是788688889193876+++++=，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x x <甲乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D ．4．正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF =（ ） A ．11+22AB AD B ．1122AB AD --C ．1122AB AD -+D ．1122AB AD -【答案】D【解析】因为点E 是CD 的中点，所以12EC AB =，点F 是BC 的中点，所以1122CF CB AD ==-， 所以1122EF EC CF AB AD =+=-，故选D ． 5．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，过点F 与x 轴垂直的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点M ，N ，若O M N△的面积为20，其中O 是坐标原点，则该双曲线的标准方程为（ ）A ．22128x y -=B ．22148x y -=C ．22182x y -=D ．22184x y -=【答案】A【解析】由c a=225c a =，∴2225a b a +=，故224b a =．∴双曲线的渐近线方程为2y x =±，由题意得(),2M c c -，(),2N c c --，∴14202OMN S c c =⋅⋅=△，解得210c =，∴22a =，28b =， ∴双曲线的方程为22128x y -=．选A ． 6．一个几何体的视图如下图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）7988569888621甲乙23班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．4πB ．5πC ．8πD ．9π【答案】D【解析】由三视图可知几何体的原图如下图所示：在图中AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2BC =，1BD =，2AB =． 由于BCD △是直角三角形，所以它的外接圆的圆心在斜边的中点E，且122r CD ==， 设外接球的球心为O，如图所示，由题得222914R =+=， 所以该几何体的外接球的表面积为294π4π9π4R =⨯=，故选D ． 7．执行如下图的程序框图，若输入a 的值为2，则输出S 的值为（ ）A ．3.2B ．3.6C ．3.9D ．4.9【答案】C【解析】运行框图中的程序可得①1k =，2122S =+=，不满足条件，继续运行； ②2k =，282=33S =+，不满足条件，继续运行；③3k =，8219+=346S =，不满足条件，继续运行； ④4k =，1921076530S =+=，不满足条件，继续运行； ⑤=5k ，1072117=+==3930630S ．，满足条件，停止运行，输出=39S ．．选C ． 8．已知函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，若对于任意()0x ∈+∞，，都有()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则15f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】因为函数()f x 在定义域()0+∞，上是单调函数，且()12f f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()1f x x -为一个常数，令这个常数为n ，则有()1f x n x -=，且()2f n =，将()2f n =代入上式可得()12f n n n=+=，解得1n =，所以()11f x x =+，所以165f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选B ． 9．己知m 、n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（ ）A ．αβ∥，且l α∥，l β∥B ．αβ⊥，且l α∥，l β∥C ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l【答案】D【解析】m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以l α∥， 又n ⊥平面β，l n ⊥，l β⊄，所以l β∥，由直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，则α与β相交，否则，若αβ∥则推出m n ∥，与m 、n 异面矛盾， 故α与β相交，且交线平行于l ．故选D ．10．已知三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在球O 的球面上，球O 的表面积为194π，1AA ⊥平面ABC ，5AB =，12BC =，13AC =，则直线1BC 与平面11AB C 所成角的正弦值为（ ）A ．52B ．52C ．26D ．26【答案】C【解析】由5AB =，12BC =，13AC =，得222+AB BC AC =，∴AB BC ⊥． 设球半径为R ，1AA x =，则由1AA ⊥平面ABC 知1AC 为外接球的直径，在1Rt A AC △中，有()222132x R +=，又24π194πR =，∴24194R =，∴5x =．∴11AB C S =△，1252ABB S =△． 设点B 到平面11AB C 的距离为d ， 则由1111B AB C C ABB V V --=，得112512332d ⨯=⨯⨯，∴2d =，又113BC =，∴直线1BC 与平面11AB C所成角正弦值为126d BC =C ． 11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，且1F AB △P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围为（ ） A ．[]12， B．C．⎤⎦D ．[]14， 【答案】D【解析】由已知得22b =，故1b =；∵1F AB △∴()1222a cb -=，∴2a c -=-()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =()12212121111112444PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+，又122PF ≤≤，∴211144PF PF ≤-+≤，∴121114PF PF ≤+≤． 即1211PF PF +的取值范围为[]14，．选D ． 12．已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递减，若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对任意[]13x ∈，恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．12ln 3e3+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．[]2e ，【答案】A【解析】因为定义在R 上的偶函数()f x 在()0+∞，上递减，所以()f x 在()0-∞，上单调递增， 若不等式()()()ln 1ln 121f ax x f ax x f -+++--≥对于[]13x ∈，上恒成立， 则()()2ln 121f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，即()()ln 11f ax x f --≥对于[]13x ∈，上恒成立，所以1ln 11ax x -≤--≤对于[]13x ∈，上恒成立，即0ln 2ax x ≤-≤对于[]13x ∈，上恒成立， 令()ln g x ax x =-，则由()10g x a x =-='，求得1x a=， （1）当11a≤时，即0a <或1a ≥时，()0g x '≥在[]13，上恒成立，()g x 单调递增，因为最小值()10g a =≥，最大值()33ln 32g a =-≤，所以2ln303a +≤≤，综上可得2ln313a +≤≤；（2）当13a ≥，即103a <≤时，()0g x '≤在[]13，上恒成立，()g x 单调递减，因为最大值()12g a =≤，最小值()33ln 30g a =-≥，所以ln323a ≤≤，综合可得，a 无解，（3）当113a <<，即113a <<时，在11a ⎛⎫⎪⎝⎭，上，()0g x '<恒成立，()g x 为减函数， 在13a ⎛⎤⎥⎝⎦，上，()0g x '>恒成立，()g x 单调递增， 故函数最小值为111ln g a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1g a =，()33ln 3g a =-，()()312ln 3g g a -=-，①若2ln30a ->，即31a <，因为()()310g g ->，则最大值为()33ln 3g a =-，此时，由11ln0a -≥，()33ln 32g a =-≤，求得12ln3e 3a +≤≤，综上可得1a <<； ②若2ln30a -≤，即11ln332a <≤=()()310g g -≤，则最大值为()1g a =，此时，最小值11ln 0a -≥，最大值为()12g a =≤，求得12e a ≤≤，综合可得1ea ≤≤，综合（1）（2）（3）可得2ln313a +≤≤或1a <或1e a ≤≤12ln3e 3a +≤≤．故选A ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

绝密★启用前2018届涡阳一中高三最后一卷理科综合试题（考试时间：150分钟 试卷满分：300分） 注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cu 64 Fe 56第Ⅰ卷一、选择题：本题共13个小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、下列关于膜结构的叙述中错误的是（ ）A. 蓝藻细胞膜向内折叠成为光合膜，其膜中含有色素和光合酶B. 神经肌肉接点处肌细胞膜折叠，其膜上有乙酰胆碱的受体C. 线粒体内膜向内折叠形成嵴，其膜上含有全部的呼吸酶D. 细胞内单位膜折叠成囊腔和细管组成内质网，有些膜上有合成磷脂的酶 2、下列有关细胞生命历程的说法不正确的是（ ）A. 细胞生长过程中，核糖体的数量增加，物质交换效率增强B. 细胞分化，核遗传物质没有发生改变，但蛋白质的种类有变化C. 癌变细胞的多个基因发生突变，且细胞膜上的糖蛋白减少D. 细胞凋亡，相关基因活动加强，有利于个体的生长发育3、实验在生物学的研究中占有重要的地位，下列有关实验的叙述正确的是（ ） A. 在研究光合色素时，可采用纸层析的方法对叶绿体中色素进行提取 B. 探究不同浓度生长素对插条生根的影响时，插条上芽的数量应相等 C. 观察植物细胞的减数分裂，可选用开放的豌豆花的花药作为实验材料D. 在研究酵母菌种群数量的变化实验中，可直接从试管中吸出培养液进行计数 4.下列几种生物学现象的相关说法中正确的是（ ）A.某人因为交通事故导致脊髓从胸部折断，膝跳反射可能不会存在，但针刺足部有感觉B.新生儿出生六个月内不易生某些传染病，因为其皮肤、黏膜有极强的杀菌能力C.组织细胞进行正常生命活动和代谢的主要场所是组织液D.HIV 在人体内环境中不能增殖，但能破坏特异性免疫过程5.如图1为某家庭的遗传系谱图，已知该家庭中有甲（A 、a 基因控制）乙（B 、b 基因控制）两种遗传病，其中有一种为伴性遗传．图2表示的是该家庭成员个体细胞分裂过程中控制甲、乙两种遗传病的基因所在两对染色体的变化．下列叙述不正确的是（ ）A.图1中4和5再生一个孩子患两种病的概率是1/32B.该家庭中只有图1中5的染色体和基因组成可以用图2表示C.图3细胞中出现A 、a 的原因可能发生在减数分裂第一次分裂D.甲乙两病易在新生婴儿和儿童中发生，可通过绒毛细胞检查进行产前诊断达到优生6.“发展经济不应以破坏环境为代价”已经成为人类的共识．为此，涡阳县政府精心筹划以武家河为依托修建了道源国家湿地公园．下列相关叙述正确的是（ ） A.春天湿地公园群落中的青蛙呈“J”型曲线增长B.若在河边的空地通过人工管理提高某种速生树的产量后，其抵抗力稳定性降低C.人工林生态系统需要不断得到来自于系统外的能量补充，而原始森林生态系统不需要D.湿地公园的观赏价值体现了生物多样性的间接价值 7．化学与生产、生活、科技等息息相关，下列说法正确的是A ．聚乙炔用I 2或Na 等做掺杂后可形成导电塑料，该导电塑料具有固定的熔点、沸点B ．“酸雨”是由大气中的碳、氮、硫的氧化物溶于雨水造成的C ．绿色化学的核心是在化学合成中将原子充分利用，转化为新的原子D ．加酶洗衣粉不适合洗涤羊毛织品上的污渍 8. 阿伏加德罗常数值用N A 表示。

安徽省亳州市涡阳一中2018届高三数学最后一卷试题理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，若复数满足，那么（）A. 1B.C.D. 5【答案】C【解析】分析：解方程可求得，根据复数模的公式可得结果.详解：，，故选C.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2.已知集合，，下列结论成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合，由指数不等式的性质化简集合，从而可得结果.详解：根据题意，，，， ,,故选D.点睛：本题主要考查解一元二次不等式，求集合的补、交集与并集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.3.已知展开式中的常数项与展开式中的系数相等，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：由展开式中的常数项与展开式中的系数相等，利用二项式的通项公式列方程求解即可.详解：的通项公式为，当时，常数项为，通项式为，当时，的系数为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.4.已知双曲线：的左、右焦点分别为、，点关于的对称点为，以为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，，从而可得结果.详解：设的坐标分别为，过原点的弦与垂直时，弦长最短，即轴与圆的交点为，即，，故选B.点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.5.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据正态曲线的对称性求解即可.详解：根据正态曲线的对称性，每个收费口超过辆的概率，这三个收费口每天至少有一个超过辆的概率，故选C.点睛：本题主要考查正态分布的性质与实际应用，属于中档题.有关正态分布的应用题考查知识点较为清晰，只要掌握以下两点，问题就能迎刃而解：（1）仔细阅读，将实际问题与正态分布“挂起钩来”；（2）熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系.6.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由三视图可知，该几何体为三棱锥，底面为等腰直角三角形，一个侧面与底面垂直，设出球心，根据三视图所给数据列方程求出半径，从而可得结果.详解：由题意可得，该几何体的直观图如图，三棱锥中，平面平面，设为的中点，连接，显然平面，根据三视图数据，为等腰直角三角形，点为的外心，外接球的球心一定在直线上，球心在线段的延长线上，设，球半径为，则，由勾股定理可得，，外接球的表面积为，故选C.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.7.已知直线经过函数图象相邻的最高点和最低点，则将的图象沿轴向左平移个单位后得到解析式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：直线，令可得，最高点坐标与最低点坐标，从而可得周期与的值，进而可得值，根据图象变换规律可得结果.详解：直线，令可得，最高点坐标为，最低点坐标为，所以函数的周期为，，，的解析式为，平移后的解析式为，故选A.点睛：本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A. 33B. 35C. 36D. 40【答案】C【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.详解：执行程序框图，；；，结束循环，输出，故选C.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9.已知锐角的内角为，，，点为上的一点，，，，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：中，由余弦定理可得，中，由正弦定理得，根据极限位置，可得当时，，当时，，从而可得的取值范围.详解：中，由余弦定理可得，，，中，由正弦定理得，，得，当时，，当时，，为锐角三角形，，的取值范围为，故选A.点睛：本题主要考查余弦定理、正弦定理及特殊角的三角函数，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10.设函数，若存在实数，满足，则，，的关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：利用基本不等式可得以,，结合，从而可得结果.详解：，即，所以,又，所以,又因为，，故选B.点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.11.（且）在区间上无零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，从而可得结果.详解：令，则，设，于是要使函数且在区间上没有零点，只需函数与的图象在区间上没有交点，当时，显然成立；当时，单调递增，且，此时，要使函数与的图象在区间上没有交点，则须，即，于是，解得，故实数的取值范围是或，故选C.点睛：函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数有零点函数在轴有交点方程有根函数与有交点.12.已知边长为2的等边三角形中，、分别为、边上的点，且，将沿折成，使平面平面，则几何体的体积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：设当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，可得几何体的体积，利用导数研究函数的单调性，可得时，体积最大，从而可得结果.详解：设的高为，的高为，当平面平面时，由面面垂直的性质定理，得平面，以几何体的体积，，当，在时，取得最大值，，故选B.点睛：求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，利用函数的单调性求最值，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的最值即可.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形的边长为2，，点是上靠近的三等分点，则__________．【答案】【解析】分析：根据向量减法的运算法则以及平面向量基本定理可得，然后利用数量积的运算法则求解即可.详解：，，故答案为.点睛：向量运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．14.已知，，则__________．【答案】【解析】分析：由，，可得，利用二倍角公式化简，代入即可的结果.详解：因为，，所以，，故答案为.点睛：本题主要考查同角三角函数之间的关系，以及二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，意在考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产，两种饮品.生产1吨饮品，需1小时，获利900元；生产1吨饮品，需1小时，获利1200元.每天饮品的产量不超过饮品产量的2倍，每天生产饮品的时间不低于生产饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为__________元．【答案】4400【解析】分析：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，利用线性规划求解即可.详解：设每天两种饮品的生产数量分别为，目标函数为，则有，可行域为三直线三交点为组成的三角形，变形为，平移直线，当直线经过，即当时，直线在轴上的截距最大，最大获利，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的定点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.16.已知为坐标原点，过点作两条直线与抛物线：相切于，两点，则面积的最小值为__________．【答案】【解析】分析：求出以为切点的切线方程为，为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，利用韦达定理、弦长公式以及点到直线距离公式，可得.详解：设，，以为切点的切线方程为，即，同理为切点的切线方程为，代入，可得，过的直线方程为，联立，可得，，又到直线的距离为，，当时，等号成立，故答案为.点睛：解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列.（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？（2）设数列的前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即，由等差数列的求和公式可得结果；（2）由（1）可知，，故，利用裂项相消法求和，然后利用放缩法可得结论. 详解：（1）根据题意，应为等差数列，设数列的公差为，前项和为，由题意知，即，∴ （尺），故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多尺.（2）由（1）可知，，故，∴.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.18.如图，是斜三棱柱中，已知，异面直线，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）先证明平面，而平面，所以，又因为，即，可得平面，从而可得结论；（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程组可求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.详解：（1）因为，所以四边形是菱形，所以，又因为异面直线，，所以平面，而平面，所以，又因为，即，且，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）设是的中点，因为，所以，由（1）可知平面，以过点且与平行的直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立的空间直角坐标系， 则，，，，设与平面所成角为，∵，，，设平面的一个法向量是，则即不妨令，可得，∴ ，∴ 与平面所成角的正弦值为.点睛：空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度（单位：）和降雪量（单位：）的关系为，当降雪量为5时，积雪深度为3.9.下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率： ()根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度（单位：）对工期的影响如下表：积雪深度（1）已知24小时内降雪量大于10的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.积雪深度现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率；（2）求甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率；（3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望.【答案】（1）；（2）；（3）20000【解析】分析：（1）因为，求得样本中心坐标代入可得，，所以，由此得到对应的个城市降雪量，利用古典概型概率公式可得结果；（2）由互斥事件的概率公式，根据条件概率公式可得结果；（3）设该工程损耗为，则，，，，利用互斥事件与对立事件的概率公式求出随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.详解：（1）因为，代入可得，，所以对应的5个城市降雪量为：降雪量)达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为.（2）由概率加法公式，得，又，由条件概率，得，故甲地在24小时内降雪量至少是5的条件下，工期延误不超过6天的概率为.（3）根据题意，，，，，设该工程损耗为，则，，，，所以的分布列为：于是，，故该工程损耗的数学期望为元.点睛：求解一般的随机变量的期望和方差的基本方法是：先根据随机变量的意义，确定随机变量可以取哪些值，然后根据随机变量取这些值的意义求出取这些值的概率，列出分布列，根据数学期望和方差的公式计算．注意在求离散型随机变量的分布列时不要忽视概率分布列性质的应用，对实际的含义要正确理解.20.动点在圆：上运动，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为.（1）求的轨迹的方程；（2）过点的直线，分别交轨迹于，两点和，两点，且.证明：过和中点的直线过定点.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）先利用线段的中垂线的性质和椭圆的定义判定动点的轨迹为椭圆，再求其轨迹方程；（Ⅱ）先利用直线的特殊情况探索直线过定点，再联立直线和椭圆方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式进行求解．试题解析：（Ⅰ）连接，根据题意，可知，则，故点的轨迹为以、为焦点，长轴长为4的椭圆，则，，∴，所以点的轨迹的方程为．（Ⅱ）分别设直线和的中点为、，当直线斜率不存在或为0时，分析可知直线与轴重合，当直线的斜率为1时，此时，，直线的方程为，联立解得直线经过定点．下面证明一般性：当直线的斜率存在且不为0,1时，设直线的方程为，则直线的方程为，设，，联立消去得，则，所以，即，同理：，于是直线的斜率为，故直线的方程为，显然时，，故直线经过定点．点睛：在处理直线和圆锥曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.21.已知.（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；（2）当，时，证明：函数只有一个零点；（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：. 【答案】【解析】(Ⅰ)依题意：在上递增，对恒成立即对恒成立，只需当且仅当时取，的取值范围为……………………………………………………………4分(Ⅱ)当时，，其定义域是时，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减当时，函数取得最大值，其值为当时，即函数只有一个零点……………………………………………………………8分(Ⅲ)由已知得两式相减，得由及，得令，在上递减，∵，∴．………………………………………13分22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，线段的中点的直角坐标为（2,1），求直线的方程. 【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）曲线的极坐标方程中将和换成和即可得到曲线的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，利用韦达定理以及直线参数方程的几何意义可得，从而可得结果.详解：（1）由题目知曲线的极坐标方程可化为，即，即，∴ 曲线的直角坐标方程为.（2）将直线的参数方程代入的直角坐标方程得，整理可得，设，所对应的参数分别为，，则，∴ ，∴ 直线的斜率，∴ 直线的方程为.点睛：本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化以及点到直线距离公式，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可.23.选修4—5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）设函数的最小值为，实数，满足，，，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可；（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．【详解】①当时，不等式可化为，．又∵，∴∅；②当时，不等式可化为，．又∵，∴．③当时，不等式可化为，．又∵，∴．综上所得，．∴原不等式的解集为．（2）证明：由绝对值不等式性质得，，∴，即．令，，则，，，，，原不等式得证．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。

2018-2019学年安徽省涡阳县第一中学高一下学期期末考试理科数学试题试题说明：本试卷分为第I 卷（选择题)和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

考试注意事项：1. 答题前务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、班级、准考证号，并认真核对答题卡上姓名、班级、准考证号与本人班级、姓名、准考证号是否一致。

2.答选择题时，每小题选出正确选项后，用2B 铅笔把答题卡上所对应题目答案标号涂黑。

如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字迹工整、笔记清晰。

必须在题号所指示的区域作答，超出答题区域书写的答案无效。

在试卷、草稿纸上答题无效。

第I 卷（选择题 满分60分)一、选择题（共12题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.一支田径队有男运动员 560 人，女运动员 420 人，为了解运动员的健康情况，从男运动员中任意抽取 16 人，从女生中任意抽取 12 人进行调查．这种抽样方法是（ ）.A 简单随机抽样法 .B 抽签法 .C 随机数表法 .D 分层抽样法2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则c o s 2α=（ ）.A 3.B 13.C 13-.D 3.用辗转相除法，计算56和264的最大公约数是（ ）.A 7 .B 8 .C 9 .D 64.从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是.A 至少有一个黑球与都是黑球 .B 至少有一个黑球与至少有一个白球.C 恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 .D 至少有一个黑球与都是白球5.已知变量x ，y 之间的线性回归方程为0.47.6ˆyx =-+，且变量x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）.A 变量x ，y 之间呈现负相关关系 . .B m 的值等于5..C 变量x ，y 之间的相关系数0.4.r =- .D 由表格数据知，该回归直线必过点(9,4).6.2019年是新中国成立70周年，涡阳县某中学为庆祝新中国成立70周年，举办了“我和我的祖国”演讲比赛，某选手的6个得分去掉一个最高分，去掉一个最低分，4个剩余分数的平均分为91.现场制作的6个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示，则4个剩余分数的方差为（ ）.A 1 .B 32.C 4 .D 67.取一根长度为m 4的绳子，拉直后在任意位置剪断，则剪得两段绳有一段长度不小于m 3的概率是（ ）.A 21.B 31.C 41.D 438.向量)1,λ(,)5,4-(==b a ，若b b a //)-(，则的值是（ ）.A 45-.B 34-.C 54-.D9.已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωπϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则函数()f x 在]12,317[上的最大值为（ ）.A 2.B 2.C 12.D 110.执行如图所示的程序框图,若输入的，则输出 （ ）A.B.C.D.11.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平衡6π个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）.A 函数()g x1 .B 函数()g x 的最小正周期为2π.C 函数()g x 的图象关于直线3π-=x 对称.D 函数()g x 在区间],32[ππ上单调递增12.已知A B C ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，满足C A C B A s i n s i n 1c o s c o s c o s 222+=+-，且1s i n s i n =+C A ，则A B C ∆的形状为（ ）.A 等边三角形 .B 等腰直角三角形 .C 顶角为 150的等腰三角形 .D 顶角为120的等腰三角形第II 卷（非选择题 满分90分)二、填空题（共4题，每题5分，共20分） 13.已知向量a ，b 满足：3a =， 4b =，41a b +=，则||a b -= ．14.某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别为001,002,003，…，800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第12列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是 .15.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为__________．16.如图，一栋建筑物AB 高（m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．三、解答题（共6题，共70分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z=1+I,则iz +i·z = （A ）-2 （B ）-2i（C ）2 （D ）2i（2）“x ＜0”是ln （x+1）＜0的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34（B ）55（C ）78（D ）89(4) 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。

已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214（C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为（A ）21 或-1 （B ）2或21 （C ）2或1 （D ）2或-1 （6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x≤π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21 （B ）23 （C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=| x+1 |+| 2x+a |的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5（C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量啊a , b , | a | = | b | = 1 , a ·b = 0,点Q 满足=2( a + b ).曲线C={ P | =a cos θ + b sin θ ,0≤θ<2π},区域Ω={ P | 0 < r ≤| | ≤ R , r < R },若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则（A ）1 < r < R <3 （B ）1 < r < 3 ≤ R（C ）r ≤ 1 < R <3 （D ）1 < r < 3 < R2014普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．。

亳州市2018-2019学年度第一学期期末高三质量检测数学试卷(理)第I卷、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合hl -[刈]£* ♦,集合N - 31K九0或上弓二；，则M l)N ()A.0B. 值3：C. [1.2]D. |；f ■心二；Jr 刮【答案】B【解析】M ■[工3),故选Bo2.已知复数苫■些工(为虚数单位)，则胃() 4 3iA. B.国C. 2 D.【答案】A【解析】七■ ： 3"■二，所以』- 百，Q2 ,故选A。

3算I3.已知,第二象限角，加乂------ a) " A,则皿门口一工广()23|1 ] 1J22V2A. B. — C. D.b 3 3 3【答案】D1 ZB 1-cosa =0?<^cosa = 一&【解析】sln(y-a)=贝U SIIK JT+ a) = _sms = ---, 故选D。

4.已知Kx)是定义在l＜上的奇函数，鼠;i是定义在R上的偶函数，若则F(14FG)・|()A. 0B. 2C. -2D. 4【答案】A【解析】F( x) - f(-x)[g(-x)-l] J- -F(x),所以F(X 是奇函数，所以+ F⑵=。

，故选Ao5.执行下面的程序框图，则输出的第1个数是()【答案】Cal 3 4【解析】—La ]，则,，7 N,所以儒|43 4 j 2 4 1 3,则-■，/N ,所以1 ：i 3a 7 - 3 L 0建4 ■ 3 ■工i 3 4 1 - W，贝U -■一6N ,所以4■ 7 小？ - 10,] 441 5,贝^・一二?WN i 4 i 5i i故选C。

6.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（【答案】C 则输出【解析】令圆的半径为 1,则■'二2■田二 ,工,故选Q5 兀 探7.由函数y -WgsXrm ：工的图像孰变换得到函数1■比弼K 的图像二，则下列变换过程正确的A.把匚上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移长度，得到曲线C.把匚!|向右平移三个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的1倍，纵坐标不变，得到曲线D.把向右平移二个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线 【答案】D. —【解析】y - 2cos^2x 十j ，所以变换过程是：先向右平移?个单位长度，在将各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不12变，得到y 女3x 。

2018冲刺高考最后1卷理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析:先化简集合A,再求，最后求.详解：由题得，所以.点睛：（1）本题主要考查集合的化简及交集补集运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)不需要分类讨论.2. 已知是虚数单位，若，则的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：直接利用复数的除法运算法则化简，再求其虚部.详解：由题得所以的虚部是.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查复数的除法运算及复数的虚部概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)复数的虚部为b，不是bi.3. 已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先求函数的单调增区间，由是增区间的子集得出w的取值范围.详解：令，所以函数的增区间为.k=1时，增区间为，所以，所以.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查三角函数的单调性，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题解题的关键是分析出是的子集.4. 《九章算术》之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，《张丘建算经》卷上有叙述为：“今有女善织，日益功疾（注：从第天开始，每天比前一天多织相同量的布），如图是源于其思想的一个程序框图，如果输出的是，则输入的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：读懂程序框图，S=(i-1)x+x,当i=30时，输出S=60，得到x的方程，解之即得x的值.详解：由题得S=(i-1)x+x，当i=30时，输出S=60，所以29x+x=60,所以x=2.故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等差数列的求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.（2）程序框图在输出时，一定要把好关，既不能提前，也不能滞后.5. 已知分别满足，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先化简原式得到分别是方程的根，再得到得解.详解：因为，所以因为，所以所以分别是方程的根，因为点与点关于直线y=x对称，所以故答案为:D点睛：（1）本题主要考查函数的零点，考查关于直线y=x对称的点的特征，意在考查学生对这些基础知识的能力及分析推理能力. (2)解答本题的关键有两点，其一是通过变形证明分别是方程的根，其二是得到点与点关于直线y=x对称.6. 某空间凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和侧（左）视图中的正方形的边长为，正（主）视图和俯视图中的三角形均为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先找到几何体的原图，再求各个面的面积，最后求几何体的表面积.详解:由三视图得几何体如图所示，所以故几何体的表面积为.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的表面积,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体一般有直接法和模型法.7. 中，的对边分别为.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析:先化简得到，再化简得解.详解:因为,所以所以所以因为,所以所以故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换，考查解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理转化能力. （2）三角恒等变换方法：三看（角、名、式）→三变（变角、变名、变式）.8. 某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委.男生当选的人数记为，则的数学期望为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先写出的取值，再分别求的概率，最后求的数学期望.详解：由题得所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)离散型随机变量的数学期望9. 已知函数单调递增，函数的图像关于点对称，实数满足不等式，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先分析出函数y=f(x)是奇函数，再由得（x+y）(x-y-2)≤0，得到点（x,y）对应的可行域，再数形结合得到的最小值.详解：因为函数的图像关于点对称，所以函数y=f(x)的图像关于点（0,0）对称，所以函数y=f(x)是奇函数.因为，所以，所以，因为函数y=f(x)是增函数，所以所以（x+y）(x-y-2)≤0，所以点（x,y）对应的可行域如图所示，因为所以，所以z表示点（x,y）到点（3，-2）的距离的平方再加1，观察上面的图形得，当圆和直线x+y=0相切时，z最小，因为故答案为：A点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查线性规划，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是找到z的几何意义，，z表示点（x,y）到点（3，-2）的距离的平方再加1.表示点(x,y)到点(a,b)的距离的平方.10. 一个正四面体的四个面上分别标有数字.掷这个四面体四次，令第次得到的数为，若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先求k=i时的概率，再求p的值，最后求的值.详解：当k=1时，概率为当k=2时，4=1+3=2+2=3+1，概率为.当k=3时，4=1+1+2=1+2+1=2+1+1,概率为.当k=4时，4=1+1+1+1，概率为.所以p=所以所以=3-4=-1.故答案为：B点睛：（1）本题主要考查概率的求法和对数的运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是读懂已知条件，由于已知中的字母比较多，比较抽象，难以读懂，可以给字母取值，把问题具体化，帮助自己读懂已知.11. 已知抛物线，过定点（，且）作直线交抛物线于两点，且直线不垂直轴，在两点处分别作该抛物线的切线，设的交点为，直线的斜率为，线段的中点为，则下列四个结论：①；②当直线绕着点旋转时，点的轨迹为抛物线；③当时，直线经过抛物线的焦点；④当时，直线垂直轴.其中正确的个数有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】分析：先求出直线AB的方程，再联立抛物线的方程，结合韦达定理得到①④正确.详解：设点Q,则AB的方程为:因为直线AB过点M(m,0),所以所以AB:又因为，所以所以，所以所以所以PQ垂直y轴.所以①④正确.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力.(2)韦达定理在解析几何中用的比较普遍，对于方程，12. 设函数在上存在导函数，对任意的有，且当时，.若的零点有（）A. 个B. 个C. 个D. 个【答案】C【解析】分析：先构造函数再求函数F(x)的单调性和奇偶性，再利用函数的性质化简得到a>e，最后利用分离参数数形结合求零点的个数.详解：令则所以函数F(x)在上是增函数，由题得所以函数F(x)是奇函数，且在R上是增函数.因为所以-＜.所以F(2e-a)＜F(a), 所以2e-a<a,所以a>e.因为所以a=的图像如图所示，所以当a>e时，g(x)有两个零点.故答案为：C点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查导数和零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理转化能力. (2)解答本题有两个关键，其一是判断函数F(x)的奇偶性，其二是由-＜，所以F(2e-a)＜F(a).第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 平行四边形中，，则__________．【答案】【解析】分析：先计算得到再利用数量积公式求.详解：又所以故答案为：-9点睛：本题主要考查向量的加法法则和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握能力.14. 的展开式中含的项的系数是__________．【答案】【解析】分析：先求出展开式中的系数，再求展开式中含的项的系数.详解：的通项为当r=6时，当r=7时，所以展开式中含的项的系数是2×448-（-128）=1024.点睛：（1）本题主要考查二项式定理展开式的系数的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析能力. (2)解答本题的关键是理解的生成，它可以是前面的乘以后面的，也可能是前面的-1乘以后面的所以要分两种情况讨论.15. 棱长为的正方体如图所示，分别为直线上的动点，则线段长度的最小值为__________．【答案】【解析】分析：先建立空间直角坐标系，再求AF,BG的公垂线段的长度即得解.详解：建立如图所示的空间直角坐标系，设则由.所以故答案为：点睛：（1）本题主要考查空间直角坐标系的计算，考查异面直线上两点的最短距离，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是联想到坐标法，如果已知有垂直等关系便于建立直角坐标系时，用坐标法解答解题效率比较高.16. 如图所示，已知直线的方程为，⊙，⊙是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段相切，，则两圆半径__________（用常数表示）．【答案】【解析】分析：由题得△CDM∽△BAO，得，再利用等式的性质得到两圆半径.详解：如图所示，作CM⊥DM,CE⊥AB,由△CDM∽△BAO,得故答案为：点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何选讲，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到的化简，这里利用到了合比的性质，三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列的前项和为，已知.（1）求的通项公式；（2）若数列满足，求前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用项和公式求的通项公式.(2)先求，再利用错位相减法求前项和.详解：（1）.故.（2），当时，，令，，，故，又满足上式，.点睛：（1）本题主要考查数列通项的求法和数列错位相减求和，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力. (2)若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.(3) 若在已知数列中存在：的关系，可以利用项和公式，求数列的通项.利用项和公式求通项时，注意结果是能并则并，不并则分.本题中n=1时和n≥2时不能合并，所以不能合并，要写成分段函数.18. 底面为正方形的四棱锥，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足.（1）证明：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析: (1)先证明,再证明平面.(2)先由得到，再利用向量法求二面角的余弦值.详解：（1）由题知四边形为正方形，，又平面平面，平面，又平面，平面平面，，又，.由且，知分别为的中点.连接交于点，连.平面平面，平面.（2）底面为正方形，且底面，两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则.底面底面.四边形为正方形，平面，平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，而.由得，取得可得为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由得，所以，故，二面角的余弦值为.点睛：（1）本题主要考查空间平行位置关系的证明和二面角的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和计算能力转化能力. (2)二面角一般有两种求法,方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量；再代入公式（其中分别是两个平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）.19. 深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考察甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：（1）求的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；（2）根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：.则：1）当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；2）当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；3）如果你是教练员，应用概率统计有关知识.该如何使用乙球员？附表及公式：.【答案】（1）有的把握（2）1）0.32, 2）0.32, 3）多让乙球员担当守门员，【解析】分析：（1）直接根据2×2列联表求的值，利用公式求出的值，再判断有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.（2）1）利用互斥事件的概率公式求球队某场比赛输球的概率；2）利用条件概率求乙球员担当前锋的概率；3）因为，所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次.详解：（1）,有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.（2）1）设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋”；表示“乙球员担当后卫”；表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，则.2）.3）因为，所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次.点睛：（1）本题主要考查独立性检验和概率的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分类讨论的思想方法. (2)设和为两个事件，且，那么，在“已发生”的条件下，发生的概率叫发生的条件下发生的条件概率，记作:,读作发生的条件下发生的概率．条件概率的公式:或=.20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且，⊙与该椭圆有且只有一个公共点.（1）求椭圆标准方程；（2）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，求证：；（3）过点的直线与⊙相切，且与椭圆相交于两点，试探究的数量关系. 【答案】（1）（2）见解析（3）【解析】分析：（1）直接根据已知条件得到a,b,c的方程组，解之即得椭圆标准方程.(2)先联立直线的方程和椭圆方程得到韦达定理，再证明即证.(3) 猜想再证明.详解：（1）⊙与椭圆有且只有一个公共点，公共点为或，若公共点为时，则，又，解得，与矛盾，故公共点为.，又.反之，当时，联立解得满足条件.椭圆标准方程为.（2），设过的直线，联立，得.设，则，又，.由与⊙相切得，即.（3）猜：.证明如下：由（2）得..点睛：（1）本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力分析推理能力及计算能力. (2)解答本题的关键是计算，本题的计算量比较大，所以计算时要认真仔细.21. 已知函数.（1）讨论函数的零点个数；（2）已知，证明：当时，.【答案】（1）当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点.（2）见解析【解析】分析：（1）先换元，令得到，转化成求函数的零点个数，再对a分类讨论求函数的零点个数. (2)先转化成只需证.再转化成左边函数的最大值，小于右边函数的最小值.详解：（1）.令.令，则函数与的零点个数情况一致. .1）时，在上单调递增.又个零点.2）时，在上单调递增，上单调递减..①即时，，无零点.②即时，个零点.③即时，，又.又，，令，在上单调递增，两个零点.综上：当或时，个零点；当时，个零点；当时，个零点.（2）要证，只需证.令，只需证：.令，在上单调递增，在上单调递减，且.令在上单调递增，，故.点睛：（1）本题主要考查导数求函数的零点，考查导数求函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的掌握能力和分析推理能力分类讨论的数学思想. (2)解答本题的难点有三点，其一是先换元，令得到，转化成求函数的零点个数.其二是分类讨论求求函数的零点个数.其三是，证明左边的最大值小于右边的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为.（1）求曲线和直线的直角坐标方程，并求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标，（2）求曲线的极坐标方程，并设为曲线上的两个动点，且，求的取值范围.【答案】（1）曲线，直线，（2）]【解析】分析：（1）先消参得到曲线C的直角坐标方程，利用极坐标公式得到直线l的直角坐标方程,再利用三角函数的图像和性质求出曲线上到直线的距离最大的点的坐标.(2)转化成求的值.详解：（1）曲线，直线，则曲线上点到直线的距离，当时，最大，此时，.（2）曲线的极坐标方程为，即.设，则.点睛：（1）本题主要考查参数方程极坐标和直角坐标的互化，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握能力. (2)对于第（2）问，可以利用直角坐标，也可以利用极坐标解答，直接利用极坐标解答简洁一些. 23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围.【答案】（1）或.（2）【解析】分析：（1）利用零点讨论法解不等式.(2)的解集包含在上恒成立在上恒成立,再分类讨论求实数m的取值范围.详解：（1）当时，，即.当时，不等式化为，解得.当时，不等式化为，解得.当时，不等式化为，解得.综上，不等式的解集为或.（2）的解集包含在上恒成立在上恒成立.1）当时，恒成立恒成立恒成立，解得.2）当时，恒成立恒成立恒成立，解得.所以，实数的取值范围为.点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握能力和转化能力. (2)解答第2问的关键是转化，的解集包含在上恒成立在上恒成立.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试<安徽卷）数学<理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

FFGZIpSeWx (1> 设i 是虚数单位，复数12ai i+-为纯虚数，则实数a 为 <A ） 2 <B ） -2 <C ） -12 <D ） 12<2） 双曲线2228x y -=的实轴长是<A ）2 (B> <3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-, (1)f = <A ）-3 (B> -1 <Ｃ）１ <Ｄ）３<４）设变量x ，y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为<Ａ）１，－１ <Ｂ）２，－２ <Ｃ）１，－２ <Ｄ）２，－１(5> 在极坐标系中，点 (2, )3π到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为<A ）<6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为<A ） 48 (B>32+48+(D> 80(7>命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是<A ）所有不能被2整除的数都是偶数<B ）所有能被2整除的数都不是偶数<C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数<D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数<8）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7}A B ==，则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 为 <A ）57 <B ）56 <C ）49 <D ）8<9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是 <A ）, ()36k k k z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ <B ）, ()2k k k z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭<C ）2, ()63k k k z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ <D ）, ()2k k k z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭<10）函数()(1)m n f x nx x =- 在区间上的图像如图所示，则m,n 的值可能是<A ）m=1, n=1 <B ）m=1, n=2<C ）m=2, n=1 <D ）m=3, n=1二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.<11）如图所示，程序框图<算法流程图）的输出结果是 .<12）设2122101221(1)x a a x a x a x -=++++，则1011a a +=_________ .<13）已知向量a ,b 满足(2)()6+-=-a b a b ,1|a |=,2|b |=，则a 与b 的夹角为________.<14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________FFGZIpSeWx <15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________<写出所有正确命题的编号）.FFGZIpSeWx ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内.FFGZIpSeWx <16）(本小题满分12分> 设2()1x e f x ax=+，其中a 为正实数 <Ⅰ）当43a =a 43=时，求()f x 的极值点； <Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）贺昌峰， QQ: 373780592（2018-6-13下午完成）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。

全卷满分150分，考试时间为120分钟。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i -（C ）1+i - （D ）1-i -【答案】A 【解析】设2bi 2a 2)i b (a 2bi)i -a (bi)+a (22z bi.z -a =z .bi,+a =z 22+=++=+⋅⇒=+⋅z i 则 i zb a a+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+⇒111222b b a 22 所以选A（2） 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ） 16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D 【解析】.1211,1211122366141210=∴=++=+++=s s ,所以选 D （3）在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A。

安徽涡阳一中2018届高三最后一卷数学文一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. ）D.【答案】B.B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.2. 已知复数）B.【答案】D选项A中，，故A不正确．选项B B不正确．选项C C不正确．选项D D正确．选D．3. 16）A. 4B. 6C. 7D. 8【答案】BB.4. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）C.【答案】C【解析】5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）D.【答案】A【解析】由三视图可得该几何体为底面是等腰直角三角形，其中腰长为1，高为2的三棱锥，A.6. 《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈.”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，则该女子第30天织布（）A. 20尺 B. 21尺 C. 22尺 D. 23尺【答案】B，设公差为B.7. 已知双曲线的一个焦点与抛物线且双曲线的离心，则该双曲线的方程为（）【答案】D8. 图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像，则函数）B.【答案】B得结果.图像上所有点的横坐标缩短到原来的，，，可得时，对称中心为，故选B.点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由.9. 已知向量，）【答案】D，根据向量垂直可得即可得结果.D.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，（2.10. 的导函数）A. B.C. D.【答案】A【解析】，可排除........................B.故选A【点睛】本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，其中分析函数的性质，及不同性质在图象上的表现是解答本题的关键．11. 上的函数）A. 0B. 1C. -1D. 2【答案】C4的周期函数，所以C 。

安微涡阳一中2018届高三最后一卷数学理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足11z ii i+=+-，那么z （ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．52.已知集合()(){}360A x x x =--<，{}28xB x =>，下列结论成立的是（ ）A ．B A ⊆B ．BA A = C ．BA B = D ．()R B A =∅ð3.已知612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项与3a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中x 的系数相等，则实数a 的值为（ ）A ．56-B ．52- C ．1- D ．5- 4.已知双曲线C ：22221x y a b -=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点2F 关于1F 的对称点为B ，以2BF 为直径的圆被过原点的直线截得的最短弦长为6b ，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．52B ．62 C.2 D ．325.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X （单位：辆）均服从正态分布()2600,Nσ，若()5007000.6P X <<=，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）A ．1125B ．12125 C.61125 D ．641256.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．18πB ．32π C.36π D ．72π 7.已知直线3402x y ππ+-=经过函数()()sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭图像相邻的最高点和最低点，则将()f x 的图像沿x 轴向左平移8π个单位后得到解析式为（ ）A ．cos2yx = B ．cos2y x =- C. 3sin 28y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 28y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．33B ．35 C. 36 D ．40 9.已知锐角ABC 的内角为A ，B ，C ，点M 为AB 上的一点，3cos 13ACM ∠=，15AC =，313CM =，则AB 的取值范围为（ ）A ．152,1522⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()15,152 C.()62,15 D ．152,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10.设函数()lg f x x =，若存在实数0a b <<，满足()()f a f b =，则222log 8a b M +=，221log N a b ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，21ln Q e =的关系为（ ） A ．MN Q >> B ．M Q N >> C.N Q M >> D ．N M Q >>11.28log xa y x =-（0a >且1a ≠）在区间10,3⎛⎤⎥⎝⎦上无零点 ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,+∞ B ．()10,1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C.()1,11,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()()0,14,+∞12.已知边长为2的等边三角形ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 边上的点，且//EF BC ，将AEF 沿EF 折成'A EF ，使平面'A EF ⊥平面EFCB ，则几何体'A EFCB -的体积的最大值为（ ） A ．439 B ．239 C.38D ．233 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，点M 是BD 上靠近D 的三等分点，则AM AB = ． 14.已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则1cos 2sin 2αα+= ． 15.某部门为实现对某山村的精准扶贫，利用该山村的特产水果建厂生产A ，B 两种饮品.生产1吨A 饮品，需1小时，获利900元；生产1吨B 饮品，需1小时，获利1200元.每天B 饮品的产量不超过饮品A 产量的2倍，每天生产B 饮品的时间不低于生产A 饮品的时间.若每天生产两种饮品的总量至多4吨，则该厂每天的最大获利为 元．16.已知O 为坐标原点，过点(),2P a -作两条直线与抛物线C ：24x y =相切于A ，B 两点，则AOB 面积的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 古代数学著作《张丘建算经》上曾出现“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同.已知第一天织布5尺，前30天共织布390尺，记女子每天织布的数量构成数列{}n a .（1）在30天内，该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多多少？ （2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为nT ，证明：2980n T <. 18.如图，是斜三棱柱111ABC A B C -中，已知11190B C A ∠=︒，异面直线11AB AC ⊥，且1AA AC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面111A B C ；（2）若1111AC AA B C ==，求直线11AC 与平面11ABB A所成角的正弦值. 19. 自2018年元月2日开始，中国中东部大部地区出现今年首次大范围雨雪天气，雨雪天气对民众的生活有显著影响.我国科学工作者研究了山东冬季短时间内积雪深度Y （单位：cm ）和降雪量X （单位：mm ）的关系为0.75YX b =+，当降雪量为5mm 时，积雪深度为3.9cm .下表为山东甲地未来24小时内降雪量及其概率： 24小时内降雪量X (单位:mm )2.5X < 2.55X ≤< 510X ≤< 1020X ≤< 2030X ≤< 30X ≤概率P0.200.400.200.10.050.05根据以往的经验，甲地某工程施工期间的积雪深度Y （单位：cm ）对工期的影响如下表：积雪深度Y (cm ) 3.9Y <3.97.65Y ≤<7.6515.15Y ≤< 15.15Y ≤工期延误天数2610（1）已知24小时内降雪量大于10mm 的降雪过程为暴雪，下表为山东5个城市24小时内的积雪深度测量值.城市 济南 菏泽 潍坊 青岛 烟台 积雪深度Y (cm )2.0253.97.8515.1522.65现从上述5个城市中，随机抽取2个，求抽取的2个城市降雪量均为暴雪的概率； （2）求甲地在24小时内降雪量X 至少是5mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率； （3）若甲地此工程每延误一天，损耗10000元，求该工程损耗的数学期望. 20. 动点P 在圆E ：()22116x y ++=上运动，定点()1,0F ，线段PF 的垂直平分线与直线PE 的交点为Q .（1）求Q 的轨迹T 的方程；（2）过点F 的直线1l ，2l 分别交轨迹T 于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥.证明：过AB 和CD 中点的直线过定点. 21. 已知()2ln f x x ax bx =--.（1）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）当1a =，1b =-时，证明：函数()f x 只有一个零点；（3）若()f x 的图像与x 轴交于()1,0A x ，()()212,0B x x x <两点，AB 中点为()0,0C x ，求证：()0'0f x <.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()222cos cos23ρθθ+=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 的直角坐标为，求直线l 的方程. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-.（1）解不等式()1f x x ≤+；（2）设()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++. 试卷答案一、选择题1-5: CDABC 6-10: CACAB 11、12：CB二、填空题13.8314. -2 15. 4400 16. 42 三、解答题17.解：（1）根据题意，{}n a 应为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，由题意知29303053902d ⨯⨯+=，即1629d =，1624015152929S S d -==⨯=偶数项奇数项∴ （尺）， 故该女子在偶数天所织布的数量比在奇数天所织布的数量多24029尺. （2）由（1）可知，()165129na n =+-⨯， 故1111111291116n n n n n n a a d a a a a +++⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴12231122311112911111116n n n n a a a a a a a a a a a a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2911291616580529n ⎛⎫ ⎪=-< ⎪ ⎪+⎝⎭. 18.解：（1）因为1AA AC =，所以四边形11ACC A 是菱形，所以11A C AC ⊥，又因为异面直线11AB AC ⊥，11AC AB A =，所以1AC ⊥平面11AB C ，而11B C ⊂平面11AB C ，所以111AC B C ⊥， 又因为11190B C A ∠=︒，即1111B C AC ⊥，且1111AC AC A =， 所以11B C ⊥平面11ACC A ，而11B C ⊂平面111A B C ，所以平面11ACC A ⊥平面111A B C .（2）设O 是11AC 的中点，因为11AC AA =，所以11AO A C ⊥，由（1）可知AO ⊥平面111A B C ，以过点O 且与11C B 平行的直线为x 轴，以1OC 所在直线为y 轴，以OA 所在直线为z 轴，建立的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,3A，()10,1,0A -，()10,1,0C ，()12,1,0B ，设11AC 与平面11ABB A 所成角为θ，∵ ()110,2,0AC =，()112,2,0A B =，()10,1,3A A =，设平面11ABB A 的一个法向量是(),,n x y z =，则11100A B n A A n ⎧=⎪⎨=⎪⎩即22030x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩不妨令1x =，可得31,1,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴ 11221sin cos ,7723AC n θ===⋅， ∴ 11AC 与平面11ABB A 所成角的正弦值为217. 19.解：（1）因为0.75Y X b =+，代入()5,3.9可得，0.15b =，所以0.750.15YX =+.对应的5个城市降雪量为：城市 济南 菏泽 潍坊 青岛 烟台 降雪量X (mm )2.5510.272030达到暴雪的城市为3个，所以抽取的2个城市中为暴雪的概率为2325310C P C ==.（2）由概率加法公式，得()()3.9510.60.4P Y P X ≥=≥=-=，又()()3.915.155200.20.10.3PY P X ≤<=≤<=+=，由条件概率，得()()()3.915.150.3315.15 3.9 3.90.44P Y P Y Y P Y ≤<<≥===≥， 故甲地在24小时内降雪量X 至少是5mm 的条件下，工期延误不超过6天的概率为34. （3）根据题意，()()()3.9 2.5 2.550.20.40.6PY P X P X <=<+≤<=+=，()()3.97.655100.2P Y P X ≤<=≤<=，()()7.6515.1510200.1P Y P X ≤<=≤<=， ()()()15.153020300.050.050.1P Y P X P X ≥=≥+≤<=+=，设该工程损耗为ξ，则0ξ=，20000，60000，100000，所以的分布列为：ξ2000060000100000P0.60.20.10.1于是，()00.6200000.2600000.11000000.120000Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，故该工程损耗的数学期望为20000元. 20.解：（1）连接QF ，根据题意，可知QP QF=，则4QE QF QE QP EF+=+=>，故Q 点的轨迹T 为以E 、F 为焦点，长轴长为4的椭圆，则2a =，1c =， ∴ 3b=，所以点Q 的轨迹T 的方程为22143x y +=.（2）分别设直线AB 和CD 的中点为M 、N ，当直线AB 斜率不存在或为0时，分析可知直线MN 与x 轴重合，当直线AB 的斜率为1时，此时43,77M ⎛⎫⎪⎝⎭，43,77N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MN 的方程为47x =，联立解得直线MN 经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭.下面证明一般性：当直线AB 的斜率存在且不为0,1时，设直线AB 的方程为()1y kx =-，则直线CD 的方程为()11y x k=--，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()22224384120k x k x k +-+-=， 则2122843k x x k -+=-+，所以122643k y y k +=-+， 即22243,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理：2243,3434k N k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭， 于是直线MN 的斜率为()222222337344344413443MNk k k k k k k k k k +++==--++， 故直线MN 的方程为()222374343441k k y x k k k ⎛⎫-=- ⎪++-⎝⎭，显然47x =时，0y =，故直线经过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭. 21.解（1）依题意：()2ln f x x x bx =+-∵()f x 在()0,+∞上递增， ∴()1'20f x x b x=+-≥对()0,x ∈+∞恒成立 即12b x x ≤+对()0,x ∈+∞恒成立， ∴ 只需min12b x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭ ∵ 0x >，∴1222x x +≥， 当且仅当22x =时取“=”，∴ 22b ≤， ∴ b 的取值范围为(,22⎤-∞⎦（2）当1a=，1b =-时，()2ln f x x x x =-+，其定义域是()0,+∞，∴ ()()()2121121'21x x x x f x x x x x-+--=-+=-=-， ∵ 0x >，∴ 01x <<时，()'0f x >；当1x <时，()'0f x <∴ 函数()f x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减∴ 当1x =时，函数()f x 取得最大值，其值为()21ln 110f x =-+= 当1x ≠时，()()1f x f <，即()0f x < ∴ 函数()f x 只有一个零点（3）由已知得()()221111111222222222ln 0n ln 0ln f x x ax bx x ax bx f x x ax bx x ax bx ⎧⎧=--==+⎪⇒⎨⎨=--==+⎪⎩⎩两式相减，得 ()()()11212122ln x a x x x x b x x x =+-+-⇒()()112122ln x x x a x x b x =-⎡++⎤⎣⎦， 由()1'2f x ax b x =--及0122x x x =+，得 ()0001'2f x ax b x =--()12122a x x b x x =-⎡++⎤⎣⎦+11212221ln x x x x x x =-+- ()1211212221ln x x x x x x x x ⎡-⎤=-⎢⎥-+⎣⎦12111222211ln 1x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥=-⎢⎥-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦令12x t x =，()()22ln 011t t t t t ϕ-=-<<+，∵ ()()()221'01t t t t ϕ-=-<+， ∴ ()t ϕ在()0,1上递减， ∴ ()()10t ϕϕ>=∵ 12x x <，∴ ()0'0f x <22.（1）由题目知曲线C 的极坐标方程可化为()2223cos sin 3ρθθ-=， 即22223cos sin 3ρθρθ-=，即2233x y -=，∴ 曲线C 的直角坐标方程为2213y x -=. （2）将直线l 的参数方程2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入C 的直角坐标方程得 ()()2232cos 1sin 3t t αα+-+=，整理可得()()22223cos sin 12cos 2sin 80t t αααα-+-+=，设A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ，则120t t +=，∴ 122212cos 2sin 012cos 2sin 03cos sin t t αααααα-+=-=⇒-=-， ∴ 直线l 的斜率tan 6k α==，∴ 直线l 的方程为611yx =-. 23.（1）()1f x x ≤+，得131x x x -+-≤+.①当1x <时，不等式可化为421x x -≤+，1x ≥.又∵ 1x <，∴ x ∈∅；②当13x ≤≤时，不等式可化为21x ≤+，1x ≥.又∵ 13x ≤≤，∴ 13x ≤≤. ③当3x >时，不等式可化为241x x -≤+，5x ≤.又∵ 3x >，∴ 35x <≤.综上所得，13x ≤≤，或35x <≤，即15x ≤≤.∴原不等式的解集为[]1,5.（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=， ∴ 2c =，即2a b +=.令1a m +=，1b n +=，则1m >，1n >，1a m =-，1b n =-，4m n +=，()()22221111411m n a b m n a b m n m n --+=+=+++-++24412mn m n =≥=+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 原不等式得证.。