2013长宁区初三数学一模卷及答案

长宁区2012学年第一学期初三数学期终质量调研试卷（满分150分，考试时间100分钟）2013.1.16考生注意：1． 本试卷含三个大题，共25题；2． 考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3． 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂在答题纸的相应位置上．】1. 已知△ABC 中，︒=∠90C ，则cos A 等于（ ） A.ABBCB.ACBCC.ACABD.ABAC2. 如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a = ，AD b =，那么a b + 等于（ ） A ．BDB ．ACC ．DBD ．CA3. 如图，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ，则四边形OACB 一定是（ ） A ． 正方形 B ．长方形 C ． 菱形 D ．梯形4. 已知抛物线21(5)33y x =--+，下列说法正确的是（ ）A ．开口向下，顶点坐标(53)，B ．开口向上，顶点坐标(53)，C ．开口向下，顶点坐标(53)-，D ．开口向上，顶点坐标(53)-，5. 如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截(即：FG//BC )，若AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．946.在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）DCBA第2题图EHF GCBA 第5题图第3题图A ．B ． C． D ．第14题图第17题图第12题图第16题图 EPDCBA的图像可能．．是 （ ）二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7.已知实数x 、y 满足23=y x ，则=+y y x 22 ． 8. 已知，两个相似的△ABC 与△DEF 的最短边的长度之比是3:1，若△ABC 的周长是27，则△DEF 的周长为 ． 9. 已知△ABC 中，G 是△ABC 的重心，则=∆∆ABCABGS S ． 10. 在直角坐标平面内，抛物线y =-x 2＋2x +2沿y 轴方向向下平移3个单位后，得到新的抛物线解析式为 ．11.在直角坐标平面内，抛物线y =-x 2＋c 在y 轴 侧图像上升（填“左”或“右”）． 12. 正八边形绕其中心至少要旋转 度，就能与原来的图形重合.13. 已知圆⊙O 的直径为10，弦AB 的长度为8，M 是弦AB 上一动点，设线段OM =d ，则d 的取值范围是 ．14. 如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是 ．15.已知两圆相切，圆心距为2 cm ，其中一个圆的半径是6 cm ，则另一个圆的半径是____ cm. 16.已知△ABC 中，AB=6，AC=9，D 、E 分别是直线AC 和AB 上的点，若ABAEAC AD =且AD=3，则BE= ．17. 如图，已知Rt △ABC ，︒=∠90ACB ，︒=∠30B ，D 是AB 边上一点，△ACD 沿CD 翻折， A 点恰好落在BC 边上的E 点处，则EDB cot ∠= ．18. 已知，二次函数f (x ) = ax 2 + bx + c 的部分对应值如下表，则f (- 3) = ．三、解答题：(本大题共7题,第19--22题,每题10分；第23、24题,每题12分;25题14分;满分78分）19.计算：︒⋅︒+︒30345245tan -sin tan .20.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1,已知向量a 和b 的起点、终点都是小正方形的顶点.请完成下列问题：（1）设：()()b a b a m 41213143---=，()()b a b a n 3252635+-+=.判断向量n m 、是否平行，说明理由； （2）在正方形网格中画出向量：a b 234-，并写出a b 234- 的模.（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）.21.如图，等腰梯形ABCD 中，AD//BC ,AB=CD ,AD =3,BC =7,∠B =45º, P 在BC 边上，E 在CD 边上，∠B =∠APE . （1）求等腰梯形的高； （2）求证：△ABP ∽△PCE.x －2 －1 0 1 2 3 4 5 y5－3－4－3512DE O AC BD C M A B O yx22.由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段。

1 / 122013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）AB； C； D2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ） A ．210x +=； B ．210x x ++=； C ．210x x -+=； D ．210x x --=．3.如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） A ．()212y x =-+； B ．()212y x =++； C ．21y x =+； D ．23y x =+．4．数据0，1，1，3，3，4的中位数和平均数分别是（ ） A ．2和2．4； B ．2和2； C ．1和2； D ．3和2．5．如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且:3:5AD DB =，那么:CF CB 等于（ ）A ．5:8；B ．3:8；C ．3:5；D ．2:5．6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ） A ．BDC BCD ∠=∠； B ．ABC DAB ∠=∠；C ．ADB DAC ∠=∠；D ．AOB BOC ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．因式分解：21a -= ．8．不等式组1023x x x->⎧⎨+>⎩的解集是 ．9．计算：23b a a b⋅= ． 10．计算：()23a b b -+= ．11．已知函数()231f x x =+，那么f = ．12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字面e 的概率是 ．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 ．14．在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为 ．15．如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，B F =C E ，A C ∥D F ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）．16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y （升）与行驶里程x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是 升．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ．3 / 1218．如图5，在△ABC 中，AB AC =，8BC =，32tanC =，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为 ．三、解答题：（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分满分78分）1910112π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭． 20．解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩． 21．已知平面直角坐标系xOy （如图6），直线12y x b =+经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点()2,A t 在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1．（1）求b 的值；（2）如果反比例函数k y x=（k 是常量，0k ≠）的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．22．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图（1）所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图（2）所示，其示意图如图（3）所示，其中AB BC ⊥，EF ∥BC ，143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：370.60sin ≈，370.80cos ≈，370.75tan ≈．）23．如图8，在△ABC 中，90ACB ∠=，B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．24．如图9，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线()20y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，2AO BO ==，120AOB ∠=．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =．设AP x =，BQ y =．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ．如果4EF EC ==，求x 的值．2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、 选择题1、B ；2、D ；3、C ；4、B ；5、A ；6、C二、 填空题7、（a+1）（a ﹣1）； 8、x ＞1； 9、3b ； 10、2+ ； 11、1； 12、 ； 13、40%；14、；15、AC=DF；16、2；17、30°；18、．三、解答题19．解：原式=2+﹣1﹣1+2=320．解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，21．解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB =OB•AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，5 / 12则反比例解析式为y=．22．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．23．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC ﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．7 / 1224．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，9 / 12∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．25．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．11 / 12∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．。

上海市长宁区中考数学一模试卷一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂在答题纸的相应位置上．】1．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，∠C=90°，则cosA等于（）A．B．C．D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据余弦等于邻边比斜边列式即可得解．解答：解：如图，cosA=．故选D．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，是基础题，作出图形更形象直观．2．（4分）（•长宁区一模）如图，在平行四边形ABCD中，如果，，那么等于（）A．B．C．D．考点：*平面向量．专题：压轴题．分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，则可得，然后由三角形法则，即可求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵，∴，∵，∴=+=．故选B．点此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形评：法则的应用，注意数形结合思想的应用．3．（4分）（•长宁区一模）如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB一定是（）A．正方形B．长方形C．菱形D．梯形考点：垂径定理；菱形的判定．专题：探究型．分析：先根据垂径定理得出AD=BD，AC=BC，再根据全等三角形的判定定理得出△AOD≌△BCD，故可得出OA=BC，即OA=OB=BC=AC，由此即可得出结论．解答：解：∵弦AB垂直平分半径OC，∴AD=BD，AC=BC，OD=CD，∵在△AOD与△BCD中，，∴△AOD≌△BCD，∴OA=BC，∴OA=OB=BC=AC，∴四边形OACB是菱形．故选C．点评：本题考查的是垂径定理及菱形的判定定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟知“平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”是解答此题的关键．4．（4分）（•长宁区一模）对于抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（﹣5，3）D．开口向上，顶点坐标（﹣5，3）考点：二次函数的性质．分析：二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．抛物线的开口方向有a的符号确定，当a ＞0时开口向上，当a＜0时开口向下．解答：解：∵抛物线y=﹣（x﹣5）2+3，∴a＜0，∴开口向下，∴顶点坐标（5，3）．故选A．点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标，开口方向的考查，是中考中经常出现的问题．5．（4分）（•茂名）如图，△ABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．专题：压轴题．分析：根据题意，易证△AEH∽△AFG∽△ABC，利用相似比，可求出S△AEH、S△AFG面积比，再求出S△ABC．解答：解：∵AB被截成三等分，∴△AEH∽△AFG∽△ABC，∴，∴S△AFG：S△ABC=4：9S△AEH：S△ABC=1：9∴S阴影部分的面积=S△ABC﹣S△ABC=S△ABC 故选C．点评：本题的关键是利用三等分点求得各相似三角形的相似比．从而求出面积比计算阴影部分的面积．6．（4分）（•长宁区一模）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；一次函数的图象．专题：压轴题．分本题主要考查一次函数和二次函数的图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的析：确定，对于二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．对称轴为x=，与y轴的交点坐标为（0，c）．解答：解：当二次函数开口向上时，﹣m＞0，m＜0，对称轴x=＜0，这时二次函数图象的对称轴在y轴左侧，一次函数图象过二、三、四象限．故选D．点评：主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（•长宁区一模）已知实数x、y满足，则=2．考点：比例的性质．分析：先用y表示出x，然后代入比例式进行计算即可得解．解答：姐：∵ =，∴x=y，∴==2．故答案为：2．点评：本题考查了比例的性质，根据两內项之积等于两外项之积用y表示出x是解题的关键．8．（4分）（•长宁区一模）已知，两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，若△ABC的周长是27，则△DEF的周长为9．考点：相似三角形的性质．分析：由两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，得出相似比为3：1，即可得其周长为3：1，又由△ABC的周长为27，即可求得△DEF的周长．解答：解：∵两个相似的△ABC与△DEF的最短边的长度之比是3：1，∴周长比为3：1，∵△ABC的周长为27，∴=3，∴△DEF的周长为9．故答案为：9．点评：此题考查了相似三角形的性质．注意掌握相似三角形周长的比等于相似比．9．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，G是△ABC的重心，则=．考点：三角形的重心．分析：设△ABC边AB上的高为h，根据三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍可得△ABG边AB上的高线为h，再根据三角形的面积公式计算即可得解．解答：解：设△ABC边AB上的高为h，∵G是△ABC的重心，∴△ABG边AB上的高为h，∴==．故答案为：．点评：本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求．10．（4分）（•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后，得到新的抛物线解析式为y=﹣x2+2x﹣1．考点：二次函数图象与几何变换．分析：根据“上加下减”的原则进行解答即可．解答：解：根据“上加下减”的原则可知，把抛物线y=﹣x2+2x+2沿y轴方向向下平移3个单位后所得到的抛物线解析式y=﹣x2+2x+2﹣3=﹣x2+2x﹣1．故答案为：y=﹣x2+2x﹣1．点评：本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．11．（4分）（•长宁区一模）在直角坐标平面内，抛物线y=﹣x2+c在y轴左侧图象上升（填“左”或“右”）．考点：二次函数的性质．分析：由于a=﹣1＜0，且抛物线的对称轴为y轴，根据二次函数的性质得到抛物线y=﹣x2+c的开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大．解答：解：∵a=﹣1＜0，∴抛物线y=﹣x2+c的开口向下，且抛物线的对称轴为y轴，∴抛物线y=﹣x2+c在对称轴轴左侧图象上升，y随x的增大而增大．故答案为左．点评：本题考查了二次函数的图象的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴有侧，y 随x的增大而增大；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．12．（4分）（•长宁区一模）正八边形绕其中心至少要旋转45度能与原图形重合．考点：旋转对称图形．专题：常规题型．分析：根据正八边形的性质，求出每一条边所对的中心角，就是所要旋转的度数．解答：解：360°÷8=45°．故答案为：45．点评：本题考查了旋转变换图形，求出每一条边所对的中心角即可，比较简单．13．（4分）（•长宁区一模）已知圆⊙O的直径为10，弦AB的长度为8，M是弦AB上一动点，设线段OM=d，则d的取值范围是3≤d≤5．考点：垂径定理；勾股定理．专题：探究型．分析：首先过点O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理的即可求得AC的长，又由⊙O的直径为10，求得⊙O的半径OA的长，然后在Rt△OAC中，利用勾股定理即可求得OC的长，继而求得线段OM长度的取值范围．解答：解：过点O作OC⊥AB于C，连接OA，∴AC=AB=×8=4，∵⊙O的直径为10，∴OA=5，在Rt△OAC中，OC===3，∴当M与A或B重合时，OM最长为5，当M与C重合时，OM最短为3，∴线段OP长度的取值范围是：3≤d≤5．故答案为：3≤d≤5．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．14．（4分）（•长宁区一模）如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过130米长的路程时，他所在位置的竖直高度下降了50米，则该坡道的坡比是5：12．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：首先根据勾股定理求得滑行的水平距离，然后根据坡比的定义即可求解．解答：解：滑行的水平距离是：=120（米），故坡道的坡比是：50：120=5：12．故答案是：5：12．点评：本题考查了勾股定理，以及坡比的定义，正确求得滑行的水平距离是关键．15．（4分）（•长宁区一模）两圆相切，圆心距为2cm，一圆半径为6cm，则另一圆的半径为4或8cm．考点：圆与圆的位置关系．分析：分两圆外切和两圆内切情况讨论，很明显根据圆心距为2cm与一圆的半径为6cm不可能外切；而内切时，要分6cm为较长半径和较短半径两种情况考虑．解答：解：设另一圆的半径为r，∵两圆相切，∴两圆可能外切，也有可能内切，∴当两圆外切时，2=6+r，则r=﹣4（舍去）；当两圆内切时，2=6﹣r或2=r﹣6，则r=4cm或8cm，∴两圆内切，另一圆的半径为4cm或8cm．点评：本题用到的知识点为：两圆外切，圆心距=两圆半径之和．两圆内切，圆心距=两圆半径之差．16．（4分）（•长宁区一模）已知△ABC中，AB=6，AC=9，D、E分别是直线AC和AB 上的点，若且AD=3，则BE=4或8．考点：相似三角形的判定与性质．分析：先将AB=6，AC=9，AD=3代入，求出AE=2．由于D、E分别是直线AC和AB上的点，则∠DAE=∠BAC，所以若，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得到△ADE∽△ABC，所以分两种情况进行讨论：①D、E分别在线段AC和AB上；②D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上．解答：解：将AB=6，AC=9，AD=3代入，得=，解得AE=2．①D、E分别在线段AC和AB上时，∵AE=2，AB=6，∴BE=AB﹣AE=6﹣2=4；②D、E分别在线段AC和AB的反向延长线上时，∵AE=2，AB=6，∴BE=AB+AE=6+2=8．综上可知BE的长为4或8．故答案为4或8．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，直线的性质，进行分类讨论是解题的关键．17．（4分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，∠ACB=90°，∠B=30°，D是AB边上一点，△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，则cot∠EDB=．考点：翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值．分析：先根据三角形内角和定理得出∠A=60°，再由轴对称的性质证明出△CED≌△CAD，则∠CED=60°，根据三角形外角的性质求出∠EDB=30°，然后根据特殊角的三角函数值求解．解答：解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=60°．∵△ACD沿CD翻折，A点恰好落在BC边上的E点处，∴△CED≌△CAD，∴∠CED=∠A=60°，∴∠EDB=∠CED﹣∠B=30°，∴cot∠EDB=cot30°=．故答案为．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形外角的性质，特殊角的三角函数值，根据轴对称的性质证明出△CED≌△CAD是解题的关键．18．（4分）（•长宁区一模）已知，二次函数f（x）=ax2+bx+c的部分对应值如下表，则f （﹣3）=12．x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5y 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 5 12考点：二次函数的性质．专题：压轴题．分析：根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=﹣3时的函数值与x=5时的函数值相同．解答：解：由图可知，f（﹣3）=f（5）=12．故答案为：12．点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，第19--22题，每题10分；第23、24题，每题12分；25题14分；满分78分）19．（10分）（•长宁区一模）计算：．考点：特殊角的三角函数值．分析：将tan45°=1，sin45°=，tan30°=分别代入即可得出答案．解答：解：原式=+﹣×==．点评：本题考查了特殊角的三角函数值的知识，属于基础题，记忆一些特殊角的三角函数值是关键．20．（10分）（•长宁区一模）如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点．请完成下列问题：（1）设；．判断向量是否平行，说明理由；（2）在正方形网格中画出向量：4﹣，并写出4﹣的模．（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）．考点：*平面向量．分析：（1）先将向量化简，然后根据向量平行的定义即可作出判断；（2）分别画出4及﹣，然后可得出4﹣，继而在格点三角形中可求出4﹣的模．解答：解：（1），，则，故可得向量平行．（2）所画图形如下：则．点评：本题考查了向量的知识，注意掌握向量平行的判断方法及向量摸的定义．21．（10分）（•长宁区一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD=3，BC=7，∠B=45°，P在BC边上，E在CD边上，∠B=∠APE．（1）求等腰梯形的高；（2）求证：△ABP∽△PCE．考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定．分析：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，首先证明△ABF≌△DCG，得到BF=CG，再证明AFGD是平行四边形，根据平行四边形的性质求出等腰梯形的高即可；（2）利用等腰梯形的性质和相似三角形的判定方法证明：△ABP∽△PCE即可．解答：解：（1）作AF⊥BC于F，作DG⊥BC于G，∴∠AFB=∠DGC=90°且 AF∥DG，在△ABF和△DCG中，∴△ABF≌△DCG，∴BF=CG，∵AD∥BC且 AF∥DG，∴AFGD是平行四边形，∴AD=FG，∵AD=3，BC=7，∴BF=2在Rt△ABF中，∠B=45°，∴∠BAF=45°，∴AF=BF=2，∴等腰梯形的高为2；（2）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C，∵∠APC=∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，又∵∠B=∠APE∴∠BAP=∠EPC，在△ABP和△PCE中，∴△ABP∽△PCE．点评：本题题主要考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相似三角形的性质与判定，相似三角形的判定是初中阶段考查的重点同学们应重点掌握．22．（10分）（•长宁区一模）由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段．如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包含轮胎厚度）为120cm，车轮入水部分的弧长约为其周长的，试计算该路段积水深度（假设路面水平）．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：探究型．分析：设车轮与地面相切于点E，连接OE与CD交于点F，连接OC．设∠COD=n°，过点O作OE垂直路面于点E，交CD于点F，根据弧CD等于⊙O周长的，故可得出n 的值，再根据OE⊥CD 且OE=OC=OD=AB可得出OE的长，故OF是∠COD的平分线，所以∠FOD=∠COD=n，再根据∠FOD+∠ODF=90°，可得出∠ODF的度数，在Rt△OFD中由直角三角形的性质可得出OF的长，再根据FE=OE﹣OF即可得出结论．解答：解：设车轮与地面相切于点E，连接OE与CD交于点F，连接OC．设∠COD=n°，过点O作OE垂直路面于点E，交CD于点F，∵弧CD等于⊙O周长的，即=πd，∴n=120°，∵OE⊥CD 且OE=OC=OD=AB=60cm，∴OF是∠COD的平分线，∴∠FOD=∠COD=n=60°，∵∠FOD+∠ODF=90°，∴∠ODF=30°∴在Rt△OFD中，OF=OD=30cm，∴FE=OE﹣OF=30cm，∴积水深度30cm．点评：本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质求解是解答此题的关键．23．（12分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O 是Rt△ABC的内切圆，其半径为1，E、D是切点，∠BOC=105°．求AE的长．考点：三角形的内切圆与内心．分析：首先根据切线长的性质以及切线的性质得出BD的长，进而得出BC的长以及AB的长，即可得出AE的长．解答：解：连接OD、OE．则OD=OE=1，∵O是△ABC的内切圆圆心∴OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，即且又∵∠ACB=90°，∴，∵OD、OE是过切点的半径，∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，∵∠COB=105°，∴∠DOB=∠COB﹣∠COD=60°，在Rt△OBD中，，∴，∠OBD+∠BOD=90°，∴∠OBD=30°，∵，∴∠ABC=60°，∴BC=BD+CD=1+在Rt△ABC中，AB=2+2，在Rt△OBE中，∵OE=1，∠OBE=30°，∴BE==，∴AE=2+．点评：此题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数的应用，正确得出∠ABC的度数以及BC的长是解题关键．24．（12分）（•长宁区一模）在直角坐标平面中，已知点A（10，0）和点D（8，0）．点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形．（1）求C点坐标；（2）求过O、C、B三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）判断：（2）中抛物线的顶点与⊙M的位置关系，说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）作MN⊥BC于点N，连接MC，利用垂径定理求得线段MN后即可确定点C 的坐标；（2）用同样的方法确定点D的坐标后利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后配方后即可确定抛物线的顶点坐标及对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标和点M的坐标确定两点之间的距离，然后根据半径与两点之间的线段的大小关系即可确定顶点与圆的位置关系．解答：解：（1）如图，作MN⊥BC于点N，连接MC，∵A（10，0）和点D（8，0）．∴点M（5，0），∵点C、B在以OA为直径的⊙M上，且四边形OCBD为平行四边形，∴⊙M的半径为5，BC=OD=8，∴在Rt△MNC中，MC=5，NC=BC=4，∴MN=3，∴点C的坐标为（1，3）；（2）∵点C的坐标为（1，3），∴点B的坐标为（9，3），设过O、C、B三点的抛物线解析式为y=ax2+bx，∴解得：∴解析式为：y=﹣x2+x，∴y=﹣x2+x=﹣（x﹣5）2+，∴对称轴为x=5，顶点坐标为（5，）；（3）∵顶点坐标为（5，），点M的坐标为（5，0），∴顶点到点M的距离为，∵＞5∴抛物线的顶点在⊙M外．点评：本题考查了二次函数的综合知识，还考查了点与圆的位置关系，本题难度不大，但综合性比较强．25．（14分）（•长宁区一模）如图，已知Rt△ABC，⊥，AB=8cm，BC=6cm，点P从A 点出发，以1cm/秒的速度沿AB向B点匀速运动，点Q从A点出发，以x cm/秒的速度沿AC向C点匀速运动，且P、Q两点同时从A点出发，设运动时间为t 秒（），连接PQ．解答下列问题：（1）当P点运动到AB的中点时，若恰好PQ∥BC，求此时x的值；（2）求当x为何值时，△ABC∽△APQ；（3）当△ABC∽△APQ时，将△APQ沿PQ翻折，A点落在A′，设△A′PQ与△ABC重叠部分的面积为S，写出S关于t的函数解析式及定义域．考点：相似形综合题．分析：（1）PQ∥BC，P是AB的中点，则Q一定是AC的中点，求得AQ的长，则速度x 即可求得；（2）△ABC∽△APQ，则一定有PQ∥BC，即与（1）相同，即可求得x的值；（3）分0＜t≤4和4＜t＜8两种情况进行讨论，当0＜t≤4时重合部分就是△A′PQ；当4＜t＜8时，重合部分是直角梯形，根据梯形的面积公式即可求解．解答：解：（1）设AP=t AQ=xt （0≤t≤8）∵AB=8 AP=AB=4 即t=4∵Rt△ABC，∠B=90°，AB=8 cm，BC=6 cm∴AC=10 cm∵PQ∥BC∴即解得：（2）①若∠APQ=∠ABC，则BC∥PQ，此时与（1）相同，x=；若∠APQ=∠C，则=，即=，解得；x=．综上可得当x=或时，△ABC∽△APQ．（3）∵BC∥PQ，∴=，∴PQ===t，则当0＜t≤4时，重叠部分的面积为S=S△A′PQ=S△APQ=AP•PQ=t•t=t2；当4＜t≤8时，如图1所示，则A′P=AP=t，PQ=t，∴BP=AB﹣AP=8﹣t，则A′P=t﹣（8﹣t）=2t﹣8，∵BD∥PQ，∴=∴BD==（t﹣4），∴S=S四边形BDQP=（BD+PQ）•BP= [（t﹣4）+t]•（8﹣t）=（t﹣4）2．则函数解析式是：．点本题考查了相似三角形的判定与性质，正确分情况讨论，因求得x的值是关键．评：。

2013.2.五校联考数学部分试题简析选择题部分：（比较基础） 第4题：本题考查圆与圆的位置关系，少数同学没有仔细看选项忽略了同心圆的情况而错选A ． 第5题：本题作为选择题进行考查较为简单，如果改成填空题则需要分类讨论x 可能取到的值． 第6题：通过观察A 、B 两点的坐标可以知道直线的“k ”一定等于1-，同时直线又经过横坐标与纵坐标互为相反数的点C ，显然这条直线的表达式只可能是y x =-，当然本题也可用待定系数法进行求解．填空题部分：（整体难度适中，有陷阱，花样多，稍难于上海市历年中考填空题） 第12题：本题是一道“阅读信息题”，由“偶函数”的定义易知二次函数图像的对称轴是直线x = 0，于是b = 0，得到A 、B 、P 三点的坐标即可求得三角形的面积，较简单． 第13题：本题属于“陷阱题”，得分率较低，如果三角形刚好能不受损地通过圆圈，那么该圆的最小直径应该等于等边三角形的高（使三角形所在的平面与圆所在平面保持垂直），“20”和“2033”学生是最为集中的错解． 第14题：本题又是一道“阅读信息题”，“上升数”的概念不难理解，但是计算时比较容易出错，两位数的个数为90，而“上升数”共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36个，套用概率公式即可． 第15题：本题属于“信息迁移题”，从特殊到一般，给出了计算一般四边形面积的一种方法，如图1，可以过点C 作BD 的平行线，过点A 作该平行线的垂线，垂足为点H ，在Rt △ACH中，sin AH m θ=，于是四边形的面积1sin 2S mn θ=，较为简单．填空题部分最后三题难度相比前面有所提高 第16题：本题是一道常规的计算题，综合考查相似、三角比、勾股定理等知识，关键在于利用已知的角度关系证出△BED ∽△BDC ，难度一般．图1 AB C Dθ HA CB E D 图2简解如下：如图2，可设BE = x ，易证△BED ∽△BDC ，由比例关系得BD = 2x ，BC = 4x ，在Rt △ABC 中，222(4)9(29)x x +=+，解得x = 3，即BE = 3．第17题：本题是一道比较常见的折叠题，需要注意题目中的“直线AB ”与“折痕所在直线”，显然满足题意的情况有两种：点E 在线段AB 上（图3）、点E 在AB 的延长线上（图4），因此需要分类讨论，属于拉开差距的题目． 简解如下：（I ）对于图3，作PH ⊥AB ，垂足为点H ，易得AH = BE = 1，则HE = 2． 设BC = PH = x ，易证△ABC ∽△PHE ，42xx =，解得22x =，此时cot ∠CAB =2． （II ）对于图4，作PH ⊥BC ，垂足为点H ，则PH = AB = 4．易得14BQ BE QH PH ==，14BQ CH QH ==，设BC = x ，则23QH x =． 易证△ABC ∽△QHP ，2434xx =，解得26x =，此时cot ∠CAB =63．第18题：本题是一道综合题，以圆（扇形）为载体，主要考查了勾股定理、相似三角形等初中阶段的重要知识，同时又是一道动态问题，在运动中建立变量之间的函数关系式，难度比较适中，但可以拉开一定差距． 简解如下：如图5，联结EG ，过点M 、N 分别作OD 、OC 的平行线，两平行线相交于点I ． ∵OC = x ，∴OD =21x -．易证△DMF ∽△GME ，△CNH ∽△ENG ，由“相似三角形对应边上的高之比等于相似比”，可得222133MI OD x ==-． 类似地，可得13NI x =．在Rt △MNI 中，222221(1)()33y x x =-+，整理得21433y x =-，定义域是01x <<．图3 A B C D E H P A BC D EP Q H 图4 图5AP C HOG NE D MF BI解答题部分：（难点比较分散，综合性较强，但多数题目十分容易上手，难题分值不高） 第21题：本题是一道几何和函数知识结合的应用题，运用图形的几何性质建立函数关系式求最值．需要注意的是由于第（2）问的函数解析式有两种不同的情况，那么第（3）问在求解时需要分别求出正比例函数和二次函数在各自定义域内的最大值并进行比较，从而得到最终结果，难度一般． 第22题：本题较为新颖，第（1）问只需注意分类讨论比较简单，第（2）问考查作图能力，难度也不大，容易出错的是“网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数”，考虑正方形的两条对角线都是其本身的对称轴，不难想到：以正方形的每条对角线为最长边可作出4个三角形与原三角形相似，那么符合题意的三角形一共有8个（如图6所示）．第23题：本题是一道折叠题，但是并非最为常见的三角形、四边形的折叠，而是圆的折叠问题，且涉及的知识点较多：有轴对称、垂径定理、相切两圆的性质、平行四边形的判定、三角形的中位线等，第（2）问证明平行四边形的关键在于首先明确折叠前后得到的圆弧所在的圆都是等圆，然后找到折叠前两条外切的圆弧所在的圆的圆心，联结后得到两圆的连心线，将图形补全，从而利用三角形的中位线来证明四边形OMPN 的两组对边分别平行，得到结论，稍有难度． 第24题：本题是试卷的函数压轴题，较为全面地考查了初中阶段最重要的三种函数，同时又是一道“阅读信息题”，给出了“伴侣正方形”的新定义，初看感觉非常容易理解，实则不然，“伴侣正方形”的四个顶点所在的位置情况可能会比较复杂，讨论起来有一定的难度．题目的前两问比较简单，作为铺垫使学生对新概念有一定的理解，第（3）问中，由于知道C 、D 中的一个点的坐标，欲求二次函数2y ax c =+的解析式，必须先求出“伴侣正方形”在二次函数上的另一个顶点的坐标，显然本题满足题意的二次函数解析式不止一个．在解答第（3）小题时可以先设点D 的坐标为(3,4)，如图7（图中红色正方形）所示，当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴负半轴上时：过点D 、C 分别作DE ⊥x 轴、CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△DEA ≌△AOB ≌△BFC ，即可得到点C 的坐标为(1,3)-，求出二次函数的解析式．其他几种情况与之类似，由于“伴侣正方形”四个顶点的不确定性，本题的分类讨论包含了两个层次，难度较大，某些不符合题意情况可以直接依据图形进行排除，图6最后一共有四条抛物线符合题意（图7供参考）．第25题：本题是试卷的几何压轴题，综合考查了图形的平移、旋转、全等三角形、相似三角形等知识，但是前两问还是相当容易上手的，第（3）问则需要通过辅助线同时构造出一个新的等腰直角三角形、一对全等三角形、一对相似三角形作为“桥梁”，实现比例的转化从而得到答案．本题的结果说明：在题设条件下，将△ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，其中090m ≤，AMDM的值始终与C 、E 两点之间的距离x 成正比（图8）．此题思维上的难度较大，是一道能达到选拔优秀学生目的的试题．本题所用到的两个基本模型都是比较常见的， 相似三角形漏斗模型、全等三角形旋转模型：图8DEAFMlCBG DC ABEFO 图7。

长宁区2012学年第一学期高三数学质量调研试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分） 1、计算：22342lim(21)n n n n →∞+-+=________ .2、记函数()y f x =的反函数为1()y fx -=如果函数()y f x =的图像过点)2,1(,那么函数1()1y fx -=+的图像过点________ .3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为________ .（结果精确到001.0）4、8)2(x -展开式中含4x 项的系数为________ .5、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数）， 则(1)f -=________ .6、已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若1110i 0z zz=（i 是虚数单位），则z =________ . 7、从数列)}(21{*N n n∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为________ .8、阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为________ .9、已知A B C ∆23AC ABC π=∠=，则A B C ∆的周长等于._______ 10、给出下列命题中① 非零向量 a b 、满足a b a b ==-，则与a a b + 的夹角为030； ② a ⋅b ＞0，是 a b、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将1y x =-的图象按向量()1,0a =-平移得到的图象对应的函数表达式为y x =；④ 在ABC ∆中，若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ，则ABC∆为等腰三角形；以上命题正确的是________ .（注：把你认为正确的命题的序号都填上）11、我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。

1长宁2013年九年级数学教学质量检测（二模）试卷一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各数中，无理数是（ ）.A. 21 B. 3.14 C. 3 D. 382. 下列各式中，运算正确的是（ ）.A. 523a a a=+ B. a a a 2=-3C. 523a a a =⋅ D. 2323a a a =÷3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 12 4. 下列图形中，中心对称图形是（ ）.5. 一次函数y =3x +1的图像不经过（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人射击10次，四人射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是4502甲.=S ，5502乙.=S ，5002丙.=S ，6502丁.=S ，则射击成绩最稳定的是（ ）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 函数43-x y =的定义域是 .8. 在实数范围内分解因式：32-m = .9. 不等式组：⎩⎨⎧<-≥021，63x x 的解集是 .10. 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛b -a -a212= . 11. 已知，△ABC 的重心G 到BC 边中点D 的距离是2，则BC 边上的中线长是 .12.方程：31=-x 的解是 .13. 若将抛物线122+=x -x y 沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 .14. 如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是5米，设自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ= .15. 为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生中体重不小于55.5kg 且小于65.5kg 的学生人数是 . 16. 若实数x 、y 满足：yx >，则称：x 比y 远离0. 如图，已知A 、B 、C 、D 、E五点在数轴上对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e. 若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 .17. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处， B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .A ．B ．C ．D ．第14题5米13米θ第15题图 kg )第16题图 e -110c b a2 CBOA yxO C B A 18. 已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积S 1=21，第2次分割后的阴影部分面积S 2=43，第3次分割后的阴影部分面积S 3=87，…….按照这样的规律分割，则第n (n 为正整数)次分割后的阴影部分面积可用n 表示为S n = .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()32230tan 31212+-︒⎪⎭⎫⎝⎛+-.20．（本题满分10分）解方程：3353112-x x x -x-x x +=+.21．（本题满分10分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC =︒90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.22．（本题满分10分） 周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从家出发0.5小时后到达A 地，游玩一段时间后再前往B 地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B 地，如图是他们离家的路程y （千米）与离家时间t （小时）的函数图像．（1）根据函数图像写出小明和爸爸在A 地游玩的时间； （2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度；（3）妈妈出发时，小明和爸爸距离B 地有多远？23．（本题满分12分）如图，△ABC 中，∠ACB =︒90，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE延长线上，且AF=AE . （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数.24．（本题满分12分）如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点是坐标原点，A （-3，0）且sin ∠ABO=53，抛物线y =ax 2+、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线AB 和抛物线的解析式；（2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ABO 和△ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP ⊙A ， 再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，的位置关系，并说明理由.25．（本题满分14分）△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠∠BAC =︒30.，BC=6，∠FDE =︒90，DF=DE=4.（1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形.第1次分割 第2次分割 第3次分割 第4次分割 第18题图 O y (千米)302010t (小时)21.510.5F EDBCA 图①图②EF H GFEA(D)B3DOCBA 321F EDBCA2013年初三数学教学质量检测试卷参考答案一、 单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、x ≠4 8、(m +3)(m -3) 9、x ≥2 10、b 2 11、 6 12、x =10 13、(0,-2)14、12515、35 16、0 17、4:3 18、1-n21三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分）解：原式=）32（23332--⨯+ (8分，每个化简结果2分)=32432++-=233- (结果正确，2分)20、（本题满分10分）解：方程两边同时乘以3x (x -1),得3(x +1)-(x -1)=x (x +5) (3分)整理得 x 2+3x -4=0(x -1) (x +4)=0 (2分) x 1=1 x 2=-4 (2分)经检验：x 1=1 是原方程的增根 (1分) ∴ x 2=4是原方程的根 (2分)21、（本题满分10分）解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D . (1分) ∵等腰直角△ABC 且∠BAC =︒90 ∴ AB=AC ∵ O 是圆心 ∴OB=OC∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 ∴ AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点 (4分)在Rt △ABC 中，AD=BD =BC 21∵BC=8 ∴ BD=AD = 4 (2分)∵AO=1 ∴OD=BD-AO=3 (1分) ∵AD ⊥BC ∴∠BDO =︒90 ∴OB =5432222=+=+BD OD(2分)22、（本题满分10分）解：（1）0.5 (2分)（2）骑车速度：10÷0.5=20千米/小时 (2分) 驾车速度：30÷0.5=60千米/小时 (2分)（3）设小明和爸爸从A 地前往B 地时，y=kt+b （k ≠0）) 由图可知 t =1时，y =10；t =2时，y =30代入得⎩⎨⎧+=+=b k bk 23010 解得⎩⎨⎧==1020-b k (2分)得y =20t – 10当t =1.5时，y =20， 30-20=10 (1分)∴ 妈妈出发时，小明和爸爸离B 地10千米。

2013年初三数学教学质量检测试卷（测试时间：100分钟，满分：150分） 2013.4.24考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答， 在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计 算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列各数中，无理数是（ ）A ．12；B ．3.14； CD2．下列各式中,运算正确的是（ ）A ．325a a a +=； B ．32a a a -=； C ．325a a a ⋅=； D ．3322a a a ÷=．3．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）ABCD4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．一次函数31y x =+的图形不经过（ ）A ．第一象限；B ．第二象限；C ．第三象限；D ．第四象限．6．甲、乙、丙、丁四人进行设计比赛，每人射击10次，四人射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是2=0.45S 甲，2=0.55S 乙，2=0.55S 丙，2=0.65S 丁，则射击成绩最稳定的是（ ）A ．甲；B ．乙；C ．丙；D ．丁．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．函数34y x =-的定义域是 ．8．在实数范围内分解因式：23m -= ．9．不等式36120x x ≥⎧⎨-<⎩的解集是 ．10．计算：122a a b ⎛⎫--= ⎪⎝⎭．11．已知，ABC ∆的重心G 到BC 边中点D 的距离是2，则BC 边上的中线长是 ．123=的解是 ．13．若将抛物线221y x x =-+沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则得到的新抛物 线的顶点坐标是 ．14．如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是5米，设自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ= ．15．为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得 到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生中体重不小于55.5kg 且小于65.5kg 的学生人数 是 ．16．若实数x 、y 满足：x y >，则称：x 比y 远离0．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 五点在数轴上 对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e ．若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概 率是 ．17．如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处，B 点 落在点Q 处，PQ 与CF 交于点G ．设1C 为△PCG 的周长，2C 为△PDE 的周长，则12:C C = ．18． 已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积112S =，第2次分 割后的阴影部分面积234S =，第3次分割后的阴影部分面积378S =，······按照这样的规律分割，则第n （n 为正整数）次分割后的阴影部分面积可用n 表示为n S = ．第15题图体重（kg)0.0040.0120.020.0240.030.040.05第16题图第17题图B F Q G P C E DA三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：121tan 303-⎛⎫+ ⎪⎝⎭20．（本题满分10分）解方程：2115333x x x x x x ++-=--．21．（本题满分10分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠90BAC =，圆心O 在△ABC 内部，且O 经过B 、C 两点，若8BC =，1AO =，求O 的半径．第1次分割 第2次分割 第3次分割第18题图周末，小明和爸爸骑电动车从家里出发到郊外踏青，从家出发0.5小时候到达A地，游玩一段时间后再前往B地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B地，如图是他们离家的路程y （千米）与离家时间t（小时）的函数图像．（1）根据函数图像写出小明和爸爸在A地游玩的时间；（2）分别求出小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度；23．（本题满分12分）ACB= ，D、E分别是BC、BA的中点，联结DE，F在DE延长线上，如图，△ABC中，∠90=．且AF AE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；B（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．F E DA如图，直线AB 交x 轴与点A ，交y 轴于点B ，O 是坐标原点，(3,0)A -且3sin 5ABO ∠=，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点，(1,0)C -． （1）求直线AB 和抛物线的解析式；（2）若点(2,0)D ，在直线AB 上有点P ，使得△ABO 和△ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 长为半径画A ，再以D 为圆心，DO 长为半径画D ，判断A 和D 的位置关系，并说明理由．△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知90B ∠= ，30BAC ∠= ，6BC = ，90FDE ∠=，4DF DE ==．（1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG EH =．设DF a =，在射线DF 上取一点P ，记：DP xa =，联结CP .设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，求当x 为何值时PC //AB；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动．当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形．图 1EFCBA(D)图 2BCFEA(D)2013年初三数学教学质量检测试卷参考答案一、单项选择题： 1．C ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．D ． 6．A ．二、填空题： 7．4x ≠．8．(m m ．9．2x ≥．10．2b ．11．6．12．10x =． 13．()0,2-． 14．512． 15．35． 16．0． 17．4:3． 18．112n -． 三、解答题： 19．解：原式=(2322+--（8分，每个化简结果2分）=24+=2． （结果正确，2分）20．解：方程两边同时乘以()31x x -,得()()()3115x x x x +--=+． 3分整理得2340x x +-=，()()140x x -+=． 2分11x =，24x =-． 2分经检验：11x =是原方程的增根． 1分 ∴24x =-是原方程的根． 2分21．解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D ． 1分∵等腰直角△ABC 且∠90BAC =，∴AB AC =．∵ O 是圆心， ∴OB OC =．∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线．∴AD ⊥BC 且D 是BC 的中点． 4分在Rt △ABC 中，12AD BD BC ==， ∵8BC =，∴4BD AD ==． 2分 ∵1AO =，∴3OD BD AO =-=． 1分 ∵AD ⊥BC ， ∴∠90BDO=．∴5BO ==． 2分 22． 解：（1）0.5． 2分 （2）骑车速度：10÷0.5=20千米/小时； 2分 驾车速度：30÷0.5=60千米/小时． 2分 （3）设小明和爸爸从A 地前往B 地时，()0y kt b k =+≠． 由图可知1t =时，10y =；2t =时，30y =．代入得10302k bk b=+⎧⎨=+⎩．解得2010k b =⎧⎨=-⎩． 2分则2010y t =-． 当 1.5t =时，20y =，30-20=10． 2分 ∴妈妈出发时，小明和爸爸离B 地10千米． 1分23．（1）证明：∵∠90ACB =，又∵E 是BA 的中点∴CE AE BE ==．∵AF AE =，∴AF CE =． 2分 在△BEC 中，∵BE CE =，且D 是BC 的中点， ∴ED 是等腰△BEC 底边上的中线． ∴ED 也是等腰△BEC 的顶角平分线． ∴∠1=∠2 ． ∴∠AEC = ︒180－∠1－∠2 =︒180－2∠1． 2分 ∵AF AE =， ∴∠F =∠3 ． ∵∠1=∠3，∴∠1=∠F =∠3．∴在△FAE 中，∠FAE =︒180－∠3－∠F =︒180－2∠1． 2分 ∴ ∠AEC =∠FAE ． ∴CE //AF ．又∵CE =AF ，∴四边形ACEF 是平行四边形．2分（2）解：∵四边形ACEF 是菱形，∴AC CE =．由（1）知AE CE =．∴AC CE AE ==．∴△AEC 是等边三角形． 2分 ∴∠4 =︒60．在Rt △ABC 中，∠B =︒90－∠4=︒30．2分24．解：（1）据题意得Rt △ABO 中，35OA sin ABO AB ∠==． 又3OA =， ∴5AB =，4OB =．∴()0,4B ． 1分 设AB ：()0y kx b k =+≠，精锐教育网站： 10 精锐教育·上海教学管理()3,0A -、()0,4B 代入得304k b b -+=⎧⎨=⎩， 解得434k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩．∴AB 直线解析式：433y x =+． 1分 ()3,0A -、()0,4B 、()1,0C -代入得93004a b c a b c c -+=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩．解得431634a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩． 1分∴抛物线解析式：2416433y x x =++． 1分 （2）设4,43P x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 已知()2,0D ． 据题意，当AO AB OBAD AP PD==时，DP ∥BO ， 345DP=， 203DP =．∴202,3P ⎛⎫⎪⎝⎭． 2分 当AB AO AD AP =时， 535AP=， 3AP =，()22243433x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，解得165x =-，2245x =-．（不合题意，舍去）∴612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 2分 （3）⊙D 的半径2r =． 当202,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，⊙A 的半径253AP =， 25523AD =<-， ∴两圆内含． 2分当612,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，⊙A 的半径3AP =， 532AD ==+，∴两圆外切． 2分25．解：（1）如图，过P 作PH ⊥AB 于H ．∵=DF DE ，∴∠DFE =∠E ．又∵=FG EH ，∴△DFG ≌DEH ．∴∠FDG =∠EDH ．∵∠=90FDE ，且∠FDE =∠FDG +∠EDH +∠BAC ，∵∠=30BAC，∴∠=30FDG ． 1分∵ =4DF ∴=4DF ．∵=DP xa xDF = ，∴=4DP DP x a x DF x ===． 1分在Rt △DPH 中，∠=30FDG ，∴122PH DP x ==． ∠=90B .，∠=30BAC .，6BC =．∴12AC DC ==．∴11==1221222PDC y S DC PH x x =⋅⋅⋅=△()0x >． 2分（2）∵PC ∥AB ，∴∠BAC =∠DCP ．∵∠30BAC = ，∴∠30DCP = ．由（1）知∠=30FDG ，∴∠FDG =∠DCP ．∴DP PC =．若PH AB ⊥，则M 是DC 的中点6DM =． 2分 在Rt △DPH 中，∠=30FDG ，cos ∠6=2DMFDG AP AP ==， ∴AP = 1分4DP AP x ==．∴x = 1分,（3）如图，设AD t =，12DC t =-()012t << ．222FC DF DC =+ 2分①222AD FC BC =+， ()()2224121236t t +-=-+，解得496t =（不合题意，舍去）； 1分 ②222BC FC AD =+，()22236412t t =+-+无解 ； 1分 ③222FC BC AD =+， ()22241236t t +-=+，解得316t =． 1分 ∴当△DEF 移动到316AD =时， 以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形． 1分。

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试 初三数学试卷 2013.1.17（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上 答题一律无效；2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；3.本次测试可使用科学计算器.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D ．3:2．2.已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，A α∠=，2AB =，那么BC 长（ ）A ．2sin α；B ．2cos α；C ．2sin α； D ．2cos α．3.如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ）A ．22y x =+；B ． 22y x =-；C ．2(2)y x =+；D ．2(2)y x =-．4.如果抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-和(3,0)，那么对称轴是直线（ ）A ．=0x ；B ．=1x ；C ．=2x ；D ．=3x ．5.如果乙船在甲船的北偏东40方向上，丙船在甲船的南偏西40方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ）A ．北偏东40；B ．北偏西40；C ．南偏东40；D ．南偏西40．6.如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点F G、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A ．3；B ．2.5；C ．2；D ．2.5.二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）7. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =1、=2b 那么=c .8.计算：11()(2)22a b a b --+= .9.如果抛物线2(2)y a x =-的开口方向向下，那么a 的取值范围是 .10.二次函数23y x =-的图像的最低点坐标是 .11.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为(06)x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为 .12.已知α是锐角，230tan cos α=，那么α= 度.13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1:2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米，那么此 斜坡的长度等于 米.14.小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长 线交AB 于点G ；使斜边DE 与点A 在同一条直线上．测得边DF 离地面的高度为1.4m ，点D 到AB 的距 离等于6m （如图所示）。

2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．2．（4分）下列关于抛物线y＝2x2+x﹣3的描述正确的是（）A．该抛物线是上升的B．该抛物线是下降的C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的3．（4分）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（）A．B．C．D．4．（4分）已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（）A．B．C．+3＝0D．∥5．（4分）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC（）A．，＝B．C．，D．6．（4分）已知在△ABC与△A'B'C'中，点D、D′分别在边BC、B'C'上，（点D不与点B、C重合，点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC与△A′D′C′相似，点A、D分别对应点A'、D'，那么添加下列条件可以证明△ABC与△A'B'C'相似的是（）①AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线；②AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线；③AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高．A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）如果5x＝3y（x、y均不为零），那么x：（x+y）的值是．8．（4分）计算：2cos30°﹣tan45°＝．9．（4分）已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于cm．10．（4分）已知两个相似三角形的周长之比为2：3，那么它们的面积之比为．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为．12．（4分）二次函数f（x）＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：那么f（﹣5）＝．x…﹣3﹣2﹣101…f（x）…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…13．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝．（用含向量的式子表示）14．（4分）已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为．15．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果EH＝2EF，那么EH＝．16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，联结GA、GC，如果AC＝3，，那么∠GCA的余切值为．17．（4分）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E都在边BC上，AD＝AE＝5，如果△ABC与△ADE是友好三角形，那么BC的长为．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，AC是对角线，点P在边BC上，联结DP，将△DPC沿着直线DP翻折，点C的对应点Q恰好落在△ADC内，那么线段BP 的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）已知抛物线y＝2x2+4x+1．（1）用配方法把y＝2x2+4x+1化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点（1，4），求平移后的抛物线的顶点坐标．20．（10分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE、AC相交于点F．（1）设，，试用、表示；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3．（1）求AD：AB的值；（2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长．22．（10分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，且AD＝AC，联结CE 并延长交AB于点F．（1）求证：△ABC∽△DCE；（2）求证：BF＝4EF．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝﹣x﹣6经过点A与点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作BC的平行线交线段AC于点D，交y 轴于点E．①如果C、F两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF，当DF⊥CF时，求∠PDF的正切值；②如果PD：DE＝3：5，求点P的坐标．25．（14分）已知△ABC中，∠ABC＝2∠C，BG平分∠ABC，AB＝8，AG＝．点D、E 分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝∠ABC，AD、BG相交于点F．（1）求BC的长；（2）如图1，如果BF＝2CE，求BF：GF的值；（3）如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．2023-2024学年上海市长宁区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂】1．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解答】解：cot∠A＝，∴AC＝BC•cot A＝a•cot A，故选：B．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．2．（4分）下列关于抛物线y＝2x2+x﹣3的描述正确的是（）A．该抛物线是上升的B．该抛物线是下降的C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．【解答】解：∵抛物线y＝2x2+x﹣3，∴a＝2＞0，在对称轴左侧，该抛物线下降，在对称轴右侧上升，故选项A、B、C均错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3．（4分）已知点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，那么下列式子成立的是（）A．B．C．D．【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．【解答】解：∵点C在线段AB上，且满足AC2＝BC•AB，∴点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴＝＝，故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．4．（4分）已知为非零向量，且，那么下列说法错误的是（）A．B．C．+3＝0D．∥【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：∵为非零向量，且，∴；||＝3||；；，故C错误，故选：C．【点评】本题考查了平面向量，熟记平面向量的运算法则是解题的关键．5．（4分）如果点D、E分别在△ABC的两边AB、AC上，由下列哪一组条件可以推出DE ∥BC（）A．，＝B．C．，D．【分析】对于选项C，证明△DAE∽△BAC，根据相似三角形的性质得到∠ADE＝∠ABC，根据平行线的判定定理证明．【解答】解：A、不能推出DE∥BC，不符合题意；B、不能推出DE∥BC，不符合题意；C、∵＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠A＝∠A，∴△DAE∽△BAC，∴∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，本选项符合题意；D、不能推出DE∥BC，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行线的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．6．（4分）已知在△ABC与△A'B'C'中，点D、D′分别在边BC、B'C'上，（点D不与点B、C重合，点D'不与点B'、C'重合）．如果△ADC与△A′D′C′相似，点A、D分别对应点A'、D'，那么添加下列条件可以证明△ABC与△A'B'C'相似的是（）①AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线；②AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线；③AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高．A．①②B．②③C．①③D．①②③【分析】根据相似三角形的判定与性质逐一判断即可得出结论．【解答】解：如图，①AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∠B'A'D'＝∠C'A'D'，又∵△ADC∽△A'D'C'，∴∠CAD＝∠C'A'D'，∠C＝∠C'，∴∠BAC＝∠B'A'C'，∴△BAC∽△B'A'C'，故添加条件①可以证明△ABC与△A'B'C'相似；②AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线，∴BD＝CD，B'D'＝C'D'，又∵△ADC∽△A'D'C'，∴∠ADC＝∠A'D'C'，，∴，∠ADB＝∠A'D'B'，∴△ABD∽△A'B'D'，∴∠B＝∠B'，又∵∠C＝∠C'，∴△BAC∽△B'A'C'，故添加条件②可以证明△ABC与△A'B'C'相似；③AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高，△ADC∽△A'D'C'，由图形可知，△ABC与△A'B'C'不相似，故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7．（4分）如果5x＝3y（x、y均不为零），那么x：（x+y）的值是3：8．【分析】令x＝3，则y＝5，x：（x+y）＝3：（3+5）＝3：8．【解答】解：根据题意，可令x＝3，则y＝5，因此，x：（x+y）＝3：（3+5）＝3：8．故答案为：3：8．【点评】本题考查的是比例的基本性质，令x＝3，则y＝5，然后化简整理即可求得．8．（4分）计算：2cos30°﹣tan45°＝﹣1．【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式＝2×﹣1＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．9．（4分）已知线段a＝3cm，b＝4cm，那么线段a、b的比例中项等于2cm．【分析】根据线段的比例中项的定义列式计算即可得解．【解答】解：∵线段a＝3cm，b＝4cm，∴线段a、b的比例中项＝＝2cm．故答案为：2．【点评】本题考查了比例线段，熟记线段比例中项的求解方法是解题的关键，要注意线段的比例中项是正数．10．（4分）已知两个相似三角形的周长之比为2：3，那么它们的面积之比为4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比是4：9．故答案为：4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．11．（4分）如图，AB∥CD∥EF，如果AC：CE＝2：3，BF＝10，那么线段DF的长为6．【分析】根据平行线分线段成比例定理，得出＝＝，再根据DF＝BF×代入计算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝，∵BF＝10，∴DF＝10×＝6；故答案为：6．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．12．（4分）二次函数f（x）＝ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表：那么f（﹣5）＝﹣11．x…﹣3﹣2﹣101…f（x）…﹣3﹣2﹣3﹣6﹣11…【分析】利用表中数据确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性求解．【解答】解：利用表中数据得抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，所以x＝﹣5和x＝1时的函数值相等，即当x＝﹣5时，y的值为﹣11．故答案为：﹣11．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了抛物线的对称性．13．（4分）已知向量与单位向量方向相反，且，那么＝．（用含向量的式子表示）【分析】由向量与单位向量方向相反，且，根据单位向量与相反向量的知识，即可求得答案．【解答】解：∵向量与单位向量方向相反，且，∴＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解答本题的关键是掌握单位向量与相反向量的定义．14．（4分）已知一条斜坡的长度为13米，高度为5米，那么该斜坡的坡度为1：2.4．【分析】根据勾股定理求出斜坡的水平距离，再根据坡度的概念计算即可．【解答】解：∵斜坡的长度为13米，高度为5米，∴斜坡的水平距离为：＝12，∴斜坡的坡度为5：12＝1：2.4，故答案为：1：2.4．【点评】本题考查的是解直角三角形﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．15．（4分）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果EH＝2EF，那么EH＝．【分析】设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x，进而利用矩形的性质推出△AEH ∽△ABC，根据相似三角形的性质求解即可．【解答】解：如图，AD交EH于点N，设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝AD﹣EF＝3﹣x，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∴＝，∵EH＝2EF，∴EH＝2x，∴＝，∴x＝，∴EH＝2x＝，故答案为：．【点评】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟记矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．16．（4分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点G是△ABC的重心，联结GA、GC，如果AC＝3，，那么∠GCA的余切值为．【分析】由于点G是△ABC的重心，所以＝＝2，AD是BC边的中线，CF是AB 边的中线，可得AD，因为∠BAC＝90°，所以BC＝2AD，可得BC，由勾股定理得AB，证△ACF∽△ECG，可得EC、GE，可算得∠GCA的余切值．【解答】解：，延长AG交BC于点D，延长CG交AB于点F，过G作GE⊥AC，交AC于点E，∵点G是△ABC的重心，∴＝＝2，AD是BC边的中线，CF是AB边的中线，∵AG＝，∴GD＝，AD＝，∵AD是BC边的中线，∠BAC＝90°，∴BC＝2AD＝5，在Rt△ABC中，AB＝＝4，∵CF是AB边的中线，∴AF＝AB＝2，∵GE⊥AC，∴∠CEG＝90°，∵∠BAC＝90°，∠ECG＝∠ACF，∴△ACF∽△ECG，∴，∵＝2，∴＝，∵AC＝3，AF＝2，∴EC＝2，GE＝，∴cot∠GCA＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了三角形的重心、勾股定理、余切，关键是掌握三角形重心的性质．17．（4分）我们把顶角互补的两个等腰三角形叫做友好三角形．在△ABC中，AB＝AC＝10，点D、E都在边BC上，AD＝AE＝5，如果△ABC与△ADE是友好三角形，那么BC的长为8．【分析】如图，过点A作AF⊥BC于点F．证明△FAD∽△FBA，推出＝＝＝＝，设DF＝EF＝x，这AF＝2x，BF＝4x，构建方程求解．【解答】解：如图，过点A作AF⊥BC于点F．∵AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC，∴DF＝EF，BF＝FC，∠BAF＝∠CAF，∠DAF＝∠EAF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴2∠BAF+2∠DAF＝180°，∴∠BAF+∠DAF＝90°，∵∠BAF+∠B＝90°，∴∠DAF＝∠B，∵∠AFD＝∠AFB＝90°，∴△FAD∽△FBA，∴＝＝＝＝，设DF＝EF＝x，这AF＝2x，BF＝4x，∵AB2＝AF2+BF2，∴102＝（2x）2+（4x）2，∴x＝（负根已经舍去），∴BC＝2BF＝8x＝8．故答案为：8．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝4，AC是对角线，点P在边BC上，联结DP，将△DPC沿着直线DP翻折，点C的对应点Q恰好落在△ADC内，那么线段BP 的取值范围是4＜BP＜6．【分析】若点Q落在AD边上时，由折叠的性质证出四边形PQDC是正方形，得出PC ＝CD＝4，求出BP＝4；若点Q落在对角线AC上时，证明△ECD∽△CPD，得出，求出DP的长，可求出BP＝6，则可得出答案．【解答】解：若点Q落在AD边上时，如图，∵将△DPC沿着直线DP翻折，∴CP＝PQ，∠PCD＝∠PQD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠PCD＝∠CDQ＝∠PDQ＝90°，AB＝CD＝4，∴四边形PQDC是矩形，∵CP＝PQ，∴四边形PQDC是正方形，∴PC＝CD＝4，∴BP＝BC﹣CP＝4；若点Q落在对角线AC上时，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90°，∴AC＝＝＝4，∵，∴DE＝＝，∵△DPC沿着直线DP翻折，∴DP⊥AC，∴∠DEC＝90°，∴∠EPC+∠PCE＝90°，∵∠PCE+∠DCE＝90°，∴∠DCE＝∠DPC，∵∠PCD＝∠DEC，∴△ECD∽△CPD，∴，∴，∴DP＝2，∴CP＝＝＝2，∴BP＝BC﹣CP＝8﹣2＝6，∵点C的对应点Q恰好落在△ADC内，∴线段BP的取值范围是4＜BP＜6．故答案为：4＜BP＜6．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（本大题共7题，满分78分）【将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上】19．（10分）已知抛物线y＝2x2+4x+1．（1）用配方法把y＝2x2+4x+1化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出该抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）如果将该抛物线上下平移，得到新的抛物线经过点（1，4），求平移后的抛物线的顶点坐标．【分析】（1）利用配方法把一般式化为顶点式，根据二次函数的性质写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2）设平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣1+k，代入点（1，4），求得k的值即可求解．【解答】解：（1）y＝2x2+4x+1＝2（x2+2x+1）﹣2+1＝2（x+1）2﹣1，∴该抛物线的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣1）；（2）设平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣1+k，∵新的抛物线经过点（1，4），∴4＝2×22﹣1+k，解得k＝﹣3，∴平移后的抛物线解析式为y＝2（x+1）2﹣4，∴平移后的抛物线的顶点坐标是（﹣1，﹣4）．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键．20．（10分）在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE、AC相交于点F．（1）设，，试用、表示；（2）先化简，再求作：（直接作在图中）．【分析】（1）根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质得出EF与BE的关系即可得出结果；（2）化简，根据化简结果可知即为所求．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵点E是AD的中点，∴AE＝，∴，∴EF＝，∵AE＝，，∴，∴，∴＝；（2）＝2＝﹣，∵，，如图，过点E作EG∥AB交BC于点G，连接GA，则即为所求．【点评】本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确化简并掌握平面向量的三角形计算法则是解题的关键．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AC⊥BC，DE⊥AC，垂足为点E，AC＝4，DE＝3．（1）求AD：AB的值；（2）联结BD交AC于点F，如果，求CF的长．【分析】（1）借助于△ABC∽△DAE即可解决问题．（3）先求出BC的长，再借助于△BCF∽△DEF即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠BAD＝90°，∴∠BAC+∠DAE＝90°．∵AC⊥BC，DE⊥AC，∴∠ACB＝∠DEA＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAE．∴△ABC∽△DAE，∴AD：AB＝DE：AC，又∵AC＝4，DE＝3，∴AD：AB＝．（2）联结BD交AC于点F，如图所示，在Rt△ABC中，tan∠BAC＝，∵tan∠BAC＝，AC＝4，∴BC＝2．在Rt△AED中，tan∠ADE＝tan∠BAC＝，则，∴AE＝，则CE＝4﹣＝．又∵∠ACB＝∠DEC，∠BFC＝∠DFE，∴△BCF∽△DEF，∴，则，解得CF＝1．故CF的长为1．【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理和相似三角形的巧妙运用是解题的关键．22．（10分）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．测量方法：如图2，人眼在P点观察所测物体最高点C，量角器零刻度线上A、B两点均在视线PC上，将铅锤悬挂在量角器的中心点O．当铅锤静止时，测得视线PC与铅垂线OD所夹的角为α，且此时的仰角为β．实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼EF的高度．他先站在水平地面的点H处，视线为GE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为60°；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点R处，视线为QE，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为45°．问题解决：（1）请用含α的代数式表示仰角β；（2）如果GH、QR、EF在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼EF的高度．（结果保留根号）【分析】（1）延长OD交PK于L，根据题意可得：OL⊥PK，从而可得：∠OLP＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；（2）延长GQ交EF于点M，根据题意可得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.6米，GQ＝HR＝10米，然后设EM＝x米，分别在Rt△EGM和Rt△EQM中，利用锐角三角函数的定义求出GM和QM的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．【解答】解：（1）如图：延长OD交PK于L，由题意得：OL⊥PK，∴∠OLP＝90°，∵∠POD＝α，∴∠OPL＝90°﹣∠POD＝90°﹣α，∴β＝90°﹣α；（2）延长GQ交EF于点M，由题意得：GM⊥EF，GH＝QR＝MF＝1.6米，GQ＝HR＝10米，设EM＝x米，在Rt△EGM中，∠GEM＝60°，∴GM＝EM•tan60°＝x（米），在Rt△EQM中，∠QEM＝45°，∴QM＝EM•tan45°＝x（米），∵GM﹣QM＝GQ，∴x﹣x＝10，解得：x＝5+5，∴EM＝（5+5）米，∴EF＝EM+FM＝5+5+1.6＝（5+6.6）米，∴大楼EF的高度为（5+6.6）米．【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E分别是BC、AD的中点，且AD＝AC，联结CE 并延长交AB于点F．（1）求证：△ABC∽△DCE；（2）求证：BF＝4EF．【分析】（1）由相似三角形的判定可得结论；（2）由三角形中位线定理可得DH∥AB，可得△AFE∽△DHE，可证EF＝EH，可得CF ＝4EF，由相似三角形的性质可得∠B＝∠DCE，可得BF＝CF＝4EF．【解答】证明：（1）∵点D、E分别是BC、AD的中点，∴BC＝2CD，DA＝2DE，∵AD＝AC，∴AC＝2DE，∠ADC＝∠ACD，∴＝2，∴△ABC∽△DCE；（2）取FC的中点H，连接DH，∵点H是CF的中点，∴FH＝CH，又∵BD＝CD，∴DH∥AB，∴△AFE∽△DHE，∴＝1，∴EF＝EH，∴FH＝2EF，∴FC＝4EF，由（1）可知：△ABC∽△DCE，∴∠B＝∠DCE，∴BF＝CF，∴BF＝4EF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．24．（12分）已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝﹣x﹣6经过点A与点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在线段AC下方的抛物线上，过点P作BC的平行线交线段AC于点D，交y 轴于点E．①如果C、F两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF，当DF⊥CF时，求∠PDF的正切值；②如果PD：DE＝3：5，求点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①证明DF∥y轴，则∠ADP＝∠E＝∠OCB，即可求解；②由PD：DE＝3：5，得到PT＝﹣m，则点P（m，m﹣6），即可求解．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x﹣6经过点A与点C，则点A、C的坐标分别为：（﹣6，0）、（0，﹣6），由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣6；（2）①如图1，C、F两点关于抛物线的对称轴对称，则CF∥x轴，当DF⊥CF时，则DF∥y轴，则∠PDF＝∠E＝∠OCB，则tan∠PDF＝tan∠OCB＝；②设点D（m，﹣m﹣6），如图2，∵PD∥BC，tan∠OCB＝，则直线DP的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m﹣6，过点D、P分别作y轴的垂线，垂足分别为点N、T，∵PD：DE＝3：5，则ND：PT＝DE：PE＝5：8，即﹣m：PT＝5：8，则PT＝﹣m，则点P（m，m﹣6），将点P的坐标代入抛物线表达式得：m﹣6＝（m）2+2（m）﹣6，解得：m＝﹣，则点P（﹣3，﹣7.5）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、待定系数法求函数表达式、三角形相似等，综合性强，难度适中．25．（14分）已知△ABC中，∠ABC＝2∠C，BG平分∠ABC，AB＝8，AG＝．点D、E 分别是边BC、AC上的点（点D不与点B、C重合），且∠ADE＝∠ABC，AD、BG相交于点F．（1）求BC的长；（2）如图1，如果BF＝2CE，求BF：GF的值；（3）如果△ADE是以AD为腰的等腰三角形，求BD长．【分析】（1）根据角平分线的定义以及∠ABC和∠C的关系，可以得出BG＝CG，△ABG ∽△ACB，据此求出BC长即可；（2）根据△ABF与△DCE相似，可以求出BD和CD的长，过G作HG∥BC交AD于H，根据平行线分线段成比例及可求出BF：GF；（3）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可以得出△CDE也是等腰三角形，所以DE∥BG，然后根据平行线分线段成比例求解即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝2∠C，BG平分∠ABC，∴∠ABG＝∠BGC＝∠C，∴BG＝CG，又∵∠BAG＝∠CAB，∴△ABG∽△ACB，∴＝＝，∴AC＝＝＝12，∴CG＝AC﹣AG＝，∴BC＝＝10；（2）由（1）知，△ABG∽△CAB，∴∠AGB＝∠ABC，∵∠ADE＝∠ABC，∴∠AGB＝∠ADE，∵∠FAG＝∠DAE，∴∠AFG＝∠AED，∵∠AFG+∠AFB＝180°，∠AED+∠CED＝180°，∴∠AFG＝∠CED，又∵∠ABG＝∠C，∴△ABF∽△DCE，∴＝＝2，∴CD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝6，过G作HG∥BC交AD于H，如图：∴＝，∴GH＝＝，同理，＝＝，∴BF：FG＝；（3）∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝∠ABC＝∠AGB，∴DE∥BG，∴∠AFG＝∠ADE＝∠AGF，∴AF＝AG，∵∠ABC＝2∠C，∴∠EDC＝∠C，∴CE＝DE，由（2）知，△ABF∽△CDE，∴AF＝BF，∴GF＝BG﹣BF＝CG﹣AG＝，∵DE∥BG，∴＝，∴DE＝CE＝，同理，＝，∴CD＝，∴BD＝．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例以及等腰三角形的判定与性质，属于综合题，正确判断相似条件是本题解题的关键。

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试 初三数学试卷 2013.1.17（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上 答题一律无效；2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；3.本次测试可使用科学计算器.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D ．3:2．2.已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，A α∠=，2AB =，那么BC 长（ ）A ．2sin α；B ．2cos α；C ．2sin α； D ．2cos α．3.如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ）A ．22y x =+；B ． 22y x =-；C ．2(2)y x =+；D ．2(2)y x =-．4.如果抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-和(3,0)，那么对称轴是直线（ ）A ．=0x ；B ．=1x ；C ．=2x ；D ．=3x ．5.如果乙船在甲船的北偏东40方向上，丙船在甲船的南偏西40方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ）A ．北偏东40；B ．北偏西40；C ．南偏东40；D ．南偏西40．6.如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点F G、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A ．3；B ．2.5；C ．2；D ．2.5.二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）7. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =1、=2b 那么=c .8.计算：11()(2)22a b a b --+= .9.如果抛物线2(2)y a x =-的开口方向向下，那么a 的取值范围是 .10.二次函数23y x =-的图像的最低点坐标是 .11.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为(06)x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为 .12.已知α是锐角，230tan cos α=，那么α= 度.13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1:2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米，那么此 斜坡的长度等于 米.14.小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长 线交AB 于点G ；使斜边DE 与点A 在同一条直线上．测得边DF 离地面的高度为1.4m ，点D 到AB 的距离等于6m （如图所示）。

2013年初三一模数学科试题说明：本试卷共4页，满分120分，考试时间100分钟.第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，答案填在答题卡上） 1．3的相反数是（ ）A ．3B ．13-C ．13-D ．3-2．目前国内规划中的第一高楼上海中心大厦，总投入约14 800 000 000元．14 800 000 000元用科学记数法表示为（ ） A ．111.4810⨯元B ．90.14810⨯元C ．101.4810⨯元 D ．914.810⨯元 3．化简：)2()3(32x x ⋅-的结果是( )A ．56x -B ．53x -C ．52xD ．56x4．不等式组2131x x -<⎧⎨≥-⎩的解集是( )A.2x <B.1-≥xC.12x -≤< D ．无解 5. 已知点M (－2，3 )在双曲线xky =上，则下列各点一定在该双曲线上的是( ) A.(3，-2 )B.(-2，-3 )C.(2，3 )D.(3，2)6. 在水平的讲台上放置圆柱形水杯和长方体形粉笔盒（右图），则它的主视图是( )7. 多项式21xy xy -+的次数及最高次数的系数是（ ） A 、2,1 B 、2，-1 C 、3,-1 D 、5，-1 8. 抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 9.已知α为锐角，sin(20)α︒-=，则α=（ ）DCBA 实物图A. 20︒B. 40︒C. 60︒D. 80︒ 10.如图，直径为10的⊙A 经过点，C (0，5)和点 O (0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ). A .12 B . 34 C .D .45 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分. 只要求填写最后结果） 11．分解因式：24x -= ．12．一件标价为250元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价 是 元．13. 已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的中点， S △ADE : S 四边形DBC E =14．如图， 将一张矩形纸片折叠成如右图的形状， 则∠ABC = 度.15．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5、乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1，当报到的数是50时，报数结束；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，在此过程中，甲同学需要拍手的次数为____________．三、解答题(在答题卡上作答，写出必要的解题步骤. 16～20题每题6分，21～23题每题8分，24题10分，25题11分，共75分) 16．计算：（－1）2012 －︱1－3︱—0)14.3(π-+ tan 45°．17. 解方程：13132=-+--xx x18．如图，⊙O 的直径AB =13，C 为⊙O 上的一点， 已知C D ⊥AB ，垂足为D ，并且CD =6,AD<DB ,求AD 的长．19．青少年“心理健康”问题已引起了全社会的关注，学校对此问题极为重视.对全校600名学生进行了一次“心理健康”知识测试，并从中抽取了部分学生的成绩（得分取正数，满分100分）作为样本，绘制了下面尚为完成的频率分布表。

2013年上海市中考数学试卷及答案(Word版)D2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）ABCD2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）2346．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中，能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）A ．BDC BCD ∠=∠；B ．ABC DAB ∠=∠；C．ADB DAC ∠=∠； D ．AOB BOC ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．因式分解：21a-= ．8．不等式组1023x x x ->⎧⎨+>⎩的解集是 ．59．计算：23b a a b ⋅= ．10．计算：()23a b b -+= ．11．已知函数()231f x x =+，那么()2f = ．12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字面e 的概率是 ．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 ．14．在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为．15．如图3，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，B F=C E，A C∥D F，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．616．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．7818．如图5，在△ABC 中，AB AC =，8BC =，32tanC =，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为 ．三、解答题：（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分满分78分）191018212π-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．920．解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩．21．已知平面直角坐标系xOy （如图6），直线12y x b =+经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点()2,A t 在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1．（1）求b 的值；（2）如果反比例函数k y x=（k 是常量，0k ≠）的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．1022．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图（1）所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图（2）所示，其示意图如图（3）所示，其中AB BC ⊥，EF ∥BC ，143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：370.60tan≈．）sin≈，370.80cos≈，370.7523．如图8，在△ABC 中，90ACB ∠=，B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE ∥BC 交AC 于点E ，CF ∥AB 交DE 的延长线于点F ． （1）求证：DE EF =；（2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．24．如图9，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线()20y ax bx a=+>经过点A和x轴正半轴上的点B，2==，120AO BO∠=．AOB（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM∠的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图10）．已知13AD=，5AB=．设AP x=，BQ y=．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F．如果4EF EC==，求x的值．2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、选择题1、B；2、D；3、C；4、B；5、A；6、C二、填空题7、（a+1）（a﹣1）；8、x＞1；9、3b；10、2+；11、1；12、；13、40%；14、；15、AC=DF；16、2；17、30°；18、．三、解答题19．解：原式=2+﹣1﹣1+2=320．解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，21．解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，=OB•AC=OB=1，∵S△AOB∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．22．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG 于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE•cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．23．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．24．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．25．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．。

汇贤测试 2016.10.1一、选择题：（本大题共6小题，每题4分，满分24分）1.如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ）A.1:2 B.1:4 C. 1：2 D.2:12.如图，在△ABC 中，∠ADE=∠B，DE:BC=2:3，则下列正确的结论是（ ）A. AD:AB=2:3；B. AE:AC=2:5；C. AD:DB=2:3；D. CE:AE=3:2.3.在Rt△A BC 中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB 的值是（ ） A.22 B.23 C.21 D.2.4.在△ABC 中，若cosA=22 ，tanB=3 ，则这个三角形一定是（ ） A. 直角三角形； B. 等腰三角形； C. 钝角三角形； D. 锐角三角形.5.已知⊙O 1的半径r 为3cm ，⊙O 2的半径R 为4cm,两圆的圆心距O 1O 2为1cm ，则这两圆的位置关系是（ ）A. 相交；B. 内含；C. 内切；D.外切.6.二次函数y=(x+2)2-1的图像可以由二次函数y=x 2的图像平移而得到，下列平移正确的是（ ）A. 先向左平移2个单位，再向上平移1个单位；B. 先向左平移2个单位，再向下平移1个单位；C. 先向右平移2个单位，再向上平移1个单位；D. 先向右平移2个单位，再向下平移1个单位；二、填空题：（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7.已知抛物线y=x 2+1的顶点坐标是 .8.已知抛物线y=x 2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b 的值为 .9. 已知二次函数y=x 2+bx ，阅读右侧表格信息：由此可知y 与x 之间的函数关系式是 .10.已知二次函数y=(x-3)2图像上的两点A （3，a ），B （x ，b ），则a 和b 的大小关系是a b （填＞、≥、＜或≤）.11.圆是轴对称图形，它的对称轴是 .12.已知⊙O 的弦AB=8cm ，弦心距OC=3cm ，那么该圆的半径为 cm. 13.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB，已知AC=1，BC= 22，那么sin∠ACD 的值是 . 14.王小勇操纵一辆遥控汽车从A 处沿北偏西60°方向走10m 到B 处，再从B 处向正南方向走20m到C 处，此时遥控汽车离A 处 m.15.已知在△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，设, 那么用表示 = .16.如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C 是线段BD 的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= .17.如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为215 的矩形称作黄金矩形.现将长度为20cm 的 铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金较短的边长是 cm. 18.如图，ABCD 为正方形，E 为BC 上一点，将正方形折叠，使A 点与E 点重合，折痕为MN ，如果tan∠AEN=31 ，DC+CE=10，那么△ANE 的面积为 . 三、解答题：（本大题共7题，第19-22题，每题10分；第23、24题每题12分；25题14分；满分78分）19.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量 和 的起点、终点都是小正方形的顶点.如果，求作并写出的模（不必写出作法，只要指明所求向量）.m a b c c c=3a -13b DA EM20.计算：tan 2 30°-（cos75°-cot10°）0+2cos60°-2tan45°21.已知△ABC 中，∠CAB=60°，P 为△ABC 内一点且∠APB=∠APC=120°求证：AP 2=BP ·CP22.如图，点C 在⊙O 的直径BA 的延长线上，AB=2AC ，CD 切⊙O 于点D ，联结CD 、OD.（1）求∠C 的正切值；（2）若⊙O 的半径r=2，求BD 的长度.23.靠校园一侧围墙的体育看台侧面，如图阴影部分所示，看台的二级台阶高度相等，宽度相同.现要用钢管做护栏扶手ACG 及三根与水平地面PQ 垂直的护栏支架CD 、EF和GH （底端D 、F 、H 分别在每级台阶的中点处），已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°.（参考数据：sin66.5°≈0.92，cos66.5°≈0.40，tan66.5°≈2.30）（1）点D 与点H 的高度差是 米.（2）试求制作护栏扶手和护栏支架的钢管总长度l ，即AC+CG+CD+EF+GH 的长度.（结果精确到0.1米）24.如图，直角坐标平面内的梯形OABC ，OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，OA//BC ，点E 在对角线OB 上，点D 在OC 上，直线DE 与x 轴交于点F ，已知OE=2EB ，CB=3，OA=6，BA= ，OD=5.（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE ∽△OBC；（3）在y轴上找一点G ，使得△OFG ∽△ODE ，直接写出G 点的坐标.35B C B25.如图，平行四边形ABCD 中，AB=5，BC=10，sin ∠B= ，E 为BC 边上的一个动点（不与B 、C 重 合），过E 作直线AB 的垂线，垂足为F. FE 与DC 的延长线相交于点G ，联结DE ，DF.（1）当△ABE 恰为直角三角形时，求BF:CG 的值；（2）当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之和是否是常数，请说明理由；（3）设BE=x ，△DEF 的面积为y ，试求出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域.45G点评：整套试卷难度偏低，计算量较低11题：需要注意一下细节问题，圆的对称轴按教材上来说是任意一条直径所在的直线18题：今年的第一道翻折题，但是是一道很老的图形，甚至在2010-2011学年的重庆沙坪坝区月考中找到了原题（一模一样）24题：二次函数背景下的相似存在性问题，第一问求点的坐标需利用梯形高，第二问相似两边一夹角（前两问无动点也挺震撼的），第三问中虽然是相似符号，但也需要进行分类讨论，这是我们反复强调过的.25题：相似模型的八字型及三角比计算，第一问就需要进行分类讨论，毕竟第一问，也不难，第二问求周长，都是3:4：5的三角形，也难不了谁，第三问面积反复确认了一下，的确是底乘高，难度陡降。