2013年上海市长宁区初三数学一模卷及答案修改版

上海市2013年中考数学试卷及答案（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）（A ） 9； （B ）7 ； （C ） 20 ； （D ）13 ． 2．下列关于x 的一元二次方程有实数根的是（ ）（A ）210x +=；（B ）210x x ++=；（C ）210x x -+= ；（D ）210x x --=．3．如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ）（A ）2(1)2y x =-+；（B ）2(1)2y x =++； （C ）21y x =+；（D ）23y x =+．4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（ ）（A ） 2和2.4 ； （B ）2和2 ； （C ）1和2； （D ）3和2．5．如图1，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点， DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（ ）（A ） 5∶8 ； （B ）3∶8 ； （C ） 3∶5 ； （D ）2∶5．6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 和BD 交于点O ，下列条件中， 能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是（ ）（A ）∠BDC =∠BCD ；（B ）∠ABC =∠DAB ；（C ）∠ADB =∠DAC ；（D ）∠AOB =∠BOC ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．因式分解：21a - = _____________． 8．不等式组1023x x x->⎧⎨+>⎩ 的解集是____________． 9．计算：23b a a b⨯= ___________． 10．计算：2 (a ─b ) + 3b = ___________．11．已知函数 ()231x f x =+，那么 ()2f = __________． 12．将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e 的概率为___________．13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参F E B CD 图1加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为___________．14．在⊙O 中，已知半径长为3，弦AB 长为4，那么圆心O 到AB 的距离为___________．15．如图3，在△ABC 和△DEF 中，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，BF = C E ，AC ∥DF ，请添加一个条件，使△ABC ≌△DEF ，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量 y （升）与行驶里程 x （千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是__________升．17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．18．如图5，在△ABC 中，AB AC =，8BC =， tan C = 32，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为__________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） （本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分48分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19011821()2π--+ ． 20．解方程组： 22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩． 21．已知平面直角坐标系xoy （如图6），直线 12y x b =+经 过第一、二、三象限，与y 轴交于点B ，点A （2，1）在这条直线上，联结AO ，△AOB 的面积等于1．（1）求b 的值；（2）如果反比例函数k y x=（k 是常量，0k ≠） 的图像经过点A ，求这个反比例函数的解析式．22．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7-1所示，点A 是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF 升起后的位置如图7-2所示，其示意图如图7-3所示，其中AB ⊥BC ，A C图5 O 11图6EF ∥BC ，0143EAB ∠=， 1.2AB AE ==米，求当车辆经过时，栏杆EF 段距离地面的高度（即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．）23．如图8，在△ABC 中，0=90ABC ∠， B A ∠>∠，点D 为边AB 的中点，DE BC∥交AC 于点E ，CF AB ∥交DE 的延长线于点F ．（1）求证：DE EF =； （2）联结CD ，过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ，求证：B A DGC ∠=∠+∠．24．如图9，在平面直角坐标系xoy 中，顶点为M 的抛物线2(0y ax bx a =+>）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO OB == 2，0120AOB ∠=． （1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．25．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x 的值．FE D 图8 M A B O y 图9 M D图7-1 图7-2 图7-3 A E F A E F A E FB C上海2013年中考数学卷“易”中见“真谛”今年的数学试卷注意了控制题量与阅读量，有效减轻了学生的考试负担；主客观试题的比例基本合理。

2013.2.五校联考数学部分试题简析选择题部分：（比较基础） 第4题：本题考查圆与圆的位置关系，少数同学没有仔细看选项忽略了同心圆的情况而错选A ． 第5题：本题作为选择题进行考查较为简单，如果改成填空题则需要分类讨论x 可能取到的值． 第6题：通过观察A 、B 两点的坐标可以知道直线的“k ”一定等于1-，同时直线又经过横坐标与纵坐标互为相反数的点C ，显然这条直线的表达式只可能是y x =-，当然本题也可用待定系数法进行求解．填空题部分：（整体难度适中，有陷阱，花样多，稍难于上海市历年中考填空题） 第12题：本题是一道“阅读信息题”，由“偶函数”的定义易知二次函数图像的对称轴是直线x = 0，于是b = 0，得到A 、B 、P 三点的坐标即可求得三角形的面积，较简单． 第13题：本题属于“陷阱题”，得分率较低，如果三角形刚好能不受损地通过圆圈，那么该圆的最小直径应该等于等边三角形的高（使三角形所在的平面与圆所在平面保持垂直），“20”和“2033”学生是最为集中的错解． 第14题：本题又是一道“阅读信息题”，“上升数”的概念不难理解，但是计算时比较容易出错，两位数的个数为90，而“上升数”共有8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 36个，套用概率公式即可． 第15题：本题属于“信息迁移题”，从特殊到一般，给出了计算一般四边形面积的一种方法，如图1，可以过点C 作BD 的平行线，过点A 作该平行线的垂线，垂足为点H ，在Rt △ACH中，sin AH m θ=，于是四边形的面积1sin 2S mn θ=，较为简单．填空题部分最后三题难度相比前面有所提高 第16题：本题是一道常规的计算题，综合考查相似、三角比、勾股定理等知识，关键在于利用已知的角度关系证出△BED ∽△BDC ，难度一般．图1 AB C Dθ HA CB E D 图2简解如下：如图2，可设BE = x ，易证△BED ∽△BDC ，由比例关系得BD = 2x ，BC = 4x ，在Rt △ABC 中，222(4)9(29)x x +=+，解得x = 3，即BE = 3．第17题：本题是一道比较常见的折叠题，需要注意题目中的“直线AB ”与“折痕所在直线”，显然满足题意的情况有两种：点E 在线段AB 上（图3）、点E 在AB 的延长线上（图4），因此需要分类讨论，属于拉开差距的题目． 简解如下：（I ）对于图3，作PH ⊥AB ，垂足为点H ，易得AH = BE = 1，则HE = 2． 设BC = PH = x ，易证△ABC ∽△PHE ，42xx =，解得22x =，此时cot ∠CAB =2． （II ）对于图4，作PH ⊥BC ，垂足为点H ，则PH = AB = 4．易得14BQ BE QH PH ==，14BQ CH QH ==，设BC = x ，则23QH x =． 易证△ABC ∽△QHP ，2434xx =，解得26x =，此时cot ∠CAB =63．第18题：本题是一道综合题，以圆（扇形）为载体，主要考查了勾股定理、相似三角形等初中阶段的重要知识，同时又是一道动态问题，在运动中建立变量之间的函数关系式，难度比较适中，但可以拉开一定差距． 简解如下：如图5，联结EG ，过点M 、N 分别作OD 、OC 的平行线，两平行线相交于点I ． ∵OC = x ，∴OD =21x -．易证△DMF ∽△GME ，△CNH ∽△ENG ，由“相似三角形对应边上的高之比等于相似比”，可得222133MI OD x ==-． 类似地，可得13NI x =．在Rt △MNI 中，222221(1)()33y x x =-+，整理得21433y x =-，定义域是01x <<．图3 A B C D E H P A BC D EP Q H 图4 图5AP C HOG NE D MF BI解答题部分：（难点比较分散，综合性较强，但多数题目十分容易上手，难题分值不高） 第21题：本题是一道几何和函数知识结合的应用题，运用图形的几何性质建立函数关系式求最值．需要注意的是由于第（2）问的函数解析式有两种不同的情况，那么第（3）问在求解时需要分别求出正比例函数和二次函数在各自定义域内的最大值并进行比较，从而得到最终结果，难度一般． 第22题：本题较为新颖，第（1）问只需注意分类讨论比较简单，第（2）问考查作图能力，难度也不大，容易出错的是“网格中与△ABC 相似且面积最大的格点三角形的个数”，考虑正方形的两条对角线都是其本身的对称轴，不难想到：以正方形的每条对角线为最长边可作出4个三角形与原三角形相似，那么符合题意的三角形一共有8个（如图6所示）．第23题：本题是一道折叠题，但是并非最为常见的三角形、四边形的折叠，而是圆的折叠问题，且涉及的知识点较多：有轴对称、垂径定理、相切两圆的性质、平行四边形的判定、三角形的中位线等，第（2）问证明平行四边形的关键在于首先明确折叠前后得到的圆弧所在的圆都是等圆，然后找到折叠前两条外切的圆弧所在的圆的圆心，联结后得到两圆的连心线，将图形补全，从而利用三角形的中位线来证明四边形OMPN 的两组对边分别平行，得到结论，稍有难度． 第24题：本题是试卷的函数压轴题，较为全面地考查了初中阶段最重要的三种函数，同时又是一道“阅读信息题”，给出了“伴侣正方形”的新定义，初看感觉非常容易理解，实则不然，“伴侣正方形”的四个顶点所在的位置情况可能会比较复杂，讨论起来有一定的难度．题目的前两问比较简单，作为铺垫使学生对新概念有一定的理解，第（3）问中，由于知道C 、D 中的一个点的坐标，欲求二次函数2y ax c =+的解析式，必须先求出“伴侣正方形”在二次函数上的另一个顶点的坐标，显然本题满足题意的二次函数解析式不止一个．在解答第（3）小题时可以先设点D 的坐标为(3,4)，如图7（图中红色正方形）所示，当点A 在x 轴正半轴上，点B 在y 轴负半轴上时：过点D 、C 分别作DE ⊥x 轴、CF ⊥y 轴，垂足分别为点E 、F ，易证△DEA ≌△AOB ≌△BFC ，即可得到点C 的坐标为(1,3)-，求出二次函数的解析式．其他几种情况与之类似，由于“伴侣正方形”四个顶点的不确定性，本题的分类讨论包含了两个层次，难度较大，某些不符合题意情况可以直接依据图形进行排除，图6最后一共有四条抛物线符合题意（图7供参考）．第25题：本题是试卷的几何压轴题，综合考查了图形的平移、旋转、全等三角形、相似三角形等知识，但是前两问还是相当容易上手的，第（3）问则需要通过辅助线同时构造出一个新的等腰直角三角形、一对全等三角形、一对相似三角形作为“桥梁”，实现比例的转化从而得到答案．本题的结果说明：在题设条件下，将△ABC 绕点C 逆时针旋转m 度，其中090m ≤，AMDM的值始终与C 、E 两点之间的距离x 成正比（图8）．此题思维上的难度较大，是一道能达到选拔优秀学生目的的试题．本题所用到的两个基本模型都是比较常见的， 相似三角形漏斗模型、全等三角形旋转模型：图8DEAFMlCBG DC ABEFO 图7。

【提示】根据中位数和平均数的定义求解即可．【考点】中位数，加权平均数．5.【答案】A【解析】解：∵35ADDB =::，∴:58BD AB =:，∵DE BC ∥，∴::5:8CE AC BD AB ==， ∵EF AB ∥，∴::5:8CF CB CE AC ==，故选A ．【提示】先由:3:5AD DB =，求得:BD AB 的比，再由DE BC ∥，根据平行线分线段成比例定理， 可得::CE AC BD AB =，然后由EF AB ∥，根据平行线分线段成比例定理，可得::CF CB CE AC =， 则可求得答案．【考点】平行线分线段成比例．6.【答案】C【解析】解：A ．∵BDC BCD ∠=∠，∴BD BC =，根据已知AD BC ∥不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B ．根据ABC DAB ∠=∠和AD BC ∥不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C ．∵ADB DAC AD BC ∠=∠，∥，∴ADB DAC DBC ACB ∠=∠=∠=∠，∴OA OD OB OC ==，， ∴AC BD =，∵AD BC ∥，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确；D ．根据AOB BOC ∠=∠，只能推出AC BD ⊥，再根据AD BC ∥不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误，故选：C ．【提示】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．【考点】等腰梯形的判定．二、填空题7.【答案】(1)(1)a a +-【解析】解：21(1)(1)a a a -=+-．【提示】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【考点】因式分解．8.【答案】1x >【解析】解：1023x x x ->⎧⎨+>⎩①②，由①得，1x >； 由②得，3x >-，故此不等式组的解集为：1x >．【提示】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．45x∴栏杆EF 段距离地面的高度为： 1.20.96 2.16 2.2AB EH +≈+=≈（米）．∴1DCB B ∠=∠=∠，∵1A ADG ∠+∠=∠，∴A G B ∠+∠=∠．11（2）当Pe与Qe相外切时，如图1所示：（3）按照题意画出图形，如图2所示，连接QE．。

长宁区2012学年第一学期高三数学质量调研试卷（理科）一、填空题（本大题满分56分） 1、计算：22342lim(21)n n n n →∞+-+=________ .2、记函数()y f x =的反函数为1()y fx -=如果函数()y f x =的图像过点)2,1(,那么函数1()1y fx -=+的图像过点________ .3、已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为________ .（结果精确到001.0）4、8)2(x -展开式中含4x 项的系数为________ .5、设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22x f x x b =++（b 为常数）， 则(1)f -=________ .6、已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若1110i 0z zz=（i 是虚数单位），则z =________ . 7、从数列)}(21{*N n n∈中可以找出无限项构成一个新的等比数列}{n b ，使得该新数列的各项和为71，则此数列}{n b 的通项公式为________ .8、阅读如图所示的程序框图，输出的S 值为________ .9、已知A B C ∆23AC ABC π=∠=，则A B C ∆的周长等于._______ 10、给出下列命题中① 非零向量 a b 、满足a b a b ==-，则与a a b + 的夹角为030； ② a ⋅b ＞0，是 a b、的夹角为锐角的充要条件； ③ 将1y x =-的图象按向量()1,0a =-平移得到的图象对应的函数表达式为y x =；④ 在ABC ∆中，若)(→-→-+AC AB 0)(=-⋅∙→-→-AC AB ，则ABC∆为等腰三角形；以上命题正确的是________ .（注：把你认为正确的命题的序号都填上）11、我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S 、周长c 与内切圆半径r 之间的关系为cr S 21=。

2013年上海市初三教学质量调研考试数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1、本试卷含三个大题，共25题；2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸，本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题:(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 下列计算正确的是 （A ）()632a a =； （B ）422a a a =+；（C ）()()a a a 623=⋅；（D ）33=-a a .2. 下列四种标志中，既不是轴对称图形又不是中心对称图形的为（A ） （B ） （C ） （D ） 3. 已知点P 关于x 轴的对称点1P 的坐标是()2,3，那么点P 关于原点的对称点2P 的坐标是（A ）()3,2--； （B ）()2,3-； （C ）()2,3--； （D ）()2,3-. 4. 已知一组数据：2、1、x 、7、3、5、3、2的众数是2，则这组数据的中位数是 （A ）2； （B ）2.5； （C ）3； （D ）5.5. 设()1,2y A -、()2,1y B 、()3,2y C 是抛物线()a x y ++-=21上的三点，则1y 、2y 、3y 的大小关系为（A ）231y y y >>； （B ）213y y y >>； （C ）123y y y >>； （D ）321y y y >>. 6. 在如图1的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使ABC ∆的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是 （A ）6； （B ）5； （C ）4； （D ）3.二、填空题:（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 方程xx 211=-的解是 ▲ ． 8. 分解因式：=-a a 3▲ ．中国移动 中国联通 中国网通 中国电信图1AB9. 不等式组10241x x x +>⎧⎨+≥-⎩的解集为 ▲ ．10. 函数xx y 112+-=的定义域是 ▲ ． 11. 在英语句子“Wish you success!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s ”的概率为 ▲ ．12. 一个射箭运动员连续射靶5次，所得环数分别是：8、6、10、7、9，则这个运动员所得环数的标准差为 ▲ ．13. 图2为2012年伦敦奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 ▲ 度（不取近似值）．14. 已知点G 是ABC ∆的重心，如果a AB =，b AC =，那么向量=BG ▲ （结果用a 和b 表示）. 15. “数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时候就能在课堂上快速的计算出50501009998321=++++++ ，今天我们可以将高斯的做法归纳如下： 令 1009998321++++++= S ① 1239899100++++++= S ②①＋②：有()10010012⨯+=S ，解得：5050=S 请类比以上做法，回答下列问题：若n 为正整数，()16812753=+++++n ，则=n ▲ .16. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图3）．图4由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFDH 、正方形MNKT 的面积分别为1S 、2S 、3S ，若1232013S S S ++=，则2S 的值是 ▲ ．17. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()3,0，点B 为y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且2AC =．设co t B O C m ∠=，则m 的取值范围是 ▲ . 18. 如图5，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，1=OA ，2=OC ，现将此矩图2y BC图3ABCDEF GH MNK T 图4形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为35，则第n 次()1>n 平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 ▲ .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）阅读理解符号d c b a 称为二阶行列式，规定它的运算法则为a b ad bc c d=-.例如：2101252434253=-=⨯-⨯=. 根据阅读化简下面的二阶行列式11112aa a--.20.（本题满分10分）已知1x 、2x 是一元二次方程031222=-+-m x x 的两个实数根，且1x 、2x 满足不等式()022121>++⋅x x x x ，求实数m 的取值范围．21.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图6，在ABC ∆中，AB AC =，AE 是角平分线，BM 平分ABC ∠交AE 于点M ，经过B 、M 两点的O 交BC 于点G ，交AB 于点F ，FB 恰为O 的直径． （1）求证：AE 与O 相切；（2）当4BC =，1cos 3C =时，求O 的半径．22.（本题满分10分）如图7、图8，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）可绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持P A AP '=，P B BP '=）．通过向下踩踏点A 到A '（与地面接触点）使点B 上升到点B '，与此同时传动杆BH 运动到H B ''的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点H '，从而使桶盖打开一个张角H HD '∠．如图9，桶盖打开后，传动杆B H ''所在的直线分别与水平直线AB 、DH 垂直，垂足为点M 、C ，设M B C H '='．测得cm AP 6=，cm PB 12=，cm H D 8='．要使桶盖张开的角度H HD '∠不小于︒60，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字，参考数据：41.12≈，A B C MOE G图6 F73.13≈）23.（本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数23y x =的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图象的函数表达式是()2324y x =+-．类比二次函数的图象的平移．．．．．．．．．．．．，我们对反比例函数的图象作类似的变换： （1）将1y x=的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ▲ ，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为 ▲ ； （2）函数1x y x +=的图象可由1y x =的图象向 ▲ 平移 ▲ 个单位得到；12x y x -=-的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？ （3）一般地，函数x by x a+=+（0ab ≠，且a b ≠）的图象可由哪个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？24.（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒，它们的斜边长为2，若ABC ∆固定不动，AFG ∆绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）． （1）设BE y =，CD x =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数定义域；A PB DH H ′ B ′ A ′M C 图9A PB D H H ′ B ′ A ′ 图8 图7（2）如图11，当BE CD =时，请你求出线段BD 、CE 、DE 的长，并通过计算验证222BD CE DE +=； （3）在旋转过程中，请你探究：（2）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．25.（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分） 如图12，已知直线252+=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线b ax ax y ++=42经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点Q 在抛物线上，且AQC ∆与BQC ∆面积相等，求点Q 的坐标；（3）如图13，P 为AOC ∆外接圆上ACO 的中点，直线PC 交x 轴于点D ，ACO EDF ∠=∠，当EDF∠绕点D 旋转时，DE 交直线AC 于点M ，DF 交y 轴负半轴于点N ．请你探究：CM CN -的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．G图11FED CB AG图10FED CB A图13xyACPN DEMFO图12xyOBCA。

2013年第一次模拟考试数学试卷（考试时间为120分钟，试卷满分130分．）一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．）1．－5的相反数是…………………………………………………………………………（ ▲ ）A ．5B ．±5C ．－5D ． 52．计算(ab )2ab2的结果为…………………………………………………………………… （ ▲ ）A ．bB ．aC ．1D ．1b3．不等式－12x +1＞2的解集是………………………………………………………… （ ▲ ）A ．x ＞－12B ．x ＞－2C ．x ＜－2D ． x ＜－124．下列二次函数中，图象以直线x =2为对称轴、且经过点(0,1)的是 ……………… ( ▲ )A ．y =(x －2)2+1B ．y =(x +2)2+1C ．y =(x －2)2－3D ．y =(x +2)2－35．菱形具有而矩形不一定具有的性质是………………………………………………… ( ▲ )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补6．如图，是由6个棱长为1个单位的正方体摆放而成的，将正方体A 向右平移2个单位，向后 平移1个单位后，所得几何体的视图 ……………………………………………… ( ▲ )A ．主视图改变，俯视图改变B ．主视图不变，俯视图改变C ．主视图不变，俯视图不变D ．主视图改变，俯视图不变7．圆锥的底面半径为2，母线长为4，则它的侧面积为……………………………… ( ▲ )A ．4πB ．16πC ．43πD ．8π 8．以下问题，不适合用全面调查的是…………………………………………………… ( ▲ )A ．了解全班同学每周体育锻炼的时间B ．某中学调查全校753名学生的身高C ．某学校招聘教师，对应聘人员面试D ．鞋厂检查生产的鞋底能承受的弯折次数 9．如图，一圆桌周围有20个箱子，依顺时针方向编号 1～20．小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆 桌依顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则 丢入一颗球：(1)若前一个箱子丢红球，经过的箱子就丢绿球． (2)若前一个箱子丢绿球，经过的箱子就丢白球． (3)若前一个箱子丢白球，经过的箱子就丢红球．已知他沿着圆桌走了100圈，则4号箱内红球的颗数是……………………………… ( ▲ ) A ．100 B ． 99 C ． 34 D ． 3310．如图，已知△ABC 在平面直角坐标系中，其中点A 、B 、C 三点的坐标分别为（1,23）， （－1,0），（3,0），点D 为BC 中点，P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合），连接PB 、PD ，则△PBD 周长的第9题图16分．）的取值范围是 ▲ ．2月底，包括工行、农行、中行等在内的9家债权银行对无锡尚德的本外币授信余额折合人民币已达到7 100 000 000元，则7 100 000 000可用科学记数法表示为 ▲ ．14．已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2和5，圆心距O 1O 2＝3，则这两圆的位置关系是 ▲ ．15．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k +1)x +k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是 ▲ ． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的点，∠CDB =20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E =▲ ° ． 17．如图，在△ABC 中，AC =BC ＞AB ，点P 为△ABC 所在平面内一点，且点P 与△ABC 的任意两个顶点构成的△PAB 、△PBC 、△PAC 均是等腰三角形，则满足条件的点P 的个数有 ▲ 个． 18．如图，已知反比例函数y 1=k 1x 与y 2=k 2x（k 1＜0，k 2＞0），过y 2图象上任意一点B 分别作x 轴、y 轴的平行线交坐标轴于D 、P 两点，交y 1的图象于A 、C ，直线AC 交坐标轴于点M 、N ，则 S △OMN = ▲ ． (用含k 1、k 2的代数式表示)三．解答题(本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 19．(本题满分8分)计算：（1）12―|―3|―2tan30°+(―1+2)0（2）a +2－42－a20．(本题满分8分)（1）解方程：x 2＋4x －5=0 （2）解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＞0，5x +12+1≥2x －13，并把解集在数轴上表示出来． 21．(本题满分6分) 如图，在□ABCD 中，E F ，为BC 上两点，且BE CF =，AF DE =． 求证：（1）ABF DCE △≌△；（2）四边形ABCD 是矩形． 22．(本题满分6分) 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，求出能与2组成“V 数”的概率．23．(本题满分8分) 小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1（2（324．(1km 的飞 19.5km 处 于A B 处；经过 E 第16题图A B CD E F 本市若干天空气质量情况扇形统计图 第10题图东1510处．（1）求该飞机航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．25、(本题满分10分) 由于受到手机更新换代的影响，某品牌第一代手机二月售价比一月每台降价500元．如果卖出相同数量的一代手机，那么一月销售额为4.5万元，二月销售额只有4万元． ⑴ 一月第一代手机每台售价为多少元？⑵ 为了提高利润，该店计划三月购进部分第二代手机销售，已知第一代手机每台进价为3500元，第二代手机每台进价为4000元，预计用不多于7.5万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有哪几种进货方案？⑶ 该店计划4月对第一代手机的尾货进行销售，决定在二月售价基础上每售出一台第一代手机再返还顾客现金a 元，而第二代手机按销售价4400元销售，如要使⑵中所有方案获利相同，a 应取何值？26． (本题满分10分)已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交与A 、 B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交与点C (0,－3)，对 称轴是直线x =1，直线BC 与抛物线的对称轴交与点D ．（1）求抛物线的函数关系式．（2）若平行于x 轴的直线与抛物线交于点M 、N (M 点在N 点左侧)，且MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的半径．（3）若点M 在第三象限，记MN 与y 轴的交点为点F ，点C 关于点F①当线段MN =34AB 时，求tan ∠CED 的值；②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点M 的坐标．27．(本题满分10分)如图1，正方形ABCD 的边长为a (a 为常数)，对角线AC 、BD 相交于点O ，将正方形KPMN (KN ＞12AC )的顶点K 与点O 重合，若绕点K 旋转正方形KPMN ，不难得出，两个正方形重合部分的面积始终是正方形ABCD 面积的四分之一．（1）①在旋转过程中，正方形ABCD 的边被正方形KPMN 覆盖部分总长度是定值吗？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．②如图2，若将上题中正方形ABCD 改为正n 边形，正方形KPMN 改为半径足够长的扇形，并将扇形的圆心绕点O 旋转，设正n 边形的边长为a ，面积为S ，当扇形的圆心角为_______°时，两个图形重合部分的面积是s n，这时正n 边形的边被扇形覆盖部分的总长度为______．（2）如图3，在正方形KNMP 旋转过程中，记KP 与AD 的交点为E ，KN 与CD 的交点为F ．连接EF ，令AE =x ，S △OEF =S ，当正方形ABCD 的边长为2时，试写出S 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时S 取最值，最值是多少． （3）若将这两张正方形按如图4所示方式叠放，使K 点与CD 的中点ABCD 以1cm/s 的速度沿射线KM 运动，当正方形ABCD 完全进入正方形KPMN 时即停止运动，正方形8cm ，且CD ⊥KM ，求两正方形重叠部分面积y 与运动时间t 之间的函数关系式．28．(本题满分10分) 如图1，BA ⊥MN ，垂足为A ，BA =4，点P 是射线A 不重合），∠BPC =∠BPA ，BC ⊥BP ，过点C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，设AP =x （1）CD 的长度是否随着x 的变化而变化？若变化，请用含x 的代数式表示CD 的长度；若不变化，请求出线BA C D O MN(K ) 图1B A CD O MNE F (K ) P 图3 图2段CD 的长度．（2）△PBC 的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时的x 的值；若不存在，请说明理由．（3）当x 取何值时，△ABP 和△CDP 相似．（4）如图2，当以C 为圆心，以CP 为半径的圆与线段AB 有公共点时，求x 的值．初三数学模拟试卷参考答案选择题1---5、ABCCA 6—10、BDCCA 填空题11、2≥x 12、)1)(1(+-x x x 13、9101.7⨯ 14、内切 15、031≠-≥k k 且16、50o17、6 18、S △OMN =22212)(k k k +解答题19、（1）原式=1332332+--·············2分 =2334- ·············4分 （2）原式=aa a a ----+242)2)(2(·············1分 =a a ---2442 ·············2分=22-a a ·············4分 20、（1）(x+5) (x-1)=0·············2分∴x 1=-5，x 2=1 ·············4分（2）解①得：2<x ，·············1分 解②得：1-≥x ，·············2分不等式组的解集为21<≤-x ·············3分 数轴画对 ·············4分 21、解：（1）∵在平行四边形ABCD 中，∴AB=DC AD=BC ， ·············1分 ∵E ，F 为BC 上两点且BE=CF ，AF=DE ，∴BF=CE ·············2分 ∴△ABF ≌△DCE （sss ） ·············3分 （2）∵△ABF ≌△DCE∴∠B=∠C ·············4分 ∵在平行四边形ABCD 中图1B A M D PC N 图2BA M DP C N∴∠B+∠C=180° ∴∠B=90° ·············5分∴四边形ABCD 是矩形 ·············6分 （其他方法对，均可得分）22、 树状图或列表或列举法（略）----------4分由树状图可知一共有12个等可能性的结果，其 中是“V 数”的结果有6个----5分所以P （是“V 数”）=21126= ------6分 23、解：（1）∵扇形图中空气为良所占比例为64%，条形图中空气为良的天数为32天， ∴被抽取的总天数为：32÷64%=50（天）。

1长宁2013年九年级数学教学质量检测（二模）试卷一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列各数中，无理数是（ ）.A. 21 B. 3.14 C. 3 D. 382. 下列各式中，运算正确的是（ ）.A. 523a a a=+ B. a a a 2=-3C. 523a a a =⋅ D. 2323a a a =÷3. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 12 4. 下列图形中，中心对称图形是（ ）.5. 一次函数y =3x +1的图像不经过（ ）.A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. 甲、乙、丙、丁四人进行射击比赛，每人射击10次，四人射击成绩的平均数都是8.9环，方差分别是4502甲.=S ，5502乙.=S ，5002丙.=S ，6502丁.=S ，则射击成绩最稳定的是（ ）.A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 函数43-x y =的定义域是 .8. 在实数范围内分解因式：32-m = .9. 不等式组：⎩⎨⎧<-≥021，63x x 的解集是 .10. 计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛b -a -a212= . 11. 已知，△ABC 的重心G 到BC 边中点D 的距离是2，则BC 边上的中线长是 .12.方程：31=-x 的解是 .13. 若将抛物线122+=x -x y 沿着x 轴向左平移1个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 .14. 如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是5米，设自动扶梯与地面所成的角为θ，则tan θ= .15. 为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5岁~18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生中体重不小于55.5kg 且小于65.5kg 的学生人数是 . 16. 若实数x 、y 满足：yx >，则称：x 比y 远离0. 如图，已知A 、B 、C 、D 、E五点在数轴上对应的实数分别是a 、b 、c 、d 、e. 若从这五个数中随机选一个数，则这个数比其它数都远离0的概率是 .17. 如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF ，顶点A 恰好落在CD 边上的中点P 处， B 点落在点Q 处，PQ 与CF 交于点G . 设C 1为△PCG 的周长，C 2为△PDE 的周长，则C 1 :C 2 = .A ．B ．C ．D ．第14题5米13米θ第15题图 kg )第16题图 e -110c b a2 CBOA yxO C B A 18. 已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影部分面积S 1=21，第2次分割后的阴影部分面积S 2=43，第3次分割后的阴影部分面积S 3=87，…….按照这样的规律分割，则第n (n 为正整数)次分割后的阴影部分面积可用n 表示为S n = .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：()32230tan 31212+-︒⎪⎭⎫⎝⎛+-.20．（本题满分10分）解方程：3353112-x x x -x-x x +=+.21．（本题满分10分）如图，已知等腰直角△ABC 中，∠BAC =︒90，圆心O 在△ABC 内部，且⊙O 经过B 、C 两点，若BC=8，AO=1，求⊙O 的半径.22．（本题满分10分） 周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从家出发0.5小时后到达A 地，游玩一段时间后再前往B 地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈妈驾车沿相同路线直接前往B 地，如图是他们离家的路程y （千米）与离家时间t （小时）的函数图像．（1）根据函数图像写出小明和爸爸在A 地游玩的时间； （2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度；（3）妈妈出发时，小明和爸爸距离B 地有多远？23．（本题满分12分）如图，△ABC 中，∠ACB =︒90，D 、E 分别是BC 、BA 的中点，联结DE ，F 在DE延长线上，且AF=AE . （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形； （2）若四边形ACEF 是菱形，求∠B 的度数.24．（本题满分12分）如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y 轴于点是坐标原点，A （-3，0）且sin ∠ABO=53，抛物线y =ax 2+、B 、C 三点，C （-1，0）. （1）求直线AB 和抛物线的解析式；（2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P ABO 和△ADP 相似，求出点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP ⊙A ， 再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，的位置关系，并说明理由.25．（本题满分14分）△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠∠BAC =︒30.，BC=6，∠FDE =︒90，DF=DE=4.（1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //；（3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形.第1次分割 第2次分割 第3次分割 第4次分割 第18题图 O y (千米)302010t (小时)21.510.5F EDBCA 图①图②EF H GFEA(D)B3DOCBA 321F EDBCA2013年初三数学教学质量检测试卷参考答案一、 单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1、C2、C3、B4、B5、D6、A二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、x ≠4 8、(m +3)(m -3) 9、x ≥2 10、b 2 11、 6 12、x =10 13、(0,-2)14、12515、35 16、0 17、4:3 18、1-n21三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分）解：原式=）32（23332--⨯+ (8分，每个化简结果2分)=32432++-=233- (结果正确，2分)20、（本题满分10分）解：方程两边同时乘以3x (x -1),得3(x +1)-(x -1)=x (x +5) (3分)整理得 x 2+3x -4=0(x -1) (x +4)=0 (2分) x 1=1 x 2=-4 (2分)经检验：x 1=1 是原方程的增根 (1分) ∴ x 2=4是原方程的根 (2分)21、（本题满分10分）解：联结BO 、CO ，联结AO 并延长交BC 于D . (1分) ∵等腰直角△ABC 且∠BAC =︒90 ∴ AB=AC ∵ O 是圆心 ∴OB=OC∴直线OA 是线段BC 的垂直平分线 ∴ AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点 (4分)在Rt △ABC 中，AD=BD =BC 21∵BC=8 ∴ BD=AD = 4 (2分)∵AO=1 ∴OD=BD-AO=3 (1分) ∵AD ⊥BC ∴∠BDO =︒90 ∴OB =5432222=+=+BD OD(2分)22、（本题满分10分）解：（1）0.5 (2分)（2）骑车速度：10÷0.5=20千米/小时 (2分) 驾车速度：30÷0.5=60千米/小时 (2分)（3）设小明和爸爸从A 地前往B 地时，y=kt+b （k ≠0）) 由图可知 t =1时，y =10；t =2时，y =30代入得⎩⎨⎧+=+=b k bk 23010 解得⎩⎨⎧==1020-b k (2分)得y =20t – 10当t =1.5时，y =20， 30-20=10 (1分)∴ 妈妈出发时，小明和爸爸离B 地10千米。

浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试 初三数学试卷 2013.1.17（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上 答题一律无效；2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；3.本次测试可使用科学计算器.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D ．3:2．2.已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，A α∠=，2AB =，那么BC 长（ ）A ．2sin α；B ．2cos α；C ．2sin α； D ．2cos α．3.如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ）A ．22y x =+；B ． 22y x =-；C ．2(2)y x =+；D ．2(2)y x =-．4.如果抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-和(3,0)，那么对称轴是直线（ ）A ．=0x ；B ．=1x ；C ．=2x ；D ．=3x ．5.如果乙船在甲船的北偏东40方向上，丙船在甲船的南偏西40方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ）A ．北偏东40；B ．北偏西40；C ．南偏东40；D ．南偏西40．6.如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点F G、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A ．3；B ．2.5；C ．2；D ．2.5.二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）7. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =1、=2b 那么=c .8.计算：11()(2)22a b a b --+= .9.如果抛物线2(2)y a x =-的开口方向向下，那么a 的取值范围是 .10.二次函数23y x =-的图像的最低点坐标是 .11.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为(06)x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为 .12.已知α是锐角，230tan cos α=，那么α= 度.13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1:2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米，那么此 斜坡的长度等于 米.14.小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长 线交AB 于点G ；使斜边DE 与点A 在同一条直线上．测得边DF 离地面的高度为1.4m ，点D 到AB 的距 离等于6m （如图所示）。

【提示】根据中位数和平均数的定义求解即可．【考点】中位数，加权平均数．5.【答案】A【解析】解：∵35AD DB =::，∴:58BD AB =:，∵DE BC ∥，∴::5:8CE AC BD AB ==， ∵EF AB ∥，∴::5:8CF CB CE AC ==，故选A ．【提示】先由:3:5AD DB =，求得:BD AB 的比，再由DE BC ∥，根据平行线分线段成比例定理， 可得::CE AC BD AB =，然后由EF AB ∥，根据平行线分线段成比例定理，可得::CF CB CE AC =， 则可求得答案．【考点】平行线分线段成比例．6.【答案】C【解析】解：A ．∵BDC BCD ∠=∠，∴BD BC =，根据已知AD BC ∥不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；B ．根据ABC DAB ∠=∠和AD BC ∥不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误；C ．∵ADB DAC AD BC ∠=∠，∥，∴ADB DAC DBC ACB ∠=∠=∠=∠，∴OA OD OB OC ==，， ∴AC BD =，∵AD BC ∥，∴四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项正确；D ．根据AOB BOC ∠=∠，只能推出AC BD ⊥，再根据AD BC ∥不能推出四边形ABCD 是等腰梯形，故本选项错误，故选：C ．【提示】等腰梯形的判定定理有：①有两腰相等的梯形是等腰梯形，②对角线相等的梯形是等腰梯形，③在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形，根据以上内容判断即可．【考点】等腰梯形的判定．二、填空题7.【答案】(1)(1)a a +-【解析】解：21(1)(1)a a a -=+-．【提示】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【考点】因式分解．8.【答案】1x >【解析】解：1023x x x ->⎧⎨+>⎩①②，由①得，1x >；由②得，3x >-，故此不等式组的解集为：1x >．【提示】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【考点】分式的乘除法．+2a b++=-+=+．2()32232a b b a b b a b 【提示】先去括号，然后进行向量的加减即可．【考点】平面向量．45OB AC OB ==2xcos AE AEH ∠∴栏杆EF 段距离地面的高度为： 1.20.96 2.16 2.2AB EH +≈+=≈（米）．cos AE AEH ∠∴1DCB B ∠=∠=∠，∵1A ADG ∠+∠=∠，∴A G B ∠+∠=∠．11（2）当P与Q相外切时，如图1所示：（3）按照题意画出图形，如图2所示，连接QE．。

上海市长宁区2016届中考数学一模试题一、选择题．（本题共6个小题，每题4分，共24分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：12．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：23．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．24．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形5．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内含 C．内切 D．外切6．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位二、填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．抛物线y=x2+1的顶点坐标是．8．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为．9．已知二次函数y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知y与x的函数关系式是．x ﹣1 1y 0 210．已知二次函数y=（x﹣3）2图象上的两点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系是a b．11．圆是轴对称图形，它的对称轴是．12．在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为cm．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2，那么sin∠ACD的值是．14．王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处m．15．已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设=，那么用表示= ．16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= ．17．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是cm．18．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=，DC+CE=10，那么△ANE的面积为．三、解答题．（本大题共7个小题，满分78分）19．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果=3﹣，求作并写出的模（不用写作法，只要所求作向量）．20．计算：tan230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°．21．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP2=BP•CP．22．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．23．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）（1）点D与点H的高度差是米：（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）24．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3，OD=5．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．25．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=，E点为BC边上的一个动点（不与B、C 重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．2016年上海市长宁区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题．（本题共6个小题，每题4分，共24分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：D．2：1【考点】相似三角形的性质．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴（1：2）2=1：4．故选B．【点评】本题是一道考查相似三角形性质的基本题目，比较简单．2．如图，在△ABC中，∠ADE=∠B，DE：BC=2：3，则下列结论正确的是（）A．AD：AB=2：3 B．AE：AC=2：5 C．AD：DB=2：3 D．CE：AE=3：2【考点】平行线分线段成比例．【分析】由在△ABC中，∠ADE=∠B，∠A是公共角，可得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC=2：3．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似图形中的对应关系．3．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，则sinB的值是（）A．B．C．D．2【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据三角函数的定义解答即可．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，∴sinB==．故选A．【点评】本题考查了在三角形中角的正弦值等于对边比斜边的概念．4．在△ABC中，若cosA=，tanB=，则这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．钝角三角形D．锐角三角形【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出三角形的形状．【解答】解：∵cosA=，tanB=，∴∠A=45°，∠B=60°，∴∠C=75°，则这个三角形一定是锐角三角形．故选：D．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．5．已知⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，则这两圆的位置关系是（）A．相交 B．内含 C．内切 D．外切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．【解答】解：∵⊙O1的半径r为3cm，⊙O2的半径R为4cm，两圆的圆心距O1O2为1cm，4﹣3=1，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选：C．【点评】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P，外离：P＞R+r；外切：P=R+r；相交：R﹣r＜P＜R+r；内切：P=R﹣r；内含：P＜R﹣r．6．抛物线y=（x+2）2﹣1可以由抛物线y=x2平移得到，下列平移方法中正确的是（）A．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位C．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位D．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】函数思想．【分析】因为函数y=x2的图象沿y轴向下平移1个单位长度，所以根据左加右减，上加下减的规律，直接在函数上加1可得新函数y=x2﹣1；然后再沿x轴向左平移2个单位长度，可得新函数y=（x+2）2﹣1．【解答】解：∵函数y=x2的图象沿沿x轴向左平移2个单位长度，得，y=（x+2）2；然后y轴向下平移1个单位长度，得，y=（x+2）2﹣1；故可以得到函数y=（x+2）2﹣1的图象．故选B．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．二、填空题．（本大题共12小题，每题4分，满分48分）7．抛物线y=x2+1的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】依据二次函数的顶点坐标公式求解即可．【解答】解：∵a=1，b=0，c=1．∴x=﹣=﹣=0．将x=0代入得到y=1．∴抛物线的顶点坐标为：（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握抛物线的顶点坐标公式是解题的关键．8．已知抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，则实数b的值为﹣2 ．【考点】二次函数的性质．【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1，∴对称轴x=﹣=1，解得：b=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．9．已知二次函数y=ax2+bx，阅读下面表格信息，由此可知y与x的函数关系式是y=x2+x ．x ﹣1 1y 0 2【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】把表中的两组对应值代入y=ax2+bx中得到关于a、b的方程组，然后解方程组求出a和b 的值，从而得到y与x的函数关系式．【解答】解：把x=﹣1，y=0和x=1，y=2代入y=ax2+bx得，解得a=1，b=1，所以y与x的函数关系式为y=x2+x．故答案为y=x2+x．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．10．已知二次函数y=（x﹣3）2图象上的两点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系是a ＜b．【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【专题】计算题．【分析】由二次函数的性质得x=3时函数值有最小值为0，于是可判断b＞a．【解答】解：∵x=3时，y=0，即a=0，而y=（x﹣3）2≥0，∴b＞0，∴a＜b．故答案为a＜b．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是确定A点为顶点．11．圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线/直径所在的直线．【考点】轴对称的性质；圆的认识．【分析】根据对称轴的概念，知圆的对称轴是过圆心的一条直线．【解答】解：圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线．【点评】注意：（1）对称轴应是直线．（2）圆有无数条对称轴．12．在⊙O中，弦AB=8cm，弦心距OC=3cm，则该圆的半径为 5 cm．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】首先根据题意画出图形，然后根据垂径定理的性质，即可求得AC的长，再利用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图：连接OA，∵OC是弦心距，∴OC⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4（cm），∴OA==5（cm）．∴该圆的半径为5cm．故答案为：5．【点评】此题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，已知AC=1，BC=2，那么sin∠ACD的值是．【考点】圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到∠B=∠ACD，∠ACB=90°，由勾股定理得到AB==3，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直AB，∴，∴∠B=∠ACD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AB==3，∴sin∠ACD=sin∠B==，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形及垂径定理，属于基础题，关键是掌握圆周角定理和锐角三角函数的定义．14．王小勇操纵一辆遥控汽车从A处沿北偏西60°方向走10m到B处，再从B处向正南方走20m到C处，此时遥控汽车离A处10m．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】首先根据题意画出图形，在Rt△ABD中，利用三角函数的知识即可求得AD与BD的长，继而求得CD的长，然后由勾股定理求得答案．【解答】解：如图所示：根据题意得：∠B=60°，AB=10m，BC=20m，∴在Rt△ABD中，AD=AB•sin60°=5（m），BD=AB•cos60°=5（m），∴CD=BC﹣BD=15（m）．∴在Rt△CDA中，AC==10（m）．故答案为：10．【点评】此题考查了方向角问题．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．15．已知△ABC中，AD是中线，G是重心，设=，那么用表示= ．【考点】*平面向量．【分析】由△ABC中，AD是中线，G是重心，根据三角形重心的性质，可得=，继而求得答案．【解答】解：∵△ABC中，AD是中线，G是重心，∴==．故答案为：．【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形重心的性质．注意掌握三角形重心的性质是解此题的关键．16．如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1，BD=4，那么AB= 4 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据相似三角形的判定及已知可得到△ABC∽△CDE，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD∴∠B=∠D=90°，∠A+∠ACB=90°∵AC⊥CE，即∠ECD+∠ACB=90°∴∠A=∠ECD∴△ABC∽△CDE∴∴AB=4．【点评】本题主要考查相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识．17．如果把两条邻边中较短边与较长边的比值为的矩形称作黄金矩形．现将长度为20cm的铁丝折成一个黄金矩形，这个黄金矩形较短的边长是15﹣5cm．【考点】黄金分割．【分析】设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据长方形的周长公式列出算式求出x的值，再根据黄金分割的定义即可得出这个黄金矩形较短的边长．【解答】解：设这个黄金矩形较长的边长是xcm，根据题意得：2（x+x）=20，解得：x=5﹣5，则这个黄金矩形较短的边长是×（5﹣5）=（15﹣5）cm．故答案为：15﹣5．【点评】本题考查了黄金分割的定义：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值（）叫做黄金比．同时考查了矩形的周长公式．18．如图，ABCD为正方形，E是BC边上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，折痕为MN．如果tan∠AEN=，DC+CE=10，那么△ANE的面积为．【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．【分析】由翻折变换的性质得出∠AEN=∠EAN，然后先由tan∠AEN=，可得出BE=AB，然后DC+CE=10可知BE=2，从而得到AB=6，然后再Rt△ABE中，由勾股定理可求得BN的长，最后依据三角形的面积公式求解即可．【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEN=∠EAN．∵tan∠AEN=，∴tan∠BAE=．∴AB=3BE．∵EC+CD=10，∴6BE﹣BE=10．解得：BE=2．∴AB=6．∴=6．设AN=EN=x，则BN=6﹣x．在Rt△NBE中，由勾股定理可知：BE2+BN2=NE2，即（6﹣x）2=x2+22．解得：x=．∴BN=．∴=．∴S△ANE=S△ABE﹣S△BNE=6﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、三角形的面积公式，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．三、解答题．（本大题共7个小题，满分78分）19．如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1，已知向量和的起点、终点都是小正方形的顶点，如果=3﹣，求作并写出的模（不用写作法，只要所求作向量）．【考点】*平面向量．【分析】首先作=， =3，则为所求；然后利用模的定义，求得的模．【解答】解：如图， =， =3，则=﹣=3﹣，∴=；即为所求；∴||==．【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握模的定义与向量的作法．20．计算：tan230°﹣（cos75°﹣cot10°）0+2cos60°﹣2tan45°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（）2﹣1+2×﹣2×1=﹣1+1﹣2=﹣．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．21．已知△ABC中，∠CAB=60°，P为△ABC内一点且∠APB=∠APC=120°，求证：AP2=BP•CP．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据三角形的内角和得到∠CAP+∠ACP=60°，求得∠ACP=60°﹣∠CAP，由∠BAP=60°﹣∠CAP，得到∠BAP=∠ACP，证得△ABP∽△ACP，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵∠APB=∠APC=120°，∴∠CAP+∠ACP=60°，∴∠ACP=60°﹣∠CAP，∵∠BAC=60°，∴∠BAP=60°﹣∠CAP，∴∠BAP=∠ACP，∴△ABP∽△ACP，∴，∴AP2=BP•CP．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的内角和，熟练正确相似三角形的判定定理是解题的关键．22．如图，点C在⊙O的直径BA的延长线上，AB=2AC，CD切⊙O于点D，连接CD，OD．（1）求角C的正切值：（2）若⊙O的半径r=2，求BD的长度．【考点】切线的性质．【分析】（1）根据CD切⊙O于点D，得出CD⊥OD，再根据AB=2CA，求出∠C=30°，即可得出答案；（2）连接AD，证得△DAO是等边三角形，求出DA=r=2，再根据勾股定理可求得BD的长．【解答】解：（1）∵CD切⊙O于点D，∴CD⊥OD，又∵AB=2AC，∴OD=AO=AC=CO∴∠C=30°∴tan∠C=；（2）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠DOA=90°﹣30°=60°，又∵OD=OA，∴△DAO是等边三角形．∴DA=r=2，∴DB==2．【点评】此题考查了切线的性质，用到的知识点是切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，得出直角三角形．23．靠校园一侧围墙的体育场看台侧面，如图阴影部分所示，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，现要用钢管做护栏扶手ACG及三根与水平地面PQ垂直的护栏支架CD、EF和GH（底端D、F、H分别在每级台阶的中点处）．已知看台高为1.2米，护栏支架CD=GH=0.8米，∠DCG=66.5°．（参考数据：sin66.5°=0.92，cos66.5°=0.40，tan66.5°=2.30）（1）点D与点H的高度差是0.8 米：（2）试求制作护栏扶手和支架的钢管总长度l，即AC+CG+CD+EF+GH的长度．（结果精确到0.1米）【考点】解直角三角形的应用．【分析】（1）已知看台由四个台阶组成，由图可看出DH由三个台阶组成，看台的总高度已知，则点D与点H的高度差不难求得；（2）连接DG，证得DG∥PQ，得出△CDG是直角三角形，根据正弦函数和正切函数求得CG=2，DG=1.84，进一步求得AC=1，84÷4=0.46m，EF=0.8，即可求得制作护栏扶手和支架的钢管总长度．【解答】解：（1）∵看台高为1.2米，看台的三级台阶高度相等，宽度相同，∴两级台阶高度为0.8米，∴点D与点H的高度差是0.8米，故答案为0.8；（2）连接DG，∵点D与点H的高度差是0.8米，GH=0.8m，∴DG∥PQ，∴∠CDG=90°，∴cos∠DCG=，tan∠DCG=，∴CG===2（m），DG=tan66.5°×0.8=2.3×0.8=1.84（m），∴AC=1，84÷4=0.46（m），∵CE=EG，∴ER=CD=0.4m，∵RF=0.4m，∴EF=0.8m，∴AC+CG+CD+EF+GH=0.46+2+0.8×3=4.9（m）．【点评】此题主要考查解直角三角形的应用，难度一般，主要要求学生能将实际问题转化为数学模型，然后利用解直角三角形的知识进行解答．24．如图，直角坐标平面内的梯形OABC，OA在x轴上，OC在y轴上，OA∥BC，点E在对角线OB上，点D在OC上，直线DE与x轴交于点F，已知OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3，OD=5．（1）求经过点A、B、C三点的抛物线解析式；（2）求证：△ODE∽△OBC；（3）在y轴上找一点G，使得△OFG∽△ODE，直接写出点G的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据矩形的性质，可得BG与OC的关系，OG与BC的关系，根据勾股定理，可得BG 的长，可得B，C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据勾股定理，可得OB的长，根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得EH，OH的长，根据待定系数法，可得DE的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得F点坐标，根据相似三角形的性质，可得OG的长，可得G点坐标．【解答】解：（1）如图1，作BG⊥OA于G点，四边形OCBG是矩形，BG=OC，OG=BC=3．AG=OA﹣OG=6﹣3=3．由勾股定理，得BG===6．OC=BG=6，即C（0，6）；BC=3，BG=6，即B（3，6）．设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A、B、C点坐标代入函数解析式，得，解得抛物线的解析式为y=﹣x2+x+6；（2）证明：由勾股定理，得OB===3．由OE=2OB，得OE=OB=2．由比的性质，得==，且∠DOE=∠BOC，∴△ODE∽△OBC．（3）如图2，作EH⊥OG于G点，==，EH=×6=4， ==，OH=×3=2，即E（2，4），D（0，5），设DE的解析式为y=kx+b，将D，E点坐标代入，得，解得．DE的解析式为y=﹣x+5，当y=0时，x=10，即F（10，0）．OF=10．由△ODE∽△OBC，得∠OED=90°．由勾股定理，得DE===．由△OFG∽△ODE，得=，即OG===20，点G的坐标为（0，20）、（0，﹣20）．【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用相似三角形的判定：两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；利用相似三角形的性质得出=是解题关键．25．如图，平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，sin∠B=，E点为BC边上的一个动点（不与B、C 重合），过E作直线AB的垂线，垂足为F，FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．（1）当△ABE恰为直角三角形时，求BF：CG的值：（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF与△CEG的周长之和是否是常数，请说明理由：（3）设BE=x，△DEF的面积为y，试求出y关于x的函数关系式，并写出定义域．【考点】四边形综合题．【分析】（1）利用平行四边形的性质和相似三角形的判定即可解决问题．（2）设BE=x，易证△BEF∽△BAM，根据相似三角形的性质可得BF=x，EF=x．易证△CEG∽△BAM，根据相似三角形的性质可得CG=6﹣x，EG=8﹣x，从而可得C△BEF+C△CEG=24．（3）由（2）得：EF=x，DG=11﹣x，就可求出y和x之间的函数关系式．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，即BF∥CG，∴△BEF∽△CEG．当△ABE恰为直角三角形时，如图1：∴BF：CG=BE：EC=3：7，当△ABE恰为直角三角形时，如图2：∴BF：CG=BE：EC=5；（2）△BEF和△CEG的周长之和等于24，是常数．如图3：理由：设BE=x，∵AM⊥BC，AB=5，AM=4，∴BM==3．∵AM⊥BC，EF⊥AB，∴∠AMB=∠EFB=90°．∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BAM，∴，∴，∴BF=x，EF=x．∵△BEF∽△CEG，△BEF∽△BAM，∴△CEG∽△BAM，∴，∴，∴CG=6﹣x，EG=8﹣x，∴C△BEF+C△CEG=x+x+x+6﹣x+8﹣x+10﹣x=24．（3）由（2）得：EF=x，FG=DG=DC+CG=5+6﹣x=11﹣x，∴y=EF•DG=×x•（11﹣x）=﹣x2+x（0＜x＜10）．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，运用相似三角形的性质是解决第（2）小题的关键．。

数学试卷 第1页（共16页） 数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前上海市2013年初中毕业统一学业考试数学试卷数 学本试卷满分150分,考试时间100分钟.一、选择题(本大题共6题,每小题4分,满分24分) 1.下列式子中,属于最简二次根式的是( ) ABCD2.下列关于x 的一元二次方程有实数根的是( ) A .210x +=B .210x x ++=C .210x x -+=D .210x x --=3.如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是 ( )A .2(1)2y x =-+B .2(1)2y x +=+ C .21y x =+D .33y x =+4.数据0,1,1,3,3,4的中位线和平均数分别是( ) A .2和2.4B .2和2C .1和2D .3和25.如图1,已知在ABC △中,点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点,DE BC ∥,EF AB ∥,且:3:5AD DB =,那么:CF CB 等于( )A .5:8B .3:8C .3:5D .2:5 6.在梯形ABCD 中,AD BC ∥,对角线AC 和BD 交于点O ,下列条件中,能判断梯形ABCD 是等腰梯形的是( )A .BDC BCD ∠=∠B .ABC DAB ∠=∠ C .ADB DAC ∠=∠D .AOB BOC ∠=∠二、填空题(本大题共12题,每小题4分,满分48分) 7.因式分解：21a -= .8.不等式组1023x x x -⎧⎨+⎩＞＞的解集是 .9.计算：23b aa b= .10.计算：2()3a b b -+= .11.已知函数23()1f x x =-,那么f = . 12.将“定理”的英文单词theorem 中的7个字母分别写在7张相同的卡片上,字面朝下随意放在桌子上,任取一张,那么取到字母e 的概率为 .13.某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示,那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 .14.在O 中,已知半径长为3,弦AB 长为4,那么圆心O 到AB 的距离为 .15.如图3,在ABC △和DEF △中,点B 、F 、C 、E 在同一直线上,BF CE =,AC DF ∥,请添加一个条件,使ABC DEF △≌△,这个添加的条件可以是 .(只需写一个,不添加辅助线)16.李老师开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y (升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系,其图像如图4所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升.17.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100︒,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 . 18.如图5,在ABC △中,AB AC =,8BC =,3tan 2C =,如果将ABC △沿直线l 翻折后,点B 落在边AC 的中点处,直线l 与边BC 交于点D ,那么BD 的长为 .三、解答题(本大题共7题,19～22题10分,23、24题12分,25题14分,满分48分) 19.0111|π()2--+毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共16页） 数学试卷 第4页（共16页）20.解方程组：22220x y x xy y -=-⎧⎨--=⎩21.已知平面直角坐标系xOy (如图6),直线12y x b =-经过第一、二、三象限,与y 轴交于点B ,点)(2,1A 在这条直线上,联结AO ,AOB △的面积等于1.(1)求b 的值；(2)如果反比例函数ky x=(k 是常量,0k ≠)的图像经过点A ,求这个反比例函数的解析式.22.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示,点A 是栏杆转动的支点,点E 是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF 升起后的位置如图2所示,其示意图如图3所示,其中AB BC ⊥,EF BC ∥,143EAB ∠=︒, 1.2AB AE ==米,求当车辆经过时,栏杆EF 段距离地面的高度(即直线EF 上任意一点到直线BC 的距离).(结果精确到0.1米,栏杆宽度忽略不计)参考数据：sin370.60︒≈,cos370.80︒≈,tan37︒0.75≈.23.如图8,在ABC △中,90ACB ∠=︒,B A ∠∠＞,点D 为边AB 的中点,DE BC ∥交AC 于点E ,CF AB ∥交DE 的延长线于点F .(1)求证：DE EF =；(2)联结CD ,过点D 作DC 的垂线交CF 的延长线于点G ,求证：B A DGC ∠=∠+∠.24.如图9,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M 的抛物线2(0)y ax bx a =-＞经过点A 和x 轴正半轴上的点B ,2AO BO ==,120AOB ∠=︒. (1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM ,求AOM ∠的大小；(3)如果点C 在x 轴上,且ABC △与AOM △相似,求点C 的坐标.25.在矩形ABCD 中,点P 是边AD 上的动点,联结BP ,线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ,垂足为点M ,联结QP (如图10).已知13AD =,5AB =,设AP x =,BQ y =.(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出x 的取值范围；(2)当以AP 长为半径的P 和以QC 长为半径的Q 外切时,求x 的值；(3)点E 在边CD 上,过点E 作直线QP 的垂线,垂足为F ,如果4EF EC ==,求x 的值.数学试卷第5页（共16页）数学试卷第6页（共16页）数学试卷 第7页（共16页） 数学试卷 第8页（共16页）【考点】分式的乘除法．2a b +2()32232a b b a b b a b ++=-+=+． 【提示】先去括号，然后进行向量的加减即可．325OD OB BD =-=-=OB AC OB代入直线解析式得：数学试卷第9页（共16页）数学试卷第10页（共16页）xcosAE AEH∠∴栏杆EF段距离地面的高度为： 1.20.96 2.16 2.2AB EH+≈+=≈（米）．cosAE AEH∠段距离地面的高度为：【考点】解直角三角形的应用．∴1DCB B∠=∠=∠，∵1A ADG∠+∠=∠，∴A G B∠+∠=∠．1数学试卷第11页（共16页）数学试卷第12页（共16页）3⎩数学试卷第13页（共16页）数学试卷第14页（共16页）数学试卷 第15页（共16页） 数学试卷 第16页（共16页）（3）按照题意画出图形，如图2所示，连接QE ．（2）如图1所示，利用相外切两圆的性质，求出PQ 的长；利用垂直平分线的性质PQ BQ =，列方程求出x 的值．（3）如图2所示，关键是证明CEQ ABP △∽△，据此列方程求出x 的值． 【考点】四边形综合题．。