2007年肇庆市八年级数学竞赛

八年级数学竞赛试题及参考答案八年级数学竞赛试题(一)一、选择题（每小题5分，共30分） 1．已知2220082008,2ca b a b c k k +=-==++=，且那么的值为（ ）． A ．4 B ．14 C ．－4 D ．14- 2．若方程组312433x y k x y k x y x y +=+⎧<<-⎨+=⎩的解为，，且，则的取值范围是（ ）． A ．102x y <-<B ．01x y <-<C ．31x y -<-<-D ．11x y -<-< 3．计算：2399100155555++++++=（ ）．A ．10151- B ．10051- C ．101514- D ．100514-4．如图，已知四边形ABCD 的四边都相等，等边△AEF 的顶点E 、F 分别在BC 、CD 上，且AE=AB ，则∠C=（ ）． A ．100° B ．105° C ．110° D ．120°5．已知5544332222335566a b c d a b c d ====，，，，则、、、的大小关系是（ ）． A ．a b c d >>> B ．a b d c >>> C ．b a c d >>> D ．a d b c >>> 6．如果把分数97的分子、分母分别加上正整数913a b 、，结果等于，那么a b +的最小 值是（ ）．A ．26B ．28C ．30D ．32 二、填空题：（每小题5分，共30分）（第4题图）DCB（第15题图）EDCBA7．方程组200820092007200720062008x y x y -=⎧⎨-=⎩的解是 ．8．如图，已知AB 、CD 、EF 相交于点O ，EF ⊥AB ，OG 为∠COF 的平分线，OH 为∠DOG 的平分线，若∠AOC ：∠COG=4：7，则∠GOH= ．9．小张和小李分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，第一次在距A 地5千米处相遇，继续往前走到各地（B 、A ）后又立即返回，第二次在距B 地4千米处两人再次相遇，则A 、B 两地的距离是 千米．10．在△ABC 中，∠A 是最小角，∠B 是最大角，且2∠B=5∠A ，若∠B 的最大值为m °，最小值为n °，则m °+n °= ．11．已知21()()()04b c b c a b c a a a+-=--≠=，且，则 ． 12．设p q ，均为正整数，且7111015p q <<，当q 最小时，pq 的值为 ． 以下三、四、五题要求写出解题过程． 三、（本题满分20分）13．在一次抗击雪灾而募捐的演出中，晨光中学有A 、B 、C 、D 四个班的同学参加演出，已知A 、B 两个班共16名演员，B 、C 两个班共20名演员，C 、D 两个班共34名演员，且各班演员的人数正好按A 、B 、C 、D 次序从小到大排列，求各班演员的人数． 四、（本题满分20分）14．已知2211x x y y x y =+=+≠，，且． ⑴ 求证：1x y +=． ⑵ 求55x y +的值．五、（本题满分20分）15．如图，在△ABC 中AC ＞BC ，E 、D 分别是AC 、BC 上的点，且∠BAD=∠ABE ，AE=BD ．求证：∠BAD=12∠C ．G（第8题图）HOFED CBA参考答案一、选择题1．A 2．B 3．C 4．A 5．A 6．B 二、填空题： 7、21x y =⎧⎨=⎩ 8、72.5° 9、11 10、175° 11、2 12、68213、解：依题意得：A+B=16，B+C=20，C+D=34∵A ＜B ＜C ＜D ，∴A ＜8，B ＞8，B ＜10，C ＞10，C ＜17，D ＞17 由8＜B ＜10且B 只能取整数得，B=9 ∴C=11，D=23，A=7答：A 、B 、C 、D 各班演员人数分别是7人、9人、11人、23人。

2023-2024学年广东省肇庆市八年级（下）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )A. B. C. D.2.在平行四边形ABCD中，如果∠A+∠C=160°，那么∠C等于( )A. 80°B. 60°C. 40°D. 20°3.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是( )A. 4，5，6B. 5，8，13C. 1，1，2D. 1，3，44.下列运算中正确的是( )A. (−3)2=−3B. 2+3=5C. 10÷5=2D. 13×6=25.满足k>0，b=3的一次函数y=kx+b的图象大致是( )A. B. C. D.6.在▱ABCD中，AC、BD是对角线，补充一个条件使得四边形ABCD为菱形，这个条件可以是( )A. AC=BDB. AB=ACC. AC⊥BDD. ∠ABC=90°7.已知点M(m,y1)，N(−1,y2)在直线y=−x+1上，且y1>y2，则m的取值范围是( )A. m<−1B. m>−1C. m<1D. m>18.下表记录了甲、乙、丙、丁四名运动员选拔赛成绩的平均数−x与方差S2.根据表中数据，要从中选择一名成绩好，又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )甲乙丙丁平均数−x/cm561560561560方差S215.5 3.5 3.515.6A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁9.房梁的一部分如图所示，其中BC⊥AC，∠B=60°，BC=2，点D是AB的中点，且DE⊥AC，垂足为E，则AE的长是( )A. 3B. 2C. 5D. 410.如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO.若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论中正确结论的个数是( )①DE=EF；②四边形DFBE是菱形；③BM=3FM；④S△AOE：S△BCF=2：3．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

2009年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题（竞赛时间：2009年3月6日下午4：00—5：00）一、选择题（每小题3分，共60分） 1．计算200920091(1)+-的结果是（ ） A ．0 B ．2 C ． 2 D ．40182．如图1是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“青”相对应的面上的汉字是（ ） A ．庆 B ．山 C ． 水 D ．秀 3．下列说法正确的是（ ）A ．1的平方根是1B ．0的算术平方根是0C ．－1的平方根是－1D ．2(1)-的平方根是－1 4．若0,0,a b a b >><且，则下列式子中成立的是（ ） A ．22a b ab > B ．1a b > C ．ab a b >+ D ．11a b> 5．如图2，能使AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠B=∠D B ．∠D+∠B=90° C ． ∠B+∠D+∠E=180° D ．∠B+∠D=∠E 6．若方程组212x y x y m+=⎧⎨-=⎩中，x y 、的值都不大于1，则m 的取值范围是（ ）A ．31m -<<B ．31m -≤<C ．31m -<≤D ．31m -≤≤ 7．若∠1和∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ） A ．112∠ B ．122∠ C ．1(12)2∠+∠ D ．1(12)2∠-∠8．计算：323224(5)(5)(6)x y z xy x y -÷⨯=（ ） A ．4252x y z B ．5262x y z C ．5265x y z D ．93630x y z 9．如图3，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点（不是中点），且AD=BE=CF ，则图中全等三角形的组数为（ ） A ．3组 B ．4组 C ．5组 D ．6组（图1）秀青水山庆肇（图2）EDCBA（图3）C10．已知关于x 的方程(38)70a b x ++=无解，则ab 的值是（ ）A ． 正数B ． 非正数C ． 负数D ． 非负数11．平面内有4条相交直线，它们的交点最多有m 个，最少有n 个，则m －n=（ ） A ．7 B ．5 C ．4 D ．3 12．－27）A ．0B ．－6C ．0或－6D ．613．已知点(2 2)M a b a b +-，与点(12 21)N b a b ----，关于x 轴对称，则a 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．014．已知ABC 的三边满足2220a b c ab bc ac ++---=，则这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 15已知227 1033x y xy x y +==+=，，则（ ） A ．207 B ．147 C ．117 D ．8716．如图4，已知ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AB=4cm ， AC=3cm ，则AD的取值范围是（ ）A ．3＜AD ＜4B ．1＜AD ＜7C ．1722AD << D ．1733AD << 17．若a b c 、、为整数，且200920091a b c ac a a b c b -+-=-+-+-，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．已知532422y xy x ab b a +-与是同类项，那么x y 、的值是（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．035x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．30x y =⎧⎨=⎩ 19．比较555444333345、、的大小，正确的是（ ） A ．333555444534<< B ．555333444354<< C ．444555333435<< D ．333444555543<<20．已知2224440 4a b c a b c a b c ++=++=++，，那么的值是（ ） A ．6 B ．8 C ．20 D ．34 二、填空题（每小题2分，共40分）21．已知32120091y ax bx x y x y =++=-===，当时，，则当时，（图4）CB22．计算：2232313 1.20.3()(3)3-⨯÷--⨯-=23．一个两位数的两个数位上的数字之和为7，若将这两个数字都加上2，则得到的数是原数的2倍少3，则这个两位数是 24．如图5，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平分线，∠AOC=80°，则∠MON= 度25．因式分解：22224()()x y x y +--=26．不等式组11211246123135x x x x -+⎧-<-⎪⎪⎨+-⎪-≤⎪⎩的解集是27．如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=30°，AE=AD ，则∠EDC 的度数是28．计算：2009×20082008－2008×20092009=29．当x =时，取得最小值，这个最小值是30．在一次捐款活动中，八年级3班50名同学人人拿出自己的 零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的. 图7的统计图反映了不同捐款数的人的比例，那么该班同学平均 每人捐款 元31．对任意有理数a b 、，用四则运算的减法与除法定义一种 新运算“*”：(23)(45)2a ba b -*=***=，则 32．按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，，，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 33．如图8，已知DO ⊥AB ，OA=OD ，OB=OC ， 则∠OCE+∠B=34．一批学生划船，若乘大船除1船坐6人外，其余每船均坐17人； 若乘小船，则除1船坐2人外，其余每船均坐10人，如果学生人数超过100人，不到200人，那么学生人数是35．已知点A （3，5）和B （1，－3），点P 是y 轴上一动点，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标是O（图5）N MC BA（图6）（图7）O（图8）ED CBA36．x 是实数，若2345610 x x x x x x +++++==，37．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个38．已知点(39 1)P a a --，是第三象限的整数点，则P 的坐标是 39．一次函数(23)2y a x a =-++的图象，在－2≤x ≤1的一段都在x 轴上方，则a 的取值 范围是40．若实数a b c 、、满足222432a b c ab b c +++≤++，则2009a b c ++=2009年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题参考答案一、选择题二、填空题21．－2005 22．－477 23．25 24．40 25．2()(2)(2)x y x y x y ++--+ 26．－1≤x<1 27．15° 28．0 29．45-, 0 30．29.4 31．0 32．15033．180 34．142 35．(0, －1) 36．1 37．6 38．(－3,－1) 39．1833a <<。

2012年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题和答案一、选择题：（每小题3分，共60分） 1、2012-的相反数是（ ）A 、2012B 、2012-C 、20121 D 、20121- 2、不等式组⎩⎨⎧≥+<+-0201x x 的解集是（ ）A 、1>xB 、2-≥xC 、12<≤-xD 、2-≤x 3、下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ）A 、了解肇庆市的空气质量情况B 、了解西江流域的水污染情况C 、了解肇庆市居民的环保意识D 、了解全班同学每周体育锻炼的时间4、如图1，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD=AE ，DC 、BE 交于点F ，则图中全等的三角形有（ ）A 、 1对B 、2对C 、3对D 、4对5、下列计算错误的是（ ）A 、ab b a b a ab ab -=--223)32( B 、24322)(a aa a nn n=÷C 、b a b a b a 72233221)(-=÷- D 、162494)432)(432(222-+-=+--+a a a a a a a 6、2)4(-的算术平方根是（ ）A 、4-B 、4C 、4±D 、167、等腰三角形的一个底角是42°，则它的顶角为（ ） A 、108° B 、96° C 、88° D 、82° 8、计算2)21(-的结果是（ ）A 、41 B 、41- C 、4 D 、4- 9、下列的分工化简中，正确的是（ ） A 、b a b a b a +=++122 B 、cc b a b a +=+++23)(2)(3 C 、1)()(22-=--a b b a D 、a b a b ab b a -=---1222 10、若n 边形的内角和为2160°，则n =（ ） A 、14 B 、 12 C 、10 D 、8 11、已知m n y x 123-与是同类项，则n n 的取值是（ ）A 、23-和B 、23和-C 、23和D 、23--和 12、如图2，已知1L ∥2L ,∠BAE=30°,∠BCD=70°,则∠DEC=( ) A 、90° B 、80° C 、70° D 、60°13、把浓度为15%的盐水a 千克，浓度为20%的盐水b 千克混合，得到的盐水浓度是（ ） A 、 %5.17 B 、ba ba %20%15++ C 、%80%85%20%15++b a D 、b a b a ++%20%1514、已知1>a ，则点P )1,1(a a -+在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限15、已知三角形的三条边长分别为1，x ，4，其中x 为正整数，则这个三角形的周长为（ ） A 、6 B 、9 C 、10 D 、1216、若a ，b ，c ，m 都是有理数，并且m c b a m c b a =++=++2,32，则b 与c （ ） A 、互为倒数 B 、互为负倒数 C 、互为相反数 D 、相等17、在一个停车场内有30辆车，其中汽车有4个轮子，摩托车有2个轮子，且停车场上只有汽车和摩托车，这些车共有84个轮子，那么摩托应为（ ）A 、20辆B 、12辆C 、16辆D 、18辆 18、绝对值小于5的所有正整数的和为（ ）A 、15B 、10C 、9D 、8 19、若a 、b 满足b a S b a 327532-==+，，则S 的最大值是（ ） A 、27 B 、314 C 、215 D 、3 20、若0122=--x x ，那么代数式2323+--x x x 的值为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 二、填空题（每小题2分，共40分） 21、计算：2012)1(-＝ .22、方程组⎩⎨⎧-=-=+26y x y x 的解是 .23、分解因式：=--422x x .24、据2011年初的统计，肇庆市农业为口数比肇庆市的总人口数的80%少18万，若农业人口数为306万，则肇庆市的总人口数为 万.25、已知点()21--，是一次函数)0(4≠-=k kx y 图象上的点，那么k = . 26、计算：20)5141(⨯-＝ . 27、如图3，AB ，CD 相交于点O ，OB 平分∠DOE ， 若∠DOE ＝60°，则∠AOC ＝ 度.28、用科学记数法表示：425000＝ . 29、若()0522=-++b a ，则ba ＝ .30、已知53152132++-=-+-x Bx A x x x 则A ＝ ，B= . AB CD ⊥于D,31、如图4，在△ABC 中，∠ACB=90°∠ABC=28°,则∠ACD= 度.32、已知2,322-=+=+y xy xy x ，则2232y xy x --＝ .33、若两直线42+=x y 与m x y +-=2的交点在第二象限，则m 的取值范围是 . 34、观察下列规律：3＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，用你发现规律，写出32012的个位数是 .35、设1-x 是c x x +-53的因式，则c= .36、若点)3,(),2(x N y M ，-关于x 轴对称，则x+y= . 37、观察图5中各三角形图案，每条边上有)2(≥n n 个圆点，每个图案中圆点的总数为S ，按此规律推出S 与n 的关系式是 .38、三个有理数c b a 、、之积是负数，其和是正数，当cc bb aa x ++=时，=+-51220x x .39、已知,20102009+=x a ,20112009+=x b ,20122009+=x c 则多项式 ca bc ab c b a ---++222的值为 .40、已知z y x 、、都是质数，且z y x ≤≤，，，4112=++=++xz yz xy z y x则z y x 32++的值为 .（图4）DBCA(图5）n=4,s=9n=3,s=6n=2,s=3……2012年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题和答案。

广东省肇庆市2008年初中毕业生学业考试数 学 试 题说明：全卷共4页，考试时间为100分钟，满分120分．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．一个正方体的面共有（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．6个 2．数据1，1，2，2，3，3，3的极差是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．6 3．3-的绝对值是（ ）A ．3B ．3-C ．31D ．31- 4．一个正方形的对称轴共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．无数条 5．若3-=b a ，则a b -的值是（ ）A ．3B ．3-C ．0D ．6 6．如图1，AB 是⊙O 的直径，∠ABC =30°,则∠BAC =（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图2，箭头表示投影线的方向，则图中圆柱体的正投影是（ ）A ．圆B ．圆柱C ．梯形D ．矩形 8．下列式子正确的是（ ）A ．2a >0 B ．2a ≥0 C ．a+1>1 D ．a ―1>19．在直角坐标系中，将点P （3，6）向左平移4个单位长度，再向下平移8个单位长度后，取得的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．从n 张互不相同的普通扑克牌中任意抽取一张，抽到黑桃K 的概率为51，则n =（ ）A ．54B ．52C ．10D ．5二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11．因式分解：122+-x x = .12．如图3，P 是∠AOB 的角平分线上的一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，写出图中一对相等的线段（只需写出一对即可） .13．圆的半径为3cm ，它的内接正三角形的边长为 .14．边长为５cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是 . 15．已知221=，422=，32=8，42=16，25=32，…… 观察上面规律，试猜想20082的末位数是 .三、解答题（本大题共10小题，共75分．解承诺写出文字说明，证明进程或演算步骤．）16.（本小题满分6分） 计算：102211)3(-+--.17.（本小题满分6分）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值.18.（本小题满分6分） 解不等式：)20(310x x --≥70.19.（本小题满分7分）如图4， E 、F 、G 别离是等边△ABC 的边AB 、BC 、AC 的中点. （1） 图中有多少个三角形？（2） 指出图中一对全等三角形，并给出证明.20.（本小题满分7分）在四川省发生地震后，成都运往汶川灾区的物资须从西线或南线运输，西线的路程约800千米，南线的路程约80千米，走南线的车队在西线车队动身18小时后立刻启程，结果两车队同时抵达．已知两车队的行驶速度相同，求车队走西线所用的时间.21.（本小题满分7分）如图5，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90°，正方形DEFG 的极点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.（1）求证AE =BF ；（2）若BC =2cm ，求正方形DEFG 的边长.22.（本小题满分8分）已知点A （2，6）、B （3，4）在某个反比例函数的图象上. （1） 求此反比例函数的解析式；（2）若直线mx y =与线段AB 相交，求m 的取值范围.23.（本小题满分８分）在2008北京奥林匹克运动会的射击项目选拔赛中，甲、乙两名运动员的射击成绩如下（单位：环）：甲 10 乙 10 （１） 两名运动员射击成绩的平均数别离是多少? （２） 哪位运动员的发挥比较稳定？（参考数据： 222222226.03.06.014.02.03.0+++++++= ，22222222221.04.05.02.02.09.01.02.03.01.0+++++++++=）24.（本小题满分10分）如图6，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，D 是AC 的中点， ⊙O 通过A 、B 、D 三点，CB 的延长线交⊙O 于点E .(1) 求证AE =CE ；(2) EF 与⊙O 相切于点E ，交AC 的延长线于点F ， 若CD =CF =2cm ，求⊙O 的直径； （3）若n CDCF= （n >0），求sin ∠CAB .25.（本小题满分10分）已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是不是存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？若是存在，试给出一个，并加以证明；若是不存在，说明理由.肇庆市2008年初中毕业生学业考试 数学试题参考答案和评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）三、解答题（本大题共10小题，共75分．） 16．（本小题满分6分）解：原式=21211+-········································································ （3分） =1 ····················································································· （6分） 17．（本小题满分6分）解：在Rt △ABC 中，c =5，a =3．∴ 22a c b -=2235-=4= ················································· （2分） ∴ 53sin ==c a A ·········································································· 4分） 43tan ==b a A ． ································································ （6分）18．（本小题满分6分）解：x x 36010+-≥70， ··································································· （2分）x 13≥130， ······························································ （4分） ∴ x ≥10． ·································································· （6分）19．（本小题满分7分）解：（1）图中共有5个三角形； ····································· （2分） （2）△CGF ≌△GAE ． ········································ （3分） ∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠=A ∠C ． ················· （4分）∵ E 、F 、G 是边AB 、BC 、AC 的中点， ∴AE =AG =CG =CF =21AB ． ··························································· （6分） ∴ △CGF ≌△GAE ． ······························································· （7分）20．（本小题满分7分）解：设车队走西线所用的时间为x 小时，依题意得：1880800-=x x ， ····································································· （3分） 解这个方程，得20=x ． ·········································································· （6分） 经查验，20=x 是原方程的解．答：车队走西线所用的时间为20小时． ·············································· （7分） 21．（本小题满分7分）解：（1）∵ 等腰Rt △ABC 中，∠=C 90°，∴ ∠A ＝∠B ， ······················································································· （1分） ∵ 四边形DEFG 是正方形，∴ DE ＝GF ，∠DEA ＝∠GFB ＝90°， ······················ （２分） ∴ △ADE ≌△BGF ，∴ AE ＝BF ． ····················································· （3分） （2）∵ ∠DEA ＝90°，∠A=45°，∴∠ADE =45°． ························································································ （4分） ∴ AE ＝DE ． 同理BF ＝GF ． ······························································· （5分）∴ EF ＝31AB=BC 231⨯=2231⨯⨯=32cm ， ··········································· （6分） ∴ 正方形DEFG 的边长为2cm 3． ······························································ （7分）22．（本小题满分8分）解：（1）设所求的反比例函数为xky =， 依题意得: 6 =2k ， ∴k=12． ································································································ （2分） ∴反比例函数为xy 12=． ·········································································· （4分） （2） 设P （x ，y ）是线段AB 上任一点，则有2≤x≤3，4≤y ≤6． ························· （6分） ∵m =xy， ∴34≤m ≤26．所以m 的取值范围是34≤m ≤3． ··································································· （8分）23． （本小题满分8分）解: （1）甲x =102.91.108.94.108.82.108.96.91.1010+++++++++=． ······ （2分）乙x =107.92.103.106.96.99.89.9101.107.9+++++++++= ． ················ （4分） （2）∵2甲s =101[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2]=． ·································································· （6分）2乙s =101[（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2+（）2 +（）2+（）2+（）2]=．∴2甲s >2乙s ，∴乙运动员的发挥比较稳定． ····················································· （8分） 24． （本小题满分10分）证明：（1）连接DE ，∵∠ABC =90°∴∠ABE =90°，∴AE 是⊙O 直径． ························································ （1分） ∴∠ADE =90°，∴DE ⊥AC ． ·········································· （2分） 又∵D 是AC 的中点，∴DE 是AC 的垂直平分线．∴AE =CE ． ·································································· （3分） （2）在△ADE 和△EF A 中，∵∠ADE =∠AEF =90°，∠DAE =∠F AE ，∴△ADE ∽△EF A ． ························································ （4分）∴AE ADAF AE =， ∴AEAE 26=． ························································· （5分）∴AE =23cm ． ····················································································· （6分） （3） ∵AE 是⊙O 直径，EF 是⊙O 的切线，∴∠ADE =∠AEF =90°， ∴Rt △ADE ∽Rt △EDF ． ∴DFDEED AD =． ············································· （7分） ∵n CDCF=，AD =CD ，∴CF =nCD ，∴DF =（1+n ）CD ， ∴DE =n +1CD ． ······· （8分） 在Rt △CDE 中，CE 2=CD 2+DE 2=CD 2+（n +1CD ） 2=（n +2）CD 2．∴CE =2+n CD ． ················································································· （9分）∵∠CAB =∠DEC ，∴sin ∠CAB =sin ∠DEC =CE CD=21+n =22++n n ． ··············· （10分）25．（本小题满分10分）解：（1）由5x x 122+=0， ········································································ （1分）得01=x ，5122-=x ． ············································································ （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ······································ （3分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ······························· （4分） 别离过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足别离为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ·················································· （5分）=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ···································· （6分）=5（个单位面积） ···································································· （7分）（3）如：)(3123y y y -=． ···································································· （8分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ． ················ （9分）∴)(3123y y y -=． ··························································· （10分）。

2009年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题（竞赛时间：2009年3月6日下午4：00—5：00）一、选择题（每小题3分，共60分） 1．计算200920091(1)+-的结果是（ ） A ．0 B ．2 C ． 2 D ．40182．如图1是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“青”相对应的面上的汉字是（ ） A ．庆 B ．山 C ． 水 D ．秀 3．下列说法正确的是（ ）A ．1的平方根是1B ．0的算术平方根是0C ．－1的平方根是－1D ．2(1)-的平方根是－1 4．若0,0,a b a b >><且，则下列式子中成立的是（ ） A ．22a b ab > B ．1a b > C ．ab a b >+ D ．11a b> 5．如图2，能使AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠B=∠D B ．∠D+∠B=90° C ． ∠B+∠D+∠E=180° D ．∠B+∠D=∠E 6．若方程组212x y x y m +=⎧⎨-=⎩中，x y 、的值都不大于1，则m 的取值范围是（ ）A ．31m -<<B ．31m -≤<C ．31m -<≤D ．31m -≤≤ 7．若∠1和∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ）A ．112∠B ．122∠ C ．1(12)2∠+∠ D ．1(12)2∠-∠8．计算：3232240(5)(5)(6)x y z xy x y -÷⨯=（ ） A ．4252x y z B ．5262x y z C ．5265x y z D ．93630x y z 9．如图3，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点（不是中点），且AD=BE=CF ，则图中全等三角形的组数为（ ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组10．已知关于x 的方程(38)70a b x ++=无解，则ab 的值是（ ）A ． 正数B ． 非正数C ． 负数D ． 非负数11．平面内有4条相交直线，它们的交点最多有m 个，最少有n 个，则m －n=（ ） A ．7 B ．5 C ．4 D ．3 12．－27 ）A ．0B ．－6C ．0或－6D ．613．已知点(2 2)M a b a b +-，与点(12 21)N b a b ----，关于x 轴对称，则a 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．014．已知ABC 的三边满足2220a b c ab bc ac ++---=，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 15已知227 1033x y xy x y +==+=，，则（ ） A ．207 B ．147 C ．117 D ．8716．如图4，已知ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AB=4cm ， AC=3cm ，则AD 的取值范围是（ ）A ．3＜AD ＜4B ．1＜AD ＜7C ．1722AD << D ．1733AD << 17．若a b c 、、为整数，且200920091a b c ac a a b c b -+-=-+-+-，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2 D ．4（图1）秀青水山庆肇（图2）EDC BA（图3）C（图4）B A18．已知532422y xy x ab b a +-与是同类项，那么x y 、的值是（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．035x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．30x y =⎧⎨=⎩ 19．比较555444333345、、的大小，正确的是（ ） A ．333555444534<< B ．555333444354<< C ．444555333435<< D ．333444555543<<20．已知2224440 4a b c a b c a b c ++=++=++，，那么的值是（ ） A ．6 B ．8 C ．20 D ．34 二、填空题（每小题2分，共40分）21．已知32120091y ax bx x y x y =++=-===，当时，，则当时，22．计算：2232313 1.20.3()(3)3-⨯÷--⨯-=23．一个两位数的两个数位上的数字之和为7，若将这两个数字都加上2，则得到的数是原数的2倍少3，则这个两位数是 24．如图5，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平分线，∠AOC=80°，则∠MON= 度 25．因式分解：22224()()x y x y +--=26．不等式组11211246123135x x x x -+⎧-<-⎪⎪⎨+-⎪-≤⎪⎩的解集是27．如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=30°，AE=AD ，则∠EDC 的度数是28．计算：2009×20082008－2008×20092009=29．当x =时，取得最小值，这个最小值是30．在一次捐款活动中，八年级3班50名同学人人拿出自己的 零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的. 图7的统计图反映了不同捐款数的人的比例，那么该班同学平均 每人捐款 元31．对任意有理数a b 、，用四则运算的减法与除法定义一种 新运算“*”：(23)(45)2a ba b -*=***=，则 32．按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，，，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是33．如图8，已知DO ⊥AB ，OA=OD ，OB=OC ，则∠OCE+∠B=34．一批学生划船，若乘大船除1船坐6人外，其余每船均坐17人； 若乘小船，则除1船坐2人外，其余每船均坐10人，如果学生人数超过100人，不到200人，那么学生人数是35．已知点A （3，5）和B （1，－3），点P 是y 轴上一动点，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标是36．x 是实数，若2345610 x x x x x x +++++==，37．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个38．已知点(39 1)P a a --，是第三象限的整数点，则P 的坐标是 39．一次函数(23)2y a x a =-++的图象，在－2≤x ≤1的一段都在x 轴上方，则a 的取值 范围是40．若实数a b c 、、满足222432a b c ab b c +++≤++，则2009a b c ++=（图5）N MCBA（图6）（图7）O （图8）ED CBA。

第11讲线段和角知识方法扫描直线上两点间的部分叫线段，关于线段的性质，有线段的公理：在所有连结两点的线中，线段最短。

即：两点之间，线段最短。

从一点引出的两条射线组成的图形叫做角，角也可以看作是一条射线绕着它的端点旋转后得到的。

本节的重点是线段与角的度量与计算。

代数方法是线段与角的计算的主要方法。

经典例题解析例1．（2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题）C是线段AB的中点, D是线段CB上的一点，如图所示。

若所有线段的长度都是正整数，且线段AB所有可能长度的乘积等于140，则线段AB所有可能长度的和等于。

￥A C D解设线段CB的长度为x，则x≥2，AB=2x≥4，于是AB是偶数。

又140=2×2×5×7，且140是线段AB所有可能的线段长度数的乘积，所以AB=10或14，故线段AB所有可能长度的和等于24。

例2．（2001年第16届“迎春杯”数学竞赛试题）如图, A是直线上的一个点, 请你在A点的右侧每隔1厘米取一个点, 共取三个点, 那么：(1)用B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上, 一共有种不同的标法.(2)在每种标法中, AB+BC+CD的长度与AD的长度的比分别是 .解：(1)将B、C、D三个字母任意标在所取的三个点上, 第一个点有3种标法, 第二个点有2种标法, 第三个点只有1种标法, 所以共有3⨯2⨯1＝6(种)不同的标法.(2)下面是6种不同的标法：。

①中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+1+1)：3＝1：1；②中, (AB+BC+CD)：AD＝(1+2+1)：2＝2：1；③中, (AB+BC+CD)：AD＝(2+1+2)：3＝5：3；④中, (AB+BC+CD)：AD ＝(3+2+1)：2＝3：1； ⑤中, (AB+BC+CD)：AD ＝(2+1+2)：1＝5：1； ⑥中, (AB+BC+CD)：AD ＝(3+1+1)：1＝5：1；由此, 在每种标法中, AB+BC+CD 的长度与AD 的长度的比分别为1：1或2：1或5：3或3：1或5：1或5：1.`例3．（1998年第9届希望杯第1试试题）一个角的补角的31等于它的余角，则这个角等于______度。

广东省肇庆市八年级数学竞赛试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2020七下·衢州期末) 下列多项式中，不能用乘法公式进行因式分解的是A .B .C .D .2. （2分） (2018七下·于田期中) 如果7年2班记作，那么表示（）A . 7年4班B . 4年7班C . 4年8班D . 8年4班3. （2分）(2019·江北模拟) 有19位同学参加歌咏比赛，所得的分数互不相同，取得分前10位的同学进入决赛，某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入决赛，他只需知道这19位同学分数的（）A . 平均数B . 中位数C . 众数D . 方差4. （2分） (2020九下·无锡月考) 下列图形中，是轴对称图形的是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016八下·番禺期末) 若正比例函数y=kx的图象经过点（2，1），则k的值为（）A . ﹣B .C . ﹣2D . 26. （2分） (2017八下·盐城开学考) 下列各点中，位于直角坐标系第二象限的点是（）A . （2，1）B . （﹣2，﹣1）C . （2，﹣1）D . （﹣2，1）7. （2分） (2019九上·湖州月考) 如图，先将一张边长为4的正方形纸片ABCD沿着MN对折，然后，分别将 C， D沿着折痕BF，AE对折，使得C，D两点都落在折痕MN上的点O处，则的值为（）A .B .C .D .8. （2分）(2017·浙江模拟) 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A . 64B . 77C . 80D . 85二、填空题 (共8题；共9分)9. （1分） (2020七下·枣阳期末) 方程组解是________.10. （1分）(2018·正阳模拟) +（﹣2）0=________．11. （1分）(2017·苏州) 因式分解： ________．12. （1分） (2019七上·杨浦月考) 当________时，分式有意义；13. （1分）一副量角器与一块含30°锐角的三角板如图所示放置，三角板的顶点C恰好落在量角器的直径MN上，顶点A，B恰好落在量角器的圆弧上，且AB∥MN．若AB=8，则量角器的直径MN=________．14. （2分）已知2x=3y﹣1，用含x的代数式表示y，则y=________，当x=0时，y=________．15. （1分） (2018八上·沈河期末) 如图所示，已知四边形ABCD是等边长为2的正方形，AP=AC，则数轴上点P所表示的数是________.16. （1分）(2017·湖州竞赛) 设一次函数y=kx+2k-3(k≠0),对于任意两个k的值k1,k2,分别对应两个一次函数值y1,y2,若k1k2<0,当x=m时,取相应y1,y2,中的较小值p,则p的最大值是________.三、解答题 (共10题；共72分)17. （15分） (2019七上·长沙期中) 如图，在数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为6．点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度由运动，同时，点Q从点P出发以每秒1个单位长度的速度由运动，当点Q到达点A时两点停止运动，设运动时间为t(单位：秒)．（1）求时，求点P和点Q表示的有理数；（2）求点P与点Q第一次重合时的t值；（3）当t的值为多少时，点P表示的有理数与点Q表示的有理数距离是3个单位长度．18. （5分） (2019九上·上海月考) 已知，，求：代数式的值.19. （10分） (2017八下·宁德期末) 课堂上，老师给出了如下一道探究题：“如图，在边长为1的正方形组成的6×8的方格中，△ABC和△A1B1C1的顶点都在格点上，且△ABC≌△A1B1C1 ．请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得△ABC通过一次或两次变换后与△A1B1C1完全重合．”（1）小明的方案是：“先将△ABC向右平移两个单位得到△A2B2C2 ，再通过旋转得到△A1B1C1”．请根据小明的方案画出△A2B2C2 ，并描述旋转过程；（2）小红通过研究发现，△A BC只要通过一次旋转就能得到△A1B1C1 ．请在图中标出小红方案中的旋转中心P，并简要说明你是如何确定的．20. （2分） (2015八上·北京期中) 阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6求BC的长．小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．请回答：（1）△BDE是________三角形．（2） BC的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题：如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD的长．21. （5分）若x3+x2+x=-1，求多项式x2009+x2008+…+x2+x+1的值．22. （5分） (2020八下·泰兴期中) 新春佳节来临之际，某商铺用1600元购进一款畅销礼盒，由于面市后供不应求，决定再用6000元购进同款礼盒，已知第二次购进的数量是第一次的3倍，但是第二次的单价比第一次贵2元.求第一次与第二次各购进礼盒多少个？23. （10分）(2018·毕节) 如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．（1）求证：△APD≌△BQC；（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．24. （3分）如图1，2，3，…是由花盆摆成的图案，图1中有1盆花，图2中有7盆花，图3中有19盆花，…（1）根据图中花盆摆放的规律，图4中，应该有________盆花，图5中，应该有________盆花；（2）请你根据图中花盆摆放的规律，写出第n个图形中花盆的盆数________．25. （10分） (2019八下·长宁期末) 如图，直线与轴交于点，点是该直线上一点，满足 .（1）求点的坐标；（2）若点是直线上另外一点，满足，且四边形是平行四边形，试画出符合要求的大致图形，并求出点的坐标.26. （7分） (2011八下·建平竞赛) 为了普及环保知识，增强环保意识，某中学组织了环保知识竞赛活动，初中三个年级根据初赛成绩分别选出了10名同学参加决赛（满分为100分）如表所示：决赛成绩（单位：分）（1）请你填写下表：平均数众数中位数七年级85.5________87八年级85.585________九年级________________84（2）请从以下两个不同的角度对三个年级的决赛成绩进行分析：从平均数和众数相结合看（分析哪个年级成绩好些）：________；从平均数和中位数相结合看（分析哪个年级成绩好些）：________；（3）如果在每个年级参加决赛的选手中分别选出三人参加决赛，你认为哪个年级的实力更强一些。

2007年初中数学竞赛试题赏析2007年春末夏初，国内的初中数学竞赛基本告一段落，暑假期间，在放松避暑纳凉的同时，对数学爱好者来说，把玩一下新的试题，也是一件乐事．下面为大家选析一些试题，供同学们玩赏．一、代数问题例1 已知a ，b ，c 是实数，若2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-之和恰等于1，求证：这三个分数的值有两个为1，一个为-1．（2007年北京市初二数学竞赛试题三）证明 由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1， 即（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0， 通分，分子部分因式分解，（请自己完成演算）可得()()()2a b c c a b c a b abc+-+--+=0． 所以，或者a+b-c=0或者c+a-b=0或者b+c-a=0．①若a+b-c=0，则222222222222222222()21;222()21;222()2 1.222b c a b c b c bc bc bc bcc a b c a c a ac ac ac cab c a a b a b ab bc ab ab+-+--===+-+--===+-+-+-===- ②若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=1，2222c a b ac +-=-1，2222a b c ab+-=1， ③若c+a-b=0，同理可得2222b c a bc +-=-1，2222c a b ac +-=1，2222a b c ab+-=1． 综合①、②、③可得，三个分数2222b c a bc +-，2222c a b ac +-，2222a b c ab+-的值有两个为1，一个为-1．评析：由题设2222b c a bc +-+2222c a b ac +-+2222a b c ab+-=1，要证这三个分数的值有两个为1，一个为-1，想到证（2222b c a bc +--1）+（2222a c b ac +--1）+（2222a b c ab+-+1）=0 是关键．其中分子部分的因式分解，可检验你的代数式恒等变形的基本功是否过硬． 例2 设a 是正整数，二次函数y=x 2+（a+17）x+38-a ，反比例函数y=56x，•如果这两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求a 的值．（2007年全国初中数学联合竞赛（B 组）试题第三大题）解 联立方程组2(17)38,56,y x a x a y x ⎧=+++-⎪⎨=⎪⎩消去y 得x 2+（a+17）x+38-a=56x， 即x 3+（a+17）x 2+（38-a ）x-56=0，分解因式得（x-1）[x 2+（a+18）x+56]=0． （1）显然x 1=1是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点， 因为a 是正整数，所以关于x 的方程x 2+（a+18）x+56=0 （2）的判别式△=（a+18）2-224>0，它一定有两个不同的实数根．而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，•因此它的判别式△=（a+18）2-224应该是一个完全平方数．设（a+18）2-224=k 2（其中k 为非负整数），则（a+18）2-k 2=224，即（a+18+k ）（a+18-k ）=224．显然a+18+k 与a+18-k 的奇偶性相同，且a+18+k ≥8，而224=112×2=56×4=28×8，18112,1856,1828,182,184,188.39,12,0,55,26,10.a k a k a k a k a k a k a a a k k k ++=++=++=⎧⎧⎧⎨⎨⎨+-=+-=+-=⎩⎩⎩===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩所以或或解得或或 而a 是正整数，所以只可能39,12,55,26,a a k k ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 当a=39时，方程（2）即x 2+57x+56=0，它的两根分别为-1和-56，此时两个函数的图象还有两个交点（-1，-56）和（-56，-1）．当a=12时，方程（2）即x 2+30x+56=0，它的两根分别为-2和-28，此时两个函数的图象还有两个交点（-2，-28）和（-28，-2）．评析：这是初中数学的重点知识与方法高度综合的题目，要求会自行演算独立解答．二、几何问题在初中阶段，图形的运动主要是合同变换，包含平移、轴对称、旋转和中心对称．另外，在我国的几何教学中，对等积变换的知识日益普及，主要是利用“同底等高的两个三角形面积相等”和三角形面积公式来证题、计算，包括解决线段的比例问题．例3 如图1所示，△ABC 中，∠ABC=46°，D 是BC 边上一点，DC=AB ，∠DAB=21°，•试确定∠CAD 的度数．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题四）图1 图2解如图2，作△ABD关于AD的轴对称图形△AED，即∠EAD=21°，AE=AB，•所以DE=BD．易知∠ADC=21°+46°=67°，所以∠ADE=∠ADB=180°-67°=113°，∠CDE=113°-67°=46°，连接CE，DC=AB，△ABD≌△CDE≌△ADE．设O为AE与DC的交点，由于∠ODE=∠OED=46°，所以OD=OE．又DC=AE，所以AO=CO ∠OCA=∠OAC ∠COE=2∠ACO．易知∠COE=2×46°=92°，因此2∠ACO=∠COE=92°∠ACO=46°=∠OAC．所以∠DAC=∠DAE+∠EAC=21°+46°=67°．例4如图3，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=•QB=BC，则∠PCQ=______．（2007年北京市中学生数学竞赛初二年级试题）图3 图4解：如图4，过P作AB的平行线，过B作PQ的平行线，二平行线相交于O，则PQBO•是个菱形．连接CO．由AB=AC，AP=QB，则PC=AQ，AP=QB=PO，∠CPO=∠PAQ，所以△PQC≌△APQ，因此CO=PQ=CB=OB，可知△BCO为等边三角形，∠BCO=∠CBO=60°，•设∠CAB=θ，•则∠PCO=∠QBO=θ，由三角形内角和定理，得3θ+2×60°=180°⇒θ=20°，因此∠PCQ=80°-•50°=30°．例5 如图5，四边形ABCD 是梯形，点E 是上底AD 边上一点，CE 的延长线与BA 的延长线交于点F ，过点E 作BA 的平行线CD 交的延长线于点M ，BM 与AD 交于点N ．证明：∠AFN=∠DME ．（2007全国初中数学联合竞赛试题）例5分析 延长BF ，CM 相交于Q ，因为EM ∥AF ，所以∠DME=∠DQA ．要证∠AFN=∠DME ，只需证∠AFN=∠DQA 即可．为此，只需证FN ∥MC ．证明 （面积法）连接FM ，BE ，CN ，因为EM ∥AF ，所以S △PFM =S △PBE ，因为AD ∥BC ，S △BNE =S △CNE ，因此S △BNE +S △PNE =S △CNE +S △PNE ．即S △PBE =S △PNC ，所以S △PFM =S △PNC ．两边同加S △PMC 得S △FMC =S △NMC ，所以FN ∥MC ，又已知FB ∥ME ，所以∠AFN=∠DME ．至于其它的证法我们就不再例举了．例6 试问：18能否表示为3个互异的正整数的倒数的和？18能否表示为3•个互异的完全平方数的倒数的和？如果能，请给出一个例子；如果不能，请说明理由． （第12届华杯赛初一组决赛试题14）解：（1）由于18=14×12=14×（112+16+14）=114824++116，所以18能表示为3个互异的正整数的倒数的和．（2）不妨设三个正整数a<b<c ，满足18=21a +21b +21c． 由于a ，b ，c 是互异的正整数，则21c <21b <21a， 从而18=21a +21b +21c <23a ，所以a 2>24．又18>21a，所以a 2>8，故a 2=9或16． 若a 2=9，则21b +21c =18-19=172，于是172>21b，有b 2>72； 又因为21c <21b ，所以172=21b +21c <22b ， 因此b 2<144，所以72<b 2<144．故b 2=81，100或121，将b 2=81，100，121分别代入c 2=227272b b -，没有一个是完全平方数，此时无解．若a 2=16，则21b +21c =18-116=116， 同上讨论可得：16<b 2<32，所以b 2=25，c 2=22161625169b b ⨯=-不是整数． 综上所述，18不能表示为3个互异的完全平方数的倒数之和． 例7 已知a ，b 都是正整数，试问关于x 的方程x 2-abx+12（a+b ）=0是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明．解 不妨设a ≤b ，且方程的两个整数根为x 1，x 2（x 1≤x 2），则有12121()2x x ab x x a b +=⎧⎪⎨=+⎪⎩ 所以x 1x 2-x 1-x 2=12a+12b-ab ，4（x 1-1）（x 2-1）+（2a-1）（2b-1）=5． 因为a ，b 都是正整数，所以x 1，x 2均是正整数．于是x 1-1≥0，x 2-1≥0，2a-1≥1，2b-1≥1，所以12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩或12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩ （1）当12(1)(1)0(21)(21)5x x a b --=⎧⎨--=⎩时，由于a ，b 都是正整数，且a ≤b ，可得a=1，b=3． 此时，一元二次方程为x 2-3x+2=0，它的两个根为x=1，x=2．（2）当12(1)(1)1(21)(21)1x x a b --=⎧⎨--=⎩时，可得a=1，b=1，此时，一元二次方程为x 2-x+1=0，它无整数解．综上所述，当且仅当a=1，b=3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为x 1=1，x 2=2．例8 （1）是否存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）？（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得m （m+k ）=n （n+1）？ 解:（1）答案是否定的．若存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）． 则（m+1）2=n 2+n+1，显然n>1．于是n 2<n 2+n+1<（n+1）2，所以n 2+n+1不是平方数，矛盾．（2）当k=3时，若存在正整数m ，n ，使得m （m+3）=n （n+1），则4m 2+12m=4n 2+4n ⇔（2m+3）2=（2n+1）2+8即（2m+3-2n-1）（2m+3+2n+1）=8⇔ （m-n+1）（m+n+2）=2， 而m+n+2>2，故上式不可能成立．当k ≥4时，若k=2t （t 是不小于2的整数）为偶数，取m=t 2-t ，n=t 2-1，则m （m+k ）=（t 2-t ）（t 2+t ）=t 4-t 2，n （n+1）=（t 2-1）t 2=t 4-t 2，因此这样的（m ，n ）满足条件．若k=2t+1（t是不小于2的整数）为奇数，取m=22t t-，n=222t t+-，则m（m+k）=22t t-（22t t-+2t+1）=14（t4+2t3-t2-2t）n（n+1）=222t t+-·22t t+=14（t4+2t3-t2-2t），因此这样的（m，n）满足条件．综上所述，当k=3时，答案是否定的；当k≥4时，答案是肯定的．（注：当k≥4时，构造的例子不是唯一的．）四、组合与极值组合问题对锻炼思维意义重大，初中只适宜分类计数、加法原理、乘法原理的简单运用，简单的包含排除原理，基本的抽屉原理也是重要的内容．但在初中阶段，不应提前引入排列组合的计算公式．特别是提前较大范围的培训高中的排列组合知识，会激起大范围超前学习的竞争热，从而影响基础教育，并且也影响竞赛的公平性．建议命一些以几何元素为背景的构造性的问题，容易引发学生兴趣，又使套用组合公式的人容易出错，这类问题的研制特别引人注目．例9 平面上有6个点，其中任何3个点不在同一条直线上，以这6个点为顶点可以构造多少个不同的三角形？从这些三角形中选出一些，如果要求其中任何两个三角形没有公共点，则最多可以选出多少个三角形？（第12届华杯赛初一组决赛试题12）解答:（1）先从6个点中选取1个做三角形的一个顶点，有6种取法；•再从余下的5点中选取1个做三角形的第二个顶点，有5种取法；再从余下的4个点中选取1个点做三角形的第三个顶点者，有4种取法．因为任何3个点不在同一条直线上，所以，这样选出的三个点可以做出一个三角形．但是，如果选出的三个点相同的话，则做出的三角形相同，•三个点相同的取法有3×2×1=6种，所以，以这6个点为顶点可以构造654321⨯⨯⨯⨯=20个不同的三角形．（2）每个三角形有3个顶点，所以，6个点最多只能做出2个三角形，•它们没有公共顶点，如图4（1）．（3）用英文大写字母A，B，C，D，E，F记这6个点，如果可以选出5个三角形，它们共有15个顶点，需要15个英文大写字母．但是，不同的英文大写字母仅有6个，因此，这5•个三角形中至少有三个三角形有同一个顶点，不妨设为点A．根据题目条件，这三个三角形没有公共边，即除去公共顶点A之外，其余6•个顶点互不相同，即表示这6个顶点的字母不相同．否则，根据题目条件，它们将有公共边．但是，除A之外，我们仅有5个不同的字母，所以，不可能存在5个三角形，它们没有公共边．如图4（2）所示，△ABC，△ADE，△BDF和△CEF这4个三角形没有公共边，所以，最多可以选出4个三角形，它们没有公共边．例10 若对于任意n个连续正整数中，总存在一个数的数字之和8是的倍数．试确定n的最小值，并说明你的理由．（2007北京市中学生数学竞赛初二年级试题五）解先证n≤14时题设的性质不成立．因为，当n=14时，对于9999993，9999994，…，999999，…，10000006这14个连续整数中，任意一个数字的数字之和均不能被8整除．所以n≤14时题设的性质不成立．因此要使题设的性质成立，应有n≥15．再证n=15时，题设的性质成立．设a1，a2，…，a15为任意的连续15个正整数，则这15个正整数中，个位数字为0•的整数最多有两个，最少有一个，可分为：（1）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数有两个时，设a i<a j，且a i，a j的个位数字为0．则满足a i，a i+1，a i+2，…，a i+9，a j为连续的11个整数，其中a i，a i+1，a i+2，…，a i+9无进位设n i表示a i各位数字之和．则前10个数的各位数字之和分别为n i，n i+1，…，n i+9则这连续的10个数中至少有一个被8整除．（2）当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，设其中的a i的个位数字为0，•①若整数满足1≤i≤8，则在a i后面至少有7个连续整数，则a i，a i+1，a i+2，…，a i+7这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．②若整数i满足9≤i≤15，则在a前面至少有8个连续整数，不妨设为a i-8，a i-7，a i-5，a i-4，a i-3，a a-2，a a-2，a i-1，这8个连续整数的各位数字和也为8个连续整数，所以必有一个数能被8整除．由①、②可知，当a1，a2，…，a15中个位数字为0的整数只有一个时，必有一个数，其各位数字之和是8的倍数．综上（1）、（2）所述，对于任意15个连续整数中，必有一个数，•其各位数字之和是的倍数．而小于15个的任意连续整数不成立此性质，所以n的最小值是15．例11 平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接．（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？（第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试23题）解：（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，•按题设规则用线段连接，可以连出3×3+3×3+3×3=27条线段．（2）平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，按题设规则用线段连接，可以连出2×3+2×4+3×4=26条线段．（3）设平面上三组点数为m，n，p个，s=m+n+p，目标求s的最小值？按题设规则用线段连接，可以连出mn+mp+np=192条线段．由于s2=（m+n+p）2=m2+n2+p2+2mn+2mp+2np≥mn+mp+np+2mn+2mp+2np=3mn+3mp+3np=•3（mn+mp+np）=3×192=576=242所以s≥24．s的最小值是24．事实上，当这24个点平分为3组，每组8个点，按题设规则用线段连接，恰可以连出8×8+8×8+8×8=3×64=192条线段．因此平面上至少有24个点．- 11 -。

八年级数学竞赛题（01）及答案一、选择题（共25小题）1、已知a，b，c，d是互不相等的正整数，且abcd=441，那么a+b+c+d的值是（）A、30B、32C、31D、362、已知实数m满足|2009﹣m︳+=m，那么m﹣20092=（）A、2008B、2009C、2010D、20073、若单项式﹣2a|x|b|4x|和32ab3﹣x的相同字母的指数相同，则x的整数值等于（）A、1B、﹣1C、±1D、±1以外的数4、使不等式|x+2|＞1成立的x的值为（）A、比﹣1大的数B、比﹣3小的数C、大于﹣1或小于﹣3的数D、﹣2以外的数5、已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（）A、等边三角形B、腰长为a的等腰三角形C、底边长为a的等腰三角形D、等腰直角三角形6、，﹣，﹣，﹣这四个数从小到大的排列顺序是（）A、﹣＜﹣＜﹣＜﹣B、﹣＜﹣＜﹣＜﹣C、﹣＜﹣＜﹣＜﹣D、﹣＜﹣＜﹣＜﹣7、已知25x=2000，80y=2000，则等于（）A、2B、1C、D、8、设a+b+c=0，abc＞0，则的值是（）A、﹣3B、1C、3或﹣1D、﹣3或19、三方一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）A、20001999个B、19992000个C、2001000个D、2001999个10、金与银做成的王冠重250克，放在水中减轻16克．已知金在水中轻，银在水中轻．这块王冠中金重（）A、180克B、188克C、190克D、2OO克11、小聪与小明发明了24点新玩法，要制作一正方体骰子，使六个面上写着六个数，而且相对的两个面的乘积都等于24，则以下的展开图中，哪一个是可行的（）A、B、C、D、12、在一次生活中的数学知识竞赛中，共有20道题选择题．评分标准是：答对1题给5分，答错一题扣3分，不打不给分，小明有1道题未答，要使总分才不会低于60分，他至少答对（）A、12道B、13道C、14道D、15道13、若a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，则b与c（）A、互为倒数B、互为负倒数C、互为相反数D、相等14、（2006?天津）已知，则的值等于（）A、6B、﹣6C、D、15、把100块玻璃由甲地运往乙地．按规定，把一块玻璃安全运到，得到运费3元．如果运输途中打碎一块玻璃，则要赔偿5元．在结算时共得运输费260元，则运输途中打碎了（）块玻璃．A、8B、7C、6D、516、下列各对数中，相等的是（）A、﹣32和﹣23B、（﹣3）2和（﹣2）3C、﹣32和（﹣3）2D、﹣23和（﹣2）317、代数式的最小值是（）A、0B、C、D、18、如图，一直尺放在一直角三角板上，则图中∠α与∠β的关系是（）A、α+β=180°B、α﹣β=90°C、α=2βD、α=3β19、实数a，b在数轴上表示的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A、B、C、D、20、代数式的值的大小（）A、只与x的取值有关B、只与y的取值有关C、与x，y的取值都有关D、与x，y的取值都无关21、已知a是正整数，方程组的解满足x＞0，y＜0，则a是（）A、4、5B、5、6C、6、7D、以上都不对22、韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人．问：这队士兵至少有（）人．A、8B、11C、38D、5323、有一个5分钱币，4个二分钱币，8个一分钱币，要取9分钱，有（）取法．A、5B、6C、7D、824、如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）A、2005B、2006C、2007D、200825、边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（）A、4个B、5个C、6个D、7个二、填空题（共5小题）26、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B，C，∠BAD和∠ADC的平分线恰好交在BC边上的E点，AD=8，BE=6，则四边形ABCD的面积为_________．27、已知实数a、b、c满足，则a（b+c）=_________．28、已知a，b，c都是正整数，且abc=2008，则a+b+c的最小值为_________．29、初二某班有49位同学，他们之间的年龄最多相差3岁，若按属相分组，那么人数最多的一组中至少有同学_________位．30、已知n为正整数，若是一个既约分数，那么这个分数的值等于_________．答案与评分标准一、选择题（共25小题）1、已知a，b，c，d是互不相等的正整数，且abcd=441，那么a+b+c+d的值是（）A、30B、32C、31D、36考点：质因数分解。

2009年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题（竞赛时间：2009年3月6日下午4：00—5：00）一、选择题（每小题3分，共60分） 1．计算200920091(1)+-的结果是（ ） A ．0 B ．2 C ． 2 D ．40182．如图1是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在正方体的表面与“青”相对应的面上的汉字是（ ） A ．庆 B ．山 C ． 水 D ．秀 3．下列说法正确的是（ ）A ．1的平方根是1B ．0的算术平方根是0C ．－1的平方根是－1D ．2(1)-的平方根是－1 4．若0,0,a b a b >><且，则下列式子中成立的是（ ） A ．22a b ab > B ．1a b > C ．ab a b >+ D ．11a b> 5．如图2，能使AB ∥CD 的条件是（ ） A ．∠B=∠D B ．∠D+∠B=90° C ． ∠B+∠D+∠E=180° D ．∠B+∠D=∠E 6．若方程组212x y x y m+=⎧⎨-=⎩中，x y 、的值都不大于1，则m 的取值范围是（ ）A ．31m -<<B ．31m -≤<C ．31m -<≤D ．31m -≤≤ 7．若∠1和∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（ ） A ．112∠ B ．122∠ C ．1(12)2∠+∠ D ．1(12)2∠-∠8．计算：323224(5)(5)(6)x y z xy x y -÷⨯=（ ） A ．4252x y z B ．5262x y z C ．5265x y z D ．93630x y z 9．如图3，在等边△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 上的一点（不是中点），且AD=BE=CF ，则图中全等三角形的组数为（ ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组10．已知关于x 的方程(38)70a b x ++=无解，则ab 的值是（ ）A ． 正数B ． 非正数C ． 负数D ． 非负数11．平面内有4条相交直线，它们的交点最多有m 个，最少有n 个，则m －n=（ ） A ．7 B ．5 C ．4 D ．3 12．－27 ）A ．0B ．－6C ．0或－6 D ．6（图1）秀青水山庆肇（图2）EDCBA（图3）C13．已知点(2 2)M a b a b +-，与点(12 21)N b a b ----，关于x 轴对称，则a 的值是（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．014．已知ABC 的三边满足2220a b c ab bc ac ++---=，则这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 15已知227 1033x y xy x y +==+=，，则（ ） A ．207 B ．147 C ．117 D ．8716．如图4，已知ABC 中，AD 为BC 边上的中线，且AB=4cm ， AC=3cm ，则AD 的取值范围是（ ）A ．3＜AD ＜4B ．1＜AD ＜7C ．1722AD << D ．1733AD << 17．若a b c 、、为整数，且200920091a b c ac a a b c b -+-=-+-+-，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 18．已知532422y xy x ab b a +-与是同类项，那么x y 、的值是（ ）A ．12x y =-⎧⎨=⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．035x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．30x y =⎧⎨=⎩ 19．比较555444333345、、的大小，正确的是（ ） A ．333555444534<< B ．555333444354<< C ．444555333435<< D ．333444555543<<20．已知2224440 4a b c a b c a b c ++=++=++，，那么的值是（ ） A ．6 B ．8 C ．20 D ．34 二、填空题（每小题2分，共40分）21．已知32120091y ax bx x y x y =++=-===，当时，，则当时， 22．计算：2232313 1.20.3()(3)3-⨯÷--⨯-=23．一个两位数的两个数位上的数字之和为7，若将这两个数字都加上2，则得到的数是原数的2倍少3，则这个两位数是 24．如图5，OM 是∠AOB 的平分线，射线OC 在∠BOM 内部，ON 是∠BOC 的平分线，∠AOC=80°，则∠MON= 度25．因式分解：22224()()x y x y +--=26．不等式组11211246123135x x x x -+⎧-<-⎪⎪⎨+-⎪-≤⎪⎩的解集是27．如图6，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAD=30°，AE=AD ，则∠EDC 的度数是（图4）CB AO（图5）N MC BA（图6）28．计算：2009×20082008－2008×20092009=29．当x =时，取得最小值，这个最小值是30．在一次捐款活动中，八年级3班50名同学人人拿出自己的 零花钱，有捐5元、10元、20元的，还有捐50元和100元的. 图7的统计图反映了不同捐款数的人的比例，那么该班同学平均 每人捐款 元31．对任意有理数a b 、，用四则运算的减法与除法定义一种 新运算“*”：(23)(45)2a ba b -*=***=，则 32．按一定规律排列的一列数依次为：1111112310152635，，，，，，，按此规律排列下去，这列数中的第7个数是 33．如图8，已知DO ⊥AB ，OA=OD ，OB=OC ， 则∠OCE+∠B=34．一批学生划船，若乘大船除1船坐6人外，其余每船均坐17人； 若乘小船，则除1船坐2人外，其余每船均坐10人，如果学生人数超过100人，不到200人，那么学生人数是35．已知点A （3，5）和B （1，－3），点P 是y 轴上一动点，当PA+PB 的值最小时，点P 的坐标是36．x 是实数，若2345610 x x x x x x +++++==，37．周长为30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个38．已知点(39 1)P a a --，是第三象限的整数点，则P 的坐标是 39．一次函数(23)2y a x a =-++的图象，在－2≤x ≤1的一段都在x 轴上方，则a 的取值 范围是40．若实数a b c 、、满足222432a b c ab b c +++≤++，则2009a b c ++=2009年肇庆市八年级数学竞赛（初赛）试题参考答案一、选择题（图7）O（图8）ED CBA二、填空题21．－2005 22．－477 23．25 24．40 25．2()(2)(2)x y x y x y ++--+ 26．－1≤x<1 27．15° 28．0 29．45-, 0 30．29.4 31．0 32．15033．180 34．142 35．(0, －1) 36．1 37．6 38．(－3,－1) 39．1833a <<。

第1讲有理数和数轴知识方法扫描1. 正数和负数自然界有许多具有相反意义的量，如上升与下降，向东与向西、盈余与亏损等都可以用正负数来表示．如+5，+78，+2.4等带有正号的数叫正数；正号通常可以省略。

如-65，-78，-92.4等带有负号的数叫负数；“0”既不是正数，也不是负数，2．有理数的分类（1）⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数（2）⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数3. 数轴规定了原点、正方向、长度单位的有向直线叫做数轴建立了数轴后，就可以用数轴上的点表示有理数，原点表示的数是0，正有理数用原点右边的点表示，负有理数用原点左边的点表示，所有的有理数都可在数轴上找到对应的点.数轴上的两个有理数中，右边的数总比左边的数大，因此有理数大小比较的规律是：正数大于0，零大于一切负数，负数小于零，正数大于一切负数. 4．相反数只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，0的相反数是0. 互为相反数的和为0，在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.经典例题解析例1（1996年第7届“希望杯”数学邀请赛试题）若a、b互为相反数，c,d互为负倒数, 则(a+b)1996+(cd)323=______解因a、b互为相反数，故a+b=0；因c,d互为负倒数，故cd = -1，于是(a+b)1996+(cd)323 = 01996+(-1)323 = -1评注互为相反数的两数和为0，互为倒数的两数积为1，互为负倒数的两数积为-1，解答此类问题要注意从整体考虑。

例2 （2000年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题）三个互不相等的数，可以表示成1，a+b，a的形式，也可以表示成0，ba，b的形式，那么a+3b=解 由题意知，a 与a+b 中必有一个等于0，b 与b a 中必有一个等于1， 但显然a ≠0，故a+b =0，从而b a=－1，于是b =1，这样就有a =－1， ∴a +3b =2。

20####市八年级数学竞赛〔决赛〕试题1.若四个有理数a b c d 、、、满足11112006200720082009a b c d ===-+-+,则 a b c d 、、、的大小关系是〔 〕A ．>>>a c b dB ．b d a c >>>C ．c a b d >>>D ．d b a c >>>2、如图1,已知AB ∥EF,∠BAC=p,∠ACD=x,∠CDE=y,∠DEF=q,则用p 、q 、y 来表示x.得〔 〕A ．x=p+y-q+180°B ．x=p+q-y+180°C ．x=p+q+yD ．x=2p+2q-y+90°3、计算22221111(1)(1)(1)(1)23910----=〔 〕 A ．1021 B ．1321 C ．920 D ．11204、若22221078 51M N M a b a N a b a =+-+=+++-，，则的值〔 〕 A ．一定是负数 B ．一定是正数 C ．一定不是正数 D ．不能确定5、不等边三角形ABC 的两条高分别是4和12,若第三边上的高也是整数,则这条高最长的可能是A ．4B ．5C ．6D ．76、如果一条直线l 经过不同的三点(,),(,),(,)A a b B b a C a b b a --,则直线l 经过〔 〕A ．第二、四象限B ．第一、二象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限 7、方程200920092009x -=的解是.8、如图2,AB 、CD 相交于E,CF 、BF 分别是∠ACD 和∠ABD 的（图1）AF A平分线,它们相交于点F,若∠A+∠D=130°,则∠F=度.9、一个自然数n 的所有数字之和记为S 〔n 〕,若n+S 〔n 〕=2009,则n=.10、某校参加数学竞赛有120名男生,80名女生,参加英语竞赛有120名女生,80名男生,已知该校总共有260名学生参加竞赛,其中75名男生都参加了,则参加数学竞赛而没有参加英语竞赛的女生有人.11、如图3,C 、D 是线段AB 上两点,已知图中所有线段的长度都是正整数,且总和为29,则线段AB 的长度是.12、若2222007 2008 200924,a x b x c x abc +=+=+==，，，且 则111a b c bc ac ab a b c++---的值为. 13、已知a b c 、、为三个非负数,且满足325 231a b c a b c ++=+-=，.⑴求c 的取值范围；⑵设37S a b c =+-,求S 的最大值和最小值.14、如图4,AD 是△ABC 的角平分线,且∠B=∠ADB,过点C 作AD 的延长线的垂线,垂足为M.⑴若DCM BAD αα∠=∠，试用表示； ⑵求证：AB+AC=2AM15、已知正整数a b c 、、满足 .a b c ab bc ca abc <<++=，且求所有符合条件的a b c 、、.20####市八年级数学竞赛〔决赛〕试题DC BA（图3）CB7、120,2x x == 8、65° 9、1990 10、25 11、9 12、18三、解：<1>{3a+2b+c=5,2a+b-3c=1} a=7c －3,b=7－11c;而a ≥0、b ≥0,故有{7c －3≥0,7－11c ≥0} 711c ≤≤。

2007年肇庆市八年级数学竞赛（决赛）试题 有详细解析（竞赛时间：2007年4月1日上午9：30～11：30）一、选择题（每小题5分，共30分） 1．如果1233121231231t t t t t t t t t t t t ++=-，则的值为（ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）±1 （D ）不确定 1、解：由“0>a 时1||=a a ，0<a 时1||-=a a”并结合1||||||332211-=++t t t t t t 得“1t 、2t 、3t ”这三个数“一个正数两个负数”，所以乘积是负数，进而1||321321-=t t t t t t ，选B2．已知2110 x x x x-<<，则，，的大小关系是（ ）（A ）21x x x << （B ）21x x x<< （C ）21x x x << （D ）21x x x<<2、解：本题是选择题，不妨设5.0-=x ，选B3．在平面直角坐标系内，已知点A （2，2），B （2，－3），点P 在y 轴上，且△APB 为直角三角形，则点P 的个数为（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）53、解：（1）通过A 点向y 轴作垂线，垂足G （0，2）满足要求。

同理，H （0，－3）也满足要求。

（2）设线段GH 上的点P （0，b ）也满足要求，此时以AB 为斜边。

根据勾股定理，22222)2(2b GP AG AP -+=+=，22222)3(2b HP BH BP --+=+=而AB 是斜边，222AB BP AP =+,222225])3(2[])2(2[=--++-+b b ,022=-+b b0)1)(2(=-+b b ，则2-=b 或1=b ，所以（0，－2）（0，1）也满足要求。

选C4．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图。

2009年初中数学（初二组）初赛试卷 01一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、下列名人中：①比尔·盖茨 ②高斯 ③袁隆平 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥华罗庚 ⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ）A ．①④⑦ B.③④⑧ C.②⑥⑧ D.②⑤⑥ 2、已知111,,bc a a b c a b c +=+=+≠≠则a 2b 2c 2=( )A.5B.3.5C.1D.0.53、在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点。

设k 为整数，当直线2y x =-与y kx k =+的交点为整点时，k 的值可以取（ ）A ．4个 B.5个 C.6个 D.7个4、如图，边长为1的正方形ABCD 绕A 逆时针旋转300到正方形AB ‘C ’D ‘，图中阴影部分的面积为（ ）A.11 D.125、已知()421M p p q =+，其中,p q 为质数，且满足29q p -=，则M =（ ） A.2009 B.2005 C.2003 D.2000（第6题图）6、四边形ABCD 中0060,90,DAB B D ∠=∠=∠=1,2BC CD ==,则对角线AC 的长为（ ）二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、 如果有2009名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、 1的规律报数，那么第2009名学生所报的数是 。

2、已知,,a b c 满足2224222a b a c ac -+++=+，则a b c -+的值为______3、已知如图，在矩形ABCD 中，AE BD ⊥，垂足为E ，030ADB ∠=且BC =，则ECD 的面积为_____（第3题图） （第4题图）4、有一等腰钝角三角形纸片，若能从一个顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则等腰三角形纸片的顶角为_______度。

三、简答题（本大题满分20分）1.如图，直线OB 是一次函数2y x =-的图象，点A 的坐标为，在直线上找点， 使得ACO 为等腰三角形，点C 坐标。