2012高等数学B(下)期中试卷

-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值.3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数；C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4.设220()(),0x x f x x g x x ⎧>=≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在 0x =处（ D ）. A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导. 5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分）1.求极限0x →解：（方法一）200sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x→→==-；（方法二）001lim 11cos x x x →→==-； （方法三）洛比达法则001sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x x x xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dy dy t dt t dx dx dt t +===+++； 22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d y t dx ==.本页满分10分本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →. 解：（方法一）2211cos 1cos 100lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+- 20cos 11lim 2x x x e e →--==； （方法二）22222111sin 1222sin 2200lim(cos )lim (cos )lim(1sin )xx x x xx x x x x x e ---→→∞→==-=； （方法三）洛比达法则sin 2cos 220111ln(cos )lim 200lim(cos )lim x x x x x x x x x x e e e -→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又000()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==， 本页满分16分 本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim 1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--， 故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率.解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--， 又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h x r R h-=， 可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dx h x dt dt hπ=-， 由已知条件25dV dt =，2h x =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根.解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则 1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a =，列表如下： x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x ' + 0 — 本页满分16分本页得分()f x 最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下： （1） 当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根； （2） 当10a e <<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞； ln lim ()lim ()x x x f x x a x→+∞→+∞=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内； 当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根. 五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分本页2．证明：当0>x 时，x x x x <+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx <+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性. 得分。

2012学年第二学期11（秋）级期末数学试卷班级： 姓名：一．选择题：（每小题3分，共30分）1. 下列四个关系式中正确的是 （ ） A ．∅ ∈{}a B.a ⊂≠ {}a C. {}a ∈{}b a , D. a ∈{}b a , 2．0,0.>>b a 是0>ab 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设集合A={(x,y)| x +y=2} ,B = {(x,y)| x -y=4} ,则集合A ∩B = （ ）A ．x=3，y=-1B ．（3,-1）C ．{(3,-1)}D ．{3,-1}4．若c b a >>，则下列不等式正确的是 （ ） A ．bc ab >B ．bc ac >C ．bc ab >D.c b c a ->-5.若0,0>>b a ，且1=+b a ，则ab 有 （ ） A.最小值41B.最大值41 C. .最小值21 D.最大值21 6．周长为4的长方形中，其面积最大为 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．47. 下列不等式中，解集为实数集的是（ ） A ．012>++x xB ．02>xC ．xx 212<- D ． 0>x 8．下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．1)(,)1()(0=-=x g x x f B ．2)(,)(x x g x x f == C ．33)(,)(x x g x x f == D. 22)1()(,)(+==x x g x x f9.函数)5.61,(3≤≤∈=x N x x y 的图像是（ ） A ．直线B ．射线C ．线段D ．离散的点10.函数2)1(22+--=x a x y 在（4,∞-]上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（3,-∞-]B[ -3,)∞+ C . [ 5)∞+ D ．（5,-∞-]二．填空题：（每空3分，共30分）11.集合 { x ∈N | -2<x<3 },用列举法表示 。

南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷 一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰ _____.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰= _________.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为_______.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为________.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为__________.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ ）（A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（ ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。

5.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的三个线性无关的解，则0y py qy '''++=的通解为 （ ）（A ）1122C y C y +； （B ）1223C y C y +；（C ）1122C y C y +33C y +；（D ）1122C y C y +123()C C y -+.三、计算题(共24分，每小题8分)1、设arctan x yz x y +=-，求z x ∂∂和2z x y ∂∂∂.2、判断级数1313n n n ∞=-∑的敛散性.3、求微分方程71212y y y x '''-+=的通解 四、解答题（一）(共24分，每小题8分) 1、设方程(,)0f xz yz =可确定z 是,x y 的函数，且(,)f u v 具有连续偏导数，求dz .2、计算曲线积分22(sin 2)()L x y dx x y dy --+⎰，其中L 为由点(0,2)A 到(0,0)O 的左半圆周222x y y +=.3、求级数12nn n x n ∞=⋅∑的收敛域与和函数.五、解答题（二）(共16分，每小题8分)1、求椭球面2222349x y z ++=上点（1，1，1 ） 处的切平面方程和法线方程.2、利用高斯公式计算曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑+++++⎰⎰,其中∑为平面0,0,0,1,1,1x y z x y z ====== 所围成的立体的表面的外侧.六、证明题(本题满分6分)设数列{}n a 单调减少，0n a >（1,2,n =）且1(1)nn n a ∞=-∑发散，证明11()1nn n a ∞=+∑收敛.南昌大学 2012～2013学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设:020202x y z Ω≤≤≤≤≤≤，，，则三重积分xyzdV Ω=⎰⎰⎰8.2. 交换二次积分的顺序2 22 0(,)yy dy f x y dx ⎰⎰=()402,dx f x y dy ⎰⎰.3. 函数22(,)4()f x y x y x y =---的极大值为8.4. 将1()6f x x =-展开成x 的幂级数为()10666n n n x x ∞+=-<<∑.5. 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离为.二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 函数xy x yz +=arcsin 的定义域是（ C ）（A ）{}0,|),(≠≤x y x y x ；（B ）{}0,|),(≠≥x y x y x ；（C ）{}(,)|0,0x y x y x ≥≥≠{}0,0|),(≠≤≤x y x y x ； （D ）{}{}0,0|),(0,0|),(<<>>y x y x y x y x .2.设∑为由曲面22y x z +=及平面1=z所围成的立体的表面，则曲面积分22()x y dS ∑+⎰⎰= （ B ） （A ）π22； （B ）π221+； （C ）2π； （D ）0.3.级数∑∞=+111n p n 发散，则（A ）（A ）0≤p ；（B ）0>p ；（C ）1≤p ；（D ）1<p .4.设函数222222,0(,)0,0xyx y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩,则在点（0，0）处 （ C ）（A ）连续且偏导数存在； （B ）连续但偏导数不存在； （C ）不连续但偏导数存在； （D ）不连续且偏导数不存在。

答案一、1、n n )1(1-+2、35.3、1e .4、0.5、1x . 注：答为1||x 不给分6、sin x .7、 arctan x C +.注：答为arctan x 扣1分8、2.9、2-.10、()()f b f a b a--.二、 ＡC C B D A 三、 1、解：00x x →→= (2分) 012x →==. (6分)2、解：211212lim lim 111x x x xx x x x x --→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+ ⎪ ⎪⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦(4分)2e = (6分)3、解：原式=xx x xx x x x cos sin lim 1)sin 1(cot 1lim 020++→→-=-⋅ (3分) 1cos 1lim sin lim 00-=⋅-=++→→xx x x x ．(6分) 4、解：设22212111nn n n x n ++++++=，(1分)则，≤n xn y nnn==+++1111222； (2分) ≥n xn z nnn n nn nn nn =+=+=++++++/1111112222，(3分)因为1lim lim ==∞→∞→n n n n z y ，(4分)由夹逼定理112111lim 222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n . (6分) 四、1、解：cos(1)(1)sin(1)x dy dx x -=-- (4分)cot(1)x dx =--. (6分)2、解：2[ln(1)][arctan ]dy t dx x '+='(2分) 2221/211t t t t==++ .(6分) 3、解：当0, 1.x y ==(1分) 方程y x y e 1+=两边对x 求导，有xy x x y y y d d e e d d +=，(3分) 得d e d 1e yyy x x =-(4分) 所以,x dy e dx==. (5分)因此,所求的切线方程为1y e x =+. (6分)五、解：要使)(x f 在0x =处可导，必须)(x f 在0x =处连续，(1分)而0(0)lim arcsin()0x f ax ++→==；(0)f b =.(2分)由(0)(0)f f +=，有0b =. (3分) 又 000()(0)arcsin()(0)lim lim lim 0x x x f x f a x a xf a x x x++++→→→-'====-，(4分) 200()(0)2(0)lim lim 20x x f x f x xf x x---→→-+'===-.(5分)由)(x f 在0x =处可导，有(0)(0)f f -+''=(6分), 得2a =.(7分) 故当0,2a b ==时，函数)(x f 在0x =处可导. (8分)六、证明：(1) 令()()1g x f x x =+-, (1分)则()g x 在[0,1]上连续, (2分)又(0)10g =-<，(1)10g =>(3分)，由零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使得()()10g f ξξξ=+-=(5分), 即()1f ξξ=-.(6分)(2) 分别在[0,]ξ和[,1]ξ上应用拉格朗日中值定理 (7分),存在(0,)a ξ∈,(,1)b ξ∈使得()(0)1()f f f a ξξξξ--'==, (9分)(1)()1(1)()111f f f b ξξξξξξ---'===---, (11分) 因此()()1f a f b ''=. (12分)附加题、证明：令()[()()][()()]F x f a f x g x g b =--.(2分)因为()F x 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，且()()0F a F b ==,(3分) 由罗尔定理, 存在一点(),a b ξ∈,使得()0F ξ'=. (5分)由于()[()()]()[()()]()F x f a f x g x g x g b f x '''=-⋅--⋅, (6分) 所以()[()()]()[()()]()0F f a f g g g b f ξξξξξ'''=-⋅--⋅=,(8分)整理,得()()()()()()f a f fg g b g ξξξξ'-='-.(10分)。

高等数学期中考试试卷一 .填空题（每小题3分，共15分）1.二元函数 ln()z y x =-+的定义域是 .2. 曲线22280y z x ⎧+=⎨=⎩绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面方程是 。

3.(,)limx y →= 。

4. 已知(,)arctan()yf x y xe =，则全微分df = 。

5. 把二次积分221()xy I dy dx +=⎰转化为极坐标形式 .二.单项选择题（每小题3分，共15分）1. 直线412141x y z -++==--与直线158221x y z --+==-的夹角为（ ） A. 6π B.4π C.3π D.2π2. 若函数(,)z f x y =在点(,)x y 处连续，则在该点处函数(,)z f x y =( ) A.有极限 B. 偏导数存在 C.可微 D. A,B,C 都不正确。

3. 设点()00，是函数(),f x y 的驻点，则函数(),f x y 在()00，处（ ）A . 必有极大值B . 可能有极值，也可能无极值C . 必有极小值D . 必无极值4．设2,1(,)0,1x y f x y x y +≤⎧=⎨+>⎩，{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰的值为（ ）．A ．1B ．12C ．13D ．165．若(,)f x y 连续，且(,)(,)Df x y xy f u v dudv =+⎰⎰，其中D 是由2y x=，0y =和1x =所围成的闭区域，则(,)f x y =（ ）A xyB 18xy +C 2xyD 1xy + 三．计算题（每题10分，共50 分）1. 已知平面π过点0(1,0,1)M -和直线211:201x y z L ---==，求平面π的方程。

2. 设z =，求dz3. 设(,)z f x y xy =-，f 具有二阶连续的偏导数，求2zx y∂∂∂4．设(,,)u f x y z =具有连续的偏导数，函数()y y x =与()z z x =分别由方程0xy e y -=和0z e zx -=所确定，求du dx5. 计算二重积分224d d Dx y x y --⎰⎰，其中22{(,)|9}D x y x y =+≤四、设某工厂生产A 和B 两种产品同时在市场销售，售价分别为1p 和2p ，需求函数分别为11221240225q p p q p p =-=+-+，假设企业生产两种产品的成本为221122C q q q q =++，工厂如何确定两种产品的售价时日利润最大？最大日利润为多少？（10分）五、证明题. （共10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，证明：211()()()y x dy f x dx e e f x dx =-⎰⎰⎰期中考试题参考答案一、1.()22{,0,0,1}x y y x x x y ->≥+<； 2. 22228x y z ++=； 3. 2；4.22()1y y e dx xdy x e++； 5.21200r d e rdr πθ⋅⎰⎰ 二、1. B ； 2. D ； 3. B ； 4. A ； 5. B.三、1.【解】设平面π的一般方程为0Ax By Cz D +++=，由题意知，π过点0(1,0,1)M -，故有0A C D -+= （1） 在已知直线上选取两点12(2,1,1)(4,1,2)M M ，，将其坐标代入平面方程，得 20A B C D +++= （2） 420A B C D +++= （3） 由（1）（2）（3）式解得 3,2,3B A C A D A ==-=- 所以平面的方程为3230x y z +--=2．【解】2222222211()2x y dz d d x y dx dy x y x y x y==⋅⋅+=++++ 3．【解】令,u x y v xy =-=，则(,)z f u v =，1u x ∂=∂，vy x∂=∂，1u y ∂=-∂，v x y ∂=∂。

2012年第二学期期中考试试题卷学科：高二数学（文科） 满分：100分 考试时间：90分钟考试须知：1．本卷共4页；2．本卷答案必须做在答案卷上，做在试题上无效； 3．答题前请在答题卷密封线内填好相关栏目； 4．不得使用计算器。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 复数等于（▲）A ．B ．C ．D ．2．设,,l m n 表示不同的直线，αβγ，，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（▲）A ．若m l ，且m α，则l αB ．若m l ，且.m α⊥则l α⊥C ．若,,l m n αββγγα===，则l m nD ．若m l m αβ=且,则l α3．已知，函数在上是单调增函数，则a 的最大值是（▲）A ．0B ．1 C. 2 D ．34．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积为2V ，则12:V V =（▲） A ．1:2 B ．2:1C ．1:1D ．1:45. “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直” 的（▲）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的离心率为2，一个焦点与抛物线x y 162=的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（▲）A ．x y 23±=B ．x y 23±=C ．x y 33±=D ．x y 3±=7.曲线在点处的切线方程是（▲） A ． B ．C ．D ． 8．将正整数排成下表：……则在表中数字2013出现在(▲)A ．第44行第78列B ．第45行第78列C ．第44行第77列D ．第45行第77列9.已知函数满足，且的导函数，则的解集为（▲）A. B. C. D.10．如图是函数的大致图象，则等于（▲）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题有7小题，每小题4分，共28分。

一. 选择题 CBCDD二. 填空题 19210π，9a =12b =，22222()()[2()2()()()]x x fx x f x xe f e e f x f x f e e dx ''+，1y =±三. 计算题1. sin 00sin 1lim .12(1)2x x x x x →→==-⋅- 2.00121ln(sin 2cos )2cos 2sin lim ln(sin cos )lim lim 2sin 2cos 21lim sin cos .x t t t x t t t t x x x x t t t x e e e e x x →∞→→+-++→∞⎛⎫+=== ⎪⎝⎭=令 3. 222000(1cos )(1cos )(0)(1cos )(0)1cos 1lim lim lim (0).tan 1cos 2x x x f x f x f f x f x f x x x x →→→------'==⋅=- 4.设()2()1(1)x f x x e x =--+，()22()211x x f x x e e '=---，()2222()412240,(01)x x x x f x x e e e xe x ''=---=-<<<，故()f x '在[0,1]上单调减少. 01x <<，()(0)0f x f ''<=；则()(0)0.f x f <=即()211.x x e x -<+四．计算题1. 22sec tan sec 1sec tan 11x x x dy dx x x x ⎡⎤+=+⎢++-⎣sec .x dx ⎡⎤=⎢⎣2.方程两端对x 求导，12(1)ln()()(1)y y x y x y y x y'''-=--+--- 上式两端再对x 求导，2(1)[2ln()]y x y y x y'-''+-=-.10,2x y e y -'==-=，，故(0)y e ''=. 3. sin cos tan dy dy dt t t t t dx dx dt t ===--， 22()cos sin tan d dy d y t t t dt dx dx dx dt t -+==- 4. ()()()2111323(1)!2(1)!.2123(1)3(2)n n n n n n n x n n y x x x x x x ++--⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭ 五．应用题 解：过曲线任意点的切线，()4x Y y X x y-=--则距离 2222222414()(,(11,0)41x y L y x y y y x y y =+++=+-≤≤≠-令2422()24(2)0(1)d L y y dy y y -=--=-，得驻点3y =±，由问题的实际意义，距离最小值为驻点处取得，值为3，此时切点坐标为(3±. 六．证明题证明：(1)设()0,()0f a f b ''>> ()()()()lim lim 0x a x a f x f a f x f a x ax a →→-'==>--，由极限的局部保号性，在点a 的右领域内11,()0c a f c ∃>>；()()()()lim lim 0x b x b f x f b f x f b x b x b→→-'==>--，由极限的局部保号性，在点b 的左领域内22,()0c b f c ∃<<；()f x 在区间12[,]c c 上应用零点定理，至少(,)a b ξ∃∈，使()0f ξ=.(2) 因为()()0f a f b ==，()f x 在[],a b 上有二阶导数，()f x 在区间[,]a ξ上应用罗尔定理，至少1(,)a ηξ∃∈，使1()0f η'=； ()f x 在区间[,]b ξ上应用罗尔定理，至少2(,)b ηξ∃∈，使2()0f η'=； ()f x '在区间12[,]ηη上应用罗尔定理，至少(,)a b η∃∈，使()0f η''=.。

辽东南协作体2012——2013年度下学期期中考试高二数学理科试卷（B 卷）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 已知i 是虚数单位，则ii-+11= A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i2．一质点做直线运动，由始点经过ts 后的距离为s=31t 3-6t 2+32t ，则速度为0的时刻是（ ） A ．t=4s B ．t=8s C ．t=4s 与t=8s D ．t=0s 与t=4s3． 已知a=1+7，b=3+5，c=4，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ． a>b>cB ．c >a>bC ．c>b> aD ． b>c >a4．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f ’(x)在(a,b)内的图像如图所示，泽函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)……(n+n)=2n·1·3·5……(2n-1)( n ∈N* ) ”时，从n=k 到n=k+1，给等式的左边需要增乘的代数式是（ ）A ．2k+1B ．1)22)(12(+++k k k C ．11k 2++k D ．13k 2++k6．函数f(x)=(x-3)e x 的单调增区间是（ ）A ．（2，+∞）B ．（0，3）C ．（1，4）D ．（-∞，2） 7．曲线y=sinx 与x 轴在区间[0，π]上所围成的图形面积是（ ）A ．0B ．-2C ．2D ．48．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图像如图所示，则导函数y=f ’(x)可能为（ ）9．曲线y=x e21在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围城三角形的面积为（ ）A ．29 e 2B ．4 e 2C ．2 e 2D ．e 2 10．设f(x),g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x<0时，f ’(x)g(x)+f(x)g ’(x)>0，且g （-3）=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（ ）A ．（-3,0）⋃ （3，+∞）B ．（-3,0）⋃ （0，3）C ．（-∞，-3）⋃ （3，+∞）D ．（-∞，-3）⋃（0，3）11．函数f(x)=x 3-3x 2-9x+3，若函数g(x)=f(x)-m 在x ∈[-2,5]上有3个零点，则m 的取值范围为（ ）A ．[1, 8）B ．（-24,1]C ．[1,8]D ．（-24,8）12．若f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf ’(x)+f(x)≤0，对任意正数a,b,c 若a<b ，则必有（ ）A ．bf(a) ≤af(b)B ．af(b) ≤bf(a)C ．af(a) ≤f(b)D ．bf(b) ≤f(a)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2007-2008年第二学期期中考试高等数学B （下）一、填空与选择（总分40分，每小题5分）1、设))sin sin(sin(),,(z y x z y x f =，则f z = .2、向量4,2==b a b a ,夹角为3π,=⋅-=+=βαβα ,3,32b a b a . 3、xy x z y +=,则dz= . 4、设0),,(=w v u F ，其中函数),,(w v u F 具有连续偏导数，在(1,1,1)处法向量)3,2,1(=n ,则曲面0),,(32=z y x F 在(1,1,1)处的切平面方程为 .5、),(y x f 为连续函数，交换下列累次积分的次序，⎰⎰-x x x dy y x f dx 22202),(= .6、函数⎪⎩⎪⎨⎧+=0),(22y x xy y x f )0,0(),()0,0(),(=≠y x y x 在（0，0）处 .(A)连续且可偏导(B)连续而不可偏导(C)可偏导而不连续(D)不连续不可偏导7、设平面区域D 由1,21,0,0=+=+==y x y x y x 围成，若⎰⎰+=Ddxdy y x I 31)][ln(，⎰⎰+=D dxdy y x I 32)(，⎰⎰+=Ddxdy y x I 33)][sin[(，则1I ，2I ，3I 之间的关系为 。

(A) 1I <2I <3I （B ）3I <2I <1I （C ）1I <3I <2I （D ）3I <1I <2I8、曲线⎩⎨⎧=++=++1632222z y x z y x 在（1,1,1-）处的切线的对称方程为 。

二、计算与证明9、（8分）设),()2(xy x g y x f z +-= ，其中函数)(u f 具有二阶连续导数，函数),(v u g 具有二阶连续偏导数，求：yx z ∂∂∂2。

10、（8分）设可微函数),(y x f z =满足0=∂∂-∂∂yf x x f y ，证明：在变换22,y x x +==ηξ下，上述方程可化为0=∂∂ξf 。

学校 班级 姓名 学号………………………密…………………………………………………封…………………………………………………线…………………………………威宁二中2012-2013学年度第二学期期中考试试卷高二 文科数学考试时间为120分钟，满分为150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上作答．．．．．．．．） 1．若复数(8)z i i =-+在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．i 为虚数单位，则20131i 1i +⎛⎫⎪-⎝⎭=（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-3．设有一个回归方程为2 2.5y x =-，变量x 增加一个单位时，则（ ）.A ．y 平均增加2.5个单位B ．y 平均增加2个单位C ．y 平均减少2.5个单位D ．y 平均减少2个单位4． 两个量y 与x 的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数2R 如下 ，其中拟合效果最好的模型是（ ）A ．模型1的相关指数2R 为0.99 B ．模型2的相关指数2R 为0.88C ．模型3的相关指数2R 为0.50D ．模型4的相关指数2R 为0.20 (第5题图)5．如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直接影响“计划” 要素有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）． A ．4i + B ．24i + C ．82i + D ．48i +7．有一段演绎推理：“因为对数函数log a y x =是减函数；已知2log y x =是对数函数，所以2log y x =是减函数”，结论显然是错误的，这是因为（ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误8．下列表述正确的是 （ ）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。

2011—2012学年第二学期《高等数学(2-2)》期中试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年4月15日页号一二三四五六总分本页满分24 13 14 14 18 17本页得分阅卷人注意事项1.请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2.答题时请注意书写清楚，保持卷面整洁；3.本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4.本试卷正文共6页。

一、填空题（每空3分，共计18分）1. 设||3a =，||1b =，(,)6a b π∧=，则向量a b +的模为.2. 过曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于2210x y z ++-=，则点P 的坐标为 .3. 函数221(2)z x y =-+在点)21,21(M 处沿曲线2221x y +=在该点的内法线方向n 的方向导数为 .4. 设D 为3y x =及1x =-，1y =所围成的闭区域，则DI xydxdy=⎰⎰ .5.1xydx dy y ⎰= .6. 设函数f 具有二阶连续的偏导数，(,)u f xy x y =+，则2ux y ∂∂∂等于 .二、选择题（每小题3分，共计12分)1. (,)z f x y =在点00(,)x y 处可微是该函数在点00(,)x y 处连续的（ ） （A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件； （C ）充分必要条件； （D ）既非充分也非必要条件.2. 若,20,10:;22,11:21≤≤≤≤≤≤-≤≤-y x D y x D 则⎰⎰+=D d y xI 131221)sin(σ与⎰⎰+=D d y xI 231222)sin(σ之间的关系是（ ）．21)(I I A =； 212)(I I B ≤； 214)(I I C =； 218)(I I D =．3. 设(,)z z x y =由方程22()y z xf y z +=-确定，f 可微， 则z z x z x y ∂∂+=∂∂（ ）（A ）x ； （B ）y ； （C ）z ； （D ）1．4. 函数zxy u =，x u∂∂等于（ ）．(A) zzxy ； (B) 1-z xy ； (C) 1-z y ； (D) z y ．三、计算题（每题7分，共计35分）1. 求与已知平面2250x y z +++=平行且与三个坐标平面所围成的四面体的体积为1的平面的方程.2.计算二重积分dxdyyxD⎰⎰-2)(，其中D为221 x y+≤.3.计算二次积分112111224y yx xydy e dx dy e dx+⎰⎰⎰.4. 设(,)x y u f y z =,求du .5. 求区域Ω的体积V ，其中Ω是由半球面z =及旋转抛物面222x y az +=所围成)0(>a .四、解答题（每题9分，共计27分）1. 求曲线22222,220z x y x y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程与法平面方程.2. 求两曲面22x y z +=，1x y z ++=交线上的点到坐标原点的最长与最短距离.3.设()f u 连续且(0)0f =，区域Ω由0z h ≤≤，222x y t +≤围成，设222()[()]F t z f x y dVΩ=++⎰⎰⎰，求dF dt 及20()lim t F t t →.五、证明题（8分）设()f t 为连续函数，试证明：()()(||)aa Df x y dxdy f t a t dt--=-⎰⎰⎰，其中D 为矩形域：||,||22a a x y ≤≤，常数0a >.答案一、填空题（每空3分，共计18分） 1.；2. (1,1,2)；3.；4. 0；5. 1sin1-；6. '''''''1111222()f xyf f x y f ++++ 二、选择题（每小题3分，共计12分) 1.（ B ）；2.（ C ）；3.（ B ）；4.（ D ）． 三、计算题（每题7分，共计35分）1. 求与已知平面2250x y z +++=平行且与三个坐标平面所围成的四面体的体积为1的平面的方程. 解：由于所求平面与已知平面2250x y z +++=平行，故设该平面方程为220x y z D +++=；又所求平面与坐标平面所围四面体的体积为1，即1||||||1622D D D ⨯⨯⨯=，得D =±所求平面方程为220x y z ++±=. 2. 计算二重积分dxdy y x D ⎰⎰-2)(，其中D 为221x y +≤.解：222()2x y x xy y -=-+，又积分区域D 关于x 轴对称，2xy 关于y 为奇 函数，利用对称性，则20Dxydxdy =⎰⎰，故222()()DDx y dxdy x y dxdy -=+⎰⎰⎰⎰，在极坐标系下，D 可表示为：02,01,r θπ≤≤⎧⎨≤≤⎩21223()2Dx y dxdy d r dr ππθ+==⎰⎰⎰⎰.3.计算二次积分112111224y y xx ydy e dx dy e dx+⎰⎰⎰.解：根据二次积分的形式，可得积分区域D 如图所示，将D 看成X 型域，则D 可表示为211,2,x x y x ⎧≤≤⎪⎨⎪≤≤⎩即有21111223()82y y xx xxxDe e dxdy dx e dy x e e dx ==-=-⎰⎰⎰⎰⎰.4. 设(,)x y u f y z =,求du . 解：（方法一）：'11u f x y ∂=∂，''1221u x f f yy z ∂=-+∂，'22u y f z z ∂=-∂，则 ''''11222211()x ydu f dx f f dy f dzy y z z =+-+-. （方法二）：利用全微分形式不变性，得''''121222''''112222()()11().x y ydx xdy zdy ydz du f d f d f f y z y z x yf dx f f dy f dz y y z z --=+=+=+-+-5. 求区域Ω的体积V ，其中Ω是由半球面z =抛物面222x y az +=所围成)0(>a . 解：（方法一）利用二重积分半球面与旋转曲面交线为222z x y az ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，即2222x y a z a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则Ω在xoy 面上的投影域为222:2D x y a +≤，所求体积22)2D x y Vdxdya +=⎰⎰，利用极坐标系，22305)2)26r V d rdr a a πθπ==⎰.（方法二）利用三重积分与柱面坐标系，22300252)6r aV dV d a πθπΩ===⎰⎰⎰⎰⎰.四、解答题（每题9分，共计27分）1. 求曲线22222,220z x y x y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩在点(1,1,2)处的切线方程与法平面方程. 解：（方法一）：曲线方程22222,220z x y x y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩可化简为222,2x y z ⎧+=⎪⎨=⎪⎩易知其参数方程为,,2x t y t z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩在点(1,1,2)处，对应的4t π=，该点处的切向量为4(,0)|(1,1,0)(1,1,0)t t t π==-=--，故所求切线方程为112110x y z ---==-；法平面方程为0x y -=. （方法二）：利用方程组确定的隐函数求导，方程组22222,220z x y x y z ⎧=+⎪⎨+-=⎪⎩两边对x 求导，得22,4420dzdy x y dx dx dy dz x y z dx dx ⎧=+⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩即22,22dy dz y x dx dxdy dz y z xdx dx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得,0dy x dx y dz dx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故在点(1,1,2)处，切向量为(1,1,0)-，以下同上（方法一）.2. 求两曲面22x y z +=，1x y z ++=交线上的点到坐标原点的最长与最短距离.解：假设所求点为(,,)x y z ，为方便起见考察函数222x y z ++在条件22x y z +=，1x y z ++=下的最大值和最小值. 构造拉格朗日函数222221212(,,,,)()(1)F x y z x y z x y z x y z λλλλ=++++-+++-，解方程组1212122212220,220,20,0,10Fx xxFy yyFzzFx y zFx y zλλλλλλλλ⎧∂=++=⎪∂⎪∂⎪=++=⎪∂⎪∂⎪=-+=⎨∂⎪∂⎪=+-=⎪∂⎪∂⎪=++-=⎪∂⎩由前两个方程得x y=，代入后两个方程得22,12z xz x⎧=⎪⎨=-⎪⎩解得1,232x y z-±===，记111(22M-+-+-，211(,22M----+，.3.设()f u连续且(0)0f=，区域Ω由0z h≤≤，222x y t+≤围成，设222()[()]F t z f x y dVΩ=++⎰⎰⎰，求dFdt及2()limtF tt→.解：在柱面坐标系下Ω可表示为：02,0,r tz hθπ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则222322220000()[()][()]2[()]3t h tF t z f x y dVrhd dr z f r rdz f r rh drπθπΩ=++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，故322[()]3dF ht f t hdtπ=+，32320002[()]()()3lim lim lim[(0)]223t t tht f t hF t F t hf ht ttππ→→→+'===+，由条件(0)0f=，求得32()lim3tF t htπ→=.五、证明题（8分）证明：将二重积分化为二次积分得，2222()()a a a a Df x y dxdy dx f x y dy---=-⎰⎰⎰⎰，令x y t -=，则22222222()()a aa ax a a a ax dx f x y dy dx f t dt+-----=⎰⎰⎰⎰，交换积分次序得22022()()()()()()()()(||).aat aaa a t Daa a af x y dxdy f t dt dx f t dt dx f t a t dt f t a t dtf t a t dt +------=+=++-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰。

卷号：（A ） （ 年 月 日） 机密学年第2学期2010级计算机专业《高等数学》期中考试试卷A 卷一、选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 1.下列方程所示曲面是双叶旋转双曲面的是( )(A) 1222=++z y x (B) z y x 422=+(C) 14222=+-z y x (D) 1164222-=-+z y x 2.二元函数 222214y x y x z +++=arcsin ln的定义域是( )(A) 4122≤+≤y x (B) 4122≤+<y x (C) 4122<+≤y x (D) 4122<+<y x3.已知),(y x f 在点),(00y x 处连续,且两个偏导数),(00y x f x ,),(00y x f y 存在是),(y x f 在 该点可微的( )(A) 充分条件,但不是必要条件; (B) 必要条件,但不是充分条件;(C) 充分必要条件 ; (D) 既不是充分条件,也不是必要条件. 4. 下列直线中平行xOy 坐标面的是________ ．（A ）．233211+=+=-z y x ； （B ）．⎩⎨⎧=--=--04044z x y x ； （C ）．10101zy x =-=+； （D ）．3221=+=+=z t y t x ，，． 5.函数z y x u sin sin sin =满足),,(0002>>>=++z y x z y x π的条件极值是( )(A) 1 ; (B) 0 ; (C) 61 ; (D) 81 . 二、填空题（本大题共10个填空题，每空3分，共30分）1.已知52==||,||b a 且,),(3π=∠b a则_______)()(=+⋅-b a b a 32.2.通过曲线⎩⎨⎧=-+=++0562222222y z x z y x ,且母线平行于y 轴的柱面方程是_________________. 3.若),ln(222z y x u ++=则._________________=du4. 已知球面的一直径的两个端点为()532，，-和()314-，，，则该球面的方程为______________________________．.5. 函数2223u x y z z =++-在点()01,1,2M -的梯度为___________及沿梯度方向上函数的方向导数为_________.6．设二元函数y x xy z 32+=，则=∂∂∂yx z2_______________． 7．设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 00 , ),(2222222y x y x y x y x y x f ,求),(y x f x =___________________________.8.xy y x y x +→)2,1(),(lim=___________.y xy y x )tan(lim )0,2(),(→=___________.三、解下列微分方程（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 1．给定一阶微分方程dydx= 3x （1）求它的通解；（2）求过点（2，5）的特解；（3）求出与直线y = 2x – 1 相切的曲线方程。

2012学年第二学期高一数学三校联考期中试卷试卷说明：1. 本套试卷测试时间为90分钟，满分100分.2. 本卷的解答请一律写在答题纸上，写在试题卷上的解答一律不作为评分依据.3. 除非试题中有特别说明，本卷试题的答案一律须采用精确值表示结果.一、填空题（本题满分36分）本大题共有12小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律不给分.1. 与角2013终边相同的最小正角是_____________.2. 若扇形面积为28cm ，圆心角为2，则该扇形的半径为__________cm .3. 已知m =-)22013sin(θπ（11m -<<），则cos θ=___________. 4. 已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且31)tan(-=-θπ，则sin θ= . 5. 方程2221log (2)log (108)x x +-=+的解=x __________________.6. 若sin α=，则=+αα22csc sec ____________. 7. 已知函数2()log f x x =，若12()()2f x f x -=，则3312()()f x f x -=____________. 8. 若2tan =α，则αααα22cos sin cos sin -的值为____________________.9. 在△ABC 中，若︒=∠120A ，3AB =且4ABC S ∆=，则BC =____________. 10．已知集合{}|lg(1)0A x x =-≤，{}cos |21xB x =≤，则A B = .11．若ABC ∆的三个内角分别为A 、B 、C ，且关于x 的方程02cos cos cos 22=--CB A x x 有一根为1，则ABC ∆的形状是_______________. 12． 已知α、β均为锐角，试写出使得等式)sin(cos cos 22βαβα+=+ 成立的α、β的值 （写出一组即可）.二、选择题（本题满分12分）本大题共有4小题，每小题有且仅有一个正确的选项，每题选对得3分，选错或不选均不得分.13．若0sin >θ且0cos <θ，则θ是 ………………………………………（ ）A ．第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 14．在△ABC 中，“30A >︒”是“21sin >A ”的 ……………………… （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分也非必要条件. 15．在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将线段OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到线段OQ ，则点Q 的坐标是 ……………………………………………………（ ） A ．)2,27(- B. )27,2(-- C. )2,27(-- D. )27,2(-16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=4,24140,|log |)(4x x x x x f ，若a 、b 、c 的值互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是 ……………………………… （ ）A ．)4,1( B ．)5,2( C ．)6,3( D ．)8,4(三、解答题（本题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17. （本题满分8分）已知02<<-θπ，51cos sin =+θθ，求cos sin θθ-的值.18. （本题满分10分）已知c b a ,,分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边长，且c A b B a 53cos cos =-． （1）求BAtan tan 的值； （2）若060=A ，5=c ，求a 、b ．如图示，在C 城周边已有两条公路21l l 、在O 点处交汇，且它们的夹角为125π.已知km OC )62(+=，OC 与公路1l 的夹角为4π，现规划在公路21l l 、上分别选择B A 、两处为交汇点（异于点O ）直接修建一条公路通过C 城，设.,km y OB km x OA ==（1） 求y 关于x 的函数关系式并指出该函数的定义域；（2） 若规划部门计划把三条公路所围成的三角形地带作为商业用地. 为了尽量少占耕 地，必须使该商业用地的面积最小.请你确定点B A 、的位置，使商业用地OAB ∆的面积S 最小.20. （本题满分10分）“已知ABC ∆的三条边c b a ,,的对角分别为C B A ,,，若87,75≤≤≤≤c a ， 且1cos 9C =，试求ABC ∆面积S 的最大值. ” 对于上述问题给出以下解法：请分析上述解法是否正确. 若正确，试求面积S 取最大值时的b 的值；若不正确，请给出正确的解法.已知x x f 21log )(=，且函数)(x g y n =满足)()2(x nf x g n =-（*N n ∈）．（1）求)(x g y n =的表达式；（2）若方程)2()(21a x g x g +-=有实根，求实数a 的取值范围； （3）设)(2)(x g n n x H =，函数)()()(11x g x H x F +=（b x a ≤≤<0）的值域为]22log ,22[log 4252++a b ，求实数a ，b 的值．。

高等数学（B ）09-10-3期中试卷一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）1．由方程sin()0xyz z π+=确定的隐函数(,)z z x y =在点(1,0,1)处的全微分d z = ；2．曲线22231z x x y =+⎧⎨+=⎩在yOz 平面上的投影曲线为 ； 3．函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数中的系数3b 的值是 ； 4．已知幂级数11(1)n n n a n x ∞-=-∑的收敛域是[1,3]-，则21nn n a x∞=∑的收敛半径是 ；5．设,a b 为非零向量，且满足(3)(75)+⊥-a b a b ，(4)(72)-⊥-a b a b , 则a 和b 的夹角为 ．二．单项选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）6．设直线3210:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩，平面:4220x y z π-+-=，则 [ ]（A ）L 平行于π （B ）L 在π上 （C ）L 与π斜交 （D ）L 垂直于π 7．已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=，则点P 为 [ ] (A)(1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)--8．下列广义积分中收敛的是 [ ] （A ）e21d (1)x x x -⎰（B）e +∞⎰ （C）22x +∞⎰ （D ）1502ln(1)d x x x +⎰ 9．级数1sin d 1nn xx xπ∞=+∑⎰[ ] （A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）无法判断敛散性 三.计算下列各题(本题共5小题，每小题8分，满分40分)10．设2(2,)z f x y xy =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.11．求通过两平面240x y +-=与20y z +=的交线及点0(2,1,1)M --的平面方程.12．求两异面直线110:220x y z L x y z +--=⎧⎨-+-=⎩与2220:2240x y z L x y z +--=⎧⎨+++=⎩之间的距离.13．设e ,e tan ,cos zxx y z x t y t +-===，求0d d t zt=.14．将()14x f x x-=-在01x =点展成幂级数，并给出幂级数的收敛域，再求()(1)n f .四（15）（本题满分9分）将()1(02)f x x x =-≤≤展开为周期为4的余弦级数，并设()S x 为该余弦级数的和函数，求(3)S 和(6)S 的值.五（16）（本题满分9分）求幂级数2(1)(1)nn n nn x ∞=--+∑的和函数，并指明收敛域.六（17）（本题满分6分）设()f x 在0x =的某一邻域具有二阶连续导数，且0()lim 0x f x x →=，试证明：级数11n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭绝对收敛 高等数学（B ）09-10-3期中试卷参考答案及评分标准一、填空[][]3),27()4()57()3(.522-31-)1(.432)()(.301)32(132.2110,1),(0)sin(.11211322222πππππππ的夹角为和则，为非零向量，且满足，设，的收敛域是，则，的收敛域是已知幂级数的值是的傅里叶级数中的系数函数平面上的投影曲线为在曲线）处的全微分，在点（确定的隐函数由方程b a b a b a b a b a b a x a x n a b x x x x f x z y z yO y x x z dydz y x z z z xyz n n n n n n -⊥--⊥+-<<-+=⎩⎨⎧==-+⎩⎨⎧=++====+∑∑∞=∞=-二、单项选择）无法判断敛散性）绝对收敛（）条件收敛（发散（级数）（）是（下列广义积分中收敛的）为（，则点处的切平面平行于平面上点已知曲面垂直于）斜交（与）上（在）（平行于）（），则（：，平面设直线D C B A C dx x xdxx x D dx x x C x x dxB x x dx ACD C B A C P z y x P y x z L D L C L B L A D z y x z y x n n ee )()(1sin .9)1ln()(1sin )(ln )()1(.8)2,1,1)()(2,1,1)()(2,1,1)()(2,1,1)((01224.7022403102012z 3y x L .61021025321222∑⎰⎰⎰⎰⎰∞=∞+∞+++------=-++--=⎩⎨⎧=-+-=+--=+++ππππππ三.计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，满分40分）10.设z=f(2x-y,xy 2),其中f 具有二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2..22)4(2,2222312112221yf f xy yf y x f yx z f y f x z ++-+-=∂∂∂+=∂∂11.求通过两平面2x+y-4=0与y+2z=0的交线及点M 0（2，-1，-1）的平面方程。

2012学年度下学期期中考试数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟）班别： 姓名： 成绩：一、精心选一选(每小题4分，共40分）1．若分式3x -有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．3x = B ．3x ≠ C ．3x > D ．3x <2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A ．2(1)(2)2x x x x +-=-- B ．232344a b a b =⋅ C ．2221(1)x x x -+=-D ．11(1)x x x-=-3．不等式240x ->的最小整数解为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．若分式方程234x x k=-+的解为正数，则k 的取值范围为（ ） A ．6k >-B ．6k <C ．64k k <≠且D ．64k k >-≠-且5．如图，D 、E 分别是 AB 、AC 上两点，CD 与 BE 相交于点O ，下列条件中不能使△ABE 和△ACD 相似的是（ ）A ．∠B=∠CB ．∠ADC=∠AEBC ．BE=CD ，AB=ACD ．AD ∶AC=AE ∶AB6．一次函数y kx b =+的图象如图所示，当33y -<<时，x 的取值范围是（ ） A ．0x >B ．2x <C ．04x <<D ．02x <<7．如图， 在△ABC 中， DE ∥FG ∥BC ， AD ︰DF ︰FB=3︰2︰1， 则△ADE 、 四边形DFGE 、 四边形FBCG 的面积比为（ ） A ．3∶2∶1B ．9∶4∶1C ．9∶16∶11D ．9∶25∶368、亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少．．有300元．设x 个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x 的不等式是（ ） Ａ．3045300x -≥ Ｂ．3045300x +≥Ｃ．3045300x -≤Ｄ．3045300x +≤9、如果不等式m x -3≤0的正整数解是1，2，3，那么实数m 的取值范围( ) A. 3＜m ＜9 B. 9＜m ＜12 C. 9≤m ＜11 D. 9≤m ＜12 10．观察下列方程：①122xx =+；②133x x =+；③144x x =+；④155x x =+；…根据以上规律，第n 个方程以及它的解释是（ ）A ．1,1n nx x x n n ==+-B ．111,1n n x x x n n ++==++C ．11,n n x x x n n-==+D ．11,11n nx x x n n +==+++二、耐心填一填（每小题4分，共20分)11．若分式221x x ++的值为零，则x =___________ 12．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，则k 的值为___________ 13．若234234a b c +++==，且18a b c ++=，则2a b c -+=__________14．若分式2224224x x x x +++--的值为整数，则整数x 的可能取值的个数为_____个15．如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 为斜 边 AC 上一点，连接BD 。