北师大版九上数学上册期末培优提升卷及答案(word打印版)

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟培优提升测试题（附答案详解）一、单选题1．下列说法正确的是（ ）①三角形的外心到三角形三边的距离相等；②圆的切线垂直于半径；③经过直径端点且与该直径垂直的直线是圆的切线；④过三点可以作且只可以作一个圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．m, n 是方程2200820090x x -+=的两根，则代数式()()222007200920072009m m n n -+-+的值是（ ）A ．2007B ．2008C ．2009D ．2010 3．一元二次方程2640x x +-=配方后可变形为（ ）A ．2(3)13x +=B ．5)3(2=-xC ．2(3)5x +=D ．2(3)13x -=4．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）A ．正方体B ．圆锥体C ．圆柱体D ．球体5．甲、乙两人赛跑，则开始起跑时都迈出左腿的概率是( )A ．1B ．12C ．13D ．146．如图，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，2BD AD =，E 、F 、G 分别是OC 、OD 、AB 的中点，下列结论：①BE AC ⊥；②四动形BEFG 是平行四边形；③EG GF =；④EA 平分GEF ∠.其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．已知反比例函数y ＝﹣3x，下列结论不正确的是（ ）C ．图象在第二、四象限内D ．y 随x 的增大而增大8．二次函数y ＝ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： X﹣1 0 1 3 y ﹣135 3 2953 下列结论：（1）abc ＜0；（2）当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小；（3）16a+4b+c ＜0；（4）抛物线与坐标轴有两个交点；（5）x ＝3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c ＝0的一个根；其中正确的个数为（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个9．下列命题中的真命题是（ ）A ．有一组对边平行的四边形是平行四边形B ．有一个角是直角的四边形是矩形C ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形10．如果∠A 为锐角,且cos A ≤,那么( )A ．0°<∠A<60°B ．60°≤∠A<90°C ．0°<∠A ≤30°D ．30°≤∠A<90°二、填空题11．如图, 边长为2的正方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转90°，则点A 运动的路径长为_______.12．圆锥的高为4cm ，底面圆直径长6cm ，则该圆锥的侧面积等于___________cm 2（结果保留π）．13．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠EAG=______°.14．如图，在ABC 中，8AB =，12AC =，D 为AB 的中点，点E 为CD 上一点，若四边形AGEF 为正方形（其中点F ，G 分别在AC ，AB 上），则BEC △的面积为______cm ．15．在1，2，3，4四个数字中随机选两个不同的数字组成两位数，则组成的两位数大于40的概率是 ．16．若直角三角形斜边上的中线为10 cm ，则它的斜边长是____cm ．17．方程3x 2=x 的解为________．18．如图，已知直线12y x =与反比例函数8y x =（0x ＞）图像交于点A ，将直线向右平移4个单位，交反比例函数8y x =（0x ＞）图像于点B ，交y 轴于点C ，连结AB 、AC ，则△ABC 的面积为_______．19．二次函数23y x =+图像的顶点坐标是__________．20．已知圆锥的底面半径为6 cm ，母线长为8 cm ，它的侧面积为________ cm 2．三、解答题21．如图，在⊙O 中，弦AC ⊥BD 于点E ，连接AB ，CD ，BC（1）求证：∠AOB +∠COD ＝180°；（2）若AB ＝8，CD ＝6，求⊙O 的直径．22．如图，P A 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 是切点，AB 、PO 相交于点C . 在不添加其他线段和字母的条件下，根据题设提供的信息，写出至少五个正确结论.23．如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．24．解方程和计算（1）解方程：x2﹣25x+1＝0（2）计算：12012201412|23|5-⎛⎫-+-+--⎪⎝⎭．25．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，垂足分别为F、E，CF和EB相交于点P，联结AP．(1)求证：△ABF∽△ACE；(2)求证：EC∥AP．26．如图是一个转盘，（转盘被等分成四个扇形），上面标有红黄蓝三种颜色．小明和小强做游戏，规定：转到红色，小明赢；转到黄色，小强赢(若转到分界线，再重转一次)．(1)小颖认为转盘上共有三种不同的颜色，所以，指针停在红色、黄色或蓝色区域的概率都是13，他们的游戏对小明和小强都是公平的．你认为呢？请说明理由．(2)若你认为游戏不公平，请你设计一种方案，使他们的游戏公平．27．已知关于ｘ的一元二次方程01)1(22=-+++k x k kx 有两个实数根，求k 的取值范围．28．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD ＝2∠BAC ，连接CD ，过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直径AB 与CE 的延长线相交于F 点．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）当BD ＝185，sin F ＝35时，求OF 的长．参考答案1．A【解析】【分析】根据三角形外心的性质对①进行判断；根据切线的性质对②进行判断；根据切线的判定对③进行判断；根据确定圆的条件对④进行判断．【详解】解：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以①错误；圆的切线垂直于过切点的半径，所以②错误；经过直径端点且与该直径垂直的直线是圆的切线，所以③正确；过不共线的三点可以作且只可以作一个圆，所以④错误．故选A ．【点睛】考查了圆的切线的性质（圆的切线垂直于经过切点的半径）和三角形外心和切线的判定定理．2．C【解析】试题解析：∵m ，n 是方程x 2-2008x+2009=0的两根，∴m 2-2008m+2009=0，n 2-2008n+2009=0，mn=2009．∴（m 2-2007m+2009）（n 2-2007n+2009）=（m-2009+2009）（n-2009+2009）=mn=2009． 故选C ．3．A【解析】解：2640x x +-=，264x x +=，26949x x ++=+，∴2(3)13x +=．故选A ． 4．C【解析】∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，∴该几何体是一个柱体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆柱体；故选C．5．D【解析】【分析】列举出所有情况，看所求情况占所有情况的多少即可求解.【详解】根据题意可知：出腿的可能为左左、左右、右左、右右，共四种情况，都迈出左腿的概率是14.故选D.【点睛】此题主要考查了概率的求法，关键是利用列举法或树状图法确定所有可能和符合条件的可能.6．B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形∴BO=DO=12BD，AD=BC，AB=CD，又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=12 CD，∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=12AB=AG=BG∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD∴四边形BEFG是平行四边形故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确；故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．7．D【解析】A. ∵(−1)×3=−3,∴图象必经过点(−1,3)，故正确；B. ∵k=−3<0，∴函数图象的两个分支分布在第二、四象限，故正确；C. ∵x=1时，y=−3且y随x的增大而而增大，∴x>1时，−3<y<0，故正确；D. 函数图象的两个分支分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，故错误．故选D.8．C【解析】【分析】先根据表格中的数据大体画出抛物线的图象，进一步即可判断a、b、c的符号，进而可判断（1）；由点（0，3）和（3，3）在抛物线上可求出抛物线的对称轴，然后结合抛物线的开口方向并利用二次函数的性质即可判断（2）；由（2）的结论可知：当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，进而可判断（3）；根据画出的抛物线的图象即可判断（4）；由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，进一步即可判断（5），从而可得答案.【详解】解：（1）画出抛物线的草图如图所示：则易得：a<0，b>0，c>0，∴abc＜0，故（1）正确；（2）由表格可知：点（0，3）和（3，3）在抛物线上，且此两点关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线x＝033 22 +=，因为a<0，所以，当x＞32时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝32，∴当x＝4和x＝﹣1时对应的函数值相同，∵当x=－1时，y<0，∴当x=4时，y<0，即16a+4b+c＜0，故（3）正确；（4）由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，故（4）错误；（5）由表中的数据可知：当x＝3时，二次函数y＝ax2+bx+c＝3，∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故（5）正确；综上，结论正确的共有3个，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的图象和性质以及抛物线与一元二次方程的关系，根据表格中的数据大体画出函数图象、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.9．D【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据矩形的判定方法对B进行判断；根据正方形的判定方法对C进行判断；根据菱形的判定方法对D进行判断．【详解】A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误；B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项错误；D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，所以D选项正确；故选：D．【点睛】本题是对特殊四边形判断的考查，熟练掌握平行四边形，矩形，正方形，菱形的判断知识是解决本题的关键.10．B【解析】试题解析：当∠A是锐角时,余弦值随角度的增大而减小.故选B.点睛：当∠A是锐角时,余弦值随角度的增大而减小.112【解析】【分析】由正方形ABCD的两边长为2，可以求得对角戏AC的长，由正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°后，可知对角线AC扫过的面积正好是一个扇形，圆心角是90°，半径是AC的长，所以A点运动的路径是半径为AC的圆的周长的14，然后根据圆的周长计算公式即可解答本题．【详解】如图，由已知可得，AB=BC=2，∠ABC=90°，22AC BC+2222+ =22∵正方形ABCD绕着点C顺时针旋转90°∴点A 运动的路径长：12222 4ππ⨯⨯=2π．【点睛】本题考查旋转及弧长的计算，解题的关键是找准运动轨迹以及弧长的计算，利用转化的数学思想进行解答．12．15π【解析】【分析】利用勾股定理易得圆锥母线长，那么圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【详解】圆锥的高为4cm，底面圆直径长6cm，则底面半径＝3cm，底面周长＝6πcm，由勾股定理得，母线长＝5cm，侧面面积＝12×6π×5＝15πcm2．故答案为15π【点睛】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．13．34【解析】【分析】根据折叠的性质即可得到∠ABH ＝∠ABC ＝12（180°−34°）＝73°，再根据平行线的性质，得出∠GAB ＝∠ABH ＝73°，∠BAE ＝180°−∠ABC ＝107°，进而得出∠EAG 的度数．解答：菁优网点评：【详解】解：∵∠CBD ＝34°，∴∠ABH ＝∠ABC ＝12（180°−34°）＝73°， ∵AG ∥BD ，AE ∥BC ，∴∠GAB ＝∠ABH ＝73°，∠BAE ＝180°−∠ABC ＝107°，∴∠EAG ＝∠BAE−∠BAG ＝107°−73°＝34°，故填：34.【点睛】本题考查了折叠变换的知识以及平行线的性质的运用，根据折叠的性质得出∠ABC ＝∠ABH ＝12∠CBH 是解答本题的关键． 14．18【解析】【分析】由题意可得：EF ∥AG ，AF=EF=EG=AG ，AD=DB=4，即可证△CEF ∽△CDA ，可得EF CF AD AC =，即12412AF AF -=，可求AF=3，即可求△BEC 的面积． 【详解】∵四边形AGEF 是正方形//EF AG AF EF EG AG ∴===，∵点D 是AB 中点∴142DB AD AB === //EF AGCEF CDA ∴∽∴EF CF AD AC= ∴12412AF AF -= 3AF ∴=BCE ABC ACD BDE SS S S =-- ∴1118121244318222BCE S =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯= 故答案为：18【点睛】此题考查相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题是解题的关键．15．14【解析】【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．【详解】解：根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，组成的两位数大于40的情况有3种，所以，P （组成的两位数大于40）=312=14． 故答案为14． 16．20【解析】解：直角三角形斜边上的中线等于10，则这个直角三角形的斜边长为20，故答案为：20．点睛：本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．17．x1=0，x2=【解析】【分析】可先移项，然后运用因式分解法求解．【详解】解：原方程可化为：3x2-x=0，x（3x-1）=0，x=0或3x-1=0，解得：x1=0，x2=，故填：x1=0，x2=，【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．18．252+【解析】分析：联立方程组128y xyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求出A、B点坐标，过点A作AD∥y轴交BC于点D，求得点D的坐标为（2，0），再求出点C的坐标，利用S△ABC=S△ABD+S△ACD可得答案．详解：联立方程组128y xyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1142x y =⎧⎨=⎩，2242x y =-⎧⎨=-⎩（舍去）， ∴A （4，2）， 将直线12y x =向右平移4个单位， 则直线BC 的解析式为y=12x-2； 联立方程组1228y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 解得112+2551x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，2222551x y ⎧=-⎪⎨=--⎪⎩（舍去），∴B(2+25，5-1)过点A 作AD ∥y 轴交BC 于点D ，∴D （4，0），∴AD=4，∴S △ABC =S △ABD +S △ACD = 12×4×2+12×2×（5）5故答案为5点睛：本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及割补法求三角形的面积是解题的关键．19．（0,3）【解析】【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式直接得出顶点坐标即可．【详解】∵二次函数23y x =+以24-,24b ac b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 为顶点， ∴把二次函数23y x =+的a,b,c 的值代入24-,24b ac b a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则顶点坐标是：（0，3）． 故答案为：（0，3）．【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握顶点式20．48π【解析】【详解】试题分析：根据圆锥的侧面积等于展开以后扇形的面积以及扇形的面积公式计算即可． 解：圆锥母线长=8cm ，底面半径r=6cm ，则圆锥的侧面积为S=πrl=π×6×8=48πcm 2．故答案为48π．考点：圆锥的计算．21．(1)见解析;(2) 10【解析】【分析】(1)延长BO 交⊙O 于F ，连接DF ，AD ，结合已知可证明AC ∥DF ，继而得出AF CD =，从而可得∠COD ＝∠AOF ，由∠AOB +∠AOF ＝180°，即可证明∠AOB +∠COD ＝180°；(2)连接AF ，可推导得出AF ＝CD ＝6，继而根据勾股定理求出BF 的长即可得.【详解】(1)延长BO 交⊙O 于F ，连接DF ，AD ．∵BF 是直径，∴∠BDF ＝90°，∴DF ⊥BD ，∵AC ⊥BD ，∴AC ∥DF ，∴∠CAD ＝∠ADF ，∴AF CD=，∴∠COD＝∠AOF，∵∠AOB+∠AOF＝180°，∴∠AOB+∠COD＝180°；(2)连接AF．由(1)可知：AF CD=，∴AF＝CD＝6，∵BF是直径，∴∠BAF＝90°，∴BF＝2222+=+=10，AB AF86∴⊙O的直径为10．【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活应用相关知识是解题的关键.22．∠OAB =∠OBA =∠APO =∠BPO，∠POA =∠POB，∠PAB =∠PBA，OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥PO，AC = BC，PA = PB，△AOC ∽△PAC ∽△POA，OA2= OC·OP，AC2= OC·PC等.【解析】【分析】根据切线长定理，可得PA = PB，∠APO=∠BPO, OA⊥PA，OB⊥PB，根据等腰三角形的性质可得：∠PAB =∠PBA，根据三角形的内角和可得∠POA =∠POB，易证△≌.AOCBOC根据全等三角形的性质可得AC = BC.【详解】根据切线长定理，可得PA = PB，∠APO=∠BPO, OA⊥PA，OB⊥PB，根据等腰三角形的性质可得：∠PAB =∠PBA，根据三角形的内角和可得：∠POA =∠POB ，易证AOC △≌.BOC则：AC=BC.【点睛】考查切线的性质以及切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线，平分两条切线的夹角.23．四边形AGBD 是矩形.【解析】试题分析：先由菱形的性质得出AE=BE=DE ，再通过角之间的关系求出∠ADE+∠EDB=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD 是矩形．试题解析：因为ABCD 是平行四边形AD ∥BG ，又知AG ∥DB所以四边形AGBD 是平行四边形四边形BEDF 是菱形所以DE=BE=AE所以∠DAE=∠ADE ，∠EDB=∠DBE ，2∠ADE+2∠EDB=180°所以∠ADE+∠EDB=90°四边形AGBD 是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）考点：1.菱形的性质；2.矩形的判定.24．（1）x 2；（2）﹣【解析】【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得．【详解】解：（1）∵x 2﹣＝﹣1，∴x 2﹣+5＝﹣1+5，即（x2＝4，则x±2，所以x2；（2）原式＝﹣4+5﹣＝﹣．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）由AD是△ABC的角平分线，过点B、C分别作AD的垂线，可得∠BAF＝∠CAE，∠BFA＝∠AEC＝90°，根据有两角对应相等的三角形相似，可得△ABF∽△ACE．（2）由相似三角形的对应边成比例，可得AF BFAE EC=，即可得BF∥EC，由平行分线段成比例及其变形，即可得AP∥EC．【详解】证：（1）∵AD平分∠ABC，∴∠1=∠2 又∵BF⊥BD，CE⊥AD，∴∠BFA=∠AEC=90∴△ABF∽△ACE（2）由（1）有AF BF AE EC=∵ BF⊥AD，CE⊥AD，有BF∥EC∴PF BF PC EC=∴AF PF AE PC=∴AP∥EC 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线分线段成比例定理．解题的关键是数形结合思想的应用，注意仔细识图．26．（1）14；（2）如设计为：转到蓝色，小明赢；转到黄色，小强赢．【解析】【分析】（1）根据P(小明赢)＝12，P(小强赢)＝14，可得结论；（2）根据概率必须相等设计规则.【详解】解：(1)游戏是不公平的．理由：P(小明赢)＝12，P(小强赢)＝14，所以小明赢的机会大，游戏不公平．(2)答案不唯一．如设计为：转到蓝色，小明赢；转到黄色，小强赢．【点睛】概率与游戏的公平问题.27．k≥-13且k≠0．【解析】试题分析：若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=[2（k+1）]2-4×k×（k-1）=12k+4≥0，解得：k≥-13，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．所以：k的取值范围为：k≥-13且k≠0．考点：根的判别式．28．（1）见解析；（2）OF＝5．【解析】【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O的切线；（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝35BDAB=，求出AB＝53BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sin F＝35OCOF=即可求出OF．【详解】（1）连接OC．如图1所示：∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝2∠1．又∵∠4＝2∠1，∴∠4＝∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）连接AD．如图2所示：∵AB是直径，∴∠D＝90°，∴CF∥AD，∴∠BAD＝∠F，∴sin∠BAD＝sin F＝35 BDAB=，∴AB＝53BD＝6，∴OB＝OC＝3，∵OC⊥CF，∴∠OCF＝90°，∴sin F＝35 OCOF=，解得：OF＝5．【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习培优提升训练题（附答案详解）一、单选题1．如图，在矩形中，，，平分，过点作于点，延长，交于点，下列结论中：①；②；③；④．正确的是（ ）A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．②③④ 2．已知四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，连接AC 、BD ，E 是AC 的中点．若AC =10，BD =8，则△BDE 的面积是（ ）A ．40B ．48C ．24D ．123．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，连接EF .给出下列五个结论：①AP EF =；②PDF ∆一定是等腰直角三角形；③APD ∆一定是等腰三角形；④PFE BAP ∠=∠；⑤2PD EC =.其中正确结论的序号是( )A ．①②③④B ．①②④⑤C ．②③④⑤D ．①③④⑤ 4．下列说法正确的是（ ）A ．相似两个五边形一定是位似图形B ．两个大小不同的正三角形一定是位似图形C ．两个位似图形一定是相似图形D ．所有的正方形都是位似图形5．如图，在矩形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交边BC 于点E ，若5ED =，3EC =，则矩形ABCD 的周长为（ ）A ．11B ．14C ．22D ．286．如图，要测量B 点到河岸AD 的距离，在A 点测得∠BAD ＝30°，在C 点测得∠BCD ＝60°，又测得AC ＝100米，则B 点到河岸AD 的距离为（ ）A ．100米B ．503米C ．20033米D ．50米7．如图，O 的半径为1，弦AB ＝1，点P 为优弧AB 上一动点，AC ⊥AP 交直线PB 于点C ，则△ABC 的最大面积是（ ）A ．12B ．2C ．32D ．348．一元二次方程23410x x -+=根的情况为（ ）A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．只有一个实数根9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()()y x 1x 3=+-与x 轴相交于A 、B 两点.若在抛物线上有且只有三个不同的点1C 、2C 、3C ，使得1ΔABC 、2ΔABC 、3ΔABC 的面积都等于m ，则m 的值是（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1610．已知x ＝3是一元二次方程x 2－2mx ＋1＝0的一个解，则m 的值是( )A ．72B ．27±C ．53D ．53± 11．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．ax 2+bx +c ＝0B ．x 2﹣4x +5＝0 12212．在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，P 是BD 上一动点，过P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ．设BP ＝x ，△OEF 的面积为y ，则能反映y 与x 之间关系的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．如图，直线l 1，l 2，l 3分别过正方形ABCD 的三个顶点A ，D ，C ，且相互平行，若l 1，l 2的距离为2，l 2，l 3的距离为4，则正方形的对角线长为_______________．14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边AD 上且AE ＝4，点F 是边BC 上的一个动点，将四边形ABFE 沿EF 翻折，A 、B 的对应点A 1、B 1与点C 在同一直线上，A 1B 1与边AD 交于点G ，如果DG ＝3，那么BF 的长为____．15．在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的外接圆的直径长为_____．16．已知四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，相似比为23，若四边形ABCD 的面积为36cm 2，则四边形EFGH 的面积为______cm 2．17．一元二次方程2(x 1)16+=的解是______．18．已知每个正方形网格中正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是以格点为圆心，半径为1的圆弧围成的，则阴影部分的面积是______．19．若对任何x ，分式21x x x a-++均有意义，则字母a 的取值范围是__________． 20．如图，在边长为4的菱形ABCD 中，∠A ＝60°，点M 、N 是边AB 、BC 上的动点，若△DMN 为等边三角形，点M 、N 不与点A 、B 、C 重合，则△BMN 面积的最大值是_____．21．把一元二次方程（x-3）2=4化为一般形式为___________，一次项系数为_________，常数项为_________．22．一个几何体的三视图如图,那么这个几何体是_________.23．如图，在ABC △中，DE BC ∥，:1:4BCD ABC S S =△△，若2AC =，则EC =______．24．如图，在ABC △中，有矩形DEFG ，G 、F 在BC 上，D 、E 分别在AB 、AC 上，AH BC ⊥交DE 于M ，DG:DE=1:2，BC=12cm ，AH=8cm ，则DE=____________三、解答题25．如图，90C ∠=°，AE 是圆O 的直径，BD 是圆O 的切线，切点为D ,过点E 作EF BC ⊥，F 为垂足，若四边形DEFC 是正方形，试求DC AD的值.26．已知一个纸箱中放有大小相同的10个白球和若干个黄球．从箱中随机地取出一个是白球的概率是25，再往箱中放进20个白球，求随机地取出一个黄球的概率． 27．如图，在菱形ABCD 中，,AC BD 交于点O ，8cm AC ，6cm BD =，动点M 从点A 出发沿AC 以2cm /s 的速度匀速运动到点C ，动点N 从点B 出发沿BO 以1cm/s 的速度匀速运动到点O ，若点,M N 同时出发，问出发后几秒时，MCN ∆的面积为22cm ？28．已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G .（1）如图1，若四边形ABCD 是矩形，且DE CF ⊥，求证：DE AD CF CD=； （2）如图2，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当B 与EGC ∠满足什么关系时，使得DE AD CF CD=成立？并证明你的结论； （3）如图3，若6BA BC ==，8DA DC ==，90BAD ∠=︒，DE CF ⊥，请直接写出DE CF的值.29．已知a 是正整数，如果关于x 的方程()()321738560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根30．课堂上我们在直角三角形中研究了锐角的正弦，余弦和正切函数，与此类似，在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cot A＝b a .(1)若∠A＝45°，则cot 45°＝__________；若∠A＝60°，则cot 60°＝__________；(2)探究tan A·cot A的值．31．画出以下三个几何体的三视图．图①图②图③32．用恰当的方法解方程（1）8x2 +10x=3（2）（x+2）2=（5﹣2x）233．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，若每件降价1元，商场平均每天可多销售2件.(1)若现在设每件衬衫降价x元，平均每天盈利为y元.求出y与x之间的函数关系式.(2)当每件降价多少元时，商场平均每天盈利最多？(3)若商场每天平均需盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？34．已知：如图，四边形ABCD是菱形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF ＝DE，AE的延长线与DF相交于点G．（1）求证：∠CDF＝∠DAE；（2）如果DE＝CE，求证：AE＝3EG．35．如图，某工程队在工地互相垂直的两面墙AE、AF处，用180米长的铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间用同样材料分割成两个长方形．已知墙AE长120米，墙AF长40米，要使长方形ABCD的面积为4000平方米，问BC和CD各取多少米？36．如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点A的坐标为（1，0），点B是点C关于该函数图象对称轴对称的点．（1）求二次函数的解析式；（2）求点B的坐标．参考答案1．D【解析】【分析】求出OA=OC=OD=OB，求出∠ADB=30°，求出∠ABO=60°，得出等边三角形AOB，求出AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，根据以上结论推出即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AD=，AB=1，,∴∠ADB=30°，∴∠ABO=60°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，∴AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠AFB，∴∠BAF=∠AFB，∴AB=BF，∵AB=BO，∴BF=BO，∴②正确；∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，∴∠CAH=15°，∵CE⊥BD，∴∠CEO=90°，∵∠EOC=60°，∴∠ECO=30°，∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，∴AC=CH，∴③正确；作HG⊥BC的延长线于点G，∴HG∥AB，∠BAF=∠FHG=45°，∴∠CHG=∠FHG-∠H=45°-15°=30°，∵AB=1，AD=，∴BD=AC=CH=2，∴,∵∠BAF=∠FHG=45°，∠AFB=∠HFG，∴△ABF∽△HGF，即，故①错误；∵△AOB是等边三角形，∴AO=OB=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，∴DC=OC=OD，△COD是等边三角形，∵CE⊥BD，，即BE=3ED，∴④正确；即正确的有②③④3个，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，角平分线定义，定义三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点的综合运用，难度偏大，对学生提出较高的要求．2．D【解析】【分析】过E作EF⊥BD于F．由直角三角形斜边上的中线的性质得出BE、DE的长，再由等腰三角形的性质得到BF的长，由勾股定理得出EF的长，即可得出结论．【详解】过E作EF⊥BD于F．∵AB⊥BC，AD⊥CD，∴△ADC和△ABC是直角三角形．∵E是AC的中点，∴DE=12AC=5，BE=12AC=5，∴DE=BE．∵EF⊥BD，∴BF=DF=12BD=4，∴EF=2222543BE BF-=-=，∴△BDE的面积=12BD•EF=12×8×3=12．故选D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线的性质得出DE =BE ．3．B【解析】【分析】连接PC ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△ABP ≌△CBP 后即可证明AP=PC ，再根据矩形对角线相等和角的有关性质即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得⑤DP=2EC ，也可证明②的正确性，③只在特殊情况下成立．【详解】证明：连接PC ，∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，∴AB=CB ，∠ABP=∠CBP= 45°，BP=BP∴△ABP ≌△CBP ，∴AP=PC ，∠BCP=∠BAP ，又∵PE BC ⊥于点E ，PF CD ⊥于点F ，∴四边形PECF 是矩形，PC=EF 且互相平分，①∴AP=EF 正确；∠PFE=∠FEC=∠BCP∴④∠PFE=∠BAP 正确，③∵点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上任意一点，∠ADP=45°，∴当∠PAD=45°或67.5°或90°时，△APD 是等腰三角形，除此之外，△APD 不是等腰三角形，故③错误．∵PF ∥BC ，∴∠DPF=∠DBC，又∵∠DPF=∠DBC=45°，∴∠PDF=∠DPF=45°，即△DPF是等腰直角三角形，即②正确∵矩形PECF中，PF=EC，∴在等腰直角三角形△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，∴⑤EC正确．∴其中正确结论的序号是①②④⑤．故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．4．C【解析】【分析】根据相似图形与位似图形的概念进行解题.【详解】A. 相似两个五边形不一定是位似图形,位似图形一定相似,但相似图形不一定位似, 故错误,B. 两个大小不同的正三角形不一定是位似图形,要看是否能找到位似中心,故错误,C. 两个位似图形一定是相似图形,正确,D. 所有的正方形都是位似图形,错误,因为不一定找到位似中心,故选C.【点睛】本题考查了相似图形与位似图形的联系与区别,属于简单题,熟悉位似图形的概念是解题关键.5．C【解析】【分析】根据勾股定理求出DC=4，证明BE=AB=4，即可求出矩形的周长；【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°,AB=CD;AD∥BC；∵ED=5，EC=3，∴DC2=DE2−CE2=25−9，∴DC=4，AB=4；∵AD∥BC，∴∠AEB=∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴BE=AB=4，矩形的周长=2(4+3+4)=22.故选C【点睛】此题考查矩形的性质，解题关键在于求出DC=46．B【解析】【分析】过B作BM⊥AD，根据三角形内角与外角的关系可得∠ABC＝30°，再根据等角对等边可得BC＝AC，然后再计算出∠CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案．【详解】解：过B作BM⊥AD，∵∠BAD＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AC＝CB＝100米，∵BM⊥AD，∴∠BMC＝90°，∴∠CBM＝30°，∴CM＝12BC＝50米，∴BM＝3CM＝503米，故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半．7．D【解析】【分析】连结OA、OB，如图1，由OA=OB=AB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠AOB=60°，根据圆周角定理得∠APB=12∠AOB=30°，由于AC⊥AP，所以∠C=60°，因为AB=1，则要使△ABC的最大面积，点C到AB的距离要最大；由∠ACB=60°，可根据圆周角定理判断点C 在⊙D上，且∠ADB=120°，如图2，于是当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，从而得到△ABC的最大面积．【详解】解：连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA=OB=1，AB=1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠APB=12∠AOB=30°， ∵AC ⊥AP ，∴∠C=60°， ∵AB=1，要使△ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，∵∠ACB=60°，点C 在⊙D 上，∴∠ADB=120°， 如图2，当点C 优弧AB 的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时△ABC 为等边三角形，且面积为233AB ， ∴△ABC 的最大面积为34． 故选D ．【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等边三角形的判断与性质；记住等边三角形的面积公式．8．B【解析】【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的值判断根的情况．【详解】解：∵△=（-4）2-4×3×1=4＞0 ∴方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．9．B【解析】【分析】由抛物线上有且只有三个不同的点1C 、2C 、3C ，使得1ΔABC 、2ΔABC 、3ΔABC 的面积都等于m 可得在C 1、C 2、C 3三个点中有一个为抛物线的顶点，根据配方法可求出抛物线的顶点的坐标，根据三角形面积公式即可求出m 的值.【详解】∵抛物线上有且只有三个不同的点1C 、2C 、3C ，使得1ΔABC 、2ΔABC 、3ΔABC 的面积都等于m ，∴C 1、C 2、C 3三个点中有一个为抛物线的顶点，∵y=(x+1)(x-3)=x 2-2x-3=(x-1)2-4，∴抛物线的顶点坐标为（1，-4），∵抛物线()()y x 1x 3=+-与x 轴相交于A 、B 两点，∴A 、B 坐标分别为（0，-1）和（0，3），∴m=12AB ×4-=12×4×4=8. 故选B.【点睛】本题考查抛物线与坐标轴的交点，根据已知分析出C 1、C 2、C 3三个点中有一个为抛物线的顶点是解题关键.10．C【解析】【分析】先把3x =代入原方程得到关于m 的一元一次方程，解该方程即可.把3x =代入原方程得：23610m －＋＝ 解得：53m =故选：C.【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次方程，熟练掌握方程的基本解法是关键.11．B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．【详解】一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．解：A 、该方程中，当a ＝0时，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误； B 、x 2﹣4x +5＝0符合一元二次方程的定义，故本选项正确；C 、该方程属于分式方程，故本选项错误；D 、该方程中含有2个未知数，它不是关于x 的一元二次方程，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键.12．B【解析】【分析】分析，EF 与x 的关系，他们的关系分两种情况，依情况来判断抛物线的开口方向．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ＝BD ＝，OB ＝OD ＝12BD =，①当P 在OB 上时，即0≤x ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴EF ：AC ＝BP ：OB ，∴EF ＝2BP ＝2x ，∴y ＝12EF •OP ＝12×2x (2x -）＝2-x ；②当P 在OD ＜x ≤∵EF ∥AC ，∴△DEF ∽△DAC ，∴EF ：AC ＝DP ：OD ，即EF ：x （），∴EF ＝2（x ），∴y ＝12EF •OP ＝1222x x ⨯-（）（）＝2-4x +-， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图象是一条抛物线，开口方向取决于二次项的系数．当系数＞0时，抛物线开口向上；系数＜0时，开口向下．根据题意可知符合题意的图象只有选项B ．故选B ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、二次函数的性质等知识点，利用三角形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键.13．【解析】【分析】过D 点作EF 垂直l 3于F 点.利用一线三等角的模型证明△ADE ≅△DCF ，即可求出AE 的长，用勾股定理求出正方形的边长及对角线长即可. 【详解】 过D 点作EF ⊥l 3于F 点.∵l 1∥l 2∥l 3∴EF ⊥l 1，EF ⊥ l 2∴∠AED=∠DFC=90°，∵四边形ABCD 是正方形∴∠ADC=90°,AD=CD ∴∠ADE+∠CDF=90°，∠ADE+∠EAD=90°∴∠CDF=∠EAD∴△ADE ≅△DCF （AAS ）∴AE=DF∵l 1，l 2的距离为2，l 2，l 3的距离为4，∴AE=DF=4，ED=2根据勾股定理得，AD=22224225AE DE +=+= ∴正方形的对角线长为=()()222525210+=故答案为：210【点睛】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等及勾股定理，关键是关键题意作出辅助线，建立一线三等角的全等模型.14．.【解析】【分析】根据题意可得到△CDG ∽△A'EG ，利用对应边成比例可求得A'G 、B'G 的长，进而可求得CG'、CB'，再利用△CDG∽△CFB'，根据比例关系代值求得B’F即BF的长度. 【详解】∵△CDG∽△EA'G，A'E＝4∴A'G＝2∴B'G＝4由勾股定理可知CG'＝则CB'＝-4由△CDG∽△CFB'设BF＝x∴解得x＝故答案为【点睛】本题考查了图形的三大变化之轴对称，解答本类题的关键是找到轴对称前后相等的边和角，可进一步得到全等三角形或相似三角形，进而解题.15．10【解析】【分析】根据这个三角形的外接圆直径是斜边长即可得到结论．【详解】解：根据题意得：斜边是AC2222AB BC++10，68这个三角形的外接圆的直径长为10，故答案为：10．【点睛】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．16．81.【解析】【分析】根据面积比等于相似比的平方求解即可.【详解】∵四边形ABCD 与四边形EFGH 相似，∴S 四边形ABCD :S 四边形EFGH =(23)2， ∴S 四边形EFGH =94S 四边形ABCD ∵四边形ABCD 的面积为36cm 2，∴四边形EFGH 的面积=81cm 2,故答案为：81.【点睛】本题考查了相似多边形面积的比等于相似比的平方的性质，熟记性质是解题的关键． 17．3或5-【解析】【分析】两边直接开平方可得x 14+=±，再解两个一元一次方程即可．【详解】2(x 1)16+=，两边直接开平方得：x 14+=±，则x 14+=，x 14+=-，解得：1x 3=，2x 5=-．故答案为：3或5-．【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成()2x a a 0=≥的形式，利用数的开方直接求解．18．24π-【解析】【分析】根据阴影部分的面积等于两个正方形面积减去一个扇形面积计算.【详解】 解：观察图形可知，阴影部分的面积9011223604ππ⋅⨯=⨯-=-， 故答案为：24π-． 【点睛】此题主要考查了扇形的面积公式，关键是需要同学们把不规则图形转化为易求面积的图形进行求解．19．a>14【解析】【分析】根据分母不为零分式有意义，可得答案.【详解】解：对于任意x 的值，分式均有意义，得△=1-4a ＜0，即a >14所以若对任何x ，分式21x x x a -++均有意义的条件是a >14 故答案为a >14【点睛】 本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习培优训练题1（附答案详解）一、单选题1．已知方程kx 2﹣x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．14k > B ．14k < C ．14k ≠ D ．14k <且k≠0 2．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，P 为边AD 上一动点，连接BP ，把△ABP 沿BP 折叠，使A 落在A′处，当△A′DC 为等腰三角形时，AP 的长为（ ）A ．2B ．233C ．2或233D ．2或433 3．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB 的比是( )A ．2﹣2B ．322C ．1222+D ．222+ 4．点E 是正方形ABCD 对角线AC 上，且EC=2AE ，Rt △FEG 的两条直角边EF 、EG 分别交BC 、DC 于M 、N 两点，若正方形ABCD 的边长为a ，则四边形EMCN 的面积（ ）A ．23a 2B ．14a 2C ．59a 2D ．49a 2 5．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0,2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3,6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．5B ．9C ．11D ．136．在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A 、B 、G 共线，点C 在BE 上，∠DAB ＝60°，AG ＝8，点M ，N 分别是AC 和EG 的中点，则MN 的最小值等于（ ）A ．23B ．4C ．22D ．67．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，P 是BC 边上一动点（不含B 、C 两点），将△ABP 沿直线AP 翻折，点B 落在点E 处；在CD 上有一点M ，使得将△CMP 沿直线MP 翻折后，点C 落在直线PE 上的点F 处，直线PE 交CD 于点N ，连接MA ，NA ，则以下结论中正确的有（ ）①△CMP ∽△BPA ；②四边形AMCB 的面积最大值为10；③当P 为BC 中点时，AE 为线段NP 的中垂线；④线段AM 的最小值为25； ⑤当△ABP ≌△ADN 时，BP= 42-4．A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个8．已知二次函数22(0)y ax ax c a =-+≠的图象与x 轴的一个交点为(－1, 0)，则关于x 的一元二次方程220ax ax c -+=的两实数根是( )A ．121,1x x =-=B ．121,2x x =-=C ．121,3x x =-=D ．121,0x x =-=9．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，以点A 为圆心，1为半径作圆，E 是⊙A 上的任意一点，将DE 绕点D 按逆时针旋转90°，得到DF ，连接AF ，则AF 的最小值是（ ）A ．321B ．432C ．52D ．21310．下列命题①相似三角形一定不是全等三角形；②相似三角形对应中线的等于对应角平分线的比；③边数相同，对应角相等的两个多边形相似；④O 为△ABC 内任意一点，OA 、OB 、OC 的中点分别为A '、B '、C '，则有△A 'B 'C '∽△ABC .其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空题11．如图，在Rt ABC ∆中，90,3,ABC BC D ︒∠==为斜边AC 的中点，连接BD ，点F 是BC 边上的动点（不与点B C 、重合），过点B 作BE BD ⊥交DF 延长线交于点E ，连接CE ，下列结论：①若BF CF =，则222CE AD DE +=；②若,4BDE BAC AB ∠=∠=，则158CE =； ③ABD ∆和CBE ∆一定相似；④若30,90A BCE ︒︒∠=∠=，则21DE =．其中正确的是_____．（填写所有正确结论的序号）12．如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.13．当21x -≤≤时,二次函数21y x kx =-+-的最大值是1,则k 的值可能是_________.14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为AB 边上一点（不与点B 重合），连接CD ，将线段CD 绕点D 逆时针旋转90°，点C 的对应点为E ，连接BE ．若AB ＝2，则△BDE 面积的最大值为_____．15．正方形ABCD 中，ABCD 为DC 边上一点，且1DE ＝，将AE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EF ，连接AF ，FC ，则FC =_____．16．已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点H 为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为_____．17．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线BC 、CD 上运动，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ．下列说法中：①BE +DF ＝EF ；②点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长；③若tan ∠BAE ＝12，则tan ∠DAF ＝13；④若BE ＝2，DF ＝3，则S △AEF ＝18．其中结论正确的是__（将正确的序号写在横线上）18．如图，过原点的直线与反比例函数()0k y k x=>的图象交于A ，B 两点，点A 在第一象限点C 在x 轴正半轴上，连结AC 交反比例函数图象于点D .AE 为BAC ∠的平分线，过点B 作AE 的垂线，垂足为E ，连结DE .若3AC DC =，ADE ∆的面积为8，则k 的值为________.19．如图，在矩形ABCD 中，2AD =．将A ∠向内翻折，点A 落在BC 上，记为'A ，折痕为DE ．若将B 沿'EA 向内翻折，点B 恰好落在DE 上，记为'B ，则AB =_____． 20．如图，在△ABC 中，AC ：BC ：AB=5：12：13,⊙O 在△ABC 内自由移动，若⊙O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__. 三、解答题21．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数）的对称轴为x=1，与y 轴的交点为c （0，4），y 的最大值为5，顶点为M ，过点D （0，1）且平行于x 轴的直线与抛物线交于点A ，B ．（Ⅰ）求该二次函数的解析式和点A 、B 的坐标；（Ⅱ）点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与△BCD 相似，求出所有点P 的坐标．22．如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=6,BC=8,动点P从点A开始,沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点D从点A开始,沿边AB向点B以每秒53个单位长度的速度运动,且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC,动点Q从点C开始,沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,连结PQ.点P,D,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另两个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).(1)当t为何值时,四边形BQPD的面积为△ABC面积的1 2 ?(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；(3)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度。

北师大版九年级数学上册 期末冲刺复习——提升卷(满分：120分 考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( D )2．将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( B )A.18B.16C.14D.123．在同一直角坐标系中，函数y ＝kx －k 与y ＝k x (k ≠0)的图象大致是( D )4．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(B)A．k＜5 B．k＜5且k≠1C．k≤5且k≠1 D．k＞55．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为( C)A.722B．3 2 C．5 D．6第5题图第6题图6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝12，BM＝5，则DE的长为(B)A．18 B.1095 C.965 D.253二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．一元二次方程x2＋7x＋6＝0的两根分别为x1，x2，则x21＋x22的值等于__37__．8．鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同，如果2枚卵全部成功孵化，则2只雏鸟都为雄鸟的概率是14. 9．如图，矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行，顶点A 的坐标为(2，1)，点B 与点D 都在反比例函数y ＝6x (x >0)的图象上，则矩形ABCD 的周长为__12__.第9题图第10题图第11题图10．“魔术塑料积木”可以开发智力，发挥想象空间，如图是小明用六个棱长为1的立方块组成的一个几何体，其俯视图的面积是__5__．11．如图△A ′B ′C ′与△ABC 关于y 轴对称，已知A (1，4)，B (3，1)，C (3，3)，若以原点O 为位似中心，相似比为12作△A ′B ′C ′的缩小的位似图形△A ″B ″C ″，则A ″的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2. 12．在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝4，点E ，F 在直线AD 上，且四边形BCFE 为菱形．若线段EF 的中点为点M ，则线段AM 的长为__5.5或0.5__．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13．解方程：(1)x2－6x－6＝0；(2)(x＋2)(x＋3)＝1.解：x＝3±15.解：x＝－5±52.14．如图，△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.证明：∵AD＝DB，∴∠B＝∠BAD.∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，∠1＝∠2，∴∠C＝∠ADE，又∵∠B＝∠EAD，∴△ABC∽△EAD.15．如图，某一广告墙PQ旁有两根直立的木杆AB和CD，某一时刻在太阳光下，木杆CD的影子刚好不落在广告墙PQ上．(1)请在图中画出此时的太阳光线CE及木杆AB的影子BF；(2)若AB＝5米，CD＝3米，CD到PQ的距离DQ的长为4米，求此时木杆AB的影长．解：(1)如图所示；(2)设木杆AB 的影长BF 为x 米，由题意得5x ＝34，解得x ＝203. 答：木杆AB 的影长是203米． 16．如图，反比例函数y ＝k x (x >0)过点A (3，4)，直线AC 与x轴交于点C (6，0)，过点C 作x 轴的垂线BC 交反比例函数图象于点B .(1)求k 的值与B 点的坐标；(2)在平面内有点D ，使得以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有D 点的坐标．解：(1)代入A(3，4)到表达式y ＝k x得k ＝12， B(6，2)；(2)D(3，2)或D 1(3，6)或D 2(9，－2).17．如图，菱形ABCD 中，点P 是BC 的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图．(1)在图①中画出AD 的中点Q ；(2)在图②中的对角线BD 上，取两个不重合的点E ，F ，使BE ＝DF .解：(1)如图①，点Q 即为所求作的点．(2)如图②，点E ，F 即为所求作的点．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．汤姆斯杯世界男子羽毛球团体赛小组赛比赛规则：两队之间进行五局比赛，其中三局单打，两局双打，五局比赛必须全．．．．．．．部打完．．．，赢得三局及以上的队获胜．假如甲、乙两队每局获胜的机会相同．(1)若前四局双方战成2∶2，那么甲队最终获胜的概率是12. (2)现甲队在前两局比赛中已取得2∶0的领先，那么甲队最终获胜的概率是多少？解：画树状图如图所示：由图可知，剩下的三局比赛共有8种等可能的结果，其中甲至少胜一局有7种，所以，P(甲队最终获胜)＝78. 答：甲队最终获胜的概率为78.19．数学活动——探究特殊的平行四边形．问题情境如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，AB＝AD，BC＝DC.请你添加条件，使它们成为特殊的平行四边形．提出问题(1)第一小组添加的条件是“AB∥CD”，则四边形ABCD是菱形，请你证明；(2)第二小组添加的条件是“∠B＝90°，∠BCD＝90°”，则四边形ABCD是正方形．请你证明．证明：(1)∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC.又∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠D＝∠B.∵∠B＝90°，∴∠D＝∠B＝90°.又∵∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形．又∵BC＝DC，∴四边形ABCD是正方形．20．已知关于x 的一元二次方程mx 2－2x ＋1＝0.(1)若方程有两个实数根，求m 的取值范围；(2)若方程的两个实数根为x 1，x 2，且(x 1－1)(x 2－1)＝32，求m的值．解：(1)根据题意得m ≠0且Δ＝(－2)2－4m ≥0，解得m ≤1且m ≠0；(2)根据题意得x 1＋x 2＝2m ，x 1·x 2＝1m .∵(x 1－1)(x 2－1)＝32，∴x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＝32， 即x 1·x 2－(x 1＋x 2)＝12， ∴1m －2m ＝12，解得m ＝－2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图所示，△ABC 在网格中(每个小方格的边长均为1)．(1)请在网格上建立平面直角坐标系，使A 点坐标为(2，3)，C 点坐标为(6，2)，并求出B 点坐标；(2)在(1)的基础上，以原点O 为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC 放大，画出放大后的△A ′B ′C ′；(3)计算△A ′B ′C ′的面积S .解：(1)图略．B(2，1)．(2)略．(3)16.22．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABC 的直角边AC 在x 轴上，∠ACB ＝90°，AC ＝1，反比例函数y ＝k x (k ＞0)的图象经过BC 边的中点D (3，1)．(1)求这个反比例函数的表达式；(2)若△ABC 与△EFG 成中心对称，且△EFG 的边FG 在y 轴的正半轴上，点E 在这个函数的图象上．①求OF 的长；②连接AF ，BE ，求证：四边形ABEF 为正方形．(1)解：∵反比例函数y ＝k x(k ＞0)的图象经过点D (3，1)，∴k ＝3×1＝3，∴反比例函数的表达式为y ＝.(2)①解：∵D 为BC 的中点，∴BC ＝2.∵△ABC 与△EFG 成中心对称，∴△ABC ≌△EFG ，∴GF ＝BC ＝2，GE ＝AC ＝1.∵点E 在反比例函数的图象上，∴E (1，3)，即OG ＝3.∴OF ＝OG －FG ＝1.②证明：∵AC ＝1，OC ＝3，∴OA ＝GF ＝2.在△AOF 和△FGE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝FG ，∠AOF ＝∠FGE ，OF ＝GE ，∴△AOF ≌△FGE (SAS )，∴AF ＝EF.∴∠GFE ＝∠FAO ＝∠ABC ，∴∠GFE ＋∠AFO ＝∠FAO ＋∠BAC ＝90°，∴∠EFA ＝∠FAB ＝90°，∴EF ∥AB ，且EF ＝AB.∴四边形ABEF 为矩形．∵AF ＝EF ，∴四边形ABEF 为正方形．六、(本大题共12分)23．定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．(1)如图①，等腰直角四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°.①若AB ＝CD ＝1，AB ∥CD ，求对角线BD 的长；②若AC ⊥BD ，求证：AD ＝CD .(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形．求AE的长．解：(1)①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．又AB＝BC，∴▱ABCD是菱形．∵∠ABC＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴BD＝ 2.②连接AC，BD，∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD.又BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD ＝CD.(2)若EF与BC垂直，则AE≠EF，BF≠EF，∴四边形ABFE不是等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如解图①，此时四边形ABFE是等腰直角四边形．∴AE＝AB＝5.②当BF＝BA时，如解图②，此时四边形ABFE是等腰直角四边形．即BF＝AB＝5.∵DE∥BF，∴△PED∽△PFB，∴DE∶BF＝PD∶PB＝1∶2，∴DE＝2.5，∴AE＝9－2.5＝6.5.综上所述，AE的长为5或6.5.。

北师大版九年级上册数学期末测试卷及含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，位似比为：，将缩小，若点坐标，，则点对应点坐标为（）A. ，B.C. 或，D. ，或，2、“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，结果会造成很大的误差或错误的成语.现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，眼睛距离目标为200m，步枪上准星宽度AB为2mm，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星1mm，则目标偏离的距离为（）cm．A.25B.50C.75D.1003、已知函数，下列说法：①函数图象分布在第一、三象限；②在每个象限内，y随x的增大而减小；③若两点在该图象上，且则.其中说法正确的个数是( )A.0B.1C.2D.34、如图，在△ABC中，DE∥BC，=，则下列结论中正确的是（）A. =B. =C.D.5、如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图为（）A. B. C. D.6、如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，箭头所指示的为主视方向，则它的俯视图是（）A. B. C. D.7、如图所示的物体的左视图为（）A. B. C. D.8、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙角1.4m，楼上点D距离墙1.2m，BD长0.5m，则梯子的长为（）A.3.2mB.4mC.3.5mD.4.2m9、如图，已如平行四边形ABCD.点E在DC上，DE：EC=2：1.连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（）A.4：9B.1：3C.1：2D.2：310、如图，若，则图中的相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对11、若反比例函数的图象经过点（1，4），则此反比例函数图象经过（）A.第一、三象限B.第一、二象限C.第二、四象限D.第三、四象限12、如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A. B. C. D.13、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）A. B. C. D.14、关于直角三角形，下列说法正确的是（）A.所有的直角三角形一定相似；B.如果直角三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长一定是5；C.如果已知直角三角形两个元素（直角除外），那么这个直角三角形一定可解；D.如果已知直角三角形一锐角的三角函数值，那么这个直角三角形的三边之比一定确定．15、反比例函数y= （k≠0）的图象经过点（﹣2，3），则它还经过点（）A.（6，﹣1）B.（﹣1，﹣6）C.（3，2）D.（﹣2，3.1）二、填空题(共10题，共计30分)16、已知反比例函数y= 的图象上有两点（x1， y1）、（x2， y2），其中x1＜0＜x2，则y1________y2（填“＞”“=”或“＜”）17、从﹣1，2，3，﹣6这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点（m，n）在函数图象上的概率是________.18、布袋中有红、黄、蓝三种不同颜色的球各一个，从中先摸出一个球，记录下颜色后不放回布袋，将布袋搅匀，再摸出一个球，这时摸出的两个球是“一红一黄”的概率为________．19、如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：________，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）20、如图，菱形的对角线、交于点O，点E、F、G分别在、、上，且四边形为矩形．若，，则的长为________．21、已知反比例函数的图象如图，则m的取值范围是________。

北师大版九年级数学上册 第二章 章末培优、拔高检测卷及答案时间：120分钟 满分：120分班级：__________ 姓名：__________ 得分：__________一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A ．3x 2＋1x＝0 B ．2x －3y ＋1＝0C ．(x －3)(x －2)＝x 2D ．(3x －1)(3x ＋1)＝32．一元二次方程x 2－8x －1＝0配方后可变形为（ ）A ．(x ＋4)2＝17B ．(x ＋4)2＝15C ．(x －4)2＝17D ．(x －4)2＝153．方程(x －1)(x ＋3)＝12化为ax 2＋bx ＋c ＝0的形式后，a ，b ，c 的值分别为（ ） A ．1，2，－15 B ．1，－2，－15 C ．－1，－2，－15 D ．－1，2，－154．要使代数式3x 2－6的值等于21，则x 的值是（ ） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．± 35．方程x 2－2x ＋3＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．只有一个实数根 C ．没有实数根 D ．有两个不相等的实数根6．方程3x 2－2＝1－4x 的两个根的和为（ ） A.43 B.13 C ．－23 D ．－437．李明去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现共送礼物20件，若设有n 人参加聚会，根据题意可列出方程为（ ）A.n （n ＋1）2＝20 B ．n (n －1)＝20 C.n （n －1）2＝20 D ．n (n ＋1)＝208．一个等腰三角形的两边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．12B ．9C ．13D ．12或99．若关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1－x 1x 2＋x 2＝1－a ，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．210．如图，在一次函数y ＝－x ＋6的图象上取一点P ，作PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B ，且矩形PBOA 的面积为5，则在x 轴上方满足上述条件的点P 个数共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题3分，共24分)11．把一元二次方程(x－3)2＝4化为一般形式，其中二次项为_______，一次项系数为_______，常数项为________.12．若一元二次方程ax2－bx－2017＝0有一根为x＝－1，则a＋b＝_______.13．已知关于x的一元二次方程x2－23x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____.14．已知方程x2＋mx＋3＝0的一个根是1，则它的另一个根是_____，m的值是_______.15．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋2x－2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________.16．已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是___________.17．已知x为实数，且满足(x2＋3x)2＋2(x2＋3x)－3＝0，则x2＋3x的值为_______.18．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝_________.三、解答题(共66分)19．(12分)用适当的方法解下列方程：(1)(6x－1)2＝25；(2)x2－2x＝2x－1；(3)x2－2x＝2；(4)x(x－7)＝8(7－x)．20．(6分)随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．21.(8分)“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝(x＋2)2＋1，∵(x＋2)2≥0，∴(x＋2)2＋1≥1，∴x2＋4x ＋5≥1.试利用“配方法”解决下列问题：(1)填空：因为x2－4x＋6＝(x_____)2＋______，所以当x＝_____时，代数式x2－4x＋6有最_____(填“大”或“小”)值，这个最值为_______；(2)比较代数式x2－1与2x－3的大小．22．(8分)如图，在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积为1.6m2，已知床单的长是2m，宽是1.4m，求花边的宽度．23．(10分)已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0.(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若x1，x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝22，求m的值．24．(10分)泰兴鑫都小商品市场以每副60元的价格购进800副羽毛球拍．九月份以单价100元销售，售出了200副．十月份如果销售单价不变，预计仍可售出200副．鑫都小商品市场为增加销售量，决定降价销售．根据市场调查，销售单价每降低5元，可多售出10副，但最低销售单价应高于购进的价格．十月份结束后，批发商将对剩余的羽毛球拍一次性清仓，清仓时销售单价为50元．设十月份销售单价降低x元．(1)填表：(2)如果鑫都小商品市场希望通过销售这批羽毛球拍获利9200元，那么十月份的销售单价应是多少元？25．(12分)如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2 cm/s 的速度向点D移动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．问：(1)P，Q两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ的面积是33 cm2?(2)P，Q两点从开始出发多长时间时，点P与点Q之间的距离是10 cm?参考答案1．D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.B8．A 解析：∵x 2－7x ＋10＝0，∴(x －2)(x －5)＝0，∴x 1＝2，x 2＝5.若等腰三角形的三边为2，5，5，则2＋5>5，满足三角形三边关系，此时周长为12；若等腰三角形的三边为2，2，5，则2＋2<5，不满足三角形三边关系，舍去．故选A.9．B 解析：依题意得Δ＝(3a ＋1)2－8a (a ＋1)＞0，∴a 2－2a ＋1＞0，∴(a －1)2＞0，∴a ≠1.∵关于x 的方程ax 2－(3a ＋1)x ＋2(a ＋1)＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且有x 1－x 1x 2＋x 2＝1－a ，∴3a ＋1a －2（a ＋1）a＝1－a ，解得a ＝±1.∴a ＝－1.故选B.10．C 解析：根据题意，可设点P 的坐标为(x ，－x ＋6)．∵点P 在x 轴上方，∴y ＞0，即－x ＋6＞0，x ＜6.∵矩形PBOA 的面积为5，∴|x |(－x ＋6)＝5，即x (－x ＋6)＝5或－x (－x ＋6)＝5，解得x 1＝1，x 2＝5，x 3＝3＋14，x 4＝3－14.∵3＋14>6，∴符合要求的点P 共有3个．故选C.11．x 2 －6 5 12.2017 13.－3 14.3 －415．k >12且k ≠1 16.25或3617．1 解析：∵(x 2＋3x )2＋2(x 2＋3x )－3＝0，∴(x 2＋3x ＋3)(x 2＋3x －1)＝0，∴x 2＋3x ＋3＝0或x 2＋3x －1＝0，而x 2＋3x ＋3＝0时，Δ＝－3<0，∴x 2＋3x ＝1.18．8 解析：由已知得m 2＋2m －5＝0，∴m 2＝5－2m ，∴m 2－mn ＋3m ＋n ＝5－2m －mn ＋3m ＋n ＝m ＋n －mn ＋5.根据根与系数的关系，得m ＋n ＝－2，mn ＝－5，∴原式＝－2－(－5)＋5＝8.19．解：(1)两边开平方，得6x －1＝±5，即6x －1＝5或6x －1＝－5，∴x 1＝1，x 2＝－23；(3分) (2)移项，得x 2－4x ＝－1，配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，即(x －2)2＝3，两边开平方，得x －2＝±3，即x －2＝3或x －2＝－3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－3；(6分)(3)将原方程化为一般形式，得x 2－2x －2＝0.∴b 2－4ac ＝(－2)2－4×1×(－2)＝10，∴x ＝2±102×1，∴x 1＝2＋102，x 2＝2－102；(9分)(4)移项，得x (x －7)＋8(x －7)＝0，变形，得(x －7)(x ＋8)＝0，∴x －7＝0或x ＋8＝0，∴x 1＝7，x 2＝－8.(12分)20．解：设该种药品平均每次降价的百分率是x ，(1分)根据题意得200(1－x )2＝98，(3分)解得x 1＝1.7(不合题意，舍去)，x 2＝0.3＝30%.(5分)答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.(6分) 21．解：(1)－2 2 2 小 2(5分)(2)∵x 2－1－(2x －3)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0，∴x 2－1＞2x －3.(8分)22．解：设花边的宽度为x m ，(1分)依题意得(2－2x )(1.4－2x )＝1.6，(3分)解得x 1＝1.5，x 2＝0.2.(5分)∵2－2x ＞0，1.4－2x ＞0，∴x ＜0.7，∴x ＝0.2.(7分)答：花边的宽度为0.2m.(8分)23．(1)证明：∵Δ＝(m ＋3)2－4(m ＋1)＝m 2＋2m ＋5＝(m ＋1)2＋4＞0，(2分)∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(4分)(2)解：∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1＋x 2＝－(m ＋3)，x 1x 2＝m ＋1.(6分)∵|x 1－x 2|＝22，∴(x 1－x 2)2＝8，(7分)∴(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝8，(8分)∴(－m －3)2－4(m ＋1)＝8，整理，得m 2＋2m －3＝0，解得m 1＝1，m 2＝－3.(10分)24．解：(1)100－x 200＋2x 800－200－(200＋2x )(3分)(2)根据题意得100×200＋(100－x )(200＋2x )＋50[800－200－(200＋2x )]－60×800＝9200，(5分)解得x 1＝20，x 2＝－70(舍去)．(8分)当x ＝20时，100－x ＝80＞60，符合题意．(9分)答：十月份的销售单价应是80元．(10分)25．解：(1)设P ，Q 两点从开始出发x s 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2.(1分)则由题意得12×(16－3x ＋2x )×6＝33，(2分)解得x ＝5.(3分)∵16÷3＝163>5，∴x ＝5符合题意．(4分)故P ，Q 两点从开始出发5s 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2；(5分) (2)设P ，Q 两点从开始出发y s 时，点P 与Q 之间的距离是10cm.(6分)过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∴∠QHA ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴四边形ADQH 是矩形，∴AH ＝DQ ＝(16－2y )cm ，QH ＝AD ＝6cm ，∴当P 点在H 点上方时，PH ＝AH －AP ＝16－2y －3y ＝(16－5y )(cm)；当P 点在H 点下方时，PH ＝AP －AH ＝3y －(16－2y )＝(5y －16)(cm)，∴PH ＝|16－5y |cm.(8分)在Rt △PQH 中，根据勾股定理得PH 2＋QH 2＝PQ 2，即(16－5y )2＋62＝102，(9分)解得y 1＝1.6，y 2＝4.8.(10分)∵16÷3＝163，∴y 1＝1.6和y 2＝4.8均符合题意．(11分)故P ，Q 两点从开始出发1.6s 或4.8s 时，点P 与点Q 之间的距离是10cm.(12分)。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟培优提升测试题1（附答案详解）一、单选题1．如果两个相似三角形的面积比是1：2，那么它们的周长比是（ ） A ．1：4B ．1：2C ．2：1D ．4：12．如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，是一个几何体的主视图，则该几何体可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4．在Rt ABC △中，=90C ∠︒，3AC =，4BC =，tan B =（ ） A ．34B ．35C ．43D ．455．关于抛物线y ＝x 2﹣（a+1）x+a ﹣3，下列说法错误的是（ ） A ．开口向上B ．当a ＝3时，经过坐标原点OC ．抛物线与直线y ＝1无公共点D ．不论a 为何值，都过定点6．在同一坐标系中，函数y=kx和y=kx ﹣k 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，其面积之比为1:4，则它们的相似比为A ．1:2B ．2:1C ．1:4D ．2:18．一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m 处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮筐内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m ，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A ．篮圈中心的坐标是()4,3.05B ．此抛物线的解析式是213.55y x =-+ C ．此抛物线的顶点坐标是()3.5,0D ．篮球出手时离地面的高度是2m9．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ 的外心；④AP AD ⋅CQ CB =⋅．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④10．在ABC 中，90C ∠=︒，若已知3tan 4A =，则cos A =（ ） A ．35B ．45C ．34D ．43二、填空题11．某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m ，那么该商品现在的价格是_____________元（结果用含m 的代数式表示）．12．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0,2)，点B 在x 轴正半轴上，30ABO ∠=︒，四边形ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，若反比例函数ky x=在第一象限的图象经过BC 的中点E ，则k 的值为_______．13．如图，在ABC ∆中，90A ∠=︒，10BC =，3sin 5B ∠=，D 是BC 边上的一个动点（异于B 、C 两点），过点D 分别作AB 、AC 边的垂线，垂足分别为E 、F ，则EF 的最小值是________．14．已知点()()12A m B n ，，，在反比例函数 y = 2x的图象上，则 m 与n 的大小关系为____________15．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2MNPM＝_____．16．关于x 的方程（m ﹣3）2m 21-+m x +mx +1＝0是一元二次方程，则m 为_____．17．双曲线2y x=-经过点()11,A y -，()22,B y ，则1y ______2y （填“>”，“<”或“=”）.18．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，AB ＝8cm ，CD ＝6cm ，⊙O 的半径是5cm ，则梯形的面积是_____cm 2．19．如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把BDC 沿BD 翻折，得到BDC '，DC '与AB 交于点E ，连结AC '，若AD ＝AC '＝2，BD ＝3，则点D 到BC '的距离为_____________．20．如图，在菱形ABCD 中，∠B=60º，E 是CD 上一点，将△ADE 折叠，折痕为AE ，点D 的对应点为点D’，AD’与BC 交于点F ，若F 为BC 中点，则∠AED=______. 三、解答题21．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O ，点D 为⊙O 上一点，且CD ＝CB ，连接DO 并延长交CB 的延长线于点E ． （1）判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BE ＝2，DE ＝4，求圆的半径及AC 的长．22．如图，已知抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且，(2,3)D -，1tan 2DBA ∠=. （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第二象限，顺次连接点B 、M 、C 、A ，求四边形BMCA 面积的最大值；（3）在（2）中四边形BMCA 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数5y ax =+和2y x =-的图象相交于点(2,)A b -，反比例函数ky x=的图象经过点A ．（1）求a 、b 、k 的值；（2）设一次函数5y ax =+的图象与反比例函数的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求AOB ∆的面积．24．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB = 6cm ，BC = 12cm ，∠B = 30︒，点P 在 BC 上由点B 向点C 出发，速度为每秒2cm ；点Q 在边AD 上，同时由点 D 向点 A 运动，速度为每秒1cm ，当点 P 运动到点C 时，P 、Q 同时停止运动，连接 PQ ，设运动时间为t 秒．（1）当t 为何值时四边形 ABPQ 为平行四边形？（2）当t 为何值时，四边形 ABPQ 的面积是四边形 ABCD 的面积的四分之三？ （3）连接 AP ，是否存在某一时刻t ，使∆ABP 为等腰三角形？并求出此刻t 的值．25．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的点为E ，折痕的一端G 点在BC 上（BG ＜GC ），另一端F 落在矩形的边上，BG=5．（1）请你在备用图中画出满足条件的图形； （2）求出AF 的长．26．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，沿对角线AC 剪开，再把ABC 沿AB 方向平移，得到图2，其中A D '交AC 于E ，A C ''交BC 于F ．（1）在图2中，除ABC 与C DA ''△外，指出还有哪几对全等三角形（不能添加辅助线和字母），并选择一对加以证明；（2）设AA x '=．①当x 为何值时，四边形A ECF '是菱形？②设四边形A ECF '的面积为y ，求y 的最大值．27．已知抛物线2y x bx c =-++与直线y kx m =+交于(1,1)A --，B 两点，与y 轴交于点(0,2)C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线AB 交x 轴于点D ，且2ACB ABC BCD ∠-∠=∠，求点B 的坐标； （3）如图2，当k 0<时，在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值．28．计算：101|13(5)4sin 302π-︒⎛⎫++- ⎪⎝⎭参考答案1．B【解析】【分析】由两个相似三角形的面积比是1：2，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得它们的周长比．【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是1：2，∴这两个相似三角形的相似比是1：2，∴它们的周长比是1：2，故选：B．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比．2．A【解析】【分析】根据左视图的定义，从主视图的左边往右边看得到的视图就是左视图，即可得到答案．【详解】从主视图的左边往右边看得到的视图为故选：A【点睛】本题考查了左视图的定义，一般指由物体左边向右做正投影得到的视图．3．B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为三角形，易判断该几何体是一个圆锥． 【详解】解：A 的主视图上部是三角形，下部是矩形，故不符合题意； B 的主视图是三角形，符合题意； C 的主视图是两个矩形，故不符合题意； D 的主视图是矩形，故不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查了三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 4．A 【解析】 【分析】根据直角三角形正切的定义，即可得到答案. 【详解】解：∵在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，3tan 4AC B BC ∴==． 故选：A ． 【点睛】本题考查了正切的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题. 5．C 【解析】 【分析】根据a ＝1，判断开口方向，把a ＝3代入解析式，即可得出图象过原点，根据左同右异原则即可得出a 的范围，把（1，﹣2）代入即可得出答案，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断． 【详解】 ∵a ＝1，∴抛物线开口向上；当a＝3时，抛物线的解析式为y＝x2﹣4x，则过原点；对称轴为x＝1 2a，当a＞0时，对称轴＞0，∴对称轴在y轴右侧；当x＝1时，y＝1﹣a﹣1+a﹣3＝﹣3，∴不论a为何值，都经过定点（1，﹣3），故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的系数与图象的关系，可根据二次函数的系数判断二次函数图象的开口方向、对称轴位置、顶点坐标等．6．B【解析】【分析】根据四个选项中的一次函数的图象依据一次函数图象与系数的关系可得出k的取值范围，由此得出A、C不正确，再分析B、D中的反比例函数图象即可得出结论．【详解】解：A、由一次函数图象可知：k＞0，−k＜0，A不正确；B、由一次函数图象可知：k＞0，−k＜0，由反比例函数图象可知：k＞0，B正确；C、由一次函数图象可知：k＜0，−k＞0，C不正确；D、由一次函数图象可知：k＜0，−k＞0，由反比例函数图象可知：k＞0，D不正确．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是逐项分析k 的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象结合一次函数图象与系数的关系找出系数k的取值范围是关键．7．A【解析】【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方解答． 【详解】∵五边形ABCDE 与五边形'''''A B C D E 相似，面积比为1:4， ∴相似比为1:2． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查相似多边形面积的比等于相似比的平方的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 8．A 【解析】 【分析】设抛物线的表达式为y=ax 2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a 的值，可判断A ；根据函数图象可判断B 、C ；设这次跳投时，球出手处离地面hm ，因为求得21 3.55y x =-+，当x=-2，5时，即可判断D ． 【详解】解：A 、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴可设抛物线的函数关系式为y=ax 2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=15-， ∴21 3.55y x =-+，故本选项正确； B 、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），故本选项错误； C 、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），故本选项错误； D 、设这次跳投时，球出手处离地面hm ， 因为（1）中求得y=-0.2x 2+3.5， ∴当x=-2.5时，h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m ．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m ，故本选项错误． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大，能够结合题意利用二次函数不同的表达形式求得解析式是解答本题的关键．9．B【解析】【分析】①由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可判断①；②连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP ，利用等角对等边可得出GP=GD ，可判断②；③先由垂径定理得到A 为CE 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AE =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP ，利用等角对等边可得出AP=CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC ，得出CP=PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可判断③；④正确．证明△APF ∽△ABD ，可得AP×AD=AF×AB ，证明△ACF ∽△ABC ，可得AC 2=AF×AB ，证明△CAQ ∽△CBA ，可得AC 2=CQ×CB ，由此即可判断④；【详解】解：①错误，假设BAD ABC ∠=∠，则BD AC =，AC CD =，∴AC CD BD ==，显然不可能，故①错误．②正确．连接OD ．GD 是切线，DG OD ∴⊥，90GDP ADO ∴∠+∠=︒，OA OD =，ADO OAD ∴∠=∠，90APF OAD ∠+∠=︒，GPD APF ∠=∠，GPD GDP ∴∠=∠，GD GP ∴=，故②正确．③正确．AB CE ⊥，∴AE AC =，AC CD =，∴CD AE =，CAD ACE ∴∠=∠，PC PA ∴=， AB 是直径，90ACQ ∴∠=︒，90ACP QCP ∴∠+∠=︒，90CAP CQP ∠+∠=︒，PCQ PQC ∴∠=∠，PC PQ PA ∴==，90ACQ ∠=︒，∴点P 是ACQ ∆的外心．故③正确．④正确．连接BD ．90AFP ADB ∠=∠=︒，PAF BAD ∠=∠，APF ABD ∴∆∆∽， ∴AP AF AB AD=， AP AD AF AB ∴⋅=⋅，CAF BAC ∠=∠，90AFC ACB ∠=∠=︒，ACF ABC ∴∆∆∽，可得2AC AF AB =，ACQ ACB ∠=∠，CAQ ABC ∠=∠，CAQ CBA ∴∆∆∽，可得2AC CQ CB =⋅， AP AD CQ CB ∴⋅=⋅．故④正确，故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．10．B【解析】【分析】根据题意利用三角函数的定义，定义成三角形的边的比值，进行分析计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90C ∠=︒，∵3tan 4BC A AC==， 设BC=3x ，则AC=4x ，根据勾股定理可得：22(3)(4)5AB x x x =+=，∴44cos 55AC x A AB x ===. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的定义，注意掌握求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或余角）的三角函数关系式求三角函数值．11．()21001m -【解析】【分析】根据该商品现在的价格=原价×（1-降价的百分率）2即可得出结论：【详解】解：∵原价为100元，百分率都是m ，∴该商品现在的价格是()21001m -；故答案为：()21001m -．【点睛】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，关系是该商品现在的价格=原价×（1-m ）2．12．【解析】【分析】如图（见解析），过点C 作CF x ⊥轴于点F ，先根据直角三角形的性质求出OB 的长，从而可得点B 的坐标，再根据菱形的性质可得AB CB =，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得,CF AO BF OB ==，从而可得出点C 的坐标，最后根据中点的定义可得点E 的坐标，代入反比例函数的解析式求解即可得．【详解】如图，过点C 作CF x ⊥轴于点F点A 的坐标为(0,2)2AO ∴=在Rt AOB 中，30ABO ∠=︒2224,23AB AO OB AB AO ∴===-=∴点B 的坐标为(23,0)B120ABC ∠=︒18030CBF ABC ABO ∴∠=︒-∠-∠=︒CBF ABO ∴∠=∠四边形ABCD 是菱形AB CB ∴=在CFB 和AOB 中，90CBF ABO CFB AOB CB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()CFB AOB AAS ≅∴2,23CF AO BF OB ∴====43OF BF OB ∴=+=∴点C 的坐标为(43,2)C点E 是BC 的中点∴点E 的坐标为234302(,)2E ++，即(33,1)E 将(33,1)E 代入反比例函数k y x=得：133= 解得33k =故答案为：33．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形全等的判定定理与性质、反比例函数等知识点，利用菱形的性质得出两个三角形全等的判定条件是解题关键．13．245【解析】 【分析】先利用10BC =，3sin 5B ∠=求得AC 的长，再证明四边形AEDF 是矩形，推出EF ＝AD ，根据垂线段最短即可解决问题；【详解】解：如图，连接AD ．在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°，10BC =，3sin 5B ∠=， ∴3105AC =， ∴AC ＝6，∴AB 2268+＝10，∵DF ⊥AC ，DE ⊥BC ，∴∠DF A ＝∠DEA ＝∠BAC ＝90°，∴四边形AEDF 是矩形，∴EF ＝AD ，∴当AD ⊥BC 时，AD 的值最小，此时EF 最小值＝AD ＝245AC AB BC =， 故答案为：245． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．14．m ＞n【解析】【分析】把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出m ，n 的值，比较大小即可．【详解】解：点A （1，m ）在反比例函数y = 2x的图象上， ∴221m ==， B （2，n ）都在反比例函数y =2x 的图象上， ∴212n ==， ∴m ＞n ，故答案为：m ＞n ．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．15．2．【解析】【分析】根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2MN PM 即可解答本题．【详解】解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，∴点P 的坐标为（1，2），设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2MN PM ．16．1【解析】【分析】根据题意，由于原方程是一元二次方程，那么有x 的次数是2，系数不为0，计算即可．【详解】由题意可知：m 2﹣2m +1＝2，解得：m ＝∵m ﹣3≠0，∴m ≠3，∴m=，故答案为：1【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，特别注意二次项系数不能为0这个条件.17．>【解析】【分析】将点A 、B 的坐标分别代入双曲线的解析式，求得1y 、2y ，再比较1y 、2y 的大小即可.【详解】 双曲线2y x=-经过点()11,A y -，()22,B y ， 当1x =-时，1221y =-=-， 当2x =时，1212y =-=-， ∴12y y >．故答案为：>．【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，直接将横坐标代入解析式求得纵坐标，再作比较更为简单．18．49或7【解析】【分析】梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解．【详解】解：过点O作OE⊥CE于点E，交AB于点F，连接OA，OC，∵AB＝8，CD＝6，∴CE12=BC12=⨯6＝3，AF12=AB12=⨯8＝4，在Rt△COE中，OE222253OC CE=-=-=4；在Rt△AOF中，OF222254OA AF=-=-=3，当点AB，CD在圆心O的同侧时，如图1所示：EF＝OE+OF＝4+3＝7，S梯形ABCD12=(AB+CD)•EF12=⨯(6+8)×7＝49；当点AB，CD在圆心O的异侧时，如图2所示：EF＝OE﹣OF＝4﹣3＝1，S梯形ABCD12=(AB+CD)•EF12=⨯(6+8)×1＝7；∴梯形ABCD的面积为：7cm2或49cm2．故答案为：7cm2或49cm2．【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．19 【解析】【分析】连接CC '，交BD 于点M ，过点D 作DH ⊥BC '于点H ，由翻折知，BDC BDC '≌，BD垂直平分CC '，证ADC '为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，C M '= BM=2，在Rt BMC '中，利用勾股定理求出BC '的长，在BDC '中利用面积法求出DH 的长．【详解】解：如图，连接CC '，交BD 于点M ，过点D 作DH ⊥BC '于点H ，∵AD=AC '=2，D 是AC 边上的中点，∴DC=AD=2，由翻折知，BDC BDC '≌，BD 垂直平分CC '，∴DC=DC '=2，BC=BC '，CM=C M '，∴AD=AC '=DC '=2，∴ADC '为等边三角形，∴60,ADC AC D C AC '''∠=∠=∠=︒∵DC DC '=， ∴16030,2DCC DC C ''∠=∠=⨯︒=︒ 在Rt C DM '中， 30,2,DC C DC ''∠=︒=∴DM=1，C M '==∴BM=BD-DM=3-1=2，在Rt BMC '中， BC '=== ∵11,22BDC SBC DH BD C M '''=•=•∴ 3=∴321,DH = 故答案为：321.7 ．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度．20．75º【解析】【分析】如图（见解析），连接AC ，易证ABC ∆是等边三角形，从而可得AF BC ⊥，又由//AD BC 可得AF AD ⊥，再根据折叠的性质得DAE EAF ∠=∠，最后在DAE ∆中利用三角形的内角和定理即可得.【详解】如图，连接AC在菱形ABCD 中，60B ∠=︒,//,60AB BC AD BC D ∴=∠=︒ABC ∆∴是等边三角形F 为BC 中点 AF BC ∴⊥（等腰三角形三线合一的性质），即90AFC ∠=︒ 1809090DAF ∴∠=︒-︒=︒（两直线平行，同旁内角互补）又由折叠的性质得：DAE EAF ∠=∠1452DAE DAF ∴∠=∠=︒ 在DAE ∆中，由三角形的内角和定理得：18075DAE D AED ︒-∠-∠=∠=︒故答案为：75︒.【点睛】本题是一道较好的综合题，考查了菱形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、图形折叠的性质、三角形的内角和定理，利用三线合一的性质证出AF BC⊥是解题关键. 21．（1）DC是⊙O的切线，见解析；（2）圆的半径为1.5，AC的长为32【解析】【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（4-r）2=r2+22，推出r=1.5，由tan∠E=OB CDEB DE=，推出1.524CD=，可得CD=BC=3，再利用勾股定理即可解决问题.【详解】（1）证明：∵CB＝CD，CO＝CO，OB＝OD，∴△OCB≌△OCD（SSS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2＝EB2+OB2，∴（4﹣r）2＝r2+22，∴r＝1.5，∵tan∠E＝OB CD EB DE=，∴1.524CD=，∴CD＝BC＝3，在Rt △ABC 中，AC =∴圆的半径为1.5，AC 的长为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．22．（1）213222y x x =--+；（2）当2m =-时，S 四边形BMCA 取得最大值，最大值为9；（3）存在，点Q 为()2,1-或()2,4--.【解析】【分析】（1）过点D 作DE ⊥x 轴，垂足为E ，由点D 的坐标结合tan ∠DBA=12，可求出点B 的坐标，根据点B ，D 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）过点M 作MF ⊥x 轴，垂足为F ，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出A ，C 的坐标，设点M 的坐标为（m ，213222m m --+）（-4＜m ＜0），则点F 的坐标为（m ，0），由S 四边形BMCA =S △BMF +S 梯形FMCO +S △OCA 可得出S 四边形BMCA 关于m 的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求出四边形BMCA 面积的最大值；（3）连接BC ，易证△BOC ∽△COA ，进而可得出BC ⊥AC ，由点A ，B ，C 的坐标，利用待定系数法可求出直线BC ，AC 的解析式，设点Q 的坐标为（-2，n ），由平行线的性质可得出过点Q 且垂直AC 的直线的解析式为y=12x+n+1，联立该直线与AC 的解析式成方程组，通过解方程组可求出交点的坐标，再由该点到点Q 的距离等于线段OQ 的长度可得出关于n 的一元二次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，如图1所示，∵点D的坐标为(2,3)-∴2OE=，3DE=.∵1tan2DBA∠=，∴26BE DE==，∴4OB BE OE=-=，∴点B的坐标为(4,0)-.将(4,0)B-，(2,3)D-代入212y x bx c=-++，得：840223b cb c--+=⎧⎨-++=-⎩，解得：322bc⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为213222y x x=--+.（2）过点M作MF x⊥轴，垂足为F，如图2所示，当0y=时，213x x2022--+=，解得：14x=-，21x=，∴点A的坐标为()1,0；当0x =时，2132222y x x =--+=， ∴点C 的坐标为（0，2）.设点M 的坐标为213,2(40)22m m m m ⎛⎫--+-<< ⎪⎝⎭，则点F 的坐标为(,0)m ， ∴4BF m =+，OF m =-，213222MF m m =--+，2OC =，1OA =， ∴S 四边形BMCA BMF S S =+△梯形FMCO OCA S +△，()111222BF MF MF OC OF OA OC =⋅++⋅+⋅， ()221131131(4)222122222222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯--++⨯--++⨯-+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 245m m =--+()229m =-++.∵10-<，∴当2m =-时，S 四边形BMCA 取得最大值，最大值为9.（3）连接BC ，如图3所示，∵2OB OC OC OA==，90BCO COA ∠=∠=︒，∴BOC COA ∽△△，∴OBC OCA ∠=∠.∵90OBC OCB ∠+∠=︒，∴90OCA OCB ACB ∠+∠=︒=∠，∴BC AC ⊥.∵点B 的坐标为(4,0)-，点C 的坐标为（0，2），点A 的坐标为（1，0），∴直线BC 的解析式为122y x =+，直线AC 的解析式为22y x =-+（可利用待定系数法求出）.设点Q 的坐标为()2,n -，则过点Q 且垂直AC 的直线的解析式为：112y x n =++. 联立两直线解析式成方程组，得： 11222y x n y x ⎧=++⎪⎨⎪=-+⎩，解得：2(1)5465n x n y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴两直线的交点坐标为2(1)46,55n n -+⎛⎫ ⎪⎝⎭. 依题意，得：22222(1)46(20)(0)(2)55n n n n -+⎡⎤⎛⎫--+-=--+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭整理，得2340n n +-=，解得：11n =，24n =-，∴点Q 的坐标为()2,1-或()2,4--.综上所述：在这条直线上存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，点Q 的坐标为()2,1-或()2,4--.【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、解直角三角形、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、相似三角形的判定与性质、平行线的性质以及两点间的距离公式，解题的关键是：（1）通过解直角三角形求出点B 的坐标；（2）利用分割图形求面积法，找出S 四边形BMCA 关于m 的函数关系式；（3）利用两点间的距离公式，找出关于n 的一元二次方23．（1）k=﹣8，a=12，b=4；（2）15 【解析】【分析】（1）将A （－2，b ）代入y=-2x 可求b ，即知点A 坐标，然后根据待定系数法即可求得a ，k（2）联立方程求得交点B 的坐标，进而求得直线与x 轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可．【详解】解：（1）将A （﹣2，b ）代入y=﹣2x 得b=﹣2×（﹣2）=4∴A （﹣2，4），∵反比例函数y ＝k x、一次函数y=ax+5的图象经过点A ， ∴k ＝﹣2×4＝﹣8， 4=a×（﹣2）+5∴k=﹣8，a=12（2）由（1）可知一次函数y=12x+5及反比例函数的表达式是y ＝8x- 联立得8152y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或81x y =-⎧⎨=⎩， ∴B （﹣8，1），由直线AB 的解析式为y ＝12x+5得到直线与x 轴的交点为（﹣10，0）， ∴S △AOB ＝12×10×4﹣12×10×1＝15． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．24．（1）当4t =时，四边形ABPQ 是平行四边形；（2）当6t =时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三；（3）存在，当3t =或ABP ∆为等腰三【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对边相等得AQ BP =，建立方程求解即可；（2）分别表示出四边形ABPQ 和四边形ABCD 的面积，利用面积关系即可求出t ； （3）分三种情况，利用等腰三角形的性质，两腰相等建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）由P 、Q 的运动方式得：(2)=BP t cm ，DQ t =cm ，∵当点P 运动到点C 时，P 、Q 同时停止运动，∴06t <≤，在平行四边形 ABCD 中，BC = 12cm ，∴12AD BC ==cm ，则(12)=-AQ t cm ，若四边形 ABPQ 为平行四边形，则BP AQ =，即212=-t t ，解得：4t =，∴当4t =时，四边形ABPQ 是平行四边形；（2）如图 1，过点A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ABE △中，30B ∠=︒，6AB =cm ，3AE ∴=cm ，四边形ABCD 是平行四边形，BC = 12cm ，∴12336=⋅=⨯=ABCD S BC AE cm 2，由（1）得：(2)=BP t cm ，(12)=-AQ t cm ，∴S 四边形ABPQ =113()(212)3(18)222+⋅=+-⨯=+BP AQ AE t t t cm 2，若四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三，即33183624+=⨯t ，解得：6t =， ∴当6t =时，四边形ABPQ 的面积是四边形ABCD 的面积的四分之三；（3）存在某一时刻t ，使ABP △为等腰三角形,若ABP △为等腰三角形，则AB BP =或AP BP =或AB AP =，①当AB BP =时，则6BP =cm ，即26t =，解得：3t =；②当AP BP =时， 如图 2 ，过P 作PM 垂直于AB ，垂足为点M ，∵AP BP =，PM ⊥AB ，∴132==BM AB cm ， 30B ∠=︒，∴23BP =cm ，则223=t ，解得：3t =，③当AB AP =时，如图3，∵AB AP =，AE BC ⊥，∴E 为BP 中点，则BP =2BE ，在Rt ABE △中，30B ∠=︒，6AB =cm ，AE =3cm ，∴33BE =，263==BP BE ，则263=t ，解得：33t =，所以，当3t =或3或33时，ABP ∆为等腰三角形． 【点睛】 本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质、含30的直角三角形的性质，等腰三角形的定义，解题的关键是熟练运用这些性质和运用分类讨论的思想思考问题． 25．（1）图见解析；（2）AF 的长为32或3． 【解析】【分析】（1）根据折叠的性质和顶点B 折叠后的落点可确定另一端F 的位置，由此画图即可得； （2）在图1中，过点G 作GM AD ⊥于点M ，先根据矩形的性质、折叠的性质得出5EG BG ==，4MG AB ==，EF BF =，再利用勾股定理可得EM 的长，从而可得AE 的长，设AF x =，然后在Rt AEF 中，利用勾股定理即可得；在图2中，过点G 作GN AD ⊥于点N ，先根据线段的和差求出FN 的长，再利用勾股定理求出EN 的长，从而可得EF 的长，然后在Rt A EF '中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）根据折叠的性质和顶点B 折叠后的落点，可分以下两种情况：①当另一端F 落在矩形的边AB 上时，作图结果如图1所示：②当另一端F 落在矩形的边AD 上时，作图结果如图2所示：（2）①在图1中，过点G 作GM AD ⊥于点M ，则四边形ABGM 是矩形4MG AB ∴==，5AM BG ==由折叠的性质得：5EG BG ==，EF BF =在Rt EGM 中，2222543EM EG MG =-=-=532AE AM EM ∴=-=-=四边形ABCD 是矩形90A ∴∠=︒设AF x =，则4EF BF AB AF x ==-=-在Rt AEF 中，222AE AF EF +=，即2222(4)x x +=-解得32x = ②在图2中，过点G 作GN AD ⊥于点N ，则四边形ABGN 是矩形4NG AB ∴==，5AN BG ==由折叠的性质得：5EG BG ==，4A E AB '==，A F AF ，90A A '∠=∠=︒ 5FN AN AF AF ∴=-=-在Rt EGN 中，2222543EN EG NG =-=-=设AF x =，则A F x '=，5FN x =-538EF FN EN x x ∴=+=-+=-在Rt A EF '中，222A E A F EF ''+=，即2224(8)x x +=-解得3x =综上，AF 的长为32或3．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题、勾股定理等知识点，掌握折叠的性质，正确分两种情况是解题关键．26．（1）CDE △≌A BF '△，AA E '≌C CF '△；理由见解析；（2）① 2.5x =；②最大值为3．【解析】【分析】（1）根据图形得到全等的三角形CDE △≌A BF '△，AA E '≌C CF '△，利用ASA 证明AA E '≌C CF '△；（2）①证明AA E '∽△ABC ，求出34A E x '=，证明△BA F '∽△BAC 求出5(4)4A F x '=-，根据菱形的性质得到A F A E ''=，即可求出x ； ②证明四边形A ECF '是平行四边形，利用面积公式求出面积y ，再配方为顶点式即可得到y 的最大值.【详解】（1）CDE △≌A BF '△，AA E '≌C CF '△，证明∵图1中，//AB CD ，∴BAC DCA ∠=∠．∵DCA DC A ''∠=∠，∴BAC DC A ''∠=；∵90AA E C CF ''∠=∠=︒，AA C C ''=，∴AA E '≌C CF '△．（2）①∵4AB =，3AD =，∠BAC=90°，∴AC=5，∵A D '∥BC ，∴AA E '∽△ABC ， ∴AA A E AB BC''=， ∴43x A E '=， ∴34A E x '=， ∵A F '∥AC ，∴△BA F '∽△BAC ， ∴BA A F AB AC''=, ∴445x A F '-=， ∴5(4)4A F x '=-， ∵四边形A ECF '是菱形，∴A F A E ''=，∴53(4)44x x -=， 解得 2.5x =；②∵AB ∥C D '，A D '∥BC ，∴四边形A ECF '是平行四边形 ∴()344y A E A B x x ''=⨯=⋅-()23234x =--+ ∴y 最大值为3．【点睛】此题考查矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定定理，二次函数的性质.27．（1）222y x x =-++；（2）82,39B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）k =【解析】【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）由2ACB ABC BCD ∠-∠=∠推出AC=AD ，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ，证明AMD ANC △≌△，得到(2,0)D ，从而得到AB 的解析式，联立二次函数和一次函数，可得点B 坐标；（3）分别过A ，B 两点作AD x ⊥轴于点D ，BE x ⊥轴于点E ，证明ADP PEB △∽△，则AD BE DP PE ⋅=⋅，设AB 解析式为1y kx k =+-，联立，解出2(2)30x k x k +-+-=，得到点B 坐标，设(,0)P t ，代入AD BE DP PE ⋅=⋅，再令判别式为零，解出k 值即可.【详解】解：（1）抛物线2y x bx c =-++与直线y kx m =+交于(1,1)A --，B 两点，与y 轴交于点C （0，2），∴c=2，将A （-1，-1）代入22y x bx =-++，解得：b=2，∴抛物线的表达式为：222y x x =-++；（2）∵2ACB ABC BCD ∠-∠=∠，∴ACB BCD ABC BCD ∠-∠=∠+∠，即ACD ADC ∠=∠，∴AC AD =，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于点N ，∴AM AN =，∴AMD ANC △≌△，∴DM CN =，∴2OD OC ==，∴(2,0)D ，∴AB 的解析式为1233y x =-， 联立2123322y x y x x ⎧=-⎪⎨⎪=-++⎩， 解得：183x =，21x =-（舍）， 可求82,39B ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （3）分别过A ，B 两点作AD x ⊥轴于点D ，BE x ⊥轴于点E ，∵∠APB=90°，∴∠APD+∠BPE=90°，而∠APD+∠PAD=90°，∴∠BPE=∠PAD ，而∠ADP=∠BEP ，则ADP PEB △∽△，∴AD BE DP PE ⋅=⋅，设AB 解析式为1y kx k =+-，联立222,1,y x x y kx k ⎧=-++⎨=+-⎩∴2(2)30x k x k +-+-=，∴3B x k =-，241B k k y =-+-，设(,0)P t ，则()2411(1)(3)k k t k t -+⨯=+--，∴22(2)320t k t k k +-+--=，当x 轴上只有唯一点P 时，()22(2)4320k k k =----=△， ∴238120k k --=，∴4213k +=（舍），4213k =-．【点睛】 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是适当添加辅助线，构造相似三角形解题.283【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值的性质，零次幂的定义，特殊角度的三角函数值分别化简计算即可.【详解】101|13(5)4sin 302π-︒⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭， =1231142+-⨯， 3【点睛】此题考查计算能力，正确掌握负整数指数幂，绝对值的性质，零次幂的定义，特殊角度的三角函数值是解题的关键.。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习培优提升训练题1（附答案详解）一、单选题1．一个几何体的三视图如图，则根据已知的数据，可得这个几何体的侧面积是（）A．15πB．24πC．12πD．20π2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下面所列方程中正确的是( )A．168(1＋a%)2＝128 B．168(1－a%)2＝128C．168(1－2a%)＝128 D．168(1－a2%)＝1283．若点（3，4）是反比例函数222m myx+-=图象上一点，则此函数图象必经过点（）A．（2，6） B．（2，-6）C．（4，-3）D．（3，-4）4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝3，BE＝4，则阴影部分的面积是( )A．12 B．20 C．19 D．255．已知反比例函数y＝kx(k<0)图象上有三点A(－3，a)、B(－1，b)、C(2，c)，则a、b、c的大小关系是（）A．c<a<b B．a<c<b C．b<c<a D．c<b<a 6．若方程3（x﹣7）（x﹣2）=k的根是7和2，则k的值为（）A．0B．2C．7D．2或7 7．如图，在△ABC中，∠AED=∠B，DE=6，AB=10，AE=8，则BC的长度为( )A．152B．154C．3 D．838．将一个正方体沿图1所示切开，形成如图2的图形，则图2的左视图为()A．B．C．D．9．如图，AB为⊙O的弦，AB＝8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，则⊙O 的半径为（）A．8.5 B．7.5 C．9.5 D．810．在一个暗箱内放有a个除颜色外其余完全相同的小球，其中红球只有3个且摸到红球的概率为15%，则a的值是（）A．20 B．15 C．12 D．911．如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，作EF//BC，交AC于点F、如果 ，那么CD的长为（）EF4A．2B．4C．6D．812．如图，是一个由多个相同小正方体堆积而成的几何体的俯视图，图中所示数字为该位置小正方体的个数，则这个几何体的主视图(从正面看)是()A．B．C．D．二、填空题13．在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，以A为圆心作圆，如果B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是____________．14．已知，二次函数y=x2+bx﹣2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，则当x=x1+x2时，则y的值为___________.15．抛物线y=﹣x2+3x﹣12的对称轴是_____．16．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝－x2－2x的图象上．若x1＞x2＞－1，则y1____y2.(填“＞”“＜”或“＝”)17．如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，则第2015个正方形的边长为________．18．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB＝12，OM∶CM＝5∶18，则⊙O的周长为____．19．抛物线y＝2(x＋3)2向右平移2个单位长度后，得到抛物线y＝2(x－h)2，则h＝______.20．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（4，a）（a＞4），半径为4，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为215，则a的值是_____．21．长方形的对角线长12，长宽之比为4:3，则长方形的长是________．22． 已知x 1，x 2为方程x 2＋4x ＋2＝0的两实数根，则x 13＋14x 2＋5＝________. 23．如图，在5×5的正方形网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则sin ∠C 的值为_____．24．已知二次函数y=x 2﹣2mx （m 为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y 的最小值为﹣2，则m 的值是_____．三、解答题25．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于D ，AD=2，CD=4．∠BCD 的角平分线CE 与过点B 的切线l 交过点E ．（1）求⊙O 半径的长；（2）求点E 到直线BC 的距离．26．如图，已知在ABC ∆中，5AB AC ==，cos 45B =，P 是边AB 上一点，以P 为圆心，PB 为半径的⊙P 与边BC 的另一个交点为D ，连结PD 、AD ．（1）求△ABC 的面积；（2）设PB x =，APD ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）如果APD ∆是直角三角形，求PB 的长．27．甲、乙两公司同时销售一款进价为40元/千克的产品．图①中折线ABC表示甲公司销售价y1（元/千克）与销售量x（千克）之间的函数关系，图②中抛物线表示乙公司销售这款产品获得的利润y2（元）与销售量x（千克）之间的函数关系．（1）分别求出图①中线段AB、图②中抛物线所表示的函数表达式；（2）当该产品销售量为多少千克时，甲、乙两公司获得的利润的差最大？最大值为多少？28．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A==BC AB底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）求sad60°的值；（2）对于0°＜A＜180°，求∠A的正对值sadA的取值范围．（3）已知sinα=35，其中α为锐角，试求sadα的值．29．一艘小船从码头A出发沿北偏东54方向航行，航行一段时间到达航标B处，后又沿着北偏西21方向航行了10海里到达C处，这时从码头A测得小船在码头A北偏东24的方向上，求此时小船与码头A之间的距离（结果用根号表示）．30．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G．（1）求证：内切圆的半径r=1；（2）求tan∠OAG的值．31．（1）（﹣2）2+2sin 45°﹣11()18 2-⨯（2）解不等式组523(1)131322x xx x+>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来．32．在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a＝3，b和c 是关于x的方程x2+mx+2-m=0的两个实数根．（1）求△ABC的周长．（2）求△ABC的三边均为整数时的外接圆半径．33．如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式；（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标；（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点，连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积.34．某商场经营某种品牌的童装，购进时的单价是50元．根据市场调查，在一段时间内，销售单价是80元时，销售量是280件．而销售单价每降低1元，就可多售出20件．()1求出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式；()2若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于75元，且商场要完成不少于340件的销售任务，则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少元？()3如果要使利润不低于6800元，那么销售单价应在什么取值范围内？35．一圆柱形排水管的截面如图所示，已知排水管的半径为5m，水面宽AB为8m．由于天气干燥，水管水面下降，此时排水管水面宽变为6m，求水面下降的高度．36．吉林省广播电视塔（简称“吉塔”）是我省目前最高的人工建筑，也是俯瞰长春市美景的最佳去处．某科技兴趣小组利用无人机搭载测量仪器测量“吉塔”的高度．已知如图将无人机置于距离“吉塔”水平距离138米的点C处，则从无人机上观测塔尖的仰角恰为30°，观测塔基座中心点的俯角恰为45°．求“吉塔”的高度．（注：3≈1.73，结果保留整数）参考答案1．A【解析】【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．【详解】此几何体为圆锥；∵半径为3，高为4，∴圆锥母线长为5，∴侧面积=2πrR÷2=15π；故选:A.【点睛】考查圆锥的侧面积的计算，掌握圆锥侧面积的计算公式是解题的关键.2．B【解析】【分析】【详解】解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元，第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2；故选B.3．A【解析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征. 根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点（3，4）代入反比例函数y=221m mx+-，求得m2+2m-1值，然后再求函数图象所必须经过的点．解：∵点（3，4）是反比例函数y=221m mx+-图象上一点，∴点（3，4）满足反比例函数y=221 m mx+-，∴4=2213m m+-，即m2+2m-1=12，∴点（3，4）是反比例函数为y=12x上的一点，∴xy=12；A、∵x=2，y=6，∴2×6=12，故本选项正确；B、∵x=2，y=-6，∴2×（-6）=-12，故本选项错误；C、∵x=4，y=-3，∴4×（-3）=-12，故本选项错误；D、∵x=3，y=-4，∴3×（-4）=-12，故本选项错误；故选A．4．C【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是AE×BE=×3×4=6，∴阴影部分的面积是25-6=19，故选：C【点睛】本题考查正方形的性质，三角形的面积，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力和推理能力，解题关键是熟练掌握性质．5．A【解析】分析：先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．详解：∵比例函数y=kx（k＜0）中，k＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵-3＜-1＜0，∴点A（-3，a）、B（-1，b）在第二象限，∵函数图象在第二象限内为增函数，∴0＜a＜b，∵2＞0，∴C（2，c）在第四象限，∴c＜0，∴a、b、c的大小关系是c＜a＜b，故选A．点睛：本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．关键是根据反比例函数的增减性解题．6．A【解析】【分析】将方程整理成一般式后由x1•x2=ca得出关于k的方程，解之可得．【详解】整理方程得3x2-27x+42-k=0，∵方程的根是7和2，∴423k-=14，解得：k=0，故选A.7．A【解析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB∴AE DE AB BC=，∵DE=6，AB=10，AE=8，∴8610BC=，解得BC＝15 2.故选A.8．C【解析】【分析】由几何体形状直接得出其左视图，正方形上面有一条斜线．【详解】如图所示：图2的左视图为：．故选C．【点睛】本题考查了三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线.9．A【解析】【分析】根据垂径定理得到直角三角形，求出AD的长，连接OA，得到直角三角形，然后在直角三角形中计算出半径的长.【详解】解：如图所示：连接OA，则OA长为半径.∵OC AB⊥于点D，∴142AD DB AB===，∵在Rt OAD 中，222OA AD OD =+，∴()22214OA OA =-+， ∴178.52OA ==， 故答案为A.【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理.根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”得到一直角边，利用勾股定理列出关于半径的等量关系是解题关键.10．A【解析】分析：由在一个暗箱内放有a 个除颜色外其余完全相同的小球，其中红球只有3个且摸到红球的概率为15%，根据概率公式即可得方程：3a =15%，解此方程即可求得答案． 详解：根据题意得：3a=15%， 解得：a =20.故选A.点睛：本题考查了概率公式.11．D【解析】【分析】由EF//BC ，E 是AB 的中点可得F 是AC 中点，继而根据三角形中位线定理求得BC 长，再根据菱形的性质即可求得答案.【详解】∵E 是AB 的中点，且EF//BC ，∴F 是AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴BC=2EF=2×4=8， ∵四边形ABCD 是菱形，∴CD=BC=8，故选D.【点睛】 本题考查了菱形的性质，平行线等分线段定理，三角形中位线定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键.12．B【解析】【分析】俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有4列，从左到右分别是1，2，3，2个正方形．【详解】由俯视图中的数字可得：主视图有4列，从左到右分别是1，2，3，2个正方形． 故选B ．【点睛】本题考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．13．6<r <10【解析】如图，连接AC ，∵ 在矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，∠ABC=90°， ∴AC=22AB AD +=2286+=100=10，∴AD<AB<AC ，∵B ，C ，D 三点中至少有一点在⊙A 内，且至少有一点⊙A 在外，∴点D 一定在⊙A 内，点C 一定在⊙A 外，∴⊙A 半径r 的取值范围应大于AD 的长，小于对角线AC 的长，即6<r<10．故答案为：6<r<10．点睛：要确定点与圆的位置关系，就要确定点到圆心的距离与半径的大小关系，设点与圆心的距离d，圆的半径为r，则d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内. 14．−2017.【解析】【分析】因为二次函数y=x2+bx-2017的图象与x轴交于点A（x1，0）、B（x2，0）两点，所以x1+x2=-b，当x=x1+x2=−b时,y=(−b)2+b⋅(−b)−2017=−2017，由此即可解决问题．【详解】∵二次函数y=x2+bx−2017的图象与x轴交于点A(x1,0)、B(x2,0)两点，∴x1+x2=−b，∴当x=x1+x2=−b时,y=(−b)2+b⋅(−b)−2017=−2017.故答案为：−2017.【点睛】考查二次函与x轴的交点问题，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键.15．直线x=3 2【解析】【分析】【详解】y=﹣x2+3x﹣1 2=-（x2-3x）-1 2=-(x-32)2+74∴抛物线y=﹣x2+3x﹣12的对称轴是直线x=32.16．＜【解析】∵y＝－x2－2x=－（x+1）2+1，∴对称轴为x=-1，开口向下，∵x1＞x2＞－1，在对称轴右侧，y随x增大而减小，故y1＜y2．17．10072【解析】【分析】根据正方形的性质得出∠B=90°，AB=BC=1，根据勾股定理求得a 1、a 2、a 3的值，由此即可得规律，根据所得的规律求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=90°，AB=BC=1，∴a 1=1=（2）0，由勾股定理得：a 2=AC=2211=2+=（2）1，同理由勾股定理得：a 3=2222+（）（）=2=(2)2， ······∴a n =12n （）- ， ∴a 2015=20151201410072(2)2-==（） .故答案为10072.【点睛】本题考查了正方形的性质及勾股定理的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律，难度适中．18．13π；【解析】【分析】连接OA ，根据垂径定理得到AM=12AB=6，设OM=5x ，DM=8x ，得到OA=OD=13x ，根据勾股定理得到OA=12×13，于是得到结论． 【详解】连接OA ，∵CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，∴AM=12AB=6，∵OM：MD=5：8，∴设OM=5x，DM=8x，∴OA=OD=13x，∴AM=12x=6，∴x=12，∴OA=12×13，∴⊙O的周长=2OA•π=13π．故答案为13π．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．19．-1【解析】【分析】由平移规律即可求解.【详解】解：∵将y＝2(x＋3)2向右平移2个单位长度，得到y＝2(x＋3-2)2＝2(x＋1)2，∴h=-1．故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．20．．【解析】【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．【详解】 解：过P 点作PE ⊥AB 于E ，过P 点作PC ⊥x 轴于C ，交AB 于D ，连接PA ．∵PE ⊥AB ，AB=215，半径为4，∴AE=12AB=15，PA=4， 根据勾股定理得：PE=()2222415AP AE -=-=1，∵点A 在直线y=x 上，∴∠AOC=45°， ∵∠DCO=90°， ∴∠ODC=45°， ∴△OCD 是等腰直角三角形，∴OC=CD=4，∴∠PDE=∠ODC=45°， ∴∠DPE=∠PDE=45°， ∴DE=PE=1，∴PD=2，∵⊙P 的圆心是（4，a ），∴a=PD+DC=2+4，故答案为4+2．【点睛】本题考查的是垂径定理，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y=x 与x 轴的夹角是45°．21．485【解析】【分析】一个长方形的长与宽之比为4：3，设长为4x ，则宽为3x ，根据对角线长，用勾股定理即可列出方程，解方程求出长方形的长即可．【详解】设长为4x ，则宽为3x ，由勾股定理得：222(4)(3)12x x +=，∴22169144x x +=，解得：125x =或125x =- (舍去)， ∴长为12484.55⨯= 故答案为：48.5 【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，熟练掌握和运用勾股定理是解题的关键.22．－43【解析】【分析】先利用一元二次方程根的定义得到x 12=-4x 1-2，则x 13=14x 1+8，所以x 13+14x 2+5=-14x 1+8+14x 2+5=14（x 1+x 2）+13，然后根据根与系数的关系求解．【详解】∵x 1为方程x 2+4x +2=0的实根，∴x 12+4x 1+2=0，∴x 12=-4x 1-2，∴x 13=-4x 12-2x 1=-4（-4x 1-2）-2x 1=14x 1+8，∵x 1，x 2为方程x 2+4x +2=0的两实根，∴x 1+x 2=-4，∴x 13+14x 2+5=-14x 1+8+14x 2+5=14（x 1+x 2）+13=14×（-4）+13=-43．故答案为-43．【点睛】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a≠0）根的定义及根与系数的关系，若x 1,x 2为方程的两个根，则x 1,x 2与系数的关系式：12b x x a +=-，12c x x a ⋅= . 23．22【解析】【分析】直接作出D 点即可得出答案.【详解】如解图，过点B 作BC 的垂线交AC 于点D ，设BD 的长为2x ，则2222CD BC BD x =+=，∴22sin 222BD x C CD x ===.故答案为2. 【点睛】 本题考查的知识点是三角函数的定义，解题的关键是熟练的掌握三角函数的定义.错因分析 较易题.失分原因：①不会构造直角三角形；②没有掌握锐角三角函数的概念. 24．﹣1.5或【解析】【分析】将二次函数配方成顶点式，分m ＜-1、m ＞2和-1≤m≤2三种情况，根据y 的最小值为-2，结合二次函数的性质求解可得．【详解】y=x 2-2mx=（x-m ）2-m 2，①若m ＜-1，当x=-1时，y=1+2m=-2，解得：m=-=-1.5；②若m＞2，当x=2时，y=4-4m=-2，解得：m=＜2（舍）；③若-1≤m≤2，当x=m时，y=-m2=-2，解得：m=或m=-＜-1（舍），∴m 的值为-1.5或，故答案为：﹣1.5或．【点睛】本题考查了二次函数的最值，根据二次函数的增减性分类讨论是解题的关键．25．（1）5；（2）8；【解析】【分析】（1）如图1中，连接OC，设⊙O的半径为r．在Rt△CDO中，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，过点E作EF⊥CD，垂足为点F，EG⊥CB，垂足为G，则∠EFD=90°，只要证明四边形BDFE是矩形，求出EF，利用角平分线的性质可得EG=EF即可解决问题．【详解】（1）如图1中，连接OC，设⊙O的半径为r．∵AD=2，OD=r﹣2，∵CD⊥AB，∴∠CDO=90°，在Rt△CDO中，∵CD2+DO2=CO2，∴42+（r﹣2）2=r2，∴r=5，⊙O的半径为5．（2）如图2中，过点E 作EF ⊥CD ，垂足为点F ，EG ⊥CB ，垂足为G ，则∠EFD=90°，∵直线l 切⊙O 于B ，∴AB ⊥l ，∴∠DBE=90°， ∵CD ⊥AB ，∴∠BDF=90°， ∴四边形BDFE 是矩形，∴EF=BO+OD=8，∵点E 在∠BCD 的平分线上，∴EG=EF=8．∴点E 到直线BC 的距离为8．【点睛】本题考查切线的性质、勾股定理、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，熟练应用所学知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．26．（1）12（2）21212(05)255y x x x =-+＜＜ （3）3532或12532 【解析】分析：(1)分别求出BC 和BC 上的高；(2)作DM ⊥AB 垂足为M ，用含x 的式子表示出AP 和DM ；(3)分∠ADP ＝90°和∠P AD ＝90°两种情况求解.详解：(1)∵AB ＝AC ＝5，cosB ＝45， ∴BC ＝8，BC 上的高为3，∴S △ABC ＝12×8×3＝12. (2)如图，作DM ⊥AB 垂足为M ，∵PB ＝x ，cosB ＝45，得BD ＝85x ，∴DM ＝35×82455x x ＝. 又∵AB ＝5，PB ＝x ，∴AP ＝5－x .∴y ＝12AP ·DM ＝12(5－x )×245x . ∴()2121205255y x x x -＝＋＜＜. (3)∠APD ＜90°，过C 作CE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，可得cos ∠CAE ＝725. ①当∠ADP ＝90°时， cos ∠APD ＝cos ∠CAE ＝725，则7525x x -＝，解得x ＝3532； ②当∠P AD ＝90°时，5725x x -＝，解得x ＝12532. 所以PB 的值为3532或12532.点睛：当一个三角形是直角三角形时，如果没有指明哪个角是直角，一般要注意这个三角形的三个角是否可能都为直角，其中有没有大小不变的角即定角，然后再分类讨论.27．（1）y 2＝―0.4(x ―75)2＋2250；（2）当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．【解析】分析：（1）由图象可知y 与x 之间是一次函数关系，可设y=kx+b ，把（0，120），（80，72）代入可得；（2）根据：销售利润W=该产品每千克利润×销售量，列出函数关系式，配成二次函数顶点式，结合自变量取值范围可得其最值．详解：（1）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b．根据题意，当x＝0时，y1＝120；当x＝80时，y1＝72．所以，解得所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝－0.6x＋120．设y2与x之间的函数表达式为y2＝a(x―75)2＋2250，当x＝0时，y2＝0，解得a＝―0.4．所以，y2与x之间的函数表达式为y2＝―0.4(x―75)2＋2250．（2）解：设甲、乙两公司的销售总利润的差为w（元）．当0＜x≤80时，w＝（y1－40）x―y2＝ (－0.6x＋120―40)x－[(－0.4(x―75)2＋2250］＝－0.2x2＋20x＝－0.2(x－50)2＋500．∵－0.2＜0，0＜x≤80∴当x＝50时，w有最大值，最大值为500．当80＜x≤84时，w＝(72―40)x―[―0.4(x―75)2＋2250］＝0.4x2―28x，∵当80＜x≤84时，w随x的增大而增大，∴当x＝84时，有最大值，最大值为470.4．综上所述，当销售量为50千克时，甲乙两公司获得的利润的差最大，最大是500元．点睛：本题考查了一次函数和二次函数的应用，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，解答本题的关键是根据图象找出图象中所包含的有用信息.28．（1）1；（2）0＜sadA＜2；（310．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；（3）作出直角△ABC，构造等腰三角形ACD，根据正对的定义解答．【详解】（1）根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°， 则三角形为等边三角形，则sad60°= 11=1． （2）当∠A 接近0°时，sadα接近0，当∠A 接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．于是sadA 的取值范围是0＜sadA ＜2．（3）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，sin ∠A=35． 在AB 上取点D ，使AD=AC ，作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC=3k ，AB=5k ，则AD=AC= 22(5)(3)k k -， 又∵在△ADH 中，∠AHD=90°，sin ∠A= 35． ∴DH=AD sin ∠A= 125k ，AH= 22AD DH -165k ． 则在△CDH 中，CH=AC ﹣AH= 45k ，CD= 22DH CH +410k ． 于是在△ACD 中，AD=AC=4k ，CD=410k ． 由正对的定义可得：sadA=105CD AD =，即sadα= 105． 【点睛】 本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，勾股定理，解题关键是熟悉三角函数的定义，进行类比解答．29．此时小船与码头A 之间的距离是5652 海里．【解析】【分析】先过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，根据题意求出，∠BAC=30°，∠C=45°，BC=10海里，再分别求出BD ，CD 的长，最后求出AD 的长，即可得出答案．【详解】解：过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，∵∠C=24°+21°=45°，∴BD=CD ，∵BC=10，∴22， ∵∠BAC=54 -24°=30°， ∴AD=tan 30BD =523 6 ∴62 （海里），答：此时小船与码头A 之间的距离是62海里．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角、解直角三角形、特殊角的三角函数值，解题关键是做出辅助线，构造直角三角形．30．（1）证明见解析（2）1 2【解析】【分析】（1）如图连结OE，OF，OG．由O是△ABC的内切圆，∠C=90°，得到四边形CEOF是正方形，根据切线长定理列方程得到结果；（2）连结OA，在R t△AOG中，由锐角三角函数得到结果．【详解】（1）证明：如图连结OE，OF，OG．∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C=90°，∴四边形CEOF是正方形，∴CE=CF=r．又∵AG=AE=3﹣r，BG=BF=4﹣r，AG+BG=5，∴（3﹣r）+（4﹣r）=5．解得r=1；（2）解：连结OA，在R t△AOG中，∵r=1，AG=3﹣r=2，tan∠OAG=OG1 AG2．【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质,切线长定理,锐角三角函数,熟记切线长定理是解题的关键.31．（1）4﹣2；﹣52＜x≤2，在数轴上表示见解析【解析】【分析】（1）此题涉及乘方、特殊角的三角函数、负整数指数幂和二次根式的化简，首先针对各知识点进行计算，再计算实数的加减即可；（2）首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【详解】解：（1）原式=4+2×22﹣2×32=4+2﹣62=4﹣52；（2）() 5231131322x xx x⎧+>-⎪⎨-≤-⎪⎩①②，解①得：x＞﹣52，解②得：x≤2，不等式组的解集为：﹣52＜x≤2，在数轴上表示为：．【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，以实数的运算，关键是正确确定两个不等式的解集，掌握特殊角的三角函数值．32．（1）△ABC的周长为7或7；（2）△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．【解析】【分析】（1）此题分两种情况考虑：一是b和c中有一个和a相等，是3；二是b=c，即根据方程有两个相等的实数根，由△=0求解．最后注意看是否符合三角形的三边关系．（2）根据（1）中求解的结果，只需求得2，3，3的三角形的外接圆的半径，根据等腰三角形的三线合一和勾股定理求解．【详解】（1）若b、c中有一边等于3，则方程可化为，解得m=-；原方程可化为x2-=0，解得x1=3，x2=，所以三角形的周长为3+3+=；若b=c，则△=m2-4()=0，解得m=﹣4或2，当m=﹣4时，方程为x2﹣4x+4=0，得x1=x2=2，所以三角形的周长为2+2+3=7；当m=2时，方程为x2+2x+1=0，得x1=x2=﹣1；（不合题意，舍去）综上可知△ABC的周长为7或7．（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D、交BC于E，连接BO，则有AE⊥BC．∵△ABC的三边均为整数，∴AB=AC=2，BC=3，BE=BC=．AE==，设AO=R，在Rt△BOE中，R2=（）2+（﹣R）2，∴R=，∴△ABC的三边均为整数时的外接圆半径为．【点睛】此题考查解一元二次方程-因式分解法，三角形的外接圆与外心，三角形的外接圆及外心.注意（1）中的多种情况，能够熟练结合等腰三角形的三线合一和勾股定理求得等腰三角形的外接圆的半径．33．（1）y=12x 2﹣4x+6；（2）函数图象的顶点坐标为（4，-2），点D 的坐标为（6，0）；（3）152. 【解析】【详解】（1）∵二次函数y=12x 2+bx+c 的图象过A （2，0），B （8，6） ∴2212202 18862b c b c ＝＝⎧⨯++⎪⎪⎨⎪⨯++⎪⎩，解得46b c -⎧⎨⎩＝＝ ∴二次函数解析式为：y=12x 2-4x+6， （2）由y=12x 2-4x+6，得y=12（x-4）2-2， ∴函数图象的顶点坐标为（4，-2），∵点A ，D 是y=12x 2+bx+c 与x 轴的两个交点， 又∵点A （2，0），对称轴为x=4，∴点D 的坐标为（6，0）．（3）∵二次函数的对称轴交x 轴于C 点．∴C 点的坐标为（4，0）∵B（8，6），设BC 所在的直线解析式为y=kx+b′，∴4086k b k b +'⎧⎨+'⎩＝＝， 解得326k b ⎧⎪⎨⎪'-⎩＝＝，∴BC 所在的直线解析式为y=32x-6， ∵E 点是y=32x-6与y=12x 2-4x+6的交点，∴32x-6=12x 2-4x+6 解得x 1=3，x 2=8（舍去）， 当x=3时，y=-32， ∴E（3，-32）， ∴△BDE 的面积=△CDB 的面积+△CDE 的面积=12×2×6+12×2×32=152． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是利用待定系数的方法求出函数解析式以及三角形面积的转化．34．（1）w=-20x 2+2880x-94000；（2）该商场销售该品牌童装获得的最大利润是9500元；；（3）要使利润不低于6800元，那么销售单价应满足6080x ≤≤．【解析】【分析】(1)根据题意写出函数关系式；(2)抓住题中的不等关系列出不等式组求出单价的取值范围，再根据一次函数的增减性求利润最大值；(3)根据题意列出不等式求单价的取值范围.【详解】（1）w=（x-50）[280+（80-x ）×20]=（x-50）（1880-20x ）=-20x 2+2880x-94000；（2）由题意，得()75280+2080340x x ≥⎧⎨-≥⎩， 解得：75≤x≤77，由①w=-20x 2+2880x-94000，∵对称轴是直线x=72，-20＜0，∴当x ＞72时，w 随x 增大而减少．又∵75≤x≤77，∴当x=75时，w 最大=-20×752+2880×75-94000=9500（元），答：该商场销售该品牌童装获得的最大利润是9500元；（3）根据题意可得-20x 2+2880x-94000≥6800，解得：60≤x≤84，又∵50≤x≤80，∴60≤x≤80，答：要使利润不低于6800元，那么销售单价应满足60≤x≤80．【点睛】本题考查了二次函数的最值求法，掌握配方法求最大值是本题的解题关键.35．水面下降了1米．【解析】【分析】如图：过点O作ON⊥CD于N，交AB于M，先根据垂径定理求得AM、CN，然后根据勾股定理求出OM、ON的长，即可得出结论【详解】如图，下降后的水面宽CD为6m，连接OA，OC，过点O作ON⊥CD于N，交AB于M．∴∠ONC=90°．∵AB∥CD，∴∠OMA=∠ONC=90°．∵AB=8m，CD=6m，∴AM=12AB=4，CN=12CD=3，在Rt△OAM中，∵OA=5，∴OM=22OA AM=3．同理可得ON=4，∴MN=ON-OM=1（米）．答：水面下降了1米．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理的应用，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧是解答此题的关键．36．218米【解析】试题分析：分别利用正切定义求AH,BH ,最后求和.试题解析：解：如图，根据题意，有∠ACH=30°，∠HCB =45°，CH =138米， 在Rt △ACH 中，∵tan ∠ACH =AH CH ， ∴tan30°=138AH ， ∴AH =138×33=463≈79.58， 在Rt △BCD 中，∵∠DCB =45°，CD =138， ∴BH=CH=138米，∴AB=AH+BH ≈79.58+138≈218．答：“吉塔”的高度约为218米．。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟培优提升测试题2（附答案详解）一、单选题1．把标有1~10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是（ ）A ．310B ．710C ．35D ．252．已知点(-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 33．若一个正n 边形的每个内角为156°，则这个正n 边形的边数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．164．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4cm ，点D 为AB 的中点，则CD=（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm5．一元二次方程x （x ﹣2）=2﹣x 的根是（ ）A ．x=2B ．x 1=0，x 2=﹣2C ．x 1=2，x 2=﹣1D ．x=﹣16．二次函数223y x x =+-与x 轴的交点坐标是（ ）A ．（3，0）（-1，0）B ．（-3，0）（1，0）C ．（0，3）（0，-1）D ．（0，-3）（0，1）7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x 轴的直线l 从y 轴出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l 与菱形OABC 的两边分别交于点M ，N （点M 在点N 的上方），若△OMN 的面积为S ，直线l 的运动时间为t 秒（0≤t≤4），则能大致反映S 与t 的函数关系的图象是（ ）A ．B ．C．D．8．若关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两个实数根分别为2和-4，则b +c的值是( ) A．-10 B．10 C．-6 D．-19．方程（x－2）2=3（x－2）的根是（）A．2B．－2C．2或－2D．2或510．已知二次函数y ＝ax 2 + bx + c ( a ≠0)的图像如图所示，下列结论：①abc ＞0；② b ＜a + c ；③2 a + b ＝0；④ a + b ＞m ( am + b )( m 为不等于1的实数)，其中正确的结论有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题11．如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则SⅠ:SⅡ:SⅢ=________.12．已知G是直角三角形ABC的内心，∠C=90°，AC=6，BC=8，则线段CG的长为______．13．如图，已知：△CAB∽△DEB，则BD·CA=________．14．方程2160x-=的根是___________.15．淘淘和丽丽是非常要好的九年级学生，在5月份进行的物理、化学、生物实验技能考试中，考试科目要求三选一，并且采取抽签方式取得，那么他们两人都抽到物理实验的概率是．16．若A 、B 两点关于y 轴对称，且点A 在双曲线12y x =上，点B 在直线3y x 上，设点A 的坐标为（a ,b ）,则a b b a+=________________． 17．比例尺为1∶4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm ，则这两城市间的实际距离为________km.18．一元二次方程x 2+3x ﹣4=0的两根分别为________．19．如图，某广场一角的矩形花草区，其长为40m ，宽为26m ，其间有三条等宽的路，一条直路，两条曲路，路以外的地方全部种上花草，要使花草的面积为2864m ，求路的宽度为_____m ．20．在一次函数y=12x+12的图象上，和x 轴的距离等于1的点的坐标是__________． 三、解答题 21．如图，在12×6的正方形网格中，点A ，B ，C ，D ，E 均在格点上，以DE 为一边画格点∆DEF ，使得∆DEF ∽∆ABC ．其中AB = 6，AC =25，BC =42，DE =3．（1）在图中画出∆DEF ；（2）证明:∆DEF ∽∆ABC ．22．（1）解方程 3x （x ﹣2）=2（2﹣x ）．（2）计算：2cos60°﹣3tan30°+2tan45°．23．请选择适当的方法解下列一元二次方程：(1) ()()23424x x -=-；(2) 2112x x +=. 24．如图，点B 、C 、D 在一条直线上，AB ⊥BC ，ED ⊥CD ，∠1+∠2=90°．求证：△ABC ∽△CDE ．25．如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,连接BC,AC,作OD∥BC与过点A的切线交于点D,连接DC并延长交AB的延长线于点E.(1)求证:DE是☉O的切线;(2)若CEDE=23,求cos ∠ABC的值.26．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=6，∠AOB=120°，求BC的长．27．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A、B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1，当点E在AB边得中点位置时：①通过测量DE、EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是，请证明你的猜想；（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想．28．中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？参考答案1．A【解析】∵每只乒乓球被取出的可能性相等，∴共有10种等可能结果，而其中小于7的奇数有1、3、5共3种，∴ P （号码为小于7的奇数）=310故选A.2．A【解析】本题考查二次函数图象性质, 二次函数y =x 2的开口方向向上,对称轴是y 轴,根据图象可知,二次函数上的点距离对称轴越远,函数值越大,因此可得y 1<y 2<y 3.3．C【解析】试题分析：由一个正n 边形的每个内角都为156°，可求得其外角的度数为24°，根据多边形的外角和为360°，360°÷24°=15，故选C ． 考点：多边形内角与外角．点评：此题主要考查了多边形的内角和与外角和的知识．关键是熟练掌握多边形的外角和定理．4．B【解析】∵∵∠A =30°，BC =4cm ，∴AB =2BC =8cm . ∵点D 为AB 的中点，∴CD =AB ÷2=8÷2=4cm .故选B.5．C【解析】x （x ﹣2）+（x ﹣2）=0，（x ﹣2）（x+1）=0，x ﹣2=0或x+1=0，所以x 1=2，x 2=﹣1．故选C ．6．B【解析】试题分析：令y =x 2+2x -3=0，求出x 的值，即可求出抛物线y =x 2+2x -3与x 轴交点的坐标．解：令y =x 2+2x −3=0，即(x +3)(x −1)=0，解得x 1=−3,x 2=1，所以抛物线y =x 2+2x −3与x 轴交点的坐标是(−3,0),(1,0)，故选B.7．C【解析】【分析】过A 作AD x ⊥轴于D ，根据勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出AD ，根据三角形的面积即可求出答案．【详解】解：过A 作AD x ⊥轴于D ，4OA OC ==，60AOC ∠=︒，2OD ∴=，由勾股定理得：23AD =，①当02t <时，如图所示，ON t =，33MN ON t ==，213·22S ON MN t ==；②24t 时，ON t =，23MN =，1·2332S ON t ==．故选：C ．【点睛】本题主要考查对动点问题的函数图象，勾股定理，三角形的面积，二次函数的图象，正比例函数的图象，含30度角的直角三角形的性质，菱形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行计算是解此题的关键，用的数学思想是分类讨论思想．．8．A【解析】试题解析：根据题意得2+（-4）=b ，2×（-4）=c ，解得b=-2，c=-8．∴b+c=(-8)+(-2)=-10.故选A ．点睛一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-b a ，x 1•x 2=c a ． 9．D【解析】试题分析：根据一元二次方程的解法，先移项可得（x －2）2-3（x －2）=0，再提公因式分解因式可得（x-2）（x-2-3）=0，解得x=2或x=5.故选：D点睛：此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，解题关键是先要对方程移项，再根据提公因式法分解因式，最后根据ab=0的形式的方程，可知a=0或b=0，或a=0且b=0，然后求解即可.10．B【解析】由图知，开口向下，a 0<，对称轴10,2b x a ==->b 0,>图像与y 轴交点为正，c 0>,所以abc <0, ①错.令x =-1代入函数y =a -b +c ＜0, b > a + c, ②错. 对称轴12b x a==-, 所以2 a + b ＝0，③对. x =1代入二次函数得，y=a+b+c,且为最大值，x=m 代入二次函数y=a 2m mb c ++，所以a+b+c>a2m mb c++，所以a+b>a2m mb+，所以a + b ＞m ( am + b )④对.综上③④对.选B.11．1:3:5【解析】∵DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，∵AD=DF=FB，∴AD:AF:AB=1:2:3，S S S=1:4:9，∴::ADE AFG ABC∴SⅠ:SⅡ:SⅢ=1:3:5.故答案为1:3:5.点睛: 本题考查了平行线的性质及相似三角形的性质．相似三角形的面积比等于相似比的平方．12．22【解析】试题分析：作GD⊥AC于点D，作GE⊥BC于E，作GM⊥AB于M，连接GA、GB、GC，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式得出S△ACB=S△GAC+S△GBC+S△GAB，代入求出GE=2，由等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得出CG的长．解：作GD⊥AC于点D，作GE⊥BC于点E，作GM⊥AB于M，连接GA、GB、GC.如图所示：设GM=r，则GM=GD=GE=r，∵AC=6,BC=8,∠C=90∘，由勾股定理得：AB=10，根据三角形的面积公式得：S△ACB=S△GAC+S△GBC+S△GAB，∴12AC ×BC =12AC ×r +12BC ×r +12AB ×r ， 即：12×6×8=12×6r +12×8r +12×10r ， 解得：r =2. 则GE =2，∵G 是直角三角形ABC 的内心， ∴∠GCE =12∠C =45∘， ∴CGGE故答案为：13．BC·DE 【解析】因为：△CAB∽△DEB，则CA BCBD CA BC DE DE BD=⇒⋅=⋅14．14x =,24x =- 【解析】解：216x =，∴x =±4，∴14x =，24x =-．故答案为14x =，24x =-． 15．19． 【解析】 列表如下生物（生物，物理）（生物，化学）（生物，生物）∴两人都抽到物理实验的概率是考点：列表法或树状图法求概率16．16【解析】试题解析：∵点A的坐标为（a，b），A、B两点关于y轴对称，∴B（-a，b），∵点A在双曲线y=-12x上，点B在直线y=x+3上，∴a b=-12，-a+3=b，即ab=-12，a+b=3，∴原式=2()2a b abab+-=16.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．17．120【解析】试题解析：根据比例尺公式：比例尺=图上距离/实地距离，得到：实地距离=图上距离/比例尺，即：133400000012000000cm=120km.4000000÷=⨯=故答案为120.18．1和-4【解析】等号左边因式分解，得（x+4）（x－1）=0，解得x+4=0，x－1=0，即x=－4或1. 故答案为1和－4.点睛：掌握因式分解法解一元二次方程的方法.19．2【解析】设路的宽度是xm .根据题意，得 (40−2x )(26−x )=864， x 2−46x +88=0， (x −2)(x −44)=0，x =2或x =44(不合题意,应舍去). 故答案为2.点睛：此题考查了一元二次方程的实际应用，此类题目中注意利用平移的知识把道路平移到一块儿，对花草面积进行整体计算. 20．(1，1), (-3，-1) 【解析】由题意得，把y =1±代入一次函数得，x =1或x =-3, 所以（1,1），（-3，-1）. 21．见解析 【解析】试题分析：（1）利用AB 与DE 是对应边，进而得出DF ，EF 的长，进而得出答案；（2）计算出各对应边的比值，利用相似三角形的判定方法即可判定ΔDEF ∽ΔABC ．． 试题解析：（1）如图所示：△DEF 即为所求；（2）证明：由图可知：52， ∵AB = 6，AC =25BC =42DE =3， ∴2AB AC BCDE DF EF===， ∴∆DEF ∽∆ABC ．22．（1）x 1=2，x 2=﹣32；（2）原式=3﹣3． 【解析】试题分析：（1）首先把方程右边的移到方程左边，再提公因式分解因式，然后可得（x ﹣2）（3x+2）=0，再解即可；（2）首先代入特殊角的三角函数值，然后再算乘法，后算加减即可． 试题解析：（1）3x （x ﹣2）﹣2（2﹣x ）=0． （x ﹣2）（3x+2）=0， 则x ﹣2=0，3x+2=0，解得x 1=2，x 2=﹣32；（2）解：原式=2×21﹣3×33+2×1，=1﹣3+2， =3﹣3．考点：解一元二次方程-因式分解法；实数的运算；特殊角的三角函数值．23．(1) 14x =， 2143x =；(2) 11x =-， 21x =-【解析】试题分析：（1）运用因式分解法解方程即可；（2）利用配方法解方程即可. 试题解析：（1）()()23424x x -=-()()234240x x ---=()()43420x x ⎡⎤---=⎣⎦()()43140x x --=x -4=0，或3x -14=0解得121443x x ==， （2）2112x x += 222x x +=22121x x ++=+()213x +=1x +=即1211x x =-=-24．证明见解析 【解析】试题分析：根据垂直的性质和给出的条件证明有两对角相等的两个三角形相似即可． 试题解析：∵AB ⊥BC ，ED ⊥CD ， ∴∠B=∠D=90°． ∴∠A+∠1=90°． 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠A=∠2， ∴△ABC ∽△CDE ． 考点：相似三角形的判定．25．（1）证明见解析；（2）3. 【解析】 试题分析：（1）由DE 与☉O 有公共点C 可知，要证DE 是☉O 的切线，需连接OC ，并证明OC ⊥DE.而由已知易证DA ⊥AB ，所以我们需证△CDO ≌△ADO ，而由OC=OB ，OD ∥BC ，可证得∠DOC=∠DOA ，再结合OC=OA ，OD 是公共边可证△CDO ≌△ADO ，这样就可完成证明了；（2）由（1）可知∠ABC=∠AOB ，所以求cos ABC ∠可通过求cos AOD ∠来求. 由已知设CE=2k ，则DE=3k ，由切线长定理可得AD=CD=AE-CE=k ，在Rt △ADE 中，由勾股定理可解得AE=；BC ∥OD 可得23BE CE OE DE ==，则2BEOB=，所以BE=2OB=AB ，则OA=14，再在Rt △AOD 中由勾股定理解得k ，从而可得cos ABC∠=cos AOD∠=2326kOAODk==.试题解析：(1)连接OC.∵AD是过点A的切线，AB是☉O的直径, ∴AD⊥AB，∴∠DAB=90°.∵OD∥BC,∴∠DOC=∠OCB，∠AOD=∠ABC.∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠DOC=∠AOD.在△COD和△AOD中：OC OADOC AODOD OD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD≌△AOD.∴∠OCD=∠DAB=90°.∵OC⊥DE于点C，OC是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.(2)由CEDE=23，可设CE=2k，则DE=3k，又∵AD、CD都是☉O的切线,∴AD=DC=k.在Rt△DAE中，22DE-AD2∵OD∥BC，CEDE=23，∴BE=2OB.∴OA=14∴在Rt △AOD 中，k=2k,∴cos ∠ABC=cos ∠AOD=OA OD26．（1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的性质求出AO=OC ，BO=OD ，求出AC=BD ，根据矩形的判定推出即可；（2）根据矩形性质求出∠ABC=90°，求出∠CAB=30°，解直角三角形求出即可． 试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AO=OC ，BO=OD ， ∵OA=OB ， ∴OA=OB=OC=OD ， ∴AC=BD ，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠AOB=120°，OA=OB ， ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴AC=2BC ，∴=，∴ 27．（1）①DE=EF ；②NE=BF ；理由见解析；（2）DE=EF ，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及N，E分别为AD，AB的中点可得DN=EB，再根据角平分线的性质及AN=AE可得∠DNE=∠EBF=135°，从而可证得△DNE≌△EBF，继而证得结论；（2）在DA边上截取DN=EB，连结NE，点N就使得NE=BF成立，由DN=EB可得AN=AE，根据角平分线的性质可得∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，通过证△DNE≌△EBF，从而得结论．【详解】解：（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，在△DNE和△EBF中ADE FEB DN EBDNE EBF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）DE=EF，理由如下：在DA边上截取DN=EB，连接NE，∵四边形ABCD是正方形，DN=EB，∴AN=AE，∴△AEN为等腰直角三角形，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣45°=135°，∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠EBF=90°+45°=135°，∴∠DNE=∠EBF，∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF，在△DNE和△EBF中ADE FEBDN EBDNE EBF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF．【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质等，能正确地根据图1中证明△DNE 与△EBF全等从而得到结论，进而应用到图2是解题的关键．28．当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．【解析】试题分析：利用总利润=单件利润⨯总销售件数，列一元二次方程，一元二次方程有两个解，需要分类讨论.试题解析：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可．解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000，整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000，解得：x1=52，x2=152，当x1=52时，则涨价10元，销量为：400件；当x2=152时，则涨价30元，销量为：200件．答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫．。

新北师大九年级数学上册期末复习培优练习一．选择题（共9小题）1．已知C 是AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长为( )A ．(252)-B ．(625)-C ．(51)-D ．(35)-2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是510.6182-≈，称为黄金比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是512-，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．178cmC ．185cmD ．190cm3．如图，//DE BC ，CD 与BE 相交于点O ，若14DOE BOC S S ∆∆=，则AE AC 的值为( )A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，将ABC ∆绕点C 逆时针方向旋转得到DEC ∆，当点D 落在BC 边上时，ED 的延长线恰好经过点A ，则AD 的长为( )A ．1B ．23C ．51-D ．512- 5．如图，点O 是正方形ABCD 对角线的交点，以BO 为边构造菱形BOEF 且F 点在AB 上，连结AE ，则tan EAD ∠的值为( )A ．25B ．22C ．21-D ．22-6．如图，在边长4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将CDE ∆沿直线DE 折叠后，点C 落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE ．连接CF 、BF 、EF ，延长BF 交AD 于点G ．则下列结论：①BG DE =；②CF BG ⊥；③1sin 2DFG ∠=；④125DFG S ∆=，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．如图，A 、C 是反比例函数1(0)k y x x =>图象上的两点，B 、D 是反比例函数2(0)k y x x =>图象上的两点，已知////AB CD y 轴，直线AB 、CD 分别交x 轴于E 、F ，根据图中信息，下列结论正确的有( )①43DF =；②1234k k =-；③13CD AB =；④AE CF EB DF=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．如图，正方形ABCD 中，O 为BD 中点，以BC 为边向正方形内作等边BCE ∆，连接并延长AE 交CD 于F ，连接BD 分别交CE 、AF 于G 、H ，下列结论：①45CEH ∠=︒；②2BG DG =；③//GF ED ；④2OH DH BD +=；⑤31:2BEC BGC S S ∆∆+=，其中正确的结论有( )A ．①②④B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤9．如图．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE BD ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，若6AB =，3BC =，则(PE PF += )A 65B 352C 635D 332二．填空题（共7小题）10．如图，已知函数2y x =+的图象与函数(0)k y k x =≠的图象交于A 、B 两点，连接BO 并延长交函数(0)k y k x=≠的图象于点C ，连接AC ，若ABC ∆的面积为8．则k 的值为 ．11．如图，点E 是矩形ABCD 的一边AD 的中点，BF CE ⊥于F ，连接AF ；若4AB =，6AD =，则sin AFE ∠= ．12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，tan 2ACB ∠=，D 在ABC ∆内部，且AD BD =，90ADB ∠=︒，连接CD ，若25AB =，则BCD ∆的面积为 ．13．如图，直线y x b =-+与双曲线1(0)y x x =>交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连接OA 、OB ，若AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，则b = ．14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ∆，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=上运动，则k 的值为 ．15．如图，已知(3,1)A ，(1,0)B ，PQ 是直线y x =上的一条动线段且2(PQ Q =在P 的下方），当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为 ．16．如图，ABCD、CEFG是正方形，E在CD上，直线BE、DG交于H，且422HE HB=-，BD、AF交于M，当E在线段CD（不与C、D重合）上运动时，下列四个结论：①BE GD⊥；②AF、GD所夹的锐角为45︒；③2GD AM=；④若BE平分DBC∠，则正方形ABCD的面积为4，其中结论正确的是（填序号）三．解答题（共6小题）17．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，8OA=，4OC=，点P为对角线AC上一动点，过点P作PQ PB⊥，PQ交x轴于点Q．（1）tan ACB∠=；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，PQPB的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将QAB∆沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．18．如图，E、F是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AE EF FC==，连接BE、DE、BF、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形：（2）求tan AFD∠的值．19．如图，点P是反比例函数16(0)y xx=-<图象上的一动点，PA x⊥轴于点A，在直线3y x=上截取OB PA=（点B在第一象限），点C的坐标为(2-，23)，连接AC、BC、OC．（1）填空：OC=，BOC∠=；（2）求证：AOC COB∆∆∽；（3）随着点P的运动，ACB∠的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．20．如图1，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，B点坐标是(8,4)，将AOC∆沿对角线AC翻折得ADC∆，AD与BC相交于点E．（1）求证：CDE ABE∆≅∆；（2）求E点坐标；（3）如图2，若将ADC'''（边A C''始终在直线AC上），是否存∆沿直线AC平移得△A D C在四边形DD C C''为菱形的情况？若存在，请直接写出点C'的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)m y x x=>的图象交于点(,2)P n ，与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出m kx b x+<的x 的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP PC=，AP PC⊥，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM PD⊥交AD于M．（1）若5AP=，13AB BC=，求矩形ABCD的面积；（2）若CD PM=，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．新北师大九年级数学上册期末复习培优练习参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．已知C 是AB 的黄金分割点()AC BC <，若4AB =，则AC 的长为( )A ．(252)-B ．(625)-C ．(51)-D ．(35)-【解答】解：点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC <，512(51)2BC AB -∴==-， 42(51)625AC ∴=--=-，故选：B ．2．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是510.6182-≈，称为黄金比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此，此外，最美人体的头顶至咽喉与咽喉至肚脐的长度之比也是512-，若某人的身材满足上述两个黄金比例，且头顶至咽喉的长度为26cm ，则其身高可能是( )A ．165cmB ．178cmC ．185cmD ．190cm【解答】解：设某人的咽喉至肚脐的长度为xcm ，则260.618x≈， 解得42.072x ≈，设某人的肚脐至足底的长度为ycm ，则2642.0720.618y+≈， 解得110.149y ≈，∴其身高可能是110.1490.618178()cm ÷≈，故选：B ．3．如图，//DE BC ，CD 与BE 相交于点O ，若14DOE BOC S S ∆∆=，则AE AC的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23 【解答】解：//DE BC ， DOE COB ∴∆∆∽，2:()1:4DOE COB DE S S BC ∆∆∴==， ∴12DE BC =， //DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴12AE DE AC BC ==， 故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，将ABC ∆绕点C 逆时针方向旋转得到DEC ∆，当点D 落在BC 边上时，ED 的延长线恰好经过点A ，则AD 的长为( )A ．1B ．23C 51D 51- 【解答】解：ABC ∆绕点C 逆时针方向旋转得到DEC ∆，2CD CA ∴==，B E ∠=∠，ADB CDE∠=∠，BAD DCE∴∠=∠，ACD BAD∴∠=∠，AB AC=，B ACD∴∠=∠，B BAD∴∠=∠，BD AD∴=，ABD CBA∠=∠，BAD ACB∠=∠，BAD BCA∴∆∆∽，∴BD ABAB BC=，即222BDBD=+，整理得2240BD BD+-=，解得51BD=-，51AD∴=-．故选：C．5．如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，以BO为边构造菱形BOEF且F点在AB上，连结AE，则tan EAD∠的值为()A．25B．22C21D．22【解答】解：如图，设OE与AD交于M，AC与EF交于N，四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥，45OAB DAO ∠=∠=︒，四边形BOEF 是菱形，//BO FE ∴，//OE AB ，OE AD ∴⊥，EF AO ⊥，45EON OAB ∠=∠=︒，45NFA ABO ∠=∠=︒，EON ∴∆，AFN ∆，OMA ∆是等腰直角三角形，设MO AM x ==，则2AO BO OE x ===，(21)EM x ∴=-，tan 21EM EAD AM∴∠==-， 故选：C ．6．如图，在边长4的正方形ABCD 中，E 是边BC 的中点，将CDE ∆沿直线DE 折叠后，点C 落在点F 处，再将其打开、展平，得折痕DE ．连接CF 、BF 、EF ，延长BF 交AD 于点G ．则下列结论：①BG DE =；②CF BG ⊥；③1sin 2DFG ∠=；④125DFG S ∆=，其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：四边形ABCD 是正方形，4AB BC AD CD ∴====，90ABC BCD ∠=∠=︒，E 是边BC 的中点，2BE CE ∴==，将CDE ∆沿直线DE 折叠得到DFE ∆，4DF CD ∴==，2EF CE ==，90DFE DCE ∠=∠=︒，DEF DEC ∠=∠，EF EB ∴=，EBF BFE ∴∠=∠，1(180)2EBF BFE BEF ∠=∠=︒-∠，1(180)2CED FED BEF ∠=∠=︒-∠， GBE DEC ∴∠=∠，//BG DE ∴，//BE DG ，∴四边形BEDG 是平行四边形，BG DE ∴=，故①正确；EF CE =，EFC ECF ∴∠=∠，1180902FBE BCF BFE CFE ∴∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒， 90BFC ∴∠=︒，CF BG ∴⊥，故②正确；90ABG CBG BFE DFG ∠+∠=∠+∠=︒，ABG DFG ∴∠=∠，4AB =，2DG BE ==，2AG ∴=，BG ∴=，sin sinAG DFG ABG BG ∴∠=∠===③错误； 过G 作GH DF ⊥于H ，1tan tan 2GFH ABG ∠=∠=， ∴设GH x =，则2FH x =，DH =，24DF FH DH x ∴=+=+=，解得： 1.2x =，2x =（舍去），1.2GH ∴=， 1124 1.225DFG S ∆∴=⨯⨯=，故④正确； 故选：C ．7．如图，A 、C 是反比例函数1(0)k y x x =>图象上的两点，B 、D 是反比例函数2(0)k y x x =>图象上的两点，已知////AB CD y 轴，直线AB 、CD 分别交x 轴于E 、F ，根据图中信息，下列结论正确的有( )①43DF =；②1234k k =-；③13CD AB =；④AE CF EB DF =A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：设(,0)E a ，(,0)F b ，则13a b k ==，24a DF b k -=-=，43DF ∴=，1234k k =-，故①②正确； 4113773CD CF DF AB ++===， ∴③正确；313,4443AE CF EB DF ===， ∴④正确，故选：D ．8．如图，正方形ABCD 中，O 为BD 中点，以BC 为边向正方形内作等边BCE ∆，连接并延长AE 交CD 于F ，连接BD 分别交CE 、AF 于G 、H ，下列结论：①45CEH ∠=︒；②2BG DG =；③//GF ED ；④2OH DH BD +=；⑤31:2BEC BGC S S ∆∆+=，其中正确的结论有( )A ．①②④B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤【解答】解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，90ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠=︒，45ADB CDB ∠=∠=︒． BEC ∆是等边三角形，BC BE CE ∴==，60EBC BCE BEC ∠=∠=∠=︒，AB BE CE CD ∴===，30ABE DCE ∠=∠=︒，75BAE BEA CED CDE ∴∠=∠=∠=∠=︒，15EAD EDA ∴∠=∠=︒，30DEF ∴∠=︒，45CEF ∴∠=︒．故①正确；②75EDC ∠=︒，45BDC ∠=︒，30EDB ∴∠=︒，DEF EDG ∴∠=∠．75EGD ∠=︒．90ADC ∠=︒，15DAF ∠=︒，75EFD ∴∠=︒，EFD EGD ∴∠=∠．在DEF ∆和EDG ∆中，EFD EGD DEF EDG DE ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DEF EDG AAS ∴∆≅∆，DF EG ∴=．EC DC =，EC EG DC DF ∴-=-，CG CF ∴=，75CGF CFG ∴∠=∠=︒，CED CGF ∴∠=∠，//GF ED ∴．故③正确；③O 为BD 中点，22()BD OD OH HD ∴==+．BD DH BH -=，2()222BH OH HD DH OH HD HD OH DH ∴=+-=+-=+．故④错误； ④作BM CG ⊥于M ，DN CG ⊥于N ，90BMC DNC ∴∠=∠=︒，sin60BM BC ∴=︒，sin30DN CD =︒．设AB BC CD AD x ====，3BM ∴=，12DN x =．BCG DCGS BG DG S ∆∆=． ∴132231122x CG BG DG x CG ==，即3BG DG =．故②错误； ⑤tan15GE DF AD ==︒，设AD CD BC AB x ====， CE x ∴=，CG x GE =-．tan1523︒=(23)GE DF x ∴==，(23)(31)CG x x x ∴=--=-．::BEC BGC S S EC GC ∆∆=，31:2(31)BEC BGC xS S x ∆∆+∴==-．故⑤正确． 综上所述，正确的有①③⑤，故选：D ．9．如图．在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，点D 是斜边上的中点，点P 在AB 上，PE BD ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，若6AB =，3BC =，则(PE PF += )A ．655B ．352C ．635D ．332【解答】解：如图作BM AC ⊥于M ，连接PD ．90ABC ∠=︒，AD DC =，6AB =，3BC =，BD AD DC ∴==，2235AC AB BC =+=1122AB BC AC BM =， 65BM ∴=， ABD ADP BDP S S S ∆∆∆∴=+，∴111222AD BM AD PF BD PE =+， 65PE PF BM ∴+==．故选：A ．二．填空题（共7小题）10．如图，已知函数2y x =+的图象与函数(0)k y k x=≠的图象交于A 、B 两点，连接BO 并延长交函数(0)k y k x=≠的图象于点C ，连接AC ，若ABC ∆的面积为8．则k 的值为 3 ．【解答】解：如图，连接OA ．由题意，可得OB OC =，142OAB OAC ABC S S S ∆∆∆∴===． 设直线2y x =+与y 轴交于点D ，则(0,2)D ， 设(,2)A a a +，(,2)B b b +，则(,2)C b b ---， 12()42OAB S a b ∆∴=⨯⨯-=， 4a b ∴-=①．过A 点作AM x ⊥轴于点M ，过C 点作CN x ⊥轴于点N ，则12OAM OCN S S k ∆∆==， 4OAC OAM OCN AMNC AMNC S S S S S ∆∆∆∴=+-==梯形梯形， ∴1(22)()42b a b a --++--=， 将①代入，得2a b ∴--=②，①+②，得26b -=，3b =-，①-②，得22a =，1a =，(1,3)A ∴，133k ∴=⨯=．故答案为3．11．如图，点E 是矩形ABCD 的一边AD 的中点，BF CE ⊥于F ，连接AF ；若4AB =，6AD =，则sin AFE ∠= 35． 【解答】解：延长CE 交BA 的延长线于点G ，四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，4AB CD ==，6AD BC ==，G GCD ∴∠=∠，且AE DEA =，AEG DEC ∠=∠()AGE DCE AAS ∴∆≅∆4AG CD ∴==，AG AB ∴=，且BF GF ⊥，4AF AG AB ∴===AFE AGF ∴∠=∠，8BG AG AB =+=，6BC =2210GC BG BC ∴=+3sin sin 5BC AFE AGF GC ∴∠=∠== 故答案为：35 12．如图，在ABC ∆中，AB AC =，tan 2ACB ∠=，D 在ABC ∆内部，且AD BD =，90ADB ∠=︒，连接CD ，若25AB =，则BCD ∆的面积为 2 ．【解答】解：过A 作AH BC ⊥于H ，过D 作DG BC ⊥于G ，25AB AC ==tan 2AH ACB CH∠==， ∴设2AH x =，CH x =， 22525AC AH CH x ∴=+=2x ∴=，4AH ∴=，2CH BH ==，4BC ∴=，过D 作DE AH ⊥于E ，则四边形DEHG 是矩形，90EDG DGH DEH ∴∠=∠=∠=︒，ADE BDG ∴∠=∠，在ADE ∆与BDG ∆中，90AED BDG AED BGD AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADE BDG AAS ∴∆≅∆，AE BG ∴=，90ADB ∠=︒，210BD AB ∴== 设DG x =，4BG AH x ∴==-，222BD DG BG =+，2210(4)x x ∴=+-，1x ∴=或3x =（不合题意舍去）， 1DG ∴=，BCD ∴∆的面积14122=⨯⨯=， 故答案为：2．13．如图，直线y x b =-+与双曲线1(0)y x x=>交于A 、B 两点，与x 轴、y 轴分别交于E 、F 两点，连接OA 、OB ，若AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，则b = 433．【解答】解：令0y =，则0x b -+=，解得x b =，令0x =，则y b =，所以，点(,0)E b 、(0,)F b ，所以，OE OF =，过点O 作OM AB ⊥于点M ，则ME MF =，设点1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立1y x b y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 消掉y 得，210x bx -+=，根据根与系数的关系，121x x =，所以121y y =，所以12y x =，21y x =，所以OA OB =，所以AM BM =（等腰三角形三线合一），AOB OBF OAE S S S ∆∆∆=+，FB BM AM AE ∴===，所以点3(4A b ，1)4b ， 点A 在双曲线1y x =上， ∴31144b b ⨯=， 解得433b =． 故答案为：433．14．如图，点A 是双曲线6y x=-在第二象限分支上的一个动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为底作等腰ABC ∆，且120ACB ∠=︒，点C 在第一象限，随着点A 的运动点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线k y x=上运动，则k 的值为 2 ．【解答】解：作AD x ⊥轴于D ，CE x ⊥轴于E ，连接OC ，如图， AB 过原点，∴点A 与点B 关于原点对称，OA OB ∴=，CAB ∆为等腰三角形，OC AB ∴⊥，120ACB ∴∠=︒，30CAB ∴∠=︒，3OA OC ∴，90AOD COE ∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，OAD COE ∴∠=∠，Rt AOD Rt OCE ∴∆∆∽， ∴22()(3)3AOD OCE S OA S OC∆∆===， 而1|6|32OAD S ∆=⨯-=， 1OCE S ∆∴=， 即1||12k =， 而0k >，2k ∴=．15．如图，已知(3,1)A ，(1,0)B ，PQ 是直线y x =上的一条动线段且2(PQ Q =在P 的下方），当AP PQ QB ++取最小值时，点Q 坐标为 2(3，2)3．【解答】解：作点B 关于直线y x =的对称点(0,1)B '，过点A 作直线MN ，并沿MN 向下平移2单位后得(2,0)A '连接A B ''交直线y x =于点Q如图理由如下：2AA PQ '==，//AA PQ '，∴四边形APQA '是平行四边形．AP A Q '∴=．AP PQ QB B Q A Q PQ ''++=++且2PQ =．∴当A Q B Q ''+值最小时，AP PQ QB ++值最小．根据两点之间线段最短，即A '，Q ，B '三点共线时A Q B Q ''+值最小．(0,1)B '，(2,0)A '，∴直线A B ''的解析式112y x =-+． 112x x ∴=-+．即23x =， Q ∴点坐标2(3，2)3． 故答案是：2(3，2)3． 16．如图，ABCD 、CEFG 是正方形，E 在CD 上，直线BE 、DG 交于H ，且422HE HB =-，BD 、AF 交于M ，当E 在线段CD （不与C 、D 重合）上运动时，下列四个结论：①BE GD ⊥；②AF 、GD 所夹的锐角为45︒；③2GD AM =；④若BE 平分DBC ∠，则正方形ABCD 的面积为4，其中结论正确的是 ①②③④ （填序号）【解答】解：①正确，证明如下：BC DC =，CE CG =，90BCE DCG ∠=∠=︒，BEC DGC ∴∆≅∆，EBC CDG ∴∠=∠，90BDC DBH EBC ∠+∠+∠=︒，90BDC DBH CDG ∴∠+∠+∠=︒，即BE GD ⊥，故①正确；②由于BAD ∠、BCD ∠、BHD ∠都是直角，因此A 、B 、C 、D 、H 五点都在以BD 为直径的圆上；由圆周角定理知：45DHA ABD ∠=∠=︒，故②正确；③由②知：A 、B 、C 、D 、H 五点共圆，则BAH BDH ∠=∠；又45ABD DBG ∠=∠=︒，ABM DBG ∴∆∆∽，得::2AM DG AB BD ==2DG AM =；故③正确；④过H 作HN CD ⊥于N ，连接EG ； 若BH 平分DBG ∠，且BH DG ⊥，已知：BH 垂直平分DG ； 得DE EG =，H 是DG 中点，HN 为DCG ∆的中位线； 设CG x =，则：12HN x =，2EG DE x ==，(21)DC BC x ==+； HN CD ⊥，BC CD ⊥，//HN BC ∴，NHB EBC ∴∠=∠，ENH ECB ∠=∠， BEC HEN ∴∆∆∽，则::222BE EH BC HN ==+，即222BEEH =+；422222BEHE BH BH ∴==-+，即42BE BH =；DBH CBE ∠=∠，且90BHD BCE ∠=∠=︒， BDH BCE ∴∆∆∽，得：42DB BC BE BH ==， 即2242BC =，得：24BC =，即正方形ABCD 的面积为4； 故④正确；故答案为：①②③④．三．解答题（共6小题）17．如图11，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点C 在y 轴上，8OA =，4OC =，点P 为对角线AC 上一动点，过点P 作PQ PB ⊥，PQ 交x 轴于点Q ．（1）tan ACB ∠= 12； （2）在点P 从点C 运动到点A 的过程中，PQ PB 的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围；如果不变，请求出其值；（3）若将QAB ∆沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合，则PC 的长为 ．【解答】解：（1）四边形OABC是矩形，90ABC∴∠=︒，8BC OA==，4AB OC==，在Rt ABC∆中，1 tan2ABACBBC∠==，故答案为：12；（2）PQPB的值不发生变化，其值为12，理由：如图，过点P作PF OA⊥于F，FP的延长线交BC于E，PE BC∴⊥，四边形OFEC是矩形，4EF OC∴==，设PE a=，则4PF EF PE a=-=-，在Rt CEP∆中，1 tan2PEACBCE∠==，22CE PE a∴==，822(4) BE BC CE a a∴=-=-=-，PQ PB⊥，90BPE FPQ∴∠+∠=︒，90BPE PBE∠+∠=︒，FPQ EBP∴∠=∠，90BEP PFQ∠=∠=︒，BEP PFQ∴∆∆∽，∴PE BE BP FQ PF PQ==，∴2(4)4a a FQ a-=-，12FQ a∴=，∴1122a PQ FQ PB PE a ===； （3）如备用图，将QAB ∆沿直线BQ 折叠后，点A 与点P 重合， BQ AC ∴⊥，12AD PD AP ==， 在Rt ABC ∆中，4AB =，8BC =，根据勾股定理得，2245AC BC AB =+=， BAC DAB ∠=∠，90ADB ABC ∠=∠=︒， ABC ADB ∴∆∆∽，∴AB AC AD AB =， ∴4454AD =， 455AD ∴=， 45125245255PC AC AP AC AD ∴=-=-=-⨯=， 故答案为：1255．18．如图，E 、F 是正方形ABCD 对角线AC 上的两点，且AE EF FC ==，连接BE 、DE 、BF 、DF ．（1）求证：四边形BEDF 是菱形：（2）求tan AFD ∠的值．【解答】（1）证明：连接BD 交AC 于点O ，四边形ABCD 是正方形，OA OC ∴=，OB OD =，且AC BD ⊥，AE CF =，OA AE OC CF ∴-=-，即OE OF =，又OB OD =，∴四边形BEDF 是平行四边形，又AC BD ⊥，∴平行四边形BEDF 是菱形；（2）解：2EF OF =，EF CF =，2CF OF ∴=，3OC OF ∴=，又OD OC =，3OD OF ∴=，在正方形ABCD 中，AC BD ⊥，90DOF ∴∠=︒，在Rt DOF ∆中，tan 3OD AFD OF∠==．19．如图，点P 是反比例函数16(0)y x x=-<图象上的一动点，PA x ⊥轴于点A ，在直线3y x =上截取OB PA =（点B 在第一象限），点C 的坐标为(2-，23)，连接AC 、BC 、OC ．（1）填空：OC = 4 ，BOC ∠= ；（2）求证：AOC COB ∆∆∽；（3）随着点P 的运动，ACB ∠的大小是否会发生变化？若变化，请说明理由，若不变，则求出它的大小．【解答】（1）解：过点C 作CE x ⊥轴于点E ，过点B 作BF x ⊥轴于点F ，如图所示． 点C 的坐标为(2-，23)，2OE ∴=，23CE =224OC OE CE ∴+=．tan 3CE AOC OE∠== 60AOC ∴∠=︒．直线OB 的解析式为3y x =，60BOF ∴∠=︒，18060BOC AOC BOF ∴∠=︒-∠-∠=︒．故答案为：4；60︒．（2）证明：60AOC ∠=︒，60BOC ∠=︒，AOC BOC ∴∠=∠．点P 是反比例函数16(0)y x x=-<图象上的一动点， 16PA OA ∴=．PA OB =， 216OB OA OC ∴==， 即OA OC OC OB=， AOC COB ∴∆∆∽．（3）解：ACB ∠的大小不会发生变化，理由如下： AOC COB ∆∆∽，CAO BCO ∴∠=∠．在AOC ∆中，60AOC ∠=︒，120CAO OCA ∴∠+∠=︒，120BCO OCA ∴∠+∠=︒，即120ACB ∠=︒．20．如图1，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，B 点坐标是(8,4)，将AOC ∆沿对角线AC 翻折得ADC ∆，AD 与BC 相交于点E ．（1）求证：CDE ABE ∆≅∆；（2）求E 点坐标；（3）如图2，若将ADC ∆沿直线AC 平移得△A D C '''（边A C ''始终在直线AC 上），是否存在四边形DD C C ''为菱形的情况？若存在，请直接写出点C '的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：四边形OABC 为矩形，AB OC ∴=，90B AOC ∠=∠=︒，CD OC AB ∴==，D AOC B ∠=∠=∠，又CED ABE ∠=∠，()CDE ABE AAS ∴∆≅∆，CE AE ∴=；（2）(8,4)B ，即4AB =，8BC =．∴设CE AE n ==，则8BE n =-，可得222(8)4n n -+=，解得：5n =，(5,4)E ∴；（3）设点C 在水平方向上向左移动m 个单位，则在垂直方向上向上移动了2m 个单位， 则点C '坐标为(m -，14)2m +， 则四边形DD C C ''为菱形，2222215()()1624CC m m m CD ∴'=-+===， 解得：855m =±， 故点C '的坐标为85(5-，454)5+或85(5，454)5-． 21．如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数(0)m y x x =>的图象交于点(,2)P n ，与x 轴交于点(4,0)A -，与y 轴交于点C ，PB x ⊥轴于点B ，且AC BC =．（1）求一次函数、反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出m kx b x+<的x 的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．【解答】解：（1）AC BC =，CO AB ⊥，(4,0)A -， O ∴为AB 的中点，即4OA OB ==，(4,2)P ∴，(4,0)B ，将(4,0)A -与(4,2)P 代入y kx b =+得：4042k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得：141k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为114y x =+，将(4,2)P代入反比例解析式得：8m=，即反比例解析式为8yx =．（2）观察图象可知，mkx bx+<时，x的取值范围04x<<．（3）如图所示，点(0,1)C，(4,0)B224117BC∴=+=，17PC=，∴以BC、PC为边构造菱形，四边形BCPD为菱形，PB∴垂直且平分CD，PB x⊥轴，(4,2)P，∴点(8,1)D．22．已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P为矩形外一点且满足AP PC=，AP PC⊥，PC交AD于点N，连接DP，过点P作PM PD⊥交AD于M．（1）若5AP=，13AB BC=，求矩形ABCD的面积；（2）若CD PM=，试判断线段AC、AP、PN之间的关系，并证明．【解答】解：（1）AP PC=，AP PC⊥，252AC AP ∴==222AB BC AC +=，13AB BC =， 5AB ∴=，35BC =15ABCD S AB BC ∴=⨯=四边形（2）AC AP PN =+如图．延长AP ，CD 交于点EAP PC =，AP PC ⊥，90APC ∴∠=︒，45PAC PCA ∠=∠=︒四边形ABCD 是矩形90ADC ∴∠=︒，ADC APC ∴∠=∠∴点A ，点C ，点D ，点P 四点共圆45PDA PCA ∴∠=∠=︒，PCD PAD ∠=∠，DPC DCA ∠=∠， PM PD ⊥45PMD PDM ∴∠=∠=︒PM PD ∴=，且PM CD =PD CD ∴=，DPC DCP ∴∠=∠PAD DAC ∴∠=∠，且AD AD =，90ADE ADC ∠=∠=︒ ()ADE ADC ASA ∴∆≅∆AC AE ∴=，AP PC =，90APC EPC ∠=∠=︒，PCE PAD ∠=∠ ()PAN PEC ASA ∴∆≅∆PN PE∴=∴==+=+ AC AE AP PE AP PN。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习优生提升训练题（附答案详解）一、单选题1．如图，在ABC △中，5AB AC ==，2BC =.现分别任作ABC △的内接矩形1111PQ M N ，2222P Q M N ，3333PQ M N ，设这三个内接矩形的周长分别为123c c c 、、，则123++c c c 的值是( )A ．6B ．6+35C ．12D ．652．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，,N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点，若MN=1，则周长的最小值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝﹣1，有以下结论：①abc ＜0；②2a ﹣b ＝0；③4ac ﹣b 2＜8a ；④3a+c ＜0；⑤a ﹣b ＜m （am+b ），其中正确的结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．定义新运算，*(1)a b a b =-，若a 、b 是方程2104x x m -+=（0m <）的两根，则**b b a a -的值为（）A ．0 B ．1 C ．2 D ．与m 有关5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M ，N 的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax 2﹣x+2（a≠0）与线段MN 有两个不同的交点，则a 的取值范围是（ ）A ．a≤﹣1或14≤a ＜13B ．14≤a ＜13C ．a≤1或a ＞1D ．a≤﹣1或a≥16．如图1，在等边△ABC 中，点E 、D 分别是AC ，BC 边的中点，点P 为AB 边上的一个动点，连接PE ，PD ，PC ，DE ．设AP=x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的A ．线段DEB ．线段PDC ．线段PCD ．线段PE7．如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，PBC ∆是等边三角形，连接PD BD 、，BD 与PC 相交于点E ．则下列5个结论中，①18ADP ∠=︒；②CDP ∆的面积为24cm ；③DEP ∆是等腰三角形；④120BPD ∠=︒；⑤BDP ∆的面积为()2434cm -；正确的结论是（ ）A ．②③⑤B ．①③⑤C ．②③④D ．②④⑤ 8．已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3:4，则菱形面积为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．96 9．关于x 的一元二次方程()200ax bx c a =≠＋＋，给出下列说法：①若0a c =＋，则方程必有两个实数根；②若0a b c =＋＋，则方程必有两个实数根；③若23b a c =＋，则方程有两个不相等的实数根；④若250b ac <－，则方程一定没有实数根．其中说法正确的序号是( )A ．①②③ B ．①②④C ．①③④ D ．②③④10．已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图，则下列结论：①ac ＞0②a-b+c="0" ③ x ＜0时，y ＜0;④ax 2 + bx + c=0（a≠0）有两个不小于-1的实数根．其中错误的结论有（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④11．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点.如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是( )112．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作30角的直角三角形ABC 和30角的直角三角形ADE ，CD 与BE ，AE 分别交于点P ，M ，连接PA .对于下列结论： ①BAE CAD ∆∆；②MP MD MA ME ⋅=⋅；③图中有5对相似三角形；④AP CD ⊥．其中结论正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．4个D ．3个二、填空题 13．如图，矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝15，E 是CD 上的点，将△ADE 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 边上点F 处，点P 是线段CB 延长线上的动点，连接P A ，若△P AF 是等腰三角形，则PB 的长为____．14．如图，在四边形ABCD 中，90B D ︒∠=∠=，60A ︒∠=，3AB =，则AD 的取值范围是____.15．如图，半径为2的⊙O 分别与x 轴，y 轴交于A ，D 两点，⊙O 上两个动点B ，C ，使∠BAC ＝60°恒成立，设△ABC 的重心为G ，则DG 的最小值是_______．16．已知，如图，在四边形ABCD 中，90BAD ∠=︒，连接AC 、BD 相交于点E ，AC AB =，60=︒∠DAC ，2BD BC =，8ABD S =△，则线段CE =______．17．如图，曲线l 是由函数y =6x 在第一象限内的图象绕坐标原点O 逆时针旋转45°得到的，过点A (42,42)-，B (22,22)的直线与曲线l 相18．如图，点P 在反比例函数1y x =（x ＞0）的图象上，且横坐标为2．若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得图象为点P ′．则经过点P '的反比例函数图象的解析式是_____．19．如图，▱ABCD 中，AB ＞AD ，AE ，BE ，CM ，DM 分别为∠DAB ，∠ABC ，∠BCD ，∠CDA 的平分线，AE 与DM 相交于点F ，BE 与CM 相交于点N ，连接EM ．若▱ABCD 的周长为42cm ，FM=3cm ，EF=4cm ，则EM= ________cm ，AB= ________cm ．20．如图，P 是双曲线y =（x ＞0）的一个分支上的一点，以点P 为圆心，1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线y =3相切时，点P 的坐标为________．21．如图，在Rt ABC 和Rt DBE 中，90,ABC DBE ACB BED a ∠=∠=︒∠=∠=，点E 是线段AC 上一动点，连接AD ，现有以下结论：①若45a =，则AD EC的值为1； ②若60a =，则AD EC 的值为3； ③无论a 取何值，EAD ∠恒为90︒；④若60a =，取线段DE 的中点M ，连接,AM BM ，若4BC =，则当ABM 是直22．如图，△ABC ，∠ACB=90°，点D ，E 分别在AB ，BC 上，AC=AD ，∠CDE=45°，CD 与AE 交于点F ，若∠AEC=∠DEB ，CE=7104，则CF=______．23．如图，反比例函数y ＝k x（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别交AB 、BC 于点D 、E ，连结DE ．若四边形ODBE 的面积为9，则△ODE 的面积是________．24．如图所示中的∠A 的正切值为 ．三、解答题25．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2M y x bx c =-++与直线:914l y x =+交于点A ，且点A 的横坐标为2-．（1）请用b 的代数式表示c ；（2）点B 在直线l 上，点B 的横坐标为1-，点C 的坐标为(,5)b ．①若抛物线M 过点B ，求该抛物线的解析式；②若抛物线M 与线段BC 恰有一个交点，直接写出b 的取值范围．26．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣3，0）与B （1，0），与直线y ＝kx （k ≠0）交于点C （﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E 是抛物线上（x 轴下方）的一个动点，过点E 作x 轴的平行线与直线OC 交于点F ，试判断在点E 运动过程中，以点O ，B ，E ，F 为顶点的四边形能否构成平行四边形，若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．（3）如图2，点D 是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DM 交x 轴于点M ，当点E 在抛物线上B ，D 之间运动时，连接EA 交DM 于点N ，连接BE 并延长交DM 于点P ，猜想在点E 的运动过程中，MN+MP 的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．27．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是AB 延长线上的点，AC 的垂直平分线交半园于点D ，交AC 于点E ，连接DA ，DC .已知半圆O 的半径为3，2BC =.（1）求AD 的长.（2）点P 是线段AC 上一动点，连接DP ，作DPF DAC =∠∠，PF 交线段CD 于点F .当DPF 为等腰三角形时，求AP 的长.28．如图，已知在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，11AD =，13BC =，12AB =．动点P 、Q 分别在边AD 和BC 上，且2BQ DP =．线段PQ 与BD 相交于点E ，过点E 作EF ∥BC ，交CD 于点F ，射线PF 交BC 的延长线于点G ，设DP x =．（1）求DF CF 的值． （2）当△PQG 是以线段PQ 为腰的等腰三角形时，求x 的值．29．已知AC ，EC 分别是四边形ABCD 和EFCG 的对角线，点E 在ABC ∆内，90CAE CBE ∠+∠=.（1）如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF .①求证：CAE ∆∽CBF ∆；②若1BE =，2AE =，求CE 的长；（2）如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB EF k BC FC==时，若1BE =，2AE =，3CE =，求k 的值；30．（本题满分8分）如图，四边形ABCD 中，∠A=90°，AB=35，BC=8，CD=6，AD=5．（1）求BD ；（2）试判断A 、B 、C 、D 四点是否在同一个圆上．如果在同一个圆上，写出圆心和半径，31．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC=34，点O是AB边上的动点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，交于点E，连结BE、AE．（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径；（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式；（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当恰好也过点C时，求DE的长．32．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y 轴交于点C，且OC＝OA（1）求抛物线解析式；（2）过直线AC上方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AC交于点N．已知M 点的横坐标为m，试用含m的式子表示MN的长及△ACM的面积S，并求当MN的长最大时S的值．33．已知，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，过点E作EF∥BC交直线AB于点F，连接CF．（1）如图1，点D在BC上，AB与DE交于点G，连接BE．求证：四边形DCFE是平行四边形；（2）如图2，点D在BC的延长线上，若四边形CDEF是矩形，AC＝7，BC＝4，求AE的长．34．生活中，有人用纸条可以折成正五边形的形状，折叠过程是将图①中的纸条按图②方式拉紧，压平后可得到图③中的正五边形（阴影部分表示纸条的反面）．（1）将两端剪掉则可以得到正五边形，若将展开，展开后的平面图形是 ；（2）若原长方形纸条（图①）宽为2cm ，求（1）中展开后平面图形的周长（可以用三角函数表示）．35．如图，二次函数223y ax bx =++的图象与y 轴交于C 点，交x 轴于点A （-2，0），B （6，0），P 是该函数在第一象限内图象上的动点，过点P 作PQ ⊥BC 于点Q ，连接PC ，AC ．（1）求该二次函数的表达式；（2）求线段PQ 的最大值；（3）是否存在点P ，使得以点P ，C ，Q 为顶点的三角形与△ACO 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．36．四边形ABCD 是平行四边形，点E 在AD 边上运动（点E 不与点A ，D 重合）（1）如图1，当点E 运动到AD 边的中点时，连接BE ，若BE 平分ABC ∠，证明：2=AD AB ；（2）如图2，过点E 作EF BC ⊥且交DC 的延长线于点F ，连接BF ．若60ABC ︒∠=，3AB =2AD =，在线段DF 上是否存在一点H ，使得四边形ABFH 是菱形？若存在，请说明当发E ，点H 分别在线段AD ，DF 上什么位置时四边形ABFH 是菱形，并证明；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】首先过点A 作AD ⊥BC 于D ，由等腰三角形的性质，可得BD=CD=12BC=1，∠B=∠C ，由勾股定理可求得AD 的长，又可证得△BN 1P 1∽△BAD ，利用相似三角形的对应边成比例，可证得N 1P 1=2BP 1，又由△BP 1N 1≌△CQ 1M 1（AAS ），BP 1=CQ 1，则可求得c 1的值，同理可求得c 2，c 3的值，继而求得答案．【详解】过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵，BC=2，∴BD=CD=12BC=1，∠B=∠C ， ∴2=∵四边形P 1Q 1M 1N 1是矩形，∴P 1Q 1=M 1N 1，N 1P 1=M 1Q 1，N 1P 1⊥BC ，∴N 1P 1∥AD ，∴△BN 1P 1∽△BAD ，∴BP 1：BD=N 1P 1：AD ，∴N 1P 1=2BP 1，在△BP 1N 1和△CQ 1M 1中，∵1111111190B C BPN CQ M N P M Q ∠∠⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△BP 1N 1≌△CQ 1M 1（AAS ），∴BP 1=CQ 1，∴c 1=N 1P 1+P 1Q 1+M 1Q 1+M 1N 1=2BP 1+2P 1Q 1+2BP 1=2（BP 1+P 1Q 1+BP 1）=2（BP 1+P 1Q 1+CQ 1）=2BC=2×2=4，同理：c 2=c 3=c 1=4．∴c 1+c 2+c 3=12．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与整体思想的应用．2．B【解析】【分析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON，由两点之间线段最短可知MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，根据N是弧MB的中点可知∠A=∠NOB=∠MON=20°，故可得出∠MON′=60°，故△MON′为等边三角形，由此可得出结论．【详解】作N关于AB的对称点N′，连接MN′，NN′，ON′，ON．∵N关于AB的对称点N′，∴MN′与AB的交点P′即为△PMN周长的最小时的点，∵N是弧MB的中点，∴∠A=∠NOB=∠MON=20°，∴∠MON′=60°，∴△MON′为等边三角形，∴MN′=OM=4，∴△PMN周长的最小值为4+1=5．故选B．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题；圆周角定理．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．C【解析】【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可得结论；②根据抛物线的对称轴即可得结论；③根据抛物线与x 轴的交点个数即可得结论；④根据抛物线的对称轴和x 等于1时y 小于0即可得结论；⑤根据抛物线的顶点坐标及其它任何坐标的纵坐标进行比较即可得结论．【详解】解：①根据抛物线可知：0a <，0b <，0c >，0abc ∴>，所以①错误；②因为对称轴1x =-，即12b a-=-， 2b a ∴=，20a b ∴-=．所以②正确；③因为抛物线与x 轴有两个交点，所以240b ac ->，所以248b ac a ->．所以③正确；④当1x =时，0y <，即0a b c ++<，所以20a a c ++<，所以30a c +<．所以④正确；⑤当1x =-时，y 有最大值，所以当1x =-时，a b c -+的值最大，当x m =时，2y am bm c =++， 所以2a b c am bm c -+>++，即()a b m am b ->+．所以⑤错误．所以有②③④正确．故选C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解决本题的关键是掌握抛物线的相关性质． 4．A【解析】根据题意可得()()22**11b b a a b b a a b b a a -=---=--+，又因为a ，b 是方程2104x x m -+=的两根，所以2104a a m -+=，化简得214a a m -=-，同理2104b b m -+=，214b b m -=-，代入上式可得()()222211044b b a a b b a a m m ⎛⎫⎛⎫--+=--+-=--+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A ． 5．A【解析】【分析】根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；【详解】∵抛物线的解析式为y=ax 2-x+2．观察图象可知当a ＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；当a ＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN 有交点，满足条件，∴a≥14， ∵直线MN 的解析式为y=-13x+53， 由215332y x y ax x ⎧-+⎪⎨⎪-+⎩＝＝，消去y 得到，3ax 2-2x+1=0，∵△＞0，∴a ＜13， ∴14≤a ＜13满足条件， 综上所述，满足条件的a 的值为a≤-1或14≤a ＜13， 故选A ．【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．6．C【解析】试题解析：设边长AC=a ，则0＜x ＜a ，根据题意和等边三角形的性质可知，当x=a 时，线段PE 有最小值；当x=a 时，线段PC 有最小值；当x=a时，线段PD有最小值；线段DE的长为定值．故选C．考点：动点问题的函数图象．7．A【解析】【分析】根据等边三角形和正方形的性质得出∠PCD，计算出∠CDP即可得到∠ADP，可判断①；过P作PF⊥CD，垂足为F，算出PF，可得△CDP的面积，可判断②；利用外角性质算出∠PED，结合∠CPD的度数可判断③；再根据∠BPC和∠CPD的度数可判断④；过P作PG⊥BC，垂足为G，利用三角函数的定义算出PG，再利用S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD=S△PBC+S△PDC-S△BCD 即可算出△BPD的面积，可判断⑤．【详解】解：∵△PBC为等边三角形，四边形ABCD为正方形，∴PB=PC=BC=CD，∠PCB=60°，∴∠PCD=90°-60°=30°，∴∠CPD=∠CDP=（180°-30°）÷2=75°，∴∠ADP=90°-75°=15°，故①错误；过P作PF⊥CD，垂足为F，∵正方形ABCD的边长是4，∠PBC=∠PCB=60°，∴PB=PC=BC=CD=4，∠PCF=30°，∴PF=12PC=2，∴S△CDP=12CD PF⨯⨯=1422⨯⨯=4cm2，故②正确；∵∠DCP=30°，∠BDC=45°，∴∠DEP=45°+30°=75°，∵∠CPD=∠CDP=75°，∴∠DEP=∠CPD，∴DP=DE，∴△PDE为等腰三角形，故③正确；∵∠BPC=60°，∠CPD=75°，∴∠BPD=∠BPC+∠CPD=135°，故④错误；过P作PG⊥BC，垂足为G，∵∠PBC=60°，∴PG=PB•sin60°=3423⨯=，则S△BPD=S四边形PBCD-S△BCD =S△PBC+S△PDC-S△BCD=11423444 22⨯⨯+-⨯⨯=434-，故⑤正确，综上：正确的结论是②③⑤．故选A．【点睛】本题考查的正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PF及PG的长，再根据三角形的面积公式得出结论．8．D【解析】试题分析：设两条对角线长分别为3x，4x，根据勾股定理可得（32x）2+（42x）2=102，解之得x=4，则两条对角线长分别为12cm、16cm，因此菱形的面积=12×16÷2=96cm2．故选：D.9．A【解析】【分析】利用c=-a可判断△=b2+4a2＞0，从而根据判别式的意义可对①进行判断；利用c=-（a+b）得到△=b2-4ac=（2a+b）2≥0，则可根据判别式的意义对②进行判断；利用b=2a+3c得到△=4（a+c）2+5c2＞0，则可根据判别式的意义对③进行判断；由于b2-5ac＜0，不能判断△=b2-4ac=b2-5ac+ac与0的大小关系，则可根据判别式的意义对④进行判断．【详解】解：①当a+c=0，即c=-a，则△=b2-4ac=b2+4a2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以①正确；②当a+b+c=0，即c=-（a+b），则△=b2-4ac=b2+4a（a+b）=（2a+b）2≥0，方程必有两个实数根，所以②正确；③当b=2a+3c，则△=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=4（a+c）2+5c2＞0，方程必有两个不相等的实数根，所以③正确；④当b2-5ac＜0，△=b2-4ac=b2-5ac+ac可能大于0，所以不能判断方程根的情况，所以④错误．故选：A．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．10．C【解析】试题分析：①由图象可知a<0,c>0,所以ac<0,错误；②当x=-1时，a-b+c=0，正确；-1<x<0时，y>0,当x<-1时，y<0，错误；ax2 + bx + c=0（a≠0）有两个不小于-1的实数根，正确．故选Ｃ．考点：二次函数的图象和性质11．B【解析】【分析】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，由此可知方程x 2+x+c ＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y= x 2+x+c ＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c 的不等式组，解不等式组即可求得答案.【详解】由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2，所以x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个不相等的实数根，整理，得：x 2+x+c ＝0，所以△=1-4c>0，又x 2+x+c ＝0的两个不相等实数根为x 1、x 2，x 1＜1＜x 2，所以函数y= x 2+x+c ＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140110c c -⎧⎨++⎩＞＜， 解得c ＜﹣2，故选B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.12．D【解析】【分析】如图，设AC 与PB 的交点为N，根据直角三角形的性质得到cos30AB AE AC AD ==︒=，根据相似三角形的判定定理得到△BAE ∽△CAD ，故①正确；根据相似三角形的性质得到∠BEA ＝∠CDA ，推出△PME ∽△AMD ，根据相似三角形的性质得到MP •MD ＝MA •ME ，故②正确；由相似三角形的性质得到∠APM＝∠DEM＝90︒，根据垂直的定义得到AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，于是得到图中相似三角形有6对，故③不正确．【详解】如图，设AC与PB的交点为N，∵∠ABC＝∠AED＝90︒，∠BAC＝∠DAE＝30︒，∴3cos302AB AEAC AD==︒=，∠BAE＝30︒＋∠CAE，∠CAD＝30︒＋∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴PM ME MA MD=，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∴PM MA ME MD=，∵∠PMA＝∠EMD，∴△APM∽△DEM，∴∠APM＝∠DEM＝90︒，∴AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，∵△ABC∽△AED，∴图中相似三角形有6对，故③不正确；故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 13．6或9或12.5．【解析】【分析】分若AP=AF ；PF=AF 以及AP=P 三种情形分别讨论求出满足题意的PB 的值即可。

北师大数学九上期末综合提高训练（一）一、选择题1.方程x2=0的根为( )A．x1=x2=0B．x=0C．x2=0D．无实数根2.下列几何体中，有一个几何体的主视图与俯视图的形状不一样，这个几何体是( )A．正方体B．圆柱C．圆锥D．球3.在同一副扑克牌中抽取3张“红桃”，2张“方块”，1张“梅花”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（）A．16B．13C．12D．564.若正比例函数y=k1x(k1≠0)与反比例函数y=k2−1x(k2≠1)的大致图象如图所示，则k1，k2的取值范围是( )A．k1>0，k2>1B．k1<0，k2>1C．k1>0，k2<1D．k1<0，k2<15.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是( )A．2.5B．√5C．32√2D．26.已知：菱形ABCD中，对角线AC与BD相交O．E是BC中点E，AD=6，则OE的长为( )A．6B．4C．3D．27.如图，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：① ∠C=∠E；② △ADE∽△FDB；③ ∠AFE=∠AFC；④ FD=FB．其中正确的结论是( )A．①③B．②③C．①④D．②④8.如图，菱形ABCD的边长是5，两条对角线交于O点，且AO，BO的长分别是关于x的方程x2+(2m−1)x+m2+3=0的根，则m的值为( )A．−3B．5C．5或−3D．−5或3 9.如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：① S△ABF=S△ADF；② S△CDF=4S△CEF；③ S△ADF=2S△CEF；④ S△ADF= 2S△CDF，其中正确的是( )A．①③B．②③C．①④D．②④10.如图，在给定的正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则∠DFE+∠EPC的度数的变化情况是( )A．一直减小B．一直减小后增大C．一直增大D．先增大后减小二、填空题11.小明用直接降次法解方程(x−4)2=(5−2x)2时，得出一元一次方程x−4=5−2x，则他漏掉的另一个方程为．12.用如图所示的3×3的正方形网格纸板玩飞镖游戏，若每次飞镖均落在纸板上，且落在纸板的任何一个点的机会都相等．则飞镖落在阴影区域的概率是_________．13.我市为了增强学生体质，开展了羽毛球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式（即每两个选手之间都赛一场），半决赛共进行了10场，则共有人进入半决赛．14.设双曲线y=3上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，且当x1<0<x2时，则y1 xy2(填<，=，>)15.如图，在△ABC中，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE交于点G，GF∥AC，则S△DGF:S四边形FGAC=．16.已知：Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=3，BC=4，P为AB上任意一点，PF⊥AC于F，PE⊥BC于E，则EF的最小值是．17.如图，正方形ABCD的边长为8，M在CD上，且DM=2，N是AC上一动点．则DN+MN的最小值为．18.如图，在△AOC中，AC=OC，O是坐标原点，点C在x轴上，点A坐标是(1,3)，(x>0)上，AC与双曲线交于点B，则点C的坐标是，若A点在双曲线y=kx点E是线段OA上一点（不与O，A重合），设点D(m,0)是轴正半轴上的一个动点，且满足∠BED=∠AOC，当线段OA上符合条件的点E有且仅有2个时，m的取值范围是．三、解答题19.用适当的方法解下列方程：(1) x2−4x−396=0；(2) (x−2)2=4(2x+1)2．20.已知关于x的一元二次方程x2−(m+3)x+m+1=0．(1) 求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 当方程根的判别式等于5时，求m的值．21.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3．(1) 小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为．(2) 小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字（当指针指向分界线时，重新转动转盘）．求这两个数字之和是3的倍数的概率（用画树状图或列表的方法求解）．22.如图，正比例函数y1=−3x的图象与反比例函数y2=k的图象交于A，B两点，x点C在x轴的负半轴上，AC=AO，△ACO的面积为12．(1) 求k的值．(2) 根据图象，当y1>y2时，写出自变量x的取值范围．23.如图，已知某停车场入口处的栏杆的长臂AO长12米，短臂BO长1.1米，当长臂端点垂直升高AʹC=9米时，短臂端点垂直下降BʹD的长为多少米？（栏杆宽度忽略不计）24.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使得 EF =12BC ，连接 AF ，CF ．(1) 求证：四边形 ADCF 是菱形；(2) 请给 △ABC 添加一个条件，使得四边形 ADCF 是正方形，则添加的条件为 ．25. 某汽车 4S 店销售某种型号的汽车，每辆进货价为 15 万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为每辆 25 万元时，平均每周能售出 8 辆，而当销售单价每降低 1 万元时，平均每周能多售出 2 辆．该 4S 店要想平均每周的销售利润为 96 万元，并且使成本尽可能地低，则每辆汽车的定价应为多少万元？26. 如图 1，∠ABC =90∘，AB =2，BC =3，AD ∥BC ，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足 PQ PC =AD AB ．(1) 当 AD =2，且点 Q 与点 B 重合时（如图 2 所示），求线段 PC 的长；(2) 在图 1 中，连接 AP ．当 AD =32，且点 Q 在线段 AB 上时，设点 B ，Q 之间的距离为 x ，S △APQ S △PBC =y ，求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(3) 当 AD <AB ，且点 Q 在线段 AB 的延长线上时（如图 3 所示），求 ∠QPC 的度数．。

2023-2024学年北师大版九年级上册数学期末复习一、选择题1．下列图形中−定相似的是（）A．直角三角形都相似B．等腰三角形都相似C．矩形都相似D．等腰直角三角形都相似2．若，则的值为（）A．B．C．D．3．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．4．若关于x的一元二次方程有两个不相等实数根，且m为正整数，则此方程的解为（）A．，B．，C．，D．，5．如图，D、E分别是的边、上的点，下列各比例式不一定能推得的是（）A．B．C．D．6．在做抛硬币试验时，抛掷n次，若正面向上的次数为m次，则记正面向上的频率．下列说法正确的是（）A．P一定等于B．P一定不等于C．多抛一次，P更接近D．随着抛掷次数的逐渐增加，P稳定在附近7．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（）A．B．C．D．8．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12B．9C．6D．49．如图，已知边长为的正方形，是的中点，是的中点，与相交于，和相交于．则四边形的面积为（）A．B．C．D．10．如图所示，在正方形外取一点，分别连接．过点作的垂线，交于点，若．有下列结论：①；②；③点到直线的距离为；④．其中正确结论的序号是（）．A．①②④）B．①②③C．②③④D．①③④二、填空题11．已知是一元二次方程的两个实数根，则．12．一个盒子里装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外其余都相同．几名同学轮流从盒子里摸1个球，记录下所摸球的颜色后，再把球放回盒子里搅匀，记录如下：摸球次数20406080100120140160180200220240出现红球的频112333384959698191101109121数根据以上表格可估计摸到红球的概率为（结果保留小数点后一位），袋中白球约有个．13．如图，菱形ABCD的边长为2.5cm，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，BD上的动点，且CE＝DF，则AE+AF的最小值为．14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OB在x轴的正半轴上，AO=AB，M是边AB的中点，经过点M的反比例函数（k＞0，x＞0）的图象与边OA交于点C，则的值为．15．如图，正方形ABCD边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM=2AM，点N在边BC上，且BN=AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为.三、综合题16．解方程：（1）；（2）．17．如图，四边形ABCD是矩形，点E在CD边上，点F在DC延长线上，AE＝BF.（1）求证：四边形ABFE是平行四边形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的长.18．如图，郑明同学站在A处，测得他在路灯OC下影子AP的长与他的身高相等，都为1.5m，他向路灯方向走1m到B处时发现影子刚好落在A点.（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定光源O的位置；（2）求路灯OC的高.19．如图，某养殖场在养殖面积扩建中，准备将总长为米的篱笆围成矩形形状的鸡舍，其中一边利用现有的一段足够长的围墙，其余三边用篱笆，且在与墙平行的一边上开一个米宽的门．设边长为米，鸡舍面积为平方米．（1）求出与的函数关系式；（不需写自变量的取值范围）．（2）当鸡舍的面积为平方米时，求出鸡舍的一边的长．20．为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．（1）m=%，这次共抽取了名学生进行调查；并补全条形图；（2）请你估计该校约有名学生喜爱打篮球；（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？21．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB：y＝x﹣3与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，已知点A，B的坐标分别为（4，1）和（m，﹣4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴正半轴上一点，若S△POC＝2S△AOC，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，平面直角坐标系中是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．22．如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，BC=a，AD=h．（1）求正方形PQMN的边长（用a和h的代数式表示）；（2）如图2，在△ABC中，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC 内，连接BN并延长交AC于点N，画NM BC于点M，画NP NM交AB于点P，再画PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，证明四边形PQMN是正方形；（3）在（2）中的线段BN该线上截取NE=NM连接EQ，EM（如图3)，当∠QEM=90°时，求线段BN 的长（用a，h表示）参考答案1．D2．A3．C4．C5．C6．D7．A8．B9．C10．A 11．412．0.5；1013．14．15．16．（1）解：，，则，即，或，解得，；（2）解：，，或，，．17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.∴∠D=∠BCF.在Rt△ADE和Rt△BCF中，∴Rt△ADE≌Rt△BCF.∴∠1=∠F.∴AE∥BF.∵AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形.（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90°.∵∠BEF=∠DAE，∴∠BEF+∠1=90°.∵∠BEF+∠1+∠AEB=180°，∴∠AEB=90°.在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，AB=.∵四边形ABFE是平行四边形，∴EF=AB=5.18．（1）解：光源O的位置如图所示；（2）解：设OC＝x.∵AE∥OC，∴，∴，∴PC＝x，∴AC＝x-1.5，∵BF∥OC，∴，∴，∴x＝4.5，答：路灯OC的高为4.5米.19．（1）解：设AB边长为x米，鸡舍面积为y平方米，由题意得：y=AB×AD=x(78+2-2x)=x(80-2x)=-2x2+80x；（2）由题意得：-2x2+80x=800，解得：x=20，答：鸡舍的一边AB的长为20米．20．（1）20；50（2）360（3）解：列表如下：∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．∴抽到一男一女的概率P=.21．（1）解：把点A（4，1）代入得，∴k＝4×1＝4，即反比例函数的解析式为y＝；（2）解：在y＝x﹣3中，令y＝0，则x＝3，∴C（3，0），∴OC＝3，设P（0，a），＝2S△AOC，∵S△POC∴，∴a＝2，∴P（0，2）；（3）解：设E（c，d），把（m，﹣4）代入y＝x﹣3得﹣4＝x﹣3，∴x＝﹣1，∴B（﹣1，﹣4），∵A（4，1），P（0，2），以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，∴或或，∴或或，∴E（3，﹣5）或（﹣5，﹣3）或（﹣5，7）．22．（1）解：如图1，在正方形PQMN中，，，，，，；（2）证明：如图2，，∴四边形PQMN是矩形，，，矩形PQMN是正方形；（3）解：如图3作NR⊥EM于，作于，∴∠QEM=∠NRM=90°，∴∠EQM+∠TME=90°，∵∠NMT=90°，∴∠TME+∠RMN=90°，∴∠EQM=∠NMR，∵MN=MQ，∴△QEM≌△MRN(AAS)，∴EQ=RM，∵EN=NM，∴EM=2RM，∴EM=2EQ，∴tan∠EQM=2，∴sin∠EQM=，∴EM=QM·sin∠EQM=，∴ET=EM·sin∠EMQ=，。

期末备考压轴题培优：反比例函数1．如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1．（1）求m、n的值；（2）求直线AC的解析式．（3）点P在双曲线上，且△POC的面积等于△ABC面积的，求点P的坐标．2．如图，一次函数y＝﹣x+的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1．（1）求反比例函数的解析式；并直接写出不等式≤﹣+的解集．（2）在x轴上求一点P，使|P A﹣PB|的值最大，并求出其最大值和P点坐标．（3）连接OB，求三角形AOB的面积．3．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A （1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标；（3）直接写出不等式﹣x+3＜的解集．4．已知A（a，﹣2a）、B（﹣2，a）两点是反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b图象的两个交点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求△ABO的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．5．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；（3）将直线l1：y＝x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．6．如图所示，双曲线y＝（x＞0，k＞0）与直线y＝ax+b（a≠0，b为常数）交于A（2，4），B（m，2）两点．（1）求m的值；（2）若C点坐标为（n，0），当AC+BC的值最小时，求出n的值；（3）求△AOB的面积．7．如图，在平面直角坐标系xOy内，点P在直线y＝x上（点P在第一象限），过点P作P A⊥x轴，垂足为点A，且OP＝2．（1）求点P的坐标；（2）如果点Q在直线OP上，且S＝6，求点Q的坐标；△APQ（3）如果点M和点P都在反比例函数y＝（k≠0）图象上，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，如果△MNA和△OAP全等（点M、N、A分别和点O、A、P对应），求点M 的坐标．8．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过等边三角形BOC 的顶点B，OC＝2，点A在反比例函数图象上，连接AC，OA．（1）求反比例函数y＝（k≠0）的表达式；（2）若四边形ACBO的面积是3，求点A的坐标．9．如图，反比例函数y1＝的图象与一次函数y2＝ax+b的图象相交于点A（1，4）和B（﹣2，n）．（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）请根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数（x＞0）的图象经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．（1）求k的值；（2）当t＝4时，求△BMA面积；（3）若MA⊥AB，求t的值．12（1）求A、B两点的坐标和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．12．如图1，点A（0，8）、点B（2，a）在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值．12两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围；（3）求△AOB的面积．14．如图，一次函数y＝k1x﹣3（k1＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函y＝（k2＞0）的图象交于C，D两点，作CE⊥y轴，垂足为点E，作DF⊥y轴，垂足为点F，已知CE＝1．（1）①直接写出点C的坐标（用k1来表示）②k2﹣k1＝；（2）若B为AC的中点，求反比例函数的表达式；（3）在（2）的条件下，设点M是x轴负半轴上一点，将线段MF绕点M旋转90°，得到线段MN，当点M滑动时，点N能否在反比例函数的图象上？如果能，求出点N的坐标；如果不能，请说明理由．15．对于一个函数给出如下定义：对于函数y，当a≤x≤b，函数值y满足c≤y≤d，且满足k（b﹣a）＝d﹣c，则称此函数为“k属函数”．例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3，﹣9≤y≤﹣3，则k（3﹣1）＝﹣3﹣（﹣9），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属函数”．（1）反比例函数y＝（1≤x≤5）为“k属函数”，求k的值；（2）若一次函数y＝ax﹣1（1≤x≤5）为“2属函数”，求a的值．16．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的范围．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝k1x（x≥0）与双曲线y＝（x＞0）相交于P （2，4），已知点A、B的坐标分别为（4，0）、（0，3），连结AB．将Rt△AOB沿OP方向平移，得到△A′PB′，点O与点P是对应点．过点A′作A′C∥y轴交双曲线于点C．（1）求k1、k2的值；（2）求点C的坐标；（3）判断四边形PCA′B′是否为平行四边形，请说明理由．18．探索函数y＝x+（x＞0）的图象和性质．已知正比例函数y＝x与反比例函数y＝在第一象限内的图象如图所示．若P为函数y ＝x+（其中x＞0）图象上任意一点，过P作PC垂直于x轴且与已知函数的图象、x 轴分别交于点A、B、C，则PC＝x+＝AC+BC，从而发现下述结论：“点P可以看作点A沿竖直方向向上平移BC个长度单位（P A＝BC）而得到”．（1）根据该结论，在图中作出函数y＝x+（x＞0）图象上的一些点，并画出该函数的图象；（2）观察图象，写出函数y＝x+（x＞0）两条不同类型的性质．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点A（﹣1，6），直线y ＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0）．（1）求k，m的值；（2）过第二象限的点P（n，﹣2n）作平行于x轴的直线，交直线y＝mx﹣2于点C，交函数的图象于点D．①当n＝﹣1时，判断线段PD与PC的数量关系，并说明理由；②若PD≥2PC，结合函数的图象，直接写出n的取值范围．参考答案1．解：（1）∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A（﹣1，a）、B两点，∴B点横坐标为1，即C（1，0），∵△AOC的面积为1，∴A（﹣1，2），将A（﹣1，2）代入y＝mx，y＝可得m＝﹣2，n＝﹣2；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵y＝kx+b经过点A（﹣1，2）、C（1，0）∴，解得k＝﹣1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+1；（3）∵A（﹣1，2），C（1，0），∴B（1，﹣2），∴S＝×2×2＝2，△ABC∵△POC的面积等于△ABC面积的，＝，∴S△POC∵S＝OC•|y P|，△POC∴＝•|y P|，解得y P＝±1，∴P（﹣2，1）或（2，﹣1）．2．解：（1）∵反比例函数y＝（k＞0）的图象过点A，过A点作x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1，∴|k|＝1，∵k＞0，∴k＝2，故反比例函数的解析式为：y＝，由，解得或，∴A（1，2），B（4，），∴不等式≤﹣+的解集为1≤x≤4或x≤0；（2）一次函数y＝﹣x+的图象与x轴的交点即为P点，此时|P A﹣PB|的值最大，最大值为AB的长．∵A（1，2），B（4，），∴AB＝＝，∴|P A﹣PB|的最大值为；∵一次函数y＝﹣x+，令y＝0，则﹣x+＝0，解得x＝5，∴P点坐标为（5，0）；（3）∵P （5，0），∴OP ＝5，∴S △AOB ＝S △AOP ﹣S △BOP ＝×5×2﹣＝．3．解：（1）把点A （1，a ）代入y ＝﹣x +3，得a ＝2，∴A （1，2）把A （1，2）代入反比例函数y ＝，∴k ＝1×2＝2；∴反比例函数的表达式为y ＝；（2）∵一次函数y ＝﹣x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0），设P （x ，0），∴PC ＝|3﹣x |，∴S △APC ＝|3﹣x |×2＝5，∴x ＝﹣2或x ＝8，∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）；（3）解得或，∴B （2，1），由图象可知：不等式﹣x +3＜的解集是0＜x ＜1或x ＞2．4．解：（1）∵A （a ，﹣2a ）、B （﹣2，a ）两点在反比例函数y ＝的图象上， ∴m ＝﹣2a •a ＝﹣2a ，解得a ＝1，m ＝﹣2，∴A （1，﹣2），B （﹣2，1），反比例函数的解析式为y ＝﹣．将点A （1，﹣2）、点B （﹣2，1）代入到y ＝kx +b 中， 得：，解得：，∴一次函数的解析式为y ＝﹣x ﹣1．（2）在直线y ＝﹣x ﹣1中，令y ＝0，则﹣x ﹣1＝0，解得x ＝﹣1，∴C （﹣1，0），∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×1×2+×1＝；（3）观察函数图象，发现：当x ＜﹣2或0＜x ＜1时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式kx +b ﹣＞0的解集为x ＜﹣2或0＜x ＜1．5．解：（1）∵直线l 1：y ＝﹣x 经过点A ，A 点的纵坐标是2，∴当y ＝2时，x ＝﹣4，∴A （﹣4，2），∵反比例函数y ＝的图象经过点A ，∴k ＝﹣4×2＝﹣8，∴反比例函数的表达式为y ＝﹣；（2）∵直线l 1：y ＝﹣x 与反比例函数y ＝的图象交于A ，B 两点， ∴B （4，﹣2）， ∴不等式﹣x ＞的解集为x ＜﹣4或0＜x ＜4；（3）如图，设平移后的直线l 2与x 轴交于点D ，连接AD ，BD ，∵CD ∥AB ，∴△ABC 的面积与△ABD 的面积相等，∵△ABC 的面积为30，∴S △AOD +S △BOD ＝30，即OD （|y A |+|y B |）＝30， ∴×OD ×4＝30，∴OD ＝15，∴D（15，0），设平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+b，把D（15，0）代入，可得0＝﹣×15+b，解得b＝，∴平移后的直线l2的函数表达式为y＝﹣x+．6．解：（1）把A（2，4）代入y＝（x＞0，k＞0），∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y＝，把B（m，2）代入y＝得，2＝，解得m＝4；（2）由（1）可知：A（2，4），B（4，2），∴B点关于x轴的对称点B′（4，﹣2），连接AB′，交x轴与C，此时AC+BC＝AB′，AC+BC的值最小，设直线AB′的解析式为y＝mx+t，把A（2，4），B′（4，﹣2）代入得，解得：，∴直线AB′的解析式为y＝﹣3x+10，把（n，0）代入得y＝﹣3n+10，∴n＝；（3）把A（2，4），B（4，2）代入y＝ax+b得，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+6，∴直线AB 与x 轴的交点C （6，0），∴S △AOB ＝S △AOC ﹣S △BOC ＝×6×4﹣×6×2＝6．7．解：（1）设AP ＝h ，则OA ＝2h ，由勾股定理得，OP 2＝AP 2+OA 2，即（2）2＝h 2+（2h ）2， 解得，h ＝2，∴AP ＝h ＝2，则OA ＝2h ＝4，∴点P 的坐标为（4，2）；（2）设点Q 到AP 的距离为a ， 由题意得，×2×a ＝6， 解得，a ＝6，∴点Q 的横坐标为4﹣6或4+6， 当x ＝4﹣6时，y ＝2﹣3， 当x ＝4+6，y ＝2+3，综上所述，点Q 的坐标为（4﹣6，2﹣3）或（4+6，2+3）； （3））∵点P （4，2）在反比例函数y ＝的图象上，∴2＝，解得，k ＝8，∴y ＝，在Rt △P AO 中，∠P AO ＝90°，P A ＝2，AO ＝4，∵∠MNA ＝90°，∴当△MNA 和△APO 全等时，分以下两种情况：①点N 在点A 的左侧时，MN ＝AO ＝4，AN ＝AP ＝2，∴ON ＝OA ﹣AN ＝4﹣2＝2，∴M（2，4），且点M在反比例函数y＝的图象上．②点N在点A的右侧时，AO＝MN＝4，AN＝AP＝2，∴ON＝AN+AO＝4+2＝6．∴M（6，4），但点M不在反比例函数y＝的图象上，综合①②，满足条件的点M的坐标为（2，4）．8．解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝2，OD＝OC＝1，∴BD＝＝，＝OD×BD＝，∴S△OBDS＝|k|，△OBD∴|k|＝，∵反比例函数y＝（k≠0）的图象在一三象限，∴k＝，∴反比例函数的表达式为y＝；＝OC•BD＝＝，（2）∵S△OBC∴S＝3﹣＝2，△AOC＝OC•y A＝2，∵S△AOC∴y A＝2，把y＝2代入y＝，求得x＝，∴点A的坐标为（，2）．9．解：（1）∵反比例函数y1＝的图过点A（1，4），∴4＝，即k＝4，∴反比例函数的解析式为：y1＝，∵反比例函数y1＝的图象过点B（﹣2，n），∴n＝＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），∵一次函数y2＝ax+b的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴，解得：∴一次函数的解析式为：y2＝2x+2；（2）由图象可知：当﹣2＜x＜0或x＞1．10．解：（1）∵反比例函数（x＞0）的图象经过点A，∴1＝，解得k＝8；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，把点A（8，1），B（0，﹣3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x﹣3，当t＝4时，则M（4，2），N（4，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3，∴S△BMA＝×3×8＝12；（3）由题意可知M（t，），∵A（8，1），B（0，﹣3），∴MA2＝（t﹣8）2+（﹣1）2，MB2＝t2+（+3）2，AB2＝82+（1+3）2＝80，∵MA⊥AB，∴MB2＝MA2+AB2，即t2+（+3）2＝（t﹣8）2+（﹣1）2+80，整理得：2t+＝17，解得t＝或t＝8（舍去），故若MA⊥AB，t的值为．11．解：（1）分别把A（1，m）、B（4，n）代入y1＝﹣x+5，得m＝﹣1+5＝4，n＝﹣4+5＝1，所以A点坐标为（1，4），B点坐标为（4，1），把A（1，4）代入y2＝，得k＝1×4＝4，所以反比例函数解析式为y2＝；（2）如图，设一次函数图象与x轴交于点C，当y＝0时，﹣x+5＝0，解得x＝5，则C点坐标为（5，0），所以S△AOB ＝S△AOC﹣S△BOC＝×5×4﹣×5×1＝7.5．12．解：（1）∵点A（0，8）在直线y＝﹣2x+b上，∴﹣2×0+b＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，将点B（2，a）代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，∴a＝4，∴B（2，4），将B（2，4）代入反比例函数解析式y＝（x＞0）中，得k＝xy＝2×4＝8；（2）①由（1）知，B（2，4），k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴D（2+3，4），即D（5，4），∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，∴E（5，）；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，∴CD＝AB，AC＝BD＝m，∵A（0，8），B（2，4），∴C（m，8），D（（m+2，4），∵△BCD是以BC为腰的等腰三形，当BC＝CD时，BC＝AB，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴m＝2×2＝4，当BC＝BD时，B（2，4），C（m，8），∴BC＝，∴＝m，∴m＝5，当BD＝AB时，m＝AB＝＝2，综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2．13．解：（1）∵点A（2，4）在反比例函数y2＝的图象上，∴k＝2×4＝8，∴反比例函数的解析式为y2＝．（2）∵点B（﹣4，n）在反比例函数y2＝的图象上，∴n＝＝﹣2，∴点B的坐标为（﹣4，﹣2）．观察函数图象，发现：使一次函数值不大于反比例函数值的x的取值范围为x≤﹣4或0＜x≤2．（3）将点A（2，4）、B（﹣4，﹣2）代入到y1＝ax+b中，得：解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+2，令y＝0，求得x＝﹣2，∴S △AOB ＝S △AOC +S △BOC ＝×2×2+2×4＝6．14．解：（1）如图1，∵CE ⊥y 轴于点E 且CE ＝1，∴C 的横坐标为1，当x ＝﹣1时，y ＝﹣k 1﹣3∴C （﹣1，﹣k 1﹣3），∵C 在反比例函数的图象上，∴﹣1×（﹣k 1﹣3）＝k 2，∴k 2﹣k 1＝3；故答案为（﹣1，﹣k 1﹣3），3；（2）如图1，∵CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，∴CE ∥DF ，∵B 为AC 的中点，∴AB ＝BC ，∵∠AOB ＝∠BEC ＝90°，∠ABO ＝∠CBE ，∴△ABO ≌△CBE （AAS ），∴AO ＝CE ＝1，∴A （1，0），当x ＝1时，y ＝k 1+3＝0，∴k 1＝3，由（1）得：k 2﹣k 1＝3，∴k 2＝6；∴反比例函数的解析式：y ＝；（3）当点M 滑动时，点N 能在反比例函数的图象上如图2，MF ＝MN ，∠FMN ＝90°过N 作NH ⊥x 轴于H ，易得：△MNH ≌△FMO ，∴FO ＝MH ，OM ＝NH ，由（2）知：反比例函数的解析式：y＝；设D（m，），∵tan∠ABO＝＝＝，∴＝，解得：m＝2，m＝﹣1（舍去），∴N（2，3），∴OF＝MH＝3，设M（x，0），∴N（x+3，x），当点N落在反比例函数的图象上时，x（x+3）＝6，x2+3x﹣6＝0，解得x＝（舍去），x＝，∴点N的坐标为（，）．15．解：（1）∵反比例函数y＝中，k＝5＞0，∴y随x的增大而减小，当1≤x≤5时，1≤y≤5，∴k（5﹣1）＝5﹣1，∴k＝1；（2）①a＞0时，对于一次函数y＝ax﹣1，y随x增大而增大，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝4a，∵k＝2，∴a＝2；②当a＜0时，y随x增大而减小，当1≤x≤5时，a﹣1≤y≤5a﹣1，∴k（5﹣1）＝﹣4a，∵k＝2，∴a＝﹣2．16．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：，∴4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是；把B（n，﹣2）的坐标代入得，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，一次函数值大于反比例函数值的x的范围为0＜x＜2或x＞4．17．解：（1）∵直线y＝k1x过点P（2，4），∴4＝2k1，∴k1＝2，∵双曲线y＝（x＞0）过点P（2，4），∴k2＝2×4＝8；（2）由平移知，点O（0，2）向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点P（2，4），∴点A（4，0）也向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点A'（6，4），∵A'C∥y轴，∴点C的横坐标为6，由（1）知，k2＝8，双曲线的解析式为y＝，∵点C在双曲线y＝上，∴y＝＝，∴C（6，）；（3）四边形PCA′B′不是平行四边形，理由：∵B（0，3），∴OB＝3，由平移知，PB'＝OB＝3，PB'∥y轴，∵A'C∥y轴，∴PB'∥A'C，由（2）知，A'（6，4），C（6，），∴A'C＝4﹣＝≠PB'，∴四边形PCA′B′不是平行四边形．18．解：（1）如图所示：（2）函数两条不同类型的性质是：①图象是轴对称图形：②当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大；③当x＝1时，函数y＝x+（x＞0）的最小值是2；19．解：（1）∵函数的图象经过点A（﹣1，6），∴k＝﹣6．∵直线y＝mx﹣2与x轴交于点B（﹣1，0），∴m＝﹣2．（2）①判断：PD＝2PC．理由如下：当n＝﹣1时，点P的坐标为（﹣1，2），∵y＝﹣2x﹣2交于于点C，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，∴点C的坐标为（﹣2，2），∵函数的图象于点D，且点P（﹣1，2）作平行于x轴的直线，点D的坐标为（﹣3，2）．∴PC＝1，PD＝2．∴PD＝2PC．②当PD＝2PC时，有两种情况，分别为：y＝2，或者y＝6．若PD≥2PC，0＜y≤2，或y≥6即0＜﹣2n≤2，或﹣2n≤6解得﹣1≤n＜0．或n≤﹣3。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习培优提升训练题3（附答案详解）一、单选题1．为了方便行人推车过某天桥,市政府在10m 高的天桥一侧修建了40m 长的斜道(如图所示),我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数,具体按键顺序是( )A ．B ．C ．D ．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，在CD 上取一点E ，使AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为（ ）A ．30°B ．15°C ．45°D ．不能确定 3．在Rt △ABC 中，斜边AB=5，而直角边BC ，AC 之长是一元二次方程x 2-（2m-1）x+4（m-1）=0的两根，则m 的值是（ ）A ．4B ．-1C ．4或-1D ．-4或14．已知2a 4b 18-=-，2b 10c 7+=，2c 6a 27-=-．则a b c ++的值是（ ） A ．5- B ．10 C ．0 D ．55．如图，OA ，OB 是⊙O 的半径，点C 在⊙O 上，连接AC ，BC ，若∠A =15°,∠B =70°，则∠ACB 的度数为（ ）A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°6．已知二次函数2y x 4x m =-+（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为()1,0，则关于x 的一元二次方程2x 4x m 0-+=的两个实数根是（ ）A ．1x 1=，2x 1=-B ．1x 1=-，2x 2=C ．1x 1=-，2x 0=D ．1x 1=，2x 3=7．如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥，E 为弧BC 上一点，若CEA 28∠=，则ABD ∠=（ ）A ．14°B ．28°C ．56°D ．80°8．如图，抛物线顶点坐标是()1,3P ，则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（ ）A ．3x >B ．3x <C ．1x >D ．1x <9．如图，菱形ABCD 的边长为1，直线l 过点C ，交AB 的延长线于M ，交AD 的延长线于N ，则11AM AN +的值为（ ）A ．12B ．1C ．23D ．3210．如图，点E ，F ，G ，H 分别是任意四边形ABCD 中AD ，BD ，CA ，BC 的中点．若四边形EFGH 是菱形，则四边形ABCD 的边需满足的条件是（ ）A ．AB ∥DC B ．AC =BD C ．AC ⊥BD D ．AB =DC11．如图，在矩形ABCD 中，AB 5=，AD 12=，以BC 为斜边在矩形外部作直角三角形BEC ，F 为CD 的中点，则EF 的最大值为( )A ．433 2B ．25 4C ．25 2D ．433 412．周末，王雪带领小朋友玩摸球游戏：在不透明塑料袋里装有1个白色和2个黄色的乒乓球，摸出两个球都是黄色的获胜.小明一次从袋里摸出两个球；小刚左手从袋里摸出一个球，然后右手摸出一个球；小华则先从袋里摸出一个球看一下颜色，又放回袋里，再从袋里摸出一个球.这时，小明急了，说：小刚、小华占了便宜，不公平．你认为如何（ ）.A ．不公平，小刚、小华占便宜了B ．公平C ．不公平，小华吃亏了D ．不公平，小华占便宜了二、填空题13．计算:22(4560)cos tan -=14．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，已知⊙O 的半径为2，∠P=60°，则弦AB 的长为_____．15．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“”为：2ab a ab =-，例如213113=-⨯．若40x =，则x =________．16．若抛物线 ()22y a x =- 的开口向上，则 a 的取值范围是________．17．()1方程240x -=的根是________．()2方程24x x =的根是________．18．21x x 3-+________(x =-________2)． 19．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 是BC 的中点，AE ⊥BD 于点F ，则CF 的长是______．20．烟花厂为2018年春节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h （m ）与飞行时间t （s ）的关系式是h=232t -+12t+0.1，若这种礼炮在点火升空到最高点引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为_____s ．21．已知等腰三角形的两边长是方程x 2﹣9x+18=0的两个根，则该等腰三角形的周长为_____．22．反比例函数的图象经过点P （﹣1，2），则此反比例函数的解析式为________． 23．如图，直径为 10cm 的⊙O 中，两条弦 AB ，CD 分别位于圆心的异侧，AB ∥CD ，且2CD AC =，若 AB ＝8cm ，则 CD 的长为_____cm ．24．已知y ＝(a ＋1)x 2＋ax 是二次函数，那么a 的取值范围是__________．三、解答题25．如图，在▱ABCD 中，AB 32=，BC 5=，B 45∠=，点E 为CD 上一动点，经过A 、C 、E 三点的O 交BC 于点F ．（操作与发现） ()1当E 运动到AE CD ⊥处，利用直尺与规作出点E 与点F ；(保留作图痕迹) ()2在()1的条件下，证明：AF AB AE AD=． （探索与证明）()3点E 运动到任何一个位置时，求证：AF AB AE AD=； （延伸与应用）()4点E 在运动的过程中求EF 的最小值．26．如图，点E 是正方形ABCD 内一点，将ABE 绕点B 顺时针旋转90到CBF 的位置，点A ，E ，F 恰好在同一直线上．求证：AF CF ⊥．27．如图，将一张直角三角形ABC 纸片沿斜边AB 上的中线CD 剪开，得到△ACD ，再将△ACD 沿DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B 时，A′C′交CD 于E ，D′C′交CB 于点F ，连接EF ．（1）试探究△A′DE 的形状，请说明理由；（2）当四边形EDD′F 为菱形时，判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．28．已知关于x 的一元二次方程2240x x m --=．（1）求证：该方程有两个不等的实根；（2）若该方程的两个实数根1x 、2x 满足1229x x +=，求m 的值．29．如图是从一副扑克牌中取出的两组牌，分别是黑桃1，2，3，4和方块1，2，3，4，将它们背面朝上分别重新洗牌后，从两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少？请你用列举法（列表或画树状图）加以分析说明．30．某景区内有一块矩形油菜花田地（数据如图示，单位：m .）现在其中修建一条观花道（图中阴影部分）供游人赏花.设改造后剩余油菜花地所占面积为ym 2.（1）求y 与x 的函数表达式；（2）若改造后观花道的面积为13m 2，求x 的值；（3）若要求 0.5≤ x ≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值.31．如图1所示，在四边形ABCD 中，点O ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，连接OE ，EF ，FG ，GO ，GE ．（1）证明：四边形OEFG 是平行四边形；（2）将△OGE 绕点O 顺时针旋转得到△OMN ，如图2所示，连接GM ，EN ．①若OE=3，OG=1，求EN GM的值； ②试在四边形ABCD 中添加一个条件，使GM ，EN 的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）32．某小鱼塘放养鱼苗500尾，成活率为80%，成熟后，平均质量1.5斤以上的鱼为优质鱼，若在一天中随机捞出一条鱼，称出其质量，再放回去，不断重复上面的实验，共捞了50次，有32条鱼的平均质量在1.5斤以上，若优质鱼的利润为2元/斤，则这个小鱼塘在优质鱼上可获利多少元？33．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b 2﹣4ac ＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax 2+bx+c=0变形为： x 2+b a x=﹣c a，…第一步 x 2+b a x+（2b a ）2=﹣c a +（2b a ）2，…第二步 （x+2b a ）2=2244b ac a-，…第三步 x+2b a 24b ac -（b 2﹣4ac ＞0），…第四步 24b b ac -+- 嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b 2﹣4ac ＞0时，方程ax 2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是 ．用配方法解方程：x 2﹣2x ﹣24=0．34．如图所示是由几个小正方体搭成的几何体，请画出这个几何体从三个不同方向看到的图形．35．某厂房屋顶呈人字架形（等腰三角形），如图所示，已知AC BC 8m ==，A 30∠=，CD AB ⊥于点D ．（1）求ACB ∠的大小；（2）求AB 的长度．36．已知y 是x 的反比例函数，并且当2x =时，8y =．()1求y 关于x 的函数解析式；()2当4x =时，y 的值为________；该函数的图象位于第________象限，在图象的每一支上，y 随x 的增大而________．()3直接写出此反比例函数与直线 10y x =-+ 的交点坐标．参考答案1．A【解析】【分析】先利用正弦的定义得到sinA=0.25，然后利用计算器求锐角∠A．【详解】解：因为AC＝40，BC＝10，sin∠A＝BC AC，所以sin∠A＝0.25.所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为故选：A．点睛：本题考查了计算器-三角函数：正确使用计算器，一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键．2．B【解析】【分析】【详解】解：作EF⊥AB于F，则EF=BC，又∵AB=2BC，AE=AB，∴AE=2EF，∴∠EAF=30°，∵AE=AB∴∠ABE=∠AEB=75°，∴∠EBC=90°-75°=15°．故选B ．3．A【解析】【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出a+b 和ab ，利用勾股定理可得出a 2+b 2=25，再将方程左边转化为（a+b ）2-2ab ，然后整体代入建立关于m 的方程，解方程求出m 的值，再由a+b ＞0，确定m 的值。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习优生提升训练题1（附答案详解）一、单选题1．如图，扇形OAB 的圆心角的度数为120°，半径长为4，P 为弧AB 上的动点，PM ⊥OA ，PN ⊥OB ，垂足分别为M 、N ，D 是△PMN 的外心．当点P 运动的过程中，点M 、N 分别在半径上作相应运动，从点N 离开点O 时起，到点M 到达点O 时止，点D 运动的路径长 （ ）A ．B ．C ．2D ．2．如图，在ABC ∆中，90C =∠，AB ＝5，BC ＝4，点D 为边AC 上的动点，作菱形DEFG ，使点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上.若这样的菱形能作出两个，则AD 的取值范围是( )A ．369378AD <≤B ．1575837AD ≤< C ．575337AD ≤< D ．51538AD ≤≤ 3．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，点P 为线段AB 上的动点，E 为AD 的中点，射线PE 交CD 的延长线于点Q ，过点E 作PQ 的垂线交CD 于点H 、交BC 的延长线于点F ，则以下结论：①AEPCHF ；②EHQ CHF ；③当点F 与点C 重合时3PA PB ；④当PA PB =时，22CF =．成立的是( )A ．①③④B ．②③④C ．①③D ．②④4．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC ＝BC ．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且AE ＝BF ，EF 与AB 交于点G ，EH⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是：A ．B ．C ．D ． 5．如图，在矩形ABCD 中，AB BC ＜，E 为 C D 边的中点，将ADE 绕点 E 顺时针旋转180︒，点D 的对应点为C ，点A 的对应点为F ，过点 E 作ME AF ⊥交 BC 于点 M ，连接AM 、BD 交于点N ，现有下列结论：①AM AD MC =+；②AM DE BM =+；③2DE AD CM =⋅；④点N 为ABM 的外心．其中正确的是（ ）A ．①④B ．①③C ．③④D ．②④6．如图，正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，CG ⊥DE 于G ，BG 延长交CD 于点F ，CG 延长交BD 于点H ，交AB 于N.下列结论：①DE=CN ；②12BH DH =；③S △DEC =3S △BNH ；④∠BGN=45°；⑤2GN EG BG +=.其中正确结论的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个7．如图所示几何体的主视图为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP 、CP 的延长线分别交AD 于点E 、F ，连结BD ，DP ，BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论：①~BDE DPE ，②35FP PH =，③2DP PH PB =⋅，④tan 23DBE ∠=-其中正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③④C ．①③④D ．②④二、填空题 9．Rt ABC ∆中，090C ∠=，3AC =，2BC =，将此三角形绕点A 旋转，当点B 落在直线BC 上的点D 处时，点C 落在点E 处，此时点E 到直线BC 的距离为_____．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A （1-，0），B （0，2），点C 在第一象限，∠ABC=135°，AC 交y 轴于D ，CD=3AD ，反比例函数k y x=的图象经过点C ，则k 的值为_______．11．在平面直角坐标系中，已知()()()2,0,2,2,0,2A B C ，动点E 从点C 出发，以每秒1个单位的速度向下运动，动点F 从点A 出发，以每秒1个单位的速度向右运动，过点A 作BF 的平行线交BE 于点P ，当PO 的值最小时，此时t =_____________秒． 12．如图，扇形AOB ，且4OB =，90AOB ∠=︒，C 为弧AB 上任意一点，过C 点作CD OB ⊥于点D ，设ODC ∆的内心为E ，连接OE 、CE ．当点C 从点B 运动到点A 时，内心E 所经过的路径长为________．13．如图，四边形ABCD 为正方形，H 是AD 上任意一点，连接CH ，过B 作BM CH ⊥于M ，交AC 于F ，过D 作//DE BM 交AC 于E ，交CH 于G ，在线段BF 上作PF DG =，连接PG ，BE ，其中PG 交AC 于N 点，K 为BE 上一点，连接PK ，KG ，若BPK GPK ∠=∠，12CG =，:3:5KP EF =，求KG EG的值为________．14．若双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点，则对k 的取值要求是______．15．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝4，AD ∥BC ，∠B ＝60°，点E 、F 分别为边BC 、CD 上的两个动点，且∠EAF ＝60°，则△AEF 的面积的最小值是_____．16．抛物线2y ax bx c =++的对称轴是直线1x =-，且过点(1,0)，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断；①0ab >且0c <；②420a b c -+>；③80a c +>；④33c a b =-；⑤直线22y x =+与抛物线2y ax bx c =++两个交点的横坐标分别为12,x x ，则12125x x x x ++=-．其中结论正确是___________．三、解答题17．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()()2:13231F y a x ax a a =+-+-≠- （1）当2a =-时，求抛物线()21323y a x ax a =+-+-的顶点坐标； （2）已知点()0,2A ，抛物线F 与y 轴交于点C （不与A 重合），将点C 绕点A 逆时针旋转90°至点B ，①直接写出点B 的坐标（用含a 的代数式表示）；②若抛物线F 与线段AB 有且仅有一个公共点，求a 的取值范围．18．（本题10分）如图，已知抛物线 y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣3，0），B （9，0）和C （0，4）．CD 垂直于y 轴，交抛物线于点D ，DE 垂直与x 轴，垂足为E ，l 是抛物线的对称轴，点F 是抛物线的顶点．（1）求出二次函数的表达式以及点D 的坐标；（2）若Rt △AOC 沿x 轴向右平移到其直角边OC 与对称轴l 重合，再沿对称轴l 向上平移到点C 与点F 重合，得到Rt △A 1O 1F ，求此时Rt △A 1O 1F 与矩形OCDE 重叠部分的图形的面积；（3）若Rt △AOC 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t≤6）得到Rt △A 2O 2C 2，Rt △A 2O 2C 2与Rt △OED 重叠部分的图形面积记为S ，求S 与t 之间的函数表达式，并写出自变量t 的取值范围．19．请完成下面的几何探究过程：(1)观察填空如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B 重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连DE，BE，则①∠CBE的度数为____________；②当BE=____________时，四边形CDBE为正方形．(2)探究证明如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2AC=4，点D为斜边AB上一动点(不与点A，B重合)，把线段CD绕点C顺时针旋转90°后并延长为原来的两倍得到线段CE，连DE，BE则：①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形(3)拓展延伸如图2，在点D的运动过程中，若△BCD恰好为等腰三角形，请直接写出此时AD的长．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+m交y轴于点C，与抛物线y=ax2+bx交于点A（4，0）、B（-32，-338）．（1）直线l的表达式为：______，抛物线的表达式为：______；（2）若点P是二次函数y=ax2+bx在第四象限内的图象上的一点，且2S△APB=S△AOB，求△AOP的面积；（3）若点Q是二次函数图象上一点，设点Q到直线l的距离为d，到抛物线的对称轴的距离为d1，当|d-d1|=2时，请直接写出点Q的坐标．21．如图，在正方形ABCD中，点E为对角线AC上的一点，连接BE，DE．（1）如图1，求证：△BCE≌△DCE；（2）如图2，延长BE交直线CD于点F，G在直线AB上，且FG=FB．①求证：DE⊥FG；②已知正方形ABCD的边长为2，若点E在对角线AC上移动，当△BFG为等边三角形时，求线段DE的长．22．在平整的地面上，由若干个完全相同的棱长为10 cm的小正方体堆成一个几何体，如图①所示.(1)请你在方格纸中分别画出这个几何体的主视．．图;．．图和左视(2)若现在手头还有一些相同的小正方体，如果保持这个几何体的主视图和俯视图不变，Ⅰ.在图①所示几何体上最多可以添加个小正方体;Ⅱ.在图①所示几何体上最多可以拿走个小正方体;Ⅲ.在题Ⅱ的情况下，把这个几何体放置在墙角，使得几何体的左面和后面靠墙，其俯视图如图②所示，若给该几何体露在外面的面喷上红漆，则需要喷漆的面积最少是多少平方厘米?23．如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q的值两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ PH称为⊙I关于直线a的“特征数”．（1）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，点E 的坐标为()0,4，半径为1的⊙O 与两坐标轴交于点A 、B 、C 、D ．①过点E 画垂直于y 轴的直线m ，则⊙O 关于直线m 的“远点”是点_________（填“A ”、“B ”、“C ”或“D ”），⊙O 关于直线m 的“特征数”为_________； ②若直线n 的函数表达式为34y x =+，求O 关于直线n 的“特征数”；（2）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点()1,4M ，点F 是坐标平面内一点，以F 为圆心，2为半径作⊙F ．若⊙F 与直线l 相离，点()1,0N -是⊙F 关于直线l 的“远点”，且⊙F 关于直线l 的“特征数”是45，求直线l 的函数表达式．24．如图，抛物线y ＝2x 2+2x ﹣62交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 点，D 点是该抛物线的顶点，连接AC 、AD 、CD ．（1）求△ACD 的面积；（2）如图，点P 是线段AD 下方的抛物线上的一点，过P 作PE ∥y 轴分别交AC 于点E ，交AD 于点F ，过P 作PG ⊥AD 于点G ，求EF+5FG 的最大值，以及此时P 点的坐标； （3）如图，在对称轴左侧抛物线上有一动点M ，在y 轴上有一动点N ，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt △BMN ？若存在，求出点M 的横坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．B【解析】根据题意画出点N离开点O时，到点M到达点O时的图形，得到点D运动的轨迹是点O为圆心，以2为半径，圆心角为60°的弧，根据弧长公式计算即可．解：当点N与点O重合时，∠P′OA=30°，OD=OP′=2，当点M与点O重合时，∠P′′OB=30°，OD=OP′′=2，∴∠P′OA P′′=60°∵D是△PMN的外心，∴点D在线段PM的垂直平分线上，又PM⊥OA，∴D为OP的中点，即OD=OP=2，∴点D运动的轨迹是以点O为圆心，2为半径，圆心角为60°的弧，弧长为：．故选：B．点晴：本题主要考查的是弧长的计算，要求学生掌握弧长的计算公式，并能够在动态的图形中寻找到图形的变化规律，而根据题意确定点D的运动轨迹是解题的关键．要想理解点D的运动轨迹，就要先从P的起始位置和终止位置这两个特殊位置进行观察，从而可得出点D运动的轨迹是以点O为圆心，2为半径，圆心角为60°的弧.2．B【解析】【分析】因为在ABC∆中只能作出一个正方形，所以要作两个菱形则AD必须小于此时的AD，也即这是AD的最大临界值；当AD等于菱形边长时，这时恰好可以作两个菱形，这是AD最小临界值.然后分别在这2种情形下，利用相似三角形的性质求出AD即可.【详解】过C作CN AB⊥交DG于M由三角形的面积公式得1122ABCS AC BC AB CN ∆=⋅=⋅即1134522CN⨯⨯=⨯⋅，解得125CN=①当菱形DEFG为正方形时，则只能作出一个菱形设：DE x=，DG x∴=DEFG为菱形，//DG AB∴CDG CAB∴∆~∆，DG CMAB CN∴=，即1251255xx-=，得6037x=75sin37DEADA∴==（4sin5BCAAB==）若要作两个菱形，则7537AD<；②当DE DA=时，则恰好作出两个菱形设：DE y=，DE DA DG y∴===过D作DH AB⊥于H，4sin5DH DA A y=⋅=45MN y∴=由①知，DG CMAB CN=，124551255yy-∴=，得158y=158AD∴≥综上，1575837AD≤<故选：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质、锐角三角函数，依据图形的特点判断出两个临界值是解题关键.3．C【解析】【分析】利用正方形的性质、全等三角形的性质、勾股定理等知识一一判断即可．【详解】解：①如图1，四边形ABCD是正方形，ADC BCD，90DEH DHE，90PQ EF，PEF AEP DEH，90DHE AEP，DHE CHF，AEP CHF，故①正确；QEH HCF，EHQ CHF，②90∽，EHQ CHF故②不正确；③当点F与点C重合时，如图2，E 是AD 的中点，AE ED ∴=，在PAE ∆和QDE ∆中，90AEDQ AEED AEP DEQ ，()PAE QDE ASA ， PEEQ ，PA DQ =， PQ EF ， PC QC ，设PA x =，则DQ x =，2PC CQ x ，2PB x =-，Rt PBC ∆中，222PC PB BC =+，222(2)2(2)x x ∴-+=+，12x ∴=， 13222PB ， 3PA PB ，故③正确；④如图3，P 是AB 的中点，1PA AE ED ，Rt PAE ∆中，45AEP ∠=︒， 90PEF ，45DEH ∴∠=︒， Rt EDH 中，1DH DE ，1CH DH ∴==，在EDH ∆和FCH ∆中，90EDHHCF DHCH EHD FHC ，()EDH FCH ASA ， 1CF ED ，故④不正确；本题成立的结论有：①③；故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．4．C【解析】∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC=a,∴AB=22222AC BC a a +== , ，∠A=45°， 又∵EH ⊥AB 于点H ，∴△AHE 是等腰直角三角形， ∴AH=22AB x = ， 过点B 作BD ∥AC 交EF 于点D ，如图所示：则,BD BG BF BD AE AG FC EC== ， ∴BD=•2AE BG x AG a BG =+ ，BD=•()BF EC x x a FC x a=-+ ， ()2x x x a x a a BG =-++ ∴()2)()BG x a a BG x a +=+-，∴BG ＝2222x - ， 又∵GH=AB -AH+BG 2a -222222x x a +- 2 即2,是一条平行于x 轴的直线． 故选C.5．B【解析】【分析】根据全等三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，即可得出AM MC AD =+；根据ABG ADE ∆∆∽，且AB BC <，即可得出BG DE <，再根据AM GM BG BM ==+，即可得出AM DE BM =+不成立；根据ME FF ⊥，EC MF ⊥，运用射影定理即可得出2EC CM CF =，据此可得2DE AD CM =成立；根据N 不是AM 的中点，可得点N 不是ABM ∆的外心．【详解】解：E 为CD 边的中点，DE CE ∴=，又90D ECF ∠=∠=︒，AED FEC ∠=∠，ADE FCE ∴∆≅∆， AD CF ∴=，AE FE =，又ME AF ⊥，ME ∴垂直平分AF ，AM MF MC CF ∴==+，AM MC AD ∴=+，故①正确；如图，延长CB 至G ，使得BAG DAE ∠=∠，由AM MF =，//AD BF ，可得DAE F EAM ∠=∠=∠，可设BAG DAE EAM α∠=∠=∠=，BAM β∠=，则AED EAB GAM αβ∠=∠=∠=+， 由BAG DAE ∠=∠，90ABG ADE ∠=∠=︒，可得ABG ADE ∆∆∽，G AED αβ∴∠=∠=+，G GAM ∴∠=∠，AM GM BG BM ∴==+，由ABG ADE ∆∆∽，可得BG AB DE AD=， 而AB BC AD <=，BG DE ∴<，BG BM DE BM ∴+<+，即AM DE BM <+，AM DE BM ∴=+不成立，故②错误；ME FF ⊥，EC MF ⊥，2EC CM CF ∴=⨯，又EC DE =，AD CF =，2DE AD CM ∴=，故③正确；90ABM ∠=︒，AM ∴是ABM ∆的外接圆的直径，BM AD <，∴当//BM AD 时，1MN BM AN AD=<， N ∴不是AM 的中点，∴点N 不是ABM ∆的外心，故④错误．综上所述，正确的结论有①③，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质以及旋转的性质的综合应用，解决问题的关键是运用全等三角形的对应边相等以及相似三角形的对应边成比例进行推导，解题时注意：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，故外心到三角形三个顶点的距离相等．6．D【解析】【分析】根据题目已知证明NBC ECD ≅可判断①正确；证明NBH CDH 可判断②正确；过H 点作//IJ AD ，利用12DEC S EC DC =，12BNH S BN HI =求解即可判断③正确；添加辅助线过B 作BP ⊥CN 于P ，BQ ⊥DG ，交DE 的延长线于E ，利用△BNC ≌△CED ，证得△BPN ≌△BQE ，即可判断④正确；连接N ，E ，设BN x =,则BE EC x ==,2BC x =,利用勾股定理求出CN ，CE 的长，然后根据ECN 的面积求出GE ，GN ，再证NGB CGF ，利用相似三角形对应边成比例，求出BG ，BF 的长，即可得⑤正确．【详解】 解：①∵在正方形ABCD 中，90NBC ECD ∠=∠=，BC CD =, ∴90NBC GCD ∠+∠=90ECD GCD ∠+∠=即：NBC ECD ∠=∠ ∴NBC ECD ≅（ASA ）∴CN= DE ，故①正确；②∴在正方形ABCD 中，//AB CD ，∴NBHCDH ， ∴NB BH DC DH=， ∵NBC EDC ≅，E 为BC 的中点， 四边形ABCD 是正方形∴1122NB BC CD ==， ∴12NB BH DC DH ==，故②正确； ③如下图示，过H 点作//IJ AD ，∴根据NBHCDH ，有12HI HJ =， 则：1133HI IJ DC == ∴12DEC S EC DC =， 1111122332BNH BN HI EC DC EC DC S ⎛⎫==⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭即是：3DEC BNH S S =，故③正确 ；④过B 作BP ⊥CN 于P ，BQ ⊥DG ，交DE 的延长线于E ，∴∠BPC=∠BQD=∠PGQ=90°，∴四边形PBQG 是矩形，∴∠PBQ=90°，∵∠ABC=90°，∴∠NBP=∠QBE ，由①得：△BNC ≌△CED ，∴EC=BN ，∵E 是BC 的中点，∴BE=EC ，∴BE=BN ，∵∠BPN=∠BQE=90°，∴△BPN ≌△BQE ，∴BP=BQ ，∴四边形PBQG 是正方形，∴∠BGE=45°，故④正确；⑤如图示，连接N ，E设BN x =,则BE EC x ==,2BC x =, ∵CG ⊥DE ，90NBC ∠= ∴()222225CN BC BN x x x =+=+=，EN ==，由ECN 的面积可得：1122CN GE EC BN =化简得：GEx =， ∴GN x ===，则有：GN GEx x x +=+=∴55GC CN GN x x =-=-= ， ∵//AB CD ，∴NGB CGF ，∴325x BN BG GN FC FG GC ====， ∴32BG FG =， 则35BG BF =， 2233FC BN x ==，并∵BF x ===55x x == ∴GN GE +=，故⑤正确．综上所述，故选：D ．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，学生需要有比较强的综合知识，比较复杂．7．D【解析】【分析】根据从正面看得到的图形为主视图，即可求解；【详解】从正面看：故选：D.【点睛】本题主要考查立体图形的三视图，熟练掌握三视图的观察方法是解决本题的关键.8．C【解析】【分析】根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到30PCD ∠=︒，于是得到75CPD CDP ∠=∠=︒，证得15EDP PBD ∠=∠=︒，于是得到BDEDPE ∆∆，故①正确；由于FDP PBD ∠=∠，60DFP BPC ∠=∠=︒，推出DFP BPH ∆∆，得到3PF DF DF PH PB CD ===30PDH PCD ∠=∠=︒，DPH DPC ∠=∠，推出DPH CPD ∆∆，得到PD PH CD PD=，PB CD =，等量代换得到2PD PH PB =⋅，故③正确；过P 作PM CD ⊥，PN BC ⊥，求得30PCD ∠=︒，根据三角函数的定义得到23CM PN ==2PM =，由平行线的性质得到EDP DPM ∠=∠，等量代换得到DBE DPM ∠=∠，于是求得tan 23DBE ∠=-【详解】解：∵BPC ∆是等边三角形，BP PC BC ∴==，60PBC PCB BPC ∠=∠=∠=︒，在正方形ABCD 中，∵AB BC CD ==，A ADC BCD 90∠=∠=∠=︒30ABE DCF ∴∠=∠=︒，75CPD CDP ∴∠=∠=︒，15PDE ∴∠=︒，∵604515PBD PBC HBC ∠=∠-∠=︒-=︒︒，EBD EDP ∴∠=∠，∵DEP DEB ∠=∠，BDE DPE ∴∆∆；故①正确；∵=PC CD ，=30PCD ∠︒=75PDC ∴∠︒15FDP ∴∠=︒∵45DBA ∠=︒60PBD BPC ∴∠=∠=︒∵DFP BPH ∆∆33PF DF DF PH PB CD ∴===，故②错误； ∵30PDH PCD ∠=∠=︒，DPH DPC ∠=∠，∴DPH CPD ∆∆，∴PD PH CD PD=， 2PD PH CD ∴=•，∵PB CD =，2PD PH PB =∴⋅，故③正确；如图，过P 作PM CD ⊥，PN BC ⊥，设正方形ABCD 的边长是4，BPC △为正三角形，60PBC PCB ︒∴∠=∠=，4PB PC BC CD ====，30PCD ∴∠=︒3sin 60423CM PN PB ︒∴==⋅==，sin302PM PC =︒⋅=， ∵//DE PM ， EDP DPM ∴∠=∠，DBE DPM ∴∠=∠，423tan tan 23DM DBE DPM PM -∴∠=∠===- 故选：C ．【点睛】 本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PM 及PN 的长． 9．2413． 【解析】【分析】过B 作BG AD ⊥于G ，利用旋转的性质及勾股定理求得13AB AD ==11••22ABD S AD BD AC BG ==，得121313BG =，过E 作EH BD ⊥交BD 的延长线于H ，利用ABG ∆∽DEH ∆，得AB BG DE EH =12131313EH=，即可求出EH. 【详解】解：如图，过B 作BG AD ⊥于G ， ∵将ABC ∆绕点A 旋转得到ADE ∆，∴AD AB =，DE BC =，ADE ABC ∠=∠，∵Rt ABC ∆中，090C ∠=，3AC =，2BC =，∴2213AB AD AC BC ==+=，∴24BD BC ==，ABC ADB ∠=∠，∵11••22ABD S AD BD AC BG ==， ∴1213BG =， 过E 作EH BD ⊥交BD 的延长线于H ，∵0180BAG ABC ADB ∠=-∠-∠，0180EDH ADB ADE ∠=-∠-∠，∴BAG EDH ∠=∠，∵090AGB DHE ∠=∠=，∴ABG ∆∽DEH ∆，∴AB BG DE EH=， ∴12131313EH=， ∴2413EH =， ∴点E 到直线BC 的距离为：2413． 故答案为2413． 【点睛】此题主要考查旋转的性质与相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线. 10．9【解析】【分析】过点A作AH⊥CB的延长线于点H，得到AH=BH=52=102，根据已知条件得到B，H，A，O四点共圆，连接OH，推出H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，根据全等三角形的性质得到AM=BN=12，求得直线HB的解析式，于是得到结论．【详解】解：∵点A（1-，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2，∴22125AB=+=；如图，过点A作AH⊥CB的延长线于点H，∵∠ABC=135°，∴∠HBA=HAB=45°，∴52=102，∵BH⊥AH，BO⊥AO，∴B，H，A，O四点共圆，连接OH，则∠BOH=∠BAH=45°，∴H在第二象限角平分线上，作HM⊥x轴于M，HN⊥y轴于N，则四边形HMON是正方形，∴HM=HN，∵AH=BH，∴Rt △HAM ≌Rt △HBN ，∴AM=BN ，∵OM=ON ，∴AM=BN=12， ∴H （32-，32）， ∴直线BH 的解析式为y=13x+2， 过C 作CI ⊥x 轴于I ，∴OD ∥CI ， ∴OA AD OI CD=， ∴OI=3AO=3，把x=3代入y=13x+2得y=3， ∴C 点坐标为（3，3）．∵点C 在反比例函数k y x=的图像上， ∴339k xy ==⨯=；故答案为：9.【点睛】本题考查了四点共圆，解直角三角形，正方形的判定和性质，求函数的解析式，全等三角形的判断和性质，平行线分线段成比例，正确的作出辅助线，熟练掌握所学的知识进行解题是解决本题的关键．111【解析】【分析】由点的坐标可知四边形OABC 是正方形，而EF 的速度和时间相同，故易证明△BCE ≌△BAF ，从而可得∠EBF =90°，由平行可知∠BP A =90°，得到点P 在以AB 为直径的圆上，取AB 的中点M ，故当O 、P 、M 在同意直线上时OP 最小，再由勾股定理可计算出OM 的长，进而得出PO 的最小值1，由△BPM 是等腰三角形，AB ∥CE 可得△EOP 是等腰三角形，可知OP=OE，所以CE=2+(51-)，从而求出运动时间.【详解】解：如图：连接BC、AB依题意可知：在△BCE和△BAF中2BC BABCE BAFCE AF t==⎧⎪∠=∠⎨⎪==⎩∴△BCE≌△BAF(SAS)∴∠CBE=∠ABF∴∠EBF=∠CBA=90°，∵AP∥BF，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆上，取AB的中点M，当O、P、M在同意直线上时OP最小，∴OM22AO AM+22215+∴OP51，∵PM=BM，∴∠BPM=∠MBM，∵AB∥CE，∴∠CEB=∠PBM，又∵∠OPE=∠BPM，∴∠CEB=∠OPE，∴OE=OP，∴CE 1 1，∴t 1)÷1，1.【点睛】本题主要考查了点的运动轨迹和线段最小值的问题，解题关键是通过全等三角形证明发现∠APB =90°从而得到定角定弦的轨迹是圆.12．【解析】【分析】根据E 为直角三角形OCD 的内心，求出∠OEC =135°，连接BE ，证明△OCE ≌△OBE ，得到∠OEB =135°，得到点E 路径为以OB 为弦，所对圆心角为135°的圆弧，构造⊙G ，求出∠G =90°，r =【详解】解：如图，∵CD OB ⊥，∴∠COD +∠OCD =90°，∵E 为直角三角形OCD 的内心，∴OE 、CE 分别平分∠COD 、∠OCD ，∴∠OEC =()11801352COD OCD ︒-∠+∠=︒， 连接BE ，∵OE=OE ，OC=OC ，∠COE =∠BOE∴△COE ≌△BOE∴∠OEB =∠OEC =135°∴点E 的路径为以OB 为弦，所对圆心角为135°的圆弧，过点O 、E 、B 作圆G ，作圆内接四边形OEBF ，则∠F =45°，∴∠G =90°，∵OG=OB ，OB=4，∴OG =OB sin 45︒∴弧OB长为：9022=2⨯ππ．2π【点睛】本题考查动点问题，难度较大，解题关键是根据题意确定点E所经过的路径是什么，从而转化为定边OB对定角∠OEB问题．解决定边对定角问题，一般转化为圆的问题去解决．13505【解析】【分析】连接DF，构建菱形EBFD和平行四边形GPFD，证明KP∥EF，得△BPK∽△BFE，列比例式为PK BPEF BF==35，设BP=3x，BF=5x，则PF=CM=DG=2x，EG=3x，根据BM=12列方程解出x的值，计算EG的长；设AC与KG交于点O，过K作KP⊥AC于P，过G作GQ⊥AC 于Q，则KP∥GQ，根据同角的三角函数求KP、GQ、OP、OQ的长，证明△KIO∽△GQO，根据相似比为2：3分别求OK、OG的长，并相加即可得KG的长，最后计算比值即可．【详解】连接DF，∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，∠BCD=90°，∴∠BCM+∠MCD=90°，∵BM⊥CH∴∠BMC=90°，∴∠BCM+∠MBC=90°， ∴∠MCD=∠MBC ，∵DE ∥BM ，∴∠DGC=∠BMG=90°， ∴∠DGC=∠BMC=90°， ∴△BMC ≌△CGD ，∴BM=CG=12，CM=DG ，∵PF=DG ，∴PF=DG=CM ，在△ABE 和△ADE 中，45AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADE （SAS ），∴BE=ED ，∠AEB=∠AED ，∴∠BEF=∠FED ，∵DE ∥BM ，∴∠DEF=∠EFB ，∴∠BEF=∠EFB ，∴BE=BF ，∴BE=BF=ED ，∴四边形EBFD 是菱形，∴∠BFE=∠EFD ，∴GD=PF ，GD ∥PF ，∴四边形GPFD 是平行四边形，∴GP ∥DF ，∴∠BPG=∠BFD ，∵∠BPK=∠KPG ，∴2∠BPK=2∠BFE ，∴∠BPK=∠BFE ，∴PK∥EF，∴△BPK∽△BFE，∴PK BPEF BF==35，设BP=3x，BF=5x，则PF=CM=DG=2x，EG=3x，∵FM∥DE，∴△CFM∽△CEG，∴FM CM EG CG=，∴2 312 FM xx=，∴FM=22x，∵BM=12，∴BF+FM=12，5x+22x=12，解得：x1=2，x2=-12（舍），∴EG=3x=6；FM=22x=2，CM=2x=4，∵∠BKP=∠BPK，∴BK=BP=3x=6，∵BF=5x=10，∴EK=10-6=4，设AC与KG交于点O，过K作KI⊥AC于I，过G作GQ⊥AC于Q，则KI∥GQ，∵∠BEF=∠DEF，∴4263 EK OKEG OG===，∵∠BEF=∠BFE=∠CFM，∴tan∠BEF=tan∠CFM=CMFM=42KIEI==2，∵EK=4，∴KI=85，EI=45，同理得：GQ=1255，EQ=655，∴IQ=EQ-EI=655-455=25，∵KI∥GQ，∴△KIO∽△GQO，∴23 OI OKOQ OG==，∴25 OIIQ=，∴OI=25×IQ=25×25=4525，由勾股定理得：OK=22KP OP+=228545525⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=450525，∴OG=6505，∴KG=OK+OG=2505，∴KGEG=250556=505，故答案为：505.【点睛】本题考查的是正方形的性质、菱形和平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．14．8≤k ＜12或k=12.5．【解析】【分析】由直线y=-2x+10在2≤x≤4时，是第一象限内的一条线段，先通过解方程组，确定直线y=-2x+10与当双曲线y=kx-1有且只一个交点时，此交点是否在线段y=-2x+10（2≤x≤4）上，并求出其k 值，再解决直线与双曲线有两个交点中只有其中一个交点在线段y=-2x+10（2≤x≤4）上时，k 的取值情况便可．【详解】解：若直线y=-2x+10与双曲线y=kx-1有且只有一个交点，则 方程组210k y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩有且只有一个解， 也即210k x x=-+，即2x 2-10x+k=0有且只有一个实数根， ∴△=100-8k=0，解得，k=12.5，∴当k=12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10相切，只有一个公共点，当k ＞12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10相离，没有公共点，当k ＜12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10相交，有两个公共点，∴当k=12.5时，方程2x 2-10x+k=0为2x 2-10x+12．5=0，解得，x 1=x 2=52， ∴交点坐标为（52，5）， ∵此交点（52，5）在线段y=-2x+10（2≤x≤4）上， ∴当k=12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点；∵当k ＜12.5时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10有两个交点，∵当双曲线y=kx-1过点（4，2）时，k=8＜12.5， 由8210y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩得，1118x y =⎧⎨=⎩，2242x y =⎧⎨=⎩， 此时直线y=-2x+10与y=8x有两个交点为（1，8），（4，2）， ∵（1，8）不在线段y=-2x+4（2≤x≤4）上，∴k=8时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点；当双曲线y=kx-1过点（2，6）时，k=2×6=12＜12.5． 由12210y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得1126x y =⎧⎨=⎩，2234x y =⎧⎨=⎩， 此时直线y=-2x+10与y=12x有两个交点为（2，6），（3，4）， ∵（2，6），（3，4）在线段y=-2x+4（2≤x≤4）上，∴k=12时，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有两个公共点，∴双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点，必有k ＜12，综上可知，双曲线y=kx-1与直线y=-2x+10在2≤x≤4时有且只有一个公共点的k 的取值要求是：8≤k ＜12或k=12.5．故答案为：8≤k ＜12或k=12.5．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查了反比例函数的性质，函数图象的交点坐标，关键是确定联立反比例函数解析式与直线的解析式的方程组有只一组解时，两函数图象只有一个交点，难点是确定线段与双曲线的只有一个交点的k 的值，突破方法是检验过线段两端点的双曲线与线段的交点个数情况，确定出k 的一个取值范围，易错点是易漏掉k=12．5这个解．15．【解析】【分析】作辅助线，构建△AME ≌△AFE ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转120°到△ABM ，根据角的关系证明M、B、E共线，再证明△FAE≌△MAE，则∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC 于H，作AK⊥EF于K，根据角平分线的性质可知：AH＝AK＝23，作△AEF的外接圆⊙O，由同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，根据OA+ON≥AK，列式为3x≥23，则x≥2，可得△AEF面积的最小值是43．【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝3，作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，Rt△ONF中，ON＝33x，OF23，∴ON +OA ＝OF +ON ，∵OA +ON ≥AK ，x ≥∴x ≥2，∴S △AEF ＝1122322EF AK x ==2≥，∴△AEF 面积的最小值是【点睛】本题是四边形的综合题，考查了角平分线的性质、等边三角形、三角形和四边形的面积、三角形全等的性质和判定、直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题等知识，确定其最值时动点的位置是解题的关键．16．②④⑤【解析】【分析】根据题意得到a 、b 、c 的关系式，可以用a 表示出b 、c ，进而得到含a 的二次函数关系式，结合图像确定符号，对选项逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线1x =-，∴12b a-=-，即2b a =． 又∵抛物线经过点(1,0)，∴0a b c ++=，∴3c a b a =--=-．∴抛物线的解析式亦可表示为223y ax ax a =+-．由图，抛物线开口向下，则0a <．∴220ab a =>，30c a =->，∴①错误；由抛物线的对称性知，抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0)-，因此，当自变量2x =时，函数值420a b c -+>，∴②正确；8835a c a a a +=-=，∵0a <，所∴50a <，即80a c +<，∴③错误；333323a b a a a -=-⋅=-，而3c a =-，∴33c a b =-，∴④正确；联立解析式：222y x y ax bx c =+⎧⎨=++⎩，即22223y x y ax ax a =+⎧⎨=+-⎩， 得2(22)320ax a x a +---= 12122223222,3a a x x x x a a a a---+=-=-+==--， ∴12125x x x x ++=-，∴⑤正确．故答案为：②④⑤【点睛】此题根据二次函数图像结合已知条件进行逐项判断，为二次函数中难度比较大的一类题型．一般方法是先根据图像判断a 、b 、c 的符号，再根据题意表示出a 、b 、c 的关系，最后结合函数与方程，不等式的知识进行解答．17．（1）(3，2)；（2）①(5－2a ，2)；②－1＜a 或a=－2或a=－10【解析】【分析】（1）将a 代入抛物线，用配方法求顶点；（2）①存在3种情况，具体情况见分析.逆时针旋转后，AC 之间的距离即为点B 横坐标的绝对值，纵坐标为2；（2）②依旧按照2种情况分析，当2a －3＞2时，画图发现，一定无交点；当2a －3＜2时，首先可以确定抛物线过定点(1，－2)和(2，1)，且点C 在点A 的下方，然后在用数形结合的方法，再细分为抛物线开口向上和开口向下的情况求解【详解】（1）将a=－2代入抛物线得：267y x x =-+-配方得：22692(x 3)2y x x =-+-+=--+ ∴顶点坐标为(3，2)（2）①∵点C 是抛物线与y 轴的交点∴当x=0时，y=2a －3∴点C(0，2a －3)分为2种情况进行讨论：情况一：2a －3＞2；情况二：0＜2a －3＜2；情况三：2a －3＜0；分析情况一，逆时针旋转90°图形如下：AC=2a －3－2=2a －5，∴AB=AC=2a －5∴点B 的横坐标为：－(2a －5)=5－2a ，纵坐标为：2∴B(5－2a ，2)情况二、三同理，也得到B(5－2a ，2)∴B(5－2a ，2)②抛物线的对称轴为：()()3322121b a a a a a --=-=++ 情况一：当2a －3＞2，即a ＞52时点C 在点A 的上方，抛物线的开口向上，对称轴在y 轴右侧，草图如下：则抛物线与线段AB 一定无交点情况二：当2a －3＜2，即a ＜52时 ∵抛物线()()2:13231F y a x ax a a =+-+-≠-化简得：222(32)3(2)(1)3y x x a x x x a x =-++-=--+-故抛物线过定点：(1，－2)，(2，1)在求解过程中，还需要讨论抛物线的开口，需要继续细分：第一种情况：当抛物线开口向下，a+1＜0，即a ＜－1时，图形如下抛物线过定点(1，－2)，(2，1)，且开口向下，与线段AB 仅有一个交点，则抛物线一定如上图所示，即定点在AB 线段上，即定点的纵坐标为2根据抛物线解析式，定点纵坐标为：()()()()224123342441a a a ac b a a +---==+ 化简得：(a+2)(a+10)=0，解得：a=－2或a=－10第二种情况，抛物线开口向上，a+1＞0，即a ＞－1，且a ＜52，即：－1＜a ＜52时，图形如下：抛物线过定点(1，－2)，(2，1)，且开口向上，与线段AB 仅有一个交点，则抛物线一定如上图所示(临界点)，即当抛物线的右侧刚好经过点B 时为临界点∵B(5－2a ，2)∴只需当x=5－2a 时，y ＞2即可即：()2132325252a a a a a +-+-（）（）－＞－ 化简得：()(2520a a a a ->解得：－1＜a 2或a ＞52(舍) 综合得：1＜a 2或a=－2或a=－10【点睛】本题考查了抛物线与线段的交点问题，关键点在于确定抛物线的定点，讨论抛物线的开口方向，然后数形结合分析求解18．（1）y=﹣427x 2+89x+4，D （6，4）；（2）163；（3）当0＜t≤3时，S=13t 2，当3＜t≤6时，S=13t 2﹣3t+12． 【解析】【分析】【详解】【分析】（1）用待定系数法求抛物线解析式；（2）由GH//A1O1，求出GH=1，再求出FH ，S 重叠部分= S △A1O1F ﹣S △FGH 计算即可；（3）分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（9，0）和C（0，4）．∴设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣9），∵C（0，4）在抛物线上，∴4=﹣27a，∴a=﹣，∴设抛物线的解析式为y=﹣（x+3）（x﹣9）=﹣x2+x+4，∵CD垂直于y轴，C（0，4）∴﹣x2+x+4=4，∴x=6，∵D（6，4），………………………………………………………（2）如图1，∵点F是抛物线y=﹣x2+x+4的顶点，∴F（3，）……………………………………………………∴FH=，∵GH//A1O1，∴，∴，∴GH=1，……………………………………………………∵Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分是梯形A1O1HG，∴S重叠部分=S△A1O1F﹣S△FGH=A1O1×O1F﹣GH×FH=×3×4﹣×1×=．………………………………………………………（3）①当0＜t≤3时，如图2，∵C2O2//DE，∴，∴，∴O2G=t，∴S=S△OO2G=OO2×O2G=t×t=t2，……………………………………………②当3＜t≤6时，如图3，∵C2H//OC，∴，∴，∴C2H=（6﹣t），∴S=S四边形A2O2HG=S△A2O2C2﹣S△C2GH=OA×OC ﹣C2H×（t ﹣3）=×3×4﹣×（6﹣t ）（t ﹣3）=t2﹣3t+12∴当0＜t≤3时，S=t2，当3＜t≤6时，S=t2﹣3t+12．……………………………【点睛】用待定系数法求抛物线解析式由GH//A1O1，求出GH=1，再求出FH ，S 重叠部分= S △A1O1F ﹣S △FGH 计算即可；分两种情况①直接用面积公式计算，②用面积差求出即可. 本题难度较大.19．（1）①45°，②22（2）①CBE A ∠=∠，理由见解析，②见解析；（3）5254-【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出45A ABC ∠=∠=︒，由旋转的性质得：ACD BCE ∠=∠，CD CE =，证明BCE ACD ∆≅∆，即可得出结果；②由①得45CBE ∠=︒，求出90DBE ABC CBE ∠=∠+∠=︒，作EM BC ⊥于M ，则BEM ∆是等腰直角三角形，证出CME ∆是等腰直角三角形，求出90BEC ∠=︒，证出四边形CDBE 是矩形，再由垂直平分线的性质得出BE CE =，即可得出结论；（2）①证明BCE ACD ∆∆∽，即可得出CBE A ∠=∠；②由垂直的定义得出90ADC BDC ∠=∠=︒，由相似三角形的性质得出90BEC ADC ∠=∠=︒，即可得出结论；（3）存在两种情况：①当CD BD =时，证出CD BD AD ==，由勾股定理求出AB ，即可得出结果；②当4BD BC ==时，得出254AD AB BD ===即可．【详解】解：（1）①90ACB ∠=︒，AC BC =，45A ABC ∴∠=∠=︒，由旋转的性质得：ACD BCE ∠=∠，CD CE =，在BCE ∆和ACD ∆中，BC AC BCE ACDCE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，。

北师大版九年级上册数学期末考试试题及答案满分120分（北师大版用）一、选择题（每小题 3分，共18分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母填入题后括号内。

3. A •平行四边形B •菱形源: ］［来源： ］4•小明拿一个等边三角形木框在阳光下玩，等边三角形木框在地面上形成的投影不可能ABC5个商标牌的背面注明了一定的奖金，其余商标牌的背面是一张“哭脸” 获奖，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再翻•有一位观众已翻牌两次, 一次获奖，一次不获奖，那么这位观众第三次翻牌获奖的概率是18二、填空题（每小题 3分，共27分）7.如图，地面 A 处有一支燃烧的蜡烛（长度不计），一个人在A 与墙BC 之间运动，则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小1.在 Rt △ ABC 中,C = 90o ,BAC 的角平分线AD 交BC 于点CD = 2，则点D 到AB 的距离是（1B . 2C . 32.元二次方程3x 20的解是（B .X i 0, x 2 30, X 2D .顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 C .矩形［来源:学科.网乙X.X.K ］，若翻到“哭脸”就不D . 4［来源:学科网］5.某农场的粮食总产量为 1500吨，设该农场人数为 x 人，平均每人占有粮食数为 y 吨，则 A . B . C .D.6.在李咏主持的“幸运 52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有ABk 2&反比例函数y（ k 为常数，k 0）的图象位于第象限.x9•根据天气预报，明天的降水概率为 15%，后天的降水概率为 70%，假如小明准备明天或者后天去放风筝，你建议他 ____________ 天去为好.10•随机掷一枚均匀的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数小于3的概率是 ___________ .11.如图，矩形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ,过点O 的直线分别交AD 和BC 于点E 、F , AB 2, BC 3，则图中阴影部分的面积为 __________________ .12•如图， ABC 50o , AD 垂直平分线段BC 于点D , ABC 的平分线BE 交AD 于点 ［来源:学科•网乙X.X.K ］那么m _________________ .14.要组织一次篮球联赛， 赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛， 应邀请 ______________ 个球队参加比赛.［来源:学#科#网Z#X#X#K ］ 15 .已知梯形的两底边长分别为 6和8, 一腰长为7,则另一腰长a 的取值范围是 _____________ .［来源:学科网］ 三、解答题（本题共8道小题，第16小题8分，第9 ~ 20小题各9分，第21、22小题各10分，第23 题11分，共75分）16•下图是一个立体 图形的三视图，请根据 视图写出该立体图形的名称，并计算该立体图 形的体积（结果保留 ）•k 17•如图，反比例函数y —的图象与一次函数 y mx b 的图象交于 A （1,3） , B （n , 1）两 x点.［来源：学科•网Z.X.X.K ］E ,连结EC ,则 AEC 的度数是2 213.已知关于x 的方程x 3mx m0的一个根是x 1,A10牛（1 ）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）根据图象回答：当X取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值. ［来源:学科网］ ［来源:学科网ZXXK ］18•九年级（1）班要举行一场毕业联欢会，规定每个同学同时转动下图中①、②两个转盘（两个转盘分别被二等分和三等分），若两个转盘停止后指针所指的数字之和为奇数，则这 个同学要表演唱歌节目； 若数字之和为偶数，则要表演其他节目. 试求出这个同学表演唱歌 节目的概率（要求用画树状 图或列表方法求解）•21.小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为 40m , 50m ，第三边上的高为 30m ，请你帮小强计算这块菜地的面积（结果保留根号）.［来源:学科网］22 .某农场去年种植了 10亩地的南瓜，亩产量为2000 kg ，根据市场需要，今年该农场扩 大 了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为 60 000kg ，求南瓜亩产量的增长率.按顺时针方向旋转 60°得△ ADC ，连接OD . （1）求证：A COD 是等边三角形；（2） 当 150°时，试判断 △ AOD 的形状，并说明理由23.如图，点O 是等边△ ABC 内一点，AOB 110o ,BOC.将△ BOC 绕点CA19. 如图，已知在 □ABCD 中，E 、F 是对角线 BD 上的两点, BE =DF ，点BA 和DC 的延长线上，且 AG = CH ，连接 GE 、EH 、HF 、FG . 求证：四边形 GEHF 是平行四边形.20. 请写出一元二次方 程的求根公式，并用配方法推导这个公式。

北师大版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末综合复习培优提升训练题2（附答案详解）一、单选题1．ABC ∆和A B C '''∆符合下列条件，其中ABC ∆和A B C '''∆不相似的是（ ） A ．45A A '︒∠=∠=，26B ︒∠=，109B '︒∠=B ．1AB =， 1.5AC =，2BC =，4A B ''=，2A C ''=，3B C ''=C ．A B '∠=∠，2AB =， 2.4AC =， 3.6A B ''=，3B C ''=D ．3AB =，5AC =，7BC =，3A B ''=，5A C ''=，7B C ''=2．正方形ABCD 在数轴上的位置如图所示，点D 、A 对应的数分别为0和1，若正方形ABCD 绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B 所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2019所对应的点是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D3．将抛物线265y x x =-+向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ）A ．2(4)6y x =--B ．2(1)3y x =--C ．2(2)2y x =--D ．2(4)2y x =--4．三角形的两边长分别为3和6，第三边长为方程x 2﹣7x +10＝0的一个根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．11或14C ．16D ．14 5．如图，在O 中，弦AB AC ⊥，且AB AC 2cm ==，OD AB ⊥，OE AC ⊥，垂足分别为D 、E ，则AB 所对的劣弧长为( )A ．3π cmB ．3π cmC ．2π 3cmD ．2π 2cm 6．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB 1BC 2=，则DE EF 的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．17．当k >0时，下列方程中没有实数根的是………（ ）A ．210x kx --=B ．220x x k +-=C ．210kx +=D ．0kx k += 8．下列方程中，关于x 的一元二次方程的是（ ）A ．x +1x ＝2B ．ax 2+bx +c ＝0C ．（x ﹣2）（x ﹣3）＝0D ．2x 2+y ＝1 9．在ABC ∆和111A B C ∆中，下列四个命题：①若11AB A B =，11AC A C =，1A A ∠=∠，则111ABC A B C ∆∆≌；②若11AB A B =，11AC A C =，1B B ∠=∠，则111ABC A B C ∆∆≌；③若1A A ∠=∠，1C C ∠=∠，则111ABC A B C ∆∆≌；④若1111::AC AC CB C B =，1C C ∠=∠，则111ABCA B C ∆∆.其中真命题的个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1 10．已知⊙O 的半径为2，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在某函数图象上，且当x 1＜x 2＜0时，y 1＞y 2，则此函数一定不是（ ）A ．B ．y ＝﹣2x +1C ．y ＝x 2﹣1D ．12．如图，护林员在离树8m 的A 处测得树顶B 的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC 为1.6m ，则树的高度BD 为( )A ．8mB ．9.6mC ．(4+1.6)mD ．(8+1.6)m二、填空题 13．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，对称轴为1x =，给出下列结论：①0abc >； ②当2x >时，0y >；③30a c +>；④30a b +>，其中正确的结论有__________．14．已知反比例函数2y x =上有两点A （1x ，－2）,B （2,3x ），则12,x x 的大小关系是________ 15．已知抛物线()214y x =--，那么这条抛物线的顶点坐标为_____. 16．抛物线2221y x x =--+与x 轴有两个交点． （______） 17．如图，在正方形纸片ABCD 中，E 是CD 上的一点，且DE=13CD ，将正方形纸片折叠，点B 落在线段AE.上的点G 处，折痕为AF.若AD=3cm ，则CF 的长为___________cm.18．如图，在Rt ABC ∆内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是_______19．已知线段a ＝10cm ，b ＝2m ，则b a＝__． 20．2017年9月热播的专题片《辉煌中国﹣﹣圆梦工程》展示的中国桥、中国路等超级工程展现了中国现代化进程中的伟大成就，大家纷纷点赞“厉害了，我的国！”片中提到我国已成为拥有斜拉桥最多的国家，世界前十座斜拉桥中，中国占七座，其中苏通长江大桥（如图1所示）主桥的主跨长度在世界斜拉桥中排在前列．在图2的主桥示意图中，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，大桥主跨BD 的中点为E ，最长的斜拉索CE 长577m ，记CE 与大桥主梁所夹的锐角∠CED 为α，那么用CE 的长和α的三角函数表示主跨BD 长的表达式应为BD ＝_____（m ）．21．如图,在⊙O 的外切四边形ABCD 中, AB =5 , BC =4 , CD =3,则S △AOB : S △BOC : S △COD : S △DOA =____________..22．圆锥母线长为8cm，底面半径为5cm，则此圆锥侧面积为____cm2（结果保留π）．23．已知m为整数，且关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0有两个实数根，则整数m的最小值是______．三、解答题24．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点C的坐标是（0，1），点B的坐标是（3，1），抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B和点C．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式：（2）将△OAC沿直线AC折叠，点O的对称点记为点D，请判断：点D是否在抛物线上？并说明理由；（3）点E为线段AC上的一个动点．①若点P在抛物线上，其横坐标为m，当PE⊥AC且PE＝23时．请直接写出m的值；②若点F为线段AB上一个动点，且CE＝AF，当OE+OF的值最小时，请直接写出点F 的坐标．25．解方程：（1）（x﹣5）2﹣9＝0（2）2x2﹣5x+2＝026．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，且（m+2）（n+2）＝23，求t的值．27．如图，抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于点A （﹣1，0），点B （3，0），与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点，连接AD ，BD ．（1）直接写出点C 、D 的坐标；（2）求△ABD 的面积；（3）点P 是抛物线上的一动点，若△ABP 的面积是△ABD 面积的12，求点P 的坐标． 28．现有甲、乙、丙三人组成的篮球训练小组，他们三人之间进行互相传球练习，篮球从一个人手中随机传到另外一个人手中计作传球一次，共连续传球三次．（1）若开始时篮球在甲手中，则经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率是 ； （2）若开始时篮球在甲手中，求经过连续三次传球后，篮球传到乙的手中的概率．（请用画树状图或列表等方法求解）29．如图，在ABC ∆中，90ACB ︒∠=，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，E 恰好为AB 的中点，点F 在DE 上，EF AC =．（1）当B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？（2）四边形ACEF 有可能是正方形吗？为什么？30．关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣（m+1）=0有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最小整数，求此方程的根．31．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．32．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．(1)求证：AD⊥EF；(2)求CG的长．⊥，MN交CD于点N．33．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，MN AM()1求证：ABM∽MCN；()2若AB6=，BM2=，求DN的长．34．已知三角形的面积为100cm2，求三角形的边长y（cm）与该边上的高x（cm）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．35．等边ABC ∆的边长为2，P 是BC 边上的任一点（与B 、C 不重合），连结AP ，以AP 为边向两侧作等边APD ∆和等边APE ∆，分别与边AB 、AC 交于点M 、N （如图1）.（1）求证：AM AN =.（2）设BP x =. ①若38BM =，求x 的值； ②记四边形ADPE 与ABC ∆重叠部分的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系式以及S 的最小值；③连结DE ，分别与边AB 、AC 交于点G 、H （如图2），若15BAD ∠=︒，求此时x 的值.参考答案1．D【解析】【分析】根据：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似.【详解】根据相似三角形的判定方法可知选项D中．对应边不成比例，则△ABC和△A′B′C′不相似，故选:D．【点睛】题考查了相似三角形的判定，①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．C【解析】【分析】由题意可知转一周后，A、B、C、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2019所对应的点．【详解】解：当正方形在转动第一周的过程中，1所对应的点是A，2所对应的点是B，3所对应的点是C，4所对应的点是D，∴四次一循环，∵2019÷4=504…3，∴2019所对应的点是C．故选：C．【点睛】本题考查实数与数轴以及正方形的性质，确定出点的变化规律是解题的关键．3．D【解析】【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：()226534y x x x =-+=--，即抛物线的顶点坐标为()3,4-， 把点()3,4-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为()4,2-， 所以平移后得到的抛物线解析式为()242y x =--．故选D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．D【解析】【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【详解】解：解方程x 2﹣7x +10＝0得x ＝2或5，∴第三边长为2或5．边长为2，3，6不能构成三角形；而3，5，6能构成三角形，∴三角形的周长为3+5+6＝14，故选D ．【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．5．D【解析】【分析】先判断ADOE 是矩形，然后由AB=AC 得到AD=AE ，所以ADOE 是正方形，连接AO ，BO ，得∠AOB=90°，，利用弧长公式计算求出弧的长度． 【详解】如图：连接AO ，BO∵AB ⊥AC ，OE ⊥AC ，OD ⊥AB ，∴ADOE 是矩形．∵AB=AC=2，∴AD=AE=1，∴ADOE 是正方形．∴，∠AOB=90°，901802AB π== cm ． 故选D ．【点睛】本题考查的是弧长的计算，先求出弧的半径和圆心角，然后利用弧长公式计算求出弧长． 6．A【解析】【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴12DE AB EF BC ==． 故选：A ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 7．C【解析】【分析】当k ＞0时，D 是一元一次方程，一定有一个实数根；再分别计算A 、B 、C 中根的判别式，然后根据判别式的意义进行判断即可．【详解】解：A 、△=k 2+4＞0，所以此方程有两个不相等的实数根；B 、△=4+4k ，当k ＞0时，△＞0，所以此方程有两个不相等的实数根；C 、△=-4k ，当k ＞0时，△＜0，所以方程没有实数根；D 、当k ＞0时，方程为一元一次方程，一定有一个实数根．故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．8．C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程.【详解】解：A 、x +1x＝2不是整式方程，不符合题意； B 、ax 2+bx +c ＝0不一定是一元二次方程，不符合题意；C 、方程整理得：x 2﹣5x +6＝0是一元二次方程，符合题意；D 、2x 2+y ＝1不是一元二次方程，不符合题意.故选：C ．9．B【解析】【分析】分别利用相似三角形的判定和全等三角形的判定定理进行判断即可得到正确的选项．【详解】解：（1）若11AB A B =，11AC A C =，1A A ∠=∠，能用SAS 定理判定111ABC A B C ∆∆≌，故（1）正确；（2）若11AB A B =，11AC A C =，1B B ∠=∠，不能用ASS 判定111ABC A B C ∆∆≌，故（2）错误；（3）若∠A ＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，能判定△ABC ∽△A 1B 1C 1，故（3）正确；（4）若AC：A1C1＝CB：C1B1，∠C＝∠C1，能利用两组对应边的比相等且夹角相等的两三角形相似判定△ABC∽△A1B1C1，故（4）正确．正确的个数有3个；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握三角形全等和相似的判定方法．10．A【解析】【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．【详解】解：∵⊙O的半径为2，点P在⊙O内，∴OP＜2．故选：A．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P 在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．11．A【解析】【分析】由当x1＜x2＜0时，y1＞y2，可知当x＜0时，y随x的增大而减小，根据反比例函数、一次函数与二次函数的增减性即可求解．【详解】∵点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在某函数图象上，且当x1＜x2＜0时，y1＞y2，∴当x＜0时，y随x的增大而减小．A、当x＜0时，y随x的增大而增大，故本选项符合题意；B、y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；C、当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；D、当x＜0时，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了反比例函数、一次函数与二次函数的性质，熟练掌握各函数图象的增减性是解题的关键．12．B【解析】【分析】过点C作CE⊥BD于E,证明△CEB是等腰直角三角形,利用矩形性质即可解题.【详解】解：过点C作CE⊥BD于E,∵∠BCE=45°,∴△CEB是等腰直角三角形,∴CE=BE=8,四边形ACED是矩形,∴AC=DE=1.6,∴BD=8+1.6=9.6米,故选B.【点睛】本题考查了等腰直角三角形和矩形的性质,属于简单题,正确作辅助线是解题关键.13．①③④【解析】【分析】根据二次函数图象的开口向上，可得a＞0，根据图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，可得c＜0，根据图象的对称轴是直线x=1，结合a＞0可得b＜0，进而可得①正确；再根据当x-+＞0，再结合＞2时，y有小于0的情况，可判断②错误；因为x=－1时，y＞0，∴a b c对称轴可得2a+b=0，进一步可得30a c +>，由此判断③正确；最后由2a+b=0，a ＞0，可得30a b +>，所以④正确；到此可得结果.【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0，∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，∴c ＜0，∵二次函数图象的对称轴是直线x =1， ∴12b a-=，∴2a+b=0，b ＜0. ∴0abc >；故①正确；由二次函数的图象可知，抛物线与x 轴的右交点的横坐标应大于2小于3，∴当x ＞2时，y 有小于0的情况，故②错误；∵当x =－1时，y ＞0，∴a b c -+＞0，把2b a =-代入得：30a c +>，故③正确；前面已得2a+b=0，又∵a ＞0，∴30a b +>，故④正确；故答案为①③④.【点睛】本题综合考查了二次函数的性质和根据图象得出信息的能力，解题的关键是充分利用函数图象，运用二次函数的性质综合进行分析判断.14．x 1＜x 2．【解析】【分析】 根据反比例函数2y x =的图象，当k ＞0时，在同一象限内函数的增减性，可得y 1与y 2的大小．【详解】 因为反比例函数反比例函数2y x=，k=2＞0， 故在每个象限内，y 随x 的增大而减小，且其图象分别在一、三象限，∵A 点纵坐标小于0，B 点的纵坐标大于0，∴x 1小于0，x 2大于0，故x 1＜x 2．故答案为：x1＜x2．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：反比例函数2yx=的图象，当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小．15．()1,4-【解析】【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【详解】∵y=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标是（1，-4）故答案为：（1，-4）．【点睛】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．16．√【解析】【分析】计算出b2-4ac的值即可判断出抛物线与x轴的交点个数.【详解】△=b2-4ac=（-2）2-4×（-2）×1=12＞0，∴抛物线y=-2x2-2x+1与x轴有两个交点．故答案为：√【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，牢记“当△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点”是解题的关键．17．4-【解析】【分析】设BF x =，则FG x =，3CF x =-，在Rt GEF △中，利用勾股定理可得)222223EF GE FG x =+=+，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得()2222232EF CF CE x =-++=，从而得到关于x 方程)()2222332x x =+-+，求解x ，最后用3-x 即可．【详解】解：设BF x =，则FG x =，3CF x =-， 11133DE CD AD ===，2CE =在Rt △ADE 中，利用勾股定理可得AE ===根据折叠的性质可知3AG AB ==，3GE = ，在Rt △GEF 中，利用勾股定理可得)222223EF GE FG x =+=+ ，在Rt △FCE 中，利用勾股定理可得()2222232EF CF CE x =-++=，∴)()2222332x x =+-+，解得1x =则)3314FC x =-=-=故答案为4【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理．折叠问题主要是抓住折叠的不变量，在直角三角形中利用勾股定理求解是解题的关键．18．b a c =+【解析】【分析】因为Rt △ABC 内有边长分别为a 、b 、c 的三个正方形，所以图中三角形都相似，且与a 、b 、c 关系密切的是△DHE 和△GQF ，只要它们相似即可得出所求的结论．【详解】解：如图示：∵DH ∥AB ∥QF∴∠EDH=∠A ，∠GFQ=∠B ；又∵∠A+∠B=90°，∠EDH+∠DEH=90°，∠GFQ+∠FGQ=90°；∴∠EDH=∠FGQ ，∠DEH=∠GFQ ；∴△DHE ∽△GQF ，∴DH EH GQ FQ =， ∴a b a b c c-=- ∴()()ac b c b a =--，∴()2b ab bc b a c =+=+， ∴b a c =+，故答案为：b a c =+.【点睛】 此题考查了相似三角形的判定，同时还考查观察能力和分辨能力．19．201. 【解析】【分析】根据比例的定义即可直接写出（注意保持单位一致）．【详解】解：根据题意，b=2m=200cm ， 则b a ＝20010=201. 故答案为：201. 【点睛】本题考查求线段的比，解题关键是求线段的比的时候，要统一单位．20．1154cosα．【解析】【分析】根据题意和特殊角的三角函数可以解答本题．【详解】解：由题意可得，BD＝2CE•cosα＝2×577×cosα＝1154cosα，故答案为：1154cosα．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答．21．5：4：3：4【解析】【分析】作圆心到各边的垂线，由切线长定理知，DS＝DE，CE＝CF，BF＝BG，AS＝AG，从而可求得AD的长；已知圆心到各边的距离相等，根据三角形的面积公式即可求得解．【详解】解：如图，作圆心到各边的垂线；∵DS＝DE，CE＝CF，BF＝BG，AS＝AG，∴AD＋BC＝CD＋AB，∴AD＝4，∴S△AOB：S△BOC：S△COD：S△DOA＝AB：BC：CD：AD＝5：4：3：4．【点睛】本题利用了切线长定理，三角形的面积公式求解，熟练掌握圆的性质是解题关键．22．40 ；【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】圆锥的侧面积=2π×8×5÷2=40π.故答案为40π.【点睛】本题考查圆锥的计算.23．-2【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2-2=0有两个实数根，∴△=（2m+1）2-4（m2-2）=4m+9≥0，解得：m≥-94．又∵m为整数，∴m的最小值为-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”是解题的关键．24．（1）y＝﹣x2+l；（2）不在；（3）①m＝；②13 F⎫⎪⎭【解析】【分析】（1）将点B、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）不在，理由：利用△CDG∽△DHA，求得点D的坐标是（2，32），即可求解；（3）①设点P 的坐标为（m ，﹣m 2+3m +1），点E （n ，﹣33n +1），利用EH ＝|﹣33n +1+m 2﹣3m ﹣1|＝1，PH ＝|m ﹣n |＝33，即可求解； ②将矩形ABCO 围绕点C 逆时针旋转60°至矩形O ′A ′B ′C ，则图示位置为图象旋转后的位置，当B ′、E 、O 三点共线时，OE +OF ＝OB ′最小，即可求解．【详解】解：（1）将点B 坐标代入二次函数表达式得：1＝﹣3+3b +1，解得：b ＝3，故二次函数表达式为：y ＝﹣x 2+3x +l ；（2）不在，理由：过点D 作x 轴的平行线分别交AB 的延长线和y 轴于点G 、H ，∴∠CDA ＝90°，∠GDC +HDA ∠＝90°，∠HDA +∠DAH ＝90°，∴∠DAH ＝∠GDC ，∴△CDG ∽△DHA ，∴=3AD AH DH CD DG GC== 解得：DG ＝32，HA ＝32，故：点D 的坐标是（32，32）， 将32代入抛物线表达式，则y ＝74≠32所以点D 不在抛物线上； （3）①∵PE ⊥AC ，∴∠PEH +∠HEA ＝90°，∠HEA +∠EAO ＝90°，∴∠PEH＝∠CAO＝α，点B3，1），tan∠ABC 3tanα，即：∠ABC＝30°＝α，PH＝PE sinα3EH＝1，把点AC的表达式为：y＝kx+1，把点A坐标代入并求解得：直线AC的表达式为：y＝﹣33x+1，设点P的坐标为（m，﹣m23+1），点E（n，﹣33n+1），EH＝|3+1+m23﹣1|＝1…①，PH＝|m﹣n|3②，联立①②并解得：m＝3623；②∵∠ABC＝30°，∴△O′OC为等边三角形，将矩形ABCO围绕点C逆时针旋转60°至矩形O′A′B′C，则图示位置为图象旋转后的位置，连接O′F′、B′E、OE，∵CE＝AF＝A′F′，∴四边形O′F′B′E为平行四边形，∴OE+OF＝OE+B′E，故：当B′、E、O三点共线时，OE+OF＝OB′最小，旋转后点B′O′与x轴垂直，则y B′＝12AB+A′C＝12()231+＝52，同理x B′＝32，即点B 352），则直线OB′的表达式为：y 53x，同理可得直线AC的表达式为：y 3x+1，以上两式联立并求解得：x＝3y＝56，即点E（36，56），同理可得点13,3F⎫⎪⎭．【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的知识，勾股定理，平行四边形的判定与性质，点的对称性，图形的旋转等知识点，其中（3）②，正确确定旋转后图形的位置，是本题的难点．25．(1) x1＝8，x2＝2；(2) x1＝12，x2＝2．【解析】【分析】（1）移项，利用直接开平方法解方程即可；（2）利用十字相乘法解方程即可. 【详解】（1）（x﹣5）2﹣9＝0，移项得：（x﹣5）2＝9，开方得：x﹣5＝±3，解得：x1＝8，x2＝2.（2）2x2﹣5x+2＝0，（2x﹣1）（x﹣2）＝0，2x﹣1＝0，x﹣2＝0，x1＝12，x2＝2．【点睛】本题考查解一元二次方程，一元二次方程的常用解法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法、十字相乘法等，熟练掌握并灵活运用适当的方法是解题关键.26．t值是3【解析】【分析】由韦达定理可得m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，然后将（m+2）（n+2）展开后代入解方程可求出t的值，最后根据△≥0，求出t的取值范围，舍去不符合题意的值即可.【详解】解：∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4＝0的两实数根，∴m+n＝2t，mn＝t2﹣2t+4，∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝t2﹣2t+4+4t+4＝t2+2t+8＝23，∴t2+2t﹣15＝0，∴t1＝﹣5，t2＝3．∵方程有两个实数根，∴△＝（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）＝8t﹣16≥0，∴t≥2，∴符合条件的t值是3．【点睛】本题考查一元二次方程韦达定理的应用，除了熟记公式意外，还需要注意公式的使用前提条件是△≥0.27．（1）D（1，﹣4）；（2）8；（3）（，2）、（1，2）、（，﹣2）、（1，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用抛物线与y轴交点求法得出C点坐标，再利用配方法求出其顶点坐标；（2）利用D点坐标得出△ABD的面积；（3）利用△ABD的面积得出△ABP的面积，进而求出P点纵坐标，进而求出其横坐标．【详解】解：（1）当x＝0，则y＝﹣3，故C（0，﹣3），y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，故D（1，﹣4）；（2）∵点A（﹣1，0），点B（3，0），∴AB＝4，∴S△ABD＝12×4×4＝8；（3）∵△ABP的面积是△ABD面积的12，∴S△ABP＝4，∵AB＝4，∴P点纵坐标为2或﹣2，当P点纵坐标为2，则2＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝，x2＝1，此时P点坐标为：（，2）或（1，2），当P点纵坐标为﹣2，则﹣2＝x2﹣2x﹣3，解得：x1＝，x2＝1，此时P点坐标为：（，﹣2）或（1，﹣2），综上所述：点P坐标为：（，2）、（1，2）、（，﹣2）、（1，﹣2）．【点睛】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及三角形面积求法和二次函数图象上点的坐标性质等知识，注意分类讨论得出是解题关键．28．（1）经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率为12；（2）篮球传到乙的手中的概率为38．【解析】【分析】（1）根据概率公式即可得出答案；（2）根据题意先画出树状图得出所有等情况数，由树形图可知三次传球有8种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有3种，由概率公式即可得出答案．【详解】（1）经过第一次传球后，篮球落在丙的手中的概率为12；故答案为：12；（2）画树状图如图所示：由树形图可知三次传球有8种等可能结果，三次传球后，篮球传到乙的手中的结果有3种，∴篮球传到乙的手中的概率为38．【点睛】本题考查用列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 29．（1）当30B时，四边形ACEF 是菱形；（2）四边形ACEF 不可能是正方形，见解析.【解析】【分析】（1）当30B 时，四边形ACEF 是菱形，由中位线定理得到FD ∥AC ，得到ACEF 是平行四边形，然后根据AC=CE 即可判断是菱形；（2）不可能是正方形，根据正方形的性质：四条边相等，四个内角都等于90°，即可判断.【详解】解：（1）当30B 时，四边形ACEF 是菱形．∵90ACB ︒∠=，DE 是BC 的垂直平分线，∴90FDC ︒∠=，∴//FD AC ．又∵EF AC =，∴四边形ACEF 是平行四边形．在Rt ABC ∆中，30B，E 为AB 的中点， ∴12AC CE AB ==． ∴平行四边形ACEF 是菱形．（2）四边形ACEF 不可能是正方形．理由如下：∵E 是AB 的中点，∴CE 在ABC ∆的内部，∴90ACE ACB ︒∠<∠=．∴四边形ACEF 不可能是正方形．【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质、线段垂直平分线及直角三角形的性质、正方形的判定与性质，涉及面较广，难度适中．解题的关键是熟记课本的判定定理和性质定理.30．（1）54m >-；（2）10x =，21x =. 【解析】【分析】（1）根据题意可知方程的判别式△>0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可求出m 的取值范围；（2）在（1）中m 的范围内可得m 的最小整数，代入后再解方程即可.【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣x ﹣（m +1）=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣1）2+4（m +1）=5+4m ＞0，∴m ＞﹣54； （2）∵m 为符合条件的最小整数，∴m =﹣1．∴原方程变为x 2﹣x =0，∴x （x ﹣1）=0，∴x 1=0，x 2=1．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元一次不等式的解法和一元二次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键.31 【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可．【详解】∵矩形ABCD ∽矩形ECDF ， ∴BC CD CD EC =，即BC CD CD BC AB=- ∴BC 2﹣BC•AB ﹣CD 2=0，解得，CD ， ∵BC 、CD 是正数，∴12BC AB = 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键． 32．(1)证明见解析；(2)CG= 12.5．【解析】【分析】（1）由平移的性质可知：AB ∥DF ，再利用平行线的性质即可证明；（2）先判断出∠ADE=∠ACB ，进而得出△ADE ∽△ACB ，得出比例式求出AE ，即可得出结论．【详解】(1)∵线段AD 是由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°， ∵△EFG 是△ABC 沿CB 方向平移得到，∴AB ∥EF ，∴∠ADF+∠DAB=180°， ∴∠ADF=90°， ∴AD ⊥EF ；(2)由平移的性质得，AE ∥CG ，AB ∥EF ，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC ，∠ADE+∠DAB=180°， ∵∠DAB=90°， ∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°， ∴∠ADE=∠ACB ，∴△ADE ∽△ACB ， ∴AD AC =AE AB， ∵AC=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE ∽△ACB 是解本题的关键．33．（1）详见解析；（2）43 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定即可求出答案．（2）根据ABM ∽MCN 可知AB BM CM CN =，，由AB 与BM 的长度即可求出DN 的长度． 【详解】解：()1B C AMN 90∠∠∠===，AMB CMN 90∠∠∴+=，CMN MNC 90∠∠+=，AMB MNC ∠∠∴=，ABM ∴∽MCN ；()2由()1可知：ABM ∽MCN ，AB BM CM CN ∴=， AB BC 6==，BM 2=，CM 4∴=，624CN∴=，4CN 3∴=． 【点睛】本题考查相似三角形的综合，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定与性质，本题属于中等题型．34．y=（x>0）【解析】【分析】三角形的面积=边长×这边上高÷2，进而把相关数值代入求值即可． 【详解】解：∵三角形的面积=边长×这边上高÷2，三角形的面积为100cm 2，一边长为ycm ，此边上高为xcm （x>0），∴∴（x>0），【点睛】考查如何列反比例函数关系式问题，根据三角形的面积得到求一边上的高的等量关系是解决本题的关键．35．（1）详见解析;（2）①12x =或32x =;②S=))233310244x x -+<<,S 的最小值为334;③232-. 【解析】【分析】 （1）根据等边三角形性质证明ADM APN ∆≅∆即可求解；（2）①易证BPM CAP ∆∆，得到BM BP CP CA=，由已知条件列出方程求出BP 的值; ②四边形AMPN 的面积即为四边形ADPE 与ABC ∆重叠部分的面积，由ADM APN ∆≅∆，故ADM APN S S ∆∆=即可得到重合部分的面积就是△ADP 的面积；③连结PG ，设DE 交AP 于点O .由15BAD ∠=︒，60DAP ∠=︒，得到45PAG ∠=︒，再证明四边形ADPE 是菱形，故DO 垂直平分AP ，设BG t =，在Rt BPG ∆中，60B ∠=︒，由AG PG ==，解得1t =，即可求解.【详解】（1）∵ABC ∆、APD ∆和APE ∆都是等边三角形，∴AD AP =，60DAP BAC ∠=∠=︒，60ADM APN ∠=∠=︒，∴DAP PAM BAC PAM ∠-∠=∠-，∴DAM PAN ∠=∠.∴()ADM APN ASA ∆≅∆，∴AM AN =.（2）①∵60B APD ∠=∠=︒，APC B PAB ∠=∠+∠，BMP APD PAB ∠=∠+∠， ∴APC BMP ∠=∠.又∵B C ∠=∠，∴BPMCAP ∆∆， ∴BM BP CP CA=， ∵38BM =，2AC =，BP x =，2CP x =-， ∴3822x x =-，即24830x x -+=. 解得12x =或32x =. ②四边形AMPN 的面积即为四边形ADPE 与ABC ∆重叠部分的面积.∵ADM APN ∆≅∆，∴ADM APN S S ∆∆=，∴APM APN APM ADM ADP AMPN S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形.如图3，过点P 作PF AB ⊥于点F ，过点D 作DT AP ⊥于点T ，则点T 是AP 的中点.在Rt BPF ∆中，∵60B ∠=︒，BP x =，∴sin 602PF BP x =︒=，1cos602BF BP x =︒=. ∵2AB =，∴122AF AB BF x =-=-. ∴2222213222AP AF PF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭224x x =-+， ∵11322ADP S AP DT AP AP ∆=⋅⋅=⋅⋅23AP =， ∴23ADP AMPN S S S AP ∆===四边形()()()22333324102444x x x x =-+=-+<<. ∴当1x =时，S 的最小值为334.③如图4，连结PG ，设DE 交AP 于点O .∵15BAD ∠=︒，60DAP ∠=︒，∴45PAG ∠=︒.∵APD ∆和APE ∆都是等边三角形，∴AD DP AP PE EA ====，∴四边形ADPE 是菱形，∴DO 垂直平分AP ，∴GP AG =，∴45APG PAG ∠=∠=︒，∴90PGA ∠=︒.设BG t =，在Rt BPG ∆中，60B ∠=︒，∴2BP t =，3PG t =，∴3AG PG t ==，32t t +=，解得31t =，∴2232BP t ==-.∴当15BAD ∠=︒时，232BP x ==-.【点睛】此题主要考查相似三角形综合题，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质,三角形函数应用.。