湖南省衡阳县四中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题

湖南省衡阳市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）若两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 异面D . 以上均有可能2. （2分）设F1F2分别为椭圆的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若，则点A的坐标是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018高二上·中山期末) 空间四点的位置关系式（）A . 共线B . 共面C . 不共面D . 无法确定4. （2分） (2018高二上·遵义月考) 已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二上·绍兴期中) 如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2．BC=CD= ，现将△ABD沿BD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小在[ ， ]，则直线AB与CD所成角的余弦值取值范围是（）A . [0，]∪（，1）B . [ ， ]C . [0， ]D . [0， ]6. （2分）从长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（）A . 4cmB . 2cmC . 1cmD . 3cm7. （2分） (2020高一下·郧县月考) 如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC ，AM与BN相交于点P ， AP：PM=（）A . 4：1.B . 3:2C . 4：3D . 3:18. （2分） (2018高二上·嘉兴期末) 在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A .B .C .D .9. （2分） (2020高二上·遂宁期末) 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是（）A . 若，则；B . 若面，面，，则面C . 若，则 .D . 若，，则10. （2分） (2018高三上·哈尔滨月考) 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分）(2018·株洲模拟) 在平行四边形中，，为的中点．若，则的为________．12. （1分）一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的体积是________13. （1分） (2015高一上·西安期末) 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为________．14. （1分）(2018·银川模拟) 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：椭圆，点为在第一象限中的任意一点，过作的切线，分别与轴和轴的正半轴交于两点，则面积的最小值为________.15. （1分）(2018·辽宁模拟) 设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，，则与的面积之比 ________．16. （1分） (2017高二下·温州期末) 在正四面体P﹣ABC中，点M是棱PC的中点，点N是线段AB上一动点，且，设异面直线 NM 与 AC 所成角为α，当时，则cosα的取值范围是________．17. （1分） (2018高三上·黑龙江期中) 已知正三角形的三个顶点都在半径为的球面上，球心到平面的距离为，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是________．三、解答题 (共5题；共46分)18. （10分）已知圆C的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切．（1）求圆C的方程；（2）点P在直线x=8上，过P点引圆C的两条切线PA，PB，切点为A，B，求证：直线AB恒过定点．19. （10分）(2013·湖北理) 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．20. （10分） (2016高二上·成都期中) 如图1，2，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置（点A与P重合），使得∠PEB=60°．（1）求证：EF⊥PB；（2）试问：当点E在何处时，四棱锥P﹣EFCB的侧面的面积最大？并求此时四棱锥P﹣EFCB的体积及直线PC 与平面EFCB所成角的正切值．21. （6分）已知正四面体的棱长为a．（1）求正四面体的高；（2）求正四面体内切球的半径和体积．22. （10分）(2020·宝山模拟) 已知直线与椭圆相交于两点，其中在第一象限，是椭圆上一点.（1）记、是椭圆的左右焦点，若直线过，当到的距离与到直线的距离相等时，求点的横坐标；（2）若点关于轴对称，当的面积最大时，求直线的方程；（3）设直线和与轴分别交于，证明：为定值.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共7题；共7分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共46分) 18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、。

湖南省衡阳县第四中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题理（扫描版）参考答案13：63 14：1[-,3]515：221-+n 16：]1,21[-三、解答题 17：（1）231≤≤-x （2）3 18：（1）80 （2）10或13 19：（1）19 （2）233 20：解： (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理asin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3又∵0＜B ＜π， 所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3.21：解：设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，则5735,10440,0,0,x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎨⎪≥≥⎩目标函数为z=3x+2y ，作出可行域如图.把z=3x+2y 变形为y=-32x+2z ，得到斜率为-32.在y 轴上的截距为2z，随z 变化的一族平行直线. 由图可知，当直线y=-32x+2z 经过可行域上的点A 时，截距2z最小，即z 最小. 由10440,5735,x y x y +=⎧⎨+=⎩得A 14,35⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴z min =3×145+2×3=14.4.第9题答图 ∴选用甲种原料145×10=28（g ），乙种原料3×10=30（g ）时，费用最省.:22：解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2满足上式，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2.设{b n }的公比为q ，由已知条件a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1知，b 1＝2，b 2＝12，所以q ＝14，∴b n ＝b 1qn －1＝2×14n －1，即b n ＝24n －1.(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋ (2n －1)4n －1.4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n. 两式相减得：3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]．∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．。

湖南省衡阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共15题；共30分)1. （2分）等轴双曲线（a＞0,b＞0）的右焦点为F（c，0），方程的实根分别为和，则三边长分别为｜｜，｜｜，2的三角形中，长度为2的边的对角是（）A . 锐角B . 直角C . 钝角D . 不能确定2. （2分） (2016高二上·会宁期中) 下列不等式组中，能表示图中阴影部分的是（）A .B .C .D .3. （2分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A . 1B . -1C . 2D . -24. （2分） (2019高一下·上海期末) 若数列的前项和为，则下列命题：（1）若数列是递增数列，则数列也是递增数列；（2）数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数；（3）若是等差数列（公差），则的充要条件是；（4）若是等比数列，则的充要条件是．其中，正确命题的个数是（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个5. （2分） (2019高一下·丽水月考) 在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则是（）A . 等腰直角三角形B . 直角三角形C . 等腰三角形D . 等腰三角形或直角三角形6. （2分）(2018·呼和浩特模拟) 已知集合，则集合的元素个数为（）A .B .C .D .7. （2分）不等式的解集是（）A .B .C . {x|x＞2或x≤}D . {x|x＜2}8. （2分）若a<b<0 ，则下列不等式中，一定成立的是（）A . a2<ab<b2B . a2>ab>b2C . a2<b2<abD . a2>b2>ab9. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知数列{an}中，an=﹣4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an﹣an ﹣1（n≥2），且b1=a2 ，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（）A . 1﹣4nB . 4n﹣1C .D .10. （2分） (2016高二上·嘉兴期中) 若正实数x．y满足x+y+ =5，则x+y的最大值为（）A . 2B . 3C . 4D . 511. （2分）(2019·天津模拟) 若满足约束条件，则的最大值是（）A . 1B .C . 4D . 212. （2分）(2017·辽宁模拟) 定义为n个正数P1 ，P2…Pn的“均倒数”，若已知正整数数列{an}的前n项的“均倒数”为，又bn= ，则 + +…+ =（）A .B .C .D .13. （2分） (2016高二上·桂林期中) 在△ABC中，内角A、b、c的对边长分别为a、b、c．已知a2﹣c2=2b，且sinB=4cosAsinC，则b=（）A . 1B . 2C . 3D . 414. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 对于任意实数x，符号[x]表示不超x的最大整数，例如[3]＝3，[﹣1.2]＝﹣2，[1.2]＝1.已知数列{an}满足an＝[log2n]，其前n项和为Sn ，若n0是满足Sn＞2018的最小整数，则n0的值为（）A . 305B . 306C . 315D . 31615. （2分）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若，则等于（）A .B .C . -1D . 1二、填空题 (共5题；共5分)16. （1分） (2017高一下·河口期末) 在中，若，则C=________．17. （1分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若Sn≥2016，则n的取值范围为________18. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a1=1，S3=﹣3，则的最大值为________19. （1分） (2015高二下·广安期中) 若定义在[a，b]上的函数f（x）=x3﹣3x2+1的值域为[﹣3，1]，则b ﹣a的最大值是________．20. （1分）定义四个数a，b，c，d的二阶积和式．九个数的三阶积和式可用如下方式化为二阶积和式进行计算：．已知函数f（n）=（n∈N*），则f（n）的最小值为________．三、解答题 (共4题；共40分)21. （10分） (2019高三上·上高月考) 已知各项均为正数的数列的前项和为，， .（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；（2）设，数列的前项和记为 ,证明： .22. （10分） (2019高二下·上海期末) 已知函数（，）的最大值为正实数，集合，集合 .（1）求A和B；（2）定义A与B的差集：，设a、b、x设均为整数，且，为x取自的概率，为取自的概率，写出a与b的二组值，使， .23. （10分） (2018高一下·雅安期中) 已知a,b,c分别为三个内角A,B,C所对的边长，且.（1）求角C的值；（2）若c=4,a+b=7，求. .的值.24. （10分） (2016高二上·大名期中) 设数列{an}满足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= （n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Sn ．参考答案一、选择题 (共15题；共30分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、二、填空题 (共5题；共5分)16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共40分) 21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。

湖南省衡阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·泉州模拟) 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点Q，M，N分别为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若∠NRF=60°，则|FR|等于（）A .B . 1C . 2D . 42. （2分） (2019高一上·鲁山月考) 已知，且，则函数与函数的图像可能是（）A .B .C .D .3. （2分）设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1 ，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为（）A .B .C .D .4. （2分）在棱长为2的正方体△ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AMC1N 的距离为（）A .B .C .D .5. （2分）(2020·长沙模拟) 设点、均在双曲线上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为（）A .B . 4C .D . 以上都不对6. （2分） (2017高一上·延安期末) 已知直线m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是（）A . m∥nB . n⊥mC . n∥αD . n⊥α7. （2分）已知抛物线的焦点为，抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，，则（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高二下·浙江月考) 定点，动点Q在圆上，线段的垂直平分线交于点M（O为坐标原点），则动点M的轨迹是（）A . 圆B . 直线C . 双曲线D . 椭圆9. （2分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA= ，则PC与平面ABCD所成角的大小为（）A . 30°B . 45°C . 60°D . 90°10. （2分）圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面的中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹的长度为（）A .B .C .D .11. （2分） (2020高二下·鹤壁月考) 设双曲线的右焦点为F,右顶点为A,过F 作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B作AC的垂线交轴于点D,若点D到直线BC的距离小于，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦点分别为F1 ，F2 ， P是C1与C2在第一象限的交点，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲线的离心率分别为e1 ， e2 ，则e1•e2的取值范围是（）A . （，+∞）B . （，+∞）C . （，+∞）D . （0，+∞）二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二下·上海期末) 已知向量，则向量的单位向量 ________．14. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的离心率为 , 为左顶点,点在椭圆上,其中在第一象限, 与右焦点的连线与轴垂直,且 ,则直线的方程为________.15. （1分） (2016高一上·盐城期中) 下列四个命题：①定义在R上的函数f（x）满足f（﹣2）=f（2），则f（x）不是奇函数②定义在R上的函数f（x）恒满足f（﹣x）=|f（x）|，则f（x）一定是偶函数③一个函数的解析式为y=x2 ，它的值域为{0，1，4}，这样的不同函数共有9个④设函数f（x）=lnx，则对于定义域中的任意x1 ， x2（x1≠x2），恒有，其中为真命题的序号有________（填上所有真命题的序号）．16. （1分）圆E：（x+2）2+y2=4，点，动圆P过点F（2，0），且与圆E内切于点M，则动圆P的圆心P的轨迹方程是________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·正阳开学考) 已知双曲线C的方程为：﹣ =1（1）求双曲线C的离心率；（2）求与双曲线C有公共的渐近线，且经过点A（﹣3，2 ）的双曲线的方程．18. （15分） (2019高二下·上海月考) 在三棱柱中，是正三角形，，点在底面上的射影恰好是中点，侧棱和底面成角.（1）求证：；（2）求二面角的大小；（3）求直线与平面所成角的大小.19. （5分）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ∈[0，2π）．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：（t为参数，t∈R）的距离最短，并求出点D的直角坐标．20. （10分） (2016高二下·南城期末) 如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若tan∠CED= ，⊙O的半径为3，求OA的长．21. （5分）已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=BC=a，E是BC的中点，将△BAE沿AE折起到△B1AE 的位置，使平面B1AE⊥平面AECD，F为B1D的中点．（1）证明：B1E∥平面ACF；（2）求平面ADB1与平面ECB1所成锐二面角的余弦值．22. （10分） (2020高二下·浙江期中) 如图，过点作直线l交抛物线C：于A，B两点（点A在P，B之间），设点A，B的纵坐标分别为，，过点A作x轴的垂线交直线于点D.（1）求证：；（2）求的面积S的最大值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列命题正确的是（）A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞﹣b，则﹣a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a﹣c＞b﹣c2．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜4}B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1} 3．在△ABC中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b等于（）A．4B．C．4D．4．在等差数列{a n}中，已知a5=21，则a4+a5+a6等于（）A．15 B．33 C．51 D．635．已知点（3，1）和（4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＜﹣7 C．﹣7＜a＜0 D．a＞0或a＜﹣76．等比数列a n中，a1=2，q=2，S n=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．67．若a＞1，则的最小值是（）A．2 B．a C．3 D．8．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C 等于（）A．B．或C．D．9．设x，y满足，则z=x+y（）A．有最小值2，最大值3 B．有最小值2，无最大值C．有最大值3，无最小值D．既无最小值，也无最大值10．设△ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC成等比数列，则这个三角形的形状是（）A．直角三角形 B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形11．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．812．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135°D．150°二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．在△ABC中，已知c=2，∠A=120°，a=2，则∠B=．14．某人玩投石子游戏，第一次走1米放2颗石子，第二次走2米放4颗石子，…，第n次走n米放2n颗石子，当此人一共走了36米时，他投放石子的总数是．15．函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）上恒为正，则a的取值范围是a＞﹣1．【考点】其他不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】根据函数f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）的单调性，进而得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=log2（x2﹣x+a）在2，+∞）上恒成立又∵g（x）=x2﹣x+a在hslx3y3h2，+∞）单调递增∴g（2）=2+a＞1恒成立即a＞﹣1故答案为：a＞﹣1【点评】本题考查的知识点是对数不等式的解法，函数恒成立问题，其中根据对数函数的性质，将总是转化为一个二次函数恒成立问题是解答的关键．16．已知x＞0，y＞0，x+y=1，则+的最小值为9．【考点】基本不等式．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+y=1，∴+=（x+y）=5+=9，当且仅当x=2y=时取等号．故+的最小值为9．故答案为：9．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2015春•武威校级期末）（1）S n为等差数列{a n}的前n项和，S2=S6，a4=1，求a5．（2）在等比数列{a n}中，若a4﹣a2=24，a2+a3=6，求首项a1和公比q．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之即可；（2）由已知可得，解之可得．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由已知可得，解之可得，故a5=1+（﹣2）=﹣1；（2）由已知可得，解之可得【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式，属基础题．18．（12分）（2010秋•万盛区校级期末）解关于x的不等式：（x﹣1）（x+a）＞0．【考点】一元二次不等式的应用；一元二次不等式的解法．【分析】先由不等式：（x﹣1）（x+a）＞0，得出其对应方程（x﹣1）（x+a）=0的根的情况，再对参数a的取值范围进行讨论，分类解不等式【解答】解：由（x﹣1）（x+a）=0得，x=1或x=﹣a，…当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（10分）综上，当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＞﹣a或x＜1}；当a=﹣1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}．…（12分）【点评】本题考查一元二次不等式的解法，解题的关键是对参数的范围进行分类讨论，分类解不等式，此题是一元二次不等式解法中的难题，易因为分类不清与分类有遗漏导致解题失败，解答此类题时要严谨，避免考虑不完善出错．19．（12分）（2014春•连江县校级期末）在△ABC中，cosA=﹣，cosB=，（1）求sinA，sinB，sinC的值（2）设BC=5，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；正弦定理的应用．【分析】（1）根据cosB，cosA的值可分别求得sinA，sinB的值，继而根据sinC=sin （A+B）利用两角和公式求得sinC的值．（2）先根据正弦定理求得AC的值，最后根据三角形面积公式求得答案．【解答】解：（1）sinA==，sinB==，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×﹣×=．（2）由正弦定理知=，∴AC=•sinB=×=，=BC•AC•sinC=×5××=．∴S△ABC【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，两角和公式的化简求值．注重了对学生综合素质的考查．20．（12分）（2014•宁波模拟）已知数列{a n}是公差不为零的等差数列，a10=15，且a3、a4、a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等差数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），依题意，解方程组可求得，从而可得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由于b n==，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，（d≠0），由已知得：，即，解之得：，∴a n=2n﹣5，（n∈N*）．（Ⅱ）∵b n==，n≥1．T n=+++…+，①T n=+++…++，②①﹣②得：T n=+2（++…+）﹣=﹣+，∴T n=﹣1﹣（n∈N*）．【点评】本题考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，考查运算能力，属于中档题．21．（12分）（2014春•黄岛区校级期末）某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．（12分）【点评】本题考查函数模型的选择与应用，解题的关键是建立起符合条件的函数模型，故分析清楚问题的逻辑联系是解决问题的重点，此类问题的求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题22．（12分）（2010•广东）某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营状中至少含64个单位的碳水化合物和42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设为该儿童分别预订x个单位的午餐和y个单位的晚餐，设费用为F，则F=2.5x+4y，由题意知约束条件为：画出可行域如图：变换目标函数：当目标函数过点A，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）时，F取得最小值．即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．。

参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D B A D C C B C DA二、填空题13. 1 14. e 15. 3 16. 47-三、解答题17、解（1）044)2()2(,1)1(=-==-=f f f（2）当0<x 时，x x x x x f x 2)(2)()(,022+=---=->- 由函数是偶函数所以有x x x f x f 2)()(2+=-=⎩⎨⎧<+≥-=)0(2)0(2)(22x x x x x x x f19.解：(1)由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，代入(2a －c )cos B ＝b cos C ，整理，得2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ， 即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A . 又sin A >0，∴2cos B ＝1， 由B ∈(0，π)，得B ＝3π. (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B1 22 1-1-2-1-2xyO＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B .将b ＝，a ＋c ＝4，B ＝3π代入整理，得ac ＝3. ∴△ABC 的面积为S ＝21ac sin B =23sin60°＝433 20、 解：(1) 由27126a a a ++=-得72a =-，所以14a = ----------------------4分∴ 5n a n =-， 从而 (9)2n n n S -=----------------------------------6分 (2)由题意知1234,2,1b b b === ---------------------------------------------8分设等比数列{}n b 的公比为q ，则2112b q b ==， ∴141()1281()1212m m m T ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎣⎦==-⎢⎥⎣⎦- 1()2m随m 递减， ∴{}m T 为递增数列，得48m T ≤<------------------------------------------------10分又22(9)11981(9)()22224n n n S n n n -⎡⎤==--=---⎢⎥⎣⎦， 故max 45()10n S S S ===，--------------------------------------------------------11分 若存在*N m ∈, 使对任意n N *∈总有n m S T λ<+则108λ≤+，得2λ≥-----------------------------------------------------------13分21、（Ⅰ）由已知得22214sin 3()23cos 2ab C a b c ab C ⋅=+-=， --------------------2分即tan 3C =，-----------------------------------4分 ∴3C π=．-----------------------------------6分（Ⅱ）31()4sin (cos sin )13sin 2cos 22sin(2)226f x x x x x x x π=-+=+=+．-------8分 当22()62x k k Z πππ+=+∈即：()6x k k Z ππ=+∈时，max ()2f x =，又∵(0,)A π∈，∴6A π=，2b =，-----------------------------------10分故2B AC ππ=--=，sin 1a b A ==，sin 3c b C ==，∴13sin 22S ac B ==．-----------------------------------12分22、解： （1）∵椭圆离心率为63，22c 6b 1,a 33a ∴=∴=.……………………1分 又 椭圆过点（2，1），代入椭圆方程，得22211a b+=.……………………2分所以225a 5,b 3==.……………………………………………………………………4分∴椭圆方程为221553x y +=，即22x 3y 5+=. …………………………………………5分 （2）在x 轴上存在点M 1(,0)6，使25MA MB 3k 1⋅++ 是与K 无关的常数. ……6分证明：假设在x 轴上存在点M （m,0）,使25MA MB 3k 1⋅++ 是与k 无关的常数，∵直线L 过点C （-1，0）且斜率为K,∴L 方程为y k(x 1)=+，由⎩⎨⎧+==+),1(,5322x k y y x 得0536)13(2222=-+++k x k x k .………………7分设),(),,(2211y x B y x A ，则1353,13622212221+-=⋅+-=+k k x x k k x x ……………8分 ∵1122MA (x m,y ),MB (x m,y ),=-=-∴12112255MA MB (x m)(x m)y y 3k 13k 1⋅+=--++++……………………9分21212222122121222222222222222225(x m)(x m)k (x 1)(x 1)3k 15(1k )x x (k m)(x x )m k 3k 13k 56k 5(1k )(k m)m k 3k 13k 13k 1k 6mk 3m k m 3k 1=--+++++=++-+++++--=++-++++++-+++=+ …………………………………………………………………………………………10分设常数为t ，则222222k 6mk 3m k m t 3k 1-+++=+. ……………………………………11分整理得222(3m 6m 13t)k m t 0+--+-=对任意的k 恒成立，223m 6m 13t 0,m t 0.⎧+--=⎪∴⎨-=⎪⎩解得1m 6=，……………………………………………………12分 即在x 轴上存在点M （1,06）， 使25MA MB 3k 1⋅++ 是与K 无关的常数. ……………13分。

湖南省衡阳市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若不等式与同时成立，则必有（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·怀仁期末) 若不等式和不等式的解集相同，则、的值为（）A . =﹣8 =﹣10B . =﹣4 =﹣9C . =﹣1 =9D . =﹣1 =23. （2分）设等差数列的前项和为,若，, 则当取最大值等于（）A . 4B . 5C . 6D . 74. （2分）的三个内角所对的边分别为，（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·运城期末) 已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足，设数列{an}的前n项和为Sn ，则S2017=（）A . ﹣586B . ﹣588C . ﹣590D . ﹣5046. （2分）(2014·山东理) 函数f（x）= 的定义域为（）A . （0，）B . （2，+∞）C . （0，）∪（2，+∞）D . （0，]∪[2，+∞）7. （2分） (2016高二上·南阳期中) 已知在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，若A：B：C=1：2：3，则a：b：c=（）A . 1：2：3B .C .D .8. （2分） (2017高二上·西华期中) 设{an}为等差数列，|a3|=|a9|，公差d＜0，则使前n项和Sn取得最大值时正整数n=（）A . 4或5B . 5或6C . 6或7D . 8或99. （2分） (2016高一下·老河口期中) 一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处．在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是（）A . 10 海里B . 10 海里C . 20 海里D . 20 海里10. （2分）数列{an}中，a1=1且an-1=2an+1，则{an}的通项为（）A . 2n－１B . 2nC . 2n＋１D . 2n+111. （2分）(2016·安徽模拟) 如果实数x，y满足，则z=x2+y2﹣2x的最小值是（）A . 3B .C . 4D .12. （2分） log212﹣log23=（）A . -2B . 0C .D . 2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）若实数a满足：a2≥3，则实数a的取值范围为________．14. （1分）(2017·丰台模拟) 在△ABC中，角A，B，C对应的边长分别是a，b，c，且，则角A的大小为________．15. （1分）已知数列中，,则数列的前9项和等于________ .16. （1分）已知定义在（0，+∞）的函数f（x）=|4x（1﹣x）|，若关于x的方程f2（x）+（t﹣3）f（x）+t﹣2=0有且只有3个不同的实数根，则实数t的取值集合是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （5分） (2018高三上·吉林月考) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，面积为S ，已知．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若，求b ．18. （5分）解关于x的不等式：56x2﹣ax﹣a2＞0．19. （5分）(2017·宿州模拟) 数列{an}的前n项和Sn满足，且a1 ， a2+6，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn ．20. （10分）(2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.21. （10分） (2016高三上·湖北期中) 已知数列{an}的前n项和Sn满足（p﹣1）Sn=p2﹣an（p＞0，p≠1），且a3= ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= ，数列{bnbn+2}的前n项和为Tn，若对于任意的正整数n，都有Tn＜m2﹣m+ 成立，求实数m的取值范围．22. （10分）设函数f（x）=2x3+ax2+bx+m的导函数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0．（1）求实数a、b的值；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分)17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

湖南省衡阳县第四中学2016届高三数学上学期第三次月考（期中）试题理（扫描版）参考答案二、填空题13： 2 14： 3 15：-1 16：（),1()0,+∞⋃∞- 三、解答题17.（1）圆的普通方程是25)2()1(22=-++y x（2）圆心坐标是（-1,2），半径是5.直线的普通方程是01043=-+y x圆心到直线的距离是1431024)1(322=+-⨯+-⨯=d所以弦长641252=-=l18．12分（1）π；（2时，函数)(x f 取得最小值()(cos sin )(cos sin )2sin cos f x x x x x x x =+-+⋅22cos sin 2sin cos cos 2sin 2x x x x x x =-+=+ （1）由最小正周期公式得：22T ππ== 即当8x =时，函数)(x f 取得最小值2-19.解：（1）点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，所以1)()(212=--n n a a即11=--n n a a ，所以{a n }为等差数列，a 1＝2，所以1)1(1+=-+=n d n a a n （2）点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，所以121+-=n n b T ，---①，12111+-=--n n b T -----② ①-②得12121-+-=n n n b b b ，即131-=n n b b 所以数列{b n }是等比数列 （3）121111+-==b b T ，所以321=b ，n n n b b 32)31(11=⨯=-c n ＝a n ·b n n n 3)1(2+=，113)2(2+++=n n n c ，03243)1(23)2(2111<--=+-+=-+++n n n n n n n n c c 数列{}n C 是递减数列。

20.解：（1）由sin 12∠ABC ＝33，得3121sin 21cos 2=∠-=∠ABC ABC 点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BC BA AC BA DA BA BD 323132+=+=-=2)3231(+=,所以3=BC(2)ABC BC BA S ABC ∠∙∙=∆sin 21,而322cos 1sin 2=∠-=∠ABC ABC 则22=∆ABC S ,由点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC 得32231==∆∆ABC DBC S S .21．12分．（1）不存在这样的m 使得不等式恒成立（2）}231271{+<<+-x x （1）当0=m 时，021<-x ，即当21>x 时不等式不恒成立，不满足条件 当0≠m 时，设12)(2+--=m x mx x f ，由于0)(<x f 恒成立，则有)1(440<--<m m m解得φ∈m综上所述，不存在这样的m 使得不等式恒成立。

湖南省衡阳市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）△ABC中，AB=， BC=2，sinA=，则sinC=（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·西湖期中) 若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A . a+c≥b﹣cB . ac＞bcC . ＞0D . （a﹣b）c2≥03. （2分）数列{an}是正数组成的等比数列，公比q=2,a1a2a3……a20=250,，则a2a4a6……a20的值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·广东模拟) 已知数列的前项和为，，且满足，已知，，则的最小值为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高一上·长春月考) 函数的定义域为（）A .B .C .D . X6. （2分）(2017·青岛模拟) 已知 x＞1，y＞1，且 lg x，，lg y 成等比数列，则 xy 有（）A . 最小值10B . 最小值C . 最大值10D . 最大值7. （2分） (2016高一下·天水期末) 已知点G是△ABC的重心，且AG⊥BG， + = ，则实数λ的值为（）A .B .C . 38. （2分）等差数列{an}的前n项和为Sn ，若a4=18﹣a5 ，则S8等于（）A . 72B . 36C . 18D . 1449. （2分）已知a＞1，0＜x＜y＜1，则下列关系式中正确的是（）A . ax＞ayB . xa＞yaC . logax＞logayD . logxa＞logya10. （2分）(2017·邯郸模拟) 若x，y满足不等式组，则的最大值是（）A .B . 1C . 2D . 311. （2分）已知等比数列的首项，公比，等差数列的首项，公差，在中插入中的项后从小到大构成新数列，则的第100项为（）A . 270B . 273C . 27612. （2分）(2019高二上·上海月考) 在等比数列中，，则使不等式成立的的最大值是（）A . 5B . 6C . 7D . 8二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·孝义模拟) 如图所示，在南海上有两座灯塔A，B，这两座灯座之间的距离为60千米，有个货船从岛P处出发前往距离120千米岛Q处，行驶至一半路程时刚好到达M处，恰好M处在灯塔A的正南方，也正好在灯塔B的正西方，向量，则 =________．14. （1分） (2019高一下·上海月考) 已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和 ________．15. （1分）已知dx，数列的前n项和为Sn ，数列{bn}的通项公式为bn=n﹣8，则bnSn 的最小值为________16. （1分）已知1+2x+4x•a＞0对一切x∈（﹣∞，1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．三、计算题 (共6题；共55分)17. （5分） (2016高二上·嘉兴期中) 已知a，b是正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小．18. （10分） (2018高二上·湖南月考) 已知数列{an}中，，．（1）求；（2）若，求数列{bn}的前5项的和．19. （15分） (2019高一上·水富期中) 已知定义域为的函数是奇函数．（1）求的值；（2）证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的取值范围．20. （10分） (2018高一下·雅安期中) 向量 , ,已知，且有函数 .（1）求函数的解析式及周期；（2）已知锐角的三个内角分别为，若有，边 , ，求的长及的面积.21. （10分） (2016高一下·海珠期末) 已知{an}是各项都为正数的等比数列，其前n项和为Sn ，且S2=3，S4=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}是等差数列，且b3=a3，b5=a5，试求数列{bn}的前n项和Mn．22. （5分） (2016高三上·日照期中) 设等差数列{an}的前n项和为Sn ，且Sn= nan+an﹣c（c是常数，n∈N*），a2=6．（Ⅰ）求c的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn ，若2Tn＞m﹣2对n∈N*恒成立，求最大正整数m的值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、计算题 (共6题；共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P⊆M”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件2．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．3．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞04．（5分）如果a＞b，给出下列不等式：（1）＜；（2）a3＞b3；（3）a2+1＞b2+1；（4）2a＞2b．其中成立的不等式有（）A．（3）（4）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（1）（3）5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，B=60°，则A=（）A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°6．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜77．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1，a4为方程2x2﹣5x+2=0的两根，则a2+a3=（）A．1 B．5 C．D．8．（5分）不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是（）A．{x|﹣≤x≤1}B．{x|﹣1≤x≤}C．{x|x≤﹣或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x≥}9．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．3110．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0 B．﹣2 C．D．﹣311．（5分）某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为（）A．20海里B．8海里C．23海里D．24海里12．（5分）如图，点P为△ABC的外心，且，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）不等式的解集为．14．（5分）若数列{a n}满足：a1=2，a n+m=a m•a n（m，n∈N+），则数列{a n}的通项公式a n=．15．（5分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．16．（5分）设a1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．（1）若n=4，则=；（2）所有数对（n，）所组成的集合为．三、解答题：（共70分）17．（10分）已知等比数列{a n}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，求的值．18．（12分）在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．19．（12分）若，（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求出该区域的面积；（2）求目标函数z=x+2y的取值范围．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4求b，c的值．△ABC21．（12分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数f（x）=2﹣|x|﹣a在x∈R内有两个零点，命题q：不等式|x﹣2|﹣|x+3|﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．22．（12分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）（1）证明数列{a n+2}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n}满足b n=log2（a n+2），设T n为数列{}的前n项和，对一切n∈N*都有T n＜k，求最小正整数k．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分）1．（5分）设集合P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞a，a∈R}，则“a=1”是“P⊆M”的（）A．必要不充分条件 B．充要条件C．既不充分也不必要条件D．充分不必要条件【解答】解：若a=1，P={x∈R|x＞2}，M={x∈R|x＞1}此时P⊊M若P⊆M，则a＜2，但是不一定是1故“a=1”是“P⊆M”充分不必要条件‘故选：D．2．（5分）已知{a n}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=（）A．B．﹣2 C．2 D．【解答】解：∵{a n}是等比数列，a2=2，a5=，设出等比数列的公比是q，∴a5=a2•q3，∴==，∴q=，故选：D．3．（5分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．4．（5分）如果a＞b，给出下列不等式：（1）＜；（2）a3＞b3；（3）a2+1＞b2+1；（4）2a＞2b．其中成立的不等式有（）A．（3）（4）B．（2）（3）C．（2）（4）D．（1）（3）【解答】解：（1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，但是＜不成立；（2）利用函数f（x）=x3在R上单调递增可得：a3＞b3；（3）取a=1，b=﹣2，满足a＞b，但是a2+1＞b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在R上单调递增可得：2a＞2b．其中成立的不等式有（2）（4）．故选：C．5．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，，B=60°，则A=（）A．45°B．30°C．45°或135°D．30°或150°【解答】解：∵△ABC中，a=，b=，B=60°∴由正弦定理，得sinA===∵A∈（0°，180°），a＜b∴A=45°或135°，结合A＜B可得A=45°故选：A．6．（5分）已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）[3×（﹣4）﹣2×6+a]＜0，解得﹣7＜a＜24故选：C．7．（5分）在等差数列{a n}中，已知a1，a4为方程2x2﹣5x+2=0的两根，则a2+a3=（）A．1 B．5 C．D．【解答】解：∵a1，a4为方程2x2﹣5x+2=0的两根，∴a 1+a4 =，由数列{a n}为等差数列，∴a2+a3=a1+a4 =，故选：D．8．（5分）不等式（x+5）（3﹣2x）≥6的解集是（）A．{x|﹣≤x≤1}B．{x|﹣1≤x≤}C．{x|x≤﹣或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x≥}【解答】解：不等式（x+5）（3﹣2x）≥6可化为2x2+7x﹣9≤0，即（x+1）（2x﹣9）≤0；解这个不等式，得﹣1≤x≤，∴该不等式的解集是{x|﹣1≤x≤}．故选：B．9．（5分）已知数列{a n}的首项a1=1，且a n=2a n﹣1+1（n≥2），则a5为（）A．7 B．15 C．30 D．31【解答】解：（法一）∵a n=2a n﹣1+1，a1=1a2=2a1+1=3a3=2a2+1=7a4=2a3+1=15a5=2a4+1=31（法二）∵a n=2a n﹣1+1∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31+1）（法三）∴a n+1=2（a n﹣1∵a1+1=2∴{a n+1}是以2为首项，以2为等比数列∴a n+1=2•2n﹣1=2n∴a n=2n﹣1∴a5=25﹣1=31故选：D．10．（5分）若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0 B．﹣2 C．D．﹣3【解答】解：设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选：C．11．（5分）某游轮在A处看灯塔B在A的北偏东75°，距离为12海里，灯塔C在A的北偏西30°，距离为8海里，游轮由A向正北方向航行到D处时再看灯塔B在南偏东60°则C与D的距离为（）A．20海里B．8海里C．23海里D．24海里【解答】解：如图，在△ABD中，因为在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°的方向上，距离为海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向上，所以B=180°﹣75°﹣60°=45°，由正弦定理，所以AD===24海里；在△ACD中，AD=24，AC=8，∠CAD=30°，由余弦定理可得：CD2=AD2+AC2﹣2•AD•ACcos30°=242+（8）2﹣2×24×8×=192，所以CD=8海里；故选：B．12．（5分）如图，点P为△ABC的外心，且，则等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：作PD⊥AC于D，则∵P为△ABC的外心，∴，可得==8同理可得==2=6故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）不等式的解集为{x|} ．【解答】解：不等式的解集可转化成即等价于解得：故不等式的解集为{x|}故答案为：{x|}14．（5分）若数列{a n}满足：a1=2，a n+m=a m•a n（m，n∈N+），则数列{a n}的通项公式a n=2n．=a m•a n，可知数列{a n}的通项公式符合指数函数模型，【解答】解：由已知a m+n即，又a1=2，∴可得a n=2n，即数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n=2n ．故答案为：2n．15．（5分）设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．16．（5分）设a 1，a2，…，a n是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d ≠0．将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列．（1）若n=4，则=﹣4，1；（2）所有数对（n，）所组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）} ．【解答】解：（1）当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则由连续三项成等比数列，可推出d=0．若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得=﹣4若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得=1综上，得=﹣4或=1．（2）设数列{a n}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣a1，因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对（n，）=（4，﹣4）；去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1，则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对（n，）=（4，1）；去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：﹣4，1；{（4，﹣4），（4，1）}三、解答题：（共70分）17．（10分）已知等比数列{a n}各项均为正数，且a1，a3，a2成等差数列，求的值．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∵a1，a3，a2成等差数列，∴a3=a1+a2，∴a1q2=a1+a1q，即q2﹣q﹣1=0，解得q=，∴===18．（12分）在△ABC中，（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，且acosB=bcosA，试判断△ABC的形状．【解答】解：利用正弦定理化简bcosA=acosB得：sinBcosA=sinAcosB，∴sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）=0，∴A﹣B=0，即A=B，又∵（a+b+c）（a+b﹣c）=3ab，可得：（a+b）2﹣c2=3ab，整理可得：a2+b2﹣c2=ab，∴由余弦定理可得：cosC===，∴由C∈（0，π），可得：C=，∴可得：A=B=C=则三角形形状为等边三角形．19．（12分）若，（1）画出不等式组所表示的平面区域，并求出该区域的面积；（2）求目标函数z=x+2y的取值范围．【解答】解：（1）作不等式组表示的平面区域如下，，S=×2×2=2；（2）化目标函数z=x+2y为y=﹣x+z；故过点（2，0）时，z有最小值2，过点（2，2）时，z有最大值2+2×2=6；故目标函数z=x+2y的取值范围为[2，6]．20．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S=4求b，c的值．△ABC【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=∴sinB=，∵a=2，b=4，∴sinA===；=4=×2c×，∴c=5，（Ⅱ）S△ABC∴b==．21．（12分）已知a＞0且a≠1，设命题p：函数f（x）=2﹣|x|﹣a在x∈R内有两个零点，命题q：不等式|x﹣2|﹣|x+3|﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，求a的取值范围．【解答】解：∵命题p：函数f（x）=2﹣|x|﹣a在x∈R内有两个零点，即2﹣|x|=a在x∈R内有两个交点，画出函数y=2﹣|x|的图象，如图示：，由图象得：0＜a＜1；命题q：若不等式|x﹣2|﹣|x+3|﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立，由于|x﹣2|﹣|x+3|表示数轴上的x对应点到2对应点的距离减去它到﹣3对应点的距离，故它的最大值等于5，故有5﹣4a2+12a﹣10＜0对一切实数x∈R恒成立即可，解得：a＞或0＜a＜，如果“p∨q”为真，且“p∧q”为假，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：≤a＜1，p假q真时：，解得：a＞，故a∈[，1）∪（，+∞）．22．（12分）已知：数列{a n}的前n项和为S n，满足S n=2a n﹣2n（n∈N*）（1）证明数列{a n+2}是等比数列．并求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列{b n }满足b n =log 2（a n +2），设T n 为数列{}的前n 项和，对一切n ∈N *都有T n ＜k ，求最小正整数k ．【解答】（1）证明：∵S n =2a n ﹣2n （n ∈N*），∴当n=1时，a 1=2a 1﹣2，解得a 1=2． 当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2n ﹣[2a n ﹣1﹣2（n ﹣1）]，化为：a n =2a n ﹣1+2， ∴a n +2=2（a n ﹣1+2），∴数列{a n +2}是等比数列，首项为4，公比为2． ∴a n +2=4×2n ﹣1， 化为a n =2n +1﹣2．（2）解：b n =log 2（a n +2）=n +1，=，∴数列{}的前n 项和T n =+…+，=+…++，∴=++…+﹣=+﹣=，∴T n =﹣．∵对一切n ∈N *都有T n ＜k ， ∴﹣＜k ．∵﹣=＞0．∴数列单调递减，∴． ∴对一切n ∈N *都有T n ＜k 的最小正整数k=2．。

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）一个等差数列第5项a 5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣22．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a23．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）4．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解5．（5分）已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．86．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则c的值为（）A．1 B．2 C．D．7．（5分）关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（）A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列8．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为（）A．钝角B．直角C．锐角D．60°9．（5分）不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是（）A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b ≥﹣510．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．211．（5分）数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．12．（5分）如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（）A．B．C．D．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于．14．（5分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n（n∈N*），S n数列{a n}的前n项和，则S6的值．16．（5分）设变量x、y满足约束条件，则s=的取值范围是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解不等式：3x2﹣5x﹣2≤0（2）当x＞1时，求x+的最小值．18．（12分）等差数列{a n}中，（1）已知a4+a17=8，求s20；（2）已知d=3，a n=20，s n=65，求n的值．19．（12分）设△ABC的三边长分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求边b的长；（2）求△ABC的面积．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．21．（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳四中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）一个等差数列第5项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有（）A．a1=﹣2，d=3 B．a1=2，d=﹣3 C．a2=﹣3，d=2 D．a3=3，d=﹣2【解答】解：由于等差数列第5项a5 =10，且a1+a2+a3=3，设公差为d，则可得a1+4d=10，3a1+3d=3．解得a1=﹣2，d=3．故选：A．2．（5分）设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2【解答】解：∵a＜b＜0，∴a2＞ab，ab＞b2，即a2＞ab＞b2，故选：B．3．（5分）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）【解答】解：集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．故选：C．4．（5分）在△ABC中，a=80，b=100，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解B．两解C．一解或两解D．无解【解答】解：由正弦定理得：=，即sinB==，则B=arcsin或π﹣arcsin，即此三角形解的情况是两解．故选：B．5．（5分）已知等比数列{a n}的前4项和为240，第2项与第4项的和为180，则数列{a n}的首项为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由题意知S4=240，a2+a4=180，即a1+a3=240﹣180=60，则（a1+a3）q=a2+a4，即60q=180，解得q=3，则a1+q2a1=10a1=60，解得a1=6，故选：C．6．（5分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A=，b=1，△ABC的面积为，则c的值为（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵△ABC中，A=，b=1，∴△ABC的面积为S=bcsinA=即×1×c×sin=，解之得c=2故选：B．7．（5分）关于数列3，9，…，2187，…，以下结论正确的是（）A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列【解答】解：一方面∵=729，∴该数列有可能是以首项和公比均为3的等比数列；另一方面∵=363，∴该数列有可能是以首项为3、公差为6的等差数列；故选：B．8．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B=2sin2C，则角C为（）A．钝角B．直角C．锐角D．60°【解答】解：在△ABC中，sin2A+sin2B=2sin2C，利用正弦定理化简得：a2+b2=2c2，∴cosC==＞0，即C为锐角，故选：C．9．（5分）不等式y≤3x+b所表示的区域恰好使点（3，4）不在此区域内，而点（4，4）在此区域内，则b的取值范围是（）A．﹣8≤b≤﹣5 B．b≤﹣8或b＞﹣5 C．﹣8≤b＜﹣5 D．b≤﹣8或b ≥﹣5【解答】解：∵点（3，4）不在不等式y≤3x+b所表示的区域，而点（4，4）在不等式y≤3x+b所表示的区域∴即﹣8≤b＜﹣5故选：C．10．（5分）函数y=（x＞1）的最小值是（）A．2+2 B．2﹣2 C．2 D．2【解答】解：y==（x﹣1）++2∵x＞1，∴x﹣1＞0∴（x﹣1）+≥2（当且仅当x=+1时，取等号）∴y=≥2+2故选：A．11．（5分）数列{a n}中，对任意n∈N*，a1+a2+…+a n=2n﹣1，则a12+a22+…+a n2等于（）A．（2n﹣1）2B．C．4n﹣1 D．【解答】解：当n≥2时，由a 1+a2+…+a n=2n﹣1可得a1+a2+…+a n﹣1=2n﹣1﹣1，∴a n=2n﹣1，当n=1时也成立．∴=4n﹣1．∴a12+a22+…+a n2==．故选：D．12．（5分）如图给出一个“直角三角形数阵”，满足每一列的数成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为a ij（i≥j，i，j∈N*），则a83等于（）A．B．C．D．1【解答】解：由题意，a11=，∵每一列成等差数列，∴a i1=a11+（i﹣1）×=，∵从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，∴a ij=a i1×（）j﹣1=×（）j﹣1=i×（）j+1，∴a83=8×（）4=故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）在△ABC中，B=45°，C=60°，c=1，则最短边的边长等于．【解答】解：△ABC中，由三角形内角和公式可得A=75°，再根据大角对大边可得b为最小边．再根据正弦定理可得，即=，解得b=，故答案为．14．（5分）不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，则实数m的取值范围为（﹣，3] ．【解答】解：若m2﹣2m﹣3=0，则m=﹣1或m=3，若m=﹣1，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为4x﹣1＜o不合题意；若m=3，不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0为﹣1＜0对一切x∈R恒成立，所以m=3可取，设f（x）=（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1，当m2﹣2m﹣3＜0且△=[﹣（m﹣3）]2+4（m2﹣2m﹣3）＜0，解得：﹣＜m ＜3，即﹣＜m≤3时不等式（m2﹣2m﹣3）x2﹣（m﹣3）x﹣1＜0对一切x∈R恒成立，故答案为：．15．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n（n∈N*），S n数列{a n}的前n项和，则S6的值126．=2a n（n∈N*），且a1=2≠0，【解答】解：在数列{a n}中，由a n+1可得，∴数列{a n}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴．故答案为：126．16．（5分）设变量x、y满足约束条件，则s=的取值范围是[] ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，s==，其几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（﹣1，﹣1）的连线的斜率．∵，．∴s的取值范围为[]．故答案为：[]．三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）解不等式：3x2﹣5x﹣2≤0（2）当x＞1时，求x+的最小值．【解答】解：（1）不等式3x2﹣5x﹣2≤0可化为：（x﹣2）（3x+1）≤0，解得，﹣≤x≤2，即不等式的解集为{x|﹣≤x≤2}；（2）因为x＞1，所以x﹣1＞0，则x+=（x﹣1）++1≥2•+1=2+1=3，当且仅当：x=2时，取“=”，因此，原式的得最小值3．18．（12分）等差数列{a n}中，（1）已知a4+a17=8，求s20；（2）已知d=3，a n=20，s n=65，求n的值．【解答】解：（1）等差数列{a n}中，∵a4+a17=8，∴S20==10（a4+a17）=10×8=80．（2）等差数列{a n}中，∵d=3，a n=20，S n=65，∴，解得或解得n=10或n=（舍）．∴n=10．19．（12分）设△ABC的三边长分别为a，b，c，已知a=3，c=2，B=120°．（1）求边b的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵△ABC中，a=3，c=2，B=120°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=9+4+6=19，则b=；（2）∵a=3，c=2，sinB=，=acsinB=．∴S△ABC20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，B∈（0，π），可知：cosB≠0，否则矛盾．∴tanB=，∴B=．（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，∴9=a2+c2﹣ac，把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，∴．21．（12分）医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省．【解答】解：设甲、乙两种原料分别用10x g和10y g，总费用为z，则，目标函数为z=3x+2y，作出可行域如图把z=3x+2y变形为y=﹣，得到斜率为﹣．在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．由图可知，当直线y=﹣经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．由得A（，3），∴z min=3×+2×3=14.4．∴选用甲种原料×10=28（g），乙种原料3×10=30（g）时，费用最省．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n=2n2，{b n}为等比数列，且a1=b1，b2（a2﹣a1）=b1．（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n2﹣2（n﹣1）2=4n﹣2，故{a n}的通项公式为a n=4n﹣2，即{a n}是a1=2，公差d=4的等差数列．设{b n}的公比为q，则b1qd=b1，d=4，∴q=．故b n=b1q n﹣1=2×，即{b n}的通项公式为b n=．（II）∵c n===（2n﹣1）4n﹣1，T n=c1+c2+…+c nT n=1+3×41+5×42+…+（2n﹣1）4n﹣14T n=1×4+3×42+5×43+…+（2n﹣3）4n﹣1+（2n﹣1）4n两式相减得，3T n=﹣1﹣2（41+42+43+…+4n﹣1）+（2n﹣1）4n=[（6n﹣5）4n+5]∴T n=[（6n﹣5）4n+5]。

2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2≤2n B．∃n∈N，n2＜2n C．∃n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n3．等比数列{a n}中，已知a2=3，a7•a10=36，则a15等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣64．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B． C．3 D．5．若，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．26．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）8．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=19．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°10．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为．14．若数列{a n}的前n项和S n=a n﹣，则数列{a n}的通项公式a n= ．15．若“m﹣1＜x＜m+1”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分50分）16．已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．17．已知等差数列{a n}的前n项的和记为S n．如果a4=﹣12，a8=﹣4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求S n的最小值及其相应的n的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值．19．徐州、苏州两地相距500千米，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元（a＞0）．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．2015-2016学年湖南省衡阳市衡阳县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．a2＞b2C．a3＞b3D．＜【考点】不等式的基本性质．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】利用不等式的基本性质，可得结论．【解答】解：对于A，满足c≤0时成立；对于B，a=1，b=﹣1，结论不成立；对于C，正确；对于D，a=1，b=﹣1，结论不成立．故选：C．【点评】本题考查不等式的基本性质，比较基础．2．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2≤2n B．∃n∈N，n2＜2n C．∃n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n 【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全程命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全程命题，所以，命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为：∀n∈N，n2≤2n．故选：A．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全程命题的否定关系，是基础题．3．等比数列{a n}中，已知a2=3，a7•a10=36，则a15等于（）A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题．【分析】则有题意可得 a1q=3， =36，解得q13=4，根据a15 =a1q•q13，运算求得结果．【解答】解：设公比为q，则有题意可得 a1q=3， =36，故有q15=36，q13=4．∴a15 =a1q•q13=3×4=12，故选A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，属于基础题．4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=3，b=2，cos（A+B）=，则c=（）A．4 B． C．3 D．【考点】余弦定理．【专题】计算题．【分析】由题意求出cosC，利用余弦定理求出c即可．【解答】解：∵cos（A+B）=，∴cosC=﹣，在△ABC中，a=3，b=2，cosC=﹣，∴c2=a2+b2﹣2abcosC=9+4﹣=17，∴c=．故选：D．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查计算能力．5．若，则z=x+2y的最小值为（）A．﹣1 B．0 C．D．2【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点O（0，0）时，直线y=的截距最小，此时z最小，此时z=0．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式．【分析】将（1，1）代入直线得： +=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．【解答】解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），∴+=1（a＞0，b＞0），所以a+b=（+）（a+b）=2++≥2+2=4，当且仅当=即a=b=2时取等号，∴a+b最小值是4，故选：C．【点评】本题考察了基本不等式的性质，求出+=1，得到a+b=（+）（a+b）是解题的关键．7．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），则该抛物线焦点坐标为（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），求得=1，即可求出抛物线焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过点（﹣1，1），∴=1，∴该抛物线焦点坐标为（1，0）．故选：B．【点评】本题考查抛物线焦点坐标，考查抛物线的性质，比较基础．8．下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．﹣x2=1 D．y2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得焦点的位置，渐近线方程，即可得出结论．【解答】解：由题意，A，B焦点在x轴上，C，D焦点在y轴上，D渐近线方程为y=±x．故选：D．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，是基本知识的考查．9．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．【点评】本小题主要考查直三棱柱ABC﹣A1B1C1的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查转化思想，属于基础题．10．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为 1 ．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】求出正切函数的最大值，即可得到m的范围．【解答】解：“∀x∈，tanx≤m”是真命题，可得tanx≤1，所以，m≥1，实数m的最小值为：1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值的应用，命题的真假的应用，考查计算能力．14．若数列{a n}的前n项和S n=a n﹣，则数列{a n}的通项公式a n= （﹣2）n．【考点】数列递推式．【专题】转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系可得：a n=﹣2a n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=a n﹣，∴当n=1时，﹣，解得a1=﹣2．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n﹣﹣，化为：a n=﹣2a n﹣1．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比都为﹣2．∴a n=（﹣2）n．故答案为：（﹣2）n．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若“m﹣1＜x＜m+1”是“x2﹣2x﹣3＞0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪∪…．（6分）（2）依题意知a，v都为正数，故有，当且仅当，即v=10时，等号成立…（8分）①若≤100，即0＜a≤100时，则当v=时，全程运输成本y最小．（10分）②若＞100，即a＞100时，则当v∈（0，100]时，有y′=﹣=．∴函数在v∈（0，100]上单调递减，也即当v=100时，全程运输成本y最小．…．（14分）综上知，为使全程运输成本y最小，当0＜a≤100时行驶速度应为v=千米/时；当a＞100时行驶速度应为v=100千米/时．…（16分）【点评】本题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，考查导数知识，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2，过点D（1，0）且不过点E（2，1）的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线AE与直线x=3交于点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若AB垂直于x轴，求直线MB的斜率；（3）试判断直线BM与直线DE的位置关系，并说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】方程思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由已知条件先求出椭圆C的半焦距，再由离心率公式和a，b，c的关系可得a，b，由此能求出椭圆C的标准方程；（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），求得AE的方程，求得M的坐标，再由直线的斜率公式计算即可得到所求值；（3）直线BM与直线DE平行．分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可．【解答】解：（1）由题意可得2c=2，即c=，又e==，解得a=，b==1，即有椭圆的方程为+y2=1；（2）由直线l过D（1，0）且垂直于x轴，设A（1，y1），B（1，﹣y1），AE的方程为y﹣1=（1﹣y1）（x﹣2），令x=3可得M（3，2﹣y1），即有BM的斜率为k==1；（3）直线BM与直线DE平行．证明如下：当直线AB的斜率不存在时，k BM=1．又∵直线DE的斜率k DE==1，∴BM∥DE；当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣1）（k≠1），设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线AE的方程为y﹣1=（x﹣2），令x=3，则点M（3，），∴直线BM的斜率k BM=，联立，得（1+3k2）x2﹣6k2x+3k2﹣3=0，由韦达定理，得x1+x2=，x1x2=，∵k BM﹣1====0，∴k BM=1=k DE，即BM∥DE；综上所述，直线BM与直线DE平行．【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．。

（答案）二、填空题：（每小题5分，共20分.）13． 30° 14． 51015． a>-1 16． 9三、解答题17. .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得1112615,31,a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩即11270,31,a d a d +=⎧⎨+=⎩ ………………3分 解得，12,7.d a =-=所以，51474(2) 1.a a d =+=+⨯-=- ……………5分(2)设等比数列{a n }的公比为q ，由题意，得211(1)24,(1)6,a q q a q q ⎧-=⎨+=⎩ ………………………………8分解得，115,.5q a ==………………………………………10分 18. 解：由(1)()0x x a -+=得，1x =或x a =-， ……4分 当1a <-时，不等式的解集为{|x x a >-或1}x <；当1a =-时，不等式的解集为{|x x R ∈且1}x ≠；当1a >-时，不等式的解集为{|x x a <-或1}x >．……10分综上，当1a <-时，不等式的解集为{|x x a >-或1}x <；当1a =-时，不等式的解集为{|x x R ∈且1}x ≠；当1a >-时，不等式的解集为{|x x a <-或1}x >．……12分19. 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，A B C π++=，由5cos 13A =-，2A ππ<<，得12sin 13A =，…………2分 由3cos 5B =，02B π<<，得4sin 5B =． …………4分所以16sin sin()sin cos cos sin 65C A B A B A B =+=+=．……6分 （Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313BC B AC A ⨯⨯===．…………9分 所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯1131652365=⨯⨯⨯83=．……12分21. 解：(1)设水池的底面积为S 1，池壁面积为S 2，则有S 1＝38004 ＝1 600(平方米)． 池底长方形宽为x6001米，则 S 2＝6x ＋6×x 6001＝6(x ＋x 6001)． (2)设总造价为y ，则y ＝150×1 600＋120×6⎪⎭⎫ ⎝⎛x x 600 1＋≥240 000＋57 600＝297 600． 当且仅当x ＝x6001，即x ＝40时取等号． 所以x ＝40时，总造价最低为297 600元．答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为297 600元． 22. 解：设为该儿童分别预订x 个单位的午餐和y 个单位的晚餐，设费用为F ，则F=2.5x+4y ，由题意知：，画出可行域，如右图， 变换目标函数：，当目标函数过点A ，即直线6x+6y=42与6x+10y=54的交点（4，3）， F 取得最小值，即要满足营养要求，并且花费最少，应当为儿童分别预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐。