2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题(衡水金卷信息卷)理数五 pdf

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集R U =，集合{}10A x x =+≥，101x B xx ⎧+⎫=<⎨⎬-⎩⎭，则图中阴影部分所表示人集合为A ．{}1x x ≥- B ．{}1x x <- C ．{}11x x -≤≤- D ．﹛1x x <-或1x ≥﹜ 2.已知复数123z i =+，2z a i =+（a R ∈，i 为虚数单位），若1218z z i =+，则a 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．4 3.已知函数()f x 的图象关于原点对称，且在区间[]5,2--上单调递减，最小值为5，则()f x 在区间[]2,5上A ．单调递增，最大值为5B ．单调递减，最小值为5-C ．单调递减，最大值为5-D ．单调递减，最小值为54.已知直线231x +=与x ，y 轴的正半轴分别交于点A ，B ，与直线0x y +=交于点C ，若OC OA OB λμ=+（O 为坐标原点），则λ，μ的值分别为 A ．2λ=，1μ=- B ．4λ=，3μ=- C. 2λ=-，3μ= D ．1λ=-，2μ=5.已知122log 3a =，22log 3b =，1232c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，32d e =，则A ．d c a b >>>B ．d b c a >>> C.c d a b >>> D ．a c b d >>>6.已知0a >，0b >，则点()1,2P 在直线b y x a =的右下方是双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围为()3,+∞的A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 7.已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，γα⊥，γβ⊥；③存在两条平行直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α；④存在两条异面直线a 、b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α，则可以推出//αβ的是 A ．①③ B ．②④ C. ①④ D ．②③ 8.已知直线2y =与函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭图象的相邻两个交点间的距离为6，点()1,3P 在函数()f x 的图像上，则函数()()12log g x f x =的单调递减区间为A ．()()6,26k k k Z ππππ-+∈B ．(),63k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C. ()11,63k k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．()()61,26k k k Z -+∈ 9.在如图所求的程序框图中，若输出n 的值为4，则输入的x 的取值范围为A ．13,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]3,13 C.[)9,33 D ．913,84⎡⎫⎪⎢⎣⎭10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A ．295937144a ππ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭ B ．2959144a ππ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭C.29593744a ππ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．295937144a ππ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭11.甲、乙两人各自在400米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率是 A ．18 B ．1136 C.1564D ．14 12.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x <，且()102f =，则不等式()102x f x e -<的解集为A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()0,+∞ C.1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),0-∞ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()2log ,2,2,2,x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()()()3ff f -的值为 ．14.已知命题:P x R ∀∈，()22log 0x x a ++>恒成立，命题[]0:2,2Q x ∃∈-，使得022xa≤，若命题P Q∧为真命题，则实数a 的取值范围为 ．15.已知()222210x y a b a b +≤>>表示的区域为1D ，不等式组0,0,0,bx cy bc bx cy bc bx cy bc bx cy bc -+≥⎧⎪--≤⎪⎨+-≤⎪⎪++≥⎩表示的区域为2D ，其中()2220a b c c =+>，记1D 与2D 的公共区域为D ，且D 的面积S 为23，圆2234x y +=内切于区域D 的边界，则椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为 ．16.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为 米.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 满足11a =，134n n a a +=+，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）设()3log 22n n n a b a +=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量y 表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量x 表示，数据如下表： 特征量1 2 3 4 5 6 7 x98 88 96 91 90 92 96 y9.98.69.59.09.19.29.8（1）求y 关于x 的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；（2）利用（1）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；（3）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.附：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-.19. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的菱形，PD ⊥平面ABCD ，60BAD ∠=，2PD a =，O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点.（1）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；（2）若//PD 平面EAC ，三棱锥P EAD -的体积为183，求a 的值. 20. 已知动圆C 恒过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线12x =-相切.（1）求圆心C 的轨迹方程；（2）若过点()3,0P 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，直线OA ，OB （O 为坐标原点）分别交直线3x =-于点M ，N ，证明：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为定值. 21. 已知函数()()322316f x x a x ax =-++，a R ∈.（1）若对于任意的()0,x ∈+∞，()()6ln f x f x x +-≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）若1a >，设函数()f x 在区间[]1,2上的最大值、最小值分别为()M a 、()m a ，记()()()h a M a m a =-，求()h a 的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线11,2:322x t l y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的极坐标方程； （2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC ∆的面积. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=时，有a b c k ++≤成立.试卷答案一、选择题1-5:BCCCA 6-10:ACDDA 11、12：CB二、填空题13.2log 3 14.5,24⎛⎤⎥⎝⎦15.12或32 16.4062.5 三、解答题17.解：（1）由134n n a a +=+， 得()1232n n a a ++=+， 即1232n n a a ++=+，且123a +=,所以数列{}2n a +是以3为首项，3为公比的等比数列. 所以12333n n n a -+=⨯=，故数列{}n a 的通项公式为()*32n n a n N --∈.（2）由（1）知，23n n a +=，所以3log 333n n n n nb ==. 所以1231231233333n n nnT b b b b =++++=++++.① 234111231333333n n n n nT +-=+++++.② ①-②，得234211111333333n n T =+++++13n n += 11111331113223313nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-=--⋅-， 所以332323044343443n n n nn n T +=-=-⋅⋅⋅.故数列{}n b 的前n 项和323443n n n T +=-⋅. 18.解：（1）由题得，98889691909296937x ++++++==. 9.98.69.59.09.19.29.89.37y ++++++==.()()()()198939.99.3niii x x y y =--=-⨯-+∑()()()()88938.69.396939.59.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()91939.09.390939.19.3-⨯-+-⨯-+ ()()()()92939.29.396939.89.39.9-⨯-+-⨯-=()()()()22221989388939693nii x x =-=-+-+-∑()()()()2222919390939293969382+-+-+-+-=.所以()()()1219.90.1282niii nii x x y y b x x ==--==≈-∑∑. 9.30.1293 1.86a =-⨯=-.所以线性回归方程为0.12 1.86y x =-. （2）由于0.120b =>.所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.当95x =时，0.1295 1.869.5y =⨯-≈.（3）由于95分以下的分数有88，90，91，92，共4个，则从中任选两个的所有情况有()88,90，()88,91，()88,92，()90,91，()90,92，()91,92，共6种.则这两个人中至少有一个分数在90分以下的情况有()88,90，()88,91，()88,92，共3种. 故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率3162P ==.19.解：（1）因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PD AC ⊥. 又四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 又PDBD D =，所以AC ⊥平面PBD . 而AC ⊂平面EAC ， 所以平面EAC ⊥平面PBD .（2）因为//PD 平面EAC ，平面EAC平面PBD OE =.所以//PD OE .又O 为AC 与BD 的交点， 所以O 是BD 的中点，所以E 是PB 的中点. 因为四边形ABCD 是菱形，且60BAD ∠=， 所以取AD 的中点H ，连接BH ，可知BH AD ⊥，又因为PD ⊥平面ABCD ， 所以PD BH ⊥. 又PDPD D =，所以BH ⊥平面PAD . 由于AB a =，所以32BH a =. 因此E 到平面PAD 的距离11332224d BH a a ==⨯=， 所以3111332183332412P EAD E PAD PAD V V S d a a a a --∆==⨯=⨯⨯⨯⨯==. 解得6a =，故a 的值为6. 20.解：（1）由题意得，点C 与点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离始终等于点C 到直线12x =-的距离.因此由抛物线的定义，可知圆心C 的轨迹为以1,02⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，12x =-为准线的抛物线.所以122p =，即1p =. 所以圆心C 的轨迹方程为22y x =. （2）由圆心C 的轨迹方程为22y x =，可设()2112,2A t t ，()2222,2B t t ，()120t t ≠， 则()21323,2PA t t =-，()22223,2PB t t =-，由A ，P ，B 三点花线，可知()()2212232322320t t t t -⋅--⋅=，即()()()()22122231122312123223230230230t t t t t t t t t t t t t t t t --+=⇒-+-=⇒+-=.因为12t t ≠，所以1232t t =-. 又依题得，直线OA 的方程为11y x t =. 令3x =-，得133,M t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 同理可知133,N t ⎛⎫--⎪⎝⎭. 因此以MN 为直径的圆的方程可设为()()1233330x x y y t t ⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 化简得()22121233930x y y t t t t ⎛⎫+++++=⎪⎝⎭，即()()212212123930t t x y y t t t t +++++=. 将1232t t =-代入上式，可知()()22123260x y t t y ++-+-=， 在上式中令0y =，可知136x =-+，236x =--，因此以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长为12363626x x -=-+++=，为定值. 21.解：（1）因为()()()2616ln f x f x a x x +-=-+≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以()2ln 1xa x-+≥. 令()2ln x g x x =，0x >，则()'212ln x g x x -=. 令()'0g x =，则x e =.当()0,x e ∈时，()'0g x >，()g x 在区间()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0g x <，()g x 在区间(),e +∞上单调递减.所以()()max 12g x g e e==， 所以()112a e -+≥，即112a e≤--， 所以实数a 的取值范围为1,12e ⎛⎤-∞--⎥⎝⎦. （2）因为()()322316f x x a x ax =-++， 所以()131f a =-，()24f =.所以()()()()'2661661f x x a x a x x a =-++=--. 令()'0fx =，则1x =或a .①若513a <≤， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0fx >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f ≤，所以()()24M a f -=，()()323m a f a a a ==-+，所以()()()()32324334h a M a m a a a a a =-=--+=-+.因为()()'236320h a a a a a =-=-<，所以()h a 在区间51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以当51,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()h a 的最小值为58327h ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若523a <<， 当()1,x a ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,a 上单调递减；当(),2x a ∈时，()'0f x >，()f x 在区间(),2a 上单调递增.又因为()()12f f >，所以()()131M a f a =--，()()323m a f a a a -=-+.因为()()2'2363310h a a a a =-+=->， 所以()h a 在区间5,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增. 所以当5,23a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()58327h a h ⎛⎫>=⎪⎝⎭. ③若2a ≥， 当()1,2x ∈时，()'0f x <，()f x 在区间()1,2上单调递减，所以()()131M a f a ==-，()()24m a f -=.所以()()()31435h a M a m a a a =-=--=-，所以()h a 在区间[)2,+∞上的最小值为()21h =.综上所述，()h a 的最小值为827. 22.解：（1）将直线11,2:322x t l y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t ， 得3320x y ++-=，故直线l 的普通方程为3320x y ++-=.将曲线12cos ,:22sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=-⎩化为普通方程为()()22124x y -+-=， 即222410x y x y +--+=，将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，可得曲线C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ--+=.（2）由（1）可知，圆心()1,2C 到直线:3320l x y ++-=的距离为()23232331d ++-==+. 则222432AB R d =-=-=（R 为圆C 半径）. 所以1123322ABC S AB d ∆=⨯=⨯⨯=. 故所求ABC ∆面积为ABC ∆的面积为3.23.解：（1）由题知，()3,2,21,21,3. 1.x f x x x x -<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪>⎩所以()2f x ≥，即32,2x -≥⎧⎨<-⎩或212,21x x +≥⎧⎨-≤≤⎩或32,1.x ≥⎧⎨>⎩解得12x ≥. 故原不等式的解集为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （2）因为()21213f x x x x x =+--≤+-+=（当且仅当()()210x x +-≥时取等号）， 所以3k =，因此有3a b c ++=. 所以111a b c a b c ++=⋅+⋅+⋅111333322222a b c a b c +++++++≤++===（当且仅当1a b c ===时取等号）， 故不等式a b c k ++≤得证.。

衡水金卷2018届全国三大联考理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后,将答题卷交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合2{|540}M x x x =-+≤，{|24}xN x =>，则 ( ) A ．{|24}M N x x =<< B ．M N R =C ．{|24}MN x x =<≤D ．{|2}MN x x =>2. 记复数z 的虚部为Im()z ，已知复数5221iz i i =--（i 为虚数单位），则Im()z 为( ) A ．2 B ．-3 C ．3i - D ．33. 已知曲线32()3f x x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+( ) A ．12 B ．2 C ．35 D ． 38- 4. 2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( ) A ．27265mm π B ．236310mm π C.23635mm π D ．236320mm π5率A6A7A8cA9A1f下A1线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为 ( )A ．712612 B ．926+ C. 910+ D ．83261212.已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且0n a >，2*63,n n S a a n N =+∈，12(21)(21)nn n a n a a b +=--，若*,n n N k T ∀∈>恒成立，则k 的最小值是( ) A ．71 B ．149 C. 49 D ．8441第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13.已知在ABC ∆中，||||BC AB CB =-，(1,2)AB =，若边AB 的中点D 的坐标为(3,1)，点C 的坐标为(,2)t ，则t = ． 14. 已知*1()()2nx n N x-∈的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则64p q +的最小值为 ．15. 已知x ，y 满足3,,60,x y t x y π+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩其中2t π>，若sin()x y +的最大值与最小值分别为1，12，则实数t 的取值范围为 ．16.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bie nao ）.已知在鳖臑M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，2MA AB BC ===，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 ．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1（（求1且（（1的调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥0.050 0.010 0.001 0k3.8416.63510.82820. 已知椭圆C ：22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点分别为点1F ，2F ，其离心率为12，短轴长为3（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（四2（（请2在轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线lsin()34θ+=.（Ⅰ）当1t =时，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值； （Ⅱ）若曲线C 上的所有点都在直线l 的下方，求实数t 的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()21|1|f x x x =-++. （Ⅰ）解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）记函数()()|1|g x f x x =++的值域为M ，若t M ∈，证明：2313t t t+≥+.一1二、填空题13. 1 14. 16 15. 57[,]66ππ16. 2482ππ- 三、解答题17. 解：（1）原式可化为，21()cos 3sin cos 2f x x x =--，1cos 231sin 2222x x +=--， sin(2)sin(2)66x x ππ=-=--， 故其最小正周期22T ππ==，令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，即函数()f x 图象的对称轴方程为，()23k x k Z ππ=+∈. （2）由（1），知()sin(2)6f x x π=--， 因为02A π<<，所以52666A πππ-<-<. 又()sin(2)16f A A π=--=-，故得262A ππ-=，解得3A π=.由正弦定理及sin sin b C a A =，得29bc a ==. 故193sin 24ABCS bc A ∆==. 18.（1）当12λ=时，//CE 平面BDF . 证明如下：连接AC 交BD 于点G ，连接GF . ∵//,2CD AB AB CD =，∴12CG CD GA AB ==. ∵12EF FA =，∴12EF CG FA GA ==. ∴又∴（则∵∴∵∴又由则当∴∴设则令即设则sin |cos |CE n θ=<⋅>=1555=⨯. ∴当1λ=时，直线CE 与平面BDF 所成的角的正弦值为15. 19.解：（1）由列联表可知2K 的观测值，2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++2200(50405060) 2.020 2.07211090100100⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关. （2）①依题意，可知所抽取的5名女网民中，经常使用网络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用网络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 20. 解：（1）由已知，得12c a =，3b =，又222c a b =-， 故解得224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）由（1），知1(1,0)F -，如图，易所M联得所此同P此此故所若于又=所整即21250m +=，上述关于m 的方程显然没有实数解， 故四边形MNPQ 不可能是菱形.21.解：（1）由题意得'()(1)xf x e a =-+.当10a +≤，即1a ≤-时，'()0f x >，()f x 在R 内单调递增，没有极值. 当10a +>，即1a >-， 令'()0f x =，得ln(1)x a =+，当ln(1)x a <+时，'()0f x <，()f x 单调递减； 当ln(1)x a >+时，'()0f x >，()f x 单调递增，故当ln(1)x a =+时，()f x 取得最小值(ln(1))1(1)ln(1)f a a b a a +=+--++，无极大值. 综上所述，当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，没有极值；当1a >-时，()f x 在区间(,ln(1))a -∞+内单调递减，在区间(ln(1),)a ++∞内单调递增，()f x 的极小值为1(1)ln(1)a b a a +--++，无极大值.（2）由（1），知当1a ≤-时，()f x 在R 内单调递增，当1a =-时，(1)3024b a +=<成立. 当1a <-时，令c 为1-和11ba -+中较小的数，所以1c ≤-，且11bc a-≤+.则1x e e -≤，(1)(1)a c b -+≤--+.所以1()(1)(1)0xf c e a c b e b b -=-+-≤---<， 与()0f x ≥恒成立矛盾，应舍去.当1a >-时，min ()(ln(1))f x f a =+=1(1)ln(1)0a b a a +--++≥， 即1(1)ln(1)a a a b +-++≥，所以22(1)(1)(1)ln(1)a b a a a +≤+-++. 令22()ln (0)g x x x x x =->，则令令故在故即所所而所2曲当即（∴即∴又∴23.解：（1）依题意，得3,1,1()2,1,213,,2x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩于是得1,()333,x f x x ≤-⎧≤⇔⎨-≤⎩或11,223,x x ⎧-<<⎪⎨⎪-≤⎩或1,233,x x ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩ 解得11x -≤≤.即不等式()3f x ≤的解集为{|11}x x -≤≤.（2）()()|1|g x f x x =++=|21||22|x x -++≥|2122|3x x ---=， 当且仅当(21)(22)0x x -+≤时，取等号， ∴[3,)M =+∞.原不等式等价于2331t t t-+-，22233(3)(1)t t t t t t t-+--+==.∵t M ∈，∴30t -≥，210t +>.∴2(3)(1)0t t t-+≥. ∴2313t t t+≥+.高。

河北省衡水金卷2018年普通高等学校理数招生全国统一考试模拟试题（1）一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知为虚数单位，为实数，复数满足，若复数是纯虚数，则（）A.B.C.D.3.我国数学家邹元治利用下图证明了购股定理，该图中用勾和股分别表示直角三角形的两条直角边，用弦来表示斜边，现已知该图中勾为3，股为4，若从图中随机取一点，则此点不落在中间小正方形中的概率是（）A. B. C. D.4.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.B.C.D.5.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 在区间，∞内单调递增B. 在区间，∞内单调递减C. 是偶函数D. 是奇函数，且在区间，∞内单调递增6.的展开式中项的系数为（）A. -16B. 16C. 48D. -487.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A. B. C. D.8.若，则下列不等式不正确的是（）A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输出的值为11，则判断框中的条件可以是（）A. B. C. D.10.已知函数，的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数的图象重合，则（）A. B. C. D.11.已知抛物线的焦点为，过点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则的值为（）A. B. C. D.12.已知数列中，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A. ∞∞B. ∞∞C. ∞∞D.二、填空题13.已知向量，若向量与共线，则向量在向量放向上的投影为________．14.若实数满足则的最大值是________．15.过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为________．16.一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为________．三、解答题17.如图，在中，角所对的边分别为，若.（1）求角的大小；（2）若点在边上，且是∠的平分线，，求的长.18.如图，在三棱柱中，侧棱底面,且, 是棱的中点，点在侧棱上运动.（1）当是棱的中点时，求证：平面；（2）当直线与平面所成的角的正切值为时，求二面角的余弦值.19.第一届“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行,这是2017年我国重要的主场外交活动,对推动国际和地区合作具有重要意义.某高中政数处为了调查学生对“一带一络"的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测试,并从中随机抽取了12份问卷,得到其测试成绩(百分制),如茎叶图所示.（1）写出该样本的众数、中位数,若该校共有3000名学生,试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从所轴取的70分以上的学生中再随机选取4人.①记表示选取4人的成绩的平均数,求；②记表示测试成绩在80分以上的人数,求的分布列和数学期望.20.已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为，点在椭圆上，且的面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆交于不同的两点，若在轴上存在点，使得，求点的横坐标的取值范围.21.设函数为自然对数的底数.（1）若,且函数在区间∞内单调递增，求实数的取值范围；（2）若，试判断函数的零点个数.22.已知在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，以为极点，轴非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求直线的直角坐标方程和椭圆的参数方程；（2）设为椭圆上任意一点，求的最大值.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为，对任意不想等的正实数，证明：.答案解析部分1.【答案】D【考点】子集与交集、并集运算的转换【解析】【解答】由题意得集合，（），则，，故答案为：D.【分析】根据题意利用指数函数的单调性求出集合B，再借助数轴求解出交集和并集即可。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确. 故选D.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等. 10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11B. 10C. 9D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你妈三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1)由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占据了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料:市场份额(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额；(2)如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数(单位:天)统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元，当时，企业平均每天收人约为400万元;当时，企业平均每天收人约为700万元。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合，则（）A. B. C. D. ∅【答案】B【解析】故选2. 已知为虚数单位，复数的虚部为，则实数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】则故选3. 函数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，取得最大值为故选4. 如图，分别以为圆心，正方形的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设正方形的面积为，阴影部分由两个弓形构成，每个弓形的面积为故所求的概率为故选5. 已知为坐标原点，分别在双曲线第一象限和第二象限的渐近线上取点，若的正切值为，则双曲线离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为设一条渐近线的倾斜角为，斜率为则，或（舍去），故选6. 若点满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图：目标函数的几何意义是可行域内的点与连线长度的平方由图可知长度最小值为到的距离故选7. 按下面的程序框图，如果输入的，则输出的的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由程序框图可得：，时，时，时，故选8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一个对称中心是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，当时，得对称中心为故选9. 展开式中，项的系数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】两边求导得：两边同乘以得到：则原式故项的系数为故选10. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】把此三棱锥嵌入长宽高分别为：的长方体三棱锥即为所求的三棱锥其中，，，则，故可求得三棱锥各面面积分别为：，，，故表面积为三棱锥体积设内切球半径为，则故三棱锥内切球体积故选11. 已知函数是定义在内的奇函数，且满足，若在区间上，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，则故函数的周期为，函数是定义在内的奇函数，，故对，对，当时，所求原式故选点睛：本题考查了运用函数的奇偶性和周期性求值，利用已知条件先求出函数周期性，在求函数值时利用递推关系分别求出、、、的表达式，从而能够计算出最后结果，本题的关键是求出在周期性下的值。

5 5 ⎪ ⎩ 2 5 5 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合 M = {x | x 2- 2x < 0}, N = {y | y = 2x+1}，则 M ⋂ N = （ ）A ． (0,2)B ． (1,2)C ． (0,1)D ．∅2. 已知i 为虚数单位，复数 z =i (1+ ai ) 的虚部为 2 ，则实数 a = （ ） 1+ iA ．1B ． 2C ． 3D ． 43. 函数 y = cos 2x + 2 s in x 的最大值为（ ）A ．1 B ．1C ．3 D ． 2224. 如图，分别以 A , C 为圆心，正方形 ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）1 A ．B ．2π- 2 21 C.4y 2 - x 2 =π- 2D ．4> >5. 已知O 为坐标原点，分别在双曲线 a2 41(a b2 0, b 0) 第一象限和第二象限的渐近线上取点 M , N ，若∠MON 的正切值为 3，则双曲线离心率为（ ）5 5 A ．B ．C.D ．5243⎧x + 2 y ≥ 0 6. 若点(x , y ) 满足⎨ y ≤ 2x⎪x + y ≤ 3，则 x 2 + ( y - 2)2的最小值为（ ）4 1 A ．B ．C.D ．555533)7. 按下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3] ，则输出的 x 的取值范围为（ ）A ．[-3,4]B ．[-1,3] C. [-3,9] D ．[3,4]8. 将函数 f (x ) = sin x cos(x +π的图象向右平移π个单位，得到函数 g (x ) 的图象，则 g (x ) 图象的一个 33对称中心是（ ）π A. ( 6,0)π B. ( 3,0)πC. ( ,- )6 4πD ． ( ,-) 349. (x +1)5 (C 1 x + 2C 2 x 2+ +10C 10 x 10 ) 展开式中， x 7项的系数是（ ）101010A ． 50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510. 如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（ ）25π A ．425π B ．161125π C.41125π D ．1611. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 内的奇函数，且满足 f (2 - x ) =f (1+ 1) + f (2 + 1 ) + + f (8 + 1) = （ ）f (x ) ，若在区间(0,1] 上， f (x ) = 1，则 x1 2 8 31 31 35 35A.B ．C.D ．612612→→12. 过抛物线 y2= 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 交抛物线于点 A , B ，若 AF = λFB ，且1n n100 λ∈(1, 3 1) ) ，则 k 的取值范围是（ ）2A ． (1, 3)B. ( 3,2)C. (2,2 2) D ． ( 3,2 2)第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）→ → →13.ABCD 中，M 为线段 DC 的中点，AM 交 BD 于点Q ，若 AQ = λAD + μAC ，则λ+ μ= ．14. 命题 p ：若 x > 0 ，则 x > a ；命题 q ：若 m ≤ a - 2 ，则 m < sin x (x ∈ R ) 恒成立.若 p 的逆命题， q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是．15. 已知函数 f (x ) = a + x - ln x ，若 f (x ) 与 f '(x )（ f '(x ) 为 f (x ) 的导函数）的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是．π 16. 已知函数 f (x ) = sin ωx cos(ωx +ω> 0) 在区间(0, π) 内单调，且在区间(π,2π) 内恰有三条对称)(3 18轴，则ω的取值范围是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{a n }满足 a 1 = 2, a n a n -1 + a n - 2a n -1 = 0(n ≥ 2) .（1）求证：{1-a n} 是等比数列，且 a n < 2( 2n -1 - 1 2n +1 -1) +1；（2）设 S 为数列{a }的前 n 项和，若 m ∈ N *，且 m < S < m +1，求m 的值.18. 四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 为正方形， AA 1 ⊥ 平面 ABCD , M 为棱 DD 1 的中点， N 为棱 AD 的中点， Q 为棱 BB 1 的中点.（1） 证明：平面 MNQ // 平面C 1BD ；→ →（2） 若 AA 1 = 2 A B ，棱 A 1B 1 上有一点 P ，且 A 1P = λA 1B 1 (λ∈(0,1)) ，使得二面角 P - MN - Q 的余弦值为13 21 ，求λ的值.631n n∑x - n (x ) 119. 从2017 年1月份，某市街头出现共享单车，到6 月份，根据统计，市区所有人骑行过共享单车的人数已占60% ，骑行过共享单车的人数中，有35% 是大学生（含大中专及高职），该市区人口按500 万计算，大学生人数约120 万人.（1） 任选出一名大学生，求他（她）骑行过共享单车的概率；（2） 随单车投放数量增加，乱停乱放成为城市管理的问题，以下是累计投放单车数量 x 与乱停乱放单车数量 y 之间的关系图表：累计投放单车数量 x 100000 120000 150000 200000 230000 乱停乱放单车数量 y14001700230030003600①计算 y 关于 x 的线性回归方程（其中b ˆ 精确到0.0001, a ˆ 值保留三位有效数字），并预测当 x = 250000 时，单车乱停乱放的数量；②已知该市共有五个区，其中有两个区的单车乱停乱放数量超过标准.在“双创”活动中，检查组随机抽取三个区调查单车乱停乱放数量， X 表示“单车乱停乱放数量超过标准的区的个数”，求 X 的分布列和数学期望 E ( X ) .参考公式和数据：回归直线方程 y ˆ = b ˆx + a ˆ 中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为∑ x i y i - nxy ∑(x i - x )( y i - y ) 5 5 b ˆ = i =1 = i =1 , a ˆ = y - b ˆx . ∑ x y = 2117000000, ∑ x 2= 1398 ⨯108 . n 2 2 ii =1 ∑(x i i =1- x )2i i i =1 i i =120. 已知圆C 1 : (x +1)2 + y 2 = 1 ，圆C : (x -1)2 + y 2= 25 ，圆 M 与圆C 、C 都相内切.（1） 求圆心 M 的轨迹 E 的方程；（2） 若点Q 是轨迹 E 上的一点，求证： ∆QC 1C 2 中， ∠C 1QC 2 的外角平分线与曲线 E 相切.21. 已知函数 f (x ) = (x 2+ 2x +1)e - x，其中e 为自然对数的底数.（1）求函数 f (x ) 的单调区间；2 2 n⎩+ + ≥（2）求证： x > 0 时，[3x e - xf (x )]⋅(x - 3 + 3 + ln x ) ≥ 1 . x e请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为ρ2=⎧x = a cos ϕ 程为⎨ y = b sin ϕ（ a > 0, b > 0,ϕ为参数）.（1） 求 a 与b 的值；（2） 求椭圆C 上的点 M 到点 A (1,0) 距离的最小值.32 - cos 2θ，参数方23. 选修 4-5：不等式选讲已知 a , b , c ∈ R +.b 3c 3 a 3 (a 2 + b 2 + c 2 )2（1） 求证： ； a b c ab + bc + ac（2） 求函数 f (x ) = (ab + bc + ac )x 2- 2(a 2+ b 2+ c 2)x + b a + c 3 b + a 3 c的零点个数.3。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(五)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知，，，，故选A.2. 已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，则，故选D.3. 设为虚数单位，现有下列四个命题：：若复数满足，则；：复数的共轭复数为：已知复数，设，那么；：若表示复数的共轭复数，表示复数的模，则.其中的真命题为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】：若复数满足，，故正确；：，其共轭复数是，故错误；：由题意，可得，则，故错误；：设，则，故，所以正确，故选B.4. 在中心为的正六边形的电子游戏盘中(如图)，按下开关键后，电子弹从点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视，，，，，对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关，记事件为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件为“两次落入角孔的分数都为偶数”,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】事件包括：共种，而事件包括，共种，由题可得，，故选D.5. 某几何体的正视图与俯视图如图，则其侧视图可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由俯视图与正视图可知该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱，因此其侧视图为矩形内有一条虚线，虚线靠近矩形的左边部分，只有选项符合题意，故选B.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.6. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列，则的值为（）A. 8B. 10C. 12D. 16【答案】C【解析】最下层的“浮雕像”的数量为，依题有：公比，解得，则，，从而，故选C.7. 下列函数在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】选项中，函数为奇函数，但由，得该函数有无穷多个零点，故不单调；选项中，函数满足，故既不是奇函数又不是增函数；选项中，函数定义域是，并且，函数是奇函数，设，那么当时，，函数是增函数，由复合函数单调性知，函数是增函数；选项中，函数是奇函数且是减函数，故选C.8. 下面推理过程中使用了类比推理方法，其中推理正确的个数是①“数轴上两点间距离公式为，平面上两点间距离公式为”，类比推出“空间内两点间的距离公式为“；AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)②“代数运算中的完全平方公式”类比推出“向量中的运算仍成立“；③“平面内两不重合的直线不平行就相交”类比到空间“空间内两不重合的直线不平行就相交“也成立；④“圆上点处的切线方程为”，类比推出“椭圆上点处的切线方程为”.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，根据空间内两点间距离公式可知，类比正确；对于②，，类比正确；对于③，在空间不平行的两直线，有相交和异面情况两种情况，类比错误；对于④，椭圆上点处的切线方程为为真命题，综合上述，可知正确个数为个，故选C...................9. 已知直线与正切函数相邻两支曲线的交点的横坐标分别为，，且有，假设函数的两个不同的零点分别为，，若在区间内存在两个不同的实数，，与，调整顺序后，构成等差数列，则的值为（）A. B. C. 或或不存在 D. 或【答案】C【解析】由题意及，可知，又，得到，因此，令，，假设存在两个不同的实数，若使调整顺序后能组合成等差数列，设公差为，则有下列情况：①若与相邻，则，，不能相邻，否则，将超出范围. ②若与之间间隔一个数，设这个数为，则，经分析，数列为时，不成立，不妨设数列为，此时，当时，，不存在，当时，，也不存在. ③若与之间间隔两个数，即组成一个等差数列，，，，此时，构成等差数列，当时，，当时，，故选C.10. 已知抛物线的焦点为,双曲线的右焦点为，过点的直线与抛物线在第一象限的交点为，且抛物线在点处的切线与直线垂直，则的最大值为（ ）A.B. C.D. 2【答案】B【解析】由题可知抛物线的焦点为，过的直线方程为，联立方程组 ，，由题可知， ，（舍去），又由，因此，又由题可知，即得，又，当且仅当时，取等号，即，故选B.【易错点晴】本题主要考查抛物线、双曲线的方程与性质、导数的几何意义以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.11. 已知函数的导函数(其中为自然对数的底数)，且，为方程的两根，则函数，的值域为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，可设，则，，为方程的两根，，即得，即得，因此，从而，故，当时，，，，从而得到，即函数在区间上单调递增，，，故选C.12. 底面为菱形且侧棱垂直于底面的四棱柱中，，分别是，的中点,过点，，，的平面截直四棱柱，得到平面四边形，为的中点，且，当截面的面积取最大值时，的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由平面与平面平行，得与平行，同理可得与平行，截面四边形是平行四边形，又，可知截面四边形是菱形，因此，设，则，，由余弦定理得，可得，，又，当且仅当，即时，最大，此时也最大，并求得，，因此，故选C.【方法点晴】本题主要考查待直棱柱的性质与截面性质以及最值问题，属于难题.解决高中数学中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是用的这种思路，利用配方法求截面积最值的.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13∽21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22∽23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13. 已知函数,为的导函数，则的展开式中项的系数是__________．【答案】-540【解析】，其展开式中项的系数为，故答案为.【方法点晴】本题主要考查导数的求导法则以及二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.14. 已知向量，，向量，的夹角为，设，若，则的值为__________．【答案】【解析】由，有，即得，也就是，又，因此，从而得到，故答案为.15. 已知函数，，，，则关于的不等式的解集为__________．【答案】【解析】由，得，，，因此函数在区间上单调递增，，从而，令，故不等式的解集为，故答案为.16. 已知数列的通项公式为，数列为公比小于1的等比数列，且满足，，设，在数列中，若，则实数的取值范围为__________．【答案】【解析】在等比数列中，由，又，且公比小于，，因此，由，得到是取中最大值，是数列中的最小项，又单调递减，单调递增，当时，，即是数列中的最小项，则必须满足，即得，当时，，即，是数列中的最小项，则必须满足，即得，综上所述，实数的取值范围是，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数在半个周期内的图象的如图所示，为图象的最高点，，是图象与直线的交点，且.（1）求的值及函数的值域；（2）若，且，求的值.【答案】(1).（2）.【解析】试题分析：（1）利用辅助角公式化简函数解析式为.由，，可得，是等腰直角三角形.由点到直线的距离为，得函数的周期为，从而可得解析式，，进而可得函数的值域；（2）由，且，可求出的正弦值和余弦值，，利用两角和的正弦公式可得结果.试题解析：（1）函数化简得.因为，所以，所以，所以，所以是等腰直角三角形.又因为点到直线的距离为4，所以，所以函数的周期为16.所以，函数的值域是.（2）由（1），知因为，所以因为，所以，所以，所以.18. 如图所示的四棱锥中，底面为矩形，，的中点为,，异面直线与所成的角为，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值的大小.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）由已为矩形，可得为的中点.结合为的中点，根据三角形中位线定理可得，，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由（1）可知，所以或，先证明，可得，因为，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，平面的一个法向量为，再求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1）由已知为矩形，且，所以为的中点.又因为为的中点，所以在中，，又因为平面，平面，因此平面.（2）由（1）可知，所以异面直线与所成的角即为 (或的补角).所以或.设，在中，，，又由平面可知，且为中点，因此，此时，所以，所以为等边三角形，所以，即，因为，，两两垂直，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，.由，，，可得平面，可取平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，由令，所以.因此，又二面角为锐角，故二面角的余弦值为.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 207年8月8日晚我国四川九赛沟县发生了7.0级地震，为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识，某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座，事后并进行了测试（满分100分），根据测试成绩评定为“合格”（60分以上包含60分）、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”定为10分，“不合格”定为5分.现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：（1）求的值；（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10人进行座谈，现再从这10人中任选4人，记所选4人的量化总分为，求的分布列及数学期望；（3）设函数（其中表示的方差）是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当时，认定教育方案是有效的；否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）见解析.【解析】试题分析：（1）由频率分布直方图可求出，得分在的频率从而可得学生答卷数以及分在的频率，于是可得的值，又，进而可得的值；（2）抽取的人中“合格”有人，“不合格”有人，可取，，，，，根据组合知识，利用古典概型概率公式求出随机变量对应的概率，即可得分布列，利用期望公式可得结果；（3）利用（2）的结论，由方差公式求出，从而得，故需要调整安全教育方案.试题解析：（1）由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷数为，又由频率分布直方图可知，得分在的频率为0.2，所以.又，得，所以..（2）“合格”与“不合格”的人数比例为，因此抽取的10人中“合格”有6人，“不合格”有4人，所以有40，35，30，25，20共5种可能的取值.，，，，.的分布列为所以.（3）由（2）可得，所以.故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案.20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，点在椭圆上，且离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）动直线交椭圆于，两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段上一点，圆的半径为，且，求【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据点在椭圆上，且离心率为，结合性质，列出关于、、的方程组，求出、，即可得椭圆的标准方程；（2），联立方程，由韦达定理、弦长公式可得的值，从而可得，再利用两点间距离公式可得，于是，进而可得结果.试题解析：（1）因为在椭圆上，所以.又，联立方程组,故椭圆的标准方程为（2）设，，联立方程.由，得，且，，所以.由题意可知圆的半径.由题设知，因此直线的方程为.联立方程因此.所以.因为，所以，从而有，即得.因此的取值范围为.21. 已知函数，，其中为常数.（1）当，且时，求函数的单调区间及极值；（2）已知，，若函数有2个零点，有6个零点，试确定的值.【答案】（1）见解析.（2）.【解析】试题分析：（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据函数的单调性可得的极值；（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，设，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象可得，而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，可得,结合可得结果.试题解析：（1）因为，所以，令或（舍）.当时，，函数单调递减；时，，函数单调递增.因此的极小值为，无极大值.（2）若函数存在2个零点，则方程有2个不同的实根，设，则.令，得；令，得，或，所以在区间，内单调递减，在区间内单调递增，且当时，令，可得，所以，；，，因此函数的草图如图所示，所以的极小值为.由的图象可知.因为，所以令，得或，即或，而有6个零点，故方程与都有三个不同的解，所以，且，所以.又因为，，所以.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，若与的公共点为，且是曲线的中心，求的面积.【答案】（1），.（2）.【解析】试题分析：曲线的参数方程利用平方法消去参数，得其普通方程，将，代入普通方程并化简，可得其极坐标方程；（2）将代入极坐标方程可得，根据极径的几何意义利用韦达定理可得，再根据点到直线距离公式及三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由曲线的参数方程消去参数，得其普通方程为.将，代入上式并化简，得其极坐标方程为.（2）将代入得.得.设，，则，，所以.又由（1），知，且由（2）知直线的直角坐标方程为，所以到的距离是，所以的面积.【名师点晴】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，本题这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23. 选修4-5：不等式选讲已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）求函数的单调区间与最值.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）原不等式化为为，当时，对上式两边平方，利用一元二次不等式的解法求解，当时，原不等式的解集为空集，综合两种情况可得结果；（2）将函数化为分段函数形式由此可得函数的递减区间为，递增区间为，并且最小值为，无最大值.试题解析：（1）由于，即为，当时，对上式两边平方，得，即得，当时，原不等式的解集为空集，因此的解集为，（2）由题可知作图如下，由.由图易知函数的递减区间为，递增区间为，并且最小值为，无最大值.。

河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷一、单选题1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.2.设是虚数单位，若，，，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.3.已知等差数列的前项和是，且，则下列命题正确的是（）A. 是常数B. 是常数C. 是常数D. 是常数4.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A. B. C. D.5.已知点为双曲线：（，）的右焦点，直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.（）6.已知函数则-A. B. C. D.7.执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）8.已知函数（）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数的图象（）A.可由函数的图象向左平移个单位而得B.可由函数的图象向右平移个单位而得C.可由函数的图象向右平移个单位而得D.可由函数的图象向右平移个单位而得9.的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. B. C. D.10.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形是边长为1的正六边形，点为的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A. B. C. D.11.已知抛物线：的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（）A. 16B. 20C. 24D. 3212.若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间∞内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，∞，使成立，则实数的取值范围是（）A. ∞B. ∞C. ∞D. ∞二、填空题13.已知向量，，且，则________．14.已知，满足约束条件则目标函数的最小值为________．15.在等比数列中，，且与的等差中项为17，设，，则数列的前项和为________．16.如图，在直角梯形中，，，，点是线段上异于点，的动点，于点，将沿折起到的位置，并使，则五棱锥的体积的取值范围为________．三、解答题17.已知的内角，，的对边，，分别满足，，又点满足．（1）求及角的大小；（2）求的值．18.在四棱柱中，底面是正方形，且，∠∠°．（1）求证：；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为．19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗．2018年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；②若，则，．20.已知椭圆：的离心率为，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆相交于，两点，在轴上是否存在点，使直线与的斜率之和为定值？若存在，求出点坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）若函数在区间上是单调函数，试求实数的取值范围；（2）已知函数，且，若函数在区间上恰有3个零点，求实数的取值范围．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，是大于0的常数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求圆的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（2）分别记直线：，与圆、圆的异于原点的焦点为，，若圆与圆外切，试求实数的值及线段的长．23.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若正数，满足，求证：．答案解析部分1.【答案】C【考点】并集及其运算，交集及其运算，一元二次不等式的解法，指、对数不等式的解法【解析】【解答】集合，故，集合表示非负的偶数，故，故答案为：C.【分析】先解二次不等式和指数不等式求出集合，再进行交并运算.2.【答案】A【考点】复数的基本概念，复数相等的充要条件【解析】【解答】，根据两复数相等的充要条件得，即，其共轭复数为.故答案为：A.【分析】对于复数方程，根据两复数相等的充要条件求出复数，再求共轭复数.3.【答案】D【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和【解析】【解答】，为常数，故答案为：D.【分析】根据数列的性质，由已知条件求出a5+a6，再用前n项和公式求解.4.【答案】A【考点】几何概型【解析】【解答】由七巧板的构造可知，，故黑色部分的面积与梯形的面积相等，则所求的概率为.故答案为：A.【分析】几何概型，选择面积作为测度，面积比就是概率,5.【答案】D【考点】双曲线的标准方程，双曲线的简单性质【解析】【解答】由，解得点，又，则的中点坐标为，于是，，则，解得或（舍去）。

（河北省衡水金卷一模）2018届高三毕业班模拟演练数学（理）（附答案）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷（选择题）一、单选题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．已知,为虚数单位，若复数为纯虚数，则的值为（）A. B. 2 C. -2 D. 03．已知等比数列中，，，则（）A. B. -8 C. 8 D. 164．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据.若从这12个月份中任意选3个月的数据进行分析，则这3个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（）A. B. C. D.5．我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛（如图所示），上底宽2丈，长3丈；下底宽3丈，长4丈；高3丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为（）A. 13.25立方丈B. 26.5立方丈C. 53立方丈D. 106立方丈6．已知偶函数在区间上单调递增，且，，，则满足（）A. B.C. D.7．某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（）A. B. C. D.8．若运行如图所示的程序框图，输出的的值为127，则输入的正整数的所有可能取值的个数为（ ）A. 8B. 3C. 2D. 19．已知点分别在正方形的边上运动，且，设，，若，则的最大值为（ ）A. 2B. 4C.D.10．已知函数，将的图象向右平移个单位，所得函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）A. B. C. D.11．若函数满足：①的图象是中心对称图形；②若时，图象上的点到其对称中心的距离不超过一个正数，则称是区间上的“对称函数”.若函数是区间上的“对称函数”，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12．已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的横坐标的取值范围为（）A. B.C. D.第II卷（非选择题）二、填空题13．已知，则__________．14．已知抛物线的焦点坐标为，则抛物线与直线所围成的封闭图形的面积为__________．15．已知实数满足不等式组则目标函数的最大值与最小值之和为__________．16．在中，为的中点，与互为余角，，，则的值为__________．三、解答题17．已知数列的前项和恰好与的展开式中含项的系数相等.（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求.18．在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．春节过后，某市教育局从全市高中生中抽去了100人，调查了他们的压岁钱收入情况，按照金额（单位：百元）分成了以下几组：，，，，，.统计结果如下表所示：该市高中生压岁钱收入可以认为服从正态分布，用样本平均数（每组数据取区间的中点值）作为的估计值.（1）求样本平均数；（2）求；（3）某文化公司赞助了市教育局的这次社会调查活动，并针对该市的高中生制定了赠送“读书卡”的活动，赠送方式为：压岁钱低于的获赠两次读书卡，压岁钱不低于的获赠一次读书卡.已知每次赠送的读书卡张数及对应的概率如下表所示：现从该市高中生中随机抽取一人，记（单位：张）为该名高中生获赠的读书卡的张数，求的分布列及数学期望.参考数据：若，则，.20．已知椭圆的上顶点为点，右焦点为.延长交椭圆于点，且满足.（1）试求椭圆的标准方程；（2）过点作与轴不重合的直线和椭圆交于两点，设椭圆的左顶点为点，且直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，则与之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，试说明理由.21．已知函数.（1）若函数恰有一个零点，求实数的取值范围；（2）设关于的方程的两个不等实根，求证：（其中为自然对数的底数）.22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值23．选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范数学（理）答案1．A【解析】集合集合,则,故选A.点睛:(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.2．B【解析】复数为纯虚数，则,解得x=2,故选B.3．C【解析】由题意可得, ,又同号,所以,则,故选C.4．D【解析】由图知,7月,8月,11月的利润不低于40万元,故所求概率为,故选D.5．B【解析】分析：根据题意，把有关数据代入公式，即可求出刍童的体积.详解：由算法可知，刍童的体积，立方长,\故选：B点睛：本题解题的关键是理解题意，利用题目提供的各个数据代入公式即可.6．D【解析】,故, 又,故,故选D.7．C【解析】若几何体为两个圆锥体的组合体,则俯视图为A;若几何体为四棱锥与圆锥的组合体,则俯视图为B;若几何体为两个四棱锥的组合体,则俯视图为D;不可能为C,故选C.点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.8．B【解析】令,可得n=7,故输入n=7符合,当输入的n满足n>7时,输出的结果总是大于127,不合题意,当输入n=6,5,4时,输出的n值分别为,均不合题意,当输入n=3或n=2时,输出的n=127符合题意,当输入n=1时,将进入死循环不符,故输入的所有的n的可能取值为2,3,7,共3个,故选B.点睛:本题考查程序框图的应用,属于中档题.算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．C【解析】,又因为,,当且仅当x=y时取等号,,即的最大值为,故选C.10．A【解析】由题意得=,则,由图知,则,由,得,解得的值为,故选A.11．A【解析】函数的图象可由的图象向左平移1个单位,再向上平移m个单位得到,故函数f(x)的图象关于点A(-1,m)对称,如图所示,由图可知,当时,点A到函数f(x)图象上的点(-4,m-27)或(2,m+27)的距离最大,最大距离为,根据条件只需,故,应选A.12．A【解析】由题易知四边形PAOB为平行四边形,且不妨设双曲线C的渐近线,设点P(m,n),则直线PB的方程为y-n=b(x-m),且点P到OB的距离为,由,解得,又,又,,双曲线C的方程为,即,又,解得或,所以点P的横坐标m的取值范围为,故选A.13．【解析】=,故填.14．【解析】抛物线的标准方程为,由得或,图形面积,故填.15．【解析】令t=2x,则x=,原可行域等价于,作出可行域如图所示,经计算得的几何意义是点P(t,y)到原点O的距离d的平方,由图可知,当点P与点C重合时,d取最大值;d的最小值为点O到直线AB:t-y-1=0的距离,故,所以的最大值与最小值之和为,故填.点睛: 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值16．或【解析】设,则由+可知,为的中点，,即,由正弦定理得或,当A=B时,AC=BC, ,当时,,在△ACD中,,综上可得,的值为或.17．(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据数列的前项和等于展开式中含项的系数,以及的关系,求出数列的通项公式;(2)由(1)求出,根据裂项相消法得出结果.试题解析:（1）依题意得，故当时，，又当时，，也适合上式，故.（2）由（1）得，故.18．(1)见解析(2)【解析】试题分析: (1) 当时，点是的中点,由已知证出,根据面面垂直的性质定理证得平面,进而证得结论;(2) 以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.写出各点坐标,求出平面的法向量,根据线面角的公式求出结果.试题解析:（1）当时，点是的中点.∴，.∵，∴∵，，，∴.∴.又平面平面，平面平面，平面，∴平面.∵平面，∴.（2）以为原点，的方向为轴，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系.则，，.取的中点，∵，∴，∴ 易证得平面，∵，∴，∴.∴，，.设平面的一个法向量为，则令，则.设与平面所成的角为，则，解得或（舍去）∴存在实数，使得与平面所成的角的正弦值为，此时.19．(1)68.5(2)0.8185（3）【解析】试题分析:(1)根据表中数据以及平均数公式代入计算即可;(2) 由（1）得的值,根据概率的计算公式计算即可;(3) 的所有可能取值为1,2,3,4,分别求出概率写出分布列,并求出期望即可.试题解析:（1），（2）由（1）得，.∴.（3）易知.∴的所有可能取值为1,2,3,4.；；；.∴的分布列为∴.20．(1) (2) 与之积为定值，且该定值是【解析】试题分析:(1)，可得,将坐标代入求出点E,代入椭圆方程,结合焦点坐标可得椭圆方程;(2) 设，,设出直线AB的方程,与椭圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程并写出韦达定理,根据三点共线得出M,N的坐标,求出与之积得出定值.试题解析:（1）椭圆的上顶点为，右焦点，点的坐标为.∵，可得，又，，∴代入可得，又，解得，，即椭圆的标准方程为.（2）设，，，，.由题意可设直线的方程为，联立消去，得，∴根据三点共线，可得，∴.同理可得，∴的坐标分别为，，∴.∴与之积为定值，且该定值是.点睛: 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21．(1) (2)见解析【解析】试题分析:(1)求出函数的定义域和导函数,对参数m进行讨论得出函数的单调性,根据零点存在性定理判断零点的个数,求出m的取值范围;(2) 记函数，，则函数的两个相异零点为,将零点代入写出方程,并对两式相加和相减,再利用分析法以及变量集中构造新函数,并利用导数求最值的方法证得命题成立.试题解析（1）由题意知的定义域为，且.①当时，，在区间上单调递增，又，，∴，即函数在区间有唯一零点；②当时，，令，得.又易知函数在区间上单调递增，∴恰有一个零点.③当时，令，得，在区间上，，函数单调递增；在区间上，，函数单调递减，故当时，取得极大值，且极大值为，无极小值.若恰有一个零点，则，解得，综上所述，实数的取值范围为.（2）记函数，，则函数的两个相异零点为不妨设，∵，，∴，，两式相减得，两式相加得.∵，∴要证，即证，只需证，只需证，即证，设，则上式转化为，设，∴在区间上单调递增，∴，∴，即，即.点睛:本题考查函数的应用,利用导数解决函数的零点以及函数的单调性,最值和不等式的证明等问题. 本题也考查了零点存在性定理的应用,如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间[a,b]内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的实数根.但是反之不一定成立.22．(1) (2)【解析】试题分析:(1)根据极坐标与普通方程的互化公式求出直线的直角坐标方程,消参得出圆的普通方程, 直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离,即可求出范围;(2)将直线的参数方程代入曲线方程,根据t的几何意义求值即可.试题解析:（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为.由得所以圆的普通方程为.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为.（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故.23．（1）（2）【解析】分析：(1)讨论x的取值范围，把不等式转化为三个不等式组，分别求解集，最后取并集；（2）对于任意的，都存在，使得成立即的值域为值域的子集.详解：（1）依题意，得由，得或或解得.即不等式的解集为.（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为.点睛：|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)(c＞0)，|x－a|－|x－b|≤c(或≤c)(c＞0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解．(1)零点分区间法的一般步骤①令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；③由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；④取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．(2)利用绝对值的几何意义由于|x－a|＋|x－b|与|x－a|－|x－b|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)或|x－a|－|x－b|≥c(c＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观。

衡水金卷2018届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟（调研卷）（五）理综物理试题二、选择题：共8小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分14．如图所示，平行板电容器充电后与电源断开，正极板接地，静电计的金属球与电容器的负极板连接，外壳接地，以E 表示两极板间的场强，θ表示静电计指针的偏角，各物理量的变化情况正确的是A 将平行板电容器的正极板向右移动，E 变小，θ变大B 将平行板电容器的正极板向右移动，E 不变，θ变小C 将平行板电容器的正极板向左移动，E 变大，θ变大D 将平行板电容器的正极板向左移动，E 变小，θ变小14．B 【解析】电量为定值，将平行板电容器的正极板向右移动，由电容的决定式4S C kdεπ=，两极板间距离d 减小，C 增大，4QU kQ C E d d Sπε===，可见E 与两板间距离无关，而两板间电压Q U C=，可见电压变小，θ减小，可知B 正确； 15．某静电场中x 轴上电场强度E 随x 变化的关系图像如图所示，设x 轴正方向为电场强度的正方向，一带电量为q 的粒子从坐标原点O 沿x 轴正方向运动，结果了自刚好能运动到x=3x 0处，，不计粒子所受重力，00E x 、已知，则下列说法正确的是A ．粒子一定带负电B ．粒子初动能大小为00qE xC ．粒子沿x 轴正方向运动过程中电势能先增大后减小D ．粒子沿x 轴正方向运动过程中最大动能为002qE x15．D 【解析】如果粒子带负电，粒子在电场中一定先做减速运动后做加速运动，因此03x x =处的速度不可能为零，因此粒子一定带正电，A 错误；根据动能定理可得000001122022k qE x qE x E -⨯⋅=-，可得00032k E qE x =，B 错误；粒子向右运动的过程中电场力先做正功后做负功，因此电势能先减小后增大，C 错误；粒子运动到0x 处动能最大，根据动能定理有002km E qE x =，解得00012km k qE x E E =-，D 正确；16．如图所示，一个“V”型槽的左侧挡板A 竖直，右侧挡板B 为斜面，槽内嵌有一个质量为m 的光滑球C ，“V”型槽在水平面上由静止开始向右做加速度不断减小的直线运动的一小段时间内，设挡板A 、B 对球的弹力分别为12F F 、，下列说法正确的是A ．12F F 、都逐渐增大B ．12F F 、都逐渐减小C ．1F 逐渐减小，2F 逐渐增大D ．12F F 、的合力逐渐减小16．D 【解析】光滑球C 受力情况如图所示2F 的竖直分力与重力相平衡，所以2F 不变，1F 与2F 水平分力的合力等于ma ， 在V 型槽在水平面上由静止开始向右做加速度不断减小的直线运动的一小段时间内，加速度不断减小，由牛顿第二定律可知1F 逐渐减小，12FF 、的合力逐渐减小，故D 正确；17．如图所示，质量为m 的A 球以速度0v 在光滑水平面上运动，与原静止的质量为4m 的B 球碰撞，碰撞后A 球以0v av =（待定系数1a <）的速率弹回，并与挡板P 发生完全弹性碰撞，若要使A 球能追上B 球再相撞，则a 的取值范围为A ．1153a <<B ．1233a <<C ．1235a <<D ．1335a <≤ 17．D 【解析】A 、B 碰撞过程动量守恒，以0v 方向为正方向有00A A B B m v m av m v =-+，A 与挡板P 碰撞后能追上B 发生再碰撞的条件是0B av v >，解得13a <；碰撞过程中损失的机械能 22200111[()]0222k A A B B E m v m av m v ∆=-+≥，解得35a ≤，故1335a <≤，D 正确； 18．军用卫星指的是用于各种军事目的人造地球卫星，在现代战争中大显身手，作用越来越重要，一颗军事卫星在距离地面高度为地球半径的圆形轨道上运行，卫星轨道平面与赤道平面重合，侦察信息通过无线电传输方式发送到位于赤道上的地面接收站，已知人造地球卫星的最小周期约为85min ，则下列判断正确的是A ．该军事卫星的周期约480minB ．该军事卫星的运行速度约为7km/sC ．该军事卫星连续两次通过接收站正上方的时间间隔约为576minD ．地面接收站能连续接收的信息的时间约为96min18．D 【解析】对于该军事卫星和近地卫星，由开普勒第三定律可知3200min2()()R T R T =，解得min 240minT =≈，A 错误；卫星运行的速度5.6/v km s ===≈，B 错误；该军事卫星连续2次通过接收站正上方，由几何关系可知110222t t T T πππ-=，解得1288min t =，C 错误；设卫星在12A A 、位置接收站恰好能接收到信息，由几何关系可知1122==3AOB A OB π∠∠，2202223t t T T πππ+⋅=⋅，解得()02096min 3TT t T T ==-，D 正确；19．1831年10月28日，法拉第在一次会议上展示了他发明的人类历史上第一台圆盘发电机，如图乙所示为这个圆盘发电机的示意图，铜圆盘安装在铜轴上，它的边缘正好在两磁极之间，两铜片C 、D 分别与转轴和铜盘的边缘接触，使铜盘转动，电阻R 中就有电流，设铜盘的半径为r ，转动角速度为ω，转动方向如图乙所示（从左向右看为顺时针方向），两磁极间磁场为匀强磁场，磁感应强度为B ，则下列说法正确的是A ．电阻R 中的电流方向从上到下B ．电阻R 中的电流方向从下到上C ．圆盘转动产生的感应电动势为2Br ωD ．圆盘转动产生的感应电动势为212Br ω 19．BD 【解析】由右手定则可知圆盘转动产生的电流方向在圆盘内从C 向D ，电阻R 中的电流方向从下到上，A 错误；圆盘转动产生的感应电动势为212E Brv Br ω==，C 错误D 正确；20．将如图所示的交变电压加在变压比为4：1的理想变压器的原线圈两端，已知副线圈接阻值R=11Ω的定值电阻，则下列说法正确的是A 交变电压的频率为50HzB 该理想变压器的输入功率为输出功率的4倍C 副线圈两点电压的有效值为55VD 流过原线圈的电流大小为1.25A20．ACD 【解析】由图像可知交流电的周期为T=0.02s ，则其频率为150f Hz T==，A 正确；理想变压器的输入功率和输出功率相等，B 错误；由图像可知交流电的电压的最大值为311V ，所以输入的电压的有效值为1220U V =≈，根据电压与匝数成正比可知副线圈电压的有效值为55V ，C 正确；对副线圈由2U I R =可解得255511I A A ==，又由1221n I n I =可得212115 1.254n I I A n ==⨯=，D 正确；21．如图所示，竖直平面内有一固定的光滑轨道ABCD ，其中倾角θ=37°的斜面AB 与半径为R 的圆弧轨道平滑相切于B 点，CD 为竖直直径，O 为圆心，质量为m 的小球（可视为质点）从与B 点高度差为h 的斜面上的A 点处由静止释放，重力加速度大小为g ，sin 370.6cos370.8︒=︒=，，则下列说法正确的是A ．当h=2R 时，小球过C 点时对轨道的压力大小为275mg B ．当h=2R 时，小球会从D 点离开圆弧轨道作平抛运动C ．调整h 的值，小球能从D 点离开圆弧轨道，但一定不能恰好落在B 点D ．调整h 的值，小球能从D 点离开圆弧轨道，并能恰好落在B 点21．AC 【解析】当h=2R 时，从A 点到C 点的过程，根据机械能守恒可得21(cos )2C mg h R R mv θ+-=，过C 点时有2C N v F mg m R-=，解得275N F mg =，根据牛顿第三定律可知小球过C 点时对轨道的压力大小为275mg ，A 正确；若小球恰好从D 点离开圆弧轨道，则20v mg m R =，2001(cos )2mg h R R mv θ--=，解得0v =，0 2.32h R R =>，所以当h=2R 时，小球在运动到D 点前已经脱离轨道，不会从D 点做平抛运动，B 错误；若小球以速度0v 从D点离开后做平抛运动，由201cos 2R R gt θ+=解得0t =000x v t ==>，C 正确D 错误；三、非选择题：包括必考题和选考题两部分（一）必考题22．在实验室中用螺旋测微器测量金属丝的直径，螺旋测微器的读数部分如图甲所示，由图可知，金属丝的直径为_______mm ，某改进型游标卡尺，当两脚并拢时主尺刻度（上）与游标尺刻度（下）如图乙所示，主尺单位为cm ，当测量某物体长度时，如图并所示，则该物体长为_________cm 。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则图中阴影部分所表示集合为A. B. C. D. ﹛或﹜【答案】B【解析】集合，，所以，阴影部分表示的是，选B.2.已知复数，（，为虚数单位），若，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】，由已知有，所以，解出，选C.3.已知函数的图象关于原点对称，且在区间上单调递减，最小值为，则在区间上A. 单调递增，最大值为B. 单调递减，最小值为C. 单调递减，最大值为D. 单调递减，最小值为【答案】C【解析】由已知有函数是奇函数，且在区间上为减函数，且最小值为，根据函数图象的对称性知，函数在区间上为减函数，且最小值为，选C.点睛：本题主要考查函数的奇偶性、单调性和最值等基本性质，奇函数在关于原点对称的区间上的单调性等，属于基础题。

4.已知直线与，轴的正半轴分别交于点，，与直线交于点，若（为坐标原点），则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】在直线中，令得，即，令，得，即，联立，解得，所以，因为，所以，，所以，选C.5.已知，，，，则A. B. C. D.【答案】A【解析】，而，，所以，选A.6.已知，则点在直线的右下方是是双曲线的离心率的取值范围为的( )A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当点在直线的右下方时，则，所以双曲线的离心率；反过来，当双曲线的离心率的取值范围为时，由知，所以点在直线的右下方，故点在直线的右下方是双曲线的离心率的取值范围为的充要条件。

选A.7.已知、是两个不同的平面，给出下列四个条件：①存在一条直线，，；②存在一个平面，，；③存在两条平行直线、，，， ，；④存在两条异面直线、，，，，，可以推出的是( )A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③ 【答案】C 【解析】对于②，平面与还可以相交；对于③， 当时，不一定能推出，所以②③是错误的，易知①④正确， 故选C. 8.已知直线与函数图象的相邻两个交点间的距离为，点在函数的图像上，则函数的单调递减区间为A. B.C. D.【答案】D 【解析】 由已知有函数的周期为6，所以，又点在函数的图象上，所以，又，所以，，令，解得，故函数 的单调递减区间为，选D.9.在如图所求的程序框图中，若输出的值为，则输入的的取值范围为A. B. C. D.【答案】D 【解析】 设输入的，第一次执行循环体，，不满足，第二次执行循环体，，不满足，第三次执行循环体，，不满足，第四次执行循环体，，满足，所以有，解得，选D.10.已知某几何体的三视图如图所求，则该几何体的表面积为A. B.C. D.【答案】A【解析】由三视图知，该几何体是将一个圆锥挖掉一个正四棱锥后的几何体，圆锥的底面半径为，高为，母线长为，正四棱锥的底面边长为的正方形，高为，所以该几何体的表面积为，选A.11.甲、乙两人各自在米长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过米的概率是A. B. C. D.【答案】C【解析】设甲、乙两人跑的路程分别为，则有，表示区域如图正方形OABC，面积为，相距不超过50m满足，表示的区域如图阴影部分，面积为，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50米的概率为，选C.点睛：本题主要考查了几何概型，属于中档题。

金卷 2018 届全国高三大联考理科第Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则 ( )A.B.C.D.【答案】C【解析】.所以,.故选 C.2. 记复数的虚部为，已知复数（为虚数单位），则 为( )A. 2 B. -3 C. D. 3【答案】B【解析】.故的虚部为-3，即.故选 B.3. 已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则( )A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】由，得，故.故选 C.4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意，可估计军旗的面积大约是. 故选 B.5. 已知双曲线 ：的渐近线经过圆 ：的圆心，则双曲线 的离心率为( )A.B.C. 2 D.【答案】A【解析】圆 ：的圆心为 ，双曲线 的渐近线为 .依题意得 .故其离心率为.故选 A.6. 已知数列 为等比数列，且，则()A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意，得，所以 .由 ,得 ，或 （由于 与 同号，故舍去）.所以..故选 A.7. 执行如图的程序框图，若输出的 的值为-10，则①中应填()A.B.C.D.【答案】C【解析】由图，可知.故①中应填 .故选 C.8. 已知函数 为 的奇函数，且当 时，，记，， ，则 ， ， 间的大小关系是( )A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意得，令.则为 的偶函数，当 时，.所以 在 单调递减.又，，.故 ，选 D.9. 已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体积.故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10. 已知函数的部分图象如图所示，其中 .记命题 ：，命题 ：将 的图象向右平移 个单位，得到函数的图象.则以下判断正确的是()A. 为真 B. 为假 C.为真 D.为真【答案】D【解析】由 ，可得 因为 ，所以.解得 . ，故 为真命题；将 图象所有点向右平移 个单位，.............................. 所以 为假， 为真，为假，为真.故选 D.11. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为 ( )A.B.C.D.【答案】B【解析】令 ，得 ，即 .由抛物线的光学性质可知 经过焦点 ，设直线 的方程为，代入 .消去 ，得.则 ，所以..将 代入 得 ，故 .故.故 的周长为.故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12. 已知数列 与 的前 项和分别为 ， ，且 ，，，若恒成立，则 的最小值是( )A. B. C. 49 D.【答案】B【解析】当 时，，解得由 得 .由，得两式相减得.所以.因为 ，所以.或. .即数列 是以 3 为首项，3 为公差的等差数列，所以 .所以.所以.要使恒成立，只需 .故选 B.点睛：由 和 求通项公式的一般方法为.数列求和的常用方法有：公式法；分组求和；错位相减法；倒序相加法；裂项相消法；并项求和.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分.13. 已知在 中，，，若边 的中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 __________．【答案】1【解析】依题意，得，故 是以 为底边的等腰三角形，故，所以.所以 .14. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为 ， ，则 的最小值为__________．【答案】16【解析】显然 .令 ，得 .所以.当且仅当 .即 时，取等号，此时的最小值为 16.15. 已知 ， 满足其中 ，若的最大值与最小值分别为 ， ，则实数的取值围为__________． 【答案】 【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设 ，作出直线，当直线过点 时， 取得最小值 ；当直线过点 时， 取得最大值 .即，当 或 时，.当 时，.所以，解得.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥 称之为鳖臑（bie nao）.已知在鳖臑 中， 平面 ，，则该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为 __________． 【答案】 【解析】设 的中点为 ，如图，由，且 为直角三角形，得.由等体积法，知.即，解得 .故该鳖臑的外接球与切球的表面积之和为.三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知函数，.（Ⅰ）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（Ⅱ）在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知，，，求 的面积.【答案】（1）最小正周期，对称轴方程为；（2） .【解析】试题分析：（1）化简函数得，其最小正周期，令即可解得对称轴；（2）由，解得 ，由正弦定理及，得，利用即可得解.试题解析：（1）原式可化为，，，，故其最小正周期，令，解得，即函数 图象的对称轴方程为，.（2）由（1），知，因为 ，所以.又，故得，解得 .由正弦定理及，得.故.18. 如图，在四棱锥中，底面 为直角梯形，其中，侧面 平面 ，且，动点 在棱 上，且.（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 通过证得 ，即可证得 平面 ；（2）取 的中点 ,连接 ，可得两两垂直，建立空间直角坐标系，设 与平面 所成的角为 ，则， 为平面 的一个法向量.试题解析：（1）当 时， 平面 .证明如下：连接 交 于点 ，连接 .∵，∴.∵，∴.∴.又∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面 .（2）取 的中点 ,连接 .则.∵平面 平面 ，平面 平面，且，∴ 平面 .∵ ，且，∴四边形 为平行四边形，∴ .又∵，∴ .由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则，，，，，.当 时，有 ，∴可得 .∴，，.设平面 的一个法向量为，则有即令 ，得 ， .即.设 与平面 所成的角为 ，则.∴当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网 购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一 部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借 助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网 民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率②将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差.参考公式：，其中.参考数据：【答案】（1）见解析；（2）① ，②见解析. 【解析】试题分析：（1）计算 的值，进而可查表下结论；（2）①由分层抽样的抽样比计算即可；②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 ，由题意得.试题解析：（1）由列联表可知 的观测值，.所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.（2）①依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有（人），偶尔或不用网络外卖的有（人）.则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为.②由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .由题意得，所以；.20. 已知椭圆 ：的左、右焦点分别为点 ， ，其离心率为 ，短轴长为 .（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且 ，证明：四边形 不可能是菱形.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ， 及，可得方程；（2）易知直线 不能平行于 轴，所以令直线 的方程为与椭圆联立得，令直线 的方程为，可得，进而由 是菱形，则，即，于是有由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得 ， ，又，故解得，所以椭圆 的标准方程为.（2）由（1），知 ，如图，易知直线 不能平行于 轴.所以令直线 的方程为，，.联立方程，得，所以，.此时，同理，令直线 的方程为，，，此时，，此时.故.所以四边形 是平行四边形.若 是菱形，则，即，于是有.又，，所以有，整理得到，即，上述关于 的方程显然没有实数解，故四边形 不可能是菱形.21. 已知函数，其中 为自然对数的底数.（Ⅰ）讨论函数 的单调性及极值；（Ⅱ）若不等式 在 恒成立，求证： .【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得，讨论和 演技单调性及极值即可；（2）当 时， 在 单调递增，可知 在 不恒成立，当 时，，即，所以.令，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得.当 ，即 时， ， 在 单调递增，没有极值.当 ，即 ，令 ，得，当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增，故当时， 取得最小值，无极大值.综上所述，当 时， 在 单调递增，没有极值；当 时， 在区间单调递减，在区间单调递增， 的极小值为，无极大值.（2）由（1），知当 时， 在 单调递增，当 时，成立.当 时，令 为 和 中较小的数，所以 ，且 .则，.所以，与 恒成立矛盾，应舍去.当 时，，即，所以.令，则.令 ，得，令 ，得 ，故 在区间 单调递增，在区间 单调递减.故，即当时，.所以.所以 .而，所以 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若 恒成立；（3）若恒成立，可转化为请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为（ ， 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）当 时，求曲线 上的点到直线的距离的最大值；（Ⅱ）若曲线 上的所有点都在直线的下方，数的取值围.【答案】（1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程化为普通方程，进而由圆的参数方程得曲线 上的点到直线的距离，，利用三角函数求最值即可；（2）曲线 上的所有点均在直线的下方，即为对 ，有恒成立，即（其中 ）恒成立，进而得.试题解析：（1）直线的直角坐标方程为.曲线 上的点到直线的距离，，当时，，即曲线 上的点到直线的距离的最大值为 .（2）∵曲线 上的所有点均在直线的下方，∴对 ，有恒成立，即（其中 ）恒成立，∴.又 ，∴解得，∴实数的取值围为 .23. 选修 4-5：不等式选讲已知函数.（Ⅰ）解不等式 ；（Ⅱ）记函数的值域为 ，若 ，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）分段去绝对值解不等式即可；（2）利用绝对值三角不等式得 ..用作差法比较大小得到，即可证得.试题解析：（1）依题意，得于是得或或解得.即不等式的解集为.（2），当且仅当时，取等号，∴.原不等式等价于，. ∵，∴，.∴.∴.。

河北衡水金卷2018届高三理数高考一模试卷一、单选题 (共12题；共24分)1．（2分）已知集合A={x|−x2+4x≥0}，B={x|181<3x<27}，C={x|x=2n,n∈N}，则(A∪B)∩C=（）A．{2,4}B．{0,2}C．{0,2,4}D．{x|x=2n,n∈N}2．（2分）设i是虚数单位，若i(x+yi)=5i2−i，x，y∈R，则复数x+yi的共轭复数是（）A．2−i B．−2−i C．2+i D．−2+i3．（2分）已知等差数列{a n}的前n项和是S n，且a4+a5+a6+a7=18，则下列命题正确的是（）A．a5是常数B．S5是常数C．a10是常数D．S10是常数4．（2分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A．316B．38C．14D．185．（2分）已知点F为双曲线C：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的右焦点，直线x=a与双曲线的渐近线在第一象限的交点为A，若AF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．√5B．1+√2C．1+√5D．−1+√56．（2分）已知函数f(x)={sinx,x∈[−π,0],√1−x2,x∈(0,1],则∫1−πf(x)dx=（）A．2+πB．π2C．−2+π2D．π4−27．（2分）执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．√2021B．√2019C．2√505D．2√505−18．（2分）已知函数f(x)=sinωxcosωx−√3cos2ωx+√32（ω>0）的相邻两个零点差的绝对值为π4，则函数f(x)的图象（）A．可由函数g(x)=cos4x的图象向左平移5π24个单位而得B．可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移5π24个单位而得C．可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移7π24个单位而得D．可由函数g(x)=cos4x的图象向右平移5π6个单位而得9．（2分）(2x−3)(1+1x)6的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A．−73B．−61C．−55D．−6310．（2分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF是边长为1的正六边形，点G为AF的中点，则该几何体的外接球的表面积是（）A．31π6B．31π8C．481π64D．31√31π4811．（2分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1，l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为1，则|AB|+|DE|的最小值为（）A．16B．20C．24D．3212．（2分）若函数y=f(x)，x∈M，对于给定的非零实数a，总存在非零常数T，使得定义域M内的任意实数x，都有af(x)=f(x+T)恒成立，此时T为f(x)的类周期，函数y= f(x)是M上的a级类周期函数．若函数y=f(x)是定义在区间[0,+∞)内的2级类周期函数，且T=2，当x∈[0,2)时，f(x)={12−2x2,0≤x≤1,f(2−x),1<x<2,函数g(x)=−2lnx+12x2+x+m．若∃x1∈[6,8]，∃x2∈(0,+∞)，使g(x2)−f(x1)≤0成立，则实数m的取值范围是（）A．(−∞,52]B．(−∞,132]C．(−∞,−32]D．[132,+∞)二、填空题 (共4题；共8分)13．（2分）已知向量a⇀=(2sinα,cosα)，b⇀=(1,−1)，且a⇀⊥b⇀，则(a⇀−b⇀)2=．14．（2分）已知x，y满足约束条件{x−2y≤0, 2x−y≥0,x+4y−18≤0,则目标函数z=32x8y的最小值为．15．（2分）在等比数列{a n}中，a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为17，设b n=a2n−1−a2n，n∈N∗，则数列{b n}的前2n项和为．16．（2分）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E 是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将ΔDEF沿EF折起到ΔPEF 的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为．三、解答题 (共7题；共70分)17．（10分）已知ΔABC的内角A，B，C的对边a，b，c分别满足c=2b=2，2bcosA+acosC+ccosA=0，又点D满足AD⇀=13AB⇀+23AC⇀．（1）（5分）求a及角A的大小；⇀|的值．（2）（5分）求|AD18．（10分）在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，且BC=BB1=√2，∠A1AB=∠A1AD=60°．（1）（5分）求证：BD⊥CC1；（2）（5分）若动点E在棱C1D1上，试确定点E的位置，使得直线DE与平面BDB1所成．角的正弦值为√71419．（10分）“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018年春节前夕，A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标，（1）（5分）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数x̅（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）（5分）①由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45)内的概率；②将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为X，求X的分布列和数学期望．附：①计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为σ=√142.75≈11.95；②若Z~N(μ，σ2)，则P(μ−σ<Z≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z≤μ+2σ)=0.9544．20．（10分）已知椭圆 C ： x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0) 的离心率为 √22 ，且以两焦点为直径的圆的内接正方形面积为2．（1）（5分）求椭圆 C 的标准方程；（2）（5分）若直线 l ： y =kx +2 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点，在 y 轴上是否存在点 D ，使直线 AD 与 BD 的斜率之和 k AD +k BD 为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．21．（10分）已知函数 f(x)=e x −2(a −1)x −b ，其中 e 为自然对数的底数.（1）（5分）若函数 f(x) 在区间 [0,1] 上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；（2）（5分）已知函数 g(x)=e x −(a −1)x 2−bx −1 ，且 g(1)=0 ，若函数 g(x) 在区间 [0,1] 上恰有3个零点，求实数 a 的取值范围．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 1 的参数方程为 {x =−1+acosθ,y =−1+asinθ, （ θ 为参数， a 是大于0的常数）．以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 2 的极坐标方程为 ρ=2√2cos(θ−π4) ．（1）（5分）求圆 C 1 的极坐标方程和圆 C 2 的直角坐标方程；（2）（5分）分别记直线 l ： θ=π12 ， ρ∈R 与圆 C 1 、圆 C 2 的异于原点的焦点为 A ，B ，若圆C 1 与圆 C 2 外切，试求实数 a 的值及线段 AB 的长．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数 f(x)=|2x +1| ．（1）（5分）求不等式 f(x)≤10−|x −3| 的解集；（2）（5分）若正数 m ， n 满足 m +2n =mn ，求证： f(m)+f(−2n)≥16 ．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】集合 A ={x|0≤x ≤4},B ={x|−4<x <3} ，故 A ∪B ={x|−4<x ≤4} ，集合 C 表示非负的偶数，故 (A ∪B)∩C ={0,2,4} ， 故答案为：C.【分析】先解二次不等式和指数不等式求出集合，再进行交并运算.2．【答案】A【解析】【解答】 i(x +yi)=−y +xi,5i 2−i =5i(2+i)5=−1+2i ，根据两复数相等的充要条件得 x =2,y =1 ，即 x +yi =2+i ，其共轭复数为 x −yi =2−i . 故答案为：A.【分析】对于复数方程，根据两复数相等的充要条件求出复数，再求共轭复数.3．【答案】D【解析】【解答】 ∵a 4+a 5+a 6+a 7=2(a 5+a 6)=18,∴a 5+a 6=9 ， ∴S 10=10(a 2+a 10)2=5(a 5+a 6)=45 为常数， 故答案为：D.【分析】根据数列的性质，由已知条件求出a 5+a 6，再用前n 项和公式求解.4．【答案】A【解析】【解答】由七巧板的构造可知， ΔBIC ≅ΔGOH ，故黑色部分的面积与梯形 EFOH 的面积相等，则 S EFOH =34S ΔDOF =34×14S ABDF =316S ABDF ,∴ 所求的概率为 P =S EFOH S ABDF=316 .故答案为：A.【分析】几何概型，选择面积作为测度，面积比就是概率,5．【答案】D【解析】【解答】由 {x =ay =b ax ，解得点 A(a,b) ，又 F(c,0) ，则 AF 的中点坐标为 (a+c 2,b 2) ，于是 (a+c)24a 2−b 24b2=1,(a +c)2=5a 2 ， c 2+2ac −4a 2=0 ，则 e 2+2e −4=0 ，解得 e =−1+√5 或 e =−1−√5 （舍去）。