博观而约取,厚积而薄发——以e2-1为定值的圆锥曲线高考试题赏析

高二数学圆锥曲线综合试题答案及解析1.点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【答案】D【解析】设动点为M，到圆C的距离记为MB，直线MB过圆心，当定点A是圆心C时，MB=MA，M为AB中点轨迹为圆；当定点A在圆内（圆心除外）时，MC+MA=r>AC,轨迹为椭圆；当定点A在圆外时,MC-MA=r<AC,轨迹为双曲线的一支，答案选D。

考点:圆锥曲线的定义2.已知、是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且,若的面积为9，则的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】【解析】根据椭圆定义知①,根据,知②,③,所以,可得.【考点】椭圆定义,直角三角形的面积及勾股定理.3.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】设直线与曲线相切的切点为,利用导数的几何意义得：, 解得或,当时，直线为轴，与相切，即,解得，当时，直线为,与抛物线联立，整理得：,因为相切，所以,解得,故选A．【考点】1．导数的几何意义；2．求切线方程．4.若是任意实数，则方程所表示的曲线一定不是（）A．直线B．双曲线C．抛物线D．圆【答案】C【解析】当时，即时，曲线为直线，当时，曲线为圆，当时，曲线为双曲线.故选C.【考点】圆锥曲线的标准方程.5.若是2和8的等比中项，则圆锥曲线的离心率是（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由题可知，则，当时，圆锥曲线为椭圆，则，离心率，当时，圆锥曲线为双曲线，则，离心率.所以选C.【考点】本题主要考查圆锥曲线的标准方程，离心率.6.已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围；（3）如果直线交椭圆于不同的两点，，且，都在以为圆心的圆上，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由截距式可得直线的方程，根据点到线的距离公式可得间的关系，又因为，解方程组可得的值。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实根，，则点（）A．必在圆内B．必在圆上C．必在圆外D．以上三种情况都有可能【答案】A【解析】本题只要判断与2的大小，时，点在圆上；时，点在圆内；时，点在圆外.由已知，，椭圆离心率为，从而，点在圆内，故选A.【考点】1.点与圆的位置关系；2.二次方程根与系数的关系.2.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。

故A正确。

【考点】抛物线的定义。

3.设一个焦点为,且离心率的椭圆上下两顶点分别为,直线交椭圆于两点,直线与直线交于点.(1)求椭圆的方程；(2)求证：三点共线.【答案】(1)(2)详见解析.【解析】(1)利用椭圆的定义和几何性质；(2)直线与圆锥曲线相交问题，可以设而不求，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合题目条件来证明.试题解析：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设点，由(1)知∴直线的方程为，∴.5分∴，，8分由方程组化简得:,,.10分∴,∴三点共线.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交问题；3.韦达定理.4.已知双曲线的右焦点为，若过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】由渐进线的斜率.又因为过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，所以.所以.故选A.本小题关键是对比渐近线与过焦点的直线的斜率的大小.【考点】1.双曲线的渐近线.2.离心率.3.双曲线中量的关系.5.点P是抛物线y2 = 4x上一动点，则点P到点（0，－1）的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 .【答案】【解析】抛物线y2 = 4x的焦点，点P到准线的距离与点P到点F的距离相等，本题即求点P到点的距离与到点的距离之和的最小值，画图可知最小值即为点与点间的距离，最小值为.【考点】抛物线的定义.6.准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知：=1，∴p=2且抛物线的标准方程的焦点在x轴的负半轴上故可设抛物线的标准方程为：y2=-2px,将p代入可得y2=-4x．选A.【考点】抛物线的性质点评：本题主要考查抛物线的基本性质以及计算能力．在涉及到求抛物线的标准方程问题时，一定要先判断出焦点所在位置，避免出错．7.动点到两定点,连线的斜率的乘积为（）,则动点P在以下哪些曲线上（）（写出所有可能的序号）①直线②椭圆③双曲线④抛物线⑤圆A．①⑤B．③④⑤C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】由题设知直线PA与PB的斜率存在且均不为零所以kPA •kPB=，整理得，点P的轨迹方程为kx2-y2=ka2（x≠±a）；①当k＞0，点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线（除去A，B两点）②当k=0，点P的轨迹是x轴（除去A，B两点）③当-1＜k＜0时，点P的轨迹是焦点在x轴上的椭圆（除去A，B两点）④当k=-1时，点P的轨迹是圆（除去A，B两点）⑤当k＜-1时，点P的轨迹是焦点在y轴上的椭圆（除去A，B两点）.故选C.【考点】圆锥曲线的轨迹问题．点评：本题考查圆锥曲线的轨迹问题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．8.已知F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则该椭圆的离心率等于【答案】－1【解析】根据题意，由于F1，F2是椭圆 (a＞b＞0)的左，右焦点，点P是椭圆在y轴右侧上的点，且∠F1PF2＝，且有△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1∶2，则可知为点P到x轴的距离是Q到x轴距离的3：2倍，那么结合勾股定理可知该椭圆的离心率等于－1 ，故答案为－1 。

1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,P A P B 的中点均在C上。

（1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（2） 若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围。

解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44P x y A y y B y yAP 中点满足：22102014()4()22y x y y ++= BP 中点满足：22202024:()4()22y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程220204()4()22y x y y ++=即22000280y y y x y -+-=的两个根，所以1202y y y +=，故PM 垂直于y 轴。

（2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=⋅=-所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-,12||y y -=因此，32212001||||(4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=- 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ∆面积的取值范围是 1. 距离型问题(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。

解析：（1）由中点弦公式22OMb k k a ⋅=-，解得34k m=-又因为点M 在椭圆内，故302m <<，故12k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m -因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k ==-，即3||2FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222FA x FB x =-=- 联立22212121114371402,42874x y x x x x x x y x ⎧+=⎪⎪⇒-+=⇒+==⎨⎪=-+⎪⎩ 即121||||4()32FA FB x x +=-+= 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有代入得21428d d =±=±(1,)(0)M m m >（1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明2||||||FP FA FB =+。

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圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2,当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1,F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ,且此常数2a 一定要小于｜F 1F 2|,定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2｜,则轨迹是以F 1,F 2为端点的两条射线,若2a ﹥｜F 1F 2｜，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支)2。

圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在x 轴上时12222=+by a x （0a b >>），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1(0a b >>）.方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么?(ABC ≠0，且A,B,C 同号，A ≠B ）.若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____,22y x +的最小值是___（答：）（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1,焦点在y 轴上：2222bx a y -＝1（0,0a b >>）.方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）.如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上,离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ,则C 的方程为_______（答：226x y -=）（3)抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->,开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值；(2) 求()()48f f -+的值；(3) 求函数()f x 的解析式.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6 （1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围.5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>一个顶 点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2 且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程. 2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，2过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且12224AF F Sa =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤，且2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且焦距1223F F =，线段,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,2s t =≠±，直线,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由． 3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率3e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E 两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.。

黄冈中学高考数学典型例题详解圆锥曲线综合题每临大事,必有静气;静则神明,疑难冰释;积极准备,坦然面对;最佳发挥,舍我其谁?敬请搜索“黄冈中学高考数学知识点”结合起来看效果更好体会绝妙解题思路建立强大数学模型感受数学思想魅力品味学习数学快乐圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.●难点磁场(★★★★)若椭圆2222by a x +=1(a ＞b ＞0)与直线l ：x +y =1在第一象限内有两个不同的交点，求a 、b 所满足的条件，并画出点P (a ,b )的存在区域.●案例探究［例1］已知圆k 过定点A (a ,0)(a ＞0),圆心k 在抛物线C ：y 2=2ax 上运动，MN 为圆k 在y 轴上截得的弦.(1)试问MN 的长是否随圆心k 的运动而变化？(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，抛物线C 的准线与圆k 有怎样的位置关系？命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.错解分析：在判断d 与R 的关系时，x 0的范围是学生容易忽略的. 技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d =x 0+2a与R =a x +20的大小. 解：(1)设圆心k (x 0,y 0),且y 02=2ax 0,圆k 的半径R =|AK |=2202020)(a x y a x +=+- ∴|MN |=2202202022x a x x R -+=-=2a (定值) ∴弦MN 的长不随圆心k 的运动而变化.(2)设M (0,y 1)、N (0,y 2)在圆k ：(x －x 0)2+(y －y 0)2=x 02+a 2中， 令x =0，得y 2－2y 0y +y 02－a 2=0 ∴y 1y 2=y 02－a 2∵|OA |是|OM |与|ON |的等差中项. ∴|OM |+|ON |=|y 1|+|y 2|=2|OA |=2a . 又|MN |=|y 1－y 2|=2a ∴|y 1|+|y 2|=|y 1－y 2|∴y 1y 2≤0，因此y 02－a 2≤0,即2ax 0－a 2≤0. ∴0≤x 0≤2a . 圆心k 到抛物线准线距离d =x 0+2a≤a ,而圆k 半径R =220a x +≥a . 且上两式不能同时取等号，故圆k 必与准线相交.［例2］如图，已知椭圆122-+m y m x =1(2≤m ≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A 、B 、C 、D ，设f (m )=||AB |－|CD ||(1)求f (m )的解析式； (2)求f (m )的最值.命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目.知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值.错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m ≤5时，直线与椭圆恒有交点. 技巧与方法：第(1)问中，若注意到x A ,x D 为一对相反数，则可迅速将||AB |－|CD ||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a 、b 、c ，则a 2=m ,b 2=m －1,c 2=a 2－b 2=1∴椭圆的焦点为F 1(－1,0),F 2(1,0).故直线的方程为y =x +1,又椭圆的准线方程为x =±ca 2,即x =±m .∴A (－m ,－m +1),D (m ,m +1)考虑方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=11122m y m x x y ,消去y 得：(m －1)x 2+m (x +1)2=m (m －1)整理得：(2m －1)x 2+2mx +2m －m 2=0 Δ=4m 2－4(2m －1)(2m －m 2)=8m (m －1)2 ∵2≤m ≤5,∴Δ＞0恒成立，x B +x C =122--m m. 又∵A 、B 、C 、D 都在直线y =x +1上∴|AB |=|x B －x A |=2=(x B －x A )²2,|CD |=2(x D －x C ) ∴||AB |－|CD ||=2|x B －x A +x D －x C |=2|(x B +x C )－(x A +x D )| 又∵x A =－m ,x D =m ,∴x A +x D =0 ∴||AB |－|CD ||=|x B +x C |²2=|mm212--|²2=m m 222 (2≤m ≤5)故f (m )=mm222，m ∈［2,5］. (2)由f (m )=mm 222，可知f (m )=m1222-又2－21≤2－m1≤2－51∴f (m )∈［324,9210］ 故f (m )的最大值为324，此时m =2;f (m )的最小值为9210，此时m =5.［例3］舰A 在舰B 的正东6千米处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号，A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是3320g千米/秒，其中g 为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A 发射炮弹的方位角和仰角应是多少？命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P 的位置(既在线段BC 的垂直平分线上，又在以A 、B 为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.解：取AB 所在直线为x 轴，以AB 的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A 、B 、C 舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，23).由于B 、C 同时发现动物信号，记动物所在位置为P ，则|PB |=|PC |.于是P 在线段BC 的中垂线上，易求得其方程为3x －3y +73=0.又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB |－|P A |=4，故知P 在双曲线5422y x -=1的右支上.直线与双曲线的交点为(8，53)，此即为动物P 的位置，利用两点间距离公式，可得|P A |=10.据已知两点的斜率公式，得k P A =3,所以直线P A 的倾斜角为60°,于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.设发射炮弹的仰角是θ，初速度v 0=3320g，则θθcos 10sin 200⋅=⋅v g v , ∴sin2θ=23102=v g ,∴仰角θ=30°.●锦囊妙计解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★)已知A 、B 、C 三点在曲线y =x 上，其横坐标依次为1，m ,4(1＜m ＜4)，当△ABC 的面积最大时，m 等于( )A.3B.49C.25D.232.(★★★★★)设u ,v ∈R ，且|u |≤2,v ＞0,则(u －v )2+(vu 922--)2的最小值为( )A.4B.2C.8D.22二、填空题3.(★★★★★)A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使 ∠OP A =2π,则椭圆离心率的范围是_________.4.(★★★★)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a 米，则能使卡车通过的a 的最小整数值是_________.5.(★★★★★)已知抛物线y =x 2－1上一定点B (－1，0)和两个动点P 、Q ，当P 在抛物线上运动时，BP ⊥PQ ，则Q 点的横坐标的取值范围是_________.三、解答题6.(★★★★★)已知直线y =kx －1与双曲线x 2－y 2=1的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 经过点P (－2，0)及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y 2=4x .(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C 的焦点F 及准线l 分别重合，试求椭圆短轴端点B 与焦点F 连线中点P 的轨迹方程；(2)若M (m ,0)是x 轴上的一定点，Q 是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ |有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.8.(★★★★★)如图，为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变.(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DNDM=λ，求λ的取值范围.参考答案 难点磁场解：由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+112222b y ax y x 消去y ,整理得(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2)=0①则椭圆与直线l 在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f (x )=(a 2+b 2)x 2－2a 2x +a 2(1－b 2),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>><<<<>+⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>><+<>-+-=>-=>-+-=∆010101 0100)1()1(0)1()0(0)1)((442222222222222222b a a b b a b a b a a b a a b f b a f b b a a a 同时满足上述四个条件的点P (a ,b )的存在区域为下图所示的阴影部分：歼灭难点训练一、1.解析：由题意知A (1，1)，B (m ,m ),C (4,2). 直线AC 所在方程为x －3y +2=0, 点B 到该直线的距离为d =10|23|+-m m .|41)23(|21|23|2110|23|1021||212--=+-=+-⨯⨯=⋅=∆m m m m m d AB S ABC ∵m ∈(1,4),∴当23=m 时，S △ABC 有最大值，此时m =49.答案：B2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x 2+y 2=2上的点与双曲线xy =9上的点的距离的最小值.答案：C二、3.解析：设椭圆方程为2222by a x +=1(a ＞b ＞0),以OA 为直径的圆：x 2－ax +y 2=0,两式联立消y 得222ab a -x 2－ax +b 2=0.即e 2x 2－ax +b 2=0,该方程有一解x 2,一解为a ,由韦达定理x 2=2e a －a ,0＜x 2＜a ，即0＜2ea －a ＜a 22⇒＜e ＜1. 答案：22＜e ＜1 4.解析：由题意可设抛物线方程为x 2=－ay ,当x =2a 时，y =－4a；当x =0.8时，y =－a 64.0.由题意知aa 64.04-≥3,即a 2－12a －2.56≥0.解得a 的最小整数为13. 答案：135.解析：设P (t ,t 2－1)，Q (s ,s 2－1)∵BP ⊥PQ ,∴ts t s t t ----⋅+-)1()1(11222=－1, 即t 2+(s －1)t －s +1=0∵t ∈R ,∴必须有Δ=(s －1)2+4(s －1)≥0.即s 2+2s －3≥0, 解得s ≤－3或s ≥1. 答案：(－∞,－3]∪[1,+∞)三、6.解：设A (x 1,y 1）,B (x 2,y 2). 由⎩⎨⎧=--=1122y x kx y ,得(1－k 2）x 2+2kx －2=0,又∵直线AB 与双曲线左支交于A 、B 两点，故有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-0120120)1(8)2(01221221222k x x k k x x k k k解得－2＜k ＜－1.222),22,1(22)1,2(,222,0).2(221221211120111,12),,(22222200200221000-<+>--∈-+∴--∈-+==+-+=∴-+=+--=+--=-=+-=+=b b k k k k k b x x k k y l k k k k k x y l k kx y k k x x x y x Q 或即又则令的方程为的斜率为则设7.解：由抛物线y 2=4x ,得焦点F (1,0),准线l ：x =－1.(1)设P (x ,y )，则B (2x －1,2y ),椭圆中心O ′,则|FO ′|∶|BF |=e ,又设点B 到l 的距离为d ,则|BF |∶d =e ,∴|FO ′|∶|BF |=|BF |∶d ,即(2x －2)2+(2y )2=2x (2x －2),化简得P 点轨迹方程为y 2=x －1(x ＞1).(2)设Q (x ,y ),则|MQ |=22)(y m x +-)1(45)]21([1)(22>-+---+-=x m m x x m x(ⅰ)当m －21≤1,即m ≤23时，函数t =[x －(m －21)2]+m －45在(1，+∞)上递增，故t 无最小值，亦即|MQ |无最小值.(ⅱ)当m －21＞1,即m ＞23时，函数t =[x 2－(m －21)2]+m －45在x =m －21处有最小值m －45,∴|MQ |min =45-m . 8.解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，∵|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.∴曲线C 的方程为52x +y 2=1.(2)设直线l 的方程为y =kx +2,代入52x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2+20kx +15=0.Δ=(20k )2－4³15(1+5k 2)＞0,得k 2＞53.由图可知21x x DN DM ==λ由韦达定理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x将x 1=λx 2代入得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=λ+=λ+2222222225115)51(400)1(k x k k x 两式相除得)15(380)51(15400)1(2222k k k +=+=λλ+ 316)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即331,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM① ,21DNDM x x ==λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1②又∵当k 不存在时，显然λ=31=DN DM (此时直线l 与y 轴重合).［学法指导］怎样学好圆锥曲线圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.(1)方程思想解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.(2)用好函数思想方法对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.(3)掌握坐标法坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.。

高中数学选修2--1圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点F i、F2的距离之和等于定值2a(2a>|F i F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距•第二定义：平面内到定点F与到定直线I的距离之比是常数e(Ovevl)的点的轨迹是椭圆，定点叫做椭圆的焦点，定直线I叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率•2.例1. F 1，F2是定点，且|F i F2|=6，动点M满足|MF i|+|MF2|=6，贝U M点的轨迹方程是()(A)椭圆(B) 直线(C) 圆(D) 线段例2.已知ABC 的周长是16, A( 3,0) , B (3,0),则动点的轨迹方程是(A)25216(B)2X 252y 16i(y 0)(C)2y 2525i(y0)3.若F(c ，0)是椭圆冷a2y1的右焦点，F 与椭圆上点的距离的最大值为M 最小值为m则椭圆上与 F 点的距离罗的点的坐标是()b2(A)( c ，仝ab 2(B)( c,-)a(C)(0，± b) (D) 不存在设 F 1(- c ，x 20)、F 2(C , 0)是椭圆二 +ab 2=1(a>b>0)的两个焦点, P 是以F 1F 2为直径的圆与椭圆的一个交点,若/ PFF 2=5/PER,则椭圆的离心率为() (A)子(B)于(C)于 (D)手2例5. P 点在椭圆— 45 的坐标是2» 1 上, F 1、F 2是两个焦点，若PF 120PF 2，则P 点例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为18,焦距为6; ____________ . _________⑵焦点坐标为(,3,0), (• 3,0),并且经过点(2 ,1);⑶椭圆的两个顶点坐标分别为(3,0) , (3,0),且短轴是长轴的-3⑷离心率为弓，经过点(2，0); ------------ . ---------2例7. F,、F2是椭圆—y2 1的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则4| PF1 | | PF2 |的最大值是_________ .二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点R、F2的距离之差的绝对值等于定值2a(0<2av| F1F2I)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距•第二定义：平面内到定点F与到定直线I的距离之比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线，定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线，常数e叫做双曲线的离心率例8 .命题甲：动点P到两定点A、B的距离之差的绝对值等于2a（a>0）；命题乙：点P的轨迹是双曲线。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.设函数分别在、处取得极小值、极大值．平面上点、的坐标分别为、，该平面上动点满足，点是点关于直线的对称点．（Ⅰ）求点、的坐标；（Ⅱ）求动点的轨迹方程．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解决类似的问题时，要先求函数在区间内使的点，再判断导函数在各区间上的正负，由此得出函数的极大值和极小值.（2）第二问关键是理清思路，要求谁的方程，那就在这个曲线上任意选取一个点设为，然后根据条件寻找X与Y间的关系式即可. 试题解析：（Ⅰ）令解得当x＜﹣1时，，当﹣1＜x＜1时，，当x＞1时，所以，函数在处取得极小值，在取得极大值，故所以，点A、B的坐标为．（Ⅱ）设Q（x，y），①又点Q是点P关于直线y=x的对称点代入①得：，即为Q的轨迹方程【考点】（1）函数导数以及极值问题；（2）求点的轨迹方程问题.2.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，而椭圆的右焦点坐标为即，依题意可得，故选D.【考点】1.椭圆的几何性质；2.抛物线的几何性质.3.已知离心率的椭圆一个焦点为.(1)求椭圆的方程；(2) 若斜率为1的直线交椭圆于两点,且，求直线方程.【答案】(1)；【解析】(2) 或.(1)由焦点坐标、离心率及解方程即可；(2)可以联立直线L与椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程，然后利用弦长公式建立方程求出斜率截距m即可.试题解析：解：(1)由题知，，∴，3分∴椭圆.4分(2) 设直线方程为，点，由方程组6分化简得:,.8分∴,9分，解得.11分∴直线方程或.12分【考点】1.椭圆的标准方程；2.直线与圆锥曲线相交；3.弦长公式.4.（1）已知点和，过点的直线与过点的直线相交于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，如果，求点的轨迹；（2）用正弦定理证明三角形外角平分线定理：如果在中，的外角平分线与边的延长线相交于点，则.【答案】（1）的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点）；（2）证明详见解析.【解析】（1）本题属直接法求轨迹方程，即根据题意设动点的坐标，求出，列出方程，化简整理即可；（2）设，在中，由正弦定理得，同时在在中，由正弦定理得，然后根据，进而得到，最后将得到的两等式相除即可证明.试题解析：（1）设点坐标为，则 2分整理得 4分所以点的轨迹是以为顶点，焦点在轴的椭圆（除长轴端点） 6分（2）证明：设在中，由正弦定理得① 8分在中，由正弦定理得，而所以② 10分①②两式相比得 12分.【考点】1.轨迹方程的求法；2.正弦定理的应用.5.如图，已知椭圆：的离心率为，点为其下焦点，点为坐标原点，过的直线：（其中）与椭圆相交于两点，且满足：.（1）试用表示；（2）求的最大值；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）离心率的最大值为；（3）的取值范围是.【解析】（1）设，联立椭圆与直线的方程，消去得到，应用二次方程根与系数的关系得到，，然后计算得，将其代入化简即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），结合，化简求解即可得出的最大值；（3）利用与先求出的取值范围，最后根据（1）中，求出的取值范围即可.试题解析：（1）联立方程消去，化简得 1分设，则有， 3分∵∴ 5分∴即 6分（2）由（1）知∴，∴ 8分∴∴离心率的最大值为 10分(3)∵∴∴ 12分解得∴即∴的取值范围是 14分【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.二次方程根与系数的关系.6.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。

高一数学（选修2-1）百所名校速递分项汇编专题05 圆锥曲线中的定点定值问题1．【上海市复旦附中2017-2018学年高二上学期期末】已知椭圆，四点、、、中恰有三点在椭圆上。

（1）求的方程：（2）椭圆上是否存在不同的两点、关于直线对称？若存在，请求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）设直线不经过点且与相交于、两点，若直线与直线的斜率的和为1，求证：过定点。

2．【江西省宜春市樟树中学2017-2018学年高二下学期第三次月考】椭圆上动点到两个焦点的距离之和为4，且到右焦点距离的最大值为．(1)求椭圆的方程；(2)设点为椭圆的上顶点，若直线与椭圆交于两点（不是上下顶点）．试问：直线是否经过某一定点，若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由；(3)在(2)的条件下，求面积的最大值．3．【贵州省凯里市第一中学2017-2018学年高二下学期期末】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线与椭圆相交于两点.①若线段中点的横坐标为，求的值；②在轴上是否存在点，使为定值？若是，求点的坐标；若不是，请说明理由.4．【四川省遂宁市2017-2018学年高二下学期期末】已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求直线的斜率的取值范围；5．【江苏省苏州市2017-2018学年高二下学期学业质量阳光指标调研】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦点到相应准线的距离为，，分别为椭圆的左顶点和下顶点，为椭圆上位于第一象限内的一点，交轴于点，交轴于点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的值；（3）求证：四边形的面积为定值.6．【辽宁省六校协作体2017-2018学年高二下学期期中考试】已知圆：，圆：，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）若是曲线上关于轴对称的两点，点，直线交曲线于另一点，求证：直线过定点，并求该定点的坐标．7．【广东省普宁市华美实验学校2017-2018学年高二6月月考】已知焦点在轴上的椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成等腰直角三角形，且椭圆过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设依次为椭圆的上下顶点，动点满足，且直线与椭圆另一个不同于的交点为.求证：为定值，并求出这个定值.8．已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．（1）求C的方程；（2）设，B，P为C上一点，P不在坐标轴上，直线P A与y轴交于点M，直线PB与轴交于点N，求证：为定值．9．【四川省双流中学2017-2018学年高二6月月考】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，它的离心率是双曲线的离心率的倒数.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右焦点作直线交椭圆于、两点，交轴于点，若，，求证：为定值.10．【福建省福州市八县（市）协作校2016-2017学年高二上学期期末联考】椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程；(2)如图所示，A、B、D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为，MN的斜率为m.证明：2m－为定值．11．【广西南宁市第三中学2017-2018学年高二下学期期末】已知动点M（，y）满足，点M的轨迹为曲线E.（1）求E的标准方程；（2）过点F（1,0）作直线交曲线E于P,Q两点，交轴于R点，若，证明：为定值.12．【北京顺义牛栏山一中学2016-2017学年高二上学期期中】椭圆一个焦点为，离心率．（Ⅰ）求椭圆的方程式．（Ⅱ）定点，为椭圆上的动点，求的最大值；并求出取最大值时点的坐标求．（Ⅲ）定直线，为椭圆上的动点，证明点到的距离与到定直线的距离的比值为常数，并求出此常数值．13．【2017-2018学年高二下学期数学试题】设F1,F2分别为椭圆C(1)若椭圆C上的点(2)设点是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质若M,N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为PM,PN时,那么PM与PN之积是与点P位置无关的定值,试写出双曲14．【重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末】已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于，直线交椭圆于.（1）若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数的值；（2）当，，为定值时，求面积的最大值.15．【贵州省凯里市第一中学2017-2018学年高二下学期期末】已知椭圆的离心率为，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线与椭圆交于两点，若点的坐标为，则是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由．16．【福建省厦门市第一中学2017-2018学年高二下学期期末】椭圆的左右焦点分别为，与轴正半轴交于点，若为等腰直角三角形，且直线被圆所截得的弦长为2.（1）求椭圆的方程；（2）直线：与椭圆交于点，线段的中点为，射线与椭圆交于点，点为的重心，求证：的面积为定值.17．如图,已知椭圆任一点（除短轴端点外）与短轴、两端点的连线分别交轴与两点，求证为定值.18．【重庆市綦江区实验中学高2019级高二下第三学月考】如图，已知直线的右焦点，且交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（Ⅰ）已知抛物线的焦点为椭圆的上顶点。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点，，直线上有两个动点，始终使，三角形的外心轨迹为曲线为曲线在一象限内的动点，设，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】依题意设，的外心为，则有即，又由得即，将代入化简得即，在中，由余弦定理可得即展开整理得即也就是，将、代入可得，整理可得，即的外心轨迹方程为设，则即，而又，所以所以，故选C.【考点】1.动点的轨迹；2.直线的斜率；3.两角和的正切公式.2.若点P到点的距离与它到直线y+3=0的距离相等，则P的轨迹方程为 () A．B．C．D．【答案】C【解析】根据抛物线的定义可知，条件为以为焦点的抛物线，所以轨迹为.【考点】抛物线的定义.3.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且在直线上的射影分别是，则的大小为 .【答案】.【解析】如图，由抛物线的定义可知：,∴；根据内错角相等知；同理可证而,∴.【考点】抛物线的定义.4.已知椭圆的一个焦点为，过点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为；为椭圆上的四个点。

(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若，且，求四边形的面积的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 2，【解析】(Ⅰ)依题意可得椭圆C的一个焦点为知，在代入点即可得得到一个关于的等式从而可求出的值，即可得椭圆的标准方程.(Ⅱ) 由于，所以直线都过F点，从而又因为所以直线与直线相互垂直.所以四边形的面积为.故关键是求出线段的长度.首先要分类存在垂直于轴的情况，和不垂直于轴的情况两种.前者好求.后者通过假设一条直线联立椭圆方程写出弦长的式子，类似地写出另一条所得到的弦长.通过利用基本不等式即可求得面积的范围.从而再结合垂直于轴的情况，求出最大值与最小值.试题解析：（Ⅰ）由题椭圆C的一个焦点为知故可设椭圆方程为，过焦点且与长轴垂直的直线方程为，设此直线与椭圆交于A,B两点则，又，所以，又，联立求得，，故椭圆方程为.（Ⅱ）由，知，点共线，点共线，即直线经过椭圆焦点。

又知，（i）当斜率为零或不存在时，（ii）当直线存在且不为零时，可设斜率为，则由知，的斜率为所以：直线方程为：。

圆锥曲线中的创新题赏析作者：王勇来源：《高中生学习·高三文综版》2015年第01期随着新一轮课程改革的深入和推进，高考的改革从知识立意转向能力立意，推出了一批新颖而又别致、具有创新意识和创新思维的新题.本文采撷圆锥曲线中的创新题并予以分类赏析，旨在探索题型规律，揭示解题方法.一、定义新的概念例1 ;我们把离心率为[e=5+12]的双曲线[x2a2-y2b2=1a>0，b>0]称为黄金双曲线，如图.[A1，A2]是双曲线的实轴端点，[B1，B2]是虚轴的端点，[F1，F2]是焦点，过右焦点[F2]且垂直于[x]轴的直线交双曲线于[M，N]两点，给出以下几个说法：①双曲线[x2-2y25+1=1]是黄金双曲线;②若[b2=ac]（[c]是双曲线的半焦距），则该双曲线是黄金双曲线;③若[∠F1B1A2=90°]，则该双曲线是黄金双曲线;④若[∠MON=90°]，则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确的说法是（ ; ）A. ①②④ ; ; ; ;B. ①②③C. ②③④ ; ; ; ;D. ①②③④解析 ;对于①，由双曲线[x2-2y25+1=1]可得，离心率[e=1+5+12=5+12]，故该双曲线是黄金双曲线.对于②，[∵b2=ac，∴c2-a2-ac=0]，即[e2-e-1][=0]，又[e>1]，解得[e=5+12]，故该双曲线是黄金双曲线.对于③，[∵∠F1B1A2=90°，][∴B1F12+B1A22][=F1A22，][∴b2+c2+b2+a2=a+c2]，即[b2=ac]. 由②可知，该双曲线是黄金双曲线.对于④，[∵∠MON=90°]，[MN⊥x轴，][∴MF2=b2a]，且[△MOF2]是等腰直角三角形，[∴c=b2a]，即[b2=ac]，由②可知该双曲线是黄金双曲线.综上所述，本题应选D.点拨 ;本题是一道信息迁移题，阅读并领悟黄金双曲线的实质是解题的关键.本题要求考生在不同的情境下都能熟练求解双曲线的离心率.二、约定新的运算例2 ;设[x1，x2∈R]，定义运算“*”，[x1∗x2=][x1+x22][-x1-x22]. 若[x≥0]，则动点[Px，x∗aa>0]的轨迹是（ ; ）A. 圆 ; ;B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 ; ;D. 抛物线的一部分解析 ;[∵x1∗x2=x1+x22-x1-x22，][∴x∗a=x+a2-x-a2=2ax]，则[Px，2ax].设[Px1，y1]，即[x1=x，y1=2ax，]消去[x]得，[y21=4ax1x1≥0，y1≥0].故点[P]的轨迹为抛物线的一部分，选D.点拨 ;本题在新运算的背景下探求动点的轨迹问题，理解新运算的法则是求解的关键，此类题型是高考命题者惯用的拟题手法，平时应加强训练，增强适应性.三、调配新的组合例3 ;已知点[F（-c，0）（c>0）]是双曲线[E：x2a2-y2b2=1]的左焦点，双曲线[E]的离心率为[e]，过[F]且平行于双曲线[E]的渐近线的直线与圆[x2+y2=c2]交于点[P]，且点[P]在抛物线[y2=4cx]上，则[e2]=（ ; ）A. [5] ;B. [5+32]C. [5+22]D. [5+12]解析 ;如图，设抛物线[y2=4cx]的准线为[l]，作[PQ⊥l]于[Q]，双曲线[E]的右焦点为[F]，由题意可知，[FF]为圆[x2+y2=c2]的直径.不妨设[P（xp，yp）]在第一象限，由[y2=4cx，x2+y2=c2]解得，[xp=（5-2）c]，所以[|PQ|=xp+c=（5-1）c].易知[PF⊥PF]，直线[PF]的方程为[y=ba（x+c）]，即[bx-ay+bc=0]，于是点[F（c，0）]到直线[PF]的距离[|PF|=2bca2+b2=2b].由抛物线的定义可知，[|PF|=|PQ|.][∴2b=（5-1）c]，[∴a2+（5-12c）2=c2]，解得[e2=c2a2=5+12]，故选D.点拨 ;本题将直线、圆、双曲线、抛物线组合在一起考查，令人耳目一新，是命题者智慧的结晶. 其中的“招法”可谓是“刀光剑影”，是出活题、考能力的成功之作，占据着“小题压轴”的重要地位.四、设置新的交汇例4 ;在等腰梯形[ABCD]中，[E，F]分别是底边[AB，CD]的中点，把四边形[AEFD]沿直线[EF]折起后所在的平面记为[α，P∈α].设[PB，PC与α]所成的角分别为[θ1，θ2]（[θ1，θ2]均不为零）.若[θ1=θ2]，则点[P]的轨迹为（ ; ）A. 直线 ; ; ;B. 圆C. 椭圆 ; ; ;D. 抛物线解析;如图，设[B，C]在平面[α]内的射影分别为[M，N]，连接[PM，BM，CN，PN，MN].根据直线与平面所成角的意义，[∠BPM=θ1，∠CPN=θ2，又θ1=θ2，][∴tanθ1=tanθ2]，即[BMPM=CNPN⇒PMPN=BMCN].又[BM⊥平面α，CN⊥平面α]，[∴BM//CN]，又[BE//CF]，[∴∠MBE=∠NCF].又[∠BME=∠CNF=90°]，[∴ΔBME∽ΔCNF，∴BMCN=BECF，∴PMPN=BECF.]在梯形[EBCF]中，[BE≠CF]，[∴BECF]是不等于1的常数，[∴PMPN]是不等于1的常数.由于在平面内到两定点的距离之比等于不为1的常数的点的轨迹是圆（阿波罗尼斯圆），所以点[P]的轨迹为圆.故选B.点拨 ;本题主要考查空间直线与平面所成的角的概念与求解、动点的轨迹等问题，是立体几何与解析几何的交汇综合题. 其中还涉及到三角知识、平面几何知识的灵活应用，最后用课本中一道经典例题的结论（阿波罗尼斯圆）“一剑封喉”.五、建模新的应用例5 ;某同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中[AC，BD]是过抛物线[Γ]的焦点[F0，1]的两条弦，且[AC∙BD=0]，点[E]为[y]轴上一点，记[∠EFA=α]，其中[α]为锐角.如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，则[α=] ; ; ; ; ;.解析 ;由抛物线[Γ]的焦点[F0，1]得，抛物线[Γ]的方程为[x2=4y].设[AF=m]，则点[A-msinα，mcosα+1]，[∴-msinα2=4mcosα+1]，即[m2sin2α-4mcosα-4=0]，解得[m=AF=2cosα+1sin2α].同理，[BF=21-sinαcos2α，DF=21+sinαcos2α，][CF=21-cosαsin2α].所以“蝴蝶形图案”的面积[S=SΔAFB+SΔCFD][=12AF∙BF+12CF∙DF][=41-sinαcosαsinαcosα2.]令[t=sinαcosα，t∈0，12]，所以[1t∈2，+∞]，则[S=41-tt2=41t-122-1]，所以当[1t=2]，即[α=π4]时，“蝴蝶形图案”的面积最小，最小值为8.点拨 ;本题是一道解析几何模型的应用题，难易适中，韵味十足，“蝴蝶形图案”给人以美的享受.。

高二数学圆锥曲线试题答案及解析1.已知点的坐标为，点为轴负半轴上的动点，以线段为边作菱形，使其两对角线的交点恰好在轴上,则动点的轨迹E 的方程 .【答案】【解析】试题解析：依题意，设对角线的交点为，因为在轴上，又顶点与关于对称，所以始终在直线上，根据菱形的特点，亦即轴，有到定点的距离与到定直线的距离相等，显然，的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线即，所以，抛物线方程为：，动点D的轨迹E 的方程为：.【考点】动点的轨迹方程.2.已知实数1，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线+y2=1的离心率为_________．【答案】或2【解析】因为实数1，m ，9构成一个等比数列，所以即m=3或m=-3，当m=3时，曲线为焦点在x轴的椭圆，离心率为；当m=-3时，曲线为焦点在y轴的双曲线，离心率为2，答案为或2.【考点】1.等比数列的性质；2.圆锥曲线的性质3.在中，，给出满足的条件，就能得到动点的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①周长为10②面积为10③中，则满足条件①、②、③的点轨迹方程按顺序分别是A. 、、B. 、、C. 、、D. 、、【答案】A【解析】①周长为10，即，轨迹为椭圆；②面积为10，即，∴所以轨迹为；③中，，即为圆周上一点，所以轨迹为圆.【考点】圆锥曲线问题、轨迹问题.4.若抛物线y2＝4x上的点A到其焦点的距离是6，则点A的横坐标是( )A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】由抛物线的方程可知抛物线的准线为，根据抛物线的定义可知点到其准线的距离也为6，即，所以。

故A正确。

【考点】抛物线的定义。

5.若一个动点到两个定点的距离之差的绝对值等于8，则动点M的轨迹方程为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，由双曲线的定义可知，点的轨迹是以为焦点的双曲线。

此时，即，，所以点的轨迹方程是。

故C正确。

【考点】双曲线的定义。

6.设椭圆的方程为，斜率为1的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.（1）问：直线与能否垂直？若能，之间满足什么关系；若不能，说明理由；（2）已知为的中点，且点在椭圆上.若，求椭圆的离心率.【答案】（1）直线与不能垂直；（2）【解析】（1）设直线的方程为，与椭圆方程联立，消去整理为关于的一元二次方程，因为有两个交点则判别式应大于0，由韦达定理可得根与系数的关系，用中点坐标公式求点的坐标。

高中版2013年3月博观而约取，厚积而薄发———以e 2－1为定值的圆锥曲线高考试题赏析筅浙江省杭州师范大学附属中学苏立标物之生也，若骤若驰，无动而不变，无时而不移———《庄子·秋水》．数学问题千变万化，特别是历年的高考数学试题更是灵活多变，让很多学生望而生畏，在教学中我们如果能依据知识的特点，结合学生的具体实际，从系统的高度去剖析高考试题，寻找问题的本质，触类旁通，总结其内在的共性问题进行有效教学，对优化学生思维品质，减轻学生的学习负担，提高教学质量都是十分有益的．在近几年全国各地的圆锥曲线高考试题中就不断涌现出许多以k 1·k 2=e 2－1为载体的精彩试题，是我们教学研究的重要素材，有必要引导学生去探究．性质1：若P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）上任意一点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，设直线AB 与直线BP 的斜率分别为k 1与k 2，则k 1·k 2=e 2－1．试题1：（2012年天津高考理）设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；（2）略.解：由性质1知：k AP ·k BP =e 2－1，即e 2－1=－12，所以椭圆的离心率e=2%姨2．性质2：若P 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0）上任意一点，A 、B 为椭圆上任意两点，若A 、O 、B 三点共线，设直线PA 与直线PB 的斜率分别为k 1与k 2，则k 1·k 2=e 2－1．证明：设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （－x 1，－y 1），因为点A 、P在椭圆C 上，则x 12a 2+y 12b 2=1，x 02a 2+y 02b 2=1，两式相减得到：（x 1－x 0）（x 1+x 0）a 2+（y 1－y 0）（y 1+y 0）b2=0，得k 1·k 2=e 2－1．试题2：（2011年江苏高考）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆x 24+y 22=1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ．（1）、（2）略；（3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB.证明：设P （x 0，y 0），则A （-x 0，-y 0），C （x 0，0），由性质2知：k BA ·k BP =e 2－1=－12，而k PA =y 0x 0，k BA =k AC =y02x 0，所以k BA =12k PA ，故k PA ·k PB =2k BA ·k BP =2－12⊥⊥=－1，即PA ⊥PB.试题3：（2012年湖北高考理）设A 是单位圆x 2+y 2=1上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足DM =m DA （m>0，且m ≠1），当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过原点且斜率为k 的直线交曲线C 于P ，Q 两点，其中P 在第一象限，它在y 轴上的射影为点N ，直线QN 交曲线C 于另一点H.是否存在m ，使得对任意的k>0，都有PQ ⊥PH ？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）易得所求曲线C 的方程为x 2+y 2m 2=1（m>0，且m ≠1）.（2）由性质2知：k HP ·k HQ =－m 2，设P （x 1，y 1），H （x 2，y 2），则Q （-x 1，-y 1），N （0，y 1）.又Q 、N 、H 三点共线，所以k HQ =k NQ =y 1－（－y 1）0－（－x 1）=2y 1x 1=2k PQ ，于是k HP ·k HQ =k HP ·（2k PQ ）=－m 2，即k HP ·k PQ =－m 22.而PQ ⊥PH 等价于k HP ·k PQ =－1，即-m 22=-1.又m>0，得m=2%姨.故存在m=2%姨，使得在其对应的椭圆x 2+y 22=1上，对任意的k>0，都有PQ ⊥PH.命题感悟数坛在线xyOP C B ANM 64高中版2013年3月性质3：不过原点O 的直线l 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a>b>0）相交于A 、B 两点，P 为椭圆上任意一点，若线段AB 被直线OP 平分，设直线AB 与直线OP 的斜率分别为k 1与k 2，则k 1·k 2=e 2－1．证明：设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为线段AB 被直线OP 平分，所以y 1+y 2x 1+x 2=y 0x 0，①且k 1=y 1+y 2x 1+x 2，k 2=y0x 0.②又点A 、B 在椭圆C 上，则x 12a 2+y 12b 2=1，x 22a 2+y 22b 2=1，两式相减得到：（x 1－x 2）（x 1+x 2）a 2+（y 1－y 2）（y 1+y 2）b2=0.③把①②代入③得：k 1·k 2=e 2－1．试题4：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1（a>b>0）的离心率为12，其左焦点到点P （2，1）的距离为10%姨，不过原点O 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．（1）求椭圆C 的方程；（2）求△APB 面积取最大值时直线l 的方程．解：（1）所求椭圆C 的方程为：x24+y 23=1．（2）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），易得直线OP 的斜率k OP =12，由性质3知：k AB ·k OP =e 2－1=－34，得到k AB =－32，所以设直线AB 的方程为l ：y ＝-32x+m （m ≠0），代入椭圆方程得到：3x 2－3mx+m 2－3=0．显然Δ=（3m ）2－4×3（m 2－3）=3（12－m 2）>0．所以-12%姨＜m ＜12%姨且m ≠0．由上可知：x A +x B ＝m ，x A·x B ＝m 2－33．所以AB ＝1+k AB %姨x A －x B ＝1+k AB %姨（x A +x B ）2－4x A x B%姨＝39%姨6·12－m 2%姨．因为点P （2，1）到直线l 的距离为d=2m －413%姨，所以S △ABP ＝12d AB ＝3%姨6·（m －4）2（12－m 2）%姨.利用导数知识易求得当m=1－7%姨时，S △ABP 最大，此时直线l 的方程为：3x+2y+27%姨－2=0．性质4：（2010年上海高考）已知椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1（a>b>0），设直线l 1：y=k 1x+p 交椭圆于A 、B 两点，交直线l 2：y=k 2x 于点E ．若k 1·k 2=e 2－1，则点E 为AB 的中点．证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），线段AB 的中点为M （x 0，y 0），则x 12a 2+y 12b 2=1，①x 22a 2+y 22b 2=1，②且x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y22，由①-②得：k 1·k OM =－b 2a 2.因为k 1·k 2=e 2－1=－b 2a 2，故k 2=k OM .因为直线OM 和直线OE 都过原点O ，直线OM 与直线OE 为同一条直线，所以点M 与点E 重合，于是点E 为AB 的中点．剖析试题共性的特点，一方面能培养学生洞察问题本质的智慧，有利于优化学生的思维品质，有利于遏制“题海战术”轻负高效，另一方面又能让学生从整体上把握知识的内在规律，拥有学习的智慧，有利于拓宽学生的学习视野，有利于激发学生的学习兴趣，有利于培养学生的应变能力，有助于完善学生的知识结构，提高学生的综合分析能力．参考文献：1．苏立标.探求以e 2－1为定值的圆锥曲线问题［J ］.中学数学教学参考，2006（5）.2．玲珑居士.一道高考解几题的探究背景［J ］.中学数学，2004（9）.■数坛在线命题感悟65。

一道2020年新高考Ⅱ卷圆锥曲线解答题的探究及探源作者：罗文军来源：《广东教育·高中》2020年第12期2020年新高考Ⅱ卷解答題的21题是一道圆锥曲线试题，考查了椭圆的定义、几何性质、直线与椭圆的位置关系和椭圆的定值问题，考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查了运算求解能力和推理论证能力，旨在考查数学运算、逻辑推理和直观想象的数学学科核心素养，两问之间具有很好的梯度性，第（1）问较简单，第（2）问难度较大，具有很好的区分度，便于高校选拔优秀人才. 以下对这道试题进行解法探究、变式探究和源头探究.一、真题再现21. 已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）过点M（2， 3），点A为其左顶点，且AM的斜率为■，（1）求C的方程;（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.二、解法探究【分析】（1）由题意分别求得a， b的值即可确定椭圆方程.【解析】（1）由题意可知直线AM的方程为：y-3=■（x-2），即x-2y=-4.当y=0时，解得x=-4，所以a=4，椭圆C：■+■=1（a>b>0）过点M（2， 3），可得■+■=1，解得b2 =12.所以C的方程：■+■=1.（2）【分析1】首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.【解法1】设与直线AM平行的直线方程为：x-2y= m，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.联立直线方程x-2y= m与椭圆方程■+■=1，可得：3（m+2y）2 +4y2 =48，化简可得：16y2+12my+3m2 -48=0.所以？驻=144m2 -4×16（3m2 -48）=0，即m2=64，解得m=±8，与AM距离比较远的直线方程：x-2y= 8，直线AM方程为：x-2y= -4，点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d=■+■，由两点之间距离公式可得|AM|=■=3■.所以△AMN的面积的最大值：■×3■×■=18.【分析2】借助椭圆■+■=1（a>b>0）的参数方程x=acos？渍y=bsin？渍（其中？渍为参数），设出点N的坐标，化为三角函数最值问题，利用辅助角公式求椭圆上的点N到椭圆的弦AM的最大距离.【解法2】由第（1）问解答过程可知直线AM的方程为x-2y+4=0，椭圆■+■=1的参数方程为x=4cos？琢，y=2■sin？琢（其中？琢为参数），设点N的坐标为（4cos？兹，2■sin？兹），由点到直线距离公式可得，点N到直线AM的距离为d=■==■=■，当cos（？兹+■）=1时，即？兹=■时，d取得最大值dmax=■，由（1）可知N（-4， 0），由两点间距离公式可得|AM|=3■，所以△AMN的面积最大值为（S△AMN）max=■|AM|dmax=■× 3■×■=18.【分析3】利用伸缩变换？渍：x′=？姿·x（x>0）y′=？滋·y（y>0）的性质解答，在变化？渍下，n边形A1A2A3…An（n≥3且n∈N？鄢）变为n边形A1′A2′A3′…An′（n≥3且n∈N？鄢），变换前后图形的面积之比为■=■.【解法3】在伸缩变换？渍：x′=■x，y′=■y下，椭圆C：■+■=1对应圆O′：x′2+y′2=1，椭圆C上的点A，M，N分别对应圆O′上的点A′，M′，N′，因为直线AM的方程为x-2y+4=0，所以直线A′M′的方程为x′-■y′+1=0，圆心O′到直线A′M′的距离为d=■=■，圆上O′的点N′到圆O′的弦A′M′的最大距离为h=d+r=■+1=■，|A′M′|=2■=2■=■，所以△A′M′N′的最大面积为（S△A′M′N′）max=■|A′M′|d=■×■×■=■，由伸缩变换性质可得，△AMN的最大面积为（S△AMN）max=■=■=18.【评注】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件;（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.（3）涉及椭圆的圆锥曲线问题，可以考虑参数方程法和极坐标法.三、变式探究变式1 已知△ABC为椭圆■+■=1的内接三角形，且AB过点P（1， 0），则△ABC的面积的最大值为____________.【解析】经过伸缩变换x′=■，y′=■，得△A′B′C′内接于单位圆x′2+y′2=1，A′B′过点P′（■， 0），S△ABC=6S△A′B′C′，设坐标原点O′（0， 0）距A′B′的距离为t，则0≤t≤■，|A′B′|=2■，S△A′B′C′≤■·（1+t），当t=■时，S△A′B′C′有最大值为■，所以S△ABC的最大值为■.【评注】本题也是求椭圆的内接三角形的面积的最值问题，运用伸缩变换法，结合伸缩变换的性质，将椭圆的内接△ABC的面积的最大值问题化归为单位圆的内接△A′B′C′的面积的最大值问题.变式2. 已知椭圆C：■+■=1（a>b>0）的一个顶点为A（2， 0），离心率为■. 直线y= k （x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N.（1）求椭圆C的方程;（2）求△AMN面积的最大值.【解析】（1）由题意得，a=2，■=■a2=b2+c2，，解得b=■，所以椭圆C的方程为■+■=1.（2）解法1：由y= k（x-1），■+■=1联立消去y可得，（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0，△=16k4-4（1+2k2）（2k2-4）=24k2+16>0，设M（x1， y1），N（x2， y2），由根与系数关系可得，x1+x2=■，x1x2=■，由弦长公式可得，|MN|=■=■=■，由点到直线距离公式可得，点A（2， 0）到直线y= k（x-1）的距离d=■，所以△AMN的面积为S=■|MN|d=■=■，设t=1+2k2，则k2=■，则S（t）=■，（t≥1），S（t）=■=■，（0< t ≤1），所以当■=1时，S取得最大值■.【评注】本题与前面真题相比，第（2）问也是求与椭圆有关的三角形的面积的最值问题，不同点在本题最后运用了换元法，利用了二次函数的性质求出了△AMN的面积的最值.变式3. 平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：■+■=1（a>b>0）的左焦点的直线x+y+■= 0交于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为■.（1）求C的方程;（2）M，N为C上的两点，若四边形AMBN的对角线MN⊥AB，求四边形AMBN面积的最大值.【解析】（1）设A（x1， y1），B（x2， y2），P（x0 ， y0），则■+■=1，■+■=1，■=-1，由此可得■=-■=1，因为x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，■=■，所以a2=2b2，又由题意知，C的左焦点为（-■， 0），故a2-b2=2，所以a2=4，b2=2，所以的方程为■+■=1.（2）由x+y+■= 0，■+■=1联立可得，3x2+4■x=0，解得x1=- ■，y1=■，x2= 0，y2=-■，因此|AB|=■，由题意可设直线MN的方程为y=x+t，因為点A，B在直线MN的两侧，所以（- ■-■+t）（■+t）<0，所以-■< t <■，设M（x3， y3），N（x4， y4），由y=x+t，■+■=1，消去y可得，3x2+4tx+2t2-4=0，x3，4=■，由弦长公式可得，|MN|=■|x3-x4|=■|■|=■■，由已知四边形AMBN的面积S=■|MN||AB|=■■，当t=0时，S取得最大值，最大值为■，所以四边形AMBN的面积的最大值为■.【评注】与前文真题相比较，本题第（2）也是椭圆的最值问题，不同在于本题第（2）问是椭圆的对角线互相垂直的内接四边形面积最值问题，最后运用了二次函数值域求出了四边形AMBN的面积的最大值.变式4. 已知椭圆？祝：■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆？祝的四个顶点恰好构成了一个边长■为且面积为2■的菱形.（1）求椭圆？祝的标准方程;（2）已知直线l1，l2 均过点F2，且直线l1，l2 的斜率的乘积为-■，设直线l1，l2 与椭圆？祝分别交于点A，B和点C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，求△OMN （O为坐标原点）面积的最大值.【解析】（1）因为椭圆？祝的四个顶点恰好构成了一个边长为■且面积为2■的菱形，所以■×2a×2a=2■，a2+b2=（■）2，解得a= ■，b=1，（2分）所以椭圆？祝的标准方程为■+y2=1.（4分）（2）设直线l1的方程为y=k（x-1），A（x1， y1），B（x2， y2），将y=k（x-1）代入■+y2=1，消去y可得（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，所以x1+x2=■，因为线段AB的中点为M，所以xM =■=■，yM =■，（6分）因为直线l1，l2的斜率的乘积为-■，所以直线l2的方程为y=-■（x-1），（7分）同理可得xN =■，yN =■，所以M（■，■），N（■，■），（9分）设线段MN的中点为T，则T（■， 0），所以S△OMN=■|OT||yM-yN |=■|■|=■×■=■×■≤■，（11分）当且仅当2|k|=■，即k=±■时取等号，所以△OMN面积的最大值为■.【评注】本题第（2）问也涉及到椭圆中的三角形面积最值问题，最后把△OMN的面积用k表示，再运用基本不等式可得求解.三、源头探究以下对前文真题进行源头探究.2020年新高考Ⅱ卷解答题的21题可以看成改编自2014年全国Ⅰ卷理科第20题：已知点A（2， 0），椭圆E：■+■=1（a>b>0）的离心率为■，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为■，O为坐标原点.（1）求E的方程;（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程.四、备考建议在高三一轮复习和二轮复习中，要打破画地为牢，将坐标系与参数方程部分和圆与圆锥曲线部分的复习放在一起作为一个体系. 考生要尝试运用一题多解，例如运用坐标系与参数方程中的参数方程法和伸缩变化法破解椭圆的最值、定值和定点问题，将极坐标方程化为直角坐标方程解答，将参数方程消参后化为普通方程解答，通过伸缩变化将椭圆问题化为关于圆的问题.通过这部分复习，要熟练运用函数与方程思想、化归与转化思想和数形结合思想，提高运算求解能力和推理论证能力，提升数学运算、逻辑推理和直观想象的数学学科核心素养.责任编辑徐国坚。

2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆锥曲线中的二级结论（解析版）圆锥曲线中的二级结论思路引导圆锥曲线有许多形式结构相当漂亮的结论，记住圆锥曲线中一些二级结论，能快速摆平一切圆锥曲线压轴小题。

母题呈现类型一巧用焦点三角形的面积、离心率，突破圆锥曲线压轴小题1设P 点是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上异于长轴端点的任一点，F 1、F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21＋cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tan θ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2＋sin ∠PF 2F 1.2设P 点是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)上异于实轴端点的任一点，F 1，F 2为其焦点，记∠F 1PF 2＝θ，则（1）|PF 1||PF 2|＝2b 21－cos θ；（2）S △PF 1F 2＝b 2tanθ2；（3）e ＝sin ∠F 1PF 2|sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1|.【例1】在椭圆x 225＋y 29＝1上，△PF 1F 2为焦点三角形，如图所示．(1)若θ＝60°，则△PF 1F 2的面积是________；(2)若α＝45°，β＝75°，则椭圆离心率e ＝________．【例2】已知双曲线C ：()22105x y k k -=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且123F PF π∠=，则12F PF △的面积为______．【跟踪训练】(2022·荆州模拟)已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，当∠F 1PF 2＝π3时，则△PF 1F 2的面积为________．类型2妙用中心弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题设A，B为圆锥曲线关于原点对称的两点，点P是曲线上与A，B不重合的任意一点，则k AP·k BP＝e2－1.【例4】设椭圆xa2＋yb2＝1(a＞b＞0)的左，右顶点分别为A，B，点P在椭圆上异于A，B两点，若AP与BP的斜率之积为－1，则椭圆的离心率为________．设圆锥曲线以M(x0，y0)(y0≠0)为中点的弦AB所在的直线的斜率为k.1.若圆锥曲线为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，则k AB＝－b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.2.若圆锥曲线为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，则k AB＝b2x0a2y0，k AB·k OM＝e2－1.3.若圆锥曲线为抛物线y2＝2px(p＞0)，则k AB＝py0.【例5】已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB 的中点为M(－12，－15)，则E的方程为()A.x2 3－y26＝1 B.x24－y25＝1C.x2 6－y23＝1 D.x25－y24＝1点为()2,1M -，则E 的离心率e =_____．类型4利用焦点弦的性质，突破圆锥曲线压轴小题1.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则椭圆的离心率等于1(1)cos λλα-+.2.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 且倾斜角为α(α≠90°)的直线交双曲线右支于A ，B 两点，且|AF →|＝λ|FB →|，则双曲线的离心率等于|λ－1（λ＋1）cos α|.3.过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 倾斜角为θ的直线交抛物线于A ，B 两点，则两焦半径长为p 1－cos θ，p1＋cos θ，1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AB |＝2p sin 2θ，S △AOB ＝p 22sin θ.【例8】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为e ＝32，经过右焦点且斜率为k (k ＞0)的直线交椭圆于A ，B两点，已知AF →＝3FB →，则k ＝()A ．1B.2C.3D ．2则|AB |为【例11】设F 为抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，过F 且倾斜角为6π的直线交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，则△AOB 的面积为。