2012高考理科数学讲析练精品学案第2章 基本初等函数及函数的应用第4讲 函数与方程

第4讲 函数的实际应用1. 零点问题，在掌握二分法的解题步骤基础上，学会分析转化，能够把与之有关的问题化归为方程零点问题．2. 函数模型的实际应用问题，主要抓住常见函数模型的训练，如幂指对模型，二次函数模型，数列模型，分段函数模型等，解答的重点是在信息整理和建模上．3. 掌握解函数应用题的方法与步骤：(1) 正确地将实际问题转化为函数模型(建模)；(2) 用相关的函数知识进行合理的设计，确定最佳的解题方案，进行计算与推理(解模)；(3) 把计算或推理得到的结果代回到实际问题中去解释实际问题，即对实际问题进行总结作答(检验、作答)．1. 函数f(x)＝e x ＋x －2的零点为x 0，则不小于x 0的最小整数为________．2.关于x 的方程⎝⎛⎭⎫34x ＝3a ＋25－a 有负实根，则实数a 的取值范围是________．3.某工厂的产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为________．4.某人在2009年初贷款 m 万元，年利率为x ，从次年初开始偿还，每年偿还的金额都是n 万元，到2012年初恰好还清，则n 的值是________．【例1】 已知直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)＝⎩⎨⎧ 2－⎝⎛⎭⎫12x ，x ≤0，12x 2＋1，x>0的图象恰有3个不同的公共点，求实数m 的取值范围．【例2】 某村计划建造一个室内面积为 800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？【例3】 2014年青奥会水上运动项目将在J 地举行．截至2010年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发．经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元．(1) B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？(2) 假设从2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B 集团投资是否成功？【例4】 已知函数f(x)＝－x 2＋8x ，g(x)＝6lnx ＋m.(1) 求f(x)在区间[t ，t ＋1]上的最大值h(t)；(2) 是否存在实数m ，使得y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．1. (2010·浙江)已知x 0是函数f(x)＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则f(x 1)f(x 2)________0.(填“>”或“<”)．2.(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝⎩⎨⎧ c x ，x<A ，c A ，x ≥A ，(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品时用时15分钟，那么c 和A 的值分别是________．3.(2010·浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．4.(2011·重庆)设m ，k 为整数，方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的实根，则m ＋k 的最小值为________．5.(2011·山东)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为80π3立方米，且l ≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1) 写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；(2) 求该容器的建造费用最小时的r.6.(2011·福建)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1) 求a 的值；(2) 若该商品的成本为3元/千克， 试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．(2011·湖南)(本小题满分12分)如图，长方形物体E 在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v>0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c(c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(1) P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c|×S成正比，比例系数为110；(2) 其他面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时． (1) 写出y 的表达式；(2) 设0＜v ≤10,0＜c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解析：(1) 由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c|＋12，(2分) 故y ＝100v ⎝⎛⎭⎫320|v －c|＋12＝5v (3|v －c|＋10). (6分)(2) 由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15 当c<v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15.故y ＝⎩⎨⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c<v ≤10.( 8分)① 当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数．故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2. (10分) ② 当103<c ≤5时，在(0，c]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v 的增函数；故当v ＝c 时，y min ＝50c . (12分)第4讲 函数的实际应用1. 下列命题正确的是________(填所有正确命题的序号)．① 若f(－x)＝－f(2＋x)，则f(x)的图象关于点(1,0)对称；② 若f(－x)＝f(2＋x)，则f(x)的图象关于直线x ＝1对称；③ 若y ＝f(x ＋1)是奇函数，则y ＝f(x)关于点(1,0)对称；④ 若y ＝f(x ＋1)是偶函数，则y ＝f(x)关于直线x ＝1对称．【答案】 ①②③④2. 已知二次函数y ＝g(x)的导函数的图象与直线y ＝2x 平行，且y ＝g(x)在x ＝－1处取得最小值m －1(m ≠0)．设函数f(x)＝g (x )x. (1) 若曲线y ＝f(x)上的点P 到点Q(0,2)的距离的最小值为2，求m 的值；(2) k(k ∈R )取何值时，函数y ＝f(x)－kx 存在零点，并求出零点．解： (1) 设g(x)＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0则g ′(x)＝2ax ＋b ；又g ′(x)的图象与直线y ＝2x 平行，∴ 2a ＝2，∴ a ＝1.又g(x)在x ＝－1时取最小值，∴ －b 2＝－1，∴ b ＝2. ∴ g(－1)＝a －b ＋c ＝1－2＋c ＝m －1，∴ c ＝m.∴ f(x)＝g (x )x ＝x ＋m x＋2.设P(x 0，y 0)， 则|PQ|2＝x 20＋(y 0－2)2＝x 20＋⎝⎛⎭⎫x 0＋m x 02＝2x 20＋m 2x 20＋2m ≥22m 2＋2m. ∴ 22m 2＋2m ＝2，∴ m ＝2－1或m ＝－2－1.(2) 由y ＝f(x)－kx ＝(1－k)x ＋m x＋2＝0， 得(1－k)x 2＋2x ＋m ＝0. (*)当k ＝1时，方程(*)有一解x ＝－m 2，函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝－m 2； 当k ≠1时，方程(*)有两解＝4－4m(1－k)＞0.若m ＞0，k ＞1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1；若m ＜0，k ＜1－1m ，函数y ＝f(x)－kx 有两个零点x ＝－2±4－4m (1－k )2(1－k )＝1±1－m (1－k )k －1； 当k ≠1时，方程(*)有一解＝4－4m(1－k)＝0，k ＝1－1m， 函数y ＝f(x)－kx 有一零点x ＝1k －1. 基础训练1. 1 解析：f(0)＜0，f(1)＞0，x 0∈(0,1)．2. ⎝⎛⎭⎫34，5 解析：由3a ＋25－a＞1，得34＜a ＜5. 3. (1＋p)12－14. m (1＋x )3x 2＋3x ＋3 解析：m(1＋x)3＝n(1＋x)2＋n(1＋x)＋n.n ＝m (1＋x )3x 2＋3x ＋3. 例题选讲例1 解：作出函数f(x)的图象，可见要使直线y ＝mx(m ∈R )与函数f(x)的图象恰有三个不同的公共点，只要y ＝12x 2＋1(x ＞0)与直线y ＝mx(m ∈R )有两个交点，即12x 2＋1＝mx 有两个不等的正根，x 2－2mx ＋2＝0有两个不等的正根，∴ { Δ＝4m 2－8＞0，＞0，解得m ＞ 2. 变式训练 (2011·北京)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2，若关于x 的方程f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．【答案】 (0,1) 解析：f(x)＝2x(x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f(x)＝(x －1)3(x ＜2)单调递增且值域为(－∞，1)，f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．例2 解：设温室的长为x m ，则宽为800xm ．由已知得蔬菜的种植面积为S m 2： S ＝(x －2)⎝⎛⎭⎫800x －4＝800－4x －1 600x＋8 ＝808－4⎝⎛⎭⎫x ＋400x ≤648(当且仅当x ＝400x即x ＝20时，取“＝”)． 答：当矩形温室的边长分别为20 m ，40 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是648 m 2.变式训练 某学校拟建一块周长为400 m 的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？解：设中间区域矩形的长、宽分别为x m 、y m ，中间的矩形区域面积为S m 2.则半圆的周长为πy 2 m ，因为操场周长为400 m ，所以2x ＋2×πy 2＝400，即2x ＋πy ＝400. ∴ S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝⎛⎭⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由{ 2x ＝πy ，＋πy ＝400，解得⎩⎨⎧x ＝100，＝200π.当⎩⎨⎧x ＝100，＝200π时等号成立． 答：设计矩形的长为100 m ，宽约为200π(≈63.7)m 时，面积最大． 例3 解：(1) 设B 集团用于水上运动项目的投资为x 百万元，四年的总利润为y 百万元，由题意，y ＝0.2(100－x)＋x ＋10＝－0.2x ＋x ＋30，x ∈[0,100]．即y ＝－0.2(x －2.5)2＋31.25，x ∈[0,10]． 所以当x ＝2.5，即x ＝6.25时，y max ＝31.25.答：B 集团在水上运动项目投资6.25百万元，所获得的利润最大，为31.25百万元．(2) 由(1)知，在上缴资源占用费前，y max ＝31.25，y min ＝20.由题意，从2012年到2014年，B 集团需上缴J 地政府资源占用费共为2(1＋1.11＋1.12)＝6.62百万元．所以B 集团这四年的预期利润中值为31.25＋202－6.62＝19.005. 由于19.005100＝19.005%＞18%，所以B 集团投资能成功． 答：B 集团在J 地投资能成功．注：若水上运动项目的利润改为该项目投资额的算术平方根的k(k ＞0)倍，如何讨论？ 例4 解：(1) f(x)＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.当t ＋1＜4，即t ＜3时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递增．h(t)＝f(t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1，即3≤t ≤4时，h(t)＝f(4)＝16；当t ＞4时，f(x)在[t ，t ＋1]上单调递减，h(t)＝f(t)＝－t 2＋8t.综上，h(t)＝{ －t 2＋6t ＋7，t ＜3，，3≤t ≤4，－t 2＋8t ， t ＞4. (2) 函数y ＝f(x)的图象与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，即函数φ(x)＝g(x)－f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵ φ(x)＝x 2－8x ＋6lnx ＋m ，∴ φ′(x)＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x ＝2(x －1)(x －3)x(x ＞0)， 当x ∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ∈(1,3)时，φ′(x)＜0，φ(x)是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)是增函数；当x ＝1或x ＝3时，φ′(x)＝0.∴ φ(x)极大值＝φ(1)＝m －7，φ(x)极小值＝φ(3)＝m ＋6ln3－15.∵ 当x 充分接近0时，φ(x)＜0，当x 充分大时，φ(x)＞0.∴ 要使φ(x)的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须{ φ(x )极大值＝m －7＞0，(x )极小值＝m ＋6ln3－15＜0，即7＜m ＜15－6ln3.所以存在实数m ，使得函数y ＝f(x)与y ＝g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln3)．高考回顾1. ＜ 解析：f(x)在(1，＋∞)单调递增，f(x 0)＝0，f(x 1)＜0，f(x 2)＞0.2. 60,16 解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必然满足第一个分段函数，即f(4)＝c 4＝＝60，f(A)＝60A＝＝16. 3. 20 解析：3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，x ≥20.4. 13 解析： 设f(x)＝mx 2－kx ＋2，则方程mx 2－kx ＋2＝0在区间(0,1)内有两个不同的根等价于⎩⎨⎧f (0)f (1)＞0，＜k 2m ＜1，2－8m ＞0，因为f(0)＝2，所以f(1)＝m －k ＋2＞0，故抛物线开口向上，于是m ＞0,0＜k ＜2m ，令m ＝1，则由k 2－8m ＞0，得k ≥3，则m ＞k 2≥32，所以m 至少为2，但k 2－8m ＞0，故k 至少为5，又m ＞k 2≥52，所以m 至少为3，又由m ＞k －2＝5－2，所以m 至少为4，…，依次类推，发现当m ＝6，k ＝7时，m ，k 首次满足所有条件，故m ＋k 的最小值为13.5. 解：(1) 因为容器的体积为803π立方米，所以43πr 3＋πr 2l ＝803π， 解得l ＝803r 2－43r ＝43⎝⎛⎭⎫20r2－r ， 由于l ≥2r ，因此0<r ≤2，所以建造费用y ＝2πrl ×3＋4πr 2c ＝2πr ×43⎝⎛⎭⎫20r2－r ×3＋4πr 2c ， 因此y ＝160πr－8r 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]． (2) y ′＝－160πr 2－16r ＋8πcr ＝8π[(c －2)r 3－20]r 2， 由于c>3，所以c －2>0，当r 3＝20c －2时r ＝320c －2， 令320c －2＝m ，则m>0， 所以y ′＝8π(c －2)r2(r －m)(r 2＋mr ＋m 2)． ①当0<m<2即c>92时， 当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m)时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点，②当m ≥2，即3<c ≤92时， 当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减，所以r ＝2是函数y 的最小值点．综上，当3<c ≤92时，建造范围最小时r ＝2；当c>92时，建造费用最小时r ＝320c －2. 6. 解：(1) 因为x ＝5时y ＝11，所以a 2＋10＝＝2. (2) 由(1)知该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润：f(x)＝(x －3)⎣⎡⎦⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6； f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)，令f ′(x)＝0得x ＝4.函数f(x)在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，所以当x ＝4时函数f(x)取得最大值f(4)＝42. 答：当销售价格x ＝4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42元． 出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2012高考理科数学讲析练精品学案第1章 集合与函数概念第2讲 函数与映射的概念★知识梳理1．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为A x x f y ∈=),((2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则2．映射的概念设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从A 到B 的映射，通常记为B A f →:★重、难点突破重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域重难点：1．关于抽象函数的定义域求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误问题1：已知函数)(x f y =的定义域为][b a ，，求)2(+=x f y 的定义域[误解]因为函数)(x f y =的定义域为][b a ，，所以b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[++b a[正解]因为)(x f y =的定义域为][b a ，，所以在函数)2(+=x f y 中，b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，故)2(+=x f y 的定义域是]2,2[--b a即本题的实质是求b x a ≤+≤2中x 的范围问题2：已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域[误解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，所以得到b x a ≤+≤2，从而22-≤≤-b x a ，所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[--b a[正解]因为函数)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，则b x a ≤≤，从而222+≤+≤+b x a 所以函数)(x f y =的定义域是]2,2[++b a即本题的实质是由b x a ≤≤求2+x 的范围即)(x f 与)2(+x f 中x 含义不同1． 求值域的几种常用方法（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数4cos 2sin 2+--=x x y ，可变为2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y 解决（2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数)32(log 221++-=x x y 就是利用函数u y 21log =和322++-=x x u 的值域来求。

2012高考理科数学讲析练精品学案第1章 集合与函数概念 第4讲 函数的单调性与最值★知识梳理函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数； 如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；1． 函数的最大（小）值设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

★重、难点突破重点：掌握求函数的单调性与最值的方法难点：函数单调性的理解，尤其用导数来研究函数的单调性与最值重难点：1.对函数单调性的理解（1） 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须 先求函数的定义域；（2）函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即)(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；（3）若用导数工具研究函数的单调性，则在某区间I 上0)(>'x f （0)(<'x f ）仅是)(x f 为区间I 上的增函数（减函数）的充分不必要条件。

第09课时：第二章 函数——函数的解析式及定义域一．课题：函数的解析式及定义域二．教学目标：掌握求函数解析式的三种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 三．教学重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求．四．教学过程：（一）主要知识：1．函数解析式的求解；2．函数定义域的求解．（二）主要方法：1．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．2．求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域： ①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．（三）例题分析：例1．已知函数1()1x f x x+=-的定义域为A ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为B ，则 ()A A B B =U ()B A B ≠⊂ ()C A B = ()D A B B =I （ D ）解法要点：{}|1A x x =≠，121[()]()(1)11x y f f x f f x x x +===-+=---， 令2111x-+≠-且1x ≠，故{}{}|1|0B x x x x =≠≠I ．例2．（1）已知3311()f x x x x +=+，求()f x ； （2）已知2(1)lg f x x +=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x +=，求()f x ．解：（1）∵3331111()()3()f x x x x x x x x +=+=+-+， ∴3()3f x x x =-（2x ≥或2x ≤-）．（2）令21t x+=（1t >）， 则21x t =-，∴2()lg 1f t t =-，∴2()lg (1)1f x x x =>-． （3）设()(0)f x ax b a =+≠，则3(1)2(1)3332225217f x f x ax a b ax a b ax b a x +--=++-+-=++=+， ∴2a =，7b =，∴()27f x x =+．（4）12()()3f x f x x += ①，把①中的x 换成1x ，得132()()f f x x x += ②， ①2⨯-②得33()6f x x x =-，∴1()2f x x x=-． 注：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法．例3．设函数2221()log log (1)log ()1x f x x p x x +=+-+--， （1）求函数的定义域；（2）问()f x 是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由． 解：（1）由101100x x x p x +⎧>⎪-⎪⎨->⎪->⎪⎩，解得1x x p >⎧⎨<⎩ ① 当1p ≤时，①不等式解集为φ；当1p >时，①不等式解集为{}|1x x p <<，∴()f x 的定义域为(1,)(1)p p >．（2）原函数即22221(1)()log [(1)()]log [()]24p p f x x p x x -+=+-=--+， 当112p -≤，即13p <≤时，函数()f x 既无最大值又无最小值； 当112p p -<<，即3p >时，函数()f x 有最大值22log (1)2p +-，但无最小值．例4．《高考A 计划》考点8，智能训练15：已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)y f x x =-≤≤是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式．解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-，又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-，∴(1)(4)0f f +=．②当[1,4]x ∈时，由题意可设2()(2) 5 (0)f x a x a =-->，由(1)(4)0f f +=得22(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，∴2()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而2(1)2(12)53f =--=-，∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-． ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+． 当69x <≤时，154x <-≤，∴22()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--∴2315,46()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩．例5．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a 3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．根据上表中的数据，求、、．解：设每月用水量为x 3m ，支付费用为y 元，则有 8,0(1)8(),(2)c x a y b x a c x a +≤≤⎧=⎨+-+>⎩由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量153m ，223m 均大于最低限量a 3m ，于是就有198(15)338(22)b a c b a c=+-+⎧⎨=+-+⎩，解之得2b =，从而219 (3)a c =+再考虑一月份的用水量是否超过最低限量a 3m ，不妨设9a >，将9x =代入（2）式，得982(9)a c =+-+，即217a c =+，这与（3）矛盾．∴9a ≤．从而可知一月份的付款方式应选（1）式，因此，就有89c +=，得1c =．故10a =，2b =，1c =．（四）巩固练习：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为(,0]-∞． 2．函数1sin 21sin 2x y x +=-的定义域为{|(1),}6k x x k k Z ππ≠+-∈．。