专升本高数数学第二章 导数与微分

总要求考生应了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。

应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

历年考点学时分配第二部分 导数与微分 考试大纲（学时5）（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分段函数的导数。

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n 阶导数。

（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。

重要知识点 一、 导数定义1.(2007)下列选项中可作为函数)(x f 在点0x 处的导数的定义的选项是 A.)]()1([lim 00x f n x f n n -+∞→ B.00)()(lim 0x x x f x f x n --→C.x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000D. xx x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()3(lim 0002.(2008) )(x f 在点0x 处可导,且0)(0≠'x f ,则)(0x f '不等于 A. 00)()(limx x x f x f x n --→ B. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000C.x x f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000D. xx f x x f x ∆--∆-→∆)()(lim 0003. (2009)若A hh x f h x f h =--+→)()(lim000,则=AA. )('0x fB. )('20x fC.0D. )('210x f 4. (2010)已知,1)1('=f 则=∆-∆-→∆xf x f x )1()21(limA. 1B. -1C.2D. -2 5.按导数定义求导6.7.(2005)设)99)...(2)(1()(---=x x x x x f ，则=)0('f 8.二、连续、可导与可微的关系可导必连续，必可微，可导与可微等价，但连续不一定可导。

专升本高等数学参考教材高等数学参考教材一、导数与微分在高等数学中，导数与微分是一个非常重要的概念，它们是微积分的基础。

导数描述了函数在某一点的变化率，而微分则描述了函数在某一点附近的近似线性变化。

在本章节中，我们将详细介绍导数与微分的概念、性质和计算方法，并且给出一些典型的应用示例。

1. 导数的定义导数的定义是函数的变化率的极限，即函数在某一点的切线斜率。

我们通过极限的定义来推导出导数的表达式，并讨论了导数存在的条件和导数的几何意义。

2. 导数的运算法则导数的运算法则包括常数法则、幂法则、乘积法则、商法则以及复合函数法则。

这些法则不仅可以用来计算简单函数的导数，也可以用来计算复合函数的导数。

3. 高阶导数高阶导数是指导数的导数，例如二阶导数、三阶导数等。

我们讨论了高阶导数的性质和计算方法，并给出了一些实际问题的应用。

4. 微分的定义微分是导数的近似，也可以看作是函数在某一点的线性变化。

微分具有线性性质和可加性，可以通过导数计算微分。

5. 微分的应用微分在实际问题中有广泛的应用。

我们介绍了微分的几何应用、物理应用和经济应用，并通过具体的例子来进行讲解。

二、积分与不定积分积分是导数运算的逆运算，它描述了函数的累积效应。

在高等数学中，积分是解决各种数学问题的重要工具，涉及到面积、长度、体积等概念的计算，以及微分方程的求解等内容。

1. 不定积分的定义不定积分即原函数，是积分问题中最常见的形式。

不定积分的求解需要掌握基本积分公式和换元法等常用的计算方法。

2. 定积分的定义定积分描述了函数在一定区间上的累积效应，也可以理解为函数与坐标轴围成的曲边梯形的面积。

我们介绍了定积分的定义和性质，以及计算定积分的方法，包括分部积分法和换元法等。

3. 定积分的几何应用定积分在几何学中有广泛的应用，可以计算曲线长度、曲线与坐标轴围成的面积以及曲面的体积等问题。

我们通过具体的例子来说明定积分在几何学中的应用。

4. 定积分的物理应用定积分在物理学中也有重要的应用，可以计算物体的质量、动量和功等物理量。

第二章 导数与微分导数与微分这一章的基本思想是用极限理论来研究函数。

这一章内容是高等数学微积分部分的基础，因此必须牢固地掌握其基本理论、基本方法和常用解题技巧。

在研究生入学考试中，本章是所有《高等数学》课程的必考内容之一，一些综合考试题往往也要涉及到此章内容。

通过这一章的学习，我们认为同学们应达到如下要求：1、熟练掌握导数的定义，特别是左导数、右导数概念。

知道导数的几何意义（切线斜率）和物理意义（如速度、加速度等）以及经济意义（如边际成本、边际收入等）。

2、熟练掌握求导数的方法。

3、掌握高阶导数的定义，计算方法。

4、了解微分定义，可导与可微的关系，一阶微分不变性。

一、知识网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧可微一定可导可导一定可微导数与微分的关系几何意义定义微分计算方法基本公式导数定义）数定义、右导数定义、定义（一般定义、左导导数Dini 注：Dini 导数在控制理论与应用中有广泛的应用。

虽然高等数学教材上没有介绍，但计算机专业、电子专业的后继课程中有所涉及，因此我们认为还是有必要让学生知道。

定义：函数)(x f 在定义域D 内连续，)(x f 的四种Dini 导数定义为（1）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=+→+， （2）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=-→-， （3）hx f h x f x f D h )()(inf lim )(0-+=+→+， （4）hx f h x f x f D h )()(sup lim )(0-+=-→-。

二、典型错误分析例1．设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求)(a f '。

[错解] 因为)()()(x g a x x f -=，则)()()()(x g a x x g x f '-+='。

第二章 导数与微分第一讲：导数的概念一、是非题1.])([)(00'='x f x f ； （ ）2.曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处有切线，则)(0x f '一定存在； （ ）3.若)()(x g x f '>'，则)()(x g x f >； （ ）4.周期函数的导函数仍为周期函数； （ ）5.偶函数的导数为奇函数，奇函数的导数为偶函数； （ ）6.)(x f y =在0x x =处连续，则)(0x f '一定存在。

（ ） 二、填空题1.设)(x f 在0x 处可导，则______________)()(lim000=∆-∆-→∆xx f x x f x ，___________)()(lim000=--+→hh x f h x f h ；2.若)0(f '存在且0)0(=f ，则_______________)(lim=→xx f x ； 3.已知⎩⎨⎧-=,,)(22x x x f ,0,0<≥x x 则)0(f '＝ ； 4.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却，若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体在时刻t 的冷却速度为 ；5.物体作直线运动，运动方程为t t s 532-=，则物体在s 2到s t )2(∆+的平均速度为 ，物体在s 2时的速度为 。

三、选择题1.函数)(x f 的)(0x f '存在等价于（ ）；A 、)]()1([lim 00x f nx f n n -+∞→存在 B 、h x f h x f h )()(lim000--→存在 C 、x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000存在 D 、xx x f x x f x ∆∆+-∆+→∆)()3(lim 000存在2.若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处（ ）； A 、可导 B 、不可导 C 、连续但未必可导 D 、不连续四、利用定义求下列函数的导数1.21x y = 2.x y cos =3.),(为常数b a b ax y +=五、设)(x ϕ在a x =处连续，)()()(x a x x f ϕ-=，求)(a f '。

第二讲 导数与微分考点：1、理解导数的概念，掌握导数的定义。

2、能利用导数定义判断函数的可导性，会判断分段函数分段点处的可导性。

3、掌握导数的几何意义，会表示切线方程与法线方程。

4、了解可导性与连续性之间的关系。

5、熟练掌握导数计算的基本公式，四则运算法则，复合函数求导链式法则，隐函数求导法，参数方程求导法，对数求导法以及高阶导数的计算。

6、理解函数微分的基本概念，会求函数的微分，了解可导与可微之间的关系。

典型题目：1、求)1ln(2x x y ++=的导数2、求函数x ey 1sin 2=的导数 3、 已知0=-+e xy e y ,求dy dx 4、22ln arctan y x xy += 5、求曲线03275=--+x x y y 上在0=x 的点处的切线方程6、 sin (tan )x y x =，求y '. 7、 求函数)4)(3()2)(1(----=x x x x y ()4>x 的导数 8、设()0f x m '=,求下列极限:(1) ()()x x f x x f x ∆-∆-→∆0003lim ; (2) ()()xx x f x x f x ∆∆--∆+→∆23lim 000 9、设)(x f 在]1,1[-上有界,2sin )()(x x f x g =,求)0(g '.10、 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0;0,1sin )(x x x x g x f 且)0()0(g g '==0,证明:0)0(='f . 11、 设()x x x y sin +=,求dxdy . （导数()x f '为()x f 的边际函数）12、 某企业每月生产x 吨产品的总成本C (单位:千元)是产量x 的函数()20102+-=x x x C .如果每吨产品的销售价格为2万元,试求每月生产8吨时的边际利润.13、 设市场对某商品的需求量Q 是价格p 的函数275p Q -=,求4=p 时的边际需求,并说明其经济意义.（ 对于一般的x ,如果()x f y =是可导函数,且()0f x ≠,则：()().y x f x f x η'= 是x 的函数,称为()x f 的弹性函数(简称为弹性)）14、 设某种商品的需求函数为p Q -=50,p 为价格()500<<p ,试求:当30p =的需求弹性，并解释其经济意义。

高等数学本科第二章导数与微分例题讲解附答案
例1 设函数，讨论函数在处是否连续，是否可导？
解：思路：根据定义。

，所以，函数在处连续。

又，此极限不存在，所以函数在处不可导。

例2 求函数的导数。

解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。

例3 求函数的导数。

解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。

例4 求函数的导数。

解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。

例5 求方程确定的函数的导数。

解：思路：熟记求导公式及复合函数求导方法。

方程两边关于自变量求导，有
例6 求曲线与直线交点处的切线方程。

解：思路：切线斜率就是曲线方程函数在切点的导数。

显然，交点为（1，2），切线的斜率为，
所以，切线方程为。

例7求函数的微分。

解：思路：熟记微分公式。

第二章 一元函数微分学§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念1．导数：)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(l i m l i m 00000)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 00)(0x x x x dxdy x f y ==='='2．左导数：00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-→- 右导数：000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+→+定理：)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim )(00x f x f x x '='-→-（或：)(lim )(00x f x f x x '='+→+）3.函数可导的必要条件：定理：)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续4. 函数可导的充要条件：定理：)(00x f y x x '='=存在)()(00x f x f +-'='⇒，且存在。

5.导函数：),(x f y '=' ),(b a x ∈)(x f 在),(b a 内处处可导。

y )(0x f '6.导数的几何性质：y ∆)(0x f '是曲线)(x f y =上点 x ∆()00,y x M 处切线的斜率。

o x 0㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算： 1o v u v u '±'='±)（2ov u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（3o2v v u v u v u '⋅-⋅'='⎪⎭⎫⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：)]([),(),(x f y x u u f y ϕϕ===dxdu du dy dx dy ⋅=，或)()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'='☆注意})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。