高中数学中的斐玻那契数列问题

斐波那契数列前n项和公式的推导斐波那契数列，这玩意儿听起来是不是有点神秘兮兮的？其实啊，它就在我们身边，而且特别有趣！咱们先来看看斐波那契数列到底是啥。

简单说，就是从 0 和 1 开始，后面每一项都是前两项的和。

比如 0、1、1、2、3、5、8、13……就这么一直往后走。

那斐波那契数列前 n 项和的公式是咋推导出来的呢？这可得好好琢磨琢磨。

咱们设斐波那契数列的前 n 项和为 S(n) 。

那第一项是 0 ，第二项是1 ，从第三项开始，每一项都是前两项的和。

咱先试着把前几项的和写出来看看。

S(1) = 0 ，S(2) = 1 ，S(3) = 2 ，S(4) = 4 ，S(5) = 7 。

光这么看好像没啥规律，别急，咱们换个角度。

咱们把斐波那契数列相邻的两项相加，会发现一个有趣的现象。

比如 1 + 2 = 3 ， 2 + 3 = 5 ， 3 + 5 = 8 。

是不是感觉有点意思了？我想起之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙特别积极，一直在那自己琢磨。

我就故意不告诉他答案，让他自己去探索。

结果啊，还真被他琢磨出了一点门道。

咱们继续推导。

咱们设斐波那契数列的第 n 项为 F(n) ，那么前 n 项和 S(n) 就可以表示为：S(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… + F(n) 。

同时，我们还知道 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) 。

那我们把 S(n) 写两遍，然后错位相减试试。

S(n) = F(1) + F(2) + F(3) + …… + F(n - 1) + F(n)S(n) = F(2) + F(3) + …… + F(n - 1) + F(n) + F(n + 1)用第二个式子减去第一个式子，得到：0 = F(2) - F(1) + F(3) - F(2) + …… + F(n + 1) - F(n)整理一下，就得到 S(n) = F(n + 2) - 1 。

高中数学中的斐波那契数列问题小结作者简介：任所怀，男，山西省原平市原平一中数学教师。

生于1973年9月10日，主要致力于中学数学教学研究，联系邮箱：rsh73910@解：b猜想二：1232343,8a a a a a a +==+==，于是猜想：53464513,21a a a a a a =+==+=。

这两种猜想，哪一个正确？就必须从已知进行推理分析。

对于n （3)n ≥个从上而下的正方形要着黑色或白色，所有黑色正方形互不相邻的着色方案n a 种，可分为两类：第一类：最上面的正方形着白色。

此时下面的1n -个正方形的着色方案则有1n a -种；第二类：最上面的正方形着黑色。

此时与它相邻的正方形必着白色，而余下的n-2个正方形的着色方案有2n a -种。

于是由加法原理得12(3)n n n a a a n --=+≥显然是猜想二是正确的。

这一高考题的背景显然是斐波那契数列，跟这一问题类似的还有登台阶问题。

问题四：有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?解：设按规定登n 阶台阶的走法有n a 种，则11a =，22a =。

当3n ≥时，登n 阶台阶的走法可分为两类：第一类：第一步登一级台阶，则余下的1n -级台阶有1n a -种走法；第二类：第一步登两级台阶，则余下的2n -级台阶有2n a -种走法。

由加法原理得12n n n a a a --=+。

于是数列{}n a 是一个斐波那契数列，这一问题也就迎刃而解。

说到这里，我们会发现，高中数学中对于斐波那契数列问题的解决不约而同地都用到了分类计数原理。

所以对于斐波那契数列的研究只要我们找对研究的方向，并不会超出高中数学范围，相反通过这样不同于等差等比数列问题的研究，更能加强学生对基本原理的应用能力，从而增加其创新能力。

斐波那契数列计算
斐波那契数列是一种简单但又有趣的数学现象。

它是一个可以推定过去和未来数字序列的
有趣序列，也被用于计算机科学中的一些复杂算法中。

为了计算斐波那契数列中的任意一
个数字，要从第一个数字开始进行数的累加。

简单来说，它由以下公式定义：
F_n = F_(n-1) + F_(n-2)
其中，F_n代表斐波那契数列中的第n个数字，F_(n-1)和F_(n-2)代表斐波那契数列中第
n-1和第n-2个数字。

因此，当n=1时，F_1=F_0，当n=2时，F_2=F_1，等等。

斐波那契数列从数学角度看，其通解可以表示为：
F_n = [(1 + sqrt 5 )^n - (1 - sqrt 5 )^n]/[2^n * sqrt 5 ]
其中sqrt 5 代表开放五号，^n代表n次方。

斐波那契数列拥有众多应用。

其中最著名的就是在计算机科学中的应用，比如斐波那契查找、斐波那契堆等算法都和斐波那契数列挂钩。

斐波那契数列还被用于递归调用、gcd算法；数论中，它可以用于求解有形式的数列的最优解；数学上，它可以用于证明某种性质，比如著名的大数定律原理、欧拉公式中也有斐波那契数列的元素；还有一些艺术作品中，
都也用到了这个数列，比如佛洛依德圆螺旋等等。

总之，斐波那契数列拥有众多的应用，是研究计算机科学和数学研究领域中一个重要的数
学模型。

它把数学和艺术特性综合起来，所以今天仍然被广泛使用，是人们进行学术研究
的不可或缺的有用工具。

斐班那切数列斐波那契数列（Fibonacci sequence）是一个典型的数学问题，也是一个非常有趣的数列。

它是通过前两个数字的和得到下一个数字的一种规律，起始数字常为0和1。

斐波那契数列的定义很简单，就是从1开始，每一项都等于前两项之和，公式表示为：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(n)表示数列的第n项。

斐波那契数列的前几项依次为：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144，以此类推。

可以看出，这个数列是个无限数列，每一项都是前两项的和。

斐波那契数列最早是由13世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci）研究得出的。

他在其著作《算盘书》中介绍了斐波那契数列，并且用兔子繁殖作为实例来说明这个数列的应用。

斐波那契数列有着许多有趣的性质和应用。

首先，它是一个递归数列，可以通过递归的方式来生成。

其次，斐波那契数列的增长速度非常快，后面的数字会迅速增大。

这也使得它在金融学、自然科学、计算机科学等领域有着广泛的应用。

在金融学中，斐波那契数列出现在黄金分割比例中。

黄金分割比例是一个数学上的常数，被广泛应用在艺术、建筑、美学等领域。

它可以用斐波那契数列的比值逼近得到，即相邻两项的比例会越来越接近黄金分割比例1.618。

在自然科学中，斐波那契数列也有着一些有趣的应用。

例如，它出现在植物的排列方式中。

在一些植物的叶子、花瓣、果实等排列中，可以发现它们的数量往往是斐波那契数列的某一项。

这种规律被称为植物的斐波那契序列。

在计算机科学中，斐波那契数列常常被用来展示递归算法的实现。

由于斐波那契数列的递归定义，可以使用递归算法来计算数列的某一项。

然而，递归算法在计算大量项时会遇到效率问题，结果需要大量的重复计算。

因此，可以使用动态规划等方法来优化算法，避免重复计算。

斐波那契数列还和黄金矩形、黄金螺旋等有着紧密的联系。

黄金矩形是一种长宽比例接近黄金分割比例的矩形，黄金螺旋则是由一系列黄金矩形组成的螺旋形状。

高考数学题型归纳：菲波那奇数列的应用_题型归纳
高考数学题型归纳：菲波那奇数列的应用菲波那奇数列的应用
在期货应用技术分析时，大家知道黄金分割率的重要性，并能够举出大量例子证明其神奇的功能。

事实上，自然界中，无数现象也在默默地展示菲波那奇数列的神奇规律。

一、从黄金分割到菲波那奇
1、黄金分割早在古希腊时代，人们就已经认识到0,高中政治.618的神奇，并将其称为黄金分割率。

出于对这一数字的偏爱，它被应用到建筑和绘画等领域，从巴台农神庙到美国纽约众议院。

【高中数学文化鉴赏】斐波那契数列一、单选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2tB ．1t −C ．tD ．1t +2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=−，则k 等于（ ） A ．12B ．13C ．89D ．1443．斐波那契数列指的是这样一个数列：11a =，21a =，当3n ≥时，12n n n a a a −−=+.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（ ） A ．4B ．5C ．6D ．74．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（ ） A ．512B ．14 C ．13D ．7125．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的第2022项为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．36．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N −−=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（ ）A ．98B ．99C ．100D ．1017．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{}n F ，此数列满足：121F F ==，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即*21()n n n F F F n N ++=+∈，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A ．672B ．674C ．1348D ．20228．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n b ，则下列四个结论：①20211b =；②123202120221a a a a a ++++=−L ； ③12320212694b b b b ++++=；④2222123202120212022a a a a a a ++++=.其中正确结论的序号是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=−，则k 等于（ ） A ．12B ．14C ．377D ．60810．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，L ．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()()()31425310098−+−+−+⋅⋅⋅+−=a S a S a S a S （ ）A ．0B ．1C ．98D ．10011．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=−C ．1352121n n a a a a a −++++=−D ．()121)4(3n n n n c c a n a π−−+−≥=⋅12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（ ）A ．105a =B ．()2233n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足： 12211,n n n a a a a a ++===+. ，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（ ）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑14．数列{}n a ：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202220211a S =−B ．202220201a S =+C ．202220202a S =+D ．202220212a S =−15．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n −−=+≥，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（ ）项.A ．2020B ．2021C ．2022D ．202316．斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为{}n a ，则222122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20202021a aB ．20202022a aC ．20212022a aD ．20222023a a17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()*123,n n n a a a n n N −−=+≥∈，121aa ==，则()20222120221,2,,2022ii ai a ==⋅⋅⋅∑是数列{}n a 的第几项？（ ） A ．2020B ．2021C ．2022D ．202318．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（ ） A ．854S = B ．135720192020a a a a a a +++++=C ．2468202020211a a a a a a +++++=− D ．20202019201820172021S S S S a +−−=19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（ ） A ．2698B ．2697C ．2696D ．269520．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（ ） A ．2021a 是奇数B ．62420202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202*********a a a a a a ++++=二、填空题21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为_______．22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是______． ①733S = ②202220241S a =− ③135********a a a a a ++++= ④2222123202120212022a a a a a a ++++=23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{}n a ，其中121a a ==，有以下几个命题：①()12n n n a a a n ++++=∈N ；②2222123445a a a a a a +++=⋅；③135********a a a a a ++++=；④()2212221n n n a a a n +++=⋅−∈N ． 其中正确命题的序号是________．24．斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，若2022a m =，则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）.25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列{}n a 满足：12a =，410a =，且21n n n a a a ++=+（n *∈N ），记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，若2852p S =，则p =___________.26．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci )从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为121a a ==，()21N*n n n a a a n ++=+∈．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式11(()22⎡⎤−⎥⎦n n n a 等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，从而易得21a ＋22a ＋23a ＋…＋2126a 值的个位数为__________．27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________.28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）29．斐波那契数列{}n a 满足：12211,1,n n n a a a a a ++===+．该数列与如图所示的美丽曲线有深刻联系，设2221212,n n n n S a a a T a a a =+++=+++，给出以下三个命题：①22213n n n n a a a a +++−=⋅； ②21n n S a +=−；③2111n n n n T a a a +++=+⋅．其中真命题的是________________（填上所有正确答案）30．意大利数学家斐波那契(1175年1250−年）以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即*21()n n n a a a n ++=+∈N ，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为11()(22⎡⎤−⎥⎦n n n a ．设n 是不等式(1(1211n n n ⎡⎤−>+⎣⎦的正整数解，则n 的最小值为______．【数学文化鉴赏与学习】斐波那契数列一、单选题1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即()*21n n n a a a n N ++=+∈，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”.记2022a t =，则1352021a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．2t B ．1t − C ．t D ．1t +【答案】C 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】由()*21n n n a a a n N ++=+∈，得202220212020202120192018a a a a a a =+=++=⋅⋅⋅=20212019322021201931a a a a a a a a t ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=. 故选：C.2．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a +++=−，则k 等于（ ） A ．12 B ．13C ．89D ．144【答案】A 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的性质进行求解即可. 【详解】由斐波那契数列的性质可得：2357911457911791191681011112,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++++++=+=++==所以k 等于12， 故选：A3．斐波那契数列指的是这样一个数列：11a =，21a =，当3n ≥时，12n n n a a a −−=+.学习了斐波那契数列以后，班长组织同学们体育课上做了一个报数游戏：所有同学按身高从高到低的顺序站成一排，第一位同学报出的数为1，第二位同学报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和.若班上一共有30位同学，且所报数为5的倍数的同学需要说出斐波那契数列的一个性质，则需要说性质的同学有几个？（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出所报数构成的数列即可判断. 【详解】由题意知所报数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610…5a ，10a ，15a ，20a ，25a ，30a 均为5的倍数，故有6个同学． 故选：C ．4．斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列{}n a 满足121a a ==，21++=+n n n a a a ，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（ ） A ．512B ．14 C ．13D ．712【答案】A 【解析】 【分析】根据递推公式写出前12项，找出质数的个数，利用古典概型求概率公式进行求解. 【详解】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 所以基本事件数共有12，其中质数有2，3，5，13，89，共5种， 故是质数的概率为512P =． 故选：A ．5．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的第2022项为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】A 【解析】 【分析】根据数列各项的规律可知{}n b 是以6为周期的周期数列，由此可得202260b b ==. 【详解】由题意知：数列{}n a 为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋅⋅⋅， 则数列{}n b 为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1,1,⋅⋅⋅，即数列{}n b 是以6为周期的周期数列，2022337660b b b ⨯∴===. 故选：A.6．斐波那契数列，又称黄金分割数列，该数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用，在数学上，斐波那契数列是用如下递推方法定义的：121a a ==，()*123,.n n n a a a n n N −−=+≥∈ 已知2222123mma a a a a ++++是该数列的第100项，则m =（ ）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】B 【解析】 【分析】根据题意推出2121a a a =，222321a a a a a =−，L ，211m m m m m a a a a a +−=−，利用累加法可得211mi m m i a a a +==∑，即可求出m 的值.【详解】由题意得，2121a a a =，因为12n n n a a a −−=−， 得222312321()a a a a a a a a =−=−，233423432()a a a a a a a a =−=−， L ，21111()m m m m m m m m a a a a a a a a +−+−=−=−，累加，得222121m m m a a a a a ++++=， 因为22212m ma a a a +++是该数列的第100项，即1m a +是该数列的第100项，所以99m =. 故选：B.7．意大利数学家斐波那契在 1202 年著的《计算之书》中记载了斐波那契数列{}n F ，此数列满足：121F F ==，且从第三项开始，每一项都是它的前两项的和，即*21()n n n F F F n N ++=+∈，则在该数列的前 2022 项中，奇数的个数为（ ） A ．672 B ．674C ．1348D ．2022【答案】C【解析】 【分析】先考虑前6项的奇偶性，从而可得各项奇偶性的周期性，故可得正确的选项. 【详解】121F F ==，故32F =，4563,5,8F F F ===，故各项奇偶性呈现周期性（奇奇偶）， 且周期为3，因为20223674=⨯，故奇数的个数为67421348⨯=， 故选：C.8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，….该数列的特点如下：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为斐波那契数列，现将{}n a 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n b ，则下列四个结论：①20211b =；②123202120221a a a a a ++++=−L ； ③12320212694b b b b ++++=；④2222123202120212022a a a a a a ++++=.其中正确结论的序号是（ ） A ．①③ B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B 【解析】 【分析】根据数列{}n b 的周期性，结合数列{}n a 的性质进行求解判断即可. 【详解】因为11b =，21b =，32b =，43b =，51b =，60b =，71b =，81b =，…， 所以{}n b 是以6为周期的周期数列，所以202151b b ==，所以①正确； 因为123202133782696b b b b ++++=⨯=，所以③错误； 因为1232021a a a a ++++()()()()()()324354202120202022202120232022a a a a a a a a a a a a =−+−+−++−+−+−L2023220231a a a =−=−，所以②错误；因为2222222123202112232021a a a a a a a a a ++++=++++()2222212320212332021a a a a a a a a a =++++=+++=，所以()22222123202120202021202120212020202120212022a a a a a a a a a a a a ++++=+=+=，所以④正确.故选：B9．意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21…，在实际生活中很多花朵的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列{}n a 满足：11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，若3579112k a a a a a a a ++++=−，则k 等于（ ） A ．12 B ．14C ．377D ．608【答案】A 【解析】 【分析】利用21n n n a a a ++=+可化简得357911212a a a a a a a +++=++，由此可得12k =. 【详解】由21n n n a a a ++=+得：3579115791179112468911a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++=+==++101112a a a =+=， 357912211a a a a a a a ++++=−∴，即12k =.故选：A.10．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，L ．该数列的特点如下：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把由这样一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则()()()()31425310098−+−+−+⋅⋅⋅+−=a S a S a S S （ ）A ．0B ．1C ．98D ．100【答案】C 【解析】 【分析】推导出当2n ≥时，21n n a S +−=，结合311a S −=可求得所求代数式的值. 【详解】当2n ≥时，11n n n a a a −++=，则11n n n a a a +−=−， 故当2n ≥时，()()()1231314211n n n n S a a a a a a a a a a a +−=++++=+−+−++−()()1341123111n n n n a a a a a a a a a a +−+=++++−++++=+−，此时()21111n n n n n n a S a a a a +++−=+−+−=，又因为31211a S −=−=，因此，()()()()3142531009898a S a S a S a S −+−+−+⋅⋅⋅+−=. 故选：C.11．意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列{}n a 满足11a =，21a =，()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n 项所占的格子的面积之和为n S ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为n c ，则其中不正确结论的是（ ）A ．2111n n n n S a a a +++=+⋅ B ．12321n n a a a a a +++++=−C ．1352121n n a a a a a −++++=−D ．()121)4(3n n n n c c a n a π−−+−≥=⋅【答案】C 【解析】 【分析】A 选项由前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形即可判断；B 选项由()*123,n n n a a a n n −−=+≥∈N 结合累加法即可判断；C 选项通过特殊值检验即可；D 选项表示出221111,44n n n n c a c a ππ−−==，作差即可判断. 【详解】由题意知：前()1n +项所占格子组成长为1n n a a ++，宽为1n a +的矩形，其面积为()211111n n n n n n n S a a a a a a +++++=+=+，A 正确；32143221,,,n n n a a a a a a a a a ++=+=+=+，以上各式相加得，()34223112()n n n a a a a a a a a a +++++=+++++++，化简得2212n n a a a a a +−=+++，即1221n n a a a a ++++=−，B 正确；12345613561,2,3,5,8,817a a a a a a a a a a ======∴++=≠−=，C 错误；易知221111,44n n n n c a c a ππ−−==，()()()221111214()(3)n n n n n n n n n n c c a a a a a a a a n πππ−−−−−+∴−=−=−+=≥，D 正确.故选：C.12．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足：12211,n n n a a a a a ++===+，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（ ）A ．105a =B ．()2233n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件逐项分析、推理计算即可判断作答. 【详解】依题意，{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 即1055a =，A 正确；依题意，当3n ≥时，12n n n a a a −−=+，得2121223n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a −−−+−+=+++=++=+，B 正确；由给定的递推公式得：321a a a −=，432a a a −=，…，202120202019a a a −=， 累加得20212122019a a a a a −=+++，于是有1220192021220211a a a a a a +++=−=−，即2019202111i i a a ==−∑，C 错误；2121a a a =⋅，222312321()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，233423432()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，…，22021202120222020()a a a a =⋅−2021202220212020a a a a =⋅−⋅，累加得22212202120212022a a a a a +++=⋅，D 正确.故选：C 【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.13．斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用n a 表示斐波那契数列的第n 项，则数列{}n a 满足： 12211,n n n a a a a a ++===+. ，记121ni n i a a a a ==+++∑，则下列结论不正确的是（ ）A ．1055a =B ．223(3)n n n a a a n −+=+≥C ．201920211i i a a ==∑D ．20212202120221i i a a a ==⋅∑【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的数列的递推公式，逐项分析、推理计算即可判断作答． 【详解】依题意，数列{}n a 的前10项依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 即1055a =，所以A 正确；当3n ≥时，122121223n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a −−−−−+−+=+=+++=++=+，， 所以B 正确；由12211,n n n a a a a a ++===+，可得321432202120202019,,,a a a a a a a a a −=−=−=，累加得20212122019a a a a a −=+++则122019202122021220211a a a a a a a a +++=−=−=−，即2019202111i i a a ==−∑，所以C 错误；由2212122312321,()a a a a a a a a a a a ==−=−，233423432(),a a a a a a a a =−=−，220212021202220202021202220212020()a a a a a a a a =−=−， 所以22212202120212022a a a a a +++=⋅，所以D 正确.故选：C.14．数列{}n a ：1,1,2,3,5,8,13,21,34…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多⋅斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．202220211a S =− B ．202220201a S =+C ．202220202a S =+D ．202220212a S =−【答案】B 【解析】 【分析】利用迭代法可得2n a +123211n n n n a a a a a a −−−=+++++++，可得21n n a S +=+，代入2020n =即可求解.【详解】由题意，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 所以211n n n n n n a a a a a a ++−=+=++=...123211n n n n a a a a a a −−−=+++++++，所以21n n a S +=+，令2020n =，可得202220201a S =+， 故选：B【点睛】关键点点睛：理解数列新定义的含义得出21++=+n n n a a a ，利用迭代法得出2n a +123211n n n n a a a a a a −−−=+++++++，进而得出21n n a S +=+.15．斐波那契数列{}n a 满足121a a ==，()123n n n a a a n −−=+≥，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出2221220212021a a a a ++⋅⋅⋅是斐波那契数列的第（ ）项.A ．2020B ．2021C ．2022D ．2023【答案】C 【解析】 【分析】由斐波那契数列的递推关系可得21121n n n n n a a a a a ++++=−，应用累加法求2222021122021T a a a =+++，即可求目标式对应的项. 【详解】由12n n n a a a ++=−，则1222111()n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，又1a =21a =， 所以2121a a a =，223221a a a a a =−，234332a a a a a =−，…，220212021202102222020a a a a a =−，则222022021122021202221T a a aa a ==+++，故2221220212021202220212021...a a a Ta a a +++==. 故选：C16．斐波那契数列（Fibonacci sequence ），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，….从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记此数列为{}n a ，则222122021a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．20202021a a B ．20202022a aC ．20212022a aD ．20222023a a【答案】C 【解析】 【分析】由21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=−，且12a a =，可得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()212321a a a a a a =+−()()20202021201920202021202220212020a a a a a a a a +⋅⋅−⋅−++，化简即可求解. 【详解】由已知条件可知21n n n a a a ++=+，则12n n n a a a ++=−，且12a a =，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =−=−，()233423423a a a a a a a a =−=−，…， ()220202020202120192020202120192020a a a a a a a a =−=−， ()220212021202220202021202220212020a a a a a a a a =−=−，上述各式相加得222122021a a a ++⋅⋅⋅+()()()()202020212019202020212022202122123213243002a a a a a a a a a a a a a a a a a a −=+−+−+⋅⋅⋅++− 20212022a a =. 故选：C .17．斐波那契数列又称“黄金分割数列”，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：()*123,n n n a a a n n N −−=+≥∈，121aa ==，则()20222120221,2,,2022ii ai a ==⋅⋅⋅∑是数列{}n a 的第几项？（ ） A ．2020 B ．2021 C ．2022 D ．2023【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合递推关系式,采用累加求和可得202221i i a =∑的值，进一步做比值即可．【详解】由题意可得211a =，2223123()1a a a a a a =⋅−=⋅−， 233423432()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅，L ，220222022202320212022202320222021()a a a a a a a a =⋅−=⋅−⋅， 累加得：22212202220222023a a a a a +++=⋅，即20222202220231i i a a a ==⋅∑，20222120232022ii a a a ==∑,故选：D ．18．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论错误的是（ ） A ．854S = B ．135720192020a a a a a a +++++=C ．2468202020211a a a a a a +++++=−D ．20202019201820172021S S S S a +−−=【答案】D 【解析】 【分析】利用“斐波那契数列”的定义及数列的性质对选项A 、B 、C 、D 逐一分析即可得答案． 【详解】解： 对A ：81238...112358132154S a a a a =++++=+++++++=，故选项A 正确；对B ：由“斐波那契数列”的定义有2020201920182019201720162019201720152014a a a a a a a a a a =+=++=+++20192017201532a a a a a ==+++++，因为21a a =， 所以135720192020a a a a a a +++++=，故选项B 正确；对C ：由“斐波那契数列”的定义有202120202019202020182017202020182016421a a a a a a a a a a a a =+=++==++++++，因为11a =， 所以2468202020211a a a a a a +++++=−，故选项C 正确；对D ：()()()()20202019201820172018201920172019202020182019202120202022S S S S S S S S a a a a a a a +==++−−=−−++=+，故选项D 错误． 故选：D ．19．斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.此数列在现代物理､准晶体结构､化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 可以用如下方法定义：21n n n a a a ++=+，且121a a ==，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{}n b ，则数列{}n b 的前2022项和为（ ） A ．2698 B ．2697 C ．2696 D ．2695【答案】C 【解析】 【分析】根据()*12123,,1n n n a a a n n a a −−=+⋯∈==N , 递推得到数列{}n a ,然后再得到数列{}n b 是以6为周期的周期数列求解. 【详解】因为()*12123,,1,n n n a a a n n a a −−=+⋯∈==N所以数列{}n a 为 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,⋯此数列各项除以 4 的余数依次构成的数列{}n b 为:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,是以 6 为周期的周期数列, 所以20222022=(1+1+2+3+1+0)=26966S . 故选：C.20．十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：1，1，2，3，5，8，13，…．即从第三项开始，每一项都等于它前两项的和．后人为了纪念他，就把这列数称为斐波那契数列．因以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．下面关于斐波那契数列{}n a 的说法不正确的是（ ） A ．2021a 是奇数 B ．62420202021a a a a a ++++=C ．135********a a a a a ++++=D ．2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】B 【解析】 【分析】直接根据斐波那契数列的递推关系21n n n a a a ++=+及数列求和，相消法的应用进行判断即可求解. 【详解】因为{}n a 的项n a 具有2奇1偶，3项一周期的周期性，所以2021a 是奇数，所以A 正确； 因为34682020562020201920202021a a a a a a a a a a +++++=++==+=，所以B 错误；因为13520212352021452021202020212022a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=+++=+=，所以C 正确；因为()22222222212320211223202121232021a a a a a a a a a a a a a a ++++=++++=++++()22222332021323202134202120212022a a a a a a a a a a a a a =+++=+++=++==，所以D 正确．故选：B. 二、填空题21．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，⋯，这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2022项中奇数的个数为_______．【答案】1348 【解析】 【分析】根据已知数据进行归纳，发现规律，再结合题意，即可求得结果. 【详解】对数列中的数据归纳发现，每3个数中前2个都是奇数， 又20223674=⨯，故该数列前2022项有67421348⨯=个奇数. 故答案为：1348.22．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是______． ①733S = ②202220241S a =− ③135********a a a a a ++++= ④2222123202120212022a a a a a a ++++=【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的定义验证各结论是否正确． 【详解】71123581333S =++++++=，①正确；2024202220232022202120222022202120202021a a a a a a a a a a =+=++=+++==2022202123a a a a ++++=2022202121220221a a a a a S +++++=+，所以202220241S a =−，②正确；20222021202020212019201820212019322021201931a a a a a a a a a a a a a a =+=++=++++=++++，③正确222222221232021202120221232020202120212022()a a a a a a a a a a a a a ++++−+++−=++2222123202020212020a a a a a a =+++++−21120a a a ==−=，④正确．故答案为：①②③④．23．意大利数学家斐波那契于1202年在他的著作《算盘书》中，从兔子的繁殖问题得到一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，这个数列称斐波那契数列，也称兔子数列．斐波那契数列中的任意一个数叫斐波那契数．人们研究发现，斐波那契数在自然界中广泛存在，如图所示：大多数植物的花斑数、向日葵花盘内葵花籽排列的螺线数就是斐波那契数等等，而且斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着直接的应用．设斐波那契数列为{}n a ，其中121a a ==，有以下几个命题：①()12n n n a a a n ++++=∈N ；②2222123445a a a a a a +++=⋅；③135********a a a a a ++++=；④()2212221n n n a a a n +++=⋅−∈N ． 其中正确命题的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据斐波那契数列的知识对四个命题进行分析，从而确定正确答案. 【详解】斐波那契数列从第3项起，每一项都是前2项的和，所以()12n n n a a a n ++++=∈N ，①正确.22221234451143915,515a a a a a a =+++++⋅=⨯=+=，②正确.202220212020202120192018a a a a a a =+=++ 2021201920172016a a a a =+++=202120192017201532a a a a a a =++++++202120192017201531a a a a a a =++++++，所以③正确.当1n =时，222134n a a +==，22224111312n n a a a a +⋅−=⋅−=⨯−=，所以④错误.故答案为：①②③24．斐波那契数列（Fibonaccisequence ）又称黄金分割数列，是数学史上一个著名的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….已知在斐波那契数列{}n a 中，11a =，21a =，()21N n n n a a a n +++=+∈，若2022a m =，则数列{}n a 的前2020项和为___________（用含m 的代数式表示）.【答案】1m −##1m −+ 【解析】 【分析】通过累加得到22n n a a S +=+即可求得前2020项和. 【详解】由21n n n a a a ++=+，可知11n n n a a a +−=+，……，432a a a =+，321a a a =+， 将以上各式相加得1312121222n n n n n a a a a a a a a +−++++++++=++，整理得22n n a a S +=+， 则2020202221S a a m =−=−. 故答案为：1m −.25．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，现有与斐波那契数列性质类似的数列{}n a 满足：12a =，410a =，且21n n n a a a ++=+（n *∈N ），记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，若2852p S =，则p =___________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据递推关系写出{}n a 的前面若干项，利用并项求和法求得n S ，从而确定p 的值. 【详解】∵43212222210a a a a a a =+=+=+=，∴24a =，36a =， 则数列{}n a 中的项依次为2，4，6，10，16，26，42，68，…，又214a =，()222312312a a a a a a a a =−=−，()233423423a a a a a a a a =−=−，()244534543a a a a a a a a =−=−，…， ()21111n n n n n n n n a a a a a a a a +−+−=⋅−=⋅−⋅，将上面的式子相加，可得1124n n n S a a a a +=⋅−+，又77812442682442852S a a a a =−+=⨯−⨯+=， ∴7p =. 故答案为：726．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(Leonardo Fibonacci )从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为121a a ==，()21N*n n n a a a n ++=+∈60为周期变化的，通项公式⎡⎤−⎥⎦n n n a 等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，从而易得21a ＋22a ＋23a ＋…＋2126a 值的个位数为__________．【答案】4 【解析】 【分析】先根据()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案. 【详解】因为()2112211n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=−=−，所以()()()2123213432126127126125a a a a a a a a a a a a a +−+−++−211261271261271a a a a a a =−+=.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以1266,a a 的个位数字相同，1277,a a 的个位数字相同，易知67658,13a a a a ==+=，则2438=⨯，所以126127a a 的个位数字为4. 故答案为：4.27．1202年意大利数学家列昂那多－斐波那契以兔子繁殖为例，引人“兔子数列”，又称斐波那契数列.即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都有着广泛的应用.若此数列各项被3除后的余数构成一新数列{}n a ，则数列{}n a 的前2022项的和为________. 【答案】2276 【解析】 【分析】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，知{}n a 是周期为8的数列，即可求出数列{}n a 的前2022项的和. 【详解】由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,各项除以3的余数，可得{}n a 为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1，{}n a ∴是周期为8的数列，一个周期中八项和为112022109+++++++=，又202225286=⨯+，∴数列{}n a 的前2022项的和2022252982276S =⨯+=. 故答案为：2276.28．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列{}n a 满足10a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+∈N ，若记1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，则2022a =________．（用M ，N 表示）【答案】1M N ++ 【解析】 【分析】由已知两式相加求得2020=+S N M ，1352019a a a a M ++++=得20181=−=S M a M ，2462020a a a a N ++++=得到20191=−S N ，从而得到202020202019a S S =−，201920192018=−a S S ，利用21n n n a a a ++=+可得答案. 【详解】 因为1352019a a a a M ++++=，由1352019a a a a M ++++=，2462020a a a a N ++++=，得2020=+S N M ，所以()()()()11362018102451201728+++++++=+=++a a a a a a a a a a S M ，得20181=−=S M a M ， 因为2462020a a a a N ++++=，所以()()()224201820192019251320911+++++++=−+=+=a a a a a a a S a a S N ，。

斐波那契定理动点问题提高
什么是斐波那契数列？
斐波那契数列（Fibonacci sequence）指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以
如下被以递归的方法定义：$$F_0=0,F_1=1,$$$$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n>=2)$$
动点问题及其场景
所谓“斐波那契定理动点问题”，指的是一个经典的数学问题，
当了解了一些高精度数据结构的知识后，就可以进行一些较高难度
的操作，其实，这个问题的解法还可以用于`DP`问题。

斐波那契数列的动点问题出现得比较少，不过却非常的经典，有助于拓展思维。

实际项目中，我们可以用斐波那契数列来解决“超时概率”等问题，最佳方法就是用动态规划。

经典示例
斐波那契数列的动点问题可以用最好的方式来解决：`DP`。

举个栗子：一个跳台阶的问题，一个台阶，可以进行一次一格，两格距离的跳跃，求到达第n格有多少种跳法？
根据题目意思可知，当只有一个台阶的时候，有$F_1=1$种跳法，当台阶的数量为2时，有$F_2=2$种跳法。

可以推断出，当N 大于等于三时，到达第N个台阶的跳法数量是到达第N-1格和第N-2格的跳法之和。

用公式表现，则有：$$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$$
总结
斐波那契数列的动点问题是数学领域中经典而难知的问题。

对于刷题的朋友而言，我们可以用动态规划来解决初级的问题，让我们拓展思维。

在实际项目中，我们可以用斐波那契数列来解决一些超时概率等问题，最佳方法还是使用动态规划的思想来实现。

斐波那切数列
0 引言
斐波那切数列是指一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）。

斐波那切数列对于我们来说是比较困难的，通过对斐波那切数列学习后，有利于我们对递归函数的理解。

1 问题
请用函数写出斐布拉切数列第n个数的值。

2 方法
递归函数算法，套用循环，使斐波那切数列不停地迭代调用直至返回目标值。

3 实验结果与讨论
通过实验、实践等证明提出的方法是有效的，是能够解决开头提出的问题。

代码清单1
def f( n ):
If n == 1 or n == 2 :
return 1
else ：
return f( n-1 ) + f( n-2 )
n = 10
print f( n )
4 结语
针对斐波那切数列问题的学习，提出递归函数的方法，解决了斐波那切数列问题。

递归函数是一个函数在内部调用自身本身，在学习过程中了解到其优点是逻辑简单清晰，但缺点是过深的调用会导致栈溢出。

斐波那契数列（Fibonacci sequence）及相关结论一、定义斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）1202年以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89……这个数列从第 3 项开始，每一项都等于前两项之和。

在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：二、通项公式1、递推公式：2、通项公式：证明一：（构造等比数列）设常数r和s满足：即：则r和s满足如下条件：由韦达定理知，r和s为一元二次方程的两个根，不妨令当n≥3时，有即上式共n-2个式子，累乘得由于，所以有将直到按照上述递推关系式进行展开有可见是首项为，公比为，末项为的等比数列求和，根据等比数列求和公式有将r和s代入得斐波那契数列的通项公式为即方法二：特征根法三、斐波那契数列与黄金分割斐波那契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比。

证明：由于因此，斐波那契数列前一项与后一项之比为即当n→+∞时，四、几个重要的结论1、前n项和公式：证明：由于斐波那契数列的通项公式为：其显然是两个等比数列的线性组合，因此我们可以利用等比数列的求和公式来计算斐波那契数列的前n 项和。

这里我们由定义和通项公式可以直接得到如下结论：即成立。

2、奇数项求和证明：3、偶数项求和证明：移项便得到证明。

4、平方求和证明：五、一些重要恒等式注：本内容收集整理于网络，如有错误请指正。

关于斐波那契数列1．斐波那契数列斐波那契（Fibonacci）在所著的《算盘书》中，提出了一个著名而有趣的兔子问题。

有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。

已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。

假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？现在我们先来找出兔子的繁殖规律，在第一个月，有一对成年兔子，第二个月它们生下一对小兔，因此有二对兔子，一对成年，一对未成年；到第三个月，第一对兔子生下一对小兔，第二对已成年，因此有三对兔子，二对成年，一对未成年。

月月如此。

第1个月到第6个月兔子的对数是：1，2，3，5，8，13。

我们不难发现，上面这组数有这样一个规律：即从第3个数起，每一个数都是前面两个数的和。

若继续按这规律写下去，一直写到第12个数，就得：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。

显然，第12个数就是一年内兔子的总对数。

所以一年内1对兔子能繁殖成233对。

在解决这个有趣的代数问题过程中，斐波那契得到了一个数列。

人们为纪念他这一发现，在这个数列前面增加一项“1”后得到数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……叫做“斐波那契数列”(Fibonacci Sequence)，这个数列的任意一项都叫做“斐波那契数”。

这个数列可以由下面递推关系来确定：它的第100项；第1000项是什么呢？100354224848179261915075a ；1000434665576869374564356885276750406258025646605173717804024817290895365554179490518904038798400792551692959225930803226347752096896232398733224711 61642996440906533187a 938298969649928516003704476137795166849228875 (209位数)怎样计算的呢？笔算或用计算器计算是不可能的，是用电脑软件来完成的。