广东省梅州市2020届高三上学期第一次质量检测数学(文)试题

广东梅州五华县2022高三第一次质检-数学文word版2020届高三上学期第一次质检数学（文）试题本试卷满分150分，考试时刻150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原先的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

参考公式： 锥体的体积公式：13V Sh= （其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高） 球的表面积，体积公式：334V Rπ=球 （R 是半径） 一、选择题：本大题8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

1．已知集合{0,1,2,3,4,}=，集合{1,2,3},{2,4},A B ==则()C A B 为（ ）A ．{1，2，4}B ．{2，3，4}C ．{0，2，4}D ．{0，2，3，4}2．复数21ii =-（ ）A ．1i -B ．1i -+C ．1i +D ．1i --3．如右图，是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．942π+ B ．3618π+C ．9122π+D ．9182π+4．在△ABC中，,3,3A BC AB π===则角C= （ ）A ．6πB ．4πC ．34πD ．4π或34π5．“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6．曲线21()2f x x =在点11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处点的切线方程为（ ） A ．2x+2y+1=0B ．2x+2y －1=0C ．2x －2y －1=0D ．2x －2y －3=07．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 。

梅州市2020届高三上学期第一次质量检测语文试题本试卷共8页，22小题，满分150分。

考试时间150分钟一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

百年中国美学的现代建构离不开对西方美学的借鉴，但这种借鉴乃是一个首先“学西”、继而“化西”的创造性现代转化的过程，某种意义上也是中西互鉴的特殊形态，从而达到中西美学不同程度的创新融合。

中国现代美学主要奠基人之一的王国维，早在20世纪初，在译介叔本华悲观主义意志论哲学著述基础上，撰写了迥异于传统思想的《红楼梦评论》；借鉴康德美学“鉴赏判断的四个契机”说，首次提出“一切之美，皆形式之美也”的重要主张，并建构起具有中国传统特质的“古雅”说；借鉴德国古典美学诸家，对中国古典美学尤其是先秦道家美学思想作了深刻反思，自觉把二者加以融会贯通，写出了《人间词话》这一中国现代美学的奠基之作，创建了以“境界”为核心范畴、意蕴丰厚的创新美学体系，对传统的“意境”说作出了具有现代性的创造性开拓。

王国维之所以在融通中西上作出如此巨大的贡献，与他具有超越中西学术二元对立的现代视野有密切关系。

他主张“学无中西”，批评持中学、西学二分的“俗说”，“虑西学之盛之妨中学，与虑中学之盛之妨西学者，均不根之说也”，认为“余谓中西二学，盛则俱盛，衰则俱衰，风气既开，互相推助。

且居今日之世，讲今日之学，未有西学不兴而中学能兴者，亦未有中学不兴而西学能兴者。

”这样一种关于中西学术互助、互动、互鉴、互促的精彩之论，至今仍不失其高远眼光和宏大气度。

另一位中国现代美学的主要奠基人蔡元培，在国内最早全面介绍了康德的美学思想，对康德关于审美的四契机说，运用儒家思想作了“超脱”“普遍”“有则”“必然”的创造性阐述；从儒家以德为本的思想出发，借鉴康德有关思想并加以吸收融合，同时借鉴席勒的美育理论，强调“涵养德性，则莫如提倡美育”，进而提出了中国现代美学史上具有里程碑意义的“美育代宗教”说。

梅州市2020届高三上学期第一次质量检测语文试题本试卷共8页，22小题，满分150分。

考试时间150分钟一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。

百年中国美学的现代建构离不开对西方美学的借鉴，但这种借鉴乃是一个首先“学西”、继而“化西”的创造性现代转化的过程，某种意义上也是中西互鉴的特殊形态，从而达到中西美学不同程度的创新融合。

中国现代美学主要奠基人之一的王国维，早在20世纪初，在译介叔本华悲观主义意志论哲学著述基础上，撰写了迥异于传统思想的《红楼梦评论》；借鉴康德美学“鉴赏判断的四个契机”说，首次提出“一切之美，皆形式之美也”的重要主张，并建构起具有中国传统特质的“古雅”说；借鉴德国古典美学诸家，对中国古典美学尤其是先秦道家美学思想作了深刻反思，自觉把二者加以融会贯通，写出了《人间词话》这一中国现代美学的奠基之作，创建了以“境界”为核心范畴、意蕴丰厚的创新美学体系，对传统的“意境”说作出了具有现代性的创造性开拓。

王国维之所以在融通中西上作出如此巨大的贡献，与他具有超越中西学术二元对立的现代视野有密切关系。

他主张“学无中西”，批评持中学、西学二分的“俗说”，“虑西学之盛之妨中学，与虑中学之盛之妨西学者，均不根之说也”，认为“余谓中西二学，盛则俱盛，衰则俱衰，风气既开，互相推助。

且居今日之世，讲今日之学，未有西学不兴而中学能兴者，亦未有中学不兴而西学能兴者。

”这样一种关于中西学术互助、互动、互鉴、互促的精彩之论，至今仍不失其高远眼光和宏大气度。

另一位中国现代美学的主要奠基人蔡元培，在国内最早全面介绍了康德的美学思想，对康德关于审美的四契机说，运用儒家思想作了“超脱”“普遍”“有则”“必然”的创造性阐述；从儒家以德为本的思想出发，借鉴康德有关思想并加以吸收融合，同时借鉴席勒的美育理论，强调“涵养德性，则莫如提倡美育”，进而提出了中国现代美学史上具有里程碑意义的“美育代宗教”说。

2019-2020学年广东省梅州市高三（上）第一次质检数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x｜0<x<6}，B={x｜x2+x−2>0}，则A∪B=()A. {x｜1<x<6}B. {x｜x<−2或x>0}C. {x｜2<x<6}D. {x｜x<−2或x>1}2.已知复数z满足(2−i)z=｜3+4i｜，则z=()A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3.某校共有学生2000名，各年级男、女人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取64人，则应在高三年级中抽取的学生人数为()A. 12B. 14C. 16D. 184.已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=()A. 32B. 3C. 2√3D. 45.已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若{11+a n}是等差数列，则a11等于()A. 12B. 16C. 13D. 06.已知cos(3π14−θ)=13，则sin(2π7+θ)=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√237.如图，在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 1π B. 12π C. 14−12π D. 12−1π 8. 已知等边△ABC 的边长为2，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −2B. −103C. 2D. 1039. 若函数f(x)={−x 2+2ax −2a,x ≥1ax +1,x <1是(−∞,+∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,0)B. [−2,0)C. (−∞,1]D. (−∞,0)10. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+c ，其导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值为( )A. cB. a +b +cC. 8a +4b +cD. 3a +2b11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积为( )A. 3√3B. 6C. 6√3D. 1212. 已知函数f(x)=xe x−1−a ，则下列说法正确的是( )A. 当a <0时，f(x)有两个零点B. 当a =0时，f(x)无零点C. 当0<a <1时，f(x)有小于1的零点D. 当a >1时，f(x)有大于a 的零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若x,y 满足约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于___________． 14. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AC 1与面BB 1C 1C 所成的角为30°，则AA 1的长度为______． 15. 将函数的图象向左平移π12个单位长度得到y =f(x)的图象，则f(π3)的值为_______．16. 已知数列{a n }中，S n =4n 2−n ，则a 4= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角三角形ABC 中，ab=√32sinB． (1)求角A 的大小；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．18. 某数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：(Ⅰ)请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成2×2列联表，并根据列联表中数据说明能有多大的把握认为脚的大小与身高之间有关系． 附表及公式：b ^ =n i=1i −x)(y i −y)n i=1i 2，a ^ =y −b ^ x ，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2≥k)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2×2列联表：高个非高个总计大脚非大脚总计19.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BCD=60°，侧面PBC为等边三角形，M，N分别为BC，PA的中点．(1)证明：BC⊥PD；(2)若平面PBC⊥平面ABCD，求四面体DPMN的体积．20.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|=4，求点A的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．21. 已知函数f(x)=(a−1)x−x 2−1e x(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求证：当a ≥3−e 时，对∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥−1．22. 已知过点P(0,−1)的直线l 的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x−5|．(1)求不等式f(x)≤10的解集；(2)a，b均为正实数，若4a +1b为函数f(x)的最小值，求实数a+2b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的并集运算，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：因为B={x︱x<−2或x>1}，所以A∪B={x︱x<−2或x>0}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质及复数的模即可得出结果．【解答】解：因为z=|3+4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)·(2+i)=2+i．故选D．3.答案：C解析：依题意，得a=0.19×2000=380，b+c=2000−(385+375+380+360)=500，则应在高三年级中抽取的学生人数为642000×500=16．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属较易题．求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．【解答】解：由双曲线方程知a =√3，b =1，则F(2,0)． 不妨设过点F 的直线垂直渐近线x −√3y =0于M ， 交渐近线x +√3y =0于N ．在Rt △OMF 中，∠MOF =30°，|OF|=2，所以|OM|=√3.在Rt △OMN 中，∠MON =60°，|OM|=√3， 所以|MN|=3． 故选B ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题． 由已知结合等差数列的性质列式计算． 【解答】解：∵数列{11+a n}是等差数列，∴11+a 3+11+a 11=21+a 7，∵a 3=2，a 7=1， ∴21+1=11+2+11+a 11，解得a 11=12．故选A ．6.答案：A解析：解：∵cos(3π14−θ)=13， ∴cos(3π14−θ)=sin(π2−3π14+θ)=sin(2π7+θ)=13．故选：A ．利用诱导公式即可得到sin(2π7+θ)的值．本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．7.答案：D解析： 【分析】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率是S 阴S 圆=2π−44π=12−1π，【解答】解：设大圆的半径为2，则S 大圆=4π， 又S 阴=8×(π4−12×1×1)=2π−4，所以在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是S 阴S 圆=2π−44π=12−1π， 故选：D ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题．根据题意得出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，运用数量积求解即可． 【解答】解：等边△ABC 的边长为2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=12×(13×4−4−23×2×2×12)， =−2． 故选A ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查分段函数单调性的应用，属于基础题．根据函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减，列出不等式组，进而求解即可． 【解答】解：由题意可得{a ≤1a <0a +1≥−1+2a −2a , 解得a ∈[−2,0)．10.答案：A解析：解：f′(x)=3ax2+2bx，根据导函数的图象，可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根，当x<0或x>2时，f′(x)<0，函数为减函数，当0<x<2时，f′(x)>0，函数为增函数，∴x=0时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(0)=c，故选：A．根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f(x)的极小值．本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题型．先判断△ABF为等边三角形，求出A的坐标，而四边形ABEF为直角梯形，可求出直角梯形的上底边长AB=m+1的值，直角梯形的面积可求．【解答】解：由抛物线的定义可得AF=AB，∵AF的倾斜角等于60°，∵AB⊥l，∴∠FAB=60°，故△ABF为等边三角形．又焦点F(1,0)，AF的方程为y−0=√3(x−1)，设A(m,√3m−√3)，m>1，由AF=AB，得√(m−1)2+(√3m−√3)2=m+1，∴m=3，故等边三角形△ABF的边长AB=m+1=4，△ABF为等边三角形，∴四边形ABEF的面积是12(EF+AB)BE=12(2+4)×4sin60°=6√3．故选C．12.答案：C解析：解：由题意令g(x)=xe x−1，则g′(x)=e x−1+xe x−1，函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，(−1,+∞)上单调递增，g(−1)=−1，且x→−∞时，g(x)→0，∴当0<a<1时，函数g(x)与y=a的交点在(0,1)，即f(x)有小于1的零点，故选：C．【分析】由题意可令g(x)=xe x−1，确定函数的单调性，作出函数的图象，即可得出结论．本题主要考查了函数的求导，考查数形结合的数学思想，正确转化是关键．13.答案：−3解析：【分析】本题主要考查了线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x−y的最小值．【解答】由题意可得可行域如下图所示：令y=3x−z，则z min即为在y轴截距的最大值．也就是过点D(−1,0)时，其截距最大，此时z min=3×(−1)−0=−3．故答案为−3．14.答案：√2解析：【分析】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．由AB⊥平面BCC1B1，得到∠AC1B是AC1与面BB1C1C所成的角，从而∠AC1B=30°，进而AC1=2AB= 2，由此能求出AA1的长．【解答】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AC1与面BB1C1C所成的角为30°，∵AB⊥平面BCC1B1，∴∠AC1B是AC1与面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B=30°，∴AC1=2AB=2，∴AA1=√AC12−AC2=√4−2=√2．故答案为√2．15.答案：−√2解析：【分析】本题利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，故可得f(π3)的值．【解答】解：将函数的图象向左平移π12个单位长度得到，故可得，故答案为−√2．16.答案：27解析：【分析】由S n=4n2−n可得a n=8n−5，从而求a4即可．本题考查了由S n求通项公式的应用，属于基础题．【解答】解：∵S n=4n2−n，当n=1时，a1=S1=4−1=3，当n≥2时，a n=S n−S n−1=(4n2−n)−(4(n−1)2−(n−1))=8n−5，当n=1时上式也成立，故a n=8n−5，故a4=8×4−5=27；故答案为：27．17.答案：(1)由正弦定理asinA =bsinB，得2sinAsinB=√3sinB，整理得sinA=√32，因为A为锐角三角形内角所以∠A=π3，(2)余弦定理a2=b2+c2−2b⋅c⋅cosA，得7=22+c2−2×2ccosπ3整理得c2−2c−3=0，解得c=3，c=−1(舍)．所以SΔABC=12b⋅c⋅sinA=12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理化简已知可得2sinAsinB=√3sinB，可求sinA=√32，结合A的范围可得结果；(2)由余弦定理可解得c 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．18.答案：(I)“序号为5的倍数”的数据有4组，记：x 1=176，y 1=44；x 2=166，y 2=39；x 3=168，y 3=40；x 4=170，y 4=41，所以x =170，y =41． 计算得b ^ =(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x −x)2n =6×3+(−4)×(−2)+(−2)×(−1)+0×062+(−4)2+(−2)2+02=12， a ^ =y −b ^ x =41−12×170=−44，则y 关于x 的线性回归方程为y ^ =12x −44．(II)据题意，列出2×2列联表为：高个 非高个 合计 大脚 5 2 7 非大脚 1 12 13 合计61420假设H ：脚的大小与身高之间没有关系 根据列联表得X 2=20×(5×12−1×2)26×14×7×13≈8.802当H 成立时，X 2>7.789的概率大约为0.005，而这里8.802>7.897 所以有99.5%的可靠性，认为脚的大小与身高之间有关．解析：(I)分别求出x .，y .的值，求出b̂，a ̂的值，代入回归方程即可； (II) 根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表；19.答案：(1)证明：连结BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BCD =60°， ∴△BCD 为等边三角形， 又∵M 为BC 中点，∴BC ⊥DM ．又△PBC 为等边三角形， ∴BC ⊥PM ，∵DM ⊂ 平面PDM ，PM ⊂平面PDM ，PM ∩DM =M ， ∴BC ⊥平面PDM ， ∴BC ⊥PD ． (2)解：连结AM ．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，PM ⊂平面PBC ，PM ⊥BC ， ∴PM ⊥平面ABCD ，在等边三角形PBC 中，PB =2，PM =√3， ∵N 为PA 的中点，∴V N−PDM =12V A−PDM =12V P−ADM =12×13·S △ADM ·PM =12．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，几何体的体积的求法，属于中档题． (1)根据四边形ABCD 为含有60°角的菱形，得△BCD 为正三角形，从而得到BC ⊥DM.由△PBC 为等边三角形，得PM ⊥BC ，结合线面垂直的判定定理，证出BC ⊥平面PDM ，最后由线面垂直的性质可得结论．(2)由平面PBC ⊥平面ABCD ，得PM ⊥平面ABCD ，由N 为PA 的中点， V N−PDM =12V A−PDM =12V P−ADM ，能求出四面体DPMN 的体积．20.答案：解：(1)由y 2=4x ，得p =2，其准线方程为x =−1，焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由抛物线的定义可知，|AF|=x 1+p2， 从而x 1=4−1=3，代入y 2=4x ，解得y 1=±2√3， ∴点A 的坐标为(3,2√3)或(3,−2√3). (2)由题意，当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， 与抛物线方程联立，得{y =k(x −1)y 2=4x , 消去y ，整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以Δ>0， ∴x 1+x 2=2+4k 2，由抛物线的定义可知，|AB|=x 1+x 2+p =4+4k 2>4，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1,−2)，此时|AB|=4；综上，|AB|≥4，所以线段AB的长的最小值为4．解析：本题考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，体现了方程与函数思想，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义可知，|AF|=x1+p2，即可求出x1的值，从而求出点A 的坐标；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)，和抛物线方程联立，结合韦达定理得到|AB|=x1+x2+p=4+4k2>4；直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时|AB|=4；即可得到答案．21.答案：解：(1)f′(x)=x2−(a+1x+a)e x =(x−1)(x−a)e x，由f′(x)=0得，x=1或x=a，当a=1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(−∞,+∞)单调递增，当a<1时，f′(x)>0，得x<a或x>1，f′(x)<0，得a<x<1，函数f(x)单调增区间为(−∞,a)，(1,+∞)，单调递减区间为(a,1)，当a>1时，f′(x)>0，得x<1或x>a，f′(x)<0，得1<x<a，函数f(x)单调增区间为(−∞,1)，(a,+∞)，单调递减区间为(1,a)；(2)证明：对∀x∈[0,+∞),f(x)≥−1，即证①由(Ⅰ)单调性可知，当a>1，，f(a)=−a−1e a，设g(a)=−a−1e a ,a>1，g′(a)=ae>0，∴g(a)在(1,+∞)单调递增，故g(a)>g(1)=−2e>−1，即f(a)>−1，又∵f(0)=−1，∴f(x)min=−1，②当a=1时，函数f(x)在[0,+∞)时，f(x)min={f(0),f(1)}，f(1)=a−3e ≥(3−e)−3e=−1，设g(a)=−a−1e a ,a>1，g′(a)=ae a>0，又∵f(0)=−1，∴f(x)min=−1，综上，当a≥3−e时，∀x∈[0,+∞),f(x)≥−1．解析：本题考查利用导数研究函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立时所取的条件，着重考查了数学转化思想方法，属难题．(1)由导数f′(x)=0得，x =1或x =a ，对a 分类讨论得单调区间； (2)原式即证，由分类讨论求最值得范围．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0.即x 2=2ay(a >0)．(Ⅱ)将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ，整理得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a ①． ∵a >0，∴解①得a >23． ∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴|MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56 ∵a >23， ∴a =56．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x +1|+|2x −5|，{x ≤−12,4−4x ≤10或{−12<x <52,6≤10或{x ≥52,4x −4≤10, 解得−32≤x ≤72， 所以解集为[−32,72]；(2)f(x)=|2x +1|+|2x −5|≥|2x +1−(2x −5)|=6． 所以4a +1b =6，所以a +2b =16(a +2b)(4a +1b ) =16(6+8b a+a b )⩾16(6+2√8)=1+2√23， 当且仅当a =2√2b 时等号成立．所以a+2b的范围为．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式以及转化思想，属于中档题．(1)通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；(2)利用绝对值的性质求出f(x)的最小值，根据基本不等式求出a+2b的取值范围．。

2020年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）{|04}A x x=剟，{||1|2}B x x=-…，则(A B=I)A．[0，3]B．[3，4]C．[1-，4]D．[0，1][3U，4]2．（5分）设复数z满足z iiz i-=+，则(z=)A．1B．1-C．1i-D．1i+3．（5分）已知0x>，a x=，22xb x=-，(1)c ln x=+，则()A．c b a<<B．b a c<<C．c a b<<D．b c a<<4．（5分）函数1||()(1)x xf x e=+的图象大致是()A．B．C．D．5．（5分）在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出（图中)CD有15cm，跨接了6个坐位的宽度()AB，每个座位宽度为43cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是()A．250cm B．260cm C．295 cm D．305cm6．（5分）某高校数学学院大学一年级有甲、乙两个班，人数分别是60人与50人．在一次英语等级考试中，甲班的合格率为88%，乙班的合格率为99%，则该学院一年级英语成绩的总合格率是( ) A ．94.5%B ．94%C ．93.5%D ．93%7．（5分）已知平面向量a r ，b r 满足||||a b =r r ，且(2)a b b -⊥r r r ，则a r，b r 所夹的锐角为() A ．6πB ．4π C ．3π D ．08．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是( )A ．1.1B ．1C ．0.9D ．0.89．（5分）31sin(12π= ) A ．1(62)4B ．1(62)4C ．1(26)4D ．1(62)4-10．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．满足条件3C π=，2c b a =-，则ABC ∆，一定是( ) A ．等腰直角三角形B ．直角三角形但不是等腰三角形C ．等边三角形D ．不能确定11．（5分）设函数()f x 定义域为全体实数，令()(||)|()|g x f x f x =-，有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数；②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数； ③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数； ⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x …． 那么正确论断的编号是( ) A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤12．（5分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为( )A B 1 C ．3-D 1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．（5分）曲线21()y x lnx x=+在(1,0)处的切线方程是 ．14．（5分）已知等比数列{}n a 满足公比1q ≠，n S 为其前n 项和，12S ，232S ，3S 构成等差数列，则公比q = ．15．（5分）已知cos 2sin 0αα-=，则22sin 2cos αα+= ．16．（5分）在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：(0O ，0，0)，(0A ，0，2)，B 0，0)，(0C 0)．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是 ．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题（共60分.）17．（12分）为试验某英语教学方法的效果，某学校对中、乙两个班分别用两种不同的方法进行英语教学，甲班用原有的方法，乙班用新的方法，经过一段时间的教学，在两个班里各随机挑选了25名学生进行测试，测试成绩如下．（1）分别估计甲、乙两班英语成绩的合格率；（2）填写下面的列联表，根据列联表判断是否有95%的把握认为这种新的教学方法比原来的方法更有效？成绩小于60成绩大于等于60甲班（原方法） 乙班（新方法）附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．2()P K k …0.050 0.010 0.00 k3.8416363510.82818．（12分）已知等差数列{}n a 满足对任意的正整数n 有14n n a a n ++=． （1）若11a =，求{}n a 的通项公式； （2）设n S 为{}n a 的前n 项和，求nn S b n=的前n 项和． 19．（12分）如图，在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，3APC π∠=，M 为PB 上的四等分点，即14BM BP =． （1）证明：平面AMC ⊥平面PBC ； （2）求二面角A PB C --的余弦值．20．（12分）已知函数()f x x elnx =-．证明：。

广东省2020届高三年级第一次教学质量检测文科时间：120分钟满分：150分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. ( )A. B.C. D.3. 下列选项正确的是( )A.C. D.4. 记数列的前项和为,若,则( )A. B.C. D.5. 已知,,则( )A. B.C. D.6. 已知函数,则下列说法正确的是( )A. 函数的对称轴为,且在上单调递增B. 函数的对称轴为,且在上单调递增 C. 函数的对称中心为,且在上单调递增 D. 函数的对称中心为,且在上单调递增7. 已知数列中,,若对任意的,,则( )A. B.C. D.8. 函数的图象大致为( )A.B.C.D.9. 边长为的正方形中,,,则( )A. B.C. D.10. 将函数的图象向右平移个单位,得到的图象关于轴对称,若的最小正周期为,则的最大值为( )A. B.C. D.11. 已知等差数列的前项和为,若,,则最小时的值为( )A. B.C. D.12. 已知函数,若函数在上单调递增,则实数的取值范围为( )A. B.C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知平面向量,,若,则__________.14. 曲线在点处的切线方程为__________.15. 函数的值域为__________.第2页，共9页三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知中,角,,所对的边分别为,,,且,. (1)求证.(2)若,求的值.18. 已知首项为的数列的前项和为,且. (1)求数列的通项公式. (2)求证:,,成等差数列.19. 设为等差数列的前项和,已知,. (1)求数列的通项公式. (2)若20. 已知函数. (1)若关于的方程仅有个实数根,求实数的取值范围. (2)若是函数的极大值点,求实数的取值范围.21. 已知函数(其中为自然对数的底数). (1)若,求的单调区间. (2)若,求证:.第4页，共9页四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 极坐标系中,曲线的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数). (1)求曲线的直角坐标方程以及直线的普通方程. (2)若曲线上恰有四个不同的点到直线的距离等于,求实数的取值范围.22B. 已知函数. (1)求不等式的解集. (2)若,,求证:.第1题：【答案】A【解析】依题意,,故.第2题：【答案】B【解析】.第3题：【答案】B【解析】依题意,,,,.第4题：【答案】D【解析】当时,,当时,,所以.第5题：【答案】B【解析】由,可得.第6题：【答案】A【解析】依题意,,解得,因为,故函数的对称轴为,排除C,D,因为,,故,排除B.第7题：【答案】C【解析】依题意,,,两式相加可得,则,故周期为,故.第8题：【答案】A【解析】依题意,,,故函数为奇函数,图象关于原点对称,排除C,而,,故,排除B、D.第9题：【答案】C【解析】以为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,,故,,则.第6页，共9页【答案】A【解析】依题意,,则,则,故,故的最小值为,则的最大值为.第11题：【答案】C【解析】由,得,由得,所以时,,,时,,,所以最小时.第12题：【答案】D【解析】因为函数在上单调递增,首先在上单调递增,故,则①,其次在上单调递增,而,令,故或,故,即②,最后,当时,③,综合①②③,实数的取值范围为.第13题：【答案】【解析】依题意,,则,解得,则,故.第14题：【答案】【解析】依题意,,故,故所求切线方程为.第15题：【答案】【解析】,所以当时,取到最大值,当时,取到最小值,所以的值域为.第16题：【答案】【解析】依题意,,∴,∵,即,显然,∴,又,当且仅当时,等号成立,∴,∴,即.第17题：【答案】见解析【解析】(1)依题意,,则,,因为,,故. (2)依题意,,,,因为,即,可得,又,所以,,由得.第18题：【答案】见解析第8页，共9页【解析】(1)因为,故,,,,…,,,把上面个等式叠加,得到,故,而,故. (2)由(1)可得,,故,故,,成等差数列.第19题：【答案】见解析【解析】(1)设等差数列的公差为,由,得,解得,,故. (2)由(1)知,,,所以数列,,,,…,,…的首项为,公比为,是该等比数列的第项,所以,又,所以,,所以.第20题：【答案】见解析【解析】(1)依题意,,显然不是方程的根,故,令,则,故函数在和上单调递增,且当时,,当从负方向趋于时以及时,,当从正方向趋于时,,作出函数的图象如图所示,观察可知,,即实数的取值范围为.(2),则. ①若,则当时,,,,所以,当时,,,所以,所以在处取得极大值. ②若,则当时,,,所以,所以不是的极大值点,综上所述,实数的取值范围是.第21题：【答案】见解析【解析】(1)若,则,所以,在上是增函数,且,所以时,,是减函数,时,,是增函数,所以的递减区间为,递增区间为. (2)若,则,,在上是增函数,且,,由,可得,所以存在,使得,即,时,,是减函数,时,,是增函数,所以,设,则在上是减函数,所以,所以.第22A 题：【答案】见解析【解析】(1)依题意,代入公式,得曲线的直角坐标方程为,由直线的参数方程消去参数,得直线的普通方程为. (2)依题意可得,圆心到直线的距离,∴,解得.第22B 题：【答案】见解析(2)要证:,只要证,只需证,而,从而原不等式成立.。

2019-2020学年广东省梅州市高三上学期第一次质检数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤2}，则A∩B=()A. {x|x<3}B. {x|2≤x<3}C. {x|1<x≤2}D. {x|1<x<2}2.已知2i−3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别为()A. p=12,q=26B. p=26,q=12C. p=−12,q=−26D. p=−26,q=−123.已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5−0.9，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a4.函数f(x)=ln x8−x的图象大致为()A. B.C. D.5.已知函数y=cos x(x∈[−π2,π2])的图象与x轴围成的区域记为M，若随机在圆O：x2+y2=π2内任取一点，则该点在区域M内的概率是()A. 4π2B. 4π3C. 2π2D. 2π36.如图程序框图中，输入x=ln2，y=log32，z=12，则输出的结果为()A. ln2B. log32C. 12D. 无法确定7.A. 12B. √22C. 2D. √328.设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，a5，3a3，a4成等差数列，则S8S4的值为()A. 116B. 117C. 16D. 179.双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为()A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√210.函数f(x)=log21+x1−x是()A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数11.已知函数f(x)=√32sinx+12cosx，则f(π12)=()A. √22B. √32C. 1D. √212.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x−1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x12，若g(x)=f(x)−2x−b有三个零点，则实数b的取值范围是()A. (k−18,k+18)，k∈Z B. (2k−18,2k+18)，k∈ZC. (4k−18,4k+18)，k∈Z D. (8k−18,8k+18)，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件{x+y≤4,5x+2y≥11,y≥12x+1,则z=2x−y的最大值为________．14.已知单位向量m⃗⃗⃗ 和n⃗的夹角为π3，则(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⋅m⃗⃗⃗ =______ ．15.若函数f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间[−π2,2π3]上为增函数，则ω的取值范围的为______________．16.已知三棱锥S−ABC中，SA⊥面ABC，且SA=6，AB=4，BC=2√3，∠ABC=30°，则该三棱锥的外接球的表面积为___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为√32．(1)求b的值；(2)求tan A的值．18.在某个班随机抽取了10名学生的身高数据如下茎叶图所示(单位：cm)，且该组数据的中位数为171，茎叶图中有一个数据被污损，用字母x表示．(1)求x的值，并估计该班学生身高的平均值；(2)为进一步了解学生的身高情况，在身高不低于170cm的这5名学生中随机抽取3名学生，求至少有两名学生的身高低于178cm的概率．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD//BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=12，E，F分别是SA与CD的中点．(Ⅰ)证明：EF//平面SBC；(Ⅱ)求二面角B−SC−D的大小．20.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点M(2,m)在抛物线E上，且|MF|=3．(1)求抛物线E的方程；(2)过x轴正半轴上一点N(a,0)的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA⊥OB，求a的值．21.已知函数f(x)=2sinx+tanx−2x．(1)证明：函数f(x)在(−π2,π2)上单调递增；(2)若x∈(0,π2)，f(x)<mx2，求m的取值范围．22.在极坐标系中，设圆C经过点P(√3,π6)，圆心是直线ρsin(π3−θ)=√32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．23.函数f(x)的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．(Ⅰ)求f(x)解析式；(Ⅱ)若f(x)=1，求x的值；-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ={x|1<x <3}，B ={x|x ≤2}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤2}， 故选：C ．根据集合的基本运算，即可求A ∩B ．本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的运算以及在复数范围内解方程，属于基础题． 【解答】解：由2i −3是方程2x 2+px +q =0的一个根，可得：2(2i −3)2+p (2i −3)+q =0，得(10−3p +q )+(2p −24)i =0 于是，有{10−3p +q =0,2p −24=0,解得p =12，q =26．故答案选A ． 3.答案：B解析：【分析】本题考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题． 【解答】，0.5−0.9>0.50=1，a <b <c ．故选B ．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用．结合函数的值域，利用特值法排除即可． 【解答】解：y =x8−x 在(0,8)上是增函数，由复合函数的单调性，是增函数，排除B 、C 、D ．故选A ． 5.答案：D解析：解：区域M 的面积为∫c π2−π2osxdx =2∫cos π20 xdx =2sin x | π2 0=2，所以点在区域M 内的概率是P =2π×π2=2π3． 故选：D利用定积分求出区域M的面积，再由几何概型的概率公式解答．本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的概率公式的运用，属于基础题目，经常考查．6.答案：A解析：【分析】本题考查程序按框图的判断框应用，为基础题．比较大小，输出三个数中的最大值即可．【解答】，解：利用程序框图：x=ln2，y=log32，z=12由于，直接输出m=ln2，故选：A．7.答案：C解析：解：原式=4cos220°−2(2cos220°−1)=2故选：C由诱导公式和两角和与差的三角函数可得原式，再由二倍角公式化简可得．本题考查三角函数恒等变换和化简，灵活选择并应用公式是解决问题的关键，属中档题．8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．设等比数列的公比为q，q>0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3=a5+a4，即6a1q2=a1q4+a1q3，化为q2+q−6=0，解得q=2(−3舍去)，则S 8S 4=a 11−q (1−q 8)a 11−q(1−q 4) =1−q 81−q 4=1+q 4 =1+16=17． 故选：D ． 9.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF 的顶点P 的坐标，然后求解面积即可． 【解答】 解：双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F(√6,0)，渐近线方程为：y =±√22x ，不妨设P 在第一象限，可得tan∠POF =√22，P(√62,√32)，所以△PFO 的面积为：12×√6×√32=3√24． 故选A ． 10.答案：B解析：解：函数的定义域是使1+x1−x >0的x 的范围，解得−1<x <1；所以函数定义域(−1,1)关于原点对称； f(−x)=log 21−x 1+x=log 2(1+x 1−x)−1=−log 21+x 1−x=−f(x)；所以函数f(x)=log 21+x1−x 是奇函数；故选：B ．首先求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，如果对称，再判断f(−x)与f(x)的关系．本题考查了函数奇偶性的判断；首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称，再利用定义判断f(−x)与f(x)的关系． 11.答案：A解析：【分析】本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解． 【解答】解：∵f(x)=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，∴f(π12)=sin(π12+π6)=sin π4=√22， 故选A ．12.答案：C解析：【解答】解：∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −1)为偶函数，∴f(−x −1)=f(x −1)=−f(x +1)， 则f(x)=−f(x +2)，则f(x +4)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数且函数f(x −1)关于y 轴对称，即函数f(x)关于x =−1对称，若x ∈[−1,0]，则−x ∈[0,1]时，此时f(−x)=(−x)12=√−x =−f(x)， 则f(x)=−√−x ，x ∈[−1,0]，由g(x)=f(x)−2x −b 有三个零点， 得g(x)=f(x)−2x −b =0，即f(x)=2x +b 有三个根，作出函数f(x)和y =2x +b 的图象如图： 当y =2x +b 与f(x)=x 12在[0,1]内相切时，得f′(x)=2√x ，由f′(x)=2√x =2得√x =14，即x =116，此时y =14，即切点坐标为(116,14)， 此时由2×116+b =14得b =18，当y =2x +b 与f(x)=−√−x 在[−1,0]内相切时， 得f′(x)=12√−x ，由f′(x)=12√−x =2得√−x =14，即−x =116，此时y =−14， 即切点坐标为(−116,−14)，此时由2×(−116)+b =−14得b =−18，此时两个函数有2个交点， 若g(x)=f(x)−2x −b 有三个零点， 则−18<b <18， ∵函数的周期是4，∴4k −18<b <4k +18，k ∈Z ，故选：C 【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数周期性和对称性，作出函数的图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，求函数的导数，利用曲线相切的性质进行即可．本题主要考查函数零点个数的应用，综合考查函数与方程的转化，根据条件求出函数的周期性，利用函数周期性和奇偶性对称性的性质进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 13.答案：2解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 【解答】解：实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,5x +2y ≥11,y ≥12x +1的可行域如图：z =2x −y 经过点A 时，z 取得最大值， 由{x +y =4y =12x +1可得A(2,2) z =2x −y 的最大值为：4−2=2，故答案为：2． 14.答案：0解析：解：根据已知条件：(2n ⃗ −m ⃗⃗⃗ )⋅m ⃗⃗⃗ =2n ⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ −m ⃗⃗⃗ 2=2×12−1=0； 故答案为：0．根据已知条件以及数量积的计算公式即可求出答案． 考查单位向量，向量数量积的计算公式．15.答案：(0,34]解析：【分析】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于较易题． 【解答】解：因为f(x)= 2sinωx +1(ω>0)的包含0的单调增区间为，解得−π2ω≤x ≤π2ω，所以{ω>0−π2≥−π2ω2π3≤π2ω，解得0<ω≤34． 故答案为(0,34]．16.答案：解析：【分析】本题主要考查球的内接多面体，正、余弦定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出r ，然后求解球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：由余弦定理得，，该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，∵在△ABC 中，设△ABC 的外接圆半径为r ，则AC sin30∘=2r ，∴r =2， 球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d =3，∴球的半径R =√9+4=√13，∴该三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为．17.答案：解：(1)∵c =2a ，B =120°，△ABC 面积为√32=12acsinB =12·a ·2a ·√32， ∴解得：a =1，c =2．∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB=√1+4−2×1×2×(−12)=√7；(2)∵a =1，c =2，b =√7，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=5√714， ∴tanA =√1cos 2A −1=√35．解析：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由已知利用三角形面积公式可求a ，c 的值，进而利用余弦定理可求b 的值；(2)由余弦定理可求cos A 的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA =√1cos 2A −1的值．18.答案：解：(1)把这10个数据按从小到大排列后，位于中间的两个数据中的其中一个为169，另一个为175或者170+x ，又因为该组数据的中位数为171，所以175+1692=171(舍去)或(170+x)+1692=171，解之得x =3；平均值为155+157+169+164+168+177+173+175+179+18310=170(cm)； (2)所有可能的结果列举如下：(177,173，175)，(177,173，179)，(177,173，183)，(177,175，179)，(177,175，183)，(177,179，183)，(173,175，179)，(173,175，183)，(173,179，183)，(175,179，183)，共10种，其中，至少有两名学生的身高低于178cm 的结果列举如下，(177,173，175)，(177,173，179)，(177,173，183)，(177,175，179)，(177,175，183)，(173,175，179)，(173,175，183)，共7种， 至少有两名学生的身高低于178cm 的概率为710．解析：(1)根据该组数据的中位数为171，求x 的值，从而估计该班学生身高的平均值；(2)列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．本题考查茎叶图，列举出计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)取AB 中点G 连EG ，GF ，在△ASB 中，EG//SB ，在梯形ABCD 中，GF//BC ，∵EG ∩FG =G ，SB ∩BC =B ，EG,FG ⊂平面EGF ，SB,BC ⊂平面SBC ，∴平面EGF//平面SBC ，∵EF ⊂平面EGF ，∴EF//平面SBC ．(Ⅱ)由题设可知SA ，AB ，AD 两两垂直，故可以A 为原点，以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AS⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．A(0,0，0)，B(−1,0，0)，C(−1,1，0)，S(0,0，1)，D(0,12,0)，SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,−1)， 设平面SBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −z =0n ⃗ ⋅SC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,0，−1)， 设平面SCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0m ⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b −c =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,2，1)， 设二面角B −SC −D 的大小为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=0， ∴θ=π2， ∴二面角B −SC −D 的大小为π2．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)取AB 中点G ，连EG ，GF ，推导出平面EGF//平面SBC ，由此能证明EF//平面SBC ．(Ⅱ)由SA ，SB ，AD 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −SC −D 的大小．20.答案：解：(1)由题意，2+p 2=3，∴p =2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x ；(2)设直线AB 的方程为x =ty +a.A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立抛物线方程得y 2−4ty −4a =0，y 1+y 2=4t ，y 1⋅y 2=−4a∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，(ty 1+a)(ty 2+a)+y 1y 2=0，t 2y 1y 2+at(y 1+y 2)+a 2−4a =0，t 2(−4a)+4at 2+a 2−4a =0∴a 2−4a =0∵a >0，∴a =4．解析：(1)利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线E 的方程；(2)设直线AB 的方程为x =ty +a ，与抛物线方程联立，利用x 1x 2+y 1y 2=0求解即可．本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确设出直线方程是关键．21.答案：解：(1)证明：f′(x)=cosx +1cos 2x −2，因为x ∈(−π2,π2)，所以cosx ∈(0,1]，于是f′(x)=2cosx +1cos 2x −2≥cos 2x +1cos 2x −2≥0(等号当且仅当x =0时成立)．故函数f(x)在(−π2,π2)上单调递增．(2)由(1)得f(x)在(0,π2)上单调递增，又f(0)=0，所以f(x)>0，(ⅰ)当m ≤0时，f(x)>0≥mx 2成立．(ⅰ)当m >0时，令p(x)=sinx −x ，则p′(x)=cosx −1，当x ∈(0,π2)时，p′(x)<0，p(x)单调递减，又p(0)=0，所以p(x)<0，故x ∈(0,π2)时，sinx <x.(∗)由(∗)式可得f(x)−mx 2=sinx +tanx −2x −mx 2<tanx −x −mx 2，令g(x)=tanx −x −mx 2，则g′(x)=tan 2x −2mx由(∗)式可得g′(x)<x 2cos 2x−2mx =x cos 2x (x −2mcos 2x) 令ℎ(x)=x −2mcos 2x ，得ℎ(x)在(0,π2)上单调递增，又ℎ(0)<0，ℎ(π2)>0，所以存在t ∈(0,π2)使得ℎ(t)=0，即x ∈(0,t)时，ℎ(x)<0，所以x ∈(0,t)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(0)=0，所以g(x)<0，即x ∈(0,t)时，f(x)−mx 2<0，与f(x)>mx 2矛盾．综上，满足条件的m 的取值范围是(−∞,0]．解析：(1)求出函数的导数，得到导函数是非负数，求出函数的单调性即可；(2)通过讨论m 的范围，结合函数的单调性求出m 的具体范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：直线ρsin(π3−θ)=√32，转换为直角坐标方程为：√32x −12y =√32， 即：√3x −y −√3=0，令y =0，解得：x =1，故：圆心的坐标为(1,0)，点P(√3,π6)，转换为直角坐标为：(32,√32)， 所以：圆的半径r =(12)(√32)=1， 故圆的方程为(x −1)2+y 2=1，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ．故：圆C 的极坐标方程是ρ=2cos θ．解析：直接利用转换关系，把直线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步求出圆心和半径，最后求出圆的方程．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的方程的确定． 23.答案：解：( I)当−1≤x ≤0时，函数图象为直线且过点(−1,0)(0,3)，直线斜率为k =3， 所以y =3x +3；当0<x ≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y =a(x −1)(x −3)，当x =0时，y =3a =3，解得a =1，所以y =(x −1)(x −3)=x 2−4x +3，所以y ={3x +3,(−1≤x ≤0)x 2−4x +3,(0<x ≤3)． (II)当x ∈[−1,0]，令3x +3=1，解得x =−23；当x ∈(0,3]，令x 2−4x +3=1，解得x =4±√16−82=2±√2，因为0<x ≤3，所以x =2−√2，所以x =−23或x =2−√2．解析：(1)根据函数图象，显然为分段函数，分成−1≤x ≤0和0<x ≤3两段分别考虑，其中−1≤x ≤0时为直线的一部分，0<x ≤3为抛物线的一部分．分别用待定系数法求解即可．(2)令f(x)=1，分情况讨论即可．本题考查了分段函数，一次函数，二次函数，待定系数法求函数的解析式，主要考查计算能力，分类讨论思想．属于基础题．。

广东省2020届高三一模考试(文科)数学试题一､选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题自要求的｡1.已知集合A,B 均为全集U={1,2,3,4,5,6,7}的子集,集合A={1,2,3,4},则满足{1,2}U A B ⋂=ð的集合B 可以是 A.{1,2,3,4}B.{1,2,7}C.{3,4,5,6}D.{1,2,3} 2.复数4334i z i +=-(i 为虚数单位)的虚部为 A.-1 B.2 C.5 D.13.已知向量1(,1)2=-a 向量b 满足2a +b =(-1,m),若a ⊥b ,则m=A.-3B.3C.1D.2 4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 上､下顶点分别为A,B,若四边形21AF BF 是正方形且面积为4,则椭圆C 的方程为424.12x y A += B.2212 x y =+ 22C. 132x y += 22.143x y D += 5.如图,△OAB 是边长为2的正三角形,记△OAB 位于直线2)0(x t t =<≤左侧的图形的面积为f(t),则y=f(t)的大致图象6.若2sin()πα+=则sin(2)2πα-的值为 1.9A - 5.9B - 1.9C 5.9D 7.甲､乙两人分别从4种不同的图书中任选2本阅读,则甲､乙两人选的2本恰好相同的概率为1.4A 1.3B 1.6C 1.36D 8.某广场设置了一些石凳子供大家休息,这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的｡如果被截正方体的棱长为40cm,则石凳子的体积为3192000.3A cm 3160000.3B cm 316000.3C cm 364000.3D cm 9.执行右边的程序框图,若输出A 的值为70,169则输入i 的值为A.4B.5C.6D.710.已知O 是坐标原点,双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F,过点F 的直线l 与x 轴垂直,且交双曲线C 于A,B 两点,若△ABO 是等腰直角三角形,则双曲线C 的离心率为51.A + 51.B - .51C - .51D +11.在△ABC 中,已知A=60°,D 是边BC 上一点,且BD=2DC,AD=2,则△ABC 面积的最大值为.3A 3.32B .23C 5.32D 12.已知f(x)是定义在(,)22ππ-上的奇函数,f(1)=0,且当(0,)2x π∈时,() ()tan 0,f x f x x '+>则不等式f(x)<0的解集为 .(1,0)(1,)2A π-⋃B.(-1,0)∪(0,1) .(,1)(1,)22C ππ--⋃ .(,1)(0,1)2D π--⋃ 二､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡13.设函数2()ln ,f x mx x =若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线20200ex y ++=平行,则m=___.14.若x,y 满足约束条件||1||2x y x -≤⎧⎨≤⎩，则z=2x+y 的最大值为___. 15.如图,已知三棱锥P-ABC 满足PA=PB=PC=AB=2,AC ⊥BC,则该三棱锥外接球的体积为___.16.函数() f x sin x acos x ππ=+满足1()(),3f x f x =-3[0,]2x ∈时,方程f(x)-m=0恰有两个不等的实根,则实数m 的取值范围为___.三､解答题:共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答｡第22､23题为选考题,考生根据要求作答｡(一)必考题:共60分｡17.(12分)已知{}n a 为单调递增的等差数列,设其前n 项和为5,20,n S S =-且35,1,a a +9a 成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求n S 的最小值及取得最小值时n 的值.18.(12分)某城市2018年抽样100户居民的月均用电量(单位:千瓦时),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组,得到如下频率分布表:(1)求表中1212,,,n n f f 的值,并估计2018年该市居民月均用电量的中位数m;(2)该城市最近十年的居民月均用电量逐年上升,以当年居民月均用电量的中位数u(单位:千瓦时)作为统计数据,下图是部分数据的折线图.由折线图看出,可用线性回归模型拟合u 与年份t 的关系.①为简化运算,对以上数据进行预处理,令x=t-2014,y=u-195,请你在答题卡上完成数据预处理表; ②建立u 关于t 的线性回归方程,预测2020年该市居民月均用电量的中位数.附:回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: 1221ˆˆˆ,.n i ii n i i x y nxy b ay bx x nx ==-==--∑∑19.(12分)如图,已知正三棱柱111,ABC A B C -D 是AB 的中点,E 是1C C 的中点,且11, 2.AB AA ==(1)证明:CD//平面1;A EB(2)求点1A 到平面BDE 的距离.20.(12分)动圆C 与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点,且12,x x 是方程2240x mx +-=的两根.(1)若线段AB 是动圆C 的直径,求动圆C 的方程;(2)证明:当动圆C 过点M(0,1)时,动圆C 在y 轴上截得弦长为定值.21.(12分)已知函数f(2()()x x e m e x mx =+--(1)当m=0时,求函数f(x)的极值;(2)当m<0时,证明:在(0,1)上f(x)存在唯一零点.(二)选考题:共10分｡请考生在第22､23题中任选一题作答｡如果多做,则按所做的第一题计分｡22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 2sin 1ρθρθ-=.若P 为曲线1C 上的动点,Q 是射线OP 上的一动点,且满足|OP|·|OQ|=2,记动点Q 的轨迹为2.C (1)求2C 的直角坐标方程;(2)若曲线1C 与曲线2C 交于M,N 两点,求△OMN 的面积.23.[选修4-5:不等式选讲](10分) 已知函数1()|||3|2()2f x x k x k =-++-∈R .(1)当k=1时,解不等式f(x)≤1;(2)若f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立,求实数k 的取值范围.。

梅州市2020届高三上学期第一次质量检测文科数学2019-10本试卷共4页，22小题， 满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则AB =（ ）．A.{}1x x ≥ B.{}12x x ≤< C. {}11x x -<≤ D.{}1x x >- 2．设复数满足(3)3i z i +=-，则||z =（ ）．A.12B.1 D. 23．为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（ ）．A.参加活动次数是3场的学生约为360人B.参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C.参加活动次数不高于2场的学生约为280人D.参加活动次数不低于4场的学生约为360人4．已知双曲线C :222210,0)x y a b a b-=>>（，直线y b =与C 的两条渐近线的交点分别为,M N ， O 为坐标原点．若OMN ∆为直角三角形，则C 的离心率为（ ）．C.25．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则9a =（ ）．A.12B.54C.45D. 45-6．已知1sin()62πθ-=，且02πθ∈（，），则cos()3πθ-=（ ）．A. 0B. 12C.17．如图，线段MN 是半径为2的圆O 的一条弦，且MN 的长为2. 在圆O 内，将线段MN 绕N 点按逆时针方向转动，使点M 移动到圆O 上的新位置，继续将线段MN 绕M 点按逆时针方向转动，使点N 移动到圆O 上的新位置，依此继续转动……点M 的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）．A.4π-1-C.π-8．在边长为3的等边ABC ∆中，点M 满足2BM MA =，则CM CA ⋅=（ ）．AB ．C ．6D ．1529．已知函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（），，当[],1x m m ∈+时，不等式()()2f m x f x m -<+恒成( )．A 11．已知过抛物线2y =焦点F l 与x 轴交于点C ，AM l ⊥于点M ，则四边形AMCF 的面积为( ) A ．B ．12C ．D ．12．若关于x 的方程0x e ax a +-=没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,0e -⎤⎦B ．)20,e ⎡⎣ C ．(],0e - D ．[)0,e 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．13．若实数,x y 满足约束条件200220x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =-的最小值等于______．14．已知长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为323π，且12A A B C ==，则直线1A C 与平面11BB C C 所成的角为______．15．将函数()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6个单位长度，得到一个偶函数图象，则=ba______． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数）．若数列{}n b 满足2920n n a b n n =-+-，且1n n b b +<，则满足条件的n 的取值集合为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，.已知sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求角C 的值；(Ⅱ)若4a c ==，ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分)为了了解A 地区足球特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：(Ⅰ)(已知：0.751r ≤≤，则认为y x 与线性相关性很强；0.30.75r ≤<，则认为y x 与线性相关性一般；0.25r ≤，则认为y x 与线性相关性较弱)；(Ⅱ)求y 关于x 的线性回归方程，并预测A 地区2019年足球特色学校的个数(精确到个).参考公式：()()niix x yy r --=∑，()2110ni i x x =-=∑，()211.3ni i y y =-=∑， 3.6056≈，()()()121ˆˆˆ.nii i nii xx y y bay bx x x ==--==--∑∑，19.(本小题满分12分)如图，三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，平面ABC ⊥平面BCGF ， 2CB GF =，BF CF =. (Ⅰ)求证：AB CG ⊥；(Ⅱ)若ABC ∆和梯形BCGF 的面积都等于，求三棱锥G ABE -的体积.20.(本小题满分12分)已知直线:10l x y -+=与焦点为F 的抛物线2:2C y px =(0p >)相切. (Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，求A ，B 两点到直线l 的距离之和的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数()223ln f x x ax a x =-+(a R ∈). (Ⅰ)求()f x 的单调区间；(Ⅱ)若对于任意的2x e ≥(e 为自然对数的底数)，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x t y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数，a ∈R ）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()03θρπ=≥与曲线C 交于,O P 两点，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点. （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）当AB OP =时，求a 的值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.2019-2020学年高三级第一学期第一次质检文科数学试题参考答案一、选择题 1.D 2.B 3.D 4.A 5.C 6.C 7.B 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A 1.【简解】()(){}{}|2+10|12B x x x x x =-<=-<<，所以{}|1AB x x =>-，故选D ．2.【简解一】因为()()()()3i 3i 3ii ==3+i 3+i 3i 8610z ----=-，所以1z =，故选B ．【简解二】因为(3+i)3i =-z ，所以(3+i)(3+i)=3i z z =-，所以1z =，故选B ． 3.【简解】估计该校高一学生参加活动次数不低于4场的学生约为：1000+⨯（0.180.12+0.04+0.02)=360人，故选D.4.【简解】依题意得：因为∆OMN 为直角三角形，所以双曲线C 的渐近线为=y x ±，即C 是等轴双曲线，所以C的离心率=e A ．5.【简解】依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}na 为等差数列，所以7311111273738--===--a a d ，所以()9711159784a a =+-⨯=，所以945=a ，故选C ． 6.【简解一】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，π3θ=，代入πc o s 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭得，πc o s 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭=cos01=，故选C ．【简解二】由π1sin 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得，πcos 62θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以πππππππcos cos cos cos sin sin 13666666θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ． 7.【简解一】依题意得：阴影部分的面积216[2222S =⨯π⨯-⨯⨯π-1（）61P ==，故选B ．【简解二】依题意得：阴影部分的面积212622=422S =π⨯-⨯⨯⨯⨯π-1P ==，故选B ．8.【简解一】依题意得：121211215)333333333232CM CA CB CA CA CB CA CA CA ⋅=+⋅=⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯=（，故选D ．【简解二】依题意得：以C 为原点，CA 所在的直线为x轴建立平面直角直角坐标系，则50,03,02C A M （），（），（，所以5153,022CM CA ⋅==（，（），故选D ． 【简解三】依题意得：过M 点作M D A C ⊥于D ，如图所示，则CM CA ⋅=CD CA ⋅=15(31cos60)32-⨯⨯=，故选D ． 9. 【简解】依题意得：函数()314,025,0x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪--+>⎩（）在x ∈R 上单调递减，因为()()2-<+f m x f x m ，所以2m x x m ->+，即2x m <，在[],1∈+x m m 上恒成立，所以2(1)m m +<，即2m <-，故选B ．10. 【简解】【解析】∵函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，∴当2x >-时，()0f x '>；当2x =-时，()0f x '=；当2x <-时，()0f x '<．∴当20x -<<时，()0xf x '<；当2x =-时，()0xf x '=；当2x <-或0x >时，()0xf x '>.选：C ．11.【解答】解：解：过B 作BN l ⊥于N ，过B 作BK AM ⊥于K ，设||BF m =，||3AF m =，则||4AB m=，2AK m =，13602BAA CF p m ⇒∠=︒⇒===m ∴=．3AM m ⇒==sin 603MC AF m =︒== 则四边形AMCF的面积为11()(222S CF AM MC =+=⨯A ．12.【解答】解：方程0x e ax a +-=没有实数根，得方程(1)x e a x =--没有实数根，等价为函数x y e =与(1)y a x =--没有交点，当0a >时，直线(1)y a x =--与x y e =恒有交点，不满足条件． 当0a =时，直线0y =与x y e =没有交点，满足条件．当0a <时，当过(1,0)点的直线x y e =相切时，设切点为(,)m m e ，则()x f x e '=，则()m f m e '=， 则切线方程为()m m m m y e e x m e x me -=-=-．即m m m y e x me e =-+， 切线过(1,0)点，则0m m m e me e -+=，得2m =，即切线斜率为2e ，要使x y e =与(1)y a x =--没有交点，则满足20a e <-<，即20e a -<<， 综上20e a <…，即实数a 的取值范围是2(e -，0]，故选：A ． 二、填空题13.【简解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：3y x z =-，则z 的最小值即为动直线在y 轴上的截距的最大值．通过平移可知在A 点处动直线在y 轴上的截距最大．因为20:220x y A x y +=⎧⎨-+=⎩解得11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3z x y =-的最小值()min 173122z =⋅--=-．14.【简解】设长方体1111ABCD A B C D -的外接球半径为R ，因为长方体1111ABCD A B C D -的外接球体积为343233R ππ=，所以2R =,即1A C 24R =，因为12AA BC ==，所以AB =因为11A B ⊥平面11BB C C ，所以1A C 与平面11BB C C 所成的角为11ACB ∠，在11Rt ACB △中，因为12AA BC ==，所以111B C A B ==，所以11=4ACB π∠．15. 【简解】因为()sin cos f x a x b x =+(),0∈≠R ,a b a 的图象向左平移π6单位长度，得到偶函数图象，所以函数()sin cos f x a x b x =+的对称轴为π6x =，所以()sin cos =(0)=333f a b f b πππ=+，因为0a ≠，所以ba=16. 【简解】因为11a =，且1n n S a λ=-（λ为常数），所以111a λ=-=，解得=2λ，所以21n n S a =-，所以()-1-1212n n S a n =-≥，所以12n n a a -=，所以12n n a -=，因为2920n n a b n n =-+-，所以2-19202n n n n b -+-=， 所以2+111+28(4)(7)22n n n nn n n n b b ----==0<，解得47n <<，又因为*n ∈N ，所以=5n 或=6n ．所以，当=5n 或=6n 时，1n n b b +<，即满足条件的n 的取值集合为{}5,6． 三、解答题：17.(本小题满分12分)解: (Ⅰ)∵sin sin 03b C c B π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，∴1sin sin sin sin 02B C C C B ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭，………………2分∴1sin 02C C =，∴sin 03C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (4)分∵()0C π∈，，∴23C π=. …………………………6分(Ⅱ)∵2222cos c a b ab C =+-，∴24120b b +-=， ………………………………8分∵0b >，∴2b =， ……………………………… 10分∴11sin 2422S ab C ==⨯⨯= (12)分18.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)20161x y ==，， …………………………2分()()3.60.753.6056niix x yy r --==>∑，……………………4分 ∴y x 与线性相关性很强. …………………………6分(Ⅱ)()()()()()()()5152120.710.410.420.7ˆ0.3641014iii ii x x yy bxx ==---⨯-+-⨯-+⨯+⨯===++++-∑∑， (8)分ˆˆ120160.36724.76ay bx =-=-⨯=-， ………………………………9分 ∴y 关于x 的线性回归方程是ˆ0.36724.76yx =-. …………………………10分当2019x =时，ˆ0.36724.76 2.08yx =-=， 即A 地区2019年足球特色学校有208个. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)证明：取BC 的中点为D ，连结DF . …………………………1分 由ABC EFG -是三棱台得，平面//ABC 平面EFG ，∴//BC FG .………2分 ∵2CB GF =，∴//CD GF =，……………………………………3分 ∴四边形CDFG 为平行四边形，∴//CG DF . ∵BF CF =，D 为BC 的中点，∴DF BC ⊥，∴CG BC ⊥.……………………4分∵平面ABC ⊥平面BCGF ，且交线为BC ，CG ⊂平面BCGF ，∴CG ⊥平面ABC ，而AB ⊂平面ABC ，∴CG AB ⊥. ……………………6分 (Ⅱ)∵三棱台ABC EFG -的底面是正三角形，且2CB GF =，∴2AC EG =，∴2ACG AEG S S ∆∆=， ………………………………8分 ∴1122G ABE B AEG B ACG G ABC V V V V ----===. …………………………9分 由(Ⅰ)知，CG ⊥平面ABC .∵正ABC ∆2BC =，1GF =. …………………………10分∵直角梯形BCGF ()122CG+⋅，∴CG ， ∴11112233G ABE G ABC ABC V V S CG --∆==⋅⋅⋅=. …………………………12分20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵直线:10l x y -+=与抛物线C 相切.由2102x y y px-+=⎧⎨=⎩消去x 得，2220y py p -+=，……2分从而2480p p ∆=-=，解得2p =. (4)分∴抛物线C 的方程为24y x =. (5)分(Ⅱ)由于直线m 的斜率不为0，所以可设直线m 的方程为1ty x =-，A (11x y ，)，B (22x y ，).……6分由214ty x y x =-⎧⎨=⎩消去x 得，2440y ty --=， ………………………………7分∴124y y t +=，从而21242x x t +=+， ……………………………………8分∴线段AB的中点M 的坐标为(221 2t t +，). ………………………………9分设点A 到直线l 的距离为A d ，点B 到直线l 的距离为B d ，点M 到直线l 的距离为d ，则221322124A B d d d t t ⎫+===-+=-+⎪⎭， …………………………11分∴当12t =时，可使A 、B 两点到直线l . ………………12分21.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)()f x 的定义域为(0 +∞，). (1)分()()222223223a x x a a x ax a f x x a x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=-+==. …………………………2分⑴当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 的单调递增区间为(0 +∞，)，无单调递减区间；…………3分⑵当0a >时，由()0f x '>解得0 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，() a +∞，，由()0f x '<解得2a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，.………………4分∴()f x 的单调递增区间为0 2a ⎛⎫⎪⎝⎭，和()a +∞，，单调递减区间是2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. ……………………5分(Ⅱ)①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，()f x 在(0 +∞，)上单调递增， ∴()2422()320≥=-+≥f x f e e ae a 恒成立，符合题意. …………………………6分②当0a >时，由(Ⅰ)知，()f x 在 0 2a ⎛⎫⎪⎝⎭，和()a +∞，上单调递增，在2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减. (ⅰ)若202a e <≤，即22≥a e 时，()f x 在2 2a e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递增，在2a a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，上单调递减，在()a +∞，上单调递增.∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()20f e ≥，且()0f a ≥.……………………………7分而当22≥a e 时，()22242223(2)()0=-+=--≥f e a ae e a e a e 且()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立.∴22a e ≥符合题意. ………………………………8分(ⅱ)若22ae a <≤时，()f x 在)2e a ⎡⎣，上单调递减，在[)a +∞，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需()0≥f a 即可，此时()22223ln (ln 2)0=-+=-≥f a a a a a a a 成立，∴222e a e ≤<符合题意.…………………………9分(ⅲ)若2e a >，()f x 在)2e ⎡+∞⎣，上单调递增. ∴对任意的实数2x e ≥，()0f x ≥恒成立，只需 ()2422320f e e ae a =-+≥，……………………10分即()()()2422223220f e e ae a a e a e =-+=--≥，∴202e a <≤符合题意.……………………………11分综上所述，实数a 的取值范围是)222e e ⎛⎤⎡-∞+∞ ⎥⎣⎝⎦，，. …………………………12分 22.(本小题满分10分)【解析】（1）将直线l0y a +-=. ··························· 2分 由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=， ··································································· 3分 从而224x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为2240x x y -+=. ···························· 5分（2）解法一：由()4cos 03ρθθρ=⎧⎪π⎨=≥⎪⎩，得2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2OP =， ······························ 6分 将直线l 的参数方程代入圆的方程2240x x y -+=，得()2220t t a ++=由0∆>，得42a << …………………………………………………………8分设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，则12AB 2t t =-=== (9)分解得，0a=或a =所以，所求a的值为0或………………………………………………10分解法二：将射线()03θρπ=≥()00y x -=≥， ······················· 6分 由（1）知，曲线C ：()2224x y -+=的圆心()2,0C ，半径为2， 由点到直线距离公式，得C到该射线的最短距离为：d ==所以该射线与曲线C 相交所得的弦长为2OP ==． ·························· 7分 圆心C 到直线l=， ··············································· 8分由22212+=⎝⎭，得()212a=，即a =± ····················· 9分解得，0a=或a = 所以，所求a的值为0或……………………………………10分23.(本小题满分10分)解：(Ⅰ)由()1f x ≤得，|32|1x +≤，所以，1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232+≥x a x 恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223+≤=+x a x x x.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =)，所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。

梅州市高三第一次总复习质检试卷数学（文科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号填在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上 角“条形码粘贴处”。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂先做题的题号（或题组号）对应的信息点，再作 答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5、考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积：Sh V 31=，其中S 为锥体底面面积，h 为锥体的高．第I 卷 选择题 （共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共计50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目题意的． 1．设a 是实数，且211i ia +++是实数，则a=( )A ．21 B ．1 C ．23 D ．22．已知全集U=R ，集合}22|{<<-=x x A ，}02|{2≤-=x x x B ,则A ∩(C R B)= ( )A.(-2, 0]B.[0, 2)C.[0, 2]D.(-2, 0)3．如图1，正三棱柱的主视图面积为2a 2，则左视图的面积为( )A.2a 2B.a 2C.23aD.243a 4．在图2的程序框图中，输出的s 的值为( )A.11B.12C.13D.155．命题P ：将函数y=sin2x 的图象向右平移要个单位得到函数y)32sin(π-=x 的图象；命题Q ：函数)3cos()6sin(x x y -+=ππ的最小正周期是π，则命题：""Q P ∨，""Q P ∧，""P ⌝中为真命题 的个数是( )A.2B.1C.3D.06.若双曲线12222=-b ya x的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A ．2 B.3 C.5 D ．27．设a ，b 是两个非零向量，则(a+b)2=a 2+b 2是a ⊥b 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一 点，若用f(n)表示n 条直线交点的个数，则f(4)=( )A ．3B ．4C ．5D ．69．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1，b 1，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2，b 2千克，甲、乙产品每千克可获利润分别为d 1，d 2元，月初一次性购进本月用原料A 、B 各C 1，C 2千克，要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x 千克，y 千克，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润z=d 1x+d 2y 最大的数学模型中，约束条件为( )A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≥+00122121y x c y b x b c y a x a B.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00222111y x c y b x a c y b x a C.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00122121y x c y b x b c y a x a D.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=+=+00221121y x c y b x b c y a x a10.f(x)是定义在(-3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图3所示，那么不等式f(x)cosx<0的解集是( ) A ．)2,3(π--)3,2()1,0(π⋃⋃B.)1,0()1,2( --π)3,2(πC. (-3, -1)∪(0,1)∪(1, 3)D.)2,3(π--∪(0,1)∪(1,3)第II 卷 （非选择题 共100分）二、填空题：本题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）11．某校用分层抽样法从高中三个年级抽取部分学生参加社会实践活动——调查当地 农村居民收入来源．三个年级抽取人数的比例为5：4：3（按高一、高二、高三顺序），已知高二年级共有学生1200人，抽取了40人，则这个学校的学生人数为_____人．12.已知等差数列{a n }中，a 2=8，a 8=26，从{a n }中依次取出第3，6,9，…，3n 项，按原来的顺序构成一个新数列{b n }，则b n =____．13．已知x x x x f 35)(23+-=，若关于x 的方程f(x)-b=0在[0，1]上恰好有两个不同的实数根，则实数b 的取值范围是_______.(二)选做题(14-15题)14.（坐标系与参数方程选做题）直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==ty t x 212，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin 1cos 2y x ，则l 与C 的位置关系是________. 15.（几何证明选讲选做题）如图4，圆O 的割线PBA 过圆心O ，弦CD 交PA 于点F,且△COF ∽△PDF ，PB=OA=2，则PF=________.三、解答题：本大题有6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，把答案做在答题卡相应题号的位置上，不能做在本卷内． 16．（本小题满分13分）已知函数)0(cos sin 32sin 2)(2>+-=m n x x m x m x f 的定义域为]2,0[π，值域为[-5，4]．(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调减区间．17.（本小题满分12分）在一次游戏中，甲、乙分别从装有标号为1,2,3，……，10的小球（球的大小和形状相同）的盒子中各摸一次球，甲先摸（摸后记下号码，然后放回）． (1)求他们摸出的号码之和为7的概率； (2)求他们摸出球的号码之和大于7的概率；(3)若在游戏中规定，谁的号码大，谁就获胜，求甲获胜的概率．18.（本小题满分14分）如图5，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC=3，AB=5， AA 1=BC=4，点D 是AB 的中点． (1)求证：AC ⊥BC 1；(2)求证：AC 1∥平面CDB 1；(3)求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值．19.（本小题满分14分）如图6，四棱锥P-ABCD 的底面是菱形，且 ∠ABC=1200, PA ⊥底面ABCD ，AB=1，PA=6，E 为CP 的中点．(1)证明：PA//平面DBE ；(2)求直线DE 与平面PAC 所成角的正切值； (3)在线段PC 上是否存在一点M ，使PC ⊥平面MBD 成立？如果存在，求出MC 的长；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分） 已知函数f(x)=lnx-kx+1． (1)求函数f(x)的极值点；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k 的取值范围.21．（本小题满分12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a nn ∈+-=+. (1)设*)(2N n n n a b n n ∈++=μλ，若数列{b n }是等比数列，求常数λ、μ的值； (2)设*)(2N n n n a c n n ∈+-=，数列{c n }的前n 项和为S n ，是否存在常数c ，使得 )lg()lg(2c S c S n n -+-+)lg(21c S n -=+成立？并证明你的结论．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1.B 2.D 3.C 4.B 5.A 6.C 7.C 8.C 9.C 10.B二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题(11—13题)11.3600 12. 9n+2. 13.)2713,0[（二）选做题(14-15题) 14．相离． 15.3．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 解；(1)x m x f 2sin 3)(-==++-n m x m 2cos n m x m +++-)62sin(2π，………（3分） ]2,0[π∈x ，]67,6[62πππ∈+∴x ，]1,21[)62sin(-∈+∴πx ，………（5分） 又m>0,42)(max =+=∴n m x f ，5)(min -=+-=n m x f …………（8分） ∴m=3,n=-2．即1)62(6)(++-=xx m s x f ， ................... (10分) (2)1)62sin(6)(++-=πx x f ，x k 222≤-∴ππ)(226Z k k ∈++πππ，…（11分）得πππk x k ≤≤-3)(,6Z k ∈+π，又]2,0[π∈x ，故取k=0，得f(x)的单调减区间为]6,0[π............. (13分)17.（本小题满分12分）解：甲、乙各摸一次得到的可能结果有10×10=100种，设甲摸出号码为x ，乙摸出的球的号码为y ，设甲、乙各摸一次球的号码构成数对(x ，y)…………………（1分）(1)他们摸出的号码为7，则所有可能的结果为(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共6个，所以他们摸出球的号码之和为7的概率为5031006=...... (5分)(2)他们摸出的号码之和大于7，则x=1,y=7,8,9,10共4个;x=2,y=6,7,8,9,10共 5个；x=3,y=5,6,7,8,9,10共6个；……，x=6,y=2,3,4,5,6,7,8,9,10共9个；………………………………………（6分） x=7,y=1,2,3，……，10共10个；x=8，y=1，2，……，10,共10个;x=9,y=1,2，……，10,共10个;x=10,y=1,2，……，10,共10个； ………（7分） 所以共有4+5+6+7+8+9+10+10+10+10=79个，………………………（8分） 所以他们摸出号码之和大于7的概率为10079 ........... (9分)(3)甲获胜的情况有：若x=2，y=1；x=3，y=1，2；x=4，y=1，2，3；……，若x=10，则y=1，2，3，……，9；共有1+2+3+……+9=45，甲获胜的概率为20910045=.... (12分)18．（本小题满分14分）(1)证明：如图，⊥1CC 平面ABC,AC CC ⊥∴1， …………（1分） 222AB BC AC =+ ，BC AC ⊥∴， …………（2分） ∴AC ⊥平面BB 1C 1C,⋅⊂1BC 平面BB 1C 1C,∴AC ⊥BC 1． …………………………………（4分） (2)证明：设点O 是直线BC 1与B 1C 的交点，连结DO ， …………………………………………………(5分)∵D 、O 分别是AB 、BC 1的中点，∴AC 1//DO ，…………………………………（6分） ⊂DO 平面CDB 1,⊄1AC 平面CDB 1, …………（7分） ∴AC 1//平面CDB 1. ………（8分）(3)延长BB 1到E ，使EB 1=B 1B ，连AE ，C 1E ．C C BB 11// ，C C EB 11//∴，∴C 1CB 1E 是平行四边形，11//CB E C ∴，…………（10分）∴∠AC 1E 或其补角是异面直线AC 1与B 1C 所成的角．…………………………（11分） Rt △ABE 中，可得89=AE ,Rt △B 1BC 中，可得241=CB ，241=∴E C ， Rt △ACC 1中,可得AC 1=5. ............................... (12分) 则E AC 1cos ∠EC AC AEE C AC 11221212⨯-+==⨯⨯-+=2452893225522-………（13分）所以异面直线AC 1与B 1C 所成角的余弦值是522 .............(14分)19.（本小题满分14分） 解：(1)由x 2=4y ，得241x y =，x y 21'=∴. ∴直线l 的斜率为1|'2==x y ，……（2分）故l 的方程为y=x-1，∴点A 的坐标为(1,0).……………（4分）由已知可得F(0，1)，设B(x 0，y 0)，依题意有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-+⨯-+⨯211032122040000x y y x ;解得⎩⎨⎧==0200y x ． 所以B(2，0)．…………（7分） (2)设M(x ，y)，则)0,1(=AB ，),2(y x BM -=，),1(y x AM -= ...... (10分）由02=+∙AM BM AB ，得0)1(20)2(22=+-∙+∙+-y x y x ，整理，得1222=+y x ..... （12分)∴动点M 的轨迹是以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆 .................. (14分) 20．（本小题满分14分） 解:(1)f(x)的定义域为(1，+∞)，k x x f --=11)('， .................. (2分)当k ≤0时，∵x-1>0,011>-∴x ，f'(x)>0，则f(x)在(1，+∞)上是增函数，f(x)在(1，+∞)上无极值点； …………………………（4分） 当k>0时，令f'(x)=0，即011=--k x ，kx 11+=∴ ............... (5分)当)11,1(kx +∈时，>--=k x x f 11)('01111=--+k k ，所以f(x)在)11,1(k+上是增函数，当),11(+∞+∈kx 时，k x x f --=11)('01111=--+<k k ，∴f(x)在),11(+∞+k上是减函数． ..................（7分）kx 11+=∴时，f(x)取得极大值．综上可知，当k ≤0时，f(x)无极值点；当k>0时，f(x)有唯一极值点kx 11+=.………（8分） (2)由(1)知，当k ≤0时，f(2)=1-k>0，f(x)≤0不成立， .......（10分）故只需考虑k>0的情况.又由(1)知k k f x f ln )11()(max-=+=， .......（12分） 要使f(x)≤0恒成立，只要f(x)max ≤0即可， ............（13分） 由-lnk ≤0得k ≥1，故k 的取值范围为[1，+∞）． …………………………（14分）21.（本小题满分13分）(1)解：设n n a a n n 3221+-=+可化为++++21)1(n a n λ)(2)1(2n n a n nμλμ++=+， 即212n a a n n λ+=+μλλμ---+n )2( …………（2分） 故⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=0321μλλμλ， 解得⎩⎨⎧=-=11μλ ……………（4分）n n a a n n 3221+-=∴+可化为21)1(+-+n a n )(2)1(2n n a n n+-=++．………（5分） 又01121=/+-a ．故λ=-1，μ=1．………………………………（6分） (2)由(1)得=+-n n a n 21212)11(-⋅+-n a ，n n a n n -+=∴-212 ……………（7分） 所以122-=+-=n n n n n a c …………（8分） 要使)lg()lg(2c S c S n n -+-+)lg(21c S n -=+成立，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=--++.0)())((212c S c S c S c S nn n n ..................... (10分) 则212)())((c S c S c S n n n ----++)2121(c n ---=)2121(2c n ---+21)2121(c n ----+0)1(2=+-=c n，得c=-1． ……………（12分）所以存在常数c=-1，使得lg （S n -c ）+lg （S n+2-c ）=2lg （S n+1-c ）成立．……（13分）。

2020年广东省梅州市高考数学一模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|x2−2x≤0}，则A∩B=()A. [0,1]B. [−1,2]C. [−1,0]D. (−∞,1]∪[2,+∞)2.复数z=3−i等于()1−iA. 2−iB. 2+iC. 1−2iD. 1+2i3.已知函数f(x)=x2−alnx(a>0)在[1,2]上为单调函数，则a的取值范围为()2A. (−∞,1]B. (−∞,1)∪(4,+∞)C. (0,1)∪(4,+∞)D. (0,1]∪[4,+∞)4.函数f(x)=e|x|−2x2在[−2,2]上的图象大致为()A. B. C. D.5.一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则弦长AB=()cmA. 2B. 2sin1C. 2sin2D. sin 16.近年来，随着4G网络的普及和智能手机的更新换代，各种方便的app相继出世，其功能也是五花八门．某大学为了调查在校大学生使用app的主要用途，随机抽取了56290名大学生进行调查，各主要用途与对应人数的结果统计如图所示，现有如下说法：①可以估计使用app主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数；②可以估计不足10%的大学生使用app主要玩游戏；③可以估计使用app主要找人聊天的大学生超过总数的1．4其中正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 37.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√2，且a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. 2π3C. 3π4D. 5π68.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k的结果是()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知cos(π6−α)=35，则sin(α−2π3)=()A. 35B. 45C. −35D. −4510.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则△ABC的形状是()A. 等边三角形B. 等腰直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形11.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)为偶函数，且f(1)=2，则f(4)+f(5)的值为()A. 2B. 1C. −1D. −212.已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为()A. √3−1B. √2−1C. √5−12D. 2√2−12二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=xlnx+2x在点(1,2)处的切线方程为______．14.若等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，则数列{a n}的公比为______．15.已知tanα=2，则cos2α+sin2α=__________．16.《益古演段》是我国古代数学家李治(1192∼1279)的一部数学著作，内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等，其中有这样一个问题：如图，已知∠A=60∘，点B、C分别在∠A的两个边上移动，且保持B、C两点间的距离为2√3，则点B、C在移动过程中，线段BC的中点D到点A的最大距离为_______三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．李老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，李老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如图).记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．(Ⅰ)根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；甲班(A方式)乙班(B方式)总计成绩优秀__________________成绩不优秀__________________总计__________________(Ⅱ)判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关？附：K2=n(ad−bc)2．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k)0.250.150.100.050.025k 1.3232.0722.7063.8415.02418.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S6=36．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，，求二面角A−PB−C的余弦值．20.设函数f(x)=(x−1)e x−k2x2．(1)当k=e时，求f(x)的极值；(2)当k>0时，讨论函数f(x)的零点个数．21.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45∘的直线l，直线l与抛物线C交于A,B，若|AB|=16。

广东省梅州市2020届高三数学总复习质检试题文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，8，10，12，，则集合中元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】【分析】正确理解集合A，根据集合的交集运算，即可求解。

【详解】由题意，集合，8，10，12，，，集合中元素的个数为2．故选：A．【点睛】本题主要考查了交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知复数z满足，则A. B. C. 5 D. 10【答案】B【解析】【分析】由题意得，所以，代入复数模公式即可求解。

【详解】解：由，得，则，．故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属基础题．3.下列函数为奇函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数是非奇非偶函数；和是偶函数；是奇函数，故选D．考点：函数的奇偶性．4.顶点在原点，对称轴为x轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意知抛物线的焦点在x轴上也在直线上，所以焦点坐标，即可求，代入公式可得抛物线的方程．【详解】解：由题意可知：抛物线的焦点在x轴上．又抛物线的焦点在直线上，可令，得：．抛物线的焦点的坐标为．，即．此抛物线的方程为．故选：C．【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质，属基础题．5.等差数列的前n项和为，且满足，则A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】试题分析：由等差数通项公式和前项和公式,又,可得，解得.故本题答案选A.考点：等差数列的通项公式和前和公式.6.某中学2020年的高考考生人数是2020年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2020年和2020年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2020年相比，2020年一本达线人数减少B. 与2020年相比，2020年二本达线人数增加了倍C. 2020年与2020年艺体达线人数相同D. 与2020年相比，2020年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2020年该校参加高考的人数为，则2020年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2020年该校参加高考的人数为，则2020年该校参加高考的人数为.对于选项A.2020年一本达线人数为.2020年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2020年二本达线人数为，2020年二本达线人数为，显然2020年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2020年和2020年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2020年不上线人数为.2020年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．7.已知，，若，则实数的值等于A. 3B.C. 或3D. 2【答案】C【解析】【分析】由题意得，根据，即可得出，由数量积的坐标运算即可求出的值．【详解】解：，；；解得或3．故选：C．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量减法、数乘和数量积的坐标运算，属基础题。

绝密★启用前广东省梅州市普通高中2020届高三毕业班上学期第一次质量检测(零模)数学(文)试题(解析版)2019年9月本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1.已知集合{}{}21,20A x x B x x x =≥=--<，则=A B U （）． A. {}1x x ≥B. {}12x x ≤<C. {}11x x -<≤D.{}1x x >-【答案】D 【解析】 【分析】求解出集合B ,根据并集的定义求得结果. 【详解】{}()(){}{}22021012B x x x x x x x x =--<=-+<=-<<{}1A B x x ∴⋃=>-本题正确选项：D【点睛】本题考查集合运算中的并集运算,属于基础题.2.设复数z 满足(3)3i z i +=-,则||z =（）．A.12B. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得z ,根据模长定义求得结果.【详解】由题意得：()()()23386433331055i i i z i i i i ---====-++-1z ∴==本题正确选项：B【点睛】本题考查复数模长的求解,关键是能够利用复数的除法运算整理出复数.3.为弘扬中华民族传统文化,某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况,随机抽取50名学生进行调查,将数据分组整理后,列表如下：估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（）． A. 参加活动次数是3场的学生约为360人 B. 参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C. 参加活动次数不高于2场的学生约为280人D. 参加活动次数不低于4场的学生约为360人 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本中的百分比代替总体中的百分比,从而可计算求得各选项中的学生数. 【详解】参加活动场数为3场学生约有：100026%260⨯=人,A 错误参加活动场数为2场或4场的学生约有：()100020%18%360⨯+=人,B 错误 参加活动场数不高于2场的学生约有：()10008%10%20%380⨯++=人,C 错误 参加活动场数不低于4场的学生约有：()100018%12%4%2%360⨯+++=人,D 正确 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用样本的数据特征估计总体的数据特征,属于基础题.。

2020年广东省梅州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.，，则A. B. C. D.2.设复数z满足，则A. 1B.C.D.3.已知，，，，则A. B. C. D.4.函数的图象大致是A. B.C. D.5.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出图中有15cm，跨接了6个坐位的宽度，每个座位宽度为43cm，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是A. 250cmB. 260cmC. 295 cmD. 305cm6.某高校数学学院大学一年级有甲、乙两个班，人数分别是60人与50人．在一次英语等级考试中，甲班的合格率为，乙班的合格率为，则该学院一年级英语成绩的总合格率是A. B. C. D.7.已知平面向量，满足，且，则，所夹的锐角为A. B. C. D. 08.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是A.B. 1C.D.9.A. B. C. D.10.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，满足条件，，则，一定是A. 等腰直角三角形B. 直角三角形但不是等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定11.设函数定义域为全体实数，令，有以下6个论断：是奇函数时，是奇函数；是偶函数时，是奇函数；是偶函数时，是偶函数；是奇函数时，是偶函数；是偶函数；对任意的实数x，．那么正确论断的编号是A. B. C. D.12.已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在处的切线方程是______．14.已知等比数列满足公比，为其前n项和，，，构成等差数列，则公比______．15.已知，则______．16.在空间直角坐标系中，四面体OABC各顶点坐标分别为：0，，0，，0，，假设蚂蚁窝在O点，一只蚂蚁从O点出发，需要在AB，AC上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为试验某英语教学方法的效果，某学校对中、乙两个班分别用两种不同的方法进行英语教学，甲班用原有的方法，乙班用新的方法，经过一段时间的教学，在两个班里各随机挑选了25名学生进行测试，测试成绩如下．分别估计甲、乙两班英语成绩的合格率；填写下面的列联表，根据列联表判断是否有的把握认为这种新的教学方法比原来的方法更有效？成绩小于60成绩大于等于60甲班原方法乙班新方法附：．k6363518.已知等差数列满足对任意的正整数n有．若，求的通项公式；设为的前n项和，求的前n项和．19.如图，在正四棱锥中，，，M为PB上的四等分点，即．证明：平面平面PBC；求二面角的余弦值．20.已知函数证明：在定义域内只有一个零点；．21.在平面直角坐标系xOy中，设，过点的直线l与圆P：相切，且与抛物线Q：相交于A，B两点．当m在区间上变动时，求AB中点的轨迹；设抛物线焦点为F，求的面积用m表示．22.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为，其中，t为参数，a为常数．写出与的直角坐标方程；在什么范围内取值时，与有交点．23.已知a，b都是大于零的实数．证明：；若，证明：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，．故选：A．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：B解析：解：由，得，则．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．3.答案：D解析：解：令，，，函数在上单调递增，，可得．令，．，函数在上单调递增，．．综上可得：．故选：D．令，，利用导数研究函数在上单调性，可得a与c 大小关系．令，利用导数研究函数在上单调性，可得c与b的大小关系．本题考查了利用导数研究函数的单调性比较数与式的大小，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.答案：C解析：解：函数；定义域为；排除A；再由，，可知，排除B、D，故选：C．由函数的定义域排除A，比较与的大小排除B与D．本题考查函数的图象与图象变换，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．5.答案：B解析：解：如图所示，AB为弯管，AB为6个坐位的宽度，则，，设弧AB所在的圆的半径为r，则，解得，可得，可得，可得．比较各个选项，可得260cm是最接近的．故选：B．AB为弯管，AB为6个坐位的宽度，利用勾股定理求出弧AB所在圆的半径r，从而可得弧所对的圆心角，再利用弧长公式即可求解．本题主要考查了弧长公式的应用，熟练弧长公式的应用是解题的关键，考查了数形结合思想和分析问题的能力，属于中档题．6.答案：D解析：解：由已知该学院一年级英语成绩的总合格率是：，故选：D．求出甲，乙两班英语合格的人数，再与总人数相比即可．本题考查合格率的概念，属于基础题．7.答案：B解析：解：，，，且，，且，的夹角为．故选：B．根据即可得出，进而得出，再根据即可得出，从而可得出所夹角的大小．本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：模拟程序的运行，可得，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，此时，满足条件，退出循环，输出结果为．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.答案：B解析：解：．故选：B．由已知利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求解．本题主要考查了诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.答案：C解析：解：因为中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，满足条件，，由正弦定理得：；；即；因为A为三角形内角，故A；即；所以：一定是等边三角形；故选：C．先根据正弦定理以及两角差的正弦公式得到A，即可求得结论．本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．11.答案：A解析：解：根据题意，，依次分析6个判断：对于是奇函数时，有，则，是偶函数，故错误；对于是偶函数时，有，则，是偶函数，故错误；是偶函数时，，则，是偶函数，故正确；是奇函数时，，则，是偶函数，故正确；，而，则不一定是偶函数，错误；设，则，，，则，错误；综上可得，正确；故选：A．根据题意，结合函数奇偶性的性质依次分析题干中6个判断，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．12.答案：B解析：解：设两个曲线的交点为P，Q，如图所示，由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q关于x轴对称，由题意可得轴，所以，代入抛物线的方程可得，即，又因为椭圆的焦点与抛物线的焦点重合，所以，即，代入椭圆的方程可得，所以，整理可得，即所以可得，故选：B．由椭圆及抛物线的对称性可得：P，Q，三点共线，由焦点相同可得p，c之间的关系，分别代入椭圆，抛物线的方程可得a，c的关系，进而曲线离心率．本题考查椭圆及抛物线的性质，属于中档题．13.答案：解析：解：由，得，曲线在处的切线斜率，切线方程为．故答案为：．先求出的导数，然后求出切线的斜率，再求出切线方程即可．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属基础题．14.答案：2解析：解：等比数列满足公比，为其前n项和，，，构成等差数列，可得，则，即为，解得舍去．故答案为：2．运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得所求公比．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.答案：解析：解：，，则．故答案为：由已知可求，然后结合同角平方关系即可求解．本题主要考查了同角平方关系在求解三角函数值中的应用，属于基础试题．16.答案：解析：解：将四面体OABC沿着OA剪开，展开后如下图所示，最短路径就是的边，0，，0，，0，，，，，，，由余弦定理知，在中，，，在中，，，．在中，，．故答案为：．将四面体OABC沿着OA剪开铺成平面五边形，那么的边的长度即为所求．由O，A，B，C四点的坐标可分别求得，，，由余弦定理知，在中，，所以；在中，，所以，利用余弦的两角和公式展开计算得；在中，，代入所有数据进行运算即可．本题考查立体几何中线段的计算，将几何体转化为平面图形，结合解三角形的知识进行求解是整道题的解题思路，考查学生的空间立体感、转化能力和运算能力，属于中档题．17.答案：解：由频数分布图可得，甲班的合格率为，乙班的合格率为；填表：成绩小于60成绩大于等于60甲班原方法1015乙班新方法520．没有的把握认为这种新的教学方法比原来的方法更有效．解析：直接由频数分布图求解甲乙两班的合格率；由频数分布图图象列联表，再由公式求得，与比较大小得结论．本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题．18.答案：解：设等差数列的公差为d，由，知，解得：，又，，而；，，故的前n项和为．解析：设等差数列的公差为d，由题设条件求出d，进而求；利用中求得的求出、，再求出前n项和．本题主要考查等差数列的基本量的运算及前n项和公式，属于基础题．19.答案：解：证明：由，可知，由，可知，是正四棱锥，，，在中，设，由余弦定理有，在中，由余弦定理有，，，，同理，而PB在平面PBC上，，平面平面PBC；由易知，二面角就等于，且在中，由余弦定理有，而，，即二面角的余弦值为．解析：由题中数据结合余弦定理，勾股定理可得，，由此即可证得平面平面PBC；易知为所求二面角，在中，运用余弦定理即得解．本题考查面面垂直的判定以及二面角的求解，同时也涉及了余弦定理的运用，考查推理论证及运算求解能力，属于常规题目．20.答案：证明：显然，，当时，，递减，当时，，递增，故的最小值是，在定义域内只有一个零点；要证明，只需证明，即证明，由知：当时，，而，故，故．解析：求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极小值，从而判断函数的零点即可；问题转化为证明，由知：当时，，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，转化思想，是一道常规题．21.答案：解：设直线l的方程为，由到l的距离为1，可得，．联立，得．设，，则，设AB的中点为，则．消去参数m，可得；由知，，的面积．解析：设直线l的方程为，由原点到直线的距离为1可得，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得AB中点的参数方程，消去参数m可得AB中点的轨迹；结合利用弦长公式求，写出三角形ABF的面积，把k用m表示即可．本题考查轨迹方程的求法，考查圆与抛物线的综合运用，考查计算能力，是中档题．22.答案：解：曲线的极坐标方程为：，根据转换为直角坐标方程为．曲线的参数方程为，其中，t为参数，a为常数．转换为直角坐标方程为．将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程为，整理得，由于与有交点，所以，解得．故a的取值范围为解析：直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．利用一元二次方程判别式的应用求出结果．本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型23.答案：证明：，b都是大于零的实数，，两式相加得，当且仅当时取等号．．由知，，时，．解析：根据a，b都是大于零的实数，利用基本不等式得到，两式相加即可证明成立；由知，然后结合，利用基本不等式即可证明成立．本题考查了利用基本不等式求最值和利用综合法证明不等式，考查了转化思想，属中档题．。