加温退火算法及其在旅行商问题中的应用

python 模拟退火算法例子退火算法（Simulated Annealing）是一种优化算法，模拟了固体物质退火过程中温度的变化规律，通过随机搜索和接受概率来逐步接近全局最优解。

下面将列举一些使用Python实现退火算法的例子。

1. TSP问题求解：旅行商问题（Traveling Salesman Problem，TSP）是一个经典的组合优化问题，退火算法可以用来求解TSP问题。

算法通过不断减小温度，在搜索空间中随机生成新的解，并通过Metropolis准则接受新解或者以一定概率接受差解，最终找到一条近似最优解。

2. 连续函数优化：退火算法可以用于求解连续函数的全局最优解。

例如，可以通过退火算法来求解一元函数的最大值或最小值。

算法通过随机选择新的解，并根据目标函数值和Metropolis准则来决定是否接受新解。

3. 图像分割：退火算法可以用于图像分割问题，即将图像分成若干个区域，使得同一区域内的像素具有相似的特征。

算法通过不断调整像素的标签，使得目标函数（如能量函数）最小化。

4. 参数优化：退火算法可以用于调整模型的参数以最小化损失函数。

例如，在机器学习中，可以使用退火算法来优化神经网络的权重和偏置。

5. 排课问题：在学校或大学的排课过程中，需要将课程安排在合适的时间和教室，使得学生和教师的时间冲突最小化。

退火算法可以用于求解这个问题，通过不断调整课程的时间和教室，使得冲突数最小化。

6. 组合优化问题：退火算法可以用于求解组合优化问题，如背包问题、旅行商问题等。

算法通过不断生成新的解，并根据目标函数值和Metropolis准则来决定是否接受新解。

7. 线路规划：在城市交通中，退火算法可以用于求解最优线路规划问题，如公交车线路规划、货物配送等。

算法通过不断调整线路的路径和顺序，使得总行驶距离或时间最小化。

8. 布局优化：在工厂或仓库的布局设计中，退火算法可以用于优化设备的位置和路径规划，使得生产效率最大化。

模拟退火算法应用实例一、什么是模拟退火算法模拟退火算法是一种优化算法，用于在搜索空间中寻找全局最优解。

它的基本思想是通过随机游走的方式，从一个初始解开始，在搜索过程中逐渐降低温度，使得概率性的接受更优解的能力逐渐减弱，最终达到全局最优解。

二、应用实例1. 旅行商问题旅行商问题是指给定一组城市和每对城市之间的距离，求解访问每个城市恰好一次并回到起始城市的最短路径。

这个问题是NP-hard问题，因此需要使用启发式算法来求解。

模拟退火算法可以用来求解旅行商问题。

首先随机生成一个初始路径，然后不断地进行交换两个节点位置，并计算新路径长度。

如果新路径比原路径短，则接受新路径；否则以一定概率接受新路径。

随着时间推移，温度逐渐降低，接受新路径的概率也逐渐降低。

最终得到全局最优解。

2. 图像处理模拟退火算法可以用于图像处理中的图像分割和图像匹配等问题。

例如，在图像分割中，我们可以将图像分成多个区域，使得同一区域内的像素具有相似的特征，不同区域之间的像素特征差异较大。

首先随机生成一个初始分割方案，然后不断地进行移动像素点到其他区域，并计算新分割方案的代价函数。

如果新方案比原方案更优，则接受新方案；否则以一定概率接受新方案。

随着时间推移，温度逐渐降低，接受新方案的概率也逐渐降低。

最终得到全局最优解。

3. 机器学习模拟退火算法可以用于机器学习中的参数优化问题。

例如，在神经网络中，我们需要找到最优的权重和偏置值来最小化损失函数。

首先随机生成一个初始权重和偏置值，然后不断地进行微小调整，并计算新损失函数值。

如果新损失函数比原损失函数更小，则接受新权重和偏置值；否则以一定概率接受新权重和偏置值。

随着时间推移，温度逐渐降低，接受新权重和偏置值的概率也逐渐降低。

最终得到全局最优解。

三、模拟退火算法的优点和缺点1. 优点（1）全局最优解：模拟退火算法可以找到全局最优解，而不是局部最优解。

（2）适用性广：模拟退火算法可以应用于各种问题，并且具有较好的鲁棒性。

数据分析知识：数据分析中的模拟退火搜索算法数据分析中的模拟退火搜索算法数据分析是一个不断发展的领域，处理数据所需的技能和算法也在不断更新。

模拟退火搜索算法（Simulated Annealing Algorithm）是一种用于处理复杂问题的启发式优化算法，它可以在超大规模的数据集中快速找到最优解。

下文将详细介绍模拟退火搜索算法的原理、应用以及优缺点。

一、原理模拟退火搜索算法是一种通用的启发式算法，它是在固体退火过程的基础上发展起来的。

退火是一种物理过程，是指将材料加热到一定温度，然后慢慢降温，让材料过程中的分子重新排列组合，从而获得最佳的材料结构。

同样地，模拟退火算法也是借鉴了这个场景，通过随机性和概率性的方式搜索一个问题的解空间，进而得到最优解。

模拟退火搜索算法的基本步骤如下：1.随机生成一个初始解，比如在解空间中随机选取一个点作为初始解。

2.根据一定的概率选择下一个解，比如在解空间中随机选取一个新的点作为下一个解。

3.计算目标函数（即损失函数）的值，比较当前解和下一个解的目标函数值的差异。

4.如果新解比当前解更优，则接受新解。

5.如果新解比当前解更差，则通过一定概率接受新解，以避免陷入局部最优解。

6.重复步骤二至五直到满足搜索停止条件（如达到设定的迭代次数或目标误差范围）。

二、应用模拟退火搜索算法在数据分析中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用示例：1.旅行商问题（TSP）：模拟退火搜索算法能够在旅行商问题中找到最佳路径，从而实现路径最优化问题的解决。

2.组合优化问题：比如在资源分配、员工排班等领域，模拟退火搜索算法可以优化资源分配方案，实现最小成本或最大收益。

3.物理学模拟：模拟退火搜索算法被广泛用于物理学模拟中，如蛋白质折叠、固体表面形貌和量子力学模拟等领域。

4.机器学习：模拟退火搜索算法可以用于优化机器学习中的超参数，如不同的学习率和不同的激活函数等。

以上只是模拟退火搜索算法的一部分应用，实际上它可以处理很多的优化问题。

退火的总结引言退火是一种重要的优化算法，被广泛应用于解决各种问题。

它模拟了金属加热到高温后缓慢冷却的过程，通过不断调整参数以减小系统能量，从而获得最佳解。

退火算法的原理简单且易于理解，同时具有全局搜索能力和跳出局部最优解的特点，因此在许多领域取得了显著的应用效果。

本文将对退火算法的原理、应用以及一些相关扩展进行总结和介绍。

退火算法原理退火算法的原理基于固体退火过程的模拟，其核心思想是通过控制系统的温度参数和状态参数的更新，逐步降低系统的能量，从而找到问题的最优解。

其基本流程如下：1.初始化状态：随机生成一个初始状态。

2.初始化温度：设定初始温度，通常为一个较高的值。

3.进行迭代：在退火过程中，通过接受概率，以一定规则生成新的状态，并计算其对应的能量。

4.判断条件：根据不同的停止条件判断是否终止迭代，如达到最大迭代次数或能量足够低等。

5.降温：通过降低温度来控制接受新状态的概率，并使系统逐渐趋于稳定。

6.继续迭代：根据降温策略和新状态的能量，决定是否接受该状态并进行下一轮迭代。

退火算法的应用退火算法具有广泛的应用领域，下面列举了其中一些常见的应用：组合优化问题退火算法在解决组合优化问题中表现出色。

组合优化问题要求在给定的可行解空间内找到使目标函数最优的解。

通过不断调整参数，退火算法能够高效地搜索解空间，并以合理的概率接受次优解，避免陷入局部最优解。

这使得退火算法在旅行商问题、指派问题等组合优化问题中得到广泛应用。

物理模拟退火算法可以模拟物理系统的行为，例如模拟固体的晶体结构、材料的热膨胀和磁性等。

通过调整参数，使系统的能量逐渐降低，可以得到物理系统的稳定状态和相应的性质。

排序和搜索问题退火算法在排序和搜索问题中也有应用。

通过设定合适的目标函数和初始状态，利用退火算法可以在复杂的排序和搜索问题中寻找到合适的解。

例如，在排序问题中，可以通过设定排序规则，并使用退火算法将无序序列逐步调整为有序序列。

退火算法的改进为了进一步提高退火算法的性能，人们提出了一系列改进方法。

模拟退火算法在路线规划中的应用近年来，旅游业蓬勃发展，越来越多的人选择旅游作为休闲方式。

而随着人们旅游需求的不断提高，越来越多的人开始注重旅游路线规划的问题。

旅游路线规划是一项十分复杂的问题，涉及到的因素众多，包括景点数量、旅游时间、出行方式等。

为了解决这个问题，科学家们提出了很多算法。

其中，模拟退火算法便是受到了人们广泛关注的一种算法。

模拟退火算法是一种优化算法。

起初主要用于物理模拟，后来逐渐应用于各种计算问题。

其基本思想是在一定温度下，避免进入局部极小值的情况，从而达到全局极小值。

模拟退火算法的核心部分有三个，分别是初始温度、温度衰减函数和邻域结构。

在旅游线路规划中，初始温度可以设定为一个较高的值，以便于跳出原有路径；温度衰减函数则要以一定的比例递减，以保证算法在收敛时不会过快；邻域结构指与当前解距离最近的解的构成，可以通过改变交换顺序或者插入节点等方式变化实现。

在旅游路线规划中，模拟退火算法的应用非常广泛。

我们可以将所有景点看作一个个节点，在它们之间连线构成一个无向图，从而建立一个旅游路线的模型。

然后，我们可以根据模拟退火算法的原理，在旅游路线中寻找一条最优解。

首先，我们设定一个初始的路径方案，然后根据算法的原理，随机地产生新解，并通过一定的条件接受或拒绝新解。

通过不断地改进解的质量，我们最终找到一条最优的旅游路线。

另外，模拟退火算法还可以应用于其他旅游问题。

例如，在旅游路线规划之前，我们需要对每个景区的时间和车费进行评估。

我们可以根据历史数据或者现有的信息来评估花费时间和车费，然后通过模拟退火算法寻找旅游路线，尽可能地减少总时间和总花费。

总之，模拟退火算法是一种非常有效的解决旅游路线规划问题的方法。

无论是在旅游业，还是在其他领域，模拟退火算法都有着广泛的应用。

通过利用算法的优势，我们可以更好地满足人们的旅游需求，为旅游业的发展注入活力。

三步法的退火温度退火算法是一种模拟退火过程的优化算法，常用于解决组合优化问题。

而三步法是退火算法中的一种变体，它通过选择合适的退火温度来提高算法的性能。

本文将介绍三步法的退火温度选择方法，并探讨其在实际问题中的应用。

一、退火算法简介退火算法是一种基于模拟退火原理的全局优化方法。

其基本思想是通过模拟金属冶炼中的退火过程，将系统从高能态逐渐冷却到低能态，以期望得到全局最优解。

在退火过程中，系统会接受一些较差的解，以避免陷入局部最优解。

而退火温度是退火算法中的一个重要参数，它决定了系统接受较差解的概率。

二、三步法的退火温度选择方法三步法是一种改进退火算法的方法，它通过选择合适的退火温度来提高算法的性能。

具体而言，三步法将退火过程分为三个阶段，并为每个阶段选择不同的退火温度。

1. 初始阶段：在初始阶段，退火温度较高，主要目的是使系统尽快找到一个较优解。

此时，系统接受较差解的概率较大，有助于跳出局部最优解。

初始阶段的退火温度一般较高，通常取总问题空间的平均能量作为初始温度。

2. 中间阶段：在初始阶段找到一个较优解后，退火温度逐渐降低。

此时，系统接受较差解的概率逐渐减小，算法逐渐收敛到全局最优解。

中间阶段的退火温度一般通过试探法确定，可以根据问题的特点进行调整。

3. 收敛阶段：在中间阶段达到一定的收敛程度后，退火温度进一步降低，使系统更加稳定。

此时，系统接受较差解的概率非常低，算法基本收敛到全局最优解。

收敛阶段的退火温度一般较低，可以根据问题的复杂程度和求解精度进行调整。

三、三步法的应用举例三步法的退火温度选择方法可以应用于各种组合优化问题。

例如，考虑一个旅行商问题，即寻找一条最短路径，使得旅行商能够依次访问多个城市并返回起点城市。

这是一个经典的NP难问题，可以使用退火算法求解。

在使用三步法求解旅行商问题时，可以按照以下步骤进行：1. 初始化退火温度，根据问题的规模和复杂程度选择合适的初始温度。

2. 在初始阶段，使用较高的退火温度进行搜索，尽快找到一个较优解。

旅⾏商问题——模拟退⽕算法实现1.问题描述旅⾏商问题（Travelling Salesman Problem, 简记TSP，亦称货郎担问题)：设有n个城市和距离矩阵D=[d ij]，其中d ij表⽰城市i到城市j的距离（i，j=1，2 … n），则问题是要找出遍访每个城市恰好⼀次的⼀条回路并使其路径长度为最短。

2.算法设计对原问题进⾏分析，TSP的⼀个解可表述为⼀个循环排列：Π= (Π1，Π2，Π3… Πn），即Π1→Π2→ … →Πn→Π1有（n-1）！/2 种不同⽅案，若使⽤穷举法，当n很⼤时计算量是不可接受的。

旅⾏商问题综合了⼀⼤类组合优化问题的典型特征，属于NP 难题，不能在多项式时间内进⾏检验。

若使⽤动态规划的⽅法时间复杂性和空间复杂性都保持为n的指数函数。

本次实验利⽤模拟退⽕算法（Simulated Annealing）求解TSP问题。

模拟退⽕算法最早由N.Metropolis等⼈于1953年提出，基于物理中固体物质的退⽕过程与⼀般组合优化问题之间的相似性。

该算法从某⼀较⾼初温出发，伴随温度参数的不断下降，结合概率突跳特性在解空间随机寻找全局最优解。

退⽕是将固体加热到⾜够⾼的温度，使分⼦呈随机排列态，然后逐步降温冷却，最后分⼦以低能状态排列，得到稳定状态的固体。

退⽕的过程有：（1）加温过程：增强粒⼦运动，消除系统原本可能存在的⾮均匀态；（2）等温过程：对于与环境换热⽽温度不变的封闭系统，系统状态的⾃发变化总是朝向⾃由能减少的⽅向进⾏，当⾃由能达到最⼩时，系统平衡；（3）冷却过程：使粒⼦热运动减弱并逐渐趋于有序，系统能量逐渐下降，从⽽得到低能的晶体结构。

其中，固体在恒温下达到热平衡的过程采⽤Metropolis⽅法进⾏模拟：温度恒定为T时，当前状态i转为新状态j，如果j状态的能量⼩于i，则接受状态j为当前状态；否则，如果概率p=exp{-(E j-E i)/(k*T)}⼤于[0,1)区间的随机数，则仍接受状态j为当前状态；若不成⽴则保留状态i为当前状态。

新型退火算法在物流问题优化中的应用研究物流是现代社会重要的组成部分，扮演着将商品从生产地运输到销售地的重要角色。

然而，随着市场竞争加剧，物流问题的优化不再是简单的运输问题，而是需要在时间、成本和资源等方面进行多方面的考虑。

此时，新型退火算法的应用可以为物流问题的优化提供更有效的解决方案。

1. 退火算法简介退火算法是一种全局优化方法，该方法是由模拟物理退火过程演化而来的。

退火方法通过模拟物理退火过程中的晶格结构，在求解数学问题时，通过逐步降温的过程来寻找最优解。

退火算法具有全局优化能力和理论保证，具有较强的鲁棒性和灵活性。

2. 新型退火算法在物流问题优化中的应用2.1 时间窗问题的优化在物流过程中，难免出现物流时间窗问题。

传统的物流时间窗问题优化方法，主要是通过人工调整物流计划来解决。

但是，这种方法缺乏可扩展性，不能够适应复杂的物流环境。

而新型退火算法可以通过对多种物流变量进行混合优化来解决时间窗问题，使计划更加可靠且更加灵活。

2.2 运输路线的选择优化对于运输路线选择问题，传统的方法更多的是基于地图导航、权重计算等技术进行优化。

而这种方法往往只能优化单一目标，如最短路径或最快路径，而无法在多个目标之间保持平衡。

而新型退火算法则可以更加高效地进行多目标优化。

通过对不同选项之间的权重进行平衡，可获得更优的路线选择方案。

2.3 运输资源的配置在物流过程中，应对资源配置问题也是一项常见挑战。

传统的资源配置方法主要基于经验和人工调整，而这些方法缺乏可扩展性和智能性。

而新型退火算法可以基于目标函数进行智能决策，通过对不同的资源配置策略进行交叉和变异，可得到更优的资源配置方案。

3. 提升物流效率的实践案例新型退火算法在物流问题优化中的应用具有广泛的发展前景。

在一些国内外企业已选用新型退火算法作为计算物流计划的主要技术，达到寻找物流方案多元化，提高物流质量的商业目标。

例如，京东物流对新型退火算法进行了应用，大大提升了配送效率，避免了高峰期停车扰民等问题。

模拟退火算法原理及应用模拟退火算法（Simulated Annealing，SA）是一种启发式搜索算法，用于在求解优化问题中寻找全局最优解。

它的名字源自金相学中的“退火”过程，可以将物质加热至高温状态，再逐渐冷却，使其达到稳定的低能量状态。

模拟退火算法以类似的方式，通过模拟物质退火过程来搜索最优解。

模拟退火算法的基本原理是在优化过程中，允许接受较劣的解，以避免陷入局部最优解而无法跳出。

在搜索的过程中，模拟退火算法会随机选择当前解的一个邻居，计算出其解的差异，并以一定的概率接受更劣的解。

这种“接受概率”是根据一定的函数关系与当前温度进行计算，随着搜索的进行，温度会逐渐降低，接受更劣的解的概率也会逐渐降低。

最终，搜索会在温度趋近于极低值时停止。

相比于其他优化算法，模拟退火算法具有以下几个优点：第一，模拟退火算法能够克服局部最优解的问题，并寻找全局最优解。

在搜索过程的一开始，算法会接受很劣的解，以免陷入局部最优解，使得搜索方向可以不断地进行调整，从而有望跨越不同的局部最优解，发现全局最优解。

第二，模拟退火算法比其他优化算法更加灵活。

在算法的初始阶段，允许以较高概率接受劣质解，便于快速地确定搜索方向。

而在搜索过程接近尾声时，模拟退火算法会逐渐降低接受劣质解的概率，以固定最优解。

第三，在实际应用上，模拟退火算法还具有较好的可扩展性和容错性。

由于算法在全局搜索中跳过局部最优解，因此可以应对优化问题的复杂度和参数数量的增加。

模拟退火算法应用广泛，以下是几个应用场景：第一，模拟退火算法可以应用在旅行商问题（TSP）中。

旅行商问题是一种经典的组合优化问题，旨在找到一条路径，使得旅行商必须访问每个城市，且在访问完所有城市后返回原点，且路径总长度最短。

模拟退火算法可以通过随机交换路径中的城市位置，以及接受劣质的解来最终找到该问题的全局最优解。

第二，模拟退火算法还可以应用在物理学中。

例如著名的Ising 模型，它对二维晶格中带有自旋的相互作用的电子系统进行建模，是研究磁性、相变等基本物理问题的一个重要手段。

多目标旅行商问题（MO-TSP）是指在多个目标地点之间找到最优路径，使得旅行商能够同时满足多个旅行目标的问题。

这是一个复杂的组合优化问题，涉及到时间、成本、距离等多个目标的平衡。

针对这一问题，已经有许多算法被提出，比如遗传算法、模拟退火算法、蚁群算法等。

在本文中，我将针对用于解决多目标旅行商问题的算法进行深入剖析和讨论。

1. 遗传算法遗传算法是一种模仿自然选择和遗传机制的优化方法，通过种群的进化来寻找问题的最优解。

在解决MO-TSP问题时，遗传算法可以通过不断进化种群中的路径来寻找最佳的解决方案。

在每一代进化中，选择、交叉和变异等操作都会对种群进行改进，直到找到最优的解。

2. 模拟退火算法模拟退火算法是一种启发式算法，模拟金属退火过程中的晶粒结构变化来寻找问题的最优解。

在解决MO-TSP问题时，模拟退火算法可以通过接受较差解的概率来跳出局部最优解，并在搜索空间中进行全局搜索，以找到更好的解。

3. 蚁群算法蚁群算法是一种基于蚁群寻食行为的启发式算法，模拟蚂蚁在搜索食物时释放信息素的过程。

在解决MO-TSP问题时，蚁群算法可以通过蚂蚁在路径上释放信息素的方式来寻找最优路径，蚁群不断更新信息素浓度，并通过信息素浓度来选择下一步的移动方向。

在实际应用中，这几种算法都有其优缺点，如何选择最合适的算法取决于实际问题的复杂度、目标要求和算法的性能。

在我看来，遗传算法在求解MO-TSP问题时具有良好的全局搜索能力，但对于大规模问题的收敛速度可能较慢；模拟退火算法适用于局部搜索和全局搜索的结合，但在处理多目标问题时需要合理设定参数；蚁群算法在求解路径优化问题时具有较好的鲁棒性和稳健性，但对于问题解空间的探索可能会存在过早收敛的问题。

MO-TSP问题是一个复杂的组合优化问题，需要综合运用各种启发式算法和元启发式算法，以及结合实际问题的特点和要求，才能找到最佳的解决方案。

通过对算法的深入理解和灵活运用，我们可以在实际问题中取得较好的优化效果。

人工智能原理实验报告模拟退火算法解决TSP问题目录1 旅游商问题和模拟退火算法...........................................错误 ! 不决义书签。

旅游商问题 ...................................................................错误 ! 不决义书签。

旅游商问题的描绘 .................................................错误 ! 不决义书签。

模拟退火算法 ...............................................................错误 ! 不决义书签。

基本思想 .................................................................错误 ! 不决义书签。

2 TSP 模拟退火算法的实现................................................错误 ! 不决义书签。

TSP 算法实现 ...............................................................错误 ! 不决义书签。

TSP 算法描绘 .........................................................错误 ! 不决义书签。

TSP 算法流程 .........................................................错误 ! 不决义书签。

TSP 的 C 实现 ..............................................................错误 ! 不决义书签。

加载数据文件 .........................................................错误 ! 不决义书签。

模拟退火算法在旅行商问题中的应用近年来，互联网技术的快速发展使得各行各业都迎来了前所未有的挑战和机遇。

然而，旅行商问题依然是一个备受关注的难题。

旅行商问题指的是，在给定的一系列城市之间寻求一条最短路径，使得每座城市仅仅被经过一次。

这个问题被认为是一个NP难问题，也就是说，传统的计算机算法尚无法迅速地得到该问题的解答。

可喜的是，模拟退火算法的出现，为解决该问题提供了一条可行之路。

一、模拟退火算法的介绍模拟退火算法是一种基于随机化的全局优化算法，最初是为了在晶体中求解物质的最小能量状态，并于1983年由美国加州大学的Scott Kirkpatrick和Sadiqullah Mahmood Simulated Annealing (SA)算法在旅行商问题中的应用解决了旅行商问题。

其基本思路是向目标方向随机改变系统状态，并对变化幅度设置温度因子，通过逐渐降低温度调整输出结果。

在这个过程中，算法在一定程度上模拟了固体物质的淬火过程，因此得名模拟退火算法。

二、模拟退火算法的应用在旅行商问题中，如果城市数量较少的话，直接使用穷举法可直接求解。

但是，城市数量一旦增多，穷举法将无法进行，需要使用其他算法。

模拟退火算法相比其他求解方法最大的优点就是可以降低解的时间复杂度，同时可以进行并行计算。

这种优点使得模拟退火算法在旅行商问题中的应用倍受欢迎。

对于某一个具体的旅行商问题，模拟退火算法的核心思路就是构建一个随机路径，然后不断利用随机路径逆序或者变换位置，不断地产生更加优化的路径，直到找到一个符合要求的最优路径为止。

在模拟退火算法的执行过程中，需要保证尽量多地遍历每一个城市，以便更好地优化算法的效率。

一旦找到符合要求的最优路径，模拟退火算法便会快速地返回计算结果。

需要注意的是，在使用模拟退火算法的时候，温度参数和收敛半径的选择是非常关键的。

一般温度参数随着计算进程的推进逐渐降低，以便于更快地接近最优解。

同时，在一定的温度层面下，也需要进行一定程度的随机调整，不断改进已知的解，这样才能更快地找到最优解。

退火算法,蚁群算法,遗传算法1.引言1.1 概述退火算法、蚁群算法和遗传算法都是常见的启发式优化算法，用于解决复杂问题。

这些算法通过模拟自然界中生物的行为或物质的特性，寻找最优解或接近最优解。

退火算法是一种基于物理退火原理的优化算法。

它通过模拟金属在高温下冷却过程中晶格的调整过程，来寻找最优解。

退火算法首先在一个较高的温度下随机生成一个解，然后通过降温过程逐步调整解，并根据一个接受概率在解空间中进行随机搜索。

退火算法具有全局优化能力，可用于解决多种问题，如旅行商问题、图着色问题等。

蚁群算法模拟了蚂蚁在寻找食物时的集体行为。

蚂蚁通过释放信息素与其他蚂蚁进行通信，藉此找到最短路径。

蚁群算法主要包含两个重要步骤：信息素更新和状态转移规则。

信息素更新指的是蚂蚁在路径上释放信息素的过程，而状态转移规则决定了蚂蚁在搜索过程中如何选择路径。

蚁群算法被广泛应用于组合优化问题、路径规划等领域，取得了良好的效果。

遗传算法是模拟生物进化过程的一种优化算法。

它通过模拟自然界中的进化和遗传操作，逐代迭代地搜索最优解。

遗传算法通过编码个体、选择、交叉和变异等操作，形成新的个体，并根据适应度函数评估个体的优劣。

遗传算法以其并行性、全局寻优能力和对问题结构要求不高的特点而被广泛应用于各个领域，如函数优化、机器学习中的特征选取等。

这三种算法都是基于启发式思想的优化方法。

它们可以在解空间中进行搜索，并在搜索过程中逐步优化。

退火算法通过模拟金属冷却过程，蚁群算法通过模拟蚂蚁的集体行为，而遗传算法则模拟了生物的进化过程。

这些算法在不同领域和问题上都取得了较好的效果，为求解复杂问题提供了有效的解决方案。

1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下方面的介绍：文章结构本文将会包含三个主要的部分：退火算法、蚁群算法和遗传算法。

每个部分将会包括原理和应用两个小节的介绍。

这些算法是优化问题中常用的启发式算法，它们分别基于不同的思维方式和模拟自然界的现象。

模拟退火算法的原理及算法在优化问题上的应用共3篇模拟退火算法的原理及算法在优化问题上的应用1模拟退火算法的原理及算法在优化问题上的应用随着计算机科学的发展，越来越多的计算问题需要用到优化算法来得到最优解，而模拟退火算法（Simulated Annealing）是一种常用的优化算法之一。

本文将介绍模拟退火算法的原理，以及它在优化问题上的应用。

一、模拟退火算法的原理模拟退火算法最早由Kirkpatrick等人在1983年提出，是一种启发式优化算法。

其思想来源于固态物理学中的模拟退火过程，也就是将物质加热后缓慢冷却的过程。

这个过程中，原子系统会从高温状态演变到低温状态，从而达到低能量状态。

模拟退火算法的基本思路是从一个初状态开始，通过改变状态来不断寻找更优的解，直到达到最优解或者达到一定的停机条件。

其核心思想是在搜索过程中不断接受差解，以避免被困在局部最优解。

具体来说，模拟退火算法主要包含以下几个步骤：1. 随机初始化一个状态。

2. 初始化一个温度T，T越高，搜索过程越接受差解。

3. 在当前状态的附近随机生成一个新状态。

4. 计算当前状态与新状态的差异性，如果新状态更优则接受新状态，否则以一定的概率接受新状态。

5. 降低温度，温度降低的速度越来越慢，直到温度降到结束条件。

6. 如果结束条件没有满足，继续从第三步开始。

模拟退火算法的核心在于如何根据当前温度，以一定的概率接受差解，这就需要引入Metropolis准则：P(solution_i→solution_j) = min{1, exp((Ei - Ej) / T)},其中P(solution_i→solution_j) 为从解i转移到解j的概率，Ei为当前解的能量，Ej为新解的能量，T为温度。

通过Metropolis准则，模拟退火算法在搜索过程中可以接受一定的差解，从而避免陷入局部最优解。

二、模拟退火算法在优化问题上的应用模拟退火算法可以应用到很多优化问题中，例如旅行商问题、最大割问题等。

邮局订阅号：82-946360元/年技术创新博士论坛《PLC 技术应用200例》您的论文得到两院院士关注加温退火算法及其在旅行商问题中的应用Simulated annealing algorithm with heating process and its application in TSP(合肥工业大学)俞家文王保敏杜伟YU Jia-wen WANG Bao-min DU Wei摘要:传统的模拟退火算法初始温度人工选取可能出现过高或过低,致使运行时间长、搜索效率低。

在传统的模拟退火算法中引入加温过程,可以根据算法自身的运行得到合适的初始温度与较好的解质。

文章将加温前后的模拟退火算法应用于旅行商问题,验证了加温模拟退火算法的高效性。

关键词:加温;模拟退火算法;旅行商问题中图分类号:TP301.6文献标识码:AAbstract:In traditional simulated annealing algorithm,long running time and low searching efficiency are the problems due to artifi -cial initial temperature.By introducing the heating process,an appropriate temperature and a better solution can be obtained.The two kinds of algorithm are applied to the TSP respectively,the result shows that the algorithm with the process of heating has a bet -ter efficiency.Key words:heating;simulated annealing algorithm;travelling salesman problem(TSP)文章编号:1008-0570(2010)01-1-0023-02模拟退火算法用于解决组合优化问题的想法,是基于物理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题间的相似性,见表1所列。

第38卷第2期2021年2月控制理论与应用Control Theory&ApplicationsV ol.38No.2Feb.2021求解旅行商问题的自适应升温模拟退火算法陈科胜,鲜思东†,郭鹏(重庆邮电大学复杂系统智能分析与决策重点实验室,重庆400065)摘要:针对传统模拟退火算法在求解问题时容易陷入局部最优解的情况,本文通过设计一种自适应的升温控制因子,提出了一种求解旅行商问题(TSP)的自适应升温模拟退火算法,有效地控制局部寻优达到全局寻优能力,并证明了改进的自适应模拟退火算法收敛性.通过TSPLIB数据库对改进算法全局寻优效果的测试,结果表明改进后的算法具有全局寻优能力、泛化性强等特点:即在TSPLIB提供的绝大部分TSP问题数据中,均能找到全局最优解,且收敛速度快.关键词:自适应升温模拟退火算法;旅行商问题(TSP);TSPLIB;自适应引用格式:陈科胜,鲜思东,郭鹏.求解旅行商问题的自适应升温模拟退火算法.控制理论与应用,2021,38(2): 245–254DOI:10.7641/CTA.2020.00090Adaptive temperature rising simulated annealing algorithm fortraveling salesman problemCHEN Ke-sheng,XIAN Si-dong†,GUO Peng(Key Laboratory of Intelligent Analysis and Decision on Complex Systems,Chongqing University of Posts andTelecommunications,Chongqing400065,China)Abstract:In view of the situation that the traditional simulated annealing(SA)algorithm is easy to fall into the local optimal solution when solving the problem,this paper designs an adaptive temperature rise control factor,and proposes an adaptive temperature rise SA algorithm for solving traveling salesman problem(TSP)problem,which effectively controls the local optimization to achieve the global optimization ability,and proves the convergence of the improved adaptive SA algorithm.Through the test of TSPLIB database on the global optimization effect of the improved algorithm,the results show that the improved algorithm has the characteristics of global optimization ability and strong generalization:that is,in most of the TSP problem data provided by TSPLIB,the global optimal solution can be found,and the convergence speed is fast.Key words:adaptive temperature rise simulated annealing algorithm;travelling salesman problem(TSP);TSPLIB; adaptiveCitation:CHEN Kesheng,XIAN Sidong,GUO Peng.Adaptive temperature rising simulated annealing algorithm for traveling salesman problem.Control Theory&Applications,2021,38(2):245–2541引言旅行商问题(traveling salesman problem,TSP)是一个非确定性多项式难度的优化问题,其问题可以描述为给定一系列城市坐标集,一个旅行者从起点城市出发,如何经过各个城市一次并回到出发点的路径规划问题.其问题的解可以被描述为各个城市出现一次且仅出现一次构成的排列方案,该排列方案代表着旅行者将第一个城市作为出发点,依次按排列顺序对城市进行仿问,最后再回到第一个城市的路径规划方案. TSP问题的最优解就是旅行者所经历过的最短路径.TSP问题可以简单地描述为已知n个城市以及各个城市相互之间的距离,求出某一旅行商经过所有城收稿日期:2020−02−18;录用日期:2020−09−28.†通信作者.E-mail:************;Tel.:+86135****8518.本文责任编委:丛爽.重庆市教委研究生教学改革研究项目(YJG183074),重庆市社会科学规划项目(2018YBSH085),重庆邮电大学大学生科研训练项目(A2019–25, R2019–85).Supported by the Graduate Teaching Reform Research Program of Chongqing Municipal Education Commission(YJG183074),the Chongqing Social Science Planning Project(2018YBSH085)and the Scientific Research and Training Program for Students of Chongqing University of Posts and Telecommunications(A2019–25,R2019–85).246控制理论与应用第38卷市并回到出发点的最短路线.设d(V i,V j)为V i到V j的距离,问题可以抽象为已知一点集V={V i,1 in},寻找一个排列X={V1,···,V n}来最小化D=n∑i=1d(V i,V i+1)+d(V n,V i).(1)多年来研究人员不断地探究该问题,文献[1]梳理了许多针对TSP问题的算法方案.总体上可以将算法分为两个类别:一类是在已有成熟的启发式算法中,结合TSP问题的特点对算法机制进行改良,使得算法具有更强的寻优能力;一类是借助仿生学等思想提出新的启发式算法.其中，在改良现有启发式算法的方面,文献[2]中提出了离散型萤火虫群优化算法(discrete glowworm swarmoptimization algorithm,DGSO),文献[3]中提出的自适应离散粒子群算法(self-adaptive discrete parti-cle swarm optimization algorithm,SADPSO)及文献[4]中提出的具有变异特征的蚁群算法(ant colony algori-thm with mutation features,ACO)、文献[5]基于已有的非支配排序遗传算法–II(non-dominated sorting ge-netic algorithm–II,NSGA–II),利用平均距离将种群划分为若干个大致均匀分布的小种群保持种群多样性.文献[6]基于混沌的最大最小蚁群算法采用tent混沌映射的方法产生初始信息素当算法陷入长时间停滞状态时利用混沌映射扰动信息素的改良蚁群算法(max-min ant system algorithm,MMAS)、利用凸包的构建及构建的区域范围与凸包角提出的一种基于动态凸包引导的偏优规划蚁群算法(ant colony algorithm of partially optimal programming based on dynamic con-vex hull guidance,ACADCG);在改良遗传退火算法方面文献[7]中提出的改进遗传模拟退火(improved genetic simulatedannealing algorithm,IGSA)、文献[8]中提出的改进Metropolis(M)准则的自适应模拟退火算法(improved genetic simulated annealing algorithm, IGSAA)算法.在提出新的启发式算法方面,文献[9]中提出基于帝国竞争的政治关系思想启发提出帝国竞争算法、文献[10]中基于狼群仿生学思想提出了针对TSP问题的离散狼群算法、文献[11]提出基于蝙蝠算法的观测矩阵优化算法.这些算法相对于朴素的智能算法都能得出更优的效果,但有些基于旧算法的改进算法过于复杂、新提出的仿生算法难以应用到现有模型中.笔者经研究后,总结这些算法的特点,提出了一种能得到更优结果、收敛时间更快的简洁、轻量型的温控模拟退火算法(self-adaptive genetic simulated annealing algorithm),并针对TSP问题进行了优化,在求解TSP 问题时耗时更短,全局寻优能力更强.并使用了国际通用的TSP标准库TSPLIB的Burma14,Ulysses16,Oliver30,eil51,eil76,tsp225,St70等TSP测试数据进行了检测.2朴素模拟算法2.1模拟退火算法简介模拟退火算法在处理全局优化、离散变量优化等高度非线性化的优化问题中,在处理该类问题中具有传统经典算法无可比拟的优势.模拟退火算法的思想最早由Metropolis等人提出的.其出发点是基于物理中固体物质的退火过程与一般的组合优化问题之间的相似性.模拟退火法是一种通用的优化算法,其物理退火过程由以下3部分组成:1)加温过程:其目的是增强粒子的热运动,使其偏离平衡位置.当温度足够高时,固体将熔为液体,从而消除系统原先存在的非均匀状态.2)等温过程:对于与周围环境交换热量而温度不变的封闭系统,系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行,当自由能达到最小时,系统达到平衡状态.3)冷却过程:使粒子热运动减弱,系统能量下降,得到晶体结构.其中,加温过程对应算法的设定初温,等温过程对应算法的Metropolis抽样过程,冷却的过程对应控制参数的下降.这里能量的变化就是目标函数,要得到的最优解就是能量最低态.其中Metropolis准则是模拟退火算法收敛于全局最优解的关键所在,Metropolis准则以一定的概率接受恶化解,这样就使算法跳离局部最优的陷阱.2.2朴素模拟退火算法的实现1)设置初始温度,随机初始化一个初始解;2)开始进入循环:2a)进入新解产生流程:在城市访问排列中,以一定的规则对当前解进行随机的扰动;记录下最优解;判断是否达到新解产生的迭代次数,达到则将扰动得到的最优解作为新解.2b)按照Metropolis准则,根据扰动产生的新解X new的能量值E(X new)与扰动前的解X old的能量值E(X old)和当前温度t判断是否接受新的解,如若接受新的解,则用新解代替旧解将X new的值赋给X old.其中关于接受概率的Metropolis准则为p={1,E(X new) E(X old),e−E(X new)−E(X old)T,E(X new)>E(X old).(2)2c)温度下降.3)判断温度是否达到温度阈值,若未达到继续进行外循环.第2期陈科胜等:求解旅行商问题的自适应升温模拟退火算法2473自适应升温模拟退火算法针对传统模拟退火算法(见图1)在求解问题时容易陷入局部最优解的情况,本文设计了一种自适应的升温控制因子,使得算法能够有针对性地控制局部寻优以及全局寻优能力.其改进部分可分为初始解产生机制、新解产生机制、自适应升温因子的设计、Metropolis 函数的优化等4个部分组成.图1传统模拟退火算法流程示意图Fig.1Flow chart of traditional simulated annealing algorithm3.1初始解的产生机制在模拟退火算法中,选取恰当的初始解能够改善模拟退火算法的收敛速度,减小算法的收敛时间.初始解的生成中,本文使用了安德鲁算法(Andrew’s Algorithm)将城市的位置V ={V i ,1 i n }视为一个点集来生成凸包.在凸包的基础上,使用文献[12]介绍的三角形TSP 法.其主要思想为反复随机添加一个城市与已知的城市连接,使得添加该城市后,增加的两条路径减去一条路径的总代价最小,直到该哈密顿回路包括所有城市.如在图2中,为随机选取节点d 添加回路,分别比较已有添加方式的总代价,最后选取一个总代价最小的方案.最后将得到的哈密顿回路作为模拟退火算法的初始解.图2三角形TSP 算法示意图Fig.2Schematic diagram of triangle TSP algorithm为了测试该方法的改良效果,采用TSBLIB 中的eil51,eil76等两个TSP 问题进行测试,如表1所示.表1改良初始解测试结果Table 1Improved initial solution test resulttable测试案例项目改良前改良后eil51(初始解)1240441eil51(最优解)930438eil76(初始解)2048599eil76(最优解)1250588从图3–6的结果可以看到,对初始解的机制进行改进之后,该算法的初始解相较于改进前更接近于理论最优值,即全局最优值在在较高温度的阶段保持着初始解的值,但由于环境温度较高,该算法仍有很大概率接受差解,因此该算法仍能保持改进前的寻优能力.在改进后可以适当降低环境初始温度,减少算法的时间开销.图3SA 求解eil51过程图Fig.3Solving eil51processdiagram图4SA(改进初始解产生机制)求解eil51过程图Fig.4SA (improved initial solution)for solving eil51248控制理论与应用第38卷图5SA 求解eil76过程图Fig.5SA solving eil76processdiagram图6SA(改进初始解产生机制)求解eil76过程图Fig.6SA (improved initial solution)for solving eil763.2新解的产生机制在模拟退火算法中,新解是对已有的最优解进行一定程度的扰动来产生的.新解产生的机制是决定算法寻优能力的重要因素之一.将新解的产生过程分解为扰动操作、择优操作.扰动操作可视为一个随机过程,负责对解进行搜寻,择优操作则在一定程度上保证了产生的新解的质量.防止自适应扰动因子引入造成的不收敛问题.扰动操作:对已有旧解执行扰动的具体操作为不断的以一定的概率对旧解的城市进行调换操作,当随机调换操作停止时视为得到了一个新的解.其中随机调换操作指的是,对于当前的解X ={V 1,···,V n }随机选择其中的节点V i 与V j 的位置进行互换.换言之,即是对当前解进行一次扰动,进行扰动操作的次数服从参数为P 的幂律分布,P 为该算法的超参数.扰动操作流程如图7所示.图7扰动操作流程示意图Fig.7Disturbance operation flow diagram择优操作:在新解的产生过程中,对一个旧解进行扰动操作,得到一个扰动后的解,比较扰动后的解与扰动前的解,若扰动后的解比扰动前的解更优,则视为完成了一次择优操作.不停的进行扰动操作,当择优操作次数等于择优上限M max ,新解产生的过程结束,将最后产生的解作为产生的新解.其中M max 为引入的一个控制择优过程的参数,为M max =[k 1T ],其中k 1为择优操作参数,控制了算法的局部寻优能力.择优操作流程如图8所示.图8择优操作流程示意图Fig.8Schematic diagram of preferred operation flow3.3自适应升温因子的设计应用模拟退火算法在求解TSP 问题中,容易陷入局部最优解而导致“早熟”的现象.为了防止这一现象的发生,本文引入了一个自适应的升温控制因子,其主要思想是当模拟退火算法出现过早的收敛现象时,增高温度,根据Metropolis 准则,使得扰动的随机性增强,避免收敛于局部最优解、增加全局的寻优能力.实际应用在算法中的操作为:当N 次降温之后,仍没有获得比算法当前最优解更好的解,则使系统升高温度为到T new .其中N 与T new 为自适应扰动控制因子的参数.N 越小时,控制因子敏感度越高,反之相反.第2期陈科胜等:求解旅行商问题的自适应升温模拟退火算法249T new 越高时,扰动增加幅度越大,全局寻优的能力越强.其中参数为N =[k 2s +Tk 1T 1],(3)T new =αT old ,(4)其中:s 为升温次数;k 2为控制升温因子参数,引入k 2s的目的是保证了该算法的收敛;T old 为当前温度;α为升温系数;k 1为择优过程的次数参数,控制的是该算法的局部寻优能力;k 2为升温因子参数,控制的是该算法的全局寻优能力.该自适应升温因子使得算法在达到局部最优解时,仍能保持一定限度的搜索能力,同时升温最大次数N 的限制使得该算法能够在有限时间内结束,从理论上能够证明该算法是收敛的,且收敛性等同于一般的模拟退火算法.以求解eil51问题为例,求解过程的温度情况与最优解变化如图9所示.图9自适应升温过程中温度与解的收敛趋势图Fig.9Convergence trend diagram of temperature and solutionin adaptive heating process可以看到在自适应模拟退火算法的搜索过程中,当解接近收敛的时候,升温机制能够增强算法的搜索能力,从而在一定程度上有利于跳出局部最优解.在求解eil51问题中,该算法正是借助了这一机制,如图中虚框部分所示,对温度进行提升,增强算法的搜索能力,从而跳出了局部最优解,得到了更优的解,实际上这一解也是该eil51目前的理论最优解.3.4Metropolis 函数的优化在模拟退火算法中,决定是否接受新解与旧解的规则是Metropolis 准则.因此Metropolis 准则影响着模拟退火算法的收敛速度和寻优能力.对于不同的TSP 问题中E (X new )−E (X old )可能出现的值存在着差距很大的现象,导致了p 的值过于大或过于小,进而影响了算法的寻优能力与收敛速度.利用最小生成树构造哈密顿回路的方法来对TSP 问题的解的大小规模进行估计,从而来对能量差值E (X new )−E (X old )进行归一化,消除不同TSP 问题的路径值的不同规模对Metropolis 准则的影响.改良后的Metropolis 准则为P ={1,E (X new ) E (X old ),e−E (X new )−E (X old )AT,E (X new )>E (X old ),(5)其中:E (X new )−E (X old )表示新解与旧解能量值间的差值,在TSP 问题中能量值为解所对应的路线长度;A 表示对该TSP 问题解的规模,可视为对TSP 问题的解的一个大概估计.其中得到A 的方法为先生成一个较优的初始解,将该较优的初始解对应的长度作为A 的值.生成较优的初始解的操作为:1)将城市的位置X ={V 1,···,V n }视为一个点集,先使用了Prim 最小生成树算法来生成连接了所有城市的最小生成树.2)在获得了连接所有城市的最小生成树的基础上,对树的根节点进行先序遍历,遍历出所有的顶点构成了有序的顶点集L .3)最后将根节点添加到顶点集L 的末尾,将这个有序的顶点集L 按顺序连接起来,就得到了一条哈密顿回路,将得到的哈密顿回路作为模拟退火算法的初始解.可证明该解不超过最优解2倍.为了测试该方法的改良效果,采用TSBLIB 中的eil51,eil76等两个TSP 问题进行测试,测试结果见表2,图示见图10–11;得到改进升温模拟退火算法流程如图12所示.表2改良Metropolis 测试结果Table 2Improved Metropolis test result table测试案例项目改良前改良后eil51(最优解)427427eil76(最优解)599588图10SA(M 函数优化)求解eil51过程图Fig.10SA (M function optimization)to solve eil51processdiagram250控制理论与应用第38卷图11SA(M 函数优化)求解eil76过程图Fig.11SA (M function optimization)to solve eil76processdiagram3.5自适应升温模拟退火算法收敛性证明将该算法过程抽象为一般的离散优化问题,在具有一定的状态集中,算法能够收敛到某一个状态不再转移.因此该算法的收敛性证明可以总结为如下的证明.定理1在有限的状态集中,对于任意的初始解,自适应升温模拟退火算法一定可以转移到某个状态上并不再发生转移,即该算法具有全局收敛性.在证明定理1时,需要使用到由陈小刚等人[13]利用随机过程证明的引理1–2.引理1若某个Markov 链所对应的状态转移矩阵具有以下两个性质,则该矩阵是遍历且具有稳态的.1)该矩阵为不可约矩阵,即对应的Markov 链为不可约的.2)该矩阵的严格上三角阵趋于0,而严格下三角阵保持不变.图12改进升温模拟退火算法总流程图Fig.12General flow chart of improved simulated annealing algorithm引理2对于一般模拟退火算法的非平稳的m 阶状态转移矩阵A (t ),若存在唯一的稳态分布:π(t )=(π1(t ),π2(t ),π3(t ),···,πm (t )),(6)则有下式成立:lim t →0π(t )=(1,0,···,0).(7)此定理的证明可以通过以下步骤形成:步骤1首先,假设TSP 问题具有有限个状态,设有不可约m 阶概率矩阵P =P ij 根据Metropolis 准则以概率p 从i 状态向j 状态进行转移的概率为{1,E (j )<E (i ),s ij (t ),E (j ) E (i ),(8)其中:S ij (t )=e −k∆AT .(9)∆为E (j ),E (i )之间的差值.在传统的模拟算法中,第2期陈科胜等:求解旅行商问题的自适应升温模拟退火算法251控制温度具有t 1 t 2 ··· t n 且lim n →∞t n =0.(10)在本文提出的自适应升温模拟退火算法中,控制温度并不具有诸如t 1 t 2 ··· t n 的关系,当算法在第N 次降温之后,仍没有获得比算法当前最优解更好的解,则使系统升高温度为∆T ,其中参数由式(3)–(4)给出.因此t 并不随着n 单调递减,且仍然有lim n →∞t n =0成立.利用反证法容易证明,若不存在lim n →∞t n =0,则当n →∞时,算法进行了无穷次升温操作使得控制温度不能下降到0,即s →∞并使得N →∞,则对于t 1,t 2,···,t n 中存在着某个单调递减子序列t i ,t i +1,···,t i +N 表示某次未触发升温条件的控制温度序列,根据算法机制易知有下式成立:t i +N T 0−N∆T,(11)其中∆T 为每次下降温度值,则有lim N →∞t i +N =0,(12)与式(10)不成立矛盾,则有lim n →∞t n =0成立.证毕.至此该自适应升温模拟退火算法的收敛性证明问题等价于一般模拟退火算法收敛性的证明问题.步骤2假设某个TSP 问题中所有的状态按对应的能量值进行排列,则可以得到不可约的转移矩阵A (t )=[a ij ],其中:a ij =p ij ,i >j,p ij s ij (t ),i <j,1−∑k =ia ik (t ),i =j.(13)转移矩阵A (t )=[a ij ]当lim n →∞t n =0成立具有以下两个性质:1)该矩阵为不可约矩阵,即对应的Markov 链为不可约的.2)严格上三角阵趋于0,而严格下三角阵不变.则由定理1可以得到转移矩阵对应的Markov 链具有遍历性且具有稳态π(t )=(π1(t ),π2(t ),π3(t ),···,πm (t )),(14)则可以得到lim t →0π(t )=(1,0, 0(15)或lim t n →0π(t )=(1,0,···,0).(16)由式(15)可知当温度趋于0时均可以收敛到一个稳定状态上不再发生转移或由式(16)可知该Markov 链的状态不断地进行转移可以使得该算法以概率1转移到某个状态上不再发生改变,且该结论与初始解的选择无关,即该算法具有全局收敛性.证毕.4实验及结果分析为检验该算法的实际性能,本文使用了TSP-LIB 标准库的Burma14,Oliver30,eil51,St70,eil76,tsp225进行了检验,与普通的启发式算法进行对比,分别比较了与模拟退火算法SGA [7]、传统蚁群算法ACS [7]、粒子群算法ACO [7]的求解效果;与改进的启发式算法对比,分别比较了利用混沌映射扰动信息素的最大最小蚂蚁系统算法MMAS [11]、基于方向信息素协调的蚁群算法AADC [8]、动态凸包引导的偏优规划蚁群ACADCG 算法[9]、自适应离散粒子群算法DGSO [3]、具有变异特征的蚁群算法SADPSO [4];与同类型的改进模拟退火算法对比,分别与改进遗退火算法IGSA [7]、IGSAA 改进自适应模拟退火算法[8];与最近学者新提出的新型启发式算法进行对比,分别与帝国竞争算法ICA [9]、离散狼群算法DWPA [10]进行了对比.其中在求解各个TSP 问题时本文使用的算法参数如表3所示,其中扰动操作概率值p 设定为0.5.表3实验参数Table 3Experimental parameters测试数据集Rand 上限R 起始温度终止温度降温比例升温比例升温次数决定系数k 1Burma142810.99 1.3984k 1=10Oliver3021110.99 1.3984k 1=10eil5130610.99 1.3984k 1=10eil76102010.99 1.3984k 1=10St70101610.99 1.3984k 1=10tsp22521610.99 1.3984k 1=10使用本文算法,按照表3参数对各个TSBLIB 标准库中问题进行求解,结果如表4与图13–18所示.252控制理论与应用第38卷表4不同文献算法对比结果Table4Comparison results of different literaturealgorithms测试算法TSPLIB算法运行数据集已知最优解最优解时间/seil51SGA[7]426536132 IGSA[7]460102 ACS[7]438.74 MMAS[12]436.63AADC[14]428.74 ACADCG[15]428.19 IGSAA[13]428.87ICA[9]428.87 DWPA[10]428.87本文算法426.00eil76SGA[7]538813.00172 IGSA[7]548.00138 ACS[7]555.61 MMAS[12]552.26AADC[14]544.43 ACADCG[15]543.41 IGSAA[13]544.43ICA[9]544.37本文算法538.00110Burma14DGSO[3]30.878530.8785 SADPSO[4]30.8785 ACO[5]30.8785本文算法30.8785Oliver30DGSO[3]423.7406423.74 SADPSO[4]423.74 ACO[5]423.74 ACS[7]425.52 MMAS[12]424.86 AADC[14]426.91 ACADCG[15]423.74本文算法423.74St70ACS[7]675687.46MMAS[12]685.13 AADC[14]682.31 ACADCG[15]681.25 IGSAA[13]677.11本文算法677.11tsp225SGA[7]391613827IGSA[7]4068本文算法3972图13Burma14最优路径(30.8785)Fig.13Burma14optimal path(30.8785)图14Oliver最优路径(423.7406)Fig.14Oliver general optimal path(423.7406)图15eil51最优路径(426)Fig.15eil51general optimal path(426)第2期陈科胜等:求解旅行商问题的自适应升温模拟退火算法253图16eil76最优路径(538)Fig.16eil76general optimal path(538)图17St70最优路径(677.11)Fig.17St70general optimal path(677.11)图18tsp225最优路径(3927)Fig.18tsp225general optimal path (3927)5结论本文提出的算法在求解中规模TSP 问题时具有收敛精度高、全局寻优化能力强的特点.部分TSBLIB 的TSP 问题中均能较快地得到理论最优解,与普通的启发式算法进行对比,比较模拟退火算法SGA [7]、传统蚁群算法ACS [7]、粒子群算法ACO [7]的求解效果;与改进的启发式算法对比,分别比较了利用混沌映射扰动信息素的最大最小蚂蚁系统算法MMAS [11]、基于方向信息素协调的蚁群算法AADC [8]、动态凸包引导的偏优规划蚁群ACADCG 算法[9]、自适应离散粒子群算法DGSO [3]、具有变异特征的蚁群算法SADPSO [4];与同类型的改进模拟退火算法对比,分别与改进遗退火算法IGSA [7]、IGSAA 改进自适应模拟退火算法[8];与最近学者新提出的新型启发式算法进行对比,分别与帝国竞争算法ICA [9]、离散狼群算法DWPA [10]进行了对比,其求解效果也存在均取得了更强的寻优效果.由于朴素的模拟退火算法可由可调参数k 1,k 2来控制对应的局部寻优能力和全局寻优能力,提高了该算法的推广性与鲁棒性,但从另一方面上说,需要调整的参数较多,也一定程度地带来了使用时调参的困难,存在着进一步改良的空间.参考文献:[1]YANG Chunhua,TANG Xiaolin,ZHOU Xiaojun,et al.A discrete s-tate transition algorithm for traveling salesman problem.Control The-ory &Applications ,2013,30(8):1040–1046.(阳春华,唐小林,周晓君,等.一种求解旅行商问题的离散状态转移算法.控制理论与应用,2013,30(8):1040–1046.)[2]ZHOU Yongquan,HUANG Zhengxin,LIU Hongxia.Discrete glow-worm swarm optimization algorithm for TSP problem.Acta Electron-ica Sinica ,2012,40(6):1164–1170.(周永权,黄正新,刘洪霞.求解TSP 问题的离散型萤火虫群优化算法.电子学报,2012,40(6):1164–1170.)[3]ZHANG Changsheng,SUN Jigui,OUYANG Dantong.A self-adaptive discrete particle swarm optimization algorithm.Acta Elec-tronica Sinica ,2009,37(2):299–304.(张长胜,孙吉贵,欧阳丹彤.一种自适应离散粒子群算法及其应用研究.电子学报,2009,37(2):299–304.)[4]WU Qinghong,ZHANG Jihui,XU Xinhe.An ant colony algorithmwith mutation features.Journal of Computer Research and Develop-ment ,1999,36(10):1240–1245.(吴庆洪,张纪会,徐心和.具有变异特征的蚁群算法.计算机研究与发展,1999,36(10):1240–1245.)[5]CUI Zhihua,ZHANG Maoqing,CHANG Yu,et al.NSGA–II withaverage distance clustering.Acta Automatica Sinica ,2020:http-s:///10.16383/j.aas.c180540.(崔志华,张茂清,常宇,等.基于平均距离聚类的NSGA–II.自动化学报,2020:https:///10.16383/j.aas.c180540.)[6]GENG Zhiqiang,QIU Dahong,HAN Yongming.Max-min ant sys-tem algorithm based on chaos and its application in puter Engineering ,2016,42(3):192–197.(耿志强,邱大洪,韩永明.基于混沌的MMAS 算法及其在旅行商问题中的应用.计算机工程,2016,42(3):192–197.)[7]ZHANG Yanxiang,QI Yuxian.An improved genetic simulated an-nealing algorithm to solve TSP.Intelligent Computer and Applica-tions ,2017,7(3):52–54.(张雁翔,祁育仙.改进遗传模拟退火算法求解TSP.智能计算机与应用,2017,7(3):52–54.)254控制理论与应用第38卷[8]HE Qing,WU Yile,XU Tongwei.Application of improved geneticsimulated annealing algorithm in TSP optimization.Control and De-cision,2018,33(2):219–225.(何庆,吴意乐,徐同伟.改进遗传模拟退火算法在TSP优化中的应用.控制与决策,2018,33(2):219–225.)[9]ZHANG Xinlong,CHEN Xiuwan,XIAO Han,et al.A new impe-rialist competitive algorithm for solving TSP problem.Control and Decision,2016,31(4):586–592.(张鑫龙,陈秀万,肖汉,等.一种求解旅行商问题的新型帝国竞争算法.控制与决策,2016,31(4):586–592.)[10]WU Husheng,ZHANG Fengming,LI Hao,et al.Discrete wolf packalgorithm for traveling salesman problem.Control and Decision, 2015,30(10):1861–1867.(吴虎胜,张凤鸣,李浩,等.求解TSP问题的离散狼群算法.控制与决策,2015,30(10):1861–1867.)[11]CUI Zhihuang,ZHANG Chunmei,SHI Zhentao,et al.Privacy pro-tection based on many-objective optimization algorithm,concurren-cy and computation practice and experience.Control and Decision, 2018,33(7):1341–1344.(崔志华,张春妹,时振涛,等.基于蝙蝠算法的观测矩阵优化算法.控制与决策,2018,33(7):1341–1344.)[12]PANG Yongming,ZHONG Caiming,CHENG Kai.A TSP algorith-m based on clustering ensemble ACO and restricted solution space.Journal of University of Science and Technology of China,2016, 46(9):780–787.(庞永明,钟才明,程凯.基于聚类集成的蚁群优化与受限解空间的TSP算法.中国科学技术大学学报,2016,46(9):780–787.)[13]CHEN Xiaogang,LIN Dajian,SUN Guoliang.Generalized simulatedannealing and its convergence.Opto-Electronic Engineering,1993, 20(3):12–18.(陈小刚,林大键,孙国良.模拟退火法及其收敛性.光电工程,1993, 20(3):12–18.)[14]MENG Xiangping,PIAN Zhaoyu,SHEN Zhongyu,et al.Ant algo-rithm based on direction-coordinating.Control and Decision,2013, 28(5):782–786.(孟祥萍,片兆宇,沈中玉,等.基于方向信息素协调的蚁群算法.控制与决策,2013,28(5):782–786.)[15]SUN Lijuan,WANG Liangjun,WANG Ruchuan.Research of usingan improved ant colony algorithm to solve TSP.Journal on Commu-nications,2004,25(10):111–116.(孙力娟,王良俊,王汝传.改进的蚁群算法及其在TSP中的应用研究.通信学报,2004,25(10):111–116.)作者简介:陈科胜本科生,目前研究方向为计算理论、算法理论、高性能计算,E-mail:****************;鲜思东教授,目前研究方向为不确定决策与优化、统计分析,E-mail:************;郭鹏本科生,目前研究方向为AI算法,E-mail:muhahada ***************.。

我刚刚编了一个模拟退火算法，计算旅行商问题：注意：一共三个文件，第一个是主程序，下面两个是子函数。

% for d=1:50 %循环10次发现最小路径为4.115，循环50次有3次出现4.115 T_max=80; %input('please input the start temprature');T_min=0.001; %input('please input the end temprature');iter_max=100;%input('please input the most interp steps on the fit temp');s_max=100; %input('please input the most steady steps ont the fit temp');T=T_max;load .\address.txt;order1=randperm(size(address,1))';%生成初始解。

figure(1);plot(address(order1,1),address(order1,2),'*r-')title('随机产生的路径');totaldis1=distance(address,order1);for n=1:size(address,1)text(address(n,1)+0.01,address(n,2),num2str(n))%标号endtext(0.9,0.9,num2str(totaldis1))figure(2);while T>=T_miniter_num=1;s_num=1;plot(T,totaldis1,'r.')hold onwhile iter_num<iter_max&s_num<s_max;order2=exhgpath(order1); %随机交换两个城市位置totaldis2=distance(address,order2);R=rand;DeltaDis=totaldis2-totaldis1; %新的距离-原来的距离if DeltaDis<0;order1=order2;totaldis1=totaldis2; %新距离小，无条件接受elseif (exp((totaldis1-totaldis2)/(T))>R)%%%%本算法最核心的思想：以一定概率接受坏的结果，防止局部最优order1=order2;totaldis1=totaldis2;else s_num=s_num+1;enditer_num=iter_num+1;endT=T*0.99;endset(gca,'xscale','log');%或者使用semilogx，有相同效果xlabel('退火温度');ylabel('总距离');order1totaldis1figure(3)plot(address(order1,1),address(order1,2),'*b-')title('最终路径');for n=1:size(address,1)text(address(n,1)+0.01,address(n,2),num2str(n))%标号endtext(0.9,0.9,num2str(totaldis1))dstc(d)=totaldis1;% end——————————————————————————————function y=exhgpath(order)while 1b=size(order,1);r=unidrnd(b,1,2);if r(1)-r(2)~=0breakendendb=order(r(2));order(r(2))=order(r(1));order(r(1))=b;y=order;------------------------------------------------------------function y=distance(address,order)nmb=size(address,1);y=0;for i=1:nmb-1y=y+sqrt((address(order(i+1),1)-address(order(i),1))^2+(address(order(i+1),2)-address(order(i),2)) ^2);endy=y+sqrt((address(order(i+1),1)-address(order(1),1))^2+(address(order(i+1),2)-address(order(1),2 ))^2);Matlab模拟退火算法——走过数模模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。

设计（论文）题目：模拟退火算法在旅行商问题中的应用1．毕业设计（论文）的主要内容及基本要求主要内容：利用模拟退火算法和MA TLAB 工具箱建立求解TSP问题的模型，并在多项式时间内找到TSP问题的最优解。

基本要求：1)熟读参考文献；2)掌握模拟退火算法的基本理论和结构；3)能够利用MATLAB工具箱建立模型。

2．指定查阅的主要参考文献及说明1)MATLAB在数学建模中的应用（卓金武主编）；它以数学建模为主，比较全面的讲解了模拟退火算法以及MA TLAB 的相关知识;2)神经网络、模糊系统及其在运动控制中的应用（丛爽主编）；它主要系统的讲述了模拟退火算法的理论知识，全面的介绍的模拟退火算法的模型以及相关知识;3)基于MATLAB的模拟退火算法的实现（曲强，陈雪波）；阐述了模拟退火算法的基本原理及实现过程，运用MATLAB语言实现模拟退火算法，并将其用于解决TSP问题。

3．进度安排注：本表在学生接受任务时下达摘要摘要旅行商问题（即TSP问题）是组合优化中著名的NP hard问题,而模拟退火算法在处理全局优化、离散变量优化等困难问题中，具有传统优化算法无可比拟的势，因此它也是解决TSP的有效方法之一。

这里介绍和描述模拟退火算法的原理及其基本框架结构，并应用模拟退火算法对TSP问题进行研究,给出用模拟退火算法求解TSP问题的具体实现方法，同时为MATLAB语言编程提供了程序设计思路，并且分析说明模拟退火算法的优缺点。

关键词：模拟退火算法;组合优化;旅行商问题;MATLABABSTRACTABSTRACTTraveling salesman problem（TSP）is a famous NP-hard problem in the theory of combination optimization. However, simulated annealing algorithm has obvious comparative advantage in solving the difficult problems, such as global optimization and discrete variables optimization. So simulated annealing algorithm is an effective method for solving TSP. Framework and principle of simulated annealing algorithm were described, computational method to solve TSP problem was given, program design ideas of the MATLAB programming language were provided as well, and the advantages and disadvantages of simulated annealing algorithm were also shown in this paper.Key words: simulated annealing algorithm; combinatorial optimization; traveling salesman problem; MATLAB目录摘要 (I)ABSTRACT (II)目录 (III)第一章前言 (1)第二章模拟退火算法及其应用 (3)2.1 Metropolis准则与模拟退火算法[5] (3)2.1.1 Metropolis准则 (3)2.1.2 模拟退火算法 (4)2.2 模拟退火算法的原理 (4)2.2.1 物理退火过程 (5)2.2.2 模拟退火的原理和物理退火的原理的相似性 (5)2.3 模拟退火算法模型 (6)2.3.1 模拟退火算法的基本思想 (6)2.3.2 算法新解的产生和接受 (7)2.3.3 冷却进度表 (8)2.4 模拟退火算法的应用 (8)第三章旅行商问题 (10)3.1 组合优化问题简述 (10)3.2 TSP问题简述 (11)3.2.1 TSP问题的基本概念 (11)3.2.2 TSP问题的发展趋势 (11)3.2.3 旅行商问题的应用 (12)第四章基于模拟退火算法求解TSP问题 (14)4.1 TSP问题的模拟退火算法实现 (14)4.1.1 TSP算法描述 (14)4.1.2 TSP算法流程 (16)4.2 TSP问题的MATLAB实现[16] (17)4.2.1选取初始点并初始化变量 (17)4.2.2 固定温度的模拟退火子函数 (17)4.2.3降温继续优化过程 (19)4.3 实例仿真[17] (19)4.3.1 N=10的TSP模型 (20)4.3.2 N=20的TSP模型 (21)第五章结论 (23)参考文献 (24)致谢 (26)附录 (27)文献综述 (35)四川理工学院毕业论文第一章前言在生物医药、组合概率、分子物理、电子工程、模式识别、图象处理等众多科技领域中存在大量的组合优化问题(Combinatorial Optimization Problem )，其中很多的问题至今都没有找到有效的算法. 这些优化问题的目标函数大部分都是非凸的，存在很多局部最优解. 这些问题已经被证明是NP难问题，其中的旅行商(Traveling Salesman Problem，TSP)问题就是最经典的一个NP难问题[1]，其求解时间随问题规模呈指数级增长, 当规模稍大时就会因时间限制而失去可行性(Feasibility)。