一元二次不等式解法(1)

一元二次不等式6种解法大全一元二次不等式是指形如ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0的二次不等式，其中a、b、c为实数，a≠0。

这种不等式的解法有很多种，下面我将介绍其中的六种解法。

解法一：使用因式分解法。

对于形如(ax+b)(cx+d)>0或(ax+b)(cx+d)≥0的一元二次不等式，可以尝试将其因式分解为两个一次因式相乘的形式，然后根据不等式的性质讨论各个因式的取值范围，从而求得不等式的解。

解法二：使用它的图像解法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画出来，然后根据图像的特点来确定使得函数大于0（或大于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

解法三：使用开平方法。

对于形如x²+a≥0或x²+a>0的一元二次不等式，可以通过开平方的方法来求解。

首先将不等式移到一边，得到一个完全平方的形式，然后对不等式两边同时开平方，得到关于x的两个二次方程，根据二次方程的性质来求解。

解法四：使用代数求解法。

对于一元二次不等式ax²+bx+c>0或ax²+bx+c≥0，可以将其转化为一个关于x的二次方程ax²+bx+c=0的解的范围问题。

求得这个二次方程的解，然后根据这些解的范围来确定不等式的解。

解法五：使用数轴法。

将一元二次不等式对应的二次函数的图像画在数轴上，然后根据函数的凸性来确定函数取正值的x的取值范围，即为不等式的解。

解法六：使用区间法。

将一元二次不等式移项，化成形如ax²+bx+c<0或ax²+bx+c≤0的不等式，然后求出二次函数的零点，并根据二次函数的凸性来确定函数小于0（或小于等于0）的x的取值范围，即为不等式的解。

以上是关于一元二次不等式的六种解法，每种解法都有其独特的思路和方法。

在实际的解题过程中，可以根据具体的题目情况选择合适的解法来求解，以提高解题效率和准确性。

一元二次不等式的解法一元二次不等式是指一个未知数的二次函数与一个数之间的关系式，其形式为ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0。

解一元二次不等式的关键是找到其解集，即满足不等式的所有实数解。

本文将介绍两种常用的一元二次不等式的解法：图像法和区间法。

一、图像法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 绘制出对应一元二次函数的图像，并标出顶点。

对于一元二次函数y = ax² + bx + c，其图像是一个抛物线。

顶点的横坐标为-x₀ = -b/2a，纵坐标为y₀ = f(-x₀) = f(-b/2a)。

3. 根据一元二次不等式的符号确定解集。

若a > 0，表示抛物线开口向上，此时对应不等式的解集是(x < x₀) ∪ (x > x₁)。

若a < 0，表示抛物线开口向下，此时对应不等式的解集是(x₀ < x < x₁)。

二、区间法1. 将一元二次不等式的左边移至右边，得到一个一元二次函数的对称形式。

例如，将ax² + bx + c > 0移至右边，得到ax² + bx + c = 0。

2. 求出一元二次函数的判别式Δ = b² - 4ac的值，并根据Δ的正负确定解集。

若Δ > 0，则对应不等式的解集是(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)。

若Δ = 0，则对应不等式的解集是(-∞, x) ∪ (x, +∞)。

若Δ < 0，则对应不等式的解集为空集。

需要注意的是，使用图像法和区间法时必须要了解一元二次函数的图像特征和判别式的意义。

另外，在求解过程中，可以运用一些常用的数学知识，如因数分解、配方法等，以便更快地得到解集。

百度文库 - 让每个人平等地提升自我！1一元二次不等式及其解法（一） 某木匠要用长7.2m 的木料做成“日”字形的窗户框，要使窗户面积不超过1.8m 2，且木料无剩余。

通过学习本学时的内容，同学们能否帮他计算出窗户宽的取值范围？如何运用一元二次不等式的有关知识解决实际问题？解决实际问题时应注意什么？ 学习目标：1.一元二次不等式的解法；2.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；3.理解二次函数图象、一元二次不等式及一元二次方程三者之间关系.学习重点：会求解一元二次不等式. 学习任务：阅读课本P 76—P 78，完成下列任务1.说出一元二次不等式的定义，写出其一般形式，并举例.2.一元二次不等式05x 2≤-x ，写出二次函数,52x x y -=及一元二次方程052=-x x 的关系.3.推广：一元二次不等式)0(0022><++>++a c bx ax c bx ax 或与二次函数)0(2>++=a c bx ax y 及一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的关系，完成课本P 77表. 4.完成课本P 78图.5.完成例1，写出一元二次不等式)0(0022><++>++a c bx ax c bx ax 或的求解步骤. 6.完成例2,写出一元二次不等式)0(0022<<++>++a c bx ax c bx ax 或的求解步骤.7.必做题：P 80练习1，2；习题3.2 A 组 1,2,3,4；B 组 1一元二次不等式及其解法（二）学习目标：一元二次不等式的简单应用.学习重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式，并求解相应的一元二次不等式. 学习任务：阅读课本P 791. 完成例3，例4，体会一元二次不等式在实际问题中的应用.2. 必做题：(1)习题3.2 A 组 6；(2)某旅店有200张床位,若每床一晚上租金为27元,则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10的整数倍,则出租的床位会减少10的相应倍数张,若要该旅店某晚的收入超过10000元,则每个床位的出租价格应定在什么范围内?技能提升：1. 已知全集R u =，集合{}02|2>-=x x x A ,则CuA =_____________. 2. 若关于X 的不等式02212>++-mx x x 的解集是{}20|<<x x ，求m 的值. 3. 当R x ∈时，不等式022>++mmx x 恒成立的条件_________________. 4. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0664)(2x x x x x x f ，求不等式)1()(f x f >的解集. 5. ①043>+-x x ②043≥+-x x。

一元二次不等式解法（通用5篇）一元二次不等式解法篇1第十二教时教材：目的：从一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系动身，把握运用二次函数求解一元二次不等式的方法。

过程：一、课题：一元二次不等式的解法先回忆一下学校学过的一元一次不等式的解法：如 2x-70 x y这里利用不等式的性质解题从另一个角度考虑：令 y=2x-7 作一次函数图象： xco引导观看，并列表，见 p17 略当 x=3.5 时, y=0 即 2x-7=0当x3.5 时, y0 即 2x-70当 x3.5 时, y0 即 2x-70结论：略见p17留意强调：1°直线与 x轴的交点x0是方程 ax+b=0的解2°当 a0 时, ax+b0的解集为{x | x x0 } 当 a0 时, ax+b0可化为 -ax-b0来解y二、一元二次不等式的解法同样用图象来解，实例：y=x2-x-6 作图、列表、观看-2 o 3 x 当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2-x-6=0当 x-2 或 x3 时, y0 即 x2-x-60当 -2x3 时, y0 即 x2-x-60∴方程 x2-x-6=0 的解集：{ x | x = -2或 x = 3 }不等式x2-x-6 0 的解集：{ x | x -2或 x 3 }不等式 x2-x-6 0 的解集：{ x | -2 x 3 }这是△0 的状况：若△=0 , △0 分别作图观看争论得出结论：见p18--19说明：上述结论是一元二次不等式 ax+bx+c0(0) 当 a0时的状况若a0, 一般可先把二次项系数化成正数再求解三、例题 p19 例一至例四练习：（板演）有时间多余，则处理《课课练》p14 “例题推举”四、小结：一元二次不等式解法（务必联系图象法）五、作业：p21 习题 1.5 《课课练》第8课余下部分一元二次不等式解法篇2各位评委、各位专家：大家好!今日，我说课的内容是人民教育出版社全日制一般高级中学教科书(必修)《数学》第一章第五节"一元二次不等式解法'。

一元二次不等式及其解法（1）<基础知识><基本训练>1、不等式（x+2）(1+x)>0的解集是 。

2、若关于X 的不等式x-ax+1>0的解集为（-∞，-1）∪（4，+∞），则实数a = .3、已知不等式ax 2+2x+c>0的解集为－13<x<12，则a+c= . 4、若关于x 的方程2k x 2－2x －9k=0两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k 的取值范围是 。

<典型例题讲练>例1、 解下列不等式：(1) -x 2+3x+18<0 (2) 4≤x 2-3x<18(3) 2x-1x+2<1 (4) (x-3)(x-2)(x-1)2(x-4)≥0<课堂检测>1、不等式 2x-13x+1>0的解集是 。

2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧︱x-2︱<2log 2(x 2-1)>1的解集是 。

3、x(x-5)2>6(x-5)2解集是 。

4、函数f(x)=3ax+1－2a在（-1，1）上存在X0，使f(X0)=0，则a的取值范围是5、解下列不等式：(1) 4x2+4x+1>0 (2) x2-3x+5>0(3) (x+3)(x+2)(x-1)2(x-4)<0 (4) 2x2－5x-1x2-3x+2>1一元二次不等式及其解法<典型例题讲练>例1．当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数。

练习：已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.<课后作业>1、解不等式：(1) –x2+2x-23>0 (2) 9x2-6x+1≤0(3) (2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0 (4)3x-52x-3≤22、已知不等式（m2+4m-5）x2-4(m-1)x+3>0对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围。

2.2（1）一元二次不等式的解法组卷人苏卫国 审卷人刘金涛一、学学目标1、一元二次不等式的解法。

利用二次函数的图像解一元二次不等式。

2、掌握用二次函数的图像解一元二次不等式的解法。

了解一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的联系，体会数形结合、化归的数学思想。

形成利用一般与特殊的关系来解决数学问题的能力。

二、学习重点及难点1、 一元二次不等式的解法。

利用二次函数的图像解一元二次不等式。

三、教学过程设计1、复习旧知解一元一次不等式)0(≠>a b ax ①⎭⎬⎫⎩⎨⎧>>a b x x a ,0 ②⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<a b x x a ,0 新课引入2．提出问题（1）什么叫做一元二次不等式 。

（2）一元二次不等式的一般形式是：（3）如何解一元二次不等式？3、解法探究如何对一元二次不等式0322>--x x求解（请同学们根据课本自己试试）解法一解法二、例1．利用二次函数图像解下列不等式。

（1）0322<--x x（2）0442>+-x x例2．填表：（请同学们自己填充）提问：如何解二次项系数为负的一元二次不等式？[说明]特别注意0=∆和0<∆时不等式的解集。

二次项系数为负的一元二次不等式可通过转化为二次项系数为正的一元二次不等式或者直接用开口向下二次函数的图像来解。

特别注意不等式的解集为空集或全集时的条件。

提问：对照表格，如何解不等式02≥++c bx ax ()0>a 和02≤++c bx ax ()0>a ？四、课堂练习解下列不等式：（1）2x 2-3x-2≥0 （2）-3x 2+x+1>0(3)9x 2+6x+1>0 (4)4x-x 2<5(5)2x 2+x+1≤0五、作业布置数学练习15页2.2 第1、2、3、4、5、6题。

一元二次不等式及其解法（一）[学习目标] 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力．知识点一一元二次不等式的概念思考下列不等式是一元二次不等式的有________．①x2＞0；②－3x2－x≤5；③x3＋5x－6＞0；④ax2－5y＜0(a为常数)；⑤ax2＋bx＋c＞0.答案①②解析①②是，符合定义；③不是，因为未知数的最高次数是3，不符合定义；④不是，当a＝0时，它是一元一次不等式，当a≠0时，它含有两个变量x，y；⑤不是，当a＝0时，不符合一元二次不等式的定义．知识点二一元二次不等式的解法利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤：(1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0；(2)计算相应的判别式；(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．知识点三“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系0)思考二次不等式ax2＋2x－1＜0的解集为R，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1)解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，4＋4a ＜0⇒a ＜－1.题型一 一元二次不等式的解法 例1 解下列不等式： (1)2x 2＋7x ＋3＞0； (2)－4x 2＋18x －814≥0； (3)－2x 2＋3x －2＜0； (4)－12x 2＋3x －5＞0.解 (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x 2＋7x ＋3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝－12.又二次函数y ＝2x 2＋7x ＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x |x ＞－12或x＜－3}．(2)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝94. (3)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R . (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，又二次函数y ＝x 2－6x ＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.跟踪训练1 解下列不等式：(1)x 2－5x －6＞0；(2)(2－x )(x ＋3)＜0； (3)4(2x 2－2x ＋1)＞x (4－x )．解 (1)方程x 2－5x －6＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝6.结合二次函数y ＝x 2－5x －6的图象知，原不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞6}． (2)原不等式可化为(x －2)(x ＋3)＞0.方程(x －2)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－3.结合二次函数y ＝(x －2)(x ＋3)的图象知，原不等式的解集为{x |x ＜－3或x ＞2}． (3)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4＞0. 解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为{x |x ≠23}．题型二 解含参数的一元二次不等式例2 解关于x 的不等式：ax 2－(a －1)x －1＜0(a ∈R )． 解 原不等式可化为：(ax ＋1)(x －1)＜0， 当a ＝0时，x ＜1；当a ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＜0，∴－1a＜x ＜1；当a ＝－1时，x ≠1；当－1＜a ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a (x －1)＞0，∴x ＞－1a或x ＜1；当a ＜－1时，－1a＜1，∴x ＞1或x ＜－1a.综上，当a ＝0时，原不等式的解集是{x |x ＜1}；当a ＞0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1a ＜x ＜1；当a ＝－1时，原不等式的解集是{x |x ≠1}；当－1＜a ＜0时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜1或x ＞－1a .当a ＜－1时，原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1a 或x ＞1.跟踪训练2 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＞0. 解 原不等式可化为 (x －a )(x －a 2)＞0 讨论a 与a 2的大小(1)当a 2＞a 即a ＞1或a ＜0时，x ＞a 2或x ＜a .(2)当a 2＝a 即a ＝0或a ＝1时，x ≠a .(3)当a 2＜a 即0＜a ＜1时，x ＞a 或x ＜a 2.综上，当a ＜0或a ＞1时，解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }， 当a ＝0或1时，解集为{x |x ≠a }， 当0＜a ＜1时，解集为{x |x ＞a 或x ＜a 2}． 题型三 “三个二次”关系的应用例3 已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，求不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．解 方法一 由题意可得a ＜0，且α，β为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ba ＝－(α＋β)＜0，①ca ＝αβ＞0， ②∵a ＜0,0＜α＜β，∴由②得c ＜0，则cx 2＋bx ＋a ＜0可化为x 2＋b cx ＋ac＞0.①÷②，得b c＝－(α＋β)αβ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＋1β＜0.由②得ac＝1αβ＝1α·1β＞0. ∴1α，1β为方程x 2＋b c x ＋ac ＝0的两根． 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α， ∴不等式x 2＋bc x ＋ac ＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜1β或x ＞1α，即不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜1β或x ＞1α. 方法二 由题意知a ＜0，∴由cx 2＋bx ＋a ＜0，得cax 2＋b ax ＋1＞0.将方法一中的①②代入， 得αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0， 即(αx －1)(βx －1)＞0. 又∵0＜α＜β，∴0＜1β＜1α.。