一元二次方程及解法经典习题及解析

一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）015223>--x x x ；（2）0)2()5)(4(32<-++x x x ．例2 解下列分式不等式： （1）22123+-≤-x x （2）12731422<+-+-x x x x例3 解不等式242+<-x x例4 解不等式04125622<-++-x x x x ． 例5 解不等式x xx x x <-+-+222322． 例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ． 例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ． 例10 已知不等式02>++c bx ax 的解集是{})0(><<αβαx x ．求不等式02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式1122+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31(∞+-∞，， ，求a 、b 的值． 例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 例14 解不等式x x x ->--81032．例1解：（1）原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 （2）原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或例2（1）解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法”∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。

一元二次方程解法及其经典练习题方法一：直接开平方法（依据平方根的定义）平方根的定义：如果一个数 的平方等于a （ ），那么这个数 叫做a 的平方根即：如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。

1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4．.25)1(412=+x5．(2x ＋1)2=(x －1)2． 6．(5－2x )2=9(x ＋3)2． 7．.063)4(22=--x方法二：配方法解一元二次方程1. 定义：把一个一元二次方程的左边配成一个 ，右边为一个 ，然后利用开平方数求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

2. 配方法解一元二次方程的步骤：（1） （2）（3） 4) (5)二、用配方法解下列一元二次方程。

1、.0662=--y y2、x x 4232=- 39642=-x x 、4、0542=--x x5、01322=-+x x6、07232=-+x x方法三：公式法1.定义：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法2.公式的推导：用配方法解方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）解：二次项系数化为1，得 ，移项 ，得 ，配方, 得 ，方程左边写成平方式 ，∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况：（1）当b 2-4ac>0时，=1x ， =2x（2）当b 2-4ac=0时，==21x x 。

（3）b 2-4ac<0时，方程根的情况为 。

3.由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因（1）式子ac b 42-叫做方程ax 2＋bx ＋c = 0（a ≠0）根的 ，通常用字母 “△” 表示。

当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根；当△ 0时， 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。

6X²-7X+1=06X²-7X=-1X²-﹙7／6﹚X+﹙7／12﹚²=-1／6﹢﹙7／12﹚²﹙X-7／12﹚²=25／144∴X-7／12=±5／12∴X1=1,X2=1／65X²-18=9X5X²-9X=18X²-1.8X=3.6﹙X-0.9﹚²=4.41∴X-.9=±2.1∴X1=3,X2=-1.24X²-3X=52解：X²-﹙3／4﹚X=13﹙X-3／8﹚²=13∴X-3／8=±29／8∴X1=4,X2 =-13／45X²=4-2X5X²+2X=4X²+0.2X=0.8﹙X+0.1﹚²=0.81X+0.1=±0.9X1=-1,X2=0.8 就这么几道,最好去百度搜索,那多1)x^2-9x+8=0 答案：x1=8 x2=1(2)x^2+6x-27=0 答案：x1=3 x2=-9(3)x^2-2x-80=0 答案：x1=-8 x2=10(4)x^2+10x-200=0 答案：x1=-20 x2=10(5)x^2-20x+96=0 答案：x1=12 x2=8(6)x^2+23x+76=0 答案：x1=-19 x2=-4(7)x^2-25x+154=0 答案：x1=14 x2=11(8)x^2-12x-108=0 答案：x1=-6 x2=18(9)x^2+4x-252=0 答案：x1=14 x2=-18(10)x^2-11x-102=0 答案：x1=17 x2=-6(11)x^2+15x-54=0 答案：x1=-18 x2=3(12)x^2+11x+18=0 答案：x1=-2 x2=-9(13)x^2-9x+20=0 答案：x1=4 x2=5(14)x^2+19x+90=0 答案：x1=-10 x2=-9(15)x^2-25x+156=0 答案：x1=13 x2=12(16)x^2-22x+57=0 答案：x1=3 x2=19(17)x^2-5x-176=0 答案：x1=16 x2=-11(18)x^2-26x+133=0 答案：x1=7 x2=19(19)x^2+10x-11=0 答案：x1=-11 x2=1(20)x^2-3x-304=0 答案：x1=-16 x2=19(21)x^2+13x-140=0 答案：x1=7 x2=-20(22)x^2+13x-48=0 答案：x1=3 x2=-16(24)x^2+28x+171=0 答案：x1=-9 x2=-19(25)x^2+14x+45=0 答案：x1=-9 x2=-5(26)x^2-9x-136=0 答案：x1=-8 x2=17(27)x^2-15x-76=0 答案：x1=19 x2=-4(28)x^2+23x+126=0 答案：x1=-9 x2=-14(29)x^2+9x-70=0 答案：x1=-14 x2=5(30)x^2-1x-56=0 答案：x1=8 x2=-7(31)x^2+7x-60=0 答案：x1=5 x2=-12(32)x^2+10x-39=0 答案：x1=-13 x2=3(33)x^2+19x+34=0 答案：x1=-17 x2=-2(34)x^2-6x-160=0 答案：x1=16 x2=-10(35)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5(36)x^2-7x-144=0 答案：x1=-9 x2=16(37)x^2+20x+51=0 答案：x1=-3 x2=-17(38)x^2-9x+14=0 答案：x1=2 x2=7(39)x^2-29x+208=0 答案：x1=16 x2=13(40)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1(41)x^2-13x-48=0 答案：x1=16 x2=-3(42)x^2+10x+24=0 答案：x1=-6 x2=-4(43)x^2+28x+180=0 答案：x1=-10 x2=-18(44)x^2-8x-209=0 答案：x1=-11 x2=19(46)x^2+7x+6=0 答案：x1=-6 x2=-1(47)x^2+16x+28=0 答案：x1=-14 x2=-2(48)x^2+5x-50=0 答案：x1=-10 x2=5(49)x^2+13x-14=0 答案：x1=1 x2=-14(50)x^2-23x+102=0 答案：x1=17 x2=6(51)x^2+5x-176=0 答案：x1=-16 x2=11(52)x^2-8x-20=0 答案：x1=-2 x2=10(53)x^2-16x+39=0 答案：x1=3 x2=13(54)x^2+32x+240=0 答案：x1=-20 x2=-12(55)x^2+34x+288=0 答案：x1=-18 x2=-16(56)x^2+22x+105=0 答案：x1=-7 x2=-15(57)x^2+19x-20=0 答案：x1=-20 x2=1(58)x^2-7x+6=0 答案：x1=6 x2=1(59)x^2+4x-221=0 答案：x1=13 x2=-17(60)x^2+6x-91=0 答案：x1=-13 x2=7(61)x^2+8x+12=0 答案：x1=-2 x2=-6(62)x^2+7x-120=0 答案：x1=-15 x2=8(63)x^2-18x+17=0 答案：x1=17 x2=1(64)x^2+7x-170=0 答案：x1=-17 x2=10(65)x^2+6x+8=0 答案：x1=-4 x2=-2(66)x^2+13x+12=0 答案：x1=-1 x2=-12(68)x^2+11x-42=0 答案：x1=3 x2=-14(69)x^20x-289=0 答案：x1=17 x2=-17(70)x^2+13x+30=0 答案：x1=-3 x2=-10(71)x^2-24x+140=0 答案：x1=14 x2=10(72)x^2+4x-60=0 答案：x1=-10 x2=6(73)x^2+27x+170=0 答案：x1=-10 x2=-17(74)x^2+27x+152=0 答案：x1=-19 x2=-8(75)x^2-2x-99=0 答案：x1=11 x2=-9(76)x^2+12x+11=0 答案：x1=-11 x2=-1(77)x^2+17x+70=0 答案：x1=-10 x2=-7(78)x^2+20x+19=0 答案：x1=-19 x2=-1(79)x^2-2x-168=0 答案：x1=-12 x2=14(80)x^2-13x+30=0 答案：x1=3 x2=10(81)x^2-10x-119=0 答案：x1=17 x2=-7(82)x^2+16x-17=0 答案：x1=1 x2=-17(83)x^2-1x-20=0 答案：x1=5 x2=-4(84)x^2-2x-288=0 答案：x1=18 x2=-16(85)x^2-20x+64=0 答案：x1=16 x2=4(86)x^2+22x+105=0 答案：x1=-7 x2=-15(87)x^2+13x+12=0 答案：x1=-1 x2=-12(88)x^2-4x-285=0 答案：x1=19 x2=-15(90)x^2-17x+16=0 答案：x1=1 x2=16(91)x^2+3x-4=0 答案：x1=1 x2=-4(92)x^2-14x+48=0 答案：x1=6 x2=8(93)x^2-12x-133=0 答案：x1=19 x2=-7(94)x^2+5x+4=0 答案：x1=-1 x2=-4(95)x^2+6x-91=0 答案：x1=7 x2=-13(96)x^2+3x-4=0 答案：x1=-4 x2=1(97)x^2-13x+12=0 答案：x1=12 x2=1(98)x^2+7x-44=0 答案：x1=-11 x2=4(99)x^2-6x-7=0 答案：x1=-1 x2=7 (100)x^2-9x-90=0 答案：x1=15 x2=-6 (101)x^2+17x+72=0 答案：x1=-8 x2=-9 (102)x^2+13x-14=0 答案：x1=-14 x2=1 (103)x^2+9x-36=0 答案：x1=-12 x2=3 (104)x^2-9x-90=0 答案：x1=-6 x2=15 (105)x^2+14x+13=0 答案：x1=-1 x2=-13 (106)x^2-16x+63=0 答案：x1=7 x2=9 (107)x^2-15x+44=0 答案：x1=4 x2=11 (108)x^2+2x-168=0 答案：x1=-14 x2=12 (109)x^2-6x-216=0 答案：x1=-12 x2=18 (110)x^2-6x-55=0 答案：x1=11 x2=-5。

《一元二次方程的解法》典型例题及解析1．以配方法解3x2+4x+1 = 0时，我们可得出下列哪一个方程式( )A．(x+2) 2= 3 B．(3x+)2 =C．(x+)2 =D．(x+)2 =答案：D说明：先将方程3x2+4x+1 = 0的二次项系数化为1，即得x2+x+= 0，再变形得x2+x+()2 =()2−，即(x+)2 =，答案为D．2．想将x2+x配成一个完全平方式，应该加上下列那一个数( )A． B． C．D．答案：D说明：题目所给的式子中x2系数为1，因此，要将它配成一个完全平方式只需加上一次项系数一半的平方，即，所以答案为D．3．下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )A．x2−9x+100 = 0 B．5x2+7x+5 = 0C．16x2−24x+9 = 0 D．2x2+3x−4 = 0答案：D说明：方程x2−9x+100 = 0中b2−4ac = 81−400<0；方程5x2+7x+5 = 0中b2−4ac = 49−4×5×5 = 49−100<0；方程16x2−24x+9 = 0中b2−4ac = 576−4×16×9 = 0；方程2x2+3x−4 = 0中b2−4ac = 9+32 = 41>0，所以方程2x2 = 3x−4 = 0有两个不相等的实数根，故选D．4．下列方程中，有两个相等实数根的是( )A．4(x−1)2−49 = 0 B．(x−2)(x−3)+(3−x) = 0C．x2+(2+1)x+2= 0 D．x(x−)+1 = 0答案：B说明：A中方程整理为一般形式为4x2−8x−45 = 0，这里b2−4ac = 64+720 = 784>0；B中方程整理为一般形式为：x2−6x+9 = 0，这里b2−4ac = 36−36 = 0；C中方程b2−4ac = 21+4−8= 21−4>0；D中方程整理为一般形式为x2−x+1 = 0，这里b2−4ac = 5−4 = 1>0；所以只有方程(x−2)(x−3)+(3−x) = 0有两个相等实数根，答案为B．5．下列方程4x2−3x−1 = 0，5x2−7x+2 = 0，13x2−15x+2 = 0中，有一个公共解是( )A．x =B．x = 2 C．x = 1 D．x = −1 答案：C说明：方程4x2−3x−1 = 0可变形为(4x+1)(x−1) = 0，方程5x2−7x+2 = 0可变形为(x−1)(5x−2) = 0，方程13x2−15x+2 = 0可变形为(x−1)(13x+2) = 0，所以这三个方程的公共解为x = 1，答案为C．6．用适当的方法解下列一元二次方程．(1)(x+4)2−(2x−1)2 = 0(2)x2−16x−4 = 0(3)2x2−3x−6 = 0(4)(x−2)2 = 256(5)(2t+3)2 = 3(2t+3)(6)(3−y)2+y2 = 9(7)(1+)x2−(1−)x = 0解：(1)平方差公式分解因式，方程变形为[(x+4)+(2x−1)][(x+4)−(2x−1)] = 0，化简后即3(x+1)(5−x) = 0，因此，可求得x1 = −1，x2 = 5．(2)用配方法，方程可变形为(x−8)2 = 68，两边开方化简可得x = 8±2(3)用公式法，b2− 4ac = (−3)2−4×2×(−6) = 57，所以x =(4)方程两边直接开方，得x−2 = ±16，即x1 = 18，x2 = −14(5)方程可化为(2t+3)(2t+3−3) = 0，即2t(2t+3) = 0，解得t1 = 0，t2 = −(6)方程变形为(y−3)2+y2−9 = 0，(y−3)[(y−3)+(y+3)] = 0，即2y(y−3) = 0，解得y1 = 0，y2 = 3(7)用因式分解法，方程可变形为x[(1+)x−1+] = 0，所以x1 = 0，x2 === 2−3扩展资料一元二次方程，数学史上的一场论战中世纪的欧洲，代数学的发展几乎处于停滞的状态，其真正的起步，始于公元1535年的一场震动数学界的论战．大家知道，尽管在古代的巴比伦或古代的中国，都已掌握了某些类型一元二次方程解法．但一元二次方程的公式解法，却是由中亚数学家阿尔·花拉子米于公元825年给出的．花拉子米是把方程x2+px+q = 0配方后改写为：的形式，从而得出了方程的两个根为：在欧洲，被誉为“代数学鼻祖”的古希腊的丢番图，虽然也曾得到过类似的式子，但由于丢番图认定只有根式下的数是一个完全平方数，且根为正数时，方程才算有解，因而数学史上都认为阿尔·花拉子米为求得一元二次方程一般解的第一人．花拉子米之后，许多数学家都致力于三次方程公式解的探求，但在数百年漫漫的历史长河中，除了取得个别方程的特解外，都没有人取得实质性进展，许多人因此怀疑这样的公式解根本不存在！话说当时意大利的波伦亚大学，有一位叫费洛的数学教授，也潜心于三次方程公式解这一当时世界难题的研究，功夫不负有心人，他终于取得了重大突破.公元1505年，费洛宣布自己已经找到了形如x3 + px = q方程的一个特别情形的解法，但他没有公开自己的成果，为的是能在一次国际性的数学竞赛中一放光彩．遗憾的是，费洛没能等到一个显示自己的才华的机会就抱恨逝去，临死前他把自己的方法传给了得意门生，威尼斯的佛罗雷都斯．现在话转另外一头，在意大利北部的布里西亚，有一个颇有名气的年轻人，叫塔塔里亚（Nicolo Tartaglia，1500－1557），此人从小天资聪明，勤奋好学，在数学方面表现出超人的才华，尤其是他发表的一些论文，思路奇特，见地高远，因而一时间名闻遐迩．塔塔里亚自学成才自然受到了当时一些习惯势力的歧视，公元1530年，当时布里西亚的一些人公开向塔塔里亚发难，提出以下两道具有挑战性的问题：（1）求一个数，其立方加上平方的3倍等于5；（2）求三个数，其中第二个数比第一个数大2，第三个数又比第二个数大2，它们的积为1000．读者不难知道，对第一个问题，若令所求数为x，则依题意有：x3+3x2 = 5而对第二个问题，令第一个数为x，则第二、三数分别为x+2，x+4，于是依题意有：x(x+2)(x+4)=1000化简后x3+6x2+8x−1000 = 0以上是两道三次方程的求解问题，塔塔里亚求出了这两道方程的实根，从而赢得了这场挑战，并为此名声大震！消息传到了波伦亚，费洛的门生佛罗雷都斯心中顿感震怒，他无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！于是双方商定，在1535年2月22日，于意大利的米兰，公开举行数学竞赛，各出30道问题，在两小时内决定胜负．赛期渐近，塔塔里亚因自己毕竟是自学出身而感到有些紧张．他想：佛罗雷都斯是费洛的得意弟子，难保他不会拿解三次方程来对付自己，那么自己所掌握的一类方法与费洛的解法究竟相距多远呢？他苦苦思索着，脑海中的思路不断进行着各种新的组合，这些新的组合终于撞击出灵感的火花，在临赛前八天，塔塔里亚终于找到了解三次方程的新方法，为此他欣喜若狂，并充分利用剩下的八天时间，一面熟练自己的新方法，一面精心构造了30道只有运用新方法才能解出的问题．2月22日那天，米兰的大教堂内，人头攒动，热闹非凡，大家翘首等待着竞赛的到来．比赛开始了，双方所出的30道题都是令人眩目的三次方程问题，但见塔塔里亚从容不迫，运笔如飞，在不到两小时的时间内，解完了的佛罗雷都斯的全部问题．与此同时，佛罗雷都斯却提笔拈纸，望题兴叹，一筹莫展，终于以0:30败下阵来！消息传出，数学界为之震动.在米兰市有一个人坐不住了，他就是当时驰名欧洲的医生卡当（Girolamo Cardano，1501－1576）．卡当其人，不仅医术颇高，而且精于数学.他也潜心于三次方程的解法，但无所获．所以听到塔塔里亚已经掌握三次方程的解法时,满心希望能分享这一成果．然而当时的塔塔里亚已经誉满欧洲，所以并不打算把自己的成果立即发表，而醉心于完成《几何原本》的巨型译作．对众多的求教者，则一概拒之门外．当过医生的卡当，熟谙心理学的要领，软缠硬磨，终于使自己成了唯一的例外．公元1539年，塔塔利亚终于同意把秘诀传授给他，但有一个条件，就是要严守发现的秘密．然而卡当实际上没有遵守这一诺言．公元1545年，他用自己的名字发表了《大法》一书，书中介绍了不完全三次方程的解法，并写道：“大约30年前，波伦亚的费洛就发现了这一法则，并传授给威尼斯的佛罗雷都斯，后者曾与塔塔里亚进行过数学竞赛，塔塔里亚也发现了这一方法．在我的恳求下，塔塔里亚把方法告诉了我，但没有给出证明．借助于此，我找到了若干证明，因其十分困难，特叙述如下．”卡当指出：对不完全三次方程x3+px+q = 0，公式给出了它的解，这就是今天我们所说的卡当公式．《大法》发表第二年，塔塔里亚发表了的《种种疑问及发明》一文，谴责卡当背信弃义，并要求在米兰与卡当公开竞赛，一决雌雄．然而到比赛那一天，出阵的并非卡当本人，而是他的天才学生斐拉里（Ferrari L.，1522－1565），此时斐拉里，风华正茂，思维敏捷，他不仅掌握了解三次方程的全部要领，而且发现了一般四次方程的极为巧妙的解法．塔塔里亚自然不是他的对手，终于狼狈败退，并因此番挫折，心神俱伤，于公元1557年溘然与世长辞！没想到，正是这场震动数学界的论战，使沉沦了一千三百多年的欧洲代数学，揭开了划时代的新篇章！。

一、概述二、一元二次方程的定义三、一元二次方程的解法1.配方法2.公式法四、一元二次方程的经典例题及详细解答1.例题一2.例题二3.例题三五、总结概述一元二次方程是数学中常见的代数方程，它的解法丰富多样，具有很高的实用价值。

本文将详细介绍一元二次方程的定义、解法，以及一些经典例题的详细解答。

一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax²+bx+c=0的方程，其中a≠0，x是未知数，a、b、c均为已知系数。

一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。

一元二次方程的解法一元二次方程的解法主要包括两种：配方法和公式法。

1.配方法配方法也称补全平方法，是指利用平方公式将一元二次方程转化为一个完全平方式。

这种方法常用于一元二次方程系数a=1的情况。

2.公式法公式法是通过一元二次方程的求根公式来解方程，一元二次方程ax²+bx+c=0的根可以用公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)求得。

一元二次方程的经典例题及详细解答下面将结合具体的例题，详细解答一元二次方程的解题过程。

1.例题一已知一元二次方程x²-5x+6=0，求方程的根。

解：根据公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(5±√(5²-4*1*6))/(2*1)= (5±√1)/2即x1=3，x2=2。

所以方程的根为x1=3，x2=2。

2.例题二已知一元二次方程2x²-7x+3=0，求方程的根。

解：同样使用公式法，将方程的系数代入求根公式x1,2=(-b±√(b²-4ac))/(2a)中，得到：x1,2=(7±√(7²-4*2*3))/(2*2)即x1=3/2，x2=2。

所以方程的根为x1=3/2，x2=2。

春秋雨露学苑┃知识归纳┃1．一元二次方程的概念只含有个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程．[注意] 一元二次方程判定的条件是：(1)必须是整式方程；(2)二次项系数不为零；(3)未知数的最高次数是2，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注注意] [牢记使用公式(2)、bc的值；意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定a、0.4acb2－≥的前提是Δ＝b2－4ac．一元二次方程根的判别式3Δ>0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有(1)的实数根；Δ＝0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有(2) 的实数根；Δ<0?ax2＋bx＋c＝0(a≠0) (3) 实数根．4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x、x，则两根与方程系数之间有如221下关系：x＋x＝，x·x＝ .2211[注意] 它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.四大解法1春秋雨露学苑一、开平方法方程的左边是完全平方式,右边是非负数;即形如x2=a(a≥0) 二、配方法“配方法”的基本步骤：一化、二移、三配、四化、五解1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成5.开平方，求解三、公式法1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).2.b2-4ac≥0.四、因式分解法1.用因式分解法的条件是:方程左边能够分解,而右边等于零;2.理论依据是:如果两个因式的积等于零，至少有一个因式等于零.因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移-----方程的右边=0;二分-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;2春秋雨露学苑解题技巧：, 先考虑开平方法;再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法一元二次方程及解法经典习题及解析一、填空题：．1．下列方程中是一元二次方程的序号是22220?④45①xx?01?33xx??5yx??2②③1x2322x)5?x2??1?0。

一元二次方程一.基本概念定义：形如：02=++c bx ax （0≠a ）的方程,叫做一元二次方程的一般式. 例题：若方程32)1(1=--+x x m m 是关于x 的一元二次方程，求m 的值.二.一元二次方程的解法（1）直接开方法： 02=+c ax , 开平方求出未知数的值：ac x -±= （2）因式分解法：0)(2=++-mn x n m x ,因式分解得：0))((=--n x m x ∴m x =1，n 2=x（3）配方法:061232=-+x x ,得：242=+x x ,∴222)2(2)2(4+=++x x 即：6)2(2=+x ∴621+-=x ，622--=x（4）公式法：解法步骤：○1先把一元二次方程化为一般式； ○2找出方程中a 、b 、c 等各项系数和常数的值；○3计算出ac b 42-的值；○4把a,b, ac b 42-的值代入公式;○5求出方程的两个根.例题：解方程： x(x+12)=8x+12解：原方程化简得：01242=-+x x ,方程中：a=1,b=4,c=-12∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64.∴28412644±-=⨯±-=x =42±- ∴原方程根为：21=x ，=2x -6.一元二次方程解法练习题：（1）用直接开方法解一元二次方程： ○1 (2x-1)2=7 ○222)43()43(x x -=- ○30144)3(2=--x（2）用因式分解法解一元二次方程：○11)1(3-=-x x x ○25x(x-3)=6-2x ○32(x +2)(x -1)=(x +2)(x +4)○4025)2(10)2(2=++-+x x ○542)2)(1(+=++x x x ○60)4()52(22=+--x x（3）用配方法解一元二次方程：○1x(x+4)=8x+12 ○226120x x --= ○30223)12(22=-+-+x x（4）用公式法解一元二次方程：○123520x x -+= ○5(3)(1)2x x +-=- ○112x 2-33x+130=0（5）选择适当的方法解下列方程:○122(2)9x x -= ○22299990x x +-= ○32(101)10(101)90x x +-++=○42690x x -+= ○5x(37)2x x -= ○6}113111[1()]222323x x x x ⎧--+-+=⎨⎩三.一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式：把ac b 42-=∆叫做一元二次方程：02=++c bx ax （0≠a ）的根的判别式.利用根的判别式可以不解方程判别一元二次方程跟的情况：20(1)00(2)400.b ac ∆>⇔⎧∆≥⇔⎨∆=⇔⎩∆=-∆<⇔当时方程有两个不相等的实根；当时方程有两个实数根；当时方程有两个相等的实数根；当的值小于时，即：时方程无实数根例1.不解方程判断下列方程跟的情况：（1）08822=+-x x （2）24120x x +-= （3）20232=+-x x解：（1）方程中：a=2,b=-8,c=8，∆=ac b 42-=(-8)2-4×2×8=64-64=0∵∆=0 ∴原方程有两个相等的实数根.（2）方程中：a=1,b=4,c=-12，∆=ac b 42-=(4)2-4×1×（-12）=16+48=64 ∵∆>0 ∴原方程有两个不相等的实数根.（3）方程中：a=2,b=-3,c=2，∆=ac b 42-=(-3)2-4×2×2=9-16=-7∵∆<0 ∴原方程无实数根.例2.关于x 的一元二次方程（m －1）x 2－2（m －3）x ＋m ＋2＝0有实数根，求m 的取值范围.解：当m －1≠0时, 即：m 1≠时，该方程是关于x 一元二次方程.∵原方程有实数根∴0≥∆，即：Δ＝［－2（m －3）］2－4（m －1）（m ＋2）＝－28m ＋440≥ 解得：711≤m ∴m 的取值范围是711≤m 且m 1≠. 例3. 求证：关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根. 证明：∵224=[2(1)]4(2)(1)4(3)b ac k k k k ∆=-----+=-且k 3≤，∴总有0≥∆ ∴关于x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k --+－＋＝(k 3)≤总有实数根.四.一元二次方程根与系数的关系1.定理：设一元二次方程02=++c bx ax (0≠a 且042≥-ac b )的两个根分别为1x 和2x ，则：ab 2x 1x -=+； a 2x 1xc =• 特别地：对于一元二次方程20x px q ++=，根与系数的关系为：12x x p +=-； 12x x q =注：○1此定理成立的前提是0∆≥．也就是说必须在方程有实．．数根．．时才可使用. ○2此定理在其他一些数学书籍中也叫做韦达定理。

经典解法20题(1) (3x+1F2=7(2) 9x A2-24x+16=11⑶(x+3)(x-6)=-8⑷ 2xA2+3x=0⑸ 6xA2+5x-50=0 选学)⑹ xA2-4x+4=0 (选学)(7) (x-2) A2=4 (2x+3)(8) yA2+2V2y-4=0(9)( x+1) A2-3 (x+1)+2=0(10) xA2+2ax-3aA2=0 (a 为常数)(11)2xA2 + 7x =4.(12) x A2 - 1 = 2 x(13) xA2 + 6x+5=0(14) x A2-4x+ 3=0(15网2 —4x- 3 =0(16) x A2 - 6x+9 =0(17) x2+8x+16=9(18) (x2-5)2=16(19) x(x+2)=x(3-x)+1(20) 6xA2+x-2=0海量111题1)xA2-9x+8=0⑵ xA2+6x-27=0⑶ x A2-2x-80=0(4) xH+10x-200=0(5) xA2-20x+96=0⑹ xA2+23x+76=0(7) xA2-25x+154=0(8) xA2-12x-108=0(9) xA2+4x-252=0(10) xA2-11x-102=0(11) xA2+15x-54=0(12) xA2+11x+18=0(13) xA2-9x+20=0(14) xA2+19x+90=0(15) xA2-25x+156=0(16) xA2-22x+57=0(17) xA2-5x-176=0(18) xA2-26x+133=0(19) xA2+10x-11=0(20) xA2-3x-304=0(21) xA2+13x-140=0(22) xA2+13x-48=0(23) xA2+5x-176=0(24) xA2+28x+171=0(25) xA2+14x+45=0(26) xA2-9x-136=0(28) xT+23x+126=0(29) xA2+9x-70=0(30) xA2-1x-56=0(31) xA2+7x-60=0(32) xA2+10x-39=0(33) xA2+19x+34=0(34) xA2-6x-160=0(35) xA2-6x-55=0(36) xA2-7x-144=0(37) xA2+20x+5 仁0(38) xA2-9x+14=0(39) xA2-29x+208=0(40) xA2+19x-20=0(41) xA2-13x-48=0(42) xA2+10x+24=0(43) xA2+28x+180=0(44) xA2-8x-209=0(45) xA2+23x+90=0(46) xA2+7x+6=0(47) xA2+16x+28=0(48) xA2+5x-50=0(49) xA2+13x-14=0(50) xA2-23x+102=0(52) x A2-8x-20=0(53) xA2-16x+39=0(54) xA2+32x+240=0(55) xA2+34x+288=0(56) xA2+22x+105=0(57) xA2+19x-20=0(58) xA2-7x+6=0(59) xA2+4x-221=0(60) xA2+6x-9 仁0(61) xA2+8x+12=0(62) xA2+7x-120=0(63) xA2-18x+17=0(64) xA2+7x-170=0(65) xA2+6x+8=0(66) xA2+13x+12=0(67) xA2+24x+119=0(68) xA2+11x-42=0(69) xA20x-289=0(70) xA2+13x+30=0(71) xA2-24x+140=0(72) xA2+4x-60=0(73) xA2+27x+170=0(74) xA2+27x+152=0(76) x A2+12x+11=0(77) xA2+17x+70=0(78) xA2+20x+19=0(79) xA2-2x-168=0(80) xA2-13x+30=0(81) xA2-10x-119=0(82) xA2+16x-17=0(83) xA2-1x-20=0(84) xA2-2x-288=0(85) xA2-20x+64=0(86) xA2+22x+105=0(87) xA2+13x+12=0(88) xA2-4x-285=0(89) xA2+26x+133=0(90) xA2-17x+16=0(91) xA2+3x-4=0(92) xA2-14x+48=0(93) xA2-12x-133=0(94) xA2+5x+4=0(95) xA2+6x-9 仁0(96) xA2+3x-4=0(97) xA2-13x+12=0(98) xA2+7x-44=0(99) x A2-6x-7=0 (100) x A2-9x-90=0 (101) xA2+17x+72=0 (102) xA2+13x-14=0 (103) xA2+9x-36=0 (104) xA2-9x-90=0 (105) xA2+14x+13=0 (106) xA2-16x+63=0 (107) xA2-15x+44=0 (108) xA2+2x-168=0 (109) xA2-6x-216=0 (110) xA2-6x-55=0 (111) xA2+18x+32=0答案(1) (3x+1F2=7解：(3x+1F2=7 /• (3x+1)A2=7 二3x+1=±V7(注意不要丢解)二x= (±V7-1)/3(2) 9xA2-24x+16=11解：9xA2-24x+16=11 二(3x-4F2=11 二3x-4=±V 11 二x= (±V 11+4)/3 •••原方程的解为x仁(211+4)/3 x2=(-V 11+4)/3(3) (x+3)(x-6)=-8解：(x+3)(x-6)=-8化简整理得xA2-3x-10=0方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0方程左边分解因式)二x-5=0或x+2=0转化成两个一元一次方程)••• x1=5,x2=-2是原方程的解。

初三数学一元二次方程经典例题1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？初三数学一元二次方程经典例题答案1．某网店专门销售某种品牌的工艺品，成本为30元/件，每天销售y（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果规定每天工艺品的销售量不低于240件，销售单价应定在什么范围？（3）如果在（2）的条件下，网店每天销售的利润为3750元，求该种工艺品销售单价是多少元？【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式；（2）由销售量不低于240件，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合该工艺品的成本价，即可得出结论；（3）根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合（2）的结论即可确定该种工艺品销售单价．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（40，300），（55，150）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700．（2）当y≥240时，﹣10x+700≥240，解得：x≤46，∵成本为30元/件，∴30＜x≤46．答：销售单价应大于30元/件，小于等于46元/件．（3）依题意，得：（x﹣30）（﹣10x+700）＝3750，整理，得：x2﹣100x+2475＝0，解得：x1＝45，x2＝55．∵30＜x≤46，∴x＝45．答：该种工艺品销售单价是45元/件．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于x的一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．2．已知关于x的元二次方程（x+2）（x﹣3）＝|k|（1）求证：对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）设（x+2）（x﹣3）＝|k|的两个实数根分别为x1、x2，若x12+x22＝21，求k的值．【分析】（1）将方程化为一般式后根据判别式即可求出答案；（2）利用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）由题意可知：x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，△＝1+4（6+|k|）＝25+4|k|＞0，∴对于任何实数k，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x2﹣x﹣6﹣|k|＝0，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣6﹣|k|，∵x12+x22＝21，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝21，∴1﹣2（﹣6﹣|k|）＝21，∴|k|＝4，∴k＝±4，【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．3．解下列方程：（1）x2+6x﹣1＝0；（2）3x（1﹣x）＝2﹣2x．【分析】（1）利用配方法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2+6x＝1，∴x2+6x+9＝1+9，即（x+3）2＝10，则x+3＝±，∴x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣；（2）∵3x（1﹣x）＝2（1﹣x），∴3x（1﹣x）﹣2（1﹣x）＝0，则（1﹣x）（3x﹣2）＝0，∴1﹣x＝0或3x﹣2＝0，解得x＝1或x＝．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．直接写出下列方程的根．（1）x2＝4x；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0；（3）2y2﹣y＝6；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0．【分析】（1）利用因式分解法求解；（2）利用直接开平方法求解；（3）利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解．【解答】解：（1）x2＝4x，x2﹣4x＝0．x（x﹣4）＝0，解得x1＝0，x2＝4；（2）3（x﹣1）2﹣18＝0，（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，解得x1＝1+，x2＝1﹣；（3）2y2﹣y＝6，2y2﹣y﹣6＝0，（2y+3）（y﹣2）＝0，解得y1＝﹣，y2＝2；（4）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）﹣2＝0，2x﹣1＝，∴x1＝，x2＝．【点评】此题主要考查一元二次方程的一般解法：直接开平方法、因式分解法等，对不同的方程要选择合适的方法．5．某商店出售A、B两种商品，一月份这两种商品的利润都是10万元，后因某种原因确定增加出售A种商品的数量，使A种商品每月利润的增长率都为a，同时减少B种商品的数量，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a，（1）分别求出二月份出售A和B两种商品的利润是多少万元？（2）求出三月份出售A、B两种商品的总利润是多少万元？【分析】（1）根据“A种商品每月利润的增长率都为a，使B种商品每月利润减少的百分率也都是a”列出代数式；（2）在（1）的基础上分别求得三月份出售A和B两种商品的利润，然后求和即可．【解答】解：（1）由题意，得二月份出售A商品的利润：10（1+a）万元．二月份出售A商品的利润：10（1﹣a）万元．（2）根据题意，得10（1+a）2+10（1﹣a）2＝20a2+20（万元）答：三月份出售A、B两种商品的总利润是（20a2+20）万元．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系．。