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第5节 指数与指数函数【最新考纲】 1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型.【高考会这样考】 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．要 点 梳 理1.根式(1)概念：式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数.(2)性质：(n a )n ＝a (a 使n a 有意义)；当n 为奇数时，n a n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a mn ＝a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是a －mn ＝1(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .3.指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数. (2)指数函数的图象与性质[友情提示]1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2． 指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论．3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．基 础 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)4（－4）4＝－4.( ) (2)(－1)24＝(－1)12＝－1.( ) (3)函数y ＝2x －1是指数函数.( ) (4)函数y ＝a x2＋1(a >1)的值域是(0，＋∞).( )解析 (1)由于4（－4）4＝444＝4，故(1)错.(2)(－1)24＝4（－1）2＝1，故(2)错.(3)由于指数函数解析式为y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)， 故y ＝2x－1不是指数函数，故(3)错.(4)由于x 2＋1≥1，又a ＞1，∴ax 2＋1≥a . 故y ＝ax 2＋1(a ＞1)的值域是[a ，＋∞)，(4)错.答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫2，13，则f (－1)＝( ) A.1B.2C. 3D.3解析 依题意可知a 2＝13，解得a ＝33， 所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫33x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫33－1＝ 3.答案 C3.已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，则f (x )( )A.是偶函数，且在R 上是增函数B.是奇函数，且在R 上是增函数C.是偶函数，且在R 上是减函数D.是奇函数，且在R 上是减函数解析 ∵函数f (x )的定义域为R ， f (－x )＝3－x－⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x－3x ＝－f (x )， ∴函数f (x )是奇函数. ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x在R 上是减函数， ∴函数y ＝－⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数. 又∵y ＝3x在R 上是增函数， ∴函数f (x )＝3x－⎝⎛⎭⎫13x在R 上是增函数.答案 B4.设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a <b <cB.a <c <bC.b <a <cD.b <c <a解析 根据指数函数y ＝0.6x 在R 上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c ＝1.50.6>1，∴b <a <c . 答案 C5.已知函数f (x )＝a x －2＋2的图象恒过定点A ，则A 的坐标为( ) A.(0，1)B.(2，3)C.(3，2)D.(2，2)解析 由a 0＝1知，当x －2＝0，即x ＝2时，f (2)＝3，即图象必过定点(2，3). 答案 B错误!题型分类错误!考点突破考点一 指数幂的运算【例1】 化简下列各式： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2350＋2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫214－12－(0.01)0.5； (2)56a 13·b －2·(－3a －12b －1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 23·b －312. 解 (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012 ＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝－52a －16b －3÷(4a 23·b －3)12＝－54a －16b －3÷(a 13b －32)＝－54a －12·b －32＝－54·1ab3 ＝－5ab 4ab 2. 规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式练习1】 化简下列各式：(1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0； (2)（a 23·b －1）－12·a －12·b 136a ·b 5.解 (1)原式＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫641 00015－5223－⎝ ⎛⎭⎪⎫27813－1 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫410315×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－52×23－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32313－1＝52－32－1＝0.(2)原式＝a －13b 12·a －12b 13a 16b 56＝a －13－12－16·b 12＋13－56＝1a . 考点二 指数函数的图象及应用【例2】 (1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________.解析(1)f(x)＝1－e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，又e|x|≥1，∴f(x)的值域为(－∞，0]，因此排除B，C，D，只有A满足.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1，1].答案(1)A(2)[－1，1]规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 【变式练习2】(1)函数f(x)＝a x－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是()A.y＝1－xB.y＝|x－2|C.y＝2x－1D.y＝log2(2x)(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.解析(1)由题意，得点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝1－x的图象不过点A(1，1).(2)将函数f(x)＝|2x－2|－b的零点个数问题转化为函数y＝|2x－2|的图象与直线y＝b的交点个数问题，数形结合求解.在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点.∴b的取值范围是(0，2).答案 (1)A (2)(0，2)考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)【例3】 (1)若函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2＋2x ＋3的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，19，则f (x )的单调递增区间是________.(2)下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 B.0.6－1>0.62 C.0.8－0.1>1.250.2D.1.70.3<0.93.1解析 (1)令g (x )＝ax 2＋2x ＋3， 由于f (x )的值域是⎝⎛⎦⎤0，19， 所以g (x )的值域是[2，＋∞). 因此有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －44a ＝2，解得a ＝1，这时g (x )＝x 2＋2x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2＋2x ＋3. 由于g (x )的单调递减区间是(－∞，－1]， 所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1].(2)A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确；C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误；D 中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误.故选B. 答案 (1)(－∞，－1] (2)B规律方法 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.2.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a 与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.【变式练习3】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.c <a <b C.a <c <bD.c <b <a(2)当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________.解析 (1)由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0，所以f (x )＝2|x |－1，当x >0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，所以log 25>|－log 23|>0， 所以b ＝f (log 25)>a ＝f (log 0.53)>c ＝f (2m )＝f (0)， 故b ＞a ＞c .(2)原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数，知⎝⎛⎭⎫12x≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2.故原不等式恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 答案 (1)B (2)(－1，2)错误!课后练习A 组 (时间：40分钟)一、选择题1.若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( )A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.a <c <b解析 当x >1时，0<a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x <23，b ＝x 2>1，c ＝log 23x <0，所以c <a <b .答案 A2.设a >0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A.a 12 B.a 56 C.a 76 D.a 32解析 原式＝a2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋23×12＝a 2a 56＝a 76. 答案 C3.设x >0，且1<b x <a x ，则( ) A.0<b <a <1 B.0<a <b <1 C.1<b <aD.1<a <b解析 ∵x >0时，1<b x ，∴b >1. ∵x >0时，b x<a x，∴x >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x>1.∴ab >1，∴a >b ，∴1<b <a . 答案 C4.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A.a >1，b <0 B.a >1，b >0 C.0<a <1，b >0 D.0<a <1，b <0解析 由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0. 答案 D 5.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( ) A.(－∞，2] B.[2，＋∞) C.[－2，＋∞)D.(－∞，－2]解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减. 答案 B 二、填空题 6.不等式2x 2－x<4的解集为________. 解析 ∵2x2－x<4，∴2x2－x<22，∴x 2－x <2，即x 2－x －2<0，解得－1<x <2. 答案 {x |－1<x <2}7.已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________.解析 若a >1，则f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上是增函数，∴⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，1＋b ＝0，则a －1＝0，无解. 当0<a <1时，则f (x )＝a x ＋b 在[－1，0]上是减函数， 所以⎩⎨⎧1＋b ＝－1，a －1＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，因此a ＋b ＝－32. 答案 －328.已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值.若f (x )＝max{e |x |， e |x －2|}，则f (x )的最小值为________.解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e x ≥e(x ＝1时，取等号)， 当x <1时，f (x )＝e |x －2|＝e 2－x >e ， 因此x ＝1时，f (x )有最小值f (1)＝e.答案 e 三、解答题9.已知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1). (1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立. 解 (1)由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}. 对于定义域内任意x ，有 f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x －1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax1－a x ＋12(－x )3 ＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－1a x－1＋12(－x )3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3＝f (x ). ∴f (x )是偶函数.(2)由(1)知f (x )为偶函数，∴只需讨论x >0时的情况， 当x >0时，要使f (x )>0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x －1＋12x 3>0， 即1a x －1＋12>0，即a x ＋12（a x －1）>0，则a x >1. 又∵x >0，∴a >1.因此当a 的取值范围为(1，＋∞)时，f (x )>0. 10.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1，2).(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值.解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0， 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t >0，t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.B 组 (时间：20分钟)11.设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）>K ，给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意的x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A.K 的最大值为0B.K 的最小值为0C.K 的最大值为1D.K 的最小值为1解析 对于任意的x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在(－∞，1]上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可.令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，y ＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得y 的最大值为1，故K ≥1.答案 D12.函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是________.解析 由f (x ＋1)＝f (1－x )知y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴b ＝2.又f (0)＝3，得c ＝3.则f (b x )＝f (2x )，f (c x )＝f (3x ).当x ≥0时，3x ≥2x ≥1，且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (3x )≥f (2x ).当x <0时，0<3x <2x <1，且f (x )在(－∞，1]上是减函数，∴f (3x )>f (2x )，从而有f (c x )≥f (b x ).答案 f (c x )≥f (b x )13.已知定义在R 上的函数f (x )＝2x －12|x |，(1)若f (x )＝32，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)当x <0时，f (x )＝0，故f (x )＝32无解；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x－12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0， 将上式看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或2x ＝－12，因为2x >0，所以2x ＝2，所以x ＝1.(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t－122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)，因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)，因为t ∈[1，2]，所以－(22t ＋1)∈[－17，－5]，故实数m 的取值范围是[－5，＋∞).。
2.5 指数与指数函数A组专项基础训练(时间：35分钟)1．(2017·湖南株洲二中月考)如图，设a，b，c，d＞0，且不等于1，y＝a x，y＝b x，y＝c x，y＝d x在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小顺序为()A．a＜b＜c＜d B．b＜a＜c＜dC．b＜a＜d＜c D．a＜b＜d＜c 【解析】由题意得，根据指数函数的图象与性质，可作直线x＝1，得到四个交点，自下而上可知指数函数的底数依次增大，即b＜a＜d＜c.故选C.【答案】 C2．(2017·河南三市一模)函数f(x)＝2|x－1|的图象是()【解析】f(x)＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移1个单位得到的，由此得到正确选项为B.【答案】 B 3．(2017·湖北宜昌一模)如图，面积为8的平行四边形OABC，对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E，某指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)经过点E，B，则a＝()A.2B.3C．2 D．3【解析】设点E(t，a t)，则点B坐标为(2t，2a t)．因为2a t＝a2t，所以a t＝2.因为平行四边形OABC的面积＝OC×AC＝a t×2t＝4t＝8，t＝2，所以a2＝2，a＝2.故选A.【答案】 A4．(2017·株洲模拟)已知a ＝21.2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.2，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】a ＝21.2＞21＝2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.2＝215＜21＝2，215＞20＝1，故1＜b ＜2，c ＝log 54＜log 55＝1.故c ＜b ＜a .【答案】 A5．(2016·浙江)已知函数f (x )满足：f (x )≥|x |且f (x )≥2x，x ∈R .()A ．若f (a )≤|b |，则a ≤bB ．若f (a )≤2b，则a ≤b C ．若f (a )≥|b |，则a ≥b D ．若f (a )≥2b ，则a ≥b【解析】依题意得f (a )≥2a，若f (a )≤2b，则2a≤f (a )≤2b，∴2a≤2b， 又y ＝2x是R 上的增函数，∴a ≤b .故选B.【答案】 B6．(2017·浙江温州瑞安四校联考)计算0.25－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫3212×⎝ ⎛⎭⎪⎫27414－10×(2－3)－1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1300－12＝________．【解析】原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫32×33212－102－3＋1＋30012＝4×32－10(2＋3)＋1＋103＝6－20＋1＝－13.【答案】－137．(2017·江苏徐州沛县歌风中学期中)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝－14x ＋12x，则此函数的值域为________．【解析】设t ＝12x ，当x ≥0时，2x ≥1，∴0＜t ≤1，f (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴0≤f (t )≤14，故当x ≥0时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.∵y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，∴当x ≤0时，。
第五节指数与指数函数_121.(0.027) — 3——7 + 29 2—(护—1)。
=()A. 45 B . 40 C.— 45 D . — 4025 110 59 2— 1= 3 — 49+ 3— 1 = — 45.故选 C.答案：C 2.已知全集 U = R, A = {x|y = ,：2x — 1}，则？iA =()A. [0 ,+s )B. (— a, 0)C. (0，+a )D. ( —a, 0]解析：集合A 即函数y = 2x— 1的定义域，由2x—1>0,求得x >0,即卩A = [0，+a ), 故?U A =( 一a, 0)，故选B.答案：B 3. （2013 •北京东城区模拟）在同一坐标系中，函数y = 2x与y = 2 %的图象之间的关系 是（）A. 关于y 轴对称B. 关于x 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y = x 对称1 x解析：因为y = 2 = 2—x,所以它与函数 y = 2x的图象关于y 轴对称.故选 A.答案：A27解析：原式=1 000 3— 724.答案：C已知函数y = 2x-a x（a 丰2）是奇函数，则函数 y = log a x 是（）解析：因为函数y = 2x- a x（a 工2）是奇函数，所以必有 2x-a x=-（2-x -a -x）,化简可得(2x-a x) 1 -2^ = 0，因为a z 2,所以2x-a — 0,所以必有1 - J x = 0,2 a 2 a1解得a = 2，故y = log a x = log 1x 是减函数.故选2 答案：B设函数 f(x) = a -|x|(a>0 且 1), f(2) = 4,2 1解析：因为f （2） = 4,即a -2= 4，所以a = 2，所以f （x ） 1），故选A.答案： A7.已知函数f(x) = a x+ a -x(a >0 且 a z 1)，且 f(1) = 3,解析： ••• f(1) 1=a + =a3, f(0) = 2,f(2)= 2 -二 a + a-2 z=(a + a 丫— 2= 7, ••• f(1)+ f(0) + f(2)= 12. 答案： 12&若x > 0, 13 13 , 1则(2x 4 + 32)(2x 4 - 32) - 4x —二(x - x2)=答案： -232f(0) + f(1) + f(2)的值是则 5. A . 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 增函数或减函数B.6. A. f( - 2)>f( - 1) B. f( - 1)>f( - 2) C. f(1)>f(2)D. f( - 2)>f(2)1 - l xl2=2|x|，所以 f( — 2)>f(—标是9. （2014 •徐州模拟）已知过点O的直线与函数y= 3的图象交于A, B两点，点A在线段OB上，过A作y轴的平行线交函数y= 9x的图象于C点，当BC平行于x轴时，点A的横坐解析：设点A B 的横坐标分别为 x i , X 2，则点A 、B 的纵坐标为3x i , 3x 2,•••点 C(x i , 9x i )，且 BC//x 轴， 9x i = 3X 2,「. 2x i = X 2.匚3x i 3x 2小 将 2x i = X 2 代入—= ，得 x i = log 32.x i X 2答案：log 32a x- 110.已知函数 f(x) = (a>1). a + 1(1)判断函数的奇偶性； ⑵求该函数的值域；⑶证明：f(x)是R 上的增函数.—XXa 一 1 1 一 a解析：(1)解析：T 定义域为 R,且 f( — x) = -x= , x =— f(x)，二 f(x)a 十I I 十aXa 十 1 — 2 2 ⑵解析：f(X) = X 「= 1— v 存a 十1a 十12••，十 1>1,「. 0< x 丄 <2,即 f(x)的值域为(—1 , 1).a 十1 、十卄 r 厂ax 1 — 1 ax 2 — 12ax 1⑶证明：设 X1, X 2€R且 X1<X2,f(x 1)—f(X2)= a — 1 - ax 2+ 1= (ax 1+1)<0(分母大于零，且 ax 1<ax 2),••• f(x)是R 上的增函数.11. 已知函数f(x) = a ・2 x+ b ・3 %，其中常数a , b 满足ab ^ 0.(1) 若ab>0,判断函数f(x)的单调性； (2) 若ab<0,求f(x 十1)>f(x)时x 的取值范围.解析：⑴ 当a>0, b>0时，任意X 1, X 2^ R, X 1<X 2，贝U f(x 1) — f(x 2) = a(2x 1 — 2x 2)十 b(3x 1 — 3x 2). ■/ 2x 1<2x 2, a>0? a(2x 1 — 2x 2)<0 , 3x 1<3x 2, b>0? b(3x 1 — 3x 2)<0 ,• f(x 1) — f(x 2)<0，函数f(x)在R 上是增函数. 当a<0, b<0时，同理，函数f(x)在R 上是减函数.•/ A B 在过点0的直线上,3x i 3x 2X i — X 2是奇函数.2ax 2(ax 2+ 1)(2) f(x 十1) —f(x) = a・2X十2b ^3 x>0.当a<0, b>0 时,3 x a2 >—2b，则x>log 1.5a2b；3 x a2 <-2b ，贝V x<l°g 1.5当 a>0, b<0 时, a2b -。
第五节指数与指数函数A 组基础题组1. (2016贵州适应性考试)函数y=a x+2-1(a>0且1)的图象恒过的点是() A.(0,0) B.(0,-1)C.(-2,0)D.(-2,-1) 2. 已知 a=20.2,b=0.4 0.2,c=0.4 0.6,则() A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>aI3. (2017沈阳回民中学月考)函数y=a x -「(a>0,且a ^ 1)的图象可能是( )7. 若函数y=(a 2-1) x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 __________________ .8. 已知函数f(x)=a -x (a>0,且a ^ 1),且f(-2)>f(-3), 则a 的取值范围是 _________________9. 化简下列各式：商怡巴U -4.(2016莱芜模拟)函数y=|2 x -1|在区间(k-1,k+1)B.(- g ,1) D.(0,2)上不单调，则k 的取值范围是(A.(- 1,+C.(-1,1) 5.已知函数 f(x)= 1 -2 "go ，「J" °、则函数f(x)是((1) ' +0.1 -2+ -3 n °+ ;10. 设函数f(x)=a x -(k-1)a -x (a>0且1)是定义域为 R 的奇函数.(1)求k 的值;2⑵ 若f(1)<0,试判断函数的单调性，并求使不等式f(x +tx)+f(4-x)<0 恒成立的t 的取值范围B 组提升题组( a J h x > I b11.若函数f(x)= 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是() A. • B. • C.2 D.313. (2017北京海淀月考)定义区间［x 1 ,x 2］的长度为X 2-X 1,已知函数f(x)=3 |x|的定义域为［a,b ］,值域为 ［1,9］,贝皿间［a,b ］的长度的最大值为 ________ ,最小值为 _________ .A. B. r312.如图，平行四边形 OABC 勺面积为8,对角线ACLCO,AC 与BO 交于点E,某指数函数 y=a x (a>0,且a ^ 1)的图象经过点E,B,则a=()r+i(o <^ < i),| 2匕曲]),14. (2016济南模拟)已知函数f(x)= 设a>b>0,若f(a)=f(b), 则b • f(a)的取值范围是________ .15. 已知函数f(x)=b •a x(其中a,b为常数,a>0,且a^ 1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).时恒成立，求实数m的取值范围(1)求f(x)的表达式；⑵-m^0 在x € (_答案全解全析A组基础题组1. C 解法一：因为函数y=a x(a>0且1)的图象恒过点(0,1),将该图象向左平移2个单位，再向下平移1x+2x+2个单位得到y=a -1(a>0且a* 1)的图象，所以y=a -1(a>0且a* 1)的图象恒过点(-2,0),选项C正确. 解法二:令x+2=0,得x=-2,此时y=a0-1= 0,所以y=a x+2-1(a>0且a* 1)的图象恒过点(-2,0),选项C正确.2. A 由0.2<0.6,0.4<1, 并结合指数函数的图象可知0.4°.2>0.4 0.6,即b>c;因为a=2°.2>1,b=0.4 0.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.3. D 当x=-1时,y=「- =0,所以函数y=a x-的图象必过定点(-1,0),结合选项可知选 D.4. C 由于函数y=|2x-1|在(-g,0)上递减，在(0,+ g)上递增，而函数在区间(k-1,k+1)上不单调，所以有0€ (k -1,k+1), 则k-1<0<k+1,解得-1<k<1.5. C 易知f(0)=0 ,当x>0 时，f(x)=1-2 -x，-f(x)=2 -x-1,而-x<0,贝U f(-x)=2 -x-1=-f(x); 当x<0 时，f(x)=2 x-1,-f(x)=1-2 x,而-x>0,则f(-x)=1-2 -(-x) =1-2x=-f(x).综上，函数f(x)是奇函数，又易知其单调递增,故选C.6. 耳答案-•'£解析由题意可知a<0,故原式=-•' +a+(-a)=- J八；：.7. £答案a>或a<-.詈解析由y=(a 2-1) x在(-g，+ g)上为增函数，得a2-1>1,解得a> 或a<-•.8飞答案(0,1)件-£解析因为f(x)=a -x=,且f(-2)>f(-3), 所以函数f(x)在定义域上单调递增，所以>1,解得0<a<1.10.家解析 (1) T f(x)是定义域为 R的奇函数，••• f(0)=a 0-(k-1)a 0=1-(k- 1)=0, A k=2.(2)由(1)知 f(x)=a x -a -x (a>0 且 a * 1).開、-亍 37 59 37 9.管解析 (1)原式= + + -3+48 =3 +100+^ _3+羽=100.I■/f(1)<0,「.a -「<0,又 a>0且 1,二0<a<1, /• y=a x 在 R 上单调递减，y=a -x 在 R 上单调递增,故 f(x)=a x -a -x 在R 上单调递减.不等式 f(x 2+tx)+f(4-x)<0 可化为 f(x 2+tx)<f(x- 4), .「x 2+tx>x- 4, .「x 2+(t-1)x+4>0 恒成2立，•「△ =(t-1) -16<0,解得-3<t<5.•「所求实数t 的取值范围是-3<t<5.B 组提升题组彳 0 < a < l h2 3|(2 - 3a) x 1 十 1 j a 1,11. C 依题意知,a 的取值应满足 解得<aw -.12. A 设点E(t,a ),则点B 的坐标为(2t,2a ().•••点B 在函数y=a x 的图象上，•「2a (=a 2t ,•「a 七=2.•「平行四边形OABC 勺面积=OC ・ AC=a ( • 2t=4t.又平行四边形 OABC 勺面积为8, •「4t=8,--1=2, • • a= .(负值舍去).故选A.13. 髯答案 4;2苗解析 由3凶=1得x=0,由3 =9得x=± 2,故满足题意的定义域为 [-2,m](0 < me 2)或[n,2](-2< n < 0), 故区间[a,b]的最大长度为4,最小长度为2.占解析 函数的图象如图所示.因为a>b >0,f(a)=f(b), 所以 e b<1且e f(a)<2.所以 e b • f(a)<2.I b a =氏15. ■解析 ⑴ 因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3, 24),所以 解得a 2=4,14. W 答案I又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3・2 x.8rlh /I 9因为y= 与沪 均为减函数，所以y=+ 在(-g ,1］上取得最小值,且最小值为•所以me ,即m 的取值范围是⑵由(1)知 a=2,b=3,则当 x € (-g ,1］时,-m>0恒成立，即m e + ' 在x € (- g ,1］时恒成立. 所以当x=1时,y=。
【真题回放】1．【2017天津高考文6】 已知奇函数()f x 在R 上是增函数。
若0.8221(log ),(log 4.1),(2)5a fb fc f =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A)a b c << (B ）b a c << （C ）c b a << （D ）c a b << 【答案】C【考点解读】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算，为基础题。
首先根据奇函数的性质和对数运算法则，()2log 5a f =,再比较0.822log5,log 4.1,2比较大小。
2.【2017山东文10】若函数()e xf x （e=2.71828,是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（ ）A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C.()3x f x -= D 。
()cos f x x =【答案】A【解析】由A ，令()e 2xx g x -=⋅,()(),1,22x e eg x =<∴,()g x 在R 上单调递增，()f x 具有M 性质，而C ，(),01,33xe e<<为减函数，B ，()e 2x x h x -=⋅在R上不单调,D 也是。
故选A.【考点解读】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力,新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时,只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可(即函数的单调性）．3.【2017山东高考文14】已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且f （x +4)=f （x -2）.若当[3,0]x ∈- 时，()6xf x -=，则f (919）= .【答案】6【解析】由f （x +4）=f (x —2)可知，f （x )是周期函数，且T=6，所以()919(66531)(1)(1)6f f f f =⨯+==-=【考点解读】本题以指数函数为载体,考查了函数的奇偶性和周期性及指数运算,为基础题。
高三数学全程复习（一轮）课时12 指数与指数函数【考点指津】1．理解根式的概念和性质，能利用n 次方根的性质化简和计算．若x n =a (n ＞1且n ∈N *)，则x 就叫做a 的n 次方根．并且，当n 为正奇数(n ＞1)时，a 的n 次方根只有一个，用n a 来表示；当n 为正偶数时，正数a 的n 次方根有两个且互为相反数，即x =±n a ，而负数没有偶次方根．无论n 是奇数还是偶数，0的n 次根是0．由n 次方根的意义可以得到根式的两个性质：①a a nn=)(；②⎩⎨⎧=为正偶数为正奇数n a n a a nn,,．2．理解分数指数幂的概念和性质，能利用分数指数幂的运算性质进行计算，正确进行根式与分数批数幂的互化运算．3．理解指数函数的概念，会用描点法作出指数函数的图象；能利用图象的直观性掌握指数函数的性质；会根据指数函数的定义、图象与性质解决一些简单问题．指数函数的定义域是R ．从指数函数的图象可以看出，指数函数的值域是（0，+∞），图象恒过定点（0，1），而其单调性与底数a 的取值有关，当a ＞1时，图象是上升的，即y =a x 是增函数；当0＜a ＜1时，图象是下降的，即y =a x 是减函数．因为指数函数的图象不具有对称性，所以它是非奇非偶函数． 【知识在线】1．(-a 2)3可化简为 （ ）A ．a 6B ． - a 5C ． a 5D ．-a 62．已知x ≠0，n ∈N ，则x n =1是n =0的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分也非必要条件3．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞分裂x 次后得到细胞个数为y ，则y 与x 的函数关系为 （ ）A ．y =2xB ．y =2x -1C ．y =2xD ．y =2x +1 4．12-=x y 的图象是 （ ）5．函数|1|)54(-=x y 的单调减区间是 ，值域为 ．【讲练平台】例1 化简：132436121)8(21627)322124(--⋅-+-+．分析 利用分数指数幂的性质直接进行计算． 解 原式=323434613212)2(2)2()3(])311[(⋅-+-+=883311-+-+=11．点评 （1）化简的结果可以用幂的形式来表示，也可以化为最简根式形式，但一般不能同时含有根式和分数指数，也不能既有分母又含有负指数；（2）根式与指数幂混合运算时，将根式化为指数幂运算较为方便．例2 已知32121=+-xx ，求32232322-+-+--xx x x 的值．分析 注意到12121=⋅-xx ，又它们的和为3，故可将它们联立，求出21x 的值，而x 2、x -2、23x 、23-x 等均可表示为21x 的形式，因而原式的值可求出．但，因21x 的值为无理数，再进行它的高次幂运算，则将较为繁琐，甚至产生计算错误或闪过放弃求出最终结果的念头．为此，若将2121-+x x 视为整体，并且将22-+x x 、2323-+xx 化为2121-+xx 的表达式，也许运算将较为简捷．解 设t x =21，则tx121=-，已知即t t 1+=3．于是，)11()1(122332323-+⋅+=+=+-tt t t t t xx ，而 2)1(12224422-+=+=+-tt t t xx ，将t t 1+=3，平方得 92122=++t t ，于是 7122=+tt ．从而，原式=315453)17(3273)11()1(2)1(222222==---=--+⋅+-+tt t t t t ．点评 （1）换元后，易于发现已知与未知之间的内在联系，解题中应注意运用；（2）要熟练掌握配方法及立方和、立方差公式：)()(2233b ab a b a b a +⋅±=± ．变题 化简：111113131313132---+++++-x xx x x x x x ．答案：31x -． 例3 求函数y =xx --23的单调区间和值域．分析 利用单调函数的定义研究函数的单调性，进而求出函数的值域． 解 设y =u3，u = -x 2-x ．因函数41)21(2++-=x u 在]21,(--∞上为增函数，在),21[+∞-上为减函数，故当2121-≤<x x 时，u 1＜u 2．又指数函数y =u)31(是减函数．从而y 1＜y 2，即原函数的递增区间是]21,(--∞．类似地，由≤-2121x x <得u 1＞u 2．于是y 1＞y 2，即原函数的递减区间是),21[+∞-．由于u ≤41-且y =u3是增函数，故441330=≤<y ，即值域是]3,0(4．点评 （1）研究复合函数的单调性应首先弄清所给函数是由那些基本函数复合而成，然后根据“同增异减”法则作出判断．函数y =xx --23不是指数函数，而是指数函数与二次函数的复合函数，不能直接根据指数函数y =u3来判断其单调性；（2）求复合函数)]([x g f y =的值域，应分层进行，即首先求出内函数u =g (x )的值域，它就是外函数y =f (u )的定义域，然后根据y =f (u )的单调性再求出原函数的值域；（3）解本题时，常会忽视y ＞0而得出值域为]3,(4-∞的错误结果． 变题 求函数|2|)2(sin -=x y 的值域与单调增区间． 答案：值域为[1，+∞），增区间为（-∞，2] ．例4（2018年上海市春招试题） 已知函数5)(3131--=xx x f ，5)(3131-+=x x x g ．（1）证明f (x )是奇函数；并求f (x )的单调区间；（2）分别计算f (4) – 5f (2)g (2)和f (9) – 5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．分析 （1）可按定义判断函数的奇偶性．至于单调区间，可利用奇函数图象的性质，利用单调性的定义，直接证出．（2）尝试由“特例——归纳——猜想——证明”的解题思路．证明 （1）函数f (x )的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，它关于原点对称．又)(55)()()(31313131x f x x x x x f -=--=---=---，故 f (x )为奇函数．设x 1、x 2∈(0，+∞)，且x 1＜x 2，)11)((5155)()(31231131231131231231131121xx x x x x x x x f x f +-=---=---，因 312311x x -＜0，31231111xx +＞0，故 )()(21x f x f -＜0，即 f (x )在（0，+∞）上单调递增．又 因f (x )为奇函数， 故 f (x )在（-∞，0）上也是单调递增．综上，f (x )的单调（增）区间为（0，+∞），（-∞，0）． （2）计算得 f (4) – 5f (2)g (2) = 0，f (9) – 5f (3)g (3) = 0． 注意到2与4及3与9的平方关系，我们猜测：f (x 2) – 5f (x )g (x ) = 0，其中x ≠0．下面我们给出证明．f (x 2) – 5f (x )g (x )=0)(51)(51555532323232313131313232=---=+⋅-⋅-------x x x x x x x x x x ． 点评 （1）由奇函数在原点的一侧的单调性可得另一侧的单调性．若f (x )为奇函数．则函数在原点的两侧的单调性相同； 若f (x )为偶函数．则函数在原点的两侧的单调性相反．（2）函数f (x )的单调区间不能写成(-∞，0)∪(0，+∞)，在(-∞，0)与(0，+∞)之间应用“，”联结，它表示单调区间有两个，而不是一个．（3）本题的第（2）问，利用了特例、观察、归纳、猜测、证明的“似真推理”模式，它对我们研究问题很有帮助． 【知能集成】1．增强分类讨论的意识．（1）对于根式n a 的意义及其性质要分清n 是奇数还是偶数，增强分类讨论的意识； （2）指数函数的图象和性质与底数a 的取值有关，研究与指数函数有关问题时，要注意分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论；2．深化对概念的理解与应用．对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数a的取值限制，一个可行的方法是：化负分数指数幂为根式及分式的形式．例如：53531aa =- ，∴a ≠0；43431aa =-，∴a ＞0，等等．3．掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合思想解决有关的问题．【训练反馈】1．将322-化为分数指数幂的形式是 （ ）A ．212B ．-212 C ．212-D ．-212-2．在下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是 （ ）A ．(-x )0.5= -x (x ≠0) B ．)0(3162<=y y yC ．)0()()(4343≠=-xy xyy x D ．331x x -=-3．使式子（3-2x -x 243)-有意义的x 的取值集合是 （ ）A ．RB ．{x |x ≠1且x ≠2}C ．{x |-3≤x ≤1}D ．{x |-3＜x ＜1＝4．如题图，包含①y =a x ；②y =b x ；③y =c x ；④y =d x 的图像，根据图像可得a 、b 、c 、d 与1的大小关系为 A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．b ＜a ＜1＜d ＜cC ．1＜a ＜b ＜c ＜dD ．a ＜b ＜1＜d ＜c5．若函数f (x ) = (a 2-3a +3)a x 是指数函数，则a = ． 6．已知3a =2，3b=51，则ba -23= ． 7．三个数424，6，312由小到大的顺序为 ． 8．计算：（1）614+ 3338+ 40.0625 + (5π)0 – 2 –1 ；（2）3131232)271(343)21(125---++．9．已知43232=+b a ，32313b a a x +=，31323b a b y +=，试证明：3232)()(y x y x ++- 的值与x 、y 的取值无关．10．若函数y =a 2x +2a x-1(a ＞0且a ≠1)在[-1，1]上的最大值为14，求实数a 的值． 11．已知函数f (x )=121-x +a 是奇函数． （1）求常数a 的值；（2）判断f (x )的单调性并给出证明； （3）求函数f (x )的值域．参考答案： 【基础扫描】1．D 2．B 3．D 4．C 5．[1，+∞），（0，1] 【训练反馈】1．B 2．C 3．D 4．B 5．2 6．20 7． 424＜312＜ 6 8．（1）5；（2）33 9．提示: x +y = 33131)(b a + ，2313132)()(b a y x +=+；x －y = 33131)(b a + ，2313132)()(b a y x -=-，3232)()(y x y x ++-= 8)(23232=+b a ． 10．设a x =t ，则y =f (t )=t 2 +2t -1= (t +1)2-2，其对称轴是t = -1．若a ＞1， x ∈[-1，1]时，t ∈],1[a a．二次函数y =f (t )在],1[a a上是增函数，从而y max =f (a )=a 2+2a -1．令a 2+2a -1=14，解得a =3，（a = -5，不合，舍去）．若0＜a ＜1，x ∈[-1，1]时，t ∈]1,[a a ．二次函数y =f (t )在]1,[aa 上仍是增函数，从而y max =f (a 1)=141212=-+a a ，解得a =31（a =51-，不合，舍去） 11．（1）由f (x )+f (-x )=0，得a =21．（2）f (x )在（-∞，0）及（0，+∞）上都是减函数．（3）函数值域是),21()21,(+∞--∞ ．。
第五节指数与指数函数
A组基础题组
1.若a=(2+)-1,b=(2-)-1,则(a+1)-2+(b+1)-2的值是( )
A.1
B.
C.
D.
2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,则( )
A.b<a<c
B.a<b<c
C.b<c<a
D.c<a<b
3.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,且a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]
B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)
D.(-∞,-2]
4.(2016浙江绍兴一中月考)函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( )
A.f(-4)>f(1)
B.f(-4)=f(1)
C.f(-4)<f(1)
D.不能确定
5.定义区间[x1,x2]的长度为x2-x1,已知函数f(x)=3|x|的定义域为[a,b],值域为[1,9],则区间[a,b]的长度的最大值为,最小值为.
6.若指数函数y=a x在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a= .
7.(2016安徽江淮十校第一次联考)已知max{a,b}表示a,b两数中的最大值.若f(x)=max{e|x|,e|x-2|},则f(x)的最小值为.
8.已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x)的表达式;
(2)若不等式+-m≥0在x∈(-∞,1]时恒成立,求实数m的取值范围.
9.已知函数f(x)=2a·4x-2x-1.
(1)当a=1时,求函数f(x)在x∈[-3,0]上的值域;
(2)若关于x的方程f(x)=0有解,求a的取值范围.
B组提升题组
10.已知奇函数y=如果f(x)=a x(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=( )
A. B.- C.2-x D.-2x
11.已知函数f(x)=e x,如果x1,x2∈R,且x1≠x2,则下列关于f(x)的性质:
①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0;②y=f(x)不存在反函数;③f(x1)+f(x2)<2f;④方程f(x)=x2在(0,+∞)上
没有实数根,其中正确的是( )
A.①②
B.①④
C.①③
D.③④
12.设f(x)=|3x-1|,c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b),则下列关系中一定成立的是( )
A.3c>3a
B.3c>3b
C.3c+3a>2
D.3c+3a<2
13.若函数f(x)=a x-1(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数a= .
14.若函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)
上是增函数,则a= .
15.已知函数f(x)=e x-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数).
(1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
A组基础题组
1.D a=(2+)-1=2-,b=(2-)-1=2+,∴(a+1)-2+(b+1)-2=(3-)-2+(3+)-2=+=.
2.A 因为a==,c=2=,函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以<,即a<c,又因为函数y=4x在R上
单调递增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故选A.
3.B 由f(1)=得a2=,又a>0,所以a=,因此f(x)=.
根据复合函数的单调性可知f(x)的单调递减区间是[2,+∞).
4.A 由题意知a>1,所以f(-4)=a3, f(1)=a2,由y=a x(a>1)的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).
5.答案4;2解析由3|x|=1得x=0,由3|x|=9得x=±2,故满足题意的定义域可以为[-2,m](0≤m≤2)或[n,2](-2≤n≤0),故区间[a,b]的最大长度为4,最小长度为2.
6.答案解析若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).
若a>1,则a-a-1=1,即a2-a-1=0,解得a=或a=(舍去).综上所述,a=.
7.答案e解析由于f(x)=max{e|x|,e|x-2|}=
当x≥1时, f(x)≥e,且当x=1时,取得最小值e;当x<1时, f(x)>e.故f(x)的最小值为f(1)=e.
8.解析(1)因为f(x)的图象过点A(1,6),B(3,24),所以解得a2=4,
又a>0,所以a=2,则b=3.所以f(x)=3·2x.
(2)由(1)知a=2,b=3,则当x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,
即m≤+在x∈(-∞,1]时恒成立.
因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,
所以当x=1时,y=+在(-∞,1]上取得最小值,且最小值为.所以m≤,即m的取值范围是.
9.解析(1)当a=1时, f(x)=2·4x-2x-1=2(2x)2-2x-1,
令t=2x,则t∈.故y=2t2-t-1=2-,t∈,故y∈.
即f(x)在x∈[-3,0]上的值域为.
(2)令m=2x,则m∈(0,+∞).关于x的方程2a(2x)2-2x-1=0有解等价于方程2am2-m-1=0在(0,+∞)上有解. 记g(m)=2am2-m-1,当a=0时,m=-1<0,不符合题意.
当a<0时,g(m)图象的开口向下,对称轴m=<0,过点(0,-1),不符合题意.
当a>0时,g(m)图象的开口向上,对称轴m=>0,过点(0,-1),必有一个根为正,所以a>0.
综上所述,a的取值范围是(0,+∞).
B组提升题组
10.D 由题图知f(1)=,∴a=,则f(x)=,由题意得g(x)=-f(-x)=-=-2x,故选D.
11.B 因为e>1,所以f(x)=e x为定义域内的增函数,故①正确;函数f(x)=e x的反函数为y=ln x(x>0),故
②错误; f(x 1)+f(x2)=+>2=2=2f,故③错误;作出函数f(x)=e x和y=x2的图象
(图略)可知,两函数图象在(0,+∞)内无交点,故④正确.选B.
12.D 画出f(x)=|3x-1|的图象,如图所示,要使c<b<a,且f(c)>f(a)>f(b)成立,则有c<0,且a>0.
∴f(c)=1-3c, f(a)=3a-1,又f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即3a+3c<2.
13.答案解析当a>1时, f(x)=a x-1在[0,2]上为增函数,则a2-1=2,∴a=±.又∵a>1,∴a=.
当0<a<1时, f(x)=a x-1在[0,2]上为减函数,又∵f(0)=0≠2,∴不满足条件.综上可知,a=.
14.答案解析g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,应有1-4m>0,即m<.
当a>1时, f(x)=a x为增函数,由题意知⇒m=,与m<矛盾.当0<a<1时, f(x)=a x为减函数,
由题意知⇒m=,满足m<.故a=.
15.解析(1)∵f(x)=e x-,
∴f '(x)=e x+,∴f '(x)>0对任意x∈R都成立,∴f(x)在R上是增函数.
∵f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-e x=-f(x),∴f(x)是奇函数.
(2)存在.由(1)知f(x)在R上是增函数和奇函数,则
f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立⇔f(x2-t2)≥f(t-x)对一切x∈R都成立
⇔x2-t2≥t-x对一切x∈R都成立⇔t2+t≤x2+x=-对一切x∈R都成立
⇔t2+t≤(x2+x)min=-⇔t2+t+=≤0,又≥0,∴=0,∴t=-,
∴存在t=-,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立.。
