实验五 离散系统的Z域分析

X(z)
D z-1
X(k-1)
z-1X(z)
X
注意:z域框图只能求系统零状态响应 注意 域框图只能求系统零状态响应
第
例题
1.求如图系统的单位响应 求如图系统的单位响应h(k)和单位阶跃响应 和单位阶跃响应g(k) 求如图系统的单位响应 和单位阶跃响应
8 页
2. 知 阶 散 统 初 条 为 zi (0) = 2, yzi (1) =1 已 二 离 系 的 始 件 y , 当 入 (k) = ε (k)时 输 f , 1 5 k k 输 全 应 (k) =[ + 4⋅ 2 − ⋅ 3 ]ε (k), 出 响 y 2 2 求 差 方 .， 画 系 框 。 此 分 程 并 出 统 图
求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： 求解线性时不变离散系统的差分方程有两种方法： •时域方法: y(k) =y zi (k) + yzs (k) yzs (k) = h(k) ∗ x(k) 时域方法: 时域方法 •z变换方法: 变换方法: 变换方法 Yzs (z) = H(z) ⋅ X(z)
X
第
二.系统框图的z域分析法
基本思路: 基本思路 时域框图 z域框图 域框图 z域代数方程 域代数方程 Yzs(z)
7 页
yzs(k)
x(k) ⇒ X (z) yzs (k) ⇒ Yzs (z) 延迟单元 x(k)
x(k)ε (k) ↔ X(z) x(k −1)ε (k) ↔ z−1X(z) + x(−1)
y(k)
X
第 5 页
优点: 优点:
•差分方程经 变换→代数方程； 差分方程经z变换 代数方程； 差分方程经 变换→ •将时域卷积→z域乘积； 将时域卷积→ 域乘积； 将时域卷积 域乘积 •部分分式展开后求解z逆变换较容易； 部分分式展开后求解z 部分分式展开后求解 逆变换较容易； •z变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0变换过程自动引入了系统初始状态（相当于0 变换过程自动引入了系统初始状态 的条件） 可同时求出零输入和零状态响应。 的条件）,可同时求出零输入和零状态响应。 ， 注意：z域求解系统只需 －状态[y(-1)，y(-2), …,] 注意： 域求解系统只需0 状态 域求解系统只需 时域求解系统要递推出0 状态确定待定系数。 时域求解系统要递推出 ＋状态确定待定系数。

（数字信号处理）实验报告实验名称 实验五 离散系统的Z 域分析实验时间 年 月 日专业班级 学 号 姓 名成 绩 教师评语：一、实验目的1、掌握离散序列z 变换的计算方法。

2、掌握离散系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的因果性和稳定性。

3、掌握利用MATLAB 进行z 反变换的计算方法。

二、实验原理与计算方法 1、z 变换离散序列x (n )的z 变换定义为：∑∞-∞=-=n nzn x Z X )()(。

在MATLAB 中可以利用符号表达式计算一个因果序列的z 变换。

其命令格式为： syms n;f=(1/2)^n+(1/3)^n; ztrans(f)2、离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件一个线性移不变离散系统可以用它的单位抽样响应h (n )来表示其输入与输出关系，即y (n )= x (n )* h (n )对该式两边取z 变换，得： Y (z )= X (z )· H (z ) 则： )()()(z X z Y z H =将H (z )定义为系统函数，它是单位抽样响应h (n )的z 变换，即∑∞-∞=-==n nzn h n h Z z H )()]([)(对于线性移不变系统，若n <0时，h (n )=0，则系统为因果系统；若∞<∑∞-∞=n n h |)(|，则系统稳定。

由于h (n )为因果序列，所以H (z )的收敛域为收敛圆外部区域，因此H (z )的收敛域为收敛圆外部区域时，系统为因果系统。

因为∑∞-∞=-=n nzn h z H )()(，若z =1时H (z )收敛，即∞<=∑∞-∞==n z n h z H |)(||)(1，则系统稳定，即H(z)的收敛域包括单位圆时，系统稳定。

因此因果稳定系统应满足的条件为：1,||<∞≤<ααz ，即系统函数H (z )的所有极点全部落在z 平面的单位圆之内。

课程设计任务书题目:基于MATLAB 的离散系统的Z 域分析课题要求：利用MATLAB 强大的图形处理功能，符号运算功能和数值计算功能，实现离散系统的Z 域分析仿镇波形。

课题内容：一.用MATLAB 绘制离散系统极零图，根据极零图分布观察系统单位响应的时域特性并分析系统的稳定性。

将极零图与h(k)对照起来画，看两者之间的关系。

至少以六个例子说明。

二. 用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析1. 以二个实例分别代表低通，高通滤波器，绘出极零图，幅频特性，相频特性。

2. 用MATLAB 绘出梳状滤波器极零图与幅频特性FIR 型N z z H -=1)(IIR 型NN Nza z z H ----=11)(设N=8，a=0.8,0.9,0.98 三. 用MATLAB 实现巴特沃兹滤波器分析1. 用MATLAB 绘制巴特沃兹滤波器频率特性曲线（w c ,n 作为参数变化）2. 用MATLAB 绘制巴特沃兹滤波器的极零点分布图（w c ,n 作为参数变化）将两种图对照起来看极点分布与频率特性之间的关系。

时间安排：学习MATLAB 语言的概况 第1天 学习MATLAB 语言的基本知识 第2、3天 学习MATLAB 语言的应用环境，调试命令，绘图能力 第4、5天 课程设计 第6-9天 答辩 第10天指导教师签名： 2013年 月 日系主任（或责任教师）签名： 2013年 月 日目录1 离散系统的Z域分析 (3)1.1 z变换 (3)1.2 利用MATLAB的符号运算实现z变换 (3)1.3离散系统的系统函数及因果稳定的系统应满足的条件 (3)2离散系统零极点图及零极点分析 (4)2.1离散系统零极点 (4)2.2零极点的绘制 (5)3 MATLAB实现离散系统的频率特性分析 (11)3.1低通滤波器 (11)3.2高通滤波器 (12)3.3梳状滤波器的特性分析 (13)4 MATLAB实现巴特沃兹滤波器分析 (17)5 总结体会 (19)6参考文献 (19)1离散系统的Z 域分析 1.1 z 变换z 变换是离散信号与系统分析的重要方法和工具。

z (k ) z 1
收敛域为 z 1 单位圆以外区域
Im Z
0 0
1
Re Z
3、单边指数序列

ak ak z k
k 0
1 ( z 1 )0 a ( z 1 )1 a 2 ( z 1 ) 2
1 z z k Z a (k a z 1 ) zz 1 a a 1 az za k 0 k 0
( z
d n d d d d ) ( z ) ( z ) ( z ) ( z ) dz dz dz dz dz
关于z作n次求导
对z进行了n次求一阶导数再乘(-z)
z 例 ： 已知 (k ) z 1
k 0
k 0

(k )
k 0

1 (z
z ( k ) ( k )z k 1 (z 1 ) 0 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
1 (z ) 0 (z 1 )1 0 (z 1 ) 2 1
h(k ) (1) k 1 (k 1)
yzs试求：x(k ) h(k ) (k )
五、z域微分性质(时域乘k) 设： f (k ) F ( z )
d n k f ( k ) ( z ) F ( z ) dz
n
d 则： kf ( k ) ( z ) F ( z ) dz
1、比值判定法 若级数
前后项比值的极限
ak 1 存在，且令 lim k a k
当1时该级数收敛；当 1 时该级数发散；= 1不确定。 2、 根值判定法
一般项k次根的极限

F ( z) z
n0 n
z z 1
即：
z u(n) z 1
z 同理： -u (-n-1) z 1
3．单位冲激序列
F ( z)
即：
n
( n) z

n
1
( n) 1
表6-1 常用离散序列的z变换对
6.2 z变换的性质
1、线性 a1x1 (n) a2 x2 (n) a1 X1 ( z) a2 X 2 ( z)
k m k x ( k ) z ] 1
m 1 m k x(n m) u(n) z X ( z ) x(k ) z k 0
3) 若f (k )是因果序列，其单边z变换为 f (k ) (k ) F ( z ) Z [ f (k－m) (k )] z m F ( z ) m 1 常用 m m k Z [ f ( k m ) ( k )] z F ( z ) z f ( k ) z k 0

n
归一化 T=1
X ( z ) x ( n) z
n 0

n
单边Z变换
二、Z变换的定义
单边Z变换
X ( z ) x ( n) z n
n 0

双边Z变换
X ( z)
n
x ( n) z

n
幂 - n中的n指出 x n 的位置
级数的系数是 x n
1O 1
n
1O 1
n
1O 1
n
x n m un , x n m un 较x n un 的长度有所增减 .
（3）性质证明：
证明：若 f (n) (n) F ( z) 则 令

实验6 离散时间系统的z 域分析（综合型实验）一、实验目的1） 掌握z 变换及其反变换的定义，并掌握MATLAB 实现方法。

2） 学习和掌握离散时间系统系统函数的定义及z 域分析方法。

3） 掌握系统零极点的定义，加深理解系统零极点分布与系统特性的关系。

二、实验原理与方法 1. z 变换序列(n)x 的z 变换定义为(z)(n)znn X x +∞-=-∞=∑ （1）Z 反变换定义为11(n)(z)z 2n rx X dz jπ-=⎰（2）MATLAB 中可采用符号数学工具箱ztrans 函数和iztrans 函数计算z 变换和z 反变换： Z=ztrans(F)求符号表达式F 的z 变换。

F=iztrans(Z)求符号表达式Z 的z 反变换 2. 离散时间系统的系统函数离散时间系统的系统函数H(z)定义为单位抽样响应h(n)的z 变换(z)(n)znn H h +∞-=-∞=∑ （3）此外连续时间系统的系统函数还可由系统输入与输出信号z 变换之比得到(z)(z)/X(z)H Y = （4）由（4）式描述的离散时间系统的系统时间函数可以表示为101101...(z)...MM NN b b z b z H a a z a z----+++=+++ （5） 3. 离散时间系统的零极点分析MATLAB 中可采用roots 来求系统函数分子多项式和分母多项式的根，从而得到系统的零极点。

此外还可采用MATLAB 中zplane 函数来求解和绘制离散系统的零极点分布图，zplane 函数的调用格式为：zplane(b,a) b 、a 为系统函数分子分母多项式的系数向量（行向量） zplane(z,p) z 、p 为零极点序列（列向量） 系统函数是描述系统的重要物理量，研究系统函数的零极点分布不仅可以了解系统单位抽样响应的变化，还可以了解系统频率特性响应以及判断系统的稳定性； 系统函数的极点位置决定了系统的单位抽样响应的波形，系统函数零点位置只影响冲激响应的幅度和相位，不影响波形。

(z
z2 1)(z
2)
z2
z2 z
2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法将F(z)展开为z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
例：f1(k)=2k(k)←→F1(z)=
z z2
, z>2
f2(k)=
–2k(–
k
–1)←→F2(z)=
z
z
2
, z<2
对单边z变换，其收敛域比较简单，一定
是某个圆以外的区域。可以省略。
常用序列的z变换： (k) ←→ 1 ，z>0
(k)
z ，z>1
–(– k –1)
z 1 ，z<1
书p276
若 f(k) ←→ F(z) , <z< ， 且有常数a0
则 akf(k) ←→ F(z/a) , a<z<a
证明：
Z[akf(k)]=
ak f (k)z k
f (k)
z k
F( z )
k
k
a
a
例1：akε(k) ←→ z
za
例2：cos(k)ε(k) ←→? cos(k)ε(k)=0.5(ejk+ e-jk)ε(k) ←→
方程取单边z变换yzz1yzy12z2yzy2y1z1fz2z2fz12224212121221212222212211??????????????????????????zzzzzzzzzzfzzzzzyyzzy1221221242kkyzzzzzzzzzykkzizi??????????????231212123121221kkyzzzzzzzykkzszs?????????????二系统函数zazbzfzyzhzs??2与时域的关系

z
k
cos(
0
k
)
k
z
z2 z2 z cos 2z2 2z cos 0
0
1
2
..........
k
sin 0k
k
z
2z2
z 2
sin 0 z cos 0
1 2
.........
k k
k
z (z )2k kk Nhomakorabea1
五、ZT & DTFT
求和收敛
设f(k)
为因果序列、则
F (e j ) f k e jk
Z eS Ts e e Ts jTs e j
k
F (z) f (k)zk k 0
e Ts
Ts
2 s
S 域中的一点→ → Z 域中的一点；Z 域中的一点→ → S 域中的无穷个点。
S 1 Ln z 1 Ln(e j ) 1 Ln j
Ts
Ts
Ts
Ts
三、收敛域: F (z) f k zk
ak (k) bk (k 1) z z ∣a∣< |z|< |b|
za zb
jIm[z]
|b|
|a|
o
Re[z]
四、常用 z 变换
(k+1) ←→z; (k-1) ←→z-1;……
(k) ←→1 (k) ←→z/(z-1) ←→ - (- k-1)
零、极 点分布
k k z k k 1
F(z)
K1 e j z
z e j
K1 e j z
z e j
若z> , f(k)=2K1kcos(k+)(k)，… …
(3) F(z)有重极点 推导记忆：

第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。

这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。

如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。

这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。

Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。

z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k)　F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是　∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。

《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
2 、Z变换的由来——从拉式变换推演出Z变换
fs((t) f (t)T (t)
2TT 0 T 2T 3T
t
T (t)
(1)
3T2TT 0 T 2T 3T t

fs (t) f (nT ) (t nT )
2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
右移序列
f (n m) (n m) F(z)zm
举例 (n m) zm (n m) zm z
z 1
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.3.2 移位性质（延迟特性） 2、若f(n)为单边序列（因果序列），则
8.1 Z变换
8.1.1 Z变换的定义
1 、离散信号的Z变换定义
序列f( n ) 的双边Z 变换：
F (z)
f (n)


n
1
f
(n) zn F (z)zn1dz

2 j C
序列f( n ) 的单边Z 变换：
F (z)
f (n)


n0
仅当该幂级数收敛，即

f (n) zn
n0
时，序列f(n)的z变换才有意义。该 式称为绝对可和条件，为z变换存在 的充要条件。
电气与信息工程学部通信工程教研室
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析
8.1.1 Z变换的定义
例 求因果序列 f (n) an (n) 的z变换（式中a为常数）。
《信号与系统》精品课程——第八章 离散系统的Z域分析

由冲击函数的性质可得：
x(n) x(t) (t nT ) n
x(n) x(nT ) (t nT )
▲
n
■
第3页
6.1.1 z变换的定义
根据拉普拉斯变换的基本定义式：
X (s) x(t)est dt
对离散时域信号 x(n) 进行双边变换：
X (s)
nx(nT
)
(t
nT
)est
dt
利用积分与冲击函数的性质可得：
X (s) x(nT )esnT n
令 z esT ，上式将成为复变量 z 的函数，用 X (z) 表示， x(nT ) x(n) ，则离散时间
序列转变成复变域即为 Z 域变换，得
X (z) x(n)zn n
（6.1.1）
X (z) x(n)zn n0
x(n)zn
n
（6.1.3）
时，其 z 变换才存在。上式称为绝对可和条件，它是序列 x(n) 的 z 变换存在的充分且
必要条件。
Z 变换收敛域的定义：对于序列 x(n) ，满足（6.13）式，即使得其 Z 变换存在的所有 z 值组成的集合称为 z 变换 X (z) 的收敛域。
▲
■
第5页
6.1.1 z变换的定义
证明： Z[ak f (k)]
ak f (k)zk
f
(k )
z
k
F( z )
k
k
a
a
例 6-2-4： 求 ak (k ) 的 Z 变换。
解：已知 (k)
z ，则根据
z 1
Z
变换的尺度性质可知： ak (k)
z
z a
▲
■
第 18 页

m

m 1
x(k ) z
max( R 11 , R 21 ) z
2. 位移性
a. 双边Z变换
则
x(n) X ( z )
m
x(n m ) z
X ( z ), m 为整数
收敛域：1）不包括
0，
处，收敛域不变 处，需重新判断
2） 包括 0，
证明: z [ x ( n m )] 令k=n+m
z [ x ( n m )] z
x ( n )u ( n ) x ( z )
m
则
x ( n m )u ( n ) z [ X ( z )

m 1
x(k ) z
k
]
k 0
证明：
z [ x ( n m ) u ( n )]


x(n m ) z
n
n0
令k=n+m 则：
z [ x ( n m ) u ( n )] z [ X ( z )

a. X(z)/z 有N个单极点
则：
Z1 Z N
X z

N
Ai z z zi
i0
Ai
X (z) z
( z zi )
z zi
b X(z)有一个r阶重极点
X z A0
Z1
j

d
r
Ajz ( z z1 )
(r j) (r j)

j 1
z
1<|z|<2
k2
k 1
( k 1)
z ( z 2)
2
|z|<2
2 ( k 1)

第七章 离散时间系统的z 域分析1．z 变换是如何提出的？它的作用是什么？z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法，它在离散时间系统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。

它可以看作为拉氏变换的推广。

z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]nn X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2） 其中z 是复变量，Re Im j z z j z re Ω=+=。

而对于取样信号的拉氏变换为()()()() ()() ()stst s s n st n snTn X s x t e dt x nT t nT e dtx nT e t nT dt x nT e δδ∞∞∞---∞-∞=-∞∞∞--∞=-∞∞-=-∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=∑⎰⎰∑⎰∑（3）如果 [](),x n x nT =令sT z e =，可以发现式（1）和式（3）相同。

2．双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛域的意义是什么？z 变换定义为：()[]nn X z x n z∞-=-∞=∑ ---- 双边z 变换 （1）()[]nn X z x n z ∞-==∑---- 单边z 变换 （2） z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有z 的取值的集合。

根据级数收敛理论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一对应关系。

根据序列的不同性质，序列z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材Page 297-298 表7-1。

3．z 变换和拉氏变换之间有什么样的关系？具体分析见问题1中的式（1）和（3），根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s 和分析离散时间系统的z 变换的变量z 之间的映射关系：sT z e =令, j z re s j σωΩ==+， 则有, Tr eT σω=Ω=， 具体见教材Page 300 表7-2 。

第7章离散时间系统的z 域分析1. z 变换是如何提出的？它的作用是什么？z 变换是为分析离散时间系统而提出的一种工程分析方法, 统分析中的地位和作用等价于连续时间系统分析中的拉氏变换。

氏变换的推广。

Re z j Im z 而对于取样信号的拉氏变换为x( nT)e snT2. 双边z 变换和单边z 变换时如何定义的？它们的定义域是如何确定的？收敛 域的意义是什么？z 变换定义为：X （z ） x[n]z n ----双边z 变换（1）nX(z) x[n]z n----单边 z 变换(2)n 0z 变换收敛域就是使上述级数收敛的所有 z 的取值的集合。

根据级数收敛理 论，一般我们用根值判别法或比值判别法来确定 z 变换收敛域， 其作用是建立序列和z 变换之间的一一一对应关系。

根据序列的不同性质，序列 z 变换的收敛域各不相同，具体参阅教材 Page297-298 表 7-1 oz 变换定义为：X （z ）x[n]z nn----双边z 变换(1)X(z)x[n]z nn 0单边z 变换 (2)X s (s)X s (t)estdt x(nT) (t nT) e stdtx(nT) e st(tnT)dt (3)它在离散时间系 它可以看作为拉re J o其中z 是复变量，z如果 x[n] x(nT),令 ze sT ，可以发现式（1）和式（3）相同3.z变换和拉氏变换之间有什么样的关系？具体分析见问题1中的式（1）和（3）,根据两式，可以建立分析连续时间系统的拉氏变换的变量s和分析离散时间系统的z变换的变量z之间的映射关系:sT令z re j, s j ，则有r e T, T，具体见教材Page 300表7-2 。

4.z逆变换的求解方法有几种？在应用部分分式求解z逆变换时，应注意什么问题？z逆变换的求解方法主要有三种：围线积分法（复变函数理论），幕级数展开法和部分分式展开法。

其中幕级数展开法只适用于单纯的左边序列或右边序列，而且不易得到序列的解析式，因而实际中使用不多；而围线积分法（复变函数理论）和部分分式展开法因其方法的逻辑性较强，适用于各种序列，而且便于得到序列的解析式，所以，最为我们所采纳。

z 2z 9z 8z z2 z z4 2 Y ( z) 1 2 z 5z 6 z 4 z 2 z 3 z 4 1 5z 6 z

y(k ) [2(2) k 9(3) k 8(4) k ]U (k )
1 k 例2： 已知h(k ) ( ) U (k ), f (k ) G5 (k ), 求系统零状态响应 f (k ). y 2 z z z 2z z 5 解： H ( z ) )(1 z ) [ ](1 z 5 ) Y ( z) H ( z) F ( z) ( )( 1 z 1 z 1 z 1 z 1 z 2 2 2
i N

1
y (i) z i
a N a N 1 z 1 a0 z N
3）求反变换，得差分方程时域解。
Y ( z ) y (k )
信号与系统
例： 已知某线性时不变系统数学模型如下： y(k)-5y(k-1)+6y(k-2)=0 初始状态y(-1)=4，y(-2)=1，求零输入响应y(k)。 解： 对差分方程进行Z变换(用移序性质) ；
z z 5 F ( z) z z 1 z 1
1 k 1 k 5 y f (k ) [2 ( ) ]U (k ) [2 ( ) ]U (k 5) 2 2
信号与系统
3、全响应Z域求解： y (k ) y x (k ) y f (k ) 例1： 已知系统框图，列出系统的差分方程；
2
4
信号与系统
y(n) x(n) 2 y(n 1) 4 y(n 2) y(n) 2 y(n 1) 4 y(n 2) x(n) n (n 2) 2为二阶差分方程 后向差分方程

域内都有 f kzk ；如果不能绝对收敛，就
认为该序列f(k)的z变换不存在。
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
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收敛域
设f(k)是一个因果信号［k < 0时f(k)≡0］，则F(z)是一个只
有z的负幂的级数，因此，在z平面上F(z)的绝对收敛区域是一
k 0
k 0
k 1,
z 0
指数序列 ak k
Fz
ak zk
k 0
1
a z
a z
2
若 a eb ，则 Fs z
z eb
1 z,
1
a z
za
a 1 z
za
若 a 1
，则
Fs
z z 1
（单位阶跃序列）
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2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
若 f k ，F则z
f k F z1
例：求 ak k 1 的 z 变换。 ∵ akk z
za
∴ ak k 1 a ak1 k 1 az1 z a
za za
ak k 1 a az
z1 a 1 az
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23 2022/1/13
信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
线性叠加特性 移位（移序）特性 z 域尺度变换特性 （序列）卷积定理
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序列乘 k（z 域微分）特性 序列除(k+m)（z 域积分）特性 k 域反转特性 差分与求和特性 初值定理和终值定理
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信号与线性系统分析—离散时间信号与系统的 z域分析
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(3) ZT[δ (n +1)] = ∑δ (n +1)z + ∑δ (n +1)z
n=−∞ n=0
= z1 + 0 = z
(0 ≤ z < ∞)
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ZT [u (n)] = ∑ u (n) z
单位阶跃序列 ∞
n =0
−n
斜变序列
1 z = = −1 1− z z −1
k
(k )
2k k p 0 = 1 k k ≥ 0 2
变换。 求 f (k ) = f1 ( k ) − f2 ( k ) 的Z变换。 变换
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z f 1 (k ) = ε (k ) ↔ z −1 z 1 ε (k ) ↔ z− 2
*即满足均匀性与叠加性； 即满足均匀性与叠加性； 均匀性 收敛域为两者重叠部分。 重叠部分 *收敛域为两者重叠部分。
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例： 设有阶跃序列 f 1 ( k ) = ε ( k ) 和双边指数衰 减序列
f2
(k ) = (2 )
k
1 ε (− k − 1 ) + ε 2
k k 1 2
z f1 1 z f 2 z p 2
−z (2 ) ε (− k − 1 ) ↔ z−2 利用线性性质
k
z −z 1 k f 2 (k ) = ε (k ) + (2 ) ε (− k − 1 ) ↔ + 1 z− 2 z−2 2 − 3z 2 = (z − 1 )(z − 2 ) 2