安徽省泗县第二中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题

泗县二中2011―2012学年上学期高二年级期末测试数学试卷（考试时间：120分钟 总分：160分）一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共70分.请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．. 1.抛物线24y x =的准线方程是 . 2.命题“01,2>+∈∀x R x ”的否定是 ．3.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+=垂直，则实数=a .4.在等差数列}{n a 中，已知13,2321=+=a a a ,则=++654a a a ．5.若△ABC 的内角C B A ,,所对的边c b a ,,满足4)(22=-+c b a ，且角C=60°，则ab 的值为 ．6.原命题：“设2,,ac b a R c b a 则若、、>∈＞bc 2”则它的逆命题的真假为 ．7．若方程22171x y k k +=--表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ． 8.在数列}{n a 中，Bn An a a a n a n n +=+++-=221,254 ，*N n ∈，其中B A ,为常数，则B A ,的积AB 等于 ．9.在各边长均为1的平行六面体1111D C B A ABCD —中，M 为上底面1111D C B A 的中心，且AB AD AA ,,1每两条的夹角都是60º，则向量的长=|| ．10.已知023:)(2>++x ax x P ，若)(,x P R x ∈∀是真命题，则实数a 的取值范围是___．11.椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 ．12.在算式“1×口＋4×口＝30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数的和为________．13.给出下列四个命题：①若a ＞b ＞0，则1a ＞1b ；②若a ＞b ＞0，则a －1a ＞b －1b；③若a ＞b ＞0，则2a ＋b a ＋2b ＞a b ；④若a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b 的最小值为9.其中正确命题的序号是______．(把你认为正确命题的序号都填上)14.将n 个正整数1, 2, 3, …，n (n ∈N *)分成两组，使得每组中没有两个数的和是一个完全平方数，且这两组数中没有相同的数. 那么n 的最大值是 ．二、解答题：（本大题共6小题，计90分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．．．．．．．．, ．解答应写．．．．出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．．．．．．．．．．．．．．．．．．） 15．(本题满分14分）已知公比为3的等比数列{}n b 与数列{}n a 满足*,3N n b n an ∈=，且11=a ，（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和16．(本题满分14分）已知△ABC 中，D 在边BC 上，且60,1,2=∠==B DC BD o ，150=∠ADC o．（1）求AC 的长；（2）求△ABC 的面积．17．(本题满分14分）如图，正三棱锥ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a，M 是A 1B 1的中点．（I ）求证：1MC 是平面ABB 1A 1的一个法向量； （II ）求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角．18．(本题满分16分）已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)。

数学试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n 2n ＋1B.n 2n －1C.n2n －3D.n2n ＋32．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( )．A ．－1B ．0C ．－3D ．2 3．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )．A ．1B ．2C ．3D ．44．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |1≤x ≤4}，则A ∩B ＝ ( )A ．{x |1≤x <3}B ．{x |1≤x ≤3}C ．{x |3<x ≤4}D ．{x |3≤x ≤4}5．在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )．A ．58B ．88C ．143D ．1766.已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥⊄⊄,则（ ） A ．βα//,且α//lB ．βα⊥,且β⊥lC ．α与β相交,且交线垂直于lD ．α与β相交,且交线平行于l7．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式恒成立的是( )．A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b＞2abD.b a ＋ab≥28.圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋ 2C ．2＋22D ．1＋2 29．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y 为实数，且x ＋y ＝1}，则A ∩B 的元素个数为( )．A ．4B ．3C ．2D ．110.（文）若1()2f x x x =+-(2)x >在x n =处取得最小值，则n =（ ） A.52 B. 3C.72D. 4 （理）．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是 ( )A.72B ．4 C.92D ．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，则a 2等于 13.不等式（x+5）（3－2x ）≥6的解集是14.若实数x ，y 满足224x y +=，求xy 的最大值15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6题，共75分，写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015—2016学年第一学期期末测试高二理科数学复习题必修3,选修2-3,选修2-1简易逻辑、圆锥曲线参考公式：用最小二乘法求线性回归方程y bx a =+的系数公式：121()()()niii ni i x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =-，其中x ，y 是数据的平均数．第♊卷（本卷共 分）一、选择题：（本大题共 题，每小题 分，共 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．从一副扑克牌☎ 张✆中抽取一张牌，抽到牌❽❾的概率是☎ ✆✌ 154  127  118 227．设随机变量~(0,1)N ξ，若()1P pξ>=，则()10P ξ-<<= ☎ ✆✌ 2p 1p -  12p -  12p -．如图 所示的程序框图的功能是求♊、♋两处应分别填写图✌．5?i <，2S S =+．5?i ≤，2S S =．5?i <，2S S =+ ．5?i ≤，2S S =．将参加夏令营的 名学生编号为： ，⑤， ，采用系统抽样方法抽取一个容量为 的样本，且随机抽得的号码为 这 名学生分住在三个营区，从 到 在第♊营区，从 到 在第♋营区，从 到 在第♌营区．三个营区被抽中的人数依次为 ☎ ✆✌．  ．  ．  ． ．如图 ，分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为 ☎ ✆✌24π- 22-π 44π- 42-π(82x 展开式中不含．．4x 项的系数的和为 ☎ ✆✌．  ． ． ．．学校体育组新买2颗同样篮球，3颗同样排球，从中取出 颗发放给高一 个班，每班1颗，则不同的发放方法共☎ ✆✌． 种 ． 种 ． 种． 种．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第三组的频数和频率分别是☎ ✆✌．14和0.14 ．0.14和14 ．141和0.14 ． 31和141．“2012”含有数字0, 1, 2，且恰有两个数字 ．则含有数字0, 1, 2，且恰有两个相同数字的四位数的个数为☎ ✆✌．18 ．24 ．27 ．36一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为 ，现有 颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为☎ ✆✌   经回归分析可得⍓与⌧线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为ˆ 1.1y x a =+，则♋＝ ☎ ✆✌、  、  、  、 设随机变量ξ～ ☎☐✆η～ ☎☐✆若95)1(=≥ξp ，则)2(≥ηp 的值为 ☎ ✆☎✌✆8132 ☎✆ 2711 ☎✆ 8165 ☎✆ 8116第♋卷（本卷共计 分）二、填空题：（本大题共 小题，每小题 分，共 分）．甲从学校乘车回家，途中有 个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是52，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 。

泗县二中2015—2016学年高二上学期期末考试数 学分量：150分 时量：120分钟一、选择题（每小题5分，共50分） 1。

若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数x 的值是 （ ）A.1 B 。

1- C 。

1± D.1- 或22。

过不共面的4点中的3个点的平面共有（ ）A.0个B 。

3个C 。

4个D.无数个3. 把3个不同的球放入3个不同的盒子里，那么没有空盒的概率是( ） A 。

31 B 。

61 C.91 D 。

924。

已知异面直线a 、b 分别在平面α、β内，若l =βα ,则直线l 与直线a 、b 的位置关系是 （ ）A.与a 、b 都相交B.至少与a 、b 中的一条相交C.与a 、b 都不相交D 。

至多与a 、b 中的一条相交5。

长方体1111D C B A ABCD -中，31=AA，4=AD ，5=AB ，则直线1BD 与平面ABCD 所成的角的正弦值是( )A.54B 。

1023C 。

343 D.3456. 若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80,则实数a 的值是 ( ) A 。

2 B.22 C 。

34 D.2-7。

在200743)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3x 的系数等于（ )A.42007CB 。

32007CC.42008CD 。

32008C8。

在北纬45°圈上有甲、乙两地,它们分别在东经50°与东经140°圈上,则甲、乙两地的球面距离是（其中R 为地球半径） ( ） A.R π21B.R π31C 。

R π41D.R π229。

若)(x f y =在),(∞+-∞可导，且13)()2(lim=∆-∆+→∆xa f x a f x ,则=')(a f（ ）A 。

32 B 。

2 C 。

3 D 。

2310.有编号为1，2,3，4，5的五个茶杯和编号为1,2，3,4，5的五个杯盖，将五个杯盖分别盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖的编号与所盖茶杯的编号相同，这样的盖法有 （ ）A.36种B.32种C 。

泗县二中2015-2016学年度高二上学期期末考试英语试题本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共115分）第一部分：听力( 共20小题，满分30分)第一节听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在答题卷的相应位置。

听每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1.What will the man be doing at 8:00 ?A. Talking on the phone.B. Having dinner.C. Doing his homework.2.Why does the woman can’t use a credit card?A. Because she hasn’t got a card with her.B. Because there is no money in her card.C. Because th book price is too low to use a card.3.What does the man mean?A. There is something wrong with his car.B. Matt will use the car this week..C. The woman can use the car tomorrow.4.Which color does the man advise the woman to choose?A. Blue .B. White.C. Pink.5.Why does the woman come to the man’s office?A. She wants to invite him to lunch.B. She wants to talk to him about her paper.C. She wants to talk to him about his work..第二节听下面5段对话或独白。

2016学年度第一学期高二年级期末教学质量检测理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和考号填写在答题卷上。

2、必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =- C ．16x =，32y =- D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为 A ．3 BCD ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为 A．5-B．5CD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A． BC ．3D ．5 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分11．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a =12．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。

N D 1C 1B 1A 12015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D) 330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD === a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =±（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+( B)2( C)4+( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C上且满足12MF MF +=uuu r uuu u r 则12MF F ∆的面积为(A)(B) (C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅= ，则1BC 与BM的夹角的最大值为(A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BA第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11BC A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)OD 1C 1B 1A 1D CBA N MDCBAP在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，AC BD O = ，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P A B C D -中，P A A B C D ⊥底面，底面A B C D 为直角梯形，//,90A D B C B A D ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.2015－2016学年第一学期高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2. …2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O所以点C 到直线l的距离为11d ==. ……10分即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O = ，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分因为1111AA AC A = ，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯=.所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =，所以1b =. ……1分由c e a ===2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBC ADNM MN ⊂= 平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PA AB A = ，所以DA PAB ⊥平面.所以PB DA ⊥. ……7分 因为AM DA A = ，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n因为(2,1,2)PC =- ，(0,2,2)PD =-,所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩. 令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,6BP BP BP ⋅〈〉===n n n所以二面角P DN A --……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC = ………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0).………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分所以1k 的取值范围为( .………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分所以2231k -<.所以213k >. 即21113k >. 所以2103k <<. …12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为( . ………14分。

2020年安徽省宿州市泗县第二中学高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线与所围图形的面积为（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式进行运算即可．【详解】作出两个曲线的图象，由，解得或，则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为S（x2）dx＝（x3）（）﹣0，故选：C．【点睛】本题考查了曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．2. 若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义即可得出．【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3. 已知点(3，1)和(4，6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是A、 B、C、 D、或参考答案：C4. 下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行参考答案：C5. 数列{c n}为等比数列，其中c1=2，c8=4，f（x）=x（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8），f′（x）为函数f（x）的导函数，则f′（0）=( )A．0 B．26 C．29 D．212参考答案：D考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用；等差数列与等比数列．分析：由已知求出数列{c n}的通项公式，对函数f（x）求导，求出f′（x），令x=0求值．解答：解：因为数列{c n}为等比数列，其中c1=2，c8=4，所以公比q=，由f（x）=x（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8），得f′（x）=（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8）+x[（x﹣c1）（x﹣c2）…（x﹣c8）]'，所以f′（0）=（﹣c1）（﹣c2）…（﹣c8）=c1c2…c8==212；故选D．点评：本题考查了等比数列的通项求法以及导数的运算；解答本题求出等比数列的通项公式以及函数的导数是关键．6. 设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±2x C．D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意知，因为双曲线的焦点在x轴上，由此可知渐近线方程为．【解答】解：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为；故选C．【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质和运用．考查了同学们的运算能力和推理能力．7. 如图1，图中的程序输出的结果是（）．A．113 B. 179 C．73 D． 209参考答案：C略8. 已知函数f(x)的导函数为，且，则的值为( )A. B. C. -1 D. -2参考答案：B【分析】对求导，在导函数中取，化简求出的值,再取，即可求出。

2015-2016学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5，满分60）1．（5分）已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A．中位数＞平均数＞众数B．众数＞中位数＞平均数C．众数＞平均数＞中位数D．平均数＞众数＞中位数2．（5分）若方程x2+ky2=4表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，4）D．（0，+∞）3．（5分）条件p：|x|=x，条件q：x2≥﹣x，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．5．（5分）抛物线y=﹣ax2焦点坐标是（）A．（0，﹣）B．（0，﹣）C．（0，±）D．（0，）6．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1]7．（5分）已知f（x）=2x3﹣6x2+a（a是常数）在[﹣2，2]上有最大值11，那么在[﹣2，2]上f（x）的最小值是（）A．﹣5B．﹣11C．﹣29D．﹣378．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且•=0，则|+|等于（）A．B．2C．D．29．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a 处取得极小值，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．a＞0或a≤﹣1C．﹣1＜a＜0D．a＞0或a＜﹣1 10．（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）A．0.25B．0.2C．0.35D．0.411．（5分）函数f（x）在定义域R内可导且关于x=1对称，当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（﹣3），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a 12．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．14．（5分）函数g（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围．15．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为．16．（5分）当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．18．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．19．（12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35﹣75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5检测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：（Ⅰ）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；（Ⅱ）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；（Ⅲ）以这12天的PM2.5日均值来估计2015年的空气质量情况，估计2015年（365天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级．20．（12分）宜昌一中自驾游车队组织车友前往三峡大坝游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型的车组成的，行程中匀速通过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s）．设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m 的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持+m的距离．已知自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道所用时间y的最小值及此时车队的速度．21．（12分）已知直线l1为曲线y=x2+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．（Ⅰ）求直线l2的方程；（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．22．（12分）已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．2015-2016学年安徽省滁州市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5，满分60）1．（5分）已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（）A．中位数＞平均数＞众数B．众数＞中位数＞平均数C．众数＞平均数＞中位数D．平均数＞众数＞中位数【解答】解：从小到大数据排列为20、30、40、50、60、60、70，60出现了2次，为出现次数最多的数，故众数为60；共7个数据，第4个数为50，故中位数是50；平均数=（20+30+40+50+60+60+70）÷7=40．∴众数＞中位数＞平均数．故选：B．2．（5分）若方程x2+ky2=4表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，4）D．（0，+∞）【解答】解：椭圆方程化为，由于椭圆的焦点在y轴上，则，即k＜1．又k＞0，∴0＜k＜1．故选：A．3．（5分）条件p：|x|=x，条件q：x2≥﹣x，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：条件p：|x|=x，即为x≥0条件q：x2≥﹣x，即为x≥0或x≤﹣1，因为{x|x≥0}⊊{x|x≥0或x≤﹣1}，所以p是q充分不必要条件．故选：A．4．（5分）若函数f（x）=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=x2+bx+c是开口向上的二次函数，顶点在第四象限说明对称轴大于0根据函数f（x）在对称轴左侧单调递减，导函数小于0；在对称轴右侧单调递增，导函数大于0知，A满足条件故选：A．5．（5分）抛物线y=﹣ax2焦点坐标是（）A．（0，﹣）B．（0，﹣）C．（0，±）D．（0，）【解答】解：当a＞0时，整理抛物线方程得x2=﹣y，p=∴焦点坐标为（0，﹣）．当a＜0时，同样可得．故选：B．6．（5分）函数y=x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1）B．[1，+∞）C．（0，+∞）D．（0，1]【解答】解：∵函数y=x2﹣lnx，x＞0，∴y′=x﹣=，令y′≤0，即x2﹣1≤0，解得﹣1≤x≤1；综上，0＜x≤1，∴函数y的单调递减区间为（0，1]．故选：D．7．（5分）已知f（x）=2x3﹣6x2+a（a是常数）在[﹣2，2]上有最大值11，那么在[﹣2，2]上f（x）的最小值是（）A．﹣5B．﹣11C．﹣29D．﹣37【解答】解：∵f（x）=2x3﹣6x2+a，∴f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∴在[﹣2，0）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．故当x=0时，函数f（x）取得最大值为f（0）=a=11，即a=11．∴f（x）=2x3﹣6x2+11，再根据f（﹣2）=﹣29，f（2）=3，可得函数在[﹣2，2]上f（x）的最小值是﹣29，故选：C．8．（5分）设F1、F2分别是双曲线x2﹣=1的左、右焦点，若点P在双曲线上，且•=0，则|+|等于（）A．B．2C．D．2【解答】解：由双曲线方程得a2=1，b2=4，c2=1+4=5，即c=，则焦点为F1（﹣，0），F2（，0），设点P在双曲线C的右支上，∵•=0，∴∠F1PF2=90°，则F1PF2为直角三角形，则|+=|2|=|F1F2|=2c=2，故选：D．9．（5分）已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+1）（x﹣a），若f（x）在x=a 处取得极小值，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．a＞0或a≤﹣1C．﹣1＜a＜0D．a＞0或a＜﹣1【解答】解：由f′（x）=a（x+1）（x﹣a）=0，解得a=0或x=﹣1或x=a，①若a=0，则f′（x）=0，此时函数f（x）为常数，没有极值，故a≠0．②若a=﹣1，则f′（x）=﹣（x+1）2≤0，此时函数f（x）单调递减，没有极值，故a≠﹣1．③若a＜﹣1，当f′（x）＞0，解得：a＜x＜﹣1，即函数单调递增区间（a，﹣1），当f′（x）＜0，解得：x＜a或x＞﹣1，函数单调递减区间（﹣∞，a），（﹣1，+∞），即函数在x=a处取到极小值，满足条件．④若﹣1＜a＜0，当f′（x）＞0，解得﹣1＜x＜a，函数单调递增区间（﹣1，a），当f′（x）＜0，解得：x＜﹣1或x＞a，函数单调递减区间（﹣∞，﹣1），（a，+∞），即函数在x=a处取到极大值，不满足条件．⑤若a＞0，当f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞a，函数单调递增（﹣∞，﹣1），（a，+∞），当f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜a，解得函数单调递减（﹣1，a），即函数在x=a 处取到极小值，满足条件．综上：a＜﹣1或a＞0，故选：D．10．（5分）已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989．据此估计，该运动员三次投篮恰有一次命中的概率为（）A．0.25B．0.2C．0.35D．0.4【解答】解：根据题意，因为1，2，3，4表示投篮命中，其它为不中，当三次投篮恰有一次命中时，就是三个数字xyz中只有一个数字在集合{1，2，3，4}，考查这20组数据，以下8个数据符合题意，按次序分别为：925，458，683，257，027，488，730，537，所以，其概率P（A）==0.4，故选：D．11．（5分）函数f（x）在定义域R内可导且关于x=1对称，当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（﹣3），c=f（3），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【解答】解：依题意得，当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；∵函数关于x=1对称，∴f（x）=f（2﹣x），∴f（3）=f（﹣1），∵﹣3＜﹣1＜0，因此有f（﹣3）＜f（﹣1）＜f（0），即有f（﹣3）＜f（3）＜f （0），∴b＜c＜a．故选：D．12．（5分）函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由图象得：导函数f′（x）=0有3个根，只有在b附近的根满足根的左边为负值，根的右边为正值，故函数只有1个极小值点，故选：A．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣16，0] ．【解答】解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为[﹣16，0]．故答案为：[﹣16，0]．14．（5分）函数g（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，则a的取值范围（﹣∞，0] ．【解答】解：求导数，得g'（x）=3ax2﹣1∵g（x）=ax3﹣x在（﹣∞，+∞）内是减函数，∴g'（x）≤0在（﹣∞，+∞）内恒成立，即3ax2﹣1≤0在（﹣∞，+∞）内恒成立，变形得3ax2≤1当a＞0时，3ax2没有最大值，3ax2≤1不能恒成立；当a≤0时，3ax2≤0，可得3ax2≤1恒成立因此实数a的取值范围是（﹣∞，0]故答案为：（﹣∞，0]15．（5分）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则双曲线的离心率为或．【解答】解：由题意可得，当焦点在x轴上时，=，∴===．当焦点在y轴上时，=，∴===，故答案为：或．16．（5分）当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为．【解答】解：由题意知bc=1．∴，∴．∴，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．【解答】解：设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0）点F（﹣，0）由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为y2=﹣8x，m的值为±218．（12分）已知a＞0，设命题p：函数y=a x在R上单调递减，q：设函数对任意的x，恒有y＞1．若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．【解答】解：若p是真命题，则0＜a＜1…（2分）若q是真命题，则函数y＞1恒成立，即函数y的最小值大于1，而函数y的最小值为2a，只需2a＞1∴∴q为真命题时，…（6分）又∵p∧q为假，p∨q为真∴p与q一真一假…（8分）若p真q假，则；若p假q真，则a≥1…（10分）故a的取值范围为或a≥1…（12分）19．（12分）PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095﹣2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35﹣75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标，从某自然保护区2015年全年每天的PM2.5检测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：（Ⅰ）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；（Ⅱ）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；（Ⅲ）以这12天的PM2.5日均值来估计2015年的空气质量情况，估计2015年（365天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级．【解答】解：（Ⅰ）由题意空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88，平均数为==82，方差S2=[（77﹣82）2+（79﹣82）2+（84﹣82）2+（88﹣82）2]=18.5．（Ⅱ）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68，任取两个有十种可能结果：{47，50}，{47，53}，{47，57}，{47，68}，{50，53}，{50，57}，{50，68}，{53，57}，{53，68}，{57，68}，两个据和小于100的结果有一种：{47，50}，∴从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据的和小于100的概率p=．（Ⅲ）空气质量为一级或二级的数据共8个，∴空气质量为一级或二级的频率为，365×=243，∴2015年的365天中空气质量达到一级或二级的天数估计为243天．20．（12分）宜昌一中自驾游车队组织车友前往三峡大坝游玩．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型的车组成的，行程中匀速通过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s）．设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m 的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持+m的距离．已知自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道所用时间y的最小值及此时车队的速度．【解答】解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（+）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2+10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．21．（12分）已知直线l1为曲线y=x2+x﹣2在点（1，0）处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2．（Ⅰ）求直线l2的方程；（Ⅱ）求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．【解答】解：（I）y′=2x+1．直线l1的方程为y=3x﹣3．设直线l2过曲线y=x2+x﹣2上的点B（b，b2+b﹣2），则l2的方程为y﹣（b2+b﹣2）=（2b+1）（x﹣b）因为l1⊥l2，则有k2=2b+1=．所以直线l2的方程为．（II）解方程组得所以直线l1和l2的交点的坐标为．l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、．所以所求三角形的面积．22．（12分）已知函数f（x）=x2+lnx．（1）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（2）求证：当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象在g（x）=x3+x2的下方．【解答】（1）解：∵f（x）=x2+lnx，∴f′（x）=2x+，∵x＞1时，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上是增函数，∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e2；（2）证明：令F（x）=f（x）﹣g（x）=﹣+lnx，则F′（x）=x﹣2x2+===，∵x＞1，∴F′（x）＜0，∴F（x）在（1，+∞）上是减函数，∴F（x）＜F（1）==﹣＜0，即f（x）＜g（x），∴当x∈（1，+∞）时，函数f（x）的图象总在g（x）的图象下方．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

上学期高二年级期末测试数学试卷（考试时间 120分钟， 满分 150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．已知直线20mx ny ++=平行于直线250x y -+=，且在y 轴上的截距为1，则,m n 的值分别为(C)A. 1和2B. -1和2C. 1和-2D. -1和-22．设,0,0>>b a 则以下不等式中不恒成立．．．．的是(B) A ．4)11)((≥++ba b a B ．2332ab b a ≥+C ．b a b a 22222+≥++D ．b a b a -≥-||3．直线10x y ++=与圆22(1)(2)16x y -++=的位置关系是(B)A ．相切B ．直线过圆心C ．直线不过圆心但与圆相交D ．相离4．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+2,02,02x y x y x 表示的平面区域的面积是(B)5. 设m ，n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，给出下列四种说法： ①若m ⊥α，n //α，则mn ⊥ ; ②若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ; ③若m //α，n //α，则m n //; ④若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ。

其中正确说法的个数为( B) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4A ．24B ．4C .22D ．26．已知函数11()(sin cos )sin cos 22f x x x x x =+--,则()f x 的值域是(C)A ．]1,1[-B ．]1,22[-C ．]22,1[- D ．]22,1[--7. 平面α与平面β平行的条件可以是(B)A. α内有无穷多条直线与β平行；B. α内的任何直线都与β平行C. 直线a α在平面内,直线b β在平面内,且a ∥β,b ∥αD. 直线a ∥α,直线a ∥β8．有一几何体的三视图如下，则该几何体体积为(A)A ．4+52π B ．4+32π C ．4+2π D ．4+π9. 若方程2220x y x y m +-++=表示圆，则m 的取值范围为 ( A) A ．1(,)4-∞ B ．(,0)-∞ C ．1(,)2-∞ D ．(,1)-∞-10．已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( B ) A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 已知直线a ∥平面α，平面α∥平面β，则直线a 与β的位置关系为 (平行或在平面内)12．已知数列}{n a 是非零等差数列，又931,,a a a 组成一个等比数列的前三项，则1042931a a a a a a ++++的值是 1或1613。

2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣13．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞05．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=110．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．512．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是．（把你认为正确命题的序号都填上）16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2015-2016学年高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．在空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），则=（）A．（1，0，﹣3）B．（﹣1，0，3）C．（3，4，3）D．（1，0，3）【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．【分析】根据空间向量的坐标表示，求出即可．【解答】解：空间直角坐标系中，A（1，2，3），B（2，2，0），∴=（2﹣1，2﹣2，0﹣3）=（1，0，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与应用问题，是基础题．2．抛物线y2=4x的准线方程为（）A．x=2 B．x=﹣2 C．x=1 D．x=﹣1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题．【分析】利用抛物线的标准方程，有2p=4，，可求抛物线的准线方程．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且，∴抛物线的准线方程是x=﹣1．故选D．【点评】本小题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．3．椭圆+=1的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】椭圆+=1中a=3，b=2，求出c，即可求出椭圆+=1的离心率．【解答】解：∵椭圆+=1中a=3，b=2，∴c==，∴e==，故选：C．【点评】此题考查学生掌握椭圆的离心率的求法，灵活运用椭圆的简单性质化简求值，是一道基础题．4．命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是（）A．不存在x0∈R，2＞0 B．存在x0∈R，2≥0C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0【考点】特称命题；命题的否定．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题，直接写出该命题的否定命题即可．【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题，得；命题“存在x0∈R，2≤0”的否定是“对任意的x∈R，都有2x＞0”．故选：D．【点评】本题考查了全称命题与特称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，写出答案即可，是基础题．5．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．D．﹣﹣+【考点】相等向量与相反向量．【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，故选A．【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．6．命题p：“不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}”；命题q：“不等式x2＞4的解集为{x|x＞2}”，则（）A．p真q假B．p假q真C．命题“p且q”为真D．命题“p或q”为假【考点】复合命题的真假．【专题】计算题．【分析】先判断两个命题的真假，然后再依据或且非命题的真假判断规则判断那一个选项是正确的．【解答】解：∵x=1时，不等式没有意义，所以命题p错误；又不等式x2＞4的解集为{x|x ＞2或x＜﹣2}”，故命题q错误．∴A，B，C不对，D正确应选D．【点评】考查复合命题真假的判断方法，其步骤是先判断相关命题的真假，然后再复合命题的真假判断规则来判断复合命题的真假．7．已知A，B为平面内两个定点，过该平面内动点m作直线AB的垂线，垂足为N．若=λ•，其中λ为常数，则动点m的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】轨迹方程．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】建立直角坐标系，设出A、B坐标，以及M坐标，通过已知条件求出M的方程，然后判断选项．【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB中垂线为y轴，建立坐标系，设M（x，y），A（﹣a，0）、B（a，0）；因为=λ•，所以y2=λ（x+a）（a﹣x），即λx2+y2=λa2，当λ=1时，轨迹是圆．当λ＞0且λ≠1时，是椭圆的轨迹方程；当λ＜0时，是双曲线的轨迹方程．当λ=0时，是直线的轨迹方程；综上，方程不表示抛物线的方程．故选D．【点评】本题考查曲线轨迹方程的求法，轨迹方程与轨迹的对应关系，考查分类讨论思想、分析问题解决问题的能力以及计算能力．8．设abc≠0，“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；椭圆的定义．【分析】要判断：“ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的什么条件，我们要在前提条件abc≠0的情况下，先判断，“ac＞0”时“曲线ax2+by2=c是否为椭圆”，然后在判断“曲线ax2+by2=c为椭圆”时，“ac ＞0”是否成立，然后根据充要条件的定义进行总结．【解答】解：若曲线ax2+by2=c为椭圆，则一定有abc≠0，ac＞0；反之，当abc≠0，ac＞0时，可能有a=b，方程表示圆，故“abc≠0，ac＞0”是“曲线ax2+by2=c为椭圆”的必要非充分条件．故选B【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q 为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．9．已知双曲线的两个焦点为F1（﹣，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，且PF1⊥PF2，|PF1|•|PF2|=2，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣y2=1 D．x2﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先设双曲线的方程，再由题意列方程组，处理方程组可求得a，进而求得b，则问题解决．【解答】解：设双曲线的方程为﹣=1．由题意得||PF1|﹣|PF2||=2a，|PF1|2+|PF2|2=（2）2=20．又∵|PF1|•|PF2|=2，∴4a2=20﹣2×2=16∴a2=4，b2=5﹣4=1．所以双曲线的方程为﹣y2=1．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义与标准方程，同时考查处理方程组的能力．10．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为（）A．B． C．D．【考点】直线与平面所成的角．【专题】计算题．【分析】要求AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值，在平面BB1C1C作出AC1的射影，利用解三角形，求出所求结果即可．【解答】解：由题意可知底面三角形是正三角形，过A作AD⊥BC于D，连接DC1，则∠AC1D为所求，sin∠AC1D===故选C【点评】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，考查计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．11．已知定点B，且|AB|=4，动点P满足|PA|﹣|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A．B．C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3可知动点在双曲线右支上，所以|PA|的最小值为右顶点到A的距离．【解答】解：因为|AB|=4，|PA|﹣|PB|=3，故满足条件的点在双曲线右支上，则|PA|的最小值为右顶点到A的距离2+=．故选C．【点评】本题考查双曲线的基本性质，解题时要注意公式的灵活运用．12．椭圆：（a＞b＞0），左右焦点分别是F1，F2，焦距为2c，若直线与椭圆交于M点，满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】依题意知，直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），且倾斜角为60°，从而知∠MF2F1=30°，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率．【解答】解：∵椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），作图如右图：∵椭圆的焦距为2c，∴直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0），又直线y=（x+c）与椭圆交于M点，∴倾斜角∠MF1F2=60°，又∠MF1F2=2∠MF2F1，∴∠MF2F1=30°，∴∠F1MF2=90°．设|MF1|=x，则|MF2|=x，|F1F2|=2c=2x，故x=c．∴|MF1|+|MF2|=（+1）x=（+1）c，又|MF1|+|MF2|=2a，∴2a=（+1）c，∴该椭圆的离心率e===﹣1．故选：B．【点评】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=（x+c）经过椭圆的左焦点F1（﹣c，0）是关键，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．椭圆+=1上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于5．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先根据条件求出a=4；再根据椭圆定义得到关于所求距离d的等式即可得到结论．【解答】解：设所求距离为d，由题得：a=4．根据椭圆的定义得：2a=3+d⇒d=2a﹣3=5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了椭圆的性质，此类型的题目一般运用圆锥曲线的定义求解，会使得问题简单化．属基础题．14．已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，则AC1的长为．【考点】棱柱的结构特征．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由已知得=，由此利用向量法能求出AC1的长．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1所有棱长均为1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°，∴=，∴2=（）2=+2||•||cos60°+2•||cos60°+2•cos60°=1+1+1+++=6，∴AC1的长为||=．故答案为：．【点评】本题考查线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．15．给出下列命题：①直线l的方向向量为=（1，﹣1，2），直线m的方向向量=（2，1，﹣），则l与m垂直；②直线l的方向向量=（0，1，﹣1），平面α的法向量=（1，﹣1，﹣1），则l⊥α；③平面α、β的法向量分别为=（0，1，3），=（1，0，2），则α∥β；④平面α经过三点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，则u+t=1．其中真命题的是①④．（把你认为正确命题的序号都填上）【考点】平面的法向量．【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用．【分析】①根据直线l、m的方向向量与垂直，得出l⊥m；②根据直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，不能判断l⊥α；③根据平面α、β的法向量与不共线，不能得出α∥β；④求出向量与的坐标表示，再利用平面α的法向量，列出方程组求出u+t的值．【解答】解：对于①，∵=（1，﹣1，2），=（2，1，﹣），∴•=1×2﹣1×1+2×（﹣）=0，∴⊥，∴直线l与m垂直，①正确；对于②，=（0，1，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），∴•=0×1+1×（﹣1）+（﹣1）×（﹣1）=0，∴⊥，∴l∥α或l⊂α，②错误；对于③，∵=（0，1，3），=（1，0，2），∴与不共线，∴α∥β不成立，③错误；对于④，∵点A（1，0，﹣1），B（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，1），=（﹣1，1，0），向量=（1，u，t）是平面α的法向量，∴，即；则u+t=1，④正确．综上，以上真命题的序号是①④．故答案为：①④．【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线的方向向量与平面的法向量的应用问题，是综合性题目．16．过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A，B两点（点A 在y轴左侧），则=3．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则可知AA1∥OF∥BB1，根据比例线段的性质可知==，根据抛物线的焦点和直线的倾斜角可表示出直线的方程，与抛物线方程联立消去x，根据韦达定理求得x A+x B和x A x B的表达式，进而可求得x A x B=﹣（）2，整理后两边同除以x A2得关于的一元二次方程，求得的值，进而求得．【解答】解：如图，作AA1⊥x轴，BB1⊥x轴．则AA1∥OF∥BB1，∴==，又已知x A＜0，x B＞0，∴=﹣，∵直线AB方程为y=xtan30°+即y=x+，与x2=2py联立得x2﹣px﹣p2=0 ∴x A+x B=p，x A•x B=﹣p2，∴x A x B=﹣p2=﹣（）2=﹣（x A2+x B2+2x A x B）∴3x A2+3x B2+10x A x B=0两边同除以x A2（x A2≠0）得3（）2+10+3=0∴=﹣3或﹣．又∵x A+x B=p＞0，∴x A＞﹣x B，∴＜﹣1，∴=﹣=3．故答案为：3【点评】本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及比例线段的知识．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【专题】计算题；综合题．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a）（a﹣1）＞0，解得：a＞1或a＜﹣3，即命题P：a＞1或a＜﹣3；∵点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部，∴4+（a﹣1）2＜8的内部，解得：﹣1＜a＜3，即命题q：﹣1＜a＜3，由pΛq为假命题，¬q也为假命题，∴实数a的取值范围是﹣1＜a≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．18．命题：若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线﹣y2=1（a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则•的取值范围为[3+2，+∞）．判断此命题的真假，若为真命题，请做出证明；若为假命题，请说明理由．【考点】双曲线的简单性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出双曲线方程为，设点P（x0，y0），则，（x0），由此能证明•的取值范围为[3+2，+∞）．【解答】解：此命题为真命题．证明如下：∵F（﹣2，0）是已知双曲线的左焦点，∴a2+1=4，解得a2=3，∴双曲线方程为，设点P（x0，y0），则有=1，（），解得，（x0），∵=（x0+2，y0），=（x0，y0），∴==x0（x0+2）+=，这个二次函数的对称轴为，∵，∴当时，取得最小值=3+2，∴•的取值范围为[3+2，+∞）．【点评】本题考查命题真假的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的合理运用．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．【考点】轨迹方程；抛物线的应用．【专题】计算题．【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决．【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上，设，OA、OB的斜率分别为k OA、k OB．∴由OA⊥AB，得①依点A在AB上，得直线AB方程②由OM⊥AB，得直线OM方程③设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以，并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+，整理得④由③、④两式得由①式知，y A y B=﹣16p2∴x2+y2﹣4px=0因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点．【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．21．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点，（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在点S，使得ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】建立空间如图所示的坐标系，求得、的坐标，可得cos＜＞的值，再取绝对值，即为异面直线NE与AM所成角的余弦值．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，求得=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．由ES⊥平面AMN可得，解得λ的值，可得的坐标以及||的值，从而得出结论．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴、以DC所在的直线为y轴、以DM所在的直线为z轴，建立空间坐标系．则有题意可得D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、M（0，0，1）、N（1，1，1）、E（，1，0）．∴=（﹣，0，﹣1），=（﹣1，0，1），cos＜＞==﹣，故异面直线NE与AM所成角的余弦值为．假设在线段AN上存在点S，使得ES⊥平面AMN，∵=（0，1，1），可设=λ•=（0，λ，λ）．又=（，﹣1，0），=+=（，λ﹣1，λ），由ES⊥平面AMN可得，即，解得λ=．此时，=（0，，），||=，故当||=时，ES⊥平面AMN．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，用坐标法求异面直线所成的角，用坐标法证明两条直线互相垂直，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．已知，椭圆C过点A，两个焦点为（﹣1，0），（1，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．【考点】椭圆的应用；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得，求出b，由此能够求出椭圆方程．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得，再点在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程为，解得b2=3，（舍去）所以椭圆方程为．（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得设E（x E，y E），F（x F，y F），因为点在椭圆上，所以由韦达定理得：，，所以，．又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以﹣K代K，可得，所以直线EF的斜率即直线EF的斜率为定值，其值为．【点评】本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．。

安徽省宿州市泗县第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学试题一．选择题(每小题4分，共48分)1．某彩电价格在去年6月份降价10%，后来经过10、11、12三个月连续三次涨价, 回升到6月份降价前的水平, 则这三次价格涨价的平均回升率是 （ ）（A ）3910－1 （B ）(3910－1)% （C ）3910 （D ）3910% 2．为使直线y ＝25x ＋b 和曲线4x 2－y 2＝36有两个交点，则b 的取值范围是（ ） （A ）｜b ｜>32 （B ）b <32 （C ）b <29 （D ）｜b ｜>29 3．命题甲：sin x ＝a ，命题乙：arcsin a ＝x (－1≤a ≤1)，则 （ ）（A ）甲是乙的充分条件，但不是必要条件（B ）甲是乙的必要条件，但不是充分条件（C ）甲是乙的充分必要条件（D ）甲不是乙的充分条件，也不是必要条件4．直线x ＋2y ＋1＝0被圆(x －2) 2＋(y －1)2＝25所截得的弦长等于 （ ）（A ）25 （B ）35 （C ）45 （D ）555．圆x 2＋y 2＋2x ＋6y ＋9＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋2y ＋1＝0的位置关系是 （ ）（A ）相离 （B ）相外切 （C ）相交 （D ）相内切6．不等式|4－3x |－5≤0的解集是 （ ）（A ）{x | －31<x<3} （B ）{x | x ≤－31或x ≥3} （C ）{x | 31≤x ≤－3} （D ）{x | －31≤x ≤3} 7．集合A ＝{x ｜5－x ≥)1(2-x },B ＝{x ｜x 2－ax ≤x －a },当A ⊂B 时,a 的范围是 （ ）（A ）a >3 （B ）0≤a ≤3 （C ）3<a <9 （D ）a >9或a <38．已知等差数列{a n }的公差d ≠0, a 1≠d , 若前20项的和S 20＝10M ，则M 等于 （ ）（A ）a 1＋2a 10 （B ）a 6＋a 15（C ）a 20＋d （D ）2a 10＋2d9．若a , b , c 是互不相等的正数，且顺次成等差数列，x 是a , b 的等比中项， y 是b , c 的等比中项，则x 2, b 2, y 2可以组成 （ ）（A ）既是等差又是等比数列 （B ）等比非等差数列（C ）等差非等比数列 （D ）既非等差又非等比数列10．在2和20之间插入两个数, 使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和是 （ ）（A ）－4或1721 （B ）4或1721 （C ）4 （D ）1721 11．椭圆(1－m )x 2－my 2=1的长轴长是 （ ）（A ）m m --112 （B ）m m --2 （C ）m m 2 （D ）mm --11 12．椭圆的两个焦点和中心把两准线间的距离四等分，则一焦点与短轴两端点连线的夹角是 （ ）（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）32π 二．填空题(每小题4分，共20分)13．log x ＋1(2x 2＋3x －5)>2的解集是 。