最新沪科版初中数学九年级上册22.1第3课时比例的性质与黄金分割2优质课教案

22.1比例线段第3课时 比例的性质与黄金分割教学目标【知识与能力】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算。

【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感。

【情感态度价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣。

教学重难点【教学重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算。

【教学难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算。

课前准备课件、教具等。

教学过程一、情境导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b. 二、合作探究探究点一：比例的性质【类型一】 比例的基本性质例1 已知a ＋3b 2b ＝72，求a b的值． 解：解法一：由比例的基本性质，得2(a ＋3b )＝7×2b .∴a ＝4b ，∴a b＝4. 解法二：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3b b＝7， ∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴a b＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．【类型二】 合比性质例2 如图，已知AB DB ＝AC EC. 求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝AD AE .解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立．证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AE EC； (2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE . 方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．【类型三】 等比性质例3 已知正数a 、b 、c ，且a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则下列四个点中，在正比例函数y ＝kx 图象上的点是( )A ．(1，12) B ．(1，2) C ．(1，－12) D ．(1，－1) 解析：求出k 的值是关键．∵a 、b 、c 为正数，∴a ＋b ＋c ≠0.由等比性质，得a ＋b ＋c 2（a ＋b ＋c ）＝k ，即k ＝12，∴y ＝12x .当x ＝1时，y ＝12×1＝12，∴点(1，12)在正比例函数y ＝kx 的图象上．故选A.方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点．探究点二：黄金分割【类型一】 利用黄金分割进行计算例4 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，BC ＝mAB ，求m 的值．解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC AB ＝BC AC ＝5－12.又∵BC ＝mAB ，∴AC ＝(1－m )AB ，∴（1－m ）AB AB ＝5－12，即1－m ＝5－12，∴m ＝3－52. 方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC ，BC ，AB 之间的表达式，再利用BC ＝mAB 变形，求出m 的值．【类型二】 黄金分割的实际应用例5 如图所示，乐器上有一根弦AB ，两个端点A 、B 固定在乐器的面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，若DC 的长度为d ，试求这根弦AB 的长度．解：根据黄金分割的定义，可知AC AB ＝BD AB ＝5－12，∴AC ＝BD ＝5－12AB ，∴AD ＝AB －BD ＝AB －5－12AB .∴CD ＝AC －AD ＝5－12AB －(AB －5－12AB )＝(5－2)AB ＝d . ∴AB ＝15－2d ＝(5＋2)d . 三、板书设计比例的性质与黄金分割⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧比例的性质⎩⎪⎨⎪⎧基本性质合比性质等比性质黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段∶原线段＝5－12∶1 教学反思经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣。

第3课时 平行线基本定理教学目标1．理解平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．会利用平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理求一些线段的长．3．了解将已知线段n 等分的方法．教学重难点平行线分线段成比例的几种类型及应用．教学过程导入新课在记录本上任画两条斜线，让这两条斜线与本子上的三条平行线相交，度量这两条斜线被本子上的三条平行线分成的四条线段，它们成比例吗？推进新课一、合作探究【问题1】 如图，过△ABC 的边AB 上任意一点D 作直线DE 平行于BC 交AC 于点E ，分别度量在AB 上截得的两条线段AD 、BD 和在AC 上截得的两条线段AE 、EC 的长度，AD DB 与AE EC相等吗？学生自己画图，再动手测量(要求测量要尽量准确)，看计算AD DB 与AE EC的结果是否大致相等．(结果：大致相等)【问题2】 任意平移DE ，再度量AD ，BD ，AE ，EC 的长度，AD DB 与AE EC 还相等吗？ 度量后回答．(结果仍相等)然后让学生合作探究学习课本上的证明，教师给予指导．【问题3】 如把上面的问题改为：如图，任意画两条直线l 1、l 2，再画三条与l 1、l 2相交的平行线l 3、l 4、l 5，AB BC与DE EF相等吗？让学生试着转化为问题1的类型进行说明．最后师生共同归纳出定理：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得对应线段成比例．【问题4】 当直线l 1，l 2的位置变化时，如图，直线l 1、l 2分别被三条平行线l 3、l 4、l 5截于点A 、B 、C 和D 、E 、F .问AB BC 与DE EF相等吗？教师引导学生进行证明，引导作出辅助线是关键．证明后得出平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例．【问题5】 在问题4中若AB ＝BC ，那么DE 与EF 有何关系？显然AB BC ＝1，又AB BC ＝DE EF ，所以DE EF＝1，故DE ＝EF . 于是得到平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．二、巩固提高【例】 如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，写出图形中的比例式，试试你能写出多少个？解：根据平行线分线段成比例定理，有AE EC ＝AD BD ，AD AB ＝AE AC ，AC AE ＝AB AD ，BD AD ＝CE AE等．只要写出的比例式左右对应即可．三、随堂训练已知在∠O 的一边上顺次有A ，B 两点，在另一边上顺次有C ，D 两点，若AC ∥BD ，则正确的是( )．A ．OA OC ＝OB OD B ．OA OC ＝CD AB C ．OB OA ＝OC OD D ．AB OB ＝CD OC本课小结1．平行线分线段成比例定理，平行线等分线段定理．2．利用平行线等分线段定理对线段进行等分、倍分．3．无论是平行线分线段成比例定理，还是平行线等分线段定理，一定至少要有两条平行线．1．对相似多边形的理解两个边数相同的多边形，如果对应角都相等，对应边都成比例，叫做相似形．如果两个多边形的对应边都成比例，对应角都分别相等，那么这两个多边形相似．相似具有传递性．因此判断两个边数相同的多边形相似的方法是：首先判断对应边是否成比例，再判断对应角是否相等．两个等边三角形一定相似，两个等腰直角三角形一定相似，两个正方形一定相似，但所有的菱形不一定相似，因为对应角不一定相等．2．相似与全等的联系和区别相似与全等既有联系，又有区别．首先，从它们各自具备的特征来说，(1)它们都具备 “形状相同”的本质特征，对应角都相等．(2)全等形的大小相同，对应边相等；而相似形大小不一定相同，对应边成比例．(3)全等形可以看作是相似形的特殊情况，其相似比k ＝1；反过来，当相似比k ＝1时，两个相似形全等．3．相似符号的起源最初的几何知识是从人们对形的直觉中萌发出来的，是从自然界本身提取几何形式，并且在器皿制作、建筑设计及绘画装饰中加以体现．早期人类对几何的兴趣，不只是对圆、三角形、正方形等一系列几何形状的认识，而且还有对全等、相似、对称等几何知识的运用，几何知识随着人们的实践活动而不断扩展．十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了 “＝”，他在几何学中用“∽”表示相似，用“≌”表示全等，这就是相似符号的起源．4．对“黄金分割”的理解把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比．其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比．这是一个十分有趣的数字，我们以0.618来近似，通过简单的计算就可以发现：10.618≈1.618，1－0.6180.618≈0.618. 这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用．一个很能说明问题的例子是五角星．五角星是非常美丽的，我国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的．正五边形对角线连接后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形．由于五角星的顶角是36°，这样也可以得出黄金分割的数值为2sin 18°. 黄金分割点是指分一线段为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比约等于0.618∶1.线段上有两个这样的点．利用线段上的两个黄金分割点，可作出正五角星，正五边形．2 000多年前，古希腊雅典学派的欧道克萨斯首先提出黄金分割．所谓黄金分割，指的是把长为L 的线段分为两部分，使其中一部分对于全部之比，等于另一部分对于该部分之比．黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲，受到了欧洲人的欢迎，他们称之为“金法”，17世纪欧洲的一位数学家，甚至称它为“各种算法中最宝贵的算法”．这种算法在印度称之为“三率法”或“三数法则”，也就是我们现在常说的比例方法．其实有关“黄金分割”，我国也有记载．虽然没有古希腊的早，但它是我国古代数学家独立创造的，后来传入了印度．经考证，欧洲的比例算法是源于我国而经过印度由阿拉伯传入欧洲的，而不是直接从古希腊传入的．黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取0.618，就像圆周率在应用时取3.14一样．黄金矩形(Golden Rectangle)的长、宽之比为黄金分割率，换言之，矩形的长边为短边的1.618倍．黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，令人愉悦．在很多艺术品以及大自然中都能找到它．希腊雅典的帕撒神农庙就是一个很好的例子．达·芬奇的《维特鲁威人》符合黄金矩形．《蒙娜丽莎》的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局．。

沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册《黄金分割》是学生在学习几何知识的基础上，进一步了解和掌握黄金分割的概念、性质和应用。

教材从生活实例出发，引出黄金分割的概念，并通过几何图形让学生深入理解黄金分割的性质。

本节课的内容对于学生来说既有趣又具有挑战性，能够激发学生的学习兴趣和探究欲望。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的几何知识，如相似三角形、平行线等。

他们对几何图形的观察和分析能力较强，但可能对黄金分割的概念和性质理解不够深入。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从生活实例中发现黄金分割，并通过几何图形让学生深入理解黄金分割的性质。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解黄金分割的概念，掌握黄金分割的性质，并能运用黄金分割解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察生活实例和几何图形，培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和审美观念。

四. 教学重难点1.重点：黄金分割的概念和性质。

2.难点：黄金分割在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引导学生发现黄金分割，激发学生的学习兴趣。

2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和探究，培养学生的分析能力和推理能力。

3.合作学习法：分组讨论，让学生在合作中交流、思考，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备生活实例和几何图形的图片，用于导入和呈现。

2.准备相关的教学PPT，展示黄金分割的概念和性质。

3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活实例和几何图形的图片，如建筑设计、艺术作品等，引导学生发现这些图形中都存在一种特殊的美感。

提问：这种美感是如何产生的？引出黄金分割的概念。

2.呈现（10分钟）介绍黄金分割的定义：将一条线段分为两部分，使其中一部分与整体的比例等于另一部分与这部分的比例，这个比例约为1:1.618。

n

a c ... n

a
（b+d+···+m≠0）
bd
m b d ... m b
灿若寒星
练一练
已知 x 3 ，求 x y 的值.
y4
x y
解：令 x 3 = k, x 3k, y 4 k . y4
x y 3k 4k 1 . x y 3k 4k 7
bd
c∶d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线 段．此时也称这四条线段成比例．
(1)如果 a b ，那么b叫做a和c的比例中项； bc
(2)在比例式a:b=c:d中，d叫做a,b,c的第四比例项；
3成比例线段是有顺序的，即a,b, c, d是成比例线段，则a : b
c : d,而不能写成a : b d : c.
∴ － ad＝ － bc，
在等式两边同加上ac，
∴ ac－ad＝ac－bc，
∴ a（c－d）＝（a－b）c，
两边同除以（a－b）（c－d），
∴
ac ab cd
．
灿若寒星
归纳
合比性质：
a c ab cd
bd b
d
ab cd ab cd
等比性质：
a
c
...
AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
比值 5 1叫做黄金数.
2
灿若寒星
课后作业
见《学练优》本课时练习
灿若寒星
导入新课
观察与思考 问题1 上节课学的比例线段的概念是怎样定义的？
问题2 比例线段要注意的方面有哪些？
灿若寒星
讲授新课
一 比例的基本性质

沪教版九年级数学上22.1比例线段（共4课时）优秀教学设计第22章相似形22.1比例线段第1课时相似多边形教学目标【知识与技能】知道相似图形的两个特征:对应边成比例,对应角相等.掌握判断两个多边形是否相似的方法——“如果两个多边形满足对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似”.【过程与方法】经历从生活中的事物中抽象出几何图形的过程,体会由特殊到一般的思想方法,感受图形世界的丰富多彩.【情感、态度与价值观】在探索中培养学生与他人交流、合作的意识和品质.重点难点【重点】知道相似图形的对应角相等、对应边的比相等.【难点】能运用相似图形的性质解决问题.教学过程一、问题引入活动1:观察图片,体会开关相同的图形.(多媒体出示)师:同学们,请观察下列几幅图片,你能发现什么?你能对观察到图片特点进行归纳吗?生:这些图形的开关相同,而大小不同.二、新课教授活动2:思考:如图是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状相同吗?生:形状不同.教师出示图片,提出问题.学生细心观察,认真思考,小组讨论后回答问题.教师对学生的回答进行评价,总结:哈哈镜里看到的不同镜像,它们的形状不同,它们的形状发生了改变.形状相同而大小不同的两个平面图形,较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的,较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的.在这个过程中,两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”,因此,对于形状相同而大小不同的两个图形,我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系.活动3:探究.如图(1)的两个正方形,应有∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1;=====.如图(2)的两个等边三角形,应有∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1;====.(1)(2)一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.师生总结:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.(1)如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,那么这两个多边形相似;(2)相似多边形的对应边的比称为相似比;(3)当相似比为1时,两个多边形全等.三、例题讲解【例1】如图所示,四边形ABCD和四边形EFGH相似,求角α和β的大小以及EH的长度x.教师出示例题,提出问题.学生通过运用相似多边形的性质正确解答出角α和β的大小以及EH的长度x.解:四边形ABCD和四边形EFGH相似,它们的对应角相等.由此可得∠α=∠C=83°,∠A=∠E=118°,在四边形ABCD中,∠β=360°-(78°+83°+118°)=81°.四边形ABCD和四边形EFGH相似它们的对应边成比例.由此可得=,即=.解得:x=28(cm).【例2】已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,且A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14.若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD各边的长.分析:因为两个四边形相似,因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.解:∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似,∴AB∶BC∶CD∶DA=A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1.∵A1B1∶B1C1∶C1D1∶D1A1=7∶8∶11∶14,∴AB∶BC∶CD∶DA=7∶8∶11∶14.设AB=7m,则BC=8m,CD=11m,DA=14m.∵四边形ABCD的周长为40,∴7m+8m+11m+14m=40,∴m=1,∴AB=7,则BC=8,CD=11,DA=14.四、巩固练习1.在比例尺为1∶10 000 000的地图上,量得甲、乙两地的距离是30 cm,求两地的实际距离,【答案】3 000 km2.如图所示的两个直角三角形相似吗?为什么?【答案】相似,因为它们的对应角相等,对应边的比相等.3.如图所示的两个五边形相似,求求知边a、b、c、d的长度.【答案】a=3,b=,c=4,d=6.五、课堂小结本节课主要学习了以下内容:1.相似多边形的定义:如果两个多边形的对应角相等、对应边的比相等,那么这两个多边形相似.2.相似多边形的性质:相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.教学反思本节课主要教学对相似图形的认识.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证.让学生在研究过程中渗透教学思想,有意识地培养学生的解题能力.第2课时成比例线段(1)教学目标【知识与技能】从生活中形状相同的图形的实例中认识成比例的线段,理解成比例线段的概念.【过程与方法】在成比例线段的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题.【情感、态度与价值观】在探究成比例线段的过程中,培养学生与他人交流、合作的意识.重点难点【重点】认识成比例的线段.【难点】理解成比例线段的概念.教学过程一、复习回顾,引入新课师:同学们还记得我们上节课学习了什么知识吗?生:学习了相似多边形.师:是的,你能说说什么是相似多边形吗?生:一般地,两个边数相同的多边形,如果它们的对应角相等,对应边长度的比相等,那么这两个多边形叫做相似多边形.师:很好!由于多边形的边是线段,所以在研究图形相似之前,这节课我们先要学习成比例线段的有关知识.二、讲授新课如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n,那么这两条线段的比就是它们长度的比,即AB∶CD=m∶n,或写成=.其中,线段AB、CD分别叫做这个线段比的前项和后项.如果把表示成比值k,那么=k,或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.活动:如果把老师手中的教鞭与铅笔分别看成是两条线段AB和CD,那么这两条线段的长度比是多少?师生活动.教师出示图片,提出问题.学生考虑如何求得这两条线段的比.学生求出的值不唯一,只要方法恰当,教师都要给予肯定.1.两条线段的比,就是两条线段长度的比.2.成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.注意:(1)两条线段的比与所采用的长度单位没有关系,但在计算时要注意统一单位;(2)线段的比是一个没有单位的正数;(3)四条线段a、b、c、d成比例,记作=或a∶b=c∶d;(4)若四条线段满足=,则有ad=bc;(5)如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0),那么=.三、例题讲解【例1】如图,下面右边的四个图形中,与左边的图形形状相同的是()解:C【例2】一张桌面长a=1.25 m,宽b=0.75 m,那么长与宽的比是多少?解:=小结:上面分别采用m、cm、mm三种不同的长度单位,求得的的值是相等的,所以说,两条线段的比与所采用的长度单位无关,但求此时两条线段的长度单位必须一致.【例3】已知:一张地图的比例尺是1∶32 000 000,量得北京到上海的图上距离大约为3.5 cm,北京到上海的实际距离大约是多少km?分析:根据比例尺=,可求出北京到上海的实际距离.解:设北京到上海的实际距离大约是x cm.则=,得x=112 000 000(cm).又112 000 000 cm=1 120 km.答:北京到上海的实际距离大约是1 120 km.【例4】如图,一块矩形绸布的长AB=a m,宽AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成相同的一面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同,即=,那么a 的值应当是多少?解:根据题意可知,AB=a m,AE=a m,AD=1 m.由=,得=,即a2=1,∴a2=3.开平方,得a=(a=-舍去).四、课堂小结本节课主要学习了:成比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等,如=(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.这时,线段a、b、c、d叫做组成比例的项,线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项.教学反思本节课是在上节课的基础上认识成比例线段,理解成比例线段的概念.在相似图形的探究过程中,让学生运用“观察—比较—猜想”的方法分析问题,让学生经历探究过程.以学生的自主探究为主线,让学生经历实验操作、探究发现、证明论证获得知识.教师只在关键处进行点拨,不足处进行补充.鼓励学生大胆猜测、大胆验证,让学生在研究过程中渗透数学思想,有意识地培养学生的解题能力.第3课时成比例线段(2)教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y=.【答案】2.已知ab=cd,则=.【答案】3.若==,则=.【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2.①b2+bc=a2+ac.②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2.④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2.⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc.⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为. 解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是()A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.第4课时平行线分线段成比例教学目标【知识与技能】1.使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论,并会灵活应用.2.使学生掌握三角形一边的平行线的判定定理.【过程与方法】通过学习定理再次锻炼类比的数学思想,能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形,通过应用锻炼识图能力和推理论证能力.【情感、态度与价值观】通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般,并能欣赏数学表达式的对称。

沪科版数学九年级上册22.1《比例线段》教学设计2一. 教材分析比例线段是沪科版数学九年级上册第22.1节的内容，主要讲述了比例线段的定义、性质和应用。

本节内容是在学生已经掌握了相似三角形的性质和坐标与图形的性质的基础上进行学习的，是进一步培养学生几何思维和解决问题能力的重要环节。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对于相似三角形的性质和坐标与图形的性质已经有了一定的了解。

但是，对于比例线段的定义和性质的理解还需要通过具体的例子和实践活动来加深。

此外，学生对于比例线段的实际应用可能还不够熟悉，需要通过大量的练习来提高。

三. 教学目标1.理解比例线段的定义和性质。

2.能够运用比例线段解决实际问题。

3.培养学生的几何思维和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.比例线段的定义和性质的理解。

2.比例线段在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子引导学生思考和探索比例线段的性质。

2.采用实践活动，让学生通过动手操作来加深对比例线段的理解。

3.通过大量的练习，让学生熟悉比例线段的实际应用。

六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题。

2.准备实践活动所需的材料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入比例线段的概念，引导学生思考和探索比例线段的性质。

例1：在三角形ABC中，AB/BC=2/3，AC=5cm，求BC的长度。

2.呈现（10分钟）讲解比例线段的定义和性质，引导学生理解比例线段的概念。

比例线段：如果两条线段的比相等，那么这两条线段叫做比例线段。

性质1：比例线段的和相等。

性质2：比例线段的差相等。

3.操练（10分钟）让学生通过动手操作，加深对比例线段的理解。

练习1：判断下列线段是否为比例线段，并说明理由。

a)3cm，6cm，9cmb)4cm，8cm，12cm4.巩固（10分钟）让学生通过解决实际问题，巩固比例线段的性质和应用。

练习2：在三角形DEF中，DE/DF=3/4，DH=6cm，求EF的长度。

22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割学习思路(纠错栏）学习目标:1、会运用比例的性质进行几何图形中的相关计算和证明.2、认识线段的黄金分割,理解黄金分割的概念.学习重点：比例性质的应用和黄金分割的概念。

预设难点：运用黄金分割解决实际问题。

☆预习导航☆一、链接请写出比例的基本性质、合比性质、等比性质?二、导读1、阅读课本上的例1和例2，体会一下合比性质和等比性质在实际问题中的应用，并谈谈你的感受。

2、阅读课本上的例3,回答下列问题：（1）叫做黄金分割．（2）黄金分割点是如何确定的？一条线段有几个黄金分割点？叫做线段的黄金分割点，叫做黄金数.☆合作探究☆学习思路（纠错栏）1、如图，已知线段AB的长度为1，点P是AB上的一点，且使AP2=AB·BP,求线段AP的长和AP：AB的值。

2、如图，已知线段AB的长度为a，点P是AB上的一点,且使AP2=AB·BP，求线段AP的长和AP：AB的值。

☆归纳反思☆本节课你有哪些收获？还存在哪些困惑？☆达标检测☆1、若点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞CB，则AB:AC= ；B C：AB= 。

2、若在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，=11BAAB=11CBBC1111CD DAC D D A==58且四边形A1B1C1D1的周长为80cm,求四边形ABCD的周长.EDACB3、已知，如图在 △ABC 中ECAE DB AD = 求证：（1）EC AC DB AB =； （2)EC AE AB AD =4、设点C 是长度为2cm 的线段AB 的黄金分割点，则AC 的长为。

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文中部分文字受到网友的关怀和支持，在此表示感谢！在往后的日子希望与大家共同进步，成长。

比例线段教学目标（知识与能力；过程与方法；情感态度与价值观）1、知识与技能：巩固比例线段的概念；理解、掌握比例的基本性质及合比性质；能灵活运用比例的有关知识解题。

2、过程与方法：通过比例的应用，培养学生的判断分析推理能力。

3、情感态度与价值观：通过比例的广泛应用，感受比例的工具性，体会数学的重要性。

教材分析重 点比例线段、比例的性质。

难 点比例性质的理解、掌握与应用。

教 学 方 法教 具 准 备学 法 指 导教学过程导入 快问快答：（1）若a 、c 、d 、b 成比例线段，则比例式为____________,比例内项______，比例外项_____；等积式为_______.（2）若m 线段是线段a 、b 的比例中项，则比例式为________，等积式为_______。

(3)判断下列四条线段a 、b 、c 、d 是否成比例回顾：比例线段及比例的项，注意顺序性和单位新 授 2.比例的性质①比例的基本性质：比例式变形：.10,15,8,122;10,5,6,41========d c b a d c b a ））d c b a =⇔bc ad =cb b a =ac b 2=⇔d c b a =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇔a c b d d b c a c d a b =②合比性质：例1.己知 ad=bc (a ，b ，c ，d 不为零)，下列各式中正确的是( )应用一：比例在几何中的应用比例应用二：比例在应用题中的应用d c b a =cd c b b a ±=±⇒d -c d c b -a b a +=+⇒d d -b a c -a .D b d -b c c -a .C d d b c c a .B c d c b b a .A ==+=++=+例3、一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶5小时．甲乙两地之间的公路长多少千米？小结：用比例的知识解应用题的方法：1.审题找出一定（不变）量，判断另外两个量成什么比例。

成比例线段
理解黄金分割的概念，会找一条线段的黄金分割点，会判断某一
线段的黄金分割点。

通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割，体会黄金分割的
纳—知识运用”为主线的教学方法。

创设
的长度， C 黄金分割完美。

点 (2011年佛山中考题) 如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看。

如图，是一个参加空姐选拔活动的选手情况，那么她应该穿多高的鞋子好看？（精确到1cm ）2动手操作，探究新知
已知线段AB ，按照如下方法作图：（1）经过点B 作BD ⊥AB ，使（教师在黑板上用三角板和圆规演示作图过程，学生观察之后在练习本上操作一遍） 分别等于多少？
的黄金分B
C
的宽与长的比是黄金比。

矩形
（四）随堂练习，加深理解
采用如下方法也可以得到黄金分割点：
如图，设AB是已知的线段，在上作正方形ABCD；取AD的中点
延长DA至F，使EF=EB；以线段AF为边作正方形AFGH，点H
任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？（本题难度较大，应引导学生交流讨论，共同合作一起解决问题之后教师再在黑板上演示一
(。

比例线段
、过程与方法：通过比例的应用，培养学生的判断分析推理能力。

1.
比例应用二：比例在应用题中的应用
例3、一辆汽车2小时行驶140千米，照这样的速度，从甲地到乙地共行驶
乙两地之间的公路长多少千米？
小结：用比例的知识解应用题的方法：
1.审题找出一定（不变）量，判断另外两个量成什么比例。

2.若成正比例，解:设出未知数X,列出比例式：
a:x = b:c
3.若成反比例，解:设出未知数X,列出方程：
ax = bc
应用三：比例在物理中的应用
已知两车路程之所用
中比例基本性质的证明处理上如果再放开一点让学生独立的说出更多方法就更。

在照片(1)中任意取四个点P，Q，A ,B在照片(2) 找出对应的两个点P′，Q′，A′, B′量出线段PQ，P′Q′， AB， A′B′的长度.计算它们的长度的比值.
Q P
Q′
P′
B A
（1）
A'
B'
（2）
讲授新课
一 比例的基本性质
合作探究
a c 问题1：如果四个数a , b, c, d成比例，即 那么 b d
a c b d ,还有什么其他性质吗？
ab cd 在等式两边同时加上1,得 b d
由此可得到比例的合比性质：
a c ab cd 如果 ，那么 b d b d
二 等比性质
a c e 问题2：已知a , b, c, d, e, f 六个数，如果 b d f ace a 成立吗？为什么？ （b+d+f≠0）,那么 bd f b
1 1.经过点B作BD⊥AB,使BD= AB 2
2.连接AD,在AD上截取DE=DB.AE.
A C B
思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?
1 5 5 1 1 2 BD ; AD 1 , AC AE 2 2 2 2 2 5 1 5 1 3 5 , BC 1 AC 1 ; 2 2 2 5 1 3 5 AC 5 1 BC 3 5 2 2 2 , AB 1 2 AC 2 5 1 5 1 2
a+b b+c c+a k， 解：当a＋b＋c≠0时，由 c a b a+b b+c+c+a 得 k， a+b+c
则k＝＝2； 当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.

第3课时 比例的性质与黄金分割◇教学目标◇【知识与技能】1.理解比例的基本性质;2.能根据比例的基本性质求比值,能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形;3.知道黄金分割的定义,会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点.【过程与方法】通过例题的学习,培养学生的灵活运用能力.【情感、态度与价值观】建立初步的空间观念,发展形象思维;并通过有趣的图形,培养学生学习数学的兴趣.◇教学重难点◇【教学重点】比例的基本性质.【教学难点】掌握黄金分割的概念,并能解决相关的实际问题.◇教学过程◇一、情境导入美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618;一些长方形的画框,宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关,你知道0.618这个比值的来历吗?二、合作探究探究点1 比例的基本性质典例1 如果四条线段a ,b ,c ,d 构成a b =c d ,m>0,则下面推理正确的有 ( )①a b =cm dm ;②a b =7a+cm 7b+dm ;③a b =c+m d+m ;④a a+cm =b b+dm . A.1个 B.2个C.3个D.4个 [解析] ①∵a b =c d ,m>0,∴a b =cm dm ;②∵a b =c d ,m>0,∴a b =7a 7b =cm dm ,∴a b =7a+cm 7b+dm ;③a b =c+m d+m 错误;④设a b =c d =k ,则a=kb ,c=kd ,所以a a+cm =bk bk+kdm =b b+dm .综上所述,推理正确的有①②④.[答案] C已知x 2=y 3=z 4,求2x+2y+z 3y -z . [解析] 设x 2=y 3=z 4=k ,则x=2k ,y=3k ,z=4k.∴2x +2y +z 3y -z =2×2k +2×3k +4k 3×3k -4k =145.遇到连等式时常利用设“k”法,即引进参数解题.具体步骤如下:探究点2黄金分割典例2主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体,如果舞台AB长为20米,一个主持人现站在舞台AB的黄金分割点C处,则下列结论一定正确的是()①AB∶AC=AC∶BC;②AC≈6.18米;③AC=10(√5-1)米;④BC=10(3-√5)米或10(√5-1)米.A.①②③④B.①②③C.①③D.④[解析]若AC<BC,则AB∶BC=BC∶AC,所以①不一定正确;AC≈0.618AB≈12.36或AB=10(√5-1),BC=10(3-√5);若AC≈20-12.36=7.64,所以②错误;若AC为较长线段时,AC=√5-12AB=10(√5-1),AC=10(3-√5),所以③不一定正确,④正确.BC为较长线段时,BC=√5-12如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,点E是AB的黄金分割点,BE>AE,若AB=2a,则BE长为() A.(√5+1)a B.(√5-1)aC.(3-√5)aD.(√5-2)a[答案] B三、板书设计比例的性质与黄金分割1.比例的基本性质2.黄金分割◇教学反思◇本节课学习的黄金分割是一个新的概念,学生缺少这方面知识的积累,因此教学中在内容选择上,充分利用网络资源,选用大量图文作为背景,通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割,体现数学丰富的文化价值.同时,在应用中进一步理解线段的比、成比例线段等相关内容,在实际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识.。

221 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1进一步理解并掌握比例、比例线段的概念2会辨认比例式中的“项”3会求常见图形中的线段比4会进行黄金分割的有关计算【过程与方法】1经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展2经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程3通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算教学过程一、复习回顾,引入新课师在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值师用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段二、探究新知师两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生两边同乘以bd,得到ad=bc师反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生能,两边同除以bd师比例的这个性质叫做比例的基本性质教师多媒体课件出示师现在请同学们看这三个图形图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论师你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生计算36∶2和27∶15是否相等师现在就请同学们算一下是否相等学生计算后回答相等师所以我们有=对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论生在=的两边都加上1,然后通分就得到了=师对!所以我们得到了这个结论如果=,那么=(b、d≠0)这叫做比例的合比性质如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示我们可以倒着推要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答能师怎么证明?生因为=,两边同乘以b1b2,就证出了师现在你知道怎么证明=了吗?生知道了师请同学们想想有没有其他的证法?学生思考教师提示的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==,你能否证出=呢?学生思考,讨论师a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生能师怎样表示?生a1=b1,a2=b2师你知道怎样证明了吗?生知道,将a1=b1,a2=b2代入中师我们有了两种证法,哪两位同学愿意上写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演生1板书证明∵=(已知),两边同乘以得=∴=(合比性质)两边同乘以得=两边取倒数,得=,即=生2板书设==,得a1=b1,a2=b2,代入得====师你能总结一下以上两种方法吗?生第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值师同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生能教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导师所以我们得到比例的又一性质如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=三、例题讲解【例1】已知如图,在△AB中,=师请同学们看这道题学生读题思考师哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路学生举手教师找一生回答第(1)题生因为=,由合比性质得=,即=教师找另一生回答第(2)题师你是怎样考虑的呢?生AB可以写成AD+DB,A可以写成AE+E因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了师很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做学生证明后集体订正教师多媒体课件出示【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△AB的三边A=3 c,B=4 c,AB=5 c问这个图纸所反映的实际△A'B''的周长是多少?解根据题意,得===即=又∵AB+B+A=5+4+3=12(c),∴A'B'+B''+A''=12×5 000=60 000(c)=600()答实际△A'B''的周长是600【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB求线段AP 的长和的值解设AP=,那么PB=a-根据题意,得a∶=∶(a-),即2+a-a2=0解方程,得=a因为线段长度不能是负值,所以取=a即AP=a于是==≈0618把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数四、巩固练习1若6=5y,则∶y=【答案】2已知ab=cd,则=【答案】3若==,则=【答案】4已知===,则的值是解析∵===,∴a2+ab=bc+c2①b2+bc=a2+ac ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b∴====-1【答案】-15点P在线段AB上,AP2=AB·PB若PB=4,则AP的长为解析设AP=,∴2=(+4)×4,2-4-16=0∴=2±2又∵>0,∴AP长取2+2【答案】2+26已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( ) AAM∶BM=AB∶AM BAM=ABBM=AB DAM≈0618AB【答案】7已知∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求∶y∶z【答案】∵∶y=3∶5,∴=y又∵y∶z=4∶7,∴z=y∴∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35五、课堂小结师本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望总的说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获。

第3课时比例的性质与黄金分割◊教学目标◊【知识与技能】1•理解比例的基本性质；2•能根据比例的基本性质求比值，能根据条件写出比例式或进行比例式的简单变形；3•知道黄金分割的定义，会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点•【过程与方法】通过例题的学习，培养学生的灵活运用能力•【情感、态度与价值观】教学建立初步的空间观念，发展形象思维；并通过有趣的图形，培养学生学习数学的兴趣• ◊重难点◊【教学重点】比例的基本性质•【教学难点】掌握黄金分割的概念，并能解决相关的实际问题•◊教学过程◊一、情境导入美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618; —些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关，你知道0.618这个比值的来历吗？二、合作探究探究点1比例基本性质J ____ 典例1如果四条线段a，b，c，d构成- -，m>0，则下面推理正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个［解析］- -,m>0，- 一; - -,m>0，- 一一，- ------------ ；- --- 错误；④设- -=k，则a=kb，c=kd所以 ---- ------ ----- 综上所述，推理正确的有①②④•［答案］C变式训练］已知_ _ -，求 -----_=k，贝U x=2k，y=3k，z=4k.［解析］设-归纳总结 遇到连等式时常利用设 k”法,即引进参数解题•具体步骤如下 ①设这些相等的比值为 k;②转化为每个比的前项等于后项的 k 倍;③代入求有关比例式 的值. 探究点2黄金分割 、 典例2主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体 ，如果舞台AB 长为20米,一个主 持人现站在舞台 AB 的黄金分割点C 处，则下列结论一定正确的是 ( ) ①AB : AC=AC : BC;②ACP.18 米;③AC=10( _-1)米;④BC=10(3- _)米或 10( _-1)米. A.①②③④ B.①②③ C.①③ D.④ ［解析］ 若AC<BC ,则AB : BC=BC : AC,所以①不一定正确；ACP.618AB 胡2.36或 AC-20-12.36 = 7.64,所以②错误;若 AC 为较长线段时，AC=——AB=10( _-1),BC= 10(3- 一);若 BC 为较长线段时，BC=——AB=10( _-1),AC=10(3- _),所以③不一定正确，④正确• ［答案］D 变式训练比例的性质与黄金分割 1•比例的基本性质 2•黄金分割◊教学反思◊本节课学习的黄金分割是一个新的概念 ，学生缺少这方面知识的积累 ，因此教学中在内容选择 上,充分利用网络资源，选用大量图文作为背景，通过建筑、艺术、生活中的实例了解黄金分割 体现数学丰富的文化价值•同时,在应用中进一步理解线段的比、 成比例线段等相关内容，在实 际操作、思考、交流等过程中增强学生的实践意识 如图是•画中的脸部被包在矩形 AB 的黄金分割点，BE>AE ,若AB= 2a 则BE 长为 A.( _+1)a C.(3- _)a ［答案］B三、板书设计B.(D.( -1)a -2)aABCD 内，点E 是()。