6概率统计第六讲修

4. 几个常用的统计量 1 n 1 n (1) 样本均值 X = ∑ X i , 其观测值为 x = ∑ xi n i =1 n i =1 1 n 1 n 2 2 2 (2) 样本方差 S = ( Xi − X ) , 其观测值为 s = ( xi − x)2 ∑ ∑ n − 1 i =1 n − 1 i =1
1 Y P → 1 EY = 1 n n ∑1 EX k , n n n k= 其中 Yn =
n
∑X
k =1
n
k
.
大数定律可以用来说明频率的稳定性。 大数定律可以用来说明频率的稳定性。 可以用来说明频率的稳定性
三. 中心极限定理
1. 定义 设{Xn}为随机变量序列，对于 Yn = 为随机变量序列， 为随机变量序列
按随机抽样原则得到的样本满足以下两个条件： 按随机抽样原则得到的样本满足以下两个条件： 相互独立； （1）独立性： X1，… ，Xn 相互独立； ）独立性： 与总体同分布。 （2）同分布性： X1， … ，Xn与总体同分布。 ）同分布性： 来自总体X的随机样本 来自总体 的随机样本X1， … ，Xn可记为 的随机样本 X1， … ，X n ~ X ,
第六讲 极限定理与抽样分布
随机变量序列的两种收敛性 大数定律LNL 大数定律 中心极限定理CLT 中心极限定理 总体与样本 经验分布函数与统计量 正态总体的抽样分布
[I] 内容提要
[II] 例题精讲
一. 随机变量序列的两种收敛性
1.依概率收敛 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，若 依概率收敛 为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 为随机变量序列 对任意ε 对任意ε>0, 有
χ 2 ( n)称为自由度为 n的 χ 2 − 分布 .
其密度函数为
n −1 − y 1 n/2 y2 e 2, y > 0 f ( y ) = 2 Γ( n / 2) 0, y≤0
f(y) η~χ η χ2(n)
2 χα ( n)
(2) 再生性 若η1 ~ χ2(n1)，η2~ χ2(n2)， η1， η2 独立， η ， ， 则 η1+ η2 ~ χ2(n1+n2)。 。 (3) 期望与方差 若η ~ χ2(n)，则Eη= n，Dη=2n。 η ， η ， η (4) 分位点 设η ~ χ2(n)，若对于α：0<α<1， 存在 η α α ，

∑X
k =1
n
k
,
→ 若 Yn的标准化 r .v .Yn* L ξ ~ N ( 0, 1), 则称 { X n }满足 中心极限定理 .
2. 两个常用的中心极限定理 (1) 独立同分布中心极限定理 独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 为独立同分布随机变量序列， 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=µ<∞， 为独立同分布随机变量序列 µ ∞ DXk= σ2 <∞，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。 满足中心极限定理 ∞ 满足中心极限定理。
(4) 极大、极小统计量 极大、 极大统计量： 极大统计量：X(n)=max{X1， … ，Xn}， ， 其观测值： x(n)=max{x1, … ，xn} 观测值： 极小统计量： 极小统计量：X(1)=min{X1， … ，Xn}， ， 其观测值： x(1)=min{x1， … ，xn} 观测值：
样本均方差 ( 标准差 ) S = S2 , 其观测值为 s = s2
(3) k 阶样本矩 原点矩 中心矩 1 n k 1 n k Ak = ∑ X i , 其观测值为 a k = ∑ x i n i =1 n i =1 1 n 1 n Bk = ∑ ( X i − X ) k , 其观测值为 bk = ∑ ( x i − x ) 2 n i =1 n i =1
n→ ∞
lim Fn ( x ) = F ( x ),
n→ ∞
则称{X 依分布收敛 依分布收敛于 则称 n}依分布收敛于X. 可记为 X n L → X .
二. 大数定律LNL 大数定律
1 1 1 n 1. 定义 令 Y n = ∑ X k , 若有 Y n P → EY n = ∑ EX k , n n n k =1 k =1 1 1 即对任意的 ε > 0 , lim P {| Y n − EY n |< ε } = 1 . n→ ∞ n n 则称 { X n } 服从大数定律 .
η* L→ ξ ~ N(0, 1). n
大数定律与中心极限定理的关系
对于独立同分布r.v.序列 n}，大数定律给出了前n项 对于独立同分布 序列{X ，大数定律给出了前 项 序列 算术平均值所遵循的规律; 而中心极限定理则在n充分大时 充分大时, 算术平均值所遵循的规律 而中心极限定理则在 充分大时 给出了{X 前 项之和落在某区间 项之和落在某区间(a, 的近似概率 的近似概率， 给出了 n}前n项之和落在某区间 b]的近似概率，事实上 b − nµ a − nµ P {a < Yn ≤ b} ≈ Φ ( ) − Φ( ). nσ nσ
t
密度函数f 的图形与 的图形与N(0, 1)的密度函数的图形很象， 的密度函数的图形很象， 密度函数 (t)的图形与 的密度函数的图形很象 的图形两端尾巴厚一些， 只是 t(n)的图形两端尾巴厚一些，腰瘦一些。 的图形两端尾巴厚一些 腰瘦一些。 (2) 基本性质 基本性质: 10 f (t)关于 关于t=0(纵轴 对称。事实上，f (−t)=f (t); 纵轴)对称 关于 纵轴 对称。事实上， − 20 f (t)的极限为 的极限为N(0，1)的密度函数，即 的密度函数， 的极限为 ， 的密度函数
lim D( 1 Yn ) = 0, n→ ∞ n
则{Xn}服从大数定律。 服从大数定律。 服从大数定律 (2) 伯努里大数定律 伯努里大数定律 为独立随机变量序列, 设{Xn}为独立随机变量序列 且Xk~b(1, pk), 0< pk <1, 为独立随机变量序列 k=1, 2, … 则{Xn}服从大数定律。(频率的稳定性 服从大数定律。 频率的稳定性) 服从大数定律 频率的稳定性
2. t -分布 分布
(1) 构造 若ξ~N(0, 1), η~χ2(n), ξ与η独立，则 独立， χ
T=
ξ ~ t ( n ). η/ n
0
f (t )
t(n)称为自由度为 的t—分布。 称为自由度为n的 分布 分布。 称为自由度为 其密度函数为
n+1 ) Γ( + t 2 − n2 1 2 f (t ) = (1 + ) , −∞< t < ∞ n n nπ Γ ( ) 2
iid iid
或X1， … ，X n ~ f ( x)
其中f 是 的概率函数 的概率函数。 其中 (x)是X的概率函数。 样本观测值：对样本 进行观测， 样本观测值：对样本X1， … ，Xn进行观测，即 可得一组观测值x 可得一组观测值 1， … ，xn
五、经验分布函数与统计量
1、构造 将样本观测值： x1，… ，xn从小到大排列得 、 将样本观测值：
2 2 2 χ α ( n ) > 0, 满足P{ η ≥ χ α ( n )} = α, 则称χ α ( n )为
χ 2 ( n )的上侧α分位点;
若存在 χ 12−α ( n ) > 0, 满足 P {η ≤ χ 12−α ( n )} = α , 则称
χ 12−α ( n )为 χ 2 ( n )的下侧 α分位点
六. 统计中的三个重要分布
统计量的分布称为抽样分布。 统计量的分布称为抽样分布。数理统计中主要研究 如下四个分布： 如下四个分布： U—分布 即N(0, 1))、χ2—分布、t —分布和F—分布。 分布(即 分布、 分布和 分布。 分布 、 分布 分布 分布
1. χ2-分布 分布
2 2 (1) 构造 设 X 1 , L , X n ~ N (0,1), 则 η = ∑ X i ~χ ( n). i =1 iid n
四、总体与样本
1、总体：研究对象的全体。通常指研究对象的某项 、总体：研究对象的全体。 数量指标，可记为X、Y、Z、ξ、η、ζ等，它是随机变量。 数量指标，可记为 、 、 、 它是随机变量。 2、个体：组成总体的单元。通常也指与总体对应的 、个体：组成总体的单元。通常也指与总体对应的 总体 某项数量指标，可用 等表示，它们也是随机变 某项数量指标，可用X1，X2， … 等表示，它们也是随机变 量。 3、样本：来自总体的部分个体X1， … ，Xn 。n称为样 、样本：来自总体的部分个体 称为样 本容量。若是按随机抽样原则得到的，则称其是“ 本容量。若是按随机抽样原则得到的，则称其是“简单随 机样本”或简称为“随机样本” 机样本”或简称为“随机样本”或“样本”。 样本”
lim P{| X n − X |< ε } = 1
则称{X 依概率收敛 依概率收敛于 则称 n}依概率收敛于X. 可记为 X n P → X .
2. 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函 为随机变量序列， 为随机变量 为随机变量， 为随机变量序列 数分别为F 若在F(x)的连续点，有 的连续点， 数分别为 n(x), F(x). 若在 的连续点
a .s Fn ( x ) → F ( x ),
即 P {lim Sup | Fn ( x ) − F ( x ) |= 0} = 1.
n →∞ x∈R
其中F(x)=P{X ≤ x}为总体 的分布函数。 为总体X的分布函数 其中 为总体 的分布函数。 3. 统计量 样本X 的函数g(X1， … ，Xn)称为是总体 的 称为是总体X的 样本 1， … ，Xn的函数 称为是总体 一个统计量， 与任何未知参数无关。 一个统计量，若g(X1， … ，Xn)与任何未知参数无关。 统计量 与任何未知参数无关 g(x1， … ，xn)是 g(X1， … ，Xn)的观测值 的观测值. 是 的观测值