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第六章6.4 在例6.2.3 中, 设每箱装n 瓶洗净剂. 若想要n 瓶灌装量的平均阻值与标定值相差不超 过0.3毫升的概率近似为95%, 请问n 至少应该等于多少？ 解：因为1)3.0(2)/3.0|/(|)3.0|(|-Φ≈<-=<-n nnX P X P σσμμ依题意有,95.01)3.0(2=-Φn ，即)96.1(975.0)3.0(Φ==Φn于是 96.13.0=n ，解之得 7.42=n 所以n 应至少等于43.6.5 假设某种类型的电阻器的阻值服从均值 μ=200 欧姆， 标准差σ=10 欧姆的分布, 在一个电子线路中使用了25个这样的电阻.（1) 求这25个电阻平均阻值落在199 到202 欧姆之间的概率; （2) 求这25个电阻总阻值不超过5100 欧姆的概率. 解:由抽样分布定理，知nX /σμ-近似服从标准正态分布N （0，1)，因此(1) )25/10200199()25/10200202()202199(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0(1)1()5.0()1(Φ+-Φ=-Φ-Φ=5328.06915.018413.0=+-= (2) )204()255100()5100(≤=≤=≤X P X P X n P 9772.0)2()25/10200204(=Φ=-Φ≈6。
8 设总体X ~N （150,252), 现在从中抽取样本大小为25的样本, {140147.5}P X ≤≤。
解： 已知150=μ，25=σ，25=n ，)25/25150140()25/251505.147()5.147140(-Φ--Φ≈≤≤X P)5.0()2()2()5.0(Φ-Φ=-Φ--Φ= 2857.09615.09772.0=-=第六章《样本与统计量》定理、公式、公理小结及补充：。
概率论与数理统计第六章总结概率论与数理统计是数理学科中的重要分支，其应用广泛，涉及到许多领域，如工程、物理、自然科学、医学、经济学等等。
第六章主要讲述了离散型随机变量的概率分布、期望值、方差及其应用。
首先我们了解到离散型随机变量是指取值有限或者可以无限但是可以和自然数一一对应的随机变量，即不连续的随机变量。
其中概率分布的概念是很重要的，它告诉我们每种随机变量取值的可能性大小，从而可以计算一些重要的数值。
比如期望值，期望值是随机变量取值的平均值，它可以用概率分布函数计算得到。
期望值可以给我们一个随机变量所处于某个状态的平均位置，或者它对某个事件发生的平均贡献。
方差也是一个非常重要的概念，它是随机变量值与其期望值之差的平方的期望值。
方差表示了随机变量的分布范围，也就是它们取值的变化程度。
方差越大，代表随机变量距离其期望值越远，该随机变量取值的范围也相应较大。
求期望值和方差的过程中有一些公式会显著提高计算效率，比如线性变换的公式、缩放变换的公式、Chebyshev不等式等等。
这些公式的应用有助于简化计算，并且能帮助我们更容易地理解问题。
我们还讨论了一些常见离散型随机变量的概率分布，比如伯努利分布、二项分布、泊松分布等等。
这些分布的出现在实际问题中都有着很重要的意义，比如伯努利分布描述了实验只有两种可能结果的概率分布，比如是/否、头/尾等等。
而二项分布则描述了实验中成功的概率和试验次数的关系，给我们解决实际问题提供了基础。
除了离散型随机变量，我们还可以研究连续型随机变量的概率分布以及相应的数学理论。
这些知识在实际应用中也具有重要意义。
比如在统计财务账目时，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测下一期客户付款时间的分布情况。
又比如在流量预测中，需要研究一些连续型随机变量的概率分布，以便预测某个时间段内的网络流量。
总之，离散型随机变量理论是概率论的核心内容，对于理解整个概率论课程和进行实际应用都有着重要的意义。
概率论与数理统计第六章总结一、概述在概率论与数理统计的第六章中，主要介绍了随机变量的概率分布以及常见的概率分布模型。
本章内容是概率论与数理统计的重点和难点之一，对于理解和应用概率统计的基本理论和方法具有重要意义。
二、随机变量的概率分布1. 随机变量及其概率分布的概念•随机变量是对随机试验结果的数值化描述，它的取值不仅依赖于随机试验的结果，还受到机会因素的影响。
•概率分布描述了随机变量可能取值的概率大小。
常用的概率分布有离散型和连续型两种。
2. 离散型随机变量及其概率分布•离散型随机变量的取值是有限或可列的，它的概率分布可以用概率质量函数来描述。
•常见的离散型随机变量包括伯努利随机变量、二项分布、泊松分布等。
3. 连续型随机变量及其概率分布•连续型随机变量的取值是无限的，它的概率分布可以用概率密度函数来描述。
•常见的连续型随机变量包括均匀分布、正态分布等。
三、常见概率分布模型1. 二项分布•二项分布是指在 n 重伯努利试验中，成功的次数服从的概率分布。
其概率质量函数为二项式系数与成功概率的乘积。
•二项分布在实际应用中常用于描述成功次数的分布情况，如抽样调查中的样本中某一特征出现的次数。
2. 泊松分布•泊松分布是定义在非负整数集上的概率分布，它描述了在一段时间或空间内事件发生的次数。
其概率质量函数为事件发生率与时间（或空间）长度的乘积。
•泊松分布常用于描述罕见事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、一段时间内事故发生次数等。
3. 正态分布•正态分布是最重要的连续型概率分布模型之一，也称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称于均值。
•正态分布在实际应用中广泛存在，如身高体重、测量误差、考试成绩等符合正态分布的情况较多。
4. 指数分布•指数分布是定义在非负实数集上的连续型概率分布，它描述了连续时间间隔或空间间隔内事件发生的情况。
其概率密度函数呈指数下降曲线。
•指数分布在实际应用中常用于描述无记忆性随机事件的发生情况，如设备失效时间、极端天气事件的间隔等。
第六章数理统计的基本概念一、内容提要数理统计学是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带有随机性的数据，建立数学方法，去揭示所研究问题的统计规律性。
它的主要内容是由样本来推断总体。
（一）基本概率1. 总体、个体与样本：研究对象的全体称为总体，用X、Y等表示。
组成总体的每个元素称为个体或单元。
从总体中按一定的规律抽出一些个体就称为抽样，所抽及的个体称为样本，用X1,X2,…,X n表示。
一般样本容量小于50的样本称为小样本，样本容量大于等于50的样本称为大样本，但在样本不易实现时，样本容量大于30的样本可看作大样本。
包含有限个个体的总体称为有限总体，包含无限个个体的总体称为无限总体。
2. 简单随机抽样与简单随机样本：如果总体中各个个体被抽到的机会是均等的，并且在抽取一个个体后总体的成分不变，那么，抽得的一些个体就能很好地反映总体的情况，基于这种想法抽取个体的方法称为简单随机抽样。
抽得的这些个体构成一个样本，用（X1,X2,…,X n）表示，n为样本容量，X1,X2,…,X n应是n个相互独立的且与总体X同分布的随机变量，并将这种样本称为简单随机样本，简称样本。
本书所讨论的样本，如无特别声明，均指简单随机样本。
样本（X1,X2,…,X n）是n个相互独立的且与总体同分布的随机变量，而一次抽取之后，12（X 1,X 2,…,X n ）又是n 个具体的数据x 1,x 2…,x n ，即样本的一组观测值，在不致引起混淆的情况下，样本和样本值都用（X 1,X 2,…,X n ）表示，这就是样本的二重性。
3. 样本分布函数（或经验分布函数）：设样本（X 1,X 2,…,X n ）的观测值按由小到大次序排列后为：**2*1n x x x ≤≤≤Λ定义()()*1**1*0,,,,1,2,,11,.n k k n x x kF x x x x k n n x x +⎧⎪⎪=≤<=-⎨⎪⎪≥⎩p L ，为样本分布函数对于样本的不同观测值（x 1,x 2…,x n ），我们将得到不同的F n (x )，所以F n (x )是一个随机变量。
第六章 样本及抽样分布 总体与个体：我们将试验的全部可能的观察值称为总体，这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量 容量为有限的称为有限总体 容量为无限的称为无限总体设X 是具有分布函数F 的随机变量，若,,21X X …n X ,是具有同一分布函数F 的、相互独立的随机变量，则称,,21X X …n X ,为从分布函数F （或总体F 、或总体X ）得到的容量为n 的简单随机样本，简称样本，它们的观察值,,21x x …n x ,称为样本值，又称为X 的n 个独立的观察值由定义得：若,,21X X …n X ,为F 的一个样本，则,,21X X …n X ,相互独立，且它们的分布函数都是F ，所以（,,21X X …n X ,）的分布函数为,,(21*x x F …)(),1∏==ni i n x F x又若X 具有概率密度f ，则（,,21X X …n X ,）的概率密度为,,(21*x x f …).(),1∏==ni i n x f x设,,21X X …n X ,是来自总体X 的一个样本，g(,,21X X …n X ,)是,,21X X …n X ,的函数，若g 中不含未知参数，则称g(,,21X X …n X ,)是一统计量设,,21X X …n X ,是来自总体X 的一个样本，n x x x ,^,,21是这一样本的观察值，定义：样本平均值∑==ni i X n X 11样本方差⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--=∑∑==n i i n i i X n X n X X n S 12221211)(11样本标准差∑=--==ni i X X n S S 122)(11 样本k 阶（原点）矩,2,1,11==∑=k X n A n i ki k …样本k 阶中心矩,3,2,)(11=-=∑=k X X n B k ni i k …经验分布函数设,,21X X …n X ,是总体F 的一个样本，用∞<<-∞x x S ),(表示,,21X X …n X ,中不大于x 的随机变量的个数。
习题六解答1. 设X求出：以下随机变量的分布律。
（1）2+X ；（2）1+-X ；（3）2X 。
解 由X由此表可定出（1）2+X（2）1+-X（3）2X 的分布律为其中()()()24682242=+=-=+===X P X P X P 。
2. 设随机变量X 服从参数1=λ的泊松分布，记随机变量=Y ,1,1;1,0>≤X X 若若试求随机变量Y 的分布律。
解 由于X 服从参数1=λ的泊松分布，因此(),,2,1,0,!!111 ====--k k e e k k X P k而 ()()()()1112!1!01010---=+==+==≤==e e e X P X P X P Y P ；()()()1211111--=≤-=>==e X P X P Y P 。
即Y 的分布律为3. 设X 的密度函数为()=x f ,0,2x,;10其他<<x 求以下随机变量的密度函数：（1）X 2；（2）1+-X ；（3）2X 。
解 求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数，然后再求密度函数。
如果()x g y =为单调可导函数，则也可利用性质求得。
（1）解法一：设X Y 2=，则Y 的分布函数()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=≤=22y X P y X P y Y P y F Y= ⎰⎰102202xdx xdx y1212002≥<≤<y y y=1402y 2200≥<≤<y y y ()()='=y F y f Y Y 02y其他20<<y 解法二：x y 2=，()y h y x ==2，而()21='y h ，则 ()()()()y h y h f y f X Y '== ,0,2122⋅⋅y 其他120<<y = 0,2y 其他20<<y（2）设1+-=X Y ，则()()1,1-='=-=y h y h y x ，Y 的密度函数()()()()='=y h y h f y f X Y()()211y -⨯- 其他110<-<y=()012-y 其他110<-<y （3）设2X Y =，由于X 只取()1,0中的值，所以2x y =也为单调函数，其反函数()()yy h y y h 121,='=，因此Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Y,0,1212y y ⋅ 其他10<<y=,0,1其他10<<y4. 对圆片直径进行测量，测量值X 服从()6,5上的均匀分布，求圆面积Y 的概率密度。
解 圆面积241X Y π=，由于X 均匀取()6,5中的值，所以X 的密度函数()=x f X,0,1.;65其他<<x且241x y π=为单调增加函数()()6,5∈x ，其反函数()()y y y h yy y h ππππ11212,24=⋅='==， Y 的密度函数为()()()()='=y h y h f y f X Y,0,1y π ,;625其他<<πy= ,0,1y π .;9425其他ππ<<y5. 设随机变量X 服从正态分布()1,0N ，试求随机变量的函数2X Y =的密度函数()y f Y 。
解 ()1,0~N X ，所以()+∞<<-∞=-x ex f x X ,212π，此时2x y =不为单调函数不能直接利用性质求出()y f Y 。
须先求Y 的分布函数()y F Y 。
()()()=≤=≤=y XP y Y P y F Y 2()yX y P ≤≤-0,0;0≥<y y()()⎰⎰---==≤≤-yyyy X dx edx x f y X y P x 221π.()()='=y F y f Y Y,0,2121212122y eyeyy--+ππ,;0其他>y=,0,21ye y -π.;0其他>y6. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，求随机变量的函数X e Y =的密度函数()y f Y 。
解 ()=x f X ,,x e - .;0其他>xx e y =的反函数()()yy h y y h 1,ln ='=，因此所求的Y 的密度函数为 ()()()()='=y h y h f y f X Yln 1,0,y e y - ,;0ln 其他>y= ,0,12y .;1其他>y7. 设X 服从()1,0N ，证明a X +σ服从()2,σa N ,其中σ,a 为两个常数且0>σ。
证明 由于()1,0~N X ,所以()+∞<<-∞=-x ex f x X ,2122π，记a X Y +=σ，则当0>σ时，a x y +=σ为单增函数，其反函数()()σσ1,='-=y h ay y h ,因此Y 的密度函数为()()()()()+∞<<-∞=⋅='=--⎪⎭⎫⎝⎛--y eey h y h f y f a y a y X Y ,21121222221σσσπσπ，即证明了()2,~σσa a X N +。
8. 设随机变量X 在区间[]2,1-上服从均匀分布，随机变量=Y1,00,01,0.X X X >=-<若；若；若试求随机变量函数Y 的分布律。
解 []2,1~-R X ，则()=x f ,0,31.;21其他<<-x而 ()()⎰-==<=-=01313101dx X P Y P ； ()()000====X P Y P ；()()⎰==>==20323101dx X P Y P 。
因此所求分布律为9. 设二维随机变量()Y X ,的分布律；（３）X 2；（４）XY 。
（1）（２）由此得X 2的分布律为（４）１０. 设随机变量Ｘ、Ｙ相互独立，⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,1~,41,1~B Y B X ,（１）记随机变量Y X Z +=，求Z 的分布律；（２）记随机变量X U 2=，求U 的分布律。
从而证实：即使Ｘ、Ｙ服从同样的分布，Y X +与X 2的分布并不一定相同，直观地解释这一结论。
解（１）由于⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛41,1~,41,1~B Y B X ，且Ｘ与Ｙ独立，由分布可加性知⎪⎭⎫⎝⎛+41,2~B Y X ，即()()2,1,0,434122=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==+==-k k k Y X P k Z P kk ,经计算有（２）由于因此易见Y X +与X 2的分布并不相同。
直观的解释是的Y X +与X 2的取值并不相同，这是因为X 与Y 并不一定同时取同一值，因而导致它们的分布也不同。
１１. 设二维随机变量()Y X ,的联合分布律为（１）求()Y X U ,max =的分布律； （２）求()Y X V ,min =的分布律。
解 （１）随机变量U 可能取到的值为１，２，３中的一个，且()()()()()()()()()()()()()()()()()();95919292003,32,31,33,23,13,max 3;31919202,21,22,12,max 2;911,11,max 1=++++===+==+==+==+=======++===+==+=============Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P U PY X P Y X P Y X P Y X P U P Y X P Y X P U P 综合有（２）随机变量V()()()()()()()();95929200911,31,23,12,11,11,min 1=++++===+==+==+==+======Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P Y X P V P 同理可求得()(),13,12====V P V P 综合有１２. 设二维随机变量()Y X ,服从在Ｄ上的均匀分布，其中Ｄ为直线0,0==y x ，2,2==y x 所围成的区域，求X Y -的分布函数及密度函数。
解 ()Y X ,的联合密度函数为1,02,02;(,)40,x y f x y ⎧<<<<⎪=⎨⎪⎩其他.设Y X Z -=，则Z 的分布函数()()()()⎰⎰=≤-=≤=zzD Z dxdyy x f z Y X P z Z P z F ,其中区域(){}z y x y x D z ≤-=:,，当2-<z 时，积分区域见图6.2，此时()⎰⎰==zD Z dxdy z F 00当02<≤-z 时，积分区域见z D 图6.3，此时()()()()22281221414141,z z D dxdydxdy y x f z F z D D Z z z +=-⨯=⨯==='⎰⎰⎰⎰'的面积区域 其中z D '是区域z D 限在20,20<<<<y x 中的那部分。
当20<≤z 时，积分区域z D 见图6.4，此时()()()()2228112214414141,z z D dxdydxdy y x f z F z D D Z z z--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯=⨯==='⎰⎰⎰⎰'的面积区域其中z D '是区域z D 限在20,20<<<<y x 中的那部分。
当2≥z 时，积分区域z D 见图6.5，此时()()1,==⎰⎰zD Z dxdy y x f z F 。
综合有()=z F Z()(),1,2811,281,022z z --+ ,2;20;02;2≥<≤<≤--<z z z zZ 的密度函数()()='=z F z f Z Z ()(),0,241,241z z -+ .;20;02其他<≤≤<-z z13. 设()Y X ,的密度函数为()y x f ,，用函数f 表达随机变量Y X +的密度函数。
解 设Y X Z +=,则Z 的分布函数()()()()()⎰⎰⎰⎰+∞∞--∞-≤+==≤+=≤=xz zy x Z dxdy y x f dx dxdy y x f z Y X P z Z P z F ,,。
对积分变量y 作变换y x u +=，得到()()⎰⎰∞--∞--=zxz du x u x f dy y x f ,,于是 ()(){}⎰⎰+∞∞-∞--=dx du x u x f z F zZ ,，交换积分变量u x ,的次序得()(){}⎰⎰∞-+∞∞--=zZ du dx x u x f z F ,从而，Z 的密度函数为()()⎰+∞∞--=dx x z x f z f Z ,，把X 与Y 的地位对换，同样可得到Z 的密度函数的另一种形式()()⎰+∞∞--=dy y y z f z f Z ,。
