第2章 自动控制系统的数学模型辅导[ 学习目标 ]熟练掌握：传递函数的概念和性质，典型环节的传递函数； 掌握：利用系统动态结构图的等效变换来求取传递函数的方法； 了解：建立动态系统微分方程的一般方法控制系统微分方程的建立一. 机械系统机械系统一般分为两大类，即直线运动系统和旋转运动系统，其基本组成器件是质量、弹簧和阻尼器等，支配机械系统的基本定律是牛顿运动定律和力、力矩平衡定律。
如图2-1所示为一具有弹簧、阻尼器的机械平移系统。
当外力作用于系统时，系统产生位移为x o 。
求该系统以x i (t)为输入量，x o (t)为输出量的运动微分方程式。
解取A 、B 两点分别进行受力分析。
得 02B0A AA i 1x k )x xf()x x (k =-=- 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出012i A x k k x x -= 代入B 等式，得 020012i x k )x x k k xf(=-- 得()i 1021021x fk x k k xk k f =++ 式中：k1——弹簧1的弹性系数；k2——弹簧2的弹性系数；f ——阻尼器的阻尼系数。
二. 电气系统电气系统的基本元件是电阻、电容、电感以及电动机等，支配电气系统的基本定律是基尔霍夫电路定律。
图2-3为一具有电阻－电感－电容的无源网络，求以电压u 为输入，u c 为输出的系统微分方程式。
解 根据基尔霍夫电路定律，有 C u R i dtdiL t u +⋅+⋅=)( 而 dtdu Ci c=，则上式可写成如下形式22u dt du RC dtu d LCC cc =++ 上式表示了RLC 电路的输入量和输出量之间的关系。
编写控制系统微分方程的一般步骤为： (l) 首先确定系统的输入量和输出量；(2) 将系统划分为若干个环节，确定每一环节的输入量和输出量。
确定输入量和输出量时，应使前一环节的输出量是后一环节的输入量。
(3) 写出每一环节(或元件)描述输出信号和输入信号相互关系的运动方程式；找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。
而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。
在此同时再做一些数学上的处理，如非线性函数的线性化。
考虑忽略一些次要因素。
使方程简化的可能性和容许程度。
(4) 消去中间变量，列出各变量间的关系式。
设法消去中间变量，最后得到只包含输入量和输出量的方程式。
于是，就得到所要建立的元件或系统的数学模型了。
非线性数学模型的线性化线性化问题的提出但实际上，自然界中真正的线性系统是不存在的。
即使对所谓的线性系统来说，也只是在一定的工作范围内才保持真正的线性关系。
许多机电系统、液压系统、气动系统等，在变量之间都包含着非线性关系。
例如：元件的死区、传动的间隙和摩擦，在大输入信号作用下元件的输出量的饱和以及元件存在的非线性函数关系等等。
因此，精确地反映各种因素对系统或元件的动态影响就变得很复杂，以致难于获得解析解。
在这种情况下，就不得不首先略去某些对控制过程的进行不会产生重大影响的因素，以便使方程简化。
此外，有时系统中所发生的过程是用非线性方程来描述的。
这样，为了用线性理论对系统进行分析和设计，就必须绕过由非线性系统而造成的数学上的困难。
在这种情况下可采用一种方法，将这些非线性方程式在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替。
这种近似的转化过程，称之为线性化。
当非线性系统近似地用线性化数学模型表示以后，就可以采用一些线性的方法来分析和设计系统了。
虽然线性化后所得的结果是近似地、有条件地反映过程进行的真实特性，但可以使我们顺利地解决一些复杂问题，在一定范围内能够反映系统运动情况的一般性质。
也就是说，如果我们能够作某种近似，或者缩小一些研究问题的范围，那么大部分非线性特性都可以近似地作为线性特性来处理.可见，系统或元件运动方程式的线性化是我们建立数学模型分析研究系统性能的重要一步。
非线性微分方程的线性化。
非线性函数的线性化线性化这一概念用数学方法来处理，就是将一个非线性函数在其工作点展开成泰勒（Taytor ）级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。
(1) 一元函数的线性化设系统的工作点为（x0, y0），那么y=f(x)在额定工作点附近展开成泰勒级数为+-+-+=202200)()(!21)()()(0x x dx x f d x x dxx df x f y x x (2-8)因函数y=f(x)在工作点很小的范围内变化，可忽略二次以上的各项，则方程为)()()()(00000x x k y x x dxx df x f y x -+=-+= (2-9)这就是非线性元件或系统的线性化数学模型。
(2) 二元函数或多元函数的线性化设有二元非线性函数y=f(x1,x2)，为了得到这一非线性函数的线性增量方程，将函数在其工作点（x 10,x 20）附近展开成泰勒级数，得)]()([),(202210112010x x x f x x x f x x f y -∂∂+-∂∂+= +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂+--∂∂∂+-∂∂+22022222021012122101212)()())(()(2)()(!21x x x x f x x x x x x x f x x x x f (2-10) 式中，偏导数均在工作点上求取。
忽略二次以上各项，上式可写成)()(),(202210112010x x x f x x x f x x f y -∂∂+-∂∂+= (2-11) 或)()(202210110x x k x x k y y -+-+= (2-12)式中，),(20100x x f y =，11x f k ∂∂=，22x f k ∂∂=线性化有如下特点：(l) 线性化是相对某一额定工作点进行的。
工作点不同，得到线性化微分方程的系数也不同。
(2) 若使线性化具有足够精度，调节过程中变量偏离工作点的偏差信号必须足够小。
(3) 线性化后的运动方程是相对额定工作点以增量来描述的。
因此，可以认为其初始条件为零。
(4) 线性化只能运用没有间断点、折断点和非单值关系的函数，对具有本质非线性元件的非线性系统是不适用的。
传递函数的定义在线性定常系统中，初始条件为零时，系统(或元件)输出的拉氏变换X c (s)和输入的拉氏变换X r (s)之比称为系统(或元件)的传递函数，即)()()]([)]([)(s X s X t x L t x L s G r c r c ==(2-14)或X c (s)=G(s)X r (s) 图2-5 传递函数图示上式用函数方框图表示时，如图2—5所示。
若令输入信号为单位脉冲函数δ(t)，其拉氏变换为X r (s)＝1，则根据上式得X c (s)＝G(s)传递函数是系统或环节数学模型的另一种形式，它反映了系统输出变量与输入变量之间的关系。
它只和系统本身的特性参数有关，而与输入量无关。
传递函数的求法传递函数的求法有直接计算法、方框图运算法和实验法。
因为传递函数是系统输出与输入拉氏变换之比，所以，无论用哪一种方法求传递函数，都必须首先确定系统的输入变量和输出变量。
直接计算法就是在初始状态为零的条件下将控制系统的微分方程进行拉氏变换，然后根据拉氏变换的微分定理得出。
一般形式的传递函数为传递函数的性质1．传递函数只与系统或元件自身的内部结构和参数有关，而与输入量和初始条件等外部因素无关。
因此，传递函数完全描述了系统或元件的自身固有特性。
当输入信号一定时，输出量完全取决于系统的传递函数。
这样就可以直接根据传递函数的特征来分析系统的动态特性，也可以把对系统性能的要求转换成对传递函数的要求来设计系统，从而大大简化系统设计。
2．传递函数是复变量s 的有理真分式，分母多项式的次数n 高于分子多项式的次数m(这是控制系统的物理性质决定的)，而且其所有系数均为实数(因为元件参数只能是实数)。
3．传递函数等于单位脉冲函数输入时的系统输出响应的象函数，或者说传递函数的拉氏反变换是系统的单位脉冲响应。
4．在复数平面内，一定的传递函数有一定的零，极点分布图与之相对应。
5．分母中的最高阶若为n ，则称系统为n 阶系统。
6. 传递函数只能用于研究单输入、单输出系统，它只能反映输入和输出间的关系，并且对于非零初始状态的系统运动特性不能反映。
典型环节及其传递函数。
(一) 放大环节(比例环节)放大环节的输出量以一定比例复现输入量，而毫无失真和时间滞后现象。
设输入量为x r (t)，输出量为x c (t)，则其运动方程式为x c (t)=Kx r (t)其传递函数为G(s)=X c (s)/X r (s)=K (2-19) 式中 K ——放大系数。
在齿轮传动中(图2-7a)，若忽略啮合间隙，则主动齿轮输入转速n 1和从动齿轮输出转速n 2之间的关系为n 2=Z 1.n 1/Z 2其传递函数为G(s)=N 2(s)/N 1(s)=Z 1/Z 2放大环节的实例还有许多。
它们的共同特点是传递函数为一常数。
纯放大环节是很少见的，多数是忽略某些次要因素后视为放大环节。
几乎所有控制系统都有放大环节，主要用于电压、电流、力、速度等的放大或减小。
(二) 惯性环节在惯性环节中，总含有储能元件，以致使输出不能立即复现突变型式的输入，而是落后于输入。
设输入为x r (t)，输出为x c (t)，则其运动方程式为)()()(t Kx t x dtt dx Tr c c =+ 其传递函数为G(s)=X c (s)/X r (s)=K/(Ts+1) (2-20)式中 T ——环节的时间常数； K ——环节的放大系数。
惯性环节的特性由时间常数T 和放大系数K 决定。
惯性环节的输出量和输入量的量纲可能是相同的，也可能是不相同的。
K 等于输出量与输入量的稳态值之比。
设有图2-9(a)所示RC 网络，输入为电压u r ，输出为电压u c ，求其传递函数。
图2-9 电气惯性环节图 2-7输入电压u r 消耗在电阻R 和电容C 上，即⎰+=idt cRi u r 1输出电压为⎰=idt cu c 1。
将以上两式进行拉氏变换，得U r (s)=RI+I/(Cs) U c (s)=I/(Cs)消去中间变量I ，得(RCs+1)U c (s)=U r (s)故得传递函数为G(s)=U c (s)/U r (s)=1/(RCs+1)=1/(Ts+1)式中 T ——时间常数， T ＝RC 。
上例中的输出量与输入量的量纲相同。
(三) 积分环节积分环节的输出量x c (t)的变化率和输入量x r (t)成正比，即其传递函数为G(s)=X c (s)/X r (s)=K/s (2-21)积分环节的特性只用一个参量——传递系数K 来表示。
